VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA. análise II. Conteudista Débora Cristina Alves Rego

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1 VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA análise II Conteudista Débora Cristina Alves Rego Rio de Janeiro / 2008 Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco

2 UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo Branco - UCB. Un3a Universidade Castelo Branco Análise II / Universidade Castelo Branco. Rio de Janeiro: UCB, p.: il. ISBN Ensino a Distância. 2. Título. CDD Universidade Castelo Branco - UCB Avenida Santa Cruz, Rio de Janeiro - RJ Tel. (21) Fax (21)

3 Apresentação Prezado(a) Aluno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, consequentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua. Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica. Seja bem-vindo(a)! Paulo Alcantara Gomes Reitor

4 Orientações para o Autoestudo O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito. Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades complementares. As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1. Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades. Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o conteúdo de todas as Unidades Programáticas. A carga horária do material instrucional para o autoestudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso. Bons Estudos!

5 Dicas para o Autoestudo 1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo. 2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções. 3 - Não deixe para estudar na última hora. 4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor. 5 - Não pule etapas. 6 - Faça todas as tarefas propostas. 7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina. 8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a autoavaliação. 9 - Não hesite em começar de novo.

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7 SUMÁRIO Quadro-síntese do conteúdo programático Contextualização da disciplina UNIDADE I Limites O limite de uma função Operações com limites Continuidade de uma função Propriedade das funções contínuas Limites no infinito Limites infinitos UNIDADE II Derivadas Derivadas laterais Derivada da função constante Derivada da função potência Derivada e continuidade Derivada da soma Derivada do produto Análise do comportamento das funções Interpretação geométrica Aplicação de derivadas Concavidade e ponto de inflexão Estudo completo de uma função UNIDADE III Integrais Teorema fundamental do cálculo Glossário...40 Gabarito Referências bibliográficas... 46

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9 Quadro-síntese do conteúdo programático UNIDADES DO PROGRAMA I. Limites O limite de uma função Operações com limites Continuidade de uma função Propriedade das funções contínuas Limites no infinito Limites infinitos II. Derivadas Derivadas laterais Derivada da função constante Derivada da função potência Derivada e continuidade Derivada da soma Derivada do produto Análise do comportamento das funções Interpretação geométrica Aplicação de derivadas Concavidade e ponto de inflexão Estudo completo de uma função OBJETIVOS Demonstrar os principais teoremas das operações, propriedades, envolvendo limites e funções contínuas, a partir das definições de limite e continuidade. Demonstrar os principais teoremas das operações, propriedades, envolvendo derivadas, a partir da definição de derivada; Esboçar o gráfico de uma função, a partir do seu estudo completo. III. Integrais 3.1- Teorema fundamental do cálculo Demonstrar o Teorema Fundamental do Cálculo.

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11 Contextualização da Disciplina 11 Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo. Os assuntos são apresentados de tal forma que podem ser estudados também por aqueles que desejam rever ou reciclar seus conhecimentos da disciplina. O objetivo é fazer com que você compreenda as ideias básicas da disciplina de Análise II e, quando necessário, saiba transferir as estruturas adquiridas às outras áreas de conhecimento. Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado.

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13 UNIDADE I 13 LIMITES 1.1 O Limite de uma Função Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo A, exceto possivelmente no próprio A. O limite de f(x), quando x tende a A, será L, escrito como: Se a seguinte afirmativa for verdadeira. Dado ε > 0 qualquer, existe um d > 0 tal que se 0 < x a < d, então f(x) L < ε. É importante perceber que na definição nada é mencionado sobre o valor da função x = a. Não é necessário que a função esteja definida em x = a para que exista. Exemplo 1 : Seja f a função definida por f(x) = 4x 7 e suponha que. a) Para, determine um d > 0 tal que se, então. Como f(x) = 4x 7 Queremos determinar tal que se, então, então b) Provar que

