4.1 OBJETIVOS DO CAPÍTULO

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1 4- APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON Vimos no Capitulo 3 que as três leis de Newton do movimento, o fundamento da mecânica clássica, podem ser formuladas de modo simples. Porém, as aplicações dessas leis em situações tais como um rebocador rebocando um navio mais pesado do que ele ou um avião fazendo uma curva acentuada requerem habilidades analíticas e técnicas para solução de problemas. Neste capítulo aprofundaremos as habilidades para a solução de problemas que você começou a aprender no capítulo anterior. Começamos com problemas envolvendo o equilíbrio, nos quais o corpo está ou em repouso ou movendo-se com velocidade vetorialmente constante. A seguir, generalizamos nossas técnicas para a solução de problemas que envolvem corpos que não estão em equilíbrio, para os quais precisamos considerar com exatidão as relações entre as forças e o movimento. Vamos ensinar como descrever e analisar as forças de contato entre corpos em repouso ou quando um corpo desliza sobre uma superfície. Finalmente, estudaremos o caso importante do movimento circular uniforme, no qual o corpo de desloca ao longo de uma circunferência com velocidade escalar constante. 4.1 OBJETIVOS DO CAPÍTULO Usar a primeira lei de Newton para resolver problemas referentes às forças que atuam sobre um corpo em equilíbrio. Usar a segunda lei de Newton para resolver problemas referentes às forças que atuam sobre um corpo em aceleração. Esclarecer a fórmula empírica para forças de atrito estático e de atrito cinético e aprender como resolver problemas que envolvem essas forças. Resolver problemas referentes às forças que atuam sobre um corpo que se move ao longo de uma trajetória circular com velocidade escalar uniforme. 4.2 APLICAÇÕES DA PRIMEIRA LEI DE NEWTON: PARTÍCULAS EM EQUILÍBRIO No capítulo 3, aprendemos que um corpo está em equilíbrio quando está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em um sistema de referência inercial. Uma lâmpada suspensa, uma ponte pênsil, um avião voando em linha reta e plana a uma velocidade escalar constante são todos exemplos de situações de equilíbrio. Nesta seção vamos considerar apenas o equilíbrio de corpos que podem ser modelados como partículas, ou seja, as dimensões dos corpos não são relevantes para os problemas que estamos resolvendo, isto é, dizer que podemos considerar todas as forças como sendo aplicadas em um mesmo ponto. O principio físico essencial é a primeira lei de Newton: quando uma partícula está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em um sistema de referencia inercial, a força resultante que atua sobre ela isto é, a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre ela deve ser igual à zero: F = 0 (4.1) (partícula em equilíbrio, forma vetorial) Normalmente usaremos essa relação utilizando os componentes: F x = 0 F y = 0 F z = 0 (4.2) (partícula em equilíbrio, forma de componentes) Esta seção é sobre o uso da primeira lei de Newton para resolver problemas envolvendo corpos em equilíbrio. Alguns deles podem parecer complicados, mas o importante é lembrar que todos esses problemas são resolvidos do mesmo modo. 4.3 APLICAÇÕES DA SEGUNDA LEI DE NEWTON: DINÂMICA DAS PARTÍCULAS Agora estamos preparados para discutir problemas de dinâmica. Nesses problemas, aplicamos a segunda lei de Newton para corpos sobre os quais a força resultante é diferente de zero e, portanto, não estão em equilíbrio; mas sim em aceleração. A força resultante sobre o corpo é igual ao produto da massa pela aceleração do corpo. 35

2 F = ma (4.3) (partícula em equilíbrio, forma de componentes) Normalmente usaremos essa relação na forma de componentes: F x = ma x F y = ma y F z = ma z (4.4) (segunda lei de Newton, forma de componentes) Todo corpo que não está em equilíbrio sob a ação de uma ou mais forças está acelerado, e a recíproca é verdadeira. Se o corpo está acelerado é porque há uma força resultante não nula atuando sobre ele. 4.4 FORÇAS DE CONTATO Em muitas situações, um objeto está em contato com uma superfície, como, por exemplo, a superfície de uma mesa. Por conta do contato, há uma força agindo sobre o objeto. Esta seção discute apenas uma componente desta força, a componente que atua perpendicularmente à superfície. A próxima seção discute a componente que atua na direção paralela à superfície. A componente perpendicular é chamada de