Plano de Atividades (PIBID/UNESPAR)

Transcrição

1 Edital Pibid n 11 /2012 CAPES PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA - PIBID Tipo do produto: Sequência Didática Plano de Atividades (PIBID/UNESPAR) 1 IDENTIFICAÇÃO SUBPROJETO MATEMÁTICA/FECEA: Uma iniciativa concreta ao processo de formação do Professor de Matemática COORDENADOR(A): Prof. supervisor: Alessandra Grizelini Nome da Escola: Colégio Estadual Padre José Canale Ens. Fund. e Médio. Licenciandos Bolsitas Nome Curso de licenciatura Josias Correia Passos josias_cp@hotmail.com Matemática Julio Cezar Rodrigues de Oliveira julioeconomist@hotmail.com Matemática Oseas Pereira dos Santos menotyp@hotmail.com Matemática DATAS: 22/05/ /05/ /06/ /06/2013 DURAÇÃO: 4 aulas PARTICIPANTES: 6º e 7º anos 1. TEMA - O Estudo dos Quadriláteros Notáveis por meio da construção de um Tangram. 2. OBJETIVOS GERAIS Reconhecer os quadriláteros notáveis por suas definições e suas diferenças.

2 2.1 Objetivos Específicos Utilizar o Tangram como um aliado na aprendizagem, levando os alunos a perceberem que é possível aprender matemática também de uma maneira lúdica. Estimular a participação do aluno em atividades conjuntas para desenvolver a capacidade de ouvir e respeitar a criatividade dos colegas, promovendo o intercâmbio de ideias como fonte de aprendizagem para um mesmo fim. Estudar as definições dos quadriláteros notáveis, com o objetivo de reconhecê-los e classificá-los por meio de suas propriedades. Compreender o processo de decomposição de polígonos em triângulos para encontrar a soma dos ângulos internos de qualquer polígono. 3. CONTEÚDOS Quadriláteros Notáveis: definições e propriedades. 4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Para o desenvolvimento da aula, nosso encaminhamento metodológico baseia-se na Investigação Matemática, buscando a participação ativa dos alunos, ao levantar hipóteses, criar estratégias, investigar como é possível proceder para buscar a solução de determinado problema. De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica do Paraná (2006, p. 67), na Investigação Matemática o aluno é chamado a agir como um matemático, não apenas porque é solicitado a propor questões, mas, principalmente, porque formula conjecturas a respeito do que está investigando. As DCEs também afirmam que Uma investigação é um problema em aberto e, por isso, as coisas acontecem de forma diferente do que na resolução de problemas e exercícios. O objeto a ser investigado não é explicitado pelo professor, porém o método de investigação deverá ser indicado através, por exemplo, de uma introdução oral, de maneira que o aluno compreenda o significado de

3 investigar. Assim, uma mesma situação apresentada poderá ter objetos de investigação distintos por diferentes grupos de alunos. E mais, se os grupos partirem de pontos de investigação diferentes, com certeza obterão resultados também diferentes (2006, p.67). Acreditamos que ao propor a construção de um Tangram com uma folha de sulfite, estaremos convidando os alunos a indagar como isso é possível e o que fazer para que consigamos atingir esse objetivo. A partir desse ponto, nosso objetivo será o estudo dos quadriláteros notáveis por meio da construção de um Tangram, ou seja, algo que não explicitaremos no início da aula, mas que acontecerá conforme descobrirmos cada uma das peças do Tangram, tudo dependendo de como a aula será conduzida. CONHECENDO OS QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS POR MEIO DO TANGRAM O Tangram é um jogo que milenar que exige astúcia e reflexão. Da sua simplicidade nasce sua maior riqueza; pelo corte de um quadrado, sete peças criam, juntas, formas humanas, abstratas e objetos de diversos formatos. Segundo alguns, o nome Tangram é uma corrupção da palavra inglesa obsoleta Tangram que significa um puzzie ou quinquilharias. Originário da China, e anterior ao século 18, pouco se sabe da verdadeira origem do Tangram, mas dentre as lendas existentes, escolhemos a seguinte para começar a aula: Um jovem chinês, ao despedir-se do seu mestre para uma grande viagem pelo mundo, recebeu um espelho de forma quadrada e ouviu: _ Com esse espelho, registarás tudo o que vires durante a viagem, para mostrar-me na volta. O discípulo, surpreendido, perguntou: _ Mas mestre, como, com um simples espelho, poderei eu mostrar-lhe tudo o que encontrar durante a viagem? No momento em que fez esta pergunta, o espelho caiu-lhe das mãos quebrandose em sete peças. Então o mestre disse: _ Agora poderás, com essas sete peças, construir figuras para ilustrar o que vires durante a viagem. Contaremos essa lenda aos alunos e colocaremos o desenho do espelho no quadro, para que eles vejam o formato do espelho quebrado.