14 14 Teorema da Unicidade do Limite : Se 1 Vamos supor que L1 L2 Como 1 lim f ( x) L Também, como 2 x a lim f ( x) L x a, existe um 2 0 lim f ( x) L e 2 x a e mostrar que essa hipótese leva a uma contradição. lim f ( x) L, definimos que para todo 0 existe um 0 x a ( x) L 1 1 f., então L1 L2. tal que 0 x a 1, então tal que se 0 x a 2, então De 1, 2 e 3: Para todo 0. existe um 0 e 2 0 tais que se 0 x a e x a 2, 1 Se for o menor dentre 1 e 2, temos que: Se 0 x a então L 1 L L1 L, então existe um 0 tal que x a, 2 L. Se 2 Assim 2 1 L 1 0 então L 1 L 2 0 então L1 L2 L1 L (absurdo). 2 Exercícios Propostos Aplicando a definição. Prove que o limite é o número indicado Operações com Limites,

15 Exemplo 1 : Continuidade de uma Função Dizemos que a função f é contínua no número a se, e somente se, as seguintes condições forem aceitas: Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em a, a função f será descontínua em a. Ou em outras palavras: Uma função, definida no conjunto, diz-se contínua no ponto quando, para todo dado arbitrariamente, pode-se obter tal que e impliquem. Diz-se que é uma função contínua quando f é contínua em todos os pontos Propriedade das Funções Contínuas Proposição: Se as funções f e g são contínuas em um ponto a, então:

16 16 Teorema do Valor Intermediário: Seja contínua. Se, então existe tal que. Exercícios Propostos 2: existem, então

17 1.5 - Limites no Infinito Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto, quando o número L satisfaz à seguinte condição:. Escrevemos: 17 Para qualquer existe tal que sempre que. Analogamente, Seja f uma função definida em um intervalo aberto. Escrevemos:, quando o número L satisfaz à seguinte condição: Limites Infinitos Definição: Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a. Dizemos que: Se para qualquer A > 0 existe um tal que sempre que. Analogamente, Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a. Dizemos que: Se para qualquer B < 0 existe um tal que f(x) > B sempre que. Teorema: Se n é um número inteiro positivo qualquer, então:

18 18 Vamos provar. Devemos mostrar que para qualquer A > 0 existe tal que sempre que. Trabalhando com a desigualdade. Assim, escolhendo-se, temos sempre que.

19 UNIDADE II 19 DERIVADAS Derivadas Laterais Definição: Se a função y = f(x) está definida em x 1, então: A derivada lateral direita de f em x 1 é denotada por, definida por: Caso esse limite exista. Definição: Se a função y = f(x) está definida em x 1, então: A derivada lateral esquerda de f em x 1 é denotada por, definida por: Caso esse limite exista. Uma função é derivável em um ponto quando as derivadas à esquerda e à direita neste ponto existem e são iguais. Diremos que o ponto tal que (ou não existe) é chamado ponto crítico de f. Exemplo 1 : Seja f a função definida por: a) Mostre que f é contínua em 2. b) Encontre.

20 20 Como, concluímos que não existe. A função não é derivável em. Exercícios Propostos 1: Exercício 1 : Determine os pontos críticos das seguintes funções, se existirem. Exercício 2 : Mostre que a função não é derivável em x = Derivada da Função Constante Dada a função,, temos: Derivada da Função Potência Dada a função, temos:

21 2.4 - Derivada e Continuidade Teorema: Seja a função f:. Se f é derivável em x 0, então f é contínua em x Demonstração: Notemos que: e, por definição, f é contínua no ponto x 0. A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem funções contínuas em x 0 e não deriváveis em x 0. Exemplo 1 : é contínua em pois. Porém esta função não é derivável no ponto, pois Então não existe Derivada da Soma Sejam e duas funções deriváveis em. Provemos que a função também é derivável em I e sua derivada é: Derivada do Produto Sejam e duas funções deriváveis em. Provemos que a função também é derivável em I e sua derivada é:

22 22 Prezado aluno, pesquise nas bibliografias indicadas no final do instrucional a derivada do quociente: Sejam e duas funções deriváveis em I e em I. Provemos que a função também é derivável em I e sua derivada é Análise do Comportamento das Funções Dada uma curva, usaremos a derivada para obter alguns dados acerca da curva. Por exemplo, discutiremos os pontos de máximo e mínimo, os intervalos onde a curva é crescente ou decrescente. Máximos e Mínimos

23 Definição: Uma função f tem um mínimo relativo em c se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que para todo. 23 Definição: Uma função f tem um máximo absoluto em c se para todo. Definição: Uma função f tem um mínimo absoluto em c se para todo. Exemplo 1 : A função que para todo ( 22). tem um máximo relativo em x 1 = 0, pois existe o intervalo ( 22) tal Em a função tem mínimos relativos. A proposição seguinte permite encontrar os possíveis pontos extremos de uma função. Proposição: Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de em c, em que a < c < b. Se f (c) existe, então f = 0. e que f tem um extremo relativo Prova: Suponhamos que f tem um ponto de máximo relativo em c e que f (c) existe. Então:,

24 Interpretação Geométrica,., f (0) = 0, mas x = 0 não é máximo nem mínimo.

25 2.9 - Aplicação de Derivadas Teorema do Valor Médio: Suponha que f(x) seja uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo ]a,b[. Então existe um ponto c pertencente ao intervalo ]a,b[ tal que. 25 Consideremos a função. definida no intervalo [1,3]. Determinemos o ponto c tal que Temos: Teorema A: Se para todo tivermos, então é crescente em todo intervalo. Demonstração: Consideremos dois pontos arbitrários x1 e x2 do intervalo ]a,b[ e tais que x1 < x2. Como f(x) é derivável em ]a,b[, também o será em ]x1, x2[. Assim, pelo Teorema de Valor Médio, haverá um valor tal que:

26 26 Teorema B: Se para todo tivermos, então f(x) será decrescente no intervalo ]a,b[. Os teoremas A e B nos fornecem um instrumento para obter os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função, bem como para encontrar seus pontos de máximo e de mínimo, caso existam. Assim, a função f(x) é crescente em decrescente em. Como ela é contínua em 2, concluímos que x = 2 é um ponto de mínimo de f(x). Exemplo 2 : Consideremos a função. Temos que. 1 é máximo relativo e 3 é mínimo relativo. Não há máximo absoluto, pois a função é crescente depois de 3. Da mesma forma, não há ponto de mínimo absoluto. Exemplo 3 : Restringir o domínio da função D = [0,5] no exemplo anterior.

27 Concavidade e Ponto de Inflexão Dizemos que o gráfico de uma função f(x), derivável, é côncavo para cima no intervalo ]a,b[ se, para todo, o gráfico de função nesse intervalo (exceto no ponto da abscissa x) permanece acima da tangente ao gráfico no ponto de abscissa x. Dizemos que o gráfico de uma função f(x), derivável, é côncavo para baixo no intervalo ]a,b[ se, para todo, o gráfico de função nesse intervalo (exceto no ponto da abscissa x) permanece abaixo da tangente ao gráfico no ponto de abscissa x.

28 28 Teorema: Se para todo, o gráfico f(x) é côncavo para cima em ]a,b[. Seja, a equação da reta tangente ao gráfico de f por c é dada por. Precisamos provar que:, para todo. Se x > c, pelo Teorema do Valor Médio, existe um ponto tal que. Ou seja,. (1) Como para todo é crescente em ]a,b[. Logo, para x > c, vem que do que: O mesmo vale para x < c. Corolário: Sejam contínuas em e com. Se, c é o ponto de mínimo e, se, c é o ponto de máximo. ]a,b[. ]a,b[. O gráfico muda de concavidade em c.

