Utilização da programação linear na otimização de resultados de produção na empresa

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1 2014 ANO XX, Nº INTEGRAÇÃO 49 Utilização da programação linear na otimização de resultados de produção na empresa GERALDO MAGELA BARBOSA * Resumo A formulação de problemas no ambiente empresarial consiste na descrição de um sistema estruturado com o auxílio de um modelo. Após a experimentação com o modelo e analisando seus objetivos e limitações se determinará a melhor forma de operar o sistema. A técnica de programação linear abordada neste artigo irá indicar qual a combinação na produção que trará o melhor resultado possível, e em outra aplicação suprir os pedidos de forma a minimizar os custos de produção de uma indústria. Palavras Chave: Programação linear, otimização de resultados, produção. Abstract The formulation of problems in the business environment constitutes a structured description with the aid of a model system. After experimenting with the model in a company and analyzing your goals and limitations determine how best to operate the system. The linear programming technique in this article which will resolve the production of two products that a company has the highest possible profit, and meet other application requests to minimize production costs of an industry. Keywords: Linear programming, optimization results, production. 1. Introdução A programação linear é uma das técnicas mais utilizadas na solução de problemas. É um método científico de tomada de decisões. Estas técnicas foram desenvolvidas inicialmente para necessidades militares em alocar recursos escassos às várias operações militares e às atividades dentro de cada operação de uma maneira efetiva. Segundo uma pesquisa realizada em Londres a programação linear é uma das ferramentas mais utilizada para tomada de decisões além do modelo de regressão. Durante a segunda guerra mundial, a United States Air Force organizou um grupo de pesquisadores de nome SCOOP (Scientific Computation of Optimum Program), sob a direção de Marshall K. Wood para solucionar o problema de alocação de recursos limitados de modo a otimizar objetivos (LOESCH; HEIN,2009). A otimização de problemas com funções lineares, denominadas funções objetivos, levando em conta as equações restritivas (também lineares) consiste a ferramenta matemática mais utilizada na tomada de decisões que é a programação linear. O problema de otimizar uma função linear sujeita a restrições teve a sua origem com os estudos de Fourier sobre sistemas lineares de inequações em No entanto só em 1939 Kantorovich faz notar a importância prática destes problemas, tendo criado um algoritmo para a sua solução. O auge do estudo de problemas de otimização de uma função linear sujeita a restrições foi com George *É mestre em Engenharia pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - USP, Engenheiro Mecânico com ênfase em Produção pela Universidade Federal de Itajubá - UNIFEI. É licenciado em Matemática pelo Centro Universitário de Itajubá - UNIVERSITAS e professor da Universidade São Judas Tadeu - USJT. prof.gbarbosa@usjt.br Dantzig na década de 1940, nos Estados Unidos. Dantzig não só formulou o problema de programação linear, mas também criou o algoritmo do Simplex em A aplicação da programação linear em uma empresa permite resolver problemas como, a otimização da distribuição, a programação da produção e a alocação de recursos. A programação linear tem sido utilizada na busca de soluções para os problemas de otimização nas mais diferentes atividades, como em indústrias, bancos e empresas de transporte e que tem gerado maiores lucros. Uma pesquisa em 51 cursos de administração nos Estados Unidos revelou que o principal objetivo dos cursos que envolvem Programação Linear, enunciado por 87,5% dos respondentes, era o de melhorar a habilidade quantitativa gerais dos estudantes. Em seguida foram citados os objetivo de ensinar técnicas quantitativas que os alunos possam usar quando gerentes. Nota-se que a Programação Linear, trás um melhor raciocínio lógico, melhora a capacidade de estruturar e resolver problemas e ainda conhecer técnicas úteis que será aplicada na vida profissional de um executivo (MOREIRA, 2010). O desenvolvimento da programação linear tem sido classificado entre os mais importantes avanços científicos dos meados do século XX. Seu impacto desde 1950 tem sido extraordinário. Hoje é uma ferramenta padrão que poupou milhares de dólares para muitas empresas ou até mesmo negócios de porte médio em diversos países industrializados ao redor do mundo (HILLIER; LIEBERMAN, 2013). Os gerentes das organizações, constantemente se deparam com circunstâncias em que devem tomar decisões, que levam em consideração diversas alternativas conflitantes e concorrentes, diante dessas situações os gerentes podem utilizar a intuição gerencial ou realizar um processo de modelagem da situação (LACHTERMACHER, 2007).