4 Figura 1 Tangram Em seguida distribuiremos uma folha sulfite no tamanho A4 para cada aluno, explicando que iremos encontrar todas as peças do Tangram com essa folha sulfite. Para isso temos que obter uma figura que seja no mesmo formato do espelho da lenda, que era representado por um quadrado. Para isso, vamos propor o seguinte desafio: Como é possível obter o maior quadrado utilizando essa folha sulfite? O procedimento é o seguinte: Dobrar a folha sulfite assim como na figura ao lado. Recortar o retângulo do lado direito, que não será mais necessário. Perguntaremos aos alunos o que eles conhecem sobre o retângulo, com o objetivo de estudar as suas propriedades e sua definição. Retângulo: um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatros ângulos congruentes. Figura 2 Retângulo ABCD é retângulo Aˆ Bˆ Cˆ Dˆ

5 Depois de encontrado o quadrado da figura a seguir, vamos encontrar as sete peças do Tangram, por meio do seguinte procedimento: Recortar também o quadrado na dobra feita em sua diagonal, dividindo-o em dois triângulos retângulos isósceles. Antes de recortar o quadrado na dobra que representa sua diagonal, vamos perguntar quais figuras conseguimos formar ao encontrar a diagonal do quadrado, chegando à ideia que temos dois triângulos retângulos isósceles congruentes. Na sequência, vamos perguntar o que eles sabem sobre o quadrado, para começarmos a estudar suas propriedades. Quadrado: Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulo congruentes e os quatro lados congruentes. Figura 3 Quadrado ABCD é quadrado ( Aˆ Bˆ Cˆ Dˆ e AB BC CD DA) A próxima questão será: Já conseguimos alguma peça do espelho? Com isso pediremos sugestões de como obter as peças. O próximo passo segue: Dobrar um dos triângulos obtidos ao meio e recortar para encontrar as duas primeiras peças do Tangram, os dois triângulos maiores. Nesse ponto, vamos investigar se há alguma relação entre esses dois triângulos (T1 e T2) formados e o terceiro triângulo, que possui exatamente a mesma área que T1

6 + T2, e além disso, é semelhante a T1 e a T2. Podemos sobrepor T1 e T2 sobre o terceiro triângulo para verificar. Dobrar o triângulo maior assim como na figura ao lado, de modo que as extremidades da dobra estejam nos pontos médios do lado do quadrado inicial. Recortar a terceira peça do Tangram, o triângulo de tamanho médio, que chamaremos de T3. Assim que recortarmos T3, teremos também um trapézio isósceles, e perguntaremos aos alunos se eles conhecem essa figura, se algum deles conhecê-la, vamos perguntar o que eles sabem sobre o trapézio, para chegarmos em sua definição, e também estudar quais são os diferentes tipos de trapézio. Trapézio: um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos. Há dois tipos de trapézios em relação aos lados não paralelos: Trapézio escaleno: se os lados não paralelos não são congruentes. Figura 4 Trapézio Escaleno Trapézio isósceles: se os lados não paralelos são congruentes. Figura 5 Trapézio Isósceles Podemos considerar ainda mais uma classificação: Trapézio retângulo: se o trapézio possui dois ângulos retos.

7 Figura 6 Trapézio Retângulo Dobrar o trapézio isósceles no meio, assim como indicado na figura. Vamos então dobrar esse trapézio de modo que a dobra seja o seu eixo de simetria, dividindo-o em outros dois trapézios, e questionaremos qual é a classificação desses trapézios formados. Questionaremos os alunos se eles conseguem visualizar uma possibilidade para obter as próximas peças do Tangram. Segue uma das possibilidades: Dobrar a ponta superior assim como indicado na figura, para depois recortar a quarta peça do Tangram, ou seja, um dos triângulos pequenos, que chamaremos de T4. A próxima ideia é encontrar o quadrado presente na figura. Podemos encontrá-lo da seguinte maneira:

8 Dobrar o quadrado utilizando a dobra que dividia o trapézio isósceles ao meio e recortar a quinta peça do Tangram, o quadrado T5. O último desafio é obter o paralelogramo T7 e o último triângulo T6, para isso desafiaremos os alunos a encontrá-los. Dobrar o quadrilátero assim como na figura para encontrar as duas últimas peças do Tangram, o outro triângulo pequeno T6 e o paralelogramo T7. Perguntaremos aos alunos se eles conhecem o paralelogramo, com a intenção de estudar sua definição e suas propriedades. Paralelogramo: um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos. Figura 7 Paralelogramo ABCD é paralelogramo ( AB // CD e AD // BC )

