TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que chamaremos de y.

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1 EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA IDADE. QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que chamaremos de y. Eu TENHO o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade atual y (o dobro de x), ou seja, eu TENHO 2x anos. ENTÃO: Tu TINHAS x e agora tem y. Eu TINHA y e agora tenho 2x. Portanto temos que: y-x = 2x-y 2y=3x x=(2/3)*y ENTÃO, substituindo o valor de x, temos: Tu TINHAS (2/3)*y e agora tem y.eu TINHA y e agora tenho (4/3)*y. Agora preste atenção na segunda frase: QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3)*y, deve-se somar a tua idade y com mais (1/3)*y. Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y. Como somamos (1/3)*y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja: Agora eu tenho (4/3)*y + (1/3)*y, logo eu tenho (5/3)*y. A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos: (4/3)*y + (5/3)*y=45 (9/3)*y=45 3y=45 y=15 No início descobrimos que x=(2/3)*y, portanto x=(2/3)*15, logo x=10.

2 FINALMENTE: QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? COMO DISSEMOS NO INÍCIO, A TUA IDADE ATUAL É y, OU SEJA, 15 ANOS. E A MINHA IDADE É 2x, OU SEJA, 2.10, QUE É IGUAL A 20 ANOS. PORTANTO AS IDADES SÃO 20 E 15 ANOS!!! UM AUTOMÓVEL COMPORTA DOIS PASSAGEIROS NO BANCO DA FRENTE E TRÊS NO BANCO DE TRÁS. CALCULE O NÚMERO DE ALTERNATIVAS DISTINTAS PARA LOTAR O AUTOMÓVEL UTILIZANDO 7 PESSOAS, DE MODO QUE UMA DESSAS PESSOAS NUNCA OCUPE UM LUGAR NOS BANCOS DA FRENTE. O PROBLEMA SE RESOLVE DA SEGUINTE MANEIRA: São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente. Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo. Então primeiro vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel SEM o João, usando apenas as outras seis pessoas: Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos, tomados 5 a 5: A 6,5 = 720 Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João. Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos três bancos de trás. Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4: A 6,4 = 360 O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar esse resultado por 3: 3 x A 6,4 = 3 x 360 = 1080 O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e SEM João). Portanto número total é = 1800 maneiras!!!

3 AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8 PARA 11; AGORA ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5. QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA ATUALMENTE? solução é a seguinte: Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova. Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha. O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Então: y/x = 4/5 (equação 1) O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então: (y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2) Isolando y na equação 1: y = 4x/5 Colocando esse valor de y na equação 2 temos: ((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11 (4x/5)-8 = 8/11.(x-8) Fazendo o mmc dos dois lados temos: (4x-40) / 5 = (8x-64) / (4x-40) = 5.(8x-64) 44x-440 = 40x x-40x = x = 120 x= 30 Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!! EXISTEM N TRIÂNGULOS DISTINTOS COM OS VÉRTICES NOS PONTOS DA FIGURA. QUAL É O VALOR DE N?

4 Podemos notar que a figura é parecida com um "A". Temos 13 pontos no total. Portanto o total de combinações entre eles é: C 13,3 = 286 Porém, nós queremos apenas as que formam triângulos, então temos que subtrair todas as combinações que não formam triângulos, ou seja, as combinações em que os pontos são COLINEARES. Temos 3 situações onde isso acontece: Na "perna esquerda" do "A", temos 6 pontos colineares que não podem ser combinados entre si, pois não formam triângulos. Na "perna direita" do "A", temos a mesma situação. E no meio temos 4 pontos colineares que também não podem ser combinados entre si. Temos que subtrair essa 3 situações do total. Então o número de triângulos que podem ser formados é: C 13,3 - C 6,3 - C 6,3 - C 4,3 = = 242 Portanto podem ser formados 242 triângulos distintos!!! UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM CADA UMA GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO ENTRAR. QUANTO O HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA? que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o nosso objetivo é achar o valor de N. O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. LOJA 1 LOJA 2 LOJA 3 O homem entrou com N. O homem entrou com (N-2)/2 O homem entrou com (N-6)/4

