MATEMÁTICA PROVA: 02/09/12. Questão 1. Questão 2. O valor do. lim (A) 2. (B) 1. (C) O. (D) 1. (E) 2. Gabarito: Letra D. Veja que

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1 PROVA: 0/09/ MATEMÁTICA Questão O valor do (A). (B). (C) O. (D). (E). lim x 0 x x x Gabarito: Letra D. x Veja que x x x x x(x ) x (x ) x. Logo, o limite é igual a lim x 0 x Questão O número de bactérias B, numa cultura, após t horas, é B = B o e kt, onde k é uma constante real. Sabendo-se ln que o número inicial de bactérias é 00 e que essa quantidade duplica em t horas, então o número N de bactérias, após horas, satisfaz: (A) 800<N<600. (B) 600 < N < 800. (C) 800 <N < (D) 8000 < N < (E) < N < Gabarito: Letra B. ln Temos B 0 = 00. Além disso, para t,temos B=00, logo: ln k k k. ln e (e ) k. Daí, em geral, B=00.e t. Para t=, temos B=00e 4 Como <e<, segue que <B<00. 4 =600 <B<800

2 Gabarito EFOMM Questão O gráfico de f(x) = (x ).e x, x tem uma assíntota horizontal r. Se o gráfico de f intercepta r no ponto P = (a, b), então a + b.e sen a 4a é igual a: (A). (B). (C). (D). (E). Gabarito: Letra A. Uma assíntota horizontal ocorre para x + ou x. É fácil ver que haver assíntota para x. Veja que, trocando x por t, temos: x x x lim f(x) lim(x ) e lim t ( t ) e t lim f(x), logo, só pode x Esse limite é nulo, pois o denominador é exponencial (base > ) e o numerador é polinomial. Então, a assíntota, para x, é y = 0. A interseção com assíntota pode ser obtida fazendo f(x) = 0: (x ) e x = 0 x =, pois e x > 0 para todo x. Então, P = (a, b) = (,0). a + b.e sen a 4a = 4 =. Questão 4 Num quadrado de lado a, inscreve-se um círculo; nesse círculo se inscreve um novo quadrado e nele um novo círculo. Repetindo a operação indefinidamente, tem-se que a soma dos raios de todos os círculos é: a (A) ; (B) a ( ); (C) a ( ); (D) a ; (E) a.

3 PROVA: 0/09/ Gabarito: Letra C. Sejam L n o lado do n-ésimo quadrado (L = a) e R n o raio do n-ésimo círculo. Tem-se: R n L n Rn Ln Rn Ln Ln Assim: R L L R n n n n ( PG de razão Temos então uma soma de PG infinita, donde: a R a SPG inf q q ) Questão 5 Se os números reais x e y são soluções da equação (A) 0. (B). (C). (D). (E). i i, então 5x + 5y é igual a: i x iy

4 Gabarito EFOMM Gabarito: Letra B. i i i i i x yi i x yi i i x yi. i x yi i i i 5 5 Deste modo x e 5 y. 5 Substituindo na expressão pedida: 5x + 5y = =. Questão 6 Um cone foi formado a partir de uma chapa de aço, no formato de um setor de cm de raio e ângulo central de 0. Então, a altura do cone é: (A). (B) 4. (C) 6. (D) 8. (E). Gabarito: Letra D. Podemos igualar a área do setor à área lateral do cone para determinar o raio da base: Asetor = Alateral R.0º 60º.r.g = r. r 4cm Utilizando o teorema de pitágoras: g² = h² + r² ² = h² + 4² h² = 8 h 8 cm 4

5 PROVA: 0/09/ Questão 7 Constrói-se um depósito, na forma de um sólido V, dentro de uma semiesfera de raio Am. O depósito é formado por uma semiesfg.a de raio m sobreposta a um cilindro circular, dispostos conforme a figura. Então a área da superfície total de V, em m, é igual a: (A) (0 4 ). (B) (7 4 0). (C) (8 4 7). (D) ( 7 6). (E) (5 6 7). Gabarito: Letra E. Considerando a vista frontal do sólido, temos: Seja 0 e 0 os centros das semiesferas e T o ponto de tangência entre as semiesferas. temos que 0T 00 0T 00 4 m. No triângulo retângulo 0 0 B, temos 0B 00 0B 0B A área da superficie é: S semiesfera + S lateral cilindro + S base + S coroa =.. 7..( 7) ( 7) (5 6 7 )m Questão 8 A empresa Alfa Tecidos dispõe de 5 teares que funcionam 6 horas por dia, simultaneamente. Essa empresa fabrica 800 m de tecido, com,0 m de largura em 4 dias. Considerando que um dos teares parou de funcionar, em quantos dias, aproximadamente, a tecelagem fabricará 000 m do mesmo tecido, com largura de 0,80m, e com cada uma de suas máquinas funcionando 8 horas por dia? (A) dias. (B) dias. (C) 4 dias. (D) 5 dias. (E) 6 dias. 5