força normal FORÇA NORMAL quando você senta sobre um colchão. Seu peso faz com que as molas no colchão sejam comprimidas. Em consequência disso, as molas comprimidas exercem em você uma força para cima (a força normal). De maneira semelhante, o peso do bloco faz com que molas atômicas invisíveis na superfície da mesa sejam comprimidas, produzindo, assim, uma força normal sobre o bloco. A terceira lei de Newton tem um papel importante relacionado com a força normal. Na Figura 4.1, por exemplo, o bloco exerce uma força sobre a mesa comprimido - a para baixo. Consistente com a terceira lei, a mesa exerce uma força na mesma direção, dirigida no sentido oposto, de mesmo módulo sobre o bloco. Esta força de reação é a força normal. O módulo da força normal indica o grau de compressão mútua dos dois objetos. Se um objeto estiver em repouso sobre uma superfície horizontal e não existirem forças atuando na vertical, com exceção do peso do objeto e da força normal, os módulos destas duas forças são iguais; ou seja, F N = W. Esta é a situação mostrada na Figura 4.1. O peso deve ser contrabalançado pela força normal para que o objeto permaneça em repouso sobre a mesa. Se os módulos destas forças não fossem iguais, haveria uma força resultante sobre o bloco, e o bloco estaria acelerado para cima ou para baixo, de acordo com a segunda lei de Newton. Figura Duas forças atuam sobre o bloco, o seu peso W e a força normal F N exercida pela superfície da mesa. A Figura 4.1 mostra um bloco repousado sobre uma mesa horizontal e identificam as duas forças que agem sobre o bloco, o peso W e a força normal F N. Para entender como um objeto inanimado, como o tampo de uma mesa, pode exercer uma força normal, pense no que ocorre Figura 4.2 (a) A força normal F N é maior do que o peso da caixa, pois a caixa está sendo pressionada para baixo com uma força de 11 N. (b) A força normal é menor do que o peso, pois a corda fornece uma força de 11 N para cima que sustenta parcialmente a caixa. 36

3 Se houver outras forças atuando na direção vertical além de W e F N, os módulos da força normal e do peso não são mais iguais. Na Figura 4.2.a, por exemplo, uma caixa cujo peso é de 15 N está sendo empurrado para baixo contra uma mesa. A força de compressão possui um módulo de 11 N. Assim, a força total para baixo exercida sobre a caixa é de 26 N, e deve ser contrabalançada pela força normal orientada para cima para que a caixa permaneça em repouso. Nesta situação, então, a força normal é de 26 N, que é consideravelmente maior do que o peso da caixa. A Figura 4.2.b ilustra uma situação diferente. Neste caso, a caixa está sendo puxada para cima por uma corda que aplica uma força de 11 N. A força resultante que age sobre a caixa devido ao seu peso e a corda é de apenas 4 N. Não é difícil imaginar o que aconteceria se a força aplicada pela corda fosse aumenta para 15 N exatamente igual ao peso da caixa. Nesta situação, a força normal se anularia. Na verdade, a mesa poderia ser retirada, já que o bloco estaria inteiramente sustentando pela corda. As situações na Figura 4.2 são consistentes com a ideia de que o módulo da força normal indica o grau de compressão mútua de dois objetos. Evidentemente, a caixa e a mesa se comprimem mais fortemente na Figura 4.2.a do que na Figura 4.2.b FORÇAS DE ATRITO O atrito é importante em muitos aspectos de nossa vida cotidiana, ou seja, normalmente pensamos o atrito como algo indesejável, mas o atrito é necessário. O óleo no motor de um automóvel minimiza o atrito entre as partes móveis, porém, não fosse o atrito entre os pneus do carro e o solo, não poderíamos dirigir um carro e nem fazer curvas. O arraste do ar a força de atrito exercida pelo ar sobre um corpo que nele se move faz aumentar o consumo de combustível de um carro, mas possibilita o uso de paraquedas. Sem atrito, os pregos pulariam facilmente, os bulbos das lâmpadas se desenrolariam sem nenhum esforço e o hóquei no gelo seria impraticável (Figura 4.3). Figura 4.3 A prática do hóquei no gelo depende decisivamente do atrito entre os patins do jogador e o gelo. Quando o atrito é muito elevado, o jogador se locomove muito lentamente; quando o atrito é muito pequeno, o jogador dificilmente evita sua queda. O atrito é um fenômeno complexo, não totalmente compreendido, que surge da atração entre as moléculas de duas superfícies em contato. A natureza desta atração é eletromagnética a mesma da ligação molecular que