Árvores de Ukkonen: caracterização combinatória e aplicações

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1 Árvores de Ukkonen: crcterizção comintóri e plicções Gustvo Akio Toming Scomoto Dissertção presentd o Instituto de Mtemátic e Esttístic d Universidde de São Pulo pr otenção do título de Mestre em Ciêncis Progrm: Ciênci d Computção Orientdor: Prof. Dr. Alir Pereir do Lgo Durnte o desenvolvimento deste trlho o utor receeu uxílio nnceiro d CAPES São Pulo, fevereiro de 2011

2 Árvores de Ukkonen: crcterizção comintóri e plicções Est dissertção contém s correções e lterções sugerids pel Comissão Julgdor durnte defes relizd por (Gustvo Akio Toming Scomoto) em 08/02/2011. O originl encontr-se disponível no Instituto de Mtemátic e Esttístic d Universidde de São Pulo. Comissão Julgdor: Prof. Dr. Alir Peirer do Lgo (orientdor) - IME-USP Prof. Dr. José Coelho de Pin Junior - IME-USP Prof. Dr. Guilherme Pimentel Teles - IC-UNICAMP

3 Agrdecimentos Primeirmente, gostri de grdecer meus pis: Miltes e João. Este trlho é tão deles qunto meu. Eles, que sempre me derm tod lierdde pr fzer s minhs própris escolhs e todo o suporte e incentivo pr seguir o cminho escolhido. Agrdeço tmém minh irmã Ntáli, por su compnhi e mizde. Gostri de grdecer todos os meus migos: do colegil, d Unicmp e ds Ciêncis Moleculres. Que estiverm comigo nos momentos de descontrção (essenciis pr o desenvolvimento deste trlho!), ns vigens, nos res e lds de Cmpins e São Pulo. Agrdeço todos os professores do Curso de Ciêncis Moleculres por me ensinrem o rigor do pensmento cientíco e, o mesmo tempo, rirem meus olhos pr tod elez ds teoris cientícs. Por m, grdeço todos os professores que conheci no IME, mesmo não sendo um luno muito ssíduo, prendi muito com eles. Em especil, grdeço meu orientdor Alir, por su enorme pciênci e constnte interesse em meu trlho. i

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5 Resumo A árvore de suxos é um estrutur ddos, que represent em espço liner todos os ftores de um plvr, com diversos exemplos de plicções prátics. Neste trlho, denimos um estrutur mis gerl: árvore de Ukkonen. Provmos pr el diverss proprieddes comintóris, dentre quis, minimlidde em um sentido preciso. Acreditmos que presentção qui oferecid, lém de mis gerl que s árvores de suxo, tem vntgem de oferecer um descrição explícit d topologi d árvore, de seus vértices, rests e rótulos, o que não vimos em nenhum outro trlho. Como plicções, presentmos tmém árvore esprs de suxos (que rmzen pens um suconjunto dos suxos) e árvore de k-ftores (que rmzen pens os segmentos de comprimento k, o invés dos suxos) denids como csos prticulres ds árvores de Ukkonen. Propomos pr s árvores esprss um novo lgoritmo de construção com tempo O(n) e espço O(m), onde n é tmnho d plvr e m é número de suxos. Pr s árvores de k- ftores, propomos um novo lgoritmo online com tempo e espço O(n), onde n é o tmnho d plvr. Plvrs-chve: estrutur de ddos, usc por pdrões, recuperção de informção, comintóri de plvrs, iologi computcionl, stringology. iii

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7 Astrct The sux tree is dt structure tht represents, in liner spce, ll fctors of given word, with severl exmples of prcticl pplictions. In this work, we dene more generl structure: the Ukkonen's tree. We prove mny properties for it, mong them, its minimlity in precise sense. We elieve tht this presenttion, esides eing more generl thn the sux trees, hs the dvntge of oering n explicit description of the tree topology, its vertices, edges nd lels, which ws not seen in ny other work. As pplictions, we lso presents the sprse sux tree (which stores only suset of the suxes) nd the k-fctor tree (which stores only the sustrings of length k, insted of the suxes), oth dened s Ukkonen's tree specil cses. We propose new construction lgorithm for the sprse sux trees with time O(n) nd spce O(m), where n is the size of the word nd m is the numer of suxes. For the k-fctor trees, we propose new online lgorithm with time nd spce O(n), where n is the size of the word. Keywords: dt structure, pttern mtching, informtion retrievl, comintorics on words, computtionl iology, stringology. v

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9 Sumário List de Figurs ix 1 Introdução 1 2 Denições Geris Comintóri de Plvrs Grfos e Árvores Crcterizção Comintóri A + -árvores Proprieddes Geris A árvore de Ukkonen Tmnho e Bifurcções Um Algoritmo Ingênuo Minimlidde Árvore de Suxos (Generlizd) Denições A Últim Letr Distint A Representção ds Árvores de Suxos Algoritmos Clássicos Ukkonen McCreight Weiner Frch Árvore Esprs de Suxos Denição Ligções de Suxo vii

10 viii SUMÁRIO 5.3 Um Algoritmo Ótimo Comprção com Outros Algoritmos Prolem em Aerto e Hipótese Árvore de k-ftores Denição Tmnho Ligções de Suxo Um Algoritmo Ótimo Comprção com Outros Algoritmos Conclusão 55 8 Trlhos Futuros Aplicção d Árvore Esprs de Suxos à Detecção de Frudes Comprção com o Vetor de Suxos Esprso Aplicção d Árvore Esprs de Suxos Document Clustering Construção d Árvore Esprs de Suxos sem Hipótese Referêncis Biliogrács 59

11 List de Figurs 2.1 Exemplo de um árvore Um exemplo de A + -árvore, com rotulção ds rests e vértices Um exemplo de A + -árvore compct Um A + -árvore que reconhece Suf(c) \ {1} Árvore de Ukkonen de Suf() \ {1}, um exemplo de árvore não compct Exemplos de árvores de Ukkonen com número máximo de vértices Querndo rests Sucessivs árvores de Ukkonen T i de W i, onde W 0 = e W i = W i 1 {s[i.. s ]} pr s = c e i = 1,..., s Exemplos de árvores de suxos Árvore de suxos generlizd de H = {, } Exemplos de árvores de suxos Árvore esprs de suxos pr o suconjunto W = {c, c, c, c} dos suxos de c Árvore esprs de suxos pr o suconjunto W = {c, c, c, c} dos suxos de c, com ligção de suxo de representd Árvore esprs de suxos pr w = dc e F = {, d,,, c} Árvore esprs de suxos pr w = c e F = {,,,,,, c} Dois exemplos de árvores de k-ftores Árvore de k-ftores de w = pr k = Árvore de k-ftores de w = pr k = 3, com ligção de suxo de representd ix

12 x LISTA DE FIGURAS

13 List de Algoritmos 3.1 Função EncontrCeç Algoritmo de construção d árvore de Ukkonen Função Soletr Função ReSoletr Algoritmo de construção d árvore esprs de suxos Algoritmo de construção d árvore de k-ftores xi