2 50 INTEGRAÇÃO BARBOSA Utilização da programação linear A programação linear, especificamente, oferece aos gerentes a capacidade de tomar decisões mais eficazes e de estabelecer sistemas mais produtivos, por meio de informações mais completas realizam-se previsões cuidadosas de resultados e estimativas de risco com ferramentas atuais e técnicas de decisão. Em linhas gerais, a programação linear busca, entre as inúmeras tarefas ou atividades, descobrir a melhor distribuição dos recursos a fim de obter um valor ótimo do objetivo desejado. Os problemas de alocação de recursos distinguem-se pela existência de um objetivo explícito por meio de variáveis de decisão e pela existência de restrições para alocar os recursos devido às quantidades disponíveis e a forma de aplicá-los (ANDRADE, 2007). 2. Maximização do lucro da empresa e as restrições na produção O modelo matemático de programação linear é composto de uma função objetivo linear, e de restrições técnicas representadas por um grupo de inequações também lineares (SILVA, 2010). No desenvolvimento de um modelo de programação linear, algumas características devem ser levadas em consideração, tais como indicadas por PASSOS (2008): Os modelos apresentarão restrições (equações e/ou inequações) lineares, bem como a sua função objetivo, Os valores variarão a uma taxa constante dos recursos utilizados (linearidade das restrições e da função objetivo), As variáveis podem assumir valores em um intervalo (contínuas), Os valores assumidos pelas variáveis serão nulos ou positivos (não negatividade). Os bons modelos serão os mais próximos da realidade e de fácil experimentação. Nos modelos matemáticos as relações entre as variáveis do problema devem ser representadas por sistemas de símbolos e relações matemáticas. Os principais elementos que existem em um modelo matemático são: Variáveis de decisão e parâmetros: por meio da função-objetivo, surgem variáveis fundamentais, essas variáveis são denominadas de variáveis de decisão. Os parâmetros são valores fixos no problema; Restrições: retratam a insuficiência dos recursos e os limites impostos sobre as ações, com o objetivo de maximizar a função-objetivo; Função Objetivo: é uma função matemática formada por uma combinação linear das variáveis de decisão. Conseguir uma solução ótima, ou seja, a melhor de todas, é a ideia fundamental na solução de um problema, mas isso exige a solução de um sistema de equações e inequações como na programação linear. Considere o problema de Maximização de Lucro de uma empresa que está logo em seguida. O problema será estruturado e solucionado utilizando o Modelo Matemático de Programação Linear. Uma empresa vende dois tipos de produtos, P1 e P2, cujos lucros unitários são de R$ 80,00 e R$ 60,00 respectivamente. Sabe-se que os dois produtos P1 e P2 são produzidos em três processos sequenciais que são: retificação, perfuração e polimento. O processo de retificação dispõe de máquinas que fornecem um total de 160 horas de retificação por semana. Cada produto precisa de 2 horas de retificação. O processo de perfuração dispõe de máquinas que fornecem um total de 120 horas por semana. O produto P1 exige 1 hora de perfuração e o produto P2 exige 2 horas de perfuração. O processo de polimento é intensivo com relação á mão-de-obra fornecendo 280 horas de mão-de-obra por semana. O produto P1 requer 4 horas de mão-de- -obra por unidade, o produto P2 requer 2 horas de mão-de-obra por unidade. O Departamento de Marketing informou que consegue vender, semanalmente, no máximo 75 unidades do produto P1 e 70 unidades do produto P2. As tabelas a seguir representam as informações: Tabela 1. Lucros unitários na venda dos produtos Tabela 2. Fatores necessários para a produção dos Produtos P1 e P2

