ANO 4 - N O 20 MARÇO PÁGINA 1. DE ONDE VEM O h?

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1 PÁGINA 1 1. Introdução DE ONDE VEM O h? Estamos em 1900, o último ano de um século que, ao seu final, chegou a considerar a Física pronta e acabada. Grandes cientistas e pensadores afirmavam categoricamente que nada mais haveria a descobrir, e tudo se resumiria a aplicar as teorias existentes a Mecânica de Newton, o Eletromagnetismo de Maxwell aos fenômenos da Natureza, à medida em que eles fossem incomodando (1). Que grande equívoco!! O século que se aproxima trará grandes surpresas para eles. Aliás, não será preciso esperar pelo novo século. Ainda neste ano, o físico alemão Max Planck ( ) irá explicar um fenômeno que teimava em desafiar os conceitos da Física Clássica. Só que, para isso, precisará lançar mão de uma nova hipótese: a quantização da energia, e com ela fará surgir uma das constantes mais importantes da Natureza, o h de Planck. Conheça essa história! 2. A emissão de radiação pelos corpos Planck Ao fim do século XIX, era público e notório que todos os corpos estão, a todo momento e em qualquer temperatura, emitindo radiação. Na página 32 do volume de Termologia e Óptica, analisamos essa emissão, quando do estudo da transferência de calor por irradiação. Para o que nos interessa no momento, relembraremos apenas as suas principais características. Quando o corpo que emite se encontra na fase gasosa, a emissão resulta num espectro discreto, composto de algumas freqüências, específicas de cada material, e é denominado espectro de raias (essa característica do espectro de um gás será motivo para Niels Bohr ampliar, em 1913, as idéias de quantização que Planck e Eisntein haviam proposto antes dele. Mas isso é assunto para outro artigo...). Exemplificamos abaixo para o gás hidrogênio, na faixa de freqüências visíveis: figura 1 Já quando a radiação é emitida por um sólido, o espectro é contínuo, abrangendo uma larga faixa de freqüências. Uma boa maneira de representar essa emissão é pelo gráfico da radiância espectral x comprimento de onda da radiação emitida, tal como o que está representado na figura 2, para um pedaço de tungstênio aquecido a 2000K. figura 2

2 PÁGINA 2 Radiância espectral??????? É fundamental que você entenda o que diz o gráfico da figura 2. Acompanhe: na abscissa, temos o comprimento de onda λ da radiação emitida, em mícrons (1µ = 10 6 m). Assim, por exemplo, a radiação emitida varia significativamente de λ 0,5 x 10 6 m até cerca de 4,5 x 10 6 m, e o máximo da curva corresponde a λ m 1,3 x 10 6 m; na ordenada, temos a grandeza denominada radiância espectral R λ. A unidade nos ajuda a interpretá-la: ela mede a energia irradiada, por unidade de tempo e por unidade de área, dentro de uma determinada faixa de comprimentos de onda. Parece complicado, mas não é. Reproduzimos o gráfico na figura 3, destacando a faixa de comprimentos de onda entre 1,0µ e 1,2µ. A área (A) da tirinha nele assinalada vale: figura 3 A = base x altura 0,2µ x 11W/(cm 2.µ) = 2,2W/cm 2, ou seja, cada cm 2 de uma fonte de tungstênio (que pode ser o filamento de uma lâmpada comum), aquecida a 2000K, emite 2,2 joules por segundo de energia sob forma de radiação, com comprimento de onda entre 1,0µ e 1,2µ; Como você deve ter concluído, a área total sob o gráfico corresponde à potência total emitida por 1cm 2 da fonte (essa grandeza é denominada radiância R). Utilizando o processo mais simples de cálculo aproximado dessa área substituí-la por um retângulo de área equivalente obtemos um valor da ordem de: R = base x altura 4µ x 5W/(cm 2. µ) = 20W/cm 2 (o valor correto, obtido através de métodos mais precisos, é de 23,5W/cm 2 ) figura 4 Exercício 1 Utilize o resultado anterior e estime a área da superfície do tungstênio de uma lâmpada de filamento que tenha uma potência de 40W a 2000K. Exercício 2 As radiações visíveis (luz) possuem freqüência entre 4,8 x Hz (vermelha) e 6,7 x Hz (violeta). Verifique se a radiação de maior intensidade emitida pelo tungstênio a 2000K situa-se dentro dessa faixa. 3. Um pouco mais de luz na emissão dos sólidos Existem duas características marcantes no espectro de emissão dos sólidos aquecidos: I) Cada material apresenta uma família de curvas de radiância espectral, cada curva correspondendo a uma temperatura.

