Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

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1 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Descrição do capítulo 1.1 Teoria preliminar 1.2 Sistemas lineares homogêneos Autovalores reais distintos Autovalores repetidos Autovalores complexos 1.3 Solução por diagonalização 1.4 Sistemas lineares não homogêneos Coeficientes indeterminados Variação de parâmetros Diagonalização 1.5 Exponencial de matriz Exercícios de revisão Vimos pela primeira vez sistemas de EDs no Volume 1, na Seção 2.9, e fomos capazes de resolver alguns desses sistemas nas Seções 3.11 e 4.6 do mesmo volume. Neste capítulo nos concentraremos somente em sistemas de EDs de primeira ordem lineares. Enquanto a maioria dos sistemas considerados pode ser resolvida utilizando eliminação (Volume 1, Seção 3.11) ou transformada de Laplace (Volume 1, Seção 4.6), desenvolveremos uma teoria geral para esses tipos de sistemas e, no caso de sistemas com coeficientes constantes, um método de solução que utiliza alguns conceitos básicos da álgebra matricial. Veremos que essa teoria geral e procedimento de solução são similares àqueles de EDs de ordem elevada lineares considerados na Seção do Volume 1. O material é fundamental também para a análise de sistemas de equações de primeira ordem não lineares (Capítulo 2).

2 24 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 1.1 Teoria preliminar Observação para o estudante. Notação e propriedades matriciais são utilizadas extensivamente ao longo desse capítulo. Você deve rever o Capítulo 2 do Volume 2 caso não esteja familiarizado com esses conceitos. Introdução Relembre que na Seção 3.1 do Volume 1 ilustramos como resolver sistemas de n equações diferenciais lineares com n incógnitas da forma (1) onde P ij são polinômios de vários graus no operador diferencial D. Nesse capítulo, restringiremos nosso estudo a sistemas de EDs de primeira ordem que sejam casos especiais de sistemas que tenham a forma normal (2) Um sistema tal como (2) de n equações de primeira ordem é denominado sistema de primeira ordem. Sistemas lineares Quando cada uma das funções g 1, g 2,..., g n em (2) for linear nas variáveis dependentes x 1, x 2,..., x n, obtemos a forma normal de um sistema de primeira ordem de equações lineares: (3) Fazemos referência a um sistema da forma indicada em (3) simplesmente como um sistema linear. Consideramos que os coeficientes a ij (t) bem como as funções f i (t) sejam contínuos em um intervalo comum I. Quando f i (t) 0, i 1, 2,..., n, o sistema linear é dito ser homogêneo; caso contrário, ele é não homogêneo. Forma matricial de um sistema linear Se X, A(t) e F(t) representarem as respectivas matrizes

3 1.1 Teoria Preliminar 25 então o sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares (3) pode ser escrito como ou simplesmente (4) Se o sistema for homogêneo, sua forma matricial é então (5) Exemplo 1 Sistemas escritos em notação matricial (a) Se então a forma matricial do sistema homogêneo (b) Se então a forma matricial do sistema não homogêneo DEFINIÇÃO 1.1 Vetor solução Um vetor solução em um intervalo é qualquer matriz coluna cujas entradas são funções diferenciáveis que satisfazem o sistema (4) no intervalo. Um vetor solução de (4), obviamente, equivale a n equações escalares x 1 1 (t), x 2 2 (t),..., x n n (t), podendo ser interpretado geometricamente como um conjunto de equações paramétricas de uma curva espacial. Nos casos n 2 e n 3, as equações x 1 1 (t), x 2 2 (t), e x 1 1 (t), x 2 2 (t), x 3 3 (t) representam curvas em duas e três dimensões, respectivamente. Trata-se de uma prática comum designar tal curva solução como trajetória. O plano é também chamado de plano de fase. Ilustraremos esses conceitos na seção a seguir, assim como no Capítulo 2.

4 26 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Exemplo 2 Verificação de soluções Verifique que no intervalo (, ) são soluções de (6) Solução A partir de e, temos que e Grande parte da teoria de sistemas de n equações diferenciais de primeira ordem lineares é similar àquela para equações diferenciais lineares de ordem n. Problema de valor inicial Seja t 0 um ponto em um intervalo I e onde i, i 1, 2,..., n são constantes dadas. Assim, o problema Resolver: Sujeita a: (7) é um problema de valor inicial no intervalo. TEOREMA 1.1 Existência de uma solução única Considere as entradas das matrizes A(t) e F(t) como sendo funções contínuas em um intervalo comum I que contenha o ponto t 0. Logo, existe uma única solução do problema de valor inicial (7) no intervalo. Sistemas homogêneos Nas próximas definições e teoremas, estaremos interessados somente em sistemas homogêneos. Sem definir, consideraremos sempre que a ij e f i sejam funções contínuas de t em algum intervalo comum I. Princípio da superposição O resultado apresentado a seguir é um princípio da superposição para a solução de sistemas lineares. TEOREMA 1.2 Princípio da superposição Considere X 1, X 2,..., X k um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Assim, a combinação linear onde os c i, i 1, 2,..., k são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo.

5 1.1 Teoria Preliminar 27 Decorre do Teorema 1.2 que um múltiplo constante de qualquer vetor solução de um sistema homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares é também uma solução. Exemplo 3 Utilizando o princípio da superposição Você deve praticar verificando que os dois vetores são soluções do sistema (8) Pelo princípio da superposição, a combinação linear é outra solução do sistema. Dependência linear e independência linear Estamos principalmente interessados em soluções linearmente independentes do sistema homogêneo (5). DEFINIÇÃO 1.2 Dependência/independência linear Considere X 1, X 2,..., X k como sendo um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Dizemos que o conjunto é linearmente dependente no intervalo se existirem constantes c 1, c 2,... c k, nem todas nulas, de modo que para todo t no intervalo. Se o conjunto de vetores não for linearmente dependente no intervalo, ele será linearmente independente. O caso no qual k 2 deve estar claro; dois vetores solução X 1 e X 2 são linearmente dependentes se um for múltiplo constante do outro, e vice-versa. Para k 2, um conjunto de vetores solução é linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um vetor solução como uma combinação linear dos vetores restantes. Wronskiano Como na nossa consideração inicial da teoria de uma única equação diferencial ordinária, podemos introduzir o conceito do determinante Wronskiano como um teste para a independência linear. Enunciamos o seguinte teorema sem demonstração. TEOREMA 2.3 Critério para soluções linearmente independentes Considere sendo n vetores solução do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Logo, o conjunto de vetores solução será linearmente independente em I se e somente se o Wronskiano (continua)

