UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE PALMAS PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL - PROFMAT

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE PALMAS PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL - PROFMAT TIAGO BANDEIRA CASTRO PROPOSTA DE INTRODUÇÃO DE CÁLCULO VARIACIONAL NO ENSINO MÉDIO PALMAS 2013

2 TIAGO BANDEIRA CASTRO PROPOSTA DE INTRODUÇÃO DE CÁLCULO VARIACIONAL NO ENSINO MÉDIO Tabalho de Conclusão de Cuso apesentado ao Pogama de Mestado Pofissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT da Univesidade Fedeal do Tocantins como equisito pacial paa obtenção do título de Meste Áea de Concentação: Matemática. Oientado: Pof. D. Andés Lázao Baaza de La Cuz PALMAS 2013

3 Dados Intenacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Biblioteca da Univesidade Fedeal do Tocantins Campus Univesitáio de Palmas C355p Casto, Tiago Bandeia Poposta de Intodução de Cálculo Vaiacional no Ensino Médio / Tiago Bandeia Casto - Palmas, f. : il. Dissetação de Mestado - Univesidade Fedeal do Tocantins, Pogama de Pós-Gaduação de Mestado Pofissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, Linha de pesquisa: Matemática. Oientado: Pof. D. Andés Lazao Baaza de La Cuz 1 - Taxa de Vaiação 2 - Limite 3 - Deivada I. Cuz, Andés Lazao Baaza de La II. Univesidade Fedeal do Tocantins. III. Título CDD 510 Bibliotecáia: Emanuele Santos CRB-2 / 1309 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - A epodução total ou pacial, de qualque foma ou po qualque meio deste documento é autoizado desde que citada a fonte. A violação dos dieitos do auto (Lei nº /98) é cime estabelecido pelo atigo 184 do Código Penal.

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5 Dedico este tabalho aos meus pais, Manoel Messias e Zélia Bandeia, a minha noiva, Ana Paula, a minha família e aos meus amigos.

6 AGRADECIMENTOS A Deus, po te dado condições de ealiza o mestado. A meus colegas de mestado, pelo convívio e apendizado. Ao meu oientado Pof. D. Andés Lazao Baaza de La Cuz e demais pofessoes do Mestado Pofissional em Matemática PROFMAT pólo UFT pelos ensinamentos, convivência, colaboação e paciência. À minha família, pelo apoio duante este peíodo. A meus amigos Rodigo, Magno Mácio, Césa, Jamesom e Rubeval pelas contibuições e convívios no decoe do mestado.

7 RESUMO Estudos mostam que há um alto índice de epovação e evasão escola na disciplina de cálculo difeencial e integal, este tabalho veio como uma poposta paa minimiza os impactos que a falta de um estudo pévio da disciplina no ensino médio possam causa aos alunos de gaduação dos pimeios semestes do ensino supeio. Tendo em vista que pesquisas ealizadas mostam que constitui um dos motivos do elevado índice de epovação a falta de um contato pévio com conteúdo de cálculo, este tabalho objetiva sana esta caência enfentada pelos alunos do ensino básico intoduzindo o assunto de foma bastante intuitiva, passando do estudo com númeos ao estudo mais fomal sem o excesso de fomalismos, e abstações que podem se apesentadas gealmente em um cuso de cálculo mas que são impópios paa uma pimeia abodagem no ensino médio. Paa alcança este fim neste tabalho foi colocado o conteúdo com uma abodagem numéica utilizando tabelas e empegando o softwae live Maxima, que eniquece consideavelmente o pocesso de assimilação do conteúdo abodado, po meio de visualizações gáficas e algébicas, tonando o pocesso mais dinâmico e ataente aos alunos. O tabalho não é completo em si mesmo, tazendo apenas um esqueleto que pecisa se completado com exemplos, execícios, metodologias e aplicações do mundo eal. Paa tanto é sugeido ao pofesso que na escolha das aplicações dê pefeência aquelas que são simples, mas significativas, aplicações estas que possam se seguidas de expeiências em laboatóios ou ainda simuladas expeimentalmente em softwaes lives, assim tonando a aula intedisciplina e inteessante. Palavas-chave: Taxa de Vaiação, limite, deivada, cálculo de áeas

8 ABSTRACT Studies show that thee is a high failue ate and tuancy discipline calculation diffeential and integal, this wok came as a poposal to minimize impacts that the lack of pevious contact with discipline in school can cause students Gaduation of the fist semeste of highe education. Given that suveys show that is one of the easons fo the high failue ate of a lack pevious contact with content of calculation, this pape aims to emedy this shotcoming faced by elementay school students intoducing the subject faily intuitive, passing study with numbes to moe fomal study without the exta fomalisms and abstactions that ae usually pesented in a calculus couse but ae unsuitable fo fist appoach. To achieve this pupose this pape was placed the content with a numeical appoach using tables and using fee softwae Maxima, which eniches consideably the pocess of assimilation of the content addessed, making the pocess moe dynamic and appealing to students. The wok is not complete in itself, binging only a sketch that needs to be supplemented with examples, execises, methodologies and applications eal wold. Theefoe, it is suggested that the teache in choosing applications choose those that ae simple but meaningful, applications such that they can be followed expeiments in laboatoies o simulated expeimentally in fee softwae, so making the class inteesting and intedisciplinay. Keywods: Rate of Change, limit, deivative, calculation of aeas.

9 LISTA DE FIGURAS FIGURA 1 Função Constante FIGURA 2 Taxa de vaiação da Constante FIGURA 3 Função Identidade FIGURA 4 Função taxa F x0 () = FIGURA 5 Função Quadática FIGURA 6 Função F () = 2x FIGURA 7 Função Cúbica FIGURA 8 Função F () FIGURA 9 Função exponencial FIGURA 10 Função F x0 () FIGURA 11 Função F x0 () FIGURA 12 Função logaítmica com base e FIGURA 13 Função F x0 () FIGURA 14 Função Identidade Recípoca de Pimeio Gau FIGURA 15 Função F x0 () FIGURA 16 Função f (x) = x FIGURA 17 Função F 2 x0 () FIGURA 18 Função F x0 () FIGURA 19 Função F 1 () FIGURA 20 Função f (x) = senx FIGURA 21 F π 6 () FIGURA 22 Função F π 4 () FIGURA 23 Função F π 3 () FIGURA 24 Função f (x) = cosx FIGURA 25 Função F π 6 () FIGURA 26 F π 4 () FIGURA 27 Função F π 3 () FIGURA 28 Apoximação da tangente po secantes FIGURA 29 Pimeia Apoximação FIGURA 30 Segunda Apoximação FIGURA 31 Teceia Apoximação FIGURA 32 Pimeia Apoximação FIGURA 33 Segunda Apoximação FIGURA 34 Teceia Apoximação FIGURA 35 Quata Apoximação FIGURA 36 Função f (x) = x 2 2x FIGURA 37 Função f (x) = x 3 27x FIGURA 38 Função f (x) = cos(3x) FIGURA 39 Função da altua s(t) FIGURA 40 Função luco l(x) FIGURA 41 Método de Newton

10 FIGURA 42 Calculando velocidade FIGURA 43 Tiângulo equiláteo FIGURA 44 Tiângulo Subdividido FIGURA 45 Quadiláteo egula FIGURA 46 Quadiláteo subdividido FIGURA 47 Pentágono egula FIGURA 48 Pentágono subdividido FIGURA 49 Apoximação de π FIGURA 50 Função f (x) = c FIGURA 51 Paticionamento em (0,x 0 ) FIGURA 52 Áea da função constante n= FIGURA 53 Áea da função constante n= FIGURA 54 Áea da função constante n= FIGURA 55 Função f (x) = ax FIGURA 56 Patição de f (x) = ax FIGURA 57 Áea da função linea n= FIGURA 58 Áea da função linea n= FIGURA 59 Áea da função linea n= FIGURA 60 Função f (x) = c FIGURA 61 Paticionamento FIGURA 62 Áea da função quadática n= FIGURA 63 Áea da função quadática n= FIGURA 64 Áea da função quadática n= FIGURA 65 Função f (x) = e x FIGURA 66 Paticionamento FIGURA 67 Áea da função exponencial n= FIGURA 68 Áea da função exponencial n= FIGURA 69 Áea da função exponencial n=

11 LISTA DE TABELAS TABELA 1 Taxa de f (x) = x TABELA 2 Taxa de f (x) = x TABELA 3 F x0 = (e 1) TABELA 4 F x0 () = e3 (e 1) TABELA 5 F x0 () = e x 0 (e 1) ( ) 1 TABELA 6 F x0 () = ln 1 + x TABELA 7 F u () = x 1 0 ln(1 + u) 1 u TABELA 8 F x0 () = 1 x 0 (x 0 +) TABELA 9 F x0 () = 2x x0 4 2x3 0+2 TABELA 10 Função F π 6 () quando f (x) = senx TABELA 11 Função F π 4 () quando f (x) = senx TABELA 12 Função F π 3 () quando f (x) = senx TABELA 13 Função F x0 () quando f (x) = senx TABELA 14 Função F π 6 () quando f (x) = cosx TABELA 15 Função F π 4 () quando f (x) = cosx TABELA 16 Função F π 3 () quando f (x) = cos(x) TABELA 17 Função F x0 () quando f (x) = cosx TABELA 18 a() TABELA 19 Limite intuitivo TABELA 20 Apoximação da exponencial

12 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO TAXA DE VARIAÇÃO FUNÇÃO CONSTANTE FUNÇÃO IDENTIDADE FUNÇÃO QUADRÁTICA FUNÇÃO CÚBICA FUNÇÃO EXPONENCIAL FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL FUNÇÃO RECÍPROCA FUNÇÃO RECÍPROCA DE SEGUNDO GRAU FUNÇÃO RECÍPROCA DE TERCEIRO GRAU FUNÇÃO SENO FUNÇÃO COSSENO APLICAÇÕES E FORMALIZAÇÃO RETA TANGENTE Intevalo de cescimento ou decescimento das funções Valo Máximo e Mínimo de Funções TAXA DE VARIAÇÃO E MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO MÉTODOS DE NEWTON CÁLCULO DE ÁREAS APROXIMAÇÃO DA ÁREA DA CIRCUNFERÊNCIA POR POLÍGONOS REGU- LARES CALCULANDO A ÁREA SOB FUNÇÃO CONSTANTE CALCULANDO A ÁREA SOB A FUNÇÃO LINEAR CALCULANDO A ÁREA SOB A FUNÇÃO QUADRÁTICA CALCULANDO A ÁREA SOB A FUNÇÃO EXPONENCIAL CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS Refeências Bibliogáficas

