Sistemas Eléctricos e Electromecânicos

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1 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos Colectânea de Problemas Resolvidos 00 DEEC Área de Especialização em Energia Gil Marques Maria José Resende

2 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00

3 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 Índice Problema Nº Introdução aos Circuitos Resistivos... 5 Problema Nº - Circuitos Resistivos... 8 Problema Nº - Circuito RL série (regime permanente)... 0 Problema Nº 4 Circuitos em AC - Regime Permanente Circuito RLC série... Problema Nº 5 Circuitos em AC - Regime Permanente + Compensação F.P Problema Nº 6 Circuitos Trifásicos... 8 Problema Nº 7 Circuitos Trifásicos com C. Factor Potência... 0 Problema Nº 8 Circuito Magnético I... Problema Nº 9 Circuito Magnético II... 4 Problema Nº 0 - Circuito Magnético Cálculo de forças... 7 Problema Nº Cálculo da Força electromecânica numa armadura... 9 Problema Nº Problema do conversor electromecânico rotativo elementar... Problema Nº Circuito Magnético... 6 Problema Nº 4 Transformador de distribuição monofásico... 8 Problema Nº 5 - Máquinas Eléctricas - Transformador... 4 Problema Nº 6 Determinação das características de uma máquina de indução a partir do circuito equivalente Problema Nº 7 Funcionamento da Máquina de indução na zona de pequenos escorregamentos Problema Nº 8 Máquina de indução controlada com o método u/f Problema Nº 9 Métodos de arranque da máquina Assíncrona de rotor em gaiola... 5 Problema Nº 0 O gerador de indução Problema Nº - Máquina de Indução ou Assíncrona Problema Nº Conversor de frequência rotativo com duas máquinas síncronas Problema Nº Motor de Excitação em série... 6 Problema Nº 4 - Maquina DC Veículo Eléctrico... 6 Problema Nº 5 - Máquina de corrente contínua de Excitação Separada Problema Nº 6 - Máquina de Corrente Contínua de Excitação em Série Problema Nº 7 Máquina de Corrente Contínua... 70

4 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 4

5 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS RESISTIVOS Considere o circuito eléctrico representado na figura. Os valores das fontes e resistências encontram-se representados na mesma figura. Pretende-se resolver este circuito, isto é, determinar os valores das as corrente tensões e potências em todos os elementos do circuito. a) Estabeleça as equações resultantes da aplicação das leis dos nós necessárias para a resolução do circuito. Apenas interessam os nós com mais do que dois ramos. Do nó A tira-se: i i i do nó B tira-se: i i i que é equivalente à obtida na aplicação ao nó A o que ilustra que basta escrever N- equações dos nós. b) Estabeleça as equações resultantes da aplicação das leis das malhas. Escolham-se as malhas segundo a figura: 5

6 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 Na malha tem-se: u u 0 Na malha tem-se: u u 8 0 Se estas duas equações forem verificadas, então a equação que resulta da circulação da malha exterior também será verificada. Na realidade obter-se-ia: u u 8 0 Que resulta também da soma das duas equações anteriores. Isto quer dizer que esta terceira equação é linearmente dependente das outras duas. Com efeito: ( u u) ( u u 8) 0 c) Escreva as equações dos elementos do circuito Tem-se: us us 8 u R i u Ri u Ri Com R, R e R os valores indicados na figura d) Resolva o circuito utilizando o método das correntes fictícias. Definam-se as malhas Por inspecção, tem-se: i J J i J i J (o queequivalea escrever a leidosnósnonó A) Circulando nas malhas e introduzindo ao mesmo tempo as leis dos elementos tem-se: RJ R( J J) 0 RJ 8 R( J J) 0 Colocando na forma matricial, obtém-se: 6

7 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas J J R R R R R R Numericamente obtém-se: J J Resolvendo o sistema de equações obtém-se como solução: J J Aplicando a relação entre as correntes de ramo e as correntes de malha, tem-se: i i i As tensões nos ramos será: V i R u V i R u V R i u 0 0 e) Calcule as potências em todos os ramos. A tabela apresenta os valores das correntes, tensões e potências. Elementos I [A] U [V] P [W] Us -4 Us 8 8 R 4 R R 0 0 Pode verificar-se que a soma das potências é nula o que verifica o princípio de conservação de energia. A fonte de V está a fornecer potência ao circuito. As resistências estão a consumir potência eléctrica. A fonte de 8V está a receber potência do circuito.

