NOTAS DE AULA. Cálculo Numérico. Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR - Professores: Lauro César Galvão Luiz Fernando Nunes

Transcrição

1 NOTAS DE AULA Cálculo Numérico Universidde Tecnológic Federl do Prná - UTFPR - Professores: Luro Césr Glvão Luiz Fernndo Nunes

2 Índice Cálculo Numérico () ii Noções básics sobre Erros... - Zeros reis de funções reis Resolução de sistems de equções lineres... - Interpolção Ajuste de curvs pelo método dos mínimos qudrdos Integrção Numéric Solução numéric de equções diferenciis ordináris

3 Noções básics sobre Erros Noções básics sobre Erros -. Clculr áre d superfície terrestre usndo formulção A r. Aproimções (ERROS): MODELAGEM: Terr é modeld como um esfer, um idelizção de su form verddeir. O rio d Terr é obtido por medids empírics e cálculos prévios. RESOLUÇÃO: o vlor de requer o truncmento de um processo infinito; os ddos de entrd e os resultdos de operções ritmétics são rredonddos pelo computdor. OBS. : Crcterístics do plnet Terr. Crcterístics Físics: Diâmetro Equtoril: 7Km; Diâmetro Polr: 7Km; Mss:,98 Kg; Perímetro de Rotção Siderl: h min seg; Inclinção do Equdor Sobre Órbit: o 7. Crcterístics Orbitis: Rio d Órbit, isto é, U.A. (unidde stronômic): 98977Km; Distânci Máim do Sol: Km; Distânci Mínim do Sol: 7Km; Período de Revolução Siderl: dis h 9min 9,seg; Velocidde Orbitl Médi: 9,79Km/seg.. Clculr os erros bsoluto e reltivo, nos itens ) e b). ), e,9; b) y, e y,9. ) EA, b) EAy, ER,7 ERy,88. Arredondr n qurt cs deciml, sendo que,9 di e di9 di. Logo:,.. Aproimr truncndo n qurt cs deciml, sendo que,9 di,.. Sbendo-se que e pode ser escrito como e i! i, fç proimção de e trvés de um truncmento pós qutro termos d somtóri. tem-se: e i i i i! Truncndo-se pós qutro termos,!!!! e 8 9.!!

4 Noções básics sobre Erros. Considerndo no sistem de bse,, represente os seguintes números, em ritmétic de ponto flutunte: ),; b),. ), ; b), Considerndo no sistem binário,, represente o número em ritmétic de ponto flutunte.,. 8..,. 9.,.,,,,,,..,.,,,,8,8,,8,8.. Convert 9 pr bse. N 9 e N

5 . Convert 9 pr bse. N 9 e N 9 9 Noções básics sobre Erros - 9 b) PARTE FRACIONÁRIA ( F ): Multiplic-se F por e tom-se prte inteir do produto como o primeiro dígito do número n bse. Repete-se o processo com prte frcionári do produto tomndo su prte inteir. Continu-se té que prte frcionári sej igul zero. Nos eercícios seguir, determinr o vlor de :.,87.,87,7,7,,7,7,,,87,..,.,,,,8,,,,8,,,,..,. )? N e N. b),?,,,,,,. Logo:,,,,.

6 Trnsforme pr bse que se pede (determine o vlor de ). Noções básics sobre Erros -.,.,, 7 8 9,,7,, 7, 7,. 7. 9,8787. ) 9? N 9 e N 9 9. b),8787?,8787,87,87,7,87,87,7,,8787,. Logo: 9,8787 9,8787,,. 8. Trnsforme medid h 8 min 8 seg pr minutos. DICA: :8,8 min. 8 8 :8,8,:8: , 8, :8,8 8,. h 8 min 8 seg = 8, min.

7 9. Trnsforme,8 hors pr hors, minutos e segundos. DICA:,8. )? N e N Noções básics sobre Erros -. b), 8?,8, 8, 8,, 8,8:8. Logo:,8, 8,8:8,8:8.,8 h h 8 min 8 seg.. Preencher tbel seguir, com bse nos prâmetros: t,, I, S e ep. Número Truncmento Arredondmento,8,8,8,7,7,8 98,,9, 7,,, UNDERFLOW 79, 7 7,7,8 OVERFLOW Nos eercícios seguintes, clculr o vlor ds epressões utilizndo ritmétic de ponto flutunte com lgrismos significtivos.. (, 9,),,, 8,. 7., (9,,),, 8,.. (,99),,.. (,99,),.. (,7,) 7,8(,,),8(,9),98.

8 (, 7, ). 7 (, 9) 7,8,97. 7 Noções básics sobre Erros - 7. Sendo, t e ep[,], clcule: ) ; b) i ) =, ; i i. b) 8,8. i Nos eercícios seguintes, converter os números pr bse deciml, determinndo o vlor d vriável : 8.., , , ,.,, 7,,,87,87,,87,87.

9 .,. Noções básics sobre Erros,, 7,,,,,,78,987,,987, ,.,,,,,,987,,987,987. Nos eercícios seguintes, converter os números pr bse binári, determinndo o vlor d vriável :. 7. N 7 e N N e N

10 . Determine com dígitos:,7. Noções básics sobre Erros -8,7,,88,97,97,89,7888,77,,,88,97,97,89,7888,77,,,,8,,8,9,98,8,7,,8,,8,9,98,8,7,,98,98,89,99,98,798,9,87,7,788,89,99,98,798,9,87,7,788,97,97,99,99,988,9,9,8,98,8,99,99,988,9,9,8,98,8,77,7,. 7. Determine com 8 dígitos:,7. )? N e N. b), 7?,7,9,88,7,,,8,,,9,88,7,,,8,,,, 7,. Logo:,7, 7,,.

11 Zeros reis de funções reis Zeros reis de funções reis Isolr os zeros d função f ( ) 9. Pode-se construir um tbel de vlores pr f ( ) e nlisr os sinis: f ( ) Como f ( ) f ( ), f ( ) f ( ) e f ( ) f ( ), conclui-se, de cordo com o teorem, que eistem zeros de f () nos intervlos [,], [,] e [,]. Como f() = tem etmente rízes, pode-se firmr que eiste etmente um zero em cd um destes intervlos. y y =f() Pode-se tmbém chegr às mesms conclusões prtindo d equção f ( ) 9 =, obtendo-se equção equivlente 9. Neste cso, tem-se que g( ) e h ( ) 9. Trçndo os gráficos de g () e h (), verific-se que s bscisss dos pontos de intersecção dests curvs estão nos intervlos [,], [,] e [,]. y g () h () Outr form de se verificr unicidde de zeros nestes intervlos, é trçr o gráfico d função derivd de f (), f '( ) 9 e confirmr que mesm preserv o sinl em cd um dos intervlos ],[, ],[ e ],[, conforme Erro! Fonte de referênci não ncontrd..

