ENSINO DE PRISMAS: UMA ANÁLISE A PARTIR DO LIVRO DIDÁTICO

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1 UNIFAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS FACULDADE DE MATEMÁTICA MARIA APARECIDA COSTA SÔNIA REGINA DOS REIS LIMA ENSINO DE PRISMAS: UMA ANÁLISE A PARTIR DO LIVRO DIDÁTICO Alfenas/ MG 2010

2 MARIA APARECIDA COSTA SÔNIA REGINA DOS REIS LIMA ENSINO DE PRISMAS: UMA ANÁLISE A PARTIR DO LIVRO DIDÁTICO Trabalho de Conclusão de Curso apresentado a Universidade Federal de Alfenas, como parte dos requisitos para obtenção do título de Licenciado em Matemática. Orientadora: Professora Dra. Andrea Cardoso Alfenas/ MG 2010

3 MARIA APARECIDA COSTA SONIA REGINA DOS REIS LIMA A Banca examinadora abaixo-assinada, aprova o Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como parte dos requisitos para obtenção do título de Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Alfenas. Aprovada em: Professora: Dra. Andrea Cardoso (Orientadora) Instituição: Universidade Federal de Alfenas Assinatura: Professor: Dr. José Carlos de Souza Junior Instituição: Universidade Federal de Alfenas Assinatura: Professor: Dr. Denismar Alves Nogueira Instituição: Universidade Federal de Alfenas Assinatura: Professor: Msc. Jose Claudinei Ferreira (Suplente) Instituição: Universidade Federal de Alfenas Assinatura:

4 AGRADECIMENTOS À DEUS, por estar presente na nossa vida, guiando e iluminando os nossos passos todos os dias. À Profª. Drª. Andrea Cardoso, pela capacidade, confiança, disposição e determinação na orientação deste trabalho, fatores essenciais para a sua concretização. A todos os professores do curso de Matemática, pelos ensinamentos compartilhados. Às meus colegas do curso, amigos que sempre lembraremos com carinho. A todas as pessoas que participaram de forma direta ou indireta para o êxito deste trabalho. SÔNIA Ao meu esposo Antonio Carlos, pelo apoio e compreensão durante todo o curso. Aos meus filhos Matheus e Guilherme, luzes da minha vida, pelas minhas ausências em alguns momentos. CIDA À minha mãe Francisca pelo apoio e incentivo no decorrer do curso. A todos vocês, nossa eterna gratidão!

5 Um ladrão rouba um tesouro, mas não furta a inteligência. Uma crise destrói uma herança, mas não a profissão. Não importa se você tem dinheiro, você é uma pessoa rica, pois possui o maior de todos os capitais: a sua inteligência. Insista nela. Estude! (Augusto Cury)

6 RESUMO O livro didático vem se tornando o único referencial teórico a que alunos e professores tem acesso, o que lhe garante um papel importantíssimo no sistema de ensino, principalmente na educação pública. Dentre os conteúdos de Matemática trabalhados no Ensino Médio, pode-se dizer que o ensino de Geometria Espacial está sendo negligenciado, causando imenso prejuízo aos estudantes, visto que o estudo deste tópico proporciona o desenvolvimento de habilidades de visualização, de desenho e de argumentação lógica, além de favorecer diversas aplicações cotidianas promovendo a contextualização do ensino de Matemática. O presente trabalho tem como objetivo a análise de livros didáticos do Ensino Médio em relação ao conteúdo de Prismas para verificar se os mesmos atendem às instruções oficiais e se a metodologia utilizada favorece a motivação e a aprendizagem. Para análise selecionou-se as três coleções de livros didáticos mais utilizados nas escolas públicas de Ensino Médio da Superintendência Regional de Ensino de Varginha. De forma geral os três livros apresentaram falhas quanto as questões analisadas, como omissão de fatos históricos, demonstrações, sugestões de atividades com recursos tecnológicos, necessitando adequá-los para que haja um favorecimento da aprendizagem de Geometria. Palavras Chaves: Geometria. Prismas. Livro Didático.

7 ABSTRACT The textbook has become the only theoretical reference that students and teachers have access, especially in public education. Among the math contents in high school can say that the Space Geometry is being neglected, causing immense damage to students, since the study of this topic provides the development of skills of visualization, drawing and logical argument as well as between various everyday applications promoting the contextualization of the math classes. The goal of this work is perform the analysis of high school textbooks for the content of Prisms to determine whether they meet the official instructions and if the methodology fosters motivation and learning. For analysis are selected the three collections of most textbooks used in public schools in School Regional Superintendent of Varginha. Overall the three books were incomplete as the issues examined, as omission of historical facts, proofs and activities with technology resources, it is necessary adapt them for fomenting the Geometry learning. Keywords: Geometry. Prisms. Textbook.

8 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 01 - Distribuição de alunos de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais BR...22 Figura 02 - Distribuição de alunos de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais MG...23 Figura 03 - Distribuição de alunos da rede pública de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais BR.. 24 Figura 04 - Distribuição de alunos da rede pública de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais MG..25 Figura 05 - Distribuição de alunos da rede privada de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais BR.. 26 Figura 06 - Distribuição de alunos da rede privada de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais MG..26 Figura 07 - Fórmula com erro de impressão...42 Figura 08 - Construção e definição de Prismas...43 Figura 09 - Formação de conceitos geométricos...44 Figura 10 - Exemplo de exercício resolvido...46 Figura 11 - A idéia intuitiva do volume Figura 12 - Planificações dos sólidos...50 Figura 13 - Exemplo de exercícios...51 Figura 14 - Volume do Cubo...52 Figura 15 - Exemplo de planificação de um dos prismas, o prisma triangular Figura 16 - Exemplo com o prisma triangular planificado...55 Figura 17 - Exemplo de visualização de um dos prismas montados e movimentado...55 Figura 18 - Tela inicial do Clicmat...56 Figura 19 - Uma das atividades do Clicmat...56 Figura 20 - Jogo usando conceitos geométricos...57 Figura 21 - Continuação do jogo usando conceitos geométricos Figura 22 - Continuação do jogo usando conceitos geométricos Figura 23 - Continuação do jogo usando conceitos geométricos Figura 24 - Planificação de Prismas...61 Figura 25 - Planificação de Prismas...62

9 Figura 26 Cubo Unitário...63 Figura 27 Cubo de aresta 1 dm...63 Figura 28 Subdivisão do cubo unitário...64 Figura 29 Cubo com aresta de medida não inteira...64 Figura 30 Bloco retangular...65 Figura 31 Prisma de base triangular e paralelepípedo...66 Figura 32 Prisma de base pentagonal decomposto em prismas triangulares...66

10 LISTA DE TABELAS Tabela 01 - Distribuição de alunos por níveis de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) urbanas sem federais Tabela 02 - Distribuição de alunos da rede pública por níveis de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) urbanas sem federais Tabela 03 - Distribuição de alunos da rede privada por níveis de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) urbanas sem federais Tabela 04 - Legenda...15 Tabela 05 - Escala de desempenho Matemática, 4ª série...16 Tabela 06 - Continuação da Tabela Tabela 07 - Escala de desempenho Matemática, 8ª série...18 Tabela 08 - Continuação da Tabela Tabela 09 - Escala de desempenho Matemática, 3ª série do Ensino Médio...20 Tabela 10 - Continuação da Tabela

11 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO O LIVRO DIDÁTICO USO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS METODOLOGIA RESULTADOS E DISCUSSÃO ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS Quanto a erros de impressão Quanto a imprecisão ou ambigüidade nas definições e resultados Quanto ao conceito se ele é precedido de uma situação-problema e se há contextualização dentro da própria matemática ou fora dela Quanto a situações históricas que podem motivar o aluno As demonstrações são apresentadas de forma a incentivar o manuseio de fórmulas favorecendo o pensar matemático ou ênfase na capacidade de memorização? Existem sugestões de material concreto, planificação dos sólidos, uso de recursos tecnológicos ou de instrumento de medição, construção de figuras ou jogos matemáticos? A forma como o estudo é apresentado é feita de maneira ordenada e que conduz o aluno à resolução adequada e significativa de problemas? COMPARATIVO EM RELAÇÃO À CONSTANTE EM MATEMÁTICA: CATÁLOGO DO PROGRAMA NACIONAL DO LIVRO PARA O ENSINO MÉDIO: PNLEM/

12 4.3 SUGESTÕES DE ATIVIDADES SOFTWARES DISPONÍVEIS PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA CONSIDERAÇÕES FINAIS E TRABALHOS FUTUROS...69 REFERÊNCIAS...70

