X Encontro Nacional de Educação Matemática

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1 UMA ANÁLISE DE DISCURSO: DISCUTINDO AS RESPOSTAS DOS ALUNOS NUM CURSO PRÉ-CÁLCULO Marli Schmitt Universidade Estadual do Oeste do Paraná - UNIOESTE marlischmitt@hotmail.com Renata Camacho Bezerra Universidade Estadual do Oeste do Paraná - UNIOESTE renatacamachobezerra@gmail.com Resumo: A disciplina de Cálculo tem sido palco de diversas pesquisas nacionais e internacionais em Educação Matemática no que tange seu processo de ensino e aprendizagem, haja vista, os altos índices de reprovações e evasão. Este trabalho apresenta uma investigação realizada na Universidade Estadual do Oeste do Paraná UNIOESTE, que proporcionou a elaboração e realização de um Curso Pré-Cálculo aos alunos que cursavam em 2008 a disciplina de Cálculo I nos cursos de Ciência da Computação, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica e Matemática. Este trabalho também apresenta um estudo sobre a produção escrita presente em questionários aplicados aos participantes do Pré-Cálculo. A abordagem metodológica adotada é predominantemente qualitativa, orientando-se pelas técnicas da análise de conteúdo como ferramenta de compreensão e inferência na produção escrita dos alunos em uma amostra de 70 participantes. Palavras-chave: Educação Matemática; Pré-Cálculo; Análise de conteúdo. Um Cenário da Disciplina de Cálculo À luz da literatura, notam-se pesquisas nacionais e internacionais sobre o cenário da disciplina de Cálculo, elencando as dificuldades encontradas por professores e alunos nos processos de ensino e aprendizagem da disciplina, que freqüentemente tem sido objeto de estudo de pesquisadores em Educação Matemática, conforme BALDINO (1995) E SOUZA (2007). Mais do que elevados índices de evasão e retenção de alunos, a disciplina de Cálculo tem freqüentemente afastado grande parte de um público que conquistou o direito ao ingresso no ensino superior e que se depara com esta barreira no acesso a sua formação profissional, PALIS (1995). Também em nossa prática como professores, nos deparamos com esta lamentável situação. Vemos nos cursos de exatas, altos índices de reprovação, abandono e insucesso 1

2 de nossos alunos. Foi a partir de indagações como estas que se iniciou em 2006 o projeto de iniciação científica intitulado A Disciplina de Cálculo nos Cursos de Ciências Exatas e da Terra, realizado na Universidade Estadual do Oeste do Paraná UNIOESTE Campus Foz do Iguaçu. Tal pesquisa tinha como foco, elencar os índices de aprovação e/ou reprovação nos Cursos de Ciência da Computação, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica e Matemática, além de identificar os principais fatores que interferem no processo de ensino e aprendizagem do Cálculo na visão dos professores que lecionavam a disciplina. Muitos dos fatores identificados como interferentes no processo de ensino e aprendizagem dizem respeito a metodologia empregada pelo professor em sala de aula, normalmente de forma tradicional (CATAPANI, 2001), ou até mesmo sem vínculo com a futura profissão do educando, observando-se estrutura sistematizada onde se apresenta uma teoria lógico-formal dedutiva (BARUFI, 2002), que nem sempre os alunos estão acostumados a lidar, deixando em muitos casos o Cálculo reduzido a um conjunto de problemas a serem resolvidos, através de propriedades, regras e técnicas (BROLEZZI, 2007), onde se estuda o conteúdo de derivadas e aplicam-nas em problemas de taxas de variação, estuda-se máximos e mínimos de funções, que são aplicados em problemas de máximos e mínimos e assim, sucessivamente, para os demais conteúdos do curso, sem que estes ofereçam condições necessárias para suprir as especificidades de cada curso (ARAÚJO, 2002). Acredita-se também que tais dificuldades podem ser oriundas do próprio sistema educacional que se tem instituído nas universidades ou mesmo de possíveis falhas ocorridas na construção do conhecimento matemático dos alunos durante o Ensino Fundamental e Médio, pois pode-se verificar que o aluno, ao ingressar na universidade, nem sempre possui conhecimento necessário para um bom desempenho em Cálculo, onde depara-se com uma Matemática que em geral não lhes foi apresentada anteriormente. Para BROLEZZI (2007), uma das causas para este baixo desempenho dos alunos é decorrente da fraca bagagem trazida do Ensino Médio. Segundo ele: A Matemática apresentada na Escola Básica, freqüentemente como um conjunto de regras e fórmulas, processos mecânicos de resolução de determinados tipos de problemas, questões fechadas, com pouquíssima, às vezes nenhuma investigação, acarreta uma postura passiva por parte 2

