UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA

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1 UNVERSDDE DE SÃO PULO ESCOL POLTÉCNC Deparameno de Engenharia de Esruuras e Geoécnica CURSO BÁSCO DE RESSTÊNC DOS MTERS FSCÍCULO Nº Tração ou compressão puras. Cisalhameno simples H. Brio.00

2 RELÇÃO DOS FSCÍCULOS ) Tração ou compressão puras. Cisalhameno simples ) Figuras planas ) Torção uniforme ) Flexão rea 5) Flexão oblíqua 6) Cisalhameno na flexão 7) Deformações na flexão. Linha elásica 8) Flambagem de Euler 9) Esado duplo de ensão. Círculo de Mohr 0) Esado riplo de ensão. Criérios de resisência

3 TRÇÃO OU COMPRESSÃO. CSLHMENTO SMPLES ) nrodução. Escopo da Resisência dos Maeriais Enende-se por esruura a pare (ou as pares) de um sisema, desinadas a resisir às ações exernas (do meio ambiene sobre o sisema). Em odas as especialidades da Engenharia há esruuras. Exemplos: Pones, barragens, edifícios alos, passarelas para pedesres, úneis, coberuras de esádios esporivos, reservaórios de líquidos, vasos de pressão, silos para armaenameno de grãos, chassis de caminhões, carrocerias monobloco de auomóveis e ônibus, asas e fuselagens de aviões, cascos de navios e submarinos, plaaformas oceânicas de exploração de peróleo, orres de resfriameno de usinas nucleares, ubulações indusriais, mísseis balísicos ou eleguiados, pones rolanes indusriais, quadros de bicicleas e moos, robôs indusriais, orres de ransmissão de energia, fios eléricos com alma de aço, eixos de moores eléricos, próeses anaômicas, esruuras de susenação de praos parabólicos de radioelescópios, veículos aeroespaciais, chaminés alas, orres esaiadas de anenas de rádio e elevisão, esruuras de reaores de ermofusão nuclear (okamak), ec.. Resisência dos Maeriais é a primeira disciplina da Mecânica das Esruuras. Ela esuda, principalmene, o comporameno das esruuras reiculadas (formadas por barras), ais como: vigas de odos os ipos, póricos e reliças (planos ou espaciais), e grelhas. Os esforços que agem sobre uma esruura podem ser exernos ou inernos. Os exernos são aivos (cargas aplicadas) ou reaivos (inroduidos pelos apoios). Os esforços inernos se subdividem em solicianes (força normal, força corane, momeno fleor e momeno de orção), e resisenes (ensões normais e ensões angenciais). Os esforços solicianes são equivalenes às ensões e na realidade não exisem. O que exise são as ensões, às quais o maerial resise. Os esforços solicianes são enidades ficícias, espécie de meio ermo enre os esforços exernos e as ensões, e foram criados, na Mecânica das Esruuras, com a finalidade de faciliar o cálculo. Resisência dos Maeriais em como enfoque principal o esudo das ensões e o esudo das deformações em esruuras reiculadas. Numa primeira eapa se procede à resolução da esruura, iso é, à deerminação das reações de apoio e dos esforços solicianes. Em seguida vem o dimensionameno, com a limiação das ensões (condições úlimas, ou de segurança) e o conrole das deformações (condições de uiliação, ou de serviço). O esudo das deformações é imporane sob dois aspecos: limiar os deslocamenos de deerminados ponos da esruura e, mais imporane ainda, viabiliar a resolução dos sisemas hiperesáicos. Sob ese úlimo prisma, a Resisência dos Maeriais pode ser visa como uma coninuação da Esáica, já que esa úlima só resolve sisemas isosáicos. Para a resolução dos sisemas hiperesáicos dispõem-se de rês conjunos de equações: as equações de equilíbrio da Esáica, as equações de compaibilidade (geomeria das deformações) e as equações consiuivas (relações enre ensões e deformações), onde enra o maerial que compõe a esruura. Como exemplo de dimensionameno com conrole das deformações, imagine-se a caixa de mudanças de um caminhão, que represena um sisema basane complexo. s engrenagens,

4 eixos, rolamenos e demais peças que compõem o sisema devem ser capaes de resisir às ensões decorrenes da ransmissão de poencia do moor para o eixo cardan, e daí para as rodas mories (condição de segurança). Enreano, isso não basa. É preciso, ainda, assegurar que as deformações dessas peças não sejam grandes a pono de afear a própria cinemáica do mecanismo (condição de serviço). Como ouro exemplo, na área de Engenharia Civil, considere-se uma passarela para pedesres de grandes vãos (por exemplo, desinada a ranspor um rio). Tal esruura precisa er resisência suficiene para suporar o peso próprio e o peso das pessoas, além das forças horionais devidas ao veno e às variações érmicas diária e saonal. lém disso, ela deve er a esbele conrolada, de modo a eviar excesso de flexibilidade, que pode conduir a vibrações indesejáveis devidas ao veno e à cadência do andar das pessoas. ) O conceio de ensão ensão e a deformação não são grandeas físicas das mais simples. Nese iem será inroduido o conceio de ensão. Seja, na figura -, um sólido V (que represena uma esruura), em equilíbrio sob a ação de esforços exernos aivos e reaivos. Seja P um pono inerno do sólido, para o qual queremos definir o esado de ensão. Figura Para isso consideremos um plano qualquer α, que coném o pono P, e que divide o sólido em duas pares disinas, que vamos chamar de e (figura -). Consideremos o equilíbrio da pare, após a divisão. Há que considerar, no diagrama de corpo livre, além dos esforços exernos que

5 já auavam na pare, os esforços inernos que aplicava em anes do core (e que, após o core, passam a ser exernos para a pare ). Esses esforços são forças disribuídas ao longo do plano α. Figura Seja a área de uma pequena superfície, conida no plano α, e no enorno do pono P. resulane das forças disribuídas que aplicava em, na área, é F r. Por definição, a ensão média em P, no plano α e na área, é dada por: r ρ m r F () ensão média depende do pono P, do plano α e da área. Essa úlima dependência é incômoda e pode ser eliminada faendo ender a ero. parece assim o conceio de ensão no pono P e no plano α : r r F r df r ρ lim 0 ρ () d ensão ρ r depende do pono P e do plano α, e pode ser decomposa, conforme a figura -, numa componene normal ao plano (ensão normal σ r, que pode ser de ração ou compressão) e noura componene, conida no plano (ensão angencial τ r ), ais que: r r r ρ σ + τ () 5

6 Figura Observação (Prof. Décio Leal de Zagois Elasicidade e Elemenos Finios.979) s grandeas físicas êm sido classificadas em grandeas escalares e veoriais. s grandeas escalares são aquelas que ficam perfeiamene caraceriadas, em cada pono, por um número real, ou seja, que ficam perfeiamene caraceriadas em um sólido V por uma função escalar de pono µ µ ( P) como, por exemplo, a massa específica ou a emperaura. s grandeas veoriais são aquelas que ficam perfeiamene caraceriadas, em cada pono, por um veor, ou seja, que ficam perfeiamene caraceriadas em um sólido V por uma função veorial de pono r r v v ( P) como, por exemplo, a velocidade ou a aceleração. O esado de ensão em um pono P somene fica perfeiamene caraceriado pelo conhecimeno de odas as ensões ρ r que podem ser associadas aos infinios planos α que passam pelo pono, ou seja, o esado de ensão em um sólido somene fica caraceriado pelo conhecimeno da função r r ρ ρ, ( P α) Esa grandea, basane mais complexa que as escalares e veoriais, não é nem escalar nem veorial. Hisoricamene, ela foi a primeira grandea física a ser inroduida sem ser escalar nem veorial. O ene maemáico, poseriormene criado para represená-la, por esse moivo recebeu o nome de ensor. O ensor, em sua conceiuação geral, engloba o escalar, o veor, e ouros mais complexos. s grandeas físicas que não são escalares nem veoriais, em face do que foi dio, recebem o nome de grandeas ensoriais. Elas exisem hoje em grande número na Física, não apenas na 6

7 Mecânica dos Sólidos Deformáveis, onde apareceram pela primeira ve, mas principalmene na Teoria da Relaividade e em ouras eorias da Física Moderna. ) Tração ou Compressão Simples Seja, na figura -, uma barra homogênea e prismáica, sujeia a um esforço de ração N (por exemplo, uma barra de reliça). seção ransversal (que é, por definição, perpendicular ao eixo da barra) pode ser uma figura plana qualquer, de área. Figura Se a força N esiver aplicada no cenróide da seção, demonsra-se (v. anexo ) que a única ensão que aparece, no plano da seção ransversal, é a ensão normal consane: N σ () ensão normal é posiiva se for de ração e negaiva de compressão. unidade de ensão, no S.., é o Pascal ( N / m ). ensão, como foi viso no iem anerior, é um esforço inerno e não deve ser confundida com pressão, que é um esforço exerno. Em ouros planos, diferenes do plano da seção (planos inclinados em relação ao eixo), há ambém, além das ensões normais, ensões angenciais. Mas, por enquano, ficaremos resrios ao que aconece no plano da seção ransversal. 7

8 barra, que inha um comprimeno inicial L, se alonga e passa a er um comprimeno Define-se como deformação longiudinal da barra à grandea L + L. L ε (5) L deformação longiudinal é um número puro e sua ordem de grandea é do milésimo, para os maeriais esruurais mais comuns. O sinal da deformação é o mesmo da variação de comprimeno L : posiivo se for alongameno e negaivo no caso de encurameno. Para cada maerial pode-se levanar, experimenalmene, o diagrama ensão-deformação, com σ em ordenadas e ε em abscissas (figura -5). Para ensões baixas ese diagrama é sensivelmene linear, para a maioria dos maeriais. consane E, dada pela relação σ E (6) ε é uma caracerísica de cada maerial, e recebe o nome de módulo de elasicidade longiudinal, ou módulo de Young. expressão (6) é conhecida como Lei de Hooke na ração ou compressão simples. unidade de E, no S.., é o Pascal ( N / m ) Figura 5. O módulo de elasicidade é, geralmene, de valor elevado, em virude da deformação ser um número pequeno. lguns exemplos podem ser dados, como referencia: ço: lumínio: Concreo: E kgf / cm E kgf / cm E kgf / cm Para o concreo, o valor de E depende foremene da qualidade. O valor dado corresponde a um concreo com resisência ao redor de 00 kgf / cm, usado na consrução de pones. 8

9 Levando o ensaio físico aé as úlimas conseqüências, noa-se que exisem dois ipos básicos de maeriais: os dúceis e os frágeis (figura -6). Figura 6 Os maeriais dúceis (que são os meais em geral, com exceção do ferro fundido, que é frágil) êm a mesma resisência à ração do que à compressão, e apresenam um níido paamar de escoameno, em que as deformações crescem com a ensão praicamene consane. Chamam-se de σ e a ensão de escoameno e de σ R a ensão de rupura (esa úlima represena o limie de resisência do maerial). Os maeriais frágeis, por sua ve, resisem à compressão muio mais do que à ração. No concreo, por exemplo, a resisência à compressão é cerca de 0 vees maior do que a resisência à ração. Eles não apresenam um níido paamar de escoameno, mas a parir de cero pono o diagrama deixa de ser linear. conveniência, de ensão de escoameno ( ) e ensão que corresponde a esse pono é chamada, por σ convencional. No recho linear, em que σ < σe, o maerial se di elásico linear: as deformações são insanâneas, reversíveis, e σ E ε. Exise ambém o maerial elásico não-linear (figura -7), em que as deformações, apesar de imediaas e reversíveis, não são proporcionais às ensões (por exemplo, o concreo, para ensões baixas, apresena um diagrama ligeiramene não-linear). Figura 7 9

10 Porano, elasicidade é sinônimo de deformações imediaas e reversíveis, e não de deformações lineares. Para além da ensão de escoameno, as deformações, apesar de insanâneas, não são recuperadas oalmene por ocasião do descarregameno (figura -8). Figura 8 Na maior pare dese curso serão considerados apenas os maeriais elásicos lineares, homogêneos e isóropos. Por definição, maeriais homogêneos são aqueles em que as propriedades físicas são as mesmas, qualquer que seja o pono considerado. Maeriais isóropos, ou isorópicos, por sua ve, são aqueles para os quais, num mesmo pono, as propriedades físicas não dependem da direção que se considere. madeira é um conra-exemplo, por ser um maerial anisóropo, ou anisorópico (a madeira em uma boa resisência à ração na direção das fibras e quase nenhuma na direção perpendicular a elas). ) Cisalhameno simples Nese iem será descrio um ouro esado simples de ensão, conhecido como cisalhameno simples. Tal esado ocorre quando em dois planos, perpendiculares enre si, não há ensões normais ( σ 0), apenas cisalhameno ( τ 0). Demonsra-se (v. fascículo 9 esado plano de ensão) que, em planos perpendiculares enre si, as ensões de cisalhameno são iguais em módulo, mas êm senidos oposos. O ensaio de cisalhameno simples era feio, anigamene, usando um corpo de prova com o formao de uma pasilha, sujeio a uma força corane F (figura -9). ensão de cisalhameno, suposamene consane no plano de rupura, é dada por: τ F onde é a área da superfície plana de core. O problema com ese ensaio é que, na práica, ele é muio difícil de ser realiado. 0

11 Figura 9 ualmene se usa o ensaio de orção pura, onde um corpo de prova com o formao de um cilindro de parede fina, feio com o maerial a ser ensaiado, é submeido à orção (figura -0). Um elemeno da parede laeral do corpo de prova fica sujeio a um esado de cisalhameno simples (os dealhes serão esudados no fascículo orção uniforme). deformação de cisalhameno, correspondene à ensão τ, é a disorção, ou seja, o ângulo γ (medido em radianos). Figura 0 qui ambém há dois comporamenos básicos (maeriais dúceis e maeriais frágeis), aos quais τ γ que são em udo semelhanes aos correspondem dois diagramas ensão-deformação ( ) diagramas ( σ ε) da figura -6. Lei de Hooke para o cisalhameno simples é, por analogia com a expressão (6): τ G (7) γ sendo G é o módulo de elasicidade ransversal do maerial. Demonsra-se que exise a seguine relação enre os parâmeros G e E: E G (8) ( + ν) onde ν é o coeficiene de Poisson, que conrola as deformações ransversais na ração ou compressão simples (assuno a ser esudado no iem 7 a seguir).

12 Porano, um maerial homogêneo e isóropo fica oalmene caraceriado por duas consanes reológicas, ou dois parâmeros (como se sabe, reologia é a ciência que esuda as relações enre as ensões e as deformações, para os diversos maeriais). 5) Tensões admissíveis. nrodução da segurança Quando há esados simples de ensão, a inrodução da segurança fica muio faciliada, dispensando-se o uso dos criérios de resisência, que são necessários apenas quando há esados múliplos de ensão. Basa faer com que as ensões auanes na esruura (ensões de serviço) não ulrapassem as ensões admissíveis, que são dadas pelas seguines expressões: Tração: Compressão: ( σ ) R T σ T (9) s ( σ ) R C σ C (0) s Cisalhameno: τ R τ () s Nas fórmulas acima, s é o coeficiene de segurança ( s > ). O coeficiene de segurança é al que as ensões admissíveis são menores do que as respecivas ensões de escoameno, faendo com que o maerial rabalhe sempre no regime elásico, para as cargas de serviço. Às vees se considera a ensão de escoameno, em ve da ensão de rupura, no cálculo das ensões admissíveis. Na práica há dois ipos de cálculo, o de dimensionameno e o de verificação. Considere-se, para exemplificar, um caso de ração pura. a) Na verificação as dimensões são conhecidas (nese caso a área é conhecida), e procura-se um valor máximo admissível para a carga de serviço: N σ σ T N σt b) No dimensionameno o que se quer é a área: N N σ σ T σ T

13 Exemplo de aplicação (Prof. Vicor de Soua Lima) Na ligação mosrada na figura -, achar as dimensões c, d, s, e, a. São dadas as ensões admissíveis: σ 60 kgf / e cm τ 5 kgf / (madeira) cm σ 0 kgf / e cm τ 75 kgf / (meal) cm Figura (P.000 kgf) Resolução: Em problemas desse ipo é preciso imaginar qual seria, em cada caso, a configuração de rupura, e impor o equilíbrio no diagrama de corpo livre associado. Para achar c, supõe-se que a madeira pode romper por cisalhameno: ( 0c) c 0cm Para achar d, supõe-se que a madeira pode romper por compressão: ( 0d) d 5cm Para achar s, supõe-se que o meal pode romper por cisalhameno: ( 0s) s cm Para achar e, supõe-se que o meal pode romper por ração: ( 0e) e,5cm Para achar a, supõe-se que a madeira pode romper por ração: ( a d) a 0cm 6) Cálculo da variação de comprimeno da barra

14 Das expressões (5), (6) e () vem: σ L ε L L E N L L () E Quando a força normal N e a área são variáveis ao longo do eixo da barra, considera-se um elemeno dx, que sofre um alongameno dl: L N dx N L dl dx () E E Exemplo de aplicação 0 Na figura -, sendo a barra BC infiniamene rígida (ou seja, indeformável), dimensionar, com segurança igual a, o fio (), com a condição v B 5cm (o deslocameno verical do pono B não pode ulrapassar 5 cm). São dados, para o fio, a ensão de rupura à ração, o coeficiene de segurança, e o módulo de Young: σ R 600MPa, s e E 8GPa Figura Resolução: ensão admissível vale: σ σ s R T 00 MPa Tomando momenos em relação ao apoio C, acha-se o valor da força no fio: N 5 kn. área necessária, pela condição de segurança, se obém como: N N σ σ T 6 σt 00( 0) 0,5 ( 0) m

15 Por considerações de economia de maerial, vamos usar o valor mínimo necessário: 0,5 ( 0) m Resa verificar a condição de deformabilidade. O deslocameno verical do pono D é dado, aproximadamene, por: ( L) N L E (,6) 9 ( 0) ( 0,5)( 0) vd fio Porano, o deslocameno do pono B vale: 5 v B v D 0,5m > 0,05m 0,09m esruura esá muio flexível. É preciso enrijecê-la, aumenando a área do fio. nova área se calcula como a área aniga muliplicada pelo faor de correção adequado: 0,5 0,5 0,05 ( 0) 0,75 0 m ( ) 7) Deformação ransversal na ração ou compressão simples. Coeficiene de Poisson Quando uma barra esá sujeia a uma força normal, ela sofre uma deformação ransversal ε que é proporcional à deformação longiudinal ε, mas de sinal oposo (figura -): ε ν ε () Figura consane de proporcionalidade ν é o coeficiene de Poisson, o qual é uma caracerísica física do maerial. Conforme a figura -, se a barra é racionada, a sua seção diminui, e se a barra é comprimida, a seção aumena. 5

16 O coeficiene de Poisson varia desde o valor ero (maeriais que não apresenam deformação ransversal, como a coriça) aé 0,5 (maeriais incompressíveis, como a borracha e os solos saurados): 0 ν 0,5 Para o aço em-se ν 0,, e para o concreo, ν 0, 5. Como já foi viso, os parâmeros E e ν definem compleamene um maerial elásico linear, homogêneo e isóropo. 8) Lei de Hooke generaliada Consideremos um elemeno de volume sujeio a um esado riplo de ensão, de conformidade com a figura -. Combinando a expressão (6) com o efeio de Poisson, obemos a Lei de Hooke generaliada: ε E [ σ ν( σ + σ ) ] ε [ σ ν ( σ + σ ) ] (5) E ε E [ σ ν ( σ + σ ) ] Figura Exemplo de aplicação 6

17 Seja, na figura -5, um ubo de parede fina, fechado nas exremidades e submeido à pressão inerna (vaso de pressão). Calcular o aumeno do comprimeno ( L), o aumeno do diâmero e. ( d), e a diminuição da espessura ( ) São dados: p 0 kgf / cm (pressão inerna) d m (diâmero médio) e m m (espessura da parede) L 6 m (comprimeno) 6 ( 0) kgf / cm E,5 (módulo de elasicidade longiudinal) ν 0, (coeficiene de Poisson) Figura 5 Resolução: s ensões que auam num elemeno da parede do ubo são (figura -5): ( Ld) ( Le) ( 00) ( 0,) p pd 0 σ e ( 0,5 πd ) p pd σ σ πd e e σ kgf / cm σ.500 kgf / cm ensão σ vale ero na superfície exerna e p na inerna. Como p é pequeno face a σ e σ, faremos: σ 0 Pela Lei de Hooke generaliada, emos as deformações: ε [ σ ν( σ + σ ) ],7 ( ) E ε [ σ ν( σ + σ ) ] 0, ( ) E ε [ σ ν( σ + σ ) ] 0,9( ) E ε 0 (,7 ) ε 0 ( 0, ) ε 0 ( 0,9 ) 7

18 Porano: ( L) L,( 0) m L ε (, mm) ( d) d, ( 0) m d ε (, mm) ( e) e 0,006 ( 0) m e ε ( 0,006 mm) 9) Deformação volumérica Considerando a figura -, chama-se de deformação volumérica à variação de volume do elemeno por unidade de volume: ε V V a V ( + ε ) b( + ε ) c( + ε ) a bc a bc ( + ε )( + ε )( + ε ) Despreando os infiniésimos de ordem superior, ficamos com: V ε V ε + ε + ε (6) V nroduindo (5) em (6), obém-se: V ν ε V ( σ + σ + σ ) (7) V E Quando ν 0, 5 emos ε 0 (maeriais incompressíveis: a borracha, por exemplo) V No caso paricular em que assume a forma: σ σ σ p (esado hidrosáico de ensão), a expressão (7) ( ν) p V ε V (8) V E Nese caso podemos definir uma grandea K, análoga aos módulos E e G, e de mesma dimensão (Pascal no S..), chamada módulo de elasicidade volumérica, que é uma propriedade do maerial: p K ε V E ( ν) (9) 8

19 Como K > 0, percebe-se que o coeficiene de Poisson não pode ser maior do que meio. Para o caso limie em que ν 0, 5 (maeriais incompressíveis) emos K Caso paricular: ração ou compressão simples No caso paricular de uma barra em ração ou compressão puras, odos os ponos esão sujeios a um esado simples de ensão, dado por: N σ σ e σ σ 0 ssim, a expressão (7) fica: V ν εv σ εv ε ( ν) (0) V E Quando ν 0, como na coriça, ε V ε (ou seja, a seção ransversal não se deforma). Quando o maerial é incompressível ( ν 0, 5), como na borracha, ε 0. Exemplo de aplicação: V Na figura -6 se represena um paralelepípedo de um maerial parcialmene confinado. Despreando o ario enre o maerial e o recipiene, achar: a) σ, σ e σ b) c c) b 9

20 Figura 6 Resolução: a) Na figura -7 mosram-se as ensões auanes. É claro que: σ 0 e σ p Para enconrar σ, impõe-se que ε 0 : ε [ σ ν( σ + σ ) ] 0 σ ν( σ + σ ) σ ν p E E Figura 7 b) c ( ε ) c [ σ ν( σ + σ )] c [ p ν( ν p 0) ] c + E 0

21 ν c E pc E c) b ( ε ) b [ σ ν( σ + σ )] b [ 0 ν( ν p p) ] b ν b ( + ν) E p b E Se não houvesse o confinameno seria: ν b E pb 0) Sisemas com barras rígidas e iranes flexíveis Mosraremos, nese úlimo iem, dois exemplos de dimensionameno com conrole de deformações, o primeiro isosáico e o segundo hiperesáico. Eses exemplos envolvem sisemas com barras rígidas submeidas à flexão, e barras flexíveis sujeias à força normal (chamadas de iranes ou escoras, conforme a força normal seja de ração ou de compressão, respecivamene). º exemplo) Na figura -8 a barra BCD é rígida, por hipóese ( E ). char a área do irane () de modo que o deslocameno verical do pono B não ulrapasse um valor dado ( v B cm ). São dados, para o maerial dúcil que compõe o irane: σ σ σ 0 MPa e E 0 MPa. T C Resolução: Figura - 8

22 Como a esruura é isosáica, a força no irane pode ser achada simplesmene aplicando as condições de equilíbrio. O equilíbrio de momenos em relação ao apoio C fornece (N é a força no irane): ( N cos ) ( 6) α N 60 kn Para dimensionar, inicialmene impõe-se a condição de segurança: N σ ( 0) 60 m 7 seguir, verifica-se a condição de deformabilidade, usando para a área o valor acima calculado. O alongameno do irane é dado pela lei de Hooke: ( 5) ( 60) 0 N L E 0 L 9 0,05m O deslocameno horional de D é dado pela relação deformação-deslocameno (figura -9): L 0,05 h D h D 0,065m cos α 0,8 Figura 9 O deslocameno verical do pono B pode agora ser calculado: v h B D 0,08... m O valor obido é maior do que o valor máximo permissível, que é de quaro cenímeros. Porano é preciso enrijecer o irane, aumenando a área. O novo (e definiivo) valor da área pode ser calculado simplesmene corrigindo o valor inicial por meio de um faor adequado: 0, ,0 ( 0 ) 5 0 m ( )

23 º exemplo) barra BCD, que aparece na figura -0, é rígida ( E ). char a área dos fios () e (), de modo que v B,75 cm. Para os fios são dados: σ 5 MPa e E 5 GPa. Figura 0 Resolução: a) Equilíbrio: somaória dos momenos, em relação ao apoio D, é escria como: ( ) 8 ( N senβ) + ( N sen ) 8 α 0,8 N + 0,6 N 0 N + () N equação () é a única equação de equilíbrio que envolve apenas as forças nos fios. Como há duas incógnias, o problema é hiperesáico. O grau de hiperesaicidade da esruura vale, porano, g (o grau de hiperesaicidade é a diferença enre o número de incógnias e o número de equações de equilíbrio). Para resolver um problema hiperesáico, são necessárias, além das condições de equilíbrio, as equações de compaibilidade (que refleem a geomeria das deformações) e as equações consiuivas (nese caso, a lei de Hooke). b) Compaibilidade

24 figura - mosra o sisema em sua geomeria original (indeformada) e a posição final do nó C, que sofre um deslocameno v C (que pode ser considerado verical, dada a pequene do ângulo de roação da barra BCD). Figura Para obermos a variação de comprimeno dos iranes () e (), projeamos a posição final do nó na direção inicial de cada irane. ssim, podemos inicialmene escrever as chamadas relações deformação-deslocameno: L L v v C C senβ sen α () das quais é possível, eliminando o deslocameno do pono C, ober a equação de compaibilidade (que relaciona as variações de comprimeno dos iranes): L L senβ sen α vc c) Lei de Hooke 0,8 L L 0,6 L L () N ( 0) N ( 5) L L E E () Para resolver o sisema de equações obido, primeiro inrodu-se () em (). O resulado é: N N (5)

25 equação (5) parece ser uma equação de equilíbrio, mas é a equação de compaibilidade em função das forças nos iranes. Finalmene, as equações () e (5) resolvem a esruura: N N 0 kn É ineressane observar que as forças nos iranes dependem das suas áreas, ou mais especificamene, da relação enre essas áreas. O resulado enconrado ( N N 0 kn ) seria ouro se as áreas não fossem iguais enre si. O fao da resolução da esruura depender da geomeria dos seus elemenos é uma caracerísica dos problemas hiperesáicos. O mesmo não aconece com os problemas isosáicos, cuja resolução só depende do equilíbrio. gora vem a segunda fase. Uma ve resolvida a esruura, passamos ao dimensionameno. criério de segurança, a área vale: Pelo N σ ( 0) ( 0) 0 m 6 (se as forças nos iranes fossem diferenes enre si, faríamos o cálculo da área usando, nauralmene, a maior denre elas). Para finaliar o dimensionameno, resa apenas verificar a condição de deformabilidade. Escolhendo, por exemplo, o fio de número (), podemos escrever, usando a área acima calculada: 0.000( 0) 9 ( 0) 0( 0) L 0,06 L 0,06m v 0,075m C 5 senβ 0,8 8 vb vc 0,5m > 0,075m Porano, o deslocameno do pono B excede o valor máximo admissível. É preciso aumenar a área dos iranes. nova área vale: 0,5 0 0,075 ( 0 ) 60 m ( ) 0 5

26 NEXO Na figura - considere-se que a seção mosrada, de área, esá sujeia a uma ensão normal consane σ (de ração), gerada por uma força N aplicada num cero pono C. Será demonsrado que, nessas condições, o pono C coincide com o cenróide G da seção. O sisema de referencia (O, α, β) é um sisema auxiliar envolvido na demonsração. Figura dem.: basa impor a equivalência esáica enre a força N e as ensões σ. a) gualdade de resulanes N σ d σ d σ N σ b) gualdade de momenos em relação ao eixo Oα N β C d N β β( σd ) σ βd d N N βg β d β C βg (c.q.d.) c) gualdade de momenos em relação ao eixo Oβ N α C α ( σd ) σ α d α d N N α G N d α d donde: α α (c.q.d.) C G 6

27 7

28 UNVERSDDE DE SÃO PULO ESCOL POLTÉCNC Deparameno de Engenharia de Esruuras e Geoécnica CURSO BÁSCO DE RESSTÊNC DOS MTERS FSCÍCULO Nº Figuras planas H. Brio.00

29 FGURS PLNS ) Definições De acordo com a figura -, podemos definir as seguines caracerísicas geoméricas das figuras: Figura a) Momenos esáicos α β β α d Q d Q Unidade de momeno esáico: (comprimeno) Temos que: α β β α G G Q Q pois, por definição: β β α α α β Q d d Q d d G G Conseqüências: β α α β 0 Q 0 Se 0 Q 0 Se G G

30 Ou seja, se um eixo passa pelo cenróide G da figura, o momeno esáico da figura em relação a esse eixo é nulo (em Mecânica se di que a figura esá esaicamene balanceada em relação a esse eixo). b) Momenos de inércia α β β α d d Unidade: (comprimeno) c) Momeno cenrífugo αβd Unidade: (comprimeno) αβ d) Momeno polar O r d Unidade: (comprimeno) e) Raios de giração i i α β α β Unidade: (comprimeno) Por conseqüência: α β i i α β Vale ambém para momeno polar: O i O O i O Observações: ª) O momeno esáico é conhecido como momeno de primeira ordem, e os momenos de inércia, cenrífugo e polar são os momenos de segunda ordem. ª) O momeno polar é, na verdade, o momeno de inércia em relação ao eixo que passa por O e é perpendicular ao plano da figura. ª) Os momenos de inércia e o momeno polar são sempre posiivos, enquano que os momenos esáicos e o momeno cenrífugo podem ser posiivos, negaivos ou nulos. Em Mecânica o momeno cenrífugo é conhecido como produo de inércia.

31 ª) O momeno polar é a soma dos momenos de inércia: O r d ( β + α ) d α + β relação enre os correspondenes raios de giração é a seguine: O α + β i O i α + i β ) Translação de eixos De acordo com a figura -, emos para a ranslação de eixos a seguine ransformação de coordenadas: α + α β + β G G Figura α β d d + βg d + β G d + βg + β G Q Mas o momeno esáico Q é nulo, já que o eixo é um eixo cenral. Logo: + β α G (a) nalogamene:

32 + α β G (b) αβ αβd d + βg d + α G d + αgβg d + βg Q + αg Q + α Gβ G Sendo nulos os momenos esáicos, fica: + α β αβ G G (c) s expressões (a), (b) e (c) consiuem o Teorema de Seiner, ou Teorema dos Eixos Paralelos. O exame delas mosra que, denre odos os eixos paralelos a uma dada direção, o que apresena momeno de inércia mínimo é o que passa pelo cenróide da figura. O mesmo não se pode dier, evidenemene, com relação ao momeno cenrífugo. Observação: O Teorema vale ambém para o momeno polar. Somando-se membro a membro as expressões (a) e (b) acima, obém-se, de imediao: + O G d sendo d a disância de O aé G (d) ) Roação de eixos Para a roação de eixos mosrada na figura -, a ransformação de coordenadas é a seguine: u α cosθ + βsenθ v βcosθ αsenθ Figura 5

33 u v d cos θ β d + sen θ α d sen θcosθ αβ d u α cos θ + β sen θ αβ senθcosθ Para achar v basa faer v u π θ +, obendo: v sen θ + cos θ + senθcos θ (noe-se que: + + α β nalogamene:, uvd u v α β αβ senθcos θ ( β α ) d + ( cos θ sen θ) αβ ( ) senθcosθ + ( cos θ sen θ) u v α β αβ É possível ransformar as expressões de u e senθcos θ senθ sen θ cos θ cos θ + cos θ vêm, respecivamene: u v. Sendo: d u v ) u u v α + β α β + cosθ αβ α β sen θ + αβ cosθ sen θ Quando θ varia de 0 a π, u ambém varia, passando por um máximo e por um mínimo. Nas aplicações é imporane conhecer os valores exremos do momeno de inércia. sso pode ser feio, ou igualando a ero a derivada de u em relação a θ, ou enão, valendo-se das propriedades de um cero binômio, que serão apresenadas no próximo iem. ) Variação dos binômios senϕ + Bcos ϕ (Prof. Telêmaco Van Langendonck) Sejam e B consanes e ϕ variável. Pode-se escrever: senϕ + Bcosϕ + B cos ( ϕ ω) 6

34 onde ω é definido pelas condições: senω e + B cosω B + B Subsiuindo + B senω e B + B cosω binômio, demonsra-se a validade da mesma. no primeiro membro da expressão do Quando ϕ varia, os valores do binômio ambém variam, e os valores exremos aconecem para cos ϕ ω ± : ( ) ϕ ω 0 valor máximo ϕ ω π valor mínimo ( + B ) ( + B ) ou ainda: ϕ arc g B que fornece os dois valores de ϕ, defasados de π. o valor máximo + B corresponde: ϕ ω ϕ g ω cosω g senω + B B o valor mínimo + B corresponde: ϕ ω + π ϕ g ω + π ω cosω g co g senω + B B 5) Momenos principais de inércia e eixos principais de inércia Volando ao iem, lá foi viso que: u α + β α β + cosθ αβ sen θ Faendo-se: ϕ θ B 0,5 α αβ ( ) β o momeno de inércia fica: 7

35 u ce. + Bcosϕ + sen ϕ e, de acordo com o iem, os valores exremos de u são dados por ce. + ± B : α + β α β + + αβ α + β α β + αβ e são os momenos principais de inércia em relação ao pono O, sendo o maior e o menor, por convenção. s direções dos eixos principais de inércia O e O são dadas por: + B B gθ e gθ + B B Sendo, porém: + B + B 0,5 0,5 ( + ) α ( + ) α β β vêm: gθ α αβ α gθ αβ Em relação ao eixo O o momeno de inércia é, e em relação ao eixo O o momeno de inércia é. Finalmene, no iem foi viso ambém que: u v α β α β sen θ + αβ cosθ cosθ gθ + αβ Sendo, para os eixos principais, αβ g θ, vem: 0 β α Noe-se que os eixos principais são perpendiculares enre si, já que os ângulos θ e θ esão defasados de π (pois eles êm a mesma angene rigonomérica). 6) Observações ª) Os eixos principais, relaivos ao pono O G, chamam-se eixos cenrais principais 8

36 de inércia. Em Mecânica se di que a figura esá dinamicamene balanceada em relação aos eixos cenrais principais ( 0 ). ª) s expressões que fornecem e, somadas, dão: ( + ) + α + β Muliplicadas, originam: ce. u v O α β αβ ce. ª) Se os eixos de referência forem O e O, as expressões de u e u v se simplificam: u u v + + senθ cosθ Porano, se e 0. u u v Ou seja, qualquer eixo que passe por O será principal de inércia, e o pono O é chamado de pono principal da figura. Por exemplo: círculo, quadrado, ec.. (quando O G ). Quando O não coincide com G, apresenam-se dois exemplos na figura -. Figura ª) Um eixo de simeria é sempre eixo cenral principal de inércia, pois em relação a ele e a ouro qualquer, perpendicular a ele, em-se (figura -5): 9

37 αβ αβ d 0 Figura 5 5ª) Se uma figura em, em relação a um pono O, dois pares diferenes de eixos principais, enão qualquer eixo que passe por O é eixo principal. Por exemplo, no caso do reângulo (a x a) da figura -, os eixos O e O são eixos principais, mas eixos inclinados a 5º, em relação aos primeiros, ambém são eixos principais, porque em relação a eles o momeno cenrífugo é nulo. Para demonsrar esa propriedade, considerem-se os eixos principais como de referência: u u v + + senθ cosθ π O momeno cenrífugo vale ero para θ 0 (com u ) ou para θ (com u ). Se o momeno cenrífugo for nulo para ouros valores de θ, é porque, e nese caso, como vimos, qualquer eixo que passe por O é principal de inércia. 6ª) Se uma figura plana em ou mais eixos de simeria, enão odos os eixos que passam por G são cenrais principais de inércia. Esa propriedade é um caso paricular da anerior, quando o pono O coincide com o cenróide G. Exemplos: riângulo eqüiláero, quadrado, hexágono regular, círculo, ec.. 7) Exemplos de aplicação da eoria ) char os momenos de inércia e para o reângulo da figura -6. 0

38 d ( bd) b Figura 6 b h 0 8 h h 0 0 b h nalogamene: h b Como os dois eixos são de simeria (basava que um deles fosse), enão eles são ambém os eixos cenrais principais de inércia. Supondo que h > b emos: bh e h b Observe-se que a fórmula bh ambém vale para o paralelogramo da figura -7. Mas, nese caso, a fórmula hb não vale (por quê?) Figura 7

39 Observação: Para o caso de um eixo que coném a base do reângulo, o esudane deve verificar b h que (basa usar o eorema de Seiner). º) char o momeno de inércia para o riângulo isósceles da figura -8. O elemeno de área é dado por: d h h ( b d) b h 6 Figura 8 b h d b d d h Como o eixo é de simeria, o momeno de inércia calculado é um dos momenos cenrais principais. Noe-se, enreano, que a fórmula deduida não vale para o cálculo do ouro momeno principal, como no reângulo. Ou seja: h b 6 (Por quê? Como exercício, achar a expressão correa de ) Observe-se ambém que a fórmula deduida ( bh ) coninuaria válida, mesmo que o 6 riângulo não fosse isósceles (figura -9). Mas, nese caso, os eixos e já não seriam eixos cenrais principais de inércia, porque o eixo já não é de simeria.

40 Figura 9 Observação: para o caso de um eixo que coném a base do riângulo (escaleno), o esudane b h deve verificar, usando o eorema de Seiner, que ) char para o círculo da figura -0, de raio R e diâmero D Figura 0 Usando coordenadas polares, calculamos inicialmene o momeno polar : G π π R G r d dθ r dr dθ 0 R 0 0 G πr πd Como + G e, emos, finalmene: πr πd 6 Observação: Nese exemplo, a inegração seria mais simples se escolhêssemos ouro elemeno de área, em forma de anel:

41 G R r d 0 r ( πr) πr dr π º) Coroa de círculo de diâmero maior D e menor d ( D d ) 5º) Para o riângulo reângulo da figura -, achar o momeno cenrífugo : 6 Convém inicialmene calcular αβ : αβ Figura b f b b β h αβ d α β dβ dα α dα α b 0 f 0 h b ( b α) dα b αβ b h Em seguida aplica-se o Teorema de Seiner: b h bh b h αβ + α GβG b h 7 O fao de o momeno cenrífugo ser negaivo significa que a maior pare da figura esá siuada nos quadranes pares. Observe-se que, rocando o senido de um dos eixos ( ou ), o momeno cenrífugo muda de sinal. Trocando de senido os dois eixos, o momeno cenrífugo não se alera. Esa propriedade é geral. 6º) Seções delgadas (seções de parede fina)

42 Quando a seção é delgada, cosuma-se simplificar o cálculo do momeno de inércia. Seja, por exemplo, achar o momeno de inércia em relação ao eixo cenral principal horional da seção da figura -. Noe-se que a alura é dada em relação aos eixos das mesas, e que a espessura é bem menor do que as ouras dimensões, para caraceriar a parede fina. bδ Cálculo exao: + ( bδ)( b) Figura δ + ( b δ) (a primeira parcela se refere às mesas e a segunda di respeio à alma). Simplificações: δ bδ 0 ( b) δ( b δ) em ve de Exemplo numérico: b cm e δ cm Valor exao: Valor aproximado:.7 cm.608 cm Êrro 00 % (o êrro comeido em um valor admissível).7 8) Deerminação dos eixos e momenos cenrais principais de inércia 5

43 Nas aplicações em Resisência dos Maeriais é fundamenal achar, para uma figura plana que represena a seção ransversal de uma barra fleida, o cenróide e os eixos cenrais principais de inércia, bem como os respecivos momenos cenrais principais de inércia. presenaremos dois exemplos. No primeiro exemplo a figura em um eixo de simeria, e no segundo não há nenhum eixo de simeria, é o caso mais geral possível. Primeiro exemplo: (figura -) Cenróide: Figura doa-se um sisema auxiliar de referência (α, β) para o cálculo da posição do cenróide. figura dada é dividida em dois riângulos, um superior e ouro inferior, ambos com a mesma base, igual a 6 cm. α 8 cm (por simeria) β G Qα ( 70) 5 + ( 50) G Momenos de inércia ( 5) ( 0) 5 cm ( 0) ( 5) cm Para o cálculo de, a subdivisão adoada não serve (por quê?). doaremos dois riângulos, separados enre si pelo eixo de simeria G, obendo: 6

44 ( 8) ( 6).70 cm Segundo exemplo: (figura -) Cenróide: Figura doa-se um sisema auxiliar de referência (α, β) para o cálculo da posição do cenróide. origem desse sisema deve ser escolhida de modo a ser conveniene para o cálculo. figura dada é dividida em duas figuras mais simples. α β Qβ ( 00) 5 + ( 00) G Qα ( 00) 0 + ( 00) G cm 7 cm Deerminação das grandeas auxiliares, e doa-se um conveniene sisema de referência cenral (, ). Ese sisema é cenral, mas não é o principal, pois 0, como veremos abaixo: 7

45 ( 0) ( 0) ( ) ( 0) ( 0) ( ) ( ) 7.67 cm ( 8).67 cm 00 ( )( ) + 00( 8)( ).000 cm Deerminação dos momenos cenrais principais de inércia + +, ± 7.78 cm cm (noe-se que: < < < ) Deerminação dos eixos cenrais principais de inércia g θ o 0,96 θ 0, 90 gθ o 5,96 θ 79, 0 (noe-se que os eixos cenrais principais são perpendiculares enre si) 8

46 UNVERSDDE DE SÃO PULO ESCOL POLTÉCNC Deparameno de Engenharia de Esruuras e Geoécnica CURSO BÁSCO DE RESSTÊNC DOS MTERS FSCÍCULO Nº Torção uniforme H. Brio.00

47 TORÇÃO UNFORME ) nrodução Diemos que uma barra esá sujeia a orção uniforme quando rês requisios são, simulaneamene, respeiados: a) a barra é homogênea e prismáica (seção ransversal consane) b) o momeno de orção é consane ao longo da barra c) não há impedimeno algum ao empenameno ( warping ) da seção ransversal Quando um ou mais desses requisios não são saisfeios, a orção se di não-uniforme. Em geral, na orção uniforme, a seção ransversal da barra empena, iso é, ela deixa de ser plana, com exceção da seção circular (maciça ou vaada). Na orção uniforme o empenameno é suposamene livre para ocorrer, e odas as seções ransversais da barra empenam igualmene. O empenameno não pode ser impedido, sob pena de a orção se ornar não-uniforme (por exemplo, um engasameno pode impedir o empenameno, forçando a seção a se maner plana). Há 50 anos Sain-Venan mosrou, usando os resulados da Teoria da Elasicidade, que, na orção uniforme, odos os ponos da barra esão no esado de cisalhameno simples (v. fascículo 9 esado duplo de ensão) Resisência dos Maeriais, que é uma eoria simplificada oriunda da Teoria da Elasicidade, consegue, denro das suas limiações, resolver apenas os casos de eixos de seção circular maciça, eixos de seção circular vaada e ubos fechados. ) Seção circular ou em coroa de círculo. Esudo das ensões Seja a seção circular vaada da figura -, sujeia a um momeno de orção T. hipóese básica que se fa (a ser confirmada no esudo das deformações) é a de que a ensão angencial que aparece num pono qualquer da seção ransversal, causada pelo momeno de orção, é perpendicular ao raio veor que define a posição do pono. ensão é ambém proporcional à disância r que separa o pono considerado do cenróide da seção: τ k r ()

48 Figura Para achar a consane de proporcionalidade k, basa impor a equivalência esáica enre as ensões angenciais e o momeno de orção. resulane das ensões vale ero, por simeria. Quano ao momeno em relação ao cenróide, podemos escrever: T r ( τd) k r d inegral que comparece na expressão acima, como foi viso no fascículo (figuras planas), é o momeno polar de inércia ( G ) da figura em relação ao cenróide G. No esudo da orção essa inegral será chamada de momeno de inércia à orção, e simboliada por : ( r r ) π r d e i () O resulado acima foi apresenado no fascículo (figuras planas). Coninuando: r ( τd) k T r d k k T T τ r () O ineresse maior, nauralmene, é pela ensão máxima, que ocorre no conorno exerno da seção: T T π r W () τ máx re W com i re re re grandea W é o módulo de resisência à orção da seção, e é medida, no S.., em m. O módulo de resisência é uma grandea puramene geomérica, iso é, ele não depende do maerial do eixo e nem do momeno de orção.

49 Observações: ) expressão: T τ máx (5) W é universal, ou seja, se aplica a seções de qualquer geomeria, basando, em cada caso, fornecer o W correspondene. Para a seção circular vaada o módulo de resisência é dado pela (). ) Para inroduir a segurança, em se raando de cisalhameno simples, basa impor que: T τe τ máx τ (6) W s sendo τ a ensão admissível ao cisalhameno do maerial do eixo, τ e a ensão de escoameno (supondo raar-se de maerial dúcil) e s o coeficiene de segurança ( s > ). ssim, fixado o maerial, o momeno máximo de orção a que a seção pode resisir é proporcional ao módulo de resisência, o que jusifica o nome dado à grandea W ) ensão máxima é angene ao conorno. Ese fao não é uma coincidência, vai sempre aconecer em qualquer seção ransversal. Esá ligado a uma condição de conorno, aquela que di que as faces laerais da barra esão descarregadas. Se não há cargas exernas auando nas faces laerais, a componene da ensão, na seção ransversal, normal ao conorno, vale ero. so será esclarecido mais arde, ao se esudar o esado duplo de ensão, no fascículo 9. ) Se a seção vaada iver pequena espessura (ubo circular), a fórmula se simplifica. Seja R o raio médio e δ a espessura (δ << R). Podemos supor que a ensão é consane ao longo da espessura, o que nos leva, impondo o equilíbrio, ao seguine resulado (confirmar): ( τ) R [( πr δ) τ ] T R W W πr δ δ τ τ τ sendo πr a área delimiada pela linha média da parede. fórmula acima vale, na verdade, para qualquer ubo fechado, e será deduida mais adiane para o caso geral (Bred). Também vale aproximadamene, para o ubo circular de parede fina, a seguine fórmula: ( π R δ) R π R δ R Caso paricular: seção circular maciça W πr δ R Na figura - se apresena uma seção circular cheia, ou maciça, de raios expressões () e (6) permanecem válidas: r e R e r i 0. s

50 τ T r τ máx T W τe τ s sendo que agora emos: πr πd (7) W πr π d (8) R 6 sendo d o diâmero (d R). Noe-se que a ensão mínima vale ero nese caso. Figura ) Seção circular ou em coroa de círculo. Esudo das deformações s seções ransversais, no caso de seções circulares ou em coroa de círculo, manêm sua forma plana primiiva, iso é, não empenam. Mas deslocam-se angularmene, uma em relação à oura (Prof. Vicor S. Lima). Seja, na figura -, um elemeno de barra, de comprimeno dx 5

51 Figura γ B r dθ ' B' γ d x dθ d x r d θ γ Mas: θ cons.. dx r cons O que confirma a hipóese, feia no esudo das ensões, da proporcionalidade enre a ensão τ (que por sua ve é proporcional a γ ), e a disancia r. Pela Lei de Hooke: τ T T γ r dθ d x G G G negrando, para uma barra de comprimeno L: L T θ d θ dx G 0 T L θ (9) G fórmula (9) ambém é universal, assim como a (5). O parâmero G é o módulo de elasicidade ransversal do maerial do eixo. Vale a seguine fórmula, como foi viso no fascículo : E G (0) ( + ν) sendo E o módulo de elasicidade longiudinal e ν o coeficiene de Poisson. 6

52 ) Ouras formas de seção Para ouras formas de seção valem as expressões (5) e (9): T τ máx e W θ T L G e a Teoria da Elasicidade fornece as expressões para o módulo de resisência W e o momeno de inércia à orção. (convém lembrar que o momeno de inércia à orção só coincide com o momeno polar no caso das seções circulares vaada ou maciça). Como a ensão angencial deve ser angene ao conorno, nos vérices da seção (ponos angulosos, ou com bico ) a ensão é nula, e numa região próxima a esses ponos a ensão em valor reduido. Módulos de resisência De acordo com a figura -, são válidos os seguines resulados (sem demonsração): ) Quadrado de lado a: W 0,08 a () (a ensão máxima ocorre no pono médio do lado) ) Triangulo eqüiláero de lado a: W 0,05 a () (a ensão máxima ambém ocorre no pono médio do lado) ) Reângulo de lados a e δ: W + 0,5n a δ,n () + δ sendo n < (a ensão máxima ocorre no meio do LDO MOR) a (o quadrado é um caso paricular, com n ) ) Reângulo alongado W a δ () Ese caso, imporane na práica, é um caso limie do anerior (válido quando n 0 ). qui a disribuição das ensões fica praicamene linear ao longo da espessura. lém disso, a ensão, ao longo do conorno do lado maior, fica praicamene consane e igual à ensão máxima. 5) Reângulo alongado ligeiramene curvo O resulado do iem anerior vale ambém se o reângulo alongado for ligeiramene curvo, desde que o raio de curvaura seja bem maior do que a espessura (fig. -) 7

53 6) Hexágono regular W 0,88 d (5) (onde d é o diâmero do círculo inscrio. ensão máxima ocorre no pono médio do lado) Figura Momenos de inércia à orção No que se segue, é a área da seção e d o diâmero do círculo inscrio. 8

54 ) Quadrado ) Triângulo equiláero 0,06 d (6) 0,5 d (7) π b h ) Elipse (de eixos b e h) (8) 6 b + h ) Hexágono regular 0,5 d (9) 5) Reângulo alongado a δ (0) (a é o comprimeno e δ é a espessura. Vale ano para elemenos reos quano para elemenos curvos de pequena curvaura, de raio bem maior que a espessura) 5) Exemplos de aplicação º exemplo Prof. Diogo) Na figura -5 se represena uma barra prismáica B sujeia a um momeno de orção consane (supõe-se que o engasameno não impede o empenameno). Definir a seção ransversal nos seguines casos: a) seção circular maciça de raio R b) quadrado de lado a c) riangulo eqüiláero de lado a d) seção circular vaada de raios R (exerno) e 0,8 R (inerno) É dada a ensão admissível ao cisalhameno do maerial ( τ ) 9

55 Figura 5 Resolução: O momeno de orção vale: T P b τ máx T W τ W T τ a) b) c) W πr P b τ R 0,8 W 0,08 a P b τ a,69 W 0,05 a P b τ a,7 P b τ P b τ P b τ d) R ( 0,8R ) W [ ] 0,95 πr π e 0,95 πr P b τ R,05 W P b τ R Perguna-se: qual das seções é a mais econômica? Resposa: é a que em a menor área: 0

56 a) πr,6 P b τ b) a,86 P b τ c) a,8 P b τ d) 0,6 πr,9 P b τ Porano, a seção mais econômica é a circular vaada, seguida pela circular maciça. Na práica a maioria dos eixos que ransmiem poencia é de seção circular maciça, que, apesar de gasar mais maerial do que a vaada, é de consrução mais baraa. º exemplo) Para o sisema da figura -6, achar os diâmeros d, d e a roação θ C. 6 São dados, para o maerial do eixo: τ 800 kgf / cm e G 0 kgf / cm. Resolução: Figura 6 Momenos de orção nos dois rechos: T.000kgfcm e T 0.000kgfcm πd T W d,95 cm 6 τ ( ) πd T W d,00 cm 6 τ ( )

57 θ T L G T L π 0 ( 00) (,95) π 0 ( 00) C θ + θ + ( ) G ( ) (,00) 0, rad º exemplo) Para o sisema da figura -7, achar o valor do diâmero d ( 00 kgf m) São dados, para o maerial do eixo: 6 τ 800 kgf / cm e G 0 kgf / cm. mpõe-se, ainda, que θ C θ, sendo θ um valor limie dado por θ 0,05 rad T. Resolução: Figura 7 Com relação às caracerísicas geoméricas das seções e B: ( ) 0,09875 d B πd [ ] 0,0760 d π ( ) d ( 0,7d) ( ) ( ) B W 0,965 B d ( ) d ( ) W 0,9 d d Em primeiro lugar é preciso achar as reações de apoio T e T B. O equilíbrio di que: T + T T a) B Como esa é a única equação de equilíbrio, e há incógnias, o problema é hiperesáico. oura equação disponível é a equação de compaibilidade:

58 θ C 0 6 T ( 00) ( 0,0760) d 0 6 TB ( 00) ( 0,09875) d T B,69 T b) Resolvendo o sisema a) e b), chega-se a: T kgf cm TB.500 kgf cm Resolvido o sisema hiperesáico, o próximo passo é o dimensionameno, com a inrodução da segurança ao colapso, e a verificação da deformabilidade. Com relação à segurança: T τ 800 d,585 cm 0,9 d ( W ) ( W ) TB.500 τ B 800 d,50 cm 0,965 d Com relação à deformabilidade: B ( 00) ( 0,0760) θ C 0,05 d,90 cm (resposa) 6 0 d º exemplo) Um eixo circular vaado ransmie, conforme a figura -8, uma poencia de 50 H.P. a uma velocidade angular de 800 r.p.m. Deerminar o diâmero exerno desse eixo (d?), sabendo que a roação relaiva enre as suas exremidades não pode ulrapassar o valor de 0,05 6 rad. São dados, para o maerial do eixo: τ 750 kgf / cm e G 0 kgf / cm. Resolução: Figura 8 Sabemos que: Poencia T ω ()

59 Sendo T o momeno de orção (orque) auane no eixo e ω a velocidade angular. No sisema MK*S (écnico) a poencia é dada em kgfm / s, o orque em kgfm e a velocidade angular em radianos / s. Sabemos que: H.P. 75 kgfm /s e r.p.m. ( π ) rad / s 60 Porano, de () vem, já considerando a conversão de unidades: ( π) ( 75) T T,8 kgf m 60 [ d ( 0,7d) ] 0,0760 d π d d W 0,906 d ( 00) T,8 τ máx 750 d 5,85 cm W 0,906 d gora, verificando a condição de deformabilidade: ( 0) ( ) T L, θ 0,05 d 7,00 cm (resposa) 6 G 0,0760 d 6) Seções delgadas aberas Seja uma barra de comprimeno L, com a seção delgada abera da figura -9, sujeia a um momeno de orção T, como indicado. Supõe-se que a espessura dos diversos elemenos seja pequena em relação às dimensões da seção, o que caraceria as seções de parede fina. Figura 9

60 Dois elemenos genéricos i e j êm as seguines roações: T L G i θ i e ( ) i θ j Tj L G ( ) j Da condição da seção ser indeformável no seu próprio plano, vem: θ i θ j T T i j () ( ) ( ) i j ssim, cada elemeno i supora uma fração T i do momeno oal T que é proporcional ao seu momeno de inércia à orção (. Da condição de odos os elemenos erem o mesmo giro, obém-se, usando uma conhecida propriedade das frações: ) i θ i Ti L G ( ) G ( ) + G ( ) + L i T L + T L + L θ T L G Donde se conclui, considerando (0), que o momeno de inércia da seção vale: ( ) i δ a i i () Da relação (), e considerando (), vem: T i j ( ) ( ) ( ) i T j Tk T L () k Lembrando das fórmulas () e (0), emos, para o elemeno de ordem i (figura -0): ( τ ) máx i T i ( W ) a δ ( ) i T i i i T i i δ i Figura 0 5