13 11 1 INTRODUÇÃO O desempenho dos estudantes em exames que avaliam suas habilidades em Matemática atesta que a aquisição do conhecimento matemático vem se tornando uma atividade cada vez menos produtiva. Talvez seja este o resultado mais evidente de uma visão restrita e vetusta do ensino da matemática como a ciência das quantidades e dos cálculos. Faz-se necessário a pesquisa e o desenvolvimento de metodologias alternativas para o ensino de Matemática, tendo-se como principal referência, uma escola mais voltada para a aprendizagem que para o ensino, na qual a função específica do professor não seja a de instruir, mas motivar e mobilizar os aprendizes para que descubram por si próprios. Os conteúdos trabalhados na disciplina de Matemática são considerados sem nenhum atrativo, e muitas vezes complicado por uma grande parte dos alunos do ensino básico até mesmo do superior. Os conceitos matemáticos parecem ser, do ponto de vista do aluno, de difícil compreensão, a notação utilizada é complexa o que dificulta o aprendizado e o exercício do raciocínio. No ensino-aprendizagem percebem-se dificuldades de aprendizado em conteúdos onde não é possível presenciar o processo da forma que o mesmo acontece. Nesses acontecimentos cabe ao professor usar recursos que permitam ao aluno conhecer algo abstrato e perceber sua ligação com o real. A metodologia de ensino tradicional baseado em quadro negro e aulas dialogadas podem ocasionar esse processo cansativo e desmotivar os alunos promovendo falhas no processo de ensinoaprendizagem. Durante o período da chamada Matemática Moderna (décadas de 60 e 70) ocorreu no ensino uma forte predominância da conceituação dos conceitos matemáticos em detrimento da manipulação e das aplicações. Atualmente a manipulação é das três a componente mais difundida nos livros-texto adotados em nossas escolas públicas. Conseqüentemente abundam nas salas de aula atividades que não provêm de problemas reais, não estão relacionadas com a vida atual, nem com as demais ciências e nem mesmo com outras áreas da Matemática (LIMA, 2007).

14 12 A Matemática, bem como a geometria é de grande importância, para a vida dos indivíduos, pois através dela se desenvolve habilidades de visualização, de orientação no espaço, determina-se e compara-se distâncias e mesmo assim seu estudo vem sendo negligenciado pelas escolas. Ela constitui um conteúdo que vem sendo cobrado nas avaliações oficiais. O que garante que nossa escolha foi relevante. Quanto à escolha pelo conteúdo geometria espacial prismas foi devido a sua grande presença em nosso cotidiano, seja nas construções, nas embalagens de diversos produtos, etc, pois a todo momento nos deparamos com algum tipo de prisma o que constitui um motivo a mais para verificar se este conteúdo está sendo contextualizado, se está de acordo com as orientações curriculares oficiais. Tendo em vista a importância que o livro didático tem para o professor, como referência ou mesmo roteiro principal no preparo e condução de suas aulas (LEE, 2003). E partindo do pressuposto que o livro didático tem um papel fundamental no processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos, o objetivo deste trabalho é realizar uma análise qualitativa e quantitativa dos conteúdos de Prismas nos três livros didáticos do Ensino Médio mais utilizados nas escolas públicas da jurisdição da 41ª Superintendência Regional de Ensino (SRE) de Varginha, buscando verificar as estratégias utilizadas, o atendimento às instruções veiculados pelos documentos oficiais para o Ensino Médio. As publicações dedicadas às pesquisas em analisar o livro didático vêm aumentando diariamente, por ser um instrumento essencial na vida do professor e dos alunos. Por outro lado, percebemos o poder de influência exercida pelo livro didático na definição das atividades realizadas em sala de aula. O interesse em analisar os livros didáticos é devido à importância de se ter uma obra que não contenha erros ou com conceitos mal redigidos gerando ambigüidades e deixando margem a dúvida, ficando difícil a assimilação do conteúdo muitas vezes necessitando em uma maior atenção dos professores, sendo que os alunos poderiam entender facilmente se o livro fosse mais claro, comprometendo a aprendizagem dos alunos. De acordo com o exposto, este trabalho tem a seguinte questão de pesquisa: Quais os principais problemas, erros, imprecisões ou omissões dos livros didáticos de Matemática do Ensino Médio utilizados nas escolas públicas da regional de Varginha-MG em relação aos conceitos básicos de Prismas e como isto pode influenciar a aprendizagem dos estudantes?

15 13 O capítulo 2 apresenta um estudo sobre a relevância dos livros didáticos no ensino e aprendizagem de Matemática atualmente, uma pesquisa sobre o ensino de Geometria Espacial e as determinações das Orientações Curriculares referentes a este conteúdo. A metodologia utilizada no desenvolvimento do trabalho, bem como os critérios para seleção e análise dos livros didáticos estão dispostos no capítulo 3. O capítulo 4 é destinado à apresentação da análise dos textos e discussão dos resultados. Para finalizar, as conclusões e sugestões para trabalhos futuros configuram o capítulo 5.

16 14 2 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO De acordo com Lima (2007), o currículo de Matemática adotado no Ensino Médio brasileiro é essencialmente determinado pelos exames de ingresso nos cursos superiores. A escolha dos assuntos é bem equilibrada e objetiva, não havendo omissões gritantes nem excessos escandalosos. O conteúdo não difere substancialmente daquele adotado, para alunos de mesma idade em muitos países europeus. O problema reside na execução que deixa muito a desejar. A Matemática do ensino médio, conforme praticada nas escolas brasileiras, embora aborde temas relevantes, trata esses assuntos de maneira bastante insatisfatória, enfatizando aspectos manipulativos e fórmulas, deixando de lado interessantes aplicações e interpretações relevantes daqueles tópicos nas outras Ciências e no dia-a-dia da sociedade em que vive o jovem de hoje, e o reflexo imediato é o desempenho sofrível dos estudantes nos exames promovidos pelo Ministério da Educação e pelas Secretarias da Educação dos Estados. Os resultados do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (Saeb) promovido pelo Inep são apresentados na Tabela 1, 2 e 3, estes dados se referem aos anos , pois ainda não foram divulgados os dados mais recentes do Saeb referentes aos anos 2007 e Tabela 1 - Distribuição de alunos por níveis de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) urbanas sem federais Fonte:

17 15 Tabela 2 - Distribuição de alunos da rede pública por níveis de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) urbanas sem federais Fonte: Tabela 3 - Distribuição de alunos da rede privada por níveis de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) urbanas sem federais Fonte: Tabela 4 - Legenda Matemática nivel 0 0 nivel nivel nivel nivel nivel nivel nivel nivel nivel nivel nivel nivel nivel ou mais Fonte: No relatório do Saeb 2001, foi encontrado o significado da tabela 4 referente ao ensino médio cujas explicações se encontram nas tabelas 5 à 10.

18 16 Tabela 5 Escala de desempenho Matemática, 4ª série Fonte: Relatório Saeb 2001 Matemática Tabela 6 Continuação da Tabela 5

19 17 Fonte: Relatório Saeb 2001 Matemática

20 18 Tabela 7 Escala de desempenho Matemática, 8ª série Fonte: Relatório Saeb 2001 Matemática

21 19 Tabela 8 Continuação da Tabela 7 Fonte: Relatório Saeb 2001 Matemática

22 20 Tabela 9 Escala de desempenho Matemática, 3ª série do Ensino Médio Fonte: Relatório Saeb 2001 Matemática

23 21 Tabela 10 Continuação da Tabela 9 Fonte: Relatório Saeb 2001 Matemática

24 22 De acordo com as Tabelas 4 à 10, divulgadas no relatório Saeb 2001, a escala utilizada é a mesma para todas as séries avaliadas variando de 1 a 10. Para a 4ª série do ensino fundamental a escala varia de 1 a 6, para a 8ª série do ensino fundamental a escala varia de 4 a 8, visto que o níveis 8, 9 e 10 devem ser atingindo somente com conhecimentos que serão trabalhados no ensino médio. Para o modelo teórico que embasa o Saeb, competência se refere às possibilidades de utilizar determinadas operações da inteligência que possibilitam ao aluno (sujeito da aprendizagem) estabelecer diferentes relações, tais como: classificar, seqüenciar, estabelecer correspondências, etc. (Relatório Saeb 2001, p.66). Quanto as habilidades elas foram distribuídas nos quatro temas da Matriz de Referência do SAEB 2001: Espaço e Forma; Grandezas e Medidas; Números e Operações; Tratamento da Informação (Relatório Saeb 2001, p.14). Com base nas Tabelas 1, 2 e 3, juntamente com a explicação da legenda no qual concluímos que os alunos adquiriram as habilidades de matemática do Ensino ,81% 30,78% 69,22% 32,56% 67,44% 33,68% 66,29% 39,46% 60,54% 34,20% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 65,80% Distribuição de alunos de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais Brasil 70,46% Médio quando se encontrarem acima do nível 7, elaboramos os seguintes gráficos: 2005 Alunos que não desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio Alunos que desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio Figura 1- Distribuição de alunos de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) urbanas sem federais Brasil Analisando os resultados da avaliação no Brasil, constatamos que a situação é crítica, pois a porcentagem de alunos que não adquiriram as habilidades

