Construção de Cones Utilizando Isometrias do Plano

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1 Univesidade Fedeal da Bahia Depatamento de Matemática Laboatóio de Ensino de Matemática III Bienal da SBM 06 a 10 de novembo de 006 Constução de Cones Utilizando Isometias do Plano Elinalva Vegasta de Vasconcelos Gaça Luzia Dominguez Santos Maia Chistina Fenandes Cadoso Velane Andade Cabal

2 ÍNDICE Intodução... 3 I - Isometias do plano com cone cicula... II - Modelo de seção plana - elipse... 9 III - Modelo do cone com cilindo Apêndice 1 Alguns conceitos e esultados de Geometia Difeencial... Bibliogafia...

3 INTRODUÇÃO A constução da supefície cônica cicula (cone) pode se obtida a pati do seto cicula desenhado em um mateial consideado plano como papel, catolina, acetato ou outo mateial simila. Essa oficina apesenta a isometia do plano com o cone cicula, o que pemite planeja a altua, a medida da geatiz ou o ângulo da geatiz com eixo do cone. Além disso, paa modelos que envolvem mais de uma supefície, mesmo tendo a facilidade de constução do cone, é impotante conhece as equações das cuvas de inteseção e as suas paametizações. Desse modo, utilizando isometia, é possível faze cotes no mateial consideado plano que após modelagem, popocionam encaixes pefeitos paa montagem de modelos concetos no espaço físico tidimensional. Nessa oficina seá apesentado o método de constução de dois modelos: Cone secionado po um plano deteminando uma elipse. Cone e cilindo cicula com uma geatiz coincidente com o eixo do cone. Seá utilizado o conhecimento de paametizações de cuvas e de supefícies, da função compimento de aco e de isometias. Maioes detalhes podem se encontados em [1] ou []. Essas notas, diecionadas aos paticipantes da Oficina "Constução de Cones Utilizando Isometias do Plano", fazem pate do texto "Isometias do Plano e Constução de Modelos Concetos com Supefícies Cilíndicas e Cônicas" que vem sendo elaboado no Laboatóio de Ensino de Matemática da UFBA com o objetivo de apesenta um método de constução de modelos concetos dessas supefícies. Paa atingi, mais apidamente os objetivos dessa oficina, omitimos os detalhes sobe as isometias do plano com cilindo, utilizadas nos capítulos II e III dessas notas. Quando nos efeimos a supefície tanto pode significa supefície paametizada quanto o seu taço. 3

4 I - ISOMETRIAS DO PLANO COM O CONE CIRCULAR Paa que duas supefícies paametizadas Y e Y sejam isométicas, devemos te Y e Y definidas em um abeto U do R, injetivas, de modo que os coeficientes da pimeia foma quadática de Y e Y 1 coincidam. A aplicação φ = Yo Y é chamada isometia ente Y e Y. Um modelo conceto que epesente uma supefície isomética ao plano é obtido modelando um mateial consideado plano como, po exemplo, um pedaço de papel, o que implica que o domínio da paametização tenha que se um conjunto V limitado e fechado. Sendo U o abeto onde foam definidas inicialmente as paametizações, o conjunto V deve se o fecho de um conjunto limitado W, onde W é um subconjunto do abeto U. A inclusão dos pontos de fonteia de W faz com que as paametizações deixem de se egulaes ou injetivas mas, é necessáia pois esses pontos vão coesponde às bodas do modelo conceto ou seão necessáios paa epesenta os pontos identificados no pocesso da colagem do mateial. Vamos considea a paametização do plano Y tal que Y (, θ) = (.cosθ,.sen(θ), 0) e enconta uma paametização Y do cone de altua h, aio da base a e geatiz g, tal que Y e Y sejam isométicas. Usando que a azão do compimento de aco a com o ângulo θ s do seto é igual à azão do compimento g da cicunfeência com, obtemos que a θ s = =.sen(θo ), g sendo θ o o ângulo fomado pela geatiz e o eixo do cone (Figua 1.1). a a θ s g g θ o h θ s =.senθ o senθ o = g a Relação ente ângulo do seto e ângulo do cone com seu eixo. Figua 1.1 Consideemos o cone cicula S com vétice na oigem e eixo coincidente com eixo Oz, z > 0. Vamos mosta que a aplicação Y: U R 3, U ={(, θ) R / > 0 e 0 < θ < sen(θ o )}, tal que