13 1 1 INTRODUÇÃO No Cuso de Cálculo Difeencial e Integal no ensino supeio há um alto índice de epovação que se dá devido a váios fatoes dos quais se destacam baixa qualidade do ensino básico, desinteesse dos alunos e falta de um contato pévio com a temática. Cooboa esta afimação estudo feito na Fundação Univesidade Fedeal do Vale do São Fancisco ealizado po um gupo de pesquisadoes e apesentado no COBENGE em 2007 onde evela que dente os motivos de epovação os maioes são a falta de estudos po pate do aluno, a maio ou meno concoência do pocesso seletivo (sendo que quanto mais concoido meno o índice de epovação) a ausência de monitoia e a falta de conhecimento pévio do assunto com ceca de setenta po cento das eclamações dos entevistados, tendo em vista este estudo obseva-se o quanto é elevante te um contato pévio do aluno com assunto abodado. Pensando o poblema e os fatos apesentados, é possível que o contato pévio com o ensino de cálculo podeia taze váios benefícios à compeensão de conceitos aceca do estudo de funções bem assim como conceitos de física e tantos outos que podeiam se elacionados com este estudo. A exemplo desta afimação é azoável cita que váios conceitos físicos dos quais se tatam no ensino médio sugiam conjuntamente com o estudo de cálculo ficando aquele conceito muito limitado sem a compeensão do conceito de limites, a exemplo desta afimação está o conceito de velocidade instantânea, aceleação instantânea, coente elética e váios outos conceitos que são abodados no ensino médio. Nos Paâmetos Cuiculaes Nacionais, taz o pincípio de que o cuículo do Ensino Médio deve se estutuado de modo a assegua a intedisciplinaidade dos conteúdos, o conteúdo de matemática não pode se tatado como completo em si mesmo, mas como uma ciência que enconta aplicação no mundo eal, e não como conhecimento estanque, o cálculo está em consonância com este conceito uma vez que enconta aplicação com as váias áeas do conhecimento e ainda possui gande coelação com poblemas do dia a dia. Os pogamas de avaliação da qualidade do desempenho de alunos nos divesos níveis da educação básica como o SAEB (Sistema Nacional de Avaliação Escola da Educação Básica), o ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) e o IDEB (Índice de Desenvolvimento da Educação Básica), mostam que boa pate dos alunos que teminam o ensino médio tem gande

14 2 deficiência nos fundamentos matemáticos, sendo que alguns destes, mesmo não tendo afinidade e nem domínio da áea ingessam no cuso de matemática, física e outas áeas de exatas po seem cusos com baixo índice de concoência se tonando mais atativos pela facilidade do ingesso. São estes alunos cheios de deficiências que se depaam pela pimeia vez com o cálculo difeencial e integal, disciplina esta que segundo pesquisas do INEP tem alto índice de epovação e evasão. Vale essalta que o ensino de cálculo no ensino básico não é ideia inovadoa uma vez que anteiomente já fez pate do cuículo das escolas do ensino básico e foi intoduzido com a Refoma de Capanema em 1942, no goveno de Getúlio Vagas, fazia pate do cuículo a disciplina de cálculo difeencial e integal constando no cuículo escola oficialmente até 1961 quando po influência do movimento da Matemática Modena foi excluído do pogama juntamente com outos conteúdos. Nos dias de hoje, há livos que tazem tópicos a espeito de cálculo difeencial e integal sendo que não são abodados pelos pofessoes, uma vez que estes o julgam de difícil compeensão e que o conteúdo deve se abodado apenas no ensino supeio, o que se constitui em eo uma vez que no ensino supeio não há tempo paa aplicação da fase intuitiva deste pocesso, tonando o assunto mais taumático do que deveia ealmente se. A espeito daqueles que defendem que o cuículo atual é muito extenso e que não compotaia mais este conteúdo, há o posicionamento de Gealdo Ávila que afima que na vedade o conteúdo não é extenso, mas sim mal estutuado, além disso, nas Oientações Cuiculaes paa o Ensino Médio volume 2, na página 71 enconta-se que... é peciso da pioidade à qualidade do pocesso e não à quantidade dos conteúdos a seem tabalhados.... Cetamente este conteúdo é um conteúdo de fundamental impotância que simplifica e amplifica o campo de tabalho dos estudos de funções além de cumpi outas ecomendações contidas nos Paâmetos Cuiculaes Nacionais do Ensino, quando na sua página 27 infoma que se deve estabelece Relações ente conhecimentos disciplinaes, intedisciplinaes e inteáeas aticula, intega e sistematiza fenômenos e teoias dento de uma ciência, ente as váias ciências e áeas de conhecimento. Potanto o objetivo da poposta é pomove uma linha intodutóia do conteúdo de cálculo no ensino médio não visando expo um mateial completo, mas sim um esqueleto que deveá se peenchido pelo pofesso com a sua expeiência e vivência em sala de aula escolhendo o melho momento de se intoduzi o conteúdo, colocando metodologias, exemplos, visualizando situações cotidianas dos alunos paa faze uso do conhecimento teóico explicando aquele fenômeno mediante a teoia. A exemplo o pofesso no pimeio ano tendo conhecimento que na disciplina de física se estuda taxa de vaiação po meio da velocidade média, pode paalelamente intoduzi este assunto. Quando se explica velocidade instantânea o pofes-

15 3 so podeá também explica a ideia intuitiva de limite podendo esta se novamente colocada em váios momentos do ensino médio. Neste tabalho se objetiva expo algumas linhas geais que podeão se abodadas de váias fomas e em váios momentos assim se objetiva apenas mosta que é possível faze uma abodagem numéica do cálculo, sendo sugeido que esta abodagem seja feita paalelamente com o uso de softwaes matemáticos, em especial o Maxima, paa tona o apendizado menos cansativo e mais poveitoso em temos conceituais. Desta foma, este estudo é viável não só no ensino médio como também em uma disciplina de intodução ao cálculo que podeá se ofetada em peíodo anteio à disciplina de Cálculo I nas univesidades, momento em que as aplicações podem se feitas de foma mais ampla, uma vez que todos os conteúdos do ensino médio já foam assimilados pelo aluno. Os objetivos específicos do tabalho são: Popo a utilização do pogama Maxima no ensino do conteúdo de cálculo paa tona a expeiência e a apendizagem mais dinâmica; Mosta ao aluno as váias aplicações do conteúdo na pópia matemática, da matemática com o dia a dia, e da matemática com outas disciplinas; Tona possível a intedisciplinaidade de matemática e física peante uma nova abodagem; Mosta a influência da taxa de vaiação nas divesas funções utilizadas no ensino médio, fazendo um estudo do seu domínio e da sua imagem; Intoduzi a noção de limite e deivada; Intoduzi o método de apoximação de áea po paticionamento. No capítulo 2 do desenvolvimento foi definida a taxa de vaiação como uma função que goza de caacteísticas de lineaidade sendo feita uma abodagem desta função nos divesos casos necessáios no ensino médio que são a função constante, afim, quadática, cúbica, exponencial, logaítmica, ecípoca, seno e cosseno sendo que as definições destas foam buscadas nos livos de Fundamentos da Matemática Elementa volumes um, dois e tês de Gelson Iezzi. Foi estudado o domínio e a imagem da função, dando ênfase ao caso paticula do compotamento desta quando seu domínio assume valoes póximos a zeo com objetivo de se intoduzida neste momento uma noção de limites e de deivadas. No capítulo 3 do desenvolvimento se estudou a eta tangente como aplicação da taxa de vaiação, mostando como enconta a eta tangente a uma cuva qualque se conhecendo

16 4 apenas o ponto de tangência e a equação da cuva. É sabido que paa se enconta a equação de uma eta deve-se conhece dois pontos, ou conhece pelo menos um ponto e o coeficiente de inclinação o objetivo da aplicação constitui em esponde às seguintes peguntas: É possível estima a equação da eta? Sendo possível estimá-la, como podeia se enconta a melho estimativa? No capítulo 3, ainda foi mostado que a velocidade instantânea e a aceleação instantânea podem se obtidas como aplicações da deivada além de seem mostados os casos dos pontos de máximos e mínimos de funções em intevalos, intevalos em que a função é cescente ou decescente e ainda a utilização do dispositivo ecusivo de Newton como feamenta paa se enconta aízes de funções. Neste capítulo foam expostos alguns exemplos, mas que de foma alguma foam escolhidos com o intuito de seem exaustivos, mas apenas exemplificativos deixando a cago do pofesso a escolha dos exemplos e aplicações do método dente das váias possíveis na física, matemática, economia ente outas. O capítulo 4 do desenvolvimento objetiva ealiza o paticionamento de egiões paa se enconta áeas de figuas desconhecidas. Pimeiamente, seá mostado que tal pocedimento é válido paa casos conhecidos como, po exemplo, a áea da cicunfeência, do etângulo e do tiângulo paa após se intoduzidas áeas de egiões desconhecidas, nas quais ainda não foam tabalhadas e que são estanhas ao aluno. Como o pocesso explicado foi efetivo e seguo no caso paticula que o aluno conhecia ele se sentiá mais seguo e confiante no método paa se tabalha em egiões desconhecidas. Esta metodologia é sugeida ao pofesso sempe que possível, faze esse link ente o novo e o antigo, ente o desconhecido e o já estudado. A pati do segundo capítulo foi utilizado como feamenta computacional de apoio o Maxima po se um softwae live e contempla tanto a visualização gáfica quanto algébica, po outo lado é válido essalta que a escolha da feamenta a se empegada deve se escolhida de acodo com o objetivo a se conseguido na aula. A exemplo disto se o pofesso que que apenas sejam visualizados gáficos sem o dispêndio de tempo com pogamações po pate dos alunos, pode se utilizada uma feamenta live como exemplo o Winplot que tem um manuseio mais simples assim a escolha da feamenta deve esta em hamonia com o objetivo do empego da mesma. Espea-se que pofessoes de matemática possam utiliza deste mateial como instumento de consulta paa que possam utilizá-lo como auxílio paa se intoduzi o ensino de cálculo no ensino médio desmistificando a ideia de que noções de cálculo devem se vistas apenas no ensino supeio. Espea-se como dificuldades po pate do pofesso a elaboação de aulas com o empego das novas tecnologias, uma vez que esta constitui impotante feamenta paa o ensino

17 5 e ao fato que muitos pofessoes de matemática são esistentes ao seu empego em sala. Po pate dos alunos espea-se como maio dificuldade a esistência ao novo modelo, a esistência à intedisciplinaidade poposta da elação dos conteúdos de matemática com o cotidiano e com as outas disciplinas, mas que paa o aluno a pópia dificuldade pode constitui fote atativo poque esta mesma inteação que é nova também é ataente po elaciona o abstato ao conceto e desconhecido o cotidiano.

