Palavras-chave: Modelagem Matemática, demografia brasileira, ensino médio.

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1 A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO FERRAMETA MOTIVADORA PARA A FORMAÇÃO DA CIDADAIA OS JOVES DO ESIO MÉDIO: UMA DISCUSSÃO SOBRE A DEMOGRAFIA BRASILEIRA Ana Claudia Saie Kakihaa 1 Universidade Esadual de Maringá UEM Lílian Akemi Kao 2 DMA- UEM Luzia Mara Bellini 2 DFE - UEM Resumo A modelagem maemáica é uma das endências da educação maemáica que possibilia a formação de um ambiene de aprendizagem na qual uma gama de disciplinas é explorada em orno de um ema. Ese rabalho apresena o esudo sobre alguns modelos maemáicos, em dinâmica de populações, com o objeivo de descrever o crescimeno da população brasileira, obendo esimaivas para a população nos anos seguines junamene com suas conseqüências econômico-sociais e oporunizar discussões inerdisciplinares nas aulas de maemáica do ensino médio. Trabalhar com o esudo do crescimeno populacional, além de ser um ema aual e insigane, possibilia mosrar aos alunos algumas aplicações da maemáica em ouras áreas. Mais do que isso, ese rabalho objeiva conscienizar os esudanes do ensino médio, por meio da compreensão e discussão dos problemas e uilizando recursos maemáicos, que é possível fazer previsões razoáveis quano ao crescimeno da população brasileira, além de possibiliar inferências a respeio do fuuro da humanidade. Palavras-chave: Modelagem Maemáica, demografia brasileira, ensino médio. Inrodução A Dinâmica Populacional é um ramo da Ecologia populacional que esuda a variação da quanidade de indivíduos ao longo do empo e espaço. Sua imporância vai além de ineresses sócio-econômicos, pois uma vez que eses esudos são fundamenados 1 Aluna de Iniciação Cienífica. 2 Professoras do Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência e o ensino de Maemáica

2 em eorias da Maemáica iso revela a esreia relação desa com as Ciências Biológicas. (GOMES, 2002). Esa inerdisciplinaridade pode ser amplamene explorada no ensino médio, desacando-se a imporância da Maemáica como uma linguagem para represenar e inerprear diversos fenômenos da naureza, buscando fazer previsões. (BATSCHELET, 1978). A modelagem maemáica é uma esraégia que proporciona um ambiene de aprendizagem na qual uma gama de disciplinas é explorada em orno de um ema. (BEA, 2001) o caso paricular do ensino da maemáica, iso se orna muio ineressane, pois, na maioria dos casos, os alunos êm dificuldades de ver aplicações práicas e se ineressam pouco pelos coneúdos dados em sala de aula. Ese rabalho apresena um esudo sobre alguns modelos maemáicos para descrever o crescimeno da população brasileira, assim como ober esimaivas para a população em 2050 e suas conseqüências econômico-sociais, visando oporunizar discussões nas aulas de maemáica do ensino médio. O esudo a respeio da dinâmica populacional, além de ser um ema aual e insigane, possibilia mosrar aos alunos que a maemáica pode ser aplicada em diversos emas e não somene aqueles ficícios apresenados os livros didáicos. Mais do que isso, ese rabalho objeiva conscienizar os esudanes do ensino médio, por meio da compreensão e discussão dos problemas e uilizando recursos maemáicos, que é possível fazer previsões razoáveis quano ao crescimeno da população brasileira, além de possibiliar inferências a respeio do fuuro da humanidade. (EDELSTEI-KESHET, 1988; MURRAY, 1989). Para ano, foram esudados os seguines modelos em dinâmica populacional: o Modelo de Malhus e o Modelo de Verhuls. O Modelo de Malhus considera a axa de crescimeno da população consane e é considerado ideal para populações que ainda esejam em crescimeno exponencial e o Modelo de Verhuls considera a axa de crescimeno proporcional à população em cada insane, considerado ideal para populações cuja população eseja próxima da esabilidade. Os dados reais da evolução da população Brasileira, de 1940 a 2000, obidos em (BASSAEZI, 2002) foram uilizados como referência para deerminação dos parâmeros consanes nos modelos. 228

3 Os resulados obidos nos permiiram um amplo debae sobre quesões sociais, políicas e econômicas que influenciam nesa dinâmica. Além disso, os conceios maemáicos envolvidos nese rabalho puderam ser melhor compreendidos e serviram como argumenação sólida para algumas conclusões. Referencial eórico Modelagem Maemáica na educação Pensar no ensino da maemáica sempre nos remee às dificuldades dos alunos e consequenemene dos professores em aprender e ensinar de uma forma moivadora e mais significaiva. Além dos coneúdos da disciplina, o professor ambém busca conribuir para formação críica de seus alunos. (JACOBII, 2007) Sendo assim, a modelagem é uma das endências da educação maemáica, que enre ouros benefícios, conribui para a formação críica do aluno viabilizando o desenvolvimeno da capacidade de reflexão. Essa reflexão se dá no momeno em que o aluno, por meio da modelagem maemáica, passa a compreender a siuação-problema, a analisá-la e a buscar o conhecimeno sobre o ema a fim de solucioná-lo. Segundo BASSAEZI (2002), a modelagem maemáica consise na are de ransformar problemas da realidade em problemas maemáicos e resolvê-los inerpreando suas soluções na linguagem do mundo real. Enendemos que a modelagem vai além da resolução de problemas maemáicos, pois pode ornar o aprendizado de maemáica mais ineressane para os alunos e ainda, possibilia discussões para uma formação críica e para a consrução da cidadania. (MACHADO, 2005) a educação, o ensino por meio da modelagem propicia uma maior paricipação e ineresse por pare dos alunos no desenvolvimeno das aividades, viso que os novos coneúdos são apresenados de forma invesigaiva e consruídos a parir de conceios já adquiridos pelos alunos aneriormene. o ensino da maemáica a modelagem se orna ainda mais ineressane, pois é possível mosrar aos alunos suas aplicações no dia-a-dia, ão soliciadas nas aulas e não somene eorias e cálculos repeiivos e sem significado. A modelagem maemáica nas aulas de maemáica do ensino médio possibilia uma gama de discussões como: quais serão as conseqüências desse fenômeno para a sociedade? Quais variáveis, uilizadas para descrever o fenômeno, são mais significaivas 229

4 para provocar fores mudanças no problema? Quais previsões podem ser feias sobre o fenômeno? Enre muias ouras que podem ser abordadas pelo professor. (BIEMBEGUT; HEI, 2004). A uilização da modelagem abre caminhos para a conscienização e ações políicas, por meio dos rabalhos realizados em sala de aula e principalmene pelas reflexões dos resulados obidos. Essa conscienização políica se dá quando o aluno passa a se envolver com o problema apresenado e a invesigar, debaer e discuir com seus colegas de classe (ALMEIDA, FIDELIS, 2004). Passando ambém, a compreender o senido e o significado do conceio maemáico uilizado na resolução do problema, e quais as relações enre maemáica e as diversas siuações-problema que podemos enconrar; ou seja, a maemáica passa a er um significado, uma imporância na vida do aluno. (BRITO; ALMEIDA, 2004) Educação Maemáica críica A Educação Maemáica (EM) preocupa-se com a pesquisa acerca do processo educacional maemáico. Ela em grande significância nos processos sociopolíicos, pois fornece a base e a compeência para o desenvolvimeno e manipulação da ecnologia, comunicação e informação. A Educação Maemáica Críica (EMC) esá ligada aos diferenes papéis possíveis que a EM pode e poderia desempenhar.(...) egar algum acesso à paricipação em maemáica é ambém deerminar, a priori, quem irá adiane e quem ficará para rás. (SKOVSMOSE, 2007) Ou seja, dizer que a EM é críica significa considerar que há alernaivas possíveis para que a maemáica seja assimilada por odos e que enconrá-las pode fazer a diferença. Desenvolvimeno Censo Demográfico é o conjuno de dados esaísicos sobre a população de um país. o Brasil, os censos demográficos são realizados a cada 10 anos pelo IBGE. As informações que compõem os quesionários variam a cada censo, pois as informações que refleem a realidade de um decênio podem não refleir a realidade dos dez anos seguines. 230

5 osso primeiro Censo aconeceu em 1872 e recebeu o nome de Recenseameno da População do Império do Brasil. O mais recene foi o Censo 2000, e o próximo já esá marcado para o Censo, os pesquisadores do IBGE visiam odos os domicílios do país para aplicar um quesionário econômico-social. Depois de percorrer odas as regiões do Brasil, indo de casa em casa, os pesquisadores organizam e analisam as informações coleadas nos quesionários. Em seguida, divulgam os resulados em uma série de publicações sobre os emas esudados. Esses resulados são imporanes para que a sociedade enha informações aualizadas e para o governo possa planejar suas ações de forma mais adequada. Além dos Censos, a parir de 1996 o IBGE começou a realizar a Conagem da População devido à necessidade de aualizar as esimaivas da população enre um Censo e ouro. Um exemplo da imporância desa Conagem esá nos municípios que dependem dos recursos do Fundo de Paricipação dos Municípios: para receber os recursos adequados, cada município precisa saber com exaidão seu número de habianes. (IBGE, 2008) A Tabela 1.0 a seguir descreve a população brasileira de 1940 aé TABELA População Brasileira ( ) Ano População (em milhões) Fone: FIBGE. Censos Demográficos do Brasil de 1940 a EPO / UICAMP; IBGE, Censo Demográfico 2000, dados em milhões de habianes. Variações Discreas: A formulação do modelo maemáico e a inerpreação de fenômenos dependem direamene da escolha em relação à coninuidade ou não das variáveis que iremos 231

6 observar. As variações discreas são mais indicadas para crescimeno de populações onde há ciclos de vida não sobreposos, como os de alguns inseos, ou a propagação anual de planas. Quando emos duas variáveis e y depende da variável x, podemos analisar essa dependência e aé mesmo consruir um modelo maemáico que represene a variação dessas grandezas. Como exemplo, emos os modelos que represenam a variação de uma população (represenada em quanidade de indivíduos) ao longo do empo (represenada em dias, meses, anos, ec.) Seja o número de indivíduos de uma população, e suponha que varia em função do empo, ou seja, = f(). Para obermos a variação da população ( ) num inervalo de empo de 1 à 2 basa fazer: = 2 1 = f( 2) f( 1) ). Ou ainda, para 2 1 analisar a velocidade com que a população varia uilizamos: = e assim, emos a axa de variação média dessa população no inervalo [ 1, 2 ]. Uma oura possibilidade para análise da variação de uma população consise em esimar a axa de variação média relaiva que é dada por: α = = (1). 2 1 Modelo de Malhus O modelo de Malhus foi uilizado para a descrição de algumas dinâmicas populacionais, produzindo resulados que foram explorados do pono de visa maemáico e biológico. Ese modelo, originalmene idealizado para o esudo dos efeios do crescimeno populacional, se baseia em dois posulados: 1. O alimeno é necessário à subsisência do homem ; 2. A paixão enre os sexos é necessária e deverá permanecer aproximadamene em seu esado permanene. Se esses posulados forem saisfeios, Malhus afirmou que a capacidade de reprodução do homem é superior à capacidade da erra de produzir meios para sua subsisência e, a inibição do crescimeno populacional é devida à disponibilidade de alimenos. Com isso Malhus esabelecia uma relação enre superpopulação e a miséria. 232

7 Mais de 200 anos após a apresenação dese modelo vemos que a maemáica de Malhus se mosrou incoerene com a realidade, porém nem ano no que diz respeio ao crescimeno da população, mas principalmene em relação aos meios de subsisência. o enano, o modelo de Malhus coninua sendo referência eórica no esudo de dinâmicas populacionais de muias espécies, inclusive a população humana. Malhus foi o primeiro a propor o uso da maemáica para criar um modelo que descrevesse o crescimeno populacional. Seu modelo assume que o crescimeno da população é proporcional à população em cada insane e que ela cresce sem nenhuma inibição. Seja o número de indivíduos de uma população, α a axa de crescimeno média, e o insane, enão podemos escrever: ( + 1) ( ) = α ( + 1) ( ) = α ( ) () ( + 1) = ( ) + α ( ) Assim, o modelo discreo de Malhus é dado por: ( + 1) = (1 + α) ( ) (2) A equação (2) indica que a população no insane seguine é igual à população aual mais a sua axa de crescimeno que é proporcional à população aual. ese caso o valor de α é a axa de crescimeno da população dada por (1). Podemos ambém, uma oura forma de deerminar o valor de α, uilizando a variação malhusiana (BASSAEZI, 2002): = + α( + + K + ) = α[ + ( + α ) + ( + α ) + K + ( + α ) = α[ + (1 + α) + ((1 + α) + + α(1 + α) ) +K = α[ + (1 + α) + (1 + + α) (1 + α) +K = 2 α [1 + (1 + + α) + (1 + α) +K + 2 = [1 + (1 + ) + (1 + ) +K α α α + (1 α) 1 (1 ) = α + = + α 1 α 233

8 + + (1 + α) 1 = (1 + α) = 1+ + (1 + α) = + α = + 1 (3) ese caso o alfa significa o crescimeno exponencial em cada unidade de empo, ou seja, a axa de crescimeno da população relaiva à proporção exisene em cada ano, durane anos. Uilizaremos os dados da abela 1.0 para deerminar o valor do parâmero no modelo de Malhus para a dinâmica populacional brasileira: TABELA 1.1 Razão de crescimeno da população brasileira ( ) Ano População (em milhões) Razão enre a população em dois momenos consecuivos , , , , , , , , , , , ,1 Média: 1,25 Fone: FIBGE. Censos Demográficos do Brasil de 1940 a EPO / UICAMP; IBGE, Censo Demográfico 2000, dados em milhões de habianes. Dadas as populações em 1940 ( ) e 2000 ( ) e aplicando-as na equação (3) emos: α = = 0, Assim, α = 0, = 2,4 % ao ano nesses 60 anos Como nossa abela informa os dados de 10 em 10 anos, e não de ano em ano, como sugere o valor de α = 0, 24. calculado na formula anerior, enão eremos no nosso caso 234

9 Com os dados obidos, esimamos dois valores disinos para a axa de crescimeno da população brasileira: α = 0,25 (Tabela 1.1) e α = 0,24 (equação 3). Uilizando esses valores para o parâmero no Modelo de Malhus (equação 2) obivemos as seguines esimaivas para a população brasileira: TABELA Comparaivo enre a populações real e o esimado pelo modelo de Malhus. (em milhões de habianes) Ano População real População Malhus ( α = 0, 25 ) População Malhus ( α = 0, 24 ) Esses dados podem ser melhor visualizados no gráfico 1.0 que segue: Gráfico 1.0 Comparaivo enre a população real e segundo o Modelo de Malhus para = 0,25 e = 0,24. População (milhões) População real População alfa = 0,25 População alfa = 0,24 Observamos que, apesar desses valores de erem sido obidos por meio dos dados reais da população, quando aplicados no modelo Malhusiano eles não represenam muio bem a dinâmica populacional. Isso ocorre, pois consideramos a axa de crescimeno como sendo consane, ou seja, consideramos que a população aumenará 235

10 infiniamene, o que não é real; além disso, vale lembrar que os valores da população real ambém são esimaivas feias pelos censos e ambém esão susceíveis a erros. Analogamene, as axas de crescimeno foram calculadas por meio das médias calculadas para inervalos de 10 anos e não a cada ano como seria mais recomendado e, porano, devem ocorrer muias variações desses valores, viso que em um inervalo de 10 anos diversos aspecos da população podem mudar, mas isso não é conemplado no modelo. Ainda uilizando o modelo de Malhus, deerminamos algumas esimaivas para a população brasileira aé Considerando-se = 8 o período de , = 9 o período de e assim sucessivamene obivemos a seguine abela: TABELA Comparaivo enre a previsão da população segundo o modelo de Malhus. (em milhões de habianes) Ano População Malhus ( α = 0,25 ) População Malhus ( α = 0,24 ) Gráfico 1.1 Previsão da população brasileira aé 2050 segundo o Modelo de Malhus População em milhões População real População =0,25 População a=0,24 Segundo dados do IBGE a área erriorial oficial brasileira é de ,599 km 2, assim, considerando a população em 2050 como 480 milhões de habianes emos que geograficamene nosso país comporaria essa população, uma vez que a China possui 1,4 bilhões de habianes num erriório de km 2. Mas geopoliicamene essa 236

11 população seria impossível, pois haveria o aumeno da desigualdade social, da violência enre jovens, violência no rânsio enre ouros faores, como já vem ocorrendo. Esse modelo mosra ser ineficiene, para represenar a dinâmica populacional humana, a parir do momeno em que à axa de crescimeno populacional deixa de ser consane, observe na abela 1.0 que a parir da década 70 a axa de crescimeno a cada dez anos passa a se esabilizar e depois decrescer. Ou seja, esá havendo um declínio da população, porano não é razoável supor que o crescimeno da população brasileira é exponencial. Assim podemos supor que a população brasileira eseja enrando numa fase de esabilização, o que nos faz procurar ouro modelo que possa melhor represená-lo. Modelo de Verhuls Pierre F. Verhuls, maemáico belga, foi o primeiro a formular um modelo que considerasse o crescimeno populacional não consane. Seu modelo supõe que uma população cresce aé um limie máximo e depois ende a se esabilizar, é basicamene o modelo de Malhus em versão melhorada, pois ao invés de considerar a axa de crescimeno consane, ela é considerada proporcional à população em cada insane. A equação do modelo de Verhuls é dada por: 2 () ( + 1) = ( ) + r ( ) r k 2 () ( + 1) = (1 + r ) ( ) r k (4) Onde β = 1+ r e a consane k represena a população máxima além da qual () não pode ulrapassar. o modelo de Verhuls, na meade da população máxima exise um pono onde a curva populacional muda de concavidade, ese pono é chamado de pono de inflexão. Vamos verificar enre que valores exisem a maior variação relaiva, pois ese a média da população enre esses insanes deve ser a meade da população máxima. 237

12 i Pi+ 1 Vi = Pi TABELA 1.4 Valores da variação relaiva conforme o insane i. P i Variação Relaiva Vi V i P50 P40 P = = 0, , P60 P50 P P70 P60 P P80 P70 P = = 0, = = 0, = = 0, , , , P90 P80 P = = 0, , P00 P90 P = = 0, Assim, a maior variação relaiva ocorre com enre os anos de 1980 e 1990 e k = = Observe que, no modelo de Malhus, a população em 2050 era próxima a 500 milhões, e o k no modelo de Verhuls é praicamene a meade disse. Seja P (1) = de habianes, e suponha k = milhões de habianes. Aplicando na equação (4) vamos prever a população para > 1. TABELA Comparaivo enre as populações reais e segundo o modelo de Verhuls. (em milhões de habianes), considerando k = , 1+ r = 1,24 e 1+ r = 1,37. Ano População real Modelo de Verhuls (1+ r = 1,24 ) Modelo de Verhuls (1+ r = 1,37 )

13 Gráfico 1.2 Comparaivo enre a população real e segundo o Modelo de Verhuls para 1+ r = 1,24 e 1+ r = 1,37. População (milhões) População real Modelo Verhuls (r=0,24) Modelo Verhuls (r=0,37) Observando o gráfico 1.2, vemos que o Modelo de Verhuls com r = 0,37 apresena resulados que se aproximam mais da população real do que o mesmo modelo com r = 0,24. Foram uilizados dois criérios para enconrar esses valores de r. P i Primeiramene por meio da fórmula ri = 1 Pi 1 BASSAEZI (2002), com a qual obivemos os dados da abela a seguir: 1 i e 2 i 7, descria em i TABELA 1.6 r i 2 0, , , , , , r = 0, Assim, podemos considerar r = 0,024 ou seja, r = 2,4% ao ano nesses 60 anos, ou ainda, r = 0,24 a cada período de 10 anos. 239

14 Oura forma de enconrar o valor de r, ambém sugerida em BASSAEZI (2002), é por meio da equação k P(1) ri = ln com 1< i 11, 1 = 40 e P(1) = , k = P(1) i TABELA 1.7 i r i 1 0, , , , , , , , , , r = 0, Analogamene, podemos considerar r = 0,037, ou seja, r = 3,7% ao ano nesses 60 anos, ou ainda, r = 0,37 a cada inervalo de 10 anos. Uilizando o modelo de Verhuls, deerminaremos algumas esimaivas para a população brasileira aé Seja = 8 o período de , = 9 o período de e assim sucessivamene. TABELA Comparaivo enre as previsões para a população aé 2050 segundo o modelo de Verhuls (em milhões de habianes), considerando k = , 1 + r = 1,24 e 1 + r = 1,37. Ano Modelo de Verhuls (1 + r = 1,24) Modelo de Verhuls (1 + r = 1,37)

15 O gráfico a seguir apresena a evolução do crescimeno real da população brasileira e comparaivamene, as esimaivas de crescimeno segundo o Modelo de Verhuls obido. Gráfico 1.3 Comparaivo enre a população real e as previsões segundo o Modelo de Verhuls para 1 + r = 1,24 e 1 + r = 1, População (milhões) População real Modelo de Verhuls (r=0,24) Modelo de Verhuls (r=0,37) o gráfico anerior, podemos observar que o modelo de Verhuls descreve melhor o crescimeno da população brasileira que o Modelo de Malhus. oamos que a população real não esá mais crescendo exponencialmene como no início, e que a axa de crescimeno vem caindo (Tabela 1.1), ou seja, a população esá endendo a se esabilizar. Segundo um arigo publicado no jornal Folha de S.Paulo em 22 de dezembro de 2007 sobre a população brasileira, os dados do IBGE aponam que nossa população chegaria ao ápice de 258 milhões de habianes em 2060 e a parir daí começaria a declinar devido à queda da fecundidade e do envelhecimeno da população. Ainda segundo esse arigo, a população brasileira seria de 183,99 milhões de habianes em 2007, e que devido à redução nas axas de fecundidade, crescimeno da violência e ouros faores o crescimeno da população não será mais exponencial. Considerações Finais Os dados obidos por meio desses modelos maemáicos podem ser uilizados para definir um novo perfil da população brasileira. ese perfil, a proporção de crianças vai diminuir e a população de idosos e mulheres aumenará, pois a média de filhos será menos e a expecaiva de vida maior. Além disso, o óimo momeno econômico brasileiro com 241

16 axa de crescimeno superior a 4% ao ano, muliplicação de empregos, acesso ao crédio e elevação da renda esá levando a criação de um mercado consumidor de massa, com a classe C esá em expansão e a diminuição das classes D/E. A queda da axa de naalidade e o aumeno da expecaiva de vida ornam a população brasileira cada vez mais adula, ou seja, com faixa de idade enre 15 e 64 anos que compreende a faixa de idade mais aiva. O número de indivíduos nessa faixa eária já são dois erços da população e aé 2040 serão mais 30 milhões nessa faixa eária, o que conribui ainda mais com a economia do país. Esse fenômeno é conhecido como bônus demográfico, onde a força de rabalho cresce num rimo maior do que a população que depende dela (crianças e idosos). Assim, com menos dependenes sobrarão mais recursos para que as famílias gasem com consumo e invesimenos. Ouras endências, idenificadas por meio desses dados, mosram ainda o avanço das mulheres no mercado de rabalho, mais casais sem filhos ou pessoas morando sozinhas que abrem poras para variados perfis de consumidores. Além de influenciar no mercado consumidor, esa mudança no crescimeno populacional do país que anes era exponencial e, agora, ende a se esabilizar influi muio no modo de vida dos jovens. Anes, os casamenos e filhos vinham logo após o érmino dos esudos, ou seja, por vola dos 20 a 25 anos. Muios não chegavam a ir à universidade, enconravam um rabalho, casavam-se e inham filhos, geralmene mais de um. Hoje em dia, cursar o Ensino Superior é apenas o primeiro passo para a maioria dos jovens que pensam primeiro em se esabilizar financeiramene anes de consiuir uma família. Com isso, a axa de naalidade diminui, ou seja, os casais êm menos filhos e assim os novos jovens passam a er menos familiares (irmãos, ios, sobrinhos, ec) o que fuuramene pode acarrear em um abandono ao idoso. Dessa forma, percebemos que são inúmeras as conseqüências do crescimeno populacional, seja políico, social ou econômico. Porano há várias discussões que podem ser feias acerca desse ema. Abordar ese ema no ensino médio em grande imporância por ser um assuno aual de ineresse comum. Os alunos, nesa fase, esão chegando à idade adula e muios já êm expecaiva de rabalhar para ajudar na renda familiar, de consiuir família, de cursar o Ensino Superior, enre ouros; assim, esa abordagem os possibilia a analisar e discuir quais são as endências das novas gerações, nas quais eles se encaixam, e o porquê dessas endências. 242

17 As aulas de maemáica podem se ornar mais araivas, pois durane a exploração do ema são uilizados diversos conceios de maemáica, aliados às ecnologias de informação e informáica que são muio bem aceias pelos alunos. Finalmene, o ema dinâmica de populações é muio abrangene, e pode ser explorado não só pela maemáica, mas por ouras disciplinas do currículo escolar, principalmene a biologia. Referências ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; FIDELIS, Reginaldo. Modelagem Maemáica em sala de aula: Conribuições para compeência de refleir-na-ação. In: VII Enconro Paulisa de educação Maemáica. São Paulo - SP, BASSAEZI, R. Carlos. Ensino - aprendizagem com Modelagem Maemáica. São Paulo. Conexo: BATSCHELET, E. Inrodução à maemáica para biocienisas. São Paulo. Ediora Inerciência: BEA, D. O que é Modelagem Maemáica. Revisa da SBEM, n. 9/10, p , BIEMBEGUT M. S., HEI,. Modelagem maemáica & Implicações no ensino e na aprendizagem de Maemáica. 2a ed. Blumenau. Ediora da FURB: BRITO, Dirceu dos Sanos; ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de. Aribuição de senido e consrução de significados em siuações de Modelagem Maemáica; UEL: EDELSTEI-KESHET, L. Mahemaical Models in Biology. ew York. Random House: GOMES, M. Carmo, Inrodução à Dinâmica Populacional, Lisboa: JACOBII, O. R.. Modelagem Maemáica em sua dimensão críica: novos caminhos para conscienização e ação políicas. In: Conferência acional sobre Modelagem na Educação Maemáica, 2007, Ouro Preo. MACHADO,. J. Maemáica e Realidade. São Paulo. Ediora Corez: MURRAY, J. D. Mahemaical Biology. ew York, Springer: SKOVSMOSE, Olé. Educação Críica: incereza, maemáica, responsabilidade. São Paulo. Ediora Corez: Acessado em: 16/07/