6 28 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares (continuação) (9) para todo t no intervalo. Pode ser mostrado que se X 1, X 2,..., X n forem vetores solução de (5), então, para todo t em I, W(X 1, X 2,..., X n ) 0 ou W(X 1, X 2,..., X n ) 0. Assim, se pudermos demonstrar que W 0 para algum t 0 em I, então W 0 para todo t, e consequentemente o conjunto de soluções é linearmente independente no intervalo. Observe que, ao contrário da nossa definição de Wronskiano na Seção 3.1 do Volume 1, aqui a definição do determinante (9) não envolve diferenciação. Exemplo 4 Soluções linearmente independentes No Exemplo 2 vimos que e são soluções do sistema (6). Claramente X 1 e X 2 são soluções linearmente independentes no intervalo (, ), pois nenhum vetor é um múltiplo constante do outro. Além disso, temos para todos os valores reais de t. DEFINIÇÃO 1.3 Conjunto fundamental de soluções Qualquer conjunto X 1, X 2,..., X n de n vetores solução linearmente independentes do sistema homogêneo (5) em um intervalo I é dito ser um conjunto fundamental de soluções no intervalo. TEOREMA 1.4 Existência de um conjunto fundamental Existe um conjunto fundamental de soluções para o sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Os próximos dois teoremas são os equivalentes em sistema linear dos Teoremas 3.5 e 3.6 do Volume 1. TEOREMA 1.5 Solução geral Sistemas homogêneos Considere X 1, X 2,..., X n como sendo um conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Assim, a solução geral do sistema no intervalo é onde os c i, i 1, 2,..., n são constantes arbitrárias. Exemplo 5 Solução geral do sistema (6) A partir do Exemplo 2, sabemos que são soluções linearmente independentes de (6) em (, ). Portanto, X 1 e X 2 formam um con-

7 1.1 Teoria Preliminar 29 junto fundamental de soluções no intervalo. A solução geral do sistema no intervalo é então (10) Exemplo 6 Solução geral do sistema (8) Os vetores são soluções do sistema (8) no Exemplo 3 (veja o Problema 16 nos Exercícios 1.1). Agora para todos os valores reais de t. Concluímos que X 1, X 2 e X 3 formam um conjunto fundamental de soluções em (, ). Assim, a solução geral do sistema no intervalo é a combinação linear X c 1 X 1 c 2 X 2 c 3 X 3, isto é, Sistemas não homogêneos Para sistemas não homogêneos, uma solução particular X p em um intervalo I é qualquer vetor, livre de parâmetros arbitrários, cujas entradas são funções que satisfazem o sistema (4). TEOREMA 1.6 Solução geral Sistemas não homogêneos Considere X p uma solução dada do sistema não homogêneo (4) em um intervalo I, e seja a solução geral no mesmo intervalo do sistema homogêneo associado (5). Logo, a solução geral do sistema não homogêneo no intervalo é A solução geral X c do sistema homogêneo (5) é chamada de função complementar do sistema não homogêneo (4). Exemplo 7 Solução geral sistema não homogêneo O vetor é uma solução particular do sistema não homogêneo (11)

8 30 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares no intervalo (, ). (Verifique isso.) A função complementar de (11) no mesmo intervalo, ou a solução geral de, foi vista em (10) do Exemplo 5 como sendo. Portanto, pelo Teorema 1.6, é a solução geral de (11) em (, ). EXERCÍCIOS 1.1 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 387. Nos Problemas 1-6, escreva o sistema linear na forma matricial Nos Problemas 11-16, verifique que o vetor X é uma solução do sistema indicado Nos Problemas 7-10, escreva o sistema indicado sem utilizar matrizes. 7. Nos Problemas 17-20, os vetores dados são soluções de um sistema X AX. Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em (, )

9 1.2 Sistemas Lineares Homogêneos Prove que a solução geral de Nos Problemas 21-24, verifique que o vetor X p é uma solução particular do sistema dado. 21. no intervalo (, ) é Prove que a solução geral de no intervalo (, ) é Sistemas lineares homogêneos Introdução No Exemplo 5 da Seção 1.1, vimos que a solução geral do sistema homogêneo Como ambos os vetores solução têm a forma i 1,2, onde k 1, k 2, 1 e 2 são constantes, somos solicitados a dizer se podemos sempre obter uma solução da forma (1) para o sistema de primeira ordem linear homogêneo (2) onde a matriz de coeficientes A é uma matriz de constantes n n. Autovalores e autovetores Se (1) for um vetor solução do sistema, então X K e t de modo que (2) se escreve K e t AK e t. Após cancelar e t e rearranjando, obtemos AK K ou AK K 0. Como K IK, a última equação é o mesmo que Trabalharemos somente com sistemas lineares de coeficientes constantes. (3)

10 32 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares A equação matricial (3) é equivalente às equações algébricas simultâneas Assim, para obter uma solução não trivial X de (2), temos primeiro que obter uma solução não trivial do sistema anterior; em outras palavras, precisamos calcular um vetor não trivial K que satisfaça (3). Porém, para que (3) tenha outras soluções que não apenas a solução óbvia k 1 k 2... k n 0, temos que ter Essa equação polinomial em é chamada de equação característica da matriz A; as soluções dessa equação são os autovalores de A. Uma solução K 0 de (3) que corresponde a um autovalor é denominada um autovetor de A. Uma solução do sistema homogêneo (2) é então X Ke t. Na discussão que se segue, examinaremos três casos: todos os autovalores sendo reais e distintos (isto é, não existem autovalores iguais), autovalores repetidos, e, finalmente, autovalores complexos Autovalores reais distintos Quando a matriz A n n tem autovalores reais e distintos 1, 2,..., n, então um conjunto de n autovetores linearmente independentes K 1, K 2,..., K n pode sempre ser obtido e é um conjunto fundamental de soluções de (2) em (, ). TEOREMA 1.7 Solução geral Sistemas homogêneos Considere 1, 2,..., n como sendo n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do sistema homogêneo (2), e K 1, K 2,..., K n os autovetores correspondentes. Logo, a solução geral de (2) no intervalo (, ) é definida como Exemplo 1 Autovalores distintos Resolva (4) Solução Primeiro obtemos os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes. A partir da equação característica vemos que os autovalores são 1 1 e 2 4. Agora para 1 1, (3) é equivalente a