9 O último quadrilátero a ser estudado será o losango, perguntaremos se os alunos já ouviram falar sobre ele, e se eles já o viram em alguma outra situação, para isso faremos o seguinte desenho no quadro. Losango: um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados congruentes. Figura 8 - Losango ABCD é losango AB BC CD DA No decorrer dessa tarefa, estudaremos a definição de cinco quadriláteros notáveis, escrevendo-as de forma resumida no quadro (Ver Figura 9), para depois que explorarmos todos eles, levantaremos os seguintes questionamentos: Figura 9 Quadriláteros Notáveis Analisando essas definições, existe algum desses quadriláteros que pode ser todos ao mesmo tempo? Para responder essa pergunta, teremos que pensar nas definições de cada um dos quadriláteros, e pretendemos que os alunos notem que o quadrado é também trapézio, paralelogramo, losango e retângulo. Continuaremos a questionar os alunos sobre as relações que podemos encontrar nos quadriláteros notáveis. Nossa intenção é que os alunos identifiquem que o retângulo e o losango são ambos paralelogramo e trapézio.

10 Perguntaremos também se o paralelogramo é trapézio ou se o trapézio é paralelogramo, para iniciar uma discussão de como poderíamos representar esses quadriláteros por meio de um diagrama, que construiremos com o auxílio dos alunos (Figura 10). Figura 10 Relações de Inclusão (Quadriláteros Notáveis) Uma vez desenhado o diagrama, perguntaremos aos alunos: O que aconteceria se tivéssemos definido o trapézio como um quadrilátero plano convexo que possui apenas um par de lados paralelos? Deixaremos que os alunos digam que, nesse caso, o conjunto dos paralelogramos e o conjunto dos trapézios seriam disjuntos, e assim os paralelogramos não são considerados trapézios, mas todos os outros quadriláteros notáveis (retângulo, losango e quadrado) continuariam sendo paralelogramos, já que todos possuem dois pares de lados paralelos. Propriedades dos Quadriláteros Notáveis Apresentaremos em uma aula posterior as seguintes propriedades de cada um dos quadriláteros notáveis: Propriedades do Trapézio: em qualquer trapézio ABCD de bases AB e CD temos: Aˆ Bˆ Cˆ Dˆ = 360º. Para garantir que essa afirmação é verdadeira, primeiro iremos decompor um trapézio em dois triângulos, por meio de uma de suas diagonais, assim como na figura abaixo:

11 Afirmaremos então que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180, e para garantir que os alunos tenham certeza dessa afirmação faremos uma breve demonstração, utilizando as ideias de paralelismo: Dado um triângulo ABC qualquer de base AB, podemos traçar uma reta paralela a AB que passa por C, e considerando que a reta que passa por C é paralela à reta suporte do lado AB, temos a seguinte figura: Os ângulos β e δ são alternos internos, logo são congruentes. Os ângulos α e ε são alternos internos, logo também são congruentes. Sabemos que ε + δ + γ = 180, logo podemos substituir ε por α e δ por β. Assim temos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180. Assim teremos garantido que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180, agora podemos então afirmar que, como o trapézio foi dividido em dois triângulos, a soma dos seus ângulos internos será 360. Em relação ao trapézio isósceles, temos que os ângulos da base são congruentes e as diagonais são congruentes. Propriedades do Paralelogramo: I Em todo paralelogramo dois ângulos opostos são congruentes. II Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes. III Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.

12 Propriedades do Retângulo: além das propriedades do paralelogramo, todo retângulo possui as diagonais congruentes. Propriedades do Losango: além das propriedades do paralelogramo, o losango tem as diagonais perpendiculares. Propriedades do Quadrado: além das propriedades do paralelogramo, o quadrado tem as propriedades características dos retângulos e dos losangos. Omitiremos as demonstrações sobre as propriedades dos paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados, pois esse não será o objetivo da aula, e demonstraremos a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo para que na sequência possamos generalizar para todos os polígonos.

