LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS PORCENTAGEM... 31

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1 AULA 6: REVISÃO GERAL Prof. Adeilson de Melo SUMÁRIO LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS PORCENTAGEM Olá pessoal! Esta é a nossa última aula deste curso preparatório para o INSS. Agradeço muitíssimo o convite do ilustre idealizador do curso Prof. Francisco Júnior, pelo confiança que me foi prestada. Espero ter correspondido as expectativas dos alunos e concurseiros, pois tive muito dedicação ao preparar essas aulas. A teoria foi completa e cobriu todos os tópicos do edital do último concurso. Além disso, selecionei muitas questões de concursos passados, de várias bancas, para você praticar durante as aulas. Quero agradecer também, os elogios e comentários que recebi durante a postagem das aulas. Eventuais críticas e sugestões são sempre bem-vindas para o aprimoramento de meu trabalho. Esta aula será uma grande revisão e aprofundamentos das primeiras aulas de Raciocínio Lógico. 1

2 LÓGICA DE PROPOSIÇÕES LÓGICA PROPOSICIONAL Proposição: É uma sentença declarativa, seja ela expressa de forma afirmativa ou negativa, na qual podemos atribuir um valor lógico V (verdadeiro) ou F (falso). Brasília é a capital do Brasil É uma sentença declarativa expressa de forma afirmativa. Podemos atribuir um valor lógico, como a sentença é verdadeira seu valor lógico é V. O Chile não é um país pertencente ao continente Asiático. É uma sentença declarativa expressa na forma negativa. Podemos atribuir um valor lógico, como a sentença é verdadeira, seu valor lógico é V. Todos os homens são mortais É uma sentença declarativa expressa na forma afirmativa. Podemos atribuir um valor lógico, como a sentença é verdadeira, seu valor lógico é V 12 é um número par positivo É uma sentença declarativa expressa na forma afirmativa. Podemos atribuir um valor lógico, como a sentença é verdadeira, seu valor lógico é V 7+5 = 10 É uma sentença declarativa expressa na forma afirmativa.podemos atribuir uma valor lógico, como a sentença é falsa, seu valor lógico é F. x -2=5 Não é uma proposição, pois não sabemos o valor da variável x, ou melhor, não podemos atribuir um valor lógico V ou F. Porém para torná-la proposição bastaremos usar os chamados quantificadores. Vejamos; 2

3 Para todo x, x pertencente aos Z (números inteiros), x-2=5. É uma proposição pois agora podemos atribuir-lhe um valor lógico, porém sabemos ser falsa uma vez que apenas o número 7 torna a sentença verdadeira. Agora que sabemos o que são proposições, automaticamente as sentenças que não são proposições são; NÃO SÃO PROPOSIÇÕES Sentenças Interrogativas: Ex; Qual é seu nome? Sentenças Imperativas: Ex; Venha aqui. Sentenças Exclamativas: Ex; Opa! Poesias Sentenças abertas: Ex: x-3 <75 Passaremos agora para o estudo dos princípios que regem as Proposições: 1. Princípio da Identidade: Uma proposição Verdadeira é Verdadeira, e uma proposição Falsa é Falsa 2. Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição ou é verdadeira ou falsa não existindo uma terceira possibilidade. 3. Princípio da Não-Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Representação das proposições: As proposições são representadas por letras minúsculas. Geralmente p, q, r e s. Vejamos: Brasília é a capital do Brasil, pode ser representada por q, e seu valor lógico por; Val(q)= V As proposições lógicas podem ser classificadas em dois tipos: Proposição simples - São representadas de forma única. Ex: O cachorro é um mamífero Proposição composta - São formadas por um conjunto de proposições simples, ( duas ou mais proposições simples ligadas por conectivos lógicos ). 3

4 Ex: Brasília é a capital do Brasil ou Lima é a capital do Peru. Podemos ver que atribuir um valor lógico para uma proposição simples é fácil, mas e para uma proposição composta como faremos isso? Utilizaremos um recurso chamado de tabelas verdade. As tabelas verdade são usadas para representar todos os valores lógicos possíveis de uma proposição. Voltemos ao exemplo anterior. Brasília é a capital do Brasil, pode ser representada por p. Representando a na tabela verdade,temos: p V F Sabendo que uma tabela verdade é a representação de todas as possibilidades lógicas de uma proposição, agora vamos estudar os conectivos lógicos que ligam as proposições compostas para sim podermos analisar os valores lógicos de uma proposição composta. RESUMO: Proposição é uma frase declarativa que admita um valor lógico (V verdadeiro ou F falso) Nem toda frase pode ser considerada uma proposição. Princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, Verdadeira e Falsa. Princípio da exclusão do terceiro termo: não há um meio termo entre Verdadeiro ou Falso. Duas ou mais proposições podem ser combinadas, criando proposições compostas, utilizando para isso os operadores lógicos. 4