8 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº - CIRCUITOS RESISTIVOS Considere o circuito representado na figura com os valores das fontes e resistências indicados. R, 5 R 0 R R V s V Vs R R4 Js J s 0, 8A R 0 R 4 0 a) Determine todas as correntes nos ramos e tensões nas fontes utilizando o método das correntes fictícias Escolham-se as correntes de malha como se indica na figura. Não é necessário escolher uma corrente de malha no ramo da fonte de corrente pois esta corrente já é conhecida neste ramo. Circulando na malha, obtém-se: J J 0 V s RJ R Circulando na malha, obtém-se: J J R J R J J 0 R 4 s Colocando na forma matricial, tem-se: R R R R J Vs R R R4 J R4Js Substituindo valores:,5 0 0J 40 J 6 Usando a matriz inversa tem-se: J,5 J 0 0 0, ,05 0,05 0,x 0,05x6 0,0 6 0,05x 0,0x6 J 0,8 J 0, 8

9 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 b) Calcule as potências em todos os elementos e verifique o princípio de conservação de energia. O cálculo das correntes e tensões nos elementos faz-se a partir do valor das correntes fictícias. Vamos arbitrar as tensões como se representa na figura e as correntes no sentido do terminal + para o terminal -. As correntes, tensões e potências serão: Elemento Corrente [A] Tensão [V] Potência [W] V s I s J 0, 8 V s V s I s 9, 6 R I J 0, 8 V IR V I, 6 R I J J V RI 0 V I 0 R I J 0, V RI V I 0, 4 R 4 I 4 J Js 0, 6 V 4 R4I4 V 4 I4 7, J s J s 0, 8 VJ s V4 VJ s J s 9, 6 Verifica-se que, por coincidência, ambas as fontes estão a fornecer ao circuito 9,6W. Pelo princípio da conservação de energia, Energia Fornecida EnergiaDissipada 9,6 9,6,6 0 0,4 7, Processo simplificado Aplicando a conversão Norton-Thevenin, tem-se o circuito: Cujas equações são: R R R R J Vs R R R4 J R4Js 9

10 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº - CIRCUITO RL SÉRIE (REGIME PERMANENTE) Determine a evolução temporal em regime permanente das tensões e correntes em cada um dos elementos, quando aplica uma fonte de tensão alternada sinusoidal de valor eficaz E 0 V, f 50 Hz. ef i u R (t) e(t) R 0 R L 00 mh L u L (t) e( t) Eef sin( t ) E E joº ef e Z ZR ZL R jl Z e j Z subs.v alores Z sendo R L e L arctan subs.v alores arctan 78º R 0 E I Z E j ef e 0 Z e j E ef Z e j Ief e j subs.v alores I 0 e j78, 4 e j78 96 A UR j R I R Ief e subs.v alores U e j78 e j78 R 0,4 48 V UL jli L e j90 I j L j 90º ef e Ief e subs. valores U e j L 50000,4 5e j V A evolução temporal das grandezas será, então: i ( t),4 sin( t 78º ) 80 u R ( t) u L ( t) 48 sin( t 78º ) 80 5 sin( t º ) 80 0

11 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 U L [V] e(t) ur(t) ul(t) i(t) [A] 5 4 U R 78º E U R I

12 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº 4 CIRCUITOS EM AC - REGIME PERMANENTE CIRCUITO RLC SÉRIE Resolução do circuito RLC em série i u R (t) u C (t) e(t) R C L u L (t) Impedância da resistência Z R R Impedância da bobine ZL jl Impedância do condensador Z C j C Como estas impedâncias estão em série ZT ZR ZC ZL R j C jl ZT R jl C º Caso L 0 C Z T R Z T I E Circuito com carácter Resistivo º Caso L 0 C Z T R j X Z T I E Circuito com carácter Indutivo º Caso L 0 C Z T R j X I E Z T Circuito com carácter Capacitivo Substituindo valores: E ef 0 V, f 50 Hz, R 0, C 00 F e L 00 mh