18 6 2 TAXA DE VARIAÇÃO Seja I um intevalo de númeos eais em que está definida a função f : I R. Desta foma é conhecido que se fo tomado dois númeos quaisque em I, x j e x i sempe seá possível consegui coespondentes y j e y i em R, tais que, y j = f (x j ) e y i = f (x i ). Chama-se de vaiação no domínio ou incemento da vaiável x elativamente a x i o valo x = x j x i. x = x j x i Po outo lado, chama-se de vaiação na imagem ou incemento da vaiável y elativamente a y i, o valo y = y j y i. y = y j y i Pode-se eesceve a equação acima em temos apenas de x i e x, assim: y = y j y i = f (x j ) f (x i ) = f ( x + x i ) f (x i ) A elação ente y e x é chamada de taxa de vaiação ou taxa incemental, que seá epesentada da foma abaixo: y x = f (x i + x ) f (x i ) x Fixando x i = x 0, e fazendo vaia x = seá definida uma função F x0 : R R que seá epesentada como F x0 () e elacionaá valoes das vaiações em x com as espectivas vaiações na taxa de vaiação da função f no ponto x 0, matematicamente: F x0 () = f (x 0 + ) f (x 0 ) (5)

19 7 segui: A equação definida acima, tem duas popiedades inteessantes, que seão mostadas a Poposição 2.1 (Lineaidade pate 1). Seja uma função h definida como h(x) = f (x) + g(x), então paa todo x = x 0 fixo, te-se-á H x0 () = F x0 () + G x0 (). Substituindo h(x) = f (x) + g(x) na definição dada pela equação 5, seá possível demonsta: H x0 () = h(x 0 + ) h(x 0 ) = f (x 0 + ) + g(x 0 + ) f (x 0 ) g(x 0 ) = f (x 0 + ) f (x 0 ) + g(x 0 + ) g(x 0 ) = F x0 () + G x0 () Desta foma te-se-á que paa h(x) = f (x) + g(x), que a função H em x 0 seá: H x0 () = F x0 () + G x0 () Poposição 2.2 (Lineaidade pate 2). Seja uma função h definida como h(x) = a. f (x), então paa todo x = x 0 fixo, te-se-á H x0 () = a.f x0 (). Substituindo h(x) = a. f (x) na definição dada pela equação 5, seá possível demonsta: H x0 () = h(x 0 + ) h(x 0 ) = a f (x 0 + ) a f (x 0 ) = a f (x 0 + ) f (x 0 ) = af x0 () Desta foma te-se-á que paa h(x) = a. f (x) a função H em x 0 seá: H x0 () = af x0 () Feita estas consideações, a póxima etapa seá passa a uma análise sobe a função definida quando se tem um valo x = x 0 fixo, e como única vaiável, desta foma podeá se

20 8 tece estudos de como vaia a taxa de vaiação, F x0 () nas funções mais usuais do ensino básico, analisando com maio ênfase nas poximidades do ponto em que a função não está deteminada, uma vez que, na maioia das vezes o objeto de inteesse ecai sobe o compotamento de F x0 () naquele ponto, ou seja, em = FUNÇÃO CONSTANTE Chama-se função constante a aplicação f : R R quando se associa a cada elemento de x R sempe ao mesmo elemento a R. Em símbolos esceve-se que a função é dada pela ega f (x) = a, sendo que seu gáfico catesiano seá uma eta paalela ao eixo x, confome o gáfico abaixo: Figua 1: Função Constante Poposição 2.3. Se f : R R é a função f (x) = a onde a R então F x0 () = 0. Substituindo a função f (x) = a na equação 5 e efetuando os cálculos da Taxa de Vaiação F x0 (), pode-se veifica facilmente a poposição. F x0 () = f (x 0 + ) f (x 0 ) = a a Como pode se obsevado na função constante não há vaiação nos valoes de y, como o pópio nome sugee paa todos os valoes do domínio tem-se um mesmo valo na imagem, e po isto, a vaiação é nula. Fazendo o gáfico da função F x0 () = 0, obseva-se que no gáfico F x0 () independentemente do valo de a vaiação é sempe nula. = 0

21 9 Figua 2: Taxa de vaiação da Constante 2.2 FUNÇÃO IDENTIDADE A função identidade é um caso paticula da função linea e esta po sua vez é um caso paticula da função afim. A função afim é definida como sendo uma aplicação f : R R que associa cada elemento x R a um elemento (ax + b) R sendo que a 0, cuja ega de fomação em símbolos é f (x) = a.x + b. Mais paticulamente a função linea é definida como sendo a aplicação f : R R que associa a cada x R a um elemento ax R, cuja ega de fomação em símbolos é f (x) = ax. A função identidade é um caso mais paticula ainda, como pôde se obsevado, a função linea é o caso em que a constante b = 0, e no caso da função identidade te-se-á além de b = 0 o valo a = 1, assim pode-se defini que a função identidade é a aplicação f : R R tal que a cada elemento x R seá associado a um mesmo x R, cuja ega de fomação seá f (x) = x. Figua 3: Função Identidade

22 10 O estudo consistiá apenas na função taxa efeente à função identidade, as popiedades de lineaidades efeentes ao estudo de taxa de vaiação mostada anteiomente gaantem que a taxa da soma é a soma das taxas pela pimeia popiedade e pela segunda popiedade que a taxa de uma constante multiplicada po uma função é a mesma constante multiplicada pela taxa da função. Assim sendo, faz-se essencial mosta as funções taxas pimáias, onde pimáias entenda-se as funções puas sem acéscimos ou poduto de constantes ou outas funções. Poposição 2.4. Se f : R R é a função f (x) = x, então F x0 () = 1. Substituindo f (x) = x na equação 5, te-se-á: F x0 () = f (x 0 + ) f (x 0 ) = x 0 + x 0 = 1 Tem-se que a taxa de vaiação da função identidade é constante e igual a um. Repesentando gaficamente a função taxa seá conseguido o gáfico a segui: Figua 4: Função taxa F x0 () = FUNÇÃO QUADRÁTICA Chama-se função quadática a aplicação f : R R que associa a cada x R ao elemento ax 2 + bx + c R com a,b,c R e ainda com a 0, cuja ega de fomação seá f (x) = ax 2 + bx + c. Da mesma foma que na seção anteio, o estudo da taxa seá focado no caso paticula em que b = c = 0 e em que a = 1, assim a função em estudo seá a função quadática f (x) = x 2 que tem como gáfico epesentado na Figua 5.

23 11 Figua 5: Função Quadática Poposição 2.5. Se f : R R é a função f (x) = x 2, então F x0 () = + 2x 0. Fazendo a substituição de f (x) = x 2, podeá facilmente se veificado que: F x0 () = f (x 0 + ) f (x 0 ) = (x 0 + ) 2 x 2 0 = x x x 2 0 = 2x 0 + Em pimeio momento deve-se te sempe em mente o domínio da função F x0 (), onde se obseva que a função não está definida em = 0, e que po outo lado paa todo 0 te-se-á que F x0 () estaá bem definida, ou seja, a função petenceá aos eais. Desta foma suge a necessidade de se estuda o que ocoe com a função quando está nas poximidades de zeo. Consideando x 0 > 0 e > 0 seá feito um esboço do gáfico de F x0 () = 2x 0 + paa que assim se tenha uma melho visualiação e compeensão do compotamento da função. Figua 6: Função F () = 2x 0 +

24 12 Desta foma obseva-se que o ponto (0,2x 0 ) não faz pate do gáfico da função F x0 (), uma vez que foi obsevado que = 0 não petence ao domínio, todavia atavés de pocessos algébicos foi encontada uma função na qual todos os pontos do domínio de F x0 () também são comuns aos pontos de h() = 2x 0 +, exceto quando = 0 já que este ponto do domínio não está definido, po outo lado esta última tem a facilidade de tona mais agadável a análise do que ocoe com a função F x0 () nas poximidades de = 0, uma vez que nesta não há indeteminação em = 0. Assim, obseva-se po meio da Tabela 1 abaixo que quanto mais os valoes de se apoximam de 0 mais os valoes de F x0 () se apoximam de 2x 0 : F x0 () = f (x 0+) f (x 0 ) 1 2x x x x x F x0 () 2x 0 Tabela 1: Taxa de f (x) = x FUNÇÃO CÚBICA A função cúbica pode se definida como sendo a aplicação f : R R e tendo como ega de fomação f (x) = a.x 3 +bx 2 +cx+d. Veja na Figua 7 o gáfico de uma função cúbica. Figua 7: Função Cúbica

25 13 Poposição 2.6. Se f : R R é a função f (x) = x 3, então F x0 () = 3x x Atavés de manipulações algébicas ealizadas na F x0 () pode-se tabalha a equação inicial e chega a uma final na qual o seu manuseio seá bem mais simples. F x0 () = f (x 0 + ) f (x 0 ) = (x 0 + ) 3 x 3 0 = x x x x 3 0 = 3x x Obseve que inicialmente, F x0 () não está definida em = 0, de outa foma, paa todo 0 tem-se F x0 () petencente aos eais. Assim, avaliando o caso em que está nas poximidades de zeo. O gáfico da função F x0 () = 3x x pode se obsevado na Figua 8. Figua 8: Função F () Sobe o estudo do domínio e da imagem da função F x0 (), pode-se obseva que o ponto (0,3x 0 2 ) não faz pate do gáfico de F x0 (). Lançando os valoes paa, calculando F x0 () em uma tabela encontam-se váios dados que seguião ceta tendência de onde se pode

26 14 infei que ao passo que se apoxima de zeo, o valo da função se apoximaá de 3x 0 2. F x0 () = f (x 0+) f (x 0 ) 1 6x x x x x x x F x0 () 3x 2 0 Tabela 2: Taxa de f (x) = x FUNÇÃO EXPONENCIAL Chama-se de função exponencial a aplicação f : R R que associa cada númeo eal x R a um númeo a x R em que a > 0 e ainda a 1, cuja ega de fomação é f (x) = a x, neste momento só seá estudada a função exponencial, cuja base é o númeo de Eule e 2,718. A Figua 9 epesenta o gáfico da função exponencial. Figua 9: Função exponencial Poposição 2.7. Se f : R R é a função f (x) = e x, então F x0 () = ex 0(e 1). Efetuando manipulações algébicas em F x0 () como feito abaixo, pode-se simplifica a função encontando outa equivalente:

27 15 F x0 () = f (x 0 + ) f (x 0 ) = ex 0+ e x 0 = ex 0(e 1) Passando a um estudo mais numéico tomando alguns valoes paa x 0 convenientemente escolhidos paa facilita a análise. i No caso em que x 0 = 0 implicaá em F x0 () = (e 1) Fazendo o gáfico da função com auxílio de algum softwae, F x0 () seá mais fácil ve o que ocoe com a função nas poximidades de = 0 tonando mais clao o estudo. Figua 10: Função F x0 () Pelo gáfico obseva-se que a cuva se assemelha a uma função exponencial, analisando o que acontece com os valoes postos em uma planilha e analisando as poximidades de quando está póximo de zeo, F x0 () = (e 1) :

28 16 (e 1) 1 1, ,01 1, ,001 1, ,0001 1, F x0 () 1 Tabela 3: F x0 = (e 1). Analisando este valo pode-se conclui que quanto mais os valoes de se apoximam de zeo, mais F x0 () se apoxima de um valo póximo a 1, desta foma, veifica-se que apesa da função não esta definida em = 0, nas poximidades de 0 a função tem um deteminado compotamento, ou seja, assume valoes póximos, e cada vez mais póximos de 1. ii Fazendo o caso em que x 0 = 3 te-se-á F x0 () = e3 (e 1) Fazendo o gáfico da função F x0 () paa auxilia na visualização. Figua 11: Função F x0 () Pelo gáfico é possível obseva que a cuva se assemelha a uma função exponencial, veja o que acontece com os valoes postos em uma planilha e obseve o que ocoe com F x0 () quando está póximo de zeo:

29 17 e 3 (e 1) 1 34, ,1 21, ,01 20, ,001 20, , , F x0 () e 3 Tabela 4: F x0 () = e3 (e 1). Analisando este valo, conclui-se que quanto mais os valoes de se apoximam de zeo, mais F x0 () se apoxima de um deteminado valo que é e 3. iii No caso em que x 0 é fixo tem-se F x0 () = ex 0(e 1) Obsevando o que acontece com os valoes postos em uma planilha e analisando quando está póximo de zeo, F x0 () = e x 0 (e 1) : e x 0 (e 1) 1 e x 01, ,01 e x 01, ,001 e x 01, ,0001 e x 01, F e x 0 Tabela 5: F x0 () = e x 0 (e 1). Obsevando que quanto mais os valoes de se apoximam de zeo, mais F x0 () se apoxima de um deteminado valo que é e x 0.

