Aprendemos que a relação fundamental da divisão é determinada pela seguinte relação matemática:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Aprendemos que a relação fundamental da divisão é determinada pela seguinte relação matemática:"

Transcrição

1 CONCEITO DE MÚLTIPLOS E DIVISORES NOS NÚMEROS NATURAIS 1) Conceitos Iniciais Aprendemos que a relação fundamental da divisão é determinada pela seguinte relação matemática: DIVIDENDO (D) = QUOCIENTE (Q) x DIVISOR (D) + RESTO (R); sendo que o resto r é o indicador das seguintes situações: - quando o resto r for igual a zero (r = 0), a divisão é exata; - quando o resto r for diferente de zero (r 0), a divisão é dita não-exata. Exemplos: a) na divisão de temos: Dividendo: 125; quociente: 25, divisor: 5 e resto da divisão:0; aplicando a relação fundamental da divisão temos: 125 = 25 x = 25 x 5 Resto r = 0 Divisor = 5 (sempre quem divide; fica dentro da chave) Quociente = 25 (fica sempre embaixo da chave) Dividendo = 125 (é sempre o número que será dividido) b) adotando o mesmo critério (a mesma definição) para a divisão de 126 : 5 temos: dividendo: 126, quociente: 25, divisor: 5 e resto da divisão: 1 (r 0); aplicando a relação fundamental da divisão temos: 126 = 25 x = 25 x Resto r = 1 Divisor = 5 (sempre quem divide; fica dentro da chave) Quociente = 25 (fica sempre embaixo da chave) Dividendo= 126 (é sempre o número que será dividido) Exercício de Aplicação: Nas divisões a seguir, determine o dividendo, o quociente, o divisor e o resto, classificandoas como divisão exata ou divisão não-exata: a)887 : b)888:3 888 c)15.555: d)650 : e)12.125: f )777 : g)5.525: h)680 : i)985:5 985 j)356 : 6 356

2 Vimos, portanto, que há dois tipos de divisões, exata e não-exata. A partir de agora iremos trabalhar exclusivamente com divisões exatas. Voltemos à divisão inicial de 125 5: 125 = 25 x = 25 x 5 Resto r = 0 Divisor = 5 (sempre quem divide; fica dentro da chave) Quociente = 25 (fica sempre embaixo da chave) Dividendo = 125 (é sempre o número que será dividido) Se invertermos a divisão agora e fizermos , ou seja, o quociente será o divisor, vamos obter a seguinte situação: 125 = 5 x = 5 x 25 Resto r = 0 Divisor = 25 (sempre quem divide; fica dentro da chave) Quociente = 5 (fica sempre embaixo da chave) Dividendo = 125 (é sempre o número que será dividido) Perceba que novamente temos uma divisão exata e, baseado nesta situação, podemos concluir o seguinte fato: em divisões exatas podemos mudar a ordem entre o divisor e o quociente e, o resultado final do resto será sempre o mesmo, ou seja, r = 0, pois temos uma divisão exata. Logo sempre que temos uma divisão exata entre dois números naturais, dizemos que: - o primeiro número (dividendo) é divisível pelo segundo número (divisor); também podemos dizer que o primeiro número é múltiplo do segundo; - o segundo número é divisor do primeiro; também podemos dizer que o segundo é fator do primeiro; - ao invertermos a ordem, ou seja, o quociente da primeira divisão vira o divisor e, o divisor vira o quociente; temos, portanto uma nova divisão, logo também é válida para esta divisão as definições anteriores para esta divisão. Exemplo de aplicação e explicação: Faremos agora uma divisão onde mostraremos os conceitos explicados e os conciliaremos em uma única situação. Considere a seguinte divisão exata: Aplicando a relação fundamental da divisão: 630 dividendo, 15 divisor, 42 quociente, e resto igual a zero (r = 0); então temos: 630 é divisível por 15, ou ainda, 630 é múltiplo de 15, pois 15 x 42 = 630; 15 é divisor de 630, ou ainda, dizemos 15 é fator de 630; como a divisão é exata temos que: 630 também é divisível por 42; 42 é divisor de 630 e também fator de 630.

3 (fator nome dado ao número em uma multiplicação). Podemos resumir o que foi exposto do seguinte modo: - como a divisão é exata, logo 630 é divisível ao mesmo tempo por 15 e 42, e 630 é múltiplo de 15 e 42; - 15 e 42 são divisores de 630, logo também são fatores de 630. Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma: - Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3. - Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2. - Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5. Outro exemplo (modo resumido) Considere a divisão exata: = 3 temos então: é divisível por 50 e por 3, logo 150 é múltiplo de 50 e de 3; - 3 e 50 são divisores de 150, logo são fatores de 150. Exercício de aplicação Nas divisões exatas a seguir determine quem é divisível por quem, os múltiplos e os divisores (fatores) envolvidos em cada situação: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) ) Conceito de divisibilidade Um número natural é divisível por outro quando a divisão do primeiro pelo segundo é exata ( resto igual a zero). Exemplos: todas as divisões são exatas: a) é divisível por 3; b) é divisível por 20; c) não é divisível por 3. Faremos agora alguns exercícios envolvendo os conceitos: divisibilidade, múltiplo, divisor e fator. Exercícios de Aplicação 1) É possível repartir 224 folhas de papel sulfite entre 32 pessoas de modo que não sobrem nenhuma folha, e que ninguém receba menos folhas? Como isto é possível? 2) Responda: a) 495 é divisível por 9? d) 378 é divisível por 12? b) é múltiplo de 7? e) é múltiplo de 23?

4 c) 8 é divisor de 349? f) 14 é divisor de 182? 3) Clotilde que colocar 255 balas em saquinhos, todos com a mesma quantidade de balas de modo que não sobre nenhuma. Que quantidade de balas ela pode colocar em cada saquinho: 8 balas, 12 balas ou 15 balas? 4) Coloque Verdadeiro (V) ou Falso (F), justificando sua resposta: a) 255 é múltiplo de 8 ( ) d) 15 é divisor de 255 ( ) g) 255 não é divisível por 8 ( ) b) 255 é divisível por 12 ( ) e) 12 é divisor de 255 ( ) h) 255 é múltiplo de 12 ( ) c) 255 é divisível por 15 ( ) f) 255 é múltiplo de 15 ( ) i) 12 não é divisor de 255 ( ) Critérios de divisibilidade são regras que podemos aplicar para verificarmos a divisibilidade entre dois números sem efetuarmos a divisão entre eles. Os principais critérios de divisibilidade são os seguintes: Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos: 1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em é divisível por 4, pois 16 é divisível por é divisível por 4, pois 24 é divisível por não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 (somente números pares são divisíveis por 6). Exemplos: 1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).

5 2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: 1) 7000 é divisível por 8, pois termina em ) é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 3) é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 4) não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a =18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9. Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente. Exemplos: 1) Si (soma das ordens ímpares) = = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número é divisível por 11. 2) Si (soma das ordens ímpares) = = 10 Sp (soma das ordens pares) = = 21 Si-Sp = Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: = 21. Então temos a subtração = 0. Como zero é divisível por 11, o número é divisível por 11. Divisibilidade por 12 Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Exemplos: 1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20). 2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

6 Divisibilidade por 15 Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. Exemplos: 1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5). 2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5). 3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3). Divisibilidade por 25 Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75. Exemplos: 200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25. Exercícios de aplicação: 1) Considere os seguintes números: 15, 26, 35, 40, 78, 102, 111, 222, 2.200, 408, 555, 540 e 888 e, baseado neles complete: - os divisíveis por 2: - os divisíveis por 3: - os divisíveis por 4: - os divisíveis por 5 - os divisíveis por 6: 2) Assinale com um X os critérios de divisibilidade que cada número possui: Critério Por 2 Por 3 Por 4 Por 5 Por 6 Por 8 Por 9 Por 10 Por 15 Por 25 3) Entre os números naturais maiores que 12 e menores que 20, quantos números existem que são divisíveis ao mesmo tempo por 3 e por 5? 4) Entre os números naturais maiores que 10 e menores que 30, quantos números são aos mesmo tempo divisíveis por 2, por 3 e por 4? 5) Quais são os números naturais, maiores que 81 e menores que 100, que são divisíveis por 9? 6) Escreva os números existentes entre 20 e 40, incluindo-os, determinando entre eles os números que são divisíveis por 2 e por 5 ao mesmo tempo. 7) Entre os números que vão do 100 ao 130, escreva aqueles que são divisíveis por 12. 8) Considere o mês de julho que possui 31 dias. Separe cada dia com o critério de divisibilidade que cada dia possui, separando também os dias que não possuem nenhum critério de divisibilidade.

