UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA

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1 0 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA DAIANNE FERNANDES DIÓGENES ESCOAMENTO UNIFORME EM CONDUTOS LIVRES MOSSORÓ-RN 2011

2 1 DAIANNE FERNANDES DIÓGENES ESCOAMENTO UNIFORME EM CONDUTOS LIVRES Monografia apresentada à Universidade Federal Rural do Semi-Árido UFERSA, Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas para a obtenção do título de Bacharel em Ciência e Tecnologia. Orientador: Prof. D. Sc. Sérgio Weine Paulino Chaves - UFERSA MOSSORÓ-RN 2011

3 2 DAIANNE FERNANDES DIÓGENES ESCOAMENTO UNIFORME EM CONDUTOS LIVRES PARECER: DATA DA DEFESA: / / BANCA EXAMINADORA Prof. D. Sc. Sérgio Weine Paulino Chaves UFERSA Orientador Prof. D. Sc. Manoel Januário da Silva Junior UFERSA Primeiro Membro Prof. M. Sc. Francisco Aécio de Lima Pereira UFERSA Segundo Membro

4 3 DEDICATÓRIA Obrigada pai pelos sacrifícios que você fez em razão da minha educação. Sei que não foram poucos! Obrigada pelo incentivo e pela admiração desse curso que agora tenho o orgulho de concluir. Infelizmente não há espaço para escrever e agradecer aqui essa conquista que também é sua. Te amo.

5 4 AGRADECIMENTOS A Deus, pelas constantes provas de amor que tem me dado e por permitir que este dia chegasse. Ao Prof. Sérgio Weine Paulino Chaves, por aceitar o convite para ser orientador desse trabalho monográfico e por mostrar tamanha disposição e atenção em garantir o meu sucesso nesta etapa da minha vida. A minha família, por me dar suporte em todos os momentos. Aos amigos, Diego César e Jorge Artur, pelo tempo disponível na colaboração deste trabalho. A minha grande amiga, Michelle Oliveira, que em dias de desespero me acalmava com uma simples frase: Ei, vai dar certo! Às amigas, em especial, Evelen Freire e Michelle Oliveira, pelo companheirismo nas longas horas de estudo, inclusive nas madrugadas. A todos aqueles que contribuíram de forma direta ou indiretamente para que este trabalho fosse concluído com sucesso, muito obrigada.

6 5 RESUMO O escoamento é o processo de movimentação das moléculas de um fluido, umas em relação às outras e aos limites impostos, podendo ser descrito por parâmetros físicos e pelo comportamento destes parâmetros ao longo do espaço e tempo, de modo que, o estudo de água ou outros líquidos, estando eles em movimento ou não, é responsabilidade da hidráulica. Informações sobre o comportamento de um fluido e sua seção transversal num conduto livre são importantíssimas para identificar não só a vazão decorrente no mesmo, mas também para determinar o raio hidráulico, o melhor material de revestimento, a sua distribuição de velocidade e entre outras abordagens. Contudo, uma tubulação, diante da condição de conduto livre, tem por principais características, a presença da pressão atmosférica atuando sobre a superfície líquida ou em pelo menos um ponto da sua seção de escoamento e a movimentação do líquido independente da pressão existente, mas dependente da inclinação do fundo do canal e da superfície líquida. Neste trabalho, apresenta-se uma revisão quanto às condições de um conduto livre, direcionadas às características do escoamento, até as suas análises econômicas. Com base nisso, foi feito exemplos que complementam a análise teórica na prática. Palavras-chave: Escoamento. Distribuição de velocidade. Pressão atmosférica. Condutos livres.

7 6 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Característica do escoamento uniforme em conduto livre Figura 2 Elementos geométricos de um canal Figura 3 Análise para seções especiais Figura 4 Representação gráfica das velocidades Figura 5 Ilustração da distribuição da velocidade (A) transversal e longitudinal (B) Figura 6 Diagrama da variação de velocidade com a profundidade Figura 7 Forças que atuam sobre o fluido em escoamento uniforme... 29

8 7 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Taludes usuais dos canais Tabela 2 Valores limites em função do material das paredes do canal Tabela 3 Coeficientes m para a fórmula de Bazin Tabela 4 Coeficiente n para a fórmula de Manning Tabela 5 Coeficientes n para a fórmula de Ganguillet e Kutter Tabela 6 Coeficientes C para a fórmula de Kutter Tabela 7 Coeficientes para a fórmula de Forchheimer Tabela 8 Coeficientes para a fórmula de Gauckler-Strickler... 39

9 8 LISTA DE EQUAÇÕES Equação 1 Determinação do número de Reynolds Equação 2 Equação da Continuidade Equação 3 Equação de Bernoulli Equação 4 Equação do raio hidráulico para seção retangular Equação 5 Equação do raio hidráulico para seção trapezoidal Equação 6 Equação do raio hidráulico para seção triangular Equação 7 Equação do raio hidráulico para seção circular com ângulo Equação 8 Equação do raio hidráulico para seção circular à meia seção Equação 9 Equação do raio hidráulico para seção circular à seção plena Equação 10 Equação da vazão para seção circular Equação 11 2ª lei de Newton Equação 12 Tensão média de cisalhamento Equação 13 Tensão média de cisalhamento entre o fluido e o perímetro molhado Equação 14 Tensão média de cisalhamento para seções circulares retas Equação 15 Equação de Chézy Equação 16 Equação fundamental do escoamento permanente uniforme Equação 17 Equação de Bazin Equação 18 Coeficiente de Bazin Equação 19 Equação de Kennedy Equação 20 Equação de Kennedy melhorada Equação 21 Equação de Chézy com o coeficiente de Manning Equação 22 Coeficiente de Manning Equação 23 Equação de Gauckler e Kutter Equação 24 Coeficiente Gauckler e Kutter Equação 25 Coeficiente de Kutter Equação 26 Equação de Forchheime Equação 27 Coeficiente da fórmula universal Equação 28 Equação de Gauckler-Strickler Equação 29 Coeficiente de Gauckler-Strickler... 38

10 9 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO OBJETIVOS Objetivo Geral Objetivo Específico REVISÃO DE LITERATURA Escoamento com superfície livre Caracterização do escoamento uniforme Definição dos condutos livres Classificação dos canais Elementos geométricos Raio hidráulico das seções mais usuais Seção retangular Seção trapezoidal Seção triangular Seção circular parcialmente cheio Seção circular à meia seção Seção circular à seção plena Principais formas geométricas Distribuição da velocidade Limites de velocidade média Equação geral de resistência Fórmulas práticas para o cálculo da velocidade média Fórmula de Bazin Fórmula de Kennedy Fórmula de Chézy com o coeficiente de Manning Fórmula de Ganguillet e Kutter Fórmula de Kutter Fórmula de Forchheime Fórmula Universal Fórmula de Gauckler-Strickler... 38