30 FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL A função logaitmo está definida como sendo uma função cescente, na qual o domínio seão os eais positivos. Consideando a função f : R + R dada po f (x) = lnx, onde lnx = log e x e ainda não se esquecendo de que na função F x0 () sempe se tem 0 além de outos fatos a se destacados, ve o gáfico da função dada na Figua 12. Figua 12: Função logaítmica com base e Uma vez visualizado o gáfico da função f (x) seá feito um tabalho algébico, paa que po meio de manipulações seja possível enconta uma equação que contenha todas as soluções da equação inicial. Poposição 2.8. Se f : R + R é a função f (x) = lnx, então. ( F x0 () = ln 1 + ) 1 x 0 Substituindo f (x) = lnx na equação 5, fica fácil ve que: F x0 () = f (x 0 + ) f (x 0 ) = ln(x 0 + ) ln(x 0 ) ( ) ln x0 + x 0 = ( = ln 1 + ) 1 x 0

31 19 Fixando o valo de x 0 e fazendo vaia, podeá se constuída a tabela de valoes abaixo da função F x0 () quando x 0 = 1, paa tona mais simples os cálculos: Figua 13: Função F x0 () Analisando o gáfico nas poximidades de = 0 conclui-se que F x0 () = 1, é possível compova este fato assumindo alguns valoes. ( ) 1 ln 1 + x , , ,1 0, ,01 0, ,001 0, ,0001 0, F x0 () 1 ( ) 1 Tabela 6: F x0 () = ln 1 + x 0. Genealizando a equação acima fazendo uma mudança de vaiável, chamando convenientemente u = x 0. F x0 (u) = ln(1 + u) 1 u.x 0 = 1 x 0 ln(1 + u) 1 u

32 20 Analisando agoa diante da nova vaiável a função modificada F x0 (u) quando u toma valoes póximos de zeo, lembando-se do fato de x 0 se fixo então quando está póximo de zeo o valo de u está póximo de zeo, tomando alguns valoes de u pequenos consegue-se a tabela abaixo: u 1 x0 ln(1 + u) 1 u 1 0, x 1 0 0,1 0, x 1 0 0,01 0, x 1 0 0,001 0, x 1 0 0,0001 0, x F u () x 1 0 Tabela 7: F u () = 1 x 0 ln(1 + u) 1 u 2.7 FUNÇÃO RECÍPROCA Paa o desenvolvimento das idéias contidas nas seções seguintes faz-se necessáio defini o que é uma função ecípoca: Definição 2.9. Seja f (x) uma função em que x R, f (x) 0, chama-se função ecípoca a função g(x) tal que: g(x) = 1 f (x). Consideando a função f : R R, dada po f (x) = 1 x, obseve que x = 0 não faz pate do domínio desta função, pois não está definida em tal ponto e que paa todos os valoes de x 0 a função está bem definida. Veja o gáfico da Figua 14.

33 21 Figua 14: Função Identidade Recípoca de Pimeio Gau Poposição Se f : R + R é a função f (x) = 1/x, então 1 F x0 () = x 0 (x 0 + ) Substituindo f (x) = 1/x 2 na equação 5 note que: F x0 () = f (x 0 + ) f (x 0 ) = 1 x x 0 x 0 x 0 x 0 (x 0 +) = 1 = x 0 (x 0 + ) Substituindo na tabela alguns valoes:

34 22 1 x 0 (x 0 +) 1 1 x 2 0 +x x x x x x x F x0 () 1 x 2 0 Tabela 8: F x0 () = 1 x 0 (x 0 +) Foi dito que a função inicial 0 e na função final podeá se zeo, e ainda que paa todos os valoes de x 0 a função inicial tonaá valoes iguais à função final, pode-se afima que 0 F x0 () 1 x0 2. Consideando x 0 > 0, pode se feito o esboço do gáfico da função F x0 () epesentado na Figua 15 assim analisando o compotamento da função. Figua 15: Função F x0 () 2.8 FUNÇÃO RECÍPROCA DE SEGUNDO GRAU Neste ponto seá analisada a função em que elaciona a cada x R (com x 0) ao númeo 1 R, ou seja, seá a aplicação f : R R, com ega de fomação f (x) = 1. Mais x 2 x 2 uma vez, o objetivo seá enconta F x0 () lembando que 0. Veja o gáfico da função na Figua 16.

35 23 Figua 16: Função f (x) = 1 x 2 Poposição Se f : R + R é a função f (x) = 1/x 2, então F x0 () = 2x 0 + x0 2(x 0 ) 2 Substituindo f (x) = 1/x 2 na equação 5 note que: F x0 () = f (x 0 + ) f (x 0 ) = 1 (x 0 +) 2 1 x 2 0 = x 2 0 x2 0 2x 0 2 x 2 0 (x 0 ) 2 = 2x 0 + x 2 0 (x 0 ) 2 claa. Substituindo na tabela pode-se estuda o compotamento da função de foma mais 2x 0+ x 4 0 2x3 0 +x x 0+ x 4 0 2x x x x x 0 + x x x 0 + x x F x0 () 1 x 3 0 Tabela 9: F x0 () = 2x 0+ x 4 0 2x Como já obsevado anteiomente após o tato algébico as duas funções fonecem os mesmos esultados difeenciando-se apenas pelo fato da pimeia não esta definida em = 0 enquanto a segunda função está bem definida neste valo do domínio. Assim, pode-se afima

36 24 que, quando 0 tem-se que 0 F x0 () 2 x0 3. Taçando o gáfico se tona mais claa esta obsevação: Figua 17: Função F x0 () 2.9 FUNÇÃO RECÍPROCA DE TERCEIRO GRAU Seja a função f : R R, com lei de fomação f (x) = 1 x 3, lembando que x = 0 não faz pate do domínio desta função, e que paa todos os outos valoes de x 0 a função está bem definida, confome gáfico epesentado na Figua 18. Figua 18: Função F x0 () Poposição Se f : R + R é a função f (x) = 1, então x 2 F x0 () = 2x 0 + x0 2(x 0 ) 2

37 25 Substituindo f (x) = 1/x 2 na equação 5 note que: F x0 () = f (x 0 + ) f (x 0 ) 1 1 (x 0 +) = 3 x0 3 = x3 0 x3 0 3x x = 3x x x0 3(x 0 + ) 3 Como já obsevado, após o tato algébico as duas funções fonecem os mesmos esultados difeenciando-se apenas pelo fato da pimeia não esta definida em = 0 enquanto a segunda função está bem definida neste valo do domínio. Assim, obseva-se que quando 0 implica em F x0 () 3. Taçando o gáfico se tona mais claa esta obsevação. x0 4 Figua 19: Função F 1 () 2.10 FUNÇÃO SENO Seja f : R R a função seno que associa a cada x R a um y [ 1,1], e dada pela lei de fomação f (x) = senx. O gáfico da função seno está epesentado na Figua 20.

38 26 Figua 20: Função f (x) = senx Poposição Se f : R R é a função f (x) = senx, então F x0 () = sen ( ) sen cosx 0 senx 0 cos + 1) Substituindo f (x) = senx na equação 5, faz-se: F x0 () = sen(x 0 + ) senx 0 = senx 0 cos + sen cosx 0 senx 0 = cosx 0 sen = cosx 0 sen = cosx 0 sen + senx 0 cos 1 + senx 0 cos 1 + senx 0 cos 2 1 (cos + 1) cos + 1 cos + 1 sen sen 2 = cosx 0 senx 0 (cos + 1) = sen ( ) sen cosx 0 senx 0 cos + 1) Passando a analisa alguns valoes específicos paa x 0 especificamente os ângulos notáveis enconta-se: i Analisando quando x 0 = π 6 : Fazendo o gáfico da função F π 6 () = sen ( cos π ) 6 senπ sen : 6 cos + 1)

39 27 Figua 21: F π 6 () Substituindo alguns valoes paa e constuindo uma tabela, pode-se analisa melho o compotamento da função. F π 6 () 1 0, ,1 0, ,01 0, ,001 0, F x0 () 3 2 Tabela 10: Função F π 6 () quando f (x) = senx ii Tomando x 0 = π 4 : Taçando o gáfico da função F π 4 () paa melho análise da situação em que se apesenta uma melho visualização do compotamento da função.