13 RECONHECENDO OS QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS EM ALGUMAS ATIVIDADES A segunda etapa da aula consiste de algumas atividades que servirão como avaliação, na qual os alunos serão avaliados com relação a sua participação e também para verificar se eles compreenderam o conteúdo que estudaram na etapa anterior. 1) Com as peças do Tangram, mostre como construir: a) Um quadrado usando 1, 2, 3, 4, 5 e 7 peças. b) Um paralelogramo usando 1, 2, 3, 4 e 7 peças. c) Um retângulo usando 3, 4 e 7 peças? d) Um trapézio isósceles usando 3 e 4 peças? 2) Quantos paralelogramos existem na figura 1? Quantos quadrados existem na figura 2? Figura 1 Figura 2 3) Verdadeiro ou Falso? Todo quadrado é losango. Todo quadrado é retângulo. Todo losango é retângulo. Todo retângulo é quadrado. Todo quadrado é paralelogramo. Todo paralelogramo é quadrado. Todo retângulo é paralelogramo. Todo losango é quadrado. Todo paralelogramo é retângulo. Todo retângulo é losango. 4) Encontre as medidas dos ângulos indicados no Tangram abaixo: a = b = c = d =

14 CONSIDERAÇÕES SOBRE A AVALIAÇÃO Nossa perspectiva de avaliação nesse plano de aula tem como objetivo obter informações sobre o estado de conhecimento do aluno sobre certa noção estudada. Pretendemos analisar o quanto os alunos terão aprendido no decorrer dessa aula por meio do diálogo que surgir no decorrer da aula e no final da aula com as atividades que serão propostas. De acordo com Dante (1999), a avaliação deve ser entendida pelo professor como um processo de acompanhamento e compreensão dos avanços, dos limites e das dificuldades dos alunos para atingirem os objetivos das atividades que participarem. Pensamos que a avaliação não deve ser classificatória, e por isso precisamos considerar os erros dos alunos, para descobrir as causas deles, e por meio delas podemos ajudá-los, trabalhando em cima desses erros e planejando novas atividades. De acordo com SILVA: O sentido da avaliação é compreender o que se passa na interação entre o ensino e a aprendizagem para uma intervenção consciente e melhorada do professor, fazendo seu planejamento e seu ensino e para que o aprendente tome consciência também de sua trajetória de aprendizagem e possa criar suas próprias estratégias de aprendizagem (SILVA, 2004 p. 60). Dessa forma, acreditamos que podemos auxiliar os alunos a descobrirem suas próprias estratégias de avaliação, de modo a refletir se estão ou não aprendendo o que estudam na sala de aula, com a intenção de formar cidadãos críticos, que atentem para os detalhes que são mais confusos para eles, questionando quando têm dúvidas, pensando em como podem utilizar os conhecimentos adquiridos na escola para intervir em suas realidades com a intenção de modificá-las, buscando as melhores soluções para os seus problemas.

15 5. RESULTADOS ESPERADOS As definições de cada um dos quadriláteros notáveis no Ensino Fundamental II costuma causar muitos questionamentos para os alunos, tais como: por quê todo quadrado é retângulo? Esses questionamentos podem ser causados porque no Ensino Fundamental I, os alunos estudam os quadriláteros como se todos representassem conjuntos disjuntos, ou seja, um quadrado é um quadrado e um retângulo é um retângulo. Ao abordar esse tema em um contexto no qual os alunos estão trabalhando com recortes e dobraduras, pretendemos esclarecer que a partir daquele momento definiremos de um modo mais formal cada um dos quadriláteros, apresentando as definições segundo o livro Fundamentos da Matemática Elementar: Volume 9 Geometria Plana. Explicaremos também para os alunos que existem diferentes autores que podem utilizar diferentes definições, mas adotaremos essa definição por ser a mais utilizada nos últimos anos. Ao escrever as propriedades que definem cada um dos quadriláteros notáveis no quadro, reforçaremos para os alunos que determinada característica pode garantir que um quadrilátero seja classificado em uma categoria ou não. Por exemplo, ao escrever no quadro que a propriedade que define o paralelogramo são os lados opostos paralelos, estamos afirmando que todo quadrilátero convexo com essa propriedade será um paralelogramo. Mas existem outros quadriláteros que também possuem essa propriedade, logo estes também serão paralelogramos. Esperamos que, com essa abordagem, e as tarefas que iremos propor, os alunos consigam compreender as diferenças e semelhanças entre os quadriláteros notáveis.

