Expressões matemáticas

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1 Expressões matemáticas Aula 6 Ricardo Ferreira Paraízo e-tec Brasil Matemática Instrumental

2 Meta Apresentar as expressões numéricas e algébricas, suas propriedades e aplicações. Objetivos Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. aplicar os conceitos de potenciação;. aplicar as prioridades para resolver expressões numéricas ou algébricas;. relacionar a linguagem do dia-a-dia com a linguagem matemática; 4. identificar e solucionar expressões matemáticas que dependam de uma variável ou que representem algum valor específico.

3 O mundo das expressões matemáticas 15 Em nosso dia-a-dia, observamos problemas que, para serem resolvidos, precisam de conhecimentos que vão além da contagem. Não são raras as vezes em que usamos, sem perceber, expressões matemáticas. Por exemplo, para calcular o valor total das suas compras, para saber se o troco está certo, para verificar a correção do seu saldo bancário etc. Sanja Gjenero Aula 6 Expressões matemáticas Fonte: Figura 6.1: Tempo é dinheiro: o salário líquido de um funcionário é calculado por uma expressão matemática que envolve as horas trabalhadas e os descontos previstos em lei. Nesta aula, vamos relembrar e aprofundar os conceitos sobre expressões matemáticas que vão nos auxiliar na resolução de problemas do cotidiano. Conceitos e definições sobre expressões matemáticas Este assunto não é novidade. Lembra-se da Aula 4? Lá você aprendeu a trabalhar com expressões fracionárias. Então, você sabe o que é uma expressão. Agora, vamos aprofundar o conceito de expressões matemáticas.

4 16 e-tec Brasil Matemática Instrumental Podemos dizer que uma expressão matemática é a combinação de números, operadores (os sinais) e símbolos gráficos (como parênteses, colchetes e chaves). Podemos, ainda, classificá-las em numéricas ou algébricas. As expressões numéricas, como o próprio nome diz, envolvem somente operações com números. Já as expressões algébricas ou literais apresentam letras e podem conter números. Veja alguns exemplos: a (-8) b. 5 ( ) c. (6.(-) - 5 x) + 1 d. 10x y Os exemplos a e b são expressões numéricas. Já os exemplos c e d são expressões algébricas. Vamos analisá-los mais detalhadamente agora. Você deve ter percebido que o exemplo b envolve o uso do conceito de potência (5 ). Essa é uma boa oportunidade para relembrar os conceitos e as propriedades de potenciação.

5 Uma potência matemática 17 Antes de iniciar um estudo mais completo sobre as expressões, vamos recordar potenciação. Alguma vez você quis saber quantos grãos de areia existem no universo? Parece uma questão absurda, não acha? No século III a.c. viveu um sábio grego, o matemático Arquimedes, que se preocupava muito com esse assunto. Para ele, o universo era uma esfera limitada pelas estrelas fixas. Na tentativa de encontrar o volume dessa esfera, Arquimedes fez exatamente essa pergunta: quantos grãos de areia existem no universo? Mais importante do que o resultado obtido foi o método que ele criou para chegar a esse resultado. Como precisava trabalhar com quantidades muito grandes, ele criou uma forma simples de representá-las: a potenciação. Arquimedes achou que no Universo caberiam grãos de areia. O número é realmente astronômico! Aula 6 Expressões matemáticas Base Expoente x 10 x 10 x... x vezes Potenciação significa multiplicar um número real, que é chamado de base, por ele mesmo n vezes, em que n é o expoente. n a a1 44 a a a44... a n vezes em que a R e n N Por exemplo: 5 4

6 18 Ao trabalhar com potenciação, você vai se deparar com algumas características e-tec Brasil Matemática Instrumental específicas. Para realizar algumas operações envolvendo potenciação, o domínio dessas características é extremamente importante. A tabela a seguir resume bem as propriedades de potenciação e mostra alguns exemplos. Assumindo que x e y são números reais diferentes de zero e que m e n são números inteiros, temos que: Tabela 6.1: Propriedades e exemplos de potenciação Propriedades Alguns exemplos xº 1 (x não nulo) º 1 x m x n x m+n ². 4 6 x m y m (xy) m ². 5² 15² x m x n x m n x m y m (x/y) m ² 5² (/5)² (x m ) n x mn ( )² 7² 79 6 x m n (x m ) 1/n ( ) 1/ 7 1/ x m 1 x m 1 1/7 x m/n 1 (x m ) 1/n / 1 ( ) 1/ 1 (7) 1/ Preste muita atenção! ( )² ² i. ( )² representa o quadrado do número -, ou seja, ( )² ( )( ) + 4 ii. ² representa o oposto do quadrado do número, ou seja, ² (²) 4 Agora que você já relembrou o conceito e as propriedades de potenciação, pratique um pouco nas atividades a seguir. Atividade 1 Atende ao Objetivo 1 Sabendo que 6 79, você sabe informar o valor de 5? E de 7?