14 xii LISTA DE ALGORITMOS

15 Cpítulo 1 Introdução Em 1985, Glil [AG85] cunhou o termo stringology pr o conjunto de métodos lgorítmicos plicdos o processmento de textos e plvrs (strings). Muitos dos quis se seim em resultdos comintórios sore plvrs, por exemplo, demonstrção de Cole [Col91] pr lineridde de um vrinte do lgoritmo de Boyer-Moore pr usc de pdrões. Outros se seim n teori de utômtos, como o lgoritmo de Knuth-Morris-Prtt [CLRS01] tmém pr usc de pdrões. Ou sej, trt-se de um áre com enfoque lgorítmico, ms com um intersecção grnde com outrs áres mis teórics, como comintóri de plvrs, teori de utômtos e teori de grupos. O texto, um sequênci de crcteres, sempre foi um form fundmentl de representção de informção. Neste exto momento milhões de progrms estão efetundo lgum tipo de processmento de texto. Muitos outros estão produzindo lgum form de texto, we crwlers estão vrrendo tod internet coletndo informções sore s págins, sequencidores de DNA de segund gerção [SJ08] estão sequencindo genoms inteiros. O ritmo de crescimento ds ses de ddos umentou enormemente no últimos nos, els vem se tornndo gigntescs e como consequênci, lgoritmos muito ecientes são necessários pr lidr com els. Em diverss plicções, est eciênci exige um form de indexção, por exemplo do texto, de form que, depois de um pré-processmento onde su indexção é feit, não mis o lgoritmo depende de seu tmnho. Um técnic que pode ser utilizd pr s ses textuis é indexção com árvores de suxos. As árvores de suxos form presentds pel primeir vez por Weiner [Wei73] em 1973, em um trlho que mis trde foi chmdo por Donld Knuth de Algoritmo do no de 1973 [Pr73]. O trlho present um estrutur de ddos, árvore de suxos, que represent todos os ftores (sustrings) de um determind plvr e um lgoritmo liner pr su construção. Trt-se de um índice que rmzen em espço liner informções sore todos os ftores de um determind plvr. Com este índice é possível resolver de mneir eciente 1

16 2 INTRODUÇÃO 1.0 diversos prolems de sore plvrs, por exemplo: usc de pdrões, o prolem do mior ftor comum entre dus plvrs e do ftor mis frequente em um plvr [Gus97]. Trlhos posteriores de McCreight [McC76] e Ukkonen [Ukk95] presentrm outros lgoritmos lineres pr construção d árvore de suxos, o primeiro reliz um número menor de operções e é mis eciente no uso de memóri e o segundo é o único online. Outro trlho de Giegerich et l. [GK97] mostr relção entre esses três lgoritmos, prentemente, stnte distintos. Estes lgoritmos prtem d hipótese de que o tmnho do lfeto é constnte. Por m, Frch [Fr97] presentou um lgoritmo de construção, completmente diferente dos nteriores e stnte complexo, ms liner mesmo no cso em que o lfeto é grnde, i.e. é d mesm ordem do tmnho d plvr. O primeiro ojetivo deste trlho é presentr um estrutur, inspird em, ms mis gerl que s árvores de suxo: s árvores de Ukkonen [dls03]. No primeiro momento, o trlho tem um enfoque mis mtemático, m de em deni-l e crcterizr completmente su topologi sendo-se unicmente no conjunto de plvrs ssocido e provr su minimlidde. O segundo ojetivo deste trlho é o de plicr s árvores de Ukkonen csos prticulres; que incluem inclusive s árvores de suxos e s muits vezes chmds de árvores generlizds de suxos. Em seguid, dotmos um enfoque mis lgorítmico, denimos s árvores esprss de suxos [AJS99] e árvores de k-ftores [AS04] como csos prticulres ds árvores de Ukkonen e propomos novos lgoritmos ótimos pr cd um destes dois csos prticulres. A form como o trlho está orgnizdo é presentd mis detlhdmente seguir. No cpítulo 3, ssentmos s ses sore s quis todo resto do trlho está poido, lá denimos árvore de Ukkonen que reconhece um ddo conjunto de plvrs. Tl denição se sei em um outr estrutur que presentmos n seção 3.1, A + -árvore. Ao longo do cpítulo enuncimos e provmos diverss proposições que relcionm topologi d árvore de Ukkonen com s propriedde comintóris do conjunto de plvrs que el reconhece. N seção 3.4, provmos um lem que se trduz fcilmente em um lgoritmo ingênuo pr construção ds árvores de Ukkonen. No nl do cpítulo, provmos que s árvore de Ukkonen são minimis, ou mis precismente, que els são um minor de qulquer A + -árvore pr o mesmo conjunto de plvrs. No cpítulo 4, presentmos s árvores de suxo e s árvores de suxo generlizds como csos prticulres ds árvores de Ukkonen. Ao longo do cpítulo discutimos lgums consequêncis dest nov denição pr ests árvores. N seção 4.3, discutimos lguns spectos ligdos com representção computcionl ds árvores de suxos. N seção 4.4, presentmos de mneir stnte sucint os lgoritmos clássicos pr construção liner d árvore de suxos: Ukkonen, McCreight, Weiner e Frch. No cpítulo 5, presentmos árvore esprs de suxos. Els são denids como csos

17 1.0 3 prticulres ds árvores de Ukkonen que reconhecem pens um suconjunto de m suxos de um plvr w de comprimento n. Apresentmos tmém um novo lgoritmo que constrói árvore esprs de suxos em tempo O(n) e espço liner no número de suxos considerdos, O(m). Oserve que é fácil construir est árvore em tempo liner usndo espço O(n), st construir árvore de suxos (complet) e posteriormente eliminr os suxos usentes, ms est ordgem us espço O(n). N seção 5.4, comprmos o nosso lgoritmo com s soluções encontrds n litertur [AJS99, KU96, IT06]. Por m, n seção 5.5 discutimos um prolem em erto relciondo com construção ds árvores esprss. No cpítulo 6, presentmos s árvores de k-ftores. As quis tmém são denids como csos prticulres ds árvore de Ukkonen em que o conjunto de plvrs reconhecids é o conjunto de todos os ftores de comprimento k de um plvr w de comprimento n. Em seguid, propomos um novo lgoritmo online com tempo e espço O(n) pr construção ds árvores de k-ftores. Assim como pr s árvores esprss, existe um lgoritmo trivil pr construção ds árvores de k-ftores, st construir árvore complet e remover todos os vértices com ltur mior do que k. Este lgoritmo tmém us espço e tempo O(n), ms não é online, é menos eciente que construção diret e necessrimente us mis memóri, mesmo tendo mesm complexidde ssintótic. Por m, no cpítulo 7, presentmos s nosss conclusões sore este trlho e, no cpítulo 8, discutimos lgums linhs possíveis pr su continuidde.

18 4 INTRODUÇÃO 1.0

19 Cpítulo 2 Denições Geris Neste cpítulo presentmos lgums denições que serão utilizds o longo do texto. As denições deste cpítulo não são exustivs, outrs serão presentds o longo dos outros cpítulos, não s colocmos qui por se trtrem de conceitos com plicções mis restrits ou que crim mis clros se presentdos nos contextos mis dequdos. 2.1 Comintóri de Plvrs Um lfeto é um conjunto de símolos distintos, seus elementos são chmdos de letrs. Sej A um lfeto nito 1, qulquer sequênci nit de letrs de A é chmd de plvr sore A. O conjunto de tods s plvrs sore A de comprimento k é denotdo por A k, o conjunto de tods s plvrs sore A (incluindo plvr vzi 1) é denotdo por A = k>0 A k e o conjunto A \ {1}, tods s plvrs não vzis, é denotdo por A +. O comprimento de um plvr w é o tmnho d sequênci de letrs ssocids w e é denotdo por w. Tmém usremos est notção pr crdinlidde de conjuntos, i.e. se Σ é um conjunto, então Σ é su crdinlidde. A plvr vzi tem comprimento 0 e é únic com est propriedde. A plvr w pode ser representd de mneir explicit como um sequênci de letrs em A, dest form w = w[1]w[2]... w[ w ], onde w[i] A com 1 i w. Pr tornr notção mis concis, se 1 i j w su-cdei w[i]w[i + 1]... w[j 1]w[j] é representd por w[i, j] e possui comprimento w[i, j] = j i + 1. A conctenção de dus plvrs u e v é denid como conctenção de sus respectivs sequêncis, ou sej, é sequênci u[1, u ]v[1, v ], e é denotd por uv. Não é difícil ver que está é um operção ssocitiv, não comuttiv e 1 é o seu elemento neutro. Além disso, o comprimento d plvr resultnte uv é uv = u + v. 1 A não ser que sej menciondo explicitmente o contrário, todos os lfetos considerdos neste trlho são nitos. 5