5 PRINCIPAIS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: OPERAÇÃO CONECTIVO ESTRUTURA LÓGICA EXEMPLOS Negação OU ~ Não p A carro não é azul Conjunção ^ P e q Sócrates é médico e Platão é Engenheiro Disjunção Inclusiva v P ou q Sócrates é médico ou Platão é Engenheiro Disjunção Exclusiva v Ou p ou q Ou Sócrates é Médico ou Platão é Engenheiro Condicional Se p então q Se Sócrates é Médico então Platão é Engenheiro Bicondicional P se e somente se q Sócrates é médico se e somente se Platão é Médico Conjunção ( p e q, ou p ^ q ): é F se pelo menos uma proposição simples for F. Uma variação da conjunção é: p, mas q. Disjunção ( p ou q, ou p v q ): só é F quando p e q são ambas F. Disjunção exclusiva ou Ou exclusivo ( ou p ou q, ou p v q ): só é F quando ambas são V ou ambas são F. Uma variação: p, ou q Condicional ou implicação ( se p, então q, ou p q ): só é F quando p é V e q é F. Variações: Quando p, q ; Toda vez que p, q. Bicondicional ou dupla implicação ( se e somente se, ou p q ): é F quando uma proposição simples é V e a outra é F. PARA LEMBRAR SEMPRE Representamos a negação de p por ~p, p ou não-p 5

6 p e ~p possuem valores lógicos opostos Podemos negar simplesmente inserindo Não é verdade que... no início da proposição. Dica para descobrir outras formas de negação: perguntar o que eu precisaria fazer para provar que quem disse essa frase está mentindo. A tabela-verdade de uma proposição terá sempre 2 n linhas, onde n é o número de proposições simples envolvidas (não contar duas vezes se aparecerem p e ~p na mesma proposição composta) TAUTOLOGIA: proposição (composta) que é sempre V CONTRADIÇÃO: proposição que é sempre F CONTINGÊNCIA: proposições que podem ser V ou F, dependendo dos valores lógicos das proposições simples que a compõem Duas proposições lógicas são equivalentes quando elas possuem a mesma tabela-verdade p q, ~ q ~ p e ~p v q são proposições equivalentes Duas formas distintas de negar uma mesma proposição são equivalentes. Ex.: ~ (p ^ q) é equivalente a ~ p v ~ q ; ~ (p v q) é equivalente a ~ p ^ ~ q. Em p q, p é suficiente para q, e, por outro lado, q é necessária para p; Em p q, p é necessária e suficiente para q, e vice-versa Sentenças abertas são aquelas que possuem uma ou mais variáveis. Seu valor lógico depende dos valores que as variáveis assumirem. Um argumento é válido se, aceitando que as premissas são verdadeiras, a conclusão é verdadeira 6

7 PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS: Todo A é B: todos os elementos do conjunto A são também do conjunto B, isto é, A está contido em B. Nenhum A é B: nenhum elemento de A é também de B, isto é, os dois conjuntos são totalmente distintos (disjuntos) Algum A é B: algum elemento de A é também elemento de B Algum A não é B: existem elementos de A que não são de B QUADRO RESUMO AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO p ~p O céu é azul O céu não é azul Não é verdade que o céu é azul Todos os animais são mamíferos Nenhum animal é mamífero Algum/pelo menos um/existe animais (que) não é mamífero. Algum/pelo menos um/existe animal (que) é mamífero. Conectivos Lógicos 7

8 CONJUNÇÃO: Vimos pela tabela acima que a operação da conjunção liga duas ou mais proposições simples pelo conectivo e. Observemos o exemplo: Irei ao cinema e ao clube. Vamos montar a tabela verdade para a proposição composta destacando todas as valorações possíveis. CONJUNÇÃO: P ^ Q (P E Q) P Q P ^ Q V V V V F F F V F F F F P: Irei ao cinema Q: Irei ao clube Observamos que a proposição resultante da conjunção só será verdadeira quando as proposições simples individuais forem verdadeiras. DISJUNÇÃO INCLUSIVA: Vimos que a operação da disjunção inclusiva liga duas ou mais proposições simples pelo conectivo ou. Observemos o exemplo Darei-te uma camisa ou um calção. Vamos montar a tabela verdade para a proposição composta destacando todas as valorações possíveis. Disjunção: p v q (p ou q) P Q P v Q V V V V F V F V V F F F P: Darei-te uma camisa Q: Darei-te um calção Observamos que a proposição resultante da disjunção inclusiva só será falsa quando as proposições simples individuais forem falsas.. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: Vimos que a estrutura da disjunção exclusiva é ou p,ou q Ex: Ou irei jogar basquete ou irei à casa de João 8

9 Montando a tabela verdade teremos Disjunção Exclusiva: p v q (ou p ou q) P Q P v Q V V F V F V F V V F F F P: Irei jogar basquete Q: Irei à casa de João Observe a diferença entre a disjunção inclusiva e exclusiva! Como o próprio nome diz exclusiva a proposição resultante da disjunção exclusiva só será V se uma das partes for F e a outra V (independentemente da ordem) não podendo acontecer V nos dois casos, caso aconteça a proposição resultante desta operação será falsa. CONDICIONAL: Vimos que a estrutura condicional refere-se a Se p então q. Ex: Se nasci em São Luís, então sou maranhense. P: Nasci em São Luis Q: Sou Maranhense Nesta estrutura vale destacar os termos suficiente e necessário Observe que: Se nasci em São Luís é suficientemente para ser maranhense, Agora, se sou maranhense necessariamente nasci em São Luís. Regra: O que esta a esquerda da seta é sempre condição suficiente e o que está à direita é sempre condição necessária. ( p q). Tabela Verdade da estrutura condicional. Condicional: p q (Se... então) P Q P Q V V V V F F F V V F F V 9

