Investigação Operacional

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Investigação Operacional"

Transcrição

1 Métodos de Programação Linear: Gráfica, (Mestrado) Engenharia Industrial - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas 1 Representação Gráfica Considere o seguinte problema de PL: duas variáveis, permite a representação gráfica do problema 2

2 Representação Gráfica Não negatividade Uma restrição 3 Representação Gráfica Duas restrições 4

3 Representação Gráfica Conjunto de restrições 5 Representação Gráfica Espaço de soluções 6

4 Representação Gráfica Função objectivo: família de rectas 7 Representação Gráfica 8

5 Soluções de modelos de PL Conjunto das soluções admissíveis pode ser Vazio Não vazio (Limitado ou Ilimitado) Um modelo de PL pode Ser impossível Ser ilimitado Ter soluções óptimas alternativas* Ter uma única solução óptima Os dois primeiros casos, normalmente, indicam que o modelo de PL está mal formulado ou houve erros na sua introdução, já que não é frequente existirem problemas de decisão "reais" sem alternativas ou com alternativas tão boas quanto desejarmos. * Tipicamente, o software para PL só identifica uma solução óptima. 9 Soluções de modelos de PL 10

6 11 12

7 13 14

8 Algoritmos para PL 15 Algoritmos para PL Se tiver curiosidade em ter uma ideia do que é isto de teoria da complexidade, uma excelente introdução para leigos é feita em J. Buescu, Quem quer ser milionário?, em O Mistério do Bilhete de Identidade e outras histórias Crónicas das fronteiras da Ciência, Gradiva, 4ª edição, Já agora, o problema de PL é um problema do tipo P (provado em 1979 devido ao método do Elipsóide) mas o algoritmo não é polinomial. 16

9 Forma do modelo de PL Forma normal /estandardizada / padrão Maximização; Todas as restrições são equações; Todas as variáveis são restringidas a serem não negativas

10 Considere um problema de maximização de lucro relacionado com duas actividades e três recursos. Na tabela seguinte são dados os consumos unitários de cada recurso (A, B e C) por actividade (1 e 2), a disponibilidade de cada recurso e o lucro unitário de cada actividade. Formule o problema através de um modelo de PL. 19 Temos 3 equações e 5 incógnitas (sistema de equações indeterminado). Se fixarmos 2 variáveis a zero, temos 3 equações a 3 incógnitas e podemos determinar a solução desse sistema. 20

11 21 22

12 23 24

13 25 26

14 27 28

15 29 30

16 Problema geral: n variáveis, m equações. Qualquer conjunto de m variáveis cujo sistema de equações tenha solução designa-se por base (exemplo, x 3, x 4, x 5 ). Dada uma base é fácil determinar a solução lhe está associada, basta fixar a 0 as variáveis que não fazem parte da base (variáveis não básicas, no exemplo dado x 1 e x 2 ) e resolver o sistema de equações para as restantes (variáveis básicas) - obtendo-se uma solução básica ex. x 1 =0, x 2 =0, x 3 =720, x 4 =880, x 5 =

17 33 34

18 35 36

19 37 38

20 39 A cada ponto extremo corresponde uma solução básica admissível (sem coordenadas negativas) e vice-versa. 40

21 Uma solução básica pode ser admissível ou não admissível (no exemplo, A,B,G,F,I correspondem a bases admissíveis e C,H,E,D a bases não admissíveis). Para saber se a base é admissível ou não basta ver se as restrições de não negatividade são satisfeitas. Já tínhamos chegado à conclusão de que se existe uma solução óptima finita, então há, pelo menos, um ponto extremo que é solução óptima. A cada ponto extremo está associada uma base admissível......então basta determinar todas as soluções básicas e o seu valor (na função objectivo) e ver qual é a solução que tem maior valor (problema de maximização). 41 Determinar a solução associada a uma base é fácil: resolver um sistema de m equações a m incógnitas (método de Gauss-Jordan). Só há um "pequeno" problema, o número de bases pode atingir n C m = n! n m! m! ( ) Por exemplo, para um problema com 100 variáveis e 10 restrições esse número é 1.73e+13. Com a folha de cálculo Excel (Microsoft Office 2003) já não se consegue determinar esse valor para um problema com 2000 variáveis e 250 restrições. O número de combinações é gigantesco para um problema pequeno! 42

22 Algoritmo : começa-se numa base e vê-se se ela corresponde à solução óptima (temos maneira de fazer isso?). Se for, temos a solução óptima. Se não for, passamos para outra base (como?) que pareça promissora (e como se vê isso?) e repetimos o procedimento. Não parece grande ideia, dado o número de bases ser tão grande... De facto, a análise (com base na teoria da complexidade) do comportamento do algoritmo simplex no pior caso não é muito simpática para este algoritmo (já foram construídos propositadamente problemas em que o simplex tinha de testar todas as bases!). 43 A boa notícia é que, em problemas reais, o comportamento do algoritmo é muitíssimo melhor do que a análise para o pior caso da teoria da complexidade. O algoritmo (na verdade, os algoritmos da classe de métodos, porque, na prática, há diferenças consideráveis entre os diferentes algoritmos que se baseiam nestas ideias) continua a ser largamente o mais utilizado na resolução de problemas de PL reais. O é um exemplo clássico de como, por vezes, a análise teórica do pior caso, não é adequada à classificação prática dos algoritmos. 44