20 6 DEFINIÇÕES GERAIS 2.2 Sej w = utv um plvr sore A, com u, v, t A, então u é prexo de w, v é suxo de w e u, t e v são ftores de w. O conjunto de todos os prexos de w é denotdo por Pref(w), de mneir similr, o conjunto de suxos é denotdo por Suf(w) e o de ftores é denotdo por Ft(w). Dizemos que x é prexo (suxo, ftor) próprio de w se Pref(x) Pref(w) (Suf(x) Suf(w), Ft(x) Ft(w)) Sej u Pref(w), nós denotmos 2 por u 1 w plvr otid com remoção do prexo u de w, ou sej, o suxo de w com tmnho w u. De mneir nálog, se u Suf(w) denimos wu 1. Ressltmos que o símolo u 1 não tem sentido sozinho, somente qundo plicdo um plvr w que tenh u como prexo (suxo). Se w A e w k, então A k w é plvr otid pós remoção do prexo (só existe um) de comprimento k de w. De mneir nálog, denimos wa k. 2.2 Grfos e Árvores Um grfo dirigido ou grfo G, é um pr (V, E), onde V é um conjunto nito qulquer e seus elementos são chmdos vértices. O conjunto E V V é um conjunto de pres ordendos, cujos elementos são denomindos rests. Dizemos que um rest (u, v), si de u e cheg em v. Um cminho de comprimento k de s pr t no grfo G = (V, E) é um sequênci de vértices (v 0, v 1,..., v k ), dois dois distintos, tis que v 0 = s, v k = t e (v i 1, v i ) E pr i [1, k]. Clro, um cminho tmém pode ser visto como um sequênci de rests (e 1, e 2,..., e k ), tis que e i = (v i 1, v i ) pr i [1, k]. O cminho contém (ou pss pelos) os vértices v 0, v 1,..., v k e s rests (v i 1, v i ) pr i [1, k]. Um árvore enrizd ou árvore é um grfo dirigido T = (V, E) com um vértice r V chmdo riz, tl que todo pr vértice v V, existe um único cminho de r pr v. A profundidde de v V é o comprimento deste único cminho e ltur de T é profundidde de seu vértice mis profundo. Dizemos que u é ncestrl de v em T se u pertence o cminho d riz té v. Este ncestrl é próprio se u v. Denimos ind o menor ncestrl comum (MAC) entre u, v V como o ncestrl comum ( riz é ncestrl de todos os vértices) entre u e v que possuí mior profundidde. Sej T = (V, E) um árvore, dizemos que u é pi de v e que v é lho de u se (u, v) E. Segue d noss denição de árvore que todos os vértices v V, exceto riz, possuem um único pi, o denotmos por Pi(v). Todos os vértices de T que não possuem nenhum lho são chmdos de folhs. Todos os outros vértices são chmdos de vértices internos. 2 Este é um notção conveniente inspird n teori de grupos, ms o conjunto A com operção de conctenção não form um grupo, justmente porque conctenção de plvrs não é um operção inversível.

21 2.2 GRAFOS E ÁRVORES 7 Como lidmos exclusivmente com árvores o longo de todo o trlho, omitiremos o sentido ds rests 3 em fvor d seguinte convenção: sej T = (V, E) um árvore e (u, v) E um rest, então n representção grác d árvore T, u estrá cim de v, indicndo que rest vi de u pr v. Como consequênci disto, riz de qulquer árvore será sempre o vértice cim dos demis. N gur 2.1, temos um exemplo de árvore representd em que os vértices são:,, c, d, e e f. De cordo com noss convenção, riz dest árvore é o vértice e s rest são: (, ), (, c), (, d), (, e) e (c, f). Seguindo s noss denições, e c são vértice internos e d, e e f são s folhs d árvore. c d e f Figur 2.1: Exemplo de um árvore 3 Com um únic exceção pr um tipo especil de rest, s ligções de suxo, usds nos cpítulos 5 e 6.

22 8 DEFINIÇÕES GERAIS 2.2

23 Cpítulo 3 Crcterizção Comintóri Neste cpítulo denimos s estruturs comintóris que serão usds o longo de todo o trlho: A + -árvore e árvore de Ukkonen. Começmos denindo s A + -árvores, ds quis s árvores de Ukkonen são csos prticulres, n seção 3.1 e expondo sus principis proprieddes n seção 3.2. N seção 3.3, denimos s árvores de Ukkonen e demonstrmos que est denição é o. N seção 3.4, temos um limitção no tmnho ds árvores de Ukkonen e um lem que relcion estrutur de dus árvores cujos conjuntos de plvrs diferem por pens um elemento. Bsedo neste lem, n seção 3.5, propomos um lgoritmo ingênuo pr construção d árvore de Ukkonen. Finlmente, n seção 3.6, demonstrmos que, xdo um conjunto de plvrs W, árvore de Ukkonen de W é menor A + -árvore que reconhece W. 3.1 A + -árvores Denição 3.1 (A + -árvore). Um A + -árvore T = (V, E, λ) é um árvore enrizd (V, E) com um rotulção ns rests λ : E A + e com propriedde dicionl que quisquer dus rests distints que sem de um mesmo vértice tem rótulos cujs primeirs letrs são distints. 1 Figur 3.1: Um exemplo de A + -árvore, com rotulção ds rests e vértices. 9

24 10 CARACTERIZAÇÃO COMBINATÓRIA 3.1 A prtir dest denição, que tmém prece em [GK97], temos que cd vértice possui no máximo A lhos. Além disso, ddo um cminho p = (e 1, e 2,..., e k ), é nturl estender rotulção λ pr denir o rótulo de um cminho p como plvr λ(e 1 )λ(e 2 ) λ(e k ). Como existe somente um cminho p entre riz té qulquer vértice v d árvore, nós tmém estendemos rotulção pr denir o rótulo de um vértice v como plvr λ(p). Como os rótulos ds rests são não vzios, é imedito vericr que pr qulquer vértice v o comprimento de λ(v) é um limitnte pr profundidde de v. N gur 3.1, temos um exemplo de A + -árvore com os rótulos ds rests e vértices representdos. A A + -árvore é dit compct se todos os vértices internos, com exceção d riz, possuem pelo menos dois lhos. No exemplo d gur 3.1 temos um A + -árvore que não é compct, o vértice interno com rótulo possui pens um lho. N gur 3.2, temos um exemplo de A + -árvore compct. 1 Figur 3.2: Um exemplo de A + -árvore compct. Sej um A + -árvore T = (V, E, λ). Denimos um lugr em T como sendo um pr ordendo (u, x) onde u V é um vértice qulquer e x A é plvr vzi ou um prexo próprio não vzio do rótulo de um rest que prte de u. Cso x sej vzio, permitimo-nos dizer que o lugr é o vértice u. Cso contrário, dizemos que o lugr está num rest, ser, únic rest que prte de u e que começ com primeir letr de x; neste cso, dizemos que o lugr é um vértice implícito. Tmém estendemos rotulção de form denir o rótulo do lugr (u, x) como sendo plvr λ((u, x)) = λ(u)x. Dizemos que um plvr w A é um plvr de (é representd em) T se w é prexo do rótulo de lgum vértice de T. Além disso, dizemos que T reconhece w se existe lgum vértice cujo rótulo é w. Repre que se w é reconhecido por T então w é um plvr de T, ms recíproc não é verddeir. Estendemos est últim denição pr conjuntos de plvrs d mneir presentd seguir. Denição 3.2. Sej W um conjunto de plvrs. Dizemos que A + -árvore T = (V, E, λ) reconhece W se existe um suconjunto de vértices X V tl que λ(x) = {λ(x) x X} = W.

