UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS - UFMG INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICEx DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA. Estatística Geral Aulas Computacionais

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS - UFMG INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICEx DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Estatística Geral Aulas Computacionais Fábio Rocha da Silva Orientadora: Glaura da Conceição Franco

2 Sumário 1 Introdução 3 2 Conjuntos de dados Dados sobre o Sono de Estudantes (sleep) Descrição: Fonte Cícunferência (cm) de Cabeças de Bebês de Dois Meses (cabeça) Descrição: Fonte: Medidas de Qualidade do ar da cidade de Nova York (ar) Descrição: Fonte: Parte em R Teste de Normalidade Média de uma distribuição normal com variância desconhecida Comparação de variâncias: Comparação de duas médias Comparação de duas médias para amostras pareadas Comparação de duas médias para amostras independentes Parte em Minitab Teste de Normalidade Teste de hipóteses para a média populacional com variância desconhecida Teste de hipóteses para a média populacional com variância conhecida Comparação de variâncias Comparação de duas médias Comparação de duas médias, Amostras pareadas Comparação de duas médias, Amostras independentes Exercícios: a Lista: Referências Bibliográficas 22 2

3 1 Introdução Neste trabalho pretendemos introduzir aos alunos um conjunto de técnicas que permitam extrapolar para a população conclusões tiradas para subconjuntos ou amostras desta população. Algumas destas t ecnicas são: estimação pontual, intervalos de confiança, teste de hipótese e predições. Chamamos de hipótese estatística qualquer afirmação que se faça sobre um parâmetro populacional desconhecido. A idéia básica é que a partir de uma amostra da população iremos estabelecer uma regra de decisão segundo a qual rejeitaremos ou aceitaremos a hipótese proposta. Esta regra de decisão é chamada de teste de hipóteses. Em outras palavas, um teste de hipóteses é um procedimento que permite decidir se uma dada hipótese é ou não suportada pela informação fornecida pelos dados de uma amostra. Este material foi densenvolvido para dar ao aluno uma base computacional dos testes estatíscos aboradados em um nível teórico em sala de aula. Estas aulas têm como intuito motivar e despertar o interesse do aluno para o uso e a importância da estatística na tomada de decisão, capacitar o aluno para o cálculo e a interpretação corretos dos parâmetros estatísticos, selecionar adequadamente os testes de hipóteses necessários e elaborar conclusões a respeito dos resultados estatísticos obtidos visando à tomada de decisão. 2 Conjuntos de dados 2.1 Dados sobre o Sono de Estudantes (sleep) Descrição: O banco de dados é constítuido de 20 elemntos. Os dados mostram o efeito de dois medicamentos para o sono, a variavel de interesse extra=acréscimo de horas de sono. Um dos medicamentos se propõe a aumentar o número de horas de sono(factor=1), e outro sendo um placebo(factor=2),sendo,cada um, ministrado a 10 pacientes Fonte Os dados foram obtidos em : Cushny, A. R. and Peebles, A. R. (1905) The action of optical isomers: II hyoscines. The Journal of Physiology 32, 501 : 510. Student (1908) The probable error of the mean. Biometrika, 6, Cícunferência (cm) de Cabeças de Bebês de Dois Meses (cabeça) Descrição: O banco de dados trás o diâmetro da circunferência (cm) de cabeças de bebês de dois messses de idade, sendo que o banco de dados é contituído de 50 crianças do sexo masculino e 50 do sexo feminino dos Estados Unidos. 3

4 2.2.2 Fonte: Os dados são do U. S. Department of Health and Human Services, National Center for Health Statistics, Third National Health and Nutrition Examination Survey. 2.3 Medidas de Qualidade do ar da cidade de Nova York (ar) Descrição: Diário de medições da qualidade do ar em Nova York, desde Maio até Setembro de 1973.O banco é composto das seguintes variaveis: ozone: Média de Ozoninio por milhão (ppb); Solar: nível de readiação solar(lang); Wind:velocidade do vento em milhas por horas; Temp: Temperatura máxima em graus Fahrenheit Fonte: Os dados foram obtidos a partir de Departamento de Conservação do Estado de Nova York (ozono data) e National Weather Service (dados meteorológicos). Chambers, J. M., Cleveland, W. S., Kleiner, B. and Tukey, P. A. (1983) Graphical Methods for Data Analysis. Belmont, CA: Wadsworth. 3 Parte em R R é uma linguagem e um ambiente de desenvolvimento integrado, para cálculos estatísticos e gráficos. Foi criada originalmente por Ross Ihaka e por Robert Gentleman (daqui o R) na universidade de Auckland, Nova Zelandia, e foi desenvolvido por um esforço colaborativo de pessoas em vários locais do mundo. Como Baixar o R: Acesse o site: Depois de acessar o site o Caminho é o seguinte: >Clicar em um ícone que esta escrito Windows; >clicar no ícone base ; >clicar no ícone R win32.exe e mandar executar. 4