5 Y(,θ) = θ θ a.cos,a.sen,h g a / g a / g =.sen( θ o θ ).cos sen( θ o θ,.sen( θo).sen ) sen( θ o,. cosθ ) é uma paametização de S menos uma geatiz. O impotante é que Y é isomética ao plano Y: U R 3. De fato, os coeficientes da pimeia foma quadática de Y e Y são espectivamente, E = 1, F = 0 e G = e E = 1, F = 0 e G =. Como S é a família de semi-etas que passam pela oigem e pelos pontos (a.cos(t), a.sen(t), h) (Figua 1.), temos que uma paametização de S menos uma geatiz é dada po X(λ,t) = λ(a.cos(t), a.sen(t), h), λ > 0, t (0, ). o δ λ φ γ t θ (.cosθ,.senθ, 0) (a.cos(t), a.sen(t), h) Cone geado po etas passando pela oigem. Figua 1. Utilizando coodenadas polaes (,θ), vamos epaametiza X de modo a obte Y isomética a Y. Paa cada t constante, temos a cuva γ t (λ) = λ(a.cos(t), a.sen(t), h), λ > 0, cujo compimento de aco de 0 a λ deve se igual a. Assim, λ 0 λ ' γ t (u)du = a + h du = a + h λ =, ou seja, λ = =, sendo > 0. a + h g Paa λ constante, temos a cuva 0 5

6 δ λ (t) = λ(a.cos(t), a.sen(t), h), t (0, ), cujo compimento de aco 0 a t deve se igual a.θ. Desse modo, obtemos t 0 ' λ δλ (u) du = λ.a. du = λ.a.t =.θ, ou seja,. θ θ θ t = = =. λ.a a / g sen θ Como t (0, ), então 0 < θ < sen(θ o ). Com as consideações anteioes, concluímos que 0 o X(λ,t) = λ(a.cos(t), a.sen(t), h) = θ θ a.cos,a.sen,h g a / g a / g =.sen( θ Obsevemos que o θ ).cos sen( θ o θ,.sen( θo).sen ) sen( θ Y 1 o,. cosθ ) o = Y(,θ). φ(.cos(θ),.sen(θ),0) = Yo (.cos( θ),.sen( θ),0) = Y(, θ), o que significa que é suficiente aplica Y a pontos (,θ) paa obte a imagem da isometia φ. Além disso, podemos identifica pontos (u, v, 0) com (u,v) e dize que aplicamos a isometia φ a pontos (.cos(θ),.sen(θ)) do plano R, paa obte o cone S. Paa os modelos que constuiemos nesta oficina, vamos considea o cone cicula S de equação z = x + y, limitado pelos planos z = h e z = -h, paa algum h > 0. Assim, o eixo de otação coincide com o eixo Oz, a geatiz faz um ângulo de com o eixo Oz, g = h e ( ) ( ) θ, sen θ, Y (, θ) = cos (I) Obsevemos que, se θ = 0 ou θ = θ s =.sen =, de (I) obtemos Y(,0) =,0, = Y(, ) e a colagem do cone coesponde à eta z = x. Paa a confecção dos y = 0 modelos, em luga de θ vaia ente 0 e z = y colagem do cone vai coesponde à eta x = 0 limitado de Y, dado po (I), vamos escolhe, vamos escolhe θ ente e 3. Desse modo, a (Figua 1.3). Em esumo, como domínio fechado e 6

7 7 V = 3 θ - h e 0 ; R θ) (,. (II) Isometia ente seto e cone com acéscimo de pontos de fonteia no domínio paa a colagem no cone. Figua 1.3 As cuvas que limitam o seto (Figua 1.) são dadas po: 3 θ - ),0), hsen( ), hcos( ( ) h, Y( A(θ) θ θ = θ = = = 0,,sen cos, Y () R 1, h 0 ; = = 0, 3 sen, 3 cos 3, Y () R, h 0. Como podemos identifica pontos (u, v, 0) com (u,v) basta aplicamos a isometia φ aos pontos (.cos(θ),.sen(θ)) do plano R, paa obte o cone S. Assim, paa confecção do modelo temos o seto limitado pelas cuvas: φ Y Y u v w z y x θ (1) (1) (1) V

