cosx e x x 2 2! x 3 3!

Transcrição

1 ÙÖ Ó ÐÙÐÓ ÍÑ Î Ö Ú Ð d cos d sen d d d d e d d sen d d d d cos d d d d d d d d d d d d d!!! 3 3! n n! d d d d d d d d d d d d d d d d d log!!! 3 3! 4 ( ) n n! n d d d d d d Å ÖÓ º Ⱥ Ö Ð

2

3 ÙÖ Ó ÐÙÐÓ ÍÑ Î Ö Ú Ð ÈÖ Ñ Ö Ó Î½º¼ ÂÙÐ Ó ¾¼½¼ Å ÖÓ º Ⱥ Ö Ð È ÁÒ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Í ÈÖÓ ÓÖ Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÔÐ ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ Ê Ó Â Ò ÖÓ ¹ Ö Ð Ô Ó ÙØÓÖ Þ Ñ Ú Ò ÚÙÐ Ù ÒÓ Ó ØÖ Ð Ó ÓÒ ÙÐØ Ó Ø Ó ÛÛÛºÐ Ñ ºÙ Ö º Ö» Ñ Ö Ð»Ð ÚÖÓ ÓÙ ÒØÖ Ñ ÓÒØ ØÓ ÓÑ Ó ÙØÓÖ Ñ Ñ Ô Ö Ð ØµÙ Ö Óص Öº

4 Ø ØÖ Ð Ó Ø Ð Ò Ó Ó ÙÑ Ä Ò Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ ØÖ Ù ¹ Ó µ Í Ó ÆÓ¹ ÓÑ Ö Ð Æ µ ÓÑÔ ÖØ Ð Ñ ÒØÓ Ô Ð Ñ Ñ Ä Ò Ë µ º¼ ÍÒÔÓÖØ º È Ö Ú Ö ÙÑ Ô Ø Ð Ò Ú Ø Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ ºÓֻРһ ݹҹ» º¼» Ö» ÓÙ ÒÚ ÙÑ ÖØ Ô Ö Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ ½ ½ Ë ÓÒ ËØÖ Ø ËÙ Ø ¼¼ Ë Ò Ö Ò Ó Ð ÓÖÒ ½¼ ÍË º Ø Ð Ò Ô ÖÑ Ø ÕÙ ÓÙØÖÓ ÔÓ Ñ ÓÔ Ö ÓÙ Ö ØÖ Ù Ö Ø Ó Ö Ñ Ò ÓÑ Ö ÔØ Ö Ö Ö Ó Ö Ö Ú Ó Ö Ø Ó Ö Ñ Ò ÓÑ Ö ÓÒØ ÒØÓ ÕÙ ØÖ Ù Ñ Ö ØÓ Ó ÙØÓÖ ØÖ Ù Ñ Ó Ö Ö ÙÐØ ÒØ Ó Ñ Ñ Ð Ò ÓÙ Ó ÙÑ Ð Ò Ñ Ð Ö ÔÖ ÒØ º Ø ÐÓ Ö Ö Ð Å ÖÓ º Ⱥ ÙÖ Ó ÐÙÐÓ ÍÑ Î Ö Ú Ð» Å ÖÓ Ö Ð ¹ Ê Ó Â Ò ÖÓ ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø ¾¼½¼º ½º ÐÙÐÓ Áº Ì ØÙÐÓ ½¾º ½ º ÁË Æ ¹ ¹ ¹

5 Sobre o Autor Å ÖÓ Ö Ð Þ Ó Ö Ð Ó Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ò Í ÊÂ Ó Å ØÖ Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ÔÐ ¹ Ò Í ÊÂ Ó ÓÙØÓÖ Ó Ñ Å Ø Ñ Ø Ò ÁÒ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Í µº ÌÖ Ð ÓÑ ÕÙ Ö Ò Ô Ö Ò Ð ÆÙÑ Ö º ÔÖÓ ÓÖ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Í Êº

6 Ú ËÇ Ê Ç ÍÌÇÊ

7 Agradecimentos Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÕÙ Ö Ö Ñ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ö Ñ ÔÖÓ ÙÓ Ø Ñ Ø Ö Ðº Ø ÔÖÓ ÙØÓ Ö ÖÓ ÙÐØÙÖ ÈÄ ÒÙ ÈÙ Ð Ä Ò µ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ó Ö Ù Ó Ó ÓÒØ º Ö ÑÓ Ñ ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÙ Ö ÓÙ Ð ÃÒÙØ Ô ÐÓ Ì Ó ØÛ Ö ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÕÙ Ø Ñ Ø Ö Ð ØÓ ÓÒ ØÓ Ä Ð Ä ÑÔÓÖØ Ô ÐÓ Ä Ì Ô ÓØ Ó ÒÓ Ì Ä ÒÙ ÌÓÖÚ Ð Ô ÐÓ ÖÒ Ð Ó Ø Ñ ÓÔ Ö ÓÒ Ð ÆÍ¹Ä ÒÙÜ Ê Ö ËØ ÐÐÑ Ò Ö ÔÓÒ Ú Ð Ô ÐÓ ÔÖÓ ØÓ ÆÍ Ô ÐÓ Ú Ö Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ø Ñ ÓÔ Ö ÓÒ Ð ÆÍ¹Ä ÒÙÜ Ñ Ð Ö Ô Ó ÔÓÖ Þ Ò Ó ØÛ Ö ÙØ Ð Þ Ó Ø Ö ÓÑÔ Ø Ó ÖÕÙ ÚÓ µ Ñ Ö Ò ÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ µ Ô ÐÐ ÓÖÖ ØÓÖ ÓÖØÓ Ö Óµ Ö Ô Ò Ó ØÚ Û ÜÔ º º º Å Ö Ë ÙØØÐ ÛÓÖØ Ö ÓÖ ØÖ Ù Ó Ó Ä ÒÙÜ Í ÙÒØÙ ÕÙ ÙØ Ð Þ Ô Ö ÔÖÓ ÙÞ Ö Ø Ð ÚÖÓ Ö Ñ ÅÓÓÐ Ò Ö Ô ÐÓ Ú