mantém um objeto coeso. Esta força atrativa de curto alcance se torna insignificante após apenas alguns diâmetros moleculares. Figura 4.4 A área microscópica de contato entre a caixa e o piso é apenas uma pequena fração da área macroscópica da superfície do tampo da caixa. A área microscópica é proporcional à força normal exercida entre as superfícies. Se a caixa repousa sobre um de seus lados, a área microscópica aumenta, mas a força por unidade diminui, de forma que área microscópica de contato não muda. Não importa se a caixa está de pé ou deitada, a mesma força horizontal F aplicada é necessária para mantê-la deslizando com rapidez constante (PAUL A. TIPLER, GENE MOSCA, 2012). Como mostrado na Figura 4.4, objetos comuns que parecem lisos, e que sentimos como lisos são ásperos em escala atômica (microscópica). Isto ocorre mesmo quando as superfícies são muito bem polidas. Quando as superfícies entram em contato, elas se tocam apenas nas 37

4 saliências, as chamadas asperezas, mostradas na Figura 4.4. À medida que um bloco desliza sobre um piso, ligações microscópicas se formam e se rompem, e o numero total dessas ligações é variável. Alisar as superfícies em contato pode, na verdade, aumentar o atrito, visto que mais moléculas se tornam aptas a formar ligações; juntar duas superfícies lisas de um mesmo metal pode produzir uma solda a frio. Os óleos lubrificantes fazem diminuir o atrito porque uma película de óleo se forma entre as duas superfícies (como no caso do pistão e das paredes do cilindro no motor de um carro), impedido as de entrar em contato efetivo. ATRITO ESTÁTICO magnitude da força normal excedida por uma superfície sobre a outra: f e máx = μ e F N (4.5) (módulo da força de atrito estático) Onde a constante de proporcionalidade μ e é o coeficiente de atrito estático. Este coeficiente depende dos materiais de que são feitas as superfícies em contato e das temperaturas das superfícies. Se você exerce uma força horizontal com uma magnitude menor ou igual a f e máx sobre a caixa, a força de atrito estático irá justo contrabalançar esta força horizontal o mínimo que seja maior que f e máx sobre a caixa, então a caixa começará a deslizar. Assim, podemos escrever a equação (4.5) como: f e máx μ e F N (4.6) A orientação da força de atrito estático é tal que ela se opõe a tendência de deslizamento da caixa. Figura (PAUL A. TIPLER, GENE MOSCA, 2012). Você aplica uma pequena força horizontal F (Figura 4.5) sobre uma grande caixa que esta em repouso sobre o piso. A caixa pode não vir a se mover perceptivelmente, porque a força de atrito estático f e exercida pelo piso sobre a caixa contrabalança a força que você aplica. Atrito estático é a força de atrito que atua quando não existe deslizamento entre as duas superfícies em contato é a força que evita que a caixa escorregue. A força de atrito estático, em sentido contraria a força aplicada sobre a caixa, pode variar em magnitude de zero até um valor máximo f e máx, dependendo do seu empurrão. Isto é, enquanto você empurra a caixa, a força oposta de atrito estático vai aumentando para se manter igual em magnitude à força aplicada, até que a magnitude da força aplicada exceda o valor máximo da força de atrito f e máx. Dados mostram que f e máx é proporcional à intensidade das forças que pressionam as duas superfícies uma contra outra. Isto é, f e máx é proporcional à A equação (4.6) é uma desigualdade porque a magnitude da força de atrito estático varia de zero até f e máx. Se a força horizontal que você exerce sobre uma caixa aponta para esquerda, então a força de atrito estático aponta para a direita. A força de atrito estático sempre se opõe à tendência de deslizamento. Lembre-se de que a equação (4.5) não é uma equação vetorial porque f e e F N são sempre perpendiculares. Em vez disso, representa uma relação escalar entre os módulos das duas forças. 38