10 Observe que a condicional só será falsa se a antecedente (lado esquerdo da seta) for verdadeiro e a consequente (lado direito) da seta for falso. BICONDICIONAL: É a estrutura formada por duas condicionais... p se e somente se q. Observe que; Ex: 4 é maior que 2 se e somente se 2 for menor que 4. P: 4 é maior que 2 Q: 2 é menor que 4 Temos que a Bicondicional é equivalente á: P Q (Se 4 é maior que 2, então 2 é menor que 4) Q P( Se 2 é menor que 4, então 4 é maior que 2) A Bicondicional expressa uma condição suficiente e necessária. 4 ser maior que 2 é condição suficiente e necessária para 2 ser menor do que 4. Tabela Verdade Bicondicional: p q ( p se e somente se q) P Q P Q V V V V F F F V F F F V A proposição resultante da bicondicional só será falsa se as proposições individuais possuírem valoração diferente. Negação: p P: O Brasil é um País pertencente a América do Sul. P: O Brasil não é um País pertencente a América do Sul Q: X é Par Q: X não é par ESTRUTURA DAS PROPOSIÇÕES 10

11 Estes quatro tipo de proposições são utilizados na lógica como elementos constituintes da relações entre os argumentos, eles abrangem as quatro possibilidades de argumentos. Embora as forma na aparência varie seu conteúdo sintático é o mesmo, podendo ser resumido: Todo S é P Nenhum S é P Algum S é P Algum S não é P 11

12 ... QUESTÕES DO CESPE/INB BLOCO (CESPE/UnBSEGUER/ES/2007) Na lista de afirmações abaixo, há exatamente 3 proposições. Mariana mora em Piúma. Em Vila Velha, visite o Convento da Penha. A expressão algébrica x + y é positiva. Se Joana é economista, então ela não entende de políticas públicas. A SEGER oferece 220 vagas em concurso público. 02. (CESPE/UnBBB1/2007) Na lista de frases apresentadas a seguir há exatamente três proposições. A expressão X + Y é positiva. O valor de = 7. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? 03. (CESPE/UnBBB2/2007) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: O BB foi criado em QUESTÕES DE CONCURSOS Faça seu trabalho corretamente. Manuela tem mais de 40 anos de idade. (CESPE/UnB/STF/2008) Tendo como referência as quatro frases a seguir, julgue os itens seguintes. Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. 05. A segunda frase é uma proposição lógica simples. 12

13 06. A terceira frase é uma proposição lógica composta. 07. A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. 08. (CESPE/UnB/PMAC/2008) Considere as seguintes sentenças: O Acre é um estado da Região Nordeste. Você viu o cometa Halley? Há vida no planeta Marte. Se x < 2, então x + 3 > 1. Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são proposições. 09. (CESPE/UnBSTJ/2008) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições. A: 12 é menor que 6. B: Para qual time você torce? C: x + 3 > 10. D: Existe vida após a morte. (CESPE/UnBSGA/AC/2008) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira V, ou falsa F, mas não como ambas. Uma proposição é denominada simples quando não contém nenhuma outra proposição como parte de si mesma, e é denominada composta quando for formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. De acordo com as informações contidas no texto, julgue o item a seguir. 10. A frase você sabe que horas são? é uma proposição. (CESPE/UnBSEBRAE/2008) Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes. 11. A frase Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE é uma proposição simples. 12. Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos. (CESPE/UnBMCT/2008) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F). De acordo com essa definição, julgue os itens a seguir. 13

14 13. A sentença O feijão é rico em proteína é uma proposição. 14. A frase Por que Maria não come carne vermelha? não é proposição. (CESPE/UnBSEBRAE-BA/2008) Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo: (1) Você sabe dividir? - perguntou Ana. (2) Claro que sei! - respondeu Mauro. (3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? - perguntou Ana. (4) O resto é dois. - Respondeu Mauro, após fazer a conta. (5) Está errado! Você não sabe dividir. -Respondeu Ana. A partir das informações e do diálogo acima, julgue os itens que se seguem. 15. A frase indicada por (3) não é uma proposição. 16. A sentença (5) é F. 17. A frase (2) é uma proposição. 18. (CESPE/UnBTRE-ES/2009) Na lista de afirmações abaixo, há exatamente 5 proposições lógicas. Clodoaldo é atleta capixaba. Leia, corrija e escreva. x + 7 = 2. Bia é brasileira ou Beto é brasileiro, mas não ambos. O professor sorteou livros em sala de aula. Se x > 1, então x + 3 > 6. Se y = 2, então x + y = 5. x = 3 se e somente se x + 11 = 13 Este carro é o mais caro da loja. Qual o rio mais extenso do mundo? 14