12 y Zeros reis de funções reis - y =f () Isolr os zeros d função f ( ) ln,. Pode-se construir um tbel de vlores pr f () e nlisr os sinis: f () Como f ( ) f ( ), conclui-se, de cordo com o teorem, que eistem zeros de f () no intervlo [,].,,, -, -, -, -, -, -, -,7 -,8 -,9 -, y y =f(),,8,,, Pode-se ind verificr grficmente que função derivd d função f (), f '( ) ln preserv o sinl no intervlo ],[, neste cso f '( ) ],[, o que pel Obs. grnte que só eiste um zero de f () neste intervlo.

13 y Zeros reis de funções reis f ( ) -. Isolr os zeros d função f ( ) log,. Pode-se construir um tbel de vlores pr f () e nlisr os sinis: f () Como f ( ) f ( ), conclui-se, de cordo com o teorem, que eistem zeros de f () no intervlo [,]. Pode-se tmbém chegr est mesm conclusão prtindo d equção f ( ) log, =, obtendo-se equção equivlente log,. Neste cso, tem-se que g( ) log e h( ),. Trçndo os gráficos de g () e h (), verific-se que bsciss do único ponto de intersecção dests curvs está no intervlo [,]. y g( ) h( ). Isolr os zeros d função f ( ) e. Pode-se construir um tbel de vlores pr f () e nlisr os sinis: f () Como f ( ) f ( ), conclui-se, de cordo com o teorem, que eistem zeros de f () no intervlo [,]. Pode-se tmbém chegr est mesm conclusão prtindo d equção f ( ) e, obtendo-se equção equivlente e. Neste cso, tem-se que g( ) e h( ) e. Trçndo os gráficos de g () e h (), verific-se que bsciss do único ponto de intersecção dests curvs está no intervlo [,].

14 y Zeros reis de funções reis g( ) - h( ). Determinr um vlor proimdo pr, com erro inferior. Determinr é equivlente obter o zero positivo d função f () =. Sbe-se que o intervlo [,] contém este zero e tolerânci neste cso é =. Assim, quntidde mínim de iterções pr se obter respost com precisão eigid é: log( b ) log log( ) log log log n n n n log log log log n,8. Como n deve ser intero, tem-se n 7. n b f ( ) f ( ) f (b ) (b )/,,,,,,,,,,,,,,87,,,87,87,,,87,7,, 7,7,87,,78 Portnto,87,78. Um tnque de comprimento L tem um secção trnsversl no formto de um semicírculo com rio r (vej figur). Qundo cheio de águ té um distânci h do h topo, o volume V d águ é: V L, r r rcsen h ( r h ). Supondo r que L ft, r ft e V, ft, encontre profundidde d águ no tnque com precisão de, ft. h r h

15 Zeros reis de funções reis - Pr clculr profundidde rh d águ, substitui-se os vlores de r, L e V n epressão nterior pr obter equção rcsenh ( ) h é h. Assim, deve-se clculr o zero d função h f (h) rcsenh ( ) h,, cuj riz h,,, com precisão de. Pr isto, primeirmente isol-se o zero dest função num intervlo d seguinte form. Pode-se construir um tbel de vlores pr f (h) e nlisr os sinis: h f (h) Como f ( ) f ( ), conclui-se, de cordo com o teorem, que eistem zeros de f (h) no intervlo [,]. Pr se confirmr unicidde deste zero neste intervlo, pode-se utilizr OBS., isto é,, clcul-se derivd f ( h) de f (h) pr verificr que mesm preserv o sinl no, h / intervlo ],[. Assim, obtém-se f ( h) h h ( h ) h, ( h ) f ( h) h ], [, o que signific que f (h) é estritmente crescente neste h intervlo, o que grnte unicidde do zero de f (h) em ],[. Agor determin-se o número de iterções necessáris pr se obter precisão eigid: log( b ) log log log n n n,8 log log Logo são necessáris n = 7 iterções. n h b f () f (h) f (b) (b)/,,,,,,,,,,87,,,,,87,,,787,87, 7,,,787,78 Assim, h,,78 e profundidde r h d águ solicitd é proimdmente (,) ft.

16 Zeros reis de funções reis. Obter lgums funções de ponto fio pr função f (). Efetundo diferentes mnipulções lgébrics sobre equção f () ou -, podem-se obter diferentes funções de ponto fio, como por eemplo: ), logo ( ). Como ( ) e (), tem-se que e são pontos fios de ( ). b), logo se pode ter ( ) e neste cso tem-se que é ponto fio de ( ), pois (), ou ( ) e neste cso tem-se que é ponto fio de ( ), pois ( ). c), logo ( ). Como ( ) e (), tem-se que e são pontos fios de ( ). d) ( ), logo ( ). Como ( ) e (), tem-se que e são pontos fios de ( ). No próimo psso lgums dests funções serão utilizds n tenttiv de gerr seqüêncis proimdors dos zeros de f ().. Aproimr o mior zero d função f () ( ), e,., utilizndo função Neste cso fórmul de recorrênci ( ), n,,, será: n n n n ) n, e pode-se construir seguinte tbel: ( n n (,,,,99,99,7,7,9989,9989,8 n n ) Percebe-se que neste cso seqüênci } converge pr riz d equção. y { n y = n ( ) =

17 . Aproimr o mior zero d função f () ( ), e,. Zeros reis de funções reis, utilizndo função Neste cso fórmul de recorrênci ( ), n,,, será: n n ) n n n (, e pode-se construir seguinte tbel: n n n ( n),,7,7 8, 8, 9,9 9,9 7,9 - Percebe-se que neste cso seqüênci } não converge pr riz d equção. { n y y = = ( ) 7. Verificr s condições i) e ii) do teorem nterior qundo do uso d função ( ) no eercício número. Verificção d condição i): ( ) é contínu no conjunto S { / }. '( ) é contínu no conjunto T { / < }. Verificção d condição ii): ' ( ) < < <,7 Logo, é possível obter um intervlo I, tl que I, onde s condições i) e ii) estão stisfeits.