11 1.2 Sistemas Lineares Homogêneos 33 Logo, k 1 k 2. Quando k 2 1, o autovetor correspondente é Para 2 4, temos de modo que k 1 3k 2 /2, e portanto, com k 2 2, o autovetor correspondente é Como a matriz de coeficientes A é uma matriz 2 2, e por termos obtido duas soluções de (4) que são linearmente independentes, concluímos que a solução geral do sistema é (5) Devemos ter em mente que uma solução de um sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares, quando escrito em termos de matrizes, é simplesmente uma alternativa ao método empregado na Seção 3.11 do Volume 1 ou seja, listar as funções individuais e a relação entre as constantes. Se somarmos os vetores do lado direito de (5) e a seguir as igualarmos às entradas correspondentes no vetor da esquerda, obteremos a definição mais familiar Conforme destacado na Seção 1.1, podemos interpretar essas equações como equações paramétricas de uma curva ou trajetória no plano xy ou plano de fase. Os três gráficos ilustrados na Figura 1.1, x(t) no plano tx, y(t) no plano ty, e a trajetória no plano de fase, correspondem à escolha das constantes c 1 c 2 1 na solução. Um conjunto de trajetórias no plano de fase como mostrado na Figura 1.2 é dito ser um perfil de fase do sistema linear dado. O que parece ser duas retas pretas na Figura 1.2 são na verdade quatro retas-metade definidas parametricamente no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes pelas soluções X 2, X 1, X 2, e X 1, respectivamente. Por exemplo, as equações cartesianas, x 0, e y x, x 0, das retas-metade no primeiro e quarto quadrantes foram obtidas pela eliminação do parâmetro t nas soluções x 3e 4t, y 2e 4t, e x e t, y e t, respectivamente. Além disso, cada autovetor pode ser visto como um vetor de duas dimensões se estendendo ao longo de uma das retasmetade. O autovetor se localiza ao longo de no primeiro quadrante, e se estende ao longo de y x no quarto quadrante; cada vetor se inicia na origem, com K 2 terminando no ponto (2,3) e K 1 terminando em (1, 1). A origem não é somente uma solução constante, x 0, y 0, para todo sistema linear homogêneo 2 2 X AX, mas é também um ponto importante no estudo qualitativo de tais sistemas. Se pensarmos em termos físicos, as pontas das setas em uma trajetória na Figura 1.2 indicam a direção na qual uma partícula com coordenadas (x(t), y(t)) numa trajetória no tempo T se moveria com o aumento do tempo. Observe que as pontas das setas, sendo exceção apenas aquelas das retas-metade no segundo e quarto quadrantes, indicam que uma partícula se moveria para longe da origem com o aumento do tempo t. Se imaginarmos a escala de tempo de a, então a inspeção t (a) Gráfico de x = e t + 3e 4t y t y ,5 5 7, ,5 15 (c) Trajetória definida por x = e t + 3e 4t, y = e t + 2e 4t no plano de fase x (b) Gráfico de y = e t + 2e 4t Figura 1.1 Uma solução particular de (5) resulta em três planos coordenados diferentes. Figura 1.2 Um perfil de fase do sistema (4). y x x

12 34 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares da solução x c 1 e t 3c 2 e 4t, y c 1 e t 2c 2 e 4t, c 1 0, c 2 0, mostra que uma trajetória, ou partícula em movimento, começa assintótica às retas-metade definidas por X 1 ou X 1 (pois e 4t é insignificante para t ) e termina assintótica a uma das retas-metade definidas por X 2 e X 2 (pois e t é desprezível para t ). Observamos que a Figura 1.2 representa um perfil de fase típico de todos os sistemas lineares homogêneo 2 2 X AX com autovalores reais de sinais opostos. Veja o Problema 17 nos Exercícios 1.2. Além disso, perfis de fase nos dois casos para os quais autovalores reais distintos têm o mesmo sinal algébrico seriam perfis típicos de todos os sistemas lineares 2 2; a única diferença é que as pontas das setas indicariam que uma partícula se afastaria da origem em qualquer trajetória com t quando ambos 1 e 2 fossem positivos, e se moveria em direção à origem em qualquer trajetória quando ambos 1 e 2 fossem negativos. Consequentemente, é comum denominar a origem como um repulsor no caso 1 0, 2 0, e um atrator no caso 1 0, 2 0. Veja o Problema 18 nos Exercícios 1.2. A origem na Figura 1.2 não é um repulsor nem um atrator. A investigação do caso restante quando 0 é um autovalor de um sistema linear homogêneo 2 2 é deixado como um exercício. Veja o Problema 48 nos Exercícios 1.2. Exemplo 2 Autovalores distintos Resolva (6) Solução Utilizando os cofatores da terceira linha, obtemos e assim os autovalores são 1 3, 2 4, 3 5. Para 1 3, a eliminação de Gauss-Jordan resulta em Então, k 1 k 3 e k 2 0. A escolha k 3 1 resulta em um autovetor e o vetor solução correspondente (7) De modo similar, para 2 4, implica k 1 10k 3 e k 2 k 3. Escolhendo k 3 1, obtemos um segundo autovetor e vetor solução (8)

13 1.2 Sistemas Lineares Homogêneos 35 Finalmente, quando 3 5, as matrizes aumentadas resultam em (9) A solução geral de (6) é uma combinação linear dos vetores solução em (7), (8) e (9): Uso de computadores Pacotes matemáticos como MATLAB, Mathematica, Maple e DERIVE podem poupar tempo na obtenção dos autovalores e autovetores de uma matriz. Por exemplo, para calcular os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes em (6) aplicando o Mathematica, utilizamos primeiro a definição da matriz por linhas: Os comandos Eigenvalues[m] e Eigenvectors[m] digitados em sequência resultam em respectivamente. No Mathematica, autovalores e autovetores podem também ser obtidos ao mesmo tempo por meio do comando Eigensystem[m] Autovalores repetidos É claro que nem todos os n autovalores 1, 2,..., n de uma matriz A n n precisam ser distintos, isto é, alguns dos autovalores podem ser repetidos. Por exemplo, a equação característica da matriz de coeficientes no sistema é diretamente mostrada como sendo ( 3) 2 0, e portanto é uma raiz de multiplicidade dois. Para esse valor, obtemos o autovetor único (10) é uma solução de (10). Porém, como estamos obviamente interessados em determinar a solução geral do sistema, precisamos obter uma segunda solução. Em geral, se m for um inteiro positivo e ( t ) m for um fator da equação característica enquanto que ( 1 ) m+1 não for, então 1 é dito ser um autovalor de multiplicidade m. Os próximos três exemplos ilustram os seguintes casos: (11) (i) Para algumas matrizes A n n, pode ser possível obter m autovetores linearmente independentes K 1, K 2,..., K m que correspondem a um autovalor 1 de multiplicidade m n. Nesse caso, a solução geral do sistema contém a combinação linear