25 3.2 PROPRIEDADES GERAIS 11 Chmmos estes vértices de vértices nis. 1 c c c c c c c c c c c c Figur 3.3: Um A + -árvore que reconhece Suf(c) \ {1} N gur 3.3, s folhs d A + -árvore são os vértices nis e estão destcdos. Repre que o conjunto W de plvrs reconhecids pelo conjunto X ds folhs d A + -árvore n gur 3.3 é o conjunto {c, c, c, c, c, c}, i.e., Suf(c) \ {1}, o conjunto de suxos não vzios d plvr c. 3.2 Proprieddes Geris Est seção est orgnizd d seguinte form: n proposição 3.3 vemos um propriedde que relcion ncestrlidde entre dois vértices com os prexos de seus rótulos e no corolário 3.4 vemos que não há vértices distintos com mesmos rótulos. A proposição 3.5 relcion o menor ncestrl comum (MAC) de dois vértices com o prexo comum mis longo de seus rótulos. Finlmente, proposição 3.6 mostr-nos que rotulção λ estelece um ijeção entre os lugres n A + -árvore T e s plvrs de T. Assim, dd um plvr w de T, podemos então denir o lugr de w em T como sendo o lugr λ(w) = (u, λ(u) 1 w), onde u é o vértice mis profundo tl que λ(u) é prexo de w. Ests proposições, especilmente 3.3 e 3.5, mostrm que topologi de T está fortemente ligd o conjunto de plvrs de T. Els serão necessáris n seção 3.3 pr que sej possível dr um o denição de A + -árvore miniml que reconhece determindo conjunto de plvrs, ou sej, árvore de Ukkonen. Proposição 3.3. Sejm u e v dois vértices de um A + -árvore T = (V, E, λ). Então u é um ncestrl de v se e só se λ(u) for prexo próprio de λ(v). Prov. Suponh que o vértice u sej um ncestrl de v. Então o psseio p d riz té v pode

26 12 CARACTERIZAÇÃO COMBINATÓRIA 3.2 ser decomposto como conctenção dos psseios q d riz té u e o psseio não vzio r de u té v. Assim λ(u) = λ(q) é prexo próprio de λ(q)λ(r) = λ(qr) = λ(p) = λ(v). Suponh gor que λ(u) sej um prexo próprio de λ(v). Provremos que u é ncestrl de v por indução em λ(u). Se λ(u) = 0, temos que u é riz. Como v não é riz u já que λ(v) 1 = λ(u), como u é vértice do psseio d riz v, temos que u é ncestrl de v. Suponhmos gor que λ(u) > 0 e que hipótese de indução sej válid. Sej w o pi de u. Assim w é o início d últim rest do único cminho d riz u e temos que λ(u) = λ(w) λ((w, u)). Ademis, temos que λ(w) Pref(λ(u)) é prexo próprio de λ(v) e w é ncestrl de v por hipótese de indução. Assim existem psseios p d riz v, q d riz w e r de w v tis que p = qr e λ(v) = λ(p) = λ(q)λ(r) = λ(w)λ(r). Sej primeir letr do rótulo d rest de w u. Assim, λ(w) Pref(λ(w)λ((w, u))) = Pref(λ(u)) Pref(λ(v)) = Pref(λ(w)λ(r)) implic que sej primeir letr de λ(r), primeir letr do rótulo d primeir rest de r. Como existe um únic rest, ser (w, u), que prte de w e cujo rótulo começ com, est é primeir rest de r. Assim u é vértice de r, e portnto de p = qr. É imedito que u v já que λ(u) é prexo próprio de λ(v). Corolário 3.4. Sejm u e v dois vértices de um A + -árvore T = (V, E, λ). Então u = v se, e só se, λ(u) = λ(v). O corolário 3.4 grnte que não existem dois vértices distintos de T com um mesmo rótulo, dest form o conjunto de vértices nis X (denição 3.2) é unicmente determindo pelo conjunto de plvrs W reconhecids por T e vice-vers. Proposição 3.5. Sej T = (V, E, λ) um A + -árvore. Sejm u e v V e z = MAC(u, v). Então, λ(z) é plvr mis comprid em Pref(λ(u)) Pref(λ(v)). Prov. Temos pel proposição 3.3 que se z é ncestrl de v então λ(z) Pref(λ(v)). Como o mesmo vle pr u, temos que λ(z) Pref(λ(u)) Pref(λ(v)). Sej P u o único cminho de z té u. Ele pode ser escrito d form P u = (z, u 0 )(u 0, u 1 ) (u n, u). Anlogmente, sej P v = (z, v 0 )(v 0, v 1 ) (v n, v) o único cminho de z té v. Como z é o MAC de u e v, não há rests em comum entre P u e P v e (z, v 0 ) (z, u 0 ), o que implic que s primeirs letrs dos rótulos dests rests são distints. Sejm els e respectivmente. Assim Pref(λ(z, u 0 )) Pref(λ(P u )) = Pref(λ(z) 1 λ(u)). Dest form λ(z) λ(z)pref(λ(z) 1 λ(u)) = Pref(λ(u)). Anlogmente, λ(z) Pref(λ(v)). Isto prov que não existe outro prexo comum de λ(u) e de λ(v) mis comprido que λ(z), pois cso houvesse um tl prexo w, ele seri um prexo de λ(u) e teri comprimento não menor que o de λ(z), implicndo que λ(z) seri prexo de w. Anlogmente, λ(z) Pref(w), o que levri um contrdição já que.

27 3.3 A ÁRVORE DE UKKONEN 13 Proposição 3.6. Sej um A + -árvore T = (V, E, λ). A função λ estelece um ijeção entre os lugres de T e s plvrs de T. Além disso, se w é um plvr de T e u é o vértice mis profundo cujo rótulo sej prexo de w, então λ 1 (w) = (u, λ(u) 1 w). Prov. Sej (u, x) um lugr qulquer em T. Suponh que x = 1. Assim, λ((u, x)) = λ(u)x = λ(u) é um plvr de T. Suponh gor que x 1. Sej então rest e = (u, v) tl que x Pref(λ(e)). Assim, λ((u, x)) = λ(u)x λ(u)pref(λ(e)) Pref(λ(u)λ(e)) = Pref(λ(v)) é um plvr de T. Sej gor w um plvr de T. Nem que sej riz, podemos escolher u o vértice mis profundo cujo rótulo sej prexo de w. Assim, plvr λ(u) 1 w é denid. Primeirmente provremos que (u, λ(u) 1 w) é um lugr em T. Suponh primeiro o cso em que λ(u) = w. Então λ(u) 1 w = 1 e (u, λ(u) 1 w) é certmente um lugr em T, ser, o próprio vértice u. Suponh gor o cso em que λ(u) 1 w 1. Como w é um plvr de T, sej um vértice v tl que w sej um prexo de seu rótulo e sej p um psseio d riz té v. Como Pref(λ(u)) Pref(w) Pref(λ(v )), temos que u é um ncestrl de v devido à proposição 3.3. Podemos denir v o primeiro vértice pós u dentro do psseio p. Devido à escolh de u, temos que λ(v) Pref(w). Como w e λ(v) são prexos de λ(p), temos que w é prexo de λ(v). Assim λ(u) 1 w é prexo de λ(u) 1 λ(v), que é o rótulo d rest (u, v). Isto prov que (u, λ(u) 1 w) é um lugr em T, que está n rest (u, v) neste cso. Por m, λ((u, λ(u) 1 w)) = λ(u)λ(u) 1 w = w. 3.3 A árvore de Ukkonen Nest seção vmos denir árvore de Ukkonen, principl estrutur comintóri deste trlho. Retomndo o exemplo d gur 3.3, um A + -árvore que reconhece W = Suf(c)\ {1}, oserve que os rótulo dos vértices internos são {1,,, }. Cd plvr deste conjunto é prexo próprio de pelo menos dus plvrs distints de W. Por exemplo, é prexo de c e de c. Oserve que árvore mostrd é compct. Como su últim letr c ocorre somente um vez, não existem dois suxos tis que um é prexo do outro. Queremos generlizr est construção, ms ntes precismos de lgums denições. Ddo um conjunto de plvrs W, dizemos que W é livre de prexos se não existirem dus plvrs distints em W tis que um dels sej prexo próprio d outr. Dizemos que um plvr x é prexo de W se x for prexo de lgum plvr de W. Dizemos ind que