15 Se raiz quadrada de 9 é igual a 2, então = 7. Corra! Corra! Corra! 19. (CESPE/UnB/TRT17ª-ES/2009) Na sequência de frases abaixo, há três proposições. Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES (CESPE/UnB2006) A proposição ( P) v ( Q) tem mais de uma possibilidade de ter valoração F. 21. (CESPE/UnB2007) Se P Q é F, então P v Q é V.... GABARITO: QUESTÕES CESPE/UNB BLOCO CERTO 02. ERRADO 03. CERTO 04. ERRADO 05. CERTO 06. ERRADO 07. ERRADO 08. CERTO 09. CERTO 10. ERRADO 12. ERRADO 13. CERTO 14. CERTO 15. CERTO 16. ERRADO 17. ERRADO 18. CERTO 19. CERTO 20.ERRADO 21.ERRADO 11. CERTO QUESTÕES: FCC, ESAF, CESPE BLOCO (FCC Analista de Sistemas) Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional se eu ganhar na loteria, então comprarei uma casa, necessariamente será verdadeira a proposição: a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa. b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria. 15

16 c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria. d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria. e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa. 02- Dizer que Beto é paulista ou Paulo não é carioca é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) Se Beto é paulista, então Paulo não é carioca b) Se Beto não é paulista, então Paulo é carioca c) Se Paulo não é carioca, então Beto é paulista d) Se Paulo é carioca, então Beto é paulista e) Se Beto é paulista, então Paulo não é carioca 03- Considere verdadeira a declaração: Se durmo cedo, então não acordo tarde. Assim, é correto concluir que a) Se não durmo cedo, então acordo tarde. b) Se não durmo cedo, então não acordo tarde. c) Se acordei tarde, é porque não dormi cedo. d) Se não acordei tarde, é porque não dormi cedo. e) Se não acordei tarde, é porque dormi cedo. 04- Uma proposição logicamente equivalente a Se eu me chamo André, então eu passo no vestibular. é: a) Se eu não me chamo André, então eu não passo no vestibular. b) Se eu passo no vestibular, então me chamo André. c) Se eu não passo no vestibular, então me chamo André. d) Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André. e) Eu passo no vestibular e não me chamo André. 05- Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é Paulista 06- Dizer que Antônio é carioca ou José não é baiano é do ponto vista lógico, o mesmo que dizer que: a) Se Antônio é carioca, então José não é baiano b) Se Antônio não é carioca, então José é baiano c) Se José não é baiano, então Antônio é carioca d) Se José é baiano, então Antônio é carioca e) Antônio é carioca e José não é baiano 07- (ESAF MPOG/2001) Dizer que Andre é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro; 16

17 b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro; c) Se André não é pedreiro, então Paulo é pedreiro; d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista; e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 08- (ESAF MPOG/2009) Admita que, em um grupo: se algumas pessoas não são honestas, então algumas pessoas são punidas. Desse modo, pode-se concluir que, nesse grupo: a) as pessoas honestas nunca são punidas. b) as pessoas desonestas sempre são punidas. c) se algumas pessoas são punidas, então algumas pessoas não são honestas. d) se ninguém é punido, então não há pessoas desonestas. e) se todos são punidos, então todos são desonestos. 09- (ESAF MPOG) Dizer que Ana não é alegre ou Beatriz é feliz é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer: a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz. 10- (ESAF CGU) Um renomado economista afirma que A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que: a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta. b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa. c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta. d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta. 11- Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: a) Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos b) Se a inflação é alta, então os juros bancários são altos c) Se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa d) Os juros bancários são baixos e a inflação é baixa e) Ou os juros bancários são baixos, ou a inflação é baixa. 12- (Cespe TCE/RN 2009) Com relação a lógica sentencial e de primeira ordem, julgue os itens que se seguem. 17

18 1º- As proposições Se Mário é assessor de Pedro, então Carlos é cunhado de Mário e Se Carlos não é cunhado de Mário, então Mário não é assessor de Pedro são equivalentes. 2º- Se A, B, C e D são proposições, em que B é falsa e D é verdadeira, então, independentemente das valorações falsa ou verdadeira de A e C, a proposição A B C D será sempre verdadeira. 13- (Cespe SEBRAE 2008) Considerando que os números naturais x e y sejam tais que se x é ímpar, então y é divisível por 3, é correto afirmar que a) se x é par, então y não é divisível por 3. b) se y é divisível por 3, então x é ímpar. c) se y = 9, então x é par. d) se y = 10, então x é par. 14- (FCC TRE/Piauí ) Um dos novos funcionários de um cartório, responsável por orientar o público, recebeu a seguinte instrução: Se uma pessoa precisar autenticar documentos, encaminhe-a ao setor verde. Considerando que essa instrução é sempre cumprida corretamente, pode-se concluir que, necessariamente, a) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é encaminhada ao setor verde. b) toda pessoa encaminhada ao setor verde precisa autenticar documentos. c) somente as pessoas que precisam autenticar documentos são encaminhadas ao setor verde. d) a única função das pessoas que trabalham no setor verde é autenticar documentos. e) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa autenticar documentos.... GABARITO: BLOCO B 02- D 03- C 04- D 05- A 06- D 07- D 08- D 09- C 10- D 11- A 12- Certo, Errado 13- D 14- E... 18