40 28 Figua 22: Função F π 4 () Substituindo alguns valoes paa e montando uma tabela paa uma melho epesentação do compotamento da função. F π 4 () 1 0, ,1 0, ,01 0, ,001 0, F x0 () 2 2 Tabela 11: Função F π 4 () quando f (x) = senx 0 iii Tomando x 0 = π 3, pode-se analisa: Fazendo o gáfico de F π 3 ():

41 29 Figua 23: Função F π 3 () Substituindo alguns valoes paa e montando a tabela abaixo: F π 3 () 1 0, ,1 0, ,01 0, ,001 0, F π Tabela 12: Função F π 3 () quando f (x) = senx 0 iv Tomando x = x 0, pode-se analisa o compotamento da função de foma mais ampla, tomando os valoes de, substituindo na expessão e montando uma tabela enconta-se: F x0 () 0, , cosx 0 0, senx 0 0,1 0, cosx 0 0, senx 0 0,01 0, cosx 0 0, senx 0 0,001 0, cosx 0 0,0005senx F x0 () cosx 0 Tabela 13: Função F x0 () quando f (x) = senx 0

42 30 Pode-se conclui que nas poximidades de = 0 a função F x0 () tomaá valoes muito póximos de F x0 () = cosx FUNÇÃO COSSENO Seja f : R R a função cosseno que associa a cada x R a um cosx [ 1,1] tendo como ega de fomação f (x) = cosx. Veja o gáfico da função F x0 () exposto na Figua 24. Figua 24: Função f (x) = cosx Poposição Se f : R R é a função f (x) = cosx, então F x0 () = sen ( ) sen senx 0 + cosx 0 cos + 1) Substituindo f (x) = cos x na equação 5, faz-se: F xx0 () = cos(x 0 + ) cosx 0 = cosx 0 cos senx 0 sen cosx 0 = senx 0 sen = senx 0 sen = senx 0 sen + cosx 0 cos 1 + cosx 0 cos 1 + cosx 0 cos 2 1 (cosx 0 + 1) cosx cosx sen sen 2 = senx 0 cosx 0 (cosx 0 + 1) = sen ( ) sen senx 0 + cosx 0 cosx 0 + 1

43 31 i Analisando quando x 0 = π 6 : Fazendo o gáfico da função F π 6 (). Figua 25: Função F π 6 () Colocando os dados em uma tabela e vaiando os valoes de. F π , , ,1-0, ,01-0, ,001-0, F π 6 () 3 2 Tabela 14: Função F π 6 () quando f (x) = cosx ii Analisando quando x = π 4 : Fazendo o gáfico da função F π 4 ()

44 32 Figua 26: F π 4 () Montando uma tabela com alguns valoes paa pode se feita a tabela abaixo. F π 4 () 10-0, , ,1-0, ,01-0, ,001-0, F π 4 () 2 2 Tabela 15: Função F π 4 () quando f (x) = cosx iii Analisando quando x = π 3. Fazendo o gáfico da função F π 3 () confome Figua 27. Figua 27: Função F π 3 ()

45 33 Montando uma tabela com alguns valoes paa pode se feita a tabela abaixo. F π 3 () 1-0, ,1-0, ,01-0, ,001-0, F π 3 () 2 1 Tabela 16: Função F π 3 () quando f (x) = cos(x) iv Analisando quando x = x 0 : Fazendo a substituição de alguns valoes de, é possível monta a tabela abaixo paa facilita a análise do compotamento da função nos valoes de ; cosx 0 cos 1 senx 0 sen 1 0, cosx 0 0, senx 0 0,1 0, cosx 0 0, senx 0 0,01 0, cosx 0 0, senx 0. 0 F x0 () senx 0 Tabela 17: Função F x0 () quando f (x) = cosx. Paa efeitos páticos pode-se apoxima paa valoes muitos pequenos de,. F x0 () = senx 0

46 34 3 APLICAÇÕES E FORMALIZAÇÃO 3.1 RETA TANGENTE Seja C uma cuva qualque definida po uma função f : R R e A(x 0,y 0 ) um ponto petencente à cuva, o objetivo desta seção seá enconta a equação da eta : y = ax + b tangente à cuva C no ponto A. Paa tanto, é sabido que paa se enconta a equação de uma eta se deve te como infomações mínimas conhecidas as que se enquadam ao menos em uma das hipóteses a segui: i Conhece dois pontos distintos; ii Conhece pelo menos um ponto e o coeficiente de inclinação da eta; Obseva-se que as infomações ofeecidas não se enquadam em nenhuma destas duas hipóteses uma vez que foi dada apenas a equação da cuva, e o ponto petencente à cuva pelo qual a eta passa. Assim, à pimeia vista, não é possível calcula a equação da eta, po outo lado, seá possível estimá-la? Sendo possível estimá-la, como podeia se enconta a melho estimativa? Visando enconta estimativas cada vez melhoes é que se sustentaá o estudo neste momento. Tendo em mente este fato, a pincípio não é possível enconta tal eta mas po outo lado é possível estabelece uma otina que foneceá uma sucessão de apoximações do coeficiente de inclinação, quando tal otina fo estabelecida, seá possível então analisa qual coeficiente seá o mais póximo do coeficiente eal de inclinação da eta tangente no ponto. Paa faze apoximações sabendo que a eta deveá passa pelo ponto dado, fixando o ponto da cuva A(x 0, f (x 0 ) e toma outos pontos da cuva avaliando a intefeência ente o ponto escolhido e os seus efeitos na eta, desta foma é possível enconta o coeficiente a, seja A i o ponto escolhido epesentado po A i (x i,y i ). Assim, de modo geal, paa enconta o coeficiente da eta que passa pelo ponto A e A i deveá se esolvido o sistema:

47 35 { f (x0 ) = a.x 0 + b f (x i ) = a.x i + b Solucionando o sistema enconta-se o valo a = f (x i) f (x 0 ) x i x 0, chamando a difeença x i x 0 de é possível eesceve o valo de a como sendo uma função de. a() = f (x 0 + ) f (x 0 ) Assim pode-se defini as estimativas do coeficiente de inclinação como sendo a taxa de vaiação da função f (x) em elação ao ponto x 0. Obsevando que a eta tangente toca a cuva em um único ponto, então quanto mais o valo do diminui mais o coeficiente estimado se tonaá póximo do coeficiente eal, este valo pode se tona tão póximo de zeo quanto se deseja a exemplo disto basta obseva a popula sequência de valoes que é decescente e sempe maio que zeo. 1, 1 10, , ,... De modo intuitivo tem-se que 0 F () = a() l e em símbolos matemáticos, sem muitas fomalidades, chama-se este fato ilustado po lim a() = l. 0 Veja o gáfico, onde f é a cuva, A é o ponto dado, é a eta tangente ao ponto, e as demais etas são as apoximações sucessivas. Obseve que quanto mais os pontos estão póximos de A mais a eta estimada está póxima da eta eal: Figua 28: Apoximação da tangente po secantes

48 36 Exemplo 3.1. Seja C uma semicicunfeência com cento na oigem e de aio 2 contida no 1º e 2º quadante, o objetivo seá enconta o coeficiente de inclinação da eta tangente a esta cuva quando x 1 = 1, obsevando que a equação desta semicicunfeência seá C : y = 4 x 2. Paa enconta o coeficiente de inclinação da eta tangente à cuva somente sabendo que x 1 = 1, não seá azoável, mas po outo lado, sabendo que a eta tangente a uma cicunfeência a toca em somente um ponto, diante deste fato seá feita uma sucessão de apoximações até enconta tal coeficiente. Como a eta deveá toca a cuva em um só ponto, seão tomados dois pontos, P(1, 3), pelo qual a eta deve obigatoiamente passa, e um outo ponto que esteja nas poximidades que podeá se escolhido aleatoiamente, e seá chamado o ponto Q(1 +, 4 (1 + ) 2, não se esquecendo que o valo de podeá se aleatoiamente tão póximo de zeo quanto se deseje, efetuando os cálculos: { 4 (1 + ) 2 = (1 + ).a + b 3 = a + b Das equações acima é extaído o valo do coeficiente de inclinação da eta tangente: a() = 4 (1 + ) 2 3 Sabe-se que a distância ente x 2 e x 1 deve se cada vez meno, assim seá eduzido gadativamente e a sua influência no compotamento de a() analisada. Obseve a Tabela 1. 4 (1+) , ,1-0, ,01-0, Tabela 18: a() 3 3 Fazendo um tato algébico, assim como no capítulo anteio, seá conseguida uma equação que apesa de se difeente, fonece paa todo 0 os mesmos valoes de a() com a

49 37 difeença de não te a estição em seu domínio de 0, assim como foi definido intuitivamente: 4 (1 + ) a() = (1 + ) = (1 + ) (1 + ) = ( 4 (1 + ) 2 + 3) 2 + = 4 (1 + ) Chama-se de valo limite de f quando x tende a a ao compotamento da função quando x está se apoximando do valo a sem assumi-lo, ou seja, quando x se apoxima de a a função teá um ceto compotamento, uma ceta tendência e a este compotamento é que se chama valo limite l de f. Em símbolos: lim f (x) = l x a Como a equação é válida paa todo 0, é possível tona aleatoiamente póximo de zeo, e isto implicaá que a() se apoxima de 3 o quanto se deseje, contudo sem sêlo, paa tanto diz-se que é o valo limite de a() quando tende a 0. Matematicamente expessa-se: a = lim a() 0 = (1 + ) = lim = 3 O compotamento da função quando toma valoes cada vez mais póximos de zeo, é um caso impotante em que se encontam váias aplicações. Sem muitas fomalidades este valo paa o qual F x0 () se apoxima quando se apoxima de zeo é chamado de Deivada da função f no ponto x 0 e seá epesentado po D x0 ( f ), em símbolos: D x0 ( f ) = lim 0 F x0 () = lim 0 a() = lim 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) (22) Após encontado o valo do coeficiente a, se tona tivial enconta a equação da eta

50 38 tangente uma vez que a eta passa pelo ponto A(1, 3). Fazendo: 3 = 1 (3) + b b = y = 3 x Ainda com espeito ao mesmo Exemplo 1, o mesmo pode se esolvido com o auxilio de softwaes, seá utilizado paa facilita os cálculos e taça os gáficos, obseve que o pocedimento feito no Maxima é o mesmo já explicado, com a única difeença da facilidade de manuseio e po não te que dispende esfoços em cálculos. Assim, na Figua 29 foi feito o gáfico da equação da eta consideando o pimeio caso expesso na tabela, em que = 1. Figua 29: Pimeia Apoximação Pela pimeia apoximação obseva-se que foi uma apoximação ainda gosseia, cotando a cuva em dois pontos bem distantes. Na Figua 30 foi feita a apoximação utilizando o segundo valo da tabela = 0.1.

51 39 Figua 30: Segunda Apoximação Pela segunda apoximação obseva-se que foi uma apoximação muito melho, cotando a cuva em dois pontos póximos quase indistinguíveis. Na Figua 31 foi feita a apoximação utilizando o teceio valo da tabela = Figua 31: Teceia Apoximação Pela teceia apoximação obseva-se que foi uma apoximação excelente que visualmente não se distingue os dois pontos escolhidos.

52 40 Exemplo 3.2. Seja uma cuva definida pela função f (x) = x 3 5x + 9, estime a eta tangente à cuva no ponto x 0 = 1, tome = 1, = 0.5 e = 0.1, finalmente conclua qual a equação povável da eta tangente. Na Figua 32 está epesentado o gáfico da eta estimada com o valo paa = 1, obseve que os paâmetos a e b ficam calculados em 2 e 3 apoximadamente paa este valo de. Figua 32: Pimeia Apoximação Obseva-se que o gáfico da Pimeia Apoximação é ainda muito gosseio, com a eta cotando a cuva em dois pontos bem distantes. Na Figua 33, foi feita a apoximação paa = 0,5, obseve que paa este valo de encontou-se paa os paâmetos de a e b, 0,25 e 5,25 espectivamente.