28 14 CARACTERIZAÇÃO COMBINATÓRIA 3.3 x é um ifurcção de W se x for prexo de W e se existirem letrs distints, A tis que x e x tmém sejm prexos de W. Como vimos cim x = é um ifurcção de W = Suf(c) \ {1}. Oserve que isto implic que W tenh o menos dus plvrs não vzis já que x e x não são prexos d plvr vzi e não podem ser prexos de um mesm plvr. O conjunto ds ifurcções de W é denotdo por Bifurc(W ). Oserve que o conjunto W = Suf(c) \ {1} reconhecido pel A + -árvore d gur 3.3 é livre de prexos e que cd rótulo de cd vértice interno é um ifurcção deste conjunto. Dizemos que um plvr x é prexo próprio de W se x for prexo próprio de lgum plvr de W. Como um ifurcção de W é prexo próprio de W, Bifurc(W ) é disjunto de W se W for livre de prexos. Finlmente, podemos generlizr est construção, d mesm mneir que foi feit em [dls03], pr um conjunto qulquer de plvrs W. Denição 3.7 (árvore de Ukkonen). Ddo um conjunto de plvrs W, árvore de Ukkonen de W é A + -árvore T = (V, E, λ) tl que, V = W Bifurc(W ) {1}, E = {(u, v) V V u = mx x {x V x é prexo próprio de v}}, λ : E A + (u, v) u 1 v. A A + -árvore d gur 3.3 é árvore de Ukkonen do conjunto Suf(c) \ {1}. Contudo, não é óvio que árvore de Ukkonen denid dest mneir é relmente um A + -árvore ou mesmo um árvore. De fto, o teorem 3.8 [dls03] prov que árvore de Ukkonen T = (V, E, λ) denid em 3.7 é um A + -árvore que reconhece W. Este teorem, lém de grntir que árvore de Ukkonen está em denid, demonstr que s plvrs de T são extmente os prexos de W e crcteriz s folhs e os vértices internos de T. Teorem 3.8. Sej W um conjunto qulquer de plvrs, sej T = (V, E, λ) su árvore de Ukkonen e sej F W o conjunto ds plvrs de W que não são prexos próprios de W. Então: 1. T é um árvore enrizd trivil 1 se e só se W = ou W = {1}; 2. T é um A + -árvore (com riz 1); 3. λ(v) = v pr todo vértice v; 4. T reconhece W (com vértices nis W ); 1 Um árvore enrizd trivil é um árvore com pens um vértice ( riz) e nenhum rest.

29 3.3 A ÁRVORE DE UKKONEN o conjunto ds plvrs de T é o conjunto dos prexos de W ; 6. s folhs de T são F e os nós internos são Bifurc(W ) {1} (W \ F ); 7. os nós internos com pelo menos dois lhos são Bifurc(W ); Prov. A prtir d denição, temos clrmente que V = se e só se W {1} = V, o que prov o item 1. Vmos provr o item 2. Cso W =, temos que T é A + -árvore trivil. Suporemos que W prtir de gor. Sej v V. Se v = 1, como não há prexo próprio de v temos que v não é término de nenhum rest. Se v 1, temos que 1 V é um prexo próprio de v e que v é término de um únic rest: dquel que prte de u, seu prexo próprio mis comprido que está em V. Por indução no comprimento de v podemos provr que existe um único cminho de 1 v em T: quele cminho de 1 u mis rest (u, v). Isto prov que T é árvore com riz 1. As rests (u, v) têm rótulos não vzios u 1 v já que u é prexo próprio de v. Sejm dus rests distints (u, v) e (u, v ). Sej x o mis comprido prexo comum de v e de v. Suponh por surdo que x = v. D escolh d rest (u, v ), temos que Pref(u) Pref(v ). D escolh de x, temos que Pref(v ) = Pref(x) Pref(v). Como s rests (u, v) e (u, v ) são distints, temos que Pref(v) Pref(v ) e, portnto, Pref(u) Pref(v ) Pref(v) e u não é plvr de V mis comprid que é prexo próprio de v, o que contrdiz com escolh d rest (u, v). Donde, x v. Anlogmente, x v. D escolh de x, temos que primeir letr de x 1 v, chmemo-l, é distint d primeir letr de x 1 v, chmemo-l. Como V Pref(W ), temos que x Pref(x x 1 v) = Pref(v) Pref(W ) e que x Pref(x x 1 v ) = Pref(v ) Pref(W ). Assim x Bifurc(W ) V. Como u é um prexo comum de v e de v, d escolh de x temos que Pref(u) Pref(x) Pref(v). Do fto de u ser o prexo mis comprido de v que está em V e x V, temos que x = u, que é primeir letr de x 1 v = u 1 v = λ((u, v)), e que é primeir letr de x 1 v = u 1 v = λ((u, v )) e que. Isto complet prov de que T é um A + -árvore de riz 1. Vmos provr os itens 3 e 4. Sej v 0, v 1, v 2,..., v k, com 1 = v 0 e v k = v, sequênci de vértices percorridos pelo psseio p d riz té um vértice qulquer v. Então λ(v) = λ(p) = λ((v 0, v 1 )) λ((v 1, v 2 )) λ((v 2, v 3 )) λ((v k1, v k )) = (v 1 0 v 1 )(v 1 1 v 2 )(v 1 2 v 3 ) (v 1 k 1 v k) = v 1 0 v k = 1 1 v = v. Assim, λ(v) = v e W V é reconhecid por T em X = W.