13 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 Z L C 84 arctan arctan 77º R 0 Z 86 e j77 A impedância não é uma grandeza sinusoidal Não faz sentido falar no seu valor eficaz nem na sua evolução temporal!!! Ief Eef Z 0 e j0,7 e j77 86 e j77 A URef R Ief 0,7 e j77 5 e j77 V ULef j L Ief L,7 e j e j V UCef 7790 j67 8 e V j j Ief,7 e C C Z T º U C U L U C U L U R U C U R º E º I

14 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 [V] e(t) ur(t) uc(t) ul(t) i(t) [A]

15 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº 5 CIRCUITOS EM AC - REGIME PERMANENTE + COMPENSAÇÃO F.P. Considere o seguinte circuito, alimentado a partir de uma rede de corrente alternada E 0 V e ef frequência R 0. Ext f 50 Hz. Considere: R R' 0, 5, L 5 mh, L ' 4 mh, M 50 mh L e a R L ' R ' L L M R Ext b Determine: a) A impedância equivalente do circuito, observada a partir dos terminais ab. Z é a série de R ', L ' e R Ext : a R L L M Z b R R j ' Z ' Ext L Z 6,8 0,5 j,6 0, 6 e j Z é o paralelo de Z e L M : a R L Z b jl 5,7 90 0,6 6,8 Z e j e j Z 8,4 8, 6 e j 6,5 j5, jl 5,7 90 0,6 6,8 Z e j e j 5

16 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 Finalmente, ZT é a série de R, L e Z : a Z T Z T R jl Z 0,5 j,57 6,5 j5, 7,0 j6,77 9,75 e j44 b) a corrente fornecida pela fonte, bem como as potências activa e reactiva. b V I ZT 0e j0,6 e j44 9,75 e j44 A Potência Complexa * j0 j44 j44 S V I 0e,6 e 5 48e VA Potência Activa P ReS 5 48 cos44 805W Potência Reactiva Q ImS 5 48 sin 44 77VAr o valor da capacidade de um condensador, a colocar à entrada do circuito, de modo a assegurar um factor de potência unitário. No problema tem-se: factor de potência cos44 0, 7 indutivo e pretende-se que cos ' ' 0º circuito com um carácter resistivo, globalmente, P 0 e Q 0. A potência fornecida por um condensador com uma tensão por uma corrente I c, é: V c aos seus terminais e que está a ser percorrido I c V c Sabendo que a impedância do condensador é Z c j C Tem-se: Ic V c Zc C Vc j90 e A potência complexa será então: Sc * V j90 c Ic C Vc e 6

17 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 P c Qc Re S c C V cos 90 0 c Sc C V sin 90 C V Im c c o condensador fornece Q O problema pretende que se dimensione C que forneça toda a energia reactiva que está a ser consumida pelo circuito; deverá ser então: Q c Q C Vc 77 C C 7 F

18 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº 6 CIRCUITOS TRIFÁSICOS Considere o circuito representado na figura A fontes de tensão constituem um sistema simétrico e equilibrado de tensões de valor eficaz frequência f 50 Hz. O valor dos parâmetros é: 0 / 400 V e R 0 R 6 R 4, 6 L 5, 5mH C 54F a) Calcule as correntes nas fases bem como a corrente de neutro. V s 0e j0º V 0º 0 j s e V 40º 0 j s e As impedâncias de carga de cada fase são: Z ZR R subs. valores Z 0 Z ZR ZL R jl subs. valores Z 6 j00 5,5 0 Z 0 e j5,6º j j Z ZR ZC R subs. valores Z 4,6 C V s 0e j0º I subs. valores I e j0º A Z 0 V s 0e j0º I subs. valores I e j7,6º A Z j5,6º 0 e Z 64,º 0 e j I V s 0e j40º subs. valores I e j75,9º A Z j64,º 0 e A corrente de neutro será: IN I I I subs. valores IN e j0º e j7,6º e j75,9º IN,8 j4,4 4, e j69º b) Desenhe um diagrama vectorial representando as amplitudes complexas das tensões e das correntes 8