25 23 necessárias do Ensino médio sempre esteve e está bem alta. Os dados mais recente (2005), apenas 31,81% dos concluintes do ensino médio conseguiram desenvolver as habilidades recomendadas para este nível de ensino, enquanto que 70,46% dos estudantes não atingiram o nível 8, que é o nível mínimo recomendado para este nível de ensino. 46,03% 57,29% 60,79% 39,21% 65,87% 63,15% 64,84% 35,16% 40% 34,13% 50% 36,85% 60% 40,37% 70% 59,63% Distribuição de alunos de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais Minas Gerais 30% 20% 10% 0% Alunos que não desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio Alunos que desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio Figura 2: Distribuição de alunos de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) urbanas sem federais Minas Gerais Analisando os resultados da avaliação em Minas Gerais, constatamos que a situação está melhor em relação ao Brasil, mas ela também é crítica, pois a porcentagem de alunos que não adquiriram as habilidades necessárias do Ensino médio sempre esteve e está bem alta. Nos dados mais recentes (2005), apenas 46,03% dos concluintes do ensino médio conseguiram desenvolver as habilidades recomendadas para este nível de ensino, enquanto que 57,29% dos estudantes não atingiram o nível 8, que é o nível mínimo recomendado para este nível de ensino.

26 ,72% 77,56% 22,42% 75,52% ,49% 26,84% ,00% 74,99% 73,16% 27,85% 72,16% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 77,59% Distribuição de alunos da rede pública de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais Brasil 2005 Alunos que não desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio Alunos que desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio Figura 3: Distribuição de alunos da rede pública de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais Brasil Analisando os resultados da avaliação da rede pública no Brasil, constatamos que a situação é caótica, pois a porcentagem de alunos que não adquiriram as habilidades necessárias do Ensino médio sempre esteve e está bem alta. Os dados mais recentes (2005), apenas 22,72% dos concluintes do ensino médio conseguiram desenvolver as habilidades recomendadas para este nível de ensino, enquanto que 77,56% dos estudantes não atingiram o nível 8, que é o nível mínimo recomendado para este nível de ensino.

27 ,71% 63,67% 31,68% 28,26% 26,14% ,32% 71,74% 73,86% 53,89% 46,11% 36,70% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 63,30% Distribuição de alunos da rede pública de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais Minas Gerais Alunos que não desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio Alunos que desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio Figura 4 - Distribuição de alunos da rede pública de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais Minas Gerais Analisando os resultados da avaliação na rede pública em Minas Gerais, constatamos que a situação é um pouco melhor que a do Brasil, mas a porcentagem de alunos que não adquiriram as habilidades necessárias do Ensino médio sempre esteve e está bem alta. Os dados mais recentes (2005), apenas 36,71% dos concluintes do ensino médio conseguiram desenvolver as habilidades recomendadas para este nível de ensino, enquanto que 63,67% dos estudantes não atingiram o nível 8, que é o nível mínimo recomendado para este nível de ensino.

28 ,13% 28,70% 73,89% 74,36% 25,66% 31,52% 68,47% 74,36% 25,65% 53,31% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 46,69% Distribuição de alunos da rede privada de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais Brasil ,27% Alunos que não desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio Alunos que desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio Figura 5 - Distribuição de alunos da rede privada de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais Brasil Analisando os resultados da avaliação na rede privada no Brasil, constatamos que a situação é bem melhor que a pública, pois a porcentagem de alunos que não adquiriram as habilidades necessárias do Ensino médio está bem mais baixa. Os dados mais recentes (2005), apesar de estarem com algum erro, pois a somatória é 14,02% 69,66% 79,80% 84,48% 14,75% 20% 15,52% 40% 30,34% 60% 20,20% 80% 44,67% 100% 55,33% 120% 85,25% Distribuição de alunos da rede privada de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais Minas Gerais 109,20% 113,97%, evidenciam que a situação é bem melhor que a pública. 0% Alunos que não desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio Alunos que desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio Figura 6 - Distribuição de alunos da rede privada de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais Minas Gerais

29 27 Analisando os resultados da avaliação na rede privada em Minas Gerais, constatamos que a situação também é bem melhor que a pública e também é melhor que a privada no Brasil, pois a porcentagem de alunos que não adquiriram as habilidades necessárias do Ensino médio está bem mais baixa. Os dados mais recentes (2005), apesar de estarem com algum erro, pois a somatória é 123,22%, evidenciam que a situação é bem melhor que a pública. Em particular, o ensino de geometria apesar da sua grande relevância e utilidade no dia a dia, vem sendo abandonado até mesmo nos anos iniciais do Ensino Fundamental, como mencionado por Passos citado por Pereira (2001, p. 53). Dentre outros motivos, o considerado abandono do ensino de Geometria pode estar relacionado aos seguintes fatos: 1) Aprovação da LDB 5692/71, que garante às escolas uma liberdade na escolha dos programas das diferentes disciplinas e com isto aqueles educadores que não se sentiam seguros para ensinar geometria a deixavam para o final do ano letivo o que acarretava muitas vezes falta de tempo para ensiná-la de maneira adequada, outros mesmo nem a incluíam em sua programação (PAVANELLO, 1993); 2) Movimento da Matemática Moderna (MMM), na tentativa de axiomatizar a Geometria agora sob o enfoque das transformações, favoreceu que muitos professores, não dominando este enfoque, deixassem de ensinar Geometria (PEREIRA, 2001); Para Fainguelernt (1999) o estudo da Geometria é de fundamental importância para o desenvolvimento do pensamento espacial e o raciocínio ativado pela visualização, necessitando recorrer à intuição, à percepção e à representação, que são habilidades essenciais para a leitura do mundo e para que a visão da Matemática não fique distorcida. Essas razões são suficientes para defender a idéia de que o ensino de Geometria no Ensino Fundamental não seja desenvolvido através de automatismo, memorização e técnicas operatórias nem baseado em um processo de formalização com crescente nível de rigor, abstração e generalização. Desta forma, as atividades de planificação, construção e medições de figuras geométricas planas e espaciais devem ser trabalhadas ao longo da Educação Básica. Já no Ensino Médio a aprendizagem deve garantir o aprofundamento dos conceitos da geometria em nível de abstração mais complexa. Assim é

30 28 necessário demonstrações de fórmulas matemáticas e teoremas, conhecer e aplicar as regras e convenções matemáticas, tanto no ensino da Geometria de posição como no cálculo de áreas de figuras geométricas planas e espaciais e de volume de sólidos geométricos (PARANÁ, 2008). Quando o aluno tem um estudo adequado de Geometria este desenvolve habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas (Brasil PCN, 2002, p.257). Segundo a OCEM com a geometria o discente desenvolve a capacidade de orientar-se no espaço, de determinar e comparar distâncias e usar as diferentes unidades de medida. Para atingir estes objetivos o ensino de Geometria deve ser orientado para atividades contextualizadas que valorizem o raciocínio, entretanto os conteúdos de geometria em muitos livros didáticos se reduzem a cálculos de medidas, apresentação das propriedades sem a demonstração, nomeação e classificação de figuras, exercícios que dão ênfase a memorização e aplicação de fórmulas. Quando nos referimos a atividades contextualizadas entendemos que contextualizar é situar um fato dentro de uma teia de relações possíveis em que se encontram os elementos constituintes da própria relação considerada (SILVA & SANTO, 2004, p.3). Uma das formas de mostrar a contribuição da matemática é utilizando-a para contextualizar conteúdos de outras disciplinas. Devido à má formação muitos professores não conseguem justificar os conteúdos, pois eles não foram motivados a observarem a aplicabilidade através da contextualização (SILVA & SANTO 2004). Por meio da matemática contextualizada, o aluno procura sanar as dificuldades utilizando estratégias que conheceu ou desenvolvendo outras, pelas transformações que faz entre o conteúdo conhecido e o novo que lhe é apresentado. A Geometria pode ter um papel decisivo no ensino e na aprendizagem da Matemática, pois permite resolver problemas do cotidiano e interfere fortemente na estruturação do pensamento, levando à construção do conhecimento. Uma das maiores dificuldades encontradas pelos alunos está em relacionar a aplicação de conceitos à resolução de problemas. Por isso, há uma urgência em mudar à situação, o professor deve tentar reverter, inovando sua prática pedagógica, utilizando como método o estudo contextualizado da geometria. O professor deve ter a consciência de que o aluno não é uma máquina pensante, arquivando tudo na memória e seguindo passos mecanicamente. Mas, pode desenvolver seu próprio racio-