53 41 Figua 33: Segunda Apoximação Na Figua 33 obseva-se que na apoximação a eta cota dois pontos mais póximos, mais ainda é visível que pode se melhoado em muito. Na Figua 34 foi escolhido o valo = 0,1 e foi conseguido em vitude disto os valoes a = 1,68 e b = 6,68. Figua 34: Teceia Apoximação Nesta Figua obseva-se que a qualidade da eta já é muito melho, com uma distância ente os dois pontos bem eduzidas paticamente impeceptível. Na Figua 35 foi estimada a

54 42 eta a pati de = 0,01 e como consequência foi encontado a = 1,99 e b = 6,99. Figua 35: Quata Apoximação Com o auxílio deste último gáfico, obseva-se que a apoximação é muito boa e olhando paa a sequência de valoes de a e de b obseva-se que os valoes paecem tende a = 2 e b = 7. Assim a escolha da equação da eta mais sugestiva é y = 2x + 7 Já foi definida a deivada na equação (3.3) então a pati das poposições colocadas no capítulo anteio é fácil veifica a poposição que se segue de modo intuitivo. Poposição 3.3. As deivadas das funções elementaes seão: 1. D x0 ( f (x) + g(x)) = D x0 ( f (x)) + D x0 (g(x)); 2. D x0 (c. f (x)) = c.d x0 ( f (x)); 3. f (x) = a D x0 (a) = 0; 4. f (x) = x D x0 (x) = 1; 5. f (x) = x 2 D x0 (x 2 ) = 2x 0 ; 6. f (x) = x 3 D x0 (x 3 ) = 3x 2 0 ;

55 43 7. f (x) = e x D x0 (e x ) = e x ; 8. f (x) = lnx D x0 (lnx) = 1 x ; 9. f (x) = 1 x D x 0 ( 1 x ) = 1 x 0 2 ; 10. f (x) = 1 x 2 D x0 ( 1 x 2 ) = 2 x 0 3 ; 11. f (x) = 1 x 3 D x0 ( 1 x 3 ) = 3 x 0? ; 12. f (x) = senx D x0 (senx) = cosx; 13. f (x) = cosx D x0 (senx) = senx; A veificação dessa poposição já foi toda ealizada de modo intuitivo no capítulo anteio, com bastante substituições numéicas e oganizadas em tabelas, assim neste momento apenas foam oganizadas em uma sequência paa melho utilização nos exemplos que se seguião INTERVALO DE CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO DAS FUNÇÕES Seja uma cuva M definida po uma função f : R R, sem fomalidades ou demonstações a função f seá cescente ou decescente segundo o coeficiente de inclinação da eta tangente à cuva naquele ponto. Assim, se em um gáfico de uma função qualque o coeficiente da eta tangente à cuva M em um deteminado ponto é positivo, é poque a função é cescente naquele ponto. Se o coeficiente da eta assume valo negativo é poque a função é decescente, e se a função ecebe 0 é poque naquele ponto a eta tangente é paalela ao eixo dos x. Assim, paece simples enconta os pontos em que a função é cescente ou decescente, e após conseguido estes valoes se tona mais fácil esboça o gáfico de divesas cuvas. a = lim F x0 > 0 0 Cescente a = lim F x0 = 0 0 Paalela ao eixo x (25) a = lim F x0 < 0 0 Decescente Exemplo 3.4. Seja a função f : R R dada pela lei de fomação f (x) = x 2 2x + 1, analise como a função se compota, quais os intevalos de cescimento e decescimento.

56 44 Efetuando os cálculos paa se enconta D x0 ( f (x)) pode se feito com base da pate 1 e 2 da poposição 3.3 : D x0 ( f (x)) = D x0 (x 2 2x + 1) = D x0 (x 2 ) D x0 (2x) + D x0 (1) = D x0 (x 2 ) 2D x0 (x) + D x0 (1) Com base na poposição 3.3 pate 3, 4 e 5 tem-se: D x0 ( f (x)) = D x0 (x 2 ) 2D x0 (x) + D x0 (1) = 2x 0 2 i. A função seá cescente quando a > 0, assim ealizando os cálculos e veificando em que condições a função seá cescente. 2x 0 2 > 0 x 0 > 1 ii. A eta tangente à cuva seá paalela ao eixo x quando a = 0 e este fato seá elevante no póximo tópico paa descobi máximos ou mínimos em intevalos: 2x 0 2 = 0 x 0 = 1 iii. A função seá decescente quando a < 0, com a efetuação dos cálculos pode-se estabelece as condições, os intevalos em que a função seá decescente. 2x 0 2 < 0 x 0 < 1 O esboço do gáfico pode se obsevado na Figua 36 podendo se notado que ealmente tudo ocoe como foi pontuado.

57 45 Figua 36: Função f (x) = x 2 2x + 1 Exemplo 3.5. Seja a função f : R R dada pela lei de fomação f (x) = x 3 27x, analise o seu compotamento ao longo do eixo x caacteizando os intevalos em que a função seá cescente ou decescente. Efetuando os cálculos paa se enconta D x0 ( f (x)) pode se feito com base da pate 1 e 2 da poposição 3.3: D x0 ( f (x)) = D x0 (x 3 27x) = D x0 (x 3 ) D x0 (27x) = D x0 (x 3 ) 27D x0 (x) Com base na poposição 3.3 pate 3, 4 e 5 tem-se: = D x0 (x 3 ) 27D x0 (x) = 3x i Paa a função se cescente deve-se te a > 0, analisando a função pode-se enconta os intevalos de x em que isso ocoeá. 3x > 0 x > 0 (x 0 3)(x 0 + 3) > 0

58 46 Neste momento analisando que: a) Se x 0 3 > 0 e x > 0 o poduto seá maio que zeo e a condição sendo satisfeita enconta-se que x 0 > 3 e x 0 > 3 de onde esultaá pela inteseção dos intevalos em x 0 > 3, ou: b) Po outo lado se x 0 3 < 0 e x < 0 também se tem que o poduto seá maio que zeo, de onde se extai que x 0 < 3 e que x 0 < 3 o que esulta da inteseção dos intevalos em x 0 < 3. ii Quando a eta tangente é paalela ao eixo dos x tem-se que a = 0: x = 0 x 2 0 = 9 x 0 = 3 ou x 0 = 3 iii A função seá decescente quando quando a < 0, efetuando alguns cálculos e algumas análises pode-se defini o intevalo em que a função seá decescente. 3x < 0 x0 2 9 < 0 (x 0 3)(x 0 + 3) < 0 Assim é possível subdividi nos seguintes casos: a) Se x 0 3 < 0 e x > o poduto seá meno que zeo e assim ocoeá x 0 < 3 e x 0 > 3 o que esulta em 3 < x 0 < 3; b) Po outo lado se fo x 0 3 > 0 e x < 0 o poduto seá negativo de onde se extai que x 0 > 3 e x 0 < 3 o que esulta em uma solução inexistente nos númeos eais. Fazendo o esboço do gáfico:

59 47 Figua 37: Função f (x) = x 3 27x Exemplo 3.6. Seja a função f : R R dada pela lei de fomação f (x) = cos(3x), analise o compotamento a espeito do cescimento e decescimento da função lembando que a função cosseno é peiódica de peíodo 2π 3 assim analise pelo menos o intevalo de compimento 2π 3 : a = cos(3(x 0 + )) cos(3x 0 ) lim 0 = cos(3x 0 + 3) cos(3x 0 ) lim 0 = cos(3x 0 )cos(3) sen(3x 0 )sen(3) cos(3x 0 ) lim 0 = lim cos(3x 0 ) cos(3) 1 sen(3x 0 ) sen(3) 0 Fazendo uma substituição de vaiáveis se tonaá mais fácil soluciona o limite chamando u=3 quando u 0. a = lim cos(3x 0 ) cos(u) 1 u u 0 cos(u) 1 = 3cos(3x 0 ) lim u 0 u = 3. 3 sen(u) sen(3x 0) u 3 sen(u) 3sen(3x 0 ) lim u 0 u ( cos(u) 1 sen(u) cos(3x 0 ) lim sen(3x 0 ) lim u 0 u u 0 u ) i O limite de senu lim u 0 u pode se calculado intuitivamente mediante o auxílio do Maxima, ve figua abaixo.

60 48 ii O limite de cos(u) 1 lim u 0 u pode se calculado intuitivamente mediante o auxílio do Maxima, ve figua abaixo. Desta foma afima-se que a = lim cos(3x 0 ) cos(3) 1 sen(3x 0 ) sen(3) = 3senx 0 0 i A função seá cescente quando a > 0 potanto isto ocoeá no intevalo analisado nos seguintes techos: 3sen3x 0 > 0 sen3x 0 < ( 0 π x 0 3, 2π ) 3 ii A eta tangente é paalela ao eixo x quando a = 0, ou seja:

61 49 3sen3x 0 = 0 sen3x 0 = 0 x 0 = π 3 ou x 0 = 2π 3 iii A função seá decescente quando a < 0, assim: 3sen3x 0 < 0 O esboço do gáfico da função dada é: sen3x 0 > 0 ( x 0 0, π ) 3 Figua 38: Função f (x) = cos(3x) VALOR MÁXIMO E MÍNIMO DE FUNÇÕES Sendo uma cuva M, definida po uma função f : R R, a = D x0 ( f ) é o coeficiente da eta tangente à função f no ponto x 0, foi definidido que se a < 0 então a função seá decescente e se a > 0 então a função seá cescente. Consequentemente se a = 0, po um lado a < 0 e po outo a > 0, ou vice-vesa, então existiá um intevalo I contendo um x i tal que ele seja uma aiz de D xi ( f ) = 0, de foma que só ocoeá umas das duas possibilidades paa f (x i ): i f (x i ) seá o maio valo do intevalo; ii f (x i ) seá o meno valo da função no intevalo. Em símbolos matemáticos:

62 50 i) x i R; x (x i,x + ), f (x) f (x i ) ii) x i R; x (x,x + ), f (x) f (m) Gaficamente como já foi definido, que a eta tangente naquele ponto seá paalela ao eixo x, e potanto, paa todo valo de x petencente ao intevalo I com x m, a cuva M estaá abaixo ou acima da eta. Exemplo 3.7. Uma caga de dinamite lança uma peda pesada paa cima com uma velocidade de lançamento de 50m/s (ceca de 180km/h). O deslocamento vetical pecoido pela peda pode se descito pela função s(t) = 50t 5t 2 metos após t segundos. Qual a altua máxima atingida pela peda? Analisando a função, fica simples enconta a altua máxima, e, paa tanto deve-se enconta D t0 (s(t)) = 0, pois seá neste ponto que a função nos taá um valo máximo ou mínimo. Assim: D t0 (s(t)) = D t0 (50t 5t 3 ) = D t0 (50t) D t0 (5t 3 ) = 50D t0 (t) 5D t0 (t 3 ) = 50 5.(2t) = 50 10t = 0 t = 5 s Substituindo na função s(t) enconta-se que o maio valo de s(t). s(5) = = = 125 m Podeia sugi a dúvida a espeito da ceteza aceca de que o valo encontado é o máximo no intevalo ou se o mínimo no intevalo. Como sabe se o valo encontado é a altua máxima ou mínima? É sabido que da equação encontam-se todos os valoes máximos ou mínimos, paa caacteizá-los basta toma um ponto à dieita e o outo à esqueda contidos no intevalo, assim, consegue-se facilmente caacteizá-lo. Tal maneia, tem uma vantagem sobe os métodos empegados comumente no ensino médio, possibilita que sejam encontados intevalos onde tenham máximos ou mínimos não só em funções do segundo gau, mas sim em