18 Zeros reis de funções reis 8. Verificr s condições i) e ii) do teorem nterior qundo do uso d função ( ). Verificção d condição i): ( ) e ' ( ) são contínus em. Verificção d condição ii): ' ( ) < < < <. Logo, não eiste um intervlo I, com I, e tl que ' ( ) <, I Encontrr o zero de f () e com precisão, utilizndo o método do ponto fio. Pode-se construir um tbel de vlores pr f ( ) e nlisr os sinis: f () Como f ( ) f ( ), conclui-se, de cordo com o Teorem, que eistem zeros de f () no intervlo [,]. Fzendo h( ) e e g ( ), pode-se verificr que os gráficos ds mesms se intersectm em pens um ponto, o que grnte que só eiste um zero de f () neste intervlo. y h( ) = e g( ) =

19 Assim, o zero de f () está isoldo em [,]. Procurndo um função de ponto fio dequd pode-se fzer: Zeros reis de funções reis -7 e e e ( ) e Verificndo s hipóteses i) e ii) do Erro! Fonte de referênci não encontrd.: e i) ' () e ( ) e '( ) são contínus em [,], o que grnte primeir condição do Erro! onte de referênci não encontrd.. ii) k = m '( ) [, ] e ' ( ). e ' ( ). e e, 7 e ' ( ), 8. e Como ' ( ) é decrescente no intervlo I =[,], k =,8 <, o que grnte segund condição do Erro! Fonte de referênci não encontrd.. Procur-se gor, o etremo do intervlo I =[,] mis próimo do zero de f () : Pr isto, segue-se o indicdo n observção, isto é, clcul-se o ponto médio do ( ( )), intervlo I =[,]: ˆ, e (ˆ ) (, ) e,. Como ˆ < (ˆ ), isto é ˆ, < (ˆ ) (, ),, então está entre ˆ, e, ou sej, é o etremo de I mis próimo de. Dest form, inicindo o processo recursivo pelo ponto, grnte-se que todos os termos d seqüênci proimdor pertencerão o intervlo I =[,]. Logo, utilizndo ( ) e prtir de, ger-se um seqüênci convergente pr o zero de f (). n n n n n,, > -,,,98 > -,,89, > -,89,88, > -,88,88 < - Portnto, =,88.

20 . Encontrr solução pr equção = cos com precisão Zeros reis de funções reis. cos cos f ( ) cos Pode-se construir um tbel de vlores pr f ( ) e nlisr os sinis: f () Como f ( ) f ( ), conclui-se, de cordo com o Teorem, que eistem zeros de f () no intervlo [, ]. -8 Fzendo g() e h() cos, pode-se verificr que os gráficos ds mesms se intersectm em pens um ponto, o que grnte que só eiste um zero de f () neste intervlo. Est informção tmbém pode ser verificd observndo que função f '( ) sen, preserv o sinl ], [, isto é, tem-se que neste cso f ' ( ), ], [ (e tmbém em [, ] ). Isto signific dizer que função f ( ) é estritmente decrescente no intervlo ], [. y g ( ) = h( ) =cos Como - f ''( ) cos, tmbém preserv o sinl em [, ], ( f ''( ), ], [, tem-se que s condições i), ii) e iii) do teorem são stisfeits. Assim, fórmul recursiv de Newton pr este cso fic: n n cos( n) n sen( ) pr n. Agor deve-se escolher convenientemente: Pode-se verificr que o ponto médio ˆ ou ˆ, e ˆ,79. Pel observção concluímos que n, pois ˆ < ˆ. n n n n > -,788,9 > -,788,79899,978 > -,79899,798,777 > -,798, 798, < - Portnto, =,798. n

21 Zeros reis de funções reis. Considerndo o mesmo eercício nterior, encontrr solução pr equção = cos com precisão, usndo o método d secnte. Considere = e =, como proimções iniciis. f() = cos() = Assim, fórmul recursiv do método d secnte pr este cso fic: n+ = n f( n ) n f( n ) f( n ) f( n ) n (n-) (n) (n+) (n+) - (n),877,9,877,798998,,877,798998,799,8,798998,799,798,98e-,799,798,798,e-8 Portnto, =,798. Nos eercícios seguintes, considerndo cd método especificdo, determine um proimção pr o zero d função.. Pelo método d Bissecção, determine um proimção pr (,) d função f() = e cos com proimção tl que (b )/. n b f ( ) f ( ) f (b ) (b )/, - + +,,, - - +,,,7, - - +,,7,7, - - +,,7,87, - + +,,7,, , 7,7,, - - +,78 8,,987, - + +,9 9,,7, ,9,7,888, ,97,7,779, ,888,7,797, ,,7,7879, ,7,7879,787, ,E- Logo,,787-9

22 Zeros reis de funções reis. Pelo método do Ponto Fio ou Aproimções Sucessivs, determine um proimção pr (,) d função f() = e cos com proimção ε = ε = tl que f( n ) < ε ou n+ n < ε. Utilize,. f ( ) e cos f ( ) e cos ( )cos e '( ) em (,) ( )cos e ' ( ) em (,) φ() = cos e + n+ = φ( n ) n n n n n f ( n ) Prd,,7977,,99,7977,79987,99,77,79987,97,77,98,97,8977,98,8,8977,77789,8,987,77789,778,987 7,78E- f( n ) < ε Logo,,778.. Pelo método de Newton-Rphson, determine um proimção pr (,) d função f() = e cos com proimção tl que f ( n ) ou n+ n < ε. Utilize,. f ( ) e cos f ' ( ) e sen f ( ) e cos ( ) ( ) f '( ) n ( n ) e sen n n n n n f ( n ) Prd,,9,87,88,9,77,77,E- f( n+ ) < ε Logo,,77.. Pelo método d secnte, determine um proimção pr (,) d função f() = e cos com proimção tl que f ( n ) ou n+ n < ε. Utilize =, e =,, como proimções iniciis. n+ = n f( n ) n f( n ) f( n ) f( n ) n (n-) (n) (n+) (n+) - (n),,,,,,,7,8,,7,789,,7,789,7,88e- Logo,,7. -

23 Resolução de sistems de equções lineres - Resolução de sistems de equções lineres. Resolver o sistem S, com S S [ A b ] [U c ] [ A b ] (Mtriz umentd). Sej B [ A b ] e Bk [U c ] pós k conjuntos de operções elementres plicds sobre B. Etp : em B, tome clculm-se os multiplicdores ( ) () L i, com i,,, como s linhs de B e () m i (i,).. () m ( ) ; m () ( ). Operções elementres ns linhs L L () ; () Sendo ( ) i L (i,,). () L i (i,,) s linhs d mtriz B. Anulm-se todos os vlores bio do pivô B 7. ( ) () L m () () L m () (). L L () () L ; L. () como pivô e Etp : Repete-se o processo pr o próimo pivô, situdo n digonl d mtriz B. () () Em B, tome L i, com i, e como pivô. ( ) () m ( ) () (. () L L ) ; L L ) ; B Segue que: ( 7 B [U c ]. () () () L m () () () L L.