23 No seguinte problema qual é a base que tem uma solução mais fácil de calcular? 45 função objectivo: z-10x 1-9x 2-0x 3-0x 4-0x 5 =0 Os valores que aparecem nesta linha são denominados por custos reduzidos. A que solução corresponde o quadro simplex apresentado? 46

24 Um quadro simplex que corresponda a uma solução básica admissível (primal) tem as seguintes características: Uma coluna correspondente a uma variável básica tem um 1 na linha associada à variável básica e zeros em todas as outras linhas (exemplo, a coluna de x 5 tem um 1 na terceira linha - associada à variável x 5 e zeros nas primeira e segunda linhas). Esta característica implica que as colunas das variáveis básicas formam uma matriz identidade. Na linha da função objectivo, todas as variáveis básicas têm coeficiente 0. Os termos independentes são sempre maiores ou iguais a zero (manter válida a não-negatividade). 47 A cada quadro simplex corresponde uma solução básica admissível imediatamente perceptível através das variáveis básicas e da coluna dos termos independentes. No exemplo, x 3 =200, x 4 =230, x 5 =70. A solução associada ao quadro simplex é óptima? 48

25 Não! Se se aumentar o valor de x 1 ou x 2 o valor de z aumenta (e pretende-se maximizar o valor de z). O que o coeficiente -10 de x 1 (linha da função objectivo) significa é que por cada unidade de aumento de x 1 o valor da função objectivo, aumenta 10 unidades (o sinal negativo é devido à mudança de membro efectuada inicialmente). Em cada iteração do simplex passa-se (da base actual) para uma base adjacente (que se obtém da actual passando uma variável não básica a básica e uma variável básica a não básica - o número de variáveis básicas é constante). 49 Não! Se se aumentar o valor de x 1 ou x 2 o valor de z aumenta (e pretende-se maximizar o valor de z). O que o coeficiente -10 de x 1 (linha da função objectivo) significa é que por cada unidade de aumento de x 1 o valor da função objectivo, aumenta 10 unidades (o sinal negativo é devido à mudança de membro efectuada inicialmente). Em cada iteração do simplex passa-se (da base actual) para uma base adjacente (que se obtém da actual passando uma variável não básica a básica e uma variável básica a não básica - o número de variáveis básicas é constante). Qual a variável mais promissora para entrar na base? 50

26 A variável mais promissora é x 1 (aumento de 10 unidades na função objectivo por unidade de aumento de x 1, para x 2 esse valor é 9 o que é pior já que se está a maximizar). Isto é uma decisão gulosa, míope não garante que seja a melhor decisão. E se houver empate? (custos reduzidos iguais) 51 Sendo assim x 1 entra na base (passará a tomar um valor positivo)! Qual a variável que sai base? Como o aumento do valor de x 1 aumenta o valor da função objectivo, queremos aumentar o mais possível o seu valor. Qual é o limite? 52

27 Tem de haver um limite (ou melhor, se não houver um limite o problema é ilimitado, mas não é esse o caso do exemplo). O que acontece às outras variáveis quando se aumenta o valor de x 1 A variável x 2 continua não básica (logo com valor igual a 0). As outras relacionam-se com x 1 através das restrições. Qual a variável que deve sair da base? 53 54

28 55 Coluna pivot 56

29 Coluna pivot 57 Coluna pivot Linha pivot A variável que sai da base é x 5, a primeira que se anula (logo passa a não básica) quando se tenta aumentar x 1 o mais possível. A razão entre o valor da coluna dos termos independentes e o valor da coluna da variável que vai entrar na base para todas as linhas (cujo valor seja positivo) e escolher a menor. 58

30 Coluna pivot Linha pivot (Na resolução primal) O elemento pivot nunca pode ser negativo. 59 Coluna pivot Se houver empate na saída? escolha indiferente: algoritmo pode entrar em ciclo escolhe-se a razão de maior divisor: sai x 3 60

31 Como obter o quadro correspondente à nova base? Cada linha corresponde a uma equação de um sistema, logo pode-se multiplicar toda a linha por uma constante pode-se somar duas linhas, substituindo uma delas pelo resultado da soma, que o sistema de equações não se altera (só se altera a sua representação). No exemplo, a linha 3 (L3) é a linha pivot, fazendo as operações L3 / 2 (para a linha L3) 5L3 + L4 (para a linha L4) -2L3+L2 (para a linha L2) -(5/2)L3+L1 (para a linha L1) Coluna pivot obtém-se o quadro simplex correspondente à nova base 61 Para experimentar e/ou verificar cálculos: 62

32 PROGRAMAÇÃO LINEAR - PL Fizemos uma iteração do algoritmo simplex primal: 1. Teste de optimalidade (a solução básica actual é óptima se todos os coeficientes da função objectivo (custos reduzidos) são não negativos). Se a solução é óptima, parar. Se não, prosseguir com o passo Decidir qual a variável que entra na base (é aquela que tem o coeficiente mais negativo na linha da função objectivo - em caso de empate escolher a variável que crescerá mais. Se persistir o empate, escolher arbitrariamente). Prosseguir com o passo Decidir qual a variável básica que sai da base (é aquela que tem a razão do critério de saída mais pequena - excluindo as razões negativas; em caso de empate, escolher o maior elemento pivot. Se persistir o empate, escolher arbitrariamente). Se não houver nenhuma razão estritamente positiva o problema é ilimitado, parar. Se não, prosseguir para Actualizar o quadro simplex para a base actual e passar à iteração seguinte (passo 1)