3 PÁGINA 3 A figura 5 mostra três dessas curvas para um determinado material. Observa-se claramente que, quanto mais quente o irradiador, maior a potência com que ele emite (ou seja, sua radiância). Também se pode observar o deslocamento do pico da curva no sentido dos menores comprimentos de onda. Em outras palavras: o comprimento de onda λ m da radiação dominante varia inversamente com a temperatura T. Esses resultados concordam com o que conhecemos sobre um corpo aquecido. Pense, por exemplo, num prego de ferro cuja ponta é aquecida gradativamente na chama de um maçarico: inicialmente, emite luz fracamente, numa tonalidade vermelho escuro, que vai clareando e ficando alaranjado, para, finalmente, emitir um branco intenso, indicando a presença das freqüências mais altas. figura 5 O aumento da radiância com a temperatura foi analisada por Stefan e por Boltzmann, que mostraram ser a radiância proporcional à quarta potência da temperatura absoluta (ver exercício 5). O deslocamento da radiação dominante no sentido dos menores λ foi estudado por Wien, que expressou matematicamente a dependência entre λ m e T numa equação conhecida como lei de Wien do deslocamento (ver exercício 6). II) Para um mesmo valor de temperatura, cada material apresenta uma curva de radiância espectral diferente, como mostra a figura 6. Dela, pode-se concluir que o material A é melhor emissor do que B, e este melhor do que C. 4. O irradiador ideal figura 6 Lembra-se do estudo dos gases, particularmente do modelo do gás perfeito? Ele é definido como sendo aquele que segue rigorosamente as leis apresentadas no capítulo 6 do volume de Termologia e Óptica, que podem ser resumidas na equação de Clapeyron pv = nrt. Apesar de ser um modelo ou seja, uma idealização mental que não existe na realidade ele é muito útil; o comportamento mais complexo e particular de cada gás real pode ser derivado desse modelo, incluindo-se nas equações constantes características de cada material. Algo semelhante ocorre com o fenômeno que estamos analisando. Como vimos, cada material apresenta um comportamento particular, no que diz respeito à emissão de radiação por excitação térmica. Entretanto, se fizermos uma cavidade em blocos de materiais diferentes, e analisarmos a radiação que emerge de um pequeno orifício que liga a cavidade ao exterior (denominada radiação de cavidade), constataremos dois fatos importantes: figura 7 I) A radiação proveniente da cavidade é mais intensa que a emitida pela superfície do material, qualquer que seja ele. O gráfico da figura 8 mostra, para um bloco de tungstênio com uma cavidade, aquecido a 2000K, as duas curvas: a da superfície e a da cavidade. Já na figura 9, procuramos dar uma idéia visual dos brilhos relativos de ambas, para a luz amarela.

