Teoria dos Conjuntos

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1 1 Teoria dos Conjuntos Conjunto é um conceito primitivo, portanto sem definição. A ideia de conjunto está relacionada a um grupo ou agrupamento em que a ordem ou a repetição não são levadas em consideração. Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Naturais Representado pela letra maiúscula N, este conjunto abrange todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, } Conjunto dos Números Inteiros Representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é formado por todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos negativos. Z = { -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, } Conjunto dos Números Racionais Representado pela letra Q, o conjunto dos números racionais engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos e os números decimais infinitos periódicos (aqueles que repetem uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente, também conhecidos como dízimas periódicas). Q = {p/q; p e q Z e q 0} Conjunto dos Números Irracionais Formado pelos números decimais infinitos não-periódicos representado pelo símbolo Q. Exemplos: o número π (3, ), resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro) e todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2. Conjunto dos Números Reais Representado pela letra R, o conjunto dos números reais é formado por todos os conjuntos descritos anteriormente, sendo a união do conjunto dos racionais com os irracionais. Conjunto dos Números Imaginários Formado pelas raízes de índice par e base negativa. 4 Ex: 2, 7,... A união dos números Reais (R) e dos números Imaginários (I) forma o CORPO DOS COMPLEXOS. Símbolos de exclusão. (*) exclui o zero do conjunto. (+) exclui os números negativos ( - ) exclui os números positivos

2 2 Representação de Conjuntos Formas Explícitas: Enumeração ou Listagem Os elementos são colocados entre chaves. Ex: A= {1,2,3,4} B = {2,2,2,2,2} Diagrama de Venn C = Formas Implícitas: Propriedades O conjunto pode ser determinado por uma sentença e pela condição de existência. Ex: D = {x N : x < 5} F = {x /x é par} Intervalos numéricos É o conjunto de todos os números REAIS compreendidos entre dois limites Número de elementos Também chamado de Cardinal, o número de elementos do conjunto A pode ser representado por n(a). Ex: A = {1,2,1,2,1,2},n(A) = 2. B = {1,2,3,5}, n(b) = 5. Igualdade entre conjuntos Dois conjuntos são iguais se e somente se tiverem os mesmos elementos. Relação de pertinência Se x é um elemento do conjunto A então podemos dizer que x A. Ex: 2 {1,2,3,4} 3 {1,2,4} Relação de subconjuntos Se todos os elementos de um conjunto A também forem elementos de um conjunto B então A é um subconjunto (parte) de B ou AcB. Ex: {1,2,3} c {1,2,3,4,5,6} A c A Obs: Partes impróprias {, qualquer que seja o conjunto A. c A Então concluímos que {1,2,3} mas c {1,2,3}.

3 3 CONJUNTOS DAS PARTES Seja o conjunto A = { 1, 2 }. Os subconjuntos de A, são: {1} ; {2} ; {1, 2} ;. O conjunto das partes de A que se indica por P(A) é o conjunto cujos elementos são subconjuntos de A: P(A) = { {1} ; {2} ; {1, 2} ; } P(A) = {x A/ x A} Observações: (1) O número de elementos de um conjunto das partes é dado por 2 n, onde n é o número de elementos do conjunto A. Assim se A = {1, 2} tem-se que n [P(A)] = 22 = 4 (2) Se A = {2}, então P(A) = { {2}, { }} (3) Se A =, P(A) = { }, que não é vazio. Exercícios: 01. Escreva em notação simbólica: a) a é elemento de A. b) A é subconjunto de B. c) A contém B. d) A não está contido em B. e) A não contém B. f) a não é elemento de A 02. Escreva os elementos de cada um dos conjuntos: a) conjunto dos números naturais entre 8 e 12 (inclusive); b) conjunto das vogais do alfabeto; c) conjunto dos números pares entre 0 e 18 (exclusive); d) conjunto dos números primos pares positivos; e) conjunto das frações próprias positivas de denominador 7; f) {x / x 2 1 = 0}; g) {x / x é letra da palavra ARARA}; h) { x / x é algarismo de 2 134}.

4 4 03. Seja A o conjunto { 3, 5, 7, 9,11, 12}, enumere cada um dos seguintes, conjuntos: a) { x A / x 2 9} = b) { x A / x + 9 = 16} = c) { x A / x é primo} = d) { x A / x 2 12x + 35 =0} = e) { x A / (x +1) A } = 04. Se A = { a, e, i }, diga se as proposições abaixo são corretas ou não: a) a A ( ) b) a A ( ) c) {a} A ( ) d) {a} A ( ) 05. Construa todos os subconjuntos dos conjuntos: a) { 0, 1, 2 } = b) { 1, { 2,3}} = c) { R, O, M, A} = 06. Dados os conjuntos A = { x / x é par positivo e menor que 7} e B = { 2, 4, 6 }, assinale V (verdadeiro) ou F ( falso). a) A B ( ) b) B A ( ) c) A = B ( ) 07. Diga se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas: a) { 1, 2, 3 } = { 3, 2, 1 } ( ) b) { 1, 2, 1, 2 } {1, 2, 3 } ( ) c) { 4 } { { 4 } } ( ) d) { 1, 2, 3 } ( ) 08. Classifique os conjuntos abaixo como finitos ou infinitos. a) o conjunto dos números inteiros múltiplos de 5; b) o conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2; c) o conjunto das raízes de x 6 + x 5 x 2 = 0; x d) / x N e x 5 ; 2 x e) / x N e x N. y

