A Mecânica Quântica Ondulatória Prof. Émerson F. Cruz. 1 - A equação de Schrödinger

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1 A Mecânic Quântic Ondultóri Prof. Émerson F. Cruz 1 - A equção de Schrödinger Em rtigo intituldo Sore Teori d lei d Distriuição de Energi do Espectro Norml, o renomdo cientist M Plnck deu início em 14 de dezemro de 19 um ds miores, senão mior, revoluções n históri d Físic.Bsicmente, o rtigo resolvi um prolem que Mecânic Clássic não dv cont de eplicr : distriuição espectrl d rdição de um corpo negro. Pr solucionr o prolem, Plnck vleu-se d Mecânic Esttístic e de um rtifício (ssim se imginv no início) muito engenhoso: dividir energi em pcotes ou qunts de energi. Pcotes de energi de intensidde: E = nhf n =,1,,3... Onde h é fmos constnte de Plnck e f é freqüenci d rdição. Em 195 Alert Einstein, eplicou o efeito fotoelétrico interpretndo luz como um feie de prtículs: os fótons. Aind em 195 o mesmo rilhnte cientist postulou s leis d Teori d Reltividde Restrit culminndo n fmos epressão E=mc. No no de 194 o frncês Louis De Broglie, especulndo sore o fto de que onds, como luz, em determindos fenômenos podem se comportr como prtículs, propôs um interpretção pr fenômenos onde prtículs se comportvm como onds, como o fenômeno d difrção de elétrons. Comindo epressão pr energi dd por M Plnck com propost por Einstein, De Broglie sugeriu que tod prtícul possui um comprimento de ond ssocido o seu momentum liner de cordo com relção: h p = λ Assim, se elementos como prtículs estão ssocidos de lgum form um ond, surge imeditmente à pergunt: qul função de ond que represent este vínculo? Em 196 o Físico ustríco Erwin Schrödinger propôs um equção diferencil cuj solução proporcion tl função de ond. Pr um dimensão est equção é dd por: ( t) ( t) Ψ, Ψ, + V (, t) Ψ (, t) = i m t

2 Operdores, vlores esperdos e Princípio d Incertez Com o postuldo de su equção diferencil Schrödinger cri um teori ondultóri pr Mecânic Quântic. So luz dess teori, tod grndez físic é representd por um tl operdor plicdo à função de ond determind pel solução d equção de Schrödinger. A tel io reúne s grndezs físics ásics n Mecânic e seus respectivos operdores: Grndez Físic Posição () Momentum liner (p) Energi (E) Operdor i i t A Mecânic Quântic já dv seus primeiros pssos como um teori físico-mtemátic consistente, ms ind eistim lguns cos soltos, como, por eemplo, interpretção físic d função de ond. Em 196 M Born propõe um interpretção pr função de ond: um densidde de proilidde. N verdde, por ser de nturez comple, função de ond não poderi representr um densidde de proilidde, ms o produto del por seu compleo conjugdo sim! Logo, dd um distriuição d proilidde P em função d vriável, temos: então: logo: P = P dp ρ( ) = dp = ρ( ) P = ρ utilizndo interpretção proilístic de M Born, temos: ρ Ψ * = Ψ Ψ

3 o que result em: P = Ψ* Ψ A prtir deste momento não fz mis sentido pensrmos em vlores determindos ds grndezs físics. Ms sim em vlores médios ou esperdos. Pr um dd grndez físic A, representd pelo seu correspondente operdor, o vlor esperdo dest grndez em ddo intervlo [,] é ddo por: * A = Ψ AΨ Um operdor importnte, como veremos dinte, é: ΔA A A É fácil demonstrr que o vlor esperdo de ( Δ A) é ddo por: ( Δ A) `= A ` A Assim, Mecânic Quântic Ondultóri emerge como um teori físic mtemticmente consistente, ms com um propost físic revolucionári: interpretção proilístic d nturez! Ms s surpress não prrm por í. Em 197 o físico lemão Werner Heisenerg conclui que interpretção proilist lev o que hoje conhecemos como Princípio d Incertez: ΔΔp ΔEΔt