31 29 cínio naturalmente e adquirir habilidades para pensar com independência. Para que isso aconteça é de extrema importância que o professor traga para a sala de aula os fatos que ocorrem fora da escola, ou seja, acontecimentos que rodeiam a vida do aluno. A geometria deverá estar contextualizada nestes acontecimentos diários (FILHO & BRITO, 2006). A contextualização dos conteúdos irá provocar no aluno à vontade de aprender a geometria. Para que isso ocorra é essencial que o aluno manipule os objetos apresentados. O trabalho manipulado associado ao pensamento crítico é importantíssimo para o desenvolvimento da aprendizagem em geometria. Com isso o aprendizado tem a vantagem de levar de forma diferente o trabalho com a geometria contextualizada, deixando o aluno usar o seu raciocínio lógico e estimulando a sua criatividade (FILHO & BRITO, 2006). Para Vergnaud citado por Pais (2001), o sentido de um conceito para o aluno está ligado a resolução de problemas adequados ao seu nível de conhecimento, pois através dela é lançado a base inicial para que a compreensão do conceito se estabeleça e assim possa passar para o estado mais abstrato, para o saber escolar até atingir o saber científico. Um conceito, para Vergnaud citado por Pais (2001, p. 57),... é uma tríade que envolve um conjunto de situações que dão sentido ao conceito; um conjunto de invariantes operatórios associados ao conceito e um conjunto de significantes que podem representar os conceitos e as situações que permitem aprende-los. O conceito é algo que está sempre em construção, cada vez se aproxima da objetividade, generalidade e universalidade. Assim, aulas expositivas e distantes da realidade do aluno causam desinteresse e desmotivação, muitas vezes o conteúdo é apenas memorizado sem que ocorra o efetivo entendimento. Narrar fatos da História da Matemática constitui um fator de grande importância para a aprendizagem, pois através dela é possível contextualizar o tema estudado e motivar os alunos para a busca do conhecimento. De acordo com o Brasil PCN (2002) saber relacionar etapas da História da Matemática com a evolução da humanidade é uma das competências e habilidades

32 30 a serem desenvolvidas em Matemática. Daí outro fator de destaque para a utilização da História da Matemática na sala de aula. Uma maneira de dar significado a conceitos geométricos é usar fatos históricos tais como divisão de terra, medidas de pirâmides, estudar a geometria presente nas obras arquitetônicas das antigas civilizações egípcias, grega, babilônica e romana. Segundo Carvalho (2008), se o professor tem conhecimento, por exemplo, da dificuldade histórica da demonstração da fórmula de Euler e o estudo do teorema de Cavalieri ele compreenderá algumas dificuldades apresentadas pelos alunos para assimilar este conceito e com isso irá buscar estratégias para superar os obstáculos. Não apenas a citação de etapas da História da Matemática, mas se possível a reconstrução de determinados conceitos do ponto de vista do desenvolvimento histórico pode favorecer o domínio de um saber fazer Matemática e de um saber pensar matemático, que de acordo com o Brasil PCN inicia-se com uma prolongada atividade sobre resolução de problemas de diversos tipos buscando desta forma estabelecer conjecturas e identificar regularidades formalizando assim o conhecimento matemático. É importante que, ao iniciar os estudos de um determinado conceito, os livros didáticos trabalhem a resolução de problemas contextualizados, de forma a promover o desenvolvimento de habilidades e competências, cujos significados estão descritos na página 22, conforme dados do relatório do Saeb 2001, no aluno durante sua vida escolar. Alves (2005, p. 22) também menciona os efeitos benéficos da resolução de problemas, segundo ela... durante a solução de problemas alguns processos cognitivos superiores podem ser evidenciados, dentre eles a atenção, a percepção, a representação, a imagem e a memória. A resolução de problemas constitui um método eficaz para a aprendizagem tanto para a disciplina de Matemática como para o conteúdo específico de Geometria, pois...ao resolver situações-problema, o homem toma consciência de si mesmo e de tudo que o cerca, assimila conceitos, descobre relações, formula generalidades como as matemáticas (GOUVÊA, 1998, p.84). A contextualização induz a criatividade na elaboração de problemas vivenciados pelo aluno. O processo de trabalho com conteúdos contextualizados diferencia a aula e contribui despertando no aluno o gosto pela geometria, desenvolvendo atitudes positivas em relação à matemática.

33 31 Por meio de um estudo com telhados integrados às construções arquitetônicas utilizados como metodologia para o ensino da Geometria no ensino básico, obtiveram como resultados que a utilização de modelos concretos facilitava a visualização dos elementos geométricos, pois aproximavam a aprendizagem das necessárias relações com o mundo real, tendo obtido excelentes resultados na proposta de trabalho (SANTOS et al., 2002). No ensino médio também foi realizado um estudo por Fillos (2000) com relação ao cotidiano do aluno, utilizando embalagens de produtos comerciais em atividades práticas, como planificações, classificação e estudo das formas, concluiu-se que houve uma melhoria do desempenho dos alunos, pois se sentiam estimulados a aprender Matemática. É essencial que os professores tragam para a sala de aula situações, problemas que justifique o uso da Geometria e da Matemática no cotidiano. Alguns exemplos de aplicações práticas da Geometria Espacial que podem ser utilizado dentro de uma perspectiva de contextualização do conteúdo: Geometria Espacial Aplicada a Tecnologia Industrial - são utilizados moldes para fabricar todos os utensílios de plástico que são utilizados em nossas casas diariamente como: recipientes, copos, lentes, caixas de computadores, armários de televisores, aparelhos, partes de automóveis e jogos são somente alguns dos produtos moldados de plástico. Geometria Espacial Aplicada ao Comércio - as indústrias de embalagens exigem habilidades relativas à geometria espacial, quase tudo o que usamos nos chega dentro de algum tipo de embalagem como: Jogos, aparelhos eletrônicos, produtos de beleza, produtos para o cuidado da saúde, produtos para uma fazenda, pinturas, adesivos, materiais de construção, alimentos e equipamentos esportivos. Geometria Espacial Aplicada a Saúde - os tratamentos e procedimentos nas terapias respiratórias (pulmões), terapias cardíacas (coração) e terapias renais, usam volumes de fluídos. Usualmente, o cálculo da velocidade de fluxo é crítico no tratamento apropriado dos pacientes. Geometria Espacial Aplicada a Agricultura - a agricultura e negócios relacionados utilizam a geometria espacial para determinar o volume (capacidade) de silos ou depósitos de armazenamento para grãos, feno, palha, etc. Para que haja a valorização do raciocínio e desenvolvimento de habilidades para realizar uma argumentação lógica na busca de soluções para problemas, é de

34 32 vital importância o uso das demonstrações para validar intuições e conjecturas, dar sentido às técnicas adotadas, mesmo que, de acordo com o Brasil PCN (2002), seja somente de demonstração ou de observação, pois seu uso contínuo permite ao aluno desenvolver melhor os conceitos e manuseios das formas geométricas. Percebe-se uma rejeição às demonstrações em sala de aula, pois o professor não se arrisca a usá-la, por possuir pouco conhecimento, ou mesmo pela insegurança nas orientações recebidas sobre Geometria e também por não encontrar nos livros didáticos referencial claro e seguro (GOUVÊA, 1998). 2.1 O LIVRO DIDÁTICO De acordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM) (2008) o livro didático vem se tornando o único material didático usado pelo professor e que este chegou até mesmo a concepção de que ele deve ser trabalhado de capa a capa, idéia reforçada por Antônio Augusto Gomes Batista, citado por Barbosa (2008, p.57)... o livro didático é, em muitos lugares do Brasil, o único impresso a que têm acesso professores e alunos. Esse número fica mais relevante quando a população escolar tem menos acesso a bens econômicos e culturais, tornando-se a única referência para a escolarização e o letramento no País. O livro didático também, apesar de ser um material de estudo para o aluno vem se tornando material utilizado pelo professor para condução de sua prática escolar como nos afirma Barbosa, (2008, p. 54)... embora suponha o uso do livro pelo aluno sem a supervisão do mestre, o manual tenta sistematizar e organizar a prática escolar, dirigindo-se a um leitor que não é o aluno... Na verdade, Nascimento (2009) afirma que estudos vêm mostrando que, para muitos professores e alguns alunos, o livro didático é o principal, e muitas vezes a única, fonte de consulta. Uma parcela significativa dos docentes utiliza na preparação de suas aulas, apenas o livro didático adotado na escola, até limitando o conteúdo abordado e a metodologia empregada ao proposto no livro, isto deveria originar escolhas mais criteriosas dos livros a serem adotados, fato que comumente não acontece.