3 2014 ANO XX, Nº INTEGRAÇÃO 51 Com base nestes dados, pergunta-se: qual a produção mensal dos Produtos P1 e P2 para que a empresa tenha o maior lucro possível? Como se quer maximizar o lucro será utilizada uma função na qual fará parte os lucros apurados nas vendas de cada modelo vezes a quantidade que deverão ser produzidas. Sendo assim, a função objetivo será composta pela soma do produto do lucro unitário de cada modelo vezes as suas respectivas variáveis de decisão. 2.1 Estruturando o problema: construção do modelo matemático O método científico de programação linear começa com a definição do problema a mais precisa possível, na qual devem ser destacados os objetivos procurados, as características de interligação entre as diferentes variáveis existentes e as restrições do sistema (ELLENRIEDER, 1971). O objetivo desta empresa é de maximizar o lucro na produção semanal dos produtos P1 e P2, com base nos dados do problema que estão na Tabela. 1 e Tabela 2.monta-se a Modelagem Matemática a seguir: As Variáveis de Decisão e são dadas por: = representa a quantidade a produzir do produto P1 = representa a quantidade a produzir do produto P2 A função objetivo é a Maximização do Lucro (Lmáx) que é dado por: Lmáx = Os processos sequenciais de retificação, perfuração e polimento e as suas respectivas disponibilidades para fabricação dos produtos P1 e P2, conforme a Tabela 2. permite escrever: a) do processo de retificação serão utilizados 2 horas para o produto P1 e 2 horas para o produto P2 limitadas a 160 horas por semana Esta inequação reflete a disponibilidade limitada do processo de retificação b) do processo de perfuração serão utilizados 1 hora para o produto P1 e 2 horas para o produto P2 limitadas a 120 horas por semana Sendo que esta inequação mostra a disponibilidade limitada do processo de perfuração c) do processo de polimento serão utilizados 4 horas para o produto P1 e 2 horas para o produto P2 limitadas a 280 horas por semana E ainda que a inequação acima identifica a disponibilidade limitada do processo de polimento A demanda semanal de vendas pelo Departamento de Marketing é Sendo que as variáveis de decisão não podem ser negativas pois representam os produtos na modelagem, temos: 2.2 A solução gráfica para a maximização O objetivo principal é determinar o maior lucro semanal possível para a empresa, considerando as restrições dos fatores de produção. Sabendo que para a produção do produto P1 e do produto P2 requerem os processos sequenciais de retificação, perfuração e polimento. Com a estrutura de Modelagem Matemática anterior, o problema de programação linear está completo, como especificado abaixo: As Variáveis de Decisão e são dadas por: = representa a quantidade a produzir de P1 = representa a quantidade a produzir de P2 Maximização do Lucro: Lmáx = Que dependem das Restrições Técnicas: (restrição na retificação) (restrição na perfuração) (restrição no polimento) A demanda semanal de vendas pelo Departamento de Marketing é As Restrições de Não Negatividade das variáveis de decisão são: Determinam-se os valores das quantidades e sem violar as restrições. Assim, colocando as Restri-

4 52 INTEGRAÇÃO BARBOSA Utilização da programação linear ções de Retificação, Perfuração e Polimento em um mesmo sistema de eixos cartesianos obtém-se o Gráfico 1. O problema da programação linear para a fabricação é determinar uma combinação de e que permita maximizar o lucro, dadas as restrições de fatores de produção. No gráfico acima, podemos notar que o maior lucro que intercepta a região viável (fronteira de possibilidades) de produção são os pontos C e D. No Gráfico 1 observa-se que, se considerarmos apenas uma das restrições, a empresa poderá produzir qualquer uma das alternativas entre e e continuar a satisfazer a restrição. Por exemplo, a empresa pode produzir, nos extremos, 140 quantidades semanais de e nada de, sem se afetar pela restrição do fator de produção da perfuração, bem como 120 quantidades semanais de e nada de sem se afetar pela restrição do fator de produção do polimento. A empresa tem de levar em consideração todas as restrições existentes para seus fatores de produção e, consequentemente, estará habilitada a produzir apenas as combinações entre e que estiverem dentro da região viável determinada pelas três retas de restrição (retificação, perfuração