MODELO DE POLUIÇÃO ATMOSFÉRICA: SOLUÇÃO NUMÉRICA E INSTABILIDADES ASSOCIADAS

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1 MODELO DE POLUIÇÃO ATMOSFÉRICA: SOLUÇÃO NUMÉRICA E INSTABILIDADES ASSOCIADAS Sonia Rgina Dal-Ri MURCIA Tânia Maria Villa Salgado LACAZ RESUMO: Nst trabalho laboro-s m modlo para a disprsão d agnts polidors gasosos, mitidos na atmosfra por fonts pontais, para sitaçõs spcíficas. O fnômno é dscrito por ma qação difrncial parcial, tipo advctiva-difsiva-rativa transitória, a qal é rsolvida plo Método dos Elmntos Finitos, sando a formlação dos rsídos pondrados. A rsolção nmérica dss tipo d qação gra problmas d oscilaçõs nméricas para altos valors do númro d Pclt. Tais problmas foram stdados m fnção d m parâmtro stabilizador transvrsal os rsltados obtidos são analisados comntados. PALAVRAS-CHAVE: Polição Atmosférica, Modlagm Matmática, Método dos Elmntos Finitos, Estabilidad, Método SUPG, Oscilaçõs Nméricas. Introdção Uma da maniras d s stdar ntndr a polição atmosférica é através da tilização d modlos matmáticos. Eistm divrsas possibilidads d nfocar o problma dando origm a divrsos modlos. Nst trabalho, intrssa particlarmnt stdar a polição por missão Dpartamnto d Matmática Facldad d Engnharia Univrsidad Estadal Palista (UNESP) Garatingtá SP, Brasil. soniamrcia@fg.nsp.br Dpartamnto d Matmática Facldad d Engnharia - Univrsidad Estadal Palista (UNESP) Garatingtá SP, Brasil. tania@fg.nsp.br Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00 79

2 d gass indstriais sando ma modlagm matmática do problma, obtr sa solção por mio do Método dos Elmntos Finitos (MEF). Far-s-á a formlação do MEF pla técnica dos rsídos pondrados. É fato conhcido q a tradicional variant d Galrkin, na qal a fnção pso é igal à fnção intrpoladora, qando aplicada à mcânica dos sólidos, lva a rsltados com clnts taas d convrgência, porém, qando aplicada a qaçõs do tipo advctiva-difsiva, com trmo convctivo prpondrant, lva a oscilaçõs nméricas spúrias. Para solcionar o problma das oscilaçõs nméricas spúrias, novas fnçõs pso têm sido tilizadas. Inicialmnt, tnto-s tilizar fnçõs pso contínas, adicionado-s às fnçõs d intrpolaçõs clássicas fnçõs q pondravam mais fortmnt as informaçõs à montant do scoamnto. Os métodos assim obtidos só fncionam para ma class rstrita d problmas, aprsntando na maioria dos casos ma grand difsão transvrsa ao campo convctivo, implicando solçõs aproimadas imprcisas. Srgi ntão o método SUPG (Stramlin Upwind Ptrov-Galrkin Mthod), o qal tiliza fnçõs intrpoladoras dscontínas, nas qais ma prtrbação q ata clsivamnt na dirção das linhas d corrnt é adicionada às fnçõs pso originais do método d Galrkin; ssa mtodologia rsolv ma boa part dos problmas stdados, intrprtando-a fisicamnt, com algmas rstriçõs, pod-s afirmar q la stá associada a ma difsão artificial na dirção do scoamnto (Zinkiwicz, 989). Em algns casos, o método SUPG aprsnta rsltados com oscilaçõs nméricas spúrias transvrsais ao scoamnto. Para rsolvr sts casos spcíficos istm algmas propostas, das qais dstacamos o oprador d captra d dscontinidad d Codina (993a) Codina (993b). A principal idéia dssa mtodologia é mantr inaltrada a difsão obtida plo método SUPG, ao longo das linhas d corrnt, somnt modificar a difsão transvrsal. O procsso pod, m princípio, provocar ma sobrdifsão, por isso é ncssário q o fator d dissipação a sr introdzido limin a oscilação nmérica nas rgiõs d grand gradint da variávl, sja pqno na rgião ond os gradints o sjam. Codina (993a) propõ q o trmo da difsão artificial sja proporcional ao rsído mostra, analisando o caso stacionário, q a mtodologia é consistnt. Nst trabalho analisam-s casos stacionários transitórios, com fonts pontais m sitaçõs q variam dsd pramnt difsivos até fortmnt convctivos. Tm-s intrss m analisar as variants nméricas q prmitm a solção m todas as sitaçõs m stdo. 80 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00