7 9) Sem efetuar divisões, identifique os números divisíveis por 2: a) 86 c) 400 e) g) i) b) 527 d) 664 f) h) j) ) Complete os espaços com é ou não é (justifique): a) 555 divisível por 5 b) 780 divisível por 2 c) 363 divisível por 3 d) 756 divisível por 6 e) 27 divisível por 9 f) 888 divisível por 12 g) 775 divisível por 9 h) 26 divisível por 4 11) Das quantias abaixo, quais podem ser obtidas somente com notas de R$ 5,00: a) R4 143,00 b) R$ 220,00 c) R$ 35,00 d) R$ 400,00 12) Escreva um número natural de três algarismos distintos que seja, ao mesmo tempo, divisível por 2, 3 e 5. 13)(Resolvido) Determine o maior número de 02 algarismos que: a) divisível por 5: sabemos pelo critério de divisibilidade por 5 que todo número terminado em zero (0)ou 5 é divisível por 5, logo o maior número de 02 algarismos divisível por 5 é o 95 (múltiplo de 5, ou = 95); b) divisível por 7: basta efetuarmos a divisão de 100 por 7: = 14 x 7 + 2; logo o maior número de 02 algarismos divisível por 7 é 98 (basta fazer 14 x 7 = 98 ou = 98) 14) (Resolvido) Determine o maior número de 03 algarismos divisível por 6: Solução 1: um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, logo o número procurado deve ser par e, como queremos o maior número, este número deve estar entre 990 a 1.000; os prováveis números a serem pesquisados são os seguintes: 992, 994, 996 e 998 (todos são pares) 992 : = 20 (soma dos algarismos não é divisível por 3); 994 : = 22 ( não serve); 996 : = 24 (soma dos algarismos é divisível por 3) e 998 : = 26 (não serve); logo o número procurado é 996. Solução 2: basta efetuar a divisão de por 6: = 166 x 6 + 4; basta fazer : 166 x 6 = 996 ou = ) Determine: a) o maior e o menor número de 02 algarismos divisível por 3, que está entre os números 29 e 40; b) o maior número de 03 algarismos divisível por 8 que está entre os números 990 e 1.000; c) o menor número de 04 algarismos que é divisível por 2: d) o maior número de 04 algarismos divisível por 2, por 3 e por 5 ao mesmo tempo: (RESOLVIDO) Solução: o número que desejamos encontrar está entre os seguintes números: a 9.999; logo temos que lembrar que: - para ser divisível por 2 o número tem que ser par; ser divisível por 3, a soma dos algarismos tem que ser divisível por 3 e para ser divisível por 5, tem que terminar em 0 ou 5; - o número a ser encontrado tem que satisfazer as três condições ao mesmo tempo; logo o único número que contempla as 03 situações é (é par; soma dos algarismos = 27; termina em 0).

8 e) o maior número de 03 algarismos divisível por 2, por 5 e por 8 ao mesmo tempo: (RESOLVIDO). Solução 1: o número que queremos encontrar deve ser par (divisível por 2), terminar em 0 (divisível por 5) e ser divisível por 8, logo como queremos o maior número de 03 algarismos que satisfaça os critérios de divisibilidade citados basta perceber que se o número termina com zero, as únicas possibilidades seriam: 910, 920, 930, 940, 950, 960, 970 e 990; o único número que se enquadraria nos critérios estabelecidos seria o 960. Solução 2: o número que queremos encontrar deve ser par (divisível por 2), terminar em 0 (divisível por 5) e ser divisível por 8, logo: - efetuamos primeiramente a divisão de por 8 para determinarmos o maior número de 03 algarismos que é divisível por 8: = 125 (pois 125 x 8 = 1.000), então o maior número de 03 algarismos divisível por 8 é 992 ( = 992); - a partir deste número basta voltar a razão de 8 (diminuirmos de 8 em 8) até encontrarmos um número par terminado em = 984; =... e assim sucessivamente até encontrarmos o número ) Determine: a) o maior número natural de 02 algarismos divisível por 2; b) o maior número natural de 02 algarismos divisível por 3; c) o maior número natural de 02 algarismos divisível por 5; d) o maior número natural de 02 algarismos divisível por 2 e por 5; e) o maior número natural de 03 algarismos divisível por 5; f) o menor número natural de03 algarismos divisível por 3; g) o maior número natural de 03 algarismos divisível por 6; h) o maior e o menor número natural de 02 algarismos divisível por 4 que esteja entre os números 30 a 42; i) o maior número natural de 03 algarismos divisível por 25; j) o menor número natural de 04 algarismos divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo; k) o menor número de 04 algarismos que seja divisível por 5 e por 6 ao mesmo tempo. 17) Resolva em seu caderno: a) o menor número natural de três algarismos que é múltiplo de 9, ou seja, divisível por 9. b) o maior número natural de dois algarismos que é divisível por 15. c) o maior número natural de três algarismos distintos (todos os algarismos são diferentes) que podemos formar com os algarismos 2, 7 e 9 que seja divisível por 6. d) escreva o maior e o menor número natural de três algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 2, 3 e 4 que seja divisível por 6. 18) Complete a tabela colocando sim ou não para os critérios de divisibilidade: Número Por 2 Por 3 Por 5 Por 15 Por

9 19) Entendendo os Anos Bissextos Tudo começou no tempo dos antigos egípcios, cujo calendário consistia de 12 meses com 30 dias cada, mais 5 dias adicionais para completar os 365 que a Terra gasta em seu movimento em torno do Sol. Bem, pelo menos era o que se pensava, quando a duração do ano foi determinada através das variações da sombra produzida por uma estaca fincada verticalmente no solo. Mas na prática sobram incomodas 5 horas, 48 minutos e 46 segundos até que a Terra volte a um mesmo ponto de sua órbita. Sem a precisão obtida hoje, os egípcios decidiram intercalar 1 dia a mais a cada 4 anos, passando a chamar seu calendário de Alexandrino. O ano da confusão MAIS TARDE, OS ROMANOS TIVERAM SÉRIOS PROBLEMAS com essas inserções. Particularmente sob o governo de Júlio César, elas foram tão dramaticamente negligenciadas que no ano 46 d.c. a diferença atingiu 80 dias. Então eles fizeram um novo calendário, e para começar o ano 46 teria 445 dias ( ), passando para a história como o "Ano da confusão". Conheces as leis dos céus? Poderás estabelecer as suas regras na Terra? O Livro de Jó. Antes das calendas de março O TERMO BISSEXTO FOI ADOTADO pelos mesmos romanos. Eles também achavam que o ano tinha 365 dias e 6 horas (ou 365,25 dias). Assim, a cada quatro anos as horas excedentes somariam um dia extra de 24 horas, que precisava ser acrescentado ao calendário. Acontece que, no calendário romano, o dia que representava o início de cada mês era chamado calendas. E o tal dia extra era normalmente inserido após o dia 24 de fevereiro, isto é, 6 dias antes das calendas de março. Como esse dia era contado duas vezes o chamavam de bis sexto ante calendas martii ou, resumidamente, bissexto. Os romanos fizeram a intercalação do bissexto rigorosamente durante mais de mil anos. E o calendário Juliano, afinal, foi adotado em grande parte do mundo ocidental. Ano solar verdadeiro CONTUDO, O ANO SOLAR VERDADEIRO TEM 365, dias portanto mais curto que o ano Juliano. Ao acrescentar sistematicamente um dia a cada quatro anos durante tanto tempo, o equinócio da primavera acabou dez dias atrasado em relação ao calendário em vigor. Para a Igreja Católica, isso implicava num acontecimento muito grave: no período compreendido entre a quarta-feira de Cinzas e a Páscoa, comer carne era considerado uma heresia. E como a Páscoa era determinada com base no início da primavera boreal, estava-se comendo carne num período em que o seu consumo era proibido. VOCÊ NÃO GANHA um dia a mais quando o ano é bissexto, mas perde pouco menos de seis horas a cada ano! Os dias que nunca existiram ISSO DEU ORIGEM A OUTRA REFORMA DO CALENDÁRIO, imposta durante o pontificado de Gregório XIII, no ano de 1582 da era Cristã. Sob orientação do astrônomo Lélio, a reforma Gregoriana do calendário, como ficou conhecida, consistiu no seguinte:

10 Retirar dez dias no ano de 1582 Durante o mês de outubro desse ano, a quinta-feira dia 4 foi sucedida pela sexta-feira, dia 15. Dez dias deixaram de existir, e o equinócio da primavera voltou a coincidir com o dia 21 de março. Criar uma nova regra para calcular os anos bissextos Continuar-se-ia acrescentando 1 dia a cada 4 anos, porém, os anos que fossem múltiplos de 100 deixariam de ser bissextos, exceto se também fossem múltiplos de 400. Dessa forma retirava-se 1 dia a cada 100 anos e adicionava-se outro a cada 400 anos (anos centenários como 1500 e 1900 não foram bissextos, mas para os intermediários é suficiente dividir por 4). Limitar a ocorrência da Páscoa A Páscoa nunca mais cairia antes do dia 22 de março, nem depois de 25 de abril. Incômodas frações PODEMOS REPRESENTAR O ANO SOLAR de 365, dias na forma de frações, assim: Mas na época da reforma Gregoriana a última parcela também era desconhecida, daí porquê o ano Gregoriano passou a ser definido da seguinte forma: Repare que ainda resta uma fração a corrigir: 1/3300. Mas essa é fácil, basta lembrar-se de retirar um dia do calendário a cada anos. Existem ainda imprecisões na duração do dia, porém não tão sérias. É que a Terra gira sobre si mesma em 23 horas e 56 minutos (fora alguns segundos...). Ao fim desse tempo ela torna a fazer face a uma mesma estrela distante. Mas para fazer face ao Sol, que está muito mais perto, nosso planeta precisa girar por mais quatro minutos. Esse novo período, de 24 horas, é o chamado dia solar. UMA OUTRA ABORDAGEM SOBRE ANOS BISSEXTOS O ano de 2008 e 2012 são anos bissextos. Em nosso calendário, chamado Gregoriano, os anos comuns têm 365 dias e os anos bissextos têm um dia a mais, totalizando 366 dias. Esta informação praticamente todo mundo sabe, mas o entendimento sobre o funcionamento dos anos bissextos ainda é recheado de dúvidas na cabeça de muita gente. Você saberia dizer quais são os anos bissextos?