33 O quadro simplex obtido em qualquer iteração corresponde sempre a uma solução básica admissível e a um ponto extremo. Quadro óptimo do exemplo (após duas iterações). 65 Soluções alternativas O que são? Como se identifica a sua existência? Custo(s) reduzido(s) NULO(s) nas variáveis não básicas. 66

34 Degenerescência O algoritmo simplex pode entrar em ciclo (se não forem tomadas as devidas previdências) por causa da existência de soluções básicas degeneradas (soluções em que há variáveis básicas com valor zero). A causa é a presença de restrições redundantes (que não são fáceis de detectar analiticamente...). De uma iteração para a seguinte, pode acontecer que a base seja diferente, mas o valor das variáveis de decisão seja o mesmo (uma básica com valor zero sai da base e uma não básica entre na base com valor zero). 67 Degenerescência Na prática, o software actual tem implementadas formas de lidar com a degenerescência (através de regras mais sofisticadas do que escolher arbitrariamente a variável que entra na base em caso de empate). De qualquer maneira, em problemas muito degenerados, este fenómeno pode abrandar significativamente a execução do método. Um só ponto extremo e duas bases! 68

35 Como obter um quadro simplex válido para um problema que tenha restrições de igualdade e/ou de maior ou igual? Note-se que, se o problema só tiver restrições de "menor ou igual", temos sempre uma base "à mão": a constituída pelas variáveis de folga - como no exemplo anterior. O ponto de solução nula pertence ao espaço de soluções válidas, e forma-se a base com as variáveis de folga. 69 Modelos (a) e (b) são equivalentes. O modelo (b) está na forma estandardizada e inclui uma variável de excesso (primeira restrição) e uma variável de folga (segunda restrição). Para a segunda linha é fácil encontrar uma variável básica inicial (tem coeficiente 1 na própria linha e 0 nas restantes). Qual a variável básica a associar à primeira linha? Não é claro. Não há nenhuma variável que tenha coeficiente 1 na própria linha e 0 nas restantes. Modifica-se o modelo por inclusão de variáveis artificiais ->vê-se isso na próxima aula 70

Investigação Operacional

Investigação Operacional Métodos de Programação Linear: Big M, Fases, S Dual (Licenciatura) Tecnologias e Sistemas de Informação http://dps.uminho.pt/pessoais/zan - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas 1 Simplex

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Linear (PL) Aula 10: Método Simplex Técnica das variáveis artificias Método das penalidades ( Big M ). Método das duas fases. 2 Modificando o Exemplo Protótipo. Suponha-se que é modificado

Leia mais

CAPÍTULO 4. Teoria da Dualidade

CAPÍTULO 4. Teoria da Dualidade CAPÍTULO 4 1. Introdução Uma dos conceitos mais importantes em programação linear é o de dualidade. Qualquer problema de PL tem associado um outro problema de PL, chamado o Dual. Neste contexto, o problema

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. IV Modelo Dual António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i Cap. IV - Modelo Dual - Exercícios IV. Modelo Problema Dual 1. Apresente o

Leia mais

CAPÍTULO 3. Método Simplex

CAPÍTULO 3. Método Simplex CAPÍTULO 3 1. Soluções Básicas Admissíveis Considere um problema de PL representado nas suas formas padrão e matricial. Uma base é um conjunto de m variáveis, tais que a matriz dos coeficientes do sistema

Leia mais

O Problema de Transportes

O Problema de Transportes Investigação Operacional- 00/0 - Problemas de Transportes 8 O Problema de Transportes O problema geral de transportes consiste em determinar a forma mais económica de enviar um bem que está disponível

Leia mais

Simplex. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Simplex. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Simplex Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 3 c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear abordagem algébrica max sujeito a: n

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Ano lectivo: 0/06 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o Algoritmo Simplex Cursos: Gestão e Economia. Considere o seguinte conjunto

Leia mais

Resolução de PL usando o método Simplex

Resolução de PL usando o método Simplex V., V.Lobo, EN / ISEGI, 28 Resolução de PL usando o método Simplex Método Simplex Algoritmo para resolver problemas de programação linear George Dantzig, 947 Muito utilizado Facilmente implementado como

Leia mais

Método Simplex V 1.1, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008

Método Simplex V 1.1, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008 .,.Lobo, EN / ISEGI, 8 Método Simplex Resolução de PL usando o método Simplex Algoritmo para resolver problemas de programação linear George Dantzig, 97 Muito utilizado Facilmente implementado como programa

Leia mais

Problema de Transporte (Redes) Fernando Nogueira Problema de Transporte 1

Problema de Transporte (Redes) Fernando Nogueira Problema de Transporte 1 Problema de Transporte (Redes) Fernando Nogueira Problema de Transporte 1 O Problema de Transporte consiste em determinar o menor custo (ou o maior lucro) em transportar produtos de várias origens para