3 A aproimação nmérica tilizada basia-s na sgstão d Codina (993a), a qal foi proposta para o caso stacionário, ampliando-a para o caso transitório mdiant ma anális das qaçõs matriciais nvolvidas, sndo o rsltado prsso por m parâmtro stabilizador transvrsal. Dssa forma obtêm-s as condiçõs sficints para q sjam liminadas as oscilaçõs transvrsais spúrias. Modlagm Matmática Ao ftar a modlagm d m fnômno, dv-s sabr q é praticamnt impossívl modlar d manira prfita os fnômnos natrais. Todo o procsso d modlagm é m procsso aproimado. O grand mérito d m analista consist m laborar m modlo cja solção sja qüívl q rprsnt o fnômno dntro d dsvios acitávis para a finalidad proposta. O prsnt trabalho tm como objtivo principal a dtrminação da concntração d polnts m fnção da posição do tmpo, m dtrminada rgião. Admitindo-s q a qantidad d polnt lançada na atmosfra sja rlativamnt pqna, d modo q não aft snsivlmnt os campos d vlocidads istnts, analisa-s o problma tndo como bas a consrvação da massa, isto é, consrvação da spéci U nm campo d vlocidads pré-dtrminado. Sja U a spéci d polnt, cja concntração d massa é dada por. Considra-s m lmnto d volm z contido no domínio Ω m stdo. A consrvação da spéci U, nst lmnto d volm, srá dada por Taa d ntrada (F) Taa d prodção(p) = Taa d saída Taa d transformação (T) Taa d acmlação (A). O flo d ntrada saída do polnt, F, pod sr prioritariamnt associado a dois fitos: o transport d massa molclar o difsivo, prsso pla Li d Fick, o transport d massa por comvcção. Eprimindo as das parclas, difsiva convctiva, nas dirçõs, z, por nidad d ára, atravssando as rspctivas sprfícis tm-s: F = D v, (a) Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00 8

4 8 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00 v D F =, (b) z z z v z D F =. (c) No lmnto d volm tm-s ainda q a taa d prodção d U é dada por P = f z, () ond f é a taa d gração do polnt U por nidad d volm. A taa d transformação d U é dada por T = σ z, (3) ond σ é o fator d ração do polnt U com o mio ambint, a taa d acmlação d U é dada por z. t A = (4) A qação d consrvação da spéci U no lmnto d volm torna-s F z F z F z f z = z t z F z F z F z z σ (5) Dividindo a prssão (5) por z tomando o limit qando, z tndm a zro, obtém-s f z F F F t z = σ. (6)

5 Escrvndo a qação (6) na forma vtorial t = F σ f, (7) sbstitindo (a), (b) (c) m (7) sg q t = ( D ) ( v ) σ f. (8) O prsnt trabalho consist no modlamnto d fnômnos cjo fito prioritário stja contido nma lvação rstrita, tal como acontc m invrsõs térmicas, o qando os gass o partíclas nvolvidas têm dnsidads da ordm da dnsidad do ar na sprfíci trrstr. Nstas condiçõs as altras nvolvidas no fnômno são mito mnors do q as distâncias no plano sprficial trrstr, portanto, torna-s razoávl assmir q a variávl, q rprsnta a concntração dos agnts polidors, assma m valor médio m rlação à altra, isto é, sja indpndnt da altra, sndo da forma = (,,t) o modlo sja bidimnsional transitório. Admit-s por hipóts q os coficints d difsão D D sjam constants. Nstas condiçõs, a qação (8) srá prssa por t = D D v v σ f m Ω X (0,T). (9) A qação (9) modla o fnômno intrnamnt ao domínio m stdo, a la dv-s acrscntar a condição inicial as condiçõs d contorno do problma na frontira Γ. A solção do conjnto forncrá a concntração d polnts na rgião m stdo. As condiçõs d contorno mais comns são as d Nmann, significando o bloqio da polição, fato q ocorr dvido a cadias d montanhas o otras barriras similars, prscritas no trcho Γ N, o d Dirichlt q ocorr para pontos sficintmnt long da font missora, prscritas no trcho Γ D, d modo q Γ = Γ D Γ N Γ D Γ N = φ.. (0) Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00 83