24 Resolução de sistems de equções lineres Resolvendo U c por substituição retrotiv, tem-se: tmbém, solução pr o sistem A b. T Método compcto pr TRIANGULAÇÃO U c : Linh Multiplicdor m Mtriz Aumentd Trnsformção () B - () () () () m = -( )/( )= - - m = -( )/( )= () B () () m = -( - )/( - )= () B - As linhs contendo os pivôs formm o sistem U c. () () () L + L + L + () () () L L L - que é, 7. Resolver o sistem S com rredondmento em dus css decimis, n mtriz umentd. 8, 7, 9,,,, 8, 8,, 9, 7 S A b, 8,,, 88,, 8,,,, Linh Multiplicdor m Mtriz Aumentd () B 8,7, 9,,, () () () () () () m = -(, )/( 8,7 ), -8,8, -, -9,7 m = -(, )/( 8,7 ), -8, -,, -8,8 m = -(, )/( 8,7 ), -8, -,, -, () B, -7, -,9-7,8-9,88 () () () () m = -( -, )/( -7, ), -, -79, -,7-79,9 m = -( -88, )/( -7, ), -88, -, -, -,89 () B,, 7,8 9,7 87,7 () () m = -( 9,9 )/( 7,8 ),, 9,9 8,,7 () B,,, -7, -7, Então A b U c [ A b ] [U c ]. 8, 7, 9,,, 7,, 9 7, 8 988, U c 7, 8 97, 877, 7, 7, Logo: T,,,,.

25 Resolução de sistems de equções lineres 8. Com bse no eercício nterior, clculr o resíduo r do sistem A b. r b A., 8, 7, r 97,, 8, 8 88,, 8,,, 8, r 9,,,,,,, 8, 8. T,,,,.,,,, - 9. Resolv S com rredondmento em dus css decimis, utilizndo eliminção de Guss com pivotemento completo. 8, 7, 9,,,, 8, 8,, 9, 7 S A b., 8,,, 88,, 8,,,, Linh Multiplicdor m Mtriz Aumentd () () () m = -(, )/( -8, ) 8,7, 9,,, () m = -( -8,8 )/( -8, ), -8,8, -, -9,7 () B, -8, -,, -8,8 () () () m = -( -8, )/( -8, ), -8, -,, -, () m = -(, )/( -,9 ),7, 8,,, () B 9,,,9 -,9 -, () () m = -(, )/( -,9 ) -9,, 9,, -8,9 () () m = -(, )/( -, ),,,9,, () B -,,,, -7,7 () B,, 9,8, -9, Então A b U c [ A b ] [U c ]. B, 8,,, 88, B 9, 9,, 9, U c B,, 7, 7 B 98, 9, Com o cálculo retrotivo de B pr B, obtém-se:,,,, T. Considerndo-se precisão em dus css decimis, o processo levou o eto, em conseqüênci o resíduo é nulo. r b A r,,,, T.

26 Resolução de sistems de equções lineres. Decompor mtriz A, usndo Decomposição LU. A = ( ) Clculndo o m ij e u ij, usndo o processo de Guss (m ij sem troc de sinl), temos: Pr Colun d mtriz A () : A=A () = ( ) Pivô = = Multiplicdores: m () = () () = = m () = () () = = Então: L () L () ; L () () () () m L + L L () () () () m L + L A () = ( ) Pr Colun d mtriz A () : Pivô = = Multiplicdores: m Então: L () L () ; L () L () () = () () = = L () () () () m L + L A () = ( ) Os ftores L e U são: L = ( m ) = ( ) e U = ( ) m m Logo: A = L U = ( ) ( ) = ( ) Vmos proveitr o Eercício cim pr resolver um sistem de equções lineres trvés d Decomposição LU.. Resolv o sistem liner seguir usndo Decomposição LU (Ftorção). + = { + = + = Já temos que: A = ( ) = ( ) ( ) = LU Pr resolvermos o sistem A = b, onde b = ( ) t, resolvemos primeirmente Ly=b. y y = ( ) ( y ) = ( ), ou sej, { y + y = y y + y + y = -

27 Resolução de sistems de equções lineres y Então ( y ) = ( ). y A seguir clculmos trvés d equção U = y. + = ( ) ( ) = ( ), ou sej, { = = Logo, = ( ) = ( ). -. Resolv o sistem liner seguir usndo ftorção LU: + + = { + + = + + = A = ( ) e b = ( ) Usndo o processo de Guss pr tringulr A, tem-se: ª colun Multiplicdores: m () = () () = e m () = () () = Aplicndo os multiplicdores, obtém-se mtriz A () : L L A () = ( / / ) L m L + L / / L m L + L ª colun Multiplicdor: m () = () () = Aplicndo o multiplicdo, obtém-se mtriz A () : L L A () = ( / /) L L L m L + L Os ftores L e U são: L = ( / ) e U = ( / /) / Resolvendo o sistem L(U)=b, tem-se: y = y Ly = b { + y = y + y + y = y = ( /) + + = U = y { + = = = ( 9 )

28 . Resolv o sistem liner seguir usndo ftorção LU:,y,z =, {, + 7y,z = 7,8,,y + z =,,,, A = (, 7,) e b = ( 7,8 ),,, Usndo o processo de Guss pr tringulr A, tem-se: ª colun Multiplicdores: () m = () =, e m = () =, Aplicndo os multiplicdores, obtém-se mtriz A () :,, L L A () = ( 7,,9) L m L + L,9, L m L + L ª colun Multiplicdor: () m = () =,7 Aplicndo o multiplicdo, obtém-se mtriz A () :,, L L A () = ( 7,,9) L L, L m L + L () Resolução de sistems de equções lineres - Os ftores L e U são:,, L = (, ) e U = ( 7,,9),,7, Resolvendo o sistem L(U)=b, tem-se: y =, Ly = b {,y + y = 7,8,y,7y + y =, y = (, 7,8 ),87,, =, U = y { 7,,9 = 7,8, =,87, = (, ),88

29 . Considere mtriz. A = ( ) ) Clcule ftorção LU de A. b) Usndo ftorção LU, clcule o determinnte de A. ) Usndo o processo de Guss pr tringulr A, tem-se: ª colun Multiplicdores: () m = () = e m = () = () Aplicndo os multiplicdores, obtém-se mtriz A () : L L A () = ( ) L m L + L L m L + L ª colun Multiplicdor: () m = () = Aplicndo o multiplicdo, obtém-se mtriz A () : L L A () = ( ) L L L m L + L Resolução de sistems de equções lineres -7 Os ftores L e U são: L = ( ) e U = ( ) b) Sbe-se que A = LU então: det(a) = det(lu) det(a) = det(l) det(u) det(a) = ( ) ( ( ) ) det(a) =

30 Resolução de sistems de equções lineres. Aplicndo-se o método d decomposição LU mtriz:??? A = ( 8 )? Obtiverm-se s mtrizes:????? L = (??? ) e U = (?? )????? Preench os espços pontilhdos com vlores dequdos. Inicimos completndo mtriz L com os elementos d digonl principl, que são igul, e com os elementos cim d digonl principl, que são nulos. L = ( )? Tmbém podemos completr lguns elementos d mtriz U, bio d digonl principl, que são nulos.?? U = (? ) Com o multiplicdor m = () (), podemos clculr os elementos : m = () () = () -8 () = Comprndo primeir linh ds mtrizes A e U, completmos primeir linh desss mtrizes: A = ( 8 )? U = (? )