7 19 Atividade Calcule as potências: a. 6 b. Atende ao ao Objetivo 1 1 Aula 6 Expressões matemáticas c. 5 d. ( 7 ) e. Desafio: ( ) Atividade Atende ao Objetivo 1 Indique a forma mais simples de escrever: a. ( a b) b ( b c) b. x y y x x 7 y 5 4

8 140 e-tec Brasil Matemática Instrumental Atividade 4 Atende ao Objetivo 1 Calcule o valor da expressão: A Propriedades operatórias numa expressão matemática Você já sabe que a resolução de uma expressão segue algumas regras. Essas regras, que na verdade são propriedades, já foram explicadas na Aula 4. Vamos recordá-las! Nas operações em expressões numéricas ou algébricas, devemos obedecer à seguinte ordem: 1. Potenciação ou Radiciação. Multiplicação ou Divisão. Adição ou Subtração Um exemplo: como resolver a expressão ? Ora, como você acabou de ver, numa expressão que tenha adição, subtração, multiplicação e divisão, primeiramente desenvolvemos a multiplicação e a divisão. Sendo assim: Mas não é só isso, existem outras observações quanto à prioridade. Isso quer dizer que os símbolos gráficos, como parênteses, colchetes e chaves, que podem aparecer nas expressões matemáticas, estabelecem uma ordem para a resolução.

9 141 Aula 6 Expressões matemáticas 16+( - ) (1 + 10) ( 5) Observe nos exemplos adiante que, antes de qualquer uma das operações citadas anteriormente, devemos realizar as operações que estão dentro dos parênteses, depois as dos colchetes e, por último, devemos resolver as operações que estão dentro das chaves. Atenção! Parênteses, colchetes e chaves mudam a ordem de prioridades apresentadas anteriormente. i. as operações que estão dentro dos parênteses devem ser resolvidas em primeiro lugar; ii. em segundo lugar, devemos resolver tudo o que está dentro dos colchetes; iii. por último, resolvemos as operações que estão entre chaves. Muito cuidado na hora de resolver as expressões! Um sinal errado implica errar toda a expressão.

10 14 Veja: e-tec Brasil Matemática Instrumental a Em primeiro lugar, você vai efetuar a divisão (6 : ), pois 5. está dentro dos parênteses [ 4 5] 10 + ( 1) 10 1 Agora, você deve extrair a raiz quadrada ( 5 5 ) e realizar a multiplicação (. 4), pois estão dentro dos colchetes e possuem prioridade de resolução em relação à subtração. Aqui, você deve calcular a subtração (4 5 1), pois ainda está indicada pelos colchetes. Nesse momento, você precisa usar a regra de sinal, ou seja, +( 1) 1. 9 E, finalmente, calcule a subtração (10 1 9) para obter o resultado final. b ( ) + Em primeiro lugar, você deve resolver a subtração que está dentro dos parênteses, ou seja, ( 4 ) + 0 Nessa etapa, temos que resolver o que está dentro dos colchetes, dando prioridade à raiz quadrada ( 4 ) + 0 Agora, sim, efetuamos a subtração e eliminamos os colchetes ( 4) + 0 O próximo passo é eliminar as chaves, mas antes de realizar a adição devemos extrair a raiz quadrada ( 16 4) ( 4) ( 4) E efetuando a adição eliminamos as chaves. Agora, precisamos calcular a multiplicação e a potência. E, para finalizar, calculamos a soma, ou seja,