5 5 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Sejam os conjuntos: A = { 2, 3, 5, 7, 8 } B = { 0, 1, 3, 5 } e C = { 9 } UNIÃO: Denomina-se união de dois conjunto A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A ou a B. A B = {x x A ou x B } A B = { 0, 1, 2, 3, 5, 7, 8 } Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades: A A = A A = A A B = B A (A B) C = A ( B C ) A B A B = B INTERSECÇÃO: Denomina-se intersecção de dois conjuntos A e B o conjunto formados pelos elementos pertencentes a A e a B. A B = {x x A e x B } A B = { 3, 5 } Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades: A A = A A = A B = B A (A B ) C = A (B C ) A B A B = A Dois conjuntos diz-se disjuntos se a interseção entre eles é vazia, isto é: A C = DIFERENÇA: A B = { x x A e x B } A B = { 2, 7, 8 } e B A = { 0,1} Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades: A A = A = A A = B A B A = COMPLEMENTAR: Quando dois conjuntos A e B são tais que B A, Damos à diferença o nome de complementar de B em A B A C A B = A B lê-se complementar de B em A

6 6 Exemplo: Considere os conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 3, 4 } Como B A C A B = A B = {1, 2} Obs.: Dado um conjunto P contido no universo U, chama-se complementar de P, simplesmente o U P cuja representação simbólica pode ser feita por P ou P. Ou seja: P = {x / x U e x P} Exemplos: 01. se U = { 1, 3, 5, 9, 10 } e P = {1, 9 }, P = { 3, 5, 10 } 02. se U = N* e P = { 2, 4, 6, 8,...}, P = { 1, 3, 5, 7,... } 03. se U = N e P = N*, P = { 0 } Exercícios de Fixação 01. Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 pessoas, constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 10 pessoas não consomem nem A e nem B. Que parte desta população consomem tanto o produto A quanto o produto B? 02. Sejam A e B dois conjuntos tais que: n(a) = 12; n(b) = 10; n(a B) = 15. Determine: a) n(a B) = b) n(b A) = c) n(a B) = 03. Num teste para verificar o aproveitamento de 100 estudantes do terceiro ano do Ensino Médio, observou-se o seguinte resultado entre os que conseguiram nota satisfatória em uma só disciplina: Matemática, 18; Física, 20; Química, 22. Em duas das disciplinas: Matemática e Química, 15; Química e Física, 17; Matemática e física, 9. Nas das três disciplinas avaliadas, 6 alunos. Com estas informações: a) faça o diagrama de Venn para a situação; b) obtenha o número estudantes gostam de pelo menos duas disciplinas avaliadas; c) Determine n(m) = n(f) = n(q) = n( M ) = d) Calcule n(m F Q) 04. Foi realizada uma pesquisa numa indústria X, tendo sido feitas a seus operários apenas duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim à primeira pergunta, 80 responderam sim à segunda. 35 responderam sim a ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas feitas. Qual o número de operários da indústria? 05. Em uma pesquisa realizada, foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas entrevistadas fumam a marca A de cigarros; 50% fumam a marca B; 45% fuma a marca C; 20% fumam A e B; 30% fumam A e C; 25% fumam B e C; 8% fumam A, B e C. Que porcentagem das pessoas fumam exatamente duas marcas.

7 7 Vestibulares 01. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}, o conjunto (A - C) U (C - B) U (A B C) é: a) {a, b, c, e} b) {a, c, e} c) A d) {b, d, e} e) {b, c, d, e} 02. Dados os conjuntos A = {1, 2, -1, 0, 4, 3, 5} e B = {-1, 4, 2, 0, 5, 7} assinale a afirmação verdadeira: a) A U B = {2, 4, 0, -1} b) A (B - A) = Ø c) A B = {-1, 4, 2, 0, 5, 7, 3} d) (A U B) A = {-1, 0} e) Nenhuma das respostas anteriores 03. Dados os conjuntos A = {x IΝ / - 1< x 4} e B = {x Ζ 0 x < 2}, o conjunto A B é igual a: a) {-1; 0; 1} b) {-1; 0; 1; 2} c) {0; 1} d) {1; 1; 2} e) {-1; 0; 1; 2; 3; 4} 04. No último clássico Corinthians Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos torcedores, eram corintianos, eram paulistas e que apenas paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se: a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio? b) Quantos cariocas foram ao estádio? c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio? d) Quantos flamenguistas foram ao estádio? e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas? f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos? g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas? h) Quantos eram corintianos ou paulistas? i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas? 05. As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir: a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas? c) Quantos não consumiram a cerveja S? d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S?

