Problemas de Programação Não-Linear

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1 Problemas de Programação Não-Lear Tpos de problemas Para qe m problema de programação matemátca sea caracterzado como de programação ão-lear, ele deve apresetar ma ção obetvo ão lear, o pelo meos ma das restrções caracterzada por ma ção ão lear. Os problemas de programação lear podem ser classcados, de acordo com o úmero de varáves e restrções em: a Problemas moo-varados sem restrção 6 4 M b Problemas mlt-varados sem restrção M, c Problemas moo-varados com restrção M s. a : l 4 d Problemas mlt-varados com restrção M s. a : z,,..., rs rs q rs δ rs, c w dw r, s, r, s Codções de otmaldade Para qe ma solção sea cosderada ótma para m problema de programação ão-lear, ela deverá satsazer m coto de codções atrbídas a Karsh, Kh e Tcer. Tas codções, são também cohecdas por codções de KKT. Sea o problema de otmzação ão lear dedo como: M s. a : z,,..., g,,...,,..., m ode,,..., e g,,..., são ções derecáves em cada ma das varáves,,...,, e sea m escalar assocado a restrção g,,...,. Etão,

2 * * * *,,..., pode ser ma solção ótma para o problema de programação ão-lear acma, somete se estem m úmeros,,... m cohecdos pelo ome de mltplcadores de Lagrage qe satsaçam todas as segtes codções: m * * a g b g *,..., m c,..., m d g m *,..., Se além destas codções a ção,,..., é covea e o coto de solções váves,,..., * * * * dedo pelas restrções g é coveo, etão,,..., é o mímo global o solção ótma do problema. Na gra abao é lstrada a codção de otmaldade para m problema de programação ão lear, ode a solção ótma é * S. Note-se qe estem mltplcadores e postvos, e para os qas as qatro codções de KKT são satsetas. Além dsto, a ção obetvo represetada pelas crvas de ível traceadas verde e o coto solção dedo pelo poledro azl são coveas. g g g g * S g Deção Uma ção,..., é covea se, e somete se, para qasqer dos potos,...,,..., dsttos, e, tem-se: λ,..., λ,..., ] λ,..., λ,..., [

3 para todo escalar λ. A covedade de ma ção também poderá ser vercada através da sa matrz hessaa H qe deverá ser semdeda postva, sto é, deverá satsazer a segte codção: v T H v... v v v [... ] v v v T para qalqer vetor v [ v v... v ]..., stação em qe a ção é covea. Se esta codção é satseta com desgaldade, etão a ção é dta ser estrtamete covea. Deção Um coto solção S é coveo se, e somete se, para qasqer dos potos dsttos,..., S e,..., S e para todo escalar λ, tem-se qe: λ,...,,..., S λ A tersecção de cotos coveos também é m coto coveo. Para o caso partclar de problemas qe ão possem restrções, as codções de KKT se resmem a codções de otmaldade bem cohecdas: Problemas mlt-varados sem restrção: sem restrções, as codções b, c e d de KKT ão estem, e a codção a é smplcada para: * Problemas moo-varados sem restrção: smplcado ada mas, para problemas moovarados tem-se: d * d e este caso em partclar a covedade da ção poderá ser cormada se: d d

4 Eemplo Determar a solção ótma para o segte problema de programação ão-lear: :. a s Ma Colocado este problema a orma padrão de m NLP, e assocado os respectvos mltplcadores lagrageaos, tem-se: :. a s M e costrdo as codções de KKT: a o b ] [ ] [ ] [ c d Bscado solções para o sstema de KKT, tem-se: a Se ;; ; ; tem-se sstema compatível; b Se ;; ; ; tem-se ; ; qe é vável; c Se ;; ; ; tem-se sstema compatível; d Se ;; ; ; tem-se ;; ; ; ;