14 36 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares (ii) Caso exista somente um autovetor correspondente ao autovalor 1 de multiplicidade m, então m soluções linearmente independentes da forma onde K ij são vetores coluna, podem sempre ser determinadas. Autovalor de multiplicidade dois Iniciamos considerando autovalores de multiplicidade dois. No primeiro exemplo, ilustramos uma matriz para a qual podemos determinar dois autovalores distintos que correspondem a um autovalor duplo. Exemplo 3 Autovalores repetidos Resolva Solução Expandir o determinante na equação característica resulta em ( 1) 2 ( 5) 0. Vemos que e 3 5. Para 1 1, a eliminação de Gauss-Jordan imediatamente nos dá A primeira linha da última matriz significa k 1 k 2 k 3 0 ou k 1 k 2 k 3. As escolhas k 2 1, k 3 0 e k 2 1, k 3 1, resultam, respectivamente, em k 1 1 e k 1 0. Portanto, os dois autovetores correspondentes a 1 1 são Como nenhum autovetor é um múltiplo constante do outro, obtivemos duas soluções linearmente independentes correspondentes ao mesmo autovalor Por último, para 3 5, a redução

15 1.2 Sistemas Lineares Homogêneos 37 implica k 1 k 3 e k 2 k 3. Adotando k 3 1, temos k 1 1, k 2 1, e portanto um terceiro autovetor é Concluímos que a solução geral do sistema é A matriz de coeficientes A no Exemplo 3 é um tipo especial de matriz conhecido como matriz simétrica. Uma matriz A n n é dita ser simétrica se sua transposta A T (onde as linhas são trocadas pelas colunas e vice-versa) for igual a A, ou seja, se A T A. Pode-se provar que se a matriz A no sistema X AX for simétrica e tiver entradas reais, então sempre podemos determinar n autovetores linearmente independentes K 1, K 2,... K n, e a solução geral de tal sistema é dada no Teorema 1.7. Conforme ilustrado no Exemplo 3, o resultado se aplica mesmo quando alguns dos autovalores forem repetidos. Segunda solução Suponha agora que 1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que exista somente um autovetor associado a esse valor. Uma segunda solução pode ser obtida na forma (12) onde Para termos isso, substituímos (12) no sistema X AX e simplificamos: Como essa equação se aplica a todos os valores de t, temos que ter (13) e (14) A equação (13) simplesmente declara que K tem ser um autovetor de A associado com 1. Pela solução de (13), determinamos uma solução. Para obter a segunda solução X 2, precisamos somente resolver o sistema adicional (14) para o vetor P. Exemplo 4 Autovalores repetidos Determine a solução geral do sistema indicado em (10). Solução A partir de (11), sabemos que 1 3 e que uma solução é Identificando temos a partir de (14) que agora precisamos resolver

16 38 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Como esse sistema é claramente equivalente a uma equação, temos um número infinito de escolhas para p 1 e p 2. Por exemplo, escolhendo p 1 1, temos. Entretanto, para simplificar, adotaremos, de modo que p 2 0. Portanto,. Assim, a partir de (12), obtemos A solução geral de (10) é então y Figura 1.3 Um perfil de fase do sistema (10). x Pela adoção de diversos valores para c 1 e c 2 na solução do Exemplo 4, podemos traçar trajetórias do sistema em (10). A Figura 1.3 apresenta um perfil de fase de (10). As soluções X 1 e X 1 determinam duas retas-metade x 0, e x 0, respectivamente, que estão indicadas em preto na Figura 1.3. Como o único autovalor é negativo e e 3t 0 quando t em todas as trajetórias, temos (x(t),y(t)) (0,0) quando t. É por isso que as pontas das setas na Figura 1.3 indicam que uma partícula em qualquer trajetória se moveria em direção à origem com o aumento do tempo e pelo fato da origem ser um atrator nesse caso. Além disso, uma partícula em movimento em uma trajetória y c 1 e 3t c 2 te 3t, c 2 0, se aproxima de (0,0) tangencialmente a uma das retas-metade quando t. Por outro lado, quando o autovalor repetido for positivo, a situação se reverte e a origem se torna um repulsor. Veja o Problema 21 nos Exercícios 1.2. Análoga à Figura 1.2, a Figura 1.3 é típica de todos os sistemas lineares homogêneos 2 2 X AX que tenham dois autovalores negativos repetidos. Veja o Problema 32 nos Exercícios 1.2. Autovalor de multiplicidade três Quando a matriz de coeficientes A tem somente um autovetor associado com um autovalor 1 de multiplicidade três, podemos determinar uma solução da forma (12) e uma terceira solução da forma (15) onde Substituindo (15) no sistema X AX, temos que os vetores coluna K, P e Q precisam satisfazer (16) e (18) Obviamente, as soluções de (16) e (17) podem ser utilizadas para formar as soluções X 1 e X 2. (17) Exemplo 5 Autovalores repetidos Resolva

17 1.2 Sistemas Lineares Homogêneos 39 Solução A equação característica ( 2) 3 0 mostra que 1 2 é um autovalor de multiplicidade três. Resolvendo (A 2I)K 0, obtemos o único autovetor A seguir, resolvemos os sistemas (A 2I)P K e (A 2I)Q P, obtendo Utilizando (12) e (15), vemos que a solução geral do sistema é Observações Quando um autovalor 1 tem multiplicidade m, podemos obter m autovetores linearmente independentes ou o número de autovetores correspondentes é menor que m. Logo, os dois casos listados na página 35 não se referem a todas as possibilidades sob as quais um autovalor repetido pode ocorrer. Podemos ter, por exemplo, uma matriz 5 5 com um autovalor de multiplicidade 5 e existirem três autovetores linearmente independentes correspondentes. Veja os Problemas 31 e 49 nos Exercícios Autovalores complexos Se 1 i e 2 i, 0, i 2 1, forem autovalores complexos da matriz de coeficientes A, podemos então certamente esperar que os seus autovetores correspondentes tenham também entradas complexas.* Por exemplo, a equação característica do sistema (19) é A partir da fórmula quadrática, obtemos 1 5 2i, 2 5 2i. Agora, para 1 5 2i, temos que resolver * Quando a equação característica tem coeficientes reais, autovalores complexos sempre aparecem em pares conjugados.