19 QUESTÕES: FCC, ESAF, CESPE BLOCO De a negação das seguintes proposições: a) O flamengo não é um bom time. b) Os cariocas são chatos e os baianos são preguiçosos. c) As morenas não são convencidas ou os brancos são almofadinhas. d) Se for flamenguista, então é cardíaco. e) Eu estudo e aprendo f) O Brasil é um país ou a Bahia é um estado. g) Se eu estudo, então eu aprendo. 02- A negação da afirmação condicional se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva é: a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 03- A negação de não sabe matemática ou sabe português é: a) Não sabe matemática e sabe português. b) Não sabe matemática e não sabe português. c) Sabe matemática ou sabe português. d) Sabe matemática e não sabe português. e) Sabe matemática ou não sabe português. 04- (ESAF Analista TCU) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto 05- Assinale a opção que corresponde logicamente a p q a) ~p ~q d) ~p q b) ~p ~q p q e) c) ~p q 06- A negação de se hoje chove então fico em casa é: a) Hoje não chove e fico em casa. b) Hoje chove e não fico em casa. c) Hoje chove ou não fico em casa. d) Hoje não chove ou fico em casa. ~. 19

20 e) Se hoje chove então não fico em casa. 07- Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q, respectivamente, as suas negações. Os conectivos e e ou são representados, respectivamente, por e. A negação da proposição composta p ~q é a) ~p q b) ~p ~q c) p ~q d) ~p q e) ~p ~q 08- (ESAF CGU/2008) Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise. Como Maria sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que a afirmação é falsa. Desse modo, e do ponto de vista lógico, Maria pode concluir que é verdade que: a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise. c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise. e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise. 09- A negação de O gato mia e o rato chia é: a) O gato não mia e o rato não chia b) O gato mia ou o rato chia c) O gato não mia ou o rato não chia d) O gato e o rato não chiam nem miam e) O gato chia e o rato não mia 10- (ESAF SEFAZ/2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. b) Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Milão não é a capital da Itália. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. 11- (Cespe DP/PMDF 2009) Julgue os itens que se seguem, acerca de proposições e seus valores lógicos. 1º- A negação da proposição O concurso será regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB estará corretamente simbolizada na forma A B será executado pelo CESPE/UnB. A B A B é uma tautologia. 2º- A proposição, isto é, O concurso não será regido por este edital nem 12- (Cespe SEDUC/CE 2009) A negação da proposição A prova será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação será alterado. pode ser escrita como a) A prova não será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação não será alterado. b) A prova não será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação será alterado. c) A prova será aplicada no local previsto mas o seu horário de aplicação não será alterado. 20

21 d) A prova não será aplicada no local previsto e o seu horário de aplicação não será alterado. 13- (FCC TRT ) A negação da sentença A Terra é chata e a Lua é um planeta. é: a) Se a Terra é chata, então a Lua não é um planeta. b) Se a Lua não é um planeta, então a Terra não é chata. c) A Terra não é chata e a Lua não é um planeta. d) A Terra não é chata ou a Lua é um planeta. e) A Terra não é chata se a Lua não é um planeta. GABARITO: BLOCO a) O flamengo é um bom time. b) Os cariocas não são chatos ou os baianos não são preguiçosos. c) As morenas são convencidas e os brancos não são almofadinhas. d) É flamenguista e não é cardíaco. e) Eu não estudo ou não aprendo f) O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado. g) Eu estudo e não aprendo. 02- E 03- D 04- A 05- A 06- B 07- D 08- C 09- C 10- A 11- Errado, Certo 12- D 13- A... QUESTÕES: FCC, ESAF, CESPE BLOCO Classifique as proposições como universais ou particulares, afirmativas ou negativas: a) Todos os homens são sábios b) Alguns homens são sábios c) Nenhum homem é sábio d) Todos os homens não são sábios e) Alguns homens não são sábios 21

22 02- Dê a negação para cada uma das proposições a seguir: a) Todos os animais são quadrúpedes b) Nenhum homem é covarde c) Alguma mulher não é loira d) Algum músico é matemático 03- Certo dia, o Centro Acadêmico de uma Faculdade de Medicina publicou a seguinte notícia: Todos os alunos serão reprovados em Anatomia! A repercussão dessa manchete fez com que a direção da Faculdade interpelasse os responsáveis e deles exigisse, como forma de retratação, a publicação de uma negação da afirmação feita. Diante desse fato, a nota de retratação pode ter sido: a) Nenhum aluno será reprovado em Anatomia. b) Algum aluno será aprovado em Anatomia. c) Algum aluno será reprovado em Anatomia. d) Se alguém for reprovado em Anatomia, então não será um aluno. e) Todos os reprovados em Anatomia não são alunos. 04- (ESAF Analista) Dizer que a afirmação Todos os economistas são médicos é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) Nenhum economista é médico b) Pelo menos um economista não é médico c) Nenhum médico é economista d) Pelo menos um médico não é economista e) Todos os não-médicos são não-economistas 05- (ESAF MPOG/2009) A negação de À noite, todos os gatos são pardos é: a) De dia, todos os gatos são pardos. b) De dia, nenhum gato é pardo. c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. e) À noite, nenhum gato é pardo. 06- A negação de Fará sol em todos os dias do mês é: a) Choverá em todos os dias do mês. b) Choverá em outros meses. c) Em pelo menos um dia do mês, não fará sol. d) Em pelo menos um dia do mês, choverá. e) Não fará sol em nenhum dia do mês. 07- A negação da sentença Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta a escola é 22