5 O homem GASTOU: (N/2)+1. Portanto o homem FICOU com: N - ((N/2)+1) = N-(N/2)-1 = (2N-N-2) / 2 = (N-2)/2 O homem GASTOU: ( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4 Portanto o homem FICOU com: (N-2)/2 - ((N+2)/4) = (2N-4-N-2) / 4 = (N-6)/4 O homem GASTOU: ( (N-6)/4 )/2 + 1 = (N-6)/8 + 1 = (N+2)/8 Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele gastou tudo o que tinha nas três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3 menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é igual a ZERO: (N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0 (2N-12-N-2) / 8 = 0 2N-12-N-2 = 0 N-14 = 0 N = 14 PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 REAIS!!! Solução alternativa enviada por Ilydio Pereira de Sá Vamos representar através de um fluxo, o que ocorreu desde sua entrada na 1ª loja, até a saída na última e em, seguida, percorrer o fluxo de "trás para frente", aplicando operações inversas. Cabe lembrar que a quantia que tinha ao entrar em cada loja (que representarei por N1, N2 e N3) fica sempre dividida por 2 e, em seguida, subtraída de 1 real. (N1)/2-1 (saiu da loja 1 com N2) (N2)/2-1 (saiu da loja 2 com N3) (N3)/2-1 (saiu da loja 3 com zero, já que gastou tudo o que possuía). Aplicando operações inversas, teremos do fim para o início: (0 + 1) x 2 = 2 (2 + 1) x 2 = 6 (6 + 1) X 2 = 14

6 Logo, possuía ao entrar na 1ª loja R$14,00. DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA: DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1; DIVISÃO POR 3 TEM RESTO 2; DIVISÃO POR 4 TEM RESTO 3; DIVISÃO POR 5 TEM RESTO 4; DIVISÃO POR 6 TEM RESTO 5; DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0. Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo problema: X dividido por 2 dá resto 1. X dividido por 3 dá resto 2. e assim por diante até: X dividido por 6 dá resto 5. Então podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor. Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2,3,4,5 e 6. Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual a 4x5x6=120. Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é divisível por 7. CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345, EFETUANDO- SE TODAS AS PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. COLOCANDO ESSES NÚMEROS EM ORDEM CRESCENTE, QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO NÚMERO 43521? Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente: 1xxxx => P4 = 4! = 24 2xxxx => P4 = 4! = 24 3xxxx => P4 = 4! = 24 41xxx => P3 = 3! = 6 42xxx => P3 = 3! = 6

7 431xx => P2 = 2! = 2 432xx => P2 = 2! = x => P1 = 1! = 1 Somando todas elas: = 89 Então o número está na posição 89+1 = 90. Resposta: O número está na 90º posição. Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 o total de pés desses bichos, calcule a diferença entre o número de patos e o número de cachorros. O total de patos e cachorros é 21: P+C = 21 O total de pés é 54. Patos tem 2 patas e cachorros tem 4 patas. então: 2P+4C = 54 Portanto temos duas equações. Isolando P na primeira temos: P = 21-C Substituindo na segunda equação temos: 2(21-C)+4C = C+4C = 54 2C = C = 12 C = 6 Agora basta encontrar o P: P = 21-C P = 21-6 P=15

8 Há 15 patos e 6 cachorros, portanto a diferença é 15-6 = 9. Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro? Sendo N o número de páginas do livro, temos: N/5 = (N/3)-16 (N/5)-(N/3) = -16 (3N-5N)/15 = -16 3N-5N = -16*15-2N = -240 N = 120 O livro possui 120 páginas! Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z? são números de 2 algarismos, que somados resultam o número de três algarismos zxz. xy+yx = zxz O maior número que pode ser formado somando dois números de 2 algarismos é: = 198 Ora, se o número zxz é de 3 algarismos, e o maior número que ele pode ser é 198, então concluímos que z=1.

