Intervalos de confiança para rendas vitalícias: aplicação a fundos de pensões

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1 Intervalos de confiança para rendas vitalícias: aplicação a fundos de pensões CIDÁLIA TOMÁS LOURDES AFONSO PEDRO CORTE REAL This presentation has been prepared for the V IBERIAN CONGRESS LISBOA 2016 IAP wishes it to be understood that opinions put forward herein are not necessarily those of the IAP is not responsible, the author is the only responsible for those opinions.

2 OBJETIVO GERAL Estabelecer intervalos de confiança para rendas vitalícias OBJETIVOS ESPECÍFICOS Identificar e apresentar uma nova ferramenta de análise a utilizar para os cálculos atuariais; Aplicar esta ferramenta à avaliação das responsabilidades de um plano de pensões;

3 MORTALIDADE Tempo de vida futura T v.a. que representa o tempo de vida futura de um indivíduo de idade x x + T será a idade da morte de (x) Função de distribuição: G t = Pr T t, t 0 Probabilidade de x morrer nos próximos t anos: tq x = G t Probabilidade de x sobreviver aos próximos t anos: tp x = 1 G t

4 MORTALIDADE Tempo de vida futura em anos completos variável aleatória K = [T] função de distribuição: Pr K = k = Pr k T < k + 1 = k p x q x+k para k = 0,1,2

5 RENDAS Rendas certas i taxa de capitalização v taxa de atualização Tem-se a relação i = 1 1+i Renda certa antecipada aሷ n = 1 + v + v v n 1 = 1 vn 1 v Renda certa postecipada a n = v + v v n = ሷ a n 1 + v n = 1 vn i

6 RENDAS Rendas vitalícias Renda antecipada de termos constantes aሷ x = 1 + v p x + v 2 2p x + v 3 3p x + + v ω x ω xp x Renda postecipada de termos constantes ω x a x = v p x + v 2 2p x + v 3 3p x + + v ω x ω xp x = v k kp x k=1

7 RENDAS Rendas vitalícias Renda antecipada de termos em progressão geométrica Gaሷ θ x = θ v p x θ 2 v 2 2p x θ ω x v ω x ω xp x ω x = k=0 1 + θ k v k kp x Renda postecipada de termos em progressão geométrica Ga θ x = v p x θ v 2 2p x θ 2 v 3 3p x + ω x θ ω x 1 v ω x ω xp x = 1 + θ k 1 v k kp x k=1

8 RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E RENDAS VITALÍCIAS Seguro de vida inteira Pagamento em caso de morte de (x) Capital seguro de 1 u.m. pago no final do ano em que a morte ocorre. Considerando a v.a. K o tempo de vida futura em anos completos, o seu valor atual será então e Pr Z = v k+1 Z = v K+1 = Pr K = k = k p x q x+k

9 RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E RENDAS VITALÍCIAS Seguro de vida inteira Assim, o prémio desta modalidade de seguro denotado por A x, será A x = E Z = E v K+1 = v k+1 kp x q x+k e, E Z 2 k=0 = (v 2 ) k+1 kp x q x+k k=0 Var Z = E Z 2 A x 2

10 RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E RENDAS VITALÍCIAS Considerando a v.a. K definida como o tempo de vida futura em anos completos Y = 1 + v + v 2 + v v K = aሷ K+1 = 1 vk+1 1 v = 1 Z 1 v Então aሷ x será o valor esperado de Y E Y = E 1 Z 1 v = 1 E(Z) 1 v = 1 A x 1 v = ሷ a x

11 RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E RENDAS VITALÍCIAS Basta redefinir a v.a. Y para que chegar a outros resultados Y = 1 + rv + r 2 v r K v K r = (Ga) ሷ K+1 Y = 1 + v 1 + v v K 1 = aሷ K+1 = 1 v 1 K+1 = 1 rk+1 v K+1 1 v 1 1 rv E Y = E 1 (rv)k+1 1 rv = 1 σ k=0 (rv) k+1 kp x q x+k 1 rv

12 Teorema Limite Central de Lyapunov Seja X 1,, X n uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e que E X i e = μ i V X i = σ i 2 < e pelo menos um com dos σ i 2 maior que zero. Sejam S n = X 1 + X X n e s 2 n = σ n i=1 verificar, isto é, se existir um δ > 0 tal que, σ i 2. Se a condição de Lyapunov se 1 n s n 2+δ i=1 E( X i μ i 2+δ ) 0 quando n então garante-se que, σ n i=1 X i σ n i=1 σ n 2 i=1 σ i μ i a N 0, 1

13 Intervalos de confiança para uma faixa etária T x - valor atual das pensões em pagamento para um grupo de n indivíduos com idade x e pensão P i Sendo Y i a v.a. definida anteriormente, tem-se n n T x = X i = P i Y i i=1 i=1 Assim, pelo Teorema Limite Central de Lyapunov T x E(T x ) V(T x ) a N(0, 1)

14 Intervalos de confiança para uma faixa etária Desta forma pode obter-se o seguinte intervalo de confiança 1 100% para T x : E T x z V T 2 x T x E T x + z 2 V T x n i=1 P i aሷ x z 2 n i=1 P i 2 1 (1 v) 2 V Z T x n i=1 P i aሷ x + z 2 n i=1 2 1 P i (1 v) 2 V Z

15 Intervalos de confiança para toda a população T total - valor atual das pensões em pagamento para uma população formada por k subgrupos, cada um correspondente à faixa etária k, com n xk indivíduos de idade x k e pensão P i,xk Assim, w n xk w T = P Y = i,xk i,xk k=0 i=1 k=0 T xk Pelo Teorema Limite Central de Lyapunov, tem-se T E(T) V(T) a N(0, 1)

16 Intervalos de confiança para toda a população Pode-se então, construir um intervalo de confiança 1 100% para T total : E T total z V T 2 total T total E T total + z 2 V T total

17 Caso Prático

18 IC faixa etária Faixa etária de 65 anos com 52 indivíduos e pensão média

19 IC faixa etária Faixa etária de 65 anos com 52 indivíduos e pensão média Intervalo com coeficiente de confiança 95%

20 IC VAPP População de pensionistas dos 60 a 102 anos com 827 indivíduos.

21 IC VAPP População de pensionistas dos 60 a 102 anos com 827 indivíduos.

22 IC VAPP População de pensionistas dos 60 a 102 anos com 827 indivíduos. Intervalo com coeficiente de confiança 95%

23 Outras Aplicações

24 Responsabilidade Actuarial Intervalo Predição 95% Responsabilidade Actuarial Limite Inferior Responsabilidade Actuarial Responsabilidade Actuarial Limite Superior Responsabilidade Actuarial

25 Contribuição Normal Intervalo Predição 95% Contribuição Normal Limite Inferior Contribuição Normal Contribuição Normal Limite Superior Contribuição Normal

26 Referências