31 Com o multiplicdor m = () Assim, temos: Resolução de sistems de equções lineres (), podemos clculr os elementos : m = () () () = () = A = ( 8 ) Com os ddos obtidos d mtriz A podemos clculr o elemento () = () () m () = () = Assim, temos: U = ( ) Usndo o processo de Guss pr tringulr A, tem-se: A () = ( ) Com os ddos dess mtriz podemos clculr o multiplicdor m : Assim, temos: () m = () = L = ( ) () : -9

32 Resolução de sistems de equções lineres. Considerndo respost do eercício, fç o refinmento de té que se obtenh (k ) o resíduo r =, considerndo precisão dupl (,), qutro css decimis. 8, 7, A b,,, 8, 8 8, 8, () T (),,,, () r b A REFINAMENTO: (k) ( k ) ( ) k () 9,,,,,,,, () r T (),,, 8, 8 () () A ( ) k ( k) r [ A r, 9, 7 88,, ( k) ] ( ) k k [ A r ] Linh Multiplicdor m Mtriz Aumentd () B 8,7, 9,, -, () () () () () () () m = -(, )/( 8,7 ), -8,8, -, -, m = -(, )/( 8,7 ), -8, -,,,8 m = -(, )/( 8,7 ), -8, -,,,8 () B, -7,8 -,897-7,77, () () () () m = -( -, )/( -7,8 ), -, -79,9 -,7, m = -( -88, )/( -7,8 ), -88, -,8 -,7,9 () B,, 7,99 9,7,79 () () m = -( 9, )/( 7,99 ),, 9, 8,,99 B,,, -7,77, () Considerndo css decimis: 8, 7, () 7, 8 [ A r ] Então: () () [ A r ] Como: () () r () () () b A Logo, pós refinmento, foi obtido r (k) ( k ) ( ) processo itertivo () 9,, 897 7, 99, 7, 77 97, 777,,,, 79, - () T,,,, () T,,,, () T,,,, () r T,,,,. considerndo dígitos significtivos. Logo, o. k com k levou T

33 Resolução de sistems de equções lineres ( ) n e 7. Resolv o sistem seguir, utilizndo o método de Guss-Jcobi, com,. A b 7 8 F d - F 7 8 e d Neste cso fórmul de recorrênci fic: ( k) F (k ) d ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) 7 ( ) ( k) ( k) 8( ) ( k) ( k) ( ) k (k) (k) (k) m i ( k) i -,7 -,,,,9 -,8,9,,978 -,98,9,,999 -,9888,998,,9979 -,999,997,7, -,9989,8, Com () T ( k ) i e,, o processo convergiu com iterções pr:, 9989, 8,. T

34 Resolução de sistems de equções lineres - 8. Verificr se o critério ds linhs é stisfeito no sistem de equções A b, que segue: A b 8 7 A Logo, mtriz dos coeficientes A é estritmente digonl dominnte, o que grnte convergênci do método de Guss-Jcobi plicdo este sistem com est ordem de equções e incógnits. 9. Verificr se o critério ds linhs é stisfeito no sistem de equções A b, que segue: A b 8 A 8 8 Logo mtriz dos coeficientes A não é estritmente digonl dominnte. Isto signific que não é grntid convergênci do método de Guss-Jcobi plicdo este sistem com est ordem de equções e incógnits. Ms permutndo dequdmente s equções do sistem, obtém-se o sistem equivlente: 8 onde A 8 8 Logo, est nov mtriz dos coeficientes A é estritmente digonl dominnte, o que grnte convergênci do método de Guss-Jcobi plicdo este sistem com est nov ordem de equções e incógnits.

35 Resolução de sistems de equções lineres ( ) n e 7. Resolv o sistem seguir, utilizndo o método de Guss-Seidel, com,. A b Neste cso fórmul de recorrênci fic: ( k) ( k) ( k) 7 ( ) ( k) ( k) ( k) 8( ) ( k) ( k) ( k) ( ) k (k) (k) (k) 7 8 m i ( k) i ( k ) i -,7 -,7,98,7,998 -,98,98,98,9977 -,,87,877,8 -,897,, Com () T e,, o processo convergiu com iterções pr:,, 9,. T -

36 Resolução de sistems de equções lineres ( ) e 7. Resolv o sistem A b, utilizndo o método de Guss-Jcobi, com n,. A b k F ( k) F (k) (k ) e d ( k) ( k) d ( k) (k) Neste cso fórmul de recorrênci fic: ( k) ( k) ( ) ( k) ( k) ( ) ( k) ( k) ( ) (k) m i ( k) i -,,,7,7 -,,,,87 -,7,7,887,8 -,97,87,7,8 -,8787,87,978,977 -,,88 7,,7988 -,978,778 8,977988,97 -,79, ,89988,8 -,977,899,987, ,8,97,97, -,9878,98 Com () T ( k ) i e,, o processo convergiu com iterções pr:, 97,, 987. T -

37 Resolução de sistems de equções lineres ( ) e 7. Resolv o sistem A b, utilizndo o método de Guss-Seidel, com n,. A b Neste cso fórmul de recorrênci fic: ( k) ( k) ( k) ( ) ( k) ( k) ( k) ( ) ( k) ( k) ( k) ( ) k (k) (k) (k) m i ( k) i -,7 -,87,,9 -,987,,7,99 -,9997, Com () T ( k ) i e,, o processo convergiu com iterções pr:, 7, 99, T 7. Verificr se o critério de Sssenfeld é stisfeito no sistem de equções A b, que,,,,,,,, segue: A b,, 7,,,,,,,,, A,,,,, 7,,,, [ ] [,,, ],7 [ ] [,,7,, ], [ ] [,,7,7,, ],78 [ ] [,,7,,,,78],7 -

38 Então, i i Resolução de sistems de equções lineres - M m m {,7 ;, ;,78 ;,7 },7. Logo o critério de Sssenfeld está stisfeito, o que grnte convergênci do método de Guss-Seidel plicdo este sistem. 7. Verificr se o critério de Sssenfeld é stisfeito no sistem de equções A b, que 9 segue: A b Com est disposição de linhs e coluns, tem-se que: [ ] [] >, logo o critério de Sssenfeld não é stisfeito. Permutndo s equções e tem-se o sistem de equções equivlente:, e pr est disposição verific-se que: 9 [ ] [] >, logo o critério de Sssenfeld novmente não é stisfeito. Permutndo gor s coluns e tem-se o sistem de equções equivlente:, e pr est disposição verific-se que: 9 [ ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] Então, M mi m {, }. Logo o critério de Sssenfeld está i stisfeito, o que grnte convergênci do método de Guss-Seidel plicdo este sistem com est nov ordem de equções e incógnits.