9 Se z=1 o resultado da soma é 1x1. Os valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são os seguintes: x=2 e y=9, ou seja = 121 Resposta: x=2, y=9, z=1 Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois. Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando). Essa questão é realmente muito boa! Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas: GUSTAVO sobe 2 degraus por vez MARCOS sobe 1 degrau por vez. Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor). Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. Como ele está no 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou - 7 é metade de 14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2). FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo. Então basta montar a equação: 28+X = (14+X)+(7+(X/2)) 28+X = 21+(3X/2) = (3X/2)-X 7 = X/2

10 X = 14 Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total): = 42 degraus Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo: (14+X)+(7+(X/2)) = (14+14)+(7+14/2) = = 42 degraus Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!! Joãozinho, um rapaz muito indiscreto, sabendo da reação de uma senhora, que conhecia há algum tempo, quando falaram em idade, resolveu aprontar. Numa reunião social, na presença de todos, perguntou-lhe a idade. A senhora respondeu: - Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos quatro anos. Daqui a cinco anos a soma de nossas idades será 82 anos. Se você fosse um dos presentes, você concluiria que a senhora tem que idade? O modo de resolver esse problema é o mesmo do desafio 1. Aplique o mesmo método e você encontrará que A SENHORA TEM 40 ANOS. comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então, qual é o número original de garrafas de vinho na caixa? Sendo N o número de garrafas e P o preço de cada garrafa, temos: N*P = 1000 => P=1000/N

11 Tira-se 4 garrafas Aumenta o preço da dúzia em R$100,00 (N-4)*P+((N-4)/12)*100) = 1000 Colocando N-4 em evidência: (N-4) (P + 100/12) = 1000 (N-4) (1000/N + 100/12) = 1000 (1000N-4000)/N + (100N-400)/12 = 1000 Resolvendo essa equação chegamos a equação de segundo grau: 100N 2-400N = 0 Aplicando Bhaskara encontramos x=24. Resposta: HAVIAM 24 GARRAFAS NA CAIXA pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas. Por isso, pagou a mais a importância de R$270,00. Sabendo que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2, calcule o algarismo, no cheque, que foi escrito na casa das dezenas. No cheque foi escrito:...xxxabx Mas o correto seria:...xxxbax Ou seja, na casa das dezenas do cheque foi escito B (é o que queremos achar). Por isso a pessoa pagou R$270,00 a mais, portanto fazendo a subtração o resultado será 270:...xxxABx...xxxBAx Portanto devemos ter AB - BA = 27 O exercício diz que A e B estão entre si como 1 está para 2. Daí sabemos que A é o dobro de B, ou seja: A=2B.

12 Sabendo disso, existem 4 valores possíveis para A e B: B=1 e A=2 => = 9 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) B=2 e A=4 => = 18 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) B=3 e A=6 => = 27 => esses são os valores (pois AB-BA=27) B=4 e A=8 => = 36 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) Portanto os valores são A=6 e B=3. Resposta: O algarismo escrito no cheque na casa das dezenas foi o 3. Corte uma torta em 8 pedaços, fazendo apenas 3 movimentos (3 cortes). Basta fazer dois cortes verticais e um corte horizontal. Ao fazer dois cortes verticais (pode ser em forma de X), a torta estará dividida em 4 pedaços. Quando fizermos o corte horizontal, o número de pedaços será multiplicado por 2, ou seja, teremos 8 pedaços em apenas 3 cortes. múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 é Qual é o menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 3? 999 = Um número formado apenas pelos algarismos 0 e 3 é múltiplo de 33 se e somente se o número de algarismos 3 é múltiplo de 9 (pois ao dividi-lo por 3 obtemos um número

