Filipe Rodrigues de S. Moreira Graduando em Engenharia Mecânica Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) (Fevereiro 2005)

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1 Capítulo I. Um pco de História Filipe Rodrigues de. Moreira Graduando em Engenharia Mecânica Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) (Fevereiro 00) Trigonometria A palavra trigonometria tem origem na Grécia da palavra trigonos (triângulo) metrûm (medida). Etimologicamente, trigonometria significa medida de triângulos. Por vezes pensa-se que a origem da Trigonometria está eclusivamente ligada à resolução de situações de medição de terrenos determinação de medidas sobre a superfície da terra. No entanto, enquanto ramo do conhecimento científico, é impossível separar a Trigonometria da Astronomia. Daí que o seu desenvolvimento como ciência eata viesse a eigir medições e cálculos de grande precisão. É neste conteto que o astrônomo grego Hiparco de Niceia (80- a.c.) é considerado o fundador da Trigonometria. Foi ele que introduziu as medidas seagesimais em Astronomia e elabor a primeira tabela trigonométrica. Hiparco utiliz a trigonometria para fazer medições, prever eclipses, fazer calendários e na navegação. A Hiparco seguiram-se tros no estudo e desenvolvimento da trigonometria, como, por eemplo, Ptolomeu. No séc.iii, os indianos e os árabes deram nova dimensão à trigonometria ao introduzirem a trigonometria esférica. A Trigonometria tem como objetivo principal o estudo das relações entre lados e ângulos de um triângulo e constitui instrumento indispensável na resposta a necessidades da Astronomia e ainda da navegação, cartografia e da topografia. O estabelecimento de certas relações que hoje chamamos fórmulas fundamentais da Trigonometria deve-se aos matemáticos hindus, do séc. V ao séc. XII. De entre eles destacase Aryabhata (séc.vi), um astrônomo indiano, tendo já nesta altura associado o seno de um ângulo ao centro à medida da corda correspondente e elaborado também uma tábua de valores do seno. Matemáticos árabes, depois de traduzirem as obras deiadas pelos hindus, desenvolveram o estudo das razões trigonométricas em triângulos retângulos e estabeleceram, para qualquer triângulo, o chamado teorema lei dos senos. A trigonometria começa a afirmar-se como ciência autônoma a partir do séc.xi quando Al-Biurine reúne todas as demonstrações, quer de origem grega, quer de origem indiana, até então conhecidas e usadas em Trigonometria. Deve-se ainda aos árabes a introdução desta ciência na Europa Ocidental. Na Europa, a instituição da Trigonometria como ciência autônoma em relação à Astronomia, é iniciada através da tradução e publicação dos manuscritos clássicos, bem como da elaboração de uma introdução completa à Trigonometria, e fic a dever-se a Johaness Müller, um astrônomo prussiano, mais conhecido por Regiomontano(-7).A obra de Regiomontano continha, por eemplo, a "Lei dos senos" aplicada a triângulos esféricos. No séc.xvi, François Viète (0-0) estabeleceu várias relações trigonométricas tendo-as associado às soluções de equações do ºgrau - é a ligação da trigonometria à Álgebra. Viète introduziu novos teoremas que permitiram relacionar lados e ângulos de triângulos não retângulos. Neper e Briggs usaram o cálculo logarítmico para estabelecerem novas fórmulas trigonométricas (séc.xvii). No séc.xix, a trigonometria atinge o seu ponto máimo, ficando ligada à análise através das séries. Hoje, a trigonometria usa-se em muitas situações, nomeadamente na física.

2 Capítulo II. O Triângulo Retângulo O triângulo retângulo é construído utilizando-se dois lados perpendiculares entre si chamados catetos e um tro lado chamado hipotenusa. A partir dessa construção muitos teoremas importantíssimos foram construídos e um dos mais importantes é o chamado Teorema de Pitágoras. α β 90º II. O Teorema de Pitágoras Esse talvez seja o principal teorema que epressa uma relação métrica para os lados de um triângulo retângulo. O quadrado da medida da hipotenusa de um triangulo retângulo é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. a b c Veja que na figura ao lado, há uma série de semelhanças de triângulos. BEA CAE ABC. Com isso conseguimos algumas relações entre elas: h b bc a h. Também temos que: m b b a am (I) c a a b a Uma terceira relação é dada por m h ch m. Como c b b bc h, temos que: a c bc c m.. ubstituindo o valor de m na equação (I) vem: b a a a b c Teorema de Pitágoras

3 II-) Relações trigonométricas no triângulo retângulo Tendo como base o triângulo retângulo da fig., podemos definir algumas relações que envolvem os ângulos do triângulo retângulo. ão elas o seno, o cosseno e a tangente. Definimos essas linhas trigonométricas da seguinte forma: Da figura: cat. oposto à α sen α hipotenusa cat. ajacente à α cos α hipotenusa cat. oposto à α tan α cat. ajacente à α ângulos sen cos tan α β c sen α a b sen β a b cos α a c cos β a c tan α b b tan β c Repare que para quaisquer α e β importantes da Trigonometria: sen α cos β e sen β cosα assim, tiramos uma das relações mais senα cos(90 α) O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar Eistem alguns ângulos notáveis e é necessário que todo pré-vestibulando conheça o seno o cosseno e a tangente desses arcos. Veja a tabela abaio: Ângulos 0º seno 0 cosseno tangente 0 0

4 Nível I P-) Dados as figuras abaio, determine o que se pede: P-) (FUVET) Na figura a seguir o ângulo do vértice B é reto, quanto vale? C A 0 0 cm D 0 B a) o valor de AE; b) o valor de CE; c) o valor de DE; d) o valor de sen α, cosα, tgα ; e) o valor de sen β, cos β, tgβ ; P7-) Calcule o valor da epressão abaio: ( sen ).( sen ).( sen )...( sen 89).( sen 90) I (cos 0).(cos ).(cos )...(cos 88).(cos 89) P8-) Dado o triângulo retângulo ABC. O valor de y é: P-) Dados os grupos de três números abaio, diga quais desses não podem representar lados de triângulos retângulos. a-), e b-), e c-), 7 e 8 d-), e e-), 0, 8 f-), 8, 0 P-) Uma mulher sobe numa mesa quando vê um rato no chão. A altura da mesa é de 0 cm e a altura da mulher é de,0 m. O rato se encontra parado, rindo da cara dela, à metros da mesa. Calcule a distância dos olhos da mulher ao rato. P-) Um poste de luz de metros de altura produz uma sombra no chão de 8 metros. Qual a distância da ponta do poste à ponta da sombra deste no chão? P-) A figura mostra a posição de um avião observado a partir de dois pontos, A e B, localizados no solo e distantes Km um do tro. abe-se que, nesse instante, o avião dista, respectivamente, 88 m e 9m, dos pontos A e B. Nessas condições, determine a altura do avião, em relação ao solo, no instante considerado. a) b) c) ( ) d) ( ) e) P9-) Uma roda de bicicleta tem 0cm de diâmtero. Quantas voltas completas ela dá em m? Gabarito P)(a)0 09 cos (b) 09 (c) 0 (d) 0 09 senα 09 0 α tgα (e) senβ cos β tgβ 0 P) a, c P) d 9 P) d 89 P) H P) P7) P8) d P9) 79

5 Capítulo III. Círculo Trigonométrico A circunferência trigonométrica é de etrema importância para o nosso estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas serão deduzidos. Trata-se de uma circunferência com centro na origem do sistema de eios coordenados e de raio, como é mostrado na figura abaio: Os eios dividem a circunferência em partes iguais denominados quadrantes. Convenciona-se que o sentido anti-horário é o sentido positivo na circunferência trigonométrica. III. Ângulo central Qualquer ângulo cujo vértice é o centro da circunferência chamamos de ângulo central. Como eemplo temos o ângulo (AÔB). III. Unidades de medidas de ângulos; Eistem algumas unidades conhecidas com as quais podemos medir um ângulo. A mais conhecida é o grau, mas há algumas tras que podem aparecer no nosso vestibular!!!! Vamos entender como cada uma dessas unidades foram definidas. Grau: Dividindo uma circunferência em 0 partes iguais, ligamos o centro a cada um desses pontos marcados nessa circunferência. Com essa operação conseguimos determinar 0 ângulos centrais. Cada um desses ângulos é chamado de grau. Grado: Da mesma forma que foi feita a definição de um grau, faremos para definir um grado. A única diferença entre essas medidas é que para o grau dividimos a circunferência em 0 arcos iguais e para o grado dividiremos essa mesma circunferência em 00 partes iguais. Radiano: Outra unidade é chamada de radiano. Essa é uma das mais importantes e é a que mais faremos uso no nosso curso de trigonometria. ejamos práticos: Desenhamos no chão uma circunferência de raio r. Agora fazemos uma formiga andar sobre essa circunferência (sobre a curva) o equivalente à r. Marcamos o lugar que ela pára. Agora marcamos o ângulo central que corresponde à esse arco que a formiga and. Esse ângulo central formado mede radiano ( rd). Faça a seguinte eperiência!!!!. Com o auílio de um compasso, desenhe uma circunferência de raio R 0cm.. Pegue um pedaço de barbante e cubra essa circunferência por inteiro.. Estique esse barbante e meça o seu tamanho (L) com uma régua.

6 L. Calcule o valor da razão epressa por. R. Anote o resultado em uma tabela.. Repita esse procedimento para circunferências de raios cm e 8cm. 7. Compare a sua tabela com a tabela abaio. R 0cm L R 8cm L R cm L R R R L,8cm,8 L 0, cm,8 L,cm,8 L Repare que não importa o valor de R que você use, quando você calcular o valor de o resultado R surpreendentemente, é sempre o mesmo e aproimadamente igual à,8. Essa constante pode ser calculada com eatidão, mas para isso é necessário o uso de uma matemática mais pesada, essa constante chamamos de. Assim, o comprimento de qualquer circunferência é dado por L R. No caso do nosso estudo, o raio vale por definição. Assim, a nossa circunferência mede. Como foi dito acima, (um) radiano é o valor de um ângulo que equivale à um arco que mede r (no nosso caso r ). Como nossa circunferência mede, cabem nela radianos. Assim, dizemos que na circunferência inteira temos: 0 º...equivale à... radianos... que equivale à...00 grados Para efeito de conversões, temos a seguinte relação: 80º rad 00gd III. Arcos Quando marcamos dois pontos A, B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes. Podemos ainda definir arco como sendo a porção da circunferência delimitada por um ângulo central qualquer. Veja!!!! Tanto a parte I como a parte II são chamadas de arcos de circunferência. e A coincide com B, diz-se que temos o arco nulo (I) e o arco de volta inteira (II). Muito importante: se não for mencionado qual dos arcos se está falando, assume-se que trata-se do menor arco. III. Unidades de medidas de arcos Vamos medir um arco:

7 Acabamos de ver que para qualquer circunferência, o seu comprimento é dado pela epressão: C R. Vamos achar uma epressão que dá o comprimento de um arco sobre uma circunferência de raio R. Vamos usar uma regra de três: R c θ c Rθ, em que c é o comprimento do arco. OB.: No caso da circunferência trigonométrica, por definição, ela tem raio, logo a epressão acima fica reduzida à: c θ III. Epressão geral dos arcos Imagine a seguinte situação: estamos caminhando sobre uma pista circular, logo, sairemos de um marco zero e vamos prosseguindo de tal forma que num determinado momento chegamos o mesmo ponto de partida. A posição (sobre a pista circular) é a mesma daquela que começamos a caminhada, porém os arcos são diferentes, pois no início não tínhamos andado nada e agora temos um segundo arco que vale. Veja a figura: Quando acontecem de termos dois arcos diferentes que terminam na mesma posição da circunferência, dizemos que esses arcos são arcos côngruos. 9 E.: e são côngruos. 7 e são côngruos. Assim, podemos ver que qualquer arco β é côngruo com tros infinitos arcos definidos pela soma de β com múltiplos de, seja, se estamos sobre o arco β e andamos mais sobre a circunferência voltamos para a mesma posição e se andarmos mais voltamos novamente para a mesma posição original e se formos andando mais múltiplos de estaremos sempre voltando para a mesma posição assim, podemos escrever que qualquer arco côngruo de β é da forma: AB β ( ), Z. é o número de voltas e o sinal de indica o sentido (horário-negativo anti-horário-positivo) do giro. Apresentamos abaio a figura da circunferência trigonométrica em que são evidenciados os ângulos mais notáveis epressos em radianos e em graus. 7

8 Nível I P-) Determine os menores arcos côngruos dos arcos mostrados abaio bem como quantas voltas na circunferência foram dadas para que cada um desses arcos fossem gerados. a-) 000º b-) 00º c-) 70 P-) Um engenheiro civil precisa fazer uma planilha de custos para uma obra e um dos itens a ser resolvido é quantos metros de cerca de arame farpado devem ser comprados para cercar o terreno. abe-se que o terreno tem a geometria da figura abaio. O preço por metro de cerca é de R$,00. Quanto será gasto nessa cerca? Dados:,,, 7,, e. d-) 9 e-) 0000º f-) g-) 70º 9 P-) Para cada caso abaio faça a conversão do sistema dado para o indicado. a-)000gd ( ) º b-) 00º ( ) rd c-)0º ( ) rd d-)0 rd ( ) gd e-)00 rd ( ) gd f-)0º ( ) rd g-)000º ( ) gd P-) Invente um sistema de medidas, em que você vai dividir a circunferência em 70 partes iguais. Deduza uma fórmula para produzir a conversão de graus para o seu sistema de unidades e tra para converter de radianos em seu sistema de unidades. P-) Desenvolva um sistema de medida de ângulos em que uma circunferência é dividida em 0 partes iguais. Deduza uma fórmula para a conversão desse novo sistema para o sistema grau e para os sistema radiano. P-) Determine: a-) sen (000) b-) cos c-) tg e-) cos g-) sen 7 d-) sen 7 f-) tg P7-) Dada uma circunferência de raio R, dê o valor do comprimento do arco compreendido entre os pontos 8

9 abaio, em que θ 0 é o ângulo inicial e θ é o ângulo final. ugestão: Calcule o valor de θ θ θ. O valor do f comprimento do arco vai ser dado por: a-) R, θ 0 e θ b-) 0 c-) R, θ0 e θ d-) e-) R, θ 0 e θ f-) 0 c R θ R, θ 0 e θ R, θ 0 e θ R, θ 0 e θ P8-) Qual o ângulo (em graus) formado pelos ponteiros do relógio quando ele marca os seguintes horários: a-) 0:00 h. b-) 0:0 h. c-) : 0 h d-) : h e-) : 7 h f-) : 0 h g-) 7: h P9-) Os arcos cujas medidas algébricas, em radianos, são os números da forma,, delimitam na circunferência trigonométrica pontos que são vértices de um polígono regular de n lados. O valor de n é: a) b) c) 8 d) 9 e) 0 P0-) Represente, para cada item, em uma circunferência orientada, as etremidades dos arcos cujas epressões gerais são: a).90º º, b). ±, c). ( )., d).º, e).º 0º, f)., g). ( )., g).80º ± 0º P-) O arco de 08º, mede em radianos: a) 0, b) 0, c) 0, d) 0,7 e) 0,8 P-) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 0 minutos? a) b) c) 9 d) e) P-) Após às h, a primeira vez que os ponteiros das horas e dos minutos formarão um ângulo de º será às? a) h 0min b)h min c) h min d) h min e) h min P-) Determinar a epressão geral dos arcos a sabendo que a 0º e 0º - a são côngruos. P-) Determine todos os arcos entre 7 e côngruos com. Gabarito P)(a) 0º; voltas (b)0º; voltas (c) ; voltas (d) 9 ; voltas (e)00º; voltas (f) ;9voltas (g)0º;voltas P)(a)900º (b) 0 (c) (d)000gd (e) P) 7g M e g M P) 8m g e m g 7 70 P) R$ 0,0 P) (a)0 (b) (c) (d)0, (e) (f) (g) P7)(a) (b) (c) (d) (e) 0 (f) 7 P8) (a)0º (b)º (c)0º (d)07,º (e),º (f) 9º (g)7,º P9) c P) b P) b P) c P) a º 0º. P),, 9

10 IV. Funções Nesse capítulo vamos começar a estudar um pco sobre essas máquinas (funções) que transformam um número em tro tipo de número. Essas máquinas podem ser separadas de acordo com um grupo de características as quais veremos também nesse capítulo. IV. Funções As funções podem ser vistas como máquinas. Em geral uma máquina manufatureira recebe a matéria prima e transforma num produto manufaturado. Veja que uma máquina de moer carne transforma carne em pedaços grandes, em carne moída, uma máquina de fazer algodão doce transforma açúcar cristal em algodão doce. Veja que nesses eemplos a matéria prima faz parte de um tipo de conjunto e o produto manufaturado faz parte de um tro conjunto. No eemplo da máquina de moer carne a matéria prima faz parte do conjunto que contêm todos os tipos de carne em pedaço, pois qualquer tipo de carne em pedaços pode entrar nessa máquina e essa vai moê-lo com facilidade já a carne moída, que é o produto, é o que sai da máquina, essa faz parte de um tro conjunto, o conjunto de todos os tipos de carne moída. Vamos trazer esses eemplos do dia a dia para o nosso conteto. As funções numéricas são máquinas numéricas, seja, são máquinas que transforma números de um certo conjunto em números de tro conjunto. Veja que aqui nesse eemplo foi colocado na máquina um número a (um que possa entrar na máquina) e a máquina devolveu um número f(a). Essa é a principal característica de uma função, seja, um certo elemento que entra na função produz apenas um novo elemento. É importante observar que eiste um certo conjunto que contêm todos os elementos que podem entrar na máquina, esse conjunto é chamado conjunto DOMÍNIO. Há também o conjunto de todos os elementos que a máquina gera, esse é o conjunto IMAGEM. Quando nos referimos a uma certa função escrevemos assim: f:a B. Essa notação quer dizer que a função f é uma que transforma elementos do conjunto A em elementos do conjunto B. IV. Tipos de funções Eistem alguns tipos particulares de funções e vamos estudá-los a fim de utilizarmos esse conteúdo posteriormente. Função par É toda função que quando aplicamos um número a nessa função, seja, calculamos o f(a), obtemos um certo valor e quando calculamos o f(-a) obtemos o mesmo valor. Assim: f(a) f(-a) E. f ( ). Para qualquer número a : f ( a) a e f ( a) ( a) a Função ímpar É toda função que quando calculamos o f(a) obtemos um certo valor e quando calculamos o f(-a) obtemos o valor de f(a). Assim: f(-a) - f(a) E. f ( ). Para qualquer número a : f ( a) a e f ( a) ( a) a 0

11 V. Funções Trigonométricas Já vimos no capítulo anterior um breve resumo sobre a definição de função e algumas de suas características. Nesse capítulo vamos definir tros tipos de funções as quais chamaremos de funções trigonométricas. V. Função seno No segundo capítulo vimos a definição de seno, que para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, cateto oposto a razão é equivalente ao seno desse referido ângulo. Vamos nos valer dessa definição para hipotenusa definir a função seno. Veja na figura ao lado que para um dado ângulo, dentro da circunferência trigonométrica, podemos obter um triângulo retângulo de hipotenusa igual a (raio da circunferência trigonométrica) e catetos AB e OB. Vamos calcular o AB seno do ângulo. sen AB. Veja que o valor do cateto AB é o próprio seno e que quando mudamos o valor de o cateto AB, o seno, também muda. Assim podemos escrever um epressão para o cateto AB, o seno de, que dependa do ângulo. Definimos então a função: f ( ) sen( ). Vejamos algumas particularidades sobre essa função: Conforme vai aumentando AB também aumenta até que chegue a valer 90º. Nesse caso AB será igual ao raio da circunferência e então será igual a. Quando ultrapassa 90, AB volta a diminuir até que alcance o valor de 80º onde não haverá mais triângulo e então AB valerá zero. Aumentando ainda mais o valor de, o triângulo passa a pertencer ao º quadrante e AB torna-se negativo chegando ao mínimo de valer - quando alcança o ângulo de 70º. Quando ultrapassa esse ângulo de 70º, AB volta a aumentar e vai até zero quando alcança um ângulo de volta inteira. Veja que quando ultrapassar esse ângulo de volta inteira (0º) todo o processo passa a se repetir. Com isso, podemos dizer que o seno é uma função limitada, pois ele varia de - até. Podemos também dizer que a função seno é periódica pois quando varia de zero até 0º ela adquire uma gama de valores e quando ele ultrapassa 0º ela repete tudo que fez na primeira volta na circunferência. Vamos aqui utilizar ângulos em radianos. A figura abaio mostra um gráfico que traz o comportamento da função seno quando variamos o valor do ângulo.

12 V.. Particularidades da função seno Vimos que por mais que variemos o valor de entre os números reais, o seno de está sempre compreendido entre - e. Assim, definimos formalmente f: R [-, ] tal que f() sen. Da figura temos que, sen P P ; Calculamos o valor de sen(-) - P P ; Como OP P OP P, P P P P. Assim, sen( ) sen, para todo, logo, f() sen é uma função ímpar. Assim, podemos resumir três particularidades dessa função, uma que a função seno é periódica (de período ), tra que é função impar e a terceira é que a função seno é limitada (vale no máimo e no mínimo -). Vejamos em que casos o seno assume valor zero, -: Forma dos ângulos Valores do seno, Z sen 0 ( ), Z sen ( ), Z sen V. Função cosseno; No segundo capítulo vimos a definição de cosseno, que para um ângulo agudo de um triângulo cateto adjacente retângulo, a razão é equivalente ao seno desse referido ângulo. Vamos nos valer dessa hipotenusa definição para definir a função cosseno. Veja na figura ao lado que para um dado ângulo, dentro da circunferência trigonométrica, podemos obter um triângulo retângulo de hipotenusa igual a (raio da circunferência trigonométrica) e catetos AB e OB. Vamos calcular o OB cosseno do ângulo. cos OB. Veja que o valor do cateto OB é o próprio cosseno e que quando mudamos o valor de o cateto OB, o cosseno, também muda. Assim podemos escrever um epressão para o cateto OB, o cosseno de, que dependa do ângulo. Definimos então a função: f ( ) cos( ). Vejamos algumas particularidades sobre essa função: Quando é igual a zero veja que não eiste triângulo e OB é igual ao raio que vale (por definição). Conforme vai aumentando OB diminui até que chegue a valer 90º. Nesse caso OB será igual a zero. Quando ultrapassa 90, OB continua a diminuir até que alcance o valor de 80º onde não haverá mais triângulo e então OB valerá -. Aumentando ainda mais o valor de, o triângulo passa a pertencer ao º quadrante e OB que já era negativo vai aumentando até valer zero, quando alcança o ângulo de 70º. Quando ultrapassa esse ângulo de 70º, OB volta a aumentar e vai até quando alcança um ângulo de volta inteira. Veja que quando ultrapassar esse ângulo de volta inteira (0º) todo o processo passa a se repetir. Com isso, podemos dizer que o cosseno é uma função limitada, pois ele varia de - até. Podemos também dizer que a função cosseno é periódica pois quando varia de zero até 0º ela adquire uma gama de

13 valores e quando ele ultrapassa 0º ela repete tudo que fez na primeira volta na circunferência. Vamos aqui utilizar ângulos em radianos. A figura abaio mostra um gráfico que traz o comportamento da função cosseno quando variamos o valor do ângulo. Conforme vimos, a função cosseno atinge o seu máimo quando OB OC. Assim - cos, para todo pertencente a R. Definimos f: R [-, ] tal que f() cos. Vejamos o seu gráfico. V.. Particularidades da função cosseno Vimos que por mais que variemos o valor de entre os números reais, o cosseno de está sempre compreendido entre - e. Assim, definimos formalmente f: R [-, ] tal que f() cos. Da figura temos que, cos OP ; Calculamos o valor de cos(-) OP, pois os triângulos OPP e OPP são congruentes pelo caso ângulo, ângulo, lado em comum. Assim, cos( ) cos, para todo, logo, f() cos é uma função par. Assim, podemos resumir três particularidades dessa função, uma que a função cosseno é periódica (de período ), tra que é função par e a terceira é que a função seno é limitada (vale no máimo e no mínimo -). Na tabela abaio está sendo mostrado em que casos o cosseno assume valor zero, -: Forma dos ângulos Valores do cosseno ( ), Z cos ( ), Z cos, Z cos 0

14 Nível I 0) Determine todos os valores de m para que sen m e cos m. 0) Determinar os valores de n para que a epressão I n seja um valor de seno de um número real. 0) Determinar os valores de m para que a epressão I n seja um valor de cosseno de um número real. 0) Quantas e quais as soluções entre o intervalo [ 0, ] a equação sen 0 admite? 0)Quantas e quais as soluções entre o intervalo 0, a equação cos admite? [ ] 0)Quantas e quais as soluções entre o intervalo 0, a equação cos admite? [ ] 07)(UNITAU-9) Indique a função trigonométrica f() de domínio R; Im[-, ] e período que é representada, aproimadamente, pelo gráfico a seguir: a) y cos. b) y - sen. c) y sen (-). d) y cos (-). e) y - cos. 08)(FUVET-9) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: a) sen b) sen (/) c) sen d) sen e) sen 09) (FATEC-97) Considerando as funções trigonométricas definidas por f() sen, g() sen e h() sen, tem-se a) f() > h(), para todo IR. b) g() h(), para todo IR. c) f() e g() têm períodos iguais. d) f() e h() têm períodos diferentes. e) g() sen f(), para todo IR. Nível II 0) (FUVET) O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um relógio à hora e minutos é : a) 7 o b) 0 o c) o d) o e) 7 o 0) (PUC) endo θ um ângulo agudo, então (/ - θ) pertence a qual quadrante : a) º b) º c) º d) o e) n.d.a. 0) (PUC) Todos os valores de, de modo que a epressão senθ eista, são : a) < b) < 0 c) d) ½ e) < / 0) (CECEM) e ] ; /[ e cos -, então varia no intervalo: a)]-,0[ b) [-,0[ c) ]0, ½[ d) ]0,[ e) ] ½,[ 0) (PUC) O valor numérico da epressão : y cos sen tg sec 8 para / é: a) b) c) d) 0 e) 0) (CECEM) O menor valor que assume a epressão ( - sen), para variando de 0 o a 0 o é: a) 7 b) c) d) e) - 07) (CECEM) Os quadrantes onde estão os ângulos α, β e θ tais que : sen α < 0 e cos α < 0 cos β < 0 e tg β < 0 sen θ > 0 e cotg θ > 0 são respectivamente : a) o, o, o b) o, o, o c) o, o, o d) o, o, o e) o, o, o

15 08) (CECEA) eja A B, B { 0 } o domínio da função f, dada por: f ( ) sen sen. Então, A é igual a : a) { B / e 0 } b) { B } c) { B / } d) { B / } 09) (CECEA) As raízes da equação ( tg a) 0 são : a) tg a ± cossec a b) tg a ± cos a c) tg a ± seca d) não sei 0) (CECEM) O seno de um dos ângulos agudos de um losango é igual a ½ portanto a tangente do maior ângulo interno é : a) b) d) e) c) ) (MACK) endo sen cos, para qualquer valor real de então tg vale : a) ¾ b) / c) d) ¾ e) / ) (FUVET) O menor valor de, com real, cos é : a) / b) ¼ c) ½ d) e) ) (FUVET) Dado o ângulo α 78 o, então : a) sen α - sen 8 o ; cos α cos 8 o ; tg α - tg 8 o. b) sen α - sen 8 o ; cos α - cos 8 o ; tg α - tg 8 o. c) sen α sen 8 o ; cos α cos 8 o ; tg α tg 8 o. d) sen α sen 8 o ; cos α - cos 8 o ; tg α tg 8 o. e) sen α sen 8 o ; cos α cos 8 o ; tg α - tg 8 o. ) (GV) O menor real positivo que satisfaz a equação sen cos 0 é : a) b) 8/ c) d) / e) nda 7) (FEI) e 0 < < /, é válido afirmar-se que: a) sen (/ - ) sen b) cos ( - ) cos c) sen ( ) sen d) sen (/ - ) cos e) cos ( ) sen 8) (UNAERP) endo sen ½ ; Q, o valor da epressão (cos ). (sec ) sen é: a) zero b) c) / d) e) 9) (CEGRANRIO)O número de raízes reais da equação / cos 0 é: a) 0 b) c) d) e) maior do que GABARITO Nível I 0) m 0) 0 n 0) n n 0) soluções 0) soluções 0) soluções 07)C 08)B 09)B Nível II 0) C 0) A 0) C 0) C 0) D 0) C 07) A 08) C 09) C 0) C ) A ) B ) A ) A ) D ) E 7) D 8) D 9) A 0) D ) (MACK) Assinale a alternativa correta : a) sen > sen b) sen < sen c) sen > sen d) sen > sen 7 e) sen 7 > sen / ) (FATEC) e é um número real tal que sen sen -, então é igual a : a) / h, h Z b) / h, h Z c) / h, h Z d) / h, h Z e) / h, h Z

16 VI. Funções Complementares VI. Função Tangente; Definimos como tangente a função dada pela seguinte relação: sen tg cos Vamos analisar o seu domínio. Como temos um cosseno no denominador, temos que assegurar que esse cosseno nunca seja zero, caso contrário se teria uma operação proibida na matemática, que é a divisão por zero. Do capítulo anterior vimos que o cosseno é zero apenas nos ângulos da forma, Z. Assim, podemos dizer que a função tangente é definida em todos os reais eceto nos ângulos que zeram o cosseno. Logo, definimos formalmente: f : \, Z tal que f ( ) tg. A respeito da sua paridade, temos que a função tangente é ímpar, pois é a razão de uma função ímpar com uma função par. Como fazem parte do seu domínio ângulos da circunferência trigonométrica, a partir do ângulo 80º tudo se repete, isso caracteriza a função tangente com uma função periódica. egue a baio o gráfico da função tangente. Definimos como secante como sendo a função dada pela seguinte relação: sec cos Vamos analisar o seu domínio. Como temos um cosseno no denominador, temos que assegurar que esse cosseno nunca seja zero, caso contrário, teria uma operação proibida na matemática, que é a divisão por zero. Do capítulo anterior vimos que o cosseno é zero apenas nos ângulos da forma, Z. Assim, podemos dizer que a função secante é definida em todos os reais eceto nos ângulos que zeram o cosseno. Logo, definimos formalmente: f : \, Z com f ( ) sec. A respeito da sua paridade, temos que a função secante é par, pois é proporcional ao inverso do cosseno, apenas, que é uma função par. Como fazem parte do seu domínio ângulos da circunferência trigonométrica, a partir do ângulo 0º tudo se repete, isso caracteriza a função secante com uma função periódica. egue a baio o gráfico da função secante. VI. Função ecante; VI. Função Cossecante; Definimos cossecante como sendo a função que é dada pela relação:

17 cossec sen Vamos analisar o seu domínio. Como temos um seno no denominador, temos que assegurar que esse seno nunca seja zero, caso contrário terá uma operação proibida na matemática, que é a divisão por zero. Do capítulo anterior vimos que o seno é zero apenas nos ângulos da forma, Z. Assim, podemos dizer que a função cossecante é definida em todos os reais eceto nos ângulos que zeram o cosseno. Logo, definimos formalmente: f : \{, Z} tal que f ( ) cossec. A respeito da sua paridade, temos que a função secante é ímpar, pois só depende (de maneira inversamente proporcional) do seno, que é uma função ímpar. Como fazem parte do seu domínio ângulos da circunferência trigonométrica, a partir do ângulo 0º tudo se repete, isso caracteriza a função cossecante com uma função periódica. egue a baio o gráfico da função cossecante. dizer que a função cotangente é definida em todos os reais eceto nos ângulos que zeram o seno. Logo, definimos formalmente: f : \{, Z}, tal que, f ( ) cotg. A respeito da sua paridade, temos que a função cotangente é ímpar, pois se trata de uma razão entre funções par e ímpar. Como fazem parte do seu domínio ângulos da circunferência trigonométrica, a partir do ângulo 80º tudo se repete, isso caracteriza a função cotangente com uma função periódica. egue a baio o gráfico da função cotangente. VI. Função Cotangente; Definimos como cotangente como sendo a relação epressa por: cos cot g sen Vamos analisar o seu domínio. Como temos um seno no denominador, temos que assegurar que esse seno nunca seja zero, caso contrário teria uma operação proibida na matemática, que é a divisão por zero. Do capítulo anterior vimos que o seno é zero apenas nos ângulos da forma, Z. Assim, podemos 7 VI. Resumo dos períodos das funções complementares; A tabela abaio mostra como se comportam os períodos das funções complementares, tendo por base os seus gráficos. Admitirmos que essas funções sejam periódicas é um tanto quanto óbvio, pois como vimos elas dependem diretamente das funções seno e cosseno que apresentam períodos bem definidos. Função tangente secante cossecante cotangente Período

18 VI. Relação Fundamental da Trigonometria; Da figura acima, como o triângulo OP P é retângulo de lados sen(), cos() e, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Daí temos a seguinte relação: cos sen PB < PC < PC < PO sen < < tg< sec. cot g DP ;. cossec OP ; Esta relação é uma das mais importantes da trigonometria e é conhecida como Relação Fundamental. VI.7 Relações Decorrentes; A partir da relação fundamental da trigonometria, podemos desenvolver duas tras relações muito importantes que serão muito úteis para a resolução de eercícios de maiores graus de dificuldade: Veja!!!! abe-se que: cos sen (I), R.. eja cos 0. Dividindo (I) por cos temos: tg sec. eja sen 0. Dividindo (I) por sen temos: cot g cos sec Nível I -) implifique as epressões abaio: a-) sen sen cos sen tg sen c-) sen cos sen b-) cos cos sen cos sen cos -) (UFRJ 000) ejam O ( 0, 0 ), P (, ) e P' (, ). Girando em torno de O, no sentido trigonométrico (anti-horário), o segmento OP de um certo ângulo q, o ponto P transforma-se no ponto P. Determine cosq. -) (UFE 00). Os valores, para os quais a epressão é o seno de um ângulo, são VI.8 Localização da tangente, da secante, da cossecante e da cotangente no circulo trigonométrica; Onde estão a tangente, secante, cossecante e a cotangente no círculo trigonométrico?. tg P C ;. sec OP ; Veja graficamente, que podemos estabelecer uma desigualdade importantíssima: 8 -) (UFBA 999) As epressões tg E e E cos sen cos são equivalentes. Justifique. -) (UFCE) upondo tg a definida, calcule o valor da epressão: ( - sen a). ( tg a ) é igual a: -) Calcule o valor numérico de I tal que: cos 0º cos 0º sen 8º I cos º cos 0 sen º sen 0 cos 8 ( ) º 7-) Calcule o valor numérico de I tal que: n n ( cos 0º cos 0º sen 79º ) I cos 7º cos 0 cos º sen 0 cos 79 ( ) º

19 8-) Determine o período e calcule os valores máimos e mínimos das funções abaio: a-) c-) e-) f ( ) sen b-) f ( ) sen f ( ) sen d-) f ( ) sen f-) f ( ) sen f ( ) sen 9-) Determine os valores máimos e mínimos das funções abaio: a-) ( ) 7sen( ) f b-) f ( ) sen( log ) e e c-) f ( ) 0sen d-) f ( ) cos( ) e-) f ( ) cos( e ) n f-) f ( ) 7 sen g-) f ( ) sen( log( tg) ) 0!cos h-) f( ) cot g i-) f( ) 0sen -) f( ) 0cos( ) a) f ( ) sen b) f ( ) sen c) f ( ) sen d) f ( ) cos e) f ( ) sen f) f ( ) sen g) f ( ) cos h) f( ) cos ) (FUVET) Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T (0,) e é paralela ao eio O. A semi-reta Ot forma um ângulo α com o semi-eio O (0 < α < 90 ) e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente. A área do triângulo TAB, em função de α, é dada por: a) ( - senα)/. cosα b) ( - senα)/. senα c) ( - senα)/. tgα d) ( - senα)/. cotgα e) ( - senα)/. secα 0-) Analise as funções e diga se essas são pares, ímpares nem pares e nem ímpares: sen a-) f ( ) sen cos b-) f ( ) cos tg sen cos tg c-) f ( ) d-) f ( ) sen sen cos e-) f ( ) tgsen f) g-) cos sec f( ) sen cotg cos tg f( ) g) f( ) sen cos -) implifique as epressões epressando-as apenas em função de senos e cossenos. sen a) cos tg cot g ( )( ) sen cos b) ( sec )( tg ) d) sen c) ( cos sec )( cos ) ( cos ( cotg ) e) cos sec cos ( cos ) ( )( ) ) tg -) Esboce os gráficos das funções abaio: 9 Nível I GABARITO ) (a) sen (b) cos (c) tg 0 ) cos q ) ) 9 ) 7) 8) (a) P ; Ma ; mim - (b) P ; Ma 7; mim - (c) P ; Ma 7; mim (d) P ; Ma ; mim - (e) P ; Ma ; mim - (d) P ; Ma ; mim - 9) (a)ímpar (b)constante (c)ímpar (d)par

20 (e)par (f) ímpar (g)ímpar (h)ímpar 0) (a) Ma 7; mim -7 (b) Ma ; mim - (c) Ma 0; mim -0 (d) Ma ; mim - (e) Ma ; mim n n (f) Ma 7 ; mim 7 (g) Ma ; mim - (h) Ma 0!; mim -0! (i) Ma 0; mim -0 (j) Ma -0; mim -0 7 ) (a) sen (b) cos (c) sen cos cos (d) sen (e) sen cos ) C 0

21 VII. Operações com omas e ubtrações Para o aprofundamento do estudo de trigonometria, faz-se necessário o desenvolvimento de novas relações que envolvam seno, cosseno e tangentes de soma e subtração de ângulos. A necessidade desses desenvolvimentos se dá, principalmente, quando estudamos equações que envolvem termos trigonométricos. A partir de agora estaremos colocando uma série de demonstrações e vamos utilizar alguns conceitos de geometria analítica. Acompanhe o raciocínio abaio: Vamos achar a epressão de cada ponto do desenho acima. P(cos( β ),sen( β )) P(,0) P (cos α,sen α) P (cos( α β),sen( α β)) Como sabemos que, numa circunferência, ângulos iguais subentendem arcos iguais, temos: PP PP Assim: ( dpp ) (cosβ cos α) ( senβ sen α) senα sen β cosα cos β ( dpp ) ( cos( α β)) (0 sen( α β)) cos( α β ) d ) d ) ( P P ( P P cos( α β ) senα sen β cosα cos β assim chegamos que: cos( α β ) cosα cos β senα sen β Para calcular cos( α β ) basta substituir β por ( β ) e utilizar a paridade das funções seno e cosseno. Logo chegamos que: cos( α β ) cosα cos β senα sen β abendo que sen( α β ) cos ( α β) cos α β aplicamos a formula acima,já demonstrada. Veja que: senα 78 cos α β cos αcos β sen α sen β senα cos β senβcosα. cosβ Assim: sen( α β ) senα cos β sen β cosα Para calcular sen( α β ) basta substituir β por ( β ) e utilizar a paridade das funções seno e cosseno. Logo chegamos que: sen( α β ) senα cos β sen β cosα Vamos calcular tg ( a b) :

22 sen( α β ) tg( a b) cos( α β ) senα cos β sen β cosα. Dividindo toda a fração cosα cos β senαsen β pelo produto cosα cos β, temos: senα cos β sen βcosα cosα cos β cosαcos β tg( a b) cosα cos β senαsen β cosα cos β cosαcos β tgα tgβ. tgαtgβ Assim, tga tgb tg( a b) tgatgb Para calcular tg( α β ) basta substituir β por ( β ) e utilizar a paridade das funções seno e cosseno. Logo chegamos que: tga tgb tg( a b) tgatgb cos( ) sen Podemos ainda substituir na epressão acima a relação fundamental sen cos. Com essa substituição chegamos em uma terceira maneira de escrever o cos( ). cos( ) cos tg tg c) tg( ) tg( ) tg. tg tg tg( ) tg Desenvolvendo as epressões do cos( ), demonstradas acima, chegamos nas seguintes relações: cos() sen cos() cos Utilizando as fórmulas demostradas acima, vamos calcular alguns resultados muito importantes que nos pparão tempo em resolução de determinadas questões: a)sen( ) sen( ) sen cos sen cos sen( ) sen cos b) cos( ) cos( ) co.cos sen. sen cos( ) cos sen No capítulo que envolve a resolução de equações trigonométricas, veremos a necessidade de se ter epressões de seno, cosseno e tangente em função de uma única linha trigonométrica. Vamos então epressar sen, cos e tg em função de tg : a)sen sen cos. Vamos multiplicar e ao mesmo tempo dividir essa equação por sec. Da relação fundamental temos que: cos sen. ubstituindo na epressão acima temos uma segunda maneira de escrever o cos( ).

23 sec sen sen cos. sec sec tg sen cos.sec tg tg tg tg sen tg Utilizando o mesmo raciocínio chegamos que: tg cos tg Aplicando a fórmula da tangente de (a), temos: Nível I -) Calcule: tg tg tg a) sen 7º b) sen (,)º c) sen 0º d) sen º e) sen 0º f) cos 7º g) cos 0º h) cos(,º ) i) cos º j) tg 7º l) º tg,º tg m) ( ) -) Determine entre que valores a variável m pode variar para que as igualdades abaio façam sentido. a) sen( ) m b) sen( ) m -) Os valores de que satisfazem, ao mesmo tempo, as equações sena e cos a são: a)0 e - b)0 e c) e d) e - e)nda -)Dado que de cos é: a) 7 d) 7 sen, com 0 7 b) 8 7 e) c) 7 < <, o valor -) Verifique as identidades abaio: sen.cos. tg a) sen ( cos ) sen.cos. cotg b) sen ( sen ) sec.cos tg. sen c) ( tg ). cotg cos sen ( y).cos( ). cotg( ) d) cotg ( ) ( cos ( y)) sen( ) e) cotg a.cos a cotg a cos a f) tga( cotg a) cotga.( tg a) 0 g) tg a tg b sec a sec b tg h) cos tg sena sen a i) tga cos a cosa Nível II 0) (FEI-9) e cos 0,8 e 0< < / então o valor de sen é: a) 0, b) 0,8 c) 0,9 d) 0, e) 0,9 0) (FUVET-9) Considere um arco AB de 0 numa circunferência de raio 0cm. Considere, a

24 seguir, um arco A'B' de 0 numa circunferência de raio cm. Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco A'B', obtém-se: a) / b) c) / d) / e) 0) (MACK-9) e sen / e tg < 0, então tg vale: a) /7 b) -/7 c) -8/ d) 8/ e) -/ 0) (FEI-9) e cotg() tg(), então sen() é igual a: a) / b) / c) d) / e) n.d.a. 0) (FUVET-9) O valor de (tg 0º cotg 0º). sen 0º é: a) ½ b) c) d) / e) 0) (CEGRANRIO-9) e sen - cos /, o valor de sen. cos é igual a: a) -/ b) -/8 c) /8 d) ¾ e) / 07) (FATEC-9) e sen /, então tg cotg é igual a: a) 8 b) c) d) e) 08) (FUVET-89) A tangente do ângulo é dada em função da tangente de pela seguinte fórmula: tg tg/( - tg ). Calcule um valor aproimado da tangente do ângulo 0'. a) 0, b) 0, c) 0,0 d) 0,7 e),00 sen ( y) 0 e sen ( - y) 0 que satisfaçam 0 e 0 y. ) (FUVET-9 - Adaptada) O valor máimo de: f(, y) cos sen y é: a) e) b) c) d) ) (FATEC-9) e - y 0, então o valor de (sen seny) (cos cosy) é igual a: a) 0 b) c) d) e) ) (FGV-9) Reduza à epressão mais simples possível: a) (cos sen ) ; ) Dado que sen. cos m, calcule o valor de: y sen cos e z sen cos, em função de m. -) Calcule o valor numérico de I tal que: n n ( cos 0º cos 0º sen 79º ) I cos 7º cos 0 cos º sen 0 cos 79 ( ) º -) Elimine do sistema. tg sec m sen( ) cos( ) m a) b) sec tg n cos( ) sen( ) n sen ( ) m cos m c) d) sen cos n sen cos n 7-) Verifique as identidades abaio: a) sen sen cos b) ( cos )( tg ) ( tg )( sen ) GABARITO 09) (MACK) O valor de y o.sen( ) cos, /, Z, é : a) sec. sen b) tg c) sen cos d) sec tg e) sec 0) (UNICAMP-9) Encontre todas as soluções do sistema: Nível I )(a) (c) (g) (b) (e) (h) (c) (f) (i)

25 (j) (l) (m) )(a) m (b) 0 m ) C )D 0) C 0) C 0) A 0) D 0) C 0) C 07) C 08) B 09) A 0) { (0, 0), (0, ), (, 0), (,), (/, /) } ) E ) D ) a) /; b) ) y m ; z m ) Nível II VIII. Transformações VIII. Transformação de soma de senos em produto; Nessa seção vamos ver como fazer transformações que simplificam muitos problemas no momento em que aparece soma de senos. Muitas vezes transformar essas somas em produtos simplifica as coisas. sen a sen b? Vamos chamar a p q e b p q. Resolvendo o sistema abaio temos: a p q a b a p e q b b p q sen( p q) sen( p q) (sen p cos q sen qcos p) (sen pcos q sen qcos p) sen p cos q. Como a b a b p e q, ao substituir na epressão acima chegamos à: a b a b sen a sen b sen( )cos( ). VIII. Transformação de diferença de senos em produto; No caso da diferença de senos temos: sen( p q) sen( p q) ( sen pcos q senq cos p) (sen pcosq senq cos p) sen qcos p a b a b Como p e q, ao substituir na epressão acima chegamos à: a b a b sen a sen b sen( )cos( ) VIII. Transformação de soma de cossenos em produto; cos a cos b? Vamos chamar a p q e b p q. Resolvendo o sistema abaio temos: a p q a b a p e q b b p q cos( p q) cos( p q) (cos p cos q sen qsen p) (cos pcos q sen qsen p) cos p cosq. Como a b a b p e q, ao substituir na epressão acima chegamos à: a b a b cos a cosb cos( )cos( ) VIII. Transformação de diferença de cossenos em produto; Queremos: cos a cos b? Vamos chamar a p q e b p q. Resolvendo o sistema abaio temos: a p q a b a p e q b b p q cos( p q) cos( p q) (cospcosq sen qsen p) (cospcosq sen qsen p) senqsen p.

26 a b a b Como p e q, ao substituir na epressão acima chegamos à: a b a b cos a cosb sen( )sen( ) VIII. Fazendo o processo inverso; Muitas vezes temos que fazer o processo inverso, seja, transformar produtos de linhas trigonométricas em somas diferenças. A técnica para esse processo é semelhante à usada acima. Vamos chamar a p q e b p q. Resolvendo esse sistema, temos que: a b a b p e q. OB: p> q. Fazendo a substituição na formula da soma de senos, temos: sen p cos q sen( p q) sen( p q) ( ) Adotando o mesmo raciocínio, temos as epressões abaio: sen q cos p cos p cos q ( sen( p q) sen( p q) ) ( cos( p q) cos( p q) ) sen psen q cos( p q) cos( p q) ( ) Nível I -) Calcule sen em função de -) Calcular sen em função de sen e sen e cos. cos. -) Calcule cos em função de sen e cos. -) Calcule tg em função de tg. -) Calcule sen(a) em função de sen(a) e cos(a). -) Transforme em produto as epressões: a) sen sen b) sen sen7 c) sen sen d) sen8 sen e) cos 7 cos f) cos cos g) cos cos g ) cos 9 cos h) cos cos i) cos cos j) cos sen ) cos8 sen l) cos sen m) cos 9 sen n) sen sen 7 o) cos cos 7 p) sen sen 7 q) cos cos 7 7-) Calcule sen em função de tg. 8-) Calcule cos em função de tg. 9-) Calcule tg em função de tg. 0-) Calcule sec em função de tg. -) Calcule cot g em função de tg. -) Calcule sen em função de tg.

27 -) Calcule cos em função de tg. -) implifique as epressões abaio: cos cos cos 7 cos a) b) sen sen sen sen cos cos cos cos c) d) sen9 sen sen7 sen cos cos cos cos e) f) sen() cos sen() cos cos 9 cos 7 g) h) sen9 sen sen(). sen -) Faça o processo inverso, seja, transforme os produtos em soma diferenças. a) sen( ) cos( ) b) cos ( ) cos( ) c) sen( ) sen( ) d) sen( ) sen( ) e) sen( ) cos ( ) f) cos ( ) sen( ) g) sen sen h) sen cos i) cos cos j) sen sen -) Calcule sen em função de sen apenas. 7-) Calcule tg em função de tg apenas. 8-) Calcule tg em função de tg apenas. Nível II ) (FEI-9) Transformando a epressão: (sen a sen b)/(cos a cos b), onde eistir, temos: a) sen (a b) b) /cos(a b) c) cotg[(a b)/] d) tg[(a b)/] e) /sen(a b) ) e a b /, determinar o valor de sen a sen b y : cos a cosb a) b) c) 0 d) - e) - ) (FEI) A epressão y sen cos pode ser escrita na forma y. cos( - /). Determine o coeficiente. a) b) - c) 0 d) e) ) (FUVET-9) Os números reais sen (/), sen a, sen (/) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é: a) e) b) ) (FGV-9) Reduza à epressão mais simples possível: a) (cos sen ) o o cos 0 sen 0 ; b) o c) cos 0 ) Calcule o valor numérico das epressões: a) A sen.sen b) B 7 cos.cos 8 8 7) Prove que: sen 0 o. sen 0 o. sen 0 o. sen 70 o. GABARITO Nível I ) sen( )cos( ) ) sen cos sen tg ) cos ( ) sen ( ) ) tg ) sen( A)cos( A ) )(a) sen( )cos( ) (b) sen( )cos( ) (c) sen( )cos( ) (d) sen( )cos( ) (e) cos( )cos(9 ) (f) cos( )cos( ) (g) sen( ) sen( ) (g ) sen(7 ) sen( ) 8 8 (h) sen sen 8 8 d) 7

28 (i) sen sen 8 8 (j) cos( )cos( ) (l) sen( ) sen( ) m) sen 7 sen n) sen( 9) cos o) cos( ) cos p) cos( ) sen ) tg ( tg ) ) tg tg tg ( tg ) ( ) sen sen q) ( ) 7) 9) tg tg tg tg tg tg tg tg tg 8) tg tg 0) tg tg Nível II ) D ) B ) E ) D ) a) /; b) ) a) ; b) ; IX. Equações Trigonométricas Finalmente chegamos ao assunto principal desse ano. Repare que você aprendeu muitos tópicos de Trigonometria, na verdade, você adquiriu muitas ferramentas, que até agora só puderam serem usadas em tópicos específicos para tais assuntos. Essa parte da Trigonometria é de suma importância, pois muitos fenômenos da natureza, situações do dia a dia, se comportam de maneira cíclica, periódica e podem ser definidas eternadas sob funções trigonométricas. Para isso é necessário que saibamos resolver alguns tipos de equações que envolvem linhas trigonométricas, seno, cosseno e tangente. O fato é que qualquer equação trigonométrica que possa ser resolvida, no final, se resumirá a uma equação do seguinte tipo:. senα senβ. cosα cos β. tgα tgβ 8 Vejamos com detalhes como resolver essas equações. IX. Equação do tipo senα senβ; Nosso objetivo aqui é descobrir que relações devem eistir entre α e β, para que os seus senos sejam iguais. Para isso ser possível, temos que conhecer β e tentar epressar α como função de β. Chamamos de β o ângulo AÔB e de α o ângulo BÔD. Veja que α e β têm o mesmo seno e o ângulo DÔK também vale β. Como o ângulo CÔK é um ângulo raso, mede 80, então temos que

29 CÔD DÔK CÔK 80º, seja, α β. Assim, vemos que todo par de ângulos, cuja soma é, têm senos iguais. Logo, chegamos às seguintes soluções: α β sen α senβ α β Claro que essas são soluções da minha equação, mas... e o ângulo β. erá que esse também é solução? Ele também é solução, pois é côngruo com o ângulo β. Na verdade todo ângulo que é côngruo com β também é solução, pois as funções trigonométricas não estão preocupadas com ângulos e sim com as posições desses ângulos na circunferência trigonométrica. Assim, são soluções da equação, os ângulos β (múltiplos de ), seja, os ângulos da forma β. Resumindo, temos: sen α senβ α β α β Veja o eemplo: Resolver a equação sen. Não sabemos comparar senos com números, mas sabemos comparer senos com tros senos, assim podemos reescrever a equação como sendo: sen sen, logo: -) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo senα senβ: Resumo: α β sen α senβ a) sen b) α β sen c) sen n) sen sen d) sen sen 0 j) sen e) sen sen 0 f) cos sen g) sen sen 0 h) sen cos sec i) tg cos ) sen l) sen sen m) sen o) sen sen sen sen( y) 0 p) y IX. Equação do tipo cosα cosβ; Nosso objetivo aqui é descobrir que relações devem eistir entre α e β, para que os seus cossenos sejam iguais. Para isso ser possível, temos que conhecer β e tentar epressar α como função de β. Chamamos de β o ângulo AÔB e de α o ângulo BÔD. Veja que α e β têm o mesmo cosseno. Veja que os triângulos AOB e o BOD são congruentes, pois AO é igual a OD que é igual a, OB é comum para ambos e ambos são triângulos retângulos (caso LLA), assim possuem ambos a mesma abertura AÔB e BÔD que é igual a β. Como α está no sentido negativo, dizemos que α β. Como vimos no caso dos senos, na verdade eistem infinitas soluções para essa equação, pois qualquer ângulo côngruo com β com β, satisfaz essa equação. Logo temos as seguintes soluções para essa equação: cos α cos β α β, com α β Veja o eemplo: Resolver a equação cos. Não sabemos comparar cossenos com números, mas sabemos comparar cossenos com tros cossenos, assim podemos reescrever a equação como sendo: cos cos, logo: 9

30 -) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo cosα cosβ: α β Resumo: cos α cos β a) cos b) α β cos cos cos cos e) sen cos cos cos cos sec c) d) 0 f) 0 g) 8 h) sen cos cos i) cos cos j) cos cos 0 ) 0 sen cos l) cos cos m) sen sen sen n) sen sen y o) ache os valores de t para que o sen seny log t sistema tenha solução. IX. Equação do tipo tgα tgβ; Nosso objetivo aqui é descobrir que relações devem eistir entre α e β, para que os suas tangentes sejam iguais. Para isso ser possível, temos que conhecer β (é dado) e tentar epressar α como função de β. Chamamos de β o ângulo AÔB e de α o ângulo BÔD. Veja que α e β são os únicos ângulos, dentro de uma volta na circunferência, que possuem esse valor (EC) de tangente. Da figura, temos que os ângulos AÔB e FÔD são opostos pelo vértice, logo são iguais. Assim, dizemos que α β 80º satisfaz essa equação. Logo vemos que uma solução para a equação é α β é tra solução é α β 80º. Certamente que eistem infinitas soluções, que serão todos os ângulos côngruos de β e β 80º. Veja: e o ângulo está na posição do ponto A ele é solução. e está na posição do ponto D esse também é solução. Caso o ângulo esteja no ponto A, se a ele for somado, chega-se no ponto D, se for somado mais, volta-se para o ponto A. Isso resulta em um ciclo e para chegar a qualquer solução, basta acrescentar qualquer múltiplo de ao ângulo β. Logo qualquer solução dessa equação pode ser escrita como: α β, com -) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo tgα tgβ: α β Resumo: tg α tgβ α β a) tg b) tg 0 c) tg d) tg tg e) sec tg f) tg cot g g) sen cos h) sen cos 0 i) cos sec cot g j) sen.cos cos. sen Resumo teórico sen ( a ± b) sena cos b ± senb cos a (I) ( a ± b) a cos b m senbsena (II) cos cos ± y sen ± seny sen cos cos m (III) y y y cos y cos cos (IV) y y cos cos y sen sen tg (VI) sen tg (V) 0

31 tg cos tg cos sen cos cos sen sen cos sen sen cos (VII) (VIII) (IX) (X) (XI) -) Resolver as equações trigonométricas. Aqui você vai ter que desenvolver a sua própria técnica, até cair em uma daquelas do tipo que vimos. i) Algumas equações clássicas: a. sen b. cos c a, b, c ε R. a. sen b.cos c Resolvo o sistema:, acho o valor sen cos do sen e do cos. Pronto agora tenho duas equações que sei resolver: sen m e cos n. ii) Outra técnica importante é: substituir sen por (VI) e cos por (VII) e teremos uma equação do ª grau em tg. a) sen cos b). sen cos c) sen cos d) sen cos iii) equações do tipo senf i () 0 cos ( ) 0 passamos a soma para produto e analisamos o anulamento de cada fator do produto. a) sen 7 sen 0 b) sena senb 0 a, b ε R\{0} c) cos cos 0 d) cos a cos b 0 a, b ε R\{0} e) se cos f) sen sen sen g) cos cos( a) cos( a) 0 h) sen sen sen sen 0 i) cos ( a) cos ( a) j) sen cos sen ) sen cos sen cos 0 sen( y) sen( y) l) sen cos y iv) Equações do tipo sen cos a, aplicamos a relação (X) e antes de resolver verificamos se a obedece a relação: a. f i, v) Equações do tipo sen cos a, aplicamos a relação (XI) e antes de resolver verificamos se a obedece a relação: a. a) c) sen cos b) 7 sen cos 8 sen cos d) sen cos 8 e) sen cos Quaisquer Equações: sen sen cos a) 0, 0 0 sen b)discuta, segundo m, as equações: b.) m cos ( m ). sen m b.) sen cos m c) tga tg( a) tg(a), a ε [0,/). GABARITO -) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo: senα senβ: a) b) c) n) 8 d) j) e) f) 7 ± g) h) 7 i)