3 dos estudantes. [...] Na Universidade, porém, a Matemática adquire um caráter distinto. É cobrada dos alunos uma experiência anterior que eles em geral não têm. Os professores chegam à conclusão que aquilo que os alunos sabem de pouco vale para o aprendizado da Matemática em nível superior. (BROLEZZI, 2007, p. 21). Assim, além de identificar quais fatores interferem no processo de ensino e aprendizagem do cálculo, como os citados acima, buscou-se nesta pesquisa aferir se um curso Pré-Cálculo poderia contribuir para um melhor desempenho dos alunos em Cálculo I, visto que as principais dificuldades apresentadas dizem respeito a conteúdos de Matemática básica. Para a elaboração do Curso Pré-Cálculo foram entrevistados professores que lecionavam a disciplina de Cálculo no ano de 2007 aos quatro cursos de CECE UNIOESTE, uma vez que o curso havia sido sugerido pelos mesmos, devendo ser inclusive obrigatório, e ele não consta nos Projetos Políticos Pedagógicos dos cursos. O curso Pré-Cálculo foi registrado como Projeto de Extensão, sendo divulgado em todo o Centro com o apoio dos professores, com o objetivo de trabalhar conteúdos de Matemática básica, incentivar a formação de grupos de estudos e integrar os alunos dos quatro cursos. Com o auxílio destes professores selecionou-se os conteúdos em que os alunos apresentam maior dificuldade, dentre eles elencou-se: Expressões Algébricas, Equações, Inequações e Valores Absolutos, Domínio de Funções, Construção de Gráficos de Funções a Partir de Funções Conhecidas, Composição de Funções, Funções Trigonométricas, Funções Exponenciais e Logarítmicas e Funções Inversas, contendo suas definições, exercícios e problemas. Assim, confeccionou-se uma apostila contemplando estes conteúdos, a qual foi utilizada durante o curso pelos participantes. Utilizou-se como referência para a construção desta apostila livros da Coleção Fundamentos de Matemática Elementar e livros de Cálculo Diferencial e Integral I presente nas ementas da disciplina. Ressalta-se que um dos principais procedimentos adotados foi à observação dos grupos que participaram do Curso Pré-Cálculo, acompanhados de entrevistas e avaliações realizadas no decorrer do mesmo. A Sala de Aula do Curso Pré-Cálculo 3

4 Um dos objetivos do curso foi possibilitar a formação de grupos de estudos e integrar os alunos do CECE. Desta forma as turmas foram divididas de acordo com a escolha do horário que cada aluno indicou na ficha de inscrição, proporcionando a integração entre os alunos dos quatro cursos, uma vez que cada um optou por horários convenientes a sua disponibilidade. A metodologia utilizada em sala de aula pretendia levar os alunos a estudar e a compreender a construção dos conceitos, as definições e propriedades, ao passo de promover a discussão com os mesmos. Para isto, se apresentaram na apostila definições, exercícios e problemas, os quais foram feitos com os alunos. Durante as aulas, os participantes mostraram-se interessados e curiosos, questionavam e buscavam esclarecer dúvidas referentes ao conteúdo, eles procuravam conhecer as propriedades e compreender o processo de resolução, não apenas uma técnica para resolvê-lo. Observou-se também que as questões propostas foram interpretadas de formas distintas pelos alunos, gerando outras maneiras de resolução de um mesmo exercício. Outro fato relevante esteve presente nos questionamentos que os mesmos faziam nas aulas, com perguntas bem elaboradas, demonstrando o interesse em compreender o procedimento de resolução. No curso, também, oportunizou-se aos alunos o ato de expressar suas opiniões, quando estes se dirigiam a lousa e apresentavam suas interpretações referentes ao objeto em estudo, compartilhando suas idéias com os demais, pois assim, a partir das experiências individuais e coletivas vivenciadas acredita-se que o aluno possa aguçar o seu conhecimento. Outro fator relevante percebido durante as aulas foi a fala dos alunos, no sentido de possibilitar ao mesmo exibir suas indagações, suas idéias e opiniões e mais ainda, ouvi-los, dar atenção a sua fala. BARUFI (1999) referencia a importância da fala do aluno no desenvolvimento de seu conhecimento, pois este se apropria do ato de fazer e argumentar, formular hipóteses e tirar conclusões a partir deles. Ainda para este autor, o aluno deve ser desafiado a buscar respostas às soluções criadas, encontrar os porquês. Talvez por não ter a presença de um professor que os avaliasse, mas um colega, de mesma faixa etária, que os auxiliou e dividiu o seu conhecimento, estes alunos estavam 4