13 que possui apenas os algarismos 0 e 1 que deve ser múltiplo de 9, o que ocorre se e só se o número de algarismos 1 é múltiplo de 9). Assim, o número desejado deve ter pelo menos 9 algarismos 3, e deve terminar por 0, por ser par. O menor número com essas propriedades é , que é múltiplo de 1998 pois é par, é múltiplo de 3 3 e é múltiplo de 37 por ser múltiplo de 111 (é igual a ). Em uma reta há 1999 bolinhas. Algumas são verdes e as demais azuis (poderiam ser todas verdes ou todas azuis). Debaixo de cada bolinha escrevemos o número igual à soma da quantidade de bolinhas verdes à direita dela mais a quantidade de bolinhas azuis à esquerda dela. Se, na sequência de números assim obtida, houver exatamente três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, quais podem ser estes três números? Este é um problema de Olimpíada Matemática. Se as 1999 bolinhas são de uma mesma cor, a sucessão de números é crescente ou decrescente. Cada número aparece uma vez só e há 1999 (portanto, não há exatamente 3 números que se repetem um número ímpar de vezes (1 é ímpar). Logo, há bolinhas das duas cores. Dada uma distribuição das bolinhas que tem em certa posição uma bolinha azul A e na posição seguinte uma bolinha vermelha R, se há a bolinhas azuis à esquerda de A e r bolinhas vermelhas à sua direita, então há a + 1 bolinhas azuis à esquerda de R e r 1 bolinhas vermelhas à sua direita. O número escrito embaixo de A é n = a + r e o número escrito embaixo de R é a r 1 = n. Se trocamos de lugar A e R, e não mexemos em nenhuma outra bolinha, na nova distribuição há a bolinhas azuis à esquerda de R e r 1 bolinhas vermelhas à sua direita, enquanto que à esquerda de A há a bolinhas azuis e, à sua direita, r 1 bolinhas vermelhas. Os números escritos embaixo de R e A são a + r 1= n 1 e a + r 1 = n 1. Os números escritos embaixo das outras bolinhas não mudam. Então, depois da troca, o número n se repete duas vezes menos e o número n 1 se repete duas vezes mais. Os números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes serão os mesmos em ambas configurações. Portanto, basta estudar a configuração na qual todas as bolinhas vermelhas são consecutivas, a partir da primeira, e todas as azuis são consecutivas, a partir da última vermelha. Sejam α, β, as quantidades de bolinhas vermelhas e azuis, respectivamente; então α + β = Embaixo da primeira bolinha (é vermelha) está o número α 1, na seguinte, α 2, depois α 3, e assim por diante, até ter 0 na última bolinha vermelha (na posição α ). Então, embaixo da primeira bolinha azul há 0, na segunda 1 e assim por diante, até a última, que tem β 1 embaixo. Se α < β, os números 0, 1, 2,, α 1 aparecem duas vezes (quantidade par) e os números α, α + 1, α + 2,, β 1 aparecem uma vez (quantidade ímpar). Se há exatamente 3 números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, estes são α, α + 1 e α + 2 = β 1. Portanto, α + β = 2α + 3, donde α = 998, e os três números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes são 998, 999 e Se α > β, os três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes são β, β +1 e β + 2 = α 1, donde α + β = 2β + 3 e os tres números são, novamente, 998, 999 e 1000.

14 Forme o número 24 usando apenas os números 3, 3, 7, 7, uma vez cada. Você pode usar as operações +, -, *, /, e também os parênteses, se achar necessário. A solução pode ser a seguinte: (3+(3/7)) x 7 Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior do que ele mesmo. Qualquer número entre 0 e 1. A Maria e o Manuel disputaram um jogo no qual são atribuídos 2 pontos por vitória e é retirado um ponto por derrota. Inicialmente cada um tinha 5 pontos. Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, e a Maria no final ficou com 10 pontos, quantas partidas eles disputaram? Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, a Maria perdeu três pontos. Como no final a Maria ficou com 10 pontos é porque ganhou 8 pontos, logo 4 partidas. Realizaram portanto 3+4=7 partidas. Um relógio digital marca 19:57:33. Qual o número mínimo de segundos que devem passar até que se alterem todos os algarismos? Os algarismos estarão todos alterados, pela primeira vez, quando o relógio marcar 20:00:00, ou seja, quando se passarem 147 segundos. Para numerar as páginas de um livro, consecutivamente desde a primeira página, são usados 852 algarismos. Quantas páginas tem o livro? Como existem 9 números naturais com 1 algarismo, 90 números com 2 algarismos e 900 números com 3 algarismos são necessários: 9 algarismos para numerar as primeiras 9 páginas; 90 x 2 = 180 algarismos para numerar as seguintes 90 páginas; 900 x 3 = 2700 algarismos para numerar as seguintes 900 páginas. Como < 852 < 2700 então o número x de páginas do livro tem 3 algarismos e satisfaz a equação: 3 (x-99) = 852