8 8 ( ) 3 θ -, ) hsen( ), hcos( A(θ) θ θ = = sen, cos () R 1, h 0 ; = 3 sen, 3 cos () R, h 0. Cuvas que limitam o seto Figua 1. R 1 A R

9 II - MODELO DE SEÇÃO PLANA ELIPSE Vamos apesenta a constução do modelo do cone S: z = x + y na oigem, cujo ângulo δ com o eixo de otação Oz está ente os valoes 0 e é uma elipse E. com um plano Π que não passa. Desse modo, a inteseção Escolhendo o plano Π de veto nomal (0,1,) e passando pelo ponto P(0, -3h/, 3h/), temos que sua equação é y + z +d = 0, com d = -9h/ (Figua.1). Obsevemos que, nesse caso, / < δ< / pois δ = acsen ( 17 / 17 ) 1,3. A elipse E está contida no semi-espaço z 0 e tem equação z = x + y E: y + z + d = 0. z S (0,-3h/,3h/) > y Pojeção do cone S e do plano Π no plano yoz. Inteseção do cone S e do plano Π, deteminando uma elipse. Figua.1 Da expessão anteio obtemos, z = (-d-y)/ e y + dy + d = 16 x + 16 y e, conseqüentemente, E: d (y ) d 15 d + y z = x d 15 = 1 Potanto, uma paametização da elipse é 9

10 d x = cos(t) 15 d 15 d z = 15 E: y = ( 1+ sen(t) ) ( + sen(t) ). (III) Paa detemina a cuva ((t),θ(t)), tal que Y((t),θ(t)) é a elipse E no cone S (Figua.), igualamos a paametização de E com Y((t),θ(t)). w z Y(a (t)) φ E Y(a 1 (t)) u v x y Y Y θ a (t) a 1 (t) Cuva plana que é levada na elipse contida no cone. Figua. Das equações (I) e (III), obtemos (t)cos( θ(t)), (t)sen( θ(t)), (t) = ( ) ( ) d d d cos(t), 1+ cos(t),- + sen(t) Logo, (t)cos( d θ(t)) = cos(t), 15 d(1 sen(t)) (t)sen( θ(t)) = e (t) = d( + sen(t) ) 10

11 Do domínio da paametização do cone S, equação (II), temos 3 θ. Se θ e 3 θ então θ. Assim, 1+ sen(t) θ(t) = acsen, + sen(t) t. Se 3 θ e 3 θ então 3 θ. Temos, 1+ sen(t) θ(t) = + acsen -, + sen(t) t. tais que As imagens po Y das cuvas planas paametizadas a 1 :, R e a :, R, a 1 (t) = ( (t),θ(t)) = 15 d( + sen(t), 1+ sen(t) acsen + sen(t) e a (t) = 1+ sen(t) ((t), θ(t)) = d( + sen(t), + acsen sen(t) epesentam E no cone S. Assim, Y(a 1 (t)) e Y(a (t)) são as cuvas no seto cicula que são levadas pela isometia φ em E (Figua.). Vamos agoa obte a epesentação da cuva no plano que é levada em E contida em Π: y + z +d = 0, d = 9h. Encontando-se os coeficientes da pimeia foma quadática, veifica-se que a paametização 3 X : U R de Π dada po 1 d X(u, v) = v, u, u (IV) é isomética ao plano X: U R 3, tal que X (u, v) = (u,v,0) (Figua.3). Utilizamos as equações (III) e (IV), obtemos u(t) d u(t), d d d cos(t), (1+ sen(t)),- + sen(t) v(t), = ( ) 11

12 w z E X (b(t)) φ X Π u v x y X X u b(t) Cuva plana que é levada na elipse contida no plano. Figua.3 Assim, v(t) = d cos(t) 15 e u(t) = 17 d(1 + sen(t), 0 t. 15 X em E. Logo, b: [0,] R, tal que b(t) = (u(t), v(t)) 17 d(1+ sen(t) d =, cos(t), é levada pela Paa a constução do modelo conceto, vamos limita o plano Π pelos planos x = - h, x = h, y = - h e y = h. Isso significa que Π é a imagem do etângulos de vétices 17 h, h, 17 h, h, 17 h, h e 17 h, h (Figua.3). As figuas. e.5 mostam, espectivamente, os moldes do seto com os taços das cuvas Y o a1, Y o a e do etângulo com o taço da cuva X ob (coincidindo com o taço de b), coespondentes ao modelo da Figua.1. Paa estes moldes, foi consideado h =1 e a uma unidade de compimento foi 1

