PLANIFICAÇÃO DE PEÇAS OBTIDAS PELA INTERSEÇÃO DE SUPERFÍCIES CILINDRICAS

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1 PLANIFICAÇÃO DE PEÇAS OBTIDAS PELA INTERSEÇÃO DE SUPERFÍCIES CILINDRICAS PLANNING FOR PIECES OBTAINED BY THE INTERSECTION OF CYLINDRICAL SURFACES Marcelo Lacortt, Neuza Tereznha Oro Professores do Insttuto de Cêncas Exatas e Geocêncas, Unversdade de Passo Fundo, Campus I, Barro São José, BR- 285, CEP: Cx. Postal 611, E-mal: lacortt@upf.br; neuza@upf.br RESUMO Este artgo apresenta a modelagem matemátca desenvolvda para a planfcação de peças clíndrcas, sendo estas peças formadas pela nterseção de dos clndros, com o objetvo de elaborar algortmos, que mplementados em lnguagem Pascal, orgnam dos programas com a fnaldade de automatzar a sua planfcação. O prmero programa automatza a planfcação de peças formadas por clndros perpendculares entre s, já o segundo programa automatza a planfcação de peças formadas por clndros oblíquos entre s, sendo este com qualquer ângulo de nclnação entre os clndros, nclusve 90º entre s, que é o caso do prmero programa. Os resultados obtdos pelo programa também estão expostos no decorrer do artgo, sendo que no fnal tem uma representação plana de cada caso. Palavras chaves: Modelagem Matemátca. Automatzação. Planfcação. ABSTRACT Ths paper presents mathematcal modelng developed for the plannng of cylndrcal peces, these peces beng formed by the ntersecton of two cylnders, wth the goal of developng algorthms that mplemented n Pascal, orgnate two programs n order to automate ther plannng. The frst program automates the plannng of peces formed by rollers mutually perpendcular, snce the second program automates the plannng of peces formed by cylnders oblque to each other, ths beng at any angle of nclnaton between the cylnders, even 90 between themselves, whch s f the frst program. The results obtaned by the program are also exposed throughout the artcle, and the end has a planar representaton of each case. Keywords: Mathematcal Modelng. Automaton. Plannng. 1. INTRODUÇÃO O desenvolvmento da superfíce de uma peça a ser construída é de suma mportânca para um dos ramos da ndústra metalúrgca denomnada de calderara ndustral, já que as peças utlzadas são geralmente de grande porte e de váras formas e dmensões. Dessa forma, é mportante que a tarefa de resolvê-las seja realzada de modo rápdo e precso. Com a globalzação, as exportações estão em alta e o mercado está repleto de fornecedores dsputando espaços de forma acrrada, onde a novação é o dferencal responsável pelo sucesso e permanênca destas ndústras no mercado. Neste contexto, a tecnologa é uma grande alada nesse processo e está, nesse momento, em grande ascendênca prncpalmente no ramo da metalurga, norteando a produção de peças, onde, com auxílo de softwares, desenha, recorta e monta automatcamente as peças a serem comercalzadas pela ndústra. do: /catec.v

2 Para construr um software é necessáro modelar as peças e elaborar algortmos a partr destes modelos para mplementação, de forma automatzar o processo de fabrcação de peças. Algumas dessas peças podem ser entenddas como nterseção entre sóldos geométrcos. O objetvo geral deste trabalho é desenvolver algortmos para mplementação computaconal, através de modelos matemátcos que generalze a obtenção das coordenadas espacas dos sóldos, obtdos pela nterseção entre dos clndros, e das coordenadas que as planfquem. 2. REFERENCIAL TEÓRICO A calderara ndustral utlza-se de chapas planas para a fabrcação de város tpos de peças como cones, clndros, transções, etc., que undas resultam em tubulações e outros tpos de construção em chapa. A obtenção destas peças é a partr das operações de dobramento e curvamento das chapas até a obtenção das peças desejadas. Porém, para obter-se uma peça, deve-se determnar a forma que a chapa plana deve ser cortada, para que após as operações de fabrcação, a peça possa ser obtda. A obtenção da forma plana da superfíce lateral é denomnada de planfcação da superfíce. Tradconalmente a determnação da planfcação da superfíce era feta com a confecção de modelos em papelão, que após eram recortados e transferdo o contorno para a chapa. Para sso, era necessáro um projetsta com conhecmentos da técnca para a obtenção do modelo em papelão. O uso de software permte a obtenção da planfcação da superfíce de uma peça com maor facldade e precsão, bem como o conhecmento necessáro para o uso do software se restrnja ao aprendzado do mesmo e o conhecmento da área onde a peça será utlzada, além de conhecmento dos processos de fabrcação. Neste sentdo, a modelagem matemátca, como processo para a obtenção de modelos que descrevam a planfcação de superfíces de peças, faz parte da concretzação de um trabalho nterdscplnar. Entende-se por modelagem matemátca como um processo matemátco elaborado a partr do estudo de um problema real, o qual tem como fnaldade descrever a realdade através de um modelo matemátco abstrato e, assm, obter suporte para sua representação smplfcada, solução e análse. (GOLDBARG & LUNA, 2005). Além de possbltar nvestgar recursos matemátcos adequados para a solução de um problema específco, a modelagem matemátca possblta também a construção de estruturas matemátcas que podem ser aplcadas em outras stuações problema de natureza semelhante. Segundo Bembengut, a modelagem matemátca é, assm, uma arte, ao formular, resolver e elaborar expressões matemátcas que valham não apenas para uma solução partcular, mas que também srvam, posterormente, como suporte para outras aplcações e teoras (1999). Anda de acordo com Bembengut, para o desenvolvmento do processo de modelagem matemátca são necessáros alguns procedmentos, que podem ser agrupados em três etapas: a nteração, matematzação e modelo matemátco. A nteração é entendda como reconhecmento da stuação-problema, ou seja, a famlarzação com o assunto a ser modelado. Já a matematzação é a parte mas complexa do processo de construção de modelo, uma vez que será formulado e resolvdo o problema. Nesta etapa se traduz a stuação-problema para uma lnguagem matemátca, mas para sso o ndvíduo tem de ter um aguçado conhecmento sobre as entdades matemátcas usadas na formulação. A nformátca também é mprescndível nesta etapa, com seus softwares, para a resolução automátca dos problemas matemátcos obtdos. E o modelo matemátco é a etapa em que se dá nteração da solução, ou seja, uma nvestgação para verfcar o nível da aproxmação da stuação-problema em relação à realdade, avalando quão sgnfcatva e relevante é a 51

3 solução e qual sua veracdade, em outras palavras, se a aproxmação do resultado condz com a realdade. (BIEMBENGUT, 1999). Anda, Bassanezz (2002) afrma que o modelo matemátco é a representação de um sstema, ou seja, um conjunto de símbolos e relações matemátcas que representam de alguma forma o objeto estudado. Dessa forma, um modelo matemátco é uma representação abstrata, ou uma aproxmação, de um problema real. Tal representação pode ser expressa em termos de expressões matemátcas (equações), por meo de uma sére de células nter-relaconadas em uma planlha de cálculo, entre outras. Em qualquer que seja o caso, o propósto de um modelo matemátco é representar a essênca de um problema de forma concsa. Isso traz uma sére de vantagens, como permtr ao analsta uma melhor compreensão do problema em estudo. Nesta perspectva, o desenvolvmento de uma modelagem matemátca para a planfcação de peças clíndrcas nterseconadas é fundamental, uma vez que a automação do processo de obtenção dessas peças torna-se possível, fazendo com que a planfcação das superfíces dos sóldos possa se converter num processo precso, fácl e rápdo de ser executado. (BESANT, 1988) Os problemas de planfcação de superfíces não são de hoje, sendo que as soluções foram desenvolvdas em função das tecnologas dsponíves em cada época. Város estudosos desenvolveram metodologas para obtenção de planfcação de peças, entre eles podemos ctar Cookson (1964), que apresenta em sua obra fórmulas matemátcas para obtenção de verdaderas grandezas para casos específcos de peças, além dos métodos manuas de traçado, baseados na Geometra Descrtva. Já Araújo (1976) apresenta resolução gráfca para o desenvolvmento de peças mas usualmente trabalhadas no campo da funlara, da calderara e da manutenção ndustral. No entanto, no caso de peças mas elaboradas, não apresenta uma metodologa. As dfculdades e erros ocorrdos nas execuções de trabalhos caros e complexos estmularam Castro (1991) a resolver, os problemas de planfcação de forma analítca e computaconal. O autor descreve um método analítco para planfcação de nterseções entre superfíces clíndrcas e côncas, apresentando a determnação das equações matemátcas das lnhas de corte, que devem ser traçadas nas superfíces planfcadas. Um algortmo de planfcação genérco fo desenvolvdo por Oro et al (2000), na Unversdade de Passo Fundo. Os autores apresentam o desenvolvmento de um algortmo, obtdo através da modelagem matemátca do problema de planfcação de superfíces de corpos clíndrcos e côncos, utlzando-se para sso do método de trangulação. A partr do sóldo modelado em 3D, é mapeada a superfíce pelo método de trangulação 1 para obter a planfcação da superfíce do sóldo. A planfcação obtda também utlza o método de trangulação para calcular a posção dos pontos no plano. O algortmo elaborado executa a planfcação de forma genérca. Incalmente, o algortmo calcula as coordenadas espacas que defnem a superfíce lateral da peça a ser planfcada, de forma ordenada e, em seguda, o processo de planfcação realzado é o mesmo para qualquer superfíce lateral consderada. Observa-se que a prncpal dferença entre o método proposto e os demas exstentes está efetvamente no processo de planfcação. O método proposto consste na planfcação de pontos, realzando a transformação de pontos do espaço para o plano. Os demas métodos anterormente ctados trabalham com procedmentos de planfcação específcos para peças específcas. O algortmo fo mplementado, resultando num software que fo denomnado por Planfcação de Superfíces. Pertence (2000) apresenta a mplementação de um software ddátco em lnguagem Vsual Basc que permte obter a planfcação de sóldos. Ele utlza expressões matemátcas que resultam da análse das 1 O Método de Trangulação: da Descrtva tradconal consste em dscretzar a superfíce lateral do sóldo através de 2n trângulos e posterormente realzar a planfcação dos pontos do espaço que defnem os vértces dos trângulos. 52

4 projeções de prmtvas báscas tas como clndros e cones, obtendo equações correspondentes às coordenadas das bases superor e nferor que formam a superfíce lateral do sóldo. Além dsso, Mazero et al (2003), apresenta a mplementação do software menconado anterormente em um sstema CAD comercal (AutoCAD). Este aplcatvo permte a modelagem de peças em 3D, peças estas dsponblzadas na nterface gráfca. Após a modelagem em 3D, o usuáro pode solctar a planfcação da referda peça. Este sstema permte a modelagem de dversas peças, as quas são cradas em camadas (layers) dferentes, permtndo a sua ndvdualzação. Apresenta, também, a metodologa de desenvolvmento da nterseção de sóldos por planos oblíquos. Este método permte truncar o sóldo e dentfcar a peça resultante que se deseja obter, representar a peça em um modelo 3D, e obter a planfcação da superfíce da peça resultante. Permte anda, que a peça resultante possa ser seconada outras vezes e também possam ser obtdas as planfcações das superfíces destas peças resultantes. O software comercal CALDSOFT (2013), permte executar a planfcação da superfíce de peças predefndas no sstema. O mesmo não permte a obtenção da planfcação de uma peça crada a partr de novas defnções, ou seja, a partr de uma peça modelada em 3D obter a sua planfcação. 3. MODELAGEM MATEMÁTICA DO PROCESSO DE PLANIFICAÇÃO DE PEÇAS OBTIDOS A PARTIR DA INTERSEÇÃO ENTRE DOIS CILINDROS A modelagem matemátca a ser descrta neste trabalho fo fundamentada nos trabalhos ctados no tem anteror, tendo como prncpal base os trabalhos de Planfcação de Superfíces desenvolvdo por Oro et al (2000) e por Mazero et al (2003), que tem por fnaldade desenvolver um algortmo genérco, que mplementado em uma lnguagem de programação, planfca dversos casos de peças com as característcas geométrcas estudadas. O dferencal deste trabalho em relação ao ctado anterormente está na construção do modelo, que fo embasada na correspondênca entre prncípos da geometra descrtva, trgonometra, geometra analítca plana e espacal, além de apresentar a planfcação das duas peças obtdas na ntersecção dos dos clndros. O modelo espacal, e posteror planfcação, desenvolvdo Oro et al (2000) e, especalmente, por Mazero et al (2003) é construído somente para uma das peças obtdas na ntersecção, a peça representada por um clndro horzontal e a peça representada pelo clndro oblíquo. A elaboração do modelo fo dvdda em duas partes: a prmera corresponde à representação da superfíce lateral do sóldo no espaço e a segunda, ao cálculo dos pontos no plano correspondentes à superfíce lateral planfcada. 3.1 Planfcação de clndros perpendculares entre s Consdando dos clndros perpendculares entre s (ver Fgura 1), onde através da geometra e trgonometra foram calculadas suas coordenadas no espaço e após as coordenadas no plano, conforme segue. 53

5 Fgura 1. Clndros perpendculares entre s. O número de dvsões para o clndro vertcal determna a precsão de sua superfíce, o qual é composta por geratrzes, vsto que o número de pontos para a base superor e para a ntersecção concdem. Nesse trabalho, o número de pontos tomados sobre a crcunferênca que formam as bases do clndro foram doze, conforme Fgura 2, pos com este número de pontos sua representação no espaço e no plano é mas precsa e, também, sera fácl verfcar no desenho se as coordenadas calculadas pelo modelo estavam corretas. Fgura 2. Dvsões de uma das bases do clndro. Quanto ao sstema de coordenadas, a orgem fca no cruzamento das lnhas de centro dos dos clndros, ou seja, o exo y fca na lnha de centro do clndro horzontal o exo z está na lnha de centro do clndro vertcal, quando este está centrado com do clndro horzontal, e o exo x marca o deslocamento x clndro vertcal, que nesse trabalho x = 0. A fgura 1 mostra a orgem do sstema de coordenadas e como os exos se orentam. Para obter estas coordenadas em um espaço trdmensonal ( x, y,z ), ncalmente os clndros foram consderados separados, um vertcal e outro horzontal e após foram determnadas as coordenadas 54

6 de nterseção entre ambos. Dessa forma, as coordenadas dos clndros foram dvddas em dos planos bdmensonas ( x, y) e ( y, z). As coordenadas espacas do clndro vertcal PV ( xv, yv, zv ), cujas bases são crcunferêncas, foram calculadas através da trgonometra em um plano ( x, y), sendo: xv yv = rao.cosα (1) = rao.senα (2) 2π.rao α = ( 1) (3) 12 sendo = 1,2,.., 12, a base superor assumda como altura z v e a nferor a altura é nula (ver Fgura 1). As coordenadas espacas do clndro horzontal PE ( xe, ye, ze ) e PD ( xd, yd, z D ), mostrado na Fgura 1, cujas bases também são formadas por duas crcunferêncas, foram calculadas de forma semelhante a do clndro vertcal só que em um plano ( x, z), e com z adconado a uma altura consderada ponto de nterseção entre os dos clndros mas o rao do clndro vertcal, e após a base dreta deslocada a um comprmento y. Com as coordenadas espacas dos dos clndros calculadas passou-se ao cálculo dos pontos de ntersecção entre os dos clndros. Prmeramente fo tentada a obtenção destas coordenadas através da ntersecção entre as geratrzes do clndro vertcal com o horzontal, a qual não teve sucesso, por serem ortogonas. Após váras tentatvas, foram obtdas as coordenadas espacas dos pontos de nterseção, através do equaconamento da crcunferênca do clndro vertcal, em função do x do clndro horzontal, conforme as relações (4), (5) e (6). y 2 2 I = rao x (4) z I = z do clndro horzontal (5) x I = x do clndro horzontal. (6) Obtdos os pontos de ntersecção ( P ) no espaço, calculou-se a dstânca entre os pontos de ntersecção e os pontos da base dreta ( P geratrzes ( G ), pela equação (7). ( P P ) I D D I ) do clndro vertcal, que representam o comprmento das G = d, (7) As cordas correspondentes às bases esquerda ( ce ), obtda através do processo de nterseção, e dreta ( cd ) são calculadas no espaço através do cálculo da dstânca entre pontos subsequentes da mesma base, ou seja: ce d P I P (8) (, I +1 ) ( P, P D D +1 ) = cd (9) = d 55

7 Tomando-se os pontos no espaço como referencas e utlzando as G, ce e cd, passando para próxma etapa que é a planfcação do clndro horzontal. Calcula-se os n+1 pontos do plano P ( x, y ) correspondentes a eles na planfcação da superfíce do sóldo, observando o fato que devem ser mantdas estas dstâncas entre os pontos correspondentes da superfíce planfcada, conforme Fgura 3. Fgura 3: Planfcação do clndro horzontal. Por convenção, o prmero ponto da superfíce planfcada P 1, correspondente ao prmero ponto da base dreta ( P D ), fo localzado na orgem do sstema xy, ou seja: P 1 =(0,0); o segundo ponto da superfíce planfcada P 2, correspondente ao prmero ponto da base esquerda ( PI ) fo localzado no exo y, onde a ordenada do ponto corresponde à prmera geratrz, ou seja, P 2 =(0, G 1). Conhecdos os dos prmeros pontos planfcados, passou-se ao cálculo dos demas, levando em consderação o fato que esses valores devem se corresponder no espaço e no plano. Sendo conhecdos os pontos P 1 e P 2, para determnação dos próxmos pontos utlzou-se o procedmento descrto a segur. x cd x (10) = + 1 y = G (11) = 2.,3,...,13 Já a planfcação da peça vertcal, mostrada na Fgura 4, fo mas trabalhosa por se tratar de obter as coordenadas do furo feto pela ntersecção das peças. Fgura 4: Planfcação do clndro vertcal 56

8 Após analsar as dmensões da peça chegou-se à conclusão de que a posção do furo em x podera ser centralzada e com o comprmento total sendo o perímetro da crcunferênca partra com o centro do furo com a medda de meo perímetro de crcunferênca, ou seja, π rao, tendo o centro para encontrar os valores em x soma-se a cos α. E as dmensões do furo em y têm os mesmos valores de z I (ponto de ntersecção entre os clndros). Os extremos do clndro vertcal foram fáces de serem obtdos, pos forma um retângulo, onde quatro pontos o descrevem no plano, sendo os pontos nferores (0,0) e ( 2π. r,0) e superores (0,altura) e ( 2π. r,altura). 3.2 Planfcação de Clndros oblíquos entre s. A próxma peça a ser planfcada fo àquela obtda pela nterseção entre um clndro reto e um oblíquo. A Fgura 5 mostra o esquema geométrco usando no processo de modelagem. Fgura 5. Clndros oblíquos entre s. A modelagem do anteror já não serve para este caso, vsto que neste caso para determnar suas coordenadas no espaço temos de levar em conta o ângulo de nclnação entre os clndros. O trabalho nca com a retrada de dados de um modelo de desenho plano (Ver Fgura 6). 57

9 Fgura 6: Esquema plano dos clndros oblíquos entre s. Sendo que: e ) n representa o ângulo de nclnação a ser fornecdo; pc a altura do ponto de corte a ser fornecdo e Comp o comprmento a se fornecdo. As demas meddas são fornecdas pelas seguntes expressões. y = Comp. cos( en) (12) f = rs. tg( en) (13) q = pc f (14) po = q + rd (15) j = Comp sen( en ) (16) l = j + po (17) Com estes dados, foram obtdas as coordenadas dos clndros no espaço, sendo as do clndro vertcal fo usado o mesmo processo do tem anteror. Já nas coordenadas do clndro oblíquo, foram utlzadas o mesmo processo do clndro horzontal anteror para os valores x e y, porém para obter os valores z, utlzou-se os dados do modelo mostrado na Fgura 7, ou seja os valores da coordenada z esquerdo são a dstânca q e os valores dos z dreto são a dstânca l. Os pontos de ntersecção foram semelhantes aos da peça anteror, porém somado aos z a dstânca f. Porém, as coordenados no plano da peça oblíqua foram bem mas complcadas do que a peça horzontal anteror, pos sua base não é reta como a anteror. Para a realzação desta planfcação fo montado outro modelo, conforme esquema representado na Fgura 7. 58

10 Fgura 7: Esquema do modelo de para a obtenção das coordenadas planas. As meddas d, no e de são obtdas pelas relações: d = sen( en ) no (18) no = zd l (19) de = no sen( en ) + d (20) Para utlzar as geratrzes na obtenção dos valores de y e as cordas na obtenção dos valores x, o segunte processo fo executado. Os valores de x as meddas das cordas do clndro e os valores dos y superores as geratrzes menos a dstânca de mas um deslocamento Comp. Já os y nferores o deslocamento Comp menos a dstânca de, onde é necessáro o deslocamento para utlzarmos os quadrantes em y postvos, pos o programa programado em lnguagem Pascal fornece os desenhos somente nos quadrante superores, conforme esquema representado na Fgura 8. Fgura 8: Esquema do modelo de planfcação 59

11 Tomando-se os pontos no espaço como referencas e utlzando as meddas anterormente defndas, passou-se para próxma etapa que é a planfcação do clndro oblíquo. Calcula-se os n+1 P x, y correspondentes a eles na planfcação da superfíce do sóldo, observando o pontos do plano ( ) p fato que devem ser mantdas estas dstâncas entre os pontos correspondentes da superfíce planfcada. Assm, para os pontos da base obtda através do processo de nterseção P x, y ) tem-se: ps ( ps ps x [ 1] = 0 (21) x ps [ + 1] = cd[ ] x [ ] (22) ps + ps y ps [ ] = G[ ] de[ ] + Comp (23) = 1,2,..,12. x p [ 1] = x E, para os pontos da outra base, que está à dreta (ver Fgura 8), P x, y ) tem-se: 0 [ + 1] = cd[ ] x [ ] p + y ps p p ( p p [ ] = Comp de[ ] (24) = 1,2,.., RESULTADOS Após ter determnado as coordenadas planas dos modelos anterormente ctados, passou-se para a programação em lnguagem Pascal 7.0. Os objetvos da realzação dessa programação são os de valdar e de smular os modelos elaborados, possbltaram a transposção da superfíce da peça do espaço para o plano, sto é a planfcação das peças apresentadas neste trabalho. Ou seja, conhecendo os pontos espacas que descrevem as peças, através do método de trangulação, obter a planfcação, com base no modelo desenvolvdo por Oro et al (2000). Na fgura 9, representam-se a planfcação dos clndros perpendclares, onde foram tomadas como meddas do clndro vertcal um rao de 20mm e um comprmento de 150mm, já do clndro vertcal foram tomadas como meddas um rao de 30mm e uma altura de 200mm e ponto de corte entre os clndros 50mm. Especfcamente, na Fgura 9 (a) está mostrada a planfcação do clndro horzontal e na Fgura 9 (b) a planfcação do clndro vertcal. 60

12 (a) Clndro horzontal (b) Clndro vertcal Fgura 9: Planfcação de clndros perpendculares Representam-se, na Fgura 10, a planfcação dos clndros oblíquos, nos quas, como os clndros anterores, foram tomadas como meddas do clndro oblquo um rao de 20mm e um comprmento 150mm, já do clndro vertcal foram tomadas como meddas um rao de 30mm e uma altura de 200mm. Como ponto de corte entre os clndro foram tomadas uma dstânca de 50mm e como nclnação entre os clíndros um ângulo de 45º. Na Fgura 10 (a) está mostrada a planfcação do clndro oblíquo e na Fgura 10 (b) a planfcação do clndro vertcal (a) Clndro oblíquo (b) Clndro vertcal Fgura 10. Planfcação de clndros oblíquos. Incalmente foram fetos os cálculos manualmente para um número reduzdo de pontos, após fo feto o cálculo das mesmas coordenadas através do programa. Por sso, pode-se afrmar que a modelagem matemátca das peças específcas mostrou-se efcente com relação a planfcação de peças clíndrcas e estão de acordo com os resultados esperados, porém fo trabalhosa a dedução das stuações de nterseção. 61

13 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS A modelagem matemátca é fundamental na elaboração de algortmos para programação e as ndústras de calderara são cada vez mas benefcadas com este ramo de pesqusa, com a tecnologa levando a estas ndústras mas agldade e qualdade em suas produções de peças. O trabalho aqu desenvolvdo vsando à planfcação de peças clíndrcas para, posterormente, serem montadas mostrou-se efcaz em seus objetvos. Com sso, fo elaborado dos programas computaconas que, mplementados em lnguagem Pascal, planfcam peças formadas pela ntersecção de dos clndros, bastando oferecer dados como comprmento, altura, rao e nclnação entre os clndros que formam a peça. Apesar de aparentar uma determnada complexdade na modelagem matemátca desenvolvda para a obtenção destes algortmos, foram utlzados concetos báscos a nível superor, como trgonometra e geometra espacal e analítca. O prmero estudo de caso gerou um programa que planfcava apenas peças clíndrcas formadas por clndros perpendculares entre s, já o segundo planfca peças formadas por clndros com qualquer ângulo de nclnação entre s, sendo estes oblíquos ou perpendculares entre s, satsfazendo as necessdades do prmero programa, uma vez que basta, neste caso, consderar o ângulo de nclnação sendo 90 o. Os algortmos desenvolvdos e mplementados em lnguagem Pascal tratam-se de uma ferramenta que poderá vr a ser utlzada na resolução dos problemas reas da ndústra metalúrgca. 6. REFERÊNCIAS ARAUJO, E. C. Curso Técnco de Calderara. São Paulo: Hemus, BESANT, C.B. CAD/CAM Projeto e fabrcação com auxílo do computador. Trad. de Rcardo Renprecht. 3ª edção. Ro de Janero:Campus, p. BASSANEZI, R. C., Ensno aprendzagem com modelagem matemátca: uma nova estratéga, São Paulo: Contexto, BIEMBENGUT, Mara Salete. Modelagem Matemátca & mplcações no ensno e aprendzagem da matemátca. 2 ed. Blumenau: Furb, CALDSoft: software comercal para planfcações em calderara ndustral. Dsponível em: < Acesso em: mao CASTRO, M. M..O. Método Analítco para Planfcação de Interseções entre Superfíces Clíndrcas e Côncas. Nteró: Unversdade Federal Flumnense EDUFF, v. 1 e 2, 628 p. COOKSON, W. New Methods for Sheet Metal Work. Londres: The Techncal Press, p. GOLDBARG, M.C.; LUNA, H.P. Otmzação combnatóra e Programação Lnear. 2ª Edção, Ro de Janero: Elsever, 2005, 520 p. 62

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