19 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 c) Considere agora que todas as cargas são iguais à da fase (carga trifásica equilibrada). Calcule as amplitudes complexas das correntes nas fases e no neutro. Desenhe o respectivo diagrama vectorial Z Z Z Z 0 e j5,6º V s 0e j0º I subs. valores I Z j5,6º 0 e e j5,6º A V s 0e j0º I subs. valores I Z j5,6º 0 e e j7,6º A V s 0e j40º I subs. valores I Z j5,6º 0 e e j67,4º A A corrente de neutro será: IN I I I subs. valores IN e j5,6º e j7,6º e j67,4º I N 0 9

20 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº 7 CIRCUITOS TRIFÁSICOS COM C. FACTOR POTÊNCIA Considere um circuito trifásico simétrico ligado em triângulo, alimentado a partir da rede eléctrica nacional 0/400V, 50Hz. Cada fase da carga pode ser representada pelo seguinte circuito eléctrico: R Z L R R = L = 0 mh a) Determine o valor da impedância Z, de modo a que o valor da impedância total em cada fase seja 7e j50º ; Z 6, j90 L j L e ZR R jlr,6 e j90 Z emparalelocom,9 8 Z Z e j L R,8 j0,6 R jl 6,6 e j7 Ztotal ZR Z Z Z Ztotal ZR Z 7cos50 j7sen50,8 j0,6 Z 0,7 j4,8 4,85e j8 b) Calcule o valor das correntes na linha e as potências activa e reactiva fornecidas pela fonte IFase V Fase Ztotal e j50 7 e j50 A Como ILinha IFase I Linha 57 98,7 A P V Comp I Linha cos ,7 cos W Q V Comp I Linha sin ,7 sin VAr 0

21 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 c) Determine o valor dos condensadores, a colocar em paralelo com cada fase, de modo a assegurar um factor de potência de 0,85. Na nova situação (com condensadores) o circuito consumirá P e Q e o factor de potência é cos ' 0, 85 ',8 º Será então P P' e Q' S' sin ' P' tan' Pelo que: Q ' tan,8 7 5 VAr A potência reactiva fornecida pelos condensadores será: Q Q Q' VAr Por outro lado, condensadores alimentados com uma tensão V Qcond C cond de potência reactiva. V cond a uma frequência, fornecem Deverá ser então: Q cond Q Como os condensadores deverão estar ligados em, será Tem-se então: 50 C C F V cond 400 V Represente num diagrama vectorial as tensões e as correntes nas fases, antes e depois de compensar o factor de potência. As componentes activas das correntes, antes e depois da compensação, são iguais I cos50 I' cos, 8 V I' I V ^ I 50º ^ VI ', 8º I I' O,8º 50º I' V ^ ^ ^ VV VV V V I ^ ^ ^ I II II 0º 0º I ^ ^ I' I' I' I' I' I' 0º ^ V

22 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº 8 CIRCUITO MAGNÉTICO I Considere o circuito magnético representado na figura. Considere que o ferro tem permeabilidade relativa igual a i N cm mm 6 cm 0000, que o entreferro é de mm e que a bobine de 400 espiras é percorrida por uma corrente de A. A permeabilidade magnética do ar pode ser aproximada à do vazio. rfe 0000 g mm cm N 400 espiras 4 cm I A cm cm cm 7 ar 0 40 H / m a) Determine os parâmetros do esquema eléctrico equivalente, calculando as reluctâncias magnéticas. O circuito eléctrico equivalente é: R armadura R entreferro R entreferro Fmm R núcleo As relutâncias magnéticas são: g S Rentreferro ar Ae.Wb Rarmadura 6 0 arm 5968Ae.Wb rfe ar S R núcleo núcleo rfe ar S Ae.Wb As relutâncias magnéticas devidas aos entreferros são cerca de 80 vezes superiores às dos troços em ferro, mesmo sendo o percurso no entreferro 40 vezes inferior ao no ferro!! A relutância magnética total será:

23 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 R Total Rentreferro Rarmadura R 008 Ae.Wb núcleo b) Calcule a relação Rentreferro. RTotal Rentreferro RTotal , c) Calcule o fluxo e o campo de indução B Fmm N i Ae Fmm RTotal 400 0,990 Wb 0,99mWb 008 0,990 B 0, 48T S Se se tivesse desprezado a relutância dos troços em ferro face à relutância dos entreferros, os valores seriam: Fmm RTotal 400 0, 0 Wb 0, mwb , 0 B 0, 5T S 8 0 4