13 escolhida apenas paa que as figuas atendessem às dimensões da página dessas notas. Seguem os comandos (softwae MAPLE V) paa a obtenção dessas cuvas. Comandos coespondentes ao cone: Comandos coespondentes ao plano: with(plots): h:=1; dd:=-9*h/; A:=sqt(); g:=a*h; t0:=-a*pi/; t1:=3*a*pi/; t:=-(a*dd/15)*(+sin(t)); theta1t:=(a/)*acsen(-(1+*sin(t)) / (+sin(t))); thetat:=- theta1t + (A/)*Pi; Elipse1cone:=plot([t*cos(theta1t),t*sin(theta1t), t=-pi/..pi/]): Elipsecone:=plot([t*cos(thetat),t*sin(thetat), t=-pi/..pi/]): Aco:=plot([g*cos(t),g*sin(t),t=t0...t1]): Reta1:=plot(*cos(t0),*sin(t0), =0...g]): Reta:=plot(*cos(t1),*sin(t1), =0...g]): with(plots): h:=1; dd:=-9*h/; a:=sqt(15); Ro:=sqt(17)/; Elipseplano:=plot([ R0*(dd/15)*(1+*sin(t)), dd*cos(t)/a, t=0..*pi]): Retangulo:=poygonplot([ [Ro,1], [Ro,-1], [-Ro,-1], [-Ro,1] ] ): display([elipseplano, Retangulo],scaling=constained); display([elipse1cone, Elipsecone, Aco, Reta1, Reta], scaling=constained); 13

14 Figua. Figua.5 1

15 III - MODELO DO CONE COM CILINDRO Consideemos o cone S: z = x +y e o cilindo S 1 de equação (x-1) + y = 1 (Figua 3.1). Cone e cilindo Figua 3.1 (x 1) A inteseção de S com S 1 é a cuva C: Podemos, então, esceve z = x + y + y = 1. x = cos(t) + 1, y = sen(t), z = ± (1+ cos(t)) + (sen(t)) = ± + cos(t) = ±cos(t/). e epesenta C atavés das paametizações x = cos(t) + 1 x = cos(t) + 1 C 1 : y = sen(t), t [-, ] e C : y = sen(t), t [-, ]. (V) z = cos(t/) z = cos(t/) Vamos detemina, inicialmente, a cuva no plano que é levada em C no cilindo S 1. (x 1) Uma dietiz do cilindo S 1 é a cicunfeência z = 0 + y = 1 que pode se paametizada pelo compimento de aco po α(u) = (cos(u) +1, sen(u), 0), u (-, ). Assim, obtemos a paametização de S 1 : Z(u,v) = (cos(u) + 1, sen(u), v), (VI) (u,v) (-, ) R, que é isomética ao plano X: U R 3, tal que X (u,v) = (u,v,0), (u,v) (-, ) R. Podemos identifica os pontos (u,v,0) com os pontos (u,v) e considea Z como a isometia ente o plano e S 1. Paa o modelo conceto, vamos considea u [-, ] e, como temos que limita o cilindo, vamos 15

16 considea v [a, b], paa constantes a e b a seem deteminadas, convenientemente. Obsevemos que a escolha do intevalo [-, ] implica que a colagem do modelo coincide com o eixo Oz (Figua 3.). b (1) (1) (1) - Z x y a Colagem do cilindo coincidindo com o eixo Oz. Figua 3. Vamos detemina a cuva (u(t),v(t)), tal que Z(u(t),v(t)) é a cuva C no cilindo S 1. De (V) e (VI) obtemos cos(u(t)) = cos(t), sen(u(t)) = sen(t), v(t) = cos(t/) e cos(u(t)) = cos(t), sen(u(t)) = sen(t), v(t) = -cos(t/). Daí, u(t) = t, v(t) = cos(t/), t [-, ] e u(t) = t, v(t) = -cos(t/), t [-, ]. Logo, temos as cuvas planas a 1 : [-, ] R e a : [-, ] R tais que a 1 (t) = (u(t),v(t)) = (t,cos(t/) e a (t) = (u(t),v(t)) = (t,-cos(t/) que são levadas em C po Z, espectivamente (Figua 3.3). a 1 Z C a x C y Cuva plana que é levada na cuva C contida no cilindo. Figua