23 a) Todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola. b) Todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola. c) Algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola. d) Algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola. e) Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola. 08- A negação de todos os gatos são pardos é: a) Nenhum gato é pardo b) Existe gato pardo c) Existe gato não pardo d) Existe um e um só gato pardo e) Nenhum gato é não pardo 09- Os jogadores do Estrela Futebol Clube são craques. Assinale a opção correspondente à negação da frase acima. a) Nenhum jogador do Estrela Futebol Clube é craque. b) Quase todos os jogadores do Estrela Futebol Clube não são craques. c) Existe algum jogador do Estrela Futebol Clube que não é craque. d) Apenas alguns jogadores do Estrela Futebol Clube são craques. 10- A negação da proposição Todos os homens são bons motoristas é: a) Tidas as mulheres são boas motoristas b) Algumas mulheres são boas motoristas c) Nenhum homem é bom motorista d) Todos os homens são maus motoristas e) Ao menos um homem não é bom motorista 11- (ESAF Auditor do Tesouro Municipal) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 12- (CESPE) Considere a seguinte proposição: Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento. Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição. 1º- A proposição Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. 23

24 2º- Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima.... GABARITO: BLOCO a) Universal; Afirmativa b) Particular; Afirmativa c) Universal; Negativa d) Universal; Negativa e) Particular; Negativa 02- f) Algum animal não é quadrúpede g) Algum homem é covarde h) Todas as mulheres são loiras i) Nenhum músico é matemático 03- B 04- B 05- D 06- C 07- C 08- C 09- C 10- E 11- C 12- Certo, Certo 24

25 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS União A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto A B, formado por todos os elementos de A mais os elementos de B. Assim, afirmar que x A B significa dizer que pelo menos uma das afirmações seguintes é verdadeira: x A ou x B. Podemos escrever A B = { x x A ou x B}. Exemplo: Tomemos o conjunto universo U = N e sejam A = { x N 2 < x < 8} e B = { x N x > 4}. Então A B = { 3, 4, 5, 6,... }. Interseção A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto A B, formado por todos os elementos comuns a A e B. Assim, afirmar que x A B significa dizer que se tem, ao mesmo tempo, x A e x B. Escrevemos então A B = { x x A e x B}. Exemplo: Considere o exemplo anterior onde A = { x N 2 < x < 8} e B = { x N x > 4}. Então A B = { 3, 4 }. Pode ocorrer que não exista elemento algum x tal que x A e x B. Neste caso, tem-se A B = e os conjuntos A e B dizem-se disjuntos. Dados dois conjuntos A e B, representamos graficamente a união dos conjuntos pela parte hachurada - figura 2(a). Hachure na figura 2(b) a interseção entre eles. 25

26 A B A B (a) União de A e B (b) Interseção de A e B Figura 1 Diagrama de Venn. Quaisquer que sejam os conjuntos A e B tem-se A B A e A B B. Exemplo: Sejam os conjuntos A = { x N x é múltiplo de 2 } e B ={ x N x é múltiplo de 3 }. Como um número natural é múltiplo simultaneamente de 2 e de 3 se e somente se este número é múltiplo de 6, temos: A B = { x N x é múltiplo de 6 }. Diferença A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto A B, formado por todos os elementos de A que não pertencem a B. Escrevemos então A B = { x x A e x B}. Graficamente, temos a figura 12, onde os conjuntos A e B são representados por discos. A diferença A B é a parte indicada. Figura 2 - Diagrama de Venn Complementar Dados os conjuntos A e B, onde B A, chamamos de complementar de B em relação a A e se representa por C A B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 26

27 Se B A, então C A B = A B. QUESTÕES DE CONJUNTOS 1) (FCC) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas varias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos: A, B, C. Os resultados da pesquisas indicam que: Produtos Pessoas A 210 B 210 C 250 A, B, C 20 A e B 60 A e C 70 B e C 50 Nenhum 100 Quantas pessoas preferem apenas o produto A, apenas o B e apenas o C, respectivamente? a) 210, 210, 250 b) 150, 150, 180 c) 100, 120, 150 d) 120, 140, 170 e) N.d.a 2) (FCC) Um colégio ofereceu cursos de Inglês e Francês, devendo os alunos se matricularem em, pelo menos, um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês, em francês matricularam-se 22 alunos e, em inglês: a) 9 alunos b) 23 alunos c) 32 alunos 27

28 d) 36 alunos 3) (FCC) Numa escola há n alunos. Sabendo-s que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é: a) 249 b) 158 c) 127 d) 183 4) (FCC) Num canil existem três raças de cães: pastor, dálmata e fila. Sabendo-se que 56 são pastores e 126 não são dálmatas e 25% são filas, o número de dálmatas é: a) 81 b) 134 c) 142 d) 154 e) 280 5) (FCC) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Conclui-se, portanto, que: a) 31 são mulheres b) 29 são mulheres c) 29 são mulheres que não jogam xadrez d) 23 são homes que não jogam xadrez 6) Num conjunto de 30 pessoas, 5 são altas e gordas, 11 são baixas e 13 são gordas. Quantas pessoas são baixas ou magras? a) 17 b) 11 c) 25 d) 19 7) Em um grupo de 81 pessoas, 25 jogam peteca, 7mulheres jogam peteca, 30 homens não jogam peteca e n pessoas são mulheres ou jogam peteca. O valor de n é: a) 26 b) 33 c) 48 28