5 ATRITO CINÉTICO Se você empurrar a caixa da Figura (4.5) com suficiente vigor, ela deslizará sobre o piso. Enquanto ela escorrega, o piso exerce uma força de atrito cinético f c (também chamado de atrito dinâmico, ou de deslizamento) que se opõe ao movimento. Para manter a caixa deslizando com velocidade constante, você deve exercer uma força sobre a caixa igual em magnitude e oposta em sentido à força de atrito cinético exercida pelo piso. Assim como a magnitude da força de atrito estático máxima, a magnitude de f c da força de atrito cinético é proporcional à magnitude f n da força normal exercida por uma superfície sobre a outra: f c = μ c F N (4.7) Onde a constante de proporcionalidade μ c é o coeficiente de atrito cinético. Este coeficiente depende dos materiais de que são feitas as superfícies em contato e das temperaturas das superfícies em contato. Diferentemente do atrito estático, a força de atrito cinético é independente da magnitude da força horizontal aplicada. Experimentos mostram que μ c é aproximadamente constante para uma larga faixa de valores de rapidez. infinitesimal. Enquanto a caixa está deslizando, a força de atrito permanece igual a μ c F N. Para quaisquer duas superfícies em contato, μ c é menor que μ e. Isto significa que você deve empurrar com mais vigor para fazer com que a caixa comece a deslizar, do que para mantê-la deslizando com rapidez constante. Os pneus possuem ranhuras não para aumentar o atrito, mas para deslocar e redirecionar a água entre a superfície da rodovia e o lado externo dos pneus. Muitos carros de corrida usam pneus sem ranhuras, porque correm em dias secos. O atrito entre o pneu e o piso é aproximadamente o mesmo, seja o pneu largo ou estreito. O propósito da maior área de contato é diminuir o aquecimento e o desgaste FORÇAS DE TRAÇÃO Forças são frequentemente aplicadas por meio de cabos ou cordas usados para puxar um objeto. Por exemplo, a Figura (4.7.a) mostra uma força T sendo aplicada à extremidade direita de uma corda presa a uma caixa. Cada partícula na corda, por sua vez, aplica uma força a sua vizinha. Consequentemente, a força é aplicada à caixa, como mostra a Figura (4.7.b). Figura (PAUL A. TIPLER, GENE MOSCA, 2012). A Figura (4.6) mostra um gráfico da força de atrito exercida sobre a caixa pelo piso em função da força aplicada. A força de atrito contrabalança a força aplicada até que a caixa começa a deslizar, o que ocorre quando a força aplicada excede a μ e F N por uma quantidade Figura 4.7 (a) A força T está sendo aplicada à extremidade direita de uma corda. (b) a força é 39

6 transmitida para caixa. (c) Forças são aplicadas às duas extremidades da corda. Estas forças possuem mesmos módulos e direções opostas (mesma direção e sentidos contrários), (CUTNELL & JOHNSON, 2012). Em situações como a da Figura (4.7), dizemos que a força T é aplicada na caixa por causa da tração na corda, significando que a tração e a força aplicada à caixa possuem o mesmo módulo. Entretanto, a palavra tração é comumente usada para significar a tendência de a corda ser esticada. Para ver a relação entre estes dois usos da palavra tração, considere a extremidade esquerda da corda, que aplica a força T à caixa. De acordo com a terceira lei de Newton, a caixa aplica uma força de reação à corda. A força de reação possui o mesmo módulo e mesma direção que T, mas sentido contrário. Em outras palavras, uma força - T atua na extremidade esquerda da corda. Desta forma, forças de mesmo módulo atuam em extremidades opostas da corda, como na figura 4.7.c, e tendem esticá-la MASSA E PESO O peso de um corpo é uma das forças mais familiares que a Terra exerce sobre o corpo. (Quando você estiver em outro planeta, seu peso será a força gravitacional que o planeta exerce sobre você.) infelizmente, os termos massa e peso em geral são mal empregados e considerados sinônimos em nossa conversação cotidiana. É extremamente importante que você saiba a diferença entre essas duas grandezas físicas. A massa caracteriza a propriedade da inercia de um corpo. Por causa de sua massa, a louça fica praticamente em repouso sobre a mesa quando você puxa repentinamente a toalha. Quanto maior a massa, maior a força necessária para produzir uma dada aceleração; isso se reflete na segunda lei de Newton, F = ma. O peso de um corpo, por outro lado, é a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo. Massa e peso se relacionam: um corpo que possui massa grande também possui peso grande. É difícil lançar horizontalmente uma pedra grande porque ela possui massa grande, e é difícil levantá-la porque ela possui peso grande. Qualquer corpo próximo da superfície da terra que possua massa de 1 kg deve possuir um peso igual a 9,8 N para que ele tenha a aceleração que observamos quando o corpo está em queda livre. Generalizando, qualquer corpo de massa m deve possuir um peso com módulo P dado por: P = mg (4.7) Logo, o módulo P do peso de um corpo é diretamente proporcional à sua massa m. o peso de um corpo é uma força, uma grandeza vetorial, de modo que podemos escrever a equação (4.7) como uma equação vetorial (Figura 4.8): Figura 4.8 A relação entre massa e peso (SEARS & ZEMANSKY, 2011). P = mg (4.8) Lembre-se de que g é o módulo de g, a aceleração da gravidade, logo, g é sempre positivo. Portanto, P, dado pela Equação (4.7), é o módulo do peso e também é sempre um número positivo. 40