4 PÁGINA 4 figura 9 figura 8 II) Tanto a intensidade, como a distribuição da radiação que emerge da cavidade, não dependem do material; elas são função apenas da temperatura. O gráfico da figura 10 mostra essa característica notável do irradiador de cavidade: enquanto que as radiações emitidas pelas superfícies das substâncias A, B e C são diferentes, as que emergem das cavidades são idênticas, e maiores que as superficiais (2). figura 10 Exercício 3 Considere o gráfico da figura 8 e responda: a) Através da área sob o gráfico, faça uma estimativa da radiância da cavidade, para a temperatura de 2000K. b) Determine a razão entre a radiância da superfície do tungstênio a 2000K (23,5W/cm 2 ) e a radiância da cavidade na mesma temperatura. 5. As explicações clássicas Apesar de o fenômeno da radiação de cavidade ser bem conhecido ao final do século XIX, sua explicação teórica foi uma das pedras no caminho das teorias da Física Clássica. Vários físicos de renome debruçaram-se sobre o problema, mas as soluções que deduziam eram sempre limitadas. Ou a curva teórica se ajustava à experimental na região dos pequenos comprimentos de onda, mas errava nos grandes, ou vice-versa. Uma das soluções mais próximas foi obtida por Wilhelm Wien ( ). Como curiosidade, apresentamos a seguir sua equação para a dependência da radiância espectral com o comprimento de onda e a temperatura (3) : Em 19 de outubro de 1900, Max Planck apresentou, na Sociedade de Física de Berlim, uma fórmula ligeiramente modificada em relação a de Wien, mas que fazia o ajuste perfeito aos valores experimentais. Essa fórmula era: (1) (2)

5 PÁGINA 5 Para você ver a diferença que fez o 1, a figura 11 (extraída de Física, Resnick e Halliday, volume 4) mostra a comparação entre os dados experimentais e as fórmulas de Wien e Planck: Feito o ajuste na equação, faltava a Planck explicá-la teoricamente. E ele o fez, mas através de hipóteses extremamente ousadas. Elas eram tão radicais, dentro do contexto da Física Clássica, que decorreram 18 anos desde sua explicação até que recebesse por ela o Prêmio Nobel (em 1911, esse mesmo prêmio foi conferido a Wien, pelo descobrimento de leis relativas à radiação térmica). 6. A quantização da energia Lançando mão de hipóteses das quais ele mesmo duvidou no início (4), Planck elaborou uma teoria que explicava com sucesso o espectro de radiação das cavidades, bem como dela derivou as leis já conhecidas sobre a radiação térmica, a lei de Wien do deslocamento e a lei de Stefan-Boltzmann sobre a radiância. Basicamente, ele supôs que os átomos das paredes do irradiador se comportassem como pequenos osciladores eletromagnéticos, cada qual com uma freqüência característica de oscilação, que responderiam pelas várias freqüências do espectro observado. Tais osciladores, entretanto, deveriam possuir duas novas propriedades: 1. Um oscilador não poderia ter uma energia qualquer, mas apenas aquelas cujos valores fossem múltiplos inteiros de uma quantidade fundamental dada por: E = hf, ou seja, E oscilador = nhf, onde n é hoje conhecido como número quântico. 2. Um oscilador não emitiria nem absorveria energia, enquanto permanecesse em um de seus estados quantizados (ou seja, com a energia E oscilador = nhf); a energia seria irradiada (ou absorvida) quando o oscilador mudasse de um estado quântico para outro. Por exemplo, o salto entre dois estados quânticos contíguos corresponderia a uma liberação (ou absorção) de energia dada por: E = (n + 1)hf nhf E = hf Utilizando então uma matemática que foge ao nível desse artigo, ele chegou à expressão teórica que descreve corretamente o comportamento do irradiador de cavidade. Nesta expressão comparece a constante h; por comparação com a equação (2), na qual as constantes c 1 e c 2 podem ser obtidas a partir dos dados experimentais, Planck chegou ao valor de uma