11 O exemplo a seguir é uma expressão algébrica ou literal, em que as letras A, B e C são as variáveis que, neste caso, assumem os respectivos valores: 1, 9 e 6. c. B A + C C em que A 1, B 9 e C { } ( ) Em primeiro lugar, temos que substituir os valores das variáveis A, B e C. Agora, vamos eliminar os parênteses, ou seja, 9 6. Observe que os parênteses só continuam existindo para separar os sinais de multiplicação e subtração. O próximo passo é eliminar os colchetes. Veja: Aula 6 Expressões matemáticas 14 { ( )} 7 { 1} 5.61 Como ainda existem as chaves, o nosso próximo passo será eliminá-las, ou seja, multiplicar 7 por -. Agora, basta calcular a potência e chegamos ao resultado final. Lembre-se de que, elevando qualquer número a uma potência par, o resultado será sempre positivo. Saiba mais... Produtos notáveis A multiplicação de duas expressões algébricas é particularmente importante no estudo da matemática. Chamamos isso de produtos notáveis. Os produtos mais importantes são: 1. Quadrado da soma de dois termos: (a + b) a² + ab + b². Quadrado da diferença de dois termos: (a - b) a² + ab + b². Produto da soma pela diferença: (a + b) (a - b) a² - b² O primeiro caso também é conhecido como quadrado perfeito e tem a seguinte representação geométrica: a b a a a. b a b a. b b b a b

12 144 Veja, a seguir, a grande importância da utilização do PARÊNTESE para a e-tec Brasil Matemática Instrumental apresentação do resultado de um problema do seu dia-a-dia. Você tem um canteiro de alface com 10 fileiras com 1 pés de alface em cada fileira. Num certo dia os pés de alface das duas últimas filas foram retirados. Quantos pés de alface restaram no canteiro? Veja a solução: Como havia inicialmente 10 fileiras e foram excluídas fileiras, sobraram 8 fileiras: (10 - ) Como cada fileira tem 1 pés de alface, temos, então: 1.(10 - ) Concluímos que sobraram 96 pés de alface. Depois de alguns exemplos resolvidos passo a passo, você precisa fixar os conceitos apresentados até aqui. Faça as próximas atividades com muita atenção.

13 145 Atividade 5 Atende ao Objetivo Resolva as expressões a seguir: { ( ) } a b ( + 1) { } Aula 6 Expressões matemáticas c Atividade 6 Atende ao Objetivo Alberto cometeu um erro numa das etapas da resolução da expressão aritmética a seguir: 1,6 (,8) + [1,9 ( 5,6 + 8,1 )] 1,6 +,8 + [1,9 (,5 )] (1 a etapa) 1,6 +,8 + [1,9,5] ( a etapa) 1,6 +,8 + [0,6] ( a etapa) 1,6 +,8 + 0,6 5 (4 a etapa) a. Descubra o erro cometido por Alberto. b. Faça a correção do exercício a partir desta etapa.

14 146 A matemática em palavras e-tec Brasil Matemática Instrumental A linguagem matemática é um instrumento importante para resolver problemas. Com ela podemos traduzir e interpretar os dados que estão em linguagem corrente. Fernando Tangi Fonte: Figura 6.: No supermercado as pessoas trabalham todo o tempo com a tradução da linguagem corrente para a linguagem matemática. Uma boa lista de compras e uma quantidade limitada de dinheiro são suficientes para formar as expressões. Nos exemplos seguintes, há uma tabela com algumas situações a serem interpretadas em linguagem corrente e sua tradução para a linguagem matemática. Veja os exemplos: Se a letra x representa um número inteiro, vamos escrever a expressão algébrica que representa cada sentença:

15 Tabela 6.: Traduzindo a matemática 147 Em linguagem corrente O dobro de um número. O sucessor de um número. A metade do sucessor de um número. Um terço de um número somado com seu antecessor. Em linguagem matemática x x + 1 x + 1 x + x 1 ( ) Aula 6 Expressões matemáticas Avançando um pouco... Que tal atribuir algum valor para x? Vamos trabalhar com x 1 e calcular os valores numéricos das sentenças apresentadas na tabela anterior. Dessa forma, temos: Em linguagem corrente O dobro de 1 O sucessor de 1 A metade do sucessor de 1 Um terço de 1 somado com 11 Em linguagem matemática , Observe que podemos reescrever as sentenças da Tabela 6. de modo que seja possível determinar o valor de x. Então, como transformar a sentença O dobro desse número? Lembrando que o objetivo é determinar o valor de x, essa sentença pode ser reescrita da seguinte forma: O dobro de um número é 4. Qual é esse número? Veja: Em linguagem corrente O dobro de um número é 4. Qual é esse número? Em linguagem matemática x 4 x?