17 Como vimos no Capítulo I, uma paametização do cone S: z = x + y, z > 0, isomética ao plano Y(,θ) = (cos( θ), sen( θ),0), é a aplicação Y dada pela equação (I), definida no domínio V (equação (II)). A constante g seá deteminada de acodo com as constantes a e b elativas ao cilindo S 1. Pela simetia do modelo, podemos constui duas vezes a pate coespondente a z 0. Potanto, é suficiente detemina a cuva ((t),(θ(t)), tal que Y((t),(θ(t)) é a cuva C 1. Igualando as paametizações do cone S e de C 1, obtemos: cos Se t e t -, então (t) 0 e ( θ) = cos(t) + 1, sen( θ) sen(t) cos ( θ) cos(t) + 1 =. cos(t / ) =, t = cos. Da expessão anteio, consideando que - θ 3, paa 0 θ(t) e - < θ(t) 0, temos espectivamente, θ(t) cos(t) + 1 = accos cos(t/) e cos(t) + 1 θ(t) = accos, sendo t [0, ). cos(t/) Logo, temos as cuvas b 1 : [0, ] R e b : [0, ] R tais que e (t) b 1 = 0, cos(t / ),, se t = cos(t) + 1 accos, se t [0, ) cos(t/) (t) b cos(t) + 1 cos(t / ), accos, se t [0, ) cos(t/) = 0,-, se t = que são levadas em C 1 po Y e as cuvas Y o b1: [0, ] R 3 e Y o b : [0, ] R 3 que são levadas em C 1 pela isometia ente o plano e o cone S (Figua 3.). 17

18 Y (b (t)) φ C Y (b 1 (t)) Y Y x y b 1 b Cuva plana que é levada na cuva C contida no cone. Figua 3. Obsevemos que P(,0,) é o ponto de C que tem maio cota e Q(,0,-), o de meno cota. Paa a constução desse modelo, com elação ao domínio da paametização Z(u,v) citado no início desse capítulo, vamos considea b = +1/ e a = -b (Figua 3.5). Desse modo a pate mais alta de S 1 fica acima de P e a pate mais baixa, abaixo de Q. Paa que o cone tenha a mesma altua do cilindo S 1, consideemos a sua geatiz g = b + b = b. As figuas 3.5 e 3.6 epesentam, espectivamente, os moldes do etângulo com os taços de a 1 e a e do seto com os taços das cuvas Y o b1 e Y o b, coespondentes ao modelo da Figua 3.1. Seguem os comandos paa a obtenção dessas cuvas. Comandos coespondentes ao cilindo: with(plots): a1:=plot([t,cos(t/),t=-pi...pi]): a:=plot([t,-cos(t/),t=-pi...pi]): n1:=pi,n:=+1/; Retangulo:=ploygonplot([[n1,n], [-n1,n], [-n1,-n], [n1,-n]): display([a1,a,retangulo],scaling=constained); Comandos coespondentes ao cone: with(plots): t:=*sqt()*cos(t/); thetat:=(sqt()/)*accos((cos(t)+1)/(*cos(t/))); Co1:=plot([t*cos(thetat),t*sin(thetat),t=0...Pi]): Co:=plot([t*cos(-thetat),t*sin(-thetat),t=0...Pi]): g:=sqt(n^+n^); t1:=sqt()*pi/; Cicunfeencia:=plot([g*cos(t1),g*sin(t1),t=-t1...3*t1): Reta1:=plot([t*cos(-t1),t*sin(-t1),t=0...g]): Reta:=plot([t*cos(3*t1),t*sin(3*t1),t=0...g]): display([co1,co,cicunfeência,reta1,reta],scaling= constained); 18