7 Lembre-se que o peso de um corpo atua eternamente sobre o corpo, independentemente de ele estar ou não em queda livre. Quando um objeto de 10 kg está em equilíbrio, suspenso por uma corrente, sua aceleração é igual a zero. Porem, seu peso, dado pela Equação (4.8), continua puxando-o para baixo (Figura 4.8). Nesse caso, a corrente exerce uma força que puxa o objeto de baixo para cima. A soma vetorial das forças é igual a zero, mas o peso ainda atua. 4.5 DINÂMICA DO MOVIMENTO CIRCULAR Movimentos circulares são muito comuns na natureza. As palhetas de um ventilador, um CD e o pneu de um carro são apenas alguns exemplos que fazem parte de nosso cotidiano. De uma maneira geral podemos afirmar que uma partícula está em movimento circular quando sua trajetória é uma circunferência. Em situações onde o valor numérico da velocidade permanece constante, dizemos que o corpo descreve um Movimento Circular Uniforme (MCU). Quando uma partícula se desloca ao longo de uma circunferência com velocidade escalar constante, a aceleração da partícula é sempre orientada para o centro do círculo (perpendicular à velocidade instantânea). O módulo a rad da aceleração é constante, sendo dado em termos da velocidade v e do raio R por: a rad = 4π²R T² (4.10) O movimento circular uniforme, como qualquer movimento de uma partícula, é governado pela segunda lei de Newton. A aceleração da partícula orientada para o centro deve ser produzida por alguma força, ou diversas forças, tais que a soma vetorial F seja um vetor sempre orientado para o centro do círculo (Figura 4.9). O módulo da aceleração é constante, logo o módulo da força resultante F total também é constante. Caso a força para dentro deixe de atuar, a partícula é expelida para fora do círculo descrevendo uma linha reta tangente ao círculo (Figura 4.10). Figura 4.9 Em um movimento circular uniforme, tanto a aceleração, como a força resultante são orientadas para o centro do circulo (SEARS & ZEMANSKY, 2011). a rad = v² R (4.8) O índice inferior rad é um lembrete de que a aceleração da partícula é sempre orientada ao longo da direção radial, para o centro do círculo e perpendicular à velocidade instantânea. Podemos também representar a aceleração centrípeta, a rad, em termos do período T, o tempo necessário para uma revolução: T = 2πR v Em termos do período, a rad é dada por: (4.9) Figura 4.10 O que acontece quando a força orientada para o centro deixa de atuar sobre um movimento circular? (SEARS & ZEMANSKY, 2011). 41

8 O módulo da aceleração radial é dado por a rad = v² R, logo o módulo F total da força resultante sobre uma partícula de massa m em um movimento circular uniforme é dado por: F total = ma rad = m v² R (4.11) O movimento circular uniforme pode ser produzido por qualquer conjunto de forças, desde que a força resultante F seja sempre orientada para o centro do círculo e possua módulo constante. Note que o corpo não precisa se mover em torno de um círculo completo: a Equação (4.11) é valida para qualquer trajetória que possa ser considerada como parte de um arco circular. A força centrípeta não é uma força real. Este é meramente um nome que se dá para a componente da força resultante que aponta para o centro de curvatura da trajetória. Assim como a força resultante, a força centrípeta não está presente em um diagrama de corpo livre. Apenas forças reais pertencem a diagramas de corpo livre. 02. (CUTNELL & JOHNSON, 6ª Ed) Um alpinista, durante a travessia entre dois penhascos, faz uma pausa para descansar. Ele pesa 535N. Como mostrado no desenho, ele está mais próximo do penhasco da esquerda do que do penhasco da direita, isto faz com que a tração no trecho à esquerda da alpinista seja diferente da tração no trecho à sua direita. Determine as trações na corda à esquerda e à direita da alpinista. 