15 O livro possui 320 páginas. Você tem 10 soldados. Forme 5 filas com 4 soldados em cada uma. Os soldados são dispostos como mostrado na figura abaixo, em forma de estrela. Dessa maneira existirão 5 filas, e cada fila possuirá 4 soldados. Substitua o asterisco (*) por um número natural, para que a subtração abaixo seja verdadeira. */* é igual a 1. Substituindo esse valor na equação temos: 1- (*/6) = (*/12) 1 = (*/12) + (*/6) 1 = (*+2*)/12 1 = 3*/12 1 = */4 * = 4

16 Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar? 1 saco de areia = 8 tijolos. Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos então pode carregar 18 8 = 144 tijolos. Qual é o quociente de por 25 25? Efetuando a divisão temos: Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que inteiro? seja um número Podemos escrever a expressão da seguinte forma: Este número é inteiro se, e somente se, x + 19 for divisor de 80. Como 80 tem 20 divisores inteiros, então existem 20 valores de x. Corte 10 algarismos do número , para que o número restante seja o maior possível. maior número restante é Para ver isto, podemos supor que os cortes são feitos da esquerda para a direita. Se deixarmos de cortar todos os quatro primeiros algarismos, o número que resta começará por 1, 2, 3 ou 4. Logo, menor que o número acima. Feito isto, se deixarmos de cortar a segunda seqüência 1234, o número que resta terá na primeira ou segunda casa, da esquerda para a direita, 1, 2, 3 ou 4. Ainda menor que o número acima. Os dois primeiros 5 devem permanecer, pois retirando-se um deles, completamos 9 retiradas e aí algum algarismo da terceira seqüência 1234 aparecerá na 1 a ou na 2 a casa. Finalmente devemos cortar a seqüência 12, que ocupa a 11 a e 12 a posição. Encontre dois números de três algarismos cada um, usando cada um dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 exatamente uma vez, de forma que a diferença entre eles (o maior menos o menor) seja a menor possível.

17 Este é um problema da Olimpíada Brasileira de Matemática. Para que a diferença seja a menor possível, os números devem ser os mais próximos possíveis. Assim, os algarismos das centenas devem ser consecutivos. A melhor escolha é aquela em que as dezenas formadas pelos algarismos restantes tenham a maior diferença possível, o que ocorre para as dezenas 65 e 12. Assim, os algarismos das centenas devem ser 3 e 4. O menor número começado por 4 é 412 e o maior começado por 3 é 365, cuja diferença é 47. Determine o próximo número da sequência: 2,10,12,16,17,18,19,... O próximo número da sequência 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,... é 200. É a sequência de todos os números que começam com a letra D. Determine o próximo número da sequência: 5,11,19,29,41,... O próximo número da sequência 5,11,19,29,41,... é 55. A sequência é formada somando-se a cada termo um número par, a partir do 6: 5+6 = 11+8 = = = = 55. Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 130 kg. Eles pesam 60, 65 e 80 kg. Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar o barco? Os homens de 60 e 65kg atravessam. Um deles volta. O que pesa 80kg atravessa sozinho. O barco volta com o que havia ficado. Finalmente os de 60 e 65kg atravessam, e os três estarão do outro lado do rio. Quantos noves existem entre 0 e 100? Existem 20 noves entre 0 e 100. Um em cada algarismo das unidades (9,19,29,39,...99), e mais os dez noves da dezena 9 (90, 91, ). No total = 20 noves.