11 Perdas por evaporação e por infiltração Canais com seção econômica MATERIAIS E MÉTODOS RESULTADOS CONCLUSÃO REFERÊNCIAS ANEXOS... 48

12 11 1 INTRODUÇÃO No tempo pré-histórico, a importância da água para a vida humana justificou a suposição de que um homem primitivo tenha tido a idéia de desviar um rio do seu leito natural para um canal artificial, a fim de levar água até onde ela fosse necessária, a plantações ou aos homens. Com o objetivo de suprir suas necessidades, o homem primitivo fez com que os primeiros projetos hidráulicos fossem instalados. Inicialmente, os mais antigos trabalhos eram de drenagem e irrigação e, com o passar do tempo, o avanço dos meios tecnológicos ajudou a construção de obras de vários tipos, inclusive barragens, canais, aquedutos e redes de esgotos (LINSLEY; FRANZINI, 1978). Essas obras primitivas não eram projetadas e construídas por engenheiros no sentido atual da palavra. Os antigos construtores eram os artesãos e técnicos, que empregavam um notável critério intuitivo ao projetarem e executarem suas obras. Visto que na época, os materiais de construção não eram capazes de suportar grandes pressões, os construtores projetavam seus aquedutos como estruturas pesadas, para transportar água permanentemente a céu aberto (LINSLEY; FRANZINI, 1978). Conforme o passar do tempo, para o aproveitamento desses recursos hídricos necessitou de concepção, planejamento, projeto, construção e operação de meios para domínio e a utilização das águas. Atualmente, embora o aproveitamento dos recursos hídricos seja, em princípio, função de engenheiros civis, surge à necessidade dos serviços de especialistas em outros campos. Os problemas relativos aos recursos hídricos interessam também a economistas, especialistas no campo das ciências políticas, geólogos, engenheiros mecânicos e eletricistas, químicos, biológicos e a outros especialistas em ciências sociais e naturais. Cada projeto de aproveitamento hídrico supõe um conjunto específico de condições físicas às quais deve ser condicionado, razão pela qual, dificilmente podem ser aproveitados projetos padronizados que conduzam a soluções simples. As condições específicas de cada projeto devem ser satisfeitas através da aplicação integrada dos conhecimentos fundamentais de várias disciplinas (LINSLEY; FRANZINI, 1978). Desde então, os projetos de aproveitamento hídrico com condutos livres são bastante aplicáveis nas práticas de engenharia, estando presentes em áreas como o saneamento, a drenagem urbana, irrigação, hidroeletricidade, navegação e conservação do meio ambiente.

13 12 Na prática o planejamento, o projeto e a construção de um canal estão condicionados por uma série de restrições de natureza variada. O projeto de um conduto em um sistema de drenagem urbana, por exemplo, pode depender de condições topográficas, geotécnicas, construtivas, de influência do sistema viário, existência de obras de arte, faixa de domínio, etc. Todas estas condições mencionadas de caráter não hidráulico limitam a liberdade do projetista no dimensionamento das seções (PORTO, 2004). Portanto, o estudo e a elaboração desses condutos são de forma bastante complexa, visto que existe uma variedade de condições em que os mesmos apresentam. Dessa forma é necessária a análise de vários fatores, como por exemplo, a declividade do ambiente natural, o estudo do coeficiente de rugosidade visando futuramente à condição do canal, o melhor talude para a forma desejada e outros fatores (NEVES, 1979).

14 13 2 OBJETIVOS 2.1 Objetivo Geral Este trabalho visa descrever as condições específicas necessárias para a estimativa do escoamento uniforme, em sistemas hidráulicos que possuem canais como principais métodos de fazer escorrer o fluido. 2.2 Objetivo Específico Produzir material didático relacionado a condutos livres abrangendo, de forma direta, o teorema básico da Hidráulica (Bernoulli) e a equação da continuidade, detalhando as principais características, suas formas geométricas mais aplicáveis, os materiais com suas respectivas rugosidades, tipo de escoamento e várias fórmulas para o desenvolvimento de vazões e velocidades, de tal modo que esse conhecimento contribua para o estudo de muitos com a disciplina de Hidráulica.

15 14 3 REVISÃO DE LITERATURA 3.1 Escoamento com superfície livre Segundo Linsingen (2001), o escoamento de um líquido nada mais é do que a variação da carga hidráulica de um recipiente desde que o sistema não possua nenhuma máquina hidráulica fornecendo alimentação. Contudo, esse escoamento é regido por leis físicas e representado quantitativamente por variáveis como vazão, profundidade e velocidade, sendo descrito por equações de conservação de massa, energia e quantidade. A movimentação das moléculas de um fluido especifica uma classificação, referindo-se às condições limites, em escoamento livre e escoamento forçado. O escoamento que se processa num tubo fechado, ocupando toda secção do tubo, e em geral com pressões diferentes de pressão atmosférica, identifica-se um escoamento em pressão. Se um líquido se escoa em contato com a atmosfera, diz-se que há um escoamento com superfície livre; é o caso do canal, por exemplo. O escoamento livre, ou escoamento em canais abertos, é caracterizado pela presença de uma superfície em contato com a atmosfera, submetida, portanto, a pressão atmosférica. Assim, ao passo que nos escoamentos em condutos forçados as condições de contorno são sempre bem definidas, nos escoamentos livres estas condições podem ser variáveis, no tempo e no espaço. Todavia, os movimentos dos fluidos estão submetidos a escoamentos laminares, de transição ou turbulentos. Osborne Reynolds, diante de experimentos que consistia na injeção de um líquido corante, na posição central de um escoamento de água interno a tubo circular de vidro transparente, classificou como escoamento laminar quando o filete de corante não se misturou com a água no interior do tubo, permanecendo no centro do tubo. Para o filete com comportamento de dissipação rápida, apresentando uma mistura transversal intensa, Reynolds classificou como escoamento turbulento e o escoamento de transição sendo o escoamento intermediário entre o laminar e o turbulento com uma dissipação lenta. Analisando a equação 1, quando o número de Reynolds (R) for menor do que 2000, é denominado um escoamento laminar, e acima de 4000, é denominado de turbulento, entre os dois, é considerado de transição, sendo estes valores denominados críticos (GIBES, 1974).