11 Os anos bissextos são anos com um dia a mais, tendo, portanto 366 dias. O dia extra é introduzido como o dia 29 de Fevereiro, ocorrendo a cada quatro anos. O período de um ano se completa com uma volta da terra ao redor do sol. Como instrumentos de uso prático os calendários adotam uma quantidade exata de dias para o período de um ano: 365 dias. Mas na realidade a terra leva aproximadamente 365 dias e 6 horas para completar uma volta ao redor do sol. ANO BISSEXTO Portanto, um calendário fixo de 365 dias apresenta um erro de aproximadamente 6 horas por ano, equivalente a 1 dia a cada quatro anos ou 1 mês a cada 120 anos. Um erro como esse tem sérias implicações nas sociedades, principalmente nas atividades que dependem de um conhecimento preciso das estações do ano, como a agricultura. Para diminuir esse erro, foi adotado o ano bissexto, acrescentando-se 1 dia a cada quatro anos. Foi adotado pela primeira vez no Egito, em 238 AC. O calendário Juliano, introduzido em 45 AC, adotou a regra de que todo ano divisível por quatro era bissexto. Mas mesmo com essa regra ainda existia um erro de aproximadamente 1 dia a cada 128 anos. No final do século XVI foi introduzido o calendário Gregoriano, usado até hoje na maioria dos países, adotando as seguintes regras: 1- Será bissexto todo ano cujo número seja divisível por 4 e todo ano múltiplo de 100 deixa de ser ano bissexto; 2- Serão bissextos também os anos que forem divisíveis por 400. Observação: os anos que fossem múltiplos de 100 deixam de ser bissextos, exceto se também fossem múltiplos de 400, ou seja, o ano múltiplo de 100 não é ano bissexto, entretanto se ele também for divisível (ou múltiplo) por 400 será ano bissexto. Essas regras foram introduzidas para reduzir ainda mais o erro no calendário. O ano 2000 foi o primeiro a usar as duas regras simultaneamente (2000 é divisível por 4, e múltiplo de 100, e é divisível por 400). Com base nas informações contidas no texto acima verifique se os anos abaixo são ou não bissextos. a) 1960: ano da inauguração de Brasília. b) 2006: ano de eleição para presidente da República do Brasil. c) 1500: ano do descobrimento do Brasil. d) 2.040: possível ano de Jogos Olímpicos.

12 0) Os Jogos Olímpicos também são disputados de 4 em 4 anos. Em 2004 foram disputados os Jogos Olímpicos de Atenas (Grécia). O ano de 2004 também é bissexto. Escreva os anos dos 05 próximos Jogos Olímpicos. 3) Múltiplos de um número natural - Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada. Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2) 2 x 0 = 0 2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8 2 x 5 = 10 2 x 6 = 12 2 x 7 = 14 2 x 8 = 16 2 x 9 = 18 2 x 10 = 20 É assim sucessivamente. Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3) 3 x 0 = 0 3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 4 = 12 3 x 5 = 15 3 x 6 = 18 3 x 7 = 21 3 x 8 = 24 3 x 9 = 27 3 x 10 = 30 É assim sucessivamente. Portanto, os múltiplo de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20,... (infinito) E os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,... (infinito) Observe que os múltiplos do número escolhido obedecem a uma progressão aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2(varia de 2 em 2), nos múltiplos de 3 a razão é 3 (varia de 3 em 3) e assim sucessivamente. Veja mais exemplos: Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52,... Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65,... O modo correto de designarmos (ou seja, representarmos) os múltiplos de qualquer número natural é assim: M 2 = múltiplos de 2: M 2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26,...} M 3 = múltiplos de 3: M 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,...} M 5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70,...} e assim sucessivamente.

13 Exercício de Aplicação: 1) Escreva os múltiplos dos seguintes números a seguir: a) M7 = b) M11 = c) M8 = d) M15 = e) M20 = f) M25 = g) M30 = h) M100 = i) M33 = i) M40 = 2) Determine: a) os múltiplos de 3: M3 = b) os múltiplos de 6: M6 = c) observe entre os múltiplos de 3 e 6 quais números são iguais: 3) Resolva: a) Escreva os múltiplos de 5, 10 e 15; b) Quais são os números que são iguais entre eles? c) Entre os números que são iguais, a variação entre eles é de quanto? (variação significa: de quanto em quanto eles estão variando, ou seja, qual a razão entre eles). 4) Divisores de um número natural - Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Exemplos: a) 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12, pois o resultado da divisão de 12 por esses números é exata, logo todos esses números são divisores de 12; b) 36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36, pois o resultado da divisão de 36 por esses números é exata, logo todos esses números são divisores de 36; c) 48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 23 e 48, pois o resultado da divisão de 48 por esses números é exata, logo todos esses números são divisores de 48. Observações Importantes: - O menor divisor natural de um número é sempre o número 1; - O maior divisor de um número é o próprio número; - O zero não é divisor de nenhum número; - Os divisores formam um conjunto finito.

14 O modo correto de designarmos (ou seja, representarmos) os divisores de qualquer número natural é assim: D8 = divisores de 8: D8 = {1, 2, 4, 8} D10 = divisores de 10: D10 = {1, 2, 5, 10} D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} D50 = {1, 2, 5, 10, 25, 50} D5 = {1, 5} (apenas dois divisores) D19 = {1, 19} (apenas dois divisores) e assim sucessivamente. Modos de Obtenção: Há várias maneiras de obtermos os divisores de um número natural e, algumas delas são as seguintes: a) por divisão efetuam-se todas as divisões possíveis até obtermos todos os divisores do número a ser considerado (tal procedimento não é aconselhável, pois é demorado e às vezes não se obtém todos os divisores do número); b) por multiplicação efetuam-se todas as multiplicações possíveis que dêem como resultado o número desejado, e os números que aparecem nestas multiplicações são os divisores do número considerado. Exemplos: a) divisores de 12 as multiplicações conhecidas cujo resultado seja 12 são as seguintes: 1 x 12 = 12; 12 x 1 = 12; 2 x 6 = 12; 6 x 2 = 12; 3 x 4 = 12; 4 x 3 = 12 logo os divisores de 12 são os seguintes: D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}; OBSERVAÇÃO: não há necessidade de escrevermos multiplicações que indicam resultados iguais como (3 x 4) ou (4 x 3) pois, ambas determinam o mesmo resultado e mostram os mesmos divisores ; a partir de agora os próximos exemplos não apresentarão todas as multiplicações baseado neste princípio. b) D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}, pois temos que as multiplicações cujos resultados são 20 são as seguintes: (1 x 20), (2 x 10) e (4 x 5); c) D45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}; multiplicações envolvidas: 1 x 45; 3 x 15 e 5 x 9; d) D36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}; multiplicações envolvidas: 1 x 36; 2 x 18; 3 x 12; 4 x 9 e 6 x 6. OBSERVAÇÃO em breve aprenderemos um método prático para determinarmos todos os divisores de um número natural qualquer e, tal fato ocorrerá, pois existem números que pela sua própria natureza são difíceis de percebermos de modo fácil quais as multiplicações que indicariam seus divisores.

15 Exercícios de Aplicação: 1) Determine os divisores dos seguintes números: a) D30 = b) D25 = c) D18 = d) D100 = e) D13 = f) D20 = g) D40 = h) D80 = i) D14 = j) D21 = 2) Escreva: a)d10 = D20 = b) Entre os divisores de 10 e 20, quais são os divisores comuns, ou seja, que aparecem ao mesmo tempo? c) Qual é o maior divisor comum entre os divisores de 10 e 20? 3) Escreva os divisores de 10, 20 e 30. Determine entre eles, qual é o maior divisor comum entre eles, ou seja, qual é o maior número que os dividam ao mesmo tempo? 4) Entre os divisores de 100, escreva os números que são ao mesmo tempo divisíveis por 2 e por 5. 5) Determine: a) os divisores comuns de 12 e 20. b) os divisores comuns entre 14 e 9. 6) (Resolvido) As (?) representam números que são os divisores naturais do número 75. Descubra quais são esses números: D75 = {(?), 3, (?), (?), 25, (?)} Solução: devemos primeiramente achar todas as multiplicações cujo resultado seja 75; as multiplicações serão as seguintes: (1 x 75), (3 x 25) e (5 x 15). Com os números que procuramos são os seguintes: D75 = {1, 3, 5, 15, 25, 75} 7) Baseado no exercício resolvido acima determine todos os divisores dos números a seguir: a) D40 = {1, (?), (?), (?),8, 10, (?), 40} b) D(?) = {(?), (?), (?), (?), (?), 18} c) D15 = {(?), (?), (?), (?)} d) D(?) = {(?), 13}

16 5) Conceito de Número Primo Um número natural é chamado de primo quando possui apenas dois divisores naturais, o número 1 e ele próprio. Exemplos: a) o número 5 é primo, pois seus divisores são o 1 e o 5; b) o número 13 é primo, pois possui apenas dois divisores: 0 1 e o 13; c) o número 2 é o único número natural par que é primo. Crivo de ERASTÓTENES É um processo para a obtenção de números primos menor do que um determinado número natural n. Devemos construir uma tabela contendo os primeiros n números naturais. Para determinar os números primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos. 1. Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo. 2. Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e eliminamos todos os múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela. 3. Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela. 4. Determinamos o próximo número primo, que será o próximo número não marcado da tabela e eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela. 5. Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o próximo número primo. 6. Os números que não foram eliminados são os números primos. COMENTÁRIO: A TABELA ACIMA NÃO É NECESSÁRIA TÊ-LA EM MENTE, NEM DECORÁ-LA; com o tempo devido certos números primos, com o uso constante dos mesmos serão guardados na memória. Quando um número não for primo ele será chamado de número composto, ou seja, possui mais que dois divisores.