Leia mais

Problemas de Transportes e de Afectação

Problemas de Transportes e de Afectação CAPÍTULO 6 Problemas de Transportes e de Afectação 1. Problema de Transporte Este problema, que é um dos particulares de PL, consiste em determinar a forma mais económica de enviar um bem disponível, em

Leia mais

Método Simplex dual. Marina Andretta ICMC-USP. 24 de outubro de 2016

Método Simplex dual. Marina Andretta ICMC-USP. 24 de outubro de 2016 Método Simplex dual Marina Andretta ICMC-USP 24 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 - Otimização

Leia mais

A Dualidade em Programação Linear

A Dualidade em Programação Linear Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 14 A Dualidade em Programação Linear Para melhor ilustrar este conceito vamos estudar dois problemas intimamente relacionadas: o problema da dona

Leia mais

Vânio Correia Domingos Massala

Vânio Correia Domingos Massala Optimização e Decisão 06/0/008 Método do Simplex Vânio Correia - 5567 Domingos Massala - 58849 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Generalidades do Método do Simplex Procedimento algébrico iterativo para resolver

Leia mais

Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear Pedro A. Santos

Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear Pedro A. Santos Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear MEG Operações Elementares Trocar a posição de duas equações Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero Não alteram

Leia mais

Programação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr.

Programação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr. Programação Linear São problemas complexos, muitas vezes de difícil solução e que envolvem significativas reduções de custos, melhorias de tempos de processos, ou uma melhor alocação de recursos em atividades.

Leia mais

O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT).

O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT). Prof. Geraldo Nunes Silva (Revisado por Socorro Rangel) Estas notas de aula são Baseadas no livro: Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, a ed., 9 Agradeço a Professora

Leia mais

Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Simplex Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Leia mais

Pesquisa Operacional. Prof. José Luiz

Pesquisa Operacional. Prof. José Luiz Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Resolver um problema de Programação Linear significa basicamente resolver sistemas de equações lineares; Esse procedimento, apesar de correto, é bastante trabalhoso,

Leia mais

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica.

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Ano lectivo: 2008/2009; Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Cursos: Economia 1. Formule o problema

Leia mais

2º Semestre 2002/2003 Problemas Resolvidos

2º Semestre 2002/2003 Problemas Resolvidos RESOLUÇÂO DO PROBLEMA Nº 19 Determinado problema de Programação Linear depois de formulado permitiu obter as seguintes expressões: Max L = 4x 1-2x 2 + 2x 3 -x 4 s.a. R 1: x 1 - x 2 + 2x 3 +x 4 10 R 2:

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. ROTEIRO Esta aula tem por base o Capítulo 3 do livro de Taha (2008): Motivação Conceitos Matemáticos Iniciais

Leia mais

Sistemas de equações lineares

Sistemas de equações lineares ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a n x n = b

Leia mais

Slide 1. c 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Slide 1. c 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear e Método Simplex Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 1 c 1998 Programação Linear e Método Simplex 1 Slide 2 Toda a teoria deve ser feita para poder

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. MÉTODO SIMPLEX A ideia geral é Em vez de enumerar todas as soluções básicas (pontos extremos) do problema de PL,

Leia mais

MÉTODO SIMPLEX SOLUÇÃO INICIAL ARTIFICIAL

MÉTODO SIMPLEX SOLUÇÃO INICIAL ARTIFICIAL MÉTODO SIMPLEX SOLUÇÃO INICIAL ARTIFICIAL Problemas de PL nos quais todas as restrições são ( ) com lados direitos não negativos oferecem uma solução básica inicial viável conveniente, na qual todas as

Leia mais

Recursos críticos disponíveis: Madeira 300 metros Horas de trabalho 110 horas

Recursos críticos disponíveis: Madeira 300 metros Horas de trabalho 110 horas I. Programação Linear (PL) 1. Introdução A Programação Linear é, no campo mais vasto da Programação Matemática, uma das variantes de aplicação generalizada em apoio da Decisão. O termo "Programação" deve

Leia mais

X - D U A L I D A D E

X - D U A L I D A D E X - D U A L I D A D E 1 - Introdução. Regras de transformação "Primal - Dual" Consideremos os dois problemas P1 e P2 de Programação Linear seguintes: P1 : n Maximizar F = Σ ck. Xk k = 1 n Σ aik. Xk bi

Leia mais

Problemas de Fluxos em Redes

Problemas de Fluxos em Redes Investigação Operacional Problemas de Fluxos em Redes Slide Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Problemas de fluxos em redes Rede: Conjunto de pontos (vértices) ligados por linhas ou

Leia mais

Actividade Formativa 1

Actividade Formativa 1 Actividade Formativa 1 Resolução 1. a. Dada a função y 3+4x definida no conjunto A {x R: 2 x < 7} represente graficamente A e a sua imagem; exprima a imagem de A como um conjunto. b. Dada a função y 3

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL 11. SOLUÇÃO ALGEBRICA O MÉTODO SIMPLEX ( ) DEFINIÇÕES REGRAS DE TRANSFORMAÇÃO. Prof. Edson Rovina Página 16