16 15 (1) sendo: R Número de Reynolds; Raio hidráulico, em m; Velocidade de escoamento no conduto, em ; Viscosidade cinemática do fluido, em m 2 /s. No entanto, o escoamento quanto aos condutos livres são classificados em várias maneiras. Sendo esse escoamento dividido em permanente ou não permanente, onde o permanente é subdividido em uniforme ou variado. E consequentemente, o variado é subdividido em gradualmente ou bruscamente. Quando a velocidade local em um ponto qualquer da corrente permanecer invariável no tempo, em módulo e em direção, denomina-se escoamento permanente. Ao contrário, o escoamento não permanente é definido quando a velocidade em certo ponto varia com o passar do tempo. O regime uniforme se encontra com velocidades locais paralelas entre si e constantes ao longo de uma mesma trajetória; elas podem, entretanto, diferir de uma trajetória para outra. Quando as trajetórias não são paralelas entre si, o escoamento é dito variado ou não uniforme, assim a declividade da linha d água não é paralela à declividade de fundo e os elementos característicos do regime variam de uma seção para outra. O escoamento variado gradualmente ocorre com as características da corrente variando de forma lenta e gradual, de seção a seção. Ao contrário, o escoamento variado bruscamente, passa por uma elevação brusca da superfície livre que se produz quando a corrente de forte velocidade encontra uma corrente de fraca velocidade. 3.2 Caracterização do escoamento uniforme Nos condutos livres existe movimento uniforme quando a seção do escoamento é constante em forma e dimensão, conforme se vê na equação 2, quando a velocidade mantémse à custa da declividade do fundo do canal, e quando existe uma constância dos parâmetros hidráulicos, como área molhada, altura d água, etc., para as várias seções do canal.

17 16 (2) sendo: Q Vazão, em m 3 /s; A Área, em m 2 ; V Velocidade, em m/s, Segundo Carvalho (2003), o movimento uniforme só é atingido depois da zona de transição, cujo comprimento dependerá principalmente das resistências oferecidas ao escoamento e só ocorre em condições de equilíbrio dinâmico, isto é, quando houver um balanceamento entre a força aceleradora e a força de resistência. Para Porto (2004), essa força de resistência depende da velocidade média do escoamento e, portanto é necessário que esta velocidade atinja um determinado valor para que haja o equilíbrio entre essas forças. Por isto é necessário que o canal tenha um comprimento razoável para que haja a possibilidade do estabelecimento do escoamento permanente e uniforme, fora dos trechos onde existe a influência das extremidades de montante e jusante. Conforme a Figura 1, aplicando-se a equação de Bernoulli (equação 3) as duas seções A e B do canal, onde existe o movimento uniforme, obtém-se: Figura 1 Característica do escoamento uniforme em conduto livre Fonte adaptada: (LINSLEY; FRANZINI, 1978).

18 17 = (3) sendo: Cota do plano de referência arbitrário do ponto a ao fundo do canal, em m; Cota do plano de referência arbitrário do ponto b ao fundo do canal, em m; Pressão exercida no ponto a, em ; Pressão exercida no ponto b, em ; Peso específico do fluido, em ; Velocidade de escoamento no ponto a, em m/s; Velocidade de escoamento no ponto b, em m/s; Perda de carga, em m. Entretanto, sendo = e VA = VB, consequentemente hf = ZA ZB = IL, onde I é a declividade da linha de energia e L é a distância entre as duas seções. Segundo Neves (1979), a perda de carga hidráulica é igual à perda unitária de altura topográfica; sendo geralmente pequena a diferença entre o comprimento L do canal e a sua projeção horizontal, na maioria dos casos pode-se considerar, sem grande erro, a perda de carga unitária igual à declividade do fundo. Diante de todos os estudos, os canais uniformes e o escoamento uniforme não existem na natureza. Até mesmo no caso de condutos artificiais prismáticos, longos e de pequena declividade, as condições apenas se aproximam do movimento uniforme (AZEVEDO et al., 1998). 3.3 Definição dos condutos livres O escoamento de água através de uma tubulação, sob condições de conduto forçado, tem por principais características o fato de a tubulação ser fechada, a seção ser plena, de atuar sobre o líquido uma pressão diferente da atmosférica e o escoamento ocorrer por gravidade ou por bombeamento, ou seja, todo o contorno da veia líquida está em contato com a parede

19 18 sólida. Já nos condutos livres ou canais, a característica principal é a presença da pressão atmosférica atuando sobre a superfície do líquido, em uma seção aberta, como nos canais de irrigação e drenagem, ou fechada, como nos condutos esgotos e galerias de águas pluviais. Neste caso, o escoamento se processa necessariamente por gravidade e o contorno da veia líquida se encontra em parte ou na sua totalidade em contato com a atmosfera (PORTO, 2004) Classificação dos canais Quanto à classificação, os canais podem ser naturais ou artificiais. Os condutos d água existentes na Natureza, como pequenas correntes, córregos, rios, estuários e outros, são nomeados de naturais. Aqueles em que apresentam seção aberta ou fechada, desenvolvidos pela ação humana, como os canais de irrigação e navegação, aquedutos, galerias e outros, recebem o nome de artificiais (PORTO, 2004). Quanto aos condutos apresentarem formas abertas ou fechadas, em se tratando aos condutos livres abertos, simplesmente eles são denominados canais, enquanto que os condutos fechados são denominados aquedutos. Os canais também são classificados como prismáticos e não prismáticos. Quando possuírem o comprimento da seção reta e a declividade de fundo constante, são chamados de prismáticos; caso contrário não prismático (PORTO, 2004). Nos casos em que apresentam uma seção transversal, com características geométricas constantes, seja retilíneo, com rugosidade das paredes e declividade constantes são considerados uniformes. Na presença de variação dos parâmetros são não uniformes. Contudo, quando são analisados os aspectos relativos à rugosidade das paredes, para as tubulações usuais em condutos livres, é difícil a especificação do valor numérico da rugosidade em revestimento sem controle de qualidade industrial ou, mais complicado, no caso de canais naturais.