17 Reconhecimento de um número primo Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. Exemplos: 1) O número 161: não é par, portanto não é divisível por 2; = 8, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 161: 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo. 2) O número 113: não é par, portanto não é divisível por 2; = 5, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 113 : 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). por 11: 113 : 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e, além disso, o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. Exercício de Aplicação: Verifique entre os números abaixo quais são primos: a) 23 b) 35 c) 53 d) 120 e) 101 Decomposição em fatores primos Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Decomposição do número 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 3 x 3 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 2 3 x 3. De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos. P={2, 3, 5,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 87, 89, 97, 101, 103, 107,109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, } (RELAÇÃO DE NÚMEROS ATÉ O 300) Regra prática para a fatoração Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: 1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo, e o usamos até não ser mais possível; 2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo próximo número primo e assim sucessivamente até obter o quociente 1 3º) quando um número primo não servir iremos imediatamente para o próximo número primo. A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.

18 Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x = 2 x 3 2 x 5 x 7. (forma fatorada ou forma decomposta do número 630) Então, não esqueça que fatorar um determinado número é escrevê-lo na forma de multiplicação ou potenciação, na condição de que os fatores ou as bases sejam números primos. Outros exemplos de números fatorados: Exercícios de Aplicação: 1) Fatore os seguintes números: a) 70 b) 243 c) 343 d) 121 e) 200 f) 500 g) 676 h) 576 i) 169 j) 75 k) 1024 l) 333 2) Faça a associação correta: (A) 128 ( ) 5 x 23 (B) 630 ( ) 2 x 5 3 (C) 140 ( ) 2 2 x 5 x 7 (D) 115 ( ) 2 x 3 2 x 5 x 7 (E) 250 ( ) 2 7 3) (RESOLVIDO) A forma fatorada (2 2 x 3 2 x 5) pertence a que número? Solução para resolvermos tal situação temos que aplicar o conceito de potenciação na forma fatorada: 2 2 x 3 2 x 5 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 4 x 9 x 5 = 180 4) Determine o número que pertence as formas fatoradas a seguir: a) 3 2 x 5 = b) 5 3 = c) 2 x 3 x 5 2 = d) 5 2 x 7 = e) 2 x 3 x 7 2 = f) 2 3 x 5 2 = 5) Decomponha em fatores primos: (Obs: dizer decomponha em fatores primos possui o mesmo significado que fatore) a) 136 b) 88 c) 999 d) 455 f) 615 g) 420 h) 132 i) 852 j) 448 6) (RESOLVIDO) Ao fatorarmos o número 500 obtivemos a seguinte forma fatorada: 2 a x 5 b, determine os valores de a e b.

19 Solução: as letras a e b representam expoentes que são obtidos ao se fatorar o número 500, logo basta fatorarmos o mesmo e teremos a resposta desejada. 500 = 2 2 x 5 3 isto significa que a = 2 e b = 3. 7) Nos exercícios a seguir foram omitidos os expoentes de certas bases de números primos. Fatore o número que representa a forma fatorada para se determinar os valores que são representados por letras. a) 220 = 2 x. 5 y. 11 z b) 400 = 2 x. 5 y c) 900 = 2 x. 3 y. 5 z Dispositivo Prático para a determinação dos divisores de um número Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 1º) decompomos o número em fatores primos; 2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número; 3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo; 4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90, ou seja, D90 = { 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}. Outros Exemplos: a)

20 b) Exercício de Aplicação: Determine os divisores dos números a seguir: a) 15 b)32 c) 40 d) 70 e) 80 f) 120 g) 200 h) 75 i) 90 j) 96 k) 64 l) 42 m) 65 n) 36 6) Máximo Divisor Comum Preste atenção no seguinte exemplo: A empresa de Papel Enrola S/A fornece bobinas de papel de qualquer tamanho para seus clientes e, quando necessário corta as bobinas em pedaços de mesmo tamanho. Seu Carlos, um modesto comerciante da cidade de São Paulo, que trabalha com caixas e papéis para presente fez o seguinte pedido de bobinas de papel: 03 bobinas de 150 metros e 02 bobinas de 100 metros e, solicitou que todas fossem cortadas em pedaços de mesmo tamanho e, o maior tamanho possível. Na empresa os responsáveis pelo procedimento de cortar as bobinas chegaram à conclusão que o maior tamanho que eles podem cortar as bobinas é de 50 metros, pois 50 é o maior número natural que divide 100 e 150 ao mesmo tempo. o número 50 é chamado de máximo divisor comum. Máximo Divisor Comum O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção (os que são iguais) dos divisores naturais, escolhendo-se o maior. Há vários modos de calcularmos o máximo divisor comum de dois ou mais números. Vamos mostrar alguns desses métodos (modos): (1º MODO) - Determine o máximo divisor comum entre 6 e 8: primeiramente temos que determinar os divisores de 6 e de 8: D6 = {1, 2, 3, 6} D8 = {1, 2, 4, 8} - devemos determinar entre os divisores de 6 e os divisores de 8 os divisores comuns, ou seja, são os divisores que dividem 6 e 8 ao mesmo tempo; logo os números procurados são os seguintes: 1 e 2. O número 2 é chamado de máximo divisor comum entre 6 e 8 e, representamos este fato assim: m.d.c.(6,8) = 2 significa: o máximo (maior) divisor comum entre os divisores de 6 e de 8 é o 2. (este método é prático quando, os divisores que temos que achar refere-se a números pequenos). (2º MODO) - CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS (ALGORITMO DE EUCLIDES): REGRAS - o cálculo do mdc de dois ou mais números pelo processo das divisões sucessivas obedece à seguinte regra: - divide-se o número maior pelo número menor; - divide-se o número menor pelo primeiro resto;

21 - divide-se o primeiro resto pelo segundo resto e assim sucessivamente até se obter uma divisão exata; - o último divisor é o mdc encontrado. EXEMPLOS: 1) Encontre o máximo divisor comum entre 40 e 50: 2) O mdc entre 72 e 50 é: 3) O mdc entre 126, 240, 540 é: neste tipo de situação deve-se primeiramente dividir o maior número pelo segundo maior determinando assim o mdc entre eles; posteriormente divide-se o número restante pelo mdc obtido, obtendo assim o mdc entre os 3 números envolvidos (este procedimento pode ser aplicado para 3 ou mais números envolvidos). (3º MODO) Decomposição em fatores primos podemos calcular o mdc entre dois ou mais números pelo processo da decomposição em fatores primos através da seguinte regra: - decompõe-se cada número dado em fatores primos; - o mdc é o produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente. EXEMPLOS: 1) Calcular o mdc de 168 e 180: a forma fatorada de 168 e 180 é: 168 = 2 3 x 3 x 7 e 180 = 2 2 x 3 2 x 5; devemos verificar entre os fatores primos comuns (que se repetem) os que possuem menor expoente; os fatores comuns são 2 e 3, e entre eles, os de menor expoente são: 2 2 e 3. O mdc será o produto entre esses fatores: 2 2 x 3 = 4 x 3 = 12 mdc(168, 180) = 12.

22 2) Calcular o mdc entre 25, 50 e 100: 25 = = 2 x = 2 2 x 5 2 o único fator primo comum é o 5 2 = 5 x 5 = 25, logo mdc(25, 50, 100) = 25. (não podemos considerar o fator primo 2, pois o mesmo não aparece na fatoração de 25). 3) Calcular o mdc entre 50 e 100: como temos a decomposição em fatores primos no exercício anterior basta verificarmos os fatores primos comuns de menor expoente; os fatores são 2 e 5 2, logo: 2 x 5 2 = 2 x 25 = 50, logo o mdc (50, 100) = 50. (4º MODO) Decomposição simultânea dos números envolvidos este método consiste em fatorar simultaneamente os números envolvidos. Fatoramos os números ao mesmo tempo, usando apenas os fatores primos que sejam divisores comuns aos dois números. O mdc é obtido através do produto destes fatores primos. EXEMPLOS: 1) Obtenha o mdc 20 e 40 através da fatoração simultânea: perceba que certos fatores primos estão marcados com uma pequena marca vermelha ao lado; estes fatores primos são os únicos que utilizaremos na determinação do mdc; o fator primo 2 não será usado pois divide apenas um dos números, contrário dos outros que dividem os números ao mesmo tempo. o mdc é calculado assim: 2 x 2 x 5 = 20; logo o mdc (20, 40) = 20 2) Determine o mdc entre 36, 45 e 81: os fatores primos que utilizaremos serão os dois 3 que dividem ao mesmo tempo os 3 números; logo o mdc será o produto entre eles: 3 x 3 = 9; o mdc (36, 45, 81) = 9, ou seja, é o maior divisor comum entre os divisores destes três números, ou ainda, 9 é o maior número que divide os 03 números ao mesmo tempo. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1. Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

23 PROPRIEDADE DO M.D.C. Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe: 6 = 2 x 3 18 = 2 x = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados. Exercícios de Aplicação: 1) Determine o mdc dos números abaixo pelo 1º modo: a) 15 e 20 c) 24 e 32 b) 12 e 18 d) 12, 16 e 28 c) 15 e 30 f) 20, 40 e 60 2) Aplicando a decomposição em fatores primos em cada número, determine: a) mdc ( 48, 72) = d) mdc (7, 15) = b) mdc ( 25, 40) = e) mdc (42, 54, 60) = c) mdc ( 180, 252) = f) mdc (60, 80, 100) = 3)Aplicando o processo das divisões sucessivas, determine: a) mdc (36, 48) = d) mdc (33, 55, 99) = b) mdc (90, 60) = e) mdc (56, 70, 84) = c) mdc (90, 154) = f) mdc ( 72, 117, 135) = 4) Calcule o mdc através da fatoração simultânea: a) mdc (24, 36) = g) mdc (4, 8, 12) = b) mdc (20,32) = h) mdc (27, 15, 9) = c) mdc (54, 81) = i) mdc (20, 12, 28) = d) mdc (60, 90) = j) mdc (14, 18, 21) = e) mdc (18, 24) = k) mdc (10, 14, 25) = f) mdc (14, 15) = l) mdc (24, 30, 36) = 5) Aplicando o princípio do mdc, verifique se os números são primos entre si: a) 21 e 10 d) 15 e 22 b) 26 e 39 e) 5 e 7 c) 16 e 25 f) 9 e 35