29 Notemos que, para c ser ponto de inflexão, para x < c e para x > c, ou então 29 Nessas condições, Exemplo 1 : Consideremos a função Estudemos seu comportamento no que diz respeito à concavidade. Temos. Portanto, f é côncavo para baixo no intervalo e côncavo para cima em, e x = 2 é um ponto de inflexão Estudo Completo de uma Função Roteiro: a) Determinação do domínio; b) Determinação das interseções com os eixos, quando possível; c) Determinação dos intervalos crescente e decrescente e de possível ponto de máximo e de mínimo; d) Determinação dos intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo e de possíveis pontos de inflexão; e) Determinação dos limites nos extremos do domínio e de possíveis assíntotas; f) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas..

30 30.

31 valor 31

32 32 Não existem máximo e mínimo absolutos. Exercícios Propostos 2: Exercicio 1 : Faça um estudo completo e esboce o gráfico das funções:

33 Exercício 2 : Pesquise a demonstração dos seguintes teoremas: Teorema 1 : (Rolle, Michel, matemático francês, ) Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo ]a,b[, com. Então existe um ponto 33 Teorema 2 : (Teorema do Valor Médio) Seja f uma função contínua e derivável no intervalo ]a,b[, tal que

34 34 UNIDADE III INTEGRAIS Teorema Fundamental do Cálculo O Teorema Fundamental do Cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são consideradas como inversas uma da outra. Isso significa que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada, volta-se na função original. Esse teorema é de importância central no cálculo tanto que recebe o nome Teorema Fundamental para todo o campo de estudo. O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana. Aparentemente, mas apenas aparentemente, entre os dois problemas parece não existir nenhuma relação. Entretanto, descobriu-se que os dois problemas estão intimamente relacionados, percebendo que os processos de diferenciação e integração são processos inversos. Newton e Leibniz exploraram essa conexão e desenvolveram o Cálculo. Em particular, eles perceberam que o Teorema Fundamental permitia encontrar a área de uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a soma de áreas de um número indefinidamente grande de retângulos, mas sim usando a primitiva da função envolvida. O teorema afirma que se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma função contínua de I em R, então, para cada a I a função F de I em R, definida por, é derivável e a sua derivada é precisamente a função f. Por outras palavras, F é uma primitiva de f. Intuição Intuitivamente, o teorema simplesmente diz que a soma de variações infinitesimais em uma quantidade ao longo do tempo (ou ao longo de outra quantidade) adiciona a variação líquida naquela quantidade. Para explicar esta afirmação, começaremos com um exemplo. Suponha que uma partícula viaja em uma linha reta com sua posição dada por x(t), em que t é o tempo. A derivada dessa função é igual à variação infinitesimal em x pela variação infinitesimal do tempo (é claro, a própria derivada é dependente do tempo). Vamos definir essa variação na distância com o tempo como a velocidade v da partícula. Na Notação de Leibnitz: Rearranjando a equação, fica claro que: Pela lógica acima, uma variação em x, chamada Δx, é a soma das variações infinitesimais dx. Que também se iguala à soma dos infinitesimais produtos da derivada e do tempo. Essa soma infinita é a integração; a operação de integração permite recuperar a função original a partir de sua derivada. Claramente, este operação funciona como inversa já que podemos diferenciar o resultado de nossa integral para recuperar a função velocidade.

35 Formalização Formalmente, o teorema diz o seguinte: 35 Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [a, b]. Se F for a função definida para x em [a, b] por então para todo x em [a, b]. Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [a, b]. Se F é uma função tal que então para todo x em [a, b]. Corolário Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [a, b]. Se F é uma função tal que então para todo x em [a, b] e Prova Parte I É dado que Considere dois números x 1 e x 1 + Δx em [a, b]. Então temos e.