PESQUISA OPERACIONAL 11. SOLUÇÃO ALGEBRICA O MÉTODO SIMPLEX ( ) DEFINIÇÕES REGRAS DE TRANSFORMAÇÃO. Prof. Edson Rovina Página 16 11. SOLUÇÃO ALGEBRICA O MÉTODO SIMPLEX Página 16 Após o problema ter sido modelado, pode-se resolvê-lo de forma algébrica. A solução algébrica é dada pelo método simplex elaborado por Dantzig. Antes da

Leia mais

Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss

Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss Pedro Vasconcelos DCC/FCUP 2015 Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss 2015 1 / 23 Nesta

Leia mais

Tópicos Especiais em Computação I

Tópicos Especiais em Computação I Tópicos Especiais em Computação I Pesquisa Operacional Exercícios (Simplex) Prof. Fabio Henrique N. Abe Fabio.henrique.abe@gmail.comd Método Simplex Desenvolvido por George Dantzig em 1947 É um procedimento

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional Casos Especiais do Método Simplex e Gráfica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG setembro - 2015 1 Casos Especiais do Método Simplex Degeneração Múltiplas soluções ótimas

Leia mais

Matemática I. Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares

Matemática I. Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares Matemática I Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares Objectivos Matrizes especiais e propriedades do produto de matrizes Matriz em escada de linhas Resolução de sistemas de equações lineares

Leia mais

Combinando inequações lineares

Combinando inequações lineares Combinando inequações lineares A multiplicação por um número > 0 não altera uma inequação 2x x 5 4x 2x 10 1 2 1 2 A soma de duas inequações (com o mesmo sentido) produz uma inequação válida x 3x x 3 1

Leia mais

IV - P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R :

IV - P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R : IV - P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R : C O N C E I T O S F U N D A M E N T A I S Consideremos um problema de Programação Linear apresentado na sua forma standard: Maximizar F = c1. X1 + c2. X2 + c3.

Leia mais

Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade

Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade 24-25 Junho 2014 Metodologias de apoio à decisão nas Ciências Agrárias Eemplo: Formulação Um agricultor pretende cultivar 80 ha de terra

Leia mais

IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E

IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E A N Á L I S E P Ó S - O P T I M A L I D A D E Recordemos o exercício apresentado para ilustrar a aplicação do Algoritmo Simplex Revisto: Consideremos o

Leia mais

Problema de Designação. Fernando Nogueira Problema de Designação 1

Problema de Designação. Fernando Nogueira Problema de Designação 1 Problema de Designação Fernando Nogueira Problema de Designação 1 O Problema de Designação é um caso específico de um Problema de Transporte, que por sua vez é um caso específico de um Problema de Programação

Leia mais

Exemplo de um problema de transporte, com 3 fontes e 3 destinos. Custos unitários de transporte para o exemplo de problema de transporte

Exemplo de um problema de transporte, com 3 fontes e 3 destinos. Custos unitários de transporte para o exemplo de problema de transporte TRANSPORTE 6 Um problema bastante comum que muitas vezes pode ser modelado como um problema de programação linear é o problema de transporte. Este problema envolve o transporte de alguma carga de diversas

Leia mais

Otimização Linear. Conceitos básicos Álgebra Linear Introdução ao método simplex

Otimização Linear. Conceitos básicos Álgebra Linear Introdução ao método simplex Otimização Linear Conceitos básicos Álgebra Linear Introdução ao método simplex Revisão de Álgebra Linear Denomina-se posto ou Rank de uma matriz A, um número k tal que: a)existe pelo menos uma sub-matriz

Leia mais

Método do Big M. Análise de Sensibilidade

Método do Big M. Análise de Sensibilidade A 5 =A 4 +C 5 B 5 =B 3 +C 5 C 5 =C 4 /2 E 5 =E 4 +C 5 Método do Big M.5.5 4 -.5.5 6 -.5.5 2 -G.5.5 2 i 2/- 4/- 4/2=2 max = 2 Nuno Moreira - 22/23 x 2 R 3 5 G=2 R 2 R 5 x 3 Análise de Sensibilidade Nuno

Leia mais

Otimização Aplicada à Engenharia de Processos

Otimização Aplicada à Engenharia de Processos Otimização Aplicada à Engenharia de Processos Aula 4: Programação Linear Felipe Campelo http://www.cpdee.ufmg.br/~fcampelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Belo Horizonte Março de 2013

Leia mais

Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo:

Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial da forma: A.x = b onde: A matriz de coeficientes de ordem x vetor

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Linear (PL) Aula 5: O Método Simplex. 2 Algoritmo. O que é um algoritmo? Qualquer procedimento iterativo e finito de solução é um algoritmo. Um algoritmo é um processo que se repete (itera)

Leia mais

3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido)

3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido) Álgebra Linear Cursos: Engenharia Civil, Engenharia de Minas, Engenharia do Território 1 ō ano/1 ō Semestre 21/211 3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido) 1. Indique a característica

Leia mais

CLP(X) Na Programação em Lógica, a operação fundamental que se executa na passagem de parâmetros é a unificação de termos de Herbrand.

