ÍNDICE. I.2 - Produtos com vectores e normas: vectores ortogonais; conjunto ortogonal de vectores; conjunto ortonormal de vectores.

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1 ÍNDICE AGRADECIMENTOS vii PREFÁCIO ix PALAVRAS INICIAIS xiii CAPÍTULO I MATRIZES I.1 Conceito de vector. Operações com vectores e algumas propriedades: adição de vectores e multiplicação de um vector por um escalar. Combinação linear de um conjunto de vectores. 1 I.2 - Produtos com vectores e normas: vectores ortogonais; conjunto ortogonal de vectores; conjunto ortonormal de vectores. 15 I.3 - Conceito de matriz. Matrizes especiais: matriz linha, matriz coluna, matriz triangular, matriz diagonal, matriz escalar, matriz identidade; matriz transposta, matriz ortogonal. 27 I.4 - Operações com matrizes e algumas propriedades: adição de matrizes, multiplicação de uma matriz por um escalar e multiplicação de matrizes. 35 I.5 - Matrizes fraccionadas: conceito de submatriz, adição e multiplicação de matrizes fraccionadas. Espaço coluna de uma matriz. Matrizes Elementares e Matriz de Permutação. 53 I.6 Inversão de matrizes. 65 CAPÍTULO II SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES II.1 Sistemas de equações algébricas lineares breve revisão dos métodos gráfico, de substituição e de adição ordenada. 73 II.2 Resolução e discussão de sistemas de equações algébricas lineares. Condensação de matrizes. Característica de uma matriz. Algoritmo de Gauss. 83 II.3 Sistemas homogéneos. Conjunto solução de um sistema homogéneo. Espaço nulo ou núcleo de uma matriz. Dependência e independência linear de filas paralelas de uma matriz. 115 II.4 Aplicação do estudo de sistemas de equações lineares na inversão de matrizes. 129

2 CAPÍTULO III DETERMINANTES III.1 Introdução da noção de determinante. Determinante de primeira ordem e determinante de segunda ordem: definição e propriedades. 137 III. 2 Determinante de ordem n: definição e propriedades. Cálculo do determinante de uma matriz à custa do determinante de uma matriz triangular obtida por eliminação de Gauss. 143 III.3 - Aplicações dos determinantes no cálculo da matriz inversa e na resolução de sistemas de equações lineares (regra de Cramer). 173 CAPÍTULO IV VALORES PRÓPRIOS E VECTORES PRÓPRIOS IV.1 Conceito de valor próprio e vector próprio de uma matriz quadrada. 185 IV.2 Polinómio característico de uma matriz quadrada. 189 IV.3 Espaço próprio, multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de um valor próprio. 195 IV.4 Diagonalização de matrizes. 203 IV.5 Matrizes simétricas e matrizes anti-simétricas. Diagonalização de matrizes simétricas. Espectro e decomposição espectral de uma matriz simétrica. 213 PALAVRAS FINAIS 229 BIBLIOGRAFIA 231

3 PREFÁCIO Ensinar e estudar álgebra linear nos primeiros anos do Ensino Superior continua, parece, a ser uma tarefa árdua. A precedente afirmação fundamenta-se em factos de dois tipos: as queixas dos ensinantes/ autores e dos estudantes/ leitores; e os vários estudos que têm vindo a lume sobre o problema da álgebra linear, com relevância, ao que conhecemos, para autores franceses e americanos. O queixume tem: um nó o carácter abstracto dos temas abordados; e um horizonte a (aparente) falta de aplicação dos conceitos. Pois bem! Quanto à abstracção: continua a haver dois trilhos essenciais uns autores partem do conceito de espaço vectorial; outros amaciam o caminho, apoiandose na teoria das matrizes. A abstracção estará sempre lá, e ainda bem! Quanto às aplicações: muito se tem escrito, em textos didácticos, sobre a vasta gama de aplicações da álgebra linear sobretudo devido à larga difusão dos computadores amigáveis razão por que não é difícil convencer o estudante/leitor da utilidade prática deste assunto. E o texto que temos em mãos? Dirige-se, essencialmente, a estudantes do 1º ciclo de estudos em Economia e Gestão. É, porém, texto adaptável para estudantes de qualquer ramo do conhecimento que seja cliente da álgebra linear: ciências duras ou ciências moles; ciências exactas ou naturais; ciências humanas ou sociais. A autora com prática longa, diversificada, diferenciada, reflectida resistiu a duas tentações: a do egoísmo disciplinar (não pondo todo o peso na sua disciplina em detrimento de outras); e a da inovação a todo o custo. De facto, o texto em apreço: é modesto na sua ambição texto de apoio a estudantes que (passe a redundância...) vão às aulas; está escrito em linguagem simples, rigorosa, densa e, mesmo, tensa; é pouco retórico e as notações são adequadas e não suscitam confusão. ix