4 3 - A equção de Schrödinger independente do tempo Pr nos hiturmos com Mecânic Quântic de Schrödinger é necessário o eercício dos procedimentos mtemáticos trvés de situções clássics em que função de ond pode ser otid sem miores prolems. As dificulddes gerlmente estão ssocids o tipo de potencil que prtícul está sumetid. Ou sej, qunto mis elordo for o potencil, mior dificuldde mtemátic em se encontrr função de ond. Um om lívio no trlho mtemático contece qundo o potencil é independente do tempo. Outr situção fvorável ocorre qundo função de ond pode ser ftord em dois termos: um dependente eclusivmente d posição e outro eclusivmente dependente do tempo. Nesss situções equção originl de Schrödinger se trnsform em dus equções diferenciis independentes. Vejmos, sej equção de Scrödinger pr um dimensão: ( t) ( t) Ψ, Ψ, + V (, t) Ψ (, t) = i m t em muits situções de interesse podemos ftorr (, t) (, t) ( ). T( t) Ψ = então, retornndo à equção de Schrödinger, temos: Ψ de form que: ( ) T( t) ( ) T( t) Ψ.. + V (, t) ( ). T( t) = i m t () T() t + V, t. T t = i m d dt t i d dt t + V = m T dt i dt t dt = E = i E dt ln ( T) = i Et+ C T = e T dt T ssim otemos dus equções diferenciis independentes: dt ( iet+ C) T = Ae iet

5 ( ) d + V = E m onde est últim é conhecid como equção de Schrödinger independente do tempo. 4 Soluções d equção de Schrödinger independente do tempo Primeirmente vmos nos eercitr solucionndo equção independente do tempo em situções clássics e, ssim, grdtivmente, nos costumndo com o formlismo d Mecânic Quântic. Pr resolvermos tis eercícios é interessnte termos um roteiro, isto é, um seqüênci de etps serem seguids, como ilustr tel io: 1 Etps Cálculo d função de ond O que fzer? Resolver equção de Schrödinger Ψ(, t) Ψ, t + V (, t) Ψ (, t) = i m t Normlizção e cálculo d distriuição de proiliddes * Ψ Ψ = 1 3 Cálculo dos vlores esperdos e verificção d consistênci com o Princípio d Incertez de Heisenerg * A = Ψ AΨ Antes de prosseguirmos, vmos considerr mis de perto equção de Schrödinger independente do tempo: d d m + V = E = ( E V) m

6 d m = α onde α E V vmos dmitir que solução d equção diferencil sej d form: = Ae β então: d d = = retornndo à equção diferencil, otemos: β β Aβe, Aβ e ou sej: β α β α β β A e = Ae = ± i = Ae α ± i 1 ± i m ( E V ) = Ae Isso nos permite dus possiiliddes: Se ( E V) temos soluções osciltóris do tipo: 1 ± i m E V = Ae No entnto, se ( E V) < temos soluções eponenciis do tipo: 1 ± me V = Ae A solução gerl d solução osciltóri pode ser otid com um cominção liner ds soluções prticulres. Ou sej: iα = Ae + Be iα utilizndo relção de De Moivre: temos: e ± iθ = cosθ ± isenθ

7 sen iα iα = Ae + Be = C cos α + D α ssim, resumindo: E V k = 1 (solução eponencil) 1 k ± m E V = Ae E V > k = i (solução osciltóri) 1 1 = Ccos me + Dsen me Note que () foi determind menos de su mplitude A que poderá ser determind no processo de normlizção Poço Qudrdo Infinito O prolem d prtícul em um ci Sej um prtícul de mss m que pode se mover livremente (V=) no interior de um ci de lrgur e de predes infinits (V ). Nossos ojetivos são: ) Oter função de ond que oedeç s condições de contorno ) Clculr o vlor esperdo d posição e do momentum liner c) Oter incertez d posição e do momentum liner e verificr concordânci com o princípio d Incertez de Heisenerg Ao trlho! )Otenção d função de ond Ns regiões eterns o poço: ( ) = N região intern do poço V=, ou sej, E>V, ssim temos soluções osciltóris no interior do poço.