24 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº 9 CIRCUITO MAGNÉTICO II Considere o circuito magnético representado na figura. N 400 espiras rfe 0000 I A ar H / m Considere que o ferro tem permeabilidade relativa igual a 0000, que a bobine de 400 espiras é percorrida por uma corrente contínua de A. A permeabilidade magnética do ar pode ser aproximada à do vazio. Considere duas situações distintas: entreferro de 0 mm e entreferro de mm a) Determine o modelo de circuito magnético, os respectivos parâmetros e os valores dos fluxos e campo de indução. As diversas relutâncias magnéticas para g mm são: l [m] S [m] R [Ae/Wb] Rb 0,05 0, Rc 0,07 0, Rc 0,0 0, Rar 0,00 0, Do circuito magnético equivalente obtém-se: R c R ar Ni Rb Rc Rar Rc Rb Ni R c R ar R c R c Rc R ar R c R c R R ar b Rc Rar Rc Rb R c Para g mm resulta: 4

25 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas , mwb central 0, mwb 0, 0 Bar 0, 45 Sar T B central 0, 0 central 0, 45 Scentral 60 4 T Para g 0mm resulta: ,05 mwb central 0, 05 mwb 0,050 Bar 0, 0 Sar T B central 0,050 central 0, 0 Scentral 60 4 T 5

26 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 Método alternativo: Este método usa a simetria do circuito magnético para simplificar as equações; o esquema equivalente é o representado na figura seguinte: Ni Rar Rc Rb Rc Rar Rc Rb Rc Ni R ar Rc Rb Rc Substituindo valores para g mm : Wb 0, mwb Substituindo valores para g 0mm: Wb 0, 0 mwb b) Repita a) desprezado as relutâncias do ferro face às do ar. Para g mm resulta: ,05 mwb Para g 0mm resulta: ,05 mwb 6

27 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº 0 - CIRCUITO MAGNÉTICO CÁLCULO DE FORÇAS Considere o seguinte sistema electromagnético. Admita que não há dispersão. 0 cm a b C R N 0 cm N R c d mm N 00esp. R C F r Fe 800 S 4cm N 00esp. R V ab 0V x0 Hm Determine: o valor da relutância magnética do circuito magnético; Rm l Fe lar l ar r ar S ar S Fe Ae Wb R m Ae Wb x x Rm l ar ar S Ae Wb os valores dos coeficientes de auto-indução das bobinas; N 00 N 00 L 0,008H L 0,00H R m R m 5 0 o valor da corrente solicitada à fonte, quando a bobina está em vazio e aos terminais ab é aplicada uma tensão alternada sinusoidal, com um valor eficaz de 0 V e uma frequência de 50 Hz; Z eq R jl emparalelocom jc Z 7 R j L j 50 0,0 j, e j Zc j 8 8e j90 jl 6 j 500 Z Zc j7 Zeq, e O Condensador é, praticamente, um circuito aberto Z Zc 7

28 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 8 A,, j j eq e e Z V I o valor médio da força a que fica sujeita a peça, nas condições da alínea anterior e para valores de entreferro de mm. Para I = constante é: x L i F ) ( x R N L L m S x x R m 0 ) ( 0 0 ) ( ) ( x S N i x S dx d N i x R N dx d i x L dx d i F m N ) ( 4 7 mm x F

29 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº CÁLCULO DA FORÇA ELECTROMECÂNICA NUMA ARMADURA Considere o dispositivo do problema nº8 redesenhado na figura abaixo. A área da secção recta é igual a 8cm. A. Considere a armadura alinhada com o núcleo. A. Calcule a relutância magnética do entreferro. g R ar 0A g R entref 0A A. Determine uma expressão para o coeficiente de auto-indução da bobina desprezando a dispersão. Por definição L i Tem-se N N i N R m N L R m Desprezando a contribuição do ferro no cálculo da relutância total N A N L 0 Rar g A. Calcule uma expressão para a força electromecânica que se exerce na direcção vertical, em função da corrente e da espessura do entreferro. Determine o valor desta força considerando: Espessura do entreferro igual a mm e a corrente i=a. Espessura do entreferro igual a 0 mm e corrente i=a. Sendo a corrente imposta, a expressão da força deverá ser determinada através da co-energia magnética. fx ' W m x L i i x dl dx f x i dl dx L em função da espessura do entreferro é A N L( x) 0 x A força será dada por d f x ( x) i AN 0 4 dx x f x ( x) i 0AN 4 x 9