30 16 CARACTERIZAÇÃO COMBINATÓRIA 3.3 Vmos provr o item 5. Sej w um plvr de T e sej v V tl que w Pref(λ(v)). Assim, w Pref(λ(v)) = Pref(v) Pref(W ) já que tod plvr em V é prexo de W. Sej gor u um prexo de W e sej w W tl que u Pref(w). Como w W V e u Pref(w) = Pref(λ(w)), temos que u é plvr de T. Vmos provr o item 6. Suponh que u V sej um folh. Assim u não é ncestrl de nenhum vértice em W e, devido à proposição 3.3, λ(u) = u não é prexo próprio de λ(w) = w pr nenhum w W. Assim u F. Suponh gor que u V sej um vértice interno. Assim u é pi de lgum vértice-lho v V e existe rest (u, v). Assim, u é prexo próprio de v V Pref(W ), e u F. Isto prov que s folhs de T são F. Como F Bifurc(W ) = já que tod ifurcção de W é prexo próprio de W, como {1} F = pois 1 é prexo próprio de W sempre que W possui um plvr não vzi, temos que os vértices internos são V \ F = (Bifurc(W ) {1} W ) \ F = ((Bifurc(W ) {1}) \ F ) (W \ F ) = (Bifurc(W ) {1}) (W \ F ). Vmos provr o item 7. Sej u Bifurc(W ) um vértice interno. Como u é um ifurcção de W, sejm e letrs distints tis que u e u sejm prexos de W. Assim u é plvr de T. Suponh o cso em que u V. Neste cso, (u, u) é certmente um rest de E cujo rótulo começ com. Suponh gor o cso em que u V. Neste cso, usndo proposição 3.6, o lugr de u em T é o lugr (u, ), que está n rest que prte de u e cujo rótulo começ com. Em qulquer cso, existe um rest que prte de u e cujo rótulo começ com. Anlogmente, existe um rest que prte de u e cujo rótulo começ com. Assim u tem pelo menos dois lhos. Sej x um vértice interno com pelo menos dois lhos, y e z. Sejm primeir letr do rótulo d rest (x, y) e primeir letr do rótulo d rest (x, z). Como T é A + -árvore temos que. Por denição, (x, ) e (x, ) são dois lugres em T. Pel proposição 3.6, temos que λ((x, )) = λ(x) = x e λ((x, )) = x são dus plvrs de T, e portnto são dois prexos de W. Assim, x é um ifurcção de W, completndo prov. Se tivermos que W {1} e W livre de prexos, lém ds hipótese do teorem 3.8. Então, W = F (s folhs d árvore são W ) e todos vértices internos, exceto riz, tem pelo menos dois lhos. Dest form, segue imeditmente o corolário 3.9. Corolário 3.9. Se lém ds hipóteses do último teorem tivermos que W é livre de prexos, então temos que: s folhs são W ; os vértices internos são Bifurc(W ) {1} e T é um A + -árvore compct. A árvore de Ukkonen d gur 3.3 é um árvore compct, todos os seus vértices internos

31 3.4 TAMANHO E BIFURCAÇÕES 17 tem pelo menos dois lhos. Est árvore reconhece o conjunto W = Suf(c)\{1}, que é livre de prexos. A gur 3.4 mostr um exemplo de árvore de Ukkonen não compct, el reconhece o conjunto W = Suf() \ {1} que não é livre prexos, um vez que é prexo de. O conjunto ds ifurcções dest árvore é {1, }, que são justmente os vértices internos com mis de um lho. Os outros vértices internos {, } = W \ F possuem pens um lho. E s folhs são {,, } = F, o conjunto ds plvrs de W que são livres de prexo. 1 Figur 3.4: Árvore de Ukkonen de Suf() \ {1}, um exemplo de árvore não compct. 3.4 Tmnho e Bifurcções D mneir como foi denid árvore de Ukkonen de um ddo conjunto de plvrs W, tem su topologi determind por W, nest seção comprmos dus árvores de Ukkonen cujos os conjuntos de plvrs diferem por pens um plvr. Como um consequênci do lem 3.10, que fz est comprção entre s dus árvores, otemos um limitção no número de vértices e rests pr um árvore de Ukkonen que reconhece um conjunto de n plvrs, enuncido no teorem 3.11 Se W, mesmo que um plvr w A não sej um plvr d árvore de Ukkonen T de W, sempre existe um prexo de w que está representdo em T (no pior cso, plvr vzi), ou sej, o conjunto Pref(W ) Pref(w) é não vzio. Chmmos o mior prexo deste conjunto de ceç de w em T, e o denotmos h. O próximo lem fz um comprção entre o conjunto de vértices ds árvores de Ukkonen T e T dos conjuntos W e W, em como o conjunto de ifurcções de W e W. Os vértices w e h (possivelmente igul w) são os dois vértices que eventulmente precism ser diciondos T pr que se otenh T. Lem Sej w um plvr de A, W e W dois conjuntos de plvrs não vzios tis que W = W {w}. Sejm T = (V, E, λ) e T = (V, E, λ ) s sus respectivs árvore de Ukkonen

32 18 CARACTERIZAÇÃO COMBINATÓRIA 3.4 e h ceç de w em T. Então, V = V {h, w}, Bifurc(W ) Bifurc(W ) Bifurc(W ) {h}. Sendo que Bifurc(W ) Bifurc(W ) se, e somente se, h w, h / Bifurc(W ) e y W tl que Pref(h) Pref(y). Prov. Vmos provr que Bifurc(W ) \ Bifurc(W ) {h}. Se existe x Bifurc(W ) \ Bifurc(W ), então existem dus letrs distints, tis que x, x Pref(w) e x, x Pref(W ). Como x não é um ifurcção de W, segue que x / Pref(W ), ou sej, x é plvr mis comprid em Pref(w) Pref(W ), o que implic que x = h e Bifurc(W ) \ Bifurc(W ) {h}. Portnto, Bifurc(W ) Bifurc(W ) {h}. A outr inclusão Bifurc(W ) Bifurc(W ) segue diretmente do fto de que o conjunto ds ifurcções de qulquer conjunto de plvrs depende somente do conjunto de prexos dests plvrs e por hipóteses temos que W W. Vmos provr que Bifurc(W ) Bifurc(W ) se, e somente se, w h, y W tl que Pref(h) Pref(y) e h / Bifurc(W ). Suponh que w h e h / Bifurc(W ), então existem dus letrs distints, tis que h Pref(w) e h Pref(W ). Logo h é um ifurcção de W e terceir hipótese grnte que h / Bifurc(W ). Portnto, Bifurc(W ) Bifurc(W ). A outr direção segue dos seguintes três ftos. Se h = w, temos que w Pref(W ) = Pref(W ) e Bifurc(W ) = Bifurc(W ). Se y W tl que Pref(h) Pref(y), h não é um ifurcção de W e como Bifurc(W ) Bifurc(W ) {h}, segue que Bifurc(W ) = Bifurc(W ). Por m, se h Bifurc(W ), temos que Bifurc(W ) Bifurc(W ) Bifurc(W ) {h} = Bifurc(W ). Vmos provr que V = V {h, w}. Se Bifurc(W ) Bifurc(W ), temos que Bifurc(W ) = Bifurc(W ) {h} e dí segue que V = V {h, w}. Por outro ldo, se tivermos que Bifurc(W ) = Bifurc(W ), existem dus possiiliddes. Se h = w ou h Bifurc(W ), V {h, w} = V {w} = V. Se y W tl que Pref(h) Pref(y), como h Pref(w) Pref(W ), temos que h W V e V {h, w} = V {w} = V. Teorem Sej W um conjunto com n plvrs e T = (V, E, λ) árvore de Ukkonen de W. Então, temos que V 2n e E 2n 1. Prov. D denição d árvore de Ukkonen temos que V = Bifurc(W ) + W +1. Vmos limitr o tmnho do conjunto de ifurcções. Se W tem somente um plvr, então Bifurc(W ) é vzio, usndo isto como o cso se d indução e segund prte do lem 3.10 como psso indutivo, temos que Bifurc(W ) n 1. Logo, V 2n e como T é um árvore E 2n 1.