36 36 Subtraindo as duas equações Pode ser mostrado que (A soma das áreas de duas regiões adjacentes é igual a área das duas regiões combinadas.) Manipulando essa equação, obtemos Substituindo a equação acima em (1), resulta em De acordo com o Teorema do Valor Médio para a integração, existe um c em [x 1, x 1 + Δx] tal que Substituindo a equação acima em (2), temos que Dividindo ambos os lados por Δx, temos Note que a expressão do lado esquerdo da equação é o coeficiente diferencial de Newton para F em x 1. Considere o limite com Δx 0 em ambos os lados da equação. A expressão do lado esquerdo da equação é a definição da derivada de F em x 1. Para encontrar o outro limite, usaremos o Teorema do Sanduíche. O número c está no intervalo [x 1, x 1 + Δx], então x 1 c x 1 + Δx. Também, e. Assim, de acordo com o Teorema do Sanduíche,. Substituindo em (3), temos.

37 A função f é contínua em c, então o limite pode ser inserido na função. Assim, temos 37 que completa a prova. (Leithold et al, 1993 ) Parte II Esta é uma prova limite por Soma de Riemann. Considere f contínua no intervalo [a,b], e F a antiderivada de f. Comece com a quantidade Considere os números x 1 a x n tal que. Que leva a Agora, somamos cada F(x i ) com sua inversa aditiva, de forma que a quantidade resultante é igual a: A quantidade acima pode ser escrita como a seguinte soma: Aqui, aplicamos o Teorema do Valor Médio. Como anteriormente, é o seguinte: Considere f contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b). Então existe um c em [a,b] tal que Segue que A função F é diferenciável no intervalo [a,b]; logo ela é também diferenciável em cada intervalo x i-1. Logo, de acordo com o Teorema do Valor Médio (acima), Substituindo a equação acima em (1), temos Essa consideração implica que F (c i ) = f(c i ). Também, x i x i-1 pode ser expressado como Δx de partição i. Note que estamos descrevendo a área de um retângulo, como o produto de sua largura pelo comprimento, e somando as áreas obtidas. Cada retângulo, por virtude do Teorema do Valor Médio, descreve uma aproximação

38 38 da seção da curva traçada. Note também que Δx i não precisa ser o mesmo para qualquer valor de i, ou, em outras palavras, que as larguras dos retângulos podem diferir. O que temos de fazer é aproximar a largura da curva com n retângulos. Agora, com o tamanho das divisões cada vez menor e n aumentando, resultando em maior número de partições para cobrir o espaço, chegaremos mais e mais perto da real área da curva. Tomando-se o limite da expressão com a norma das partições tendendo a zero, chegamos na Integral de Riemann. Que, quando tomamos o limite quando a mais larga das partições aproxima-se de zero em tamanho, então temos que todas as outras partições são menores e o número de partições se aproxima do infinito. Então, tomamos o limite em ambos lados de (3). Que resulta Nem F(b) nem F(a) são dependentes de Δ, então o limite do lado esquerdo fica F(b) - F(a). A expressão do lado direito da equação define a integral ao longo de f de a até b. Logo, obtemos que completa a prova. Exemplos Como um exemplo, suponha que precisamos calcular Aqui, f(x) = x 2 e podemos usar F(x) = (1 / 3)x 3 como a antiderivada. Logo:

39 39 Se você: 1) concluiu o estudo deste guia; 2) participou dos encontros; 3) fez contato com seu tutor; 4) realizou as atividades previstas; Então, você está preparado para as avaliações. Parabéns!

40 40 Glossário

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42 42 Gabarito Unidade I Limites Exercícios Propostos 1: Exercícios Propostos 2:.

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44 44 Unidade Ii Derivadas Determine os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.

45 Exercícios Propostos 2: Exercício 1 : 45 Exercício 2 : Trabalho de pesquisa.

46 46 Referências Bibliográficas ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. São Paulo: Edgard Blücher, GUIDORIZZI, Hamilton Luis. Um Curso de Cálculo. São Paulo: LTC, Vol. 1. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. McGraw-Hill, Vol. 1. LIMA, Elon Lages. Análise Real. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: IMPA, Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, Um Curso de Análise. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: IMPA, Vol. 1.. et al. A Matemática de Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, Vol. 1. RUDIN, Walter. Princípios de Análise Matemática. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico/Ed.Universidade de Brasília, 1971.

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