5 A tela Do R : Figura 1: Tela do R Nas próximas seções iremos verificar como utilizar o R para obter intervalos de confiança e testar hipóteses sobre parâmetros de interesse. 3.1 Teste de Normalidade Os procedimentos de testes de hipóteses paramétricos foram projetados para problemas em que a população ou a distribuição de probabilidades seja conhecida e as hipóteses envolvam parâmetros da distribuição. Um outro tipo de hipótese é frequentemente encontrado: não conhecemos a disribuição da população e desejamos testar a hipótese de que uma distribuição particular seraá satisfatória como um modelo para a população. Por exemplo, podemos desejar testar a hipótese de que a população seja normalmente distribuída. Em estatística, os testes de normalidade são usados para determinar se dada variável aleatória, representada por uma amostra, é uma variável aleatória normal. A maioria dos testes estatísticos só podem ser usados sob a suposição de normalidade dos dados, portanto, caso o teste aponte que esta premissa é inválida, os resultados do teste (intervalos de confiança, p-valor, etc) não podem ser usados. Para ilustrar este procedimento usaremos os dados Cícunferência (cm) de Cabeças de Bebês de Dois Meses (cabeça): Para investigar se o diâmetro da cabeça de bebês do sexo Masculino segue uma distribuição normal usaremos um teste de normalidade da seguinte forma: cabeça=read.table("cabeça.txt",header=true) attach(cabeça) shapiro.test(masculino) qqnorm(masculino);qqline(masculino,col="red") 5

6 detach(cabeça) Onde : read.table é um comando para ler tabelas. Os nomes das variáveis estão na primeira linha. Para que o R considere isto corretamente temos que informá-lo disto com o argumento head=true. attach The database is attached to the R search path. This means that the database is searched by R when evaluating a variable, so objects in the database can be accessed by simply giving their names. shapiro.test é um teste de normalidade que testa as seguintes hipóteses: { H0 : a v. a. e normalmente distribuida H a : a v. a. nao e normalmente distribuida qqnorm e qqline produzem o chamado gráfico de normalidade: Normal Q Q Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Figura 2: Teste de Normalidade 3.2 Média de uma distribuição normal com variância desconhecida Considere resolver o seguinte problema: O tempo de reação de um novo medicamento pode ser considerado como tendo distribuição Normal e deseja-se fazer inferência sobre a média que é desconhecida obtendo um intervalo de confiança. Vinte pacientes foram sorteados e tiveram seu tempo de reaçao anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos):

7 Entramos com os dados com o comando: tempo = c(2.9, 3.4, 3.5, 4.1, 4.6, 4.7, 4.5, 3.8, 5.3, 4.9, 4.8, 5.7, 5.8, 5.0, 3.4, 5.9, 6.3, 4.6, 5.5, 6.2) Para este exemplo específico a função t.test pode ser utilizada como vemos a seguir: > t.test(tempo) One Sample t-test data: tempo t = , df = 19, p-value = 1.006e-14 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x testa a igualdade de média a zero (p - value = 1.006e - 14), em um teste bilateral. Os valores definidos no IC e teste de Hipóteses acima são defauts que podem se modificados. Por exemplo, para obter um IC a 99 por cento o resultado da função mostra a estimativa obtida da média (4.745), o intervalo de confiança a 95 por cento > t.test(tempo, conf.level = 0.99) One Sample t-test data: tempo t = , df = 19, p-value = 1.006e-14 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 99 percent confidence interval: sample estimates: mean of x >t.test(tempo, alt = "greater", conf.level = 0.99) One Sample t-test data: tempo t = , df = 19, p-value = 5.032e-15 alternative hypothesis: true mean is greater than 0 99 percent confidence interval: Inf sample estimates: mean of x