19 Figua 3.5 Figua

20 Uma outa opção paa constução de modelo é considea, com elação ao cilindo, apenas a egião inteio aos taçados das cuvas a 1 e a (Figua 3.7) e obte o modelo coespondente à Figua 3.8. a z a 1 Z x y Região ente as cuvas planos a 1 e a e sua imagem no cilindo obtida po isometia. Figua 3.7 Outa opção de modelo de Cone e cilindo Figua 3.8 0

21 Aplicação ao Cálculo O volume do sólido D limitado pelo cone z = x +y e pelo cilindo (x-1) + y = 1 é dado po Utilizando coodenadas cilíndicas, temos cos( θ) Vol = dzdd θ = 0 - Vol = dxdydz. D cos( θ) 0 ddθ = cos( θ) 0 ddθ = 16 3 cos ( θ)dθ 3 = 80 =. 9 Paa calcula a áea do cone z = x + y delimitada pelo cilindo (x-1) + y = 1, consideemos U = {(u,v) R / (u-1) + v 1} e a paametização do cone ϕ(x,y) = (x,y, z = x + y ), (x,y) U. Assim, A cone = U ϕ ϕ x dxdy x y = dxdy = A(U) =. U Paa calcula a áea do cilindo (x-1) + y = 1 delimitada pelo cone z = x + y, consideemos a U = {(u,v) R t t / cos v cos, - u } e a paametização do cilindo ϕ(t,z) = (cos(t)+1, sen(t), z), (t,v) U. Daí, A cilindo = U ϕ ϕ x dtdz = t z cos - cos ( t ) dtdz = ( t ) t 8cos dt = 16. Na última integal acima, podemos obseva que a áea do cilindo coincide com a áea da egião limitada pelos taços das cuvas a 1 e a, apesentada na Figua 3.7, usando integal simples, o que ea espeado em consequência da paametização escolhida e da isometia ente o cilindo e o plano. 1

22 APÊNDICE 1 Alguns conceitos e esultados de Geometia Difeencial Definição: A aplicação s (t) α (t) dt é denominada de função compimento de aco da cuva α a pati de t o. = t to Definição: Uma cuva egula α: I R 3 egula (α (t) 0, t I) é dita paametizada pelo compimento de aco, se paa cada t 0, t 1 I, t 0 t 1 o compimento de aco da cuva α de t 0, a t 1 é igual a t 1 t 0. Teoema: Uma cuva α: I R 3 está paametizada pelo compimento de aco, se e só se, t I, α (t) = 1 Poposição: Seja α: I R 3 uma cuva egula e s: I s(i) a função compimento de aco de α a pati de t 0. Então, existe a função invesa s -1 de s, definida no intevalo J = s(i) e β = α o s -1 é uma epaametização de α, onde β está paametizada pelo compimento de aco. Definição: Uma supefície paametizada egula, ou simplesmente uma supefície é uma aplicação X: U R 3, onde U é um abeto do R, tal que: a) X é difeenciável de classe C ; b) Paa todo q = (u,v) U a difeencial de X em q, dx q :R R, é injetoa. Definição: O plano tangente a X em q = (u 0,v 0 ) é o conjunto de todos os vetoes tangentes a X em q, que denotamos po T q X.. Definição: Seja X: U R R 3 uma supefície paametizada egula, paa qualque q U a aplicação I q : T q X R; I q (w) = <w,w> = w é denominada a pimeia foma quadática de X em q. E(q) = <X u,x u >(q), F(q) = <X u,x v >(q), e G(q) = <X v,x v > são denominados coeficientes da pimeia foma quadática.

23 Definição: Sejam X(u,v) e X (u,v), (u,v) U R supefícies simples, isto é, X e X são injetivas. Dizemos que X e X são isométicas, se paa todo (u,v) U os coeficientes da pimeia foma quadática de X e X coincidem. Neste caso, X: U X(U) = S e X: U X(U) = S são bijetoas, e φ: XoX -1 : S S é chamada de isometia. Então φ peseva distância ente os pontos coespondentes nos taços das supefícies. 3

24 BIBLIOGRAFIA [1] Camo, M. do Diffeenhcial Geomety of Cuves and Sufaces, Pentice-Hall, []Teneblat, Keti Intodução à Geometia Difeencial, Editoa UNB, [3] - Isometias do Plano e Constução de Modelos Concetos com Supefícies Cilíndicas e Cônicas.