35 33 Segundo Lima (2001), muitos dos livros destinados ao Ensino Médio apresentam sérios erros, são definições, raciocínios, métodos de resolução de problemas e respostas inteiramente inadequados e até desprovidos de significado. Erros resultantes de conceitos mal formulados que geram ambigüidades e conclusões absurdas, além de erros de imprecisão devem ser criteriosamente analisados e criticados em livros didáticos, pois tais fatores são de suma importância visto que as aplicações dependem dos conceitos e se estes estão em desacordo, comprometerá o sucesso das mesmas. Erros de cálculos e de impressão também são itens importantes, pois causam um certo desconforto nos alunos principalmente se são provenientes das respostas dos exercícios. A forma como o livro propõe a conceituação reflete o pensamento de Pais (2001) quando diz que o que se valoriza no ensino de matemática é o excesso de memorização de fórmulas, regras, definições em detrimento aos conceitos significativos para o aluno, daí a importância do estudo de formação de conceitos para que haja uma transformação na educação visando o aprendizado significativo para o aluno. Conceituar é muito mais que definir, pois este apresenta somente traços exteriores ao conceito. A formação de um conceito é realizada a partir de componentes anteriores, por meio de uma síntese coordenada pelo sujeito. Esses componentes podem ser noções fundamentais ou ainda outros conceitos elaborados anteriormente, revelando a existência de uma extensa e complexa rede de criações precedentes (PAIS, 2001, p.61). A ordenação de conteúdos constitui também um item de suma importância para aprendizagem, pois é impossível a compreensão de conteúdos que dependem de outros que deveriam ser vistos anteriormente e não foram. No caso ideal em que a aprendizagem acontece com sucesso, os conhecimentos anteriores são adicionados uns aos outros e incorporados à nova situação... (PAIS, 2001, p.53). De forma geral em algumas análises de livros didáticos percebe-se que a localização dos conteúdos da geometria está mal distribuída, devendo estar articulada dentre os demais conteúdos, sendo um fator que diferencia os livros didáticos. Torna-se evidente uma tendência de mudança, pois nos livros atuais a localização dos conteúdos foi alterada, porém merece uma maior atenção qual o efeito que essa mudança ocasionará, pois a questão pedagógica não se reduz a

36 34 uma localização física das páginas do livro, sendo que somente esta alteração da localização não será suficiente, uma vez que os conceitos usuais não são mudados. Observou-se também que antigamente na década de 1985 a 1995 os conceitos no sumário dos livros mais tradicionais apareciam com termos e expressões com significados no contexto do saber matemático, por outro lado, os livros publicados na última década essa forma de sumário nem sempre é preservada, contendo expressões que revelam uma tendência de mudança na própria concepção do fenômeno da aprendizagem, procurando interagir o saber matemático com outras referências, além de direcionar uma visão mais dinâmica da aprendizagem. Uma sugestão para a aprendizagem de Geometria Espacial é que... O Princípio de Cavalieri deve ser tomado como ponto de partida para o estudo de volumes de sólidos (cilindro, prisma, pirâmide, cone e esfera), permitindo ao aluno compreender o significado das fórmulas. No trabalho com as áreas das superfícies de sólidos, é importante recuperar os procedimentos para determinar a medida da área de alguns polígonos, facilitando a compreensão das áreas das superfícies de prismas... (OCEM, 2008, p.76). De acordo com Kaleff et al (1994) deve-se levar materiais mais concretos para as escolas que envolvam a manipulação e também preocupar-se com a elaboração de materiais didáticos que inspire não só a percepção visual, como também a intuição, que aflora no aluno a criatividade individual e o fortalecimento da autonomia e personalidade. O Raciocínio Espacial é o mais negligenciado em nosso meio escolar, faz referências a atividades didáticas que utilizam materiais concretos, pois na Geometria Espacial, observa-se que os discentes estão presos a fórmulas e em sua maioria não conseguem relacionar conceitos, identificar os elementos do sólido ou ainda estabelecer relação entre dois sólidos, isto se deve muitas vezes a deficiências de conceitos básicos da Geometria Plana e também as dificuldades conceituais dos próprios professores em conceitos básicos da Geometria Plana e mesmo da Geometria Espacial (KALEFF et al., 1994). A Geometria Tridimensional, geralmente, necessita de dois registros de representação semiótica: o registro figural e a linguagem natural, necessárias à identificação das representações e tratamentos geométricos. Ressalta-se também a importância da construção e manipulação de modelos concretos de sólidos geométricos (SILVEIRA, 2008).

37 35 A escrita em língua natural, a escrita algébrica e os gráficos cartesianos são exemplos de representações semióticas. Tais representações são externas e conscientes ao indivíduo e realizam de maneira indissociável as funções de objetivação e tratamento. No entanto, aqui o tratamento não é automático, mas intencional. Através da teoria dos campos conceituais atribui-se aos conceitos um significado educacional, onde este se situa entre o cotidiano do aluno e o saber científico (PAIS, 2001), portanto está centrada em situações da vivência do aluno. 2.2 USO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS A tecnologia sempre fez parte da vida do homem, mesmo com as primeiras ferramentas, por vezes consideradas como extensões do corpo, à máquina a vapor, que mudou hábitos e instituições, ao computador que trouxe novas e profundas mudanças sociais e culturais a tecnologia nos ajuda, nos completa, nos amplia. Assim, da mesma forma como a criatividade inventiva do homem gera novas ferramentas tecnológicas e modifica constantemente os instrumentos que inventa, existe um efeito inverso: a tecnologia modifica a expressão criativa do homem, modificando sua forma de adquirir conhecimento e interferindo na sua cognição (FRÓES, 1994). Há muitas formas de compreender a tecnologia. A tecnologia, neste sentido, não é algo novo na verdade, é quase tão velha quanto o próprio homem. Porém, nem todas as tecnologias inventadas pelo homem são relevantes para a educação. Algumas apenas estendem sua força física, seus músculos. Outras apenas lhe permitem mover-se pelo espaço mais rapidamente e/ou com menor esforço. Nenhuma dessas tecnologias é altamente relevante para a educação. As tecnologias que amplificam os poderes sensoriais do homem, contudo, sem dúvida o são. O mesmo é verdade das tecnologias que estendem sua capacidade de se comunicar com outras pessoas. Mas, acima de tudo, isto é verdade das tecnologias, disponíveis hoje, que aumentam os seus poderes intelectuais: sua capacidade de adquirir, organizar, armazenar, analisar, relacionar, integrar, aplicar e transmitir informação (BOZZETTO, 2003).

38 36 Não há porque negar, entretanto, que hoje em dia, quando a expressão Tecnologia na Educação é usada, dificilmente se pensa em giz e quadro negro, ou mesmo, livros e revistas, muito menos em entidades abstratas como currículos e programas. Quando se usa a expressão, a atenção concentra-se no computador, que tornou-se o ponto de convergência de todas as tecnologias mais recentes. E especialmente depois do enorme sucesso comercial da Internet, computadores raramente são vistos como máquinas isoladas, sendo sempre imaginados em rede. De acordo com Brasil Parâmetros Curriculares Nacionais (2002), a matemática tem sua importância na construção da cidadania, dado que, cada vez mais, a sociedade vem utilizando conhecimentos científicos e recursos tecnológicos dos quais os cidadãos devem se apropriar. A aprendizagem em matemática está intimamente ligada à compreensão, e para se aprender o significado de um objeto ou acontecimento, deve-se observá-los em suas relações com outros objetos e acontecimentos. Dessa forma, segundo os parâmetros, devem ser considerados, no processo, recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, computadores e outros materiais, porém, de forma integrada a situações que levam ao exercício da análise e da reflexão em matemática. Diante dessas considerações existem instrumentos que o ensino pode adotar como ferramenta e até mesmo parceiros, que possam contribuir para uma melhor assimilação dos alunos no ensino e na aprendizagem da matemática. Cada vez mais a educação está se aliando a tecnologia, com o intuito de reformular o processo de ensino e estimular o aluno a aprender e seu interesse pela escola. O computador nos dias atuais tornou-se uma ferramenta de apoio que facilita e traz a tona a criatividade em busca de descobertas com mais prazer (SILVEIRA, 2008). Mesmo com a presença direta da matemática nos mais variados meios sociais, geralmente, em sala de aula, ela se apresenta de forma excessivamente abstrata e mecânica, não trazendo significação real para a maioria dos alunos nem os motivando em atividades de exploração, investigação e descoberta. Em Geometria, isso pode e deve ser feito utilizando-se de meios auxiliares como material didático manipulável, o que inclui o uso de softwares adequados. Os conteúdos matemáticos ministrados pelos professores podem ser melhorados por meio da utilização de recursos computacionais usados como apoio na construção do conhecimento matemático. Segundo Hebenstreint (1987, p.10)