24 6) (RESOLVIDO) Em uma escola havia duas turmas de 6º ano, a turma A com 28 alunos e a B com 36. Para a realização de uma gincana, cada turma foi dividida em grupos com o mesmo número de alunos, de forma que em cada grupo tivesse o maior número possível de alunos. a) Quantos alunos compõem cada grupo? b) Quantos grupos foram formados na turma A? E na turma B? SOLUÇÃO: a) primeiramente o aluno deve perceber que estamos falando em repartir, dividir os alunos em grupos com a mesma quantidade de pessoas, logo temos que achar o maior divisor comum entre os divisores de 28 e 36, ou seja, temos que achar o mdc entre 28 e 36: o mdc (28, 36) = 4; isto significa que cada grupo terá 4 alunos; b) para a determinação da quantidade de grupos, basta dividir o total de alunos de cada sala com o maior divisor comum entre eles, ou seja, pelo mdc (28,36) = 4, logo: 28 : 4 = 7 e 36 : 4 = 9, isto significa que a turma A terá 7 grupos e a B 9 grupos. 7) (RESOLVIDO) Uma madeireira possui em seu estoque: 38 vigas de madeira de 6 metros, 22 vigas de 4 metros e 18 vigas de 2 metros. Todas essas vigas foram compradas por uma empresa que fabrica batentes de porta. No contrato fechado entre as empresas ficou acordado que a madeireira irá cortar todas as vigas em pedaços de mesmo tamanho, sendo que o corte deverá ser o maior possível. a) Qual será o tamanho que as vigas serão cortadas? b) Determine o total de pedaços que serão cortados. SOLUÇÃO: a) basta determinar o mdc entre 2, 4 e 6: mdc (2, 4, 6) = 2, ou seja, todas as vigas serão cortadas em pedaços de 2 metros; b) primeiramente devemos determinar o total de metros lineares de madeira (significa o total de metros que há em madeiras): 38 x 6 = 228 m, 22 x 4 = 88 m e 18 x 2 = 36 m, o que totaliza um total de 352 m (228 m + 88 m + 36 m = 352 m); basta dividir 352 : 2 = 176, ou seja, haverão 176 pedaços de 2 m. 8) Em uma escola há 36 alunos no 6º ano, 42 alunos no 7º ano e 48 alunos juntando os alunos do 8º e 9º anos. Eles serão divididos em grupos, com a mesma quantidade de alunos, para participarem de um campeonato esportivo entre eles. a) Quantos alunos terão cada grupo? b) Quantos grupos haverão ao todo? 9) Uma indústria madeireira produz bobinas de papeis especiais para atender seus clientes. Suas bobinas possuem os seguintes tamanhos: 100 m (menor bobina), 150 m, 200 m, e vai aumentando de 50 em 50 m, até chegar à maior bobina que mede 600 m. A seguir temos um possível pedido de venda: - 4 bobinas de 150 metros e 03 bobinas de 200 metros; - 05 bobinas de 100 metros, 02 bobinas de 400 metros. (no pedido havia a seguinte solicitação: as bobinas de 150 e de 200m devem ser cortadas em pedaços de mesmo tamanho e o maior tamanho possível; o mesmo fato deveria acontecer com as outras bobinas, entretanto com tamanho diferente das bobinas de 150 e 200 m). a) As bobinas de 150 e 200 m foram cortadas com que tamanho? b) E as outras bobinas, foram cortadas com que tamanho? c) Quantos pedaços conseguiremos obter através da resposta da letra a? d) E quantos pedaços teremos baseado na resposta da letra b?

25 e) É possível cortamos todas as bobinas em um mesmo tamanho e o maior possível? Quantos pedaços teríamos com esta nova medida? 10) Para o aniversário de seu filho, Odete comprou 159 balas de coco e 265 balas de chocolate, que serão colocadas em saquinhos com os dois tipos de balas. Ela pretende distribuir igualmente as balas de coco nos saquinhos, de maneira que cada um deles fique com a maior quantidade possível de balas. E da mesma forma, distribuir as balas de chocolate. a) Quantos saquinhos de balas serão formados? b) Qual o maior número de balas de coco que Odete deve colocar em cada saquinho? E o de balas de chocolate? 11) Uma revista realizou uma promoção, na qual, em cada edição, eram vendidas junto a revista peças para montar as miniaturas de um carro e de um avião. A miniatura do carro era composta de 28 peças e a do avião, de 35 peças. Todas as edições deveriam conter o mesmo número de peças da miniatura do carro e o mesmo número de peças da miniatura do avião e, além disso, deveria ser realizado o maior número de edições possível. a) Quantas edições, no mínimo, uma pessoa deve comprar para obter todas as peças necessárias para montar as miniaturas? b) Quantas peças de cada miniatura tem em cada edição da revista? 7 Mínimo Múltiplo Comum Primeiramente vamos lembrar o conceito de múltiplo. MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro. Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais. Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0, 7x1, 7x2, 7x3, 7x4,... = 0, 7, 14, 21, 28,... Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural 3) o zero é o único número natural que possui apenas um múltiplo, ele mesmo, os outros números naturais possuem infinitos múltiplos. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

26 CÁLCULO DO M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 2 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 2 x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 PROPRIEDADE DO M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados. Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe: m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

27 Exemplos de Aplicabilidade do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 1) Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho colocado por força maior, este tempo é de 4 anos, os assessores deles também tem este mandato que é de 6 anos e os auxiliares tem o mesmo mandato de 3 anos. Se em 2001 houve eleição interna nesta empresa, por voto de todos os colaboradores, para os 03 cargos, em que ano se realizarão novamente e simultaneamente as eleições para esses cargos? Solução do problema: Calculando o MMC (4, 6, 3) = 12 Desta forma é encontrado o número de anos necessários para que tenham novas eleições conjuntas. Como a última eleição foi feita no ano de 2001, então temos: = Assim somente no ano de 2013 haverá votação simultânea entre todos os cargos. 2) Duas rodas de uma engrenagem qualquer têm 12 e 16 dentes, respectivamente. Cada roda tem dois dentes estragados. Dado certo momento, estão em contato os quatro dentes estragados, após quantas voltas se repete novamente este encontro. Solução do problema: Calculando o MMC (12,16) = 48 O número 48 representa o número de dentes que deverá passar pelo ponto de origem para que se repita o encontro. Fazemos então o seguinte cálculo 48 : 12 e 48 : 16. Desta forma é encontrado, respectivamente o número de voltas que a roda menor e a maior deverão fazer. Assim: 48 : 12 = 4 e 48 : 16 = 3 Seguindo o mesmo raciocínio de aplicabilidade para o MMC, pode se usar o uso do MDC, apenas aplicando cada um segundo necessidade. Exercícios resolvidos 1) Determine o menor número positivo que é múltiplo, ao mesmo tempo, de 5, 6 e 7. Solução: O menor número chamamos de MMC (5,6,7) Fatore os números: 5, 6, 7 2 5, 3, 7 3 5, 1, 7 5 1, 1, 7 7 1, 1, 1 MMC (5,6,7) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 2) Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos, que é divisível, ao mesmo tempo, por 4,8,12.

Múltiplos e Divisores- MMC e MDC

Múltiplos e Divisores- MMC e MDC Múltiplos e Divisores- MMC e MDC Múltiplo de um número inteiro é o resultado desse número multiplicado por qualquer número inteiro. Definição: Para qualquer número a є Z, b є Z*, e c є Z, c é múltiplo

Leia mais

APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA PARA E.J.A.

APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA PARA E.J.A. CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE CURITIBA C.E.E.P CURITIBA APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA PARA E.J.A. Modalidades: Integrado Subseqüente Proeja Autor: Ronald Wykrota (wykrota@uol.com.br) Curitiba

Leia mais

Muitas regras populares foram criadas para calcular anos bissextos,

Muitas regras populares foram criadas para calcular anos bissextos, A Matemática dos Anos Bissextos O ano de 2004 foi bissexto! No nosso calendário denominado por calendário Gregoriano os anos ditos comuns têm 365 dias e os bissextos têm um dia a mais, ou seja, 366. Esta

Leia mais

Matéria: Matemática Assunto: Divisores e Múltiplos Prof. Dudan

Matéria: Matemática Assunto: Divisores e Múltiplos Prof. Dudan Matéria: Matemática Assunto: Divisores e Múltiplos Prof. Dudan Matemática Divisores e Múltiplos Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma: Se 15 é divisível por

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum

Leia mais

É possível que cada pacote tenha: ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) 9 ( ) 10. 02- Circule as frações equivalentes: 03- Escreva:

É possível que cada pacote tenha: ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) 9 ( ) 10. 02- Circule as frações equivalentes: 03- Escreva: PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 5º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL ========================================================================== 0- Leia e resolva: a) No início do

Leia mais

REVISÃO E AVALIAÇÃO DA MATEMÁTICA

REVISÃO E AVALIAÇÃO DA MATEMÁTICA 2 Aula 45 REVISÃO E AVALIAÇÃO DA 3 Vídeo Arredondamento de números. 4 Arredondamento de números Muitas situações cotidianas envolvendo valores destinados à contagem, podem ser facilitadas utilizando o

Leia mais

Frações. Números Racionais

Frações. Números Racionais Frações Números Racionais Consideremos a operação 4:5 =? onde o dividendo não é múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o quociente dessa divisão no conjunto dos números porque não há

Leia mais

I.INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA.