8 8 06. Dos 30 candidatos a vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são fumantes e 7 são mulheres que não fumam. Quantos candidatos masculinos não fumam? 07. Estamos acompanhando a vacinação de 200 crianças em uma creche. Analisando as carteiras de vacinação, verificamos que 132 receberam a vacina Sabin, 100 receberam a vacina contra sarampo e 46 receberam as duas vacinas. Vamos orientar os pais das crianças, enviando uma carta para cada um, relatando a vacina faltante. a) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam a vacina Sabin? b) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam a vacina contra sarampo? c) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam as duas vacinas? 08. Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: entrevistados leem o jornal A entrevistados leem o jornal B entrevistados leem o jornal C entrevistados leem os jornais A e B entrevistados leem os jornais A e C entrevistados leem os jornais B e C entrevistados leem os três jornais pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais. Considerando-se esses dados, é CORRETO afirmar que o número total de entrevistados foi: 09. Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos, nenhum esporte. O número total de alunos é: a) 230 b) 300 c) 340 d) No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é: a) 778 b) 120 c) 658 d) Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos; 30 os produtos P1 e P2; 50 os produtos P2 e P3; 60 os produtos P1 e P3; 120 o produto P1; 75 o produto P2 Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-se: a) Quantas consumiam somente o produto P3? b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos? c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não P3?

9 9 12. (Faap) Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um deles, 260 o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos fizeram a prova? 13. (UEFS-03-2) Dentre os candidatos a um emprego que fizeram o teste de seleção, verificou-se que: 150 acertaram a 1 a ou a 2 a questão; 115 não acertaram a 1 a questão; 175 não acertaram a 2 a questão; Quem acertou a 1 a questão não acertou a 2 a. Com base nessas informações, pode-se concluir que a quantidade de candidatos que fizeram o teste foi igual a: a) 200 b) 220 c) 265 d) 265 e) (UEFS-05.2) Duas pesquisas, sobre o desempenho do governo em relação aos itens desenvolvimento econômico e desenvolvimento social, foram realizadas em épocas diferentes, envolvendo, em cada uma delas, 70 habitantes de uma cidade. O resultado revelou que: na 1 a pesquisa, 20 pessoas avaliaram o desempenho na economia e o desenvolvimento social como ruins 40 pessoas avaliaram o desempenho na economia como bom e 25 pessoas avaliaram o desenvolvimento social como bom; na 2 a pesquisa, 20% das pessoas que avaliaram, na 1 a pesquisa, o desempenho na economia e o desenvolvimento social como bons avaliaram os dois itens como ruins e os outros entrevistados mantiveram a mesma opinião da pesquisa anterior. Sendo assim, o número de pessoas que avaliaram, na 2 a pesquisa, os dois itens como ruins foi igual a: a) 23 d) 28 b) 25 e) 29 c) (UESC-07) Analisando-se a parte hachurada representada no diagrama e as afirmações: I. A B C II. A B C III. A B C IV. A B C pode-se concluir que a alternativa correta é a: 01) I 02) III 03) IV 04) I e III 05) II e IV U A C B

10 Sendo A =[1;5[, B = ]3;7] e C = [2;6], então o conjunto (C UB) (A C) é igual a: a) [5;7[ b) [5;7] c) ]5;7] d) ]5;7[ e) [2;5] 17. Dados os conjuntos A, B e C, tais que: n(b C) = 20 ; n(a B) = 5 ; n(a C) = 4 ; n(a B C) = 1; n(a B C) = 22. Nestas condições, o número de elementos de A - (B C) é igual a: a) 0 b) 1 c) 4 d) 9 e) (INFO) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era: I - o quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B; II - o dobro do número de pessoas que gostavam de A; III - a metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B. Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a: a) 48 b) 35 c) 36 d) 47 e) (UNIRIO) Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(a) = 28, n(b) = 21, N(C) = 20, n(a B) = 8, n(b C) = 9, n(a C) = 4 e n(a B C) = 3. Assim sendo, o valor de n((aub) C) é: a) 3 b) 10 c) 20 d) 21 e) estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi: a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5 Valeu Equipe!!!!!!!! Só os malhados!!!!!!

11 11 Pares Ordenados Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números reais, numa certa ordem. Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos: Assim: Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1 o elemento e y é o 2 o elemento. Observações 1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: Exemplos: 2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s. Representação gráfica de um Par Ordenado Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano. Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado. Coordenadas Cartesianas Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos: A (3, 5) 3 e 5 são as coordenadas do ponto A. Denominamos de abscissa o 1 o número do par ordenado, e ordenada, o 2 o número desse par. Assim: Plano Cartesiano: também conhecido como sistema de coordenadas retangulares; Trata-se de um conceito introduzido no século XVII pelo matemático e filósofo francês René Descartes, para representar graficamente o par ordenado (x o; y o ). Consiste basicamente de dois eixos orientados que se interceptam segundo um angulo reto, num ponto denominado origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado eixo das ordenadas. Denominamos o ponto O de origem do plano cartesiano, sendo nulas a sua abscissa e a sua ordenada, ou seja, O(0;0).

12 12 Observe que o plano cartesiano pode ser subdividido em quatro regiões, que são denominadas Quadrantes. Temos então o seguinte quadro resumo: QUADRANTE ABSCISSA ORDENADA 1 o quadrante o quadrante o quadrante o quadrante + - Obs: 1) a equação do eixo Ox é y = 0 e do eixo Oy é x = 0. 2) o gráfico de y = x é uma reta denominada bissetriz do primeiro quadrante. 3) o gráfico de y = -x é uma reta denominada bissetriz do segundo quadrante. Localização de um Ponto Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a sequência prática: O 1 o número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. O 2 o número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo: Localize o ponto (4, 3). Produto Cartesiano Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1 o elemento pertença ao conjunto A e o 2 o pertença ao conjunto B. Assim, obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)} Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por: x A e y B. Logo: Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde x A e y B.