6 PÁGINA 6 das constantes mais importantes da Física atual: h = 6,6 x J.s (5) Assim, no dia 14 de dezembro de 1900, ao apresentar sua teoria e resultados na Sociedade de Física de Berlim, Planck deu a luz ao fantástico mundo da Mecânica Quântica. 7. O corpo negro Você já sabe, dos seus estudos de transmissão de calor, que um corpo escuro absorve mais radiação do que qualquer outro, e é por isso que ele é escuro, não é mesmo? (Se tivesse que ficar dentro de um carro trancado e exposto ao sol, você escolheria um claro ou um escuro?). O que talvez não saiba ainda, é que, do mesmo modo que é o melhor absorvedor, ele também é o melhor irradiador. Podemos comprovar isso de vários modos, vamos aqui citar dois deles. O primeiro, um argumento lógico: se você deixar dois objetos ao sol, um claro e um escuro, depois de algum tempo eles terão suas temperaturas estabilizadas. A partir desse momento, cada um irradia na mesma taxa com que absorve radiação (pois, se assim não fosse, suas temperaturas ainda estariam aumentando...). Como o corpo escuro absorve mais do que o claro... O segundo, uma experiência bem simples, e que você não deve deixar de fazer: primeiramente, coloque ao sol, em copos de vidro, quantidades iguais de leite e café, inicialmente frios, em uma mesma temperatura. Depois de algum tempo, meça as temperaturas dos dois. Conclua! Agora, ferva quantidades iguais de leite e café, e coloque-os para esfriar à sombra. Espere um tempo e meça suas temperaturas. Conclua!!! Chamamos de corpo negro àquele que absorve toda a radiação que nele incide, nada refletindo. Pelo que acabamos de dizer, é também o melhor emissor de radiação. O irradiador de cavidade, que analisamos nas seções anteriores, é o melhor protótipo do corpo negro: toda radiação que penetra na cavidade vai sofrendo internamente múltiplas reflexões, até ser completamente absorvida (outros corpos reais que se aproximam do modelo do corpo negro são o carvão e a fuligem). É por isso que você vai encontrar em muitos outros lugares o termo radiação do corpo negro, para designar a radiação que emerge de uma cavidade. 8. Considerações finais Embora considerado o pai da Mecânica Quântica, por sua solução da radiação térmica baseada na quantização da energia, vale dizer que Planck continuou aceitando que a radiação, tanto dentro da cavidade como após dela emergir, se comportava como uma onda eletromagnética. Foi em 1905 que Einstein, para explicar o efeito fotoelétrico, avança um pouco mais no sentido de propor um comportamento quantificado para a luz, também em sua propagação (6). 9. Teste seus conhecimentos 4. Utilize a análise dimensional para confirmar a unidade da constante h (J.s). 5. Diz a lei de Stefan - Boltzmann: A radiância de um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta: R = σ T 4, onde σ é a constante de Stefan - Boltzmann a) Utilize a análise dimensional e determine a unidade SI da constante de Stefan - Boltzmann. b) Sabendo que a radiância de um corpo negro a 2000K é de 90W/cm 2, determine o valor de σ, em unidades SI. c) Determine a radiância de um corpo negro a 4000K.

7 PÁGINA 7 6. Diz a lei de Wien: Na emissão de um corpo negro, o comprimento de onda da radiação dominante é inversamente proporcional à temperatura absoluta: λ máx. T = constante a) Utilize a análise dimensional e determine a unidade SI da constante da lei de Wien. b) A partir do gráfico da figura 8, faça uma estimativa do valor dessa constante, em unidades SI. c) Consulte a resposta do item (b) e determine, com o valor que lá se encontra, a mínima temperatura de um corpo negro para que a freqüência dominante seja visível (dado: f vermelho = 4,8 x Hz). Notas (1) A esse respeito, diz Roberto Martins: Diante dos grandes sucessos científicos que haviam ocorrido, em 1900 alguns físicos pensavam que a Física estava praticamente completa. Lord Kelvin um dos cientistas que havia ajudado a transformar essa área recomendou que os jovens não se dedicassem à Física, pois faltavam apenas alguns detalhes pouco interessantes a serem desenvolvidos, como o refinamento de medidas e a solução de problemas secundários. Kelvin