29 d) 51 e) 56 8) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados? 40% dos entrevistados lêem o jornal A. 55% dos entrevistados lêem o jornal B. 35% dos entrevistados lêem o jornal C. 12% dos entrevistados lêem os jornais A e B. 15% dos entrevistados lêem os jornais A e C. 19% dos entrevistados lêem os jornais B e C. 7% dos entrevistados lêem todos os jornais. 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos três jornais. Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o número total de entrevistados foi: a) 1200 b) 1500 c) 1250 d) ) Um grupo de 72 turistas visitou a França ou a Espanha. O número dos que visitaram a França é o sêxtuplo do número daqueles que visitaram França e Espanha, o qual é a terça parte dos que visitaram só a Espanha. O número de turistas que visitou um único país é: a) 64 b) 48 c) 40 d) )Numa Universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade? A) 304 B)

30 C) 146 D) )(FCC) Em um congresso de Normas e Segurança no Trabalho, visando o intercambio e o aperfeiçoamento profissional, encontram-se 500 técnicos: 150 são alagoanos, 280 são homens ou alagoanos e 60 mulheres são alagoanas. Nessas condições é verdade que: A) 270 são mulheres B) 210 são homens C) 220 mulheres não são alagoanas D) 190 homens não são alagoanos E) O número de homens é maior que o número de mulheres 12) (Cesp/unb) Considere que em um canil estejam abrigados 48 cães, dos quais: 24 são pretos; 12 têm rabos curtos; 30 têm pêlos longos; 4 são pretos, tem rabos curtos e não têm pêlos longos; 4 têm rabos curtos e pêlos longos e não são pretos; 2 são pretos, têm rabos curtos e pelos longos. Então, nesse canil, o número de cães abrigados que são pretos, têm pêlos longos mas não têm rabos curtos é superior a 3 e inferior a 8. Gabarito: 1) C 2) D 3) B 4) D 5) C 6) C 7) D 8) B 9) A 10) B 11) C 12)Certo 30

31 ... PORCENTAGEM RESUMO Porcentagem é uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: por cento. Deste modo, a fração é uma porcentagem que podemos representar por 20%. Exemplo: Exemplo 2: Maria juntou 45% do seu salário que é de R$ 900,00. Quanto de dinheiro Maria juntou? 45% de 900 = 45/100 x 900 = 405. Assim, Maria juntou R$ 405,00. Exemplo 3: O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento? Porcentagem Preço x 31

32 Logo, o preço anterior era ,67 O cálculo de percentagens compostas ou concatenadas Estamos falando de situações como a seguinte: Se a inflação de novembro foi 3% e a de dezembro foi 5%, qual a inflação dos dois meses? A enorme maioria das pessoas acha que esse tipo de problema resolve-se por soma. Isso é totalmente errado. Problemas deste tipo são resolvidos por multiplicação. Vejamos: Se no início de novembro, um produto custava p reais, no início de dezembro ele custará p reais mais 3% de p, ou seja, custará p' = p + 0,03 p = 1,03 p. O novo preço p' terá subido, no início de janeiro, para: p''= 1,05 p' = 1,05 x 1,03 p = 1,0815 p. Conseqüentemente, a inflação total foi de 8,15 %. QUESTÕES DE PORCENTAGEM 01. (AUX.JUD.-TRF-1ª REGIÃO-2001-FCC) Atualmente, o aluguel da casa onde Carlos mora é R$ 320,00. Se, no próximo mês, esse aluguel sofrer um aumento de 8% do seu valor, o novo aluguel será (A) R$ 328,00 (B) R$ 337,00 32

33 (C)) R$ 345,60 (D) R$ 354,90 (E) R$ 358, (ESCRIT.CEF-1998-FCC) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o número de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é a) 42 b) 43 c) 45 d) 48 e) (ESCRIT.CEF-1998-FCC) Antonio tem 270 reais, Bento tem 450 reais e Carlos nada tem. Antonio e Bento dão parte de seu dinheiro a Carlos, de tal maneira que todos acabam ficando com a mesma quantia. O dinheiro dado por Antonio representa, aproximadamente, quanto por cento do que ele possuía? a) 11,1 b) 13,2 c) 15,2 d) 33,3 e) 35,5 04.(SECRET.ESC.-SP FCC)Com a implantação de um sistema informatizado, estima-se que a secretaria de uma escola irá transferir para disquete 30% do arquivo morto no primeiro ano, e 40% do que sobrar ao final do segundo ano. Confirmada a estimativa ao final de dois anos, pode-se dizer que a escola terá reduzido seu arquivo morto em (A) 30% (B) 40% 33

34 (C) 58% (D) 70% (E) 88% 05. (SECRET.ESC.-SP-2003-FCC) Uma determinada conta no valor de x reais oferece cinco opções diferentes de pagamento em um determinado mês: * Opção 1: até o dia 5 com desconto de 3% * Opção 2: do dia 6 ao dia 15 com desconto de 2,5% * Opção 3: do dia 16 ao dia 25 com desconto de 1,5% * Opção 4: do dia 26 ao dia 30 sem desconto * Opção 5: no dia 31 com acréscimo de 2% Se dispomos na conta bancária de x reais para resgate imediato, ou x reais acrescido de 2% para resgate a partirdo dia 20, as melhores datas para o pagamento da conta são datas que estão na (A) opção 1 (B) opção 2 (C) opção 3 (D) opção 4 (E) opção 5 05 C06. (TÉC.JUDIC.-TRT-24ª-FCC) O preço de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em relação ao preço inicial, o preço final apresenta (A) um aumento de 10%. (B) um aumento de 8%. (C) um aumento de 2%. (D) uma diminuição de 2%. (E) uma diminuição de 10%. 06 B07.(TÉC.JUDIC.-TRT-24ª-FCC) Quanto cobrou um marceneiro para realizar a reforma de uma mesa de mm, sabendo-se que o material empregado foi de R$ 645,00 e a mão-de-obra 45% do material gasto? (A) R$ 290,25 34