5 e Se ; ; ;; tem-se ; ; qe é vável; Se ; ; ;; tem-se ; ; ; ; ; g Se ; ; ;; tem-se ; ; ;; ; h Se ; ; ;; tem-se sstema compatível. As solções correspodetes às tetatvas 4, 6 e 7, apresetadas acma, são potos qe satsazem as codções de KKT. Vercado a covedade da ção obetvo tem-se: v v [ v v ] v qe é egatvo para qalqer valor de v, e portato a ção ão é covea, e em prcípo ada se pode armar a respeto das solções ecotradas. Etretato, da aálse do coto de solções váves, cocl-se qe se trata de m poledro coveo compacto pode ser scrto em ma bola de dmesão ta. Dado esta partclardade, este poto de ótmo global, qe deve ser ma das solções pesqsadas acma. Vercado valor da ção obetvo em cada caso, cocl-se qe a solção ; ; ; ; ;;;; é a solção deseada, e o valor da ção obetvo correspodete é. Eercíco proposto Aplqe as codções de KKT para ecotrar a proeção de m poto o P, de coordeadas p, p,..., p sobre m coto coveo dedo por: S {,,..., b,,..., } Cosdere a proeção de P sobre o coto S, como sedo o poto de coordeada,,..., S mas prómo de P. Costra m algortmo a partr do qe você pode observar.

6 Métodos de Bsca Moo-Varados Método de Newto Em matemátca, a sére de Taylor de Broo Taylor de ma ção tamete derecável é a sére de potêcas dada por: a a! ode,! é o atoral de e a deota a -ésma dervada de o poto a. Se a, a sére também é chamada de Sére de Maclar de Col Maclar. Com essa errameta, podem ser moldadas ções trgoométrcas, epoecas e logarítmcas em polômos. Com base esta epasão de ções em sére, Newto propôs o segte método de bsca moo-varado sem restrções. Dado ma ção covea e m poto cal, epade-se a ção em ma ção qadrátca, através da sére de Taylor. Dervado a epressão acma em relação à varável, e galado a zero, tem-se: d d o, qe é ma apromação do poto de mímo, cosderado qe a ção orgal o sbsttda por ma sére de Taylor de segda ordem. O método cosste, etão, em repetr o processo, tomado como poto cal o valor do últmo calclado. Em otras palavras, calcla-se: até qe ε. Eemplo 6 4 M 5 Dervada prmera: Dervada segda: 4 6 6

7 ,5 9,969 9,65 84,75,89 -,68 6,7 7,85,974-7,78 9,6 88,,865-7,86,585 6,55 4,89-7,884,7 55,6 5,88-7,884, 54,794 6,88-7,884, 54,79 Na gra abao é lstrada a codção de otmaldade para m problema de programação ão lear, ode a solção ótma é * S. Note-se qe estem mltplcadores e postvos, e para os qas as qatro codções de KKT são satsetas ,5 -, -,5,,5,,5 - - Método da Bseção o de Bolzao Dado ma ção covea, e sa dervada prmera, e m tervalo de bsca [ a, b], calcla-se o poto médo c a b /, e o valor da dervada c este poto médo. Etão, se: c > descarta-se [ c, b], pos o poto de mímo se ecotra em [ a, c] ; c < descarta-se [ a, c], pos o poto de mímo se ecotra em [ b, c]. De ato, este método ão devera ser caracterzado como sedo aplcado a problemas sem restrções, vsto qe a bsca se restrge a m tervalo cal, sto é, a b, qe de ato é ma restrção. A déa cetral do método é redzr o tervalo pela metade a cada teração, garatdo qe a solção ótma deseada ão se ecotra a parte descartada, como mostra a gra abao. Todos os métodos baseados esta déa, são também cohecdos como métodos de redção tervalar.

8 Eemplo 6 4 M 5 Dervada prmera: Itervalo de bsca: [.5;.5] a b c c c -,5,5,, -,,,5,75-7,695-4,9,75,5,5-4,64 6,7,75,5,98-7,575 6,578 4,75,98,844-7,88,4 5,75,844,797-7,84 -,7 6,797,844,8-7,876 -,99 7,8,844,8-7,88 -, 8,8,844,88-7,884,5 9,8,88,85-7,884 -,45,85,88,86-7,884 -,65,86,88,87-7,884 -,5,87,88,88-7,884 -,5,88,88,88-7,884,5 4,88,88,88-7,884, Note-se qe a cada teração é ecessáro calclar apeas o valor da ção dervada, em m poto, o qe de ato az com qe o csto comptacoal sea mto bao, especalmete os casos em qe o cálclo da ção dervada é mas ácl de ser realzado qe da própra ção orgal. Método da Secção Area O método da secção area é aproprado para determar o poto de mímo em ções coveas, qado a ção dervada é descohecda o pode ão ser deda em todo tervalo de bsca. O método basea-se a proporção area tlzada pelos arqtetos gregos e ptores reascetstas em sas obras. Esta proporção, deda pela costate ϕ,68..., poss propredades matemátcas teressates. E pode ser obtda de dversas ormas:

9 a ϕ 5 b ϕ... c F ϕ lm, ode,,,,5,8,,..., F, F é a seqeca de Fboacc. F Os gregos a tlzavam por razões de modlarzação. Na gra ao lado, se escolhermos valores de a e b tas qe a / b ϕ, etão a proporção também se matém a relação a b / a, sto é, a b / a ϕ. Esta propredade pode ser tlzada para costrr ma seqeca de redções tervalares ecetes, ode a cada redção de tervalo a ção obetvo é avalada ma úca vêz. O método da secção area calcla dos ovos potos, e, serdos o tervalo correte [ l, ], como sege: l e ϕ l l ϕ Para estes dos potos são calclados os valores da ção, e, e a segte comparação é realzada: Se < matém-se o tervalo l, ]; [ Se > matém-se o tervalo [, ] ; Ao aplcar ovamete o procedmeto de redção tervalar, m dos ovos potos calclados cocde com m dos potos calclados a redção ateror, e para este o valor da ção á o calclado, como mostra a gra abao. Eemplo 6 4 M Itervalo de bsca: [.5;.5]

10 l -,5,5 -,54,54 4, -4,98 -,54,5,54,79-4,98-7,8,54,5,79,6-7,8-6,5,54,6,65,79-6,9-7,8 4,65,6,79,895-7,8-7,787 5,65,895,78,79-7,595-7,8 6,78,895,79,8-7,8-7,88 7,79,895,8,856-7,88-7,875 8,79,856,86,8-7,87-7,88 9,86,856,8,84-7,88-7,884,8,856,84,846-7,884-7,88,8,846,87,84-7,884-7,884,8,84,85,87-7,884-7,884,85,84,87,88-7,884-7,884 4,85,88,86,87-7,884-7,884 5,86,88,87,88-7,884-7,884 6,87,88,88,88-7,884-7,884 O método de Fboacc é ma varate do método da seção area, o qal a ração descartada é calclada pela proporção estete etre úmeros scessvos da seqeca de Fboacc ao vés de tlzar a costate ϕ. Em stações ode a varável do problema precsa ser tera, a escolha deste método pode trazer beeícos, caso o tervalo cal sea apropradamete escolhdo levado em cosderação os úmeros da seqüêca. Método de Armo É m dos métodos mas smples e qe ão reqer qe a ção sea covea. O método de Armo basea-se a bsca scessva do tamaho do passo a ser dado a dreção de decréscmo da ção. Na -ésma teração, a partr de m poto cal, escolhe-se m passo de tamaho s, e se s ão codzr a m valor de melhor, o passo é redzdo scessvamete por m ator < β <, dedo a pror, até qe a segte codção sea satseta, para o meor valor tero ão egatvo de : β s α β s Na epressão acma, < α < é escolhdo arbtraramete; este ator é sado para obter-se m reta secate da ção, o poto, como mostra a gra abao. Note-se qe, qado a codção or satseta, há garatas de qe a ção o poto β s é melhor qe em. Etão, az-se β s, e tomado-se este como poto cal da teração, repete-se o processo até qe ε, ode ε é m valor de precsão mérca, também escolhdo a pror.

11 Eemplo 6 4 M 5 Dervada prmera: Parâmetros: α, 7 β,6 ε, s s β s β s αβ s -,5 55,969-4,65 4,65 -, 4,87 7, -, 4,87-85,85 85,85 -,6,87,69 -,6,87-5,787 5,787 -,94 5,4 5,87 -,94 5,4 -,875,875 -,755,97,7 4 -,755,97 -,9,9 7 -,9,, ,9, -,88,88 5,748-7,686-5,644 6,748-7,686-4,74 4,74 9,79-7,85-7,89 7,79-7,85 -,95,95 9,84-7,869-7,866 8,84-7,869 -,7,7 9,87-7,88-7,88 9,87-7,88 -,596,596 9,8-7,88-7,88,8-7,88 -,77,77 9,85-7,884-7,884,85-7,884 -,6,6 9,87-7,884-7,884,87-7,884 -,57,57 9,87-7,884-7,884 Método das Pealdades Dado ma ção covea e m coto de restrções do tpo g,,..., m aplca-se a segte trasormação:

12 M P { m [ ; g ] } Com sto, o problema qe era restrto passa a ser tratado como m problema sem restrções. Aplca-se, etão, algm método de bsca moovarado sem restrções. Note-se qe o ator de pealdade P é ametada gradatvamete, de modo a torar a pealzação ora da área de vabldade cada vez maor, sedo qe para cada valor de P, ma ova bsca é realzada, de modo a ecotrar ma ova apromação para a solção ótma. Qado etre das terações scessvas deste método, á ão hover dereça sgcatva o valor da solção, terma-se a bsca. Eemplo 6 4 M s. a :,5 Problema trasormado pelo método de pealdades M 6 4 peal P {m;,5} P peal,,88-7,884-7,884,88,8-7,699-7,867,8,689-6,87-7,79,689,54-6, -6,96 4,55,55-5,86-5,8 5,5,5-5,784-5,786 6,5,5-5,78-5,78 7,5,5-5,78-5,78 5, P P P P, 5,, 5,, -,5 -, -,5,,5,,5, -5, -,

13 Método das Barreras Dado ma ção covea e m coto de restrções do tpo g,,..., m aplca-se a segte trasormação: M P g Com sto, dado ma solção cal vável, o problema qe era restrto passa a ser tratado como m problema sem restrções. Etão, o método realza a bsca resolvedo o problema trasormado para valores de P, scessvamete decrescetes, até qe em das terações segdas ão estam dereças sgcatvas o valor da solção. Eemplo 6 4 M s. a :,5 Problema trasormado pelo método de barreras M 6 4 P,5 P peal,,, -,75,,,45 -,67-4,776,45,,469-5,9-5,46,469,,49-5,578-5,68 4,49,,497-5,77-5,749 5,497,,499-5,76-5,77 6,499,,5-5,775-5,778 7,5,,5-5,779-5,78 5,, 5,, 5,, -,5 -, -,5,,5,,5, -5, -,

14 Métodos de Bsca Mlt-Varados Método do Gradete Dado ma ção covea derecável z,,..., e m poto,,...,, determa-se m ovo poto: α ode α é obtdo de orma qe: Eemplo z M [ α α ] M 4 Poto Gradete Novo Poto z, α z,,,, -, 4,,6, -,4,95, -,4,95,48,9,49,88 -,98,,88 -,98, -,46,4,8, -,99,, -,99,,6,,, -,, Método de Newto Dado ma ção z,,...,, covea e das vezes derecável, e m poto,,...,, determa-se m ovo poto: α d ode α é obtdo de orma qe: z M [ α d] α e d é ma dreção de bsca descedete obtda como sege: d H

15 Observações Se,...,, é ma ção qadrátca, etão o método de Newto coverge em ma teração, e o valor de α, a bsca -drecoal é gal a ; Este método é teressate qado os ecotramos prómo ao poto de mímo, ode toda ção tede a de comportar como ma ção qadrátca. Eemplo M 4 4 H,5,5 H Solção 4 4,5,5 d α α d O mímo da ção ] [ d α é obtdo com α. Etão: 4 o qe corma qe se trata de m poto de ótmo local.

16 Método das Dreções Váves Dado ma ção z,,...,, e m coto de restrções g,,..., b coveas e derecáves, e m poto,,...,, determa-se m ovo poto: α d ode α é obtdo de orma qe z M [ α d] s α. a : g α d b, e d é ma dreção de bsca vável, obtda através da solção do segte problema de programação lear: M s. a : d g d I d,..., ode I é o coto de ídces correspodetes às restrções atvas o poto I g b. { }, sto é, Método das Combações Coveas Fra-Wole Dado ma ção z,,...,, ão-lear, covea e derecável, e m coto compacto de restrções leares, sto é: M z,,..., s. a : a b,..., m,..., e m poto,,...,, resolve-se o segte PPL: M y s. a : a y b,..., m y,...,

17 Com a resolção do PPL acma, obtém-se a solção ótma,...,, y y y y. Assm, m ovo poto pode ser obtdo através da segte epressão: y α ode α é obtdo de orma qe ] [ y M z α α Note-se qe este método de bsca, a dreção de camhameto a cada teração é dada por y d, qe é ma dreção de melhorameto vável o poto.