03. (SEARS & ZEMANSKY, 12ª Ed) O motor de um automóvel com peso P está suspenso por uma corrente que está ligada por um anel O a duas outras correntes, uma delas amarrada ao teto e a outra presa na parede. Ache as tensões nas três correntes em função de P e despreze o peso das correntes e do anel. EXERCÍCIOS 01. (HALLIDAY E RESNICK, 8ª Ed) Em um cabo-de-guerra bidimensional, Alex, Charles e Betty puxam horizontalmente um pneu de automóvel nas orientações mostradas na vista superior da figura abaixo. Apesar dos esforços da trinca, o pneu permanece no mesmo lugar. Alex puxa com a força F A de módulo 220N e Charles puxa com uma força F C de módulo 170N. Observe que a orientação de F C não é dada. Qual é o módulo da força F B exercida por Betty? 04. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) O sistema da figura está em equilíbrio. A distância d é de 1 m e o comprimento relaxado de cada uma das duas molas iguais é de 0,5 m. A massa m de 1 kg faz descer o ponto P de uma distância h=15 cm e a massa das molas é desprezível. Calcule a constante k das molas. Dados: K=Força/Deformação da mola 42

9 05. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) Um acrobata de 60 kg se equilibra no centro de uma corda bamba de 20m de comprimento. O centro desceu de 30 cm em relação às extremidades, presas em suportes fixos. Qual é a tração em cada metade da corda? e exerce uma força de 98N sobre a parede à qual está presa. As tensões nas cordas mais curtas são T 1 =58,8N T 2 =49N T 3 =9,8N. Quais as massas (a) do disco A, (b) do disco B, (c) do disco C e (d) do disco D? 06. (SEARS & ZEMANSKY, 12ª Ed) Um carro de 1130 kg está seguro por um cabo leve, sobre uma rampa muito lisa (sem atrito), como indicado na figura. O cabo forma um ângulo de 31,0 sobre a superfície da rampa, e a rampa ergue-se 25,0 acima da horizontal. a) Desenhe um diagrama do corpo livre para o carro. b) Ache a tração no cabo. c) Com que intensidade a superfície da rampa empurra o carro? 09. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) No sistema representado na figura, calcule as Tensões nas cordas A e B a compressão na viga C, desprezando as massas da viga e das cordas. 07. (CUTNELL & JOHNSON, 6ª Ed) A viga I de aço do desenho possui um peso de 8,00 kn e está sendo suspensa com velocidade constante. Qual a tração em cada cabo às suas extremidades? 10. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) O sistema representado na figura está em equilíbrio. Determine as tensões nos fios 1, 2 e 3 e o valor do ângulo θ. 08. (HALLIDAY E RESNICK, 8ª Ed) A figura abaixo mostra um arranjo no quais quatro discos estão suspensos por uma corda. A corda mais comprida, do alto, passa por uma polia sem atrito 11. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Se um corpo-padrão de 1 kg tem uma aceleração de 2,00 m/s² a 20,0 com o semieixo positivo, quais são (a) a componente x e (b) a componente y da força resultante a que o corpo está submetido e (c) qual é a força resultante em termos dos vetores unitários? (trabalhando vetores no contexto de força). 43

10 12. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Duas forças horizontais agem sobre um bloco de madeira de 2 kg que pode deslizar sem atrito na bancada de uma cozinha, situada em um plano xy. Uma das forças é F1=3i+4j. Determine a aceleração do bloco em termos dos vetores unitários se a outra é: (a) F=-3i+(-4)j; (b) F=-3i+4j; (c) F=3i+(- 4)j.(obs.: todas as forças são dadas em Newtons) (trabalhando vetores no contexto de força) 13. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Na figura abaixo, três blocos conectados são puxados para a direita sobre uma mesa horizontal sem atrito por uma força de módulo T 3 =65N. Se m 1 =12kg, m 2 =24kg e m 3 =31kg, calcule (a) o módulo da aceleração do sistema, (b) a tração e T 1 (c) a tração T (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) A figura abaixo mostra uma caixa de dinheiro sujo (m 1 =3 kg) sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo θ 1 =30. A caixa está ligada por uma corda de massa desprezível a uma caixa de dinheiro lavado (m 2 =2 kg) situada sobre um plano sem atrito de ângulo θ 2 =60. A polia não tem atrito e tem massa desprezível. Calcule a tração da corda. 14. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) A figura abaixo mostra dois blocos ligados por uma corda (de massa desprezível) que passa por uma polia sem atrito (também de massa desprezível). O conjunto é conhecido como máquina de Atwood. Um bloco de massa m 1 =1,3kg; o outro tem massa m 2 =2,8kg. Quais são (a) o módulo da aceleração dos blocos e (b) a tração na corda? 17. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) No sistema da figura, m 1 = 20 kg, m 2 = 40 kg, m 3 = 60 kg. Desprezando as massas das polias e dos fios e o atrito, calcule a aceleração do sistema e as tensões nos fios 1, 2, (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Um bloco de massa m 1 = 3,70 kg sobre um plano sem atrito inclinado, de ângulo θ = 30,0º, está preso por uma corda de massa desprezível, que passa por uma polia de massa e atrito desprezíveis, a um outro bloco de massa m 2 = 2,30 kg. Quais são (a) o módulo da aceleração de cada bloco, (b) a orientação da aceleração do bloco que está pendurado e (c) a tração da corda? 18. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) A figura abaixo mostra três blocos ligados por cordas que passam por polias sem atrito. O bloco B está sobre uma mesa sem atrito. As massas são m A = 6,00 kg, m B = 8,00 kg e m C = 10,0 kg. Quando os blocos são liberados qual a tração na corda da direita? 44

11 19. (CUTNELL & JOHNSON, 6ª Ed) No desenho, o peso do bloco sobre a mesa é de 422N e o bloco pendurado tem peso de 185N. Ignorando todos os efeitos de atrito e supondo que a roldana não possui massa, determine: (a) a aceleração dos dois blocos e (b) a tração no cabo. 22. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) O bloco B da figura abaixo pesa 711N. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a mesa é de 0,25; o ângulo α é de 30. Determine o peso máximo de A para que o sistema permaneça em repouso. 20. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Uma lata de antioxidantes (m 1 = 1,0 kg) sobre um plano inclinado sem atrito esta ligado a uma lata de apresuntado (m 2 = 2,0 kg). A polia tem massa e atrito desprezíveis. Uma força vertical para cima de módulo F = 6,0 N atua sobre a lata de apresuntado, que tem uma aceleração para baixo de 5,5 m/s 2. Determine (a) a tração da corda e (b) o ângulo β. 23. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Os três blocos da figura abaixo são liberados a partir do repouso. Aceleram com um módulo de 0,500 m/s². O bloco 1 tem massa M, o bloco 2 tem massa 2M e o bloco três tem massa 2M. Qual o coeficiente de atrito cinético entre o bloco 2 e a mesa? 21. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) No sistema da figura, o bloco 1 tem massa 10 Kg e seu coeficiente de atrito estático com o plano inclinado é 0,5. Entre que valores mínimo e máximo pode variar a massa m bloco 2 para que o sistema permaneça em equilíbrio? 24. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) O bloco A da figura abaixo Pesa 102N, e o bloco B pesa 32N. Os coeficientes de atrito entre o bloco A e a rampa são µ e =0,56 e µ c =0,25. O ângulo de inclinação da rampa com a horizontal é de 40. Suponha que o eixo x é paralelo à rampa, com o 45

12 sentido positivo para cima. Em termos de vetores unitários, qual é a aceleração de A se A está inicialmente (a) em repouso, (b) subindo a rampa e (c) descendo a rampa? 27. (CUTNELL & JOHNSON, 6ª Ed) O desenho mostra um caixote de 25,0 kg que inicialmente está em repouso. Observe que a vista mostrada é uma vista da parte de cima do caixote. Duas forças, F 1 e F 2 são aplicadas ao caixote, e ele começa a se mover. O coeficiente de atrito cinético entre o caixote e o piso é µ c = 0,35. Determine o módulo e o sentido (em relação ao eixo +x) da aceleração do caixote. 25. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Um bloco de 3,5kg é empurrado ao longo de um piso horizontal por uma força F de módulo 15N que faz um ângulo de 40 com a horizontal (figura abaixo). O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso é 0,25. Calcule (a) o módulo da força de atrito que o piso exerce sobre o bloco e (b) o módulo da aceleração do bloco. 26. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Um bloco de 4,1 kg é empurrado sobre o piso pela aplicação de uma força horizontal constante de módulo 40N. A figura abaixo mostra a velocidade do bloco v em função do tempo t quando o bloco se desloca sobre o piso ao longo de um eixo x. A escala vertical do gráfico é definida por vs=5 m/s. Qual é o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso? 28. (CUTNELL & JOHNSON, 6ª Ed) Um caixote de 225 kg repousa sobre uma superfície que está inclinada de um ângulo de 20 acima da horizontal. Uma força horizontal (módulo = 535 N e paralela ao chão, não ao plano inclinado) é necessária para dar início ao movimento de descida do caixote no plano inclinado. Qual o coeficiente de atrito estático entre o caixote e o plano inclinado? 29. (PAUL A. TIPLER, GENE MOSCA, 6ª Ed) Dois blocos ligados por um cordão como mostra a figura abaixo, deslizam para baixo sobre um plano inclinado de 10. O bloco 1 tem a massa m 1 = 0,80 kg e o bloco 2 tem massa m 2 = 0,25 kg. Ademais, os coeficientes de atrito cinético entre os blocos e o plano são 0,30, para o bloco 1 e 0,20 para o bloco 2. Encontre (a) a magnitude da aceleração dos blocos e (b) a tração no cordão. 46