39 37 O computador permite criar um novo tipo de objeto os objetos concretoabstratos. Concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados: abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais. A utilização do computador e dos softwares educacionais, como recursos pedagógicos auxiliam os professores a tornar as aulas mais atraentes resgatando o interesse do aluno pelo estudo da Matemática. No Ensino de Geometria o uso de softwares educacionais oferece muitas potencialidades, pois podem criar um ambiente rico de imagens, sons e animações, fornecendo dessa maneira, um estudo mais dinâmico e permitindo que o aluno visualize, interaja, construa e experimente. Diante do computador os alunos procuram as soluções para os problemas e dessa maneira constroem seus próprios conhecimentos. O uso dos recursos tecnológicos, cujo representante mais relevante é o computador, vem proporcionando mudanças não só na área educacional, no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, mas em todos os setores da sociedade. Quando usados adequadamente, esses recursos facilitam a construção de conhecimentos geométricos de maneira significativa. A interface dinâmica, a interatividade que esses programas propiciam e os recursos de manipulação e movimento das figuras geométricas que se apresentam na tela do computador, contribuem no desenvolvimento de habilidades em perceber diferentes representações de uma mesma figura, levando desta maneira a descoberta das propriedades das figuras geométricas estudadas (FONSECA, 2001). Formas geométricas podem ser construídas dinamicamente utilizando programas computacionais específicos para o ensino de Geometria Espacial que apresentam recursos para construção régua e compasso e que permitem a exploração de formas, propriedades e invariâncias das figuras construídas na tela do computador. Existem diversos softwares encontrados na internet para o ensino de Geometria Espacial, dentre eles podemos citar alguns mais utilizados como: Cabri Geometry, Sketchpad, Cinderella, Dr. Geo, Geoplan, Geospace, Régua e Compasso, Geometria Descritiva, Euklid, Wingeom, Logo, Poly e etc., cujos destalhes estão descritos nas paginas

40 38 Pesquisas em Educação Matemática têm mostrado que os recursos tecnológicos vêm proporcionando mudanças no Ensino de Matemática e, em particular, no Ensino de Geometria, sendo que, a formação do aluno deve ter como objetivo central a aquisição dos conhecimentos básicos e o desenvolvimento de capacidades tais como: de pesquisar, buscar informações, selecioná-las e analisálas; a capacidade de formular hipóteses, verificá-las e testá-las, podendo assim criar situações problema que servem de motivação e de desafio aos alunos (SILVEIRA, 2008). O mesmo autor, apresenta resultados da experiência realizada com alunos do Ensino Médio de uma escola pública, onde foi aplicada uma Seqüência de Ensino elaborada seguindo algumas etapas da metodologia da Engenharia Didática utilizando recursos tecnológicos no ensino de Geometria Espacial. Foi utilizado o software geométrico Cabri 3D, que é uma ferramenta que auxilia no ensino da Geometria e pode ser utilizado tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior. O Cabri 3D é um ambiente de geometria dinâmica em três dimensões que possibilita a construção e manipulação de sólidos geométricos e juntamente com o Macromedia Flash 8 auxilia na exploração dos mesmos. Proporcionar diversas estratégias aos alunos por meio de recursos computacionais ajuda os alunos a buscar mais autonomia, possibilitando a construção de sólidos geométricos. Por meio da experiência conclui-se que as representações dinâmicas propiciadas pelos softwares Cabri 3D e Flash 8 foram fundamentais na construção de conceitos e nas deduções das propriedades dos prismas e das pirâmides, como também no cálculo dos sólidos, confirmando ainda mais a importância da utilização de softwares de geometria dinâmica em atividades de ensino-aprendizagem.

41 39 3 METODOLOGIA Este trabalho caracteriza-se como pesquisa documental que busca realizar uma análise dos conteúdos de Prismas nos três livros didáticos do Ensino Médio como fonte de dados para a investigação. Para este estudo fez-se primeiramente um levantamento dos livros mais adquiridos através do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio 2009 (PNLEM/2009) para a 41ª Superintendência Regional de Ensino (SRE) de Varginha que abrange vinte e sete municípios. Em resposta à solicitação online, a diretoria educacional desta SRE informou que das cinquenta e quatro escolas de Ensino Médio desta Superintendência os três livros mais adquiridos foram: L1) Matemática Volume Único de Luiz Roberto Dante (2009), adotado em 23 escolas; L2) Matemática Completa de José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno e José Ruy Giovanni Jr (2005), adotado em 11 escolas; L3) Matemática Aula por Aula de Cláudio Xavier da Silva e Benigno Barreto Filho (2005), adotado em 10 escolas. Tendo em vista que, mais de 80% das escolas públicas estaduais de Ensino Médio adotam uma destas três obras, a análise das mesmas pode representar a qualidade do ensino de Prismas na superintendência de região de Varginha. Com os dados em mãos foi consultada a análise das obras citadas constante no Matemática: catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio: PNLEM/2009, material elaborado pelo MEC com o objetivo de auxiliar os professores na escolha do livro didático para o triênio Na obra consta uma síntese avaliativa, o sumário da obra, a análise da obra e recomendações ao professor. A análise feita pelo catálogo não é especifica para a Geometria Espacial, é uma análise geral da obra, com o objetivo de auxiliar os professores a escolherem o livro didático que irão usar durante os três anos seguintes.

42 40 Segundo o catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio: PNLEM/2009: L1: As atividades propostas por meio de exercícios e problemas são bem selecionadas e aplicam os conceitos e resultados estudados de modo satisfatório. As atividades que requerem maior esforço por parte do aluno são propostas nos boxes Desafio em dupla ou Desafio em equipe. Estas atendem ao objetivo de orientar o aluno a enfrentar novas situações mediante o raciocínio lógico. As referente ao cálculo aproximado de áreas apresentam situações que incentivam o cálculo mental ou por estimativas. Observa-se na obra, atividades que sugerem a comparação de estratégias diferentes de resolução (BRASIL, 2008 p.60). L2: Cada capítulo inicia-se com uma situação problema, cujo objetivo é estimular a efetiva participação do aluno na formulação do conhecimento a ser apresentado. Na sistematização teórica, consistentemente desenvolvida, é aplicado o modelo clássico: definições exemplificadas, afirmações com ou sem validação e ilustrações de procedimentos, regras e aplicações. O capítulo é finalizado com seções de exercícios de fixação e de recapitulação, muitos deles envolvendo situações do cotidiano. Os recursos didáticos disponibilizados na coleção constituem-se apenas de exercícios e textos para leitura (BRASIL, 2008 p.37).. L3: Os conteúdos são expostos por intermédio de definições e apresentação de resultados, seguidos de exemplos e exercícios resolvidos. Conclui-se cada tema aperfeiçoando-se os conhecimentos por meio de exercícios complementares. Os exercícios propostos exploram de forma satisfatória os conceitos estudados e preparam o aluno para resolver os problemas mais comuns. O objetivo de desenvolver habilidades que possibilitam aplicar a Matemática ao cotidiano, no entanto, não é alcançado, dado o caráter rotineiro da maior parte dos exercícios (BRASIL, 2008 p.34). Afim de diagnosticar os conteúdos referentes a Prismas no livro didático foram elaboradas questões apresentadas a seguir, para verificar a proposta de cada obra: 1- Existem erros seja de cálculo, impressão, etc.? É importante que o livro didático, não contenha erros, seja de cálculo ou impressão, pois quando eles existem deixam dúvidas no conteúdo estudado. 2- Há imprecisão ou ambigüidade nas definições e resultados? Quando este fato acontece dificulta o entendimento do aluno, talvez algo que poderia ser compreendido rapidamente necessitará de mais explicações do professor. 3- O conceito é precedido de uma situação-problema? Há contextualização dentro da própria matemática ou fora dela?