6 Solção Nmérica A solção da qação (9) não pod sr obtida por métodos analíticos, dv-s, portanto, optar por ma solção nmérica. Entr os métodos possívis para a solção do problma opto-s plo método dos lmntos finitos. Eistm divrsas técnicas possívis para obtr-s as qaçõs algébricas rlacionadas ao MEF. Opto-s pla formlação dos rsídos pondrados por sr m dos métodos mais amplos, podndo sr aplicado inclsiv qando o oprador difrncial associado ao problma não é ato-adjnto, q é o caso m stdo. Formlação Básica - Rsídos Pondrados Considr-s Ω = H a L o domínio, com frontira Γ, ond o problma stá dfinido. O domínio srá sbdividido m lmntos rtanglars, grando o conjnto {Ω }, no qal o índic indica m lmnto gnérico, q varia d a N. O comprimnto caractrístico do lmnto é rprsntado por l. A fnção do campo incógnita srá prssa por fnçõs d forma φ Φ, d modo q Φ = {φ H (Ω) φ = 0 sobr Γ D }, () as fnçõs pso w W srão tais q W = {w H (Ω) w = 0 sobr Γ D }, () ond H (Ω) é o spaço d Sobolv d ordm m, com os prodtos scalars normas sais. As condiçõs associadas a qação (9) são: condição inicial (,, 0) = 0 (3) condiçõs d contorno (0,, t) = 0 (L,, t) = 0 m Γ D (4a) (, 0,t ) = 0 (,H a,t ) = 0 m Γ N (4b) 84 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00

7 A incógnita do problma srá aproimada sgndo a prssão ond (,,t ) = n (,,t ), (5) ( φ ( 3,,t ), ) k = φ (, ) ( t ) φ ( 4 i, ) ( t ) φ ( l ( t ),, ) j ( t ) (6) sndo φ i fnçõs d forma, û i valors nodais da fnção û. A sbstitição dsta solção aproimada na qação difrncial (9) rslta m m rsído dnotado por R ( û ). O método dos rsídos pondrados procra dtrminar as incógnitas, nos nós da malha, d modo q o rsído sja mito pqno no domínio. Isto é obtido fazndo-s ma pondração média do rro, obrigando-o a dsaparcr sobr o domínio, sgndo a qação intgral Ω w (, )R( i )dω = 0. (7) Para o problma m stdo, a qação (7) pod sr scrita como Ω = û wi dω = t Ω û D D σû f û v û v û wi dω. (8) Intgrando por parts a primira intgral do lado dirito m (8), com rlação à variávl, chga-s a formlação fraca do problma, dada por Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00 85

8 Ω û t wi dω = Ω D û w i D û w i dω Ω v û û v wi dω û widω Ω Ω σ f w dω. (9) i Nst trabalho as fonts são localizadas, prssas por ma qação do tipo f(, ) = f 0 δ ( 0, 0 ), (0) ond ( 0, 0 ) é a localização da font, δ é a fnção Dlta d Dirac. Para as condiçõs do problma m stdo, as propridads srão considradas constants, o campo d vlocidads srá niform as fnçõs d forma srão do tipo bilinar. Como srão considradas divrsas sitaçõs físicas para o problma, é ncssário variar a mtodologia nmérica a fim d obtr solçõs stávis, incrmntando-a, à mdida q o númro d Pclt crsça. Particlarizaçõs do Método dos Rsídos Pondrados Método d Galrkin Caso s considr a fnção pso w i igal à fnção intrpoladora φ, isto é, w i = φ i, o método srá dnominado Método d Galrkin. Est método é adqado para rsolvr problmas com númro d Pclt mito pqno o igal a zro, o sja, a vlocidad do vnto é rlativamnt mito pqna o zro, o problma torna-s prdominantmnt difsivo, isto é, o spalhamnto da polição ocorrrá prioritariamnt por fitos difsivos. Método Stramlin-Upwind/ Ptrov-Galrkin - SUPG Considrando-s a fnção pso α l wi = φi φi, () 86 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00