33 3.5 UM ALGORITMO INGÊNUO 19 A limitção pr o número de vértices dd por este teorem é just. N gur 3.5 temos exemplos de árvore de Ukkonen com n = 2, 3, 4 plvrs que possuem 2n vértices. É fácil generlizr este exemplo pr um número qulquer de plvrs () W = {, } () W = {,, } (c) W = {,,, } Figur 3.5: Exemplos de árvores de Ukkonen com número máximo de vértices. 3.5 Um Algoritmo Ingênuo Nest seção usremos o lem 3.10 pr oter um lgoritmo incrementl simples que constrói árvore de Ukkonen de um conjunto qulquer de plvrs. O lem 3.10 grnte que o dicionrmos um plvr w à árvore de Ukkonen T de W, temos que dicionr, se ind não estiverem presentes, dois vértices: w e h ( ceç de w em T). Pr tnto, o lgoritmo 3.2 fz uso d função uxilir EncontrCeç(w, T), que percorre árvore T prtir d riz e retorn ceç h e o seu lugr (u, x) em T. Depois que o lugr de h em T é encontrdo o lgoritmo 3.2 tuliz árvore T, inserindo, possivelmente, dois novos vértices h e w. Se o lugr (u, x) de h estiver em um rest, devemos querr est rest, dicionndo o novos vértices h e w e s rests correspondentes, como mostrdo n gur 3.6. Se o lugr estiver em um vértice, inserimos pens w e rest correspondente. Por m, se h = w não há nd fzer. N gur 3.7 temos um exemplo de plicção do lgoritmo 3.2 com conjunto W = Suf(c) \ {1}. A corretude do lgoritmo 3.2 segue diretmente do lem 3.10 e d denição de árvore de Ukkonen. A complexidde do lgoritmo é domind pelo tempo gsto com função EncontrCeç, que é proporcionl o comprimento de cd ceç h. Logo, o tempo totl gsto com o lgoritmo é limitdo por w W w. Se não zermos nenhum hipótese dicionl sore o conjunto

34 20 CARACTERIZAÇÃO COMBINATÓRIA 3.5 Algoritmo 3.1 Função EncontrCeç EncontrCeç(w, T) 1 w: plvr cuj ceç deve ser encontrd 2 devolve o lugr (u, x) d ceç de w em T 3 u 1 4 s w 5 enqunto s 1 e existe um rest e = (u, v) E tl que λ(e) Pref(s) fç 6 s λ(e) 1 s 7 u v 8 se existe um rest e = (u, v) E tl que s[1] Pref(λ(e)) então 9 x o prexo comum mis comprido entre λ(e) e s 10 senão 11 x 1 12 devolv (λ(u)x, u, x) u u u xy x h y t x h y v () Arest (u, v) de rótulo xy v () Quer de (u, v) em (u, h) mis (h, v) w v (c) Arest (h, w) de rótulo t Figur 3.6: Querndo rests Algoritmo 3.2 Algoritmo de construção d árvore de Ukkonen UkkonenTree(W ) 1 W : conjunto de plvrs que serão reconhecidos pel árvore de Ukkonen 2 T árvore com riz 1 3 pr cd w W fç 4 (h, u, x) EncontrCeç(w, T) 5 t h 1 w 6 se x > 0 então 7 (u, v) rest ssocid o lugr (u, x) em T 8 crescente novo vértice h 9 remov rest (u, v) 10 crescente rest de u pr h de rótulo x 11 crescente rest de h pr v de rótulo h 1 v 12 se t > 0 então 13 crescente nov folh w 14 crescente rest de h pr w de rótulo t 15 devolv T

35 3.6 UM ALGORITMO INGÊNUO 21 W, qulquer lgoritmo de construção d árvore de Ukkonen de W deve ter um cot inferior de Ω( w W w ), pois é necessário ler tod entrd. Ou sej, este lgoritmo ingênuo é tmém um lgoritmo ótimo pr construção ds árvores de Ukkonen. 1 1 c c 1 c c c c c 1 () T 0 c () T 1 c (c) T 2 c c c (d) T 3 c c c 1 c c c c c c c 1 c c c c c c c c (e) T 4 (f) T 5 c c c c 1 c c c c c c c c c c 1 c c c c c c c c c c (g) T 6 (h) T 7 Figur 3.7: Sucessivs árvores de Ukkonen T i de W i, onde W 0 = e W i = W i 1 {s[i.. s ]} pr s = c e i = 1,..., s + 1. Além disso, oservndo mis tentmente o lgoritmo 3.2 c clro que ordem com que s plvrs são inserids não é importnte, els podem ser inserids em qulquer ordem. No exemplo d gur 3.7 ordem escolhid foi decrescente com o comprimento d plvr, ms poderi ter sido qulquer outr.

36 22 CARACTERIZAÇÃO COMBINATÓRIA Minimlidde N próxim proposição e em seu corolário veremos que, ddo um conjunto de plvrs W, su árvore de Ukkonen é menor A + -árvore T = (V, E, λ) que reconhece W. Pr ser mis preciso, é menor no sentido em que sempre existe um injeção, que preserv rótulos e cminhos, dos vértices d árvore de Ukkonen pr os vértices de qulquer A + -árvore T que reconhece o mesmo conjunto de plvrs e cd rest n árvore de Ukkonen corresponde um cminho em T com o mesmo rótulo. Em outrs plvrs, árvore de Ukkonen é um minor de qulquer A + -árvore que reconhece o mesmo conjunto de plvrs. Estmos usndo minor no sentido usul encontrdo n litertur d teori de grfos. Dds dus A + -árvores T e T, dizemos que T é um minor de T se T é isomórco à A + -árvore otid prtir de T por sucessivs remoções de folhs, sus respectivs rests e/ou contrção de rests. Ddos três vértices u, v e w, com rests de u pr v e de v pr w, contrção desss rests, remove esss dus rests, o vértice v e crescent um rest de u pr w com rótulo igul conctenção dos rótulos ds rests nteriores, dest mneir os rótulos dos vértices u e w permnecem inlterdos. Proposição Sej W A e sej T = (V, E, λ) um A + -árvore que reconhece W. Então, W Bifurc(W ) {1} λ(v ). Prov. Os csos em que W 1 são triviis. Vmos ssumir então que W tem pelo menos dus plvrs. Pel denição de A + -árvore que reconhece W, W λ(v ) e {1} λ(v ). Fltnos provr que Bifurc(W ) λ(v ). Sej x Bifurc(W ). Existem, Σ, com, tis que x, x Pref(W ). Assim, existem u, v W λ(v ) distintos tis que x Pref(u) e x Pref(v). Como T reconhece W {u, v}, temos que λ 1 (u), λ 1 (v) são vértices de T e existe MAC(λ 1 (u), λ 1 (v)). Como, x é o prexo comum mis comprido de u e de v e semos pel proposição 3.5 que x = λ(mac(λ 1 (u), λ 1 (v))), temos que x λ(v ). Isto prov que Bifurc(W ) λ(v ), o que complet demonstrção. Usndo proposição nterior e proposição 3.3, o próximo corolário segue imeditmente. Corolário Sej W A e T = (V, E, λ) um A + -árvore que reconhece W. Tod rest (u, v) n árvore de Ukkonen de W corresponde um cminho de λ 1 (u) té λ 1 (v) em T. Além disso, eles possuem o mesmo rótulo u 1 v. Removendo todos os vértices que não pertencem nenhum cminho d riz té um vértice nl e usndo últim proposição e corolário, segue imeditmente o próximo teorem. Teorem Sej W A um conjunto qulquer de plvrs, árvore de Ukkonen de W é um minor de qulquer A + -árvore que reconhece W.