6 Gabarito EFOMM Gabarito: Letra B. Vamos calcular a velocidade de produção de cada tear, em m /h. Temos que 5 teares fabricam 800,0 = 60 m de tecido em 4 dias 6 horas/dias = 4 horas de trabalho. 60 Portanto, tear fabrica 4 m de tecido e, 4 horas de trabalho, tendo, portanto, uma velocidade 4 5 de 8 m /h 4. Queremos calcular quantos dias 4 teares levaram para produzir 000 0,8 = 600 m de tecido trabalhando horas/dia. Sendo x o número de dias, temos que 48 x,78 dias. 8x 9 Questão 9 Se cos x senx det, então o valor de sen(x + y) + tg (x + y) sec (x + y), para x y, seny cos y é igual a: (A) 0. (B). (C). (D). (E). Gabarito: Letra D. cos x senx Dado que det, temos: seny cos y cos x cos y sen x sen y = cos (x + y) =. Com isso, obtemos: E = sen (x + y) + tg (x + y) sec (x + y) = sen (x + y) + sen ( x y ) cos ( x y) cos ( x y) = sen (x + y) + sen ( x y ). 6

7 PROVA: 0/09/ Questão 0 O valor da integral x.cos. sen x dx é: (A) cosx+c. (B) /4 cosx+c. (C) / cosx +c. (D) +/4 cosx+c. (E) +/ cosx+c. Gabarito: Letra B. I senx cosx dx Usando que senx=senx cosx: senx I dx = sen x dx = ( cos x) c cos x c. 4 Obs.: Poderíamos também resolver o problema derivando as expressões em cada alternativa. Questão Um muro será construído para isolar a área de uma escola que está situada a km de distância da estação do metrô. Esse muro será erguido ao longo de todos os pontos P, tais que a razão entre a distância de P à estação do metrô e a distância de P à escola é constante e igual a. Em razão disso, dois postes, com uma câmera cada, serão fixados nos pontos do muro que estão sobre a reta que passa pela escola e é perpendicular à reta que passa pelo metrô e pela escola. Então, a distância entre os postes, em km, será: (A). (D) 4. (B). (E) 5. (C). Gabarito: Letra D. Sejam E a escola e M a estação de metrô. Sejam P e Q os postes, como na figura. Fazendo PE =, temos PM =. Pelo teorema de Pitágoras no PEM, temos: ( ) = + = km P E M Como QE também é igual a, temos: PQ = = 4 km Q Obs.: O muro tem o formato de uma circunferência (círculo de Apolônio). 7

8 Gabarito EFOMM Questão O gráfico da função continua y = f(x), no plano xy, é uma curva situada acima do eixo x para x > 0 e possui a seguinte propiedade: A área da região entre a curva y= f(x) e o eixo x no intervalo a x b (a>0) é igual à área entre a curva e o eixo x no intervalo ka x kb (k>0). Se a área da região entre a curva y = f(x) e o eixo x para x no intervalo x é o número A então a área entre a curva y= f(x) e o eixo x no intervalo 9 x 4 vale: (A) A (B) A (C) 4A (D) 5A (E) 6A Gabarito: Letra B. Considere a=, b=. k=9, a área é A para 9 x 7. k=7, a área é A para 7 x 8. k=8, a área é A para 8 x 4. portanto, para 9 x 4, a área total é A. Questão O código Morse, desenvolvido por Samuel Morse, em 85, é um sistema de representação que utiliza letras, números e sinais de pontuação através de um sinal codificado intermitentemente por pulsos elétricos, perturbações sonoras, sinais visuais ou sinais de rádio. Sabendo-se que um código semelhante ao código Morse trabalha com duas letras pré-estabelecidas, ponto e traço, e codifica com palavras de a 4 letras, o número de palavras criadas é: (A) 0. (D) 5. (B) 5. (E) 0. (C) 0. Gabarito: Letra E. Com uma letra: palavras. Com duas letras:. = 4 palavras Com três letras:.. = 8 palavras. Com quatro letras:... = 6 palavras. O total é = 0. 8

9 PROVA: 0/09/ Questão 4 Um ponto P = (x, y), no primeiro quadrante do plano xy, situa-se no gráfico de y = x. Se é o ângulo de inclinação da reta que passa por P e pela origem, então o valor da expressão + y (onde y é a ordenada de P) é: (A) cos. (D) tg. (B) cos. (E) sen. (C) sec. Gabarito: Letra: C. P = (x, x ) Temos tan x x (veja figura) x P x 0 x Então, y x tan sec Questão 5 A matriz A = (a ij ) x = 0 define em IR³ os vetores V i = a i i + ai j + a i k, i. Se u e v são dois vetores em IR³ satisfazendo: u é paralelo, e tem mesmo sentido de v e u =; v é paralelo, e tem mesmo sentido de v e u =. Então, o produto vetorial u x v é dado por: (A) (i j ( ) k ). (B) (i j ( )k). 9