13 13 Os elementos de A devem assumir a posição da abscissa, e os elementos de B da ordenada. Portanto, temos que A x B: {(1, 2); (2, 2); (3, 2); (4, 2); (1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3)} Também podemos realizar o produto de B x A e verificar que os pares formados são diferentes, concluindo que A x B B x A. Observe: B x A {(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4)} Observe que temos a formação de 8 pares ordenados nas duas multiplicações. Isso decorre do fato de que o conjunto A é formado por 4 elementos e o conjunto B por dois elementos. Assim sendo, constituímos a multiplicação: n(a x B) = n(a). n(b) (A x B) = 4.2 n(a x B) = 8 Obs: Ver em sala de aula gráficos de produto cartesiano. Exercícios de fixação Questão 01 (FCMSCSP) Um entregador de jornais, para localizar os endereços dos assinantes, usa pares ordenados do tipo (rua; número), obtidos do produto cartesiano dos conjuntos R: ruas do bairro e N: números das residências. Se R e N têm o mesmo número de elementos, no dia em que ele entregar jornais, em todos os endereços determinados pelo produto cartesiano R. N, o número de ruas que ele atende é: a) 37 b) 40 c) 41 d) 43 e) 51 Resposta: C Questão 02 (PUC) A = {3,4,6}, B = {1,2}, C = { 3,6,9,12}. Determine (C-A) x B Resposta: {(9,1); (9,2); (12,1); (12,2)} Questão 03 (FCMSCSP) Sejam A e B conjuntos não vazios. Se A x B tem 12 elementos então A U B pode Ter no máximo: a) 7 b) 8 c) 11 d) 12 e) 13 Resposta: E Questão 04 (OSEC-SP) Num produto cartesiano IR x IR, os pares ordenados (3x + y, 1) e (7, 2x 3y) são iguais. Os valores de x e y são, respectivamente: a) 1 e 2 b) -1 e 2 c) 2 e 1 d) -2 e 1 e) -1 e -2 Resposta: C

14 14 Relação Binária Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B, a qualquer subconjunto de AxB. Em termos simbólicos, sendo uma relação de A em B, podemos escrever: = {(x;y) AxB ; x y } Ex: = { (0;3), (2;5), (3;0) } é uma relação de A = { 0;2;3;4} em B = {3;5;0}. NOTAS: 1) AxB 2) o conjunto A é o conjunto de partida e B o conjunto de chegada ou contradomínio. 3) se (x;y), então dizemos que y é imagem de x, pela relação 4) a expressão x y equivale a dizer que (x;y) 5) dada uma relação = { (x;y) AxB; x y }, o conjunto dos valores de x chama- se domínio da relação e o conjunto dos valores de y chama-se conjunto imagem da relação. 6) o número de relações possíveis de A em B é dado por 2 n(a).n(b). 7) Dada uma relação {(x,y) AxB; x y}, define-se a relação inversa -1 como sendo: -1 {(y,x) xa; y }. Ex: F = { (0,2), (3.5), (4,8), ( 5,5) } F -1 = { (2,0), (5,3), (8,4), (5,5) }. Exercícios de fixação 01. Sendo A = {x Î N; 1 < x < 4} e B = {x Î Z; 5 < x < 10}, o conjunto imagem da relação S = {(x,y) Î AXB; x + y = 9} é: a) {4,5,6} b) {6,7} c) {5,6,7} d) {7} e) {1} 02. Sendo n(a) = 2 e n(b) = 3, então o número de elementos de p(a) X p(b) é: a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) UFBA - Sejam: A = { 1, 5 } ; B = { -1, 0, 1 }; R = {(x, y) Î AxB } e F = conjunto dos pontos do plano, simétricos aos pontos de R em relação à primeira bissetriz. Dos conjuntos e relações dados, podese afirmar: I) A imagem da relação inversa de R é o conjunto A. II) O domínio de F é o conjunto B. III) R tem 5 elementos. IV) Em F há pontos pertencentes ao eixo Ox.

15 15 V) Existe um único ponto de R que pertence à primeira bissetriz. São verdadeiras: a) todas b) nenhuma c) III e IV d) I, II e V e) somente I 04. UEFS - Sendo A = { 1, 3 } e B = [-2, 2], o gráfico cartesiano de AxB é representado por: a) 4 pontos b) 4 retas c) um retângulo d) retas paralelas a Ox e) dois segmentos de reta 05. Sabendo-se que n(axb) = 48, n(bxc) = 72, n(p(a)) = 256, podemos afirmar que n(axc) é: a) 64 b) 72 c) 96 d) 128 e) UFCE - Dado um conjunto C, denotemos por n(p(c)) o número de elementos do conjunto das partes de C. Sejam A e B dois conjuntos não vazios, tais que n(p(axb)) = 128 e n(b) > n(a). Calcule n(p(b)) / n(p(a)). 07. Sejam: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12,. 62, 64} e B = {(m, n) A x A m + n = 64}. O número de elementos de B é igual a: 08. (Santa Casa-SP) Sejam A e B conjuntos não vazios. Se A B tem 12 elementos, então A B pode ter, no máximo, quantos elementos? a) 7 b) 8 c) 11 d) 12 e) (UFMT) Sejam os conjuntos A e B tais que A B ={( 1,0),(2,0)( -1,2 ),(2,2 ),(2,3)( 1,3)}. O número de elementos do conjunto A B é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