43 41 O aluno aprende e fixa o conhecimento quando um fato faz parte do seu dia a dia, é imprescindível contextualizar, mesmo que seja fora da matemática. 4- Existem situações históricas que podem motivar o aluno? Atualmente a motivação dos alunos para a aprendizagem é o centro da atenção no processo educacional, e a história desperta o interesse dos alunos de maneira individual ou com a ajuda do professor. 5- São apresentadas demonstrações de forma a incentivar o manuseio de fórmulas favorecendo o pensar matemático ou ênfase na capacidade de memorização? Um dos grandes desafios para os professores é escolher algo que irá atingir o interesse do aluno, as demonstrações tornam mais claro o pensar matemático. Para responder a esta questão foram também analisados os exercícios dos livros e separados em duas categorias: os que apresentam somente aplicação direta de fórmula e são meros cálculos e os contextualizados e que propiciam o desenvolvimento do raciocínio lógico. Os exercícios classificados como de raciocínio incluem até os mais simples como, por exemplo, o cálculo de quantos metros quadrados de madeira serão gastos para fabricar 50 caixas para transportar fogões, e neste caso o aluno deveria calcular a área total de uma e simplesmente multiplicar por 50 para chegar à resposta correta. 6- Existem sugestões de material concreto, planificação dos sólidos, recursos tecnológicos, uso de instrumento de medição construção de figuras ou jogos matemáticos? Ensinar Geometria Espacial sem ajuda de Software não é uma tarefa muito fácil, mas utilizando de montagens dos principais sólidos facilita a compreensão. 7- A forma como o estudo é apresentado é feita de maneira ordenada e que conduz o aluno à resolução adequada e significativa de problemas? Há uma constante preocupação em dispor os conteúdos segundo uma sequência lógica, pois assim o aluno terá mais facilidade em compreender a teoria e resolver os problemas.

44 42 4 RESULTADOS E DISCUSSÃO 4.1 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS Após a análise dos três livros didáticos escolhidos, obtiveram-se os seguintes resultados Quanto a erros de impressão Em L2 há um erro (de soma das áreas, pois ele menciona que St= 2S1 + 2S2 +2St ao invés de 2S3) na demonstração da fórmula de uma área total de um paralelepípedo retângulo ilustrado na Figura 7. Figura 7 Fórmula com erro de impressão Fonte: Matemática Completa, GIOVANNI; BONJORNO, Percebe-se que quanto a erros de impressão e cálculo a ocorrência é mínima, encontrou-se somente um erro de impressão em um dos livros didáticos analisados.

45 Quanto a imprecisão ou ambigüidade nas definições e resultados Em L1, na definição de prisma faltou mencionar que o ponto A é extremidade superior do segmento AA e também que as bases são congruentes, pois apenas mencionar para traçar retas paralelas a AA que cortam o plano β nos pontos B, C, D, E são poucos os alunos que por si próprios irão perceber esta congruência entre as bases. Figura 8: Construção e definição de Prismas Fonte: Matemática, Volume Único, DANTE, 2008

46 44 Em L2, os autores utilizam a letra S para denotar a área quando definem a área total de um paralelepípedo, figura 7. Em geral associa-se a letra A à área e portanto este fato pode contribuir negativamente para o entendimento do aluno. Em L3 observou-se uma omissão na representação da figura geométrica utilizada para ilustração do desenvolvimento do conceito de elementos de prisma, apresentado na Figura 9, pois o autor cita um segmento XY que não está representado na figura. O que causa dificuldades na visualização e compreensão do leitor. Figura 9 Formação de conceitos geométricos Fonte: Aula por Aula, XAVIER; BARRETO, No L3 o Polígono convexo não tem definição, pode ser e de fato é, que já foi estudado na 1ª série do ensino médio, mas os PCNs recomendam que não parta do princípio que o aluno já sabe, pelo menos apresentar uma nota para recordar.

47 Quanto ao conceito se ele é precedido de uma situação-problema e se há contextualização dentro da própria matemática ou fora dela Observou-se no livro L1 que o capítulo de Geometria Espacial é iniciado com uma situação problema onde é colocado que serão construídas 2 caixas de madeira com formas e medidas diferentes e é questionado em qual delas será usado maior quantidade de madeira e qual terá espaço interno maior, portanto ele desafia o aluno a se interessar pelo assunto que será estudado. Também, através de exercício resolvido ele contextualiza usando que uma indústria precisa fabricar caixas de sabão com certas medidas e pergunta quantos m2 de papelão serão necessários, em um exercício proposto pergunta quantos metros de azulejos são necessários para revestir uma cozinha até o teto, dentre outros, portanto o autor contextualiza usando fatos que são do cotidiano. L2: Utiliza a figura de uma piscina de modelo muito utilizada em clubes, que após a inversão de posição da mesma facilita a visualização do prisma e resolução do exercício.

48 46 Figura 10: Exemplo de exercício resolvido Fonte: Matemática Completa, GIOVANNI; BONJORNO, L3: percebe-se que o autor utiliza exemplos como a seca nos estados do Nordeste, dando ênfase ao uso da Geometria como fundamento para a argumentação e a análise dos processos socioeconômicos e da produção tecnológica, promovendo a interdisciplinaridade. Em todas as três obras, percebe-se a preocupação com a contextualização do conteúdo, valendo-se para este fim, de situações problema que auxiliam o aluno a construir e desenvolver conceitos e procedimentos matemáticos Quanto a situações históricas que podem motivar o aluno O L1 fala sobre o princípio de Cavalieri, quem foi ele, o que publicou, que sua teoria foi criticada na época, que ela foi um dos pilares do cálculo integral, no

49 47 entanto, são apenas fatos históricos, falando da personalidade, não gerando situações de motivação para o aluno. Observou-se também que em L2 e L3, os autores não utilizam fatos históricos que possam motivar os alunos em sala de aula ou incentivar a pesquisa e a criatividade em suas atividades diárias. Os autores poderiam utilizar os sólidos de Platão, por exemplo Kepler sentia uma grande admiração e reverência por eles chegando mesmo a tentar explicar os movimentos planetários a partir deles. Além disso, interpretou, no Harmonices Mundi, as associações de Platão da seguinte forma: Cubo representaria a Terra, o Tetraedro o Fogo, o Dodecaedro o Cosmos, o Icosaedro a Água e o Octaedro o ar. Poderia citar também que surgiu a necessidade do estudo de volume e capacidade de sólidos quando as primeiras sociedades agrícolas começaram a armazenar seus alimentos. Por exemplo, no Papiro de Rhind, os problemas de número 62, 66, 69 a 78 e 82 a 84, referem-se a situações de armazenagem, distribuição e comércio de alimentos. De acordo com Eves (2004, p ) 1650 a.c. Essa é a data aproximada do papiro Rhind (ou Ahmes), um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. O papiro foi adquirido no Egito pelo egiptólogo escocês A. Henry Rhind... Tem cerca de dezoito pés de comprimento por cerca de treze polegadas de altura... O Papiro Rhind é uma fonte primária rica sobre a matemática egípcia antiga; descreve os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios, o uso que faziam das frações unitárias, seu emprego da regra de falsa posição, sua solução para o problema da determinação da área de um círculo e muitas aplicações da matemática e problemas práticos. E também fazer uso do problema deliano. Existe uma lenda que conta que no ano de 427 a.c um famoso orador e estadista chamado Péricles, morreu juntamente com 25% da população de Atenas. Entristecidos com essa enorme perda, os habitantes foram consultar o oráculo de Apolo em Delos, sobre como combater a peste. A resposta que obtiveram foi que o altar de Apolo, que tinha a forma de um cubo, deveria ter seu volume multiplicado por dois. Os atenienses multiplicaram por dois as dimensões do altar, mas a peste não acabou. O volume foi multiplicado em oito vezes e não em duas vezes como era o esperado.

50 As demonstrações são apresentadas de forma a incentivar o manuseio de fórmulas favorecendo o pensar matemático ou ênfase na capacidade de memorização? No livro L1 ele inicia o cálculo do volume com uma idéia intuitiva, como mostra a Figura 11, onde compara quantas vezes um certo sólido contém uma certa unidade de volume. Figura 11: A idéia intuitiva do volume Fonte: Matemática, Volume Único, Dante, 2008 Quando menciona o princípio de Cavalieri ele diz que é possível demonstrá-lo, mas que irá considerá-lo verdadeiro sem fazer a sua demonstração. Seria interessante mencionar que sua demonstração envolve conceitos avançados de Teoria da Medida e por isso não o demonstra. Dentre todos os exercícios propostos na seção apenas 26% são de raciocínio enquanto 74% são aplicações de fórmulas, resultado este que não contribui para o pensar matemático. Em L2 as demonstrações são bem apresentadas, quando faz a demonstração da diagonal de um paralelepípedo, não deixa dúvidas, está bem demonstrada, utiliza ainda nesta demonstração as cores para auxiliá-lo, o que facilita a compreensão.