18 Problema Prátco Nº Dado o problema abao: M z s.a: determe se os segtes potos satsazem as codções de Karsh-Kh-Tcer: a,, b,, c,, 4 Ecotre a solção ótma para o problema acma, sado os segtes métodos mércos: a método das combações coveas; b método das pealdades.

19 Problema Prátco Nº Eetar o aste da ção, sado o método dos mímos qadrados: c c c c, cosderado a sére de potos dados: 4 F,,,5,7,,4,,4,7,6 4,6,8 4,5 5,,,5 6,9,,5 7,5,9 4,4 8,7, 5, 9,9, 5,6,,6 5,

20 Problema Prátco Nº No caso de trasporte de passageros, atores como ar codcoado, caleação, poltroas leto, servço de bar, som ambete, televsor e vídeo a bordo, etre otros, passam a ter mportâca a dspta pelo mercado. Pode-se dzer qe os íves de servço estão relacoados com o coorto proporcoado ao passagero. Para a determação de como estes atores deverão tererr o comportameto da demada é possível tlzar modelos de dvsão de mercado, baseados em ções de tldade, qe deverão ser astadas a partr de dados obtdos através de pesqsas de mercado. Nestes modelos de dvsão de mercado, cosdera-se qe o sáro dspõe de m coto de alteratvas etre as qas deverá azer a sa escolha. Cada ma destas alteratvas apreseta característcas própras, as qas são deomadas de atrbtos. Etre os atrbtos relevates para o caso do trasporte rodováro de passageros, podem ser ctados, além dos atores de coorto acma apresetados, aspectos tas como: tempo de vagem, preço da passagem, magem da empresa o mercado, etc. Cosderado qe os aspectos acma costmam ser adtvos, é comm a tlzação de ções de tldade qe segem o modelo: U a Nesta epressão, U é a tldade da -ésma alteratva vagem dspoível, é o valor do -ésmo atrbto a -ésma alteratva, e a é m ator de poderação do -ésmo atrbto, o qal deverá ser astado a partr de pesqsas de mercado. Cosderado a tldade das alteratvas dspoíves, calcladas pela epressão acma, a probabldade de escolha de ma alteratva em partclar, por m sáro qalqer, deotada por P, poderá ser calclada, sado o modelo logt mltomal, ca epressão é a segte: P e U e U Em otras palavras, esta probabldade de escolha correspode ao percetal da demada qe deverá azer so de ma vagem em partclar, dado as característcas de coorto apresetadas pela mesma. Estes modelos de dstrbção de mercado, são bastate útes para as empresas determarem o ível deal de servço, especalmete os casos em qe este cocorrêca. Colocado em coroto as dversas alteratvas qe a empresa estda, e as estetes o mercado, será possível determar a pror os eetos de cada ma a dstrbção da demada. Com sto a empresa poderá melhor plaear ovas aqsções para a rota.

21 A realzação de pesqsas de mercado, a qal é observada a preerêca dos sáros, pode ser bastate útl para calbrar o modelo apresetado acma. Nestas pesqsa procra-se obter as ormações qe permtam determar os parâmetros do modelo de tldade, de modo a obter a ção qe melhor stqe os dados colhdos, e coseqüetemete, o comportameto do mercado. Para realzar o aste dos parâmetros do modelo de tldade é comm a tlzação do método dos mímos qadrados, segdo o qal a determação dos parâmetros é eta de modo qe a soma dos qadrados dos desvos etre os dados de demada observados e os determados pelo modelo seam mmzados. Cosdere, etão, os dados apresetados o qadro abao, ode estão apresetadas as característcas de 7 alteratvas dsttas de vagem, evolvedo váras operadoras empresas, etre das cdades, para as qas oram comptadas o úmero de passages veddas ao logo de m certo período. Nmero Atrbto das alteratvas de Ordem Coorto Rotero Preço Passageros Trasportados Covecoal Dreto,5 58 Covecoal Sem-Dreto, 45 Ar Cod Dreto 5, 55 4 Ar Cod Dreto 6, 4 5 Ar Cod Sem-Dreto, Leto Ar Cod Sem-Dreto 7, 6 7 Leto Ar Cod Dreto 9,5 9 Com ada de m pacote de otmzação ão lear, e cosderado ma ção de tldade lear, determe os parâmetros do modelo, aça ma aálse dos resltados obtdos e determe: a Qato, em méda, o passagero pagara a mas a passagem pelo ar codcoado stalado a bordo? b Qato, em méda, o passagero pagara a mas a passagem por ma vagem dreta? c Qato, em méda, o passagero pagara a mas a passagem por ma vagem em ôbs leto?