16 (F.C.Chagas-BA) Dados os conjuntos A={0,1}, B={1,2} e C={0,2}, então (A B) (B C) é o conjunto: a) φ b) {(1,1),(1,2)} c) {(0,1),(2,0),(2,2)} d) {(1,1),(0,2),(2,2)} e) {(0,1),(0,2),(1,1)} 11. (UFPA) Dados os conjuntos A = {a,b,c} e B = {a,b}, qual dos conjuntos a seguir é uma relação de A em B? a) {(a,a),(b,b),(c,c)} b) {(a,a),(b,b),(b,c)} c) {(a,a),(b,b),(a,c)} d) {(a,a),(b,b),(c,a)} e) {(c,b),(b,c)} 12. (Mack-SP) Sejam A={0,1,2,3}, B={1,2,4,5} e a relação R = {(x, y) A B y = 2x 1}. O domínio e a imagem dessa relação são: a) {1,3} e {1,5} b) {0,1,2} e {2,4} c) {0,1,2,3} e {1} d) A e B e) {0,2} e {4,5} 13. (UFAL) No produto R R os pares ordenados (3x + y;1) e (7;2x 3y) são iguais. Os valores de x e y são, respectivamente: a) -2 e 1 b) 2 e 1 c) 3 e 4 d) 5 e 3 e) 4 e (UFPB) Sejam A = {x IR 0 x 2} e B = {x IR 0 x 3}. Quantos pares ordenados, cujas coordenadas são todas inteiras, existem no produto cartesiano A B? a) 12 b) 10 c) 9 d) 8 e)5

17 17 Função O estudo do produto cartesiano serviu de base para aprendermos sobre as relações. Estas agora são o alicerce para o estudo das funções, por isto, para que você assimile melhor este conceito, é importante que você revise os tópicos sobre produto cartesiano e relações. As funções nada mais são que um tipo particular de relação que possuem uma propriedade específica. Para iniciarmos o estudo das funções vamos começar analisando a relação, cujo diagrama de flechas pode ser visto ao lado: Observe que todos os elementos do conjunto A possuem uma flecha em direção a um único elemento do conjunto B. Em outras palavras, não há no conjunto A qualquer elemento que não esteja associado a um elemento do conjunto B e os elementos de A estão associados a apenas um elemento de B. Por possuir tal propriedade, dizemos que esta relação é uma função f de A em B representada por: Domínio da Função Ao conjunto A damos o nome de domínio da função. O domínio é o conjunto de partida. Ele composto de todos os elementos do conjunto de partida. Neste nosso exemplo o domínio da função f é representado por D(f) = {-3, 0, 3}, ou seja, o domínio desta função contém todos os elementos do conjunto A. Como supracitado, para que tenhamos uma função, todos os elementos do domínio devem estar associados a um e somente um dos elementos de B. Contradomínio da Função Ao conjunto B damos o nome de contradomínio da função. O contradomínio é o conjunto de chegada. Ele composto de todos os elementos do conjunto de chegada. Em nosso exemplo o contradomínio da função f é representado por CD(f) = {0, 9, 18}, isto é, o contradomínio desta função contém todos os elementos do conjunto B. Segundo o conceito de função não é necessário que todos os elementos de B estejam relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto B o elemento 18 não recebe nenhuma flecha, isto é, não está relacionado a qualquer elemento de A. Uma outra coisa que deve ser observada é que em uma função os elementos do contradomínio podem receber mais de uma flechada, se associando, portanto, a mais de um elemento do domínio. Como exemplo temos o elemento 9 que está associado aos elementos do domínio -3 e 3. Imagem da Função A imagem da função dependendo do caso é o próprio contradomínio, ou então é um subconjunto seu. Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. No exemplo que estamos utilizando o conjunto imagem é representado por Im(f) = {0, 9}, pois 0 e 9 são todos os elementos do CD(f) que estão associados a algum elemento do D(f). Em resumo para a função de exemplo temos:

18 18 Domínio da Função: D(f) = {-3, 0, 3} Contradomínio da Função: CD(f) = {0, 9, 18} Conjunto Imagem da Função: Im(f) = {0, 9} Nesta função exemplo o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, pois o elemento 18 de B não está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do domínio. Definição de uma Função Esta função f de A em B,, é definida como: Ou ainda como: Veja também que representamos f(x) ou y em função de x. A variável f(x) ou y é chamada de variável dependente, pois depende de x, já a variável x é chamada de variável independente, pois independentemente de y, pode representar qualquer elemento do domínio. A definição da função leva em conta tanto o domínio quanto do contradomínio, relacionando-os. O conjunto imagem Im(f), depende não só da regra de associação, no caso f(x) = x 2, como também do D(f) e do CD(f). Omissão do Domínio e do Contradomínio na Definição de uma Função É provável que em muitos livros e em outros sites você tenha encontrado a definição de muitas funções, nas quais não foram feitas menções nem ao domínio, nem ao contradomínio das mesmas. É que nestes casos se assume que o contradomínio seja o conjunto dos números reais,. Mas qual será o domínio? Isto depende da regra de associação em si, por isto vamos tomar como exemplo a seguinte função: O contradomínio é: quais O domínio é o próprio conjunto dos números reais, desconsiderando-se os elementos para os não seja um número real. Como sabemos não existe um quociente real resultante da divisão por zero. Em outras palavras, se x = 0, isto é, se o domínio considerar o elemento 0, não existirá um elemento no contradomínio que possa ser associado a x, elemento este que deve pertencer a Im(f). Pela definição de função todo elemento do domínio deve possuir uma imagem. Então devemos desconsiderar o número 0 e mais nenhum outro, pois a divisão de 1 por qualquer outro número real produz um quociente real. O domínio desta função pode então ser definido por: Ou ainda pelo conjunto dos números reais desconsiderando-se o zero: Logo a definição desta função poderia ser: No caso da função caso da função abaixo? é muito fácil de se identificar que x não pode ser igual a 0, mas e no

19 19 Bom, neste caso pelo mesmo motivo da função anterior o denominador da fração não pode ser igual a zero, além disto o radicando no denominador não pode ser negativo, pois não existe raiz quadrada real de número negativo, então concluímos que 5x 5 deve ser maior que zero. Então temos: Isolando x no primeiro membro: Portanto x deve ser maior que 1, pois se x for igual 1 teremos uma divisão por zero e se x for menor que 1teremos um radical negativo. Podemos então definir o domínio desta função por: Desta forma podemos então definir assim esta função: Não há como negar que é uma forma bem mais simples de se definir esta função, é por isto que os livros costumam fazer assim. Exemplos de Relação que não é Função Observe o diagrama de flechas ao lado: Ele não representa uma função de A em B, pois o elemento 2 do conjunto A possui duas imagens,-8 e 8, o que contraria o conceito de função. Se apenas 8 ou -8 recebessem um flechada de 2, aí sim teríamos uma função. Agora vejamos este outro diagrama de flechas a seguir: Veja que não há nenhum elemento do domínio que fleche mais de um elemento do contradomínio, mas ainda assim não estamos diante de uma função. Por quê? Simplesmente porque o elemento 5 do conjunto A não possui uma imagem em B. Observe agora o seguinte gráfico no plano cartesiano: Ele representa ou não uma função? Como sabemos, em uma função cada elemento x do domínio deve estar relacionado a um único elemento y do contradomínio, ou seja, deve possuir uma única imagem. Note porém que neste gráfico os pontos (5, 1) e (5, 4), possuem a mesma abscissa, o que significa dizer que o elemento 5 do domínio possui duas imagens, ele flecha tanto o elemento 1, quanto o elemento 4 do contradomínio, portanto tal gráfico não representa uma função. Em resumo, levando-se em conta o domínio e o contradomínio da relação, se no gráfico for possível traçar uma reta paralela ao eixo das ordenadas que passe por mais de um ponto do gráfico, ou ainda que não passe por nenhum dos seus pontos, então estaremos diante de um gráfico que não representa uma função.

20 20 Zeros ou Raízes de uma Função Olhe o gráfico da função acima e perceba que alguns dos seus pontos estão localizados sobre o eixo das abscissas. A abscissa de cada um destes pontos é denominada zero da função ou raiz da função. Todo elemento do domínio da função que tem como imagem o elemento 0, é uma raiz da função. Os elementos do domínio que anulam a função são as suas raízes, isto significa dizer que dependendo da função, ela pode não possuir raízes reais, pois pode não existir no seu domínio nenhum elemento que a anule e sendo assim o seu gráfico nunca intercepta o eixo x, assim como também pode possuir infinitas raízes reais, pois o seu gráfico intercepta o eixo x infinitas vezes, já que podem existir infinitos elementos do seu domínio que tornem a função nula. Tipos de Função Depois de conhecermos o conceito de função, estudaremos agora como classificá-las. Se você não sabe do que se tratam os símbolos D(f), CD(f) e Im(f), convém revisar a simbologia utilizada ao trabalharmos com funções, ela será necessária para uma boa compreensão desta matéria. Estudaremos os três tipos de função que são: Sobrejetora, injetora e bijetora. Função Sobrejetora Vamos analisar o diagrama de flechas ao lado: Como sabemos o conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o seu contradomínio. É do nosso conhecimento que o conjunto imagem é o conjunto formado por todos os elementos do contradomínio que estão associados a pelo menos um elemento do domínio e neste nosso exemplo, todos os elementos de B estão associados a pelo menos um elemento de A, logo nesta função o contradomínio é igual ao conjunto imagem. Classificamos como sobrejetora as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. Note que em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não estão flechados por algum elemento do domínio. Nesta função de exemplo temos: Domínio: D(f) = {-2, -1, 1, 3} Contradomínio: CD(f) = {12, 3, 27} Conjunto Imagem: Im(f) = {12, 3, 27} Esta função é definida por: Substituindo a variável independente x, de 3x 2, por qualquer elemento de A, iremos obter o elemento de B ao qual ele está associado, isto é, obteremos f(x).