10 Gabarito EFOMM (C) ( i j ( )k). (D) (i j ( )k). (E) (i j ( ) k). Gabarito: Letra A. A segunda informação deveria ser v = e não u =. Com esta correção, temos: v u= u. v e v v v. v Da matriz, temos v = (,, 0) e v = (,, ). Assim, (,,) u =.,,0 e v =. (,,) (, ). Fazendo u x v, temos: i j k 0 i. 0. j..0 k... (i j ( ) k ) 0 Questão 6 Se tgx sec x, o valor de senx + cosx vale: (A) 7. (B) 5. (C).

11 PROVA: 0/09/ (D) 5. (E) 7. Gabarito: Letra E. Como tgx sec x, temos senx, então cos x cos x Pela relação fundamental, temos 4 9 sen x (senx ) cos x (senx ) (*) sen x 8senx senx ou senx. Não podemos ter senx =, pois isso daria cosx=0 e tgx não existiria. 5 5 Em (*), senx cos x cos x. Portanto, 5 7 senx cos x. Questão 7 P(x) é um polinômio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo: os números r =, r = i e r = i são raízes da equação P(x) = O; P(O) = 4. Então, P ( ) é igual a: (A) 4. (B). (C) 0. (D) 0. (E) 40. Gabarito: Letra E. Pelo teorema das Raízes Complexas, como P(x) tem coeficientes reais e i e i são raizes, temos que i e + i também são raízes. Deste modo, P(x) tem pelo menos 5 raízes complexas:, i, i.

12 Gabarito EFOMM Uma vez que P(x) tem o menor grau possível, P(x) deve ser um polinômio do 5 o grau. Usando a forma fatorada: P(x) = a (x ) (x i) (x + i) ( x + i) (x i) = = a (x ) (x + ) (x x + ) Porém P(0) = 4, logo: P(0) = a ( ) = 4 a =. Assim: P ( ) = ( ) 5 = 40 Questão 8 Durante o Treinamento Físico Militar na Marinha, o uniforme usado é tênis branco, short azul e camiseta branca. Sabe-se que um determinado militar comprou um par de tênis, dois shortes e três camisetas por R$ 00,00. E depois, dois pares de tênis, cinco shortes e oito camisetas por R$ 5,00. Quanto, então, custaria para o militar um par de tênis, um short e uma camiseta? (A) R$50,00. (B) R$55,00. (C) R$60,00. (D) R$65,00. (E) R$70,00. Gabarito: Letra D. Sendo: x: preço do par de tênis (R$) y: preço do short (R$) z: preço da camiseta (R$) Equacionando: x y z 00 I x 5y 8z 5 II Podemos observar que obtemos a expressão pedida fazendo I II x + y + z = 65 Obs.: A partir das duas equações, conseguimos obter y = 5 z e x = 0 + z, mostrando que de fato existem valores positivos de x, y e z que satisfazem as condições do problema.

13 PROVA: 0/09/ Questão 9 Dois observadores que estão em posições coincidentes com os pontos A e B, afastados km entre si, medem simultaneamente o ângulo de elevação de um balão, a partir do chão, como sendo 0 e 75, respectivamente. Se o balão está diretamente acima de um ponto no segmento de reta entre A e B, então a altura do balão, a partir do chão, em km, é: (A) (B) 5 (D) (E) (C) 5 Gabarito: Letra E. A figura abaixo descreve a situação apresentada no problema. O segmento CH é a altura do balão. Podemos ver que ACB ˆ 75 ABC é isósceles AC = km. No ACH, CH = AC. sen 0 CH. km CH km. Questão 0 O litro da gasolina comum sofreu, há alguns dias, um aumento de 7,7% e passou a custar,799 reais. Já o litro do álcool sofreu um aumento de 5,8%, passando a custar,99. reais. Sabendo que o preço do combustível é sempre cotado em milésimos de real, pode-se afirmar, aproximadamente, que a diferença de se abastecer um carro com 0 litros de gasolina e 5 litros de álcool, antes e depois ao aumento, é de: (A) R$,00. (B) R$,50. (C) R$,00. (D) R$,50. (E) R$ 4,00.

14 Gabarito EFOMM Gabarito: Letra D. Definindo: x: preço do litro da gasolina antes do aumento (R$) y: preço do litro do álcool antes do aumento (R$) 7,7 x x,799,077x,799 x, ,8 y y,99,58y,99 y, Fazendo a diferença dos preços: 0., ,99 0.,599 5.,899=,5. Então, a diferença é de R$,50. PROFESSORES Daniel Fadel Jordan Piva Matheus Secco Rodrigo Villard Sandro Davison 4