9 o método dnominar-s-á Stramlin-Upwind-Ptrov-Galrkin (SUPG), o qal, m dtrminadas sitaçõs stabiliza a qação, conform Codina (993a). No caso m stdo, conform srá ilstrado no próimo itm, ss método prodz rsltados acitávis para valors d Pclt modrados. É fato conhcido q, m crtas sitaçõs (Codina, 993a), a aproimação d Ptrov-Galrkin fnciona como a adição d ma difsão artificial na dirção do scoamnto, o sja: D αvl = D. () Est fito stabiliza a solção nmérica nsta dirção. Variant para Eliminação das Oscilaçõs Transvrsais Para altíssimos valors d Pclt, m part, m virtd da font sr pontal, têm-s oscilaçõs nméricas transvrsais ao scoamnto. Codina (993a), o Codina (993b), para o caso stacionário, propõ m oprador m forma d ma difsão artificial na dirção transvrsal para liminar as oscilaçõs nsta dirção, isto é D α vl = D. (3) Nst trabalho tiliza-s a sgstão d Codina (993a), porém aplicada ao caso transitório. Portanto, dv-s ralizar m stdo do impacto dsta hipóts na formlação tilizada. A principal idéia da mtodologia é mantr inaltrada a difsão obtida plo método SUPG ao longo das linhas d corrnt, somnt modificar a difsão transvrsal. O procsso pod, m princípio, provocar ma sobrdifsão, portanto é ncssário q o fator d dissipação a sr introdzido, limin a oscilação nmérica nas rgiõs d grand gradint da variávl, sja pqno na rgião ond os gradints d também o sjam. A mtodologia proposta consist m q o trmo artificial da difsão transvrsal sja proporcional ao rsído, a sabr α = a R( ). (4) Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00 87

10 Considrando q os trmos spaciais da qação transitória são os msmos da qação stacionária, q a consistência da sitação stacionária foi mostrada por Codina (993a), pod-s afirmar q a mtodologia m stdo é consistnt. Na sqüência, stdam-s as condiçõs ncssárias para q a solção sja stávl. Eqação Matricial Dsnvolv-s a qação matricial para m lmnto considrando a formlação mais gral, q incli a possibilidad d liminação das oscilaçõs transvrsais. Fazndo α = 0 tm-s o método SUPG, fazndo α = 0 α = 0, tm-s o método tradicional d Galrkin. No problma m stdo far-s-á com q o sistma sja concntrado no tmpo no trmo rativo, m fnção d caractrísticas físicas tm-s v = 0. Admitir-s-á ainda q l = l =, (5a) D = D D, (5b) = logo, o númro d Pclt associado é v l P =. (6) D A qação matricial é [ M ]. [ K ]{ } { w = 0 } (7) ond {} é a matriz das incógnitas, l [ M ] = 4 4 I (8a) sndo I 4 a matriz idntidad d ordm 4, 88 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00

11 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, K l v D [ K ] = α 6 K l v D α K 3 l v ( ), I l 4 4 σ (8b) ond K, K K 3 são matrizs d ordm 4 dadas por = K, = K, = 3 K. Finalmnt, a matriz colna {w} rprsnta a fnção font, sndo dfinida por { } d fw fw fw fw w Ω Ω = 4 3. (8c) D (7) aplicando o concito d discrtização intrmdiária no tmpo θ, tm-s ( ){ } ( ){ } { }. w t t[ K ] ) ( [ M ] t[ K ] [ M ] n n θ θ = (9)