I.INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA. I.INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA. 1. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Matemática é uma ciência que foi criada a fim de contar e resolver problemas com uma razão de existirem, foi criada a partir dos primeiros seres racionais

Leia mais

Professores: Marcelo Vale / Marcelo Bentes / Rosylane Gomes Disciplina: Matemática Aluno(a): Série: 6º ano EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA O II SIMULADO

Professores: Marcelo Vale / Marcelo Bentes / Rosylane Gomes Disciplina: Matemática Aluno(a): Série: 6º ano EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA O II SIMULADO Professores: Marcelo Vale / Marcelo Bentes / Rosylane Gomes Disciplina: Matemática Aluno(a): Série: 6º ano EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA O II SIMULADO 1) Os primeiros cinco múltiplos de 6 são: a) 1, 7, 13,

Leia mais

Matemática. Atividades. complementares. ENSINO FUNDAMENTAL 6- º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 6. uso escolar. Venda proibida.

Matemática. Atividades. complementares. ENSINO FUNDAMENTAL 6- º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 6. uso escolar. Venda proibida. 6 ENSINO FUNDAMENTAL 6- º ano Matemática Atividades complementares Este material é um complemento da obra Matemática 6 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida.

Leia mais

Com uma coleção de figuras e de formas geométricas que mais parecem um jogo, mostre à turma que os números também têm seu lado concreto

Com uma coleção de figuras e de formas geométricas que mais parecem um jogo, mostre à turma que os números também têm seu lado concreto Universidade Severino Sombra Fundamentos Teóricos e Metodologia de Matemática 1 1 Com uma coleção de figuras e de formas geométricas que mais parecem um jogo, mostre à turma que os números também têm seu

Leia mais

Equações do primeiro grau

Equações do primeiro grau Módulo 1 Unidade 3 Equações do primeiro grau Para início de conversa... Você tem um telefone celular ou conhece alguém que tenha? Você sabia que o telefone celular é um dos meios de comunicação que mais

Leia mais

3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Introdução É o conjunto de todos os números que estão ou podem ser colocados em forma de fração. Fração Quando dividimos um todo em partes iguais e queremos representar

Leia mais

Medidas de Grandezas Fundamentais - Teoria do Erro

Medidas de Grandezas Fundamentais - Teoria do Erro UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE CIÊNCIAS INTEGRADAS DO PONTAL Medidas de Grandezas Fundamentais - Teoria do Erro Objetivo As práticas que serão trabalhadas nesta aula têm os objetivos de

Leia mais

Matéria: Matemática Assunto: Máximo Divisor Comum Prof. Dudan

Matéria: Matemática Assunto: Máximo Divisor Comum Prof. Dudan Matéria: Matemática Assunto: Máximo Divisor Comum Prof. Dudan Matemática Máximo Divisor Comum (MDC) O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores

Leia mais

Aula 04 Medidas de tempo

Aula 04 Medidas de tempo Aula 04 Medidas de tempo O que é tempo? Os fenômenos astronômicos são periódicos e regulares: tornaram-se os primeiros relógios. E foram os relógios mais precisos até a construção dos relógios atômicos

Leia mais

PROPOSTAS DE TRABALHO PARA OS ALUNOS A PARTIR DE JOGOS 2º ANO. Adriana da Silva Santi Coordenação Pedagógica de Matemática

PROPOSTAS DE TRABALHO PARA OS ALUNOS A PARTIR DE JOGOS 2º ANO. Adriana da Silva Santi Coordenação Pedagógica de Matemática PROPOSTAS DE TRABALHO PARA OS ALUNOS A PARTIR DE JOGOS 2º ANO Adriana da Silva Santi Coordenação Pedagógica de Matemática Piraquara Abril/214 1 JOGOS E PROPOSTAS DE TRABALHO PARA OS ALUNOS JOGO DOS 6 PALITOS

Leia mais

Raciocínio Lógico Matemático Caderno 1

Raciocínio Lógico Matemático Caderno 1 Raciocínio Lógico Matemático Caderno 1 Índice Pg. Números Naturais... 02 Números Inteiros... 06 Números Racionais... 23 Números Decimais... - Dízimas Periódicas... - Expressões Numéricas... - Divisibilidade...

Leia mais

BOM DIA!! ÁLGEBRA. Aula 3 COM JENNYFFER LANDIM. jl.matematica@outlook.com

BOM DIA!! ÁLGEBRA. Aula 3 COM JENNYFFER LANDIM. jl.matematica@outlook.com BOM DIA!! ÁLGEBRA COM JENNYFFER LANDIM Aula 3 jl.matematica@outlook.com Números inteiros: operações e propriedades Adição Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é

Leia mais

Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com)

Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com) Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com) 1. O dominó Você já deve conhecer o dominó. Não vamos pensar no jogo de dominós

Leia mais

Mínimo múltiplo comum e Máximo divisor comum

Mínimo múltiplo comum e Máximo divisor comum Tema: Mínimo múltiplo comum e Máximo divisor comum INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA Mato Grosso / Campus São Vicente Prof. Msc. Jeferson G. Moriel Jr. jeferson.moriel@svc.ifmt.edu.br

Leia mais

RECUPERAÇÃO PARALELA UNIDADE II LISTA DE EXERCÍCIOS

RECUPERAÇÃO PARALELA UNIDADE II LISTA DE EXERCÍCIOS Aluno(a) Turma N o Série 5 a Ensino Fundamental Data / / 06 Matéria Matemática Professora Ynez RECUPERAÇÃO PARALELA UNIDADE II LISTA DE EXERCÍCIOS 01. Observe o quadro ao lado e responda: 75 67 83 105

Leia mais

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Atualizado em Prof. Rui Mano E mail: rmano@tpd.puc rio.br SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Sistemas de Numer ação Posicionais Desde quando se começou a registrar informações sobre quantidades, foram criados diversos

Leia mais

2. Representação Numérica

2. Representação Numérica 2. Representação Numérica 2.1 Introdução A fim se realizarmos de maneira prática qualquer operação com números, nós precisamos representa-los em uma determinada base numérica. O que isso significa? Vamos

Leia mais

2aula TEORIA DE ERROS I: ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS, ARREDONDAMENTOS E INCERTEZAS. 2.1 Algarismos Corretos e Avaliados

2aula TEORIA DE ERROS I: ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS, ARREDONDAMENTOS E INCERTEZAS. 2.1 Algarismos Corretos e Avaliados 2aula Janeiro de 2012 TEORIA DE ERROS I: ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS, ARREDONDAMENTOS E INCERTEZAS Objetivos: Familiarizar o aluno com os algarismos significativos, com as regras de arredondamento e as incertezas

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA. Operações

MATEMÁTICA BÁSICA. Operações MATEMÁTICA BÁSICA Regras dos Sinais a) Adição (+) Soma (+) + (+) = (+) (-) + (-) = (-) (+) + (-) = Sinal do Maior (-) + (+) = Sinal do Maior (+6) + (+3) = +6 +3 = 9 (-6) + (-3) = -6-3 = -9 (+6) + (-3)

Leia mais

Fração como porcentagem. Sexto Ano do Ensino Fundamental. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M.

Fração como porcentagem. Sexto Ano do Ensino Fundamental. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Material Teórico - Módulo de FRAÇÕES COMO PORCENTAGEM E PROBABILIDADE Fração como porcentagem Sexto Ano do Ensino Fundamental Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto

Leia mais

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte II) Olá, amigos! Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas

Leia mais

Nome: N.º: endereço: data: telefone: E-mail: PARA QUEM CURSA O 8 Ọ ANO EM 2014. Disciplina: matemática

Nome: N.º: endereço: data: telefone: E-mail: PARA QUEM CURSA O 8 Ọ ANO EM 2014. Disciplina: matemática Nome: N.º: endereço: data: telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA O 8 Ọ ANO EM 04 Disciplina: matemática Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 (OBEMEP- ADAPTADO) Laura e sua avó Ana acabaram de descobrir que,

Leia mais

b) Divisíveis por 10 - e responda: R.: R.: 03- Encontre a) 2 - c) 6 - R.: R.: R.: Esse número é primo? R.: 08- O número R.:

b) Divisíveis por 10 - e responda: R.: R.: 03- Encontre a) 2 - c) 6 - R.: R.: R.: Esse número é primo? R.: 08- O número R.: PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 6º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL ========== =========== ============ =========== =========== =========== =========== =========== ===========

Leia mais

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental 1. (alternativa C) Os números 0,01 e 0,119 são menores que 0,12. Por outro lado, 0,1 e 0,7 são maiores que 0,. Finalmente, 0,29 é maior que 0,12 e menor

Leia mais

Matemática Financeira Módulo 2

Matemática Financeira Módulo 2 Fundamentos da Matemática O objetivo deste módulo consiste em apresentar breve revisão das regras e conceitos principais de matemática. Embora planilhas e calculadoras financeiras tenham facilitado grandemente

Leia mais

Equações do segundo grau

Equações do segundo grau Módulo 1 Unidade 4 Equações do segundo grau Para início de conversa... Nesta unidade, vamos avançar um pouco mais nas resoluções de equações. Na unidade anterior, você estudou sobre as equações de primeiro

Leia mais

Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números

Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números Nesse artigo vamos discutir algumas abordagens diferentes na Teoria dos Números, no sentido de envolverem também outras grandes áreas, como

Leia mais

I. MATEMÁTICA FINANCEIRA - ANDRÉ ARRUDA TAXAS DE JUROS. Taxas Proporcionais

I. MATEMÁTICA FINANCEIRA - ANDRÉ ARRUDA TAXAS DE JUROS. Taxas Proporcionais 1º BLOCO...2 I. Matemática Financeira - André Arruda...2 2º BLOCO...6 I. Matemática - Daniel Lustosa...6 3º BLOCO... 10 I. Tabela de Acumulação de Capital... 10 I. MATEMÁTICA FINANCEIRA - ANDRÉ ARRUDA

Leia mais

Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2015 Nível 1. QUESTÃO 1 ALTERNATIVA E Como 2 x 100,00 126,80 = 200,00 126,80 = 73,20, o troco foi de R$ 73,20.

Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2015 Nível 1. QUESTÃO 1 ALTERNATIVA E Como 2 x 100,00 126,80 = 200,00 126,80 = 73,20, o troco foi de R$ 73,20. 1 QUESTÃO 1 Como 2 x 100,00 126,80 = 200,00 126,80 = 73,20, o troco foi de R$ 73,20. QUESTÃO 2 Como 4580247 = 4580254 7, concluímos que 4580247 é múltiplo de 7. Este fato também pode ser verificado diretamente,

Leia mais

Resolverei neste artigo a prova de Raciocínio Lógico do concurso para a SEFAZ-SP 2009 organizada pela FCC.

Resolverei neste artigo a prova de Raciocínio Lógico do concurso para a SEFAZ-SP 2009 organizada pela FCC. Olá pessoal! Resolverei neste artigo a prova de Raciocínio Lógico do concurso para a SEFAZ-SP 2009 organizada pela FCC. 01. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere o diagrama a seguir, em que U é o conjunto de todos

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Análise Combinatória. Prof. Thiago Figueiredo

Análise Combinatória. Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória Prof. Thiago Figueiredo (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras que podemos pintar esse tapete de modo que as

Leia mais

Aula 1: Conhecendo a Calculadora

Aula 1: Conhecendo a Calculadora Nome completo do(a) aluno(a): Nº Ano: Turma: Data: / / Aula 1: Conhecendo a Calculadora Nosso objetivo é que vocês consigam identificar os conteúdos matemáticos já aprendidos na sala de aula de uma forma

Leia mais

13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau

13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau MATEMATICA 13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau ORIENTAÇÃO PARA O PROFESSOR OBJETIVO O objetivo desta atividade é trabalhar com as propriedades de igualdade, raízes

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

¹CPTL/UFMS, Três Lagoas, MS,Brasil, oliveiralimarafael@hotmail.com. ²CPTL/UFMS, Três Lagoas, MS, Brasil.

¹CPTL/UFMS, Três Lagoas, MS,Brasil, oliveiralimarafael@hotmail.com. ²CPTL/UFMS, Três Lagoas, MS, Brasil. Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 36 INTRODUÇÃO A CRIPTOGRAFIA RSA Rafael Lima Oliveira¹, Prof. Dr. Fernando Pereira de Souza². ¹CPTL/UFMS, Três Lagoas,

Leia mais

ESCOLA MUNICIPAL DE ENSINO FUNDAMENTAL PROFª MARIA MARGARIDA ZAMBON BENINI. Plano de aula 6 21/05 e 28/05 de 2015 Atividades de reforço

ESCOLA MUNICIPAL DE ENSINO FUNDAMENTAL PROFª MARIA MARGARIDA ZAMBON BENINI. Plano de aula 6 21/05 e 28/05 de 2015 Atividades de reforço ESCOLA MUNICIPAL DE ENSINO FUNDAMENTAL PROFª MARIA MARGARIDA ZAMBON BENINI Plano de aula 6 21/05 e 28/05 de 2015 Atividades de reforço Bolsistas: Andressa Santos Vogel e Patricia Lombello Supervisora:

Leia mais

MÓDULO 1. Números. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA

MÓDULO 1. Números. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 1 Números As questões destas aulas foram retiradas ou adaptadas de provas das Olimpíadas Brasileiras de Matemática (OBM), fonte considerável

Leia mais

Simulado OBM Nível 2

Simulado OBM Nível 2 Simulado OBM Nível 2 Gabarito Comentado Questão 1. Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação? a) 13 b) 26 c) 38 d) 39 e) 40 Entre 9 e 49 temos 39 números inteiros. Questão 2. Hoje é

Leia mais

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas? Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões

Leia mais

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1 INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1. Origem histórica É possível quantificar o acaso? Para iniciar,

Leia mais

O cálculo dos D[j,k] é muito simples, pois temos D[j,k]=j+1-A+(k-1)*7, exemplo: j=3; k=2 D[3,2]=3+1-3+(2-1)*7=8 etc.

O cálculo dos D[j,k] é muito simples, pois temos D[j,k]=j+1-A+(k-1)*7, exemplo: j=3; k=2 D[3,2]=3+1-3+(2-1)*7=8 etc. 73 Capítulo 6 Calendário (exemplo de uma tabela ou matriz) Já que construímos uma planilha que nos calcula a data correta do Domingo de Páscoa (o que foi para a igreja uma tarefa de mais de 1500 anos!),

Leia mais

Um jogo de preencher casas

Um jogo de preencher casas Um jogo de preencher casas 12 de Janeiro de 2015 Resumo Objetivos principais da aula de hoje: resolver um jogo com a ajuda de problemas de divisibilidade. Descrevemos nestas notas um jogo que estudamos

Leia mais

Livro de álgebra para ensino fundamental 2 ( 6º ao 9º ano)

Livro de álgebra para ensino fundamental 2 ( 6º ao 9º ano) O ALGEBRISTA Autor: Laércio Vasconcelos www.laercio.com.br Livro de álgebra para ensino fundamental ( º ao º ano) Preparatório para Colégio Naval, EPCAr, Colégio Militar (ensino médio) Pré-IME, Pré-ITA,

Leia mais

Bases Matemáticas. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. v. 2013-7-31 1/15

Bases Matemáticas. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. v. 2013-7-31 1/15 Bases Matemáticas Aula 2 Métodos de Demonstração Rodrigo Hausen v. 2013-7-31 1/15 Como o Conhecimento Matemático é Organizado Definições Definição: um enunciado que descreve o significado de um termo.

Leia mais

Plano Curricular de Matemática 3.º Ano - Ano Letivo 2015/2016

Plano Curricular de Matemática 3.º Ano - Ano Letivo 2015/2016 Plano Curricular de Matemática 3.º Ano - Ano Letivo 2015/2016 1.º Período Conteúdos Programados Previstas Dadas Números e Operações Utilizar corretamente os numerais ordinais até vigésimo. Ler e representar

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES

CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES 3.1 - IDENTIFICADORES Os objetos que usamos no nosso algoritmo são uma representação simbólica de um valor de dado. Assim, quando executamos a seguinte instrução:

Leia mais

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº 02. Assunto: JUROS E PORCENTAGENS

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº 02. Assunto: JUROS E PORCENTAGENS Nome: Ano: 3º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº 02 Assunto: JUROS E PORCENTAGENS 1) Porcentagem Definição: É uma fração que indica a participação de uma quantidade sobre um todo.

Leia mais

Considerando-se a expressão trigonométrica x = 1 + cos 30, um dos possíveis produtos que a representam é igual a

Considerando-se a expressão trigonométrica x = 1 + cos 30, um dos possíveis produtos que a representam é igual a Comentadas pelo professor: Vinicius Werneck Raciocínio Lógico 1- Prova: ESAF - 2012 - Receita Federal - Auditor Fiscal da Receita Federal Sabendo-se que o conjunto X é dado por X = {x R x² 9 = 0 ou 2x

Leia mais

Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2008 Nível 1

Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2008 Nível 1 OBMEP 00 Nível 1 1 QUESTÃO 1 Como Leonardo da Vinci nasceu 91 anos antes de Pedro Américo, ele nasceu no ano 14 91 = 145. Por outro lado, Portinari nasceu 451 anos depois de Leonardo da Vinci, ou seja,

Leia mais

Paquímetro: sistema inglês

Paquímetro: sistema inglês Paquímetro: sistema inglês Um problema Agora que o pessoal da empresa aprendeu a leitura de paquímetros no sistema métrico, é necessário aprender a ler no sistema inglês. Este é o assunto a ser estudado

Leia mais

Usando unidades de medida

Usando unidades de medida Usando unidades de medida O problema Q uando alguém vai à loja de autopeças para comprar alguma peça de reposição, tudo que precisa é dizer o nome da peça, a marca do carro, o modelo e o ano de fabricação.

Leia mais

Conhecendo um pouco de matrizes e determinantes

Conhecendo um pouco de matrizes e determinantes Módulo 3 Unidade 29 Conhecendo um pouco de matrizes e determinantes Para início de conversa... Frequentemente em jornais, revistas e também na Internet encontramos informações numéricas organizadas na

Leia mais

6 Paquímetro: sistema inglês. Agora que o pessoal da empresa aprendeu a. Um problema. Leitura de polegada milesimal

6 Paquímetro: sistema inglês. Agora que o pessoal da empresa aprendeu a. Um problema. Leitura de polegada milesimal A U A UL LA Paquímetro: sistema inglês Um problema Agora que o pessoal da empresa aprendeu a leitura de paquímetros no sistema métrico, é necessário aprender a ler no sistema inglês. Este é o assunto a

Leia mais

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/12/2011 pelo CEPERJ

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/12/2011 pelo CEPERJ Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/1/011 pelo CEPERJ 59. O cartão de crédito que João utiliza cobra 10% de juros ao mês,

Leia mais

Aluno: Fatorar é transformar uma expressão num produto indicado, ou seja, numa multiplicação de dois ou mais fatores.