20 Elementos geométricos Dentre as mais variadas formas dos condutos livres, sendo canais prismáticos ou não prismáticos, todos eles dependendo da sua seção transversal, possuem suas próprias características relevantes aos principais elementos geométricos. Tais elementos estão dimensionados na Figura 2, que são: área molhada, perímetro molhado, raio hidráulico, largura do topo, altura d água ou tirante d água e altura hidráulica ou altura média. a) Área molhada (A): é a área útil da seção de escoamento numa seção transversal podendo variar de acordo com a vazão de alimentação do local. b) Perímetro molhado (P): é a linha que limita a seção molhada junto às paredes e ao fundo do canal. c) Raio hidráulico: é a relação entre a área molhada e o perímetro. d) Largura de topo (B): é a largura da seção do canal na superfície livre. e) Altura d água ou tirante d água (Y): é a distancia vertical do ponto mais baixo da seção do canal até a superfície livre. f) Altura hidráulica ou altura média ( ): é a relação entre a área molhada e a largura da seção do canal na superfície livre. Figura 2 Elementos geométricos de um canal Fonte: (BAPTISTA; LARA, 2006).

21 Raio hidráulico das seções mais usuais Dentro dos diversos modelos ou formas geométricas de canais, o raio hidráulico é fundamental para a determinação da vazão ou da velocidade, sendo esse elemento geométrico a relação entre a área útil da seção de escoamento numa seção transversal podendo variar de acordo com a vazão de alimentação o conduto (A) e o perímetro molhado (P) que é a linha que limita a seção molhada junto às paredes e ao fundo do canal. Diante disso, para cada tipo de seção é estabelecida uma fórmula para a determinação do mesmo. Em relação às seções retangulares, trapezoidais, triangulares e circular parcialmente cheio, a análise do raio hidráulico é baseada conforme Carvalho, (2003). Para os condutos em seção circular, a meia ou plena seção, a solução do raio hidráulico é baseada em Azevedo et al., (1977) Seção retangular Largura da superfície = B Profundidade = Y Área = BY Perímetro = B + 2Y Raio hidráulico ( ) = (4)

22 Seção trapezoidal Largura da superfície (B) = b + 2ZY Área (A) = Y(b + ZY) Perímetro (P) = b + 2Y Raio hidráulico ( ) = (5) Seção triangular Largura da superfície (B) = 2ZY Área (A) = Z Perímetro (P) = 2Y Raio hidráulico ( ) = = (6)

23 Seção circular parcialmente cheio Largura da superfície = B Diâmetro da seção = D Profundidade de escoamento = = Y Área (A) = Perímetro (P) = Ângulo ( ) = Raio hidráulico ( ) = (7) Seção circular à meia seção Profundidade de escoamento = Y Diâmetro da seção = D (8)

24 Seção circular à seção plena (9) O estudo em seção circular é de grande interesse prático, pois como o escoamento em condição plena dificilmente ocorre, é necessário calcular rapidamente o raio hidráulico, a velocidade e a vazão das seções parciais (NEVES, 1979). Contudo, Manning estabeleceu uma fórmula específica, mostrada na equação 10, para os condutos condizentes de seção circular parcialmente cheia, que também pode ser analisado por questão de ângulos, e para seção circular totalmente cheia ou plena. (10) Diante desse estudo para os canais circulares, Azevedo et at., (1998) especificam como identificar a profundidade de escoamento que o conduto livre apresenta, possuindo a vazão ou a velocidade do mesmo ( Anexos A e B) Principais formas geométricas As formas das seções transversais dos canais são muito variáveis. Dentre elas utilizamse seções abertas (semicirculares, retangulares, trapezoidais, triangulares), ou fechadas (circulares, ovais, elípticas, ferradura, etc.), conforme o tipo de obra e a natureza das paredes ou do seu revestimento (Neves, 1979). Conforme Neves (1979), nas formas abertas, as seções semicirculares são usadas em calhas metálicas ou de madeira, ou em canais de concreto, e as triangulares, em geral,

25 24 somente em canais de pequenas dimensões. As formas retangulares podem ser usadas somente para canais abertos em rochas, ou executados com paredes de alvenaria, concreto ou de madeira e as formas trapezoidais são muito utilizadas para canais abertos em terreno natural, dependendo o ângulo dos taludes da natureza do mesmo. Para a forma trapezoidal existe um talude ( ), especificados na Tabela 1, que indica a inclinação das paredes laterais do canal, sendo que, se o canal não tiver revestimento à inclinação das paredes deve satisfazer ao talude natural das terras, para que haja uma instabilidade e permanência, por tal observação, esse conduto nem sempre é adotado (AZEVEDO et al., 1998). Tabela 1 Taludes usuais dos canais NATUREZA DAS PAREDES = 1:Z tg α Canais em terra, em geral, sem revestimento 1:2 a 1:5 26º34 a 11º19 Saibro, terra porosa 1:2 26º34 Cascalho roliço 1:1,75 29º45 Terra compacta, sem revestimento 1:1,5 33º41 Terra muito compacta, paredes rochosas 1:1,25 38º40 Rochas estratificadas, alvenarias de pedra bruta 1:0,5 63º26 Rochas compactas, alvenaria, concreto 1:0 90º Fonte: (AZEVEDO et al., 1998). Contudo, os condutos sob forma circular são adotados para grandes canais pelo fato estrutural e por causa dos processos de execução. Já o semicircular, frequentemente, não pode ser realizado pelo fato estrutural, dificuldade de execução ou inexistência de revestimento no caso se for escavado (AZEVEDO et al., 1998). Azevedo et al., (1998), afirmam que o valor máximo para a velocidade das águas, num conduto circular, ocorre quando o conduto está parcialmente cheio e já a maior vazão que se pode conseguir não é a que se obtém com o conduto funcionando completamente cheio. Segundo Porto (2004), os canais com seções transversais circulares são as mais empregadas na maioria das obras em que são necessárias seções fechadas, por exemplo, os coletores de esgotos, as galerias de águas pluviais e as linhas adutoras. Estes condutos fechados podem ter cobertura plana, simplesmente uma laje de cobertura, ou cobertura em formato especial. Dentre os formatos especiais, obras como de esgotamento de médio e grande porte, como interceptores e emissários de esgoto, galerias de drenagem sob aterros rodoviários etc.,

26 25 algumas vezes são desenvolvidas seções como oval normal invertido, capacete, arco de circulo alto, arco de circulo baixo, mostrados na Figura 3, em que cada forma geométrica apresenta os valores da área, do perímetro e do raio hidráulico, em função do diâmetro (D) e da altura da seção (H) (PORTO, 2004). Figura 3 Análise para seções especiais Fonte: (PORTO, 2004).