16 148 e-tec Brasil Matemática Instrumental EQUAÇÃO Uma sentença aberta expressa por uma igualdade envolvendo expressões matemáticas. A solução desse problema é a solução da EQUAÇÃO matemática x 4, ou seja, 4 x 1. Portanto, o número procurado é 1. Saiba mais... Notações e símbolos matemáticos Há quem diga que a matemática é a rainha e a serva de todas as ciências. E as principais características de sua majestade são: i. o rigor; ii. a lógica; iii. a harmonia; iv. a linguagem precisa e universal. Sabe-se que os gregos antigos promoveram um grande desenvolvimento de tal ciência, principalmente a geometria plana e espacial, embora não dispusessem de uma notação algébrica ou de simbologia adequada. Até o século XVI, toda a matemática se fazia de forma excessivamente verbal. Por exemplo, a equação 5A + 9A 5 0 era escrita em latim: 5 in a quad. et 9 in A planu minus 5 aequatur 0. (5 em A quadrado e 9 em A plano menos 5 é igual a zero.) O grande responsável pela notação matemática usada até hoje foi Leonhard Euler ( ). Recordemos as principais: f ( x) indica função de x; Σ indica somatório; i é a unidade imaginária; e indica a base do logaritmo neperiano e é igual a,718...; log x indica o logaritmo decimal. Euler, nascido em Basiléia, Suíça, ocupou-se com praticamente todos os ramos então conhecidos da matemática. Escreveu em média 800 páginas por ano e publicou mais de 500 livros e artigos.

17 Outro exemplo: 149 Antônio tinha determinada quantia em dinheiro. No primeiro mês, gastou R$ 00,00. No segundo mês, gastou metade do que sobrou, ficando com R$ 160,00. Qual era a quantia que ele possuía inicialmente? Em linguagem corrente Em linguagem matemática Antônio tinha determinada quantia em dinheiro. x No primeiro mês gastou R$ 00,00. x 00 Aula 6 Expressões matemáticas No segundo mês gastou metade do que sobrou, ficando com R$ 160,00. Qual era a quantia que ele possuía inicialmente? x x? x x 00 0 x x 50 Portanto, Antônio possuía R$ 50,00. Amr Safey Fonte: Figura 6.: No jogo de dominó, todos os jogadores trabalham do início ao fim da partida tentando descobrir as peças dos adversários. Dessa forma, o jogo de dominó é traduzido para a linguagem matemática.

18 150 Como você percebeu, a solução de um problema matemático depende muito da e-tec Brasil Matemática Instrumental tradução da linguagem corrente para a linguagem matemática. Para que você consiga fazer a tradução de forma correta, praticar é fundamental. Atividade 7 Atende ao Objetivo Escreva as seguintes frases em linguagem matemática: a. O triplo de um número. b. Um número menos sete. c. Metade de um número, mais um. d. A quinta parte de um número multiplicada por dez ao cubo. Atividade 8 Atende aos Objetivos e 4 O terreno de uma empresa agropecuária, cujo perímetro (a soma dos lados) é de km, tem as dimensões representadas na figura adiante. Calcular o comprimento do segmento DE representando uma cerca de arame. E x A x +,4 8x 5 B x D x + 1 C

19 151 Aula 6 Expressões matemáticas Atividade 9 Atende aos Objetivos e 4 Observe e complete o quadro a seguir: Em linguagem corrente a. Subtraia dois de nove e então some um. b. Subtraia de nove a soma de dois em um. c. Multiplique três por dois e some um ao produto. d. Multiplique três por dois e subtraia um do produto. Em linguagem matemática e. Some um com um e divida dois pela soma. f. Some um ao quociente de dois por um. g. Divida seis por dois e some um ao quociente. h. Subtraia quatro do produto de dois por dois. i. Subtraia sete de dez e depois subtraia um. Calcule as expressões do exercício anterior e reproduza no quadro adiante os resultados, associando-os ao item correspondente. Você terá acertado se a soma dos números de cada linha e de cada coluna for 1. item valor item valor item valor c h d I g b f a e

