UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Autores: Prof. Rafael Holdorf Lopez e Prof. Leandro Fleck Fadel Miguel Maio, 2013 Este texto visa dar uma breve introdução à área de otimização matemática especialmente a sua aplicação em problemas de engenharia. São descritos também, em resumo, alguns dos projetos de pesquisa nesta área em andamento no departamento de engenharia civil da UFSC. INTRODUÇÃO A OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL Durante a concepção de uma nova estrutura, o projetista lança mão de normas técnicas, intuição e experiência adquirida em projetos anteriores. Esse processo, muitas vezes, se caracteriza por uma evolução lenta onde as sucessivas tentativas e erros são muito comuns. Já em técnicas mais modernas procura-se sistematizar essa busca através de alguma metodologia. As técnicas de otimização mostramse extremamente atraentes nesse aspecto onde é possível formular matematicamente um problema de busca de soluções melhores dentre as diversas possíveis. OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL é um processo numérico/matemático que visa a obtenção de uma configuração da estrutura que resulta em uma performance ótima segundo alguma medida de desempenho pré-definida (mínima massa, máxima rigidez, máxima carga de flambagem, etc.). Além disso, devem ser satisfeitas restrições tanto sobre as variáveis de projeto, quanto sobre o comportamento da estrutura (tensão de falha, freqüência natural crítica, deslocamentos permitidos etc.). Entende-se por estrutura, qualquer sistema cujo objetivo seja transmitir esforços mecânicos estáticos ou dinâmicos. Em suma, os principais objetivos da otimização estrutural são: i. encontrar o menor custo possível no projeto de uma estrutura satisfazendo seus estados limites (de serviço e último, por exemplo); ii. eliminar, ou pelo menos diminuir, a dependência da experiência do projetista: um engenheiro com 10 anos de experiência normalmente faz um projeto muito mais rápido e econômico do que alguém que acabou de sair da universidade; a otimização gera um método sistemático de busca pelo melhor projeto de forma a eliminar essa dependência da experiência do projetista. A área de otimização estrutural pode ser categorizada em três tipos principais: otimização dimensional, de forma e de topologia. Otimização dimensional A otimização dimensional busca encontrar as dimensões da estrutura que minimizem seu custo de fabricação ou peso. Por exemplo, no caso de uma viga: poderíamos buscar as dimensões da seção transversal (altura e base da viga) que minimizem seu volume. Para casos mais complexos pode-se tratar de estruturas modeladas utilizando o método dos elementos finitos (MEF), como no exemplo mostrado na Figura 1. Neste caso, o algoritmo de otimização buscaria os valores das dimensões de D1, D2 e D3 que minimizem o custo deste projeto, respeitando restrições como máxima tensão e deslocamento.

2 Figura 1. Otimização de estrutura modelada usando o MEF. Otimização de forma ou geometria A otimização de geometria é aplicada na engenharia civil no projeto de treliças ou torres de transmissão. O caso de uma torre simples é mostrado na Figura 2, onde o algoritmo de otimização buscou a posição dos nós e a área da seção transversal de cada barra de forma a minimizar o custo final da estrutura e garantir que ela não falhe. projeto inicial projeto otimizado Otimização de topologia Figura 2. Otimização de geometria de uma torre de transmissão. A otimização de topologia estrutural consiste na modificação do padrão de conectividade ou a disposição espacial dos elementos e/ou membros da estrutura (topologia) com vistas a um índice de performance ótimo. Em outras palavras, definido um projeto inicial, o algoritmo tem a capacidade de retirar material de qualquer região desde projeto de forma a minimizar seu peso garantindo que a estrutura não falhe. Alguns exemplos de otimização de topologia são mostrados na Figura 3.

3 Projeto inicial Projeto ótimo Projeto inicial Projeto ótimo Figura 3. Otimização topológica de estruturas contínuas modeladas pelo MEF. Projetos em andamento 1) Otimização de estruturas treliçadas Figura 4. Torres de transmissão de energia. O projeto de torres de transmissão de energia depende muito da experiência do projetista, por exemplo, a definição de sua silhueta/forma é feita por tentativa erro, assim como os perfis utilizados em suas barras. Esta linha de pesquisa visa o desenvolvimento e aplicação de técnicas de otimização para obtenção do menor custo de projeto possível garantindo que a estrutura não falhe. Exemplo deste tipo de trabalho é dado na Figura 2. *Cooperação científica: Prof. André Torii (UFPB), COPEL.