e polimento), bem como sobre a linha da região viável (fronteira de possibilidades) de produção. A função objetivo de maximização do lucro para a empresa na estrutura do problema é dado por Lmáx = Nesta função que gera o lucro máximo para a empresa especifica que a margem de contribuição total da empresa é igual a R$ 80,00 vezes a quantidade de mais R$ 60,00 vezes a quantidade de produzida. Para a identificação do ponto ótimo (que torna o lucro máximo), deve-se avaliar o desempenho da função objetivo atribuindo valores a Lmáx. Ao se arbitrar valores para Lmáx, se obtém equações onde as retas traçadas são paralelas e que se deslocam no mesmo sentido. Ao se arbitrar R$ 6.000,00 em Lmáx encontra-se a equação 6000 = que fornece o conjunto de pontos de (, ) que resultarão em Os pontos (0,100) e (75,0) dão uma margem de contribuição de R$ 6000,00 conforme a reta traçada no Gráfico 2. Arbitrando o valor de R$ 7.000,00 em Lmáx encontra-se a equação 7000 = que fornece o conjunto de pontos de (, ) que resultarão em Os pontos (0;116,67) e (87,5;0) dão uma margem de contribuição de R$ 7000,00 conforme reta traçada no Gráfico 2 que será paralela a reta anterior. Se a empresa deseja maximizar o lucro, então ela deverá estar na mais distante reta possível com as restrições dos fatores de produção. Pode-se notar no Gráfico 2 que a reta para Lmáx = R$ 6000,00 intercepta o ponto D (60,20) da região viável de produção. O Lucro Máximo é de R$ 6000,00 que é o maior montante que a empresa pode encontrar, dada a sua capacidade de produção. Gráfico 1. Retas de Restrição (Retificação, Perfuração e Polimento) e a Região Viável. A combinação na produção de e nesta área sombreada determinará a região viável de produção. Com o gráfico gerado pelas restrições, a empresa poderá produzir qualquer combinação de e que estiver na região viável de produção. O objetivo da empresa é que se deseja produzir a combinação de e que lhe permita maximizar seu lucro. Para atingir esta meta, a empresa deverá conhecer a margem de contribuição por unidade produzida e vendida para cada produto que ela produz. Desta forma tem-se, neste problema, que a margem de contribuição de é de R$ 80,00 por unidade e de é de R$ 60,00 por unidade. Gráfico 2. Retas Paralelas a Região Viável de Maximização do Lucro. O ponto D (60,20) indica a contribuição que maximiza o lucro na produção combinada de e que a empresa pode produzir nestas condições. Substituindo = 60 e = 20 na função de Lucro Máximo Lmáx = se obtém:

5 2014 ANO XX, Nº INTEGRAÇÃO 53 Lmáx = 80(60) + 60(20) = Que resulta Lmáx = R$6.000,00, que é o Maior Lucro possível. Portanto, o ponto D(60,20) é o Ponto Ótimo, mesmo que a empresa tenha capacidade ociosa de algum fator de produção, logo o Lucro Máximo é de R$ 6000, Solução algébrica para a maximização Os métodos algébricos são bem mais precisos e práticos, especialmente quando nos defrontamos com um número de variáveis maior que dois especialmente porque graficamente a análise se torna mais difícil. Há vários métodos algébricos para a solução de problemas, como o que está sendo verificado neste artigo, e essas soluções são ainda disponíveis por meio dos mais diferentes softwares sobre o assunto. Neste trabalho, será apresentado apenas o método algébrico mais simples. Na estruturação do problema tem-se que As Variáveis de Decisão e são dadas por: = representa a quantidade a produzir do produto P1 = representa a quantidade a produzir do produto P2 A função objetivo da empresa que é Maximizar o seu Lucro é : Lmáx = As Restrições nos processos de fabricação dos produtos são (restrição na retificação) (restrição na perfuração) (restrição no polimento) A demanda semanal de vendas é As Restrições de Não Negatividade são: Para se resolver o problema algebricamente, sabe- -se que os pontos que determinam o limite (também denominados pontos extremos) da região viável (fronteira de possibilidades) de produção ocorrem: a) onde duas retas de restrição se encontram (interceptam); b) onde a reta de restrição intercepta tanto o eixo das abscissas