mencionou, no entanto, que existiam duas pequenas nuvens no horizonte da física: os resultados negativos do experimento de Michelson e Morley (que haviam tentado medir a velocidade da Terra através do éter) e a dificuldade em explicar a distribuição de energia na radiação de um corpo aquecido. Foram essas duas pequenas nuvens, no entanto, que desencadearam o surgimento das duas teorias que revolucionaram a Física no século XX: a teoria da relatividade e a teoria quântica. A visão otimista de Lord Kelvin, compartilhada por muitos físicos da época, não levava em conta que existiam, na verdade, muitos problemas na física do final do século XIX. No entanto, a maior parte dos cientistas pensava apenas nos sucessos, e não nessas dificuldades. Não percebiam a existência de grande número de fenômenos inexplicados e de problemas teóricos e conceituais pendentes. A Física no final do século XIX: modelos em crise Em: (2) Daí a analogia que se costuma fazer entre o irradiador de cavidade e o gás perfeito. Também aqui, a partir do comportamento mais simples do irradiador de cavidade ou corpo negro, como veremos adiante pode-se chegar ao comportamento distinto dos diversos materiais, através da introdução de constantes, específicas de cada um. (3) Enquanto que a solução de Wien se ajustava bem aos pequenos comprimentos de onda, Raleigh e Jeans chegaram a uma solução que se ajustava aos grandes comprimentos de onda, como mostra a figura 12 (fonte: www. comciencia.br/reportagens/fisica/fisica05.htm) (4) Em certo momento, Planck afirmou: Minhas fúteis tentativas de enquadrar a grandeza h dentro da teoria clássica perduraram por alguns anos, tendo consumido muito do meu esforço. (5) Fosse a constante h de Planck bem maior do que é, e a quantização da energia seria visualmente percebida, por exemplo, em um oscilador massa/mola, cuja energia vai diminuindo por causa do atrito com a superfície sobre a qual se apóia. Considere, por exemplo, um oscilador cuja mola tenha constante k = 2000 N/m, e que execute duas oscilações por segundo, com amplitude A = 10cm = 0,10m. Teremos:

8 PÁGINA 8 E oscilador = (1/2)kA 2 = 1000 x (10 1 )2 = 10J f = 2Hz Supondo que h fosse muiiiiiiiiiiiiiito maior do que é, por exemplo, h = 1,0 J.s, teríamos, para esse oscilador, variações discretas de energia dadas por: E = hf = 2J, e veríamos o oscilador atingir o repouso assumindo sucessivamente os valores 8J, 6J, 4J, 2J e zero. A quantização seria perfeitamente visível, ao contrário do que ocorre na realidade. Ao observar esse oscilador diminuindo sua energia, temos a clara percepção de que a diminuição é contínua, e não aos saltos. Também, pudera: com o valor que temos realmente para h, teríamos, para cada salto : E = hf = 6,6,x x 2 = 1,32 x J, imperceptível aos nossos sentidos!!!! (6) Veja o artigo O efeito fotoelétrico, disponível no cd-rom que acompanha o livro de Eletricidade e Ondas da coleção Fisica (de Luiz Alberto Guimarães e Marcelo Fonte Boa) como material complementar ao conteúdo da página 225 do mesmo livro. Respostas 1. 2cm 2 2. Não, pois f m = 2,3 x Hz < 4,8 x Hz. Agora você entende porque as lâmpadas de tungstênio são muito inferiores, em termos de rendimento, às lâmpadas denominadas frias (fluorescentes e outras). A maior parte da radiação que ela emite está na faixa do infravermelho, invisíveis para o olho, que apenas servem para esquentar o ambiente a) Cerca de 90W/cm 2 b) 0,26. Esse valor comparativo é denominado emissividade (e) do material, para aquela temperatura. A tabela a seguir apresenta os valores precisos, para três metais distintos: metal emissividade (a 2000K) molibdênio 0,212 tântalo 0,232 tungstênio 0, Essa é por sua conta! 5. a) W/(m 2.K 4 ) b) 5,6 x 10 8 W/(m 2.K 4 ). O valor correto, com três algarismos, é 5,67 x 10 8 W/(m 2.K 4 ) c) 2 4 vezes maior, ou seja, 16 x 90 = 1440W/cm 2 6. a) m.k b) Algo próximo de 3 x 10 3 m.k. O valor correto, com três algarismos, é 2,90 x 10 3 m.k. c) 4,64 x 10 3 K Luiz Alberto Guimarães