Notas de aula: Cálculo

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Notas de aula: Cálculo"

Transcrição

1 Departamento de Matemática - MTM Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC Notas de aula: Cálculo Prof. Matheus Cheque Bortolan Florianópolis - SC 015/

2

3 Sumário 1 O corpo dos números reais O corpo dos números racionais Os números reais Equações e inequações Módulo de um número real Limitação de subconjuntos de R Propriedade Arquimediana de R Topologia de R Funções 3.1 Noções gerais Operações com funções Funções pares e ímpares Funções periódicas Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras Funções invertíveis Funções itadas Funções monótonas Funções trigonométricas Funções exponenciais e logarítmicas

4 SUMÁRIO.5 Funções hiperbólicas Sequências Definições gerais Soma de uma progressão geométrica Limite de uma sequência Subsequências Sequências de Cauchy O número e - Parte Limite e continuidade Noção intuitiva Definições Propriedades do ite Teste da comparação e Teorema do confronto Limites laterais Propriedades de funções contínuas O primeiro ite fundamental Continuidade de funções compostas Limites infinitos, no infinito e infinitos no infinito Limites infinitos Limites no infinito Limites infinitos no infinito O número e - Parte Outras propriedades de funções contínuas Teorema do Valor Intermediário (TVI) Teorema do Anulamento Teorema de Weierstrass Limite de funções e sequências

5 SUMÁRIO 3 5 A derivada Motivação e definição Taxa de variação A derivada como uma função Diferenciabilidade e continuidade Fórmulas e regras de derivação A regra da cadeia Derivação implícita e derivada da função inversa Derivadas de ordens superiores Taxas relacionadas Aproximações lineares e diferencial Aplicações da derivada Máximos e mínimos Problemas de máximos e mínimos O Teorema do Valor Médio (TVM) e suas consequências Concavidade e pontos de inflexão Regras de L Hospital Assíntotas Esboço de gráficos de funções Polinômios de Taylor A integral A integral de Riemann Propriedades da integral O Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo Antiderivadas ou primitivas O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo O logaritmo definido como uma integral

6 4 SUMÁRIO 7.7 Mudança de variável ou Regra da substituição Integração por partes Aplicações da integral Cálculo de áreas

7 Introdução Estas notas foram elaboradas com base nas Notas de Aulas dos professores Márcia Federson, Alexandre Carvalho e Wagner Nunes do ICMC-USP, da professora Gabriela Planas da UNICAMP, e segue os livros [1,, 3, 4, 5]. Elas foram feitas para auxiliar os alunos dos cursos introdutórios de Cálculo, e fornecer uma boa base para que possam seguir para os cursos de Cálculo que virão. Dicas para o estudo do Cálculo: Não é possível ler e entender cálculo como se lê e entende um romance ou um jornal. Leia o texto atentamente e pacientemente procurando entender profundamente os conceitos e resultados apresentados. A velocidade de leitura não é importante aqui. Acompanhe os exemplos passo a passo procurando desvendar o porquê de cada passagem e tentando enxergar porque o autor adotou esta solução. Tente soluções alternativas. Pratique os conceitos aprendidos fazendo as tarefas (listas de exercícios). Não se aprende cálculo contemplativamente. É importante fazer muitos exercícios. Também não se aprende cálculo apenas assistindo às aulas ou somente fazendo exercícios. É preciso assistir às aulas, estudar e refletir sobre os conceitos e fazer muitos exercícios. Procure discutir os conceitos desenvolvidos em sala de aula com os colegas. É muito importante frequentar as monitorias ainda que seja somente para inteirar-se das dúvidas dos colegas. Não desista de um exercício se a sua solução não é óbvia, insista e descubra o prazer de desvendar os pequenos mistérios do cálculo.

8 6 SUMÁRIO Dificuldades são esperadas, mas são elas que nos ajudam a evoluir. Então, ao se deparar com um resultado difícil ou um exercício complicado, não desista. Estude, releia, tente, erre, estude mais, tente novamente, mas nunca desista.

9 Capítulo 1 O corpo dos números reais Antes de falar no corpo dos números reais, vamos primeiramente estudar o corpo dos números racionais. 1.1 O corpo dos números racionais Indicamos por N, Z e Q os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais respectivamente. Assim N = {0, 1,, 3,...}, Z = {. {.., 3,, 1, 0, 1,, 3,...}, a } Q = b ; a, b Z, b 0. A soma e o produto em Q são dados, respectivamente, por: a b + c d. = ad + bc bd e a b c d. = ac bd. Chamamos adição a operação que a cada par (x, y) Q Q associa sua soma x+y Q e chamamos multiplicação a operação que a cada par (x, y) Q Q associa seu produto x y Q. A terna (Q, +, ), ou seja, Q munido das operações + e satisfaz as propriedades de um corpo; isto é: (A1) (associativa) (x + y) + z = x + (y + z), para quaisquer x, y, z Q ;

10 8 O corpo dos números reais (A) (comutativa) x + y = y + x, para quaisquer x, y Q ; (A3) (elemento neutro) existe 0 Q tal que x + 0 = x, para todo x Q ; (A4) (elemento oposto) para todo x Q, existe y Q, tal que x + y = 0 (denotamos y = x); (M1) (associativa) (xy)z = x(yz), para quaisquer x, y, z Q ; (M) (comutativa) xy = yx, para todo x, y Q ; (M3) (elemento neutro) existe 1 Q, tal que x 1 = x, para todo x Q ; (M4) (elemento inverso) para todo x Q, x 0, existe y Q, tal que x y = 1 (denotamos y = 1); x (D) (distributiva da multiplicação) x(y + z) = xy + xz, x, y, z Q. Apenas com estas 9 propriedades podemos provar todas as operações algébricas com o corpo Q. Vamos enunciar algumas e demonstrar outras a seguir. Proposição (Lei do cancelamento). Em Q, se x + z = y + z, então x = y. Demonstração: Se x + z = y + z temos x + z = y + z +( z) = (x + z) + ( z) = (y + z) + ( z) (A1) = x + (z + ( z)) = y + (z + ( z)) (A4) = x + 0 = y + 0 (A3) = x = y. As seguintes propriedades seguem da Lei do Cancelamento. Proposição Valem as seguintes: 1. os elementos neutros da adição e da multiplicação são únicos;. o elemento oposto e o elemento inverso são únicos; 3. para todo x Q, x 0 = 0; 4. para todo x Q, x = ( 1)x.

11 1.1 O corpo dos números racionais 9 Definição Diremos que { a b Q é não-negativo, se a b N positivo, se a b N e a 0 e diremos que a b Q é não-positivo, se a não for positivo b negativo, se a não for não-negativo. b Definição Sejam x, y Q. Diremos que x é menor do que y e escrevemos x < y, se existir t Q positivo tal que y = x + t. Neste mesmo caso, poderemos dizer que y é maior do que x e escrevemos y > x. Em particular, teremos x > 0 se x for positivo e x < 0 se x for negativo. Se x < y ou x = y, então escreveremos x y e lemos x é menor ou igual a y. Da mesma forma, se y > x ou y = x, então escreveremos y x e, neste caso, lemos y é maior ou igual a x. Escreveremos x 0 se x for não-negativo e x 0 se x for não-positivo. A quádrupla (Q, +,, ) satisfaz as propriedades de um corpo ordenado, ou seja, além das propriedades anteriores, também valem as propriedades seguintes: (O1) (reflexiva) x x, para todo x Q ; (O) (anti-simétrica) se x y e y x, então x = y; (O3) (transitiva) se x y e y z, então x z; (O4) para quaisquer x, y Q, x y ou y x ; (OA) se x y então x + z y + z; (OM) se x y e z 0, então xz yz. Proposição Para quaisquer x, y, z, w no corpo ordenado Q, temos (a) se x y e z w então x + z y + w. (b) se 0 x y e 0 z w então xz yw.

12 10 O corpo dos números reais Demonstração: Provemos o item (b). Como 0 x y e z 0 então xz yz, pela propriedade (OM). Novamente, usando (OM), como 0 z w e y 0, temos yz yw. Da propriedade transitiva (O3) segue que xz yw. Outras propriedades: Se x, y, z, w Q, temos: x < y se, e somente se, x + z < y + z; z > 0 se, e somente se, 1 z > 0; z > 0 se, e somente se, z < 0; se z > 0, então x < y se, e somente se, xz < yz; se z < 0, então x < y se, e somente se, xz > yz; se 0 x < y e 0 z < w então xz < yw; se 0 < x < y então 0 < 1 y < 1 x ; (tricotomia) x < y ou x = y ou x > y; (anulamento do produto) xy = 0 se, e somente se, x = 0 ou y = Os números reais Os números racionais podem ser representados por pontos em uma reta horizontal ordenada, chamada reta real Nem todo ponto da reta real é racional. Considere um quadrado de lado 1 e diagonal d. Pelo Teorema de Pitágoras, d = =. Seja P a intersecção do eixo x com a circunferência de raio d.

13 1. Os números reais 11 d 0 1 P x Mostraremos que P é um ponto da reta real que não é racional. Proposição Seja a Z. Temos: (a) se a for ímpar, então a é ímpar; (b) se a for par, então a é par. Demonstração: (a) Se a for ímpar, então existe k Z tal que a = k + 1. Daí segue que a = (k + 1) = 4k + 4k + 1 = (k } {{ + k } ) + 1 = l + 1, l onde l = k + k, e portanto a também será ímpar. (b) Suponha, por absurdo, que a não é par. Logo a é ímpar. Então, pela Proposição 1..1 (a), a também é ímpar, o que contradiz a hipótese. Portanto a é par necessariamente. Proposição 1... A equação x = não admite solução em Q. Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que x = tem solução em Q. Então podemos tomar x = a b com a, b Z e a ( a ) b irredutível. Logo =, ou seja, a = b e b portanto a é par. Segue da Proposição 1..1 (b) que a também é par. Portanto existe k Z tal que a = k. Mas } a = b a = k = b = 4k = b = k.