como o eixo das ordenadas; c) no ponto de origem. O ponto de origem A é quando se tem = 0 e = 0, logo A (0,0). A equação da reta de Restrição da Retificação associada a inequação estruturada na formulação do problema é dada por: = 160. Para encontrar os pontos extremos F e H, substitui-se respectivamente na equação = 0 e = 0, onde se obtém: F(0,80) e H(80,0), conforme Gráfico 1. Na equação da reta de Restrição da Perfuração associada a inequação estruturada na formulação do problema que é: Para encontrar os pontos extremos B e I, substitui-se respectivamente na equação = 0 e = 0 onde se obtém: B(0,60) e I(120,0). E ainda temos que, na equação da reta de Restrição de Polimento associada a inequação estruturada na formulação do problema que é dada por : = 280. Para encontrar os pontos extremos G e E, substitui-se respectivamente na equação = 0 e = 0, onde se obtém: G(0,140) e E (70,0), que pose ser visto no Gráfico 1. O ponto de intersecção C das retas de equações de Restrição da Retificação e da Perfuração é: = Multiplicando por 1 a segunda equação temos: = = 40 Substituindo-se = 40 em qualquer uma das equações de Restrição encontra-se = 40. O ponto de intersecção C das retas é dado por C(40,40). O ponto de intersecção D das retas de equações da Restrição do Polimento e Retificação é: = = 160 Multiplicando por 1 a segunda equação temos: = = = 60 Logo se obtém = 60. Substituindo-se = 60 em qualquer uma das equações de restrição, encontra-se = 20. O ponto de intersecção D das retas é dado por D(60,20).

6 54 INTEGRAÇÃO BARBOSA Utilização da programação linear Temos todos os pontos extremos das retas, os pontos de origem e os pontos onde as retas interceptam os eixos da abscissa e ordenada. Sabendo que a demanda semanal de vendas pelo Departamento de Marketing é 75 e 70. Conclui-se que os pontos F(0,80) com coordenada = 80, G(0,140) com coordenada = 140, H(80,0) com coordenada = 80 e I(120,0) com coordenada não serão utilizados, pois estão fora da Restrição de Demanda, conforme pode ser visto no Gráfico 2. Como o objetivo da empresa é determinar o maior lucro possível, substitui cada par ordenado dos pontos na função de lucro máximo obtida na formulação do problema. Todos os pares ordenados dos pontos A, B, C, D, E serão substituídos na função de Lucro Máximo Lmáx = Os valores obtidos são todas as soluções da função objetivo que estão na Tabela 3. Tabela 3. Soluções da função objetivo para a maximização Com os valores obtidos da função objetivo, verificasse que o lucro máximo semanal é obtido no ponto D(60,20) onde = 60 e = 20 gerando Lmáx= R$ 6000,00. Este resultado é a Solução Ótima da empresa, ou seja, o Lucro Máximo é de R$ 6000,00. Onde se deve produzir 60 unidades do produto P1 e 20 unidades do produto P2 para que se tenha um lucro máximo de R$ 6000,00 semanalmente. Conforme se determinou graficamente, a combinação ótima na produção dos produtos e, algebricamente, é dada também pelo ponto D, onde = 60, = 20 e Lmáx= R$ 6000,00, o mais alto nível de Maximização do Lucro obtido neste trabalho. Observa-se que sempre é bom utilizar a análise gráfica juntamente com o método algébrico para se encontrar o ponto de maximização do lucro para que se possa localizar, mais facilmente, os pontos da fronteira da região viável (possibilidades) de produção (enquanto o número de variáveis de decisão não for muito extenso). O procedimento algébrico para incluir as variáveis de folga se baseia na transformação das inequações (restrições) em equações igualmente equivalentes. Essa conversão é realizada incluindo-se variáveis de folga (HILLIER; LIBERMAN, 2013). As variáveis de folga (onde se utiliza S como variável de folga, pois vem do inglês Slack (folga)) para cada recurso de produção será S 1 (retificação) e S 2 (perfuração) e S 3 (polimento) transforma as equações em: S 1 = 160 (S 1 é a variável de folga na retificação) S 2 (S 1 é a variável de folga na perfuração) S 3 = 280 (S 1 é a variável de folga no polimento) A inclusão dessas variáveis de folga transforma essas restrições em igualdades algébricas, porque o montante de um particular tipo de fator de produção utilizado na produção, mais a capacidade ociosa que sobra dela, tem de ser igual à quantidade total disponível desse fator. Para o processo de fabricação dos produtos na Retificação que se tem a equação dada para o cálculo da variável de folga S 1 = 160 calcula-se a variável de folga S 1 substituindo o Ponto Ótimo D ( 60,20 ), ou seja, = 60, = 20 que fica: 2(60) + 2(20) + S 1 = S 1 = 20 S 1 = 0