18 Uma pessoa vai comprar um presente e leva R$1.200,00. Quando lhe perguntam quanto custou o presente ela disse: "Sobrou troco, mas não direi nem o troco nem o preço do presente. Digo apenas que o preço do presente, sendo lido ao contrário é o valor de 9 presentes." Quanto custou o presente? Solução enviada pelo visitante Renato Santos: Seja o preço do presente expresso como um número de quatro algarismos, desprezando os centavos, como abcd (isto é, R$ abcd,00), onde a é 1 ou 0 (para R$abcd,00 ser menor ou igual a R$1.200,00) e b, c e d, é claro, estão entre 0 e 9. Lido ao contrário, o preço do presente seria dcba, que deve ser igual ao valor de nove presentes. Para podermos equacionar esta informação, temos que ter em conta a notação decimal posicional, isto é, abcd significa a milhares, b centenas, c dezenas e d unidades, ou 1000a+100b+10c+d. Da mesma forma, dcba significa 1000d+100c+10b+a. Fica assim: 1000d+100c+10b+a = 9(1000a+100b+10c+d) ou 1000d+100c+10b+a = 9000a+900b+90c + 9d Resolvendo: (1000-9)d + (100-90)c + (10-900)b +(1-9000)a = 0 ou 991d + 10c -890b -8999a = 0 Observe-se que 991 e 10 não têm factores em comum, e, portanto, neste caso, não podemos reduzir os coeficientes da equação. Temos aqui uma única equação com quatro incógnitas. Uma estratégia seria ir substituindo por tentativas valores para a, b, c e d. Pode-se, porém, como Diofanto, a partir daqui, utilizar o algoritmo das fracções contínuas: Isolamos à esquerda o termo com o menor coeficiente: 10c = 8999a + 890b - 991d Dividimos toda a equação pelo coeficiente: c = (8999/10)a + (890/10)b - (991/10)d Separando as partes inteiras das frações, c = 899a + (9/10)a + 89b - 99d - (1/10)d ou c = 899a + 89b - 99d + (1/10)(9a - d)

19 Como a, b e c devem ser números inteiros, (1/10)(9a -d) também terá de ser. Isso, é claro, só acontecerá se (9a -d) for múltiplo de 10. Todavia, como a, b, c e d representam os dígitos do valor do presente, têm de estar entre 0 e 9. Com essa restrição, (9a-d) só pode ser o múltiplo trivial de 10, isto é, 0. Fica assim, 9a - d = 0 ou d = 9a Retornando este resultado à equação anterior, fica c = 899a + 89b - 99x9a + (1/10)(9a - 9a) ou c = 899a + 89b - 891a c = 8a + 89b Como c está entre 0 e 9 e os coeficientes de a e b são positivos, resulta que b tem de ser igual a 0 para que c não exceda 9. Resulta assim, c = 8a Lembremos ainda que a é 1 ou 0. Mas a=0 resulta o caso trivial a=0, b=0, c=0 e d=0, ou seja o preço R$0000,00 e, corretamente, 9 x 0000$00 = 0000$00. Temos, então, a=1 que resulta c = 8 e, retornando à equação anterior, d=9a => d=9. Assim obtemos, finalmente, o preço do presente (R$abcd,00) como R$1089,00 que, invertido, resulta R$9801 = 9 x R$1089, como desejado. RESPOSTA: o presente custou R$1089,00 Solução enviada pelo visitante Paulo Martins Magalhães: Se a quantia reservada para o presente era R$1.200,00, devemos supor que o preço estava em torno de R$ 1.000,00. Portanto, estavamos em busca de um número de 4 algarismos, sendo 1 o primeiro deles. O último algarismo só poderia ser o 9, pois só assim poderíamos inverter o número e obter 9 vezes o primeiro. Assim, sabemos que o número é 1ab9. Achar a e b é relativamente fácil, pois o número é múltiplo de 9, já que seu inverso também o é (pois é um número que vale nove vezes o preço do presente). Temos então o número 1ab9. Para que tal número seja múltiplo de 9, é preciso que a soma a+b seja 8. Os pares a e b que satisfazem essa condição são os seguintes: 0 e 8; 1 e 7; 2 e 6; 3 e 5; 4 e 4; 5 e 3; 6 e 2; 7 e 1 e finalmente, 8 e 0. Testando o primeiro par, o que parece mais lógico, pois o preço é menor que R$ 1.200,00, chegamos a R$ 1.089,00, que é o preço do presente. (1089 X 9 = 9801).