39 Interpolção 7. Determine L i ( k ) pr i,,, k,, e n. i L ( ) k L ( k L ( ) k L ( ) ( )( ) ( )( ) ) ( )( ) i L ( ) ( )( ) k L ( ) k L ( ) k L ( ) ( )( ) i L ( ) ( )( ) k L ( ) k L ( ) k L ( ) Pr k, com k,,,, n, temos: n P n ( k ) i k i k i y i y L ( ) i i L i ( k ) L ) y i i ( i k y i Interpolção -7

40 Interpolção 7. Interpolr o ponto, n tbel bio, empregndo o polinômio interpoldor de Lgrnge. i i y i n é o gru máimo de P ( ). P ( ) i L i ( ) j ji L ( ) y ili ( ) P ( ) L ( ) L ( ) L ( ) L ( ) ( ) i j ( ) j ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) L ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) L ( ) L ( ) Logo: P ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) P ( ) P (,) P ( ) ) ( ( ) 7 9 P (,) 8 P (,) P (,),7 8-8 y P( ) 8 -

41 Interpolção 77. Interpolr o ponto, n tbel bio, empregndo form de Newton. i i y i n é o gru máimo de P ( ). Tbel de diferençs dividids: -9 ordem ordem ordem ordem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ( ) f [ ]( ) f [, ]( )( ) f [,, ] ( )( )( ) f [,,, ] P ( )( )( )( )()( )( )( )() P ( ) P ( )

42 78. Sej f ( ) dd em form de tbel de vlores, como segue: Interpolção,,,,,,7 f ( ),,,7,9,,7 ) Obter f (,7) usndo um polinômio de gru ; b) Dr um estimtiv pr o erro. Tbel de diferençs dividids: ordem ordem ordem ordem,,,8,,,,8 7,89,,7,7,7 8,9,,9,,7,,,,8,7,7,7 Deve-se escolher pontos próimos de,7 pr obtenção de P ( ). P ( ) f [ ]( ) f [, ]( )( ) f [,, ] P ( ),7(,),7(,)(,), P ( ),,798,99 ) P (,7),78 f (,7) b) E (,7) (,7,)(,7,)(,7,) 8,9 n n E (,7) 8,. -

43 79. Prove iguldde seguinte. P ( ) f ( ) f ( ) ordem ordem f [ ] y f [, ] y y f [ ]( ) f [, ] Interpolção - f [ ] y P ( ) f [ ]( ) f [, ] P ( ) f [ ]( ) f [, ] y P ( ) y ( ) P ( ) y y P ( ) y y P ( ) y P ( ) y P ( ) y y y y y y y 8. Encontre tl que f ( ) pel tbel bio: P ( ) f ( ) f ( ),,,7,8,9, f ( ),,8,,,,7 Fzendo interpolção liner por, e,7: P ( ) f ( ) f ( ), 7, P ( ),8,,, P ( )8,,7,, P ( ),9,8., 8 P ( ),9,8 9,,978.

44 8. Considere tbel seguir: Interpolção,,,,, y e,,,99,98,87 Obter, tl que e,, usndo um processo de interpolção qudrátic. Usr form de Newton pr obter P ( y ). Construir tbel de diferençs dividids. y ordem ordem ordem ordem,9,,,,8,99,,,7,778,79,99,,78,77,8,98,,,7,87, P ( y ) g [ y ]( y y ) g [ y, y ]( y y )( y y ) g [ y, y, y ] P ( y ),( y,),778( y,)( y,99)(,78) P (,),787. Assim, Erro cometido:,787 e, N clculdor,9. E ( y ) ( y y )( y y )( y y ) M! E (,) (,,)(,,99)(,,98) E (,),8 M! M! M m g '''( y), y [ y, y ]. o M Cso: pode ser proimdo por,99 (tbel de diferençs dividids de ordem ).! E (,),8,99 E ( y ),8. o Cso: f ( ) e g ( y ) g ' ( y ) g "( y ) y y Logo: M (, ) f ( y ) ln y g "' ( y ) y M,97, então M, 97,89.!! E (,),8,89 E ( y ),8 (limite superior). -

45 Interpolção 8. Achr função spline liner que interpol função f ( ) tbeld seguir. 7 y f ( ),, y s ( ) s ( ) s ( ) f ( ) - 7 Pel definição, pode-se definir splines lineres pr os pontos: s ( ), s ( ) e s ( ). s ( ) y s ( ) s ( ) y s ( ) y y s ( ), [,]. ( ) ( ) s ( ) ( ), [,]. s ( ) y y 7 s ( ), s ( ) 7 7 (, 8,), [,7]. Então, no intervlo [,b ][,7], spline liner S ( ) é dd por: s( ), se [, ]; s( ), s( ) ( ) S ( ) s( ), se [, ]; tl que s( ), se [, 7 ]. e s( ) (, 8, ).

46 Interpolção 8. Encontrr um proimção pr f (,) por spline cúbic nturl, interpolndo tbel:,,,, y f ( ),8,7,987 9, n, logo, procur-se s ( ), s ( ), s ( ) e s ( ). Spline Nturl k,,,( n ) k,, Utilizndo (), segue que: hk g k ( h k h k ) gk hkgk yk yk y k yk h k hk hk k k hk, k. hk h,. Equção () h gk h g k h gk ( y k yk yk ), com k,,. h Desenvolvendo o sistem A g b : hg hg hg y y y h hg hg hg y y y h hg hg hg y y y h g g (Spline Nturl). Então, h h g y y y A g b h h h g h y y y. h h g y y y Substituindo os vlores:, g,,,, g 78, g,., g 98,, Form gerl de s i ( ) f (,) s (,) g g b - s i ( ) i ( i ) b i ( i ) c i ( i ) d i, com i,,,., h,8 g,7 b,7 y y c hg gh,88 h c,88 d y,8 d,8 Logo, s (,),8(,),7(,),88(,),8 s (,),8 f (,).

47 Interpolção Considerndo os próimos eercícios, encontrr um proimção pr f ( ) por spline cúbic nturl, interpolndo tbel:,,,, y f ( ),8,7,987 9, n, logo, procur-se s ( ), s ( ), s ( ) e s ( ). Do eercício nterior, form gerl de s i ( ) é dd por: s i ( ) i ( i ) b i ( i ) c i ( i ) d i, com i,,,. 8. f (,8). f (,8) s (,8) g g,877,877 h g, b, b y y c hg gh,77 h c,77 d y,7 d,7 Logo, s (,8),877(,),(,),77(,),7 s (,8),9 f (,8). 8. f (,). f (,) s (,) g g,77,77 h g, b, b c d y y hg gh 8,78 h c 8,78 y,987 d,987 Logo, s (,),77(,),(,) 8,78(,),987 s (,),8 f (,). -

48 Interpolção - 8. f (,). f (,) s (,) g g,77,77 h g, b, b y y c hg gh 8,78 h c 8,78 d y,987 d,987 Logo, s (,),77(,),(,) 8,78(,),987 s (,),8 f (,). 87. f (,). f (,) s (,) g g,77,77 h g, b, b y y c hg gh 8,78 h c 8,78 d y,987 d,987 Logo, s (,),77(,),(,) 8,78(,),987 s (,),8 f (,). 88. f (,7). f (,7) s (,7) g g,8,8 h g b b y y c hg gh,8 h c,8 d y 9, d 9, Logo, s (,7),8(,) (,),8(,)9, s (,7), f (,7).