7 2014 ANO XX, Nº INTEGRAÇÃO 55 Logo, o valor da variável de folga é S 1 = 0, este resultado significa que o recurso de operação de Retificação está em pleno emprego pois determina a capacidade de produção (gargalo) da empresa. Na fabricação dos produtos na Perfuração que se tem a equação dada para o cálculo da variável de folga S 2 calcula-se a variável de folga S 2 substituindo o Ponto Ótimo D ( 60,20 ), ou seja, = 60, = 20 que fica: 1(60) + 2(20) + S S 2 S 2 = 20 Resultando no valor da variável de folga S 2 =20, isto significa que se tem 20 horas-máquinas de ociosidade por semana na Perfuração. E que fabricação dos produtos no Polimento que se tem a equação dada para o cálculo da variável de folga S 3 = 280 a variável de folga S 3 é obtida substituindo o Ponto Ótimo D ( 60,20 ), ou seja,, = 60, = 20que fica: 4(60) + 2(20) + S 3 = S 3 = 280 S 3 = 0 Onde se tem que a o valor da variável de folga é S 3 = 0, este resultado significa que o recurso de operação de Polimento está em pleno emprego pois determina a capacidade de produção (gargalo) da empresa. 3. Minimização de custos com o uso da Programação linear A técnica da programação linear resolve problemas com o objetivo de minimizar as despesas na fabricação de produtos, minimizar o custo total de produção e ainda identificar e modelar problemas de tomada de decisão sobre a alocação de recursos (ANDRADE, 2011). Para problemas de decisão de minimização de custos, também faz-se uso da programação linear. Anteriormente, se mostrou como se obtém a combinação ótima na produção entre dois produtos, de acordo com as restrições existentes nos fatores de produção, com o objetivo de se obter o maior lucro possível. Através da programação linear será apresentado a solução para o problema de minimização. As abordagens a serem utilizadas são análogas à que foi utilizada no problema de maximização. Um problema de programação linear (programação matemática) com o objetivo de minimizar uma quantidade específica depende de um número finito de variáveis de entrada. Estas variáveis podem ser independentes uma das outras ou podem ser relacionadas por meio de uma ou mais restrições (BRONSON, 1985). 3.1 Estruturando o problema Na programação linear, o modelo é uma representação matemática aproximada da realidade. O modelo deve ser formulado para captar o ponto crucial do problema, por exemplo, minimização, para em seguida ter uma tomada de decisão e atingir um equilíbrio apropriado entre a realidade e a aplicação da solução (WAGNER, 1986). Considere o problema de Minimização de Custo de uma indústria que está logo em seguida. O problema será estruturado e solucionado utilizando o Modelo Matemático de Programação Linear. Duas fábricas F1 e F2 produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem um contrato para produzir 60 toneladas de Papel Fino, 90 toneladas de Papel Médio e 120 toneladas de Papel Grosso. O custo de produção na fábrica F1 é de R$ 1.000,00 por dia e o da fábrica F2 é de R$ 2.000,00 por dia. A fábrica F1 produz 1 toneladas de papel fino, 2 toneladas de Papel médio e 4 toneladas de papel grosso por dia. A fábrica F2 produz 4 toneladas de papel fino, 2 toneladas de papel médio e 2 toneladas de papel grosso por dia. O objetivo do empresário é obter quantos dias cada fábrica deverá operar para suprir os pedidos de forma a Minimizar os Custos na produção de papel. As informações do problema são representas por meio de tabelas a seguir: Tabela 4. Custos de produção por dia em cada fábrica. Tabela 5. Fatores necessários para a produção dos Papéis (Fino Médio e Grosso).

