DESENVOLVIMENTO DO MODELO DE SINTESE E OTIMIZAÇÃO APLICADO A PROCEDIMENTOS DE CANHONEIO DE POÇOS DE PETRÓLEO

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1 DESENVOLVIMENTO DO MODELO DE SINTESE E OTIMIZAÇÃO APLICADO A PROCEDIMENTOS DE CANHONEIO DE POÇOS DE PETRÓLEO Juliana Souza Baioco Carolina dos Santos Seckler PROJETO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO DE PETRÓLEO. Aprovado por: Prof. Breno Pinheiro Jacob, D.Sc. Prof. Virgílio José Martins Ferreira Filho, D.Sc. Antônio Cláudio Soares, Eng. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL JANEIRO DE 2009

2 Agradecimentos Dedicamos este projeto de fim de curso a nossas famílias e amigos, que nos apoiaram durante todo o curso e sempre nos deram força. Dedicamos também ao nosso orientador, Breno Pinheiro Jacob, por ter nos guiado na execução do projeto. Gostaríamos de agradecer aos nossos professores, por terem repassado pacientemente seus conhecimentos, em especial aos professores Virgílio José Martins Ferreira Filho e Paulo Couto, pela ajuda no conteúdo do projeto. Agradecemos ao pessoal do LAMCSO, especialmente aqueles que acompanharam e ajudaram no desenvolvimento do projeto: Karinna Freitas da Silva, Ian Nascimento Vieira, Carl Horst Albrecht, Beatriz de Souza Leite Pires de Lima. Agradecemos também aos engenheiros do CENPES pela oportunidade de trabalhar no projeto e pela ajuda no desenvolvimento da monografia. Gostaríamos de agradecer a Mariana Fernandes Ramos pela ajuda na revisão e a Pedro Paulo dos Santos Machado pela edição das figuras. Por fim, somos muito gratas a ANP e a COPPETEC pelas bolsas de iniciação científica. ii

3 Sumário LISTA DE FIGURAS... V LISTA DE TABELAS... VII 1 - INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA PROCESSO DE CANHONEIO Descrição do Processo Classificação Overbalance Underbalance Extreme Overbalance FLUXO EM MEIOS POROSOS Equação da Continuidade Equação de Darcy Equação de Estado Soluções da Equação da Difusividade Fluxo Linear Fluxo Radial MODELAGEM NUMÉRICA Modelo Padrão Razão de Produtividade ESTUDOS PARAMÉTRICOS CONCEITOS DE OTIMIZAÇÃO Otimização Algoritmos Genéticos Conceitos Básicos iii

4 7.2.2 Composição dos Algoritmos Genéticos IMPLEMENTAÇÃO DA OTIMIZAÇÃO Função Objetivo: Modelo Analítico de Fluxo no Canhoneado Restrições Restrições dos Parâmetros Geométricos Restrições nos Parâmetros de Físicos Modelo de Síntese e Otimização Estudos de Caso CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS Anexo A Anexo B iv

5 Lista de Figuras Figura 1 - (a) Canhoneio convencional. (b) Canhoneio TCP. (c) Canhoneio através da coluna de produção. (Fonte: THOMAS, 2001)... 6 Figura 2 - Carga de um perfurador. (Fonte: MATTA, 2007 modificada)... 7 Figura 3 - Detonação da carga de um perfurador e a formação de jato. (Fonte: MATTA, 2007)... 8 Figura 4 - Classificação do canhoneio. (Fonte: SILVA, 2007 modificada)... 9 Figura 5 - Elemento de um meio poroso. (Fonte: ROSA et al., 2006) Figura 6 - Fluxo linear em um reservatório com alimentação no limite externo. (Fonte: ROSA et al., 2006) Figura 7 - Fluxo radial permanente. (Fonte: ROSA et al., 2006) Figura 8 - Estrutura esquemática do canhoneio Figura 9 - Razão de Produtividade (PR) versus Profundidade do Túnel (L p ) Figura 10 - Razão de Produtividade (PR) versus Diâmetro do Túnel na Rocha (D ehr ).. 27 Figura 11 - Esquema representativo do Algoritmo Genético básico Figura 12 Tipos de Crossover. (Fonte: LIMA, 2008) Figura 13 Processo de Mutação Figura 14 (a) Esquema de um canhoneado. (b) Aproximação do canhoneado por um cilindro Figura 15 - Divisão do canhoneado em áreas Figura 16 - Malha de resistências representativa do fluxo em meio poroso Figura 17 Representação do cromossomo Figura 18 Variáveis otimizadas do caso Figura 19 Parâmetros da otimização do caso Figura 20 Evolução do algoritmo do caso Figura 21 - Variáveis otimizadas de MATTA, (Fonte: MATTA, 2007) v

6 Figura 22 - Variáveis otimizadas do caso Figura 23 - Parâmetros da otimização de MATTA, (Fonte: MATTA, 2007) Figura 24 Parâmetros da otimização do caso Figura 25 - Evolução do algoritmo de MATTA, (Fonte: MATTA, 2007) Figura 26 Evolução do algoritmo do caso vi

7 Lista de Tabelas Tabela 1 Valores dos parâmetros do modelo padrão Tabela 2 Escolha dos parâmetros livres do modelo de otimização Tabela 3 Validação do modelo analítico para 1spf Tabela 4 Comparativo dos valores ótimos vii

8 Resumo O processo de canhoneio é uma etapa importante da fase de construção de poços, realizando o contato da rocha-reservatório com o poço e viabilizando a produção do óleo. O procedimento consiste em utilizar cargas explosivas moldadas para abrir túneis no revestimento e na rocha, permitindo a vazão do fluido para o interior do poço. Desta forma, a seleção adequada do tipo de canhão e da carga a ser utilizada é de extrema importância, visto que vários fatores influenciam nesse processo, interferindo na produtividade, como densidade de tiros, profundidade de penetração, diâmetro do túnel, entre outros. O objetivo deste trabalho é apresentar resultados de estudos paramétricos para avaliar a influência de algumas variáveis relacionadas às cargas explosivas na produtividade do poço, já que existem vários tipos de cargas com diferentes propriedades, as quais conferem características específicas aos canhoneados. Além disso, exibir um modelo de otimização para encontrar o valor ótimo para os parâmetros envolvidos no processo de canhoneio. Para o estudo paramétrico, foi aplicado um programa comercial que permite simular o problema de fluxo, em conjunto com um préprocessador e um aplicativo de geração de malhas de elementos finitos, que permite a construção de modelos representando o reservatório, o poço e os túneis canhoneados. Para o modelo de otimização, foi desenvolvida uma função analítica, a qual avalia a vazão no canhoneado, a partir de uma analogia com transferência de calor e resistências térmicas. Dos parâmetros estudados, pode-se observar que a influência causada pela variação do comprimento do túnel é maior que a do diâmetro de entrada do túnel, sendo um fator importante na escolha do tipo de carga moldada a ser utilizada no projeto do poço. Palavras-chave: Petróleo, Canhoneio, Algoritmos Genéticos. viii

9 Abstract The perforating process is an important step in the well construction phase, making contact with the reservoir and allowing the oil production. The procedure is to use shaped explosive charges to open a tunnel on the casing and rock, allowing the flow of fluid into the well. Thus, the proper selection of the type of gun and charge in use is of extreme importance, since many factors modify this process, interfering with the productivity, such as density of shots, penetration depth, tunnel diameter, among others. The aim of this paper is to present results of parametric studies to gauge the influence of some variables related to explosive charges in the well productivity, since there are various types of charge with different properties, which confer specific characteristics to the perforated area. Also, display an optimization model to find the optimum value for the parameters involved in perforation. For the parametric study, were applied a commercial program that is able to simulate the flow problem, together with a preprocessor and a finite element meshes generator software, allowing the construction of models representing the reservoir, the well and perforated area. For the optimization model, it was developed an analytical function, which evaluates the flow in the perforated area, from an analogy with heat transfer and thermal resistance. Of the parameters studied, one can observe that the influence caused by changes in the tunnel length is larger than the tunnel diameter, being an important factor in choosing the type of shaped charge used in the design of the well. Keywords: Petroleum, Perforation, Genetic Algorithms ix

10 1 - INTRODUÇÃO No atual cenário econômico, no qual a oscilação do valor do petróleo tem definido a viabilidade de projetos, é importante verificar a relevância de otimizar a produção a fim de elevar a receita, diminuindo os custos. O presente trabalho tem a motivação de otimizar o processo de canhoneio para elevar a produtividade de poços de petróleo. Um poço de petróleo, antes de entrar em produção, necessita de uma série de operações, as quais têm como função equipá-lo de modo que sejam minimizadas as intervenções durante a sua vida produtiva. O procedimento de canhoneio compreende uma etapa dessa operação denominada completação, tendo como objetivo restabelecer o contato poço-formação, permitindo o fluxo do óleo para o interior do poço. Esse procedimento possui várias variáveis, as quais influenciam no processo, interferindo na produtividade, como a geometria do canhoneio e as propriedades físicas da rocha. Desta forma, dentre os diversos parâmetros associados à operação de canhoneio, o diâmetro de entrada do túnel e comprimento do canhoneado, estão diretamente relacionados com a escolha do tipo de carga moldada a ser utilizada no projeto do poço. Assim, este trabalho tem como objetivo apresentar os resultados de alguns estudos paramétricos, que possibilitem determinar como algumas características afetam a produção, como variáveis geométricas do poço e da região canhoneada, e propriedades da rocha-reservatório. Desse modo, é possível definir como esses parâmetros influenciam no índice de produtividade, e auxiliar na avaliação do tipo de carga a ser empregada no canhoneio. Como a finalidade do projeto do poço é realizar as operações de forma a minimizar os danos à formação e maximizar a produção, o estudo dos parâmetros que influenciam o desempenho do canhoneio é de extrema importância para alcançar uma maior produtividade de óleo ou gás. Adicionalmente é exibido um modelo de síntese e otimização, o qual tem a função de encontrar o valor ótimo para os parâmetros envolvidos no processo de canhoneio. Este modelo utiliza uma função analítica para o cálculo da vazão e toma como premissa o estudo paramétrico para selecionar as variáveis de interesse. 1

11 O trabalho possui uma revisão bibliográfica, citando outros autores que executaram projetos correlatos, seguida pela descrição do processo de canhoneio. Além disso, está inserida uma exposição de fluxo em meios porosos e uma definição da modelagem numérica, a qual serve de premissa para os estudos paramétricos. Por fim, descreve-se os conceitos de otimização que são utilizados na implementação do modelo de síntese e otimização. 2

12 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Estudos na área de Completação de poços são importantes, visto a relevância desta etapa no desempenho do poço de petróleo. Neste sentido, alguns trabalhos serão descritos abaixo no tocante do estudo de fluxo em poços canhoneados, da análise paramétrica das variáveis que influenciam a operação de canhoneio, bem como da aplicação de ferramentas de síntese e otimização. ANSAH et al. (2002) apresentaram um modelo numérico tridimensional de elementos finitos para solucionar o problema de fluxo em poços canhoneados, mostrando que o escoamento é influenciado por um conjunto de fatores. Desta forma, relacionaram o comprimento dos túneis, o diâmetro de entrada no revestimento, a densidade de tiros, o ângulo de fase entre as cargas e o dano provocado pelo canhoneio. Vale salientar que o modelo numérico estudado foi confrontado com resultados experimentais. Já em MATTA (2007) e em SILVA (2007), o problema de fluxo em poços canhoneados foi bem representado, utilizando um modelo tridimensional cujas cargas foram alocadas em espiral na parede do poço. Foram adotados, também, túneis cônicos e anisotropia de permeabilidade, além de considerar os danos da formação e do canhoneio. Vale destacar que os modelos utilizados foram validados em FREITAS et al. (2006). Adicionalmente foram realizados nesses trabalhos estudos paramétricos envolvendo fatores geométricos do túnel do canhoneado e propriedades físicas da rocha-reservatório. A partir dos resultados obtidos, pode-se observar a influência do parâmetro estudado na produtividade do poço. Desta forma, foi possível verificar que a extensão do túnel apresenta expressiva influência no desempenho do fluxo e, por conseguinte, na produtividade. Além disso, o dano à formação provocado, principalmente, pelo fluido de perfuração, afeta negativamente a vazão do fluido, reduzindo significativamente a produtividade do poço quando a permeabilidade do dano é reduzida. Outro fator relevante é a espessura do dano à formação, visto que quando o túnel do canhoneado penetra o dano e se estende pela rocha virgem, a produtividade é expressivamente melhorada, uma vez que ultrapassa a região de baixa permeabilidade. 3

13 O último aspecto que merece ser destacado é a anisotropia, a qual está relacionada com a orientação da permeabilidade e pode ter uma grande influência na produtividade. Por último, em MATTA (2007) foi aplicada uma ferramenta de síntese e otimização em algoritmos genéticos, na qual se pode observar que métodos de otimização baseados em algoritmos evolutivos são altamente recomendados em otimização de poços canhoneados, conseguindo analisar dados do canhoneio com eficiência e em menor tempo de análise global. 4

14 3 - PROCESSO DE CANHONEIO Para contextualizar o problema é necessário introduzir os conceitos inerentes ao processo de canhoneio de um poço de petróleo, o qual, antes de entrar em produção, necessita de uma série de operações. Estas, por sua vez, têm como objetivo equipá-lo de modo que sejam minimizadas as intervenções durante a sua vida produtiva, diminuindo assim os custos e os riscos envolvidos. A esse conjunto de atividades é dado o nome de completação. Ao ser perfurado, o poço na maioria das vezes necessita ser revestido com tubos de aço. Isso é feito com uma série de objetivos, entre eles possibilitar uma seletividade na produção ou injeção de fluidos em diversos intervalos de interesse, uniformizar o diâmetro do poço e dificultar seu desmoronamento ou colapso. O espaço anular entre esse revestimento e a formação é então cimentado para fixação. Uma das etapas da completação do poço é, portanto, restabelecer o contato poço-formação, permitindo o fluxo do óleo. Esse procedimento é chamado de canhoneio. Essa operação é responsável por gerar túneis, cuja geometria e propriedades físicas dependem das características do reservatório. Entretanto, ela também provoca danos na rocha, o que reduz o fluxo de fluido ao criar regiões de baixa permeabilidade devido à compactação dos poros rochosos, resultante da energia proveniente dos jatos das cargas durante a abertura dos túneis. Assim, é de vital importância que esse procedimento seja otimizado, para que os danos sejam diminuídos, aumentando a recuperação de óleo e conseqüentemente, os ganhos da produção. 3.1 Descrição do Processo O processo convencional de canhoneio emprega cargas explosivas dispostas em série dentro de canhões, que são cilindros de aço ou cápsulas fixadas a uma lâmina ou arames, onde as cargas se alojam, sendo estes responsáveis pelo isolamento entre o explosivo e o poço. Os canhões podem ser descidos por dentro da coluna de produção (through tubing guns), pelo interior do revestimento (casing guns), a cabo (wireline 5

15 guns) ou com a coluna de perfuração ou de produção (tubing conveyed perforating TCP), como mostra a Figura 1. Figura 1 - (a) Canhoneio convencional. (b) Canhoneio TCP. (c) Canhoneio através da coluna de produção. (Fonte: THOMAS, 2001) As cargas explosivas podem ser do tipo gun perforation, que é feito por balas de munição, ou jet perforation, que consiste em jatos com cargas moldadas. Esse último é o mais usado desde o final da década de 40 e evoluiu das armas militares da Segunda Guerra Mundial (OTT et al., 2003). O jet perforation tem como vantagem a maior penetração e o menor risco de destruição da formação. Uma carga moldada para canhoneio a jato é constituída por um invólucro externo (Case), uma carga principal de alto explosivo, uma carga iniciadora (Primer) e um liner (revestimento cônico metálico), conforme a Figura 2. 6

16 Figura 2 - Carga de um perfurador. (Fonte: MATTA, 2007 modificada) O invólucro externo é um vaso de contenção projetado para suportar as forças de detonação da carga durante a formação do jato. Este invólucro é também importante na prevenção de interferências com as cargas adjacentes, ao longo da seqüência de disparos. Pode ser fabricado com aço, zinco ou alumínio e a precisão nas tolerâncias de projeto e fabricação são parâmetros importantes no desempenho dos disparos. A carga iniciadora realiza a ligação entre o cordão detonante e a carga principal de explosivo. É geralmente composta por um material explosivo de maior sensibilidade, reforçando o sinal de detonação do cordão detonante para a carga principal. O liner, revestimento cônico metálico, ou ainda simplesmente cone, é colapsado sob a força de detonação da carga principal, contribuindo para a formação do jato, conforme ilustrado na Figura 3. Inicialmente, os liners eram fabricados de metal sólido. Estas cargas produziam com sucesso, jatos de alta densidade, mas tendendo a tampar o túnel canhoneado com grande quantidade de resíduos. Já nas cargas mais modernas os liners são fabricados com uma mistura de metais pulverizados, que produzem jatos com densidade suficiente para uma grande penetração na formação, com uma razoável redução na quantidade de resíduos. Os materiais que comumente compõem os liners podem ser cobre, zinco, tungstênio, estanho e chumbo (MATTA, 2007). Além disso, existem vários tipos de cargas explosivas com diferentes propriedades, as quais conferem características especificas aos canhoneados como, por exemplo, as cargas deep penetration (DP), super deep penetration (SDP), big hole (BH), super big hole (SBH), entre outras. A escolha do tipo de carga a ser usada é de 7

17 extrema importância, uma vez que as cargas DP e SDP conferem maiores profundidades no túnel e as BH e SBH atribuem maiores diâmetros de entrada. Figura 3 - Detonação da carga de um perfurador e a formação de jato. (Fonte: MATTA, 2007) 3.2 Classificação O processo de canhoneio pode ser classificado quanto à pressão exercida pelo disparo junto à formação. Ele pode ser Overbalance, Underbalance ou Extreme Overbalance, como ilustrado na Figura 4. 8

18 Figura 4 - Classificação do canhoneio. (Fonte: SILVA, 2007 modificada) Overbalance Até o final da década de 40, a maioria das operações de canhoneio realizadas utilizavam lama de perfuração como fluido de amortecimento e diferencial de pressão no sentido poço/formação, caracterizando o canhoneio sobre-balanceado ou Overbalance. Devido a esse diferencial de pressão, logo após o canhoneio ocorre uma invasão do fluido de completação dentro da área canhoneada, contaminando as imediações do poço. Havendo uma incompatibilidade entre o fluido e as argilas da formação, a invasão do fluido pode provocar um dano tal que só seja possível a descontaminação através de tratamento químico específico, o que acarretaria mais gasto com o poço. O fluxo iniciado após o disparo empurra os resíduos dos explosivos, do cimento e do revestimento, assim como outras partículas existentes na lama ou no fluido de completação, em direção aos poros da formação. Este fenômeno é chamado tamponamento e ocorre devido à compactação dos detritos da explosão nos poros da 9

19 formação, o que dificulta o fluxo de fluido da formação em direção ao poço, implicando em queda de produtividade (SILVA, 2007). Uma vantagem do processo Overbalance, é que o poço fica automaticamente amortecido durante o canhoneio, tornando a operação mais segura e, portanto sendo favorável que os disparos ocorram antes que a completação do poço esteja totalmente finalizada (MATTA, 2007) Underbalance Estudos indicaram que a indução de um fluxo, da formação para o poço, imediatamente após o canhoneio, implicava uma melhoria significativa na produtividade dos canhoneados, uma vez que possibilitava a remoção de parte dos resíduos existentes no interior dos furos e da matriz da formação. Se um diferencial de pressão no sentido formação/poço fosse aplicado no momento do disparo das cargas, caracterizando um canhoneio sub-balanceado ou Underbalance, utilizando ainda um fluido limpo em frente à zona a ser canhoneada, resultados melhores poderiam ser obtidos. Esse diferencial de pressão é, neste caso, favorável à limpeza dos detritos do canhoneio imediatamente após a explosão, prevenindo assim o tamponamento. Outra vantagem é que, se o fluxo tende a ser da formação para o poço, então também não deve haver contaminação da formação pelo fluido de completação. Neste tipo de canhoneio é necessário que o poço seja totalmente completado antes de se iniciar o processo, visto que a pressão negativa no mesmo, em relação à formação, indica que logo que os disparos ocorram, o poço dará início à produção do fluido do reservatório. Esta capacidade de início imediato da produção é uma das principais vantagens deste método. Em geral, o Underbalance é muitas vezes preferível ao Overbalance, devido à limpeza dos detritos da explosão, o que desobstrui as vias para escoamento do fluido da formação. Entretanto, além do custo adicional devido à segurança do poço, para reservatórios de gás altamente pressurizados, o canhoneio Overbalance pode obter melhores resultados do que o Underbalance (SILVA, 2007). 10

20 3.2.3 Extreme Overbalance Objetivando encontrar possíveis soluções para o problema do dano causado pelo canhoneio em poços de petróleo, em 1988, a partir de diversas idéias, optou-se pelo aperfeiçoamento da técnica que utilizava um alto diferencial de pressão no sentido poço/formação no momento do canhoneio, conhecida como Extreme Overbalance Perforating EOP. O uso desta técnica busca basicamente limpar os túneis dos canhoneados dos resíduos sólidos ou depositados, resultantes do disparo das cargas, e criar fraturas de pequena penetração e alta condutividade que ultrapassem a região danificada pelo fluido de perfuração e pelo próprio canhoneio, ampliando o raio de drenagem do poço. Dois processos são combinados para atingir esses objetivos: o grande excesso de pressão e a ação do fluxo de fluido e gás pelos canhoneados, no momento do disparo das cargas, asseguram a completa remoção de quaisquer resíduos que possam bloquear a entrada dos canhoneados, forçando-os para o fundo dos túneis; a alta pressão no poço resulta em ruptura abrupta da formação, criando fraturas radiais, de pequena penetração, a partir do túnel canhoneado, cuja extensão ultrapassa a zona danificada pelo fluido de perfuração e pelo próprio canhoneio do poço. O resultado desse processo representa uma eficiência de quase 100% do canhoneio, com a maioria dos canhoneados aptos a contribuir para o fluxo de hidrocarbonetos (SILVA, 2007). 11

21 4 - FLUXO EM MEIOS POROSOS O estudo de fluxo em meios porosos é importante para a definição da formulação dos estudos paramétricos, bem como na compreensão da função de avaliação do modelo de otimização proposto neste trabalho. Desta forma, adicionalmente, ao descobrir uma acumulação de petróleo deve-se estimar a quantidade de hidrocarbonetos e o tempo de produção desta jazida, sendo necessário o conhecimento das leis que regem o movimento dos fluidos nos meios porosos. Para as diversas situações em que os reservatórios se encontram são desenvolvidas soluções que se baseiam em uma equação conhecida como equação da difusividade hidráulica ou simplesmente equação da difusividade. Ela é obtida a partir da associação de três equações: da equação da continuidade, que é uma equação de conservação de massa; da equação de Darcy, que é uma equação de transporte de massa; e, de uma equação de estado, que tanto pode ser uma lei dos gases como a equação da compressibilidade para o caso dos líquidos. Para a obtenção da equação da difusividade hidráulica admitiu-se a hipótese de o meio poroso ser homogêneo e isotrópico. Além disso, o fluxo deve ser estritamente horizontal e isotérmico, o poço deve penetrar totalmente a formação, a permeabilidade deve ser constante, deve haver pequenos gradientes de pressão, o fluido e a rocha devem ter compressibilidade pequena e constante, a viscosidade do fluido deve ser constante, as forças gravitacionais desprezíveis e, por fim, fluidos e rochas não reagentes entre si. Para o desenvolvimento das equações será utilizado um elemento de meio poroso através do qual está ocorrendo o fluxo de um fluido, cuja saturação é igual a 100%, ou seja, é o único fluido presente no meio. O elemento em questão tem a forma de um paralelepípedo com dimensões Δx, Δy e Δz, e o fluxo através do mesmo será estudado durante um intervalo de tempo Δt (ROSA et al., 2006). 12

22 Figura 5 - Elemento de um meio poroso. (Fonte: ROSA et al., 2006) 4.1 Equação da Continuidade A equação da continuidade afirma, basicamente, que a diferença entre a massa que entra e a massa que sai nas três direções de fluxo é igual à variação de massa dentro do meio poroso no Δt considerado. Ela é descrita por: (1) onde ν x, ν y, e ν z são as velocidades aparentes do fluido nas direções x, y e z respectivamente, ρ é a massa específica e φ é a porosidade. As velocidades aparentes do fluido são descritas por: (2) (3) 13

23 (4) onde q x, q y e q z são as vazões de entrada e de saída nas três direções. 4.2 Equação de Darcy Em 1856, em Dijon, França, Henry Darcy a partir de uma das suas experiências apresentou uma relação matemática que se tornou a base para a compreensão do fenômeno do escoamento de fluidos através de meios porosos. Em seus experimentos, Darcy estudou o fluxo de água através de um filtro de areia horizontal. A formulação geral dessa lei é usualmente feita na forma diferencial, deste modo: (5) onde ν é a velocidade macroscópica do fluxo, µ é a viscosidade do fluido, k é a constante de permeabilidade do meio e dp/ dl é o gradiente de pressão na direção do fluxo. Para os casos em que os efeitos gravitacionais sobre o fluxo são desprezíveis, a seguinte equação diferencial para o escoamento do fluido pode ser obtida: (6) onde k x, k y, k z são as permeabilidades do meio poroso nas direções x, y e z, respectivamente. 14

24 4.3 Equação de Estado As equações de estado são aquelas que representam as compressibilidades dos fluidos e da rocha, para o caso dos líquidos. A compressibilidade dos fluidos é dada por: (7) e a compressibilidade da rocha é dada por: (8) Assim, a compressibilidade total do meio é dada pela soma dessas duas compressibilidades: (9) A introdução das equações (7), (8) e (9) na equação diferencial do escoamento (6) e a consideração de que a compressibilidade e a viscosidade do fluido são constantes, permitem a conclusão: (10) A equação (10) pode ser também escrita em termos da pressão do fluido no reservatório: 15

25 (11) Para um meio poroso homogêneo e isotrópico, as permeabilidades nas três direções são iguais, ou seja, k x =k y =k z =k. Além disso, tanto a compressibilidade do líquido como os gradientes de elevação são, em geral, valores muito pequenos, de modo que, quando elevados ao quadrado, resultam em termos muito menores ainda. Assim, mostram-se desprezíveis quando comparados com os outros termos da equação, o que está de acordo com o desenvolvimento deste trabalho, onde se considera o fluido incompressível. Assim, a equação da difusividade hidráulica pode ser escrita de forma mais compacta como: (12) onde η é a constante de difusividade hidráulica e é dada por: μ (13) 4.4 Soluções da Equação da Difusividade As soluções da equação da difusividade podem ser dadas para sistemas lineares e radiais. Nesse trabalho, o único regime de fluxo tratado é o permanente, assim só serão apresentadas soluções nesse regime. Deve ser salientado que as soluções a serem apresentadas foram todas obtidas considerando-se que a vazão no ponto de coordenada x = 0 para o caso de fluxo linear, ou r = r w (raio do poço) no fluxo radial, é constante. 16

26 4.4.1 Fluxo Linear Para um sistema de fluxo linear, ou seja, quando há apenas uma direção de fluxo, a direção x, por exemplo, os termos referentes às direções y e z são iguais a zero e a equação da difusividade se reduz a: (14) As equações para fluxo linear permanente descrevem o movimento de um fluido em um meio poroso linear limitado, de comprimento L e área aberta ao fluxo A. Figura 6 - Fluxo linear em um reservatório com alimentação no limite externo. (Fonte: ROSA et al., 2006) Nesse regime de fluxo, tanto a vazão quanto a pressão não variam com o tempo. Assim, a equação da difusividade toma o aspecto: 0 (15) Assim, inserindo as condições de contorno para as pressões e resolvendo para pressão e para a vazão, a solução da equação da difusividade para regime de fluxo linear e permanente pode ser escrita, de forma reduzida, como: 17

27 (16) onde: (17) Fluxo Radial Admitindo-se que não há fluxo no sentido vertical, a equação da difusividade pode ser escrita, em coordenadas cilíndricas, como: (18) As equações para regime permanente descrevem o movimento do fluido em um meio poroso cilíndrico, de raio da base igual a r e e altura h, com um poço de raio r w situado no seu centro. Figura 7 - Fluxo radial permanente. (Fonte: ROSA et al., 2006) 18

28 Novamente, em regime de fluxo permanente, tanto a vazão quanto a pressão não variam com o tempo. Assim, a equação da difusividade toma o aspecto: 0 (19) Assim, inserindo as condições de contorno para as pressões e resolvendo para pressão e para a vazão, a solução da equação da difusividade para regime de fluxo radial e permanente pode ser escrita, de forma reduzida, como: (20) 19