49 Integrção Numéric -7 Ajuste de curvs pelo método dos mínimos qudrdos 89. (Regressão Liner) Ajustr os ddos d tbel bio trvés de um ret. i,,,,8 8, i f ),,,8,,8 ( i Fzendo ( ) g ( ) g ( ) e considerndo g g () e g (), tem-se: g( ). Assim, ret que melhor se just os vlores d tbel terá coeficientes e, que são solução do seguinte sistem n form mtricil: g, g g, g g, f g, g g, g g, f T g [ ] g [,,,, 8 8, ] T T f [,,, 8,, 8] g, g ()()+()()+()()+()()+()() = g, g ()(,)+()(,)+()(,)+()(,8)+()(8,) =, g, g (,)()+(,)()+(,)()+(,8)()+(8,)() =, g, (,)(,)+(,)(,)+(,)(,)+(,8)(,8)+(8,)(8,) = 9, g g, f ()(,)+()(,)+()(,8)+()(,)+()(,8) =,9 g, f (,)(,)+(,)(,)+(,)(,8)+(,8)(,)+(8,)(,8) = 7, Assim,,, 9, 9, 7,, e, Logo equção d ret procurd é: g( ) g(),,

50 Integrção Numéric Ajustr os ddos d tbel trvés d prábol g ( ) : i 7 8 9,7,,,,,,,7 i f ),,,,,,,,,, ( i y Fzendo g( ) g( ) e considerndo g (), obtém-se g( ). Assim, pr se obter prábol que melhor se just os pontos d tbel, será necessário encontrr do sistem: g, g f g, [( ) (,7) (,) g (,7) () ] f [,,,,, ] g, () () +(,7) (,7) +(,) (,) + + (,7) (,7) + g - () () =,8 g, f () (,)+(,7) (,)+(,) (,)+ + (,7) (,) + () (,) =,87., 87 Assim,,, 8 Logo equção d prábol procurd é: g( ) g( ), T T

51 Integrção Numéric 9. Ajustr os ddos d tbel bio por um polinômio do segundo gru g( ). i i f ) 9 ( i -9 Neste cso tem-se que: g (), g ( ) e g ( ) g g g, g, g, g g g g, g, g, g g [ ] g [ ] g g g, g, g, g T T [( ) ( ) ( ) ( ) T T g ] g g g, f, f, f f [ 9] g, g ()()+()()+()()+()() = g, g ()()+()()+()()+()() = g, g ()()+()()+()()+()() = g, () ( ) +() ( ) +() ( ) +() ( ) = g g, ( ) ()+ g ( ) ()+ ( ) ()+ ( ) () = g, g ()( )+()()+()()+()() = g, ()( ) +() ( ) +() ( ) +() ( ) = g g, ( ) ()+ g g, () g ( ) + ( ) ()+ () ( ) + ( ) ()+ () ( ) () = ( ) + () ( ) = g, f ()()+()()+()()+()(9) = 8 g, f ()()+()()+()()+()(9) = g, f ( ) ()+ ( ) ()+( ) ()+ ( ) (9)= 8 Assim, 8, e. Logo equção d 8 prábol procurd é: g( ) g()

52 Integrção Numéric 9. Aproimr função f ( ) por um polinômio do primeiro gru, um ret, no intervlo [,]. g ( ) g ( ) g ( )=, isto é, g ( ) e g ( ). A b b g, g g, g b g, g g, g f, g f, g g g, g ( ) d d g, g g, g b g g, g ) d ( f, g f ) g ( ) d ( b f, g f ) g ( ) d A b Logo: ( g ( ) g( ) d d d d d d 8 e. - 8 g ( ) f ( ) em [,].

53 9. Aproimr função f ( ) e no intervlo [,] por um ret. g ( ) g ( ) g ( )=, isto é, g ( ) e g ( ). Integrção Numéric - A b b g, g b g, g g, g, d g, g g, g, d g, g g, g, d b f, g, e e de e g, g g, g f, g f, g b f, g e e, d Usndo o método de integrção por prtes em b : u dv u v vdu e d? Fzendo u du d e dv e d e d e e d Logo, e d e e ( )e ( ) e ( ). v e, obtém-se: e C Assim: A b e e e 8 e. Logo: g ( )(8 e ) e f ( ) e em [,].

54 Integrção Numéric 9. Ajustr os ddos d tbel que segue por um função d form g ( ) e. - f ( ),,7 Dest form, linerizndo função g ( ) e, como no primeiro eemplo nterior, tem-se: T T e ln f ( ) ln ln G ( ). Fzendo ln e, tem-se: G ( ). Dest form G ( )ln f ( ), sendo que G ( ) é liner nos prâmetros e. Fzendo gor g ( ) e g ( ) : g, g g, g lnf, g g, g g, g lnf, g g g ln f [ ln ln, ln, 7] g, g ()()+()()+()() g, g ()()+()()+()() g, g g, g g, ()()+()()+()() g T ln f, g ( ln)()+( ln,)()+( ln,7)(), ln f, g ( ln)()+( ln,)()+( ln,7)(),,,7 e,78., Assim,,78 e, 7 e e,8. e Dest form, tem-se que: g ( ) g ( ),8 e, 78 f ( ). Os prâmetros ssim obtidos não são ótimos dentro do critério dos mínimos qudrdos, isto porque estmos justndo o problem linerizdo por mínimos qudrdos e não o problem originl. Portnto, os prâmetros e do eemplo, são os que justm função G ( ) à função ln f ( ), no sentido dos mínimos qudrdos. Não se pode firmr que os prâmetros e (obtidos de e ) são os que justm g ( ) dentro do critério dos mínimos qudrdos. e à f ( ),