20 Quatro amigos vão ao museu e um deles entra sem pagar. Um fiscal quer saber quem foi o penetra: Eu não fui, diz o Benjamim. Foi o Pedro, diz o Carlos. Foi o Carlos, diz o Mário. O Mário não tem razão, diz o Pedro. Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada? Pedro não pagou! Mário e Carlos não podem ambos ter dito a verdade, pois somente um entrou sem pagar. Se Mário não falou a verdade, então o que os outros três afirmaram é correto. Conclui-se que Pedro entrou sem pagar. Se Mário tivesse dito a verdade, teríamos uma contradição: a afirmação de Pedro seria verdadeira, mas a de Carlos seria falsa. Dona Panchovila comprou duas balas para cada aluno de sua sala. Mas os meninos da classe fizeram muita bagunça, e a professora resolveu distribuir as balas de maneira diferente: cinco para cada menina e apenas uma para cada menino. Qual a porcentagem de meninos na sala? Se a professora der uma bala a menos para cada menino, pode dar três balas a mais para cada menina. Isso significa que o número de meninos é o triplo do número de meninas. É o mesmo que dizer que 3/4 da classe ou 75% dela são meninos. Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual: a) Ao próprio número b) Ao dobro do número c) Ao número mais 1 d) Ao número menos 1 Vamos chamar o resultado desejado de n, e o número inicial de x. Pelo enunciado, temos que n = (x 2 x) / x. Com a fatoração, descobrimos que: n = (x 1). x / x. Simplificando, temos que n = x 1, ou o número menos 1.

21 Uma calculadora tem duas teclas: D, que duplica o número, e T, que apaga o algarismo das unidades. Se uma pessoa escrever 1999 e apertar em seqüência D,T, D e T, o resultado será qual número? número 1999 duplicado dá Pressionando a tecla T, tem-se 399. Apertando D, temos o dobro de 399, que é 798. Com a tecla T apagamos o algarismo da unidade, obtendo 79. De três irmãos - José, Adriano e Caio -, sabe-se que ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço. Sabe-se também, que ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então quem é o mais velho e quem é o mais moço dos três irmãos? A segunda afirmação determina que José não é o mais velho, portanto a partir da primeira afirmação concluímos que Adriano é o mais moço. Se Adriano é o mais moço, Caio é o mais velho. A solução da equação y 2 - log y =0,001 é... Pela definição de logaritmo, podemos escrever: log y 0,001 = 2 - log y Da regra de mudança de base log b a = (log a) / (log b), vem: (log 0,001) / (log y) = 2 - log y Sabemos que log 0,001 = -3, então: -3 / (log y) = 2 - log y -3 = 2 log y - log 2 y log 2 y - 2 log y - 3 = 0 (equação de 2º grau) Aplicando a fórmula de Bhaskara encontramos: log y = 3 ou log y = -1 y = 1000 ou y = 0,1 Conjunto Solução= {1000; 0,1} Dispõe-se de nove garrafas em fila. As cinco primeiras estão cheias de cerveja e as quatro últimas, vazias. Movendo somente duas garrafas, como tornar a fileira com garrafas alternadamente cheias e vazias.

22 Temos 9 garrafas sendo que as 5 primeiras estão cheias e as 4 últimas vazias. Para que fiquem alternadamente cheias e vazias, basta despejar a garrafa 2 na garrafa 7 e a garrafa 4 na garrafa 9, voltando as duas para os seus respectivos lugares. A média mensal de ovos postos pelas aves na Suécia são na proporção de 35 ovos por mês. O Sr. Thomas Dhalin, um pequeno proprietário do interior do país decidiu incrementar sua fazenda comprando um pato. Quantos ovos, de acordo com as estatísticas, ele terá comercializado ao final de um ano? Patos não botam ovos. Infelizmente o Sr. Larsen não terá nenhum ovo ao final de um ano. Um bolsa tem 27 bolas de bilhar que parecem idênticas. É certo que há uma bola defeituosa que pesa mais que as outras. Dispomos de uma balança com 2 pratos. Demonstre que se pode localizar a bola defeituosa como somente três pesagens. Compare 9 bolas quaisquer com outras 9 e deixa as nove restantes na caixa. Se a balança se equilibra, a bola mais pesada estará entre as nove bolas que ficaram na caixa e se não, estará entre as nove do prato que mais pesou. Dividimos em 3 grupos de 3 esse conjunto e repetirmos a operação. Dessa forma, com duas pesadas teremos isolado a bola mais pesada de um grupo de 3 bolas. Se repetirmos a operação uma terceira vez, teremos isolado a bola mais pesada das outras.

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