30 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 k f ( ) i x x com x Substituindo valores: k 0AN 4 k 4,0 0 5 para para x 0 m e i A f x 0, 05 N x 00 m e i A f x 0, 40 N A4. Considere agora que a corrente é alternada sinusoidal de valor eficaz igual a A e de frequência igual a 50Hz. Com a espessura do entreferro igual a mm, calcule a expressão da força que se exerce sobre a armadura e o seu valor médio. Compare com o resultado alcançado na alínea A. Se a frequência passar para 400Hz, qual a influência no valor médio desta força? Sendo i I sin t i I sin t I cos( t) k x pelo que será: ( x) I cos( t) f x cujo valor médio é dado por: k f ( ) I xav x x A expressão do valor da força média, em termos de valor eficaz, é igual à expressão da força na situação de corrente contínua. Não depende da frequência, mas depende do valor do entreferro x. A5. Considere que esta bobina se encontra alimentada com uma fonte de tensão sinusoidal de frequência igual a 50Hz e de valor eficaz igual a 60V. Calcule uma expressão para a força electromecânica que se exerce sobre a armadura. Despreze o valor da resistência da bobina e considere a espessura do entreferro igual a mm. Se a frequência passar para 400Hz, qual a influência no valor médio desta força? Se a bobina se encontrar alimentada por uma fonte de tensão a força terá de ser determinada através da expressão da energia magnética: fx W m x x L( x) Sendo desprezável a resistência da bobine, tem-se: d u dt u dt donde u U sin t U cos t 0

31 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 A força poderá ser obtida através da expressão da energia magnética: W m L( x) como já se tinha calculado A N L( x) 0 obtém-se: x W m L( x) x 0AN ' W pelo que a força será: f m x Esta força não depende da posição da armadura x. x 0AN U O quadrado do fluxo será dado por cos t U AN 0 Substituindo a expressão do fluxo, tem-se: cos t f x Cujo valor médio é dado por: U f xav A força depende agora da frequência. 0AN Aumentando a frequência 8 vezes (400 Hz) a força diminui 64 vezes. Para os valores indicados, obtém-se: Valor médio da força coeficiente de auto-indução reactância corrente f xav 7 N L 0, 04 H com x mm X L, 6 U I 4, 7 A X B. O entreferro é agora constante e igual a mm, mas a armadura está desalinhada do núcleo segundo a direcção longitudinal como y se mostra na figura. g B. Calcule uma expressão para a força segundo y em função de C B g e y. Comente o resultado. x Nesta situação uma das relutâncias magnéticas do entreferro vai variar com y. A outra vai ficar constante. R g m 0 CB R m 0 g B C y O coeficiente de auto-indução será dado por: L( g, y) g 0CB N 0 g B C y dl( g, y) f y I dy

32 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 C. O entreferro é agora constante e igual a g mas a armadura está desalinhada do núcleo segundo a direcção transversal como se mostra na figura. Calcule uma expressão para a força segundo a direcção z considerando que a bobina se encontra alimentada com uma fonte de corrente contínua de amplitude igual a A. Comente o resultado. Calcule o valor da força para g=mm e I=A. B Nesta situação ambas as relutâncias magnéticas vão variar com z. R ar g 0 CB z N N O coeficiente de auto-indução será dado por: L( g, z) 0C( B z) Rar g Daqui resulta a força: f z I dl dz N f z I 0 C g Para g mm e I A obtém-se f z N