8 56 INTEGRAÇÃO BARBOSA Utilização da programação linear O objetivo do empresário é obter quantos dias cada fábrica deverá operar para suprir os pedidos de forma a Minimizar os Custos de produção de papel. A quantidade a ser minimizada é descrita como uma função matemática dos recursos (variáveis de decisão) escassos. As relações entre as variáveis são formalizadas através de restrições ao problema expressas como equações e/ou inequações matemáticas (LA- CHTERMACHER, 2002). Para Minimizar os Custos na produção de papel nesta fábrica e suprir os pedidos, com base nos dados do problema que estão na Tabela 4. e Tabela 5. monta- -se a Modelagem Matemática a seguir: As Variáveis de Decisão e são dadas por: = representa a quantidade de dias que deve operar a fábrica F1 = representa a quantidade de dias que deve operar a fábrica F2 A função objetivo é a Minimização dos Custos (Cmín) que é dado por: Cmín= Que dependem das restrições técnicas: (Restrição na fábrica de Papel Fino) (Restrição na fábrica de Papel Médio) (Restrição na fábrica de Papel Grosso) E que as restrições de Não Negatividade das variáveis de decisão são: 3.2 A solução gráfica para a minimização O modelo de programação linear descreve um problema de forma concisa e que torna mais compreensível a estrutura geral do problema e ajuda a revelar importantes relacionamentos de causa- -efeito e que facilita o tratamento do problema como um todo considerando todos os seus inter- -relacionamentos de forma simultânea (HILLER; LIEBERMAN, 2013). O objetivo principal objetivo do empresário é obter quantos dias cada fábrica deverá operar para suprir os pedidos de forma a minimizar os custos de produção de papel. As Restrições do Papel Fino, Papel Médio e Papel Grosso, são colocados em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas, da mesma forma como feita no problema anterior conforme está no Gráfico 3. Observe que a região viável, agora, está acima e à direita das linhas de restrição, contrastando com o que foi mostrado anteriormente, quando a região viável estava abaixo e à esquerda das linhas de restrição. Gráfico 3. Retas de Restrição e a Região Viável de Minimização do Custo. Isto acontece em função da natureza das restrições dos recursos. Na seção anterior, a restrição de fatores tinha o formato de menor ou igual a, que restringiam as combinações das variáveis de decisão a um ponto sobre ou dentro da região viável, quando mostrados graficamente. No presente problema, os recursos escassos têm o formato de maior ou igual a, que restringe as possíveis combinações das variáveis de decisão a um ponto sobre ou acima das retas de restrição. Para encontrar o conjunto de pontos de (, ) que atendam os requisitos necessários ao Menor Custo, devemos pensar em termos de deslocamentos paralelos da equação de custo Cmín= , a partir do ponto de origem 0, em direção à nordeste, até que a função custo encoste em algum ponto na fronteira de mínimo custo. Substituindo R$ 5.000,00 em Cmín encontra-se a equação 5000 = que fornece o conjunto de pontos de (, ) que resultarão em Os pontos (0,25) e (50,0) dão uma margem de contribuição de R$ 5000,00 conforme a reta traçada no Gráfico 4. Gráfico 4. Reta que Intercepta o Ponto de Mínimo Custo na Região Viável.