8 > t.test(tempo, alt = "less",mu=6, conf.level = 0.99) One Sample t-test data: tempo t = , df = 19, p-value = 9.825e-06 alternative hypothesis: true mean is less than 6 99 percent confidence interval: -Inf sample estimates: mean of x Comparação de variâncias: Em muitas situações práticas, o maior interesse é comparar a variabilidade de duas situações, por exemplo, antes e após uma ação no processo visando à redução de variabilidade. Para ilustrar este procedimento iremos testar se os bebês do sexo masculino possuem uma variabilidade do diâmetro de cabeça de bebês do sexo feminino. cabeça=read.table("cabeça.txt",header=true) attach(cabeça) var.test(masculino,feminino) detach(cabeça) Os resultados do teste são os seguintes: F test to compare two variances data: Masculino and Feminino F = , num df = 49, denom df = 49, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval: sample estimates: ratio of variances Comparação de duas médias Quando temos uma variável qualitativa com dois níveis e outra quantitativa a análise em geral recai em comparar as médias da quantitativa para cada grupo da qualitativa. Para isto podemos utilizar o testet. Há diferentes tipos de teste T: para amostras independentes ou pareadas, variâncias iguais ou desiguais Comparação de duas médias para amostras pareadas Para este procedimento usaremos o banco de dados sleep : 8

9 sleep=read.table("sleep.txt",header=true) attach(sleep) boxplot(extra[group==1],extra[group==2]) title("box-plot do acréscimo horas de sono dos estudantes") t.test(extra[group==1],extra[group==2],paired=true) detach(sleep) Box plot do acréscimo horas de sono dos estudantes Figura 3: Boxplot do acréscimo de horas de sono dos Estudantes Note que o identificador de grupos esta entre colchetes e que para realizar o teste t-pareado é necessário colocar o comando paired=true. Os resultados do teste estão abaixo: Paired t-test data: extra[group == 1] and extra[group == 2] t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of the differences Comparação de duas médias para amostras independentes Estamos interesados em comparar o diâmentro da cabeça de bebês do sexo masculino e e bebês do sexo feminino, como no teste de variancias não rejeitamos a hipótese de igualdade de variâncias, o teste será com variâncias iguais : 9

10 cabeça=read.table("cabeça.txt",header=true) boxplot(cabeça,col=c("blue","pink")) title("boxplot do diam. da cabeça de bebes em cm") attach(cabeça) t.test(masculino,feminino,var.equal=true) detach(cabeça) Boxplot do diam. da cabeça de bebes em cm Masculino Feminino Figura 4: Boxplot da variável diâmetro da cabeça dos bebês em cm Os resultados do teste estão abaixo: Two Sample t-test data: Masculino and Feminino t = , df = 98, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y Os resultados mostram que, com 5 por cento de significância, não há evidências para rejeitar a hipótese de igualdade entre as médias. 10

11 4 Parte em Minitab O MINITAB é um sistema computacional para análise estatística de dados. É muito utilizado nas universidades nos cursos introdutórios de estatística. Também é utilizado em empresas num nível mais avançado de utilização, tendo funções mais específicas voltadas para gerenciamento. Sua interface é parecida com a de uma planilha eletrônica como Microsoft Excel ou Calc do OpenOffice mas com a capacidade de executar análises estatísticas complexas. Inicialmente vamos realizar o teste de normalidade no Minitab 15. Utilizaremos o banco de dados cabeça: 4.1 Teste de Normalidade Abrir o banco de dados cabeça.mpj Entrar em STAT/Basic Statatisitcs Selecione Normality Test Figura 5: Teste de Normalidade Selecione o procedimento de teste Ryan-Joiner ou qualquer outro pois eles são similares, com relação a conclusão sobre a normalidade. Dê um título a seu Teste 11

12 O seu teste sai em forma de gráfico: Figura 6: Teste Teste de Normalidade Figura 7: Teste de Normalidade 4.2 Teste de hipóteses para a média populacional com variância desconhecida Entrar em STAT/Basic Statatisitcs Selecionar 1 Sample t; 12

13 Figura 8: Teste de hipóteses para a média populacional com variância desconhecida variables: Masculino; Test mean 40 ( valor de µ sob a hipótese nula). Entre em options: Escolher o nível de significância Confidence level Escolher a forma da hipótese alternativa Alternative 13

14 Figura 9: Teste de hipóteses para a média populacional com variância desconhecida Os resultados deste procedimento estão abaixo: One-Sample T: Masculino Test of mu = 40 vs not = 40 Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI Masculino (40.672, ) T P Teste de hipóteses para a média populacional com variância conhecida Entrar em STAT/Basic Statatisitcs Selecionar 1 Sample Z; 14

15 Figura 10: Teste de hipóteses para a média populacional com variância conhecida variables: Masculino; Standart desviation 1.45( suponha que a variância seja conhecida); Test mean 40 ( valor de µ sob a hipótese nula). Figura 11: Teste de hipóteses para a média populacional com variância conhecida 15