5 mais a vontade para questionar e propor soluções, participando ativamente nas aulas, resolvendo os exercícios na lousa e explicando os passos utilizados, pois para eles era um momento de aprendizagem, que segundo os alunos, foi diferente da sala de aula. Também durante o curso aplicaram-se questionários e avaliações que não foram pré-agendadas com os alunos, por isso obtiveram-se números distintos de questionários respondidos. Este fato ocorreu pela oscilação de presença deles, o qual se verificou em decorrência de avaliações e trabalhos de outras disciplinas, segundo os próprios participantes. Métodos de Avaliação Para avaliar se o curso Pré-Cálculo pode contribuir ou não para um melhor desempenho dos alunos de Cálculo I, utilizou-se de uma análise da produção escrita dos alunos que participaram do Curso Pré-Cálculo, realizada através de questionários e avaliações no decorrer do mesmo, empregando uma metodologia de análise de dados, normalmente denominada como Análise de Conteúdo, (Cury, 2007). A análise de conteúdo é uma metodologia empregada em pesquisas qualitativas, sendo que um dos objetivos do pesquisador é obter respostas a perguntas abertas em questionários aplicados em uma determinada pesquisa, (Cury, 2007). Em questionários com perguntas abertas, nem sempre os entrevistados têm a mesma opinião, ou mesmo apresentam caminhos semelhantes em suas respostas, ao contrário, espera-se que os participantes expressem suas opiniões, percepções, experiências e idéias, pois cada ser é único e não está neutro as interferências do lugar que vive (Cunha, 2003). O simples ato de apresentar suas idéias, ou expressar suas opiniões seja por meio de um desenho ou de uma frase pode também ser analisado de diferentes maneiras pelo pesquisador, pois este também está sujeito a não neutralidade, (Cury, 2007). Para este autor, Um texto matemático produzido por um aluno uma demonstração de um teorema, uma solução de um problema ou uma dissertação sobre determinado tópico pode ser analisado, com base em procedimentos sistemáticos, para inferir conhecimentos sobre as formas com que aquele 5

6 estudante construiu um determinado saber matemático. Pode-se pensar que qualquer correção de prova é uma análise, com categorias previamente determinados (os gabaritos feitos pelo professor) ou emergentes, baseados nas soluções. No entanto a simples correção da prova não configura pesquisa, já que, em geral, ela se insere em uma avaliação diagnóstica ou somativa. O trabalho investigativo sobre as respostas pode levar em conta, em um primeiro momento, a tarefa inicial de correção, mas é necessário ter um objetivo nessa pesquisa, levantando questões ou hipóteses que possam ser investigadas. (CURY, 2007, p. 62). Desta forma, objetivou-se também no curso Pré-Cálculo investigar por meio de questionários e avaliações, como o aluno se apropria das informações e conhecimentos adquiridos. Através destes dados coletados e observações realizadas durante o curso, deu-se encaminhamento à análise das respostas dos alunos e a partir deles enfatizar a importância de analisar o processo. CURY (2007) exibe a importância da análise da produção escrita dos estudantes indicando esta como uma forma de avaliar sua aprendizagem, detectar um erro ou obstáculo, podendo ser este uma forma de conhecimento, acrescentando que: O aluno constrói esse conhecimento relacionando-o com outros, em diferentes contextos, tentando adaptá-lo às novas situações e resistindo em abandoná-lo. É por esse motivo que se torna tão difícil superá-lo, já que, para isso, o aluno (e o professor, por suposto) terá de trabalhar da mesma forma que o faz quando da construção de um novo conhecimento, com o agravante de que o falso saber (aquele que funcionava bem no contexto anterior) estará, ainda, por trás da nova construção. (CURY, 2007, p. 35) Ao analisar e questionar as respostas dos alunos para verificar como pensavam ao solucionar tarefas, enfocando a atenção de pesquisador na produção escrita ou oral, acredita-se que é possível auxiliar o aluno a fazer análise de sua forma de aprender, concordando com CURY (2007), ao passo de compreender e promover uma discussão de como o aluno se apropria de determinado conhecimento adquirido. Resultados 6