12 Anális d Estabilidad A fim d stdar a stabilidad da qação (9), considr-a scrita do sgint modo [ A] n n { } = [ P ]{ } { B} sndo as matrizs [A] [P] dfinidas por, (30) [ A] = [ M ] θ t[ K ], (3a) [ P ] = [ M ] ( θ ) t[ K ]. (3b) Mltiplicando a qação (30) por [A] - isolando {} n tm-s q n n { } [ A] [ P ]{ } [ A] { B} =, (3), dssa forma, a stabilidad na qação (30) stá condicionada à anális dos ato-valors da matriz [A] - [P]. Corência Física A corência física stá associada ao trmo [A] - [B], pois pod-s assmir o campo {} n como {0} n, para o primiro passo. O rsltado sgint dv sr cornt com a font. Sob as condiçõs do problma proposto, admitindo-s valors positivos, plo mnos m dls, o nlos para os trmos font, prssos plo vtor {B}, as tmpratras nodais dvrão sr maiors, o no mínimo igais m qalqr nó m stdo. Analisando-s ma qação gnérica i do prodto [A] - {B}, sndo p a ordm da matriz [A], o incrmnto no iésimo trmo srá i i i ip = A B A B...A B. (33) p Tndo m vista q m o mais valors B i são positivos, a única manira d s tr smpr crtza q i é positivo, é igir q cada coficint d [A] - sja positivo. Raciocínio análogo srviria para fonts ngativas. Maadooliat (983) mostro q, para q isso ocorra, a matriz [A] dv tr todos os trmos da diagonal positivos todos os trmos fora da diagonal ngativos o igais a zro. Portanto, a corência física srá satisfita, qando [A] for ma matriz tal q todos 90 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00

13 os trmos d sa diagonal sjam positivos, todos os trmos fora d sa diagonal sjam ngativos o zro. Para o problma m stdo, sab-s q a matriz [M] é diagonal, com ss trmos positivos, q θ > 0 t > 0. Logo, A > 0 A 33 > 0. Para q A > 0 A 44 > 0 pod-s igir q logo σ ( ) ( l) α D vl α > 0, (34a) σ ( ) ( l) α α >. (34b) P DP Para q os trmos da matriz [A] sjam ngativos o nlos fora da diagonal principal, basta q os trmos da matriz [K] o sjam, o q indz às condiçõs α α, (35a) P α α, (35b) P α α. (35c) P Nota-s q α não pod sr zro, pois, s o foss, não havria α q satisfizss o conjnto d qaçõs (35). Oscilaçõs Nméricas As oscilaçõs nméricas nos valors dos campos obtidos ntr m dtrminado passo no tmpo o próimo, stão rlacionadas aos atovalors do prodto matricial [A] - [P], conform Mrs (97). As possívis sitaçõs nvolvndo atovalors são:. Qando todos os atovalors form positivos, não havrá oscilaçõs o cálclo é stávl.. Algns atovalors sndo ngativos, mas maiors do q, o cálclo srá stávl com oscilaçõs nméricas. Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00 9

14 3. Qando m o mais atovalors form mnors do q, o cálclo srá instávl. Logo, o critério para não prmitir oscilaçõs nméricas é q todos os atovalors da matriz [A] - [P] dvm sr positivos. Dnominando β i os atovalors d [A] - [P] sg q dt([a] - [P] - β[i]) = 0. (36) Como dt([a][b]) = dt[a] dt[b], mltiplicando (36) por dt([a]), obtém-s dt([p] - β[a]) = 0. (37) Hildbrand (965), mostro q a qação (37) tm atovalors positivos qando as matrizs [A] [P] são positivas dfinidas. Ants d analisar as matrizs [A] [P], é intrssant rlmbrar m dsnvolvimnto ralizado por Frid (979): O mínimo atovalor d ma matriz global [G] é maior do q o mínimo atovalor d todas as sas matrizs lmntars, isto é ( ) [ G ] ( ) β min β < (38) min min O fato da matriz [A] sr dfinida positiva é facilmnt stablcido, pois a matriz [M] é obviamnt dfinida positiva, a la somas part d [K]; cada ma das parts d [K] é singlar sta soma não altra a caractrística d [A], a sabr, [A] contina sndo dfinida positiva. Analisando-s a matriz [P], o problma é sabr qanto pod-s sbtrair d [M], d modo q a matriz [P] contin sndo positiva dfinida conform Sgrlind (987). Com o intito d tilizar a rgra d Frid (979), dfin-s a qação matricial no lmnto () [p () ]=[m () ] [k () ], (39) sndo δ = t( - θ). No prsnt trabalho é ssncial ncontrar o valor d α q torna [p () ] singlar, isto é, faz o atovalor mínimo igal a zro. Utilizando- 9 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00