21 21 Do que será explicado a seguir, poderemos concluir que embora esta função seja sobrejetora, ela não é uma função injetora. Função Injetora Vejamos agora este outro diagrama de flechas: Podemos notar que nem todos os elementos de B estão associados aos elementos de A, isto é, nesta função o conjunto imagem difere do contradomínio, portanto esta não é uma função sobrejetora. Além disto podemos notar que esta função tem uma outra característica distinta da função anterior. Veja que não há nenhum elemento em B que está associado a mais de um elemento de A, ou seja, não há em B qualquer elemento com mais de uma flechada. Em outras palavras não há mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B. Nesta função temos: Domínio: D(f) = {0, 1, 2} Contradomínio: CD(f) = {1, 2, 3, 5} Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5} Definimos esta função por: Veja que não há no D(f) qualquer elemento que substituindo x em 2x + 1, nos permita obter o elemento 2 do CD(f), isto é, o elemento 2 do CD(f) não é elemento da Im(f). Função Bijetora Na explicação do último tipo de função vamos analisar este outro diagrama de flechas: Do explicado até aqui concluímos que este é o diagrama de uma função sobrejetora, pois não há elementos em B que não foram flechados. Concluímos também que esta é uma função injetora, já que todos os elementos de B recebem uma única flechada. Esta função tem: Domínio: D(f) = {-1, 0, 1, 2} Contradomínio: CD(f) = {4, 0, -4, -8} Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8} Esta função é definida por: Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos elementos de A, iremos encontrar os respectivos elementos de B, sem que sobrem elementos em CD(f) e sem que haja mais de um elemento do D(f) com a mesma Im(f). Funções que como esta são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras.

22 22 Função Inversa Aqui já estudamos as relações e também um tipo especial de relação chamada de função. Agora baseados nestes conhecimentos vamos estudar sobre funções inversas. Vamos começar analisando o diagrama de flechas ao lado, referente à relação de A em B: Como podemos observar esta relação se enquadra no conceito de função, pois não existe elemento de A que não esteja associado a algum elemento de B e todos os elementos de A estão associados a um único elemento de B. O conjunto A é o domínio da função é o conjunto B é o seu contradomínio. Agora vamos fazer o seguinte: Vamos inverter os conjuntos, fazendo com que o conjunto que era domínio passe a contradomínio e vice-versa, invertendo assim a relação. Tais mudanças podem ser observadas neste novo diagrama de flechas: E agora? A relação de B em A também está de acordo com o conceito de função? Obviamente que não! Primeiro porque o elemento 4 de B não está associado a qualquer elemento de A e segundo porque o elemento 2 de B tem duas imagens em A. Agora vejamos o diagrama de flechas desta outra relação que também representa uma função: Temos uma função porque não existe em A, elemento que não esteja associado em B e todos os elementos de A se associam a apenas um elemento de B. Assim como fizemos no caso anterior, vamos inverter a posição dos conjuntos, de sorte que o conjunto que era domínio passe a contradomínio e o conjunto que era contradomínio passe a domínio. Podemos ver o resultado destas mudanças neste diagrama de flechas: Veja que agora a relação de B em A está de acordo com o conceito de função. Mas quando ao invertermos a relação deixaremos de ter uma função ou não? Para que a inversão resulte também em uma função, na função original não pode haver no contradomínio qualquer elemento que esteja associado a mais de um elemento do domínio, ou seja, a função precisa ser injetora, pois se não for, quando invertermos os conjuntos, os elementos que recebiam mais de uma flecha irão agora disparar mais de uma flecha, como acontece no caso do elemento 2 do conjunto B da primeira relação de exemplo. Além disto na função original não pode haver no contradomínio qualquer elemento que não esteja associado a nenhum elemento do domínio, isto é o conjunto imagem deve coincidir com o contradomínio e, portanto, a função será sobrejetora. Na primeira relação de exemplo o elemento 4 do conjunto B não recebe nenhuma flechada e portanto não enviará nenhuma flecha também, quando invertermos a relação.

23 23 Ora se para ser inversível, além de injetora a função também precisa ser sobrejetora, então para que exista a função inversa de uma função, é preciso que ela seja uma função bijetora. Determinando a Função Inversa de uma Função A função inversível que vimos acima é definida por: Já vimos que f(x) também pode ser expresso por y, então em consequência disto a função pode ser definida por: Para obtermos a função inversa desta função primeiramente na regra de associação iremos trocar x por y e vice-versa. Então teremos: Agora vamos isolar y no primeiro membro: A definição da função inversa, já com a relação invertida, será então: Ou ainda: Outro Exemplo de Função Inversa Vejamos a definição da função abaixo: Que também pode ser definida por: Como podemos ver no gráfico ao lado, no plano cartesiano esta função é representada por uma reta. Esta função é injetora, pois não há dois valores reais distintos, que atribuídos a x venham resultar em um mesmo valor de y, ou de f(x). Em outras palavras estamos dizendo que em D(f) não existem dois elementos distintos que tenham a mesma Im(f), ou seja, cada elemento da imagem é flechado por um único elemento do domínio. Esta função é sobrejetora, pois não existem elementos do contradomínio que não estão associados a algum elemento do domínio, isto é, o conjunto imagem é o próprio contradomínio. Se a função é simultaneamente injetora e sobrejetora, então ela também é bijetora e por isto admite a função inversa.