4 Para quê mais um livro de álgebra linear e, ainda por cima, em língua portuguesa? Esta pergunta ocorrerá a muita gente: ensinantes, avaliadores de diversos painéis... e, mesmo, estudantes. Aberto este livro, encontramos um texto: breve, bem elaborado, bem estruturado e escrito em bom Português. Pensando nos principais destinatários e olhando pormenorizadamente para o conteúdo, concluímos que estas Lições de Álgebra Linear têm futuro. Destinando-se a alunos do primeiro ciclo de Economia e Gestão, está entendido por que se trata de texto curto, rigoroso mas não presunçoso. Alunos que vão às aulas! Se vão às aulas, que necessidade há para este texto? A aula dá ao estudante o ambiente: para a motivação, para participar na construção dos conceitos, para pressentir a aplicação, para medir a tensão entre o rigor e a intuição. Ter um texto destes à disposição permite ao estudante várias coisas: estar disponível para usufruir das aulas em toda a plenitude, sem a preocupação de registar informação; antecipar a ida à aula ou tentar suprir a lacuna, se lá não foi; ter tempo, noutro espaço, para meditar sobre a matéria que lhe é proposta; e medir forças com um texto que, apesar da escrita densa e tensa como já dissemos encaminha, pacientemente, o leitor em passos seguros e sem atalhos enganadores. Escolhidos os principais destinatários, o conteúdo, adequadamente, centra-se nas ferramentas que são as matrizes e os determinantes com a finalidade de tratar dos sistemas de equações algébricas lineares e, de caminho, estudar o problema dos valores próprios. No delicado tema dos valores próprios e vectores próprios vai-se longe, a ponto de se incidir sobre os espaços próprios e fazer uma incursão pela decomposição espectral duma matriz. Ao longo do texto, há numerosos exemplos e exercícios, alguns dos quais, pelo simples facto da sua formulação, indiciam a larga experiência docente da autora. x

5 Este é um texto para os alunos se iniciarem na Álgebra Linear. Ficam estes estudantes matematicamente maduros, mesmo que, com aturado esforço, consigam dominar os conceitos aqui apresentados? É claro que não! Nem com este texto, nem com nenhum outro. O que é um estudante maduro? É alguém que, no fim dum ciclo, mais ou menos demorado, de estudos, seja capaz de: manejar a verruma da intuição, empunhar a enxó do rigor, afilar a ponta analítica, tecer a rede sintética, amolar o gume crítico, abrir o dique da iniciativa, exercitar o músculo organizativo, rodar a dobadoira da perseverança. Para que um aluno devenha um estudante sazonado, não há livro de texto que baste! Há que dar vida a um texto, isto é, há que acrescentar: o professor profissionalmente lúcido e civicamente empenhado; a escola aberta e culta; e o próprio estudante que tem que trabalhar. Trabalhar no sentido seguinte: no dever que tem de aproveitar o direito ao acesso ao abstracto, de não desperdiçar a concedida oportunidade da prática da abstracção. Vale a pena fazer tal esforço. Coimbra, Abril de 2010 José Vitória Professor Catedrático de Matemática Aposentado Universidade de Coimbra xi