CLP(X) Na Programação em Lógica, a operação fundamental que se executa na passagem de parâmetros é a unificação de termos de Herbrand. CLP(X) Na Programação em Lógica, a operação fundamental que se executa na passagem de parâmetros é a unificação de termos de Herbrand. Com efeito, dado um golo g, uma cláusula h:- b1,..., bk pode ser usada

Leia mais

Programação linear I João Carlos Lourenço

Programação linear I João Carlos Lourenço Fundamentos de Investigação Operacional Programação linear I João Carlos Lourenço joao.lourenco@ist.utl.pt Ano lectivo 2011/2012 Leituras recomendadas: Nova, A.P., Lourenço, J.C., 2011, Apontamentos de

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01]

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR: MARCELO SILVA 1. Introdução No ensino fundamental você estudou

Leia mais

Análise e Síntese de Algoritmos. Programação Linear CLRS, Cap. 29

Análise e Síntese de Algoritmos. Programação Linear CLRS, Cap. 29 Análise e Síntese de Algoritmos Programação Linear CLRS, Cap. 29 Conteto Algoritmos em Grafos (CLRS, Cap. 22-26)... Fluos máimos em grafos (CLRS, Cap. 26) Programação Linear (CLRS, Cap. 29) Programação

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu Programação Não Linear Aula 7: Programação Não-Linear - Funções de Várias variáveis Vector Gradiente; Matriz Hessiana; Conveidade de Funções e de Conjuntos; Condições óptimas de funções irrestritas; Método

Leia mais

Método Simplex Dual. Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP

Método Simplex Dual. Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP Método Simplex Dual Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP www.feg.unesp.br/~fmarins fmarins@feg.unesp.br Introdução Algoritmo

Leia mais

Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Aula 2 Definição de Problemas de Investigação Operacional Construção de um modelo matemático de PL. Programação Matemática(PM) e Programação Linear(PL). Exemplos clássicos de PL. 2 Problemas de Investigação

Leia mais

Maristela Santos. Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo

Maristela Santos. Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo Programação Matemática Maristela Santos Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo Forma Padrão - Definição Características da forma padrão: Problema de minimização Todas

Leia mais

O Método Simplex. Prof. Gustavo Peixoto Silva Departamento de Computação Univ. Federal de Ouro Preto

O Método Simplex. Prof. Gustavo Peixoto Silva Departamento de Computação Univ. Federal de Ouro Preto O Método Simplex Prof. Gustavo Peixoto Silva Departamento de Computação Univ. Federal de Ouro Preto O Método Simplex para Problemas de Maximização Max Z(X) = 5X 1 + 2X 2 sujeito a X 1 = 0 X 2

Leia mais

MB PRINCÍPIOS DA PESQUISA OPERACIONAL PO INTRODUÇÃO A PESQUISA OPERACIONAL LISTA DE EXERCÍCIOS - PROGRAMAÇÃO LINEAR

MB PRINCÍPIOS DA PESQUISA OPERACIONAL PO INTRODUÇÃO A PESQUISA OPERACIONAL LISTA DE EXERCÍCIOS - PROGRAMAÇÃO LINEAR MB-244 - PRINCÍPIOS DA PESQUISA OPERACIONAL PO-201 - INTRODUÇÃO A PESQUISA OPERACIONAL LISTA DE EXERCÍCIOS - PROGRAMAÇÃO LINEAR 1. Considere o seguinte problema de programação linear: Maximizar Z = x 1

Leia mais

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b em que a 1, a 2, a

Leia mais

Sistemas de equações lineares

Sistemas de equações lineares Matemática II - / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a

Leia mais

Programação Linear. (2ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016

Programação Linear. (2ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Programação Linear (2ª parte) Informática de Gestão 61020 Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Conteúdos Representação e resolução gráfica dos problemas de programação linear Problema de minimização Problema

Leia mais

Unidade II PESQUISA OPERACIONAL. Profa. Ana Carolina Bueno

Unidade II PESQUISA OPERACIONAL. Profa. Ana Carolina Bueno Unidade II PESQUISA OPERACIONAL Profa. Ana Carolina Bueno Programação linear É um subitem da programação matemática. É um dos modelos utilizados em pesquisa operacional. Consiste em otimizar (maximizar

Leia mais

3- O MÉTODO SIMPLEX Introdução e fundamentos teóricos para o Método Simplex

3- O MÉTODO SIMPLEX Introdução e fundamentos teóricos para o Método Simplex 3- O MÉTODO SIMPLEX 3.1- Introdução O Método Simplex é uma técnica utilizada para se determinar, numericamente, a solução ótima de um modelo de Programação Linear. Será desenvolvido inicialmente para Problemas

Leia mais

Sistemas Lineares. Juliana Pimentel. juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2

Sistemas Lineares. Juliana Pimentel.  juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2 Sistemas Lineares Juliana Pimentel juliana.pimentel@ufabc.edu.br http://hostel.ufabc.edu.br/ juliana.pimentel Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2 O que é uma equação linear? O que é uma equação linear? Ex: 1)

Leia mais

Programação Linear. Rosa Canelas 2010

Programação Linear. Rosa Canelas 2010 Programação Linear Rosa Canelas 2010 Problemas de Optimização São problemas em que se procura a melhor solução (a que dá menor prejuízo, maior lucro, a que é mais eficiente, etc.) Alguns destes problemas

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica. 7ª aula

Álgebra Linear e Geometria Analítica. 7ª aula Álgebra Linear e Geometria Analítica 7ª aula ESPAÇOS VECTORIAIS O que é preciso para ter um espaço pç vectorial? Um conjunto não vazio V Uma operação de adição definida nesse conjunto Um produto de um