24 24 Como explicado acima, vamos obtê-la substituindo x por y e vice-versa, isolando y no primeiro membro: Portanto a definição da função será: Ou ainda: Neste outro gráfico temos no plano cartesiano a representação destas duas funções: Em vermelho temos a representação gráfica da função e em azul representamos graficamente a sua função inversa. Observe os pontos (-3, 0) e (0, 1) pertencentes à função f, em vermelho. Agora veja os pontos (0, -3) e (1, 0) pertencentes à função f -1, em azul. Note que os pontos destacados na função f -1 são os pontos da função f, os quais tiveram invertida a ordem dos elementos do par ordenado. Isto porque: Se f -1 é a função inversa de f, f também é a função inversa de f -1, ou seja, f e f -1 são funções inversas entre si. Exemplos de Funções que Não Admitem a Função Inversa Vamos analisar a função definida abaixo: Para identificarmos que esta função não admite a função inversa basta compreendermos que ela não é uma função sobrejetora. Se ela fosse sobrejetora todos os elementos do contradomínio estariam associados a pelo menos algum elemento do domínio, mas isto não acontece para todos os elementos do contradomínio. Note que o número 0, que pertence ao contradomínio da função, não pertence ao conjunto imagem, pois não há qualquer número do domínio que esteja associado a ele, afinal de contas qual é o número real que dividindo o número 1 resultará em 0? Como o conjunto imagem difere do contradomínio, esta não é uma função sobrejetora.

25 25 Agora vamos analisar esta outra função assim definida: Esta é uma função do 2 o grau e graficamente podemos assim representá-la no plano cartesiano: Esta função não é injetora, pois há infinitos pares de elementos distintos do seu domínio que possuem a mesma imagem. Para qualquer valor de x diferente de 0, existe um elemento de valor x com a mesma imagem de x, por exemplo, note que os elementos 1 e -1 possuem a mesma imagem: Como os elementos 1 e -1 do domínio flecham o mesmo elemento 3 do contradomínio, esta função não é injetora. Ainda observando este gráfico podemos notar que nem ao menos sobrejetora é esta função. O conjunto imagem desta função é: Isto porque todos os números reais menores que 2 pertencem ao seu contradomínio, mas não à sua imagem. Portanto a função não é sobrejetora. Função Composta Ver detalhes em sala.

26 26 Paridade Função Par Denominamos função par uma função f, quando para todo elemento x pertencente ao domínio da função temos f(x) = f(-x). Vamos analisar a função gráfica temos ao lado. cuja representação Vamos começar pelo lado direito do eixo das ordenadas. Veja que para x igual a 1, 2 ou 3, temos y igual a -4, 2 ou 12, respectivamente. Isto porque: Agora vamos analisar o lado esquerdo do eixo das ordenadas. Note que para x igual a -1, -2 e -3, temos y igual aos mesmos -4, 2 e 12, respectivamente. Evidentemente porque: Qualquer que seja x temos f(x) = f(-x): Portanto é uma função par. Visto que f(x) = f(-x), então x e o seu oposto x possuem a mesma imagem. Como você já deve ter percebido, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, isto é, o lado direito espelha o esquerdo e vice-versa. Função Ímpar Denominamos função ímpar uma função f, quando para todo elemento x pertencente ao domínio da função, temos f(x) = -f(-x), que também podemos escrever como -f(x) = f(-x). Vamos analisar a função representada pelo gráfico ao lado. Podemos notar que o gráfico é simétrico em relação à origem do plano cartesiano. Observe que os pontos para os quais x é igual a 1, 2 ou 3, estão localizados em posição simétrica à partir da origem, em relação aos pontos para os quais x é igual a -1, -2 ou -3, respectivamente.

27 27 Para termos o valor exato das imagens, primeiramente vamos calcular f(x) para x igual a 1, 2 e 3: Ainda para x igual a 1, 2 e 3 vamos calcular -f(-x) para podermos fazer uma comparação: Veja que f(x) = -f(-x): Visto que -f(x) = f(-x), então x e o seu oposto x têm imagens opostas. Funções que não são Par nem Ímpar No casos dos números naturais quando um número não é par ele só pode ser ímpar e vice-versa. No caso de funções a coisa não é bem assim que funciona. Para que uma função seja denominada função par ou função ímpar, é preciso que a mesma se enquadre exatamente nas condições impostas vistas acima. Acontece que existem funções que não satisfazem nem a condição para serem denominadas funções pares, nem tampouco para serem denominadas funções ímpares. Vejamos o caso da função no gráfico abaixo. Como podemos observar, não existe a simetria visual vistas nos gráficos anteriores, nem quanto a uma função par, nem quanto a uma função ímpar. No caso função par teríamos f(x) = f(-x), ou seja, as imagens de x = 1 e de x = -1, por exemplo, deveriam ser iguais, mas pelo gráfico e pelos cálculos realizados abaixo vemos que isto não ocorre: Então não é uma função par. Para que ela fosse uma função ímpar teríamos -f(x) = f(-x), ou seja, as imagens de x = 1 e de x = -1, por exemplo, deveriam ser opostas uma da outra, mas pelo gráfico e pelos cálculos realizados acima vemos que isto também não ocorre: Portanto também não é uma função ímpar.

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