33 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº PROBLEMA DO CONVERSOR ELECTROMECÂNICO ROTATIVO ELEMENTAR Considere um sistema electromagnético constituído por duas bobinas como o indicado na figura F r F s Os coeficientes de indução destas bobinas são: Ls=H, Lr=H, Msr()=0,9cos(). a) Determine uma expressão para a co-energia magnética. A expressão para a co-energia magnética toma a forma: ' Wm(, is, ir ) Lsis Lr ir Mi sir Substituindo valores, tem-se: ' Wm(, is, ir ) is ir 0,9 isir cos b) Determine uma expressão para o binário electromagnético. O binário pode ser obtido através da derivada da co-energia magnética. Obtém-se: W ' m(, is, ir ) Mem 0,9 isir sin c) Sabendo que as correntes são dadas por: i s =0A, i r =0A, determine a expressão do binário em função da posição. Substituindo os valores das correntes, obtém-se: M em 0,9 isir sin 90sin

34 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 d) Calcule o binário máximo. O binário máximo será 90Nm obtendo-se para = -/. e) Determine a posição de equilíbrio quando o binário exterior aplicado for 45Nm. Analise a estabilidade dos pontos encontrados O movimento é regido pela segunda lei de Newton. Para o movimento de rotação, na convenção motor, temse: d I m dt Mem Mext O ponto de equilíbrio obtém-se quando o binário acelerador, dado pela diferença entre M em e M ext se igualar a zero, ou seja, quando M em = M ext. Desenhando ambos os binários no mesmo gráfico, o ponto de equilíbrio obter-se-á quando os gráficos destes se cruzarem. Obtêm-se os pontos A e B. Para o ponto A tem-se =-/6. Para o ponto B tem-se =-+/6. M em B A M ext - /6 O ponto A constitui um ponto de equilíbrio estável. Com efeito, se houver uma perturbação no sistema e a posição se deslocar para a direita, o binário acelerador fica negativo acelerando o rotor no sentido negativo, isto é, no sentido de regressar ao ponto de equilíbrio. O mesmo se passa para a deslocação à esquerda. A análise está feita graficamente na figura onde as setas a preto indicam o binário acelerador obtido depois da perturbação e as setas a azul indicam o sentido de deslocamento do rotor. Pode verificar-se que para o ponto A, depois da perturbação desaparecer, o sistema regressa ao ponto de equilíbrio. Para o ponto B o sistema afasta-se do ponto de equilíbrio. 4

35 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 M em B A M ext - -/6 A figura ilustra o funcionamento do sistema nestas condições. Quando o binário exterior aplicado for nulo, o ponto de funcionamento será dado por =0, isto é, as duas bobinas estão alinhadas. O binário electromagnético será nulo também. Quando se aplicar um binário que faça rodar a peça móvel no sentido negativo de, o rotor rodará para um novo ângulo negativo e surge um binário electromagnético em oposição que vai equilibrar o sistema. Obtém-se um ponto de equilíbrio de modo que os dois binários sejam iguais e de sinais opostos. Estas duas situações estão ilustradas nas figuras seguintes. F r F s F s F r Posição de equilíbrio com M ext =0 Posição de equilíbrio com M ext >0 Uma vez que o binário é função da posição, pode fazer-se uma analogia mecânica considerando que tudo se passa como se existisse uma mola entre o estator e o rotor. Quanto maior for o binário aplicado maior será o ângulo de equilíbrio. 5

36 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº CIRCUITO MAGNÉTICO Considere um circuito magnético em que a peça móvel se desloca perpendicularmente às linhas de força do campo. Admita para dimensões da figura os seguintes valores: g= mm d=0 cm I=5 cm N=500 espiras Determine, em função da coordenada x: a) a expressão da relutância magnética do circuito; d I g I g I x 0 d x x x 0 d x x d S d l S l d Para, x 0 S d l Para, 0 d x S( x) I d x Então S x) I d x ( para d d 0 x e S( x) S(0) para x 0 Admitindo que Fe Rmag R mag ar Rmag para Rmag ar d 0 x g 0 0,60 Ae Wb 7 0 S x x 0 0 x 6

37 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 b) a expressão do coeficiente de auto-indução da bobine; admitindo linearidade magnética N N L( x) Rmag ( x) 0 l d x g,6 0 0 x H c) A expressão da co-energia magnética ou da energia magnética armazenada na bobine; admitindo linearidade magnética W mag f, x ' f i, x L( x) W mag L( x) i N 0 l 4g d x i x J d) O valor e sentido da força a que fica sujeita a peça móvel. f d Wmag ' dx d N l d x 0 i dx 4g d x dx 65 N Força que tenderá a colocar a peça móvel por forma a que seja S d l. Note-se que o valor desta força é independente de x. 7