22 Problema Prátco Nº 4 Na gra abao está apresetado o gráco de ma ção típca do tempo de vagem em ma va rbaa, em ção do lo estete a va. Como pode ser percebdo, qato maor o lo, maor tede a ser o tempo de vagem ao logo da va. Tempo de vagem m Tempo Flo 5 5 Flo vph Esta crva pode ser apromada por ma ção do tpo: a ta a ta C a 4 ode: a lo a lgação a, em veíclos por hora vph; t a é o tempo de vagem a lgação a, em mtos; a C a é a capacdade omal da lgação a, em vph; e t a tempo de vagem com lo lvre, sto é, sem tráego a va, em mtos. Segdo o prcípo de Wardrop, "cada sáro teta mmzar o própro tempo de vagem, escolhedo a rota de meor dração etre a orgem e o desto". Na medda em qe cada sáro va escolhedo sa rota, os tempos de percrso sobre as vas se modcam, podedo azer com qe otras rotas meos cogestoadas, qe ates ão eram teressates, passem a ser cosderadas, dado orgem a ma troca de rotas por parte dos sáros. O eqlíbro deste sstema é alcaçado qado ehm sáro pode dmr se tempo de vagem através de ma mdaça lateral de percrso. O lo resltate a codção de eqlíbro pode ser obtdo resolvedo-se o segte modelo ão-lear * : a M z ta w dw a o * Pode-se demostrar, aplcado as codções de Karsh-Kh-Tcer, qe o poto de mímo deste modelo satsaz as codções de eqlíbro do prcípo de Wardrop.

23 rs s.a: q r s rs, a r s rs δ a, rs a rs, r, s ode: rs é o lo o -ésmo camho qe coecta a orgem r ao desto s ; q rs é a demada estete etre a orgem r ao desto s ; a, δ rs é gal a se o -ésmo camho qe coecta a orgem r ao desto s cotém o arco a, e é gal a zero em caso cotráro. Cosdere a rede, a demada por vages etre os pares O-D e os dados dos arcos apresetado abao. O D q rs vph a t a mtos C a vph Na codção de eqlbro do lo a rede, respoda: a Qal será o lo em cada trecho da rede? b Qal será o tempo de vagem etre todos os pares de orgem e o desto?

24 Problema Prátco Nº 5 P P C C C Cosdere o mercado abao qe comercalza ma úca commodte, o qal é ormado por dos prodtores, P e P, e três cosmdores, C, C e C. Para estas etdades são cohecdas, respectvamete, as crvas de csto margal, C m arg p, e as ções versas da demada, C m q D D D : arg arg C m, 8 q 45 d, 5, 48 d D 6 d, 5 c Além dsto, são cohecdos os cstos táros de trasporte etre os dversos prodtores e cosmdores, apresetados a matrz T : T,8 4,,7,5 4,8, Para este mercado determar os preços de eqlíbro e qatdades comercalzadas, os segtes casos: a os prodtores P e P pertecem aos mesmos acostas, e podem trasportar e veder a commodte dretamete os mercados cosmdores, recebedo pelo prodto veddo, o preço do mercado cosmdor, descotado os cstos do trasporte; b em cada local de prodção P e P estem mtos prodtores, e cada m poss ma capacdade mto peqea de prodção, e os arcos de trasporte correspodem possbldades de peddos dos mercados cosmdores, qe compram do prodtor qe apresetar meor csto; c P e P são dos grades prodtores, mas de acostas deretes, os qas vedem o prodto para os cosmdores, qe optam sempre pelo meor preço do mercado.