15 s a rgra d Frid(979), s o mínimo atovalor d [p () ] é zro, ntão [ P ] sab-s q β > 0 [P] é dfinida positiva. min ( ) O valor β min é o valor d β q satisfaz dt([p () ] β[i])=0. (40) Mas como a matriz é singlar, β = 0, a qação s torna dt([m () ] [k () ]=0. (4) Dsta qação ncontra-s δ min, impondo δ min t <. (4) ( θ ) S os lmntos form difrnts, o mnor valor d α ocorrrá no mnor dntr ls. Sgndo priência d algns ators, por mplo Sgrlind (987), qaçõs análogas a antrior são consrvativas para malhas não-niforms, mas são m bom gia para slcionar os valors d t. Para malhas niforms a qação é ma clnt stimativa d t. Utilizando os concitos antriors para o problma m stdo, cja malha é niform, obtêm-s os sgints valors d δ a = δ, (43a) a δ =, (43b) 6 c a δ 3 =, 6 b (43c) a δ 4 =, b c (43d) ond l a =, (44a) 4 D vα l b =, (44b) 6 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00 93

16 D vα l c =, (44c) 6 vl d =, (44d) σl =. (44) 4 S α > α, ntão δ 3 é mínimo, t < l ( 4D α vl σl )( θ ) S α < α, ntão δ é mínimo, t < ( 4D α vl σl )( θ ) l. (45). (46) Obsrv q para θ = no conjnto d qaçõs (9), qivalnt a formlação implícita, t pod sr arbitrariamnt scolhido. Gráficos A sgir, analisam-s divrsas sitaçõs, nas qais as dimnsõs do domínio variarão d acordo com o alcanc do fnômno, isto é, para simplicidad dos cálclos da intrprtação física as frontiras foram aproimadas o afastadas. Srão analisados divrsos cnários nos qais obsrva-s dsd o fnômno d difsão pra, o sja, a vlocidad é nla portanto o númro d Pclt é igal a zro, até sitaçõs fortmnt convctivas, prssas por altíssimos númros d Pclt. 94 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00

17 Caso com Pclt igal a zro 5,0E05 4,5E05 4,0E05 3,5E05 3,0E05,5E05,0E05,5E05,0E05 5,0E04 0,0E00-5,0E S0 S7 S4 S FIGURA Concntração d polnt para P = 0, D = 0.00 σ = 0, após 4.000s, tilizando-s o Método d Bbnov-Galrkin. As distâncias da font aos lados do domínio são igais a 0 m. Casos com Pclt Pqno Para ilstrar st cnário tilizar-s-á Pclt igal a. Os rsltados são prssos pla figra. 3,5E06 3,0E06,5E06,0E06,5E06,0E06 5,0E05 0,0E00-5,0E S0 S7 S4 S FIGURA Concntração d polnt para P = σ = 0, após s, tilizando-s o Método SUPG. As distâncias da font aos lados do domínio são igais a 0 m. Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00 95

18 Casos com valors modrados d Pclt Para sts casos tilizar-s-á Pclt igal a 0 srão ilstrados os rsltados obtidos plas divrsas mtodologias.,0e0 7,5E0 5,0E0,5E0 0,0E00 -,5E0-5,0E0-7,5E S S6 S FIGURA 3 Concntração d polnt para P = 0 σ = 0.000, após.000s, tilizando-s o Método Bbnov-Galrkin. As distâncias da font aos lados do domínio são igais a 0 m. 8,0E0 6,0E0 4,0E0,0E0 0,0E00 -,0E S S7 FIGURA 4 Concntração d polnt para P = 0 σ = 0, após.000s, tilizando-s o Método SUPG. As distâncias da font aos lados do domínio são igais a 0 m. 96 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00

19 7,0E0 6,0E0 5,0E0 4,0E0 3,0E0,0E0,0E0 0,0E00 -,0E0 -,0E S FIGURA 5 Concntração d polnt para P = 0 σ = 0, após.000s, vista na dirção do vtor vlocidad, tilizando-s o Método SUPG. As distâncias da font aos lados do domínio são igais a 0m.,5E04,0E04,5E04,0E04 5,0E03 0,0E00-5,0E S0 S7 S4 S FIGURA 6 Concntração d polnt para P =0 σ = 0.000, após s, tilizando-s o Método SUPG modificado pla adição da difsão transvrsal. As distâncias da font aos lados do domínio são igais a 00 m. Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00 97