38 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 PROBLEMA Nº 4 TRANSFORMADOR DE DISTRIBUIÇÃO MONOFÁSICO Considere um transformador monofásico com as seguintes características nominais: S N =00kVA 0kV/400V No ensaio em curto-circuito, aplicando a tensão ao enrolamento de 0kV, obtiveram-se os seguintes resultados: U=500V I=0A P=kW No ensaio em vazio, aplicando a tensão aos terminais de 400V, obteve-se: U=400V I=,5A P=50W NOTA: Os valores usados neste problema estão próximos dos valores encontrados nos transformadores de distribuição trifásicos. a) Calcule os valores das correntes nominais do transformador. Pela definição de potência nominal, tem-se: SN UN IN UNIN donde: I N 0A I N 50A b) Qual o valor da tensão de curto-circuito em percentagem? A tensão de curto-circuito é o valor da tensão a aplicar a um dos enrolamentos de modo a obter-se a sua corrente nominal quando o outro enrolamento se encontrar em curto-circuito. Neste caso, atendendo aos dados do enunciado, para o enrolamento de 0kV aplicou-se 500V para se obter 0A que é o valor da corrente nominal deste enrolamento. A tensão de curto-circuito será igual a 500V. Em percentagem da tensão nominal será: U cc 500 5% 0000 que é um valor vulgar para transformadores desta dimensão. c) Qual o valor da corrente em vazio em percentagem? A corrente em vazio foi medida no ensaio em vazio. Como esta medida foi efectuada no enrolamento de 400V que tem uma corrente nominal de 50A, tem-se:,5 I 0 % 50 8

39 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 d) Determine os parâmetros do circuito equivalente deste transformador reduzido ao enrolamento de 0kV. O circuito equivalente de um transformador reduzido ao primário representa-se como: I R cc jx cc I' I U R fe jx m U' U A determinação dos parâmetros deste circuito é feita através dos ensaios em curto-circuito e em vazio. Para o ensaio em curto-circuito, atendendo à forma como foi feito, tem-se: I R cc jx cc I' I U R fe U' jx m Como U =0, tem-se U =0, e o circuito fica: I R cc jx cc I' U R fe jx m O ensaio em curto-circuito permite determinar o ramo R cc +jx cc. Para isso recorre-se a uma simplificação: a impedância do ramo de magnetização é muito superior em valor óhmico à impedância do ramo de curto-circuito. Esta simplificação permite desprezar a corrente que circula no ramo de magnetização neste ensaio. Note-se que em vazio, à tensão nominal, a corrente de magnetização é da ordem de %. À tensão reduzida de 5% será ainda menor, pelo que esta simplificação se torna perfeitamente admissível. Assim o circuito ficará: I =0A R cc jx cc U =500V P =000W O valor da resistência R cc será dada por: P 000 R cc 0 I 0 9

40 Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas 00 O valor da impedância será: Z cc U I 0 A reactância será dada por: X cc Note-se que este ramo é essencialmente indutivo. O termo indutivo X cc é quase igual ao módulo da impedância Z cc. Para o ensaio em vazio, tem-se: I =0 R cc jx cc I' I =,5A U R fe jx U' U m =400V Aplicando ao secundário uma tensão de 400V vai corresponder U =0000V. À corrente,5a vai corresponder uma corrente de 0,A dado que a razão de transformação é U /U =5. O circuito ficará: R cc jx cc I' =0,A R fe jx m P=50W U' =0000V Agora pode fazer-se uma outra simplificação: a queda de tensão no ramo de curto-circuito pode ser desprezada face à tensão aplicada. Note-se que esta queda de tensão será aproximadamente igual a 50 0.=5V que é muito inferior a 0000V aplicados. Assim, tem-se o circuito: I' =0,A R fe jx m P=50W U' =0000V Pode determinar-se os parâmetros a partir das potências activa e reactiva. A potência activa será representada na resistência e a potência reactiva na reactância. Assim: U 0000 R fe 400k P 50 A potência reactiva é dada por: Q S P , var 40