55 Integrção Numéric Integrção Numéric Clculr d, usndo regr dos trpézios., b 9 e f ( ) h b h 9 h 8. b 9 h f ( ) d [ f ( ) f (b )] I T 8 d [7] IT. O erro cometido será, no máimo: h E T m b [, ] " f ( ) f ( ) f () f (b ) f (9)7 " f ( ) 9( ) / E T 8 m [, 9 ] Logo, E 8. T / 9( ) E 8 9 E,9 T T 9 9. Clculr d empregndo o método dos trpézios com 8 repetições. Determine um proimção pr o erro cometido. 9 h 9 h f ( ) d d [ f ( ) f ( 8 ) b 9 h n 8 7 i f ( i ) ] f ( ),,,,7,8, d [7(,,,,7,8,)] 7,8. d 7,8. Erro cometido será, no máimo: ( b ) " 8 E TR m f ( ) m 9( ) /. n [, b ] 8 [, 9 ] Neste cso em prticulr, f ( ) pode ser integrd de form et: 9 d 9 / 9 du u u

56 Integrção Numéric Sej I e d. Clcule um proimção pr I usndo subintervlos e regr dos trpézios repetid. Estimr o erro cometido. b i h h, i, com i,,,. n f ) d ( e, d [ f ( ) f ( ) e, d [ e e ( e e d,797., e, e, e Erro cometido será, no máimo: ( b ) " ( ) E TR m f ( ) m n [, b ] [,, 9 i e ] f ( i ) ], e, e,7 e,7. e,8,9 e )], Sej I e d. Qul o número mínimo de subdivisões, pr regr dos trpézios repetid plicd em I, de modo que o erro sej inferior? ( b ) " E TR m f ( ) m n [, b ] e e n n, n n. 99. Sej I e [, ] e e. d. Clcule um proimção pr I usndo regr / de Simpson com m. Estime o erro cometido. Sendo m, h / h,. e,,,, d ( e e e e e d,78878., e, e Estimtiv do erro: ( ) ESR m e 88 [, ] e ESR E SR,. 88 Observe que ESR, e ETR,7.,8,9 e e, )

57 Integrção Numéric -. Sej I e d. Pr que vlor de m terímos erro inferior? ( b ) ESR m f m () Obs: m n n 88n [, b ] ( ) e 88n n e 88 n,988 n,98. m n,97 m Pr um erro inferior serim necessários subintervlos. Obs: n regr dos trpézios com repetição são necessários intervlos.. Sej I erro cometido. b h h,. n 8 log d. Aproime I com regr dos trpézios com 8 repetições. Estime o i 7 8 i,, 7, 7, 8, 8, 9, 9,, f ( i ),778,89,898,87,99,9989,9,9777, d log d log ln Obs: d ln d ln ln d log log e. d, logd [,778,(,89,9777)],9. ETR logd,9. Estimtiv do erro: ( ) 8 ETR m d log d [, ],. 8 ETR loge

58 . Sej I Integrção Numéric - log d. Aproime I com regr de Simpson com 8 subintervlos. Estime o erro cometido. b h h,. m 8 e n. m 8 i 7 8 i,, 7, 7, 8, 8, 9, 9,, f ( i ),778,89,898,87,99,9989,9,9777, d log d log Obs: d ln d ln d log log e. d d log loge. d d log loge. d, logd [,778,(,898,98999,9) (,89,87,9989,9777)],99. logd,99. Estimtiv do erro: ( ) ESR m f () E SR 88n [, ] 88 E,79. SR loge

59 Solução numéric de equções diferenciis ordináris Solução numéric de equções diferenciis ordináris dy. Resolver seguinte EDO: y. d dy y d dy d y dy y ( ) d lny c y e c y e c e y k e, pr k. Que represent um fmíli de curvs em.. Pr mesm EDO nterior, y ( ) y, com e y. dy y d (PVI) condição y() inicil k y e., y y, resolv considerndo um condição inicil y k e k e. Achr proimções pr solução do PVI h,., y,, b, m m., Usr Eq pr j,,,,9., y y y( ) n mlh de [,] com j : y y h f (, y ) y h ( y ) y, f (,) y, () y h,, j : y y h f (, y ) y h ( y ) y, (,) y, h

60 ,,, TABELA: j j Solução numéric de equções diferenciis ordináris y j y ( j ) y j y ( j ) e j,,87 -,87,,,87 -,87,,9,88 -,88,,,7 -,,,99, -,,,,88 -,77 7,7,7899,98 -,888 8,8,7,99 -,8879 9,9,8789,7 -,99,878,7879 -,9 N prtic, não se dispõe d solução et y ( ) do PVI. Dí necessidde de se determinr um epressão mtemátic pr o erro. Us-se fórmul de Tylor pr desenvolver y ( ), solução teóric do PVI, em torno de : j 7-8, y y. Achr proimções pr solução do PVI y( ) usndo o método d equção ()., y,, b, m m., Usr equção () pr j,,,9. n mlh [,] com h =, j : y y h y, ( )! h,, y ( ) h y y h ( y ) ( y ), y ( ) f (, y ), y ( ) y.,, f f y ( ) (, y ) (, y ) f (, y ) y,, y ( ) y. j : (, ) y,() () y, h,,. y y h y, ( )! h,, y ( )

61 h y y h ( y ) ( y ) Solução numéric de equções diferenciis ordináris 7-9 (, ) y,,(,,) (,,) y,9 h,,. TABELA: j j y j y ( j ) y j y ( j ) e j,,,87,,,9,87,9,,7,88,99,,789,7,89,,777,,7,,98,88,98 7,7,979,98,9 8,8,9977,99,7 9,9,778,7,78,898,7879,98 dy y 7. Achr proimções pr solução do PVI d n mlh [,] com h =, y() usndo o método de Euler Aprimordo. j j y j k k y ( j ) / e y j y ( j ) -,,,87 -,7 -,,8899,799,,,98

62 Solução numéric de equções diferenciis ordináris dy y 8. Clculr solução do PVI d com h =,, no interior do intervlo [,], pelo y() método de Runge-Kutt de qurt ordem. h y j y j ( k k k k ), pr j,,,,9. j j k k ( y j,)( j y j, k ) k ( j,)( y j, k ) k ( j,)( y j, k ) j y j k k k k -, -,987 -,99,,9979 -,998 -,8 -,888 -,997,, ,997 -,997 -,779 -,879987,, ,8799 -,98 -,88 -,97,,9 -,98 -,798 -,7 -,,,8899 -,8 -,789 -,79 -,87,,87 -, -,788 -,899 -,788 7,7,787 -, ,8 -,78 -,8988 8,8,79 -,899 -,97 -,98 -, 9,9,978 -,79 -,7 -,88 -,889,7, y y 9. Achr proimção pr solução do PVI n mlh [,] com h =, y( ) usndo o método de Runge-Kutt de segund ordem (Euler primordo)., y,, b, m m,, y j y j ( k k ), pr j,,,,9 k j y j e k j, y j, k j j y j k k,,,,9,8,,9,897,877,,7,8787,98,,789,9989,978,,777,99,8,,98,9,789 7,7,979,78977,79 8,8,9977,7,99 9,9,778,9779,9,898 7-