27 Distribuição da velocidade A distribuição vertical da velocidade, de modo geral, nos canais prismáticos, segue uma lei aproximadamente parabólica, com valores decrescentes com a profundidade e a máxima velocidade ocorrendo um pouco abaixo da superfície livre, podendo atingir 1/3 da profundidade, como pode ser visto na Figura 4. A velocidade média se dá, geralmente, a 3/5 da profundidade e a velocidade mínima está no fundo (DAKER, 1969; PORTO, 2004; AZEVEDO et al., 1998; BERNARDO; SOARES; MANTOVANI, 2005; CORONEL, 1975; LENCASTRE,1972; NEVES,1979; PIMENTA, 1977). Figura 4 Representação gráfica das velocidades Fonte: (PORTO, 2004) A desuniformidade nos perfis de velocidades nos condutos livres é originada pelas tensões de cisalhamento no fundo e paredes e pela presença da superfície livre, sendo assim, dependente da forma geométrica da seção (PORTO, 2004). A análise da distribuição da velocidade é dividida em duas seções, a seção transversal e a longitudinal, especificadas, respectivamente, nas Figuras 5 (A) e 5 (B). Na seção transversal a resistência das paredes e do fundo reduz à velocidade. As velocidades dos diferentes filetes líquidos que atravessam essa seção são afetadas pela ação retardadora das paredes e pela superfície livre, onde agem a tensão superficial e a resistência do ar. Portanto, a velocidade varia muito de um filete para outro, sendo maior nos mais afastados das paredes e do fundo. Na outra seção, a longitudinal, a velocidade é encontrada pela média aritmética entre as velocidades pontuais. Considerando a velocidade média em determinada seção como igual a 1, especificada na Figura 5 (B), pode ser traçado o diagrama de variação da velocidade com a

28 27 profundidade, mostrado na Figura 6 (AZEVEDO et al., 1998; CARVALHO, 2003; PORTO, 2004; NEVES, 1979). Figura 5 Ilustração da distribuição da velocidade (A) transversal e longitudinal (B) (A) (B) Fonte: (AZEVEDO et al., 1998). Figura 6 Diagrama da variação de velocidade com a profundidade Fonte: (AZEVEDO et al., 1998).

29 Limites de velocidade média Segundo Daker (1969), um canal com velocidade média muito pequena, ou com declividade de baixa escala, não impede a formação de depósitos e o desenvolvimento da vegetação, o que não só dificulta o escoamento, exigindo frequentes e custosas limpezas, como prejudica a qualidade da água. Por outro lado, para canais com velocidades médias muito grandes, ou com declividades excessivas, surgem determinas corrosões e desmoronamentos das paredes e fundo dos canais, sendo que seu valor máximo vai depender, logicamente, da natureza dessas. Contudo, um conduto em movimento uniforme, permanece entre limites estabelecidos por experiências, não devendo possuir velocidade média muito pequena, nem muito grande. A Tabela 2 mostra as velocidades limites em função do material das paredes do canal. Tabela 2 Velocidades limites em função do material das paredes do canal MATERIAL VELOCIDADE (m/s) Canal em areia muito fina 0,23 a 0,30 Canal em areia solta muito fina 0,30 a 0,45 Canal em areia grossa ou terreno arenoso pouco compactado 0,45 a 0,60 Canal em terreno arenoso comum 0,60 a 0,75 Canal em terreno sílico argiloso 0,75 a 0,80 Canal em marga, terrenos de aluviões ou detritos vulcânicos 0,80 a 0,90 Canal em terreno argiloso compacto 0,90 a 1,15 Canal em cascalho grosso, pedregulho ou piçarra 1,50 a 1,80 Canal em conglomerado, cascalho aglutinado, esquisto mole, rochas sedimentares moles, argila compacta dura 1,80 a 2,40 Canal em rocha resistente 2,40 a 2,50 Canal de concreto 4,50 a 6,00 Fonte: (NEVES, 1979; PORTO, 2004; SILVESTRE, 1983 apud BERNARDO; SOARES; MANTOVANI, 2005; CARVALHO, 2009; SILVESTRE, 1983 apud CARVALHO, 2003).

30 Equação geral de resistência Para os canais com escoamento permanente e uniforme em canais prismáticos, o cálculo, em equações de resistência é feito a partir da condição de equilíbrio dinâmico entre as forças sobre a massa d água, relacionando a velocidade média, ou vazão, através de parâmetros geométricos e da rugosidade do perímetro molhado (PORTO, 2004). Analisando um trecho de comprimento unitário ABCD, conforme a Figura 7, em movimento uniforme, a velocidade mantêm-se a custa da declividade do fundo do canal I 0, declividade essa que será a mesma para superfície livre das águas. Contudo, as forças que atuam sobre o volume de controle ABCD são a componente da força de gravidade na direção do escoamento,, as forças de pressão hidrostática e a força de cisalhamento nas paredes e fundo (PORTO, 2004). Figura 7 Forças que atuam sobre o fluido em escoamento uniforme Fonte: (Porto, 2004). Aplicando a 2ª Lei de Newton ao volume de controle, tem-se: (11)

31 30 Já que, por hipótese, o escoamento é uniforme,, e, portanto,, e como, em que A é a área molhada, P é o perímetro molhado e W é o peso, a equação 11 fica: e daí: (12) Como, para ângulos pequenos ( < 6 ), pode ser feita a aproximação: fica: (13) em que 0 é a tensão média de cisalhamento entre o fluido e o perímetro da seção em contato com o fluido (perímetro molhado). Contudo, em tubos de seções circulares retas, essa tensão média de cisalhamento também pode ser escrita como: (14) em que f é o fator de atrito, função do número de Reynolds e da rugosidade da parede. Assim, o raio hidráulico é o parâmetro que serve para levar em conta as diferenças entre seções retas de tubos circulares e canais prismáticos fazendo comparação entre as equações 13 e 14.