63 51 qualque tipo de função empegada no ensino médio, desde que tomados os devidos cuidados. Gaficamente: Figua 39: Função da altua s(t) Exemplo 3.8. Suponha que o custo seja c(x) = x 3 6x x dólaes paa poduzi x aquecedoes quando são poduzidos de 0 a 15 unidade e que (x) = x 3 3x epesente a eceita da venda de x aquecedoes. Supondo que todos os aquecedoes poduzidos sejam vendidos, qual é o númeo mínimo de aquecedoes po dia que deveei poduzi paa que não tenha pejuízo? O luco seá dado subtaindo o custo da eceita, assim: l(x) = (x) c(x) = 3x 2 15x + 12 Sabendo que a l (x 0 ) = 0 tonaá o meno ou maio valo da função, desta foma pode-se possegui no cálculos. Posseguindo com os pocedimentos já ealizados: D x0 (l(x)) = 3D x0 (x 2 ) 15D x0 (x) + D x0 (12) = 6x 0 15 = 0 x 0 2,5 Assim, a quantidade mínima que deveá se poduzida de aquecedoes seá 3, já que esta é claamente uma função dos natuais nos eais. Gaficamente:

64 52 Figua 40: Função luco l(x) Exemplo 3.9. Enconte os intevalos de x nos quais a função f (x) = 4x 3 6x 2 + 3x 2 é cescente ou decescente, os pontos de máximos ou de mínimos e conclua que esta função tem uma aiz eal ente 1 e 2. Calculando a deivada. D x0 ( f (x)) = D(4x 3 6x 2 + 3x 2) = 4D(x 3 ) 6D(x 2 ) + 3D(x) D(2) = 12x 2 12x + 3 i) A função seá cescente quando a > 0, desta foma: 0 < 12x x < 4x 2 0 4x < (2x 0 1)(2x 0 1) Seá maio que zeo sempe que ambos, (2x 0 1) e (2x 0 1), foem positivos assim x 0 > 1 2 o que esulta em x 0 > 1 2. ii) A função seá decescente quando a função a < 0, assim, seá meno que zeo sempe que (2x 0 1) > 0 e (2x 0 1) < 0 assim x 0 > 1 2 e x 0 < 1 2 que pela inteseção dos conjuntos esulta em. iii) Assim, em todos os pontos a função seá cescente e conteá valoes positivos e valoes

65 53 negativos, como a função é definida nos eais e é sobejetiva, afima-se que esta função possui uma aiz eal, fazendo x = 1 enconta-se f (1) = 1 e fazendo x = 2 enconta-se f (2) = 12 desta foma, existe um x i [1,2] tal que f (x i ) = TAXA DE VARIAÇÃO E MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO A velocidade média em alguns livos de física do ensino básico é definida como abaixo descito: A elação ente a vaiação de espaço de um copo e a coespondente vaiação de tempo é denominada velocidade media: v m = s t em que s = s 2 s 1 e t = t 2 t 1. (UENO, 2006, p. 16) É fácil ve que esta definição taz o mesmo conceito da definição de taxa de vaição que foi definida anteiomente, mas este conceito, taxa de vaiação, é muito pouco exploado no ensino de matemática do ensino médio apesa destes conceitos constituíem uma boa base paa todo o estudo de funções popiciando váios ganchos que infelizmente não são feitos. Como pode se obsevado a espeito de taxa de vaiação pode-se ealiza estudos de domínio, imagem, máximos e mínimos, e tendo ainda outas infinitas possibilidades de estudo sendo que, no entanto, nem mesmo de foma intuitiva este tema é abodado no ensino médio. Sabe-se que no Movimento Unifomemente Vaiado a equação do espaço é definido po s(t) = mt 2 + nt + c, onde s é o espaço e está definido em função do tempo t. Obseve como Paaná (2004) define velocidade instantânea: Um valo de t muito pequeno epesenta um intevalo de tempo póximo de 0. A velocidade instantânea pode se expessa po s v = lim t 0 t, ou seja, a velocidade escala instantânea é o limite da velocidade escala media quando o intevalo de tempo tende a 0. (PARANÁ, 2004, p. 16) Assim, se o objetivo fo enconta a velocidade instantânea se deve apenas enconta a taxa de vaiação instantânea, ou seja, enconta a deivada da função s(t). Realizando este pocesso: v(t 0 ) = D t0 (s(t)) = md t0 (t 2 ) + nd t0 (t) + D t0 (c) = 2mt 0 + n

66 54 Pode-se ainda enconta o valo da aceleação instantânea a(t) uma vez que esta é definida pela equação: v a(t 0 ) = lim t 0 t Repetindo o mesmo pocesso aplicado na anteio: a(t) = D t0 (v) = D t0 (2mt 0 + ) = 2mD t0 (t 0 ) + D t0 () = 2m Exemplo A lei de movimento do ponto é s(t) = 2t 2 + 3t + 5, onde a distância s é dada em centímetos e o tempo t, em segundos. Qual seá a velocidade média do ponto duante o intevalo de tempo de t = 1 a t = 5? v m = s(t + ) s(t) = ( ) 4 = 15 cm/s Exemplo A lei de movimento do ponto é s(t) = 5t 2, onde a distância s é dada em metos e o tempo t, em segundos. Acha a velocidade de movimento no instante t = 3. v(3) = 5(3 + ) lim 0 = lim 0 = 30 v(3s) = 30m/s Exemplo Suponha que uma bola é solta a pati do ponto de obsevação no alto da Toe CN em Toonto, 450m acima do solo. Enconte a velocidade da bola após 5 segundos. Das leis da física tem-se que a equação hoáia dos espaços é dada po s(t) = s 0 + v 0.t + at2 2 onde s 0 é o espaço inicial, t o tempo, v 0 é a velocidade inicial e a é a aceleação.

67 55 Montando a equação da função s(t) que seá s(t) = t 2. Sabendo que a velocidade seá a deivada de s(t) enconta-se que v(t) = 9.8t o que esulta que quando o tempo é 5 segundos a velocidade seá apoximadamente 49m/s. 3.3 MÉTODOS DE NEWTON Seja uma cuva R definida pela função f : R R, obseve na Figua 41 que a eta tangente à cuva no ponto x k cota o eixo x em x k+1 que é um valo que está ente x k e a sua aiz, quando tomada a tangente à cuva com base no ponto x k+1 obtém-se um valo ainda mais póximo da aiz da equação, fazendo isso ecusivamente consegue-se obte valoes cada vez mais póximos da aiz da função. Figua 41: Método de Newton A equação da eta pode se dada po y y 0 = m(x x 0 ), a equação que passa po (x k, f (x k )) seá da mesma foma, onde m = a f (x k ), assim: y f (x k ) = a f (x k ).(x x k ) Como é sabido que esta eta passa também pelo ponto (x k+1,0), pode se feito: x n+1 = x n f (x n f (x n ) Com base neste dispositivo pático é possível estima com ceta pecisão e apidez aízes de equações, e ainda, tal dispositivo pemite enconta aízes quadadas e cúbicas com ceta facilidade. Veja o exemplo:

68 56 Exemplo Estime a aiz quadada de 7 com apoximação de duas casas decimais. Tabalhando algebicamente a equação pode se obtido: x = a x 2 = a x 2 a = 0 A função f (x) = x 2 a tem como uma das aízes a assim, usando o dispositivo: x n+1 = x n f (x n f (x n ) = x n x2 7 = x x 2x Sabe-se que a aiz de 7 está ente dois e tês, paece azoável estabelece como x 1 = 3, lembando que podeia se outo o chute como po exemplo o númeo 6, a difeença é que talvez po este motivo seja necessáio ealiza um númeo maio de epetições paa se consegui a mesma apoximação. Posseguindo com x 1 = 3 enconta-se x 2 = 8 3, que já está azoavelmente póximo haja vista que 7 2,6457 e epetindo o pocesso paa x 2 = 3 8 enconta-se x 3 = , A pati do quato temo o pogama utilizado já não faz distinção ente 7 e o x k encontado. Utilizando o Maxima podeia a apoximação se encontada, veja na figua abaixo um exemplo deste pocesso: Figua 42: Calculando velocidade

69 57 4 CÁLCULO DE ÁREAS 4.1 APROXIMAÇÃO DA ÁREA DA CIRCUNFERÊNCIA POR POLÍGONOS REGULA- RES Considee uma cicunfeência de aio, admitindo que é desconhecida em um pimeio momento a fómula da áea de uma cicunfeência, o objetivo seá enconta uma boa apoximação paa esta áea conhecendo do fato de que todo polígono egula pode se inscito em uma cicunfeência. Desta foma sempe seá elevante faze esta consideação, o pocesso seá iniciado com um tiângulo equiláteo, passando a um quadado, posteiomente a um pentágono paa então conjectua uma fómula paa enconta a áea de qualque polígono egula inscito em uma cicunfeência de aio. Polígono egula de 3 lados; Figua 43: Tiângulo equiláteo Paa enconta a áea A 3 do tiângulo ABC em função de, o tiângulo seá dividido em tês outos iguais, paa isso seá taçado um segmento que se oigina em cada vétice do tiângulo e vai até o cento da cicunfeência confome Figua 44 fazendo isto se tonaá mais clao o pocedimento.