18 40 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Como k 2 (1 2i)k 1,* a escolha k 1 1 resulta no seguinte autovetor e um vetor solução: De modo similar, para 2 5 2i, obtemos Podemos verificar por meio do Wronskiano que esses vetores solução são linearmente independentes, e assim a solução geral de (19) é Observe que as entradas em K 2 correspondentes a 2 são os conjugados das entradas em K 1 correspondentes a 1. O conjugado de 1 é, claramente, 2. Escrevemos essa informação como e. Apresentamos o resultado geral a seguir. (20) TEOREMA 1.8 Soluções correspondentes a um autovalor complexo Seja A uma matriz de coeficientes com entradas reais do sistema homogêneo (2), e K 1 um autovetor que corresponde ao autovalor complexo 1 i, e reais. Assim são soluções de (2). É desejável e relativamente fácil reescrever uma solução tal como (20) em termos de funções reais. Com esse objetivo, aplicamos primeiro a fórmula de Euler para escrever Então, após multiplicar números complexos, organizar os termos e substituir c 1 c 2 por C 1 e (c 1 c 2 )i por C 2, (20) se escreve (21) onde e Agora é importante percebermos que os dois vetores X 1 e X 2 em (21) são eles próprios soluções reais linearmente independentes do sistema original. Consequentemente, se justifica ignorar a relação entre C 1, C 2 e c 1, c 2, e podemos considerar C 1 e C 2 como completamente arbitrárias e reais. Em outras palavras, a combinação linear (21) é uma solução geral alternativa de (19). * Note que a segunda equação é simplesmente (1 2i) vezes a primeira.

19 1.2 Sistemas Lineares Homogêneos 41 O processo anterior pode ser generalizado. Seja K 1 um autovetor da matriz de coeficientes A (com entradas reais) que corresponde ao autovalor complexo 1 i. Logo, os dois vetores solução no Teorema 1.8 podem ser escritos como Pelo princípio da superposição, Teorema 1.2, os seguintes vetores também são soluções: Para qualquer número complexo z a ib, ambos e são números reais. Portanto, as entradas dos vetores coluna e são números reais. Definindo (22) somos levados ao teorema a seguir. TEOREMA 1.9 Soluções reais correspondentes a um autovalor complexo Seja 1 i um autovalor complexo da matriz de coeficientes A no sistema homogêneo (2), e B 1 e B 2 os vetores coluna definidos em (22). Assim, são soluções linearmente independentes de (2) em (, ). (23) As matrizes B 1 e B 2 em (22) são muitas vezes descritas como pois esses vetores são, respectivamente, as partes real e imaginária do autovetor K 1. Por exemplo, (21) decorre de (23) com (24) Exemplo 6 Autovalores complexos Resolva o problema de valor inicial (25) Solução Primeiro obtemos os autovalores a partir de

20 42 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Os autovalores são 1 2i e. Para 1, o sistema resulta em k 1 (2 2i) k 2. Escolhendo k 2 1, obtemos Agora, a partir de (24) formamos Como 0, decorre de (23) que a solução geral do sistema é y (26) x O perfil de fase da Figura 1.4 apresenta alguns gráficos de curvas ou trajetórias definidas pela solução (26) do sistema. Agora a condição inicial ou, de modo equivalente, x(0) 2, e y(0) 1, resulta no sistema algébrico 2c 1 2c 2 2, c 1 1, cuja solução é c 1 1, c 2 0. Portanto, a solução do problema é Figura 1.4 Um perfil de fase do sistema em (26). A trajetória específica definida parametricamente pela solução particular x 2 cos 2t 2 sen 2t, y cos 2t se refere à curva preta na Figura 1.4. Note que essa curva passa por (2, 1). EXERCÍCIOS 1.2 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página Autovalores reais distintos Nos Problemas 1-12, determine a solução geral do sistema indicado

21 1.2 Sistemas Lineares Homogêneos Nos Problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial indicado Tarefas computacionais Nos Problemas 15 e 16, utilize um SAC ou um programa de álgebra linear como auxílio para determinar a solução geral do sistema dado Nos Problemas 29 e 30, resolva o problema de valor inicial indicado Mostre que a matriz (a) Utilize um programa computacional para obter o perfil de fase do sistema no Problema 5. Se possível, inclua as pontas das setas como na Figura 1.2. Além disso, inclua quatro linhas-metade nesse perfil de fase. (b) Obtenha equações cartesianas para cada uma das quatro linhas metade no item (a). (c) Trace os autovetores no seu perfil de fase do sistema. 18. Determine perfis de fase para o sistema nos Problemas 2 e 4. Para cada sistema, obtenha quaisquer trajetória de linhametade que haja e inclua essas linhas em seu perfil de fase Autovalores repetidos tem um autovalor 1 de multiplicidade 5. Mostre que três autovetores linearmente independentes correspondendo a 1 podem ser obtidos. Tarefas computacionais 32. Determine perfis de fase para o sistema nos Problemas 20 e 21. Para cada sistema, obtenha quaisquer trajetória de linhametade que haja e inclua essas linhas em seu perfil de fase Autovalores complexos Nos Problemas 33-44, determine a solução geral do sistema indicado Nos Problemas 19-28, determine a solução geral do sistema indicado