32 31 que após desenvolvida fica: Fazendo tem-se finalmente: (15) Esta última equação é indicada para os escoamentos turbulentos rugosos em canais e é considerada a fórmula de Chézy. Sendo essa fórmula aplicada na equação da continuidade torna-se a equação fundamental do escoamento permanente uniforme, como mostra a equação 16 (PORTO, 2004) (16) Além disso, deve-se levar em consideração que o fator de atrito é encontrado conforme a metodologia dos condutos forçados. Contudo, depois dessa aplicação de Chézy, que efetua uma aplicação matemática do escoamento uniforme em condutos livres, surgiram diversas formulações para a determinação do coeficiente C, de caráter fundamental empírico. 3.6 Fórmulas práticas para o cálculo da velocidade média Várias foram às fórmulas desenvolvidas para o cálculo da velocidade média do fluido em um canal, porém relativa de autor para autor as mais utilizadas. Para Azevedo et al., (1998); Carvalho (2009); Porto (2004); Giles (1974), as fórmulas mais utilizadas são as de Chézy e de Manning. Diante de experimentos, Daker (1969), adota como a principal fórmula a de Bazin, não só pela sua simplicidade, como, também, por ser muito conhecida entre os engenheiros hidráulicos. Segundo Neves (1979), as fórmulas

33 32 antigas, Prony, St. Venant, Eytelvein, trazem apenas interesses históricos, ao contrário das modernas que são baseadas nas experiências de Darcy e Banzi ( ). Segundo Carvalho (2003), a análise da velocidade média é encontrada pelas equações de Strickler e de Manning. Para Bernardo; Soares; Mantovani (2005) e Coronel (1975), as mais usadas são as de Chézy, Bazin e Manning. Para Lencastre (1972), as fórmulas estudadas foram de Chézy, Strickler, Bazin, e Kutter Fórmula de Bazin Os estudos comparativos de umas 700 experiências realizadas em canais de diversas naturezas, feitas por Darcy e Bazin, resultou à fórmula conhecida hoje por fórmula de Bazin, especificada na equação 17 (DAKER, 1969). (17) onde: (18) e m, o coeficiente dependente da natureza da parede e detalhado na Tabela 3. Tabela 3 Coeficientes m da fórmula de Bazin NATUREZA DAS PAREDES M Paredes muito lisas (cimento, madeira aplainada, etc) 0,06 Paredes lisas (tijolo, cantaria e pranchões) 0,16 Paredes de alvenaria 0,46 Parede mista (seção irregular em terra, cascalho) 0,85 Parede de terra comum 1,30 Paredes de terra de grande resistência (fundo de seixos, paredes gamadas) 1,75 Fonte: (DAKER, 1969; NEVES, 1979; BERNARDO; SOARES; MANTOVANI, 2005; LENCASTRE, 1972).

34 33 Essa fórmula de Bazin se aplica a qualquer forma de seção, e embora estabelecida para canais artificiais, também é aplicável aos canais naturais, se bem que com menor exatidão (NEVES,1979) Fórmula de Kennedy Segundo Azevedo et. al., (1998), R.G. Kennedy após um grande número de observações, em um estudo que abrangeu 22 canais da Índia, chegou a seguinte fórmula empírica (equação 19), para a determinação da velocidade desejável ou velocidade de equilíbrio: (19) Onde: Velocidade média crítica, ou de equilíbrio, m/s; Profundidade do canal, em m; Constante; Constante. Conforme as investigações de Kennedy, o valor de n foi estabelecido em 0,55 e o valor de foi estabelecido em 0,64, e assim especificando melhor sua dedução, como vista na equação 20 (AZEVEDO et al., 1998). (20) A idéia geral de Kennedy consistia em admitir que as condições de escoamento em um canal podiam se alterar mediante a ação da corrente, até que fosse atingida uma velocidade conveniente, dependente da profundidade (AZEVEDO et al., 1998).

35 Fórmula de Chézy com o coeficiente de Manning A fórmula de Chézy com coeficiente de Manning, detalhado na equação 21, é a mais utilizada por ter sido experimentada desde os canais de dimensões minúsculas até os grandes canais, com resultados coerentes entre o projeto e a obra construída (AZEVEDO et al., 1998). (21) onde: (22) em que n é uma característica da rugosidade da superfície, especificada na Tabela 4. Tabela 4 Valores do coeficiente n para a fórmula de Manning NATUREZA DAS PAREDES CODIÇÕES Muito boa Boa Regular Más Cimento liso 0,010 0,011 0,012 0,013 Argamassa de cimento 0,011 0,012 0,013 0,015 Aqueduto de madeira aparelhada 0,010 0,012 0,012 0,014 Aqueduto de madeira não aparelhada 0,011 0,013 0,014 0,015 Canais revestidos de concreto 0,012 0,014 0,016 0,018 Pedras brutas rejuntadas com cimento 0,017 0,020 0,025 0,030 Pedras não rejuntadas 0,025 0,030 0,033 0,035 Pedras talhadas 0,013 0,014 0,015 0,017 Paredes metálicas, lisas e semicirculares 0,011 0,012 0,028 0,030 Paredes de terra, canais retos e uniformes 0,017 0,020 0,023 0,030 Paredes de pedra lisa em canais uniformes 0,025 0,030 0,033 0,035 Paredes rugosas de pedras irregulares 0,035 0,040 0,045 - Canais de terra com grandes meandros 0,023 0,025 0,028 0,030 Canais de terra dragados 0,025 0,028 0,030 0,033 Canais com leito de pedras rugosas e com vegetação 0,025 0,030 0,035 0,040 Canais com fundo de terra e com pedras nas margens 0,028 0,030 0,033 0,035 Fonte: (CARVALHO, 2009).

36 Fórmula de Ganguillet e Kutter Diante do grande número de experiências feitas em canais naturais e artificiais, sobre os canais de pequeno porte, os engenheiros Ganguillet e Kutter estabeleceram a equação 23, sendo uma análise de grande aceitação nos EUA, Inglaterra e Alemanha, onde é muito empregada, embora esteja recentemente sendo substituída pela fórmula de Manning (NEVES, 1979). (23) onde: ( ) (24) O coeficiente C, redigido na equação 24, depende do raio hidráulico, do coeficiente de rugosidade n, especificado na Tabela 5, e ainda da declividade, cuja influência só se nota quando (NEVES, 1979). Tabela 5 Coeficientes n para a fórmula de Ganguillet e Kutter NATUREZA DAS PAREDES Paredes muito lisas (cimento alisado, madeira aplainada) Paredes lisas (tijolos, pedra aparelhada, madeira não aplainada) Paredes pouca lisas (alvenaria de pedra regular) Paredes rugosas (alvenaria de pedra bruta) Paredes de terra, ou com taludes empedrados Paredes de terra, com pedras e vegetação Paredes de terra irregulares e mal conservadas Paredes de terra muito irregulares com vegetação e lodo Fonte: (NEVES, 1979). N 0,010 0,013 0,017 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