Leia mais

Palavras e frases chave: Programação Linear; Tomada de decisões; Objectivos. Clasificação AMS: (opcional)

Palavras e frases chave: Programação Linear; Tomada de decisões; Objectivos. Clasificação AMS: (opcional) VI Congreso Galego de Estatística e Investigación de Operacións Vigo 5-7 de Novembro de 2003 PROGRAMAÇÃO LINEAR: TOMADA DE DECISÕES, UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO SECUNDÁRIO Maria José Teixeira do Nascimento

Leia mais

1 Despacho económico

1 Despacho económico Trânsito de potência difuso DC com despacho incorporado Documento complementar à dissertação José Iria ee06210@fe.up.pt - 10-03-2011 1 Despacho económico 1.1 Considerações Gerais O problema de decisão

Leia mais

* O que originou a designação Operational Research no Reino Unido, A origem da Investigação Operacional (IO)?

* O que originou a designação Operational Research no Reino Unido, A origem da Investigação Operacional (IO)? A origem da Investigação Operacional (IO)? A IO surgiu no final da II Guerra Mundial quando os Aliados se viram confrontados com problemas (relativamente aos recursos logísticos e às operações* das forças

Leia mais

DISCIPLINA: Investigação Operacional ANO LECTIVO 2009/2010

DISCIPLINA: Investigação Operacional ANO LECTIVO 2009/2010 DISCIPLINA: Investigação Operacional ANO LECTIVO 2009/2010 Exame de Recurso Dep. Econ. Gestão e Engª Industrial 14 de Julho de 2010 duração: 2h30 (80) 1. Considere o modelo seguinte, de Programação Linear

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. ROTEIRO Esta aula tem por base o Capítulo 2 do livro de Taha (2008): Introdução O modelo de PL de duas variáveis Propriedades

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu wwwestvipvpt/paginaspessoais/lucas lucas@matestvipvpt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica

Leia mais

PROGRAMAÇÃO LINEAR 11º ANO MATEMÁTICA A

PROGRAMAÇÃO LINEAR 11º ANO MATEMÁTICA A PROGRAMAÇÃO LINEAR 11º ANO MATEMÁTICA A Prof.ª: Maria João Mendes Vieira ESC 11MatA 2012/2013 PROGRAMAÇÃO LINEAR A programação linear é uma "ferramenta" matemática que permite encontrar a solução ótima

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional Análise de Sensibilidade Algébrica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG abril - 016 1 Análise de Sensibilidade Algébrica Variações do Lado Direito Variações na Função Objetivo

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. VII Interpretação económica do modelo de PL António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i Cap. VII - Interpretação económica do modelo de

Leia mais

(2008/2009) Espaços vectoriais. Matemática 1º Ano - 1º Semestre 2008/2009. Mafalda Johannsen

(2008/2009) Espaços vectoriais. Matemática 1º Ano - 1º Semestre 2008/2009. Mafalda Johannsen Espaços vectoriais Matemática 1º Ano 1º Semestre 2008/2009 Capítulos Características de um Espaço Vectorial Dimensão do Espaço Subespaço Vectorial Combinação Linear de Vectores Representação de Vectores

Leia mais

Denições Preliminares

Denições Preliminares Programação Linear Inteira O lgoritmo Simplex Haroldo Gambini Santos Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP 30 de agosto de 2011 1 / 32 enições Preliminares Conjunto Convexo Um conjunto de pontos S

Leia mais

Ficha de Exercícios nº 3

Ficha de Exercícios nº 3 Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 3 Transformações Lineares, Valores e Vectores Próprios e Formas Quadráticas 1 Qual das seguintes aplicações não é uma transformação

Leia mais

Problemas de Fluxo em Redes

Problemas de Fluxo em Redes CAPÍTULO 7 1. Conceitos fundamentais de grafos Em muitos problemas que nos surgem, a forma mais simples de o descrever, é representá-lo em forma de grafo, uma vez que um grafo oferece uma representação

Leia mais

1 Espaços Vectoriais

1 Espaços Vectoriais Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Espaço Vectorial Conjunto de elementos que verifica as seguintes propriedades: Existência de elementos: Contém pelo menos um

Leia mais

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga 8.1 DEFINIÇÕES Equação linear é uma equação na forma: a1x 1 a2x2 a3x3... anxn b x1, x2, x3,..., xn a1, a2, a3,...,

Leia mais

Ficha de Exercícios nº 1

Ficha de Exercícios nº 1 Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 1 Espaços Vectoriais 1 Qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) Um espaço vectorial pode ter um número ímpar de elementos.

Leia mais

Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza.

Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza. Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br Agenda do Dia Aula 15 (21/10/15) Sistemas Lineares Métodos Diretos: Regra de Cramer Método da Eliminação de Gauss (ou triangulação)

Leia mais

Resolução de Sistemas Lineares. Método de Gauss. O algoritimo conhecido como Método de Gauss é desenvolvido a partir de dois ingredientes básicos:

Resolução de Sistemas Lineares. Método de Gauss. O algoritimo conhecido como Método de Gauss é desenvolvido a partir de dois ingredientes básicos: Resolução de Sistemas Lineares Método de Gauss O algoritimo conhecido como Método de Gauss é desenvolvido a partir de dois ingredientes básicos: Resolução de Sistemas Lineares Triangulares Procedimento

Leia mais

7 Formas Quadráticas

7 Formas Quadráticas Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Forma quadrática em variáveis Função polinomial, de grau, cuja expressão tem apenas termos de grau. Ex. 1: é uma forma quadrática

Leia mais

Material Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares. Sistemas Lineares - Parte 2. Terceiro Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares. Sistemas Lineares - Parte 2. Terceiro Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares Sistemas Lineares - Parte 2 Terceiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto 1 A representação

Leia mais

Método de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos

Método de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos Método de Gauss-Jordan e Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 14 de agosto

Leia mais

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Teoria da Otimização Linear Transformação de problemas na forma padrão a a b i1 1 in n i a a b

Leia mais

Produto Misto, Determinante e Volume

Produto Misto, Determinante e Volume 15 Produto Misto, Determinante e Volume Sumário 15.1 Produto Misto e Determinante............ 2 15.2 Regra de Cramer.................... 10 15.3 Operações com matrizes............... 12 15.4 Exercícios........................

Leia mais

Disciplina: Cálculo Numérico IPRJ/UERJ. Sílvia Mara da Costa Campos Victer. Aula 6 - Solução de Sistema de Equações Algébricas

Disciplina: Cálculo Numérico IPRJ/UERJ. Sílvia Mara da Costa Campos Victer. Aula 6 - Solução de Sistema de Equações Algébricas Disciplina: Cálculo Numérico IPRJ/UERJ Sílvia Mara da Costa Campos Victer Aula 6 - Solução de Sistema de Equações Algébricas Métodos diretos: 1- Eliminação de Gauss com substituição recuada 2- Decomposição

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional Capítulo 5 Modelo da Designação Fernando Marins fmarins@feg.unesp.br Departamento de Produção

Leia mais

Algoritmos Greedy. Pedro Ribeiro 2014/2015 DCC/FCUP. Pedro Ribeiro (DCC/FCUP) Algoritmos Greedy 2014/ / 40

Algoritmos Greedy. Pedro Ribeiro 2014/2015 DCC/FCUP. Pedro Ribeiro (DCC/FCUP) Algoritmos Greedy 2014/ / 40 Algoritmos Greedy Pedro Ribeiro DCC/FCUP 2014/2015 Pedro Ribeiro (DCC/FCUP) Algoritmos Greedy 2014/2015 1 / 40 Algoritmos Greedy Vamos falar de algoritmos greedy. Em português são conhecidos como: Algoritmos

Leia mais

Escola de Engenharia de Lorena EEL/USP Curso de Engenharia de Produção. Resolução Gráfica. Prof. Fabrício Maciel Gomes

Escola de Engenharia de Lorena EEL/USP Curso de Engenharia de Produção. Resolução Gráfica. Prof. Fabrício Maciel Gomes Escola de Engenharia de Lorena EEL/USP Curso de Engenharia de Produção Resolução Gráfica Prof. Fabrício Maciel Gomes Aplicável para modelos com 02 variáveis de decisão Útil para a ilustração de alguns

Leia mais

Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares

Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares Matrizes: Uma matriz de tipo m n é uma tabela com mn elementos, denominados entradas, e formada por m linhas e n colunas. A matriz identidade de ordem 2, por exemplo,

Leia mais

Degenerescência, ciclagem e eficiência do Simplex

Degenerescência, ciclagem e eficiência do Simplex Degenerescência, ciclagem e eficiência do Simple Prof.: Eduardo Uchoa http://www.logis.uff.br/~uchoa/poi 1 Modelo: maimizar z = 4,0 mad + 6,0 al Sujeito a 1,5 mad + 4,0 al 24 3,0 mad + 1,5 al 21 1,0 mad

Leia mais

Pesquisa Operacional aplicada ao Planejamento e Controle da Produção e de Materiais Programação Linear

Pesquisa Operacional aplicada ao Planejamento e Controle da Produção e de Materiais Programação Linear Pesquisa Operacional aplicada ao Planejamento e Controle da Produção e de Materiais Programação Linear Introdução à Pesquisa Operacional Origens militares Segunda guerra mundial Aplicada na alocação de

Leia mais

Programação Linear - Parte 3

Programação Linear - Parte 3 Matemática Industrial - RC/UFG Programação Linear - Parte 3 Prof. Thiago Alves de Queiroz 1/2016 Thiago Queiroz (IMTec) Parte 3 1/2016 1 / 26 O Método Simplex Encontre o vértice ótimo pesquisando um subconjunto

Leia mais

Aula 7 Equação Vetorial da Reta e Equação Vetorial do plano

Aula 7 Equação Vetorial da Reta e Equação Vetorial do plano Aula 7 Equação Vetorial da Reta e Equação Vetorial do plano Prof Luis Carlos As retas podem estar posicionadas em planos (R 2 ) ou no espaço (R 3 ). Retas no plano possuem pontos com duas coordenadas,

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBL ESCOL SUPERIOR DE TECNOLOGI DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC INVESTIGÇÃO OPERCIONL TESTE CURSOS: EMP, EEM e EME 2005/2006 Data: 4 de Novembro de 2005 Duração: 19:0 às 21:0 Instruções:

Leia mais