16 6. CONTRIBUIÇÃO DA ATIVIDADE PARA A FORMAÇÃO DOCENTE O ensino das definições dos quadriláteros notáveis pode não ser tão simples, talvez se tivéssemos optado por uma aula expositiva, os alunos poderiam não se envolver tão ativamente como aconteceu. Questionamos se seria possível a construção de um Tangram com uma folha sulfite, e os alunos acreditaram que sim, mas não sabiam como, e mesmo assim aceitaram o desafio, pois sentiram que seriam capazes de conseguir. A partir desse momento, começamos a discutir os diferentes quadriláteros que surgiam no decorrer da construção, adotando uma definição para cada um deles. Com isso, os alunos foram lembrando o que já sabiam sobre esse conteúdo e formalizando o que conheciam sobre os quadriláteros. Quando chegamos às tarefas, notamos que os alunos tinham mais segurança ao discutir as propriedades de cada um dos quadriláteros, o que foi possibilitado pelas discussões que ocorreram durante a construção do Tangram. A experiência foi gratificante, pois notamos que os alunos, quando motivados, participaram ativamente da aula, buscando respostas para as questões que eram levantadas. 7. REFERÊNCIAS DANTE, L. R. Avaliação em Matemática. In: Matemática : Contexto e Aplicações (Manual do Professor). São Paulo: Ática, DOLCE, O. POMPEO, J.N. Fundamentos de Matemática Elementar Volume 9 Geometria Plana. 7ª ed. São Paulo: Editora Atual, PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba: SEED, SILVA, J. F. Avaliação na perspectiva formativa-reguladora: pressupostos teóricos e práticos. Porto Alegre: Ed. Mediação, 2004.

17 8. ANEXOS ANEXO I RESOLUÇÃO DAS ATIVIDADES RESPOSTAS PARA OS DESAFIOS 1) Com as peças do Tangram, mostre como construir: a) Um quadrado usando 1, 2, 3, 4, 5 e 7 peças. b) Um paralelogramo usando 1, 2, 3, 4 e 7 peças. c) Um retângulo usando 3, 4 e 7 peças? d) Um trapézio isósceles usando 3, 5 e 7 peças?

18 2) Quantos paralelogramos existem na figura 1? Quantos quadrados existem na figura 2? Solução Figura 1 Figura 2 No caso da Figura 1, temos que organizar a contagem, para isso vamos considerar que a base tem medida igual a 4b (sendo b a medida da base de cada um dos paralelogramos menores) e a altura tem 2a (sendo a a altura de cada um dos menores paralelogramos da figura). Começaremos pelos paralelogramos menores, com medidas 1bx1a, desses temos 8. Em seguida seguimos contando, primeiro alterando a altura e depois a base. Para contar os outros, podemos construir uma tabela: Medidas do paralelogramo Quantidade de paralelogramos 1b x 1a 8 1b x 2a 4 2b x 1a 6 2b x 2a 3 3b x 1a 4 3b x 2a 2 4b x 1a 2 4b x 2a 1 Total 30 No caso da Figura 2, temos um retângulo com medida 4 na base e 3 na altura, para sabermos quantos quadrados existem na figura, para isso notamos que há três tipos de quadrado na figura, quadrados com medida 1, 2 ou 3 de lado. Assim podemos construir a tabela para contar o número de quadrados: Medida do lado do Quadrado Quantidade de Quadrados Total 20

19 3) Verdadeiro ou Falso? V Todo quadrado é losango. F Todo paralelogramo é quadrado. V Todo quadrado é retângulo. V Todo retângulo é paralelogramo. F Todo losango é retângulo. F Todo losango é quadrado. F Todo retângulo é quadrado. F Todo paralelogramo é retângulo. V Todo quadrado é paralelogramo. F Todo retângulo é losango. 4) Encontre as medidas dos ângulos indicados no Tangram abaixo: a = 45 b = 135 c = 90 d = 45

20 Tabelas com o Resumo dos Planos Indicador da atividade 1. Objetivo da atividade Reconhecer os quadriláteros notáveis por suas definições e suas diferenças. Descrição atividade (como esta será realizada - metodologia) A construção do Tangram possibilitou uma abordagem investigativa sobre os quadriláteros que surgiram no decorrer da atividade. Indicador da atividade 1. Resultados esperados Esperamos que, com uma abordagem na perspectiva da Investigação Matemática, além das tarefas que iremos propor, os alunos consigam compreender as diferenças e semelhanças entre os quadriláteros notáveis. Indicador da atividade 1. Contribuição para a Formação Docente Devido à construção do Tangram e a discussão possibilitada por ela, notamos que os alunos passaram a ter mais segurança ao discutir as definições e propriedades dos quadriláteros notáveis quando estavam realizando as tarefas propostas. E também observamos que, quando motivados, os alunos se empenham em buscar soluções para os problemas apresentados.

21 Indicador da atividade PLANO DE ATIVIDADES DO 1. COORDENADOR (Reuniões Semanais) Professor Fábio Observação: as reuniões semanais da equipe devem contemplar as atividades planejadas pelos coordenadores. CRONOGRAMA 2013 Atividade Mês de Início Mês de Término 1. Maio Julho Apucarana, de de Professor Supervisor Coordenador Subprojeto