O ENSINO DE TRIGONOMETRIA: A BUSCA DE NOVOS CAMINHOS

Transcrição

1 O ENSINO DE TRIGONOMETRIA: A BUSCA DE NOVOS CAMINHOS 340 Jenifer Lunara da Silva (UNI-FACEF) Introdução: Nosso trabalho de iniciação cientifica se inicia motivado pelas nossas dificuldades no aprendizado desse conteúdo, assim como muitos alunos que cursam a educação básica. A Trigonometria está presente em nosso cotidiano, ela não se limita ao estudo somente de triângulos. Suas aplicações são utilizadas em diversos campos da Matemática, por isso a importância de seu ensino aprendizado. Conceitos Básicos de Trigonometria Todo triângulo que tem um ângulo de 90 (ângulo reto ) é denominado triângulo retângulo. O triângulo ABC tem um ângulo reto e é denominado triângulo retângulo: Onde: a: hipotenusa; b e c: catetos; h: altura relativa à hipotenusa; m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

2 Seno 341 Considere o ciclo trigonométrico (circulo de raio unitário, r = 1) no qual marcamos o ponto M, que é imagem, no ciclo, do número real θ, conforme é mostrado na figura a seguir. O arco AM corresponde ao ângulo central θ. Seja OM o raio do ciclo, e M e M as projeções do ponto nos eixos y e x, respectivamente. Definimos como seno do ângulo (ou do arco AM) a ordenada do ponto M, e é indicado como: sen θ = OM, sendo OM a ordenada do ponto M. Agora observe o triângulo retângulo OM M. Também podemos definir o seno do ângulo θ como sendo a razão entre o cateto oposto ao ângulo θ e a hipotenusa do triângulo OM M. Veja: M ' M senθ = OM OM " = = OM senθ = OM 1 senα = cateto oposto hipotenusa Valores importantes de sen θ:

3 342 Cosseno Considere o ciclo trigonométrico (circulo de raio unitário, r = 1) no qual marcamos o ponto M, que é imagem, no ciclo, do número real θ, conforme é mostrado na figura a seguir: O arco AM corresponde ao ângulo central θ. Seja OM o raio do ciclo, e M e M as projeções do ponto M nos eixos y e x, respectivamente. Definimos como cosseno do ângulo θ (ou do arco AM) a abscissa do ponto M, e é indicado como: cos θ = OM, sendo OM a abscissa do ponto M. Agora observe o triângulo retângulo OM M. Também podemos definir o cosseno do ângulo θ, como sendo a razão entre o cateto adjacente ao ângulo θ e a hipotenusa do triângulo OM M. Veja:

4 OM ' OM ' cosθ = = =OM cosθ =OM OM cosα = cateto adjacente hipotenusa Abaixo, os valores mais importantes de cos θ: Tangente Considere o ciclo trigonométrico (circulo de raio unitário, r = 1) e T a intersecção da reta OM com o eixo das tangentes (reta perpendicular ao eixo x, que passa pelo ponto A).

5 344 O arco AM corresponde ao ângulo central θ. Definimos como tangente do ângulo θ (ou do arco AM) a medida algébrica do segmento AT, e é indicado como: tg θ = AT Agora observe que o triângulo retângulo OM M e OAT são semelhantes. Portanto estabelecemos a relação: OM ' M ' M = OA AT Sabemos que: OM = cos θ M M = sen θ AT = tg θ OA = r = 1 portanto:

6 cosθ sen senθ = tgθ = 1 tgθθ cosθ 345 cateto oposto tgα = cateto adjacente Valores importantes de tg θ: O Círculo Trigonométrico Chama-se Círculo Trigonométrico, ao círculo orientado de raio unitário, cujo centro é a origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme figura a seguir. O círculo trigonométrico é orientado positivamente no sentido ABA B A. O sentido AB A BA é considerado negativo. Assim, o arco AB (ângulo reto) mede 90º e o arco AB mede -90º. O arco ABA (ângulo raso) mede 180º ( ou p radianos) e o arco AB A mede (-180º). O arco de uma volta completa (ABA B A) mede 360º; O arco AB A BA mede (- 360º), ou seja, é um arco negativo. Já sabemos que 360º = 2π radianos. Podemos na Trigonometria, considerar arcos de mais de uma volta. Sabendo que uma volta equivale a 360º, podemos facilmente reduzir qualquer arco à primeira volta. Por exemplo, o arco de 12350º, para reduzi-lo à primeira volta, basta dividi-lo por 360º (para eliminar as voltas completas) e considerar o resto da divisão. Assim é que, 12350º dividido por 360º, resulta no quociente 34 e no resto 110º. Este valor 110º é então trigonométricamente equivalente ao arco de 12350º e é denominado sua menor determinação positiva.

7 346 Dois arcos trigonométricos são ditos côngruos, quando a diferença entre eles é um número múltiplo de 360º. Assim é que sendo x e y dois arcos trigonométricos, eles serão côngruos se e somente se x - y = k. 360º, onde k é um número inteiro. Portanto, para descobrir se dois arcos são côngruos, basta verificar se a diferença entre eles é um múltiplo de 360º (ou 2π radianos, pois 2π rad = 360º). Os arcos 2780º e 1700º, por exemplo são côngruos, pois 2780º º = 1080º e 1080º é divisível por 360º (1080º / 360º = 3, com resto nulo). Figura 1- Círculo trigonométrico Fonte: Funções Trigonométricas As funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como

8 347 razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. Função seno O domínio dessa função é R e a imagem é Im [-1,1]; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário. Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R. Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1]. Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco: f(x) = sen x é positiva no 1 e 2 quadrantes (orde nada positiva) f(x) = sen x é negativa no 3 e 4 quadrantes (orde nada negativa) O gráfico dessa função é o seguinte: Função Cosseno O domínio dessa função é R e a imagem é Im [-1,1]; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário.

9 Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R. Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1]. Sinal da Função: Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco: f(x) = cos x é positiva no 1 e 2 quadrantes (absc issa positiva) f(x) = cos x é negativa no 3 e 4 quadrantes (absc issa negativa) O gráfico dessa função é o seguinte: 348 Função Tangente Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor de cosx = 0 (não existe divisão por zero), portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno. Conjunto Imagem: m Ι = ], [ Sinal da Função:

10 349 Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então: f(x) = tg x é positiva no 1 e 3 quadrantes (produ to da ordenada pela abscissa positiva) f(x) = tg x é negativa no 2 e 4 quadrantes (produ to da ordenada pela abscissa negativa) O gráfico dessa função é o seguinte: O domínio da função tangente é R. e a imagem é o conjunto O ensino de trigonometria Em nosso estudo sobre o ensino de trigonometria encontramos nas pesquisas de Costa (1997), a preocupação em analisar qual a sequência didática mais propícia

11 350 para seu ensino. Para isso a pesquisadora usa dois grupos de alunos e duas sequências didáticas: na primeira, a sequência se inicia com atividades no computador e é finalizada com materiais manipulativos criados pela pesquisadora, na segunda, ela faz o inverso. A autora conclui que o segundo grupo exposto a segunda sequência obteve um melhor aproveitamento. Fundamentado na idéia de Costa, o aprendizado das funções trigonométricas requer muita abstração do aluno, porém, esse processo pode ser facilitado através de atividades manipulativas, que ela nomeia de concretização. Isso é confirmado pelo segundo grupo que obteve melhor aproveitamento. Outras contribuições do trabalho citado são o estudo histórico e epistemológico da trigonometria e o estudo e a evolução da noção de ângulo e das funções trigonométricas. A autora produz diversos materiais didáticos que podem auxiliar outros professores. Analisando outras idéias, tendo como exemplo Mendes (2001), que sugere o ensino de trigonometria a partir de tarefas estruturadas, obtidas no contexto da história da matemática, como auxílio metodológico em sala de aula. Segundo o autor, esses estudos possibilitam ao estudante a abordar temas não trabalhados por eles. Mendes faz uso da história como agente facilitador do ensino, enfatizando quatro opções de uso: biografia dos matemáticos; desenvolvimentos temáticos; origem e significado dos termos matemáticos e estudos de textos do passado. Mendes (2001 apud Fossa, 1995) aponta, ainda, a existência de várias maneiras de se utilizar a história da matemática das quais ressaltamos: uso ornamental, apontado para uma abordagem episódica ou novelesca; uso ponderativo cujas circunstâncias com aspectos episódicos ou novelescos são organizadas de maneira a permitir o uso manipulativo. Ao trabalhar com a trigonometria, Nacarato (2003) explora as diversas abordagens para a definição de seno contidos nos livros didáticos do século XX no Brasil. Como consequência, a autora qualifica quatro grandes tendências para a definição de seno: A primeira prevaleceu até antes de 1930 e está diretamente ligada à geometria euclidiana; a segunda está fundamentada no cálculo vetorial e predomina até o final da década de 60; a terceira iniciou-se na década de 60 com o movimento

12 351 da matemática moderna, estendendo-se até a década de 80; a quarta tendência é utilizada até os dias atuais e oscila entre uma ou outra tendência. A grande maioria dos autores define o seno como sendo a razão entre a medida do cateto oposto e da hipotenusa de um triângulo retângulo. É importante ressaltar que não se pode empregá-las aleatoriamente, mas sim, em concordância com as metas de ensino determinadas. O trabalho realizado por Brito e Morey (2004), que tem como propósito analisar as dificuldades em geometria e trigonometria, percebidas pelos professores de Ensino Fundamental é sustentado num estudo feito por Fiorentini (1995) e relacionam as diversas tendências que ocorrem no ensino da matemática no país: a formalista clássica, a empírico-ativista, a formalista moderna, a tecnicista, a construtivista e a sócio-etno-culturalista. Nos anos 60, o movimento da matemática moderna introduziu a teoria dos conjuntos na disciplina. Um dos efeitos da substituição da matemática axiomática euclidiana por um modelo criado fora do país ocasionou o abandono do ensino de trigonometria e geometria no Brasil. No final da década de 80, quando houve um eminente esforço dos estudiosos para mostrar a importância da trigonometria e geometria no ensino de primeiro grau, houve uma forte resistência dos professores devido à deficiência no ensino desse conteúdo existente na época da formação escolar e acadêmica dos mesmos. Assim, o estudo da Geometria e da Trigonometria continuou fora das aulas de Matemática. Para as autoras (BRITO E MOREY, 2004) alcançarem seu propósito, aplicaram um curso de formação continuada para uma turma de 50 professores de escolas estaduais do Rio Grande do Norte. Os resultados indicaram dificuldades nos conceitos geométricos de altura e de semelhança, e também, nos conceitos fundamentais da trigonometria. Analisando as dificuldades encontradas pelos professores podemos afirmar que tais dificuldades estão intimamente relacionadas à formação escolar das décadas de 70 e 80 caracterizadas, entre outros aspectos, pelo descaso para com a geometria e a trigonometria, pela formalização precoce de conceitos geométricos e trigonométricos quando esses eram estudados - e pela

13 352 memorização de procedimentos sem a compreensão deles (BRITO;MOREY, 2004, p.31). Quando se considera a última Proposta Curricular para o Ensino de Matemática para o Estado de São Paulo de 1992, esta apresenta o conteúdo trigonométrico como situações de resoluções de problemas. A história da trigonometria Os primeiros indícios de noções de trigonometria surgiram tanto no Egito quanto na Babilônia, provido do cálculo de razões entre números e entre lados de triângulos semelhantes. Isto pode ser observado no Papiro Ahmes, no Egito, é o maior documento egípcio em matemática que chegou aos nossos dias. Ele é uma cópia de um antigo papiro do século XIX a.c. que esteve em poder do escriba Ahmes. Foi adquirido no Egito por H. Rhind e por isso é conhecido como Papiro Rhind. Ele contém 84 problemas, dos quais quatro fazem menção ao seqt de um ângulo. Ahmes não foi claro ao exprimir o significado desta palavra, mas, pensa-se que o seqt de uma pirâmide regular seja equivalente, hoje, à cotangente do ângulo OMV (figura 1). Exemplo: Seja OV = 40 e OM = 80, Então o seqt = 80 / 40, Isto é: seqt = 2

14 353 Figura 2- seqt de uma pirâmide Fonte: Efss/s320/desenho_tri_retangulo.Bmp. Sabe-se que na construção das pirâmides era necessário manter uma inclinação constante das faces, o que levou os egípcios a adotarem o conceito de seqt, que representava a razão entre afastamento horizontal e elevação vertical. Na índia ocorreram grandes descobertas na trigonometria, por conta da matemática estar em desenvolvimento junto com outras ciências, determinando seis importantes períodos, dos quais abordaremos apenas o clássico (400 d.c. a 1200 d.c.) em que a trigonometria se desenvolveu, pois era considerada parte integrante da astronomia pela necessidade e curiosidade de ser calculada a posição exata dos planetas. Foram construídas tabelas de senos de diferentes arcos entre 0º e 90º. Nos estudos dos matemáticos indianos, eram mais utilizadas a meia-corda, que mais tarde se tornou o seno indiano i. Os árabes também cooperaram muito com a trigonometria, com influências indianas, persas e helenísticas. A partir dessas influências, e de muita criatividade, os árabes desenvolveram o primeiro tratamento sistemático da trigonometria. Com esse tratamento surgiram três importantes aspectos da trigonometria árabe: primeiro a introdução de seis funções trigonométricas básicas; segundo a dedução da regra do seno e o estabelecimento de outras identidades trigonométricas; e terceiro a

15 354 construção de tábuas trigonométricas detalhadas com a ajuda de vários procedimentos de interpolação. Na introdução das funções trigonométricas, a função seno foi incorporada na trigonometria árabe vinda da Índia. Nesta época haviam dois tipos de trigonometria, uma baseada na geometria das semicordas (invenção indiana), e outra com base na geometria das cordas exemplificada no Almagesto de Ptolomeu ii. Os árabes a partir do século X, começando com Abul Wafa, usaram a função seno de um jeito mais próximo da trigonometria moderna, apesar ser definida para um arco de circulo em vez do ângulo central correspondente. As funções tangente e cotangente são de origem árabe, já a secante e a cossecante quase não aparecem nas tabelas trigonométricas existem, há poucas referências a elas nos trabalhos árabes, e uma tradição da trigonometria fundamentada no comprimento de sombras é encontrada tanto na matemática indiana como na árabe. Sobre as relações trigonométricas a obra de Abul Wafa (grande matemático e astrônomo em Bagdá) contém mais do que um estudo das seis funções em seu Almagesto, ele da à regra para o cálculo do seno da soma e da diferença de dois arcos desde que cada um dos senos seja conhecido. Hoje ela é expressa assim: sem(α±β) =senαcosβ±cosαsenβ. Os árabes tiveram uma rápida compreensão da necessidade de tábuas de senos mais detalhadas, por causa da geometria e astronomia. Construíram tabelas mais precisas. Quem construiu a primeira tabela de seno e tangente foi Al-Hasib (c.850) com intervalos da primeira até a terceira casa sexagesimal. A intenção era diminuir os intervalos e melhorar a precisão. Ulugh Beg construiu tábuas das duas funções no intervalo de 1/60 grau com cinco casas sexagesimais corretas. Já o astrônomo Al-Kashi utilizou métodos diferentes dos antecedentes, usando sistema de numeração decimal e considerando o raio igual a 1. No livro Risala al- watar wa l-jaib de Al-Kashi sobre cordas e senos, ele sugere um procedimento que envolvia solução por métodos numéricos, de equação de terceiro grau. Al-Kashi encontrou valor de 60. sen1 correto até nove casas sexagesimais.

16 355 No decorrer da historia da trigonometria, importantes nomes e descobertas foram surgindo, como, por exemplo, Tales de Mileto (585 a.c.), que descobriu o teorema de Tales: Um feixe de paralelas determinou sobre duas transversais segmentos proporcionais. Pitágoras de Samos nasceu por volta de 580 a.c. Foi um importante matemático grego que se importou muito com estudos de triângulos retos. Essa é uma importante definição conhecida como teorema de Pitágoras: Num triangulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados dos catetos (b e c). Bhaskara Akaria viveu no século XII, ele escreveu um livro de historia da matemática Lilavati que contém vários problemas interessantes, alguns resolvidos com o teorema de Pitágoras. Tanto na matemática indiana quanto na árabe, foram encontrados exercícios solucionados com base no teorema de Pitágoras. Arquimedes nasceu por volta de 287 a.c. em Siracusa, e criou métodos para solucionar problemas de áreas e volumes. A resolução de um problema de área foi o motivo da ligação de Arquimedes com a circunferência. Devemos a ele um método de calcular o valor aproximado de π (razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro) utilizando séries. Ele também sabia calcular a área de círculos. Arquimedes foi considerado o maior matemático da antiguidade. Erastóstenes viveu por volta de a.c., e se destacou nos cálculos para medir a circunferência da terra, mas tudo que se sabe sobre ele é através de outros autores. Ele escreveu muitos livros de astronomia, geometria e outros. Os matemáticos e astrônomos da antiguidade se dedicaram a medir a terra para que fosse possível medir o tamanho do sol e da lua, mas Erastóstenes foi quem demonstrou de maneira mais importante. Hiparco de Nicéia viveu entre 180 e 125 a.c. na Grécia. Influenciado pela matemática da Babilônia, usufruía a base 60 para realizar suas contas. Ele foi considerado pai da trigonometria quando construiu uma tabela com os valores das cordas de uma serie de ângulos de 0 a 180, o que significou um grande avanço para astronomia, pois ele havia feito a primeira tabela trigonométrica. Hiparco também determinou o comprimento da circunferência da terra, porém quem

17 356 escreveu a obra mais importante da trigonometria na antiguidade, nomeada síntese matemática foi Ptolomeu de Alexandria, como já mencionado acima. No Almagesto temos: Uma tabela mais completa que a de Hiparco, com ângulos de meio em meio grau, de 0 a 180 ; O uso da base 60, com a circunferência dividida em 360 graus e o raio em 60 partes e frações sexagesimais, não só para expressar ângulos e sim para qualquer tipo de cálculo, com exceção dos de medida de tempo. O resultado que passou a ser conhecido como Teorema de Ptolomeu: Se ABCD é um quadrilátero convexo inscrito num círculo, então a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais. A partir desse resultado, operando com as cordas dos arcos, Ptolomeu chegou a um equivalente das fórmulas de seno da soma e da diferença de dois arcos, isto é sen(a+b) e sen(a-b). Especialmente a fórmula para a corda da diferença foi usada por ele para a construção da tabela trigonométrica. O uso, também usando cordas, do seno do arco metade: sen²( 2 π )= 2 1 (1-cos π ) Os hindus também tiveram contribuições de grande importância.no século IV da nossa era, a Europa Ocidental entrou em crise com as invasões dos bárbaros germânicos e com a queda do Império Romano. O centro da cultura iniciou um deslocamento para a Índia, que revolucionou a trigonometria com um conjunto de textos denominados Siddhanta (sistemas de Astronomia). Logo após, o nome ficou Surya Siddhanta, que quer dizer Sistemas do Sol. É um texto épico, de aproximadamente 400 d.c, escrito em versos e em sânscrito. Os hindus diziam que o autor do texto foi Surya, o deus do Sol. A importância do Surya, para nós, é que ele abriu novas perspectivas para a trigonometria por não seguir o mesmo caminho de Ptolomeu, que relacionava as cordas de um círculo com os ângulos centrais correspondentes. Nas aplicações da função corda, na astronomia, era preciso dobrar o arco antes de usá-lo na tábua de cordas. Era mais conveniente ter uma tábua na qual o próprio arco fosse à variável

18 357 independente. No Surya, a relação utilizada era entre a metade da corda e a metade do ângulo central correspondente, chamada por eles de jiva. Isto possibilitou a visão de um triângulo retângulo na circunferência. O.Jiva². Hindu Os hindus introduziram os métodos de tabulação e aperfeiçoaram, particularmente os de interpolação quadrática e linear. Por volta de 500 d.c., o matemático hindu Aryabhata já calculava semi cordas e também utilizava o sistema decimal, elaborado aproximadamente em 600 d.c. Os numerais hindus continham nove símbolos e não havia símbolo para o zero. Quando os hindus introduziram os conceitos de semi corda e de seno, demonstraram algumas identidades, e encontramos em Varahamihira, no ano 505 d.c., o equivalente verbal de sen²θ + cos² θ = 1 Jogos trigonométricos Por fazer parte da vida dos jovens, os jogos são uma importante ferramenta de ensino, e aumentam a capacidade de fixação do conteúdo, também facilitam no entendimento de regras. O jogo se ministrado corretamente pode ter a capacidade de ensinar e aprender se divertindo, também são ótimos recursos para temas mais complicados como trigonometria, e já existem alguns jogos sobre esse delicado tema, como no

19 358 Caderno do Mathema. Os jogos estimulam o aluno a usar conceitos estudados em sala de aula, propriedades e se desenvolver quanto ao conteúdo mesmo sem que ele perceber. Para que esses jogos possam fazer parte das instituições de ensino é crucial a atuação do professor. Valente (1993) destaca, que um dos grandes problemas com jogos é que a competição pode desviar a atenção da criança do conceito envolvido no jogo. Caberá ao professor a responsabilidade de mostrar aos alunos que o verdadeiro objetivo do jogo trabalhado é, atingir o desenvolvimento do conteúdo, e descobrir suas dificuldades e falhas para tentar corrigi-las de uma maneira mais divertida. Lara (2004) afirma que jogos bem elaborados podem ser vistos como uma estratégia de ensino, podendo atingir diferentes objetivos que variam desde o simples treinamento, até a construção de um determinado conhecimento. Podemos observar três exemplos de jogos trigonométricos no livro Cadernos do Mathema. Os três jogos apresentados no caderno foram planejados de modo a permitir ao aluno pensar mais sobre medidas em triângulos, bem como aprofundar conceitos e (Smole..., 2008, P, 29.). procedimentos trigonométricos. Os jogos são denominados: Batalha naval circular: explora a localização de alvos em um circulo orientado, utilizando como coordenados raios e ângulos. Batalha trigonométrica: Este jogo, proposto durante e após o estudo da trigonometria da primeira volta, pode auxiliar os alunos a localizarem adequadamente pontos no circulo trigonométrico, compreendendo a relação do seno, do cosseno e da tangente de ângulos no circulo e favorecendo a memorização de alguns valores dessas funções trigonométricas. Trigonometrilha: Este é um jogo de percurso cujo objetivo é possibilitar aos alunos a utilização de relação simples das funções trigonométricas em arcos fundamentais, o cálculo aproximado de raízes quadradas, o cálculo de valores aproximados e a realização de estimativas envolvendo relações trigonométricas. São opções metodológicas que buscam mudar o panorama das aulas de trigonometria.

20 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 359 BRITO, A. de J.; MOREY, B. B. Geometria e trigonometria: dificuldades dos contextos do mundo experimental e do computador. 250f. Dissertação (Mestrado) COSTA, N. M. L., Funções seno e cosseno: uma seqüência de ensino a partir dos didáticos de Matemática no século XX. In.: Anais do V Seminário Nacional de em ensino da matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São EVES, Howard. Introdução à História da Matemática Editora da UniCamp 3ª Edição, Figuras ufg(universidade federal de Goiás). FIORENTINI, D. Alguns modos de ver e conceber o ensino da matemática no Brasil. História da Matemática; Editores Sérgio Nobre e Marcos V. Teixeira. Rio Claro: Hogben, Lancelot - Maravilhas da Matemática Editora Globo 2ª Edição, Capítulo VI. MENDES, I. A. Ensino da Matemática por atividades: uma aliança entre o construtivismo e a história da matemática p. Tese (Doutorado em Educação) - Centro de Ciências Sociais Aplicadas, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Morey, Bernadete - Geometria e Trigonometria na Índia e nos países árabes - abril/2003 NACARATO, Adair Mendes. A definição de seno apresentada nos livros Paulo, Presenças Matemáticas. Natal: Edufrn, p professores de matemática do ensino fundamental. In: John A. Fossa (org).

21 Revista Zetetiké, Cidade, v. 3, n.4, p. 1 37, SBHMat, (p ) 360 SMOLE, Kátia Stocco et al. Cadernos da Mathema. 3. Ed. Porto Alegre: Artmed, p i seno indiano é o comprimento da meia-corda do ângulo central. ii (Klaudius Ptolemaios, autor da mais importante obra da trigonometria da Antiguidade, surgida no século dois de nossa era, em Alexandria, a.syntaxis Mathemática, composta de treze volumes. Ela ficou conhecida como Almagesto, que significa em árabe A maior, pois os tradutores árabes a consideravam a maior obra existente na época, em Astronomia).