8 1 1 = Acos me + Bsen me impondo condição de contorno de que ns predes e regiões eterns d ci proilidde de se encontrr prtícul é nul, podemos determinr A e B. Assim: i) = ii) = 1 1 = A me + B me = A cos sen A = sen 1 = = B me 1 sen me = me = nπ ( n = 1,,3,.. ). Oserve que est segund condição de contorno, =, nos oferece um importnte resultdo com relção energi d prtícul: el é quntizd! E n = n π m. Assim finlmente otemos form d função de ond que oedece tods s condições de contorno, eceto um... 1 ( ) = Bsen me Pr determinrmos B, devemos invocr interpretção proilístic propost por M Born: * P = * Logo se integrrmos em tod região no interior d ci, otemos proilidde se de encontrr prtícul no interior d ci que é, ovimente, 1%. Ou sej:

9 1 B sen me = 1 relizndo integrl, otemos: 1 1 u = me du = me = du me = u = = u = me B me me sen u du = 1 utilizndo relção trigonométric: temos: 1 cos sen = me me B senu me me 1 cosu du = 1 B u = B me sen me = me sen me = sen( nπ ) = me B me =

10 Dest form, mplitude B é determind: B =± tomndo o vlor positivo pr B ( ) pode ser escrit de form complet: ou ( ) 1 = sen me n ( ) nπ = sen Tomndo o número de ond permitidos pr ( ) : k π =, podemos clculr os comprimentos de ond λ π nπ λ λ = = n )Cálculo do vlor esperdo d posição e do momentum liner Agor que possuímos função de ond podemos clculr o vlor esperdo de qulquer oservável físico. Ness oportunidde clculremos o vlor esperdo d posição e do momentum liner. Vejmos: * =

11 nπ = sen pr n=1 π sen = resolvendo integrl trvés do método por prtes π sen = u = du = π 1 π 1 π = = 1 cos = π dv sen v sen π v = sen 4π π π = sen sen 4π 4π π π = sen sen 4π 4π π π = sen + cos 4π 4 4π ou sej: = 4 =

12 Assim, o vlor médio ds posições ocupds pel prtícul ou equivlentemente o vlor esperdo d posição é o centro d ci. Clro, intuitivmente, já esperávmos este resultdo ms o ojetivo mior dest empreitd mtemátic é nos fmilirizrmos com s etps e operções físico-mtemátics crcterístic s d Mecânic Quântic. Mis dinte vmos clculr incertez d posição, ssim é útil, já clculrmos o vlor esperdo do qudrdo d posição, ssim: π = sen = = u du π 1 π 1 π = = 1 cos = π dv sen v sen π v = sen 4π 4π 4π 3 π π = sen sen 3 π 3 3 π = + sen cos cos 3 π π π 3 3 π π = + + 6π 4π 3 π 3 = = = 3 4π 1π 6π π 3 = 6π

13 Com relção o momento liner: p = i * p i π d π = sen sen π d π u = sen du = sen i i u i π p = udu sen = = o p = Com relção o qudrdo do momentum liner: p = * π π p = sen p π = c) Cálculo ds incertezs e verificção do Princípio d Incertez de Heisenerg Agor já estmos em condições de clculr s incertezs. Relemrndo que, pr qulquer oservável A, incertez é otid por: Δ A = A A

14 temos, pr posição: π 3 8π 1 6π Δ = Δ = Δ = 6π 4 4π Δ = ( π 1) 4π pr o momentum liner: Δ p = p p π Δ p = p = tomndo o produto ds incertezs, temos: o que result em: ( π 1) ( π 1) Δ Δ p = = 4π π 4 Δ Δp,57 De onde concluímos concordânci com o Princípio d Incertez de Heisenerg. 5 Biliogrfi [1] Tipler, P., Físic, volume 3, Editor LTC () [] Griffiths, D., Introduction to Quntum Mechnics, Prentice Hll (1995) [3] Eiserg, R., Resnick, R. Físic Quântic,Editor Cmpus (1994) [4] Skuri, J.J., Modern Quntum Mechnics, Addison-Wesley (1995) [5] Merzcher, E., Quntum Mechnics, John Wiley & Sons (197) [6] Tnnoudji, C.C., Diu, B., Lloë, F., Quntum Mechnics, John Wiley & Sons (1977)