37 Fórmula de Kutter Diante de declividades maiores que 0,0005, Kutter simplificou a equação 23 modificando o coeficiente C para a seguinte forma: (25) A Tabela 6 destaca o valor do coeficiente de Kutter C juntamente com os valores do coeficiente de rugosidade m e do raio hidráulico R h Tabela 6 Coeficientes C para a fórmula de Kutter NATUREZA DAS PAREDES C M R h Cimento cuidadosamente alisado, seção semicircular 91,6 0,12 0,61 Cimento cuidadosamente alisado, seção retangular 89,6 0,15 0,63 Tubos novos de ferro fundido, de concreto, com alguns decímetros de diâmetro 87,8 0,175 0,63 Madeira aplainada, seção retangular 86,2 0,20 0,66 Madeira bruta, seções retangulares e trapezoidais; paredes de alvenaria aparelhada 82,8 0,25 0,68 Tubo de ferro fundido novos 81,8 0,275 0,68 Alvenaria comum, construção cuidadosa (grandes curvas, água um pouco turva, algum depósito de limo) 75,8 0,35 0,71 Tubos de ferro fundido com muitos anos de serviço 76,7 0,375 0,72 Tubos de ferro fundido com muitos anos de serviço, muito incrustados, ou com águas de esgoto; canais de alvenaria ordinária, sem argamassa 70,6 0,45 0,74 Alvenaria comum, com má conservação 66,8 0,55 0,77 Alvenaria mal executada e conservada; fundo coberto de lodo 59,2 0,75 0,81 Alvenaria abandonada; fundo com lodo 48,7 1,00 0,79 Canais abertos em rocha, mal desbastada, com pequenas dimensões; canais de terra com seções regulares e curvas amplas 43,3 1,25 0,82 Canais de terra mal conservados, com vegetação e seixos no fundo, cursos d água naturais com leito de terra 35,4 1,75 0,84 Canais de terra abandonados; cursos d água naturais, com leito pedregoso 27,8 2,50 0,88 Fonte: (NEVES, 1979; PORTO, 2004; LENCASTRE, 1972).

38 37 Essa fórmula de Kutter é bastante utilizada para o cálculo dos condutos das redes de esgoto utilizando m = 0,35 (NEVES, 1979) Fórmula de Forchheime O Prof. Forchheime, depois de haver realizado um considerável número de investigações a respeito do escoamento em condutos livres, abrangendo, em suas observações, canais grandes e pequenos, chegou à conclusão de que a fórmula de Manning poderia ser vantajosamente modificada para a expressão escrita na equação 26. (26) Sendo, detalhado na Tabela 7, praticamente igual a 1/n, cujo é um coeficiente de valores idênticos aos valores da Tabela 4 (AZEVEDO et al., 1998). Para Azevedo et al., (1998), essa equação 26 estabelece resultados mais satisfatórios para o cálculo da velocidade média em canais com escoamento uniforme. Tabela 7 Coeficientes NATUREZA DAS PAREDES para a fórmula de Forchheimer Canais com revestimento de cimento liso ou de madeira 80 a 90 Canais revestidos de alvenaria de pedra, em boas condições 70 Canais revestidos de concreto, novos sem alisar 60 Canais com revestimento pouco liso de cimento, ou de alvenaria comum 50 Canais de terra, em boas condições 40 Cursos d água naturais 24 a 30 Fonte: (NEVES, 1979).

39 Fórmula Universal Essa equação é baseada na equação de Chézy (equação 15) modificando o coeficiente C, como especificado na equação 27. (27) Sendo e a rugosidade equivalente do conduto, por exemplo, para parede de concreto extraordinariamente liso, o valor da rugosidade fica de 0,0003 a 0,0008 metros, e para concreto com revestimento normal o valor da rugosidade fica de 0,0010 a 0,0015 metros (AZEVEDO et al., 1998) Fórmula de Gauckler-Strickler A equação 28 foi comparada a fórmula de Manning e desenvolvida por Gauckler e Strickler, sendo assim denominada de fórmula Gauckler-Strickler. (28) onde: (29) Sendo e a rugosidade absoluta da parede e K o coeficiente relacionado ao tipo das paredes, detalhado na Tabela 8.

40 39 Tabela 8 Coeficientes K para a fórmula de Gauckler-Strickler NATUREZA DAS PAREDES K Canais com revestimento de concreto bruto 53 a 57 Canais com bom revestimento, bem alisado 80 a 90 Galerias de concreto, lisas 90 a 95 Galerias escavadas em rocha 25 a 45 Galerias com fundo e abóbada de concreto comprimido, paredes laterais de alvenaria 85 a 90 de pedra Galeias com fundo e paredes laterais com revestimento, abóbada sem revestimento 55 Canais antigos com depósitos ou vegetação 43 a 52 Canais de terra 30 a 40 Canais com fundo não revestido: seixos grandes 35 seixos médios 40 pedra fina 45 pedra fina e areia 50 areia fina Até 90 Canais de alvenaria bruta 50 Canais de alvenaria comum 60 Canais de tijolos ou pedra aparelhada 80 Canais muito lisos Até 90 Rios e riachos: Fundo rochoso, rugoso 20 Medianamente rugoso 20 a 28 Fonte: (NEVES, 1979 apud CARVALHO, 2009). 3.7 Perdas por evaporação e por infiltração No planejamento de um grande canal, deve-se ter em vista as perdas de água por evaporação e por infiltração (DAKER, 1976). Por evaporação, a perda depende da latitude, altitude, situação e extensão da superfície exposta etc. Por infiltração, a perda depende da natureza do solo (canais sem revestimento) ou do revestimento do canal. Assim, nos canais sem revestimento escavados em solos argilosos

41 40 essa perda pode ir a 1 mm por dia, em solos pouco permeáveis chega a 8mm, e em solos arenosos de 20 a 60 mm por dia (DAKER, 1976). As perdas por infiltração em canais sem revestimentos podem ser consideravelmente reduzidas pelo tratamento com impermeabilizantes químicos, como por exemplo, a soda cáustica. Contudo a concentração do impermeabilizante é determinada em ensaios de laboratórios, podendo o canal entrar em serviço uns três dias após o tratamento (DAKER, 1976). Contudo, costuma-se desprezar a perda por evaporação e de infiltração, no caso de canais muito pequenos e curtos, de modo que a infiltração esteja relacionada a canais escavados em solos compactados em que a água circule continuamente (DAKER, 1976). 3.8 Canais com seção econômica Para Carvalho (2003), a seção de mínima resistência, ou seção de menor perímetro molhado, ou ainda, seção econômica ou de máxima eficiência, é aquela que para determinada área, rugosidade e declividade, a vazão é máxima. A maior economia no projeto de um canal se obtém empregando a maior velocidade compatível com a natureza das paredes; as grandes velocidades, entretanto, requerem natureza ou revestimento de paredes com grandes resistências, de modo que muitas vezes se deve comparar o custo de uma seção maior, sem revestimento, com o de uma seção de menor tamanho, com revestimento (Neves, 1979). Segundo Azevedo et al., (1998), seções economicamente ideais para os condutos livres são seções circulares e semicirculares pelo motivo de apresentarem o menor perímetro molhado e o maior raio hidráulico por unidade de área do conduto e consequentemente uma maior vazão.