Aluno: Fatorar é transformar uma expressão num produto indicado, ou seja, numa multiplicação de dois ou mais fatores. 8º ANO LISTA 1 de fatoração AV 1 3º Bim. Escola adventista de Planaltina Professor: Celmo Xavier. Aluno: Fatorar é transformar uma expressão num produto indicado, ou seja, numa multiplicação de dois ou

Leia mais

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª

Leia mais

Simulado OBM Nível 1. Gabarito Comentado

Simulado OBM Nível 1. Gabarito Comentado Simulado OBM Nível 1 Gabarito Comentado Questão 1. Renata digitou um número em sua calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12, dividiu o resultado por 7 e obteve o número 15. O número digitado foi: a)

Leia mais

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma.

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma. 2ª Fase Matemática Introdução A prova de matemática da segunda fase é constituída de 12 questões, geralmente apresentadas em ordem crescente de dificuldade. As primeiras questões procuram avaliar habilidades

Leia mais

Contagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta.

Contagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta. Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 4 Contagem I De quantos modos podemos nos vestir? Quantos números menores que 1000 possuem todos os algarismos pares?

Leia mais

Exercícios resolvidos sobre Definição de Probabilidade

Exercícios resolvidos sobre Definição de Probabilidade Exercícios resolvidos sobre Definição de Probabilidade Nesta Unidade de estudo, até este ponto você aprendeu definições de probabilidade e viu como os conceitos se aplicam a várias situações. Observe agora

Leia mais

SUMÁRIO 1. AULA 6 ENDEREÇAMENTO IP:... 2

SUMÁRIO 1. AULA 6 ENDEREÇAMENTO IP:... 2 SUMÁRIO 1. AULA 6 ENDEREÇAMENTO IP:... 2 1.1 Introdução... 2 1.2 Estrutura do IP... 3 1.3 Tipos de IP... 3 1.4 Classes de IP... 4 1.5 Máscara de Sub-Rede... 6 1.6 Atribuindo um IP ao computador... 7 2

Leia mais

COLÉGIO ETIP NIVELAMENTO BÁSICO DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO INTEGRADO À INFORMÁTICA PROFESSOR RUBENS SOARES

COLÉGIO ETIP NIVELAMENTO BÁSICO DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO INTEGRADO À INFORMÁTICA PROFESSOR RUBENS SOARES COLÉGIO ETIP NIVELAMENTO BÁSICO DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO INTEGRADO À INFORMÁTICA PROFESSOR RUBENS SOARES SANTO ANDRÉ 2012 MEDIDAS DE SUPERFÍCIES (ÁREA): No sistema métrico decimal, devemos lembrar que,

Leia mais

C O L É G I O F R A N C O - B R A S I L E I R O

C O L É G I O F R A N C O - B R A S I L E I R O C O L É G I O F R A N C O - B R A S I L E I R O Nome: N.º: Turma: Professor: Ano: 6º Data: / 07 / 2014 EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO DE MATEMÁTICA 1) Numa divisão, qual é o dividendo, se o divisor for 12,

Leia mais

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata

Leia mais

Sistemas de Numerações.

Sistemas de Numerações. Matemática Profº: Carlos Roberto da Silva; Lourival Pereira Martins. Sistema de numeração: Binário, Octal, Decimal, Hexadecimal; Sistema de numeração: Conversões; Sistemas de Numerações. Nosso sistema

Leia mais

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO Caro aluno, Disponibilizo abaixo a resolução das questões de Raciocínio Lógico- Matemático das provas para os cargos de Técnico do TRT/4ª Região (Rio

Leia mais

Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ

Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ. Questão Sistemas de Numeração No sistema de numeração de base 2, o numeral mais simples de

Leia mais

Resoluções Prova Anglo

Resoluções Prova Anglo Resoluções Prova Anglo F- TIPO D-6 Matemática (P-2) Ensino Fundamental 6º ano DESCRITORES, RESOLUÇÕES E COMENTÁRIOS A Prova Anglo é um dos instrumentos para avali ar o desempenho dos alunos do 6 o ano

Leia mais

36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase Nível 3 Ensino Médio

36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase Nível 3 Ensino Médio 36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase Nível 3 Ensino Médio Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL BA ES MG PA RS RN SC Terça-feira,

Leia mais

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas. Caro Professor, Em 009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram

Leia mais

FRAÇÕES TERMOS DE UMA FRAÇÃO NUMERADOR 2 TRAÇO DE FRAÇÃO DENOMINADOR. DENOMINADOR Indica em quantas partes o todo foi dividido.

FRAÇÕES TERMOS DE UMA FRAÇÃO NUMERADOR 2 TRAÇO DE FRAÇÃO DENOMINADOR. DENOMINADOR Indica em quantas partes o todo foi dividido. FRAÇÕES TERMOS DE UMA FRAÇÃO NUMERADOR TRAÇO DE FRAÇÃO DENOMINADOR DENOMINADOR Indica em quantas partes o todo foi dividido. NUMERADOR - Indica quantas partes foram consideradas. TRAÇO DE FRAÇÃO Indica

Leia mais

Prof. Ulysses Sodré - E-mail: ulysses@uel.br Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 9 Porcentagem 10. 10 Juros Simples 12

Prof. Ulysses Sodré - E-mail: ulysses@uel.br Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 9 Porcentagem 10. 10 Juros Simples 12 Matemática Essencial Proporções: Aplicações Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 25 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré - E-mail: ulysses@uel.br Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/

Leia mais

Dadas a base e a altura de um triangulo, determinar sua área.

Dadas a base e a altura de um triangulo, determinar sua área. Disciplina Lógica de Programação Visual Ana Rita Dutra dos Santos Especialista em Novas Tecnologias aplicadas a Educação Mestranda em Informática aplicada a Educação ana.santos@qi.edu.br Conceitos Preliminares

Leia mais

Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico

Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico Comentário da prova de Agente Penitenciário Federal Funrio 01. Uma professora formou grupos de 2 e 3 alunos com o objetivo de conscientizar a população local sobre

Leia mais

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas

Leia mais

Plano de Aula MATEMÁTICA. Radicalizando

Plano de Aula MATEMÁTICA. Radicalizando Plano de Aula MATEMÁTICA Radicalizando Radicalizando. 13 p.; il. (Série Plano de Aula; Matemá ca) ISBN: 1. Ensino Fundamental Matemá ca 2. Área 3.Espaço e forma I. Título II. Série CDU: 373.3:51 Plano

Leia mais

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO Caro aluno, Disponibilizo abaixo a resolução das questões de Raciocínio Lógico- Matemático das provas para os cargos de Analista do TRT/4ª Região

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) I Representação dos números, aritmética de ponto flutuante e erros em máquinas

Leia mais

Resolverei neste artigo uma prova da fundação VUNESP realizada em 2010.

Resolverei neste artigo uma prova da fundação VUNESP realizada em 2010. Olá pessoal! Resolverei neste artigo uma prova da fundação VUNESP realizada em 2010. 01. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Em um jogo de basquete, um dos times, muito mais forte, fez 62 pontos a mais que o seu

Leia mais

Fundamentos da Matemática

Fundamentos da Matemática Fundamentos da Matemática Aula 10 Os direitos desta obra foram cedidos à Universidade Nove de Julho Este material é parte integrante da disciplina oferecida pela UNINOVE. O acesso às atividades, conteúdos

Leia mais

Sumário. Volta às aulas. Vamos recordar?... 7 1. Grandezas e medidas: tempo e dinheiro... 59. Números... 10. Regiões planas e seus contornos...

Sumário. Volta às aulas. Vamos recordar?... 7 1. Grandezas e medidas: tempo e dinheiro... 59. Números... 10. Regiões planas e seus contornos... Sumário Volta às aulas. Vamos recordar?... Números... 0 Um pouco da história dos números... Como os números são usados?... 2 Números e estatística... 4 Números e possibilidades... 5 Números e probabilidade...

Leia mais

Matemática. Atividades. complementares. ENSINO FUNDAMENTAL 7- º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 7. uso escolar. Venda proibida.

Matemática. Atividades. complementares. ENSINO FUNDAMENTAL 7- º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 7. uso escolar. Venda proibida. 7 ENSINO FUNDAMENTAL 7- º ano Matemática Atividades complementares Este material é um complemento da obra Matemática 7 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida.

Leia mais

Teoria dos Números. A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto

Teoria dos Números. A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto Teoria dos Números 1 Noções Básicas A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4...}. Ela permite resolver de

Leia mais

XXXVI OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (11 de agosto de 2012) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental)

XXXVI OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (11 de agosto de 2012) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Instruções: XXXVI OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (11 de agosto de 2012) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Folha de Perguntas A duração da prova é de 3h30min. O tempo

Leia mais

Em um sistema de numeração de base b qualquer, um número positivo é representado pelo polinômio:

Em um sistema de numeração de base b qualquer, um número positivo é representado pelo polinômio: ELETRÔNICA DIGITAl I 1 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO INTRODUÇÃO A base dos sistemas digitais são os circuitos de chaveamento (switching) nos quais o componente principal é o transistor que, sob o ponto de vista

Leia mais

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Fundamentos da Matemática Fernando Torres Números Complexos Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Sumário 1. História...3 2.Introdução...4 3. A origem de i ao quadrado igual a -1...7 4. Adição, subtração,

Leia mais

Gabarito Extensivo MATEMÁTICA volume 1 Frente C

Gabarito Extensivo MATEMÁTICA volume 1 Frente C Gabarito Extensivo MATEMÁTICA volume 1 Frente C 01) B Helô Bicicleta São João Regina Ônibus São Pedro Ana Moto Santo Antonio Corretas I e II 0) Basta calcular o MMC entre 1, 34 e 84.3.5.7 = 40 Após 40

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

O que fazer em meio às turbulências

O que fazer em meio às turbulências O que fazer em meio às turbulências VERSÍCULO BÍBLICO Façam todo o possível para viver em paz com todos. Romanos 12:18 OBJETIVOS O QUÊ? (GG): As crianças assistirão a um programa de auditório chamado Geração

Leia mais