22 44 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Nos Problemas 45 e 46, resolva o problema de valor inicial dado Tarefas computacionais 47. Obtenha perfis de fase para os sistemas nos Problemas 36, 37 e Resolva cada um dos seguintes sistemas lineares. 6. Identifique a curva que passa por (2, 1) na Figura 1.4. [Sugestão: Calcule x 2, y 2 e xy]. 51. Examine os perfis de fase do Problema 47. Sob quais condições o perfil de fase de um sistema linear homogêneo 2 2 com autovalores complexos será constituído por uma família de curvas fechadas? E uma família de espirais? Sob quais condições a origem (0,0) é um repulsor? E um atrator? 52. O sistema de equações diferenciais de segunda ordem lineares (27) descreve o movimento de dois sistemas massa-mola acoplados (veja a Figura 3.59 do Volume 1). Já resolvemos um caso especial desse sistema nas Seções 3.11 e 4.6 do Volume 1. Nesse problema descrevemos outro método para resolver o sistema. (a) Mostre que (27) pode ser escrita como a equação matricial X AX onde (a) (b) Determine um perfil de fase para cada sistema. Qual é o significado geométrico da reta y x em cada perfil de fase? Problemas para discussão 49. Considere a matriz 5 5 apresentada no Problema 31. Resolva o sistema X AX sem o auxílio de métodos matriciais, porém escreva a solução geral usando a notação matricial. Utilize a solução geral como base para discutir como o sistema pode ser resolvido aplicando-se os métodos matriciais dessa seção. Apresente as suas idéias. 50. Obtenha uma equação cartesiana da curva definida parametricamente pela solução do sistema linear no Exemplo (b) Se uma solução tem a forma X Ke t, mostre que X AX resulta em (c) Mostre que se m 1 1, m 2 1, k 1 3 e k 2 2, uma solução do sistema é (d) Mostre que a solução no item (c) pode ser escrita como 1.3 Solução por diagonalização Introdução Nessa seção, consideraremos um método alternativo para resolver um sistema homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares. Esse método é aplicável a um sistema X AX sempre que a matriz de coeficientes A for diagonalizável. Sistemas acoplados Um sistema linear homogêneo X AX, (1) no qual cada x i é escrito como uma combinação linear de x 1, x 2,..., x n, é dito ser acoplado. Se a matriz de coeficientes A for diagonalizável, então o sistema pode ser desacoplado de modo que cada x i possa ser expresso somente em termos de x i.

23 1.3 Solução por Diagonalização 45 Se a matriz A tiver n autovetores linearmente independentes, então sabemos a partir do Teorema 2.27 do Volume 2 que podemos obter uma matriz P tal que P 1 AP D, onde D é uma matriz diagonal. Se fizermos a substituição X PY no sistema X AX, então A última equação em (2) é igual a (2) (3) Como D é diagonal, a inspeção de (3) revela que esse novo sistema é desacoplado; cada equação diferencial no sistema é da forma y i i y i, i 1, 2,..., n. A solução de cada uma dessas equações lineares é Logo, a solução geral de (3) pode ser escrita como o vetor coluna (4) Como agora conhecemos Y e como a matriz P pode ser construída a partir dos autovetores de A, a solução geral do sistema original X AX é obtida a partir de X PY. Exemplo 1 Desacoplando um sistema linear Resolva por diagonalização. Solução Iniciamos calculando os autovalores e os autovetores correspondentes da matriz de coeficientes. A partir de det(a I) ( 2)( 1)( 5), obtemos 1 2, 2 1 e 3 5. Como os autovalores são distintos, os autovetores são linearmente independentes. Resolvendo (A i I)K 0 para i 1, 2 e 3, temos, respectivamente, (5) Portanto, uma matriz que diagonaliza a matriz de coeficientes é As entradas na diagonal principal de D são os autovalores de A que correspondem à ordem na qual os autovetores aparecem em P:

24 46 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Conforme vimos anteriormente, a substituição X PY em X AX resulta no sistema desacoplado Y DY. A solução geral desse último sistema é imediata: Logo, a solução do sistema dado é (6) Note que (6) pode ser escrita da maneira usual expressando-se a última matriz como uma soma de matrizes colunas: A solução por diagonalização sempre funcionará desde que possamos determinar n autovetores linearmente independentes de uma matriz A n n; os autovalores de A podem ser reais e distintos, complexos ou repetidos. O método falha quando A tem autovalores repetidos e n autovetores linearmente independentes não podem ser obtidos. É claro que nessa última situação A não é diagonalizável. Como temos que calcular autovalores e autovetores de A, esse método é essencialmente equivalente ao procedimento apresentado na última seção. Na próxima seção, veremos que a diagonalização pode também ser utilizada para resolver sistemas lineares não homogêneos X AX + F(t). EXERCÍCIOS 1.3 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 388. Nos Problemas 1-10, utilize diagonalização para resolver o sistema indicado Já demonstramos como resolver o sistema de equações diferenciais de segunda ordem lineares que descreve o movimento do sistema massa-mola acoplado na Figura 3.59 do Volume 1, (7) de três modos diferentes (veja o Exemplo 4 na Seção 3.11 do Volume 1, o Problema 52 nos Exercícios 1.2 deste Volume e o Exemplo 1 na Seção 4.6 do Volume 1). Neste problema, você percorrerá os passos para os quais (7) também pode ser resolvido utilizando-se diagonalização. (a) Escreva (7) na forma MX KX 0, onde Identifique as matrizes M e K. Explique por que a matriz M tem uma inversa. (b) Escreva o sistema do item (a) como (8) Identifique a matriz B. (c) Resolva o sistema (7) para o caso especial no qual m 1 1, m 2 1, k 1 3 e k 2 2 solucionando (8) utilizando

25 1.4 Sistemas Lineares Não Homogêneos 47 o método da diagonalização. Em outras palavras, considere X PY, onde P é uma matriz cujas colunas são os autovetores de B. (d) Mostre que a solução X no item (c) é igual àquela indicada no item (d) do Problema 52 nos Exercícios Sistemas lineares não homogêneos Introdução Os métodos dos coeficientes indeterminados e variação de parâmetros utilizados no Capítulo 3 do Volume 1 para determinar soluções particulares de EDOs lineares não homogêneas podem ser adaptados para a solução de sistemas lineares não homogêneos. Dentre os dois métodos, a variação de parâmetros é a técnica mais poderosa. Entretanto, existem casos para os quais o método dos coeficientes indeterminados consiste em um meio mais rápido para se obter uma solução particular. Na Seção 1.1, vimos que a solução geral de um sistema linear não homogêneo X AX + F(t) em um intervalo I é X X c X p, onde X c c 1 X 1 c 2 X 2... c n X n é a função complementar ou solução geral do sistema linear homogêneo associado X AX, e X p é qualquer solução particular do sistema não homogêneo. Vimos como obter X c na Seção 1.2 quando A era uma matriz de constantes n n; consideramos agora três métodos para obter X p Coeficientes indeterminados As considerações Como na Seção 3.4 do Volume 1, o método dos coeficientes indeterminados consiste em adotar um palpite embasado a respeito da forma de um vetor solução particular X p ; o palpite é motivado pelos tipos de funções que compreendem as entradas da matriz coluna F(t). Não é surpresa que a versão matricial dos coeficientes indeterminados somente é aplicável a X AX + F(t) quando as entradas de A e de F(t) forem constantes, polinômios, funções exponenciais, senos e co-senos, ou somas e produtos finitos dessas funções. Exemplo 1 Resolva o sistema Coeficientes indeterminados Solução Resolvemos primeiro o sistema homogêneo associado A equação característica da matriz de coeficientes A, resulta nos autovalores complexos 1 i e última seção, obtemos. Pelos procedimentos da