20 ,5E04,0E04,5E04,0E04 5,0E03 0,0E00 S S0 S9 S8 S7 S6 S5 S4 S3 S -5,0E03 S FIGURA 7 Concntração d polnt para P =0 σ = 0.000, após s, vista na dirção do vtor vlocidad, tilizando-s o Método SUPG modificado pla adição da difsão transvrsal. As distâncias da font aos lados do domínio são igais a 00 m. Casos com altos valors d Pclt Para sts casos tilizar-s-á altos valors d Pclt, os qais são útis pois dscrvm sitaçõs rais, srão ilstrados os rsltados obtidos plo Método SUPG modificado.,0e-03,5e-03,0e-03 5,0E-04 0,0E00-5,0E S S6 S FIGURA 8 Concntração d polnt para P = σ = 0.000, após s, tilizando-s o Método SUPG modificado pla adição da difsão transvrsal. As distâncias da font aos lados do domínio são igais a m. 98 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00

21 ,8E-03,6E-03,4E-03,E-03,0E-03 8,0E-04 6,0E-04 4,0E-04,0E-04 0,0E00 -,0E-04 S S3 S5 S7 S9 S FIGURA 9 Concntração d polnt para P = σ = 0.000, após s, vista na dirção do vtor vlocidad, tilizando-s o Método SUPG modificado pla adição da difsão transvrsal. As distâncias da font aos lados do domínio são igais a m. Comntários Conclsõs Em todos os casos stdados o domínio foi dividido m 00 lmntos rtanglars o valor d f 0 foi arbitrado igal a 500. Todas as grandzas constants físicas stão prssas no sistma intrnacional S.I. No caso da vlocidad sr nla, o númro d Pclt torna-s igal a zro, o fnômno torna-s clsivamnt difsivo. Para ilstrar st contto, foi sboçada a figra, cjos valors da concntração dos polnts foram obtidos com o método d Galrkin (Galrkin- Bbnov). Nota-s, nsta figra, q ma hora dpois da font star mitindo polição continamnt, o fito polnt stá rstrito a ma rgião d m m torno da font. Isso lva à conclsão d q o fnômno d difsão é mito localizado, m prfito sincronismo com as prvisõs. Os rsltados prssos na figra, obtidos pla formlação SUPG, qando o método d Galrkin-Bbnov já atingia s limit d validad, ilstram o caso com vlocidad mito baia, pois o númro d Pclt é igal a. Nst caso, após aproimadamnt 7 horas, o fito da polição ating a frontira do domínio, q stá a 0m. Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00 99

22 Nos casos rprsntados plas figras, foi tilizada ma aproimação das frontiras para mlhor visalizar o fnômno, pois, trabalhando com frontiras a mtros, sts fnômnos são imprcptívis. Obsrva-s também q as condiçõs d contorno podriam sr altradas para Dirichlt, o sja, colocadas igais a zro m toda a frontira. A anális dsss casos, nos qais o fito não chga à frontira, torna o problma praticamnt indpndnt das condiçõs d contorno. Para Pclt igal a 0, mbora a vlocidad ainda não sja tão grand, o fito convctivo comça a s dstacar, isto é, constata-s ma prdominância do fnômno na dirção da vlocidad. Fz-s, nss caso, ma comparação das mtodologias tilizadas. A figra 3 mostra o rsltado obtido plo Método d Bbnov-Galrkin, q é compltamnt oscilatório, não tndo nnhm significado físico. Nas figras 4 5, vê-s o rsltado obtido plo Método SUPG. Pod-s notar q ssa mtodologia stabiliza as oscilaçõs na dirção da vlocidad (figra 4) porém, conform ilstrado na figra 5, a solção aprsnta forts oscilaçõs na dirção prpndiclar à vlocidad. As figras 6 7 rprsntam os rsltados obtidos plo Método SUPG, modificado plo incrmnto do parâmtro stabilizador na dirção transvrsal, obtido com as rstriçõs dscritas no itm 4. Pod-s notar q ssa mtodologia, além d liminar as oscilaçõs na dirção da vlocidad, limina também as oscilaçõs transvrsais. As figras 8 9 ilstram os rsltados obtidos plo SUPG modificado para grands valors do númro d Pclt, q stão associados às vlocidads d vntos razoávis, crca d m/s o mais, com frontiras razoavlmnt distants da font, crca d 0km. É possívl obsrvar q dpois d 7 horas d missão constant da font o fito da polição ating a frontira. Das análiss, concli-s q o fnômno da polição atmosférica, dvido a agnts lançados por indústrias na atmosfra, é m fnômno prioritariamnt convctivo. Em rlação aos problmas nméricos, pod-s conclir q a anális do fator d stabilização transvrsal condzi a ma séri d rstriçõs, as qais, impostas ao modlo nmérico, lvaram a liminação das oscilaçõs nméricas a rsltados fisicamnt cornts. Pod-s infrir para m caso ral q o control do lançamnto d polnts na atmosfra dv considrar as configraçõs frqünts dos campos d vlocidad do vnto, principalmnt m rgiõs d grands vlocidads d vnto. As possívis indústrias polidoras 00 Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00