70 58 Figua 44: Tiângulo Subdividido Enconta-se: i. O ângulo θ seá: θ = 1 2π 2 3 = π 3 ii. A altua DE seá: DE = cosθ = cos π 3 iii. O lado BC : BC = 2..sen π 3 iv. A áea A t do tiângulo BCD, seá: A t = b.h 2 = (2..sen π 3 ).( cos π 3 ) 2 = sen 2π 3 v. A áea A 3 seá dada pelo poduto de A t po 3: A 3 = sen 2π 3 Polígono egula de 4 lados;

71 59 Figua 45: Quadiláteo egula Paa enconta a áea A 4 do quadado ABCD em função de, o quadado seá subdividido em quato pates iguais com segmentos que saem do cento e vão até os vétices. Assim: Figua 46: Quadiláteo subdividido Enconta-se: i. O ângulo θ seá: ii. A altua DE seá: θ = 1 2π 2 4 = π 4 DE = cosθ = cos π 4 iii. O lado BC : BC = 2..sen π 4

72 60 iv. A áea A t do tiângulo BCD, seá: A t = b.h 2 = (2..sen π 4 ).( cos π 4 ) 2 = sen 2π 4 v. A áea A 4 seá dada pelo poduto de A t po 4: A 4 = sen 2π 4 Polígono egula de 5 lados; Figua 47: Pentágono egula Paa enconta a áea A 5 do pentágono BCDEF em função de, o pentágono seá subdividido em cinco pates iguais com segmentos que saem do cento e vão até os vétices. Assim: Figua 48: Pentágono subdividido Enconta-se:

73 61 i. O ângulo θ seá: ii. A altua AG seá: θ = 1 2π 2 5 = π 5 AG = cosθ = cos π 5 iii. O lado CD : CD = 2..sen π 5 iv. A áea A t do tiângulo ACG, seá: A t = b.h 2 = (2..sen π 5 ).( cos π 5 ) 2 = sen 2π 5 v. A áea A 5 seá dada pelo poduto de A t po 5: A 5 = sen 2π 5 Seguindo o mesmo pocesso intuitivo, é possível conclui que se deseja enconta a áea de um polígono egula de n lados deveá subdividi-lo em 2n tiângulos iguais que teão as seguintes caacteísticas: i) O ângulo θ seá: θ = 1 2π 2 n = π n ii) A altua h seá: h = cosθ = cos π n

74 62 iii) A base b seá: b =.sen π n iv) A áea A t de cada tiângulo, seá: A t = b.h 2 = (.sen π n ).( cos π n ) 2 = sen 2π n v) A áea A n seá dada pelo poduto de A t po 2n: A n = n 2 2.sen 2π n Agoa sabe-se como apoxima a áea da cicunfeência pela áea de polígonos egulaes, sabendo que a medida que se aumenta o númeo de lado, mais se apoxima a áea do polígono da áea da cicunfeência. Desta foma: A c A n π 2 n 2 2.sen 2π n π n 2 sen2π n A pati do Maxima foi calculada uma sucessão de valoes paa n, e assim pode se obsevado que a medida que o valo de n cesce, mais o valo denotado como Pi se apoxima-se de π = 3,1415.

75 63 Figua 49: Apoximação de π Este pocesso de paticionamento pode se empegado de foma mais ampla tabalhando com limites, a áea pode se apoximada pogessivamente levando a ce que, intuitivamente, um momento ela ficaá tão póxima da ealidade que paa efeitos páticos a difeença ente o valo exato e o valo apoximado pode se despezada. Foi sobe esta pespectiva que sugiu esta linha de estudos e o exemplo intodutóio acima foi apenas uma foma utilizada paa se estima a áea da cicunfeência e assim mosta que é uma fote feamenta que tem ampla aplicação pática. Fazendo inteações com ecusos computacionais, pode-se ealiza uma infinidade de aplicações uma vez que a maio pate dos eventos pode se modelada matematicamente, e assim com inteações computacionais esta feamenta se tona muito fote.

76 CALCULANDO A ÁREA SOB FUNÇÃO CONSTANTE Tendo em mente o pocesso utilizado anteiomente, facionamento da egião dada, seá estabelecida uma otina que pemitiá enconta áeas sob cuvas positivas no gáfico, conceito este que podeá se estendido paa além de cuvas positivas também às negativas desde que obedecidos alguns citéios. Assim, em pimeio momento paa sistematiza o método obseve a eta f (x) = c onde c é uma constante epesentada no gáfico da Figua 50. Agoa seá tomado o intevalo (0,x 0 ) e paticionado em n tamanhos iguais de compimento, veja a Figua 51. Assim ocoeá que a áea abaixo da eta no intevalo (0,x 0 ) pode se dada pela soma dos etângulos que foam obtidos. Figua 50: Função f (x) = c Figua 51: Paticionamento em (0,x 0 ) Fazendo algebicamente o pocedimento descito, enconta-se que a áea de cada etângulo seá A i =. f (.i) e como se deseja enconta a áea da soma de todos os etângulos deve-se faze o somatóio de todos A is : A = = = n A i i=o n i=0 n i=0. f (.i).c = n..c = x 0.c Po outo lado o cálculo desta áea é muito simples e já conhecido, paa se enconta a

77 65 áea sob a cuva basta que se enconte a áea do etângulo que tem como lados x 0 e y 0. É sabido que a áea do etângulo é dada po A = b.h = x 0.c. Potanto: A = c.x 0 Assim veifica-se que o método está adequado paa se enconta boas apoximações, no caso de funções constantes. Utilizando o Maxima pode-se enconta a áea da função f (x) = 4 no intevalo (0,5] e visualiza o gáfico, podendo manipula valoes e facilitando a visualização do pocesso empegado, atentando paa o pocesso de paticionamento das figuas. Figua 52: Áea da função constante n=10

78 66 Figua 53: Áea da função constante n=50 Figua 54: Áea da função constante n= CALCULANDO A ÁREA SOB A FUNÇÃO LINEAR Considee a cuva f (x) = ax o objetivo seá obte a áea da cuva no intevalo [0,x 0 ], dada pela epesentação gáfica da Figua 55, sistematizando o método, seá feito o mesmo pocedimento que no tópico anteio, veja a Figua 56.

79 67 Figua 55: Função f (x) = ax Figua 56: Patição de f (x) = ax Realizando algebicamente o pocedimento descito, tem-se que a áea de cada etângulo seá A i =. f (.i) e como se deseja enconta a áea da soma de todos os etângulos, a áea total seá dada pelo somatóio de todos A is. Assim: A = = = n A i i=o n i=0 n i=0 = a. 2. = a. 2.. f (.i).a.(.i) n i=0 i (1 + n)n 2 Já é conhecido que n = x 0 póximo de zeo possível, faz-se: e como se deseja enconta o valo paa que seja o mais

80 68 A = 2 ( a. lim 0 2. x0 ) + 1. x 0 = x 0 +.x 0 a. lim 0 2 = a. x O cálculo desta áea é muito simples e já conhecida, paa se enconta a áea sob a cuva basta que se enconte a áea do tiângulo etângulo que tem como base x 0 e como altua y 0. Sabendo que a áea do tiângulo é a metade da áea da base pela altua, tem-se: A ax (x 0 ) = 1 2 b.h = 1 2 x 0.y 0 = 1 2 x 0.(a.x 0 ) = a 2 x2 0 Potanto: A a.x (x 0 ) = a 2 x2 0 Utilizando o Maxima pode-se enconta a áea da função f (x) = 2x no intevalo (0,10] e visualiza o gáfico, podendo manipula valoes e facilitando a visualização do pocesso empegado, obsevando o pocesso de paticionamento das figuas.

81 69 Figua 57: Áea da função linea n=10 Figua 58: Áea da função linea n=50

82 70 Figua 59: Áea da função linea n= CALCULANDO A ÁREA SOB A FUNÇÃO QUADRÁTICA Considee a cuva f (x) = x 2 neste momento o objetivo seá obte a áea da cuva no intevalo [0,x 0 ], dada pela epesentação gáfica abaixo da Figua 60. Figua 60: Função f (x) = c Figua 61: Paticionamento O cálculo desta áea não é tão tivial quanto os casos anteioes uma vez que ainda não

83 71 foi estudado até o momento nenhuma técnica que pemita o cálculo de tal áea. Apesa de não conhece uma fómula que pemita calcula aquela áea é possível enconta uma apoximação daquela áea paticionando o intevalo [0,x 0 ] em intevalos iguais a x e assim ealizando uma apoximação pela soma da áea de váios etângulos, que possui áea de fácil cálculo. Dividindo o intevalo em subintevalos de compimento x, ve Figua 61 enconta-se, n = x 0 x onde n seá a quantidade de etângulos obtidos, posseguindo com os cálculos: A x 2(x 0 ) n f (x). x i=0 = = n = 3 x. (i x ) 2. x i=0 n i=0 n i 2 i=0 (i 2. 2 x). x = x. 3 n(n + 1)(2n + 1) ( 6 n = x n2 2 + n ) 6 a tabela abaixo: Desta foma n = x 0 x, fazendo a substituição: y x x2 0 2 x + x x Substituindo alguns valoes pequenos de x na equação encontada é possível constui x 0 x = 0,001 y x x2 0 2 x + x 0 6 x 2 1 0,001 0, ,001 2, ,001 9, ,001 21, Tabela 19: Limite intuitivo Diante do exposto seá possível veifica que quanto mais a lagua dos etângulos diminui, x, mais a apoximação melhoa. Como é possível apoxima aleatoiamente x de zeo. É azoável conclui que a áea seá exatamente:

84 72 ( x 3 y = lim 0 x x2 0 2 x + x ) x = x3 0 3 Utilizando o Maxima é possível enconta a áea da função f (x) = x 2 no intevalo (0, 10] e visualiza o gáfico, podendo manipula valoes e facilitando a visualização do pocesso empegado e atenta paa o pocesso de paticionamento das figuas. Figua 62: Áea da função quadática n=10 Figua 63: Áea da função quadática n=50

85 73 Figua 64: Áea da função quadática n= CALCULANDO A ÁREA SOB A FUNÇÃO EXPONENCIAL Considee a cuva f (x) = e x deseja-se obte a áea sob a cuva no intevalo [0,x 0 ], dada pela epesentação gáfica na Figua 65. Figua 65: Função f (x) = e x Figua 66: Paticionamento Paa calcula esta áea podeá se utilizada a mesma técnica já empegada nos casos

86 74 anteioes, tomando o intevalo [0,x 0 ] e o subdividindo em intevalos de compimento iguais a x e posteiomente ealizando uma apoximação pela soma da áea de váios etângulos que possuem áeas fáceis de calcula, ve gáfico Figua 66. Dividindo o intevalo em subintevalos de compimento x enconta-se, n = x 0 x seá a quantidade de etângulos que seão obtidos, posseguindo com os cálculos: onde n y n i=0 e i x. x = ( 1 + e x + e 2 x e n. x ). x = x. e(n+1) x 1 e x 1 Substituindo o valo n = x 0 x x0 e( x +1) x 1 y x. e x 1 = x. ex 0+ x 1 e x 1 = e x 0 x. e x e x 0 e x 1 Substituindo x po um valo póximo de zeo, enconta-se a seguinte apoximação paa os seguintes valoes de x 0. x 0 x = 0,001 y 0 e x 0 x. e x e x 0 e x 1 y 0 1 0,0001 1, e 1 2 0,0001 6, e , , e , , e , , e 5 1 Tabela 20: Apoximação da exponencial Diante do exposto, facilmente veifica-se que quanto mais a lagua dos etângulos diminui, x, mais a apoximação melhoa. Como é possível apoxima abitaiamente x de zeo, conclui-se, intuitivamente, que a áea seá exatamente:

87 75 y = lim x 0 ex 0 x. ex e x0 e x 1 = ex 0 1 Utilizando o Maxima pode-se enconta a áea da função f (x) = e x no intevalo (0,10] e visualiza o gáfico, podendo manipula valoes e facilitando a visualização do pocesso empegado, obsevando o pocesso de paticionamento da egião em 10, 50 e 100 subintevalos da patição, é fácil ve como a soma das áeas dos etângulos da patição se compota em elação a áea da egião sob a cuva. Figua 67: Áea da função exponencial n=10

88 76 Figua 68: Áea da função exponencial n=50 Figua 69: Áea da função exponencial n=100