13 30. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Um caixote de 68 kg é arrastado sobre um piso, puxado por uma corda inclinada 15 acima da horizontal. (a) Se o coeficiente de atrito estático é 0,50, qual é o valor mínimo do módulo da força para que o caixote comece a se mover? (b) se µ c = 0,35, qual é o módulo da aceleração do caixote? 31. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Suponha que o coeficiente de atrito estático entre a estrada e os pneus de um carro é 0,60 e não há sustentação negativa. Que velocidade deixa o carro na iminência de derrapar quando faz uma curva não compensada com 30,5 m de raio? 36. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Um disco de metal de massa m=1,5 kg descreve uma circunferência de raio r = 20 cm sobre uma mesa sem atrito, enquanto permanece ligado a um cilindro de massa M=2,5 kg, pendurado por um fio que passa no centro da mesa (figura abaixo). Que velocidade do disco mantém o cilindro em repouso? 32. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Qual o menor raio de uma curva sem compensação (plana) que permite um ciclista a 29 km/h faça a curva sem derrapar se o coeficiente de atrito estático* entre os pneus e a pista é de 0,32? 33. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Durante uma corrida de trenós nas Olimpíadas de Inverno, a equipe jamaicana fez uma curva de 7,6m de raio com uma velocidade de 96,6 km/h. Qual foi a sua aceleração em unidades de g? 34. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Na figura abaixo, um carro passa com velocidade constante por uma elevação circular e por uma depressão circular de mesmo raio. No alto da elevação a força exercida sobre o motorista pelo assento do carro é zero. A massa do motorista é de 70 kg. Qual é a força normal exercida pelo motorista no banco quando ele passa pelo fundo vale? 37. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) As curvas das rodovias costumam ser compensadas (inclinadas) para evitar que os carros derrapem. Quando a estrada está seca a força de atrito entre os pneus e o piso pode ser suficiente para evitar derrapagens. Quando a pista está molhada o coeficiente de atrito diminui e a compensação se torna essencial. A figura abaixo mostra um carro que se move com velocidade escalar constante de 20 m/s em uma pista circular compensada de raio 190 m. Se a força de atrito é desprezível, qual o menor ângulo de inclinação para o qual o carro não derrapa? 35. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Um avião está voando em uma circunferência horizontal com uma velocidade de 480 km/h(figura abaixo). Se as asas estão inclinadas formando 40 com a horizontal, qual é o raio da circunferência? Suponha que a força necessária para manter esse avião na trajetória resulte inteiramente de uma sustentação aerodinâmica perpendicular à superfície das asas. 38. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Uma curva circular compensada de uma rodovia foi planejada para uma velocidade de 60 km/h. O raio da curva é 200 m. Em um dia chuvoso, a velocidade dos carros diminui para 40 km/h. Qual é o menor coeficiente de atrito entre os pneus e a estrada para que os carros façam a curva sem derrapa? 47

14 39. (HALLIDAY E RESNICK, 9ª Ed) Uma bola de 1,34 kg é ligada por meio de dois fios de massa desprezível, cada um com comprimento L = 1,70 m, a uma haste vertical giratória. Os fios estão amarrados à haste a uma distância d = 1,70 m um do outro e estão esticados. A tração do fio de cima é 35 N. determine (a) a tração do fio de baixo; (b) o modulo da força resultante a que esta sujeita a bola; (c) a velocidade escalar da bola; (d) a direção da força resultante. 40. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4ª Ed) O coeficiente de atrito estático entre as roupas de uma pessoa e a parede cilíndrica de uma centrífuga de parque de diversões de 2 m de raio é 0,5. Qual é a velocidade mínima da centrifuga para que a pessoa permaneça colada à parede, suspensa acima do chão? 48