23 dvm sr constrídas m locais ond a dirção prdominant do vnto lv a polição para rgiõs inabitadas. Essa procpação dv sr maior qando hovr cidads mito próimas ntr si. O Modlo laborado podrá forncr dados iniciais para stdos associados a sta problmática, contribindo para a confcção do Rlatório d Impacto Ambintal (RIMA), no procsso d anális d instalação d indústrias potncialmnt polidoras. MURCIA, S. R. D. R., LACAZ, T. M. V. S. Atmosphr polltion modl: nmrical soltion and associatd instabilit. Rv. Mat. Estat. (São Palo), v.0, p.79-0, 00. ABSTRACT: Th prpos of this work is to laborat a modl for th disprsion of gasos pollting agnts, which ar mittd in th atmosphr from pntcal sorcs, in spcific sitations. Th phnomnon is dscribd b a transitor advctiv-diffsiv partial difrntial qation and rsolvd b th Finit Elmnts Mthod, sing th formlation of th wightd rsidal. Th nmrical rsoltion of this tp of qation gnrats problms of nmrical oscillations for high Pclt nmbr. Th problms ar analzd sing a transvrsal stabilizing paramtr and rslts ar prsntd for man sitations. KEYWORDS: Atmosphric Polltion, Mathmatical Modlling, Finit Elmnts Mthod, Stabilit, SUPG Mthod, Nmrical Oscillations. Rfrências CODINA, R. A discontinit-captring crosswind-dissipation for th finit lmnt soltion of th convction-diffsion qation. Compt. Mth. Appl. Mch. Eng., v.0, p.35-4, 993a.. Finit lmnt formlation for th nmrical soltion of th convction-diffsion qation. Barclona: CIMNE, 993b. 30p. (Monograph, n.4). FRIED, I. Nmrical soltion of diffrntial qations. Nw York: Acadmic Prss, p. HILDEBRAND, F. B. Mthods of applid mathmatics.. d. Nw Jrs: Prntic-Hall, p. Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00 0

24 LACAZ, T. M. V. S.; MURCIA, S. R. D. R.; MEYER, J. F. C. A.; MARTINS, R. E. Sobr m problma d polción ambintal: l modlaminto matmático (part no), In: CONGRESO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN CIENCIAS SOCIALES,., 000, Barclona. Actas... Barclona: Cntro Intrnacional d Métodos Nméricos in Ingniría (CIMNE), 000. v., p MAADOOLIAT, R. Elmnt and tim stp critria for solving timdpndnt fild problms sing th finit lmnt mthod. 983, 09f. Dissrtation (Ph.D) - Michigan Stat Univrsit, East Lansing. MURCIA, S. R. D.; LACAZ, T. M. V. S.; MEYER, J. F. C. A.; MARTINS, R. E. Solción Nmérica Gráficos para n Problma d Polción Ambintal d la Atmósfra (part dos). In: CONGRESO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN CIENCIAS SOCIALES,., 000, Barclona. Actas... Barclona: Cntro Intrnacional d Métodos Nméricos in Ingniría (CIMNE), 000. v., p MYERS, G. E. Analtical mthods in condction hat transfr. Nw York: MacGraw-Hill, p. SEGERLIND, L. J. Applid finit lmnt analsis.. d. Nw York: John Wil & Sons, p. ZIENKIEWICZ, O. C.; TAYLOR, R. L. Th finit lmnt mthod. 4.d. Nw York: MacGraw-Hill, 989. v., 865p. Rcbido m Rv. Mat. Estat., São Palo, 0: 79-0, 00