o montante de uma renda é igual à soma dos montantes de cada um de seus têrmos.

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1 AMORTZAÇAO DE EMPR~STMOS EDMU~ ldo EBOU BONNl o coceito su"jjacete... é que o valor do diheiro tem uma dimesão temporal, isto é, um dólar a ser recebido amahã ão possui o Jesmo valor de um dólar recebido hoje." - RoBERT W. JOHNSON. Em setido amplo, por amortização se etede a dimiuição gradual ou extição de qualquer capital seja qual fôr o fim a que se destia, através de reduções periódicas. O usual é que tais reduções sejam efetuadas por meio de prestações, as quais podem ser iguais etre si, e também, podem ou ão icluir, como parte itegrate, os juros periódicos causados pelo capital que se extigue. apital em Matemática Fiaceira é qualquer valor expresso em moeda dispoível em uma certa época. Reda é uma sucessão de capitais dispoíveis em diferetes épocas. Adotado-se a otação de cojutos, temos: R= -{(, E),..., (, E ) E <E ; ~ J J ' H- 2: l- = = EDMUNDO EBOL BONN - Profes.mr-otratado do Departameto de Métod06 Quatitativos da Escola de Admiistração de Emprêsas de São Paulo, da Fudação Getúlio Vargas. Professor das: Faculdades de iêcias Ecoômicas e Admiistrativas da Uiversidade de São Paulo, Faculdade de iêcias Bcoômicas de São Paulo, Facuuuuie de iêcias Ecoômicas de São Luiz, Escola de Egeharia Mauá e Faculdade de iêcias Ecoômicas da Uiversidade Mackezie.

2 6 AMORTZAÇAO DE EMPRÉSTMOS R.A.E.j26 ode: apitais = têrmos de reda; E Vecimeto. A capitalização é composta quado o capital, em cada período previamete determiado, sofre acréscimo dos juros devidos para ova capitalização os períodos subseqüetes. A capitalização é simples quado o capital permaece costate durate todo o tempo de sua colocação. o motate de uma reda é igual à soma dos motates de cada um de seus têrmos. Segudo o Pricípio de Equivalêcia de apitais o motate das prestações deverá ser igual ao motate do capital emprestado. Temos observado ser prática estabelecida etre ós que a amortização de um empréstimo seja feita através do sistema Price, que correspode a um caso particular do Sistema Fracês, ode o período da prestação é submúltiplo do período da taxa. Neste osso trabalho iremos mecioar além do Sistema Price (prestações mesais iguais, adotado-se a capitalização composta) outros critérios para amortizarmos empréstimos. METODOLOGA Adotaremos a seguite omeclatura: capital emprestado; taxa de juros; P úmero de prestações ou prazo; prestação; - capital geérico variável. t

3 RA.)!;.j26 AMORTZAÇAO DE EMPR: STMOS 7 osideremos os seguites critérios: Há um acréscimo de uma porcetagem sôbre o capital emprestado e a prestação será determiada pelo quociete etre êsse capital obtido e o úmero de prestações. Etão, teremos: P=----- c ( +- i) () Os juros são calculados sôbre o saldo. apitalização Simples. Quado as prestações forem iguais, o motate do capital emprestado será: M=O +- i) o motate das prestações será: M' = :s p [ + ( - t ) i] tcc l Aplicado-se o pricípio de equivalêcia de capitais, temos M = M'. Portato: D ~ P [l+-(-t)i]=( i) :::: Resolvedo esta equação em fução de P, temos: P i (-l) 2 i (2)

4 8 AMORTZAÇAO DE EMPRltSTMOS R.A.E./26 Quado as prestações variarem em Progressão Aritmética, o motate do capital emprestado será: M = ( + i) o motate das prestações será: " M' = ~ [ + i ( - t) ], ode = = + a (t- ) = ( - a) + a t. sedo: tl primeira prestação a ~- razão de progressão aritmética Realizado as substituições a equação acima, temos: M' = ~ [( - a) + a: t] [ + i (-t)] Aplicado-se o pricípio de equivalêcia de capitais: M'=M e portato: ti [ ( - a) + a t ] [ + i (- t).] = ( + i) Resolvedo esta equação em fução de, temos: (+ i) i] - (-l) a [-+- (--) 2 32 (3) + - (-l) 2 Observação: a < 2( + i) ( - )

5 R~A.E./26 AMORTZAÇAO DE EMPRESTMOS 9 Quado as prestações variarem em Progressão Geométrica, o motate do capital emprestado será: M = ( + i) o motate das prestações será: M' = ~ [ + i ( - t)], ode t~ t g t gt-, sedo: primeira prestação razão da progressão geométrica. Realizado as substituições a equação acima, temos: M' =t~lgt- [ + i(-t)] Aplicado-se o pricípio de equivalêcia de capitais, temos M = M', portato: fi ~ gt- [ + i ( - t)] = ( + i) == Resolvedo esta equação em fução de, temos: ( + i) g- i ---( g- g- g~ (4) apitalização omposta Presteçêes guais - o. motate do capital emprestado será: M = ( + i) e o motate das prestações será:

6 20 AMORTZAÇAO DE EMPRJi;STMOS R.A.B./~ M' k P ( + i)-t = p ~ ( + i) o- = = (+i)" - P , sedo que a fução s o ecotra-se tabelada em fução de i e. Aplicado-se o pricípio de equivalêcia, temos: (+ i) - P ,...- i = ( + i) Resolvedo a equação acima em fução de P, temos: (+i)i P= =.3 - (+i)- (5) Observe-se que a fução a - ção de i e. ecotra-se tabelada em fu Prestações Variáveis em Progressão Aritmética - o motate do capital emprestado será: M = ( + i)" O motate das prestações será: M' = Z ( + i)-t, ode = t - ( + a) + a t, sedo: t

7 ~.A.E./26 AMORTZAÇAO DE EMPR~STMOS 2 c = primeira prestação; a = razão da progressão aritmética. Procededo às substituições a equação acima, temos: M' = ~ [( - a) + a t] ( + i)-t = Aplicado-se o pricípio de equivalêcia, temos: t~l [( - a) + a t] ( + i)- = ( + i)" Resolvedo essa equação em fução de, temos: a - ( a [ a l l i)] (6) - ( + i)- ode: a l fução de i e. que está tabelada em Prestações Variáveis em Progressão Geométrica - o motate do capital emprestado será: M = ( + i) e o motate das prestações será: M' = ~ ( + i)"""ode = t ' t = gt-, sedo:

8 22 AMORTZAQAO DE EMPru:BTD.OS R.A.E./26 g primeira prestação; razão da progressão geométrica. Após efetuarmos as substituições a equação acima, temos: Aplicado o pricípio de equivalêcia, temos: Resolvedo esta equação em fução de, cemos: ( + i)" [( + i) - gl ( + i)" - g" (7).6J>LAÇÕES DO MÉTODO Daremos aqui um exemplo para cada um dos critérios:. Determiar a prestação mesal para amortizar um capital de Nr$ ,00, durate 5 meses, sedo a taxa de 3% ao mês. Solução: Substituido os valores a fórmula (), temos: ( + 0<03 X 5) p = = o total dos juros será: J = Orgaizar um plao de amortização de empréstimo de Nr$ ,00 para ser liquidado em 5 prestações e sedo a taxa de 3% ao mês.

9 H..A.E./26 AMORTZAÇAO DE EMPRÉSTMOS 23 o plao de amortização ficará da seguite forma: Juros Prestação o o total dos juros será:,~ == Determiar a prestação mesal que amortiza um capital de Nr$ ,00 em 5 meses a juros simples sedo a taxa de 3 % ao mês. Solução: Substituido os valores a fórmula (2), temos:. P + = ,03 X J + 0,03 2 O total dos juros será: lu Elaborar um plao de amortização de um empréstimo de Nr$ ,00, a juros simples de 6% ao meio liquidável em 2 prestações mesais variáveis em progressão aritmética de razão igual a Nr$ 0.000,00. Solução: Substituido os valores a fórmula (3), teros :

10 24 AMORTZAÇAO DE EMPRl:STMOS R.A.E.;26 ( + 0,06 X 2) [ o.e (2 )"] ,00... ~ (2 ~ ) 0.000,00 ~ J 2 _ c= 0, (2 -" ) 2 O plao será: Mês Débito rédito Saldo Juros O ' 27, , Elaborar um plao de amortização de um empréstimo de Nr$ ,00, a juros simples de 6% ao mês, liquidável em 2 prestações mesais variáveis em progressão geométrica de razão,. Solução: Substituido os valores a fórmula (4), temos: ( + 0,06 X 2) (,)2-0,06 X (+----) ,-,-,- c 97.00

11 R.A.E./26 AMORTZAÇAO DE EMPR~STMOS 25 o plao será: Me$es Débito rédito Saldo Juros o Determiar a prestação que amortiza um capital de Nr$ ,00, sedo a taxa de 3% ao mês. Solução: Substituido os valores a fórmula (5), temos: P = ,03 ( + 0,03)~ ( + 0,03)5 - P = X 0, = 0.98 o total dos juros será: J = Orgaizar um plao de amortização de um empréstimo de Nr$ ,00 a juros de 8% ao mês,!íquidável em 6 prestações mesais variáveis em progressão aritmética crescete de Nr$ ,00 em cada mês. Solução: Substituido os valores a fórmula (6), temos: (+0,08)-0 0,08 0,08 r. -6 ( -0,08) -, J. - ( +0,08) -6 0,08

12 26. AMORTZAÇAO DE EMPRl:STMOS R.A.E./ o plao será: Meses Saldo - Juros Saldo --+- Juros Prestação ' :J Orgaizar um plao de amortização de um empréstimo de Nr$ ,00, a juros de 5% ao mês, liquidável em 5 meses com prestações variáveis em progressão geométrica de razão 2. Solução:. Substituido os valores a fórmula (7), temos: ( + 0,05 )')[2 - ( + 0,05)] 2".--- ( + 0,05):;

13 R.a.E./26 AMORTzaçãO DE EMPRÉSTMOS 27 o plao será: M'eses Saldo o fim de Juros de 5% sôbre cada mjs o saldo aterior Prestaçôes o \l : U.84R o leitor teve a oportuidade de costatar uma série de critérios para amortizarmos um empréstimo. Assim, observamos empréstimos a prestações iguais e variáveis, segudo uma certa lei de crescimeto, cosiderado a capitalização simples e composta. O critério a ser adotado está evidetemete codicioado a situação de devedor e credor; assim, os exemplos práticos,2,3 e 6, temos que os juros: J > J J > J Portato. para o emprestador o plao mais coveiete seria o plao e para o tomador seria o plao 3.. Devemos observar que ão há um critério ótimo. Por isso aalisamos as amortizações de empréstimos a capitalização simples e composta com prestações costates e variáveis de acôrdo com uma certa lei de crescimeto. Em cada um dos critérios, o pricípio é de que o motate do capital emprestado deverá ser igual ao motate das prestações. Portato, para amortizarmos um empréstimo, devemos ter em mete dois tópicos: Qual o critério de capitalização dos capitais: capitalização simples ou composta.

14 28 AMORTZAÇAO DE EMP~STMOS R.A.E./26 Qual o valor das prestações: costates ou variáveis, e se variáveis qual a lei de variação. APÊNDE Mecioaremos aqui as somatérias aplicadas, sedo que as mesmas são aplicadas o desevolvimeto das fórmulas para a obteção dos modelos: + ~ [ t ] =+ - ~ }; t ~ [ t(t-)jt (-f ) 2 2 ~ [ ]"+ }; t _ = [+-] :! t~ - -l ~ (+i)- = s (+i)t - t=-: [ (+i) J~ i [ ( +i)t +i - (+i) - i ~ (+) 6 (2+) " [ g(g" - ) g -

15 R.A.E./26 AMORTZAÇAO DE EMPRÉSTMOS 29 BBLOGRAF'A ()LODOMRODE ALMEDAFURQUM, Empréstimos, São Paulo: Tipografia Rossolillo. álculo Operatório a Matemát'ica Fiaceira, São Paulo, 957. W. JAMES GLOVER, Tables ot Applied Mathematics i Fiace, surace, Statistics - The George Wahr Publishig o., 95. E.L. GRANT, Pricipies ot Egieerig Ecoomy, Nova orque: The Roald Press o., 950. LAUDEMAHLNE, "Aálise de vestimetos e flação", Revista de Admiistração de Emprêsas,.o 8. EDMUNDO EBOL BONN, "Equivalêcia de apitais (apitalização omposta) ", Revista de Publicidade dustrial, abril de "Equivalêcia de apitais (apitalização Simples) ". RP, maio de "Substituição de Pagametos", RP, julho de "vestimeto e Retôro Parciais", RP, agôsto de "oheça o Sistema Fracês para Amortização de Empréstimos", RP, outubro de "omo Amortízar Empréstimos pelo Sistema Americao", RP, dezembro de 966.