42 41 4 MATERIAIS E MÉTODOS No decorrer deste trabalho, foi utilizado registro de literaturas de hidráulica relacionadas ao fluido em regime de escoamento uniforme em canais ou condutos livres e aos sistemas hidráulicos. Contudo, foram abordados conhecimentos desde os principais autores e princípios como Bernoulli e até princípios mais complexos, também de vital importância, como o de Chézy e de Manning. A formulação deste trabalho dependeu essencialmente da didática tratada às equações e definições, ou seja, sendo essa didática considerada objetiva, oferecendo ao leitor uma linguagem clara e de fácil interpretação, sendo decisivamente contribuinte para o aprimoramento do conhecimento daqueles que queiram a fazer o uso deste.

43 42 5 RESULTADOS 1. Determine as velocidades médias, diante dos estudos de Bazin, Manning e Gauckler- Strickler, para um conduto sobre forma trapezoidal com inclinação dos taludes, largura do fundo de 1 m, altura d água igual a 0,7 m, inclinação de 0,1% e com revestimento de concreto liso. Dados da questão: Talude 1:2; b = 1 m; y = 0,7 m; I = 0,1 %; Material de revestimento: concreto liso. Analisando o raio hidráulico da seção trapezoidal, temos: Raio hidráulico ( ) = Para Bazin, a identificação do coeficiente C é dependente do coeficiente m, visto na Tabela 3 de 0,06. 4 Para Manning, a identificação do coeficiente C é dependente do coeficiente n, considerando uma condição boa, observado na Tabela 4 de 0,011.

44 43 Calculando C para Manning tem-se: Para Gauckler-Strickler, a identificação do coeficiente K feito uma média, visto na Tabela 8, é Considere um conduto livre com seção transversal circular. O mesmo apresenta uma vazão de 3 m 3 /s, um diâmetro de 2 m e uma declividade de 0,0004 m/m. Sendo seu material de revestimento argamassa de cimento, determine a velocidade de escoamento e a profundidade em que o líquido se encontra. Dados da questão: Q = 3 m 3 /s; D = 2 m; I = 0,0004 %; n = 0,013. Para a análise do coeficiente n quanto ao material de revestimento do conduto, argamassa de cimento, foi feita uma média dos valores estabelecidos na Tabela 4 e assim, utilizado na equação do Anexo A com relação à vazão, descrita abaixo.

45 44 Com o resultado acima e em observação ao Anexo A, pode-se verificar que a relação entre a profundidade de escoamento e o diâmetro é de 0,81 e consequentemente uma profundidade de escoamento de 1,62 metros. m Com a determinação da relação entre a profundidade de escoamento e o diâmetro de 0,81, observando o Anexo B com relação à velocidade encontra-se um valor de 0,4524. Conclui-se que o conduto livre está sobre uma condição uniforme apresentando velocidade de 1,10 m/s a uma profundidade de escoamento de 1,62 m.

46 45 6 CONCLUSÃO Pode-se observar que, os estudos abordados por autores anteriormente, futuramente eram aprofundados e melhorados por outros pesquisadores, diante de novos experimentos e novos conhecimentos da época, como por exemplo, os novos valores atribuídos para o coeficiente C, com o intuito à determinação da velocidade média, visto que todas as velocidades eram baseadas na equação de Chézy. Sendo a fórmula de Chézy com coeficiente de Manning a mais utilizada pelo fato de amplas análises de projetos até obras construídas e adotando valores para a natureza da parede diante de condições muito boas a más. Entretanto, cada pesquisador continha à sua análise seu próprio valor do coeficiente C, condizente a elaboração da sua fórmula, que consequentemente o mesmo era especificado em tabelas, sendo ele estudado de acordo com material da parede do conduto livre. Contudo, observa-se no decorrer deste trabalho uma série de fatores que influência diretamente no escoamento de um fluido através de um conduto livre ou canal, estando ele em condição aberta ou fechada, que para cada caso, é admissível considerar um fator de influência predominante de modo que atue diretamente na medição e no controle da vazão, desde que, partindo dos teoremas iniciais, as condições necessárias estejam sendo obedecidas. Desta forma, esta análise sobre condutos livres verificou que as literaturas pesquisadas foram complementadas, de modo que fosse possível propiciar um material didático amplo capaz de suprir as necessidades daqueles que vierem a fazer uso deste.

47 46 REFERÊNCIAS AZEVEDO NETTO, J. M. Manual de hidráulica. 8ª Ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1998 AZEVEDO NETTO, J. M. Manual de hidráulica. 6ª Ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1973, 3ª reimpressão, BAPTISTA, M. LARA, M. Fundamentos da engenharia hidráulica. 2ª ed. Editora UFMG, 1ª reimpressão, BERNARDO, S. SOARES, A.A. MANTOVANI, E.C. Manual de irrigação. 7ª ed. Viçosa: Editora UFV, CARVALHO, J. A. Hidráulica básica. In: MIRANDA, J. H. PIRES, R.C.M. (Ed.). Irrigação. Piracicaba: FUNEP, Cap.8, p º vol. CARVALHO, D. F. Hidráulica aplicada. Rio de Janeiro, 2009, 156p. Material didático Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro. Disponível em: < Acesso em 23 nov CORONEL, S. TRUEBA. Hidráulica. 13ª Ed. C. E. C. S. A, DAKER, A. A água na agricultura: Manual de hidráulica agrícola, Hidráulica aplicada à agricultura. 5ª ed. Rio de Janeiro: Freitas Bastos S.A., º vol. LENCASTRE, A. Manual de hidráulica geral. São Paulo, Edgard Blücher, Ed. Da Universidade de São Paulo, LINSLEY, Ray Keyes, 1917 Engenharia de recursos hídricos [por] R. K.Linsley [e] J. B. Franzini; tradução e adaptação: Eng.º Luiz Américo Pastorino. São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, Ed. Da Universidade de São Paulo, 1978.