20 15 e-tec Brasil Matemática Instrumental Resumindo... Uma expressão matemática é a combinação de números, operadores e símbolos gráficos (como parênteses, colchetes e chaves). Essas expressões são classificadas em numéricas ou algébricas. As expressões numéricas envolvem somente operações com números. Já as algébricas ou literais apresentam letras e podem conter números. Para um estudo mais completo sobre as expressões, recordamos as potências. Potenciação significa multiplicar um número real, que é chamado de base, por ele mesmo n vezes, em que n é o expoente. Por exemplo: Para resolver expressões matemáticas, devemos obedecer à seguinte ordem: (i) potenciação ou radiciação; (ii) multiplicação ou divisão; (iii) adição ou subtração. Também existem prioridades em relação aos símbolos gráficos. Em qualquer expressão matemática resolvemos em primeiro lugar as operações de dentro dos parênteses, depois dos colchetes e por último devemos resolver as operações que estão dentro das chaves. Com a linguagem matemática, podemos traduzir e equacionar os problemas. Informações sobre a próxima aula Se três dúzias de bananas custam R$ 15,00, quanto será que custariam 47 dúzias? Na próxima aula, você vai aprender uma maneira bastante simples e fácil de resolver esse tipo de cálculo: vamos trabalhar com regra de três simples. Até lá!

21 15 Atividade 1 Como 79, temos que 5 4, ou seja, Agora, observe que Atividade 5 79 Respostas das Atividades Aula 6 Expressões matemáticas a. 6² -6 b. 9 4, 5 c , d. 6 ( 7 ) e. Desafio: ( )

22 154 Atividade e-tec Brasil Matemática Instrumental a. b. ( a b) b ( b c) a b b b c + + a b c 1 6 a b c x y y x x 7 y 5 4 x y 7 y x y 7 y x 8 Atividade A 1 A A 1 1 A 16 A 6 A 16, 5 1 4

23 Atividade a. { ( ) } { ( ) } { [ ] } { } Aula 6 Expressões matemáticas b. c. { ( ) } { ( ) } { 6 1 ( ) 8} { [ ] } { [ ]} { } , 85714

24 156 Atividade 6 e-tec Brasil Matemática Instrumental a. O engano foi cometido na ª etapa: 1,6 +,8 + [0,6] Observe: [1,9,5 0,6]. Sinais diferentes, subtraímos e repetimos o sinal do maior. Se tiver dúvidas, reveja a Aula. b. A partir da ª etapa ficaria: 1,6 +,8 + [ -0,6 ] (ª etapa) 1,6 +,8 0,6 +,8 (4ª etapa) Atividade 7 a. Se x é o número, o triplo desse número é x. b. x - 7 c. d. x + 1 x 5 ( 10 ) Atividade 8 Vamos, primeiramente, somar os lados da figura e igualar a, já que foi dito no problema que o perímetro vale km: x 1 8x x + x +, 4 + x Agora, vamos somar as partes inteiras do 1º membro da equação: x 1 8x 6x +, Calculando o MMC (, 5) 10 e reduzindo ambos os membros ao mesmo denominador, temos: 60x ( x + 1) x

25 Eliminando o denominador comum e fazendo as devidas operações: Agora somamos os termos semelhantes: 11x Isolando o x: 11x x 11 x x x x 0 Aula 6 Expressões matemáticas 157 Como o segmento DE 8, substituindo o valor de x por 1, temos: 5x 8. 1 DE 5 DE 5,6 km Então, o comprimento da cerca é de 5,6 km. Atividade 9 Em linguagem corrente Em linguagem matemática a. Subtraia dois de nove e então some um b. Subtraia de nove a soma de dois e um. 9 - ( + 1 ) 9-6 c. Multiplique três por dois e some um ao produto.. () d. Multiplique três por dois e subtraia um do produto.. () e. Some um com um e divida dois pela soma. f. Some um ao quociente de dois por um. g. Divida seis por dois e some um ao quociente h. Subtraia quatro do produto de dois por dois.. () 4 0 i. Subtraia sete de dez e depois subtraia um

26 158 item valor item valor item valor e-tec Brasil Matemática Instrumental c 7 h 0 d 5 I g 4 b 6 f a 8 e 1 Referências bibliográficas GIOVANNI, José Ruy et al. A conquista da matemática. São Paulo: FTD ª e 8ª série. IEZZI, Gelson et al. Matemática e realidade. 5. ed. São Paulo: Atual, ª e 7ª série.