7 O objetivo desta investigação foi analisar, destacar e questionar os erros e acertos apresentados pelos participantes, compreender como estes se apropriam do conhecimento adquirido e auxiliá-los em suas dificuldades. Foram elaboradas seis questões abertas, envolvendo conteúdos de funções, expressões algébricas, inequações modulares, funções trigonométricas e construção gráfica, conteúdos abordados durante o curso e que em geral os alunos apresentam maior dificuldade, segundo os professores entrevistados na pesquisa anterior. Dentre as questões propostas aos participantes, escolhemos duas para analisar e apresentar neste artigo. A primeira foi a de maior acerto e a segunda é aquela em que os estudantes mais erraram ou não responderam. A primeira questão, que foi a mais acertada (100% de acertos na turma 1 e 70% na turma 2), tem o seguinte enunciado: Resolva as desigualdades abaixo em termos dos intervalos e ilustre o conjunto solução sobre o eixo real. a) 1 3. x 4 16 Nesta questão pretendíamos verificar se o aluno compreendeu e aplicou o conceito de inequações e que o mesmo pudesse determinar intervalos reais que satisfizessem a condição do problema, quando possível. Após a listagem de todas as respostas, estas foram analisadas e os erros categorizados, obtendo-se três classes, descritas a seguir. Na turma 1, obteve-se 100% de acertos. Já na turma 2, obteve-se: Classe A: correspondente às soluções corretas. Neste caso foram encontradas maneiras parecidas de se chegar ao resultado certo, apresentando a seguinte solução: 1 3. x x 3 3. x 3 3x x 4 S ( 1;4] 7

8 Classe B: correspondente aos erros dos alunos (20%). Nesta questão, eles apresentaram uma inversão no sinal da igualdade, alterando-se o resultado na reta real; Isolou a incógnita x e os demais valores todos de um mesmo lado da desigualdade, não encontrando intervalos da reta real para ela. O aluno desmembrou a inequação em duas partes para analisar, porém separou a incógnita x em apenas uma das partes, deixando a outra apenas com números. Classe C: correspondente a questões sem soluções (10%). A segunda questão escolhida é aquela em que os estudantes mais erraram ou não responderam. Seu enunciado é o seguinte: Na figura abaixo está desenhado o gráfico da função f :[ 6;6] [ 2;4]. FIGURA 1 GRÁFICO DA FUNÇÃO f : 6;6 2; 4. Determine os valores de x para os quais se tem: a) 1 f ( x) 3 Nesta questão pretendia-se verificar se o aluno tinha compreendido e aplicado os conceitos e propriedades desenvolvidos em sala, a partir de um gráfico dado e determinado o seu domínio a partir do comportamento do mesmo. Classe A: correspondente aos erros dos alunos (80%). Observa-se nesta alternativa o maior número de erros, para ambas as turmas, onde o aluno não observou a restrição 1 f ( x) 3, considerando os casos em que f assume valores maior ou igual a (-1) e menor ou igual a 3. Em alguns casos ainda, não levou em consideração o intervalo em que f : 6;6 2;4 está definida. Considerações 8

