DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA PROBABILIDADE

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO DE ESTUDOS GERAIS INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA PROBABILIDADE Aa Maria Lima de Farias Luiz da Costa Laurecel Setembro de 2007

2 . ii

3 Coteúdo 1 Probabilidade - Coceitos Básicos Itrodução Experimetoaleatório,espaçoamostraleeveto Experimeto aleatório Espaço amostral Evetos aleatórios Exemplos Operaçõescomevetosaleatórios Iterseção Exclusão Uião Complemetar Difereça Partiçãodeumespaçoamostral Propriedadesdasoperações Exemplos Exercícios Complemetares Probabilidade - Defiição Clássica Defiiçãoclássicadeprobabilidade Propriedades da defiição clássica de probabilidade Resumodaspropriedades Exemplos Exercícios Revisão de aálise combiatória Pricípiofudametaldaadição Pricípiofudametaldamultiplicação Exercícios Permutações Exercícios Permutações de k objetos detre Exercícios Combiações simples Exercícios TriâgulodePascaleBiômiodeNewto iii

4 CONTEÚDO iv Aplicações Exercícios Complemetares Axiomas, Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Defiição axiomática de probabilidade Exemplos Exercícios Probabilidade codicioal Exemplos Exercícios Probabilidade codicioal como lei de probabilidade Regra da multiplicação Exemplos Regra geral da multiplicação Exercícios Idepedêcia de evetos Exemplos Exercícios Exercícios Complemetares Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes TeoremadaprobabilidadetotaleteoremadeBayes Exercícios Complemetares Solução dos Exercícios Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo

5 Capítulo 1 Probabilidade - Coceitos Básicos 1.1 Itrodução No osso cotidiao, lidamos sempre com situações ode está presete a icerteza do resultado, embora, muitas vezes, os resultados possíveis sejam cohecidos. Por exemplo: o sexo de um embrião pode ser masculio ou femiio, mas só saberemos o resultado quado o experimeto se cocretizar, ou seja, quado o bebê ascer. Se estamos iteressados a face voltada para cima quado jogamos um dado, os resultados possíveis são 1, 2, 3, 4, 5, 6, mas só saberemos o resultado quado o experimeto se completar, ou seja, quado o dado atigir a superfície sobre a qual foi laçado. É coveiete, etão, dispormos de uma medida que exprima a icerteza presete em cada um destes acotecimetos. Tal medida é a probabilidade. No estudo das distribuições de freqüêcias, vimos como essas são importates para etedermos a variabilidade de um feômeo aleatório. Por exemplo, se sorteamos uma amostra de empresas e aalisamos a distribuição do úmero de empregados, sabemos que uma outra amostra foreceria resultados diferetes. No etato, se sorteamos um grade úmero de amostras, esperamos que surja um determiado padrão que reflita a verdadeira distribuição da população de todas as empresas. Através de um modelo teórico, costruído com base em suposições adequadas, podemos reproduzir a distribuição de freqüêcias quado o feômeo é observado diretamete. Esses modelos são chamados modelos probabilísticos e eles serão estudados a seguda parte do curso de Estatística. A probabilidade é a ferrameta básica a costrução de tais modelos e será estudada esta primeira parte. 1.2 Experimeto aleatório, espaço amostral e eveto Cosideremos o laçameto de um dado. Queremos estudar a proporção de ocorrêcias das faces desse dado. O primeiro fato a observar é que existem apeas 6 resultados possíveis, as faces 1, 2, 3, 4, 5, 6. O segudo fato é uma suposição sobre o dado: em geral, é razoável supor que este seja equilibrado. Assim, cada face deve ocorrer o mesmo úmero de vezes e, portato, essa proporção deve ser 1. Nessas codições, osso modelo probabilístico para o laçameto de um dado pode ser 6 expresso da seguite forma: Face Total Freqüêcia teórica

6 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 2 Supohamos que uma mulher esteja grávida de trigêmeos. Sabemos que cada bebê pode ser do sexo masculio (M) ou femiio (F). Etão, as possibilidades para o sexo das três criaças são: MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF, FFF. Uma suposição razoável é que todos esses resultadossejamigualmeteprováveis,oqueequivaledizerquecadabebêtemigualchacedeser do sexo masculio ou femiio. Etão cada resultado tem uma chace de 1 de acotecer e o modelo 8 probabilístico para esse experimeto seria Sexo MMM MMF MFM FMM FFM FMF MFF FFF Total Freq. teórica Por outro lado, se só estamos iteressados o úmero de meias, esse mesmo experimeto leva ao seguite modelo probabilístico: Meias Total Freq. teórica Nesses exemplos, vemos que a especificação de um modelo probabilístico para um feômeo casual depede da especificação dos resultados possíveis e das respectivas probabilidades. Vamos, etão, estabelecer algumas defiições ates de passarmos à defiição propriamete dita de probabilidade Experimeto aleatório Um experimeto aleatório é um processo que acusa variabilidade em seus resultados, isto é, repetidose o experimeto sob as mesmas codições, os resultados serão diferetes. Cotrapodo aos experimetos aleatórios, temos os experimetos determiísticos, que são experimetos que, repetidos sob as mesmas codições, coduzem a resultados idêticos. Neste curso, estaremos iteressados apeas os experimetos aleatórios Espaço amostral O espaço amostral de um experimeto aleatório é o cojuto de todos os resultados possíveis desse experimeto. Vamos deotar tal cojuto pela letra grega ômega maiúscula, Ω. Quado o espaço amostral é fiito ou ifiito eumerável, é chamado espaço amostral discreto. Caso cotrário, isto é, quado Ω é ão eumerável, vamos chamá-lo de espaço amostral cotíuo Evetos aleatórios Os subcojutos de Ω são chamados evetos aleatórios; já os elemetos de Ω são chamados evetos elemetares. A classe dos evetos aleatórios de um espaço amostral Ω, que deotaremos por F (Ω), é o cojuto de todos os evetos (isto é, de todos os subcojutos) do espaço amostral. A título de ilustração, cosideremos um espaço amostral com três elemetos: Ω {ω 1,ω 2,ω 3 }. A classe dos evetos aleatórios é F (Ω) {, {ω 1 }, {ω 2 }, {ω 2 }, {ω 1,ω 2 }, {ω 1,ω 2 }, {ω 2,ω 3 }, {ω 1,ω 2,ω 3 }} Os evetos, sedo cojutos, serão represetados por letras maiúsculas do osso alfabeto, equato os elemetos de um eveto serão represetados por letras miúsculas.

7 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Exemplos Exemplo 1.1 O laçameto de uma moeda é um experimeto aleatório, uma vez que, em cada laçameto, matidas as mesmas codições, ão podemos prever qual das duas faces (cara ou coroa) cairá para cima. Por outro lado, se colocarmos uma paela com água para ferver e aotarmos a temperaturadeebuliçãodaágua,oresultadoserásempre100 o C. Logo, este é um experimeto determiístico. Exemplo 1.2 Cosideremos o experimeto aleatório laçameto de um dado. O espaço amostral é Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sedo, portato, um espaço discreto. Os evetos elemetares são {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}. Outros evetos são: face par {2, 4, 6}, face ímpar {1, 3, 5}, face ímpar meor que 5 {1, 3}, etc. Exemplo 1.3 Cosideremosolaçametosimultâeodeduasmoedas.VamosrepresetarporK aocorrêciadecaraeporc aocorrêciadecoroa. Umespaçoamostralparaesseexperimeto é Ω {KK,KC,CK,CC}, que também é um espaço discreto. Os evetos simples são {KK}, {KC}, {CK}, {CC} e um outro eveto é cara o primeiro laçameto {KC,KK}. Para esse mesmo experimeto, se estamos iteressados apeas o úmero de caras, o espaço amostral pode ser defiido como Ω {0, 1, 2}. Exemplo 1.4 Seja o experimeto que cosiste em medir, em decibéis, diariamete, durate um mês, o ível de ruído a vizihaça da obra de costrução do metrô em Ipaema. O espaço amostral associado a este experimeto é formado pelos úmeros reais positivos, sedo, portato, um espaço amostral cotíuo. Um eveto: observar íveis superiores a 80 decibéis, represetado pelo itervalo (80, ), que correspode a situações de muito barulho. Exemplo 1.5 Umauracotém4bolas,dasquais2sãobracas(umeradasde1a2)e2são pretas (umeradas de 3 a 4). Duas bolas são retiradas dessa ura, sem reposição. Defia um espaço amostral apropriado para esse experimeto e os seguites evetos: A : aprimeirabolaébraca; B : asegudabolaébraca; C : ambas as bolas são bracas. Solução: Cosiderado a umeração das bolas, o espaço amostral pode ser defiido como: Ω {(i, j) :i 1, 2, 3, 4; j 1, 2, 3, 4; i 6 j}

8 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 4 Mais especificamete: Os evetos são: ou mais especificamete ou ou Ω ½ (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3) A {(i, j) :i 1, 2, ; j 1, 2, 3, 4; i 6 j} A {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4)} B {(i, j) :i 1, 2, 3, 4; j 1, 2; i 6 j} B {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (1, 2), (3, 2), (4, 2)} C {(i, j) :i 1, 2; j 1, 2; i 6 j} C {(1, 2), (2, 1)} ¾ Exemplo 1.6 Três cartas são retiradas, sem reposição, de um baralho que tem três cartas de cada uma das cores azul, vermelha, preta e braca. Dê um espaço amostral para esse experimeto e liste os evetos: A : todas as cartas selecioadas são vermelhas. B : uma carta vermelha, uma carta azul e uma carta preta são selecioadas. C : três diferetes cores ocorrem. D : todasas4coresocorrem. Solução: Vamos deotar por A, V, P e B as cores azul, vermelha, preta e braca, respectivamete. Etão Ou S {(x 1,x 2,x 3 ):x i A, V, P, B; i 1, 2, 3} A {(V,V,V )} B {(V,A,P), (V,P,A), (A, V, P ), (A, P, V ), (P, A, V ), (P, V, A)} C {(x 1,x 2,x 3 ):x i A, V, P, B; i 1, 2, 3; x 1 6 x 2 6 x 3 } C (V,A,P), (V,P,A), (A, V, P ), (A, P, V ), (P, A, V ), (P, V, A), (V,P,B), (V,B,P), (P, V, B), (P, B, V ), (B,V,P), (B,P,V ), (V,A,B), (V,B,A), (A, B, V ), (A, V, B), (B,A,V ), (B,V,A), (P, A, B), (P, B, A), (A, P, B), (A, B, P ), (B,A,P), (B,P,A) Como temos 4 cores diferetes e apeas 3 extrações, ão é possível obter todas as cores; logo, D

9 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Operações com evetos aleatórios Iterseção Oevetoiterseção de dois evetos A e B é o eveto que equivale à ocorrêcia simultâea de A e B (ver Figura 1.1). Seguido a otação da teoria de cojutos, a iterseção de dois evetos será represetada por A B. Figura 1.1: Iterseção de dois evetos: A B Note que x A B x A e x B (1.1) Exemplo 1.7 Cosideremos o experimeto laçameto de dois dados e os evetos A soma das faces é um úmero par e B soma das faces é um úmero maior que 9. Calcule A B. Solução: O espaço amostral desse experimeto, que tem 36 elemetos, é Ω {(1, 1), (1, 2),...,(1, 6), (2, 1),...,(2, 6),...,(6, 6)} Para que um elemeto perteça à iterseção A B, ele tem que pertecer simultaeamete ao eveto A eaoevetob. O eveto B é B {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Dosseuselemetos,osúicosquepertecemaoevetoA, istoé,quetêmsomadasfacespar,são os evetos (4, 6), (5, 5), (6, 4) e (6, 6). Logo, A B {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (6, 6)}. Note que ão precisamos listar o eveto A! Ele tem 18 elemetos!

10 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Exclusão Dois evetos A e B são mutuamete exclusivos quado eles ão podem ocorrer simultaeamete, isto é, quado a ocorrêcia de um impossibilita a ocorrêcia do outro. Isto sigifica dizer que os evetos A e B ão têm elemetos em comum. Etão, dois evetos A e B são mutuamete exclusivos quado sua iterseção é o cojuto vazio, isto é, A B (ver Figura 1.2). Figura 1.2: Evetos mutuamete exclusivos: A B Exemplo 1.8 Cosideremos ovamete o experimeto laçameto de dois dados e sejam os evetos A soma das faces é ímpar e B duas faces iguais. Etão, A e B são mutuamete exclusivos porque a soma de dois úmeros iguais é sempre um úmero par! Uião A uião de dois evetos A e B é o eveto que correspode à ocorrêcia de pelo meos um deles. Note que isso sigifica que pode ocorrer apeas A, ouapeasb ou A e B simultaeamete. Esse eveto será represetado por A B (ver Figura 1.3).

11 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 7 Figura 1.3: Uião de dois evetos: A B Note que x A B x A ou x B (1.2) Exemplo 1.9 Cosideremos o experimeto do laçameto de duas moedas, ode o espaço amostral é Ω {KK,KC,CK,CC}. Sejam os evetos A ocorrêcia de exatamete 1 cara e B duas faces iguais. Etão A {KC,CK} e B {CC,KK} ; logo, A B Ω e A B. Seja C o eveto pelo meos uma cara ; etão C {KC,CK,KK} e B C Ω e B C Complemetar O complemetar de um eveto A, deotado por A ou A c, éaegaçãodea. Etão, o complemetar de A éformadopeloselemetosqueão pertecem a A (ver Figura 1.4). Figura 1.4: Complemetar de um eveto A : A

12 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 8 Note que etambémque x A x/ A (1.3) A A Ω (1.4) Exemplo 1.10 Cosideremos o laçameto de um dado e seja A face par. Etão, A éo eveto face ímpar. Note que A {2, 4, 6} e A {1, 3, 5} e Ω A A Difereça A difereça etre dois evetos A e B, represetada por A B, ou equivaletemete, por A B, é o eveto formado pelos potos do espaço amostral que pertecem a A mas ão pertecem a B (ver Figura 1.5). Figura 1.5: Difereça de dois cojutos: A B A B Note que x A B x A e x/ B (1.5) etambém A (A B) (A B) (1.6) Além disso, A B 6 B A, coforme ilustrado a Figura 1.6.

13 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 9 Figura 1.6: Difereça de dois cojutos: B A B A Exemplo 1.11 Cosideremos ovamete o laçameto de dois dados e os evetos A soma das faces é par e B soma das faces é maior que 9. Vamos cosiderar as duas difereças, A B e B A. Temos que ½ ¾ (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), A (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6) e Logo, A B B {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} ½ (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (6, 2) B A {(5, 6), (6, 5)} ¾ Partição de um espaço amostral UmacoleçãodeevetosA 1,A 2,...A forma uma partição do espaço amostral Ω se 1. os evetos A i são disjutos dois a dois, isto é, se A i A j i 6 j; 2. a uião dos evetos A i é o espaço amostral Ω, isto é, Na Figura 1.7 ilustra-se esse coceito. S A i Ω. i1

14 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 10 Figura 1.7: Partição do espaço amostral Ω Exemplo 1.12 No experimeto laçameto de um dado, os evetos A face par e B face ímpar formam uma partição do espaço amostral. Temos também que, qualquer que seja Ω, um eveto A qualquer e seu complemetar A formam uma partição, isto é, A A e A A Ω Propriedades das operações Sejam A, B, C evetos de um espaço amostral Ω. Etão valem as seguites propriedades. 1. Idetidade A A A A Ω A A Ω Ω (1.7) (Note que Ω é o equivalete do cojuto uiversal da teoria de cojutos.) 2. Complemetar Ω Ω A A A A Ω (1.8)

15 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Idempotete 4. Comutativa 5. Associativa 6. Distributiva A A A A A A (1.9) A B B A A B B A (1.10) (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) (1.11) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (1.12) AilustraçãodaprimeirapropriedadeestáaFigura 1.8. Na liha superior, ilustramos o lado esquerdo da igualdade A (B C) :odiagramaàesquerdatemosoevetoa eo diagrama do cetro temos o eveto B C. Para sombrear a iterseção desses dois evetos, basta sombrear as partes que estão sombreadas em ambos os diagramas, o que resulta o diagrama à direita, ode temos o eveto A (B C). Na liha iferior, ilustramos o lado direitodaigualdade(a B) (A C) :o diagrama à esquerda temos o eveto A B e o diagrama do cetro, o eveto A C. Para sombrear a uião desses dois evetos, basta sombreartodasaspartesqueestãosombreadasemalgumdosdiagramas,oqueresultao diagrama à direita, ode temos o eveto (A B) (A C). Aalisado os diagramas à direita as duas lihas da figura, vemos que A (B C) (A B) (A C). A ilustração da seguda propriedade está a Figura 1.9. Na liha superior, ilustramos o lado esquerdo da igualdade A (B C) :odiagramaàesquerdatemosoevetoa eodiagrama do cetro temos o eveto B C. Para sombrear a uião desses dois evetos, basta sombrear todas as partes que estão sombreadas em algum dos diagramas, o que resulta o diagrama àdireita,odetemosoevetoa (B C). Na liha iferior, ilustramos o lado direito da igualdade (A B) (A C) :o diagrama à esquerda temos o eveto A B eodiagrama do cetro, o eveto A C. Para sombrear a iterseção desses dois evetos, basta sombrear todas as partes que estão sombreadas em ambos os diagramas e isso resulta o diagrama à direita, ode temos o eveto (A B) (A C). Aalisado os diagramas à direita as duas lihas da figura, vemos que A (B C) (A B) (A C). 7. Absorção A (A B) A A (A B) A (1.13)

16 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 12 Figura 1.8: Ilustração da propriedade distributiva A (B C) (A B) (A C) Figura 1.9: Ilustração da propriedade distributiva A (B C) (A B) (A C)

17 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Leis de De Morga A B A B A B A B (1.14) Na primeira liha da Figura 1.10 ilustra-se a primeira propriedade A B A B : o diagrama à esquerda temos A B; os dois diagramas cetrais, temos, respectivamete, A e B; o diagrama à direita, temos A B, que é igual ao diagrama à esquerda, ou seja, A B A B. Na seguda liha da Figura 1.10 ilustra-se a seguda propriedade A B A B : o diagrama à esquerda temos A B; os dois diagramas cetrais, temos, respectivamete, A e B; o diagrama à direita, temos A B, que é igual ao diagrama à esquerda, ou seja, A B A B. Figura 1.10: Ilustração das propriedades de De Morga 1.5 Exemplos Exemplo 1.13 Sejam A, B, C três evetos de um espaço amostral. Exprima os evetos abaixo usado as operações uião, iterseção e complemetação: 1. somete A ocorre; 2. A, B e C ocorrem; 3. pelo meos um ocorre; 4. exatamete dois ocorrem. Solução: 1. O eveto Somete A ocorre sigifica que A ocorreu e B ão ocorreu e C ão ocorreu; em liguagem de cojuto: Somete A ocorre A B C

18 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS O eveto A, B e C ocorrem sigifica que os três evetos ocorreram; em liguagem de cojuto, A, B e C ocorrem A B C 3. O eveto pelo meos um ocorre sigifica que pode ter ocorrido apeas um, ou dois ou três; essa é a própria defiição de uião, ou seja, em liguagem de cojuto, temos que pelo meos um ocorre A B C 4. Os dois que ocorrem podem ser A e B ou A e C ou B e C. Ocorredo dois desses, o terceiro ão pode ocorrer. Logo, em liguagem de cojuto temos que: exatamete dois ocorrem A B C A B C A B C Exemplo 1.14 Cosidere o laçameto de dois dados e defia os seguites evetos: A soma par B soma 9 C máximo das faces é 6 Calcule A B, A B, A B, B A, B C, B C. Solução: ½ ¾ (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), A (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6) B {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} ½ ¾ (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), C (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) A B A B A B A B {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (6, 6)} (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 3), (6, 5) ½ (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (6, 2) B A {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 3), (6, 5)} B C {(3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} B C {(4, 5), (5, 4), (5, 5)} Note que, de acordo com as propriedades já vistas, (B C) (B C) (B C) B C [(B C) B] (B C) C [B] C (B C) B C B C C B C B (Ω) B C B B C (B B) B C B B ¾

19 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Exercícios Complemetares 1.1 Laçam-se três moedas. Eumerar o espaço amostral e os evetos A faces iguais ; B caraaprimeiramoeda ; C coroa a seguda e terceira moedas. 1.2 Cosidere os diagramas a Figura No diagrama (1), assiale a área correspodete a A B 2. No diagrama (2), assiale a área correspodete a A B 3. No diagrama (3), assiale a área correspodete a (A C) B 4. No diagrama (4), assiale a área correspodete a (A B) C Figura 1.11: Exercício Na Figura 1.12, obteha a expressão matemática para os evetos defiidos por cada uma das áreas umeradas. Figura 1.12: Exercício 1.3

20 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Defia um espaço amostral para cada um dos seguites experimetos aleatórios: 1. Em uma pesquisa de mercado, cota-se o úmero de clietes do sexo masculio que etram em um supermercado o horário de 8 às 12 horas. 2. Em um estudo de viabilidade de abertura de uma creche própria de uma grade empresa, fez-se um levatameto, por fucioário, do sexo dos filhos com meos de 5 aos de idade. Oúmeromáximodefilhos por fucioário é 4 e a iformação relevate é o sexo dos filhos de cada fucioário. 3. Em um teste de cotrole de qualidade da produção, mede-se a duração de lâmpadas, deixadoas acesas até que queimem. 4. Um fichário com 10 omes cotém 3 omes de mulheres. Selecioa-se ficha após ficha até o último ome de mulher ser selecioado e aota-se o úmero de fichas selecioadas. 5. Laça-se uma moeda até aparecer cara pela primeira vez e aota-se o úmero de laçametos. 6.Emumaurahá5bolasidetificadas pelas letras {A, B, C, D, E}. Sorteiam-se duas bolas, uma após a outra com reposição,e aota-se a cofiguração formada. 7. Mesmo euciado aterior, mas as duas boas são selecioados simultaeamete. 1.5 Sejam A, B, C três evetos de um espaço amostral. Exprimir os evetos abaixo usado as operações uião, iterseção e complemetação: 1. exatamete um ocorre; 2. ehum ocorre; 3. pelo meos dois ocorrem; 4. o máximo dois ocorrem.

21 Capítulo 2 Probabilidade - Defiição Clássica 2.1 Defiição clássica de probabilidade No capítulo aterior, vimos que o espaço amostral para o experimeto aleatório do laçameto de um dado é Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vimos também que é usual supor que o dado seja equilibrado, o que equivale dizer que todos os resultados são igualmete prováveis. Etão, se jogarmos o dado várias vezes, aproximadamete um sexto das ocorrêcias resultará a face 3, bem como metade das repetições resultará em um úmero par. Estamos aalisado a chace de ocorrêcia dos evetos A face 3 e B face par. O eveto A é um eveto elemetar, equato o eveto B éumsub- cojuto com 3 elemetos, o que represetaremos por #A 1e #B 3. Essa é uma termiologia usual para represetar o úmero de elemetos de um cojuto, que lemos como cardialidade de A ou B. É ituitivo dizer que A ocorrerá 1 das vezes, equato B ocorrerá 1 3 das vezes Defie-se, assim, a probabilidade de um eveto A como a razão etre o úmero de elemetos de A e o úmero de elemetos de Ω. Vamos os referir aos elemetos de A o eveto de iteresse como sedo os casos favoráveis, equato os elemetos de Ω são os casos possíveis, o que os leva à seguite defiição. Defiição 2.1 Defiição clássica de probabilidade Seja A um eveto de um espaço amostral Ω fiito, cujos elemetos são igualmete prováveis. Defie-se a probabilidade do eveto A como Pr(A) úmero de casos favoráveis úmero de casos possíveis #A #Ω Naturalmete, esta defiição estamos supodo que #Ω > 0, ou seja, que Ω teha algum elemeto pois, se ão tivesse, ão teríamos o que estudar! Esta foi a primeira defiição formal de probabilidade, tedo sido explicitada por Girolamo Cardao ( ). Vamos os referir a ela como a defiição clássica de probabilidade. Note que ela se baseia em duas hipóteses: 1. Há um úmero fiito de evetos elemetares, isto é, Ω éumcojutofiito. 2. Os evetos elemetares são igualmete prováveis. Embora essas hipóteses restrijam o campo de aplicação da defiição, veremos que ela é muito importate e vários exercícios serão resolvidos baseados ela. 17 (2.1)

22 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Propriedades da defiição clássica de probabilidade A defiição clássica de probabiliade satisfaz as seguites propriedades básicas: 1. Pr(A) 0 para todo eveto A Ω Demostração: Como #A 0 e #Ω > 0, Pr(A) é a razão de dois úmeros ão egativos, etão, Pr(A) Pr(Ω) 1. Demostração: Por defiição, Pr (Ω) #Ω #Ω Se A e B são evetos mutuamete exclusivos, etão Pr(A B) Pr(A)+Pr(B). Demostração: Se A e B são mutuamete exclusivos, resulta que A B. Neste caso, #(A B) #A +#B (veja a Figura 2.1). Logo, Pr(A B) #(A B) #Ω #A +#B #Ω #A #Ω + #B #Ω Pr(A)+Pr(B) Figura 2.1: Cardialidade da uião de evetos mutuamete exclusivos 4. Pr( ) 0 Demostração: Como # 0, resulta que Pr( ) # #Ω 0 #Ω 0 Essa propriedade pode ser obtida também utilizado-se apeas as 3 primeiras. Para isso, ote que podemos escrever Ω Ω

23 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 19 Como Ω e são mutuamete exclusivos, podemos aplicar a Propriedade 3 para obter Pr(Ω) Pr(Ω ) Pr(Ω)+Pr( ) Mas Pr(Ω) Pr(Ω)+Pr( ) Pr( ) Pr(Ω) Pr(Ω) 0 5. Pr(A) 1 Pr(A) Demostração: Vimos o capítulo aterior que Ω A A Como A e A são mutuamete exclusivos, podemos aplicar a Propriedade 3 para obter que Pr(Ω) Pr(A)+Pr(A) Mas, pela Propriedade 2, Pr(Ω) 1. Logo, 1Pr(A)+Pr(A) Pr(A) 1 Pr(A) 6. Pr(A B) Pr(A) Pr(A B) Demostração: Veja a Figura 2.2 para visualizar melhor esse resultado. Figura 2.2: Difereça de dois evetos A B Temos que A (A B) (A B)

24 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 20 O primeiro termo é a parte sombreada mais escura e o segudo termo é a parte sombreada mais clara. Podemos ver que essas duas partes ão têm iterseção. Logo, pela Propriedade 3, podemos escrever: Pr(A) Pr(A B)+Pr(A B) Pr(A B) Pr(A) Pr(A B) Volte à Figura 2.2 para ver que o eveto B A correspode à parte ão sombreada da figura eque Pr(B A) Pr(B) Pr(A B) 7. Para dois evetos A e B quaisquer, Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) Pr(A B) Demostração: Note que esse resultado geeraliza a Propriedade 3 para dois evetos quaisquer, ou seja, ão estamos exigido que A e B sejam mutuamete exclusivos. Veja a Figura 2.3. Figura 2.3: Uião de dois evetos quaisquer Toda a parte sombreada represeta a uião dos dois evetos, que pode ser decomposta as duas partes com diferetes sobreametos. A parte mais escura é A B eapartemaisclara é B, ouseja: A B (A B) B Como essas duas partes ão têm itereseção, pela Propriedade 3, podemos escrever Pr(A B) Pr(A B)+Pr(B) Mas a Propriedade 6, vimos que Pr(A B) Pr(A) Pr(A B). Substituido, obtemos que Pr(A B) Pr(A B)+Pr(B) Pr(A) Pr(A B)+Pr(B)

25 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Se A B etão Pr(A) Pr(B). Demostração: Veja a Figura 2.4. SeA B etão A B A - essa é a parte sombreada da figura. Nesse caso, usado a Propriedade 6, temos que Pr(B A) Pr(B) Pr(A B) Pr(B) Pr(A) mas, pela Propriedade 1, a probabilidade de qualquer eveto é ão egativa. Logo, Pr(B) Pr(A) 0 Pr(A) Pr(B) Figura 2.4: Ilustração da propriedade 8: A B 9. Pr(A) 1 para qualquer eveto A Ω. Demostração: Usado as Propriedades 9 e 2, temos que A Ω Pr(A) Pr(Ω) 1 Pr(A) 1

26 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Resumo das propriedades Vamos apresetar os resultados vistos ateriormete para facilitar o seu estudo. Propriedades da probabilidade 0 Pr(A) 1 Pr(Ω) 1 A B Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) Pr( ) 0 Pr(A) 1 Pr(A) Pr(A B) Pr(A) Pr(A B) Pr(B A) Pr(B) Pr(A B) Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) Pr(A B) A B Pr(A) Pr(B) Exemplos Exemplo 2.1 No laçameto de um dado, qual é a probabilidade de se obter face maior que 4? Solução: Sabemos que #Ω 6e também que o eveto de iteresse é A {5, 6). Logo, Pr(A) Exemplo 2.2 Cosidere um baralho usual composto de 52 cartas divididas em 4 aipes: ouros, copas, paus e espadas, cada aipe com 13 cartas. As cartas dos 2 primeiros aipes são vermelhas e as dos dois últimos aipes, pretas. Em cada aipe, as cartas podem ser Ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valete, Dama e Rei. Essas três últimas são figuras que represetam a realeza. Retirado-se ao acaso uma carta desse baralho, qual é a probabilidade de que seja uma figura? Uma carta preta? Solução: Como há 52 cartas ao todo, #Ω 52. Vamos deotar por F oeveto cartaretiradaéuma figura e por P o eveto carta retirada é preta. Em cada um dos 4 aipes há três figuras. Logo, o úmero total de figuras é 4 3, ouseja,#f 12. Logo, a probabilidade de retirarmos uma figura é Pr(F ) Metade das cartas é de cor preta; logo, a probabilidade de que a carta seja 13 preta é Pr(P )

27 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 23 Exemplo 2.3 Um úmero é escolhido etre os 20 primeiros iteiros, 1 a 20. Qual é a probabilidade de que o úmero escolhido seja (i) par? (ii) primo? (iii) quadrado perfeito? Solução: Vamos deotar por P oeveto úmeropar,porr o eveto úmero primo e por Q o eveto quadrado perfeito. Etão, A {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}; P {1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}; Q {1, 4, 9, 16}. Logo, Pr(P ) ;Pr(R) ;Pr(Q) Exemplo 2.4 Uma ura cotém 6 bolas pretas, 2 bolas bracas e 8 bolas verdes. Uma bola é escolhida ao acaso desta ura. Qual é a probabilidade de que (i) a bola ão seja verde? (ii) a bola seja braca? (iii) a bola ão seja em braca em verde? Solução: Temos um total de bolas. Logo, #Ω 16. Vamos deotar por P, B, V os evetos bola preta, braca e verde, respectivamete. (i) Queremos a probabilidade de V, ou seja, do complemetar de V. Vimos que Pr(V ) 1 Pr(V ) (ii) Pr(B) #B #Ω (iii) Se a bola ão é braca em verde, ela tem que ser preta. Note que estamos pedido Pr(B V ). Pela lei de De Morga e pelas Propriedades 3 e 4, temos que Pr(B V ) Pr(B V )1 Pr(B V ) 1 [Pr(B)+Pr(V )] Pr(P ) Exemplo 2.5 Cosideremos ovamete o laçameto de dois dados. Vamos defiir os seguites evetos: A soma das faces par, B soma das faces maior que 9, C soma das faces ímpar meor que 9. Vamos calcular a probabilidade de tais evetos. Solução: Avisualizaçãodoespaçoamostraldesseexperimetopodeservistaatabelaaseguir,ode, para cada par possível de resultados, apresetamos também a soma das faces: Dado (1, 1) 2 (1, 2) 3 (1, 3) 4 (1, 4) 5 (1, 5) 6 (1, 6) 7 2 (2, 1) 3 (2, 2) 4 (2, 3) 5 (2, 4) 6 (2, 5) 7 (2, 6) 8 Dado 3 (3, 1) 4 (3, 2) 5 (3, 3) 6 (3, 4) 7 (3, 5) 8 (3, 6) (4, 1) 5 (4, 2) 6 (4, 3) 7 (4, 4) 8 (4, 5) 9 (4, 6) 10 5 (5, 1) 6 (5, 2) 7 (5, 3) 8 (5, 4) 9 (5, 5) 10 (5, 6) 11 6 (6, 1) 7 (6, 2) 8 (6, 3) 9 (6, 4) 10 (6, 5) 11 (6, 6) 12