37 Cpítulo 4 Árvore de Suxos (Generlizd) Fce à quntidde de plicções, de cert form s árvores de suxos dispensm miores presentções. Desde que form introduzids por Weiner [Wei73] els encontrrm um extenso uso n resolução de prolems sore plvrs. O prolem do ftor comum mis longo [Gus97] é um dests plicções: dds dus plvrs s e t queremos encontrr o ftor comum mis longo entre ests plvrs. Um ds soluções ecientes mis simples pr este prolem [dls03] envolve construção d árvore de suxos pr s e t conjuntmente, ou sej, um únic árvore de suxos que contém todos os suxos de s e de t. Est generlizção nturl ds árvores de suxos é chmd de árvore de suxos generlizd [Gus97]. Muito utores 1 [Wei73, Ukk95, GK97, Fr97, Gus97] denem s árvores de suxos como tries compcts ou árvores PATRICIA [Mor68] pr o conjunto de suxos não vzios de um plvr w. Um trie [CHL07] é um utômto nito determinístico que reconhece os suxos de w em que dois cminhos distintos prtindo de um mesmo estdo terminm em estdos distintos, ou equivlentemente, é um A + -árvore que reconhece Suf(w) em que tods s rests tem rótulos de comprimento um. Um trie compct ou árvore PATRICIA é um trie em que todos vértices com pens um lho são contrídos (vértices implícitos). Nest denição gerlmente se exige que últim letr de w sej distint. Trt-se de um denição intrínsec, ms não explícit, estrutur d árvore não é óvi priori. Com exceção ds folhs (que são os suxos de w) e d riz, não semos quis são os vértices, s rests e nem os seu rótulos. Neste cpítulo presentremos s árvores de suxos e s árvores de suxos generlizds como um cso prticulr ds árvores de Ukkonen. Um vntgem dest ordgem é que de- nição 3.7 é tnto intrínsec, topologi d árvore é completmente determind pelo conjunto de plvrs que el reconhece, qunto explícit, tod estrutur d árvore (quis são os vértices, rests e rótulos) é dd n denição. Além disso, s propriedde estuds no cpítulo 3 tmém 1 Guseld [Gus97] e Weiner [Wei73] não citm explicitmente s tries, ms s sus denições são muito próxims dquels que usm tries. 23

38 24 ÁRVORE DE SUFIXOS (GENERALIZADA) 4.1 são válids pr estes csos especiis, em prticulr o teorem 3.14, propriedde miniml. Em outrs plvrs, se denids dest form árvore de suxos e árvore generlizd são s menores estruturs em form de árvore que reconhecem um conjunto de suxos de um plvr e o super conjunto de suxos de váris plvrs, respectivmente. 4.1 Denições A árvore de suxos [Wei73, McC76, Ukk95, Gus97, dls03] de um plvr w é árvore de Ukkonen que reconhece o conjunto dos suxos não vzios de w. Os exemplos ds gurs gurs 3.3 e 3.4 são s árvores de suxo de c e, respectivmente. N gur 4.1, são presentdos mis dois exemplos de árvore de suxos. E denição forml, como um cso prticulr d árvore de Ukkonen, é presentd n denição 4.1. Denição 4.1 (Árvore de suxos). Sej w A um plvr e sej W = Suf(w) \ {1} o conjunto dos suxos não vzios de w. A árvore de suxos de w é árvore de Ukkonen de W. 1 1 () Árvore de suxo de w = () Árvore de suxo de w = Figur 4.1: Exemplos de árvores de suxos. 1 Figur 4.2: Árvore de suxos generlizd de H = {, }. A árvore de suxos generlizd [Gus97] de um conjunto de plvrs H é árvore de

39 4.2 A ÚLTIMA LETRA DISTINTA 25 Ukkonen do conjunto de todos os suxos não vzios ds plvrs em H. A denição forml é presentd n denição 4.2 e um exemplo com dus plvrs é ddo n gur 4.2. Denição 4.2 (Árvore de suxos generlizd). Sej H A um conjunto nito de plvrs e sej W = w H Suf(w) \ {1} o conjunto de todos os suxos não vzios ds plvrs em H. A árvore de suxos generlizd de H é árvore de Ukkonen de W. 4.2 A Últim Letr Distint Vle pen oservr que n denição 4.1, diferentemente 2 de [Gus97, Ukk95, McC76, Wei73], não exigimos que últim letr de w não tenh precido ntes, ou sej, que Suf(w) sej livre de prexos. A consequênci disto, como grnte o corolário 3.9, é que nem todos os suxos serão necessrimente folhs e noss árvore não será necessrimente compct. N gur 4.3(), temos um um árvore de suxos não compct e, n gur 4.3(), temos um árvore compct. 1 1 () Árvore de suxos de w = () Árvore de suxos de w = Figur 4.3: Exemplos de árvores de suxos. Nestes exemplos, estão representds s árvores de suxos de e. Ou sej, n gur 4.3() temos árvore de suxos de pós conctenção de um últim letr distint. Repre que árvore d gur 4.3() possui 6 vértices, enqunto outr possui 11 vértices. Houve um umento considerável no número de vértices. Em gerl, se V é número de vértices d árvore de suxos T = (V, E, λ) de w, então árvore de suxos de w# pode ter té 2 V 1 vértices, como ocorre nos exemplos d gur 4.3. Portnto, não exigindo que 2 Crochemore et l. [CHL07] tmém não exige que últim letr sej distint.

40 26 ÁRVORE DE SUFIXOS (GENERALIZADA) 4.4 últim letr sej distint, denição 4.1 ds árvores de suxo result em um estrutur mis econômic no uso de memóri do que s presentds em [Gus97, Ukk95, McC76, Wei73]. 4.3 A Representção ds Árvores de Suxos N seção 3.5 rgumentmos que cot inferior pr construção d árvore de Ukkonen de W er Ω( x W x ). No cso d árvore de suxos de um plvr w de comprimento n, terímos que x = x W x Suf(w) x = n i = Ω(n 2 ). Ou sej, cot inferior pr construção ds árvores de suxos seri Ω(n 2 ). Aqui temos, porém, um informção dicionl importnte sore W. Aquel rgumentção não se plic o cso ds árvores de suxos porque é possível ler tods s plvrs de W em tempo O(n), nl tods s plvrs de W são suxos de w. Existe ind um outro ponto que poderi proiir um lgoritmo liner pr construção ds árvores de suxos: representção dos rótulos. Qulquer representção computcionl d árvore de Ukkonen T = (V, E, λ) de W, deve incluir pelo menos os rótulos d rests. No cso d árvore de suxos de w, com n = w, se ssociássemos cd rest um plvr, serim necessários n i=1 i = Ω(n2 ) letrs pr representr todos os rótulos ds rests. O que, nturlmente, impossiilitri um lgoritmo liner. Este prolem é resolvido se em cd rótulo o invés de gurdrmos um cópi de um ftor de w, gurdrmos dois números: posição de início 3 d ocorrênci do ftor em w e o seu tmnho. Assumiremos est representção compct dos rótulos de gor em dinte, inclusive pr árvore esprs de suxos e pr árvore de k-ftores denids nos cpítulos seguintes [Gus97]. i=1 4.4 Algoritmos Clássicos Nest seção pretendemos descrever de mneir stnte supercil os lgoritmos clássicos pr construção d árvore de suxos e árvore generlizd. Contudo, no próximo cpítulo presentremos em detlhes um novo lgoritmo pr construção d árvore esprs de suxos que pode ser usdo diretmente pr construção d árvore de suxos e, com poucs modicções, tmém pr construção d árvore generlizd. Os qutro lgoritmos clássicos pr construção d árvore de suxos de w em tempo O(n), onde n = w, são: Weiner [Wei73], McCreight [McC76, dls03], Ukkonen [Ukk95] e 3 No cso de váris ocorrêncis, qulquer um serviri.