9 Embora se tenha utilizado a mesma metodologia em sala de aula, foi possível perceber que em alguns casos, os alunos de uma turma tinham mais dificuldade em determinado conteúdo do que em outros, pois acredita-se que a aprendizagem depende do contexto de vida de cada indivíduo, ou seja, cada um tem um estilo particular de aprender. Ao abordar o conteúdo de funções, objetivou-se proporcionar ao estudante uma compreensão do comportamento do gráfico de uma função, de modo que ele tivesse noção e pudesse antever o que ocorre em determinado ponto, podendo analisar e distinguir o comportamento da função naquele ponto. Não pretendemos que o aluno saiba recitar uma definição precisa para o conteúdo de funções, pois esta já existe em diversos livros de matemática, mas quer-se aqui proporcionar ao aluno compreender, através das diferentes formas de aprendizagem (falar, ouvir, escrever, visualizar), como se comportam as variáveis de uma determinada função e ter idéia de sua representação gráfica. Nas conversas e entrevistas com os professores de Cálculo I, verificou-se que eles observam maior dificuldade de seus alunos nesta disciplina, com o conteúdo de funções e análise gráfica, sendo que isto também é apontado como obstáculo na aprendizagem dos alunos em várias pesquisas, (NASSER, 2007). Em ambas as turmas observou-se o mesmo tipo de erro na segunda questão descrita acima, tendo esta o maior número de erros, chegando a 80%. Percebe-se aí que a restrição da função ser estritamente maior que (-1) e estritamente menor que (3) não foi considerada. Talvez este fato também seja um obstáculo que os alunos possuem na disciplina de Cálculo I, em aceitar que um x real menor do que (-1) possa estar tão próximo de x 1 quanto se queira, também a noção de limite pode ser afetada, já que, pelo menos graficamente, os alunos não visualizaram a restrição. Para CURY (2007): A análise qualitativa das respostas dos alunos, com uma discussão aprofundada sobre as dificuldades por eles apresentadas, apoiada em investigações já realizadas é, talvez, a melhor maneira de aproveitar os erros para questionar os estudantes e auxiliá-los a (re) construir seu conhecimento. (CURY, 2007, p. 27). 9

10 Por isso, quando foi proposto aos alunos apresentar as soluções desenvolvidas por eles para determinado exercício, ao passo de promover uma discussão ao exibi-la na lousa, oportunizou-se a estes, observar detalhadamente a sua solução, pois, além de apresentá-la, o aluno pôde expor uma justificativa para a escolha desta ou daquela forma de resolução e ainda possibilitou-lhe a compreensão e validação para tais ações, através do registro do pensamento do aluno em voz alta ou da produção escrita apresentada. Fato semelhante ocorreu também durante as correções das avaliações, podendo desta forma auxiliá-los em sua aprendizagem. Referências ARAÚJO, J. L. Cálculo, Tecnologias e Modelagem Matemática: As Discussões dos Alunos. Rio Claro, Tese de Doutorado, IGCE, UNESP. BALDINO, R. R. TEMAS E DEBATES: O Ensino de Cálculo, Rio Claro, v. 8, n. 6, p. 3, Abril/1995. BARUFI, M. C. B. A Construção/Negociação de Significados no Curso Universitário Inicial de Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo, Tese de Doutorado, FE - USP. BARUFI, M. C. B. O Cálculo No Curso de Licenciatura em Matemática. In: EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA: Licenciatura em Matemática Um Curso em Discussão, São Paulo, v. 9, n. 11A, p , Abril/2002. BROLEZZI, A. C. História da Matemática e Ensino de Cálculo: Reflexões Sobre o Pensamento Reverso. SBHMat. Guarapuava: Editora UNICENTRO, (Coleção História da Matemática para Professores) CATAPANI, E. C. Cálculo em Serviço: Um Estudo Exploratório. In: BORBA, M. C; BICUDO, M. A. V. (Org) BOLEMA, Rio Claro, v. 14, n. 16, p , Outubro/2001. CURY, H. N. Análises de Erros: O Que Podemos Aprender Com as Respostas dos Alunos. Belo Horizonte: Autêntica, NASSER, L. Ajudando a Superar Obstáculos na Aprendizagem de Cálculo. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9., 2007, Belo Horizonte. Anais...Belo Horizonte: SBEM (em CD), PALIS, G. L. R. Computadores em Cálculo: Uma Alternativa Que Não Se Justifica Por Si Mesma. In: Temas e Debates: O Ensino de Cálculo, Rio Claro, v. 8, n. 6, p , Abril/

11 SOUZA, F. E; SILVA, B. A. Conhecimentos de Estudantes Universitários Sobre o Conceito de Integral. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9., 2007, Belo Horizonte. Anais...Belo Horizonte: SBEM (em CD),