16 Entre em options: Escolher o nível de significância Confidence level Escolher a forma da hipótese alternativa Alternative Os resultados deste procedimento estão abaixo: One-Sample Z: Masculino Test of mu = 40 vs not = 40 The assumed standard deviation = 1.45 Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI Masculino (40.696, ) Z P Comparação de variâncias Para ilustrar este procedimento usaremos o banco de dados cabeça : Entrar em STAT/Basic Statatisitcs 16

17 Selecionar 2 Variances; Samples in different columns: Firt Sample: Masculino Second Sample: Feminino Entre em options: Figura 12: Comparação de variâncias Escolher o nível de significância Confidence level Escolher um título Figura 13: Comparação de variâncias Os resultados deste procedimento estão abaixo: 17

18 Figura 14: Comparação de variâncias 4.5 Comparação de duas médias como já vimosanteriormente, há diferentes tipos de teste T: para amostras independentes ou pareadas, variâncias iguais ou desiguais: Comparação de duas médias, Amostras pareadas Para este procedimento usaremos o banco de dados sleep : Entrar em STAT/Basic Statatisitcs Selecionar Paired t; Samples in columns: Firt Sample: extra-1 Second Sample: extra-2 Entre em options: Escolher o nível de significância Confidence level Escolher Test mean igual a zero Escolher a forma da hipótese alternativa Alternative Os resultados deste procedimento estão abaixo: Paired T-Test and CI: extra_1, extra_2 Paired T for extra_1 - extra_2 N Mean StDev SE Mean extra_ extra_ Difference % CI for mean difference: (-2.460, ) 18

19 Figura 15: Teste de hipóteses para Comparação de duas médias, Amostras pareadas Figura 16: Teste para a Comparação de duas médias, Amostras pareadas T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = P-Value =

20 4.5.2 Comparação de duas médias, Amostras independentes Para este procedimento usaremos o banco de dados cabeça : Entrar em STAT/Basic Statatisitcs Selecionar 2 Sample t; Figura 17: Teste Comparação de duas médias, Amostras independentes Samples in different columns: First Sample: Masculino Second Sample: Feminino Entre em options: Escolher o nível de significância Confidence level Escolher Test mean igual a zero Escolher a forma da hipótese alternativa Alternative 20

21 Figura 18: Teste Comparação de duas médias, Amostras independentes Os resultados deste procedimento estão abaixo: Two-sample T for Masculino vs Feminino N Mean StDev SE Mean Masculino Feminino Difference = mu (Masculino) - mu (Feminino) Estimate for difference: % CI for difference: (0.427, 1.673) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 3.34 P-Value = DF = 97 5 Exercícios: a Lista: 1. Considere a seguinte situação: Os dados a seguir correpondem a teores de um elemento indicador da qualidade de um certo produto vegetal. Foram coletadas 2 amostras referentes a 2 métodos de produção e deseja-se comparar as médias dos métodos. os dados se encontram abaixo: M etodo M etodo Compare as médias dos métodos. 2. No processo de têmpera uma peça de aço em estado incandescente é submetida a um choque de temperatura colocando-a imersa em um líquido que se encontra 21

22 a uma temperatura muito mais baixa se comparada à temperatura da peça de aço. O objetivo do processo de têmpera é aumentar a dureza do aço temperadas em dois tipos de banho de óleo (óleo A e óleo B) foram escolhidas aleatoriamente da produção de uma indústria n=10 barras de aço. Em seguida cada barra foi cortada em duas partes iguais. Aleatóriamente uma das metades é escolhida para ser submetida a um processo de têmpera com o óleo A e a outra metade com o óleo B. As medidas de dureza em unidades apropriadas para as 10 barras submetidas á têmpera com o óleo A e o óleo B estão a seguir (considere que elas podem ser consideradas grandezas normais). Barra Oleo Oleo Considerando um nível de 5 por cento de significância, aplique o(s) teste(s) apropriado(s). 3. Um especialista comprou 25 resistores do vendedor 1 e 35 resistores do vendedor 2. Cada resistência foi medida e os resultados estão abaixo: Vendedor Vendedor Elabore um procedimento estatístico apropriado de teste de hipóteses de modo a determinar se o especialista pode afirmar se os dois vendedores vendem resitores de mesma qualidade ou se o resistor vendido por algum dos vendedores tem qualidade superior. Chegue as suposições relativas a estes procedimentos. 6 Referências Bibliográficas 22

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