26 48 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Agora, como F(t) é um vetor constante, consideramos um vetor solução particular as entradas, temos Substituindo essa última consideração no sistema original e igualando Resolver esse sistema algébrico resulta em a 1 14 e b 1 11, e assim uma solução particular é A solução geral do sistema original de EDs no intervalo (, ) é então X X c X p ou Exemplo 2 Coeficientes indeterminados Resolva o sistema Solução Os autovalores e os autovetores correspondentes do sistema homogêneo associado são 1 2, 2 7, Portanto, a função complementar é Agora, como F(t) pode ser escrita, tentaremos determinar uma solução particular do sistema que tenha a mesma forma: Substituir essa última consideração no sistema dado resulta em ou A partir da última identidade, obtemos quatro equações algébricas em quatro incógnitas Resolvendo as primeiras duas equações simultaneamente, obtemos a 2 2 e b 2 6. Substituímos então esses valores nas duas últimas equações e resolvemos em relação a a 1 e b 1. Os resultados são. Segue-se, portanto, que um vetor solução particular é

27 1.4 Sistemas Lineares Não Homogêneos 49 A solução geral do sistema em (, ) é X X c X p ou Exemplo 3 Forma de X p Determine a forma de um vetor solução particular X p para o sistema Solução Como F(t) pode ser escrita em termos matriciais como uma consideração natural para uma solução particular seria Observações O método dos coeficientes indeterminados para sistemas lineares não é tão direto como os últimos três exemplos indicam. Na Seção 3.4 do Volume 1, a forma da solução particular y p foi prevista com o conhecimento anterior a respeito da função complementar y c. O mesmo é válido para a formação de X p. Porém, existem outras dificuldades: as regras especiais que governam a forma de y p na Seção 4.4 do Volume 1 não se aplicam totalmente à formação de X p. Por exemplo, se F(t) for um vetor constante como no Exemplo 1 do Volume 1, e 0 for um autovalor de multiplicidade um, então X c contém um vetor constante. Segundo a regra da multiplicação da página 144 do Volume 1, tentaríamos uma solução particular da forma Essa não é a consideração apropriada para sistemas lineares: deveria ser De modo similar, no Exemplo 3, se substituirmos e t por e 2t em F(t) ( 2 sendo um autovalor), então a forma correta do vetor solução particular é Em vez de mergulharmos nessas dificuldades, nos voltaremos para o método da variação de parâmetros.

28 50 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Variação de parâmetros Uma matriz fundamental Se X 1, X 2,..., X n for um conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo X AX em um intervalo I, então sua solução geral no intervalo será a combinação linear X c 1 X 1 c 2 X 2... c n X n, ou (1) A última matriz em (1) é reconhecida como o produto de uma matriz n n por uma matriz n 1. Em outras palavras, a solução geral (1) pode ser escrita como o produto onde C é um vetor coluna n 1 de constantes arbitrárias c 1, c 2,..., c n, e a matriz n n, cujas colunas são constituídas pelas entradas dos vetores solução do sistema X AX, (2) é denominada uma matriz fundamental do sistema no intervalo. Na discussão a seguir, precisamos aplicar duas propriedades de uma matriz fundamental: Uma matriz fundamental (t) é não singular. Se (t) for uma matriz fundamental do sistema X AX, então O reexame de (9) do Teorema 1.3 mostra que det (t) é o mesmo que o Wronskiano W(X 1, X 2,..., X n ). Portanto, a independência linear das colunas de (t) no intervalo I garante que det (t) 0 para todo t no intervalo. Como (t) é não singular, a inversa multiplicativa 1 (t) existe para todo t no intervalo. O resultado indicado em (3) decorre imediatamente do fato de que toda coluna de (t) é um vetor solução de X AX. Variação de parâmetros De modo análogo ao procedimento na Seção 3.5 do Volume 1, questionamos se é possível substituir a matriz de constantes C em (2) por uma matriz coluna de funções (3) (4) seja uma solução particular do sistema não homogêneo (5) Pela regra do produto, a derivada da última expressão em (4) é (6) Note que a ordem dos produtos em (6) é muito importante. Como U(t) é uma matriz coluna, os produtos U (t) (t) e U(t) (t) não são definidos. Substituir (4) e (6) em (5) resulta em (7)

29 1.4 Sistemas Lineares Não Homogêneos 51 Agora, se utilizarmos (3) para substituir (t), (7) se escreve ou (8) Multiplicando ambos os lados da equação (8) por 1 (t), obtemos Como X p (t)u(t), concluímos que uma solução particular de (5) é (9) Para calcular a integral indefinida da matriz coluna 1 (t)f(t) em (9), integramos cada entrada. Portanto, a solução geral do sistema (5) é X X c X p ou (10) Exemplo 4 Variação de parâmetros Determine a solução geral do sistema não homogêneo (11) no intervalo (, ). Solução Primeiro resolvemos o sistema homogêneo (12) A equação característica da matriz de coeficientes é logo os autovalores são 1 2 e 2 5. Pelo método usual, temos que os autovetores correspondentes a 1 e 2 são, respectivamente, Os vetores solução do sistema (11) são então As entradas em X 1 formam a primeira coluna de (t), e as entradas em X 2 formam a segunda coluna de (t). Logo,

30 52 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares A partir de (9), obtemos Consequentemente, a partir de (10), a solução geral de (11) no intervalo é Problema de valor inicial A solução geral do sistema não homogêneo (5) em um intervalo pode ser escrito de um modo alternativo (13) onde t e t 0 são pontos no intervalo. A última forma é útil para a solução de (5) sujeita a uma condição inicial X(t 0 ) X 0, pois os limites de integração são escolhidos de modo que a solução particular desapareça em t t 0. Substituir t t 0 em (13) resulta em X 0 (t 0 )C, a partir do qual temos C 1 (t 0 )X 0. Substituindo esse último resultado em (13), obtemos a seguinte solução do problema de valor inicial: (14) Diagonalização As considerações Como na Seção 1.3, se a matriz de coeficientes A possuir n autovetores linearmente independentes, então podemos utilizar diagonalização para desacoplar o sistema X AX F(t). Suponha P sendo uma matriz tal que P 1 AP D, onde D é uma matriz diagonal. Substituir X PY no sistema não homogêneo X AX F(t) resulta em (15) Na última equação em (15), G P 1 F é um vetor coluna. Assim, cada equação diferencial nesse novo sistema tem a forma Porém, observe que, ao contrário do procedimento para resolver um sistema homogêneo X AX, agora temos que calcular a inversa da matriz P. Exemplo 2 Diagonalização Resolva por diagonalização. Solução Os autovalores e autovetores correspondentes da matriz de coeficientes são Assim, obtemos e