35 (B) R$ 935,25 (C) R$ 975,75 (D) R$ 1 050,00 (E) R$ 1 035, (TÉC.JUDIC.1ª REGIÃO-FCC) Para o transporte de valores de certa empresa são usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de quilogramas, então a razão entre as capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a (A) 0,0075 % (B) 0,65 % (C) 0,75 % (D) 6,5 % (E)) 7,5 % 09. (TÉC.JUDIC CEARÁ-FCC) Do total de inscritos em um certo concurso público, 62,5% eram do sexo feminino. Se foram aprovados 42 homens e este número corresponde a 8% dos candidatos do sexo masculino, então o total de pessoas que se inscreveram nesse concurso é A) (B) C) (D) (E) (TÉC.JUDIC CEARÁ-FCC) Suponha que, em uma eleição, apenas dois candidatos concorressem ao cargo de governador. Se um deles obtivesse 48% do total de votos e o outro, 75% do número de votos recebidos pelo primeiro, então, do total de votos apurados nessa eleição, os votos não recebidos pelos candidatos corresponderiam a (A) 16% 35

36 (B) 18% (C) 20% (D) 24% (E) 26% 11.(TRT-21ª REGIÃO-2003-FCC) Um comerciante compra um artigo por R$ 80,00 e pretende vendê-lo de forma a lucrar exatamente 30% sobre o valor pago, mesmo se der um desconto de 20% ao cliente. Esse artigo deverá ser anunciado por (A) R$ 110,00 (B) R$ 125,00 C) R$ 130,00 D) R$ 146,00 (E) R$ 150,00 12.(TÉC.JUDIC.-PIAUÍ-2002-FCC) Em uma seção de um Tribunal havia um certo número de processos a serem arquivados. O número de processos arquivados por um funcionário correspondeu a 1/4 do total e os arquivados por outro correspondeu a 2/5 do número restante. Em relação ao número inicial, a porcentagem de processos que deixaram de ser arquivados foi (A) 35% (B) 42% (C) 45% (D) 50% E) 52% 13.(TÉC.JUDIC.-PIAUÍ-2002-FCC) O número de funcionários de uma agência bancária passou de 80 para 120. Em relação ao número inicial, o aumento no número de funcionários foi de (A) 50% (B) 55% 36

37 (C) 60% (D) 65% (E) 70% 14. (AGENTE VISTOR-SP FCC) Em janeiro, uma loja em liquidação decidiu baixar todos os preços em 10%. No mês de março, frente a diminuição dos estoques a loja decidiu reajustar os preços em 10%. Em relação aos preços praticados antes da liquidação de janeiro, pode-se afirmar que, no período considerado, houve (A) um aumento de 0,5% (B) um aumento de 1% (C) um aumento de 1,5% (D) uma queda de 1% (E) uma queda de 1,5% 15.(GUARDA CIVIL METR.-SP-2004-FCC) Uma caixa contém de 36 à 42 botões. Retirando-se 4 botões, sabe-se que o total de botões da caixa se reduz a 90% da situação anterior à retirada. Nessas condições,é correto dizer que o número de botões na caixa antes da retirada era (A) divisor de 200. (B) divisor de 205. (C) divisor de 222. (D) múltiplo de 3. (E) múltiplo de

38 ... GABARITO: 01 C 02 B 03 A 04 C 05 C 06 B 07 B 08 E 09 E 10 A 11 C 12 C 13 A 14 D 15 A... REFERÊNCIAS ALENCAR, Edgar F. Iniciação à lógica matemática. 18ª ed. São Paulo: Livraria Nobel S. A., CARVALHO,Sérgio de; e CAMPOS, Weber. Raciocinio Lógico Simplificado vol. I. 1ª. ed. São Paulo: Campus ElSevier. CESAR, Benjamin e MORGADO, Augusto C. (2009) Raciocínio Lógico - Quantitativo. Série Provas e Concursos. 4a ed. São Paulo: Campus ElSevier. COPI, Irving. Introdução à Lógica. São Paulo: Mestre Jou, COSTA, N. da. Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica. São Paulo: Hucitec, MATES, Benson. Lógica Matemática Elementar. Madrid: Editora Tecnos, MORTARI, Cezar A. Introdução à Lógica. Editora da UNESP,

39 ROCHA, Enrique. (2010) Raciocínio Lógico - Você consegue aprender. Série Provas e Concursos. 3a ed. São Paulo: Impetus. SITIOS Até a próxima aula... Fiquem com Deus!! UM GRANDE ABRAÇO! Adeilson de Melo CONTATO: adeilson1428@gmail.com 39