4 2) Otimização de estruturas em regime dinâmico Neste linha de pesquisa, aplicações de grande interesse científico, pela sua complexidade, e industrial da otimização robusta são a colunas de perfuração de petróleo e no controle de vibrações (i) Colunas de perfuração: a exploração de petróleo iniciou-se por volta de 1850 nos USA. Em 1960 descobriu-se que era muito mais econômico perfurar um poço do que escavar, como se faz em minas de carvão. Em 1977, no Brasil, a profundidade máxima atingida por uma coluna foi de 277 m. Em 2000, a Petrobrás chegou a 1877 m na Bacia de Campos. Recentemente, descobriu-se uma acumulação de óleos leves no Campo de Merlin Leste em uma camada geológica mais profunda, a 4200 metros do solo submarino. Com isso, a perfuração de um poço ou furo é uma operação complexa. Por exemplo, uma coluna de 2000 m já é mais esbelta que um fio de cabelo humano (esbeltes significando diâmetro dividido por comprimento). Além disso, uma coluna está submetida a esforços de tração-compressão (peso próprio e interação com a rocha), torção e flexão (inevitável devido à flexibilidade e aos carregamentos compressíveis a que uma coluna é sujeita para que possa perfurar um poço). Pode-se aplicar a otimização ao problema de perfuração, por exemplo, visando à maximização da velocidade de penetração. Figura 5. Perfuração de um poço de petroleo. *Cooperação científica: Prof. Rubens Sampaio (PUC-Rio), Prof. Thiago Ritto (UFRJ), Prof. Eduardo de Cursi (INSA França). (ii) Controle de vibrações: no projeto de estruturas submetidas a cargas dinâmicas é essencial a consideração do amortecimento interno, na predição da resposta da estrutura as ações externas. Por exemplo, no projeto de construções em zonas sísmicas, é normalmente possível e economicamente vantajoso aumentar a capacidade (resistência) da estrutura, sem dano ou com dano marginal na mesma, mediante a instalação de dispositivos de amortecimento externos à estrutura. Analogamente, edifícios ou estruturas de grande altura (torres, por exemplo) também podem requerer a utilização de amortecedores, ativos ou passivos, em regiões de não risco sísmico, devido a exigências de conforto ou utilização, face às vibrações induzidas pelo vento. Vibrações induzidas em pontes por pessoas ou tráfego também podem ser atenuadas a partir deste conceito. Sistemas de controle se constituem em uma solução normalmente mais eficiente e menos invasiva para o problema de vibrações excessivas em estruturas. A otimização pode ser aplicada como um método sistemático para a busca, por exemplo, das

5 propriedades dos materiais e assim como a posição de instalação dos amortecedores visando à atenuação máxima da resposta da estrutura. Figura 6. Controle de vibrações em estruturas civis. *Cooperação científica: Prof. Letícia Fadel Miguel (UFRGS), Prof. Eduardo de Cursi (INSA França). 3) Otimização de estruturas de concreto armado O trabalho consiste no desenvolvimento de um algoritmo que analisa e busca matematicamente uma opção ótima para um projeto estrutural de concreto armado baseado nos custos de produção envolvidos. Para tanto este será capaz de avaliar o dimensionamento de peças estruturais de acordo com as normas brasileiras vigentes, e realizar a variação no posicionamento dos pilares de forma sucessiva. Figura 7. Otimização de estruturas de concreto armado.

6 4) Desenvolvimento de métodos de otimização Este tópico de pesquisa visa o desenvolvimento, implementação computacional e validação de algoritmos de otimização com aplicação a problemas de engenharia, abordando diferentes áreas como: (i) (ii) (iii) Otimização multiobjetivo; Algoritmos heurísticos-evolucionários: algoritmo genético (GA), otimização por enxame de partículas (PSO), otimização por colônia de formigas (ACO), entre outros. Otimização global: desenvolvimento de algoritmos de otimização global. 5) Quantificação de incertezas e otimização A otimização tornou-se uma ferramenta muito importante em várias áreas, por exemplo, investidores procuram desenvolver portfólios que evitam um nível de risco excessivo obtendo uma alta taxa de retorno para seus clientes, indústrias visam maximizar a eficiência do produto e funcionamento em seus processos de produção, engenheiros ajustam parâmetros para maximizar a performance de seus projetos. Entretanto, é difícil encontrar exemplos de sistemas a serem otimizados que não incluam algum nível de incerteza a alguns de seus parâmetros. Então, para a otimização em presença de incertezas, o primeiro passo é realizar a quantificação destas. Tais incertezas podem ser modeladas como variáveis aleatórias com a utilização da teoria da probabilidade. Os métodos de modelagem de incertezas podem ser divididos em três grandes categorias de acordo com o tipo de informação sobre a resposta do sistema que é obtida, como pode ser visualizado na Figura 8. Figura 8. Tipos de resposta de um modelo estocástico. Os métodos de caracterização completa (e.g. aproximação por polinômios de caos (APC)) visam construir a variável aleatória (ou campo/processo estocástico) que caracteriza a resposta do sistema. Os métodos de variação da resposta (e.g. métodos de perturbação, Simulação de Monte Carlo) buscam calcular estatísticas de tal resposta como sua média (E[.]) e seu desvio padrão (σ). Finalmente, os métodos de confiabilidade (e.g. método de análise de confiabilidade de primeira ordem e segunda ordem (FORM e SORM, respectivamente)) tem como objetivo estimar a probabilidade de falha (P f ) do sistema em análise. Note que com a caracterização completa da resposta, as estatísticas e

7 probabilidades de falha são facilmente obtidas a partir dela. Pode-se também modelar as incertezas de forma possibilística, e.g. utilização de variáveis fuzzy ou análise de intervalos, porém esta técnica não é abordada neste projeto. O que se busca com o tratamento de incertezas na otimização é a robustez da concepção final do sistema em relação à aleatoriedade dos seus parâmetros. As estratégias de otimização em presença de incertezas tem buscado, por exemplo, a minimização de estatísticas da resposta do sistema, minimização da diferença entre o resultado alvo e o obtido e a inclusão de restrição de probabilidade. As principais técnicas para tratar das incertezas (modeladas pela teoria da probabilidade) em um processo de otimização são: (i) otimização (ou programação) estocástica, também chamada de otimização robusta; (ii) otimização baseada em confiabilidade ou RBDO - Reliability-Based Design Optimization. Nosso grupo de pesquisa trabalha tanto no desenvolvimento de métodos e técnicas de quantificação de incertezas (e.g. caracterização completa e confiabilidade), como na incorporação destas técnicas dentro dos problemas de otimização. Esta área engloba todos os projetos de pesquisa citados neste documento, por exemplo, otimização de estruturas treliçadas, otimização de estruturas em regime dinâmico, etc. *Cooperação científica: Prof. Eduardo de Cursi (INSA França). Prof. Rubens Sampaio (PUC-Rio), Prof. Thiago Ritto (UFRJ), Prof. André Torii (UFPB).