31 1.4 Sistemas Lineares Não Homogêneos 53 Aplicando-se a substituição X PY e o sistema desacoplado é As soluções das duas equações diferenciais são, respectivamente, e. Portanto, a solução do sistema original é Escrita da maneira usual utilizando-se vetores colunas, (16) é (16) EXERCÍCIOS 1.4 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página Coeficientes indeterminados Nos Problemas 1-8, utilize o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema indicado (a) O sistema de equações diferenciais para as correntes i 2 (t) e i 3 (t) na rede elétrica apresentada na Figura 1.5 é Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema considerando R 1 2, R 2 3, L 1 1 h, L 2 1 h, E 60 V, i 2 (0) 0 e i 3 (0) 0. (b) Determine a corrente i 1 (t). 4. R 1 i 1 i 2 i 3 R 2 5. E L 1 L Figura 1.5 Rede no Problema Variação de parâmetros Nos Problemas 11-30, utilize a variação de parâmetros para resolver o sistema indicado Resolva sujeita a 13.

32 54 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Utilize variação de parâmetros para resolver o sistema considerando R 1 8, R 2 3, L 1 1 h, L 2 1 h, E(t) 100 sen t V, i 1 (0) 0 e i 2 (0) 0. E i 1 R 1 i 2 i 3 L 1 R L 2 Figura 1.6 Rede no Problema 33. Tarefas computacionais 34. Resolver um sistema linear não homogêneo X AX F(t) por variação de parâmetros quando A for uma matriz 3 3 (ou maior) é uma tarefa praticamente impossível de ser feita à mão. Considere o sistema (a) Utilize um SAC ou um programa de álgebra linear para obter os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes. (b) Forme uma matriz fundamental (t) e utilize o computador para calcular 1 (t). (c) Use o computador para realizar os cálculos de Nos Problemas 31 e 32, utilize (14) para resolver o problema de valor inicial indicado O sistema de equações diferenciais para as correntes i 1 (t) e i 2 (t) na rede elétrica ilustrada na Figura 1.6 é onde C é uma matriz coluna de constantes c 1, c 2, c 3 e c 4. (d) Reescreva a saída do computador para a solução geral do sistema na forma X X c X p, onde X c c 1 X 1 c 2 X 2 c 3 X 3 c 4 X Diagonalização Nos Problemas 35-38, aplique diagonalização para resolver o sistema indicado

33 1.5 Exponencial de Matriz Exponencial de matriz Introdução Matrizes podem ser utilizadas de um modo totalmente diferente para resolver um sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares. Recorde que uma equação diferencial de primeira ordem linear simples x ax, onde a é uma constante, tem a solução geral x ce at. Parece natural, então, perguntarmos se podemos definir uma exponencial de matriz e At, onde A é uma matriz de constantes, de modo que e At é uma solução do sistema X AX. Sistemas homogêneos Veremos agora que é possível definir uma exponencial de matriz e At de modo que o sistema homogêneo X AX, onde A é uma matriz de constantes n n, tenha uma solução Como C é uma matriz coluna n 1 de constantes arbitrárias, queremos que e At seja uma matriz n n. O desenvolvimento completo do significado e teoria da exponencial de matriz exige um conhecimento profundo de álgebra matricial. Assim, uma maneira de definir e At é inspirada pela representação em série de potências da função exponencial escalar e at. (1) (2) A série em (2) converge para todo t. Utilizando essa série, com 1 substituído pela identidade I e a constante a substituída por uma matriz A de constantes n n, obtemos uma definição para a matriz e At n n. DEFINIÇÃO 1.4 Para uma matriz A n n, Exponencial de matriz (3) Pode-se mostrar que a série dada em (3) converge para uma matriz n n para todo valor de t. Além disso, em (3), A 0 I, A 2 AA, A 3 A(A 2 ), e assim por diante. Derivada de e At A derivada da exponencial de matriz e At é análoga àquela da exponencial escalar, isto é, d/dt e at ae at. Para justificar diferenciamos (3) termo a termo: (4) Em decorrência de (4), podemos agora provar que (1) é uma solução de X AX para todo vetor C de constantes n 1: (5)

34 56 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares e At é uma matriz fundamental Se representarmos a matriz e At pelo símbolo (t), então (4) é equivalente à equação diferencial matricial (t) A (veja (3) da Seção 1.4). Além disso, decorre imediatamente da Definição 1.4 que (0) e A0 I e assim det (0) 0. Essas duas propriedades são suficientes para concluirmos que (t) é uma matriz fundamental do sistema X AX. Sistemas não homogêneos Vimos em (4) da Seção 2.3 do Volume 1 que a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear única x ax f(t), onde a é uma constante, pode ser escrita como Para um sistema não homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares, pode-se mostrar que a solução geral X AX F(t), onde A é uma matriz de constantes n n, é (6) Como a exponencial de matriz e At é uma matriz fundamental, ela sempre é não singular e e As (e As ) 1. Note que e As pode ser obtida a partir de e At pela substituição de t por s. Cálculo de e At A definição de e At dada em (3) pode, é claro, sempre ser utilizada para calcular e At. Entretanto, a utilidade prática de (3) está limitada pelo fato de que as entradas em e At são séries de potência em t. Com um desejo natural de trabalharmos com coisas simples e familiares, tentaremos então reconhecer se essas entradas definem uma função de forma fechada. Veja os Problemas 1-4 nos Exercícios 1.5. Felizmente existem muitas maneiras alternativas de se calcular e At. Esboçamos dois desses métodos na discussão que se segue. Utilizando transformada de Laplace Vimos em (5) que X e At é uma solução de X AX. De fato, como e A0 I, X e At é uma solução do problema de valor inicial Se x(s) {X(t)} {e At }, então a transformada de Laplace de (7) é (7) Multiplicar a última equação por (si A) 1 implica x(s) (si A) 1 I = (si A) 1. Em outras palavras, {e At } (si A) 1 ou (8) Exemplo 1 Exponencial de matriz Utilize a transformada de Laplace para calcular e At para Solução Primeiro calculamos a matriz si A e então obtemos a sua inversa: