Resolução Comentada Integral Indefinida

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1 Universidade do Estado da Bahia - UNEB Departamento de Ciências Exatas e da Terra - DCET Curso: Engenharia de Produção Civil Disciplina: Cálculo II Professor: Armando Peixoto Monitor: Victor Mendes Lopes Resolução Comentada Integral Indefinida 1. Resolução de integrais indefinidas básicas. 2. Método da substituição (mudança de variável). 3. Integração por partes. 4. Divisão de polinômios. 5. Funções racionais. 6. Aplicações de integral indefinida.

2 01) ( ) A integral da soma é a soma das integrais: A constante multiplicativa pode se retirada do integrando: Arrumando em forma de potência: Regra 02 na tabela: Observe que não é necessário colocar a constante para cada integral indefinida, pois a soma de constantes também é uma constante. 02) 2

3 03) Método da substituição (mudança de variável): Lembrando que deve-se voltar à variável antiga: Deixando mais bonito: A partir de agora, treinem os olhos para enxergarem funções e suas derivadas. 04) ( )( ) 3

4 05) 06) Regra 04 na tabela: 4

5 07) 08) Regra 10 na tabela (em alguns livros você encontra... pense sobre): 5

6 09) 10) 11) 6

7 12) 13) 14) ( ) 7

8 15) Divisão de polinômios (Ou pulo do gato): 16) Regra 03 da tabela: 8

9 17) ( ) ( ) 18) Da trigonometria temos que: ( ) 9

10 19) ( ) ( ) 20) ( ) Regra 09 e 14 da tabela: 21) 10

11 22) 23) (Maldade... começar método por partes com essa ae... mas fique tranqüilo ) Método de Integração por partes: Percebe-se que II se difere de I pelo grau do x, que diminuiu. Por indução, se aplicarmos essa regra mais 2 vezes, o x terá grau 0, ou seja, será igual a 1, deixando somente o e x, no qual podemos integrar tranquilamente (Regra 05 da tabela). 11

12 Voltando à equação II: Voltando à equação I: 24) ( ) 12

13 (E eu lhes apresento a integral do ln(x)... melhor gravar isso) ( ) 25) Percebe-se que II se difere de I pelo seno, que antes era cosseno. Por indução, se aplicarmos essa regra mais 1 vez, o seno se transformará em cosseno novamente: Voltando à equação I: ( ) Normalmente integrais com cossenos e senos se resolvem assim, deve-se fazer várias vezes a integração por partes até que você encontre a primeira integral novamente. 13

14 26) Voltando à equação I: ( ) 14

15 ( ) ( ) 27) Voltando à equação I: ( ) 15

16 28) ( ) 29) 16

17 Voltando à equação I: ( ) 30) 31) 17

18 32) 33) 18

19 34) ( ) ( ) 35) ( ) 36) 19

20 37) Integração de funções racionais (Ou super pulo do gato): Vamos forçar o polinômio para que ele se encaixe dentro de um dos modelos acima: 38) 20

21 39) 21

22 40) Substituindo as informações dadas: Tempo de meia-vida: 22

23 41) Vamos aproveitar a equação feita acima: E substituir as informações dadas: Então temos a expressão: Tempo de meia-vida: Observe que a expressão para encontrar o tempo de meia-vida foi o mesmo: 42) Quantidade de sal presente em qualquer instante: 23

24 Substituindo as informações: Após 1 hora: 43) 24

25 Substituindo as informações: Tempo para se atingir temperatura de 51 C: 44) 25

26 45) Substituindo as informações: Expressão geral: 26

27 46) Substituindo as informações: 47) ( ) ( ( ) ) Substituindo os valores: Na 7ª semana: 27

28 48) 49) ( ) ( ) ( ) 28

29 50) a) ( ) b) ( ) 29

30 c) ( ) ( ) ( ( ) ) 30

31 d) Regra 20 da tabela: 31