51 49 Nos exercícios propostos em L2 a maioria é de raciocínio 75% e somente 25% são aplicações diretas de fórmulas. L3 o mesmo pode-se dizer, não deixa dúvidas quanto as demonstrações feitas. Em L3 os exercícios propostos na secção percebem-se que os de raciocínio são uma pequena parte 26% e de aplicações diretas de fórmulas uma grande parte 74%. Nos três livros analisados todos não fizeram a demonstração do volume do Prisma que é a área da base vezes a altura, um ponto que acreditamos ser suma importância ser apresentado nos livros didáticos. Para sanar esta deficiência sugerimos uma atividade para o desenvolvimento desse conceito no item Existem sugestões de material concreto, planificação dos sólidos, uso de recursos tecnológicos ou de instrumento de medição, construção de figuras ou jogos matemáticos? Pode-se observar que em L1 dentro do tópico prismas não há sugestões de material concreto, são mostradas planificações de sólidos, porém sem pedir para construí-los e não fornecendo planificações com recortes para dobradura. Não existem sugestões de recursos tecnológicos, nem uso de instrumentos de medição, jogos matemáticos, portanto neste quesito o autor deixou a desejar. L2 o autor coloca algumas planificações para melhor visualização dos sólidos, porém, não sugere atividade alguma de planificações, que seria de grande importância para fixação da teoria. Em L3 é sugerido no final do capítulo uma atividade de planificações dos sólidos, porém estas não possuem as dobraduras, para que aluno possa concluir as montagens dos sólidos como pode-se observar na Figura 12.

52 50 Figura 12 Planificações dos sólidos Fonte: Aula por Aula, XAVIER; BARRETO, O uso de softwares por exemplo poderia ser utilizado para representação dos sólidos e percepção das propriedades existente neles; o uso de materiais concretos, propondo a manipulação direta do aluno na construção dos sólidos.

53 A forma como o estudo é apresentado é feita de maneira ordenada e que conduz o aluno à resolução adequada e significativa de problemas? O estudo é feito de forma ordenada em L1, o autor faz revisão de tópicos e definições necessárias para o estudo de prismas. O autor é bem detalhista, pois quando ele exemplifica os prismas com seus nomes especiais ele aproveita e menciona quais são as bases, as faces laterais e arestas laterais. No cálculo da diagonal ele transcreve os triângulos o que facilita a visualização. Distribuído pelas páginas encontra-se faixas que ele denominou Para Refletir onde é feito observações importantes sobre o assunto tratado como exemplos citamos: Todo quadrado é um retângulo. Todo retângulo é um paralelogramo. Então, todo quadrado é um paralelogramo. (Dante, 2008, p. 366) Como exercício resolvido foi realizada a conversão de cm2 para m2 foi mencionado Se 1m = 100cm, então 1m2 = 10000cm2. (Dante, 2008, p367). Outro fato importante é que em um dos exercícios resolvidos ele o faz usando os números com sua unidade de medida o que permite ao aluno perceber o porque da unidade ser elevado ao cubo, conforme Figura 13. Figura 13: Exemplo de exercícios Fonte: Matemática, Volume Único, Dante, 2008 L2: Por meio da Figura 14, notou-se que o autor se preocupa em ilustrar porque volume é expresso em cm3, pois muitas vezes os alunos têm dúvidas de

54 52 visualizar este procedimento, em sua maioria nos exercícios resolvidos pelos autores colocam-se as unidades apenas na resposta. Figura 14 Volume do Cubo Fonte: Matemática Completa, GIOVANI; BONJORNO, E ainda pode-se dizer que a teoria de L2 não é suficiente para a resolução de alguns exercícios em comparação ao L1, que a teoria é completa fornecendo todo conhecimento para a resolução dos exercícios. Percebe-se que os autores tiveram uma preocupação em dispor os conteúdos de uma maneira ordenada, possibilitando ao aluno mais facilidade em compreender a teoria e resolver os exercícios. 4.2 COMPARATIVO EM RELAÇÃO À CONSTANTE EM MATEMÁTICA: CATÁLOGO DO PROGRAMA NACIONAL DO LIVRO PARA O ENSINO MÉDIO: PNLEM/2009 L1: O catálogo menciona que este livro apresenta: uma ordenação retornando os conteúdos de outros capítulos, inicia-se com situações-problemas, o Para Refletir orienta o aluno a enfrentar novas situações mediante o raciocínio, faz uso de validação empírica e a demonstração, quanto a História da Matemática há o

55 53 destaque das contribuições das personalidades envolvidas nos conceitos, existem pequenas e raras imprecisões conceituais, portanto pelo exposto acima houve um consenso na análise destes itens em relação a obra toda e o conteúdo prismas. Quanto aos exercícios o catálogo menciona que os mesmos aplicam os conceitos e resultados estudados e há uma escassez de exercícios meramente manipulativos, o que concordamos com a primeira parte e discordamos da segunda, pois constatamos que 74% dos exercícios relacionados aos prismas são de aplicações de fórmulas. L2: O catálogo menciona que neste livro cada capítulo inicia-se com uma situação problema, cujo objetivo é estimular a efetiva participação do aluno na formulação do conhecimento a ser apresentado. consistentemente desenvolvida, é aplicado o Na sistematização teórica, modelo clássico: definições exemplificadas, ilustrações de procedimentos, regras e aplicações. O capítulo é finalizado com seções de exercícios de fixação e de recapitulação, muito deles envolvendo situações do cotidiano. Destaca-se ainda que a abordagem dos conteúdos é executada com profundidade esperada para esse nível de escolaridade. Percebe-se no entanto, a ausência de exercícios provocantes, destinados a motivar o aluno no processo de aprendizagem e despertar sua curiosidade pelo assunto tratado. Conclui-se que em L2 a teoria não é suficiente para a resolução de alguns exercícios para resolvê-los o aluno terá que pesquisar outras obras, adquirindo o conhecimento necessário para a resolução dos mesmos. L3: O catálogo relata que esta obra contém uma quantidade razoável de aplicações a outras áreas da ciência. Como Física, Economia e Biologia. Dentre elas, algumas são sugeridas como problemas e outras são apresentadas e analisadas nas seções de textos. De modo geral, são de grande interesse, dado o conteúdo científico e histórico. A contextualização é feita tanto mediante aspectos da História da Matemática como aplicação do assunto estudado a outras áreas do conhecimento. Quanto aos exercícios o catálogo deixa claro que geralmente são resolvidos por meio de fórmulas ou repetição de procedimentos mecânicos, o que podemos confirmar quando mencionamos na análise do livro que 75% dos exercícios propostos são aplicações diretas de fórmulas.

56 SUGESTÕES DE ATIVIDADES Atividade 1 Poly 1.11 é um software livre de geometria que está disponível no site Ele é um ótimo recurso para visualização de planificações de diversos sólidos como: sólidos Platônicos, de Arquimedes, prismas, esferas, etc. que quando escolhido um destes aparecem as opções do mesmo. Um exemplo é se a escolha é prisma aparecem as opções triangular, pentagonal, hexagonal, octagonal, etc. como mostra a Figura 15. Figura 15 Exemplo de planificação de um dos prismas, o prisma triangular. Com este recurso o professor poderá usar vários sólidos de forma a visualizar a planificação de cada um deles bem como o processo que é sua montagem clicando sobre a barra de movimentação localizada abaixo do local da escolha e movimentando-a para a direita para visualizar o sólido montado e para a esquerda sua planificação, conforme mostra a Figura 16.

57 55 Figura 16 Exemplo com o prisma triangular planificado. Pode ser usado também para definir os sólidos, exemplificando com a visualização de cada um deles. Este software pode ser usado também para verificar a relação de Euler, o que vai proporcionar um maior interesse pelos alunos, uma vez que se pode movimentar o sólido permitindo uma melhor visualização, bastando para isso dar um clique com o mouse sobre o mesmo e movimentá-lo de forma que se possa ser ter uma visão mais ampla conforme mostra a Figura 17. Figura 17 Exemplo de visualização de um dos prismas montados e movimentado. Atividade 2 O Clicmat é um conjunto formado por 32 atividades divididas em três tipos: problemas, atividades de investigação e jogos, conforme Figura 18.

58 56 Figura 18 Tela inicial do Clicmat Ele está disponível para download no site Na Figura 19 é apresentado uma destas atividades que pode ser usada de forma a desenvolver a capacidade de visualização dos alunos e ao mesmo tempo apresentar que polígonos diferentes podem possuir áreas iguais e falar sobre o princípio de Cavalieri. Figura 19 Uma das atividades do Clicmat. Atividade 3 Nesta atividade é apresentado um jogo para se trabalhar os conceitos geométricos, retirado do livro Matemática Ensino Médio, Volume 2 de Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz.

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