9 2014 ANO XX, Nº INTEGRAÇÃO 57 Nota-se no Gráfico 4 que a reta para Cmín=5000 toca primeiro na fronteira no ponto B(40,5), que corresponde a 40 dias de operação na fábrica F1 e 5 dias de operação na fábrica F2, sendo esta a Solução Ótima, pois representa o Menor Custo entre todas as combinações. Substituindo =40 e =5 na função de custo mínimo Cmín= se obtém: Cmín= 1.000(40) (5)= Que resulta Cmín= R$ ,00, que é o menor custo possível. Neste problema não há outra combinação que possa satisfazer as restrições e gerar custos menores que R$ , Solução algébrica A resolução do problema pela solução algébrica é fundamental, da mesma forma quando a utilizamos para obter o ponto para maximização do lucro. Primeiramente, temos que encontrar os valores de e para cada ponto da reta que representa o menor custo possível, isto é, os pontos A, B, C e D determinados pela intersecção das retas de restrição que passam por cada ponto. Considerando o ponto B no Gráfico 4. que representa a intersecção das retas de restrição de Papel Fino e Papel Médio. Associando as inequações de restrição equações temos: = = 90 Multiplicado a segunda equação por 2 temos: = = = -120 = 40 Encontra-se o valor =40 que substituído este valor na primeira equação, tem-se: 1(40) + 4 = = 60 = 5 Obtém-se = 5, assim, o ponto B é dado por = 40 e = 5, ou seja, B (40,5). Repetindo este procedimento para os demais pontos A, C e D se obtêm as combinações de dias de operação das fábricas. Com as combinações dos pares de pontos A, B, C e D calculam-se os respectivos Custos Mínimos que constam na Tabela 6. Tabela 6. Soluções da função objetivo para a minimização Ao observar a tabela acima, o Ponto Ótimo em que o se deve Operar as Fábricas e Minimizar o Custo é o ponto B de coordenadas = 40 e = 5. Não existe outra combinação possível que possa satisfazer as restrições a um menor custo de R$ ,0 conforme os valores da Tabela 6 para custo mínimo. Com este resultado, deve-se operar a Fábrica F1 em 40 dias e a Fábrica F2 em 5 dias para atender a solicitação de contrato, suprindo os pedidos de forma a Minimizar os Custos na Produção de Papel.

10 58 INTEGRAÇÃO BARBOSA Utilização da programação linear 4. Considerações finais O método da programação linear é essencialmente o mesmo para solucionar problemas com o objetivo de minimizar ou maximizar a função objetivo. Primeiramente se utilizam as restrições para determinar a região viável (área de possibilidades). Em segundo plano, determinam-se os valores das variáveis de decisão em cada ponto onde as retas de restrição se cruzam. E, finalmente, com base nos pares de dados, determinam-se os valores da função objetivo, e seleciona-se a combinação que otimiza (isto é, minimizando ou maximizando) esta função. Na programação linear o método gráfico pode ser usado para qualquer problema com duas variáveis de decisão. A programação linear é uma técnica poderosa para a solução de problemas de alocação de recursos limitados a atividades em competição, bem como com outros problemas que tenham uma formulação matemática similar. Esta técnica se tornou um instrumento-padrão de grande importância para inúmeras organizações industriais e de negócios. Na formulação do modelo deve-se construir uma representação com a coleta de todos os dados necessários, suficientemente minucioso para captar os elementos essenciais que fornecerão resultados compatíveis com a realidade do problema. O objetivo do estudo de programação linear não é o equipamento utilizado, nem a predisposição dos participantes, nem as propriedades físicas do produto final, mas a combinação de todos os fatores em conjunto, considerados como um processo econômico. A programação linear tem como objetivo principal a elaboração de uma estratégia dirigida à regulação dos resultados potenciais de operações futuras através da construção de modelos científicos da situação aplicada a particulares mecanismos transformadores de valores nos quais atuam homens, equipamentos e meios. A contribuição deste artigo no âmbito empresarial torna-se evidente que a prática específica da Programação Linear, é uma importante ferramenta gerencial para a escolha das melhores decisões. Como sugestão de pesquisas futuras, tem-se a aplicação de outras técnicas como a simulação para analisar o processo produtivo e verificar outras possibilidades de melhoria nos processos. HILLIER, F. S. LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9 ed. Porto Alegre : McGraw-Hill, LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. 4 ed. Rio de Janeiro: Campus, LOESCH, C.; HEIN, N. Pesquisa operacional: fundamentos e modelos. São Paulo: Saraiva, MOREIRA, D. A. Pesquisa operacional: curso introdutório. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, PASSOS, E. J. P. F. Programação linear como instrumento da pesquisa operacional. São Paulo: Atlas, SILVA, E. M. et. ali. Pesquisa operacional: para os cursos de administração e engenharia. 4. ed. São Paulo: Atlas, WAGNER, H. M. Pesquisa operacional. 2. Ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANDRADE, E. L. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para análise de decisões. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, BRONSON, R. Pesquisa operacional. São Paulo: Mc- Graw-Hill, ELLENRIEDER, A. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: Almeida Neves Editores Ltda., 1971.

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