14 1 O corpo dos números reais Portanto b é par e, pela Proposição 1..1 (b), b também é par. Mas isto implica que a é redutível (pois a e b são divisíveis por ) o que é uma contradição. Portanto não b existe a ( a ) b Q tal que =. b Denotamos o conjunto dos números reais por R. Temos R Q e todo número real que não é racional é dito irracional. Em R, definimos uma adição (+), uma multiplicação ( ) e uma relação de ordem ( ). Então a quádrupla (R, +,, ) satisfaz as condições (A1) a (A4), (M1) a (M4), (D), (O1) a (O4), (OA) e (OM) como na seção anterior e portanto é um corpo ordenado Equações e inequações Para resolver uma equação em x é necessário encontrar o conjunto dos números reais x que satisfazem a equação. Para resolver uma inequação em x é necessário encontrar o conjunto dos números reais x que satisfazem a desigualdade. Exemplo A inequação x < 4 resulta em x < 6. Exemplo Resolva a inequação 3(4 x) 1. Solução: Multiplicando a ambos os lados da desigualdade por 1, temos 4 x 4. 3 Subtraindo 4 resulta em x 8 e multiplicando por 1 obtemos x 8. Exemplo Resolva a inequação πx < 4x + 1. Solução: Vamos começar adicionando o oposto de x dos dois lados da inequação. Assim πx x < 4x x ou seja πx 4x < que também pode ser escrita como (π 4)x < 178. Agora multiplicaremos a última inequação pelo inverso de π 4, que é negativo. Obtemos, então, x > 178 π 4

15 1.3 Módulo de um número real 13 ou seja Exemplo Qual é o sinal de x x x > π. em função de x? Solução: O numerador é positivo quando x > 1, negativo quando x < 1 e zero quando x = 1. O denominador é positivo quando x < 1, negativo quando x > 1 e zero quando x = 1. Portanto a fração será positiva quando 1 < x < 1, negativa quando x < 1 ou x > 1 e zero quando x = 1. Exercício: Resolva a inequação x + 1 x 4 < 0. [Resposta: 1 < x < 4]. 1.3 Módulo de um número real Definição Seja x R. Definimos o módulo (ou valor absoluto) de x por { x = x, x 0 x, x < 0. Segue da definição acima que x 0 e x x x, para todo x R. Exemplo Mostre que x = x, para todo x R; ou seja, o quadrado de um número real não muda quando se troca seu sinal. Lembre que x significa raiz quadrada positiva de x. Logo, segue do Exemplo 1.3. que x = x. Exemplo A equação x = r, com r 0, tem como soluções os elementos do conjunto {r, r}. O resultado do Exemplo pode ser generalizado como no exemplo seguinte. Exemplo A equação ax b = r, com r 0 e a 0, tem como soluções os { b + r elementos do conjunto a, b r }. a Exemplo Resolva a equação x + 1 = 3.

16 14 O corpo dos números reais Solução: Temos x + 1 = 3 ou x + 1 = 3, o que nos leva à solução x = 1 ou x =. Sejam x e y dois números reais. Então a distância de x a y é dada por x y. Assim x y é a medida do segmento xy. Em particular, como x = x 0, então x é a distância de x a 0. O próximo exemplo diz que a distância de x a 0 é menor do que r, com r > 0, se, e somente se, x estiver entre r e r. Exemplo Seja r > 0. Então x < r se, e somente se, r < x < r. Solução: Suponhamos que x < r. Analisando o sinal de x, temos: se x 0 então r > x = x, se x < 0 então r > x = x e portanto r < x. Portanto r < x < r. Agora suponhamos que r < x < r. Então, se x 0 então x = x < r, se x < 0 então x = x < r. Portanto, x < r, o que conclui a demonstração. A seguinte figura ilustra o significado geométrico do exemplo. ( r x < r 0 ) r x Agora, vamos generalizar o Exemplo Exemplo Resolva a inequação ax b < r na variável x, com r > 0 e a 0. Solução: De forma similar ao exemplo anterior, r < ax b < r. Somando b aos termos da inequação obtemos b r < ax < b + r. Logo, se a > 0 então b r a < x < b + r a ;

17 1.3 Módulo de um número real 15 se a < 0 então b + r a < x < b r a. Como caso particular do Exemplo 1.3.7, se a distância de x a p for menor do que r, isto é, x p < r, r > 0, então x estará entre p r e p + r. Geometricamente, ( p r x p < r p ) p + r x Exemplo Para quaisquer x, y R, vale xy = x y. Solução: Temos que xy = (xy) = x y = x y = ( x y ). Como xy 0 e x y 0, temos xy = x y. Exemplo (Desigualdade triangular). Para quaisquer x, y R, vale x + y x + y. Solução: Somando x x x e y y y obtemos x y x+y x + y. Exemplo Descreva o valor de x x 1 sem utilizar o módulo. Se x 1, então { x + 1 = x + 1 x 1 = x 1 e, portanto, x+1 + x 1 = x+1+x 1 = x. { Se 1 x < 1, então x + 1 = x + 1 x 1 = x + 1 e, portanto, x x 1 = x + 1 x + 1 =. { Se x < 1, então x + 1 = x 1 e, portanto, x+1 + x 1 = x 1 x+1 = x 1 = x + 1 x. x, x 1 Logo x x 1 =, 1 x < 1 x, x < 1.

18 16 O corpo dos números reais Definição Um intervalo em R é um subconjunto de R que tem uma das seguintes formas: [a, b] = { x R : a x b },,(a, b) = { x R : a < x < b } chamado de intervalo fechado, chamado de intervalo aberto, [a, b) = { x R : a x < b }, (a, b] = { x R : a < x b }, (, b] = { x R : x b } (, b) = { x R : x < b }, [a, + ) = { x R : a x }, (a, + ) = { x R : a < x }, (, + ) = R. Exemplo Descreva o conjunto { x R : x 3 < x + 1 } como um intervalo. Solução: Temos { x R : x 3 < x + 1 } = { x R : x < 4 } = (, 4). 1.4 Limitação de subconjuntos de R Definição Um conjunto A R será dito itado, se existir L > 0 tal que x L, para todo x A. Dizemos ainda que A R é iitado se ele não for itado. O resultado a seguir é uma consequência imediata da definição acima, e sua demonstração fica como exercício ao leitor. Proposição Um conjunto A R será: (i) itado se, e somente se, existir L > 0 tal que A [ L, L]. (ii) iitado se, e somente se, para todo L > 0, existir x A tal que x > L.

19 1.4 Limitação de subconjuntos de R 17 Exemplo Temos: (a) A = [0, 1] é itado; (b) N não é itado (mostraremos mais tarde); { } n 1 (c) B = : n N é itado; n { } n 1 (d) C = : n N é itado. n Definição Considere um conjunto A R. Dizemos que 1. A é itado superiormente se existe L R tal que x L, para todo x A. Neste caso, L será chamado de itante superior (ou cota superior) de A.. A é itado inferiormente se existe l tal que x l, para todo x A. Neste caso, l será chamado itante inferior (ou cota inferior) de A. Segundo a definição acima, podemos notar que A R será itado se, e somente se, A for itado superiormente e inferiormente. Exemplo (a) Considere A = [0, 1). Então e 0 são itantes inferiores de A; e 1, π e 101 são itantes superiores de A. (b) N não é itado mas é itado inferiormente por 0, pois 0 x, para todo x N. (c) B = {x Q: x } não é itado, mas é itado superiormente por L, onde L. Definição Seja A R um conjunto itado superiormente (resp. itado inferiormente) com A. (i) Se L R for uma cota superior (resp. cota inferior) de A e para toda cota superior (resp. cota inferior) L 1 de A, tivermos L L 1 (resp. L 1 L), então L será chamado supremo (resp. ínfimo) de A. Neste caso, escreveremos L = sup A (resp. L = inf A).

20 18 O corpo dos números reais (ii) Se L = sup A A (resp. L = inf A A), então L será máximo (resp. mínimo) de A. Neste caso, escreveremos L = max A (resp. L = min A )). As seguintes proposições nos dão caracterizações úteis para o supremo e o ínfimo de um subconjunto de R. Proposição Seja A R itado superiormente com A. Então L = sup A se, e somente se, valerem as seguintes propriedades: (a) L é cota superior de A. (b) Para todo ɛ > 0, existe a A tal que a > L ɛ. Analogamente temos Proposição Seja A R itado inferiormente com A. Então L = inf A se, e somente se, valem as seguintes propriedades: (a) L é cota inferior de A. (b) Para todo ɛ > 0, existe a A tal que a < L + ɛ. Exemplo (a) Considere A = (0, 1], então inf A = 0 e max A = 1. (b) Considere B = N, então min N = 0. (c) Considere C = {x Q: x }, então sup C = e inf C = (note que, / C). O seguinte resultado é de fundamental importância para a teoria de funções de uma variável real e é obtido na construção do conjunto dos números reais. Vamos enunciá-lo aqui sem demonstração. Axioma (Axioma do Supremo). Considere A R com A. Se A for itado superiormente, então existirá L = sup A.

21 1.4 Limitação de subconjuntos de R 19 Proposição Se A R for itado inferiormente (superiormente), então o conjunto A = { x: x A} será itado superiormente (inferiormente) e inf A = sup( A)(resp. sup A = inf( A)). Corolário Considere A R com A. Se A for itado inferiormente, então existirá L = inf A. Corolário Considere A R com A. Se A for itado, então A admite ínfimo e supremo Propriedade Arquimediana de R Teorema (Propriedade Arquimediana de R). Se x 0, então o conjunto A = {nx: n N} é iitado. Demonstração: Consideremos primeiramente que x > 0. Suponhamos, por absurdo, que A seja itado. Então existirá L = sup A pois A. Logo, dado m N, existirá x R tal que L x < mx (veja a Proposição 1.4.7). Portanto L < (m + 1)x o que contradiz a suposição. O caso x < 0 segue de modo análogo. Corolário A Propriedade Arquimediana tem as seguintes consequências: (i) O conjunto dos números naturais não é itado superiormente. (ii) Para todo ɛ > 0, existe n N tal que (iii) Se A = { } 1 n : n N, então inf A = 0. 1 n < ɛ Topologia de R Definição Uma vizinhança de a R é qualquer intervalo aberto da reta contendo a.

22 0 O corpo dos números reais Exemplo O conjunto V δ (a) := (a δ, a + δ), onde δ > 0, é uma vizinhança de a R. Definição Sejam A R e b R. Se para toda vizinhança V δ (b) de b existir a V δ (b) A, com a b, então b será dito ponto de acumulação de A. Exemplo (a) Seja A = (a, b). Então o conjunto dos pontos de acumulação de A é [a, b]. (b) Seja B = Z. Então B não tem pontos de acumulação. (c) Qualquer subconjunto finito de R não admite pontos de acumulação. Exercício: Mostre que se um conjunto A R tiver um ponto de acumulação, então A será um conjunto com infinitos elementos. Definição Seja B R. Um ponto b B será dito um ponto isolado de B se existir δ > 0 tal que V δ (b) não contém pontos de B distintos de b. Exemplo (a) Seja B = { 1 n : n N }. Então o conjunto dos pontos de acumulação de B é {0} e o conjunto dos pontos isolados de B é o próprio conjunto B. (b) O conjunto Z possui apenas pontos isolados. Observação: Podem haver conjuntos infinitos que não possuem pontos de acumulação (por exemplo Z). No entanto, todo conjunto infinito e itado possui pelo menos um ponto de acumulação. Pela Propriedade Arquimediana de R, podemos provar a proposição seguinte. Proposição Qualquer intervalo aberto não-vazio contém um número racional. Daí, segue que Corolário Qualquer intervalo aberto não-vazio contém um número infinito de números racionais. Proposição O conjunto dos pontos de acumulação de Q é R.

23 1.4 Limitação de subconjuntos de R 1 Exercícios: (a) Mostre que se r for um número racional não nulo, então r será um número irracional. (b) Mostre que todo intervalo aberto contém um número irracional. (c) Mostre que todo intervalo aberto contém um número infinito de números irracionais. (d) Mostre que qualquer número real é ponto de acumulação do conjunto dos números irracionais.

24 O corpo dos números reais

25 Capítulo Funções.1 Noções gerais O objeto fundamental do cálculo são as funções, que aparecem quando uma quantidade depende de outra. Por exemplo: a área A de um círculo depende de seu raio r e a lei que relaciona r com A é dada por A = πr. Neste caso dizemos que A é uma função de r. Outros exemplos são: a população P de uma determinada espécie que depende do tempo t, o custo C de envio de um pacote pelo correio que depende de seu peso w. Definição.1.1. Dados dois conjuntos A, B, uma função f de A em B (escrevemos f : A B) é uma lei ou regra que a cada x A, associa um único elemento f(x) B. A é chamado domínio de f e B é chamado contra-domínio de f, o conjunto Im(f) = {y B ; y = f(x), x A}. é chamado imagem de f. Notações alternativas. Seja f : A B uma função. Podemos denotar D f = D(f) = A para o domínio de f; f(d f ) := Im(f) para a imagem de f.

26 4 Funções Também podemos descrever a ação de f ponto a ponto como x A f(x) B. Convenção: Se o domínio de uma função não é dado explicitamente, então, por convenção, adotamos como domínio o conjunto de todos os números reais x para os quais f(x) é um número real. Definição.1.. Sejam f : A B uma função e A, B R. O conjunto G(f) = G f = {(x, f(x)): x A} A B é chamado gráfico de f. Decorre da definição acima que G(f) é o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) R R, quando x percorre o domínio D f. Observe que, por exemplo, uma circunferência não representa o gráfico de uma função. Exemplo.1.3. Considere uma função f : R R. (a) Se f(x) = k, para todo x R e para algum k R fixado, dizemos que f é uma função constante. Em particular, se k = 0, dizemos que f é a função nula. (b) Se f(x) = x, para todo x R, dizemos que f é a função identidade. (c) Se f(x) = ax, para todo x R e algum a R fixado, dizemos que f é uma função linear. (d) Se f(x) = ax + b, para todo x R e a, b R fixados, dizemos que f é uma função afim. n (e) Se f(x) = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n = a i x i, para todo x R e constantes a 0, a 1,, a n R fixados, dizemos que f é uma função polinomial. Em particular (i) se n =, f(x) = ax + bx + c é uma função quadrática, (ii) se n = 3, f(x) = ax 3 + bx + cx + d é uma função cúbica; (f) Se f(x) = x a, para todo x R e a R fixado, dizemos que f é uma função potência. Em particular, se a = 1, f(x) = n x1/n = n x, onde n é um inteiro positivo, dizemos que f é uma função raiz. Temos que D f = [0, + ) se n é par e D f = R se n é ímpar. i=0

27 .1 Noções gerais 5 (g) Se f(x) = p(x), para todo x R e a, b R fixados, dizemos que f é uma função q(x) racional. Note que D f = {x R ; q(x) 0}; (h) Se f é construída usando operações algébricas começando com polinômios, dizemos que f é uma função algébrica. Por exemplo, f(x) = x + 1, com D f = R e g(x) = (x 4) x 4 + x 3 x + 1, com Dg = (0, + ). Definição.1.4. Sejam f : A B e D A. Denotamos por f D a restrição de f ao subconjunto D de A. Isto é, f D : D B é dada por f D (x) = f(x), para todo x D. Observação: Seja D R. Denotaremos por I D : D D a função identidade definida por I D (x) = x, para todo x D. Exemplo.1.5. Função definida por partes: definida de forma diversa em diferentes partes de seu domínio; por exemplo, { { 1 x se x 1, x se x 0, (a) f(x) = (b) g(x) = x = x se x > 1; x se x < 0. Exemplo.1.6. Esboce o gráfico de f(x) = x Solução: Primeiro einamos o módulo. Assim, f(x) = { x + se x 1, 4 x se x < 1. Exemplo.1.7. Um fabricante de refrigerante quer produzir latas cilíndricas para seu produto. A lata dever ter um volume de 360 ml. Expresse a área superficial total da lata em função do seu raio e dê o domínio da função. Solução: Sejam r o raio da lata e h a altura. A área superficial total (topo, fundo e área lateral) é dada por S = πr + πrh. Sabemos que o volume V = πr h deve ser de 360 ml, temos πr h = 360, ou seja h = 360/πr. Portanto, S(r) = πr + πr360/πr = πr + 70/r. Como r só pode assumir valores positivos, D S = (0, + ).

28 6 Funções Fórmulas de translação: f(x) + k translada o gráfico de f, k unidades para cima se k > 0 e k unidades para baixo se k < 0, f(x + k) translada o gráfico de f, k unidades para a esquerda se k > 0 e k unidades para a direita se k < 0. Exemplo.1.8. Esboce os gráficos de f(x) = x 1, g(x) = x + 1, h(x) = (x 1) e k(x) = (x + 1). Exemplo.1.9. Esboce o gráfico de f(x) = x + 6x Solução: Completando o quadrado, escrevemos f(x) = (x + 3) + 1. Logo, o gráfico é a parábola y = x deslocada 3 unidades para esquerda e então uma unidade para cima.. Operações com funções Definição..1. Dadas funções f : D f R e g : D g R e dado x D f D g, podemos definir algumas operações com funções: soma: (f + g)(x) = f(x) + g(x); produto: (fg)(x) = f(x)g(x); ( ) f quociente: (x) = f(x), se g(x) 0. g g(x) Exemplo... Se f(x) = 7 x e g(x) = x, então D f = (, 7], D g = [, + ) e D f D g = [, 7]. Temos que, (a) (f + g)(x) = 7 x + x x 7, (b) (fg)(x) = 7 x x = (7 x)(x ) x 7, (c) ( f g ) (x) = 7 x 7 x = x x < x 7. Definição..3. Dadas funções f : D f R e g : D g R, com Imf D g, definimos a função composta h : D f R

29 . Operações com funções 7 por h(x) = g(f(x)), para todo x D f. Neste caso, escrevemos h = g f. Exemplo..4. Se f(x) = x + 1 e g(x) = x + 3x, então (a) g f(x) = g(x + 1) = (x + 1) + 3(x + 1) = 4x + 10x + 4, (b) f g(x) = f(x + 3x) = (x + 3x) + 1 = x + 6x + 1. Observação: Em geral, f g g f. Exemplo..5. Encontre f g h se f(x) = x x + 1, g(x) = x10 e h(x) = x + 3. f g h(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3) 10 ) = (x + 3)10 (x + 3) Exercício: Sejam f(x) = x e g(x) = x. Determine o domínio das funções: (a) f g(x) (D f g = (, ]) (b) g f(x), (D g f = [0, 4]) (c) f f(x), (D f f = [0, + )) (d) g g(x), (D g g = [, ])..1 Funções pares e ímpares No que segue, consideraremos f : D f R uma função. Definição..6. Diremos que (i) f é par se, e somente se, f( x) = f(x), para todo x D f ; (ii) f é ímpar se, e somente se, f( x) = f(x), para todo x D f. Observação: O significado geométrico de uma função par é que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y e de uma função ímpar é que seu gráfico é simétrico em relação à origem. Exemplo..7. f(x) = x é par; a função identidade I(x) = x é ímpar; f(x) = x x não é nem par nem ímpar. Exercício: Determine se a função é par, ímpar ou nenhum desses dois. (a) f(x) = x 5 + x, (b) f(x) = 1 x 4, (c) f(x) = 3x 3 + x + 1.

30 8 Funções.. Funções periódicas Definição..8. Seja ω 0. Então f será dita periódica de período ω (ou simplesmente ω-periódica) se, e somente se, tivermos f(x) = f(x + ω), para todo x D f. Em particular, se existir um menor ω 0 positivo tal que f seja ω 0 -periódica, então diremos que ω 0 será o período mínimo de f. Proposição..9. Sejam ω 0 e c 0. Se f : R R é ω-periódica, então são válidas as afirmações: (a) f é nω-periódica para todo inteiro nã- nulo n. (b) g : R R definida por g(x) = f(cx) é ω-periódica. c Exemplo..10. (a) f(x) = x [x], onde [x] = max{n Z : n x} é a função maior inteiro, é 1-periódica e o período mínimo de f é 1. Note que [x + 1] = [x] + 1. { 1, se x Q (b) f(x) = é r-periódica para cada r Q\{0}. Então f não tem 0, se x R\Q período mínimo...3 Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras Definição..11. Diremos que f : D f B (i) f é sobrejetora se, e somente se, Im(f) = B. (ii) f é injetora se, e somente se, f(x 1 ) = f(x ) = x 1 = x, para quaisquer x 1, x D f. (iii) f é bijetora se, e somente se, f for injetora e sobrejetora. Observação: Note que f será injetora se, e somente se, x 1 x = f(x 1 ) f(x ), para quaisquer x 1, x D f.

31 . Operações com funções 9 Exemplo..1. A função módulo f(x) = x não é injetora pois, por exemplo, 1 = 1 e 1 1. f não é sobrejetora pois Im(f) = R + R. Agora, considerando f R + : R + R + a função será bijetora. Observação: Se tomamos B = Im(f) então f sempre será sobrejetora...4 Funções invertíveis Definição..13. Uma função f : A B será dita invertível, se existir g : B A (denotada por f 1 ) tal que g f = I A e f g = I B. Proposição..14. Uma função f : A B será invertível se, e somente se, f for bijetora. Neste caso, a função inversa está definida por f 1 (y) = x f(x) = y, para todo y B. Exemplo..15. A função f(x) = x 3 é injetora e a sua inversa é f 1 (x) = x 1/3. Observação: f 1 (x) não significa Para achar a função inversa: 1 f(x) = [f(x)] Escreva y = f(x).. Resolva essa equação para x em termos de y. 3. Troque x por y para expressar f 1 como função de x. Exemplo..16. Calcule f 1 para a função f(x) = 1 + 3x,. Solução: Escrevemos y = 1 + 3x e resolvemos para x; isto é, x = y 1 3. Substituindo y por x, obtemos f 1 (x) = x 1. 3 Exercício: Determine a função inversa de: (a) f(x) = x (b) f(x) = x 3 +

32 30 Funções Observação: Note que G(f 1 ) = { (y, f 1 (y)) : y B } = {(f(x), x) : x A}. Com isto, fica fácil verificar que G(f 1 ) é a reflexão de G(f) em torno da reta y = x. Exercício: Esboce os gráficos de f(x) = x 1 e de sua função inversa...5 Funções itadas Definição..17. Diremos que f é itada se, e somente se, o conjunto Im(f) for itado. Caso contrário, a função f será dita iitada. Se A 1 A, então f será itada em A 1 se, e somente se, a restrição f A1 for itada. Observação: Segue da Definição..17 que se existir L > 0 tal que f(x) L, para todo x D f, ou, equivalentemente, se existirem L, l R tais que l f(x) L, para todo x D f, então f será itada. Exemplo..18. (a) f(x) = x x é itada; (b) f(x) = x4 x é itada; (c) f(x) = 1 x é iitada. Definição..19. Definimos o supremo de f por sup(f) = sup{f(x) : x D f }. Analogamente, definimos o ínfimo de f por inf(f) = inf{f(x) : x D f }. Ainda se sup(f) = f(x 0 ) para algum x 0 D f, então diremos que f(x 0 ) é o máximo de f ou o valor máximo de f. O ponto x 0 será chamado ponto de máximo de f;

33 .3 Funções trigonométricas 31 se inf(f) = f(x 0 ) para algum x 0 D f, então diremos que f(x 0 ) é o mínimo de f ou o valor mínimo de f. O ponto x 0 será chamado ponto de mínimo de f. Exemplo..0. Se f(x) = x então sup(f) = 1 e inf(f) = 1. Além disso, 1 é o x máximo de f e todo ponto x > 0 é ponto de máximo de f. Também, 1 é mínimo de f e todo x < 0 é ponto de mínimo...6 Funções monótonas Definição..1. Seja f : A B uma função real. Dizemos que f é (a) estritamente crescente se valer a implicação x < y = f(x) < f(y). (b) crescente se valer a implicação x < y = f(x) f(y). (c) estritamente decrescente se valer a implicação x < y = f(x) > f(y). (d) decrescente se valer a implicação x < y = f(x) f(y). Definição... Se f : A B satisfizer uma das condições da Definição..1, diremos que f é uma função monótona ou monotônica. Exemplo..3. f(x) = x é estritamente crescente para x > 0 e estritamente decrescente para x < 0. Exemplo..4. f(x) = x + 1 x é estritamente decrescente. Solução: Observe que se x < y então f(x) = x > y = f(y)..3 Funções trigonométricas Sabemos que em um triângulo retângulo de hipotenusa a e ângulos agudos B e Ĉ opostos, respectivamente, aos catetos b e c, temos a Ĉ B c b cos B = c a, cos Ĉ = b a, sen B = b a, sen Ĉ = c a.

34 3 Funções Estas relações definem o seno e cosseno de um ângulo agudo, pois todo ângulo agudo é um dos ângulos de um triângulo retângulo. Note que sen B e cos B dependem apenas do ângulo B e não do tamanho do triângulo. Segue do Teorema de Pitágoras que a = b + c = a sen B + a cos B = a (sen B + cos B). Logo 1 = sen B + cos B. (.3.1) É claro que o seno e o cosseno de um ângulo agudo são números compreendidos entre 0 e 1. A relação (.3.1) sugere que para todo ângulo α, os números cos α e sen α são as coordenadas de um ponto da circunferência de raio 1 e centro na origem de R. Usaremos isto para estender as funções cosseno e seno para ângulos fora do intervalo (0, π/). Observação: Sempre que falarmos das funções seno e cosseno os ângulos serão sempre medidos em radianos. Temos que πrad = 180 o. Se considerarmos a circunferência unitária centrada na origem do R e marcarmos, a partir do eixo x, um ângulo t, então poderemos definir sen t e cos t de forma que as coordenadas do ponto P sejam (cos t, sen t). P = (cos t, sen t) Q = (cos α, sen α) t α 1 1 Assim, sen t e cos t coincidem com a definição original se 0 < t < π/ e podem ser estendidas para qualquer t R, se marcarmos ângulos positivos no sentido anti-horário e ângulos negativos no sentido horário. Proposição.3.1 (Propriedades). (a) O seno é positivo no primeiro e segundo quadrantes e negativo no terceiro e quarto quadrantes. (b) O cosseno é positivo no primeiro e quarto quadrantes e negativo no segundo e terceiro quadrantes.

35 .3 Funções trigonométricas 33 (c) O seno e cosseno são funções π-periódicas com imagem no intervalo [ 1, 1]. (d) O cosseno é uma função par e o seno é uma função ímpar. ( π ) ( π ) (e) sen t = cos t e cos t = sen t. ( π ) (f) sen t = cos + t ( π ) e cos t = sen + t. (g) sen t = sen(π t) e cos t = cos(π t). (h) sen t = sen(π + t) e cos t = cos(π + t). ( π ) ( π ) (i) sen(0) = cos = 0 e cos(0) = sen = 1. Proposição.3. (Fórmulas de adição). (a) cos(α + β) = cos(α) cos(β) sen(α)sen(β). (b) sen(α + β) = sen(α) cos(β) + sen(β) cos(α). Trocando β por β e utilizando a paridade das funções temos (c) cos(α β) = cos(α) cos(β) + sen(α)sen(β). (d) sen(α β) = sen(α) cos(β) sen(β) cos(α). A partir das fórmulas de adição deduzimos Proposição.3.3 (Arco duplo). (a) cos(α) = cos (α) sen (α). (b) sen(α) = sen(α) cos(α). A partir das fórmulas do arco duplo e da identidade cos α + sen α = 1 deduzimos Proposição.3.4 (Arco metade). 1 + cos(α) (a) cos(α) = ±. 1 cos(α) (b) sen(α) = ±. A partir das fórmulas de adição obtemos

36 34 Funções Proposição.3.5 (Transformação de produto em soma). (a) cos(α) cos(β) = 1 cos(α + β) + 1 cos(α β), (somando (a) e (c) da Proposição.3.). (b) sen(α)sen(β) = 1 cos(α + β) 1 cos(α β), (subtraindo (a) e (c) da Proposição.3.). (c) sen(α) cos(β) = 1 sen(α + β) 1 sen(α β) (subtraindo (b) e (d) da Proposição.3.). Proposição.3.6 (Transformação de soma em produto). ( α + β (a) sen (α) + sen (β) = sen ( α + β (b) cos(α) + cos(β) = cos ) cos ) cos ( α β ( α β ). ). Demonstração: (a) Escreva α = α + β da Proposição α β e β = α + β α β e utilize (b) e (d) (b) Escreva α e β como na parte (a) e utilize (a) e (c) da Proposição.3.. De maneira análoga temos Proposição.3.7 (Transformação de Subtração em Produto). ( α β (a) sen (α) sen (β) = sen ( α + β (b) cos(α) cos(β) = sen Definição.3.8. Definimos ) cos ) sen ( α + β ( α β tg(α) = sen(α), D(tg) = {α : cos α 0} cos(α) ). ). cotg(α) = cos(α), D(cotg) = {α : senα 0} sen(α) cosec(α) = 1, D(cosec) = {α : senα 0} sen(α) sec(α) = 1, D(sec) = {α : cos α 0} cos(α) Exercícios:

37 .4 Funções exponenciais e logarítmicas Dê um significado geométrico para tg(α), cotg(α), sec(α) e cosec(α).. Esboce os gráficos das funções tg, cotg, sec e cosec. 3. Classifique as funções trigonométricas em par, ímpar, periódica, itada..4 Funções exponenciais e logarítmicas Definição.4.1. Seja a > 0, a 1. A função f(x) = a x é chamada função exponencial de base a. Vejamos o que isso significa. Se x = n, um inteiro positivo, então a n = a } a {{ a}. n vezes Se x = 0, então a 0 = 1. Se x = n, onde n é um inteiro positivo, então a n = 1 a n. Se x = p q, onde p e q são inteiros e q > 0, então ap/q = q a p = ( q a) p. Se x for um número irracional. Considere o caso a > 1, então a x é o único número real cujas aproximações por falta são as potências a r, com r racional menor do que x e cujas aproximações por excesso são as potências a s, com s racional maior do que x. Em outras palavras, a x satisfaz a seguinte propriedade: r < x < s, com r, s Q = a r < a x < a s. Se a < 1, a x satisfaz: r < x < s, com r, s Q = a s < a x < a r. Desta forma, se olhamos o gráfico da função a x onde x racional, os buracos correspondentes aos valores irracionais de x, foram preenchidos de forma a obter uma função crescente para todos os números reais. Proposição.4. (Propriedades). Sejam a e b números positivos e x e y números reais quaisquer, então (a) a x+y = a x a y,

38 36 Funções (b) (a x ) y = a xy, (c) (ab) x = a x b x, (d) Se a > 1 a função exponencial é estritamente crescente, ou seja, se x < y então a x < a y. (e) Se 0 < a < 1 a função exponencial é estritamente decrescente, ou seja, se x < y então a x > a y. ( 1 ) x. Exercício: Esboce o gráfico da funções exponenciais f(x) = x e f(x) = Como a função exponencial é ou crescente ou decrescente (para a > 0 e a 1), existe a função inversa. Definição.4.3. A função inversa da função exponencial é chamada função logarítmica com base a e denotada por log a. Assim, log a x = y a y = x. Observação: Note que log a x está definido para x > 0, a > 0 e a 1. Além disso satisfaz log a (a x ) = x, x R e a log a x = x, x > 0. Proposição.4.4 (Propriedades). Sejam a > 0, a 1, b > 0, b 1. Então são válidas as seguintes propriedades (a) log a xy = log a x + log a y, (b) log a x y = y log a x, (c) log a x y = log a x log a y, (d) Se a > 1 a função logarítmica é estritamente crescente, ou seja, se x < y, então log a x < log a y, (e) Se 0 < a < 1 a função logarítmica é estritamente decrescente, ou seja, se x < y, então log a x > log a y, (f) (Mudança de base) log a x = log b x log b a.

39 .5 Funções hiperbólicas 37 Exercício: Esboce o gráfico da funções logarítmicas f(x) = log x e f(x) = log 1 x. A função exponencial de base e onde e, 71881, f(x) = e x, desempenha um papel importante no cálculo. Definição.4.5. A função logarítmica com base e é chamada logaritmo natural e denotada por log e x = ln x. Observe que como ln(e x ) = x, tomando x = 1 temos que ln e = 1. Há varias formas de introduzir o número e. No capítulo seguinte o definiremos como um ite. Mais adiante vamos definir o logaritmo natural utilizando integrais, nesse caso, o número e será o único número satisfazendo ln e = 1..5 Funções hiperbólicas Utilizando a função exponencial de base e, podemos definir as funções hiperbólicas, dadas por senh (x) = ex e x e cosh(x) = ex + e x. Note que, ao contrário das funções trigonométricas, senh (x) e cosh(x) são funções iitadas. Ainda, é simples ver que cosh(x) 0, para todo x R. Exercício: Defina, analogamente ao caso trigonométrico, as funções tgh(x), sech(x), cossech(x) e cotgh(x). Exercício: Mostre que senh (x) = 0 se, e somente se, x = 0.

40 38 Funções

41 Capítulo 3 Sequências Neste capítulo, consideraremos um caso particular de funções que são as sequências. 3.1 Definições gerais Definição Uma sequência é uma função definida no conjunto dos números naturais e com valores reais, ou seja, f : N R. Note que cada número natural é levado em um único número real N f R 1 f(1) f() 3 f(3).. Se denotamos f(n) por x n, então a sequência f estará unicamente determinada pela lista de números {x 1, x, x 3,...} ou, abreviadamente, por {x n }. Desta forma, adotaremos a notação {x n } ou {x 1, x, x 3,...} para representar uma sequência. O número x n é chamado elemento da sequência e o conjunto imagem de f, Im(f), é chamado conjunto dos valores da sequência. Como uma sequência é um caso particular de uma função, estão definidas as operações de soma, multiplicação por escalar, produto e quociente de sequências, de maneira natural.

42 40 Sequências Exercício: Escreva as definições de soma, multiplicação por escalar, produto e quociente de sequências. Exemplo Temos (a) f : N R dada por f(n) = n ou {n} ou {0, 1,, 3,...} é uma sequência cujo conjunto dos valores é N. (b) f : N R dada por f(n) = 1 { } 1 n + 1 ou ou {1, 1 n + 1, 13, 14 },... é uma sequência cujo conjunto dos valores é {1, 1, 13, 14 },.... (c) f : N R dada por f(n) = ( 1) n ou {( 1) n } ou {1, 1, 1, 1,...} é uma sequência cujo conjunto dos valores é {1, 1}. (d) f : N R dada por f(n) = n { } n n + 1 ou ou {0, 1 n + 1, 3, 34 },... é uma sequência cujo conjunto dos valores é {0, 1, 3, 34 },.... (e) f : N R dada por f(n) = r n ou {r n } ou {1, r, r, r 3,...} é uma sequência chamada de progressão geométrica. (f) f : N R dada por f(n) = a + nr, ou {a + nr} ou {a, a + r, a + r, a + 3r,...} é uma sequência chamada de progressão aritmética Soma de uma progressão geométrica Um resultado importante sobre progressões geométricas é saber calcular a soma de seus termos. Considere uma progressão geométrica {1, r, r, }, onde r R com r 1. Considere também a sequência de somas parciais dada por s n = n r n = 1 + r + r + + r n. k=0 Agora, multiplicando a expressão acima por r temos rs n = r + r + + r n+1. Subtraindo estas expressões obtemos (1 r)s n = 1 r n+1, para cada n 0. Como

43 3. Limite de uma sequência 41 r 1, podemos escrever: s n = 1 rn+1 1 r. A seguir, será demonstrado que tal sequência é convergente se r < 1 e divergente se r 1, e quando r < 1 temos s 1 r n+1 n = n n 1 r = 1 1 r. Denotamos tal relação por n=0 r n = 1 1 r. 3. Limite de uma sequência Note que a sequência {0, 1, 3, 34,... } tem a propriedade de que quanto maior for a variável n, mais próximo o valor { da } sequência n n em n,, fica de 1. Neste caso, diremos que o ite da sequência é 1 e a n + 1 n + 1 sequência é dita convergente com ite 1. É preciso dar uma definição mais precisa da noção de ite de uma sequência. Definição Uma sequência {x n } será dita convergente com ite l se, dado ε > 0, existir um natural N = N(ε) tal que Neste caso, escreveremos x n l < ε, n N. x n n = l ou x n l n e leremos o ite de x n quando n tende para infinito é l". { } 1 Exemplo 3... Mostre que a sequência é convergente com ite 0. n Solução: Dado ε > 0, pegue um natural N que seja maior do que 1/ε. Todo elemento da sequêencia, a partir do N-ésimo, terá distância menor que ε de 0. E, como isto pode ser feito para qualquer ε positivo, a sequência converge para zero.

44 4 Sequências Exemplo Mostre que, para quaisquer constantes k 1 e k positivas, a sequência { } n + k1 é convergente com ite 1. n + k Solução: Para encontrarmos N, tentaremos resolver a inequação 1 ε < n + k 1 n + k < 1 + ε que diz que o n-ésimo elemento está próximo de 1 por uma distância menor do que ε. Temos (1 ε)(n + k ) < n + k 1 < (1 + ε)(n + k ) n(1 ε) + k (1 ε) < n + k 1 < n(1 + ε) + k (1 + ε) isto é, n( ε) + k (1 ε) < k 1 < nε + k (1 + ε). (3..1) Desenvolvendo a parte esquerda de (3..1), obtemos ou seja, n( ε) < k 1 k (1 ε), Desenvolvendo a parte direita de (3..1), obtemos e, portanto, n > k 1 k (1 ε). (3..) ε nε > k 1 k (1 + ε) n > k 1 k (1 + ε). (3..3) ε Estes resultados ((3..) e (3..3)) indicam que podemos satisfazer a definição de convergência pegando um N natural que seja maior que ambos k 1 k (1 ε) e k 1 k (1 + ε). ε ε Exercício: Seja {x n } uma sequência convergente com ite l. Mostre que a sequência {cos x n } será convergente com ite cos l. único. O próximo resultado diz que, se uma sequência for convergente, então o ite será Proposição Seja {x n } uma sequência convergente. Se n x n = l 1 e n x n = l,

45 3.3 Subsequências 43 então l 1 = l. Exercício: Mostre que a sequência { n sen 1 } é convergente com ite 1. n Definição Uma sequência será dita divergente, se ela não for convergente. 3.3 Subsequências Definição Se h : N N for uma função estritamente crescente e f : N R for uma sequência, então a função f h : N R será dita uma subsequência de f. Exemplo (a) Sejam h(n) = n e {x n } uma sequência. Então {x n } é uma subsequência de {x n } chamada subsequência dos pares. (b) Seja h(n) = n + 1 e {x n } uma sequência. Então {x n+1 } é uma subsequência de {x n } chamada subsequência dos ímpares. (c) Seja h(n) = n + p, p N, e {x n } uma sequência. Então {x n+p } é uma subsequência de {x n }. (d) A subsequência dos pares (ímpares) da sequência {( 1) n } é a sequência constante {1} (resp. { 1}). Proposição Se {x n } for uma sequência convergente com ite l, então toda subsequência de {x n } será convergente com ite l. A Proposição é importante pois implica no seguinte critério negativo de convergência que é bastante utilizado. Proposição Se uma sequência possuir duas subsequências convergentes com ites distintos, então a sequência será divergente. Exemplo A sequência {( 1) n } é divergente. Definição Uma sequência será dita itada se o seu conjunto de valores for itado. Caso contrário, a sequência será dita iitada. Observação: Note que a Definição é coerente com a definição de função itada dada anteriormente (Definição..17).

46 44 Sequências Exemplo (a) A sequência { } n é itada. n + 1 (b) A sequência {( 1) n } é itada. { (c) A sequência cos 1 } é itada. n (d) A sequência {n} é iitada. Proposição Toda sequência convergente é itada. Observação: Note que, apesar de toda sequência convergente ser itada, nem toda sequência itada é convergente (por exemplo, {( 1) n } é itada, mas não é convergente). Exercício (Teorema de Bolzano-Weierstrass): Toda sequência itada em R possui uma subsequência convergente. Dica: Utilize o Exercício 4 da Lista 1 - O corpo dos reais. Proposição Seja {x n } uma sequência. Então {x n } será convergente com ite 0 se, e somente se, { x n } for convergente com ite 0. Observação: Mostraremos mais tarde que se {x n } é convergente com ite l então { x n } é convergente com ite l mas não é verdade que se { x n } é convergente então {x n } é convergente (basta ver o que ocorre com a sequência {( 1)} n ). Exemplo Considere a sequência {r n }. Temos (a) {r n } é convergente com ite 0, se r < 1; (b) {r n } é convergente com ite 1, se r = 1; (c) {r n } é divergente, se r = 1 ou r > 1. (Sugestão: Mostre que se r > 1, então { r n } será iitada) Proposição Se {x n } for convergente com ite 0 e {y n } for itada, então {x n y n } será convergente com ite 0. { } 1 Exemplo A sequência n cos n é convergente com ite 0. Proposição Toda sequência {x n } crescente (respectivamente decrescente) e itada é convergente com ite sup{x n } (resp. inf{x n }).

47 3.3 Subsequências 45 Exercício: Mostre que a sequência {x n } dada por x 1 =, x n = + x n 1, n, é convergente e encontre o seu ite. Proposição (Propriedades). Sejam {x n } e {y n } sequências convergentes com ites l 1 e l respectivamente, e seja c R. Então (a) {cx n + y n } é convergente com ite cl 1 + l (b) {x n y n } é convergente com ite l 1 l (c) {x n /y n } é convergente com ite l 1 /l, sempre que l 0. Proposição Sejam B R e b R um ponto de acumulação de B. Então existe uma sequência {b n } com b n B, b n b e n b n = b. Proposição Se {x n } for uma sequência convergente e x n 0, para todo n N, então n x n 0. Demonstração: Suponha que n x n = l. Então dado ε > 0, existe N N tal que l ε < x n < l + ε, n N. Mas x n 0 por hipótese. Portanto l ε < x n 0, n N, ou seja, l < ε. Segue da arbitrariedade de ε que l 0 e a prova está concluída. Corolário (Teste da comparação). Se {x n } e {y n } forem sequências convergentes e x n y n para todo n N, então x n y n. n n Proposição (Teorema do Confronto). Sejam {x n } e {y n } duas sequências convergentes com mesmo ite l. Se {z n } é um sequência tal que x n z n y n, n N, então {z n } é convergente com ite l. Demonstração: Dado ε > 0, seja N N tal que l ε x n z n y n l + ε, n N.

48 46 Sequências Então vale z n l < ε para todo n N e, portanto, n z n = l. Vamos considerar três tipos de sequências divergentes: aquelas que divergem para +, aquelas que divergem para, aquelas que oscilam. Vejamos. Definição Diremos que uma sequência {x n } diverge para + se, dado R > 0, existir N N tal que x n > R, para todo n N. Neste caso, escrevemos n x n = +. Diremos que uma sequência {x n } diverge para se, dado R > 0 existir N N tal que x n < R, para todo n N. Neste caso, escrevemos n x n =. Diremos que uma sequência {x n } oscila, se ela não for convergente e não divergir para + ou para. Exemplo (a) { n } diverge para +, ou seja, n n = +. (b) { n} diverge para, ou seja, n n = (c) {1 + sen n} e {( ) n } oscilam. 3.4 Sequências de Cauchy Definição Uma sequência {x n } em R é dita uma sequência de Cauchy se dado ε > 0, existe um natural N = N(ε) tal que x n x m < ε, para todos n, m N. Exemplo Toda sequência convergente é de Cauchy. Vamos agora trabalhar um pouco para mostrar que o contrário do exemplo acima também é verdade em R; isto é, toda sequência de Cauchy em R é convergente. Para isto, precisaremos do seguinte resultado:

Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil. 13 de Março de 2014

Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil. 13 de Março de 2014 Funções - Aula 07 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 13 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica Funções Inversas Definição

Leia mais

Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil. 11 de Março de 2014

Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil. 11 de Março de 2014 Funções - Aula 06 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 11 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica O principal objetivo do

Leia mais

Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c

Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c Números Reais Víctor Arturo Martínez León (victor.leon@unila.edu.br) 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais

Leia mais

Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil Seqüências Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 12 de Abril de 2013 Primeiro Semestre de 2013 Turma 2013104 - Engenharia de Computação Seqüências Consideraremos

Leia mais

MTM Cálculo 1. Notas de aula

MTM Cálculo 1. Notas de aula Departamento de Matemática - MTM Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC MTM30 - Cálculo Notas de aula Florianópolis - SC 207.2 2 Sumário O corpo dos números reais 7. O corpo dos números racionais.......................

Leia mais

Matemática I. 1 Propriedades dos números reais

Matemática I. 1 Propriedades dos números reais Matemática I 1 Propriedades dos números reais O conjunto R dos números reais satisfaz algumas propriedades fundamentais: dados quaisquer x, y R, estão definidos a soma x + y e produto xy e tem-se 1 x +

Leia mais

Ana Carolina Boero. Página: Sala Bloco A - Campus Santo André

Ana Carolina Boero.   Página:  Sala Bloco A - Campus Santo André Funções de uma variável real a valores reais E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Funções de uma variável real a valores

Leia mais

Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12

Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12 Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 27 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 -

Leia mais

Capítulo 1. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas.

Capítulo 1. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas. Capítulo 1 Funções Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento em A associa um único elemento em B. A notação usual para uma função f

Leia mais

Capítulo 1. Funções e grácos

Capítulo 1. Funções e grácos Capítulo 1 Funções e grácos Denição 1. Sejam X e Y dois subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Uma função de X em Y ou simplesmente uma função é uma regra, lei ou convenção que associa

Leia mais

Capítulo 2. f : A B. 3. A regra em (3) não define uma função de A em B porque 4 A está associado a mais de um. elemento de B.

Capítulo 2. f : A B. 3. A regra em (3) não define uma função de A em B porque 4 A está associado a mais de um. elemento de B. Departamento de Matemática Disciplina MAT154 - Cálculo 1 Capítulo 2 Funções 2.1 Definição Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento

Leia mais

Capítulo 2. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas.

Capítulo 2. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas. Capítulo 2 Funções Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento em A associa um único elemento em B. A notação usual para uma função f

Leia mais

CÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g

CÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Operações com funções. Funções Polinominais, Racionais e Trigonométricas Objetivos da Aula Denir operações com funções; Apresentar algumas

Leia mais

Números Reais. Jairo Menezes e Souza 19/09/2013 UFG/CAC

Números Reais. Jairo Menezes e Souza 19/09/2013 UFG/CAC UFG/CAC 19/09/2013 Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Chamamos de Z o conjunto dos números

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula

Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula João Roberto Gerônimo 1 1 Professor Associado do Departamento de Matemática da UEM. E-mail: jrgeronimo@uem.br. ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO Esta notas de aula

Leia mais

MAT154: Cálculo 1. Beatriz Ribeiro, Flaviana Ribeiro e Reginaldo Braz. Departamento de Matemática - UFJF. Versão: fevereiro de 2018

MAT154: Cálculo 1. Beatriz Ribeiro, Flaviana Ribeiro e Reginaldo Braz. Departamento de Matemática - UFJF. Versão: fevereiro de 2018 MAT54: Cálculo Beatriz Ribeiro, Flaviana Ribeiro e Reginaldo Braz Departamento de Matemática - UFJF Versão: fevereiro de 208 0 Baseada na apostila da professora Maria Julieta Ventura Carvalho de Araújo.

Leia mais

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 REVISÃO

Leia mais

Lista 1. 9 Se 0 < x < y e n N então 0 < x n < y n.

Lista 1. 9 Se 0 < x < y e n N então 0 < x n < y n. UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM095 - Análise I Prof. José Carlos Eidam Lista 1 Em toda a lista, K denota um corpo ordenado qualquer. Corpos ordenados 1. Verifique as

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão Professora Renata Alcarde Sermarini Notas de aula do professor

Leia mais

MÉTODOS MATEMÁTICOS. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta

MÉTODOS MATEMÁTICOS. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta MÉTODOS MATEMÁTICOS Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta 1 Métodos Matemáticos Aulas: De 03/11 a 08/11-8:30 as 11:00h Ementa: 1. Funções 2. Eq. Diferenciais Ordinárias de 1 a ordem 3. Sistemas de Equações

Leia mais

Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão Lista 1. Números Naturais

Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão Lista 1. Números Naturais Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão 01 Lista 1 Números Naturais 1. Demonstre por indução as seguintes fórmulas: (a) (b) n (j 1) = n (soma dos n primeiros ímpares).

Leia mais

1. Funções Reais de Variável Real Vamos agora estudar funções definidas em subconjuntos D R com valores em R, i.e. f : D R R

1. Funções Reais de Variável Real Vamos agora estudar funções definidas em subconjuntos D R com valores em R, i.e. f : D R R . Funções Reais de Variável Real Vamos agora estudar funções definidas em subconjuntos D R com valores em R, i.e. f : D R R D x f(x). Uma função é uma regra que associa a cada elemento x D um valor f(x)

Leia mais

Capítulo 1 Como motivação para a construção dos números complexos aconselha-se o visionamento do quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em http://www.dimensions-math.org/ Slides de apoio

Leia mais

MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP)

MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP) MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I Sylvain Bonnot (IME-USP) 2016 1 Informações gerais Prof.: Sylvain Bonnot Email: sylvain@ime.usp.br Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A) Site: ver

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral

Leia mais

Funções e Limites - Aula 08

Funções e Limites - Aula 08 Funções e Limites - Aula 08 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 22 de Março de 2013 Primeiro Semestre de 2013 Turma 2013104 - Engenharia de Computação Definição

Leia mais

Limites de Funções. Bases Matemáticas. 2 o quadrimestre de o quadrimestre de / 57

Limites de Funções. Bases Matemáticas. 2 o quadrimestre de o quadrimestre de / 57 2 o quadrimestre de 2017 2 o quadrimestre de 2017 1 / Visão Geral 1 Limites Finitos Limite para x ± 2 Limites infinitos Limite no ponto Limite para x ± 3 Continuidade Definição e exemplos Resultados importantes

Leia mais

Dados dois conjuntos A, B é dito produto cartesiano de A com B o conjunto

Dados dois conjuntos A, B é dito produto cartesiano de A com B o conjunto 1 Algumas definições sobre funções Dados dois conjuntos A, B é dito produto cartesiano de A com B o conjunto A B = {(a, b) : a A, b B}. Dados dois conjuntos A, B, uma função de A em B é uma lei que associa

Leia mais

Preliminares de Cálculo

Preliminares de Cálculo Preliminares de Cálculo Profs. Ulysses Sodré e Olivio Augusto Weber Londrina, 21 de Fevereiro de 2008, arquivo: precalc.tex... Conteúdo 1 Números reais 2 1.1 Algumas propriedades do corpo R dos números

Leia mais

Dados dois conjuntos A, B é dito produto cartesiano de A com B o conjunto

Dados dois conjuntos A, B é dito produto cartesiano de A com B o conjunto 1 Algumas definições sobre funções Dados dois conjuntos A, B é dito produto cartesiano de A com B o conjunto A B = {(a, b) : a A, b B}. Dados dois conjuntos A, B, uma função de A em B é uma lei que associa

Leia mais

LIMITES E CONTINIDADE

LIMITES E CONTINIDADE MATEMÁTICA I LIMITES E CONTINIDADE Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Parte 2 Limites Infinitos Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA QUINTA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Iniciamos a aula definindo as funções trigonométricas e estabelecendo algumas de suas propriedades básicas. A seguir, calcularemos

Leia mais

Notas Sobre Sequências e Séries Alexandre Fernandes

Notas Sobre Sequências e Séries Alexandre Fernandes Notas Sobre Sequências e Séries 2015 Alexandre Fernandes Limite de seqüências Definição. Uma seq. (s n ) converge para a R, ou a R é limite de (s n ), se para cada ɛ > 0 existe n 0 N tal que s n a < ɛ

Leia mais

MATEMÁTICA I FUNÇÕES. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

MATEMÁTICA I FUNÇÕES. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari MATEMÁTICA I FUNÇÕES Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br Conteúdo Função Variáveis Traçando Gráficos Domínio e Imagem Família de Funções Funções Polinomiais Funções Exponenciais

Leia mais

A = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.

A = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A. Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos

Leia mais

P L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o

P L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o P L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o 206-207 DISCIPLINA / ANO: Matemática A - ºano MANUAL ADOTADO: NOVO ESPAÇO - Matemática A º ano GESTÃO DO TEMPO Nº de Nº de Nº de tempos tempos tempos

Leia mais

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 1 Funções Definição: Sejam A e B, dois conjuntos, A /0, B /0. Uma função definida em A com valores em B é uma lei que associa

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Cálculo Diferencial e Integral I Texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Dezembro 2010 Capítulo 1 Números reais As propriedades do conjunto dos números reais têm por base um conjunto restrito

Leia mais

Resumo Elementos de Análise Infinitésimal I

Resumo Elementos de Análise Infinitésimal I Apêndice B Os números naturais Resumo Elementos de Análise Infinitésimal I Axiomática de Peano Axioma 1 : 1 N. Axioma 2 : Se N, então + 1 N. Axioma 3 : 1 não é sucessor de nenhum N. Axioma 4 : Se + 1 =

Leia mais

Sumário. 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra

Sumário. 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra Sumário 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra 2 Conjuntos numéricos 2 Conjuntos 3 Igualdade de conjuntos 4 Subconjunto de um conjunto 4 Complemento de um conjunto 4 Conjunto vazio 4 Conjunto universo 5 Interseção

Leia mais

1. Arcos de mais de uma volta. Vamos generalizar o conceito de arco, admitindo que este possa dar mais de uma volta completa na circunferência.

1. Arcos de mais de uma volta. Vamos generalizar o conceito de arco, admitindo que este possa dar mais de uma volta completa na circunferência. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Trigonometria II Prof.: Rogério

Leia mais

MAT Cálculo Diferencial e Integral I - 1 semestre de 2018 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado

MAT Cálculo Diferencial e Integral I - 1 semestre de 2018 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado MAT - Cálculo Diferencial e Integral I - semestre de 208 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 26.6.208. Segunda-feira, 5 de março de 208 Apresentação do curso. Veja-se o arquivo relativo

Leia mais

Análise I. Notas de Aula 1. Alex Farah Pereira de Novembro de 2017

Análise I. Notas de Aula 1. Alex Farah Pereira de Novembro de 2017 Análise I Notas de Aula 1 Alex Farah Pereira 2 3 22 de Novembro de 2017 1 Turma de Matemática. 2 Departamento de Análise-IME-UFF 3 http://alexfarah.weebly.com ii Conteúdo 1 Conjuntos 1 1.1 Números Naturais........................

Leia mais

1.1. Expressão geral de arcos com uma mesma extremidade Expressão geral de arcos com uma mesma extremidade

1.1. Expressão geral de arcos com uma mesma extremidade Expressão geral de arcos com uma mesma extremidade UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 1.1. Expressão geral de arcos

Leia mais

Definição 3.1: Seja x um número real. O módulo de x, denotado por x, é definido como: { x se x 0 x se x < 0

Definição 3.1: Seja x um número real. O módulo de x, denotado por x, é definido como: { x se x 0 x se x < 0 Capítulo 3 Módulo e Função Módular A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação. No entanto, antes de falarmos sobre funções modulares devemos definir o conceito de módulo,

Leia mais

Axiomas de corpo ordenado

Axiomas de corpo ordenado Axiomas de corpo ordenado 2 a lista de exercícios Análise real A abordagem axiomática dos números reais previne erros que a intuição pode ocasionar e torna mais rigoroso o processo de demonstração matemática,

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Limites Aula 0 208/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática Ideia Intuitiva

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Lino Marcos da Silva Atividade 1 - Números Reais Objetivos De um modo geral, o objetivo dessa atividade é fomentar o estudo de conceitos relacionados aos números

Leia mais

Os números reais. Capítulo O conjunto I

Os números reais. Capítulo O conjunto I Capítulo 4 Os números reais De todos os conjuntos numéricos que estudamos agora, a transição de um para outro sempre era construída de forma elementar A passagem do conjunto dos números racionais aos reais

Leia mais

Capítulo 3. Fig Fig. 3.2

Capítulo 3. Fig Fig. 3.2 Capítulo 3 3.1. Definição No estudo científico e na engenharia muitas vezes precisamos descrever como uma quantidade varia ou depende de outra. O termo função foi primeiramente usado por Leibniz justamente

Leia mais

Pre-calculo 2013/2014

Pre-calculo 2013/2014 . Números reais, regras básicas de cálculo com fracções, expoentes e radicais Sumário: Número reais, regras básicas de cálculo com fracções, expoentes e radicais. Ler secções. e. do livro adoptado.. Pre-calculo

Leia mais

Funções - Terceira Lista de Exercícios

Funções - Terceira Lista de Exercícios Funções - Terceira Lista de Exercícios Módulo - Números Reais. Expresse cada número como decimal: a) 7 b) c) 9 0 5 5 e) 3 7 0 f) 4 g) 8 7 d) 7 8 h) 56 4. Expresse cada número decimal como uma fração na

Leia mais

MATEMÁTICA I LIMITE. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

MATEMÁTICA I LIMITE. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari MATEMÁTICA I LIMITE Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda@fcav.unesp.br Parte 1 Limites Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função real com uma variável real Teorema da existência

Leia mais

Universidade do Algarve, Portugal

Universidade do Algarve, Portugal Universidade do Algarve, Portugal Faculdade de Ciências e Tecnologia ANÁLISE MATEMÁTICA I Cursos de EI, ESI, I, B, EA, EB Professor Stefan Samko Pontos fundamentais do programa da disciplina Análise Matemática

Leia mais

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I 1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I GEOMETRIA ANALÍTICA Coordenadas de pontos no plano cartesiano Distâncias entre pontos Sejam e dois pontos no plano cartesiano A distância entre e é dada pela expressão

Leia mais

Lista 4. Esta lista, de entrega facultativa, tem três partes e seus exercícios versam sobre séries, funções contínuas e funções diferenciáveis em R.

Lista 4. Esta lista, de entrega facultativa, tem três partes e seus exercícios versam sobre séries, funções contínuas e funções diferenciáveis em R. UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM095 - Análise I Prof José Carlos Eidam Lista 4 INSTRUÇÕES Esta lista, de entrega facultativa, tem três partes e seus exercícios versam

Leia mais

UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM122 - Fundamentos de Análise Prof. Zeca Eidam.

UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM122 - Fundamentos de Análise Prof. Zeca Eidam. UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM1 - Fundamentos de Análise Prof Zeca Eidam Lista 4 Supremo e ínfimo 1 Seja X R não-vazio 1 Mostre que, caso existam,

Leia mais

1 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por. 2x 1 0 x 1 2. b a x. ba 2. e b 2 c

1 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por. 2x 1 0 x 1 2. b a x. ba 2. e b 2 c CAPÍTULO 1 Exercícios 1..n) Como x 0 para todo x, o sinal de x(x ) é o mesmo que o de x; logo, x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0.. n) Como x 1 1 0 para todo x, multiplicando-se os dois

Leia mais

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE:

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE: Matemática Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO

Leia mais

AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES

AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES MATEMÁTICA I AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Conjuntos numéricos A reta real Intervalos Numéricos Valor absoluto de um número

Leia mais

Capítulo 1. Introdução

Capítulo 1. Introdução Capítulo 1 Introdução O objeto de estudo de Mat-1 são as funções reais de variável real. Estudaremos nesta disciplina os conceitos de limite, continuidade, derivabilidade e integrabilidade de funções reais

Leia mais

Propriedades das Funções Contínuas

Propriedades das Funções Contínuas Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005- UEM Sumário 1 Seqüências 2 1.1 O Corpo dos Números Reais.......................... 2 1.2 Seqüências.................................... 5

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Funções. Aula 01. Projeto GAMA

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Funções. Aula 01. Projeto GAMA Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Funções Aula 0 08/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática Definição

Leia mais

CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico)

CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico) 1 INTRODUÇÃO CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico) ARCOS: Dados dois pontos A e B de uma circunferência, definimos Arco AB a qualquer uma das partes desta circunferência

Leia mais

CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1. CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Retangulares 9. CAPÍTULO 3 Retas 18

CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1. CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Retangulares 9. CAPÍTULO 3 Retas 18 Sumário CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1 Sistema de Coordenadas Lineares 1 Intervalos Finitos 3 Intervalos Infinitos 3 Desigualdades 3 CAPÍTULO 2 Sistemas de

Leia mais

Aula 5 Limites infinitos. Assíntotas verticais.

Aula 5 Limites infinitos. Assíntotas verticais. MÓDULO - AULA 5 Aula 5 Limites infinitos. Assíntotas verticais. Objetivo lim Compreender o significado dos limites infinitos lim f(x) = ±, f(x) = ± e lim f(x) = ± + Referências: Aulas 34 e 40, de Pré-Cálculo,

Leia mais

4.1 Preliminares. 1. Em cada caso, use a de nição para calcular f 0 (x) : (a) f (x) = x 3 ; x 2 R (b) f (x) = 1=x; x 6= 0 (c) f (x) = 1= p x; x > 0:

4.1 Preliminares. 1. Em cada caso, use a de nição para calcular f 0 (x) : (a) f (x) = x 3 ; x 2 R (b) f (x) = 1=x; x 6= 0 (c) f (x) = 1= p x; x > 0: 4. FUNÇÕES DERIVÁVEIS ANÁLISE NO CORPO R - 208. 4. Preinares. Em cada caso, use a de nição para calcular f 0 (x) : (a) f (x) = x 3 ; x 2 R (b) f (x) = =x; x 6= 0 (c) f (x) = = p x; x > 0: 2. Mostre que

Leia mais

Errata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17)

Errata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17) Errata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17) Lista 1 - Bases Matemáticas Elementos de Lógica e Linguagem Matemática 1

Leia mais

Ementa detalhada até agora

Ementa detalhada até agora Ementa detalhada até agora de Setembro de 07. (3/07): Introdução aos números reais: soma, produto, opostos, inversos,(o inverso de a só existe quando a 0). Demostração do fato que a 0 = 0, regra dos sinais,

Leia mais

Aula 5 Aula 6 Aula 7. Ana Carolina Boero. Página:

Aula 5 Aula 6 Aula 7. Ana Carolina Boero.   Página: E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Números naturais Como somos apresentados aos números? Num primeiro momento, aprendemos

Leia mais

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão) R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a

Leia mais

MAT154: Cálculo 1. Beatriz Ribeiro, Flaviana Ribeiro e Reginaldo Braz. Departamento de Matemática - UFJF. Versão: fevereiro de 2019

MAT154: Cálculo 1. Beatriz Ribeiro, Flaviana Ribeiro e Reginaldo Braz. Departamento de Matemática - UFJF. Versão: fevereiro de 2019 MAT54: Cálculo Beatriz Ribeiro, Flaviana Ribeiro e Reginaldo Braz Departamento de Matemática - UFJF Versão: fevereiro de 209 0 Baseada na apostila da professora Maria Julieta Ventura Carvalho de Araújo.

Leia mais

Provas de Análise Real - Noturno - 3MAT003

Provas de Análise Real - Noturno - 3MAT003 Provas de 2006 - Análise Real - Noturno - 3MAT003 Matemática - Prof. Ulysses Sodré - Londrina-PR - provas2006.tex 1. Definir a operação ϕ entre os conjuntos A e B por ϕ(a, B) = (A B) (A B). (a) Demonstrar

Leia mais

MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP)

MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP) MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I Sylvain Bonnot (IME-USP) 2016 1 Informações gerais Prof.: Sylvain Bonnot Email: sylvain@ime.usp.br Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A) Site: ver

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I e Aplicações

Cálculo Diferencial e Integral I e Aplicações Cálculo Diferencial e Integral I e Aplicações por PAULO XAVIER PAMPLONA UFCG-CCTA 05 Conteúdo Revisão Pré-cálculo 6. Números reais................................... 6. Funções.......................................3

Leia mais

1 Números Complexos. Seja R o conjunto dos Reais. Consideremos o produto cartesiano R R = R 2 tal que:

1 Números Complexos. Seja R o conjunto dos Reais. Consideremos o produto cartesiano R R = R 2 tal que: Números Complexos e Polinômios Prof. Gustavo Sarturi [!] Esse documento está sob constantes atualizações, qualquer erro de ortografia, cálculo, favor comunicar. Última atualização: 01/11/2018. 1 Números

Leia mais

MAT 0143 : Cálculo para Ciências Biológicas

MAT 0143 : Cálculo para Ciências Biológicas MAT 0143 : Cálculo para Ciências Biológicas Aula 3/ Segunda 10/03/2014 Sylvain Bonnot (IME-USP) 2014 1 Resumo Aula 2 1 Informações gerais: Email: sylvain@ime.usp.br Site: o link do MAT 0143 na pagina seguinte

Leia mais

Produtos de potências racionais. números primos.

Produtos de potências racionais. números primos. MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA n o 4 Dezembro/2006 pp. 23 3 Produtos de potências racionais de números primos Mário B. Matos e Mário C. Matos INTRODUÇÃO Um dos conceitos mais simples é o de número natural e

Leia mais

Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Fundamentos de Análise

Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Fundamentos de Análise Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Fundamentos de Análise Professor: André Luiz Galdino Gabarito da 1 a Lista de Exercícios 1. Prove que para todo x 0 IR

Leia mais

MAT Análise Real - 1 semestre de 2014 Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Notas das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 9.11.

MAT Análise Real - 1 semestre de 2014 Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Notas das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 9.11. MAT 206 - Análise Real - semestre de 204 Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Notas das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 9..204. Segunda-feira, 7 de fevereiro de 204 Apresentação do curso. www.ime.usp.br/

Leia mais

Cálculo 1 Fuja do Nabo. Resumo e Exercícios P2

Cálculo 1 Fuja do Nabo. Resumo e Exercícios P2 Cálculo 1 Fuja do Nabo Resumo e Exercícios P2 Fórmulas e Resumo Teórico Limites Exponenciais e Logarítmicos lim $ &' 1 + 1 x $ = e ou lim $ 0 1 + h 2 3 = e a $ 1 lim $ 0 x = ln a, a > 0 Derivadas Exponenciais

Leia mais

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bárbara Simionatto Engenharia Civil Jaime Vinícius - Engenharia de Produção Função Exponencial Dúvida:

Leia mais

Capítulo Topologia e sucessões. 7.1 Considere o subconjunto de R 2 : D = {(x, y) : xy > 1}.

Capítulo Topologia e sucessões. 7.1 Considere o subconjunto de R 2 : D = {(x, y) : xy > 1}. Capítulo 7 Introdução à Análise em R n 7. Topologia e sucessões 7. Considere o subconjunto de R 2 : D = {(x, y) : > }.. Indique um ponto interior, um ponto fronteiro e um ponto exterior ao conjunto D e

Leia mais

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bruno Conde Passos Engenharia Civil Rodrigo Vanderlei - Engenharia Civil Função Exponencial Dúvida: Como

Leia mais

Capítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos) Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago

Capítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos) Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago Capítulo 1 Os Números Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago 1.1 Notação Números naturais: Neste texto, N = {0, 1, 2, 3,...} e N + = {1, 2, 3, }. Mas existem vários autores considerando

Leia mais

Lista de Exercícios da Primeira Semana Análise Real

Lista de Exercícios da Primeira Semana Análise Real Lista de Exercícios da Primeira Semana Análise Real Nesta lista, a n, b n, c n serão sempre sequências de números reais.. Mostre que todo conjunto ordenado com a propriedade do supremo possui a propriedade

Leia mais

1. Polinómios e funções racionais

1. Polinómios e funções racionais Um catálogo de funções. Polinómios e funções racionais Polinómios e funções racionais são funções que se podem construir usando apenas as operações algébricas elementares. Recordemos a definição: Definição

Leia mais

Metas/Objetivos/Domínios Conteúdos/Conceitos Número de Aulas

Metas/Objetivos/Domínios Conteúdos/Conceitos Número de Aulas DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: MATEMÁTICA A ANO:11.º Planificação (Conteúdos)... Período Letivo: 1.º Metas/Objetivos/Domínios Conteúdos/Conceitos Número de Aulas Trigonometria e Funções

Leia mais

Questão 4 (2,0 pontos). Defina função convexa (0,5 pontos). Seja f : I R uma função convexa no intervalo aberto I. Dado c I (qualquer)

Questão 4 (2,0 pontos). Defina função convexa (0,5 pontos). Seja f : I R uma função convexa no intervalo aberto I. Dado c I (qualquer) DM IMECC UNICAMP, Análise I, Prof. Marcelo M. Santos Exame Final, 15/07/2009 Aluno: RA: Ass.: Observações: Tempo de prova: 100min; Justifique sucintamente todas as suas afirmações; Disponha as suas resoluções

Leia mais

Mais funções e limites

Mais funções e limites Capítulo 3 Mais funções e ites Nesse capítulo, abordaremos as funções invertíveis, além de algumas classes especiais de funções: trignométricas, exponenciais, logarítmicas e hiperbólicas. 3.1 Funções Inversas

Leia mais

Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas

Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (11º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (13 de setembro a 15 de dezembro) Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas

Leia mais

Apresente todos os cálculos e justificações relevantes. a) Escreva A e B como intervalos ou união de intervalos e mostre que C = { 1} [1, 3].

Apresente todos os cálculos e justificações relevantes. a) Escreva A e B como intervalos ou união de intervalos e mostre que C = { 1} [1, 3]. Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 1. o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Versão A LEAN, LEMat, MEQ 1. o Sem. 2016/17 12/11/2016 Duração: 1h0m Apresente todos os cálculos e

Leia mais

Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas

Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (11º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (15 de setembro a 16 de dezembro) Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas

Leia mais

Notas de aulas. álgebra abstrata

Notas de aulas. álgebra abstrata 1 Notas de aulas de álgebra abstrata UEMA LICENCIATURA EM MATEMATICA Elaborada por : Raimundo Merval Morais Gonçalves Licenciado em Matemática/UFMA Professor Assistente/UEMA Especialista em Ensino de Ciências/UEMA

Leia mais

Teoremas e Propriedades Operatórias

Teoremas e Propriedades Operatórias Capítulo 10 Teoremas e Propriedades Operatórias Como vimos no capítulo anterior, mesmo que nossa habilidade no cálculo de ites seja bastante boa, utilizar diretamente a definição para calcular derivadas

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT 1 o SEM. 2014/15 2 a FICHA DE EXERCÍCIOS. k + e 1 x, x > 0 f(x) = x cos 1, x > 0

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT 1 o SEM. 2014/15 2 a FICHA DE EXERCÍCIOS. k + e 1 x, x > 0 f(x) = x cos 1, x > 0 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT 1 o SEM. 2014/15 2 a FICHA DE EXERCÍCIOS I. Continuidade de Funções. 1) Considere a função f :

Leia mais

Soluções dos Exercícios do Capítulo 2

Soluções dos Exercícios do Capítulo 2 A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO Volume 1 Soluções dos Exercícios do Capítulo 2 2.1. Seja X = {n N; a + n Y }. Como a Y, segue-se que a + 1 Y, portanto 1 X. Além disso n X a + n Y (a + n) + 1 Y n + 1 X. Logo

Leia mais

Limites e continuidade

Limites e continuidade Limites e continuidade Limite (finito) de uma função em a Salvo indicação em contrário, quando nos referimos a uma função estamos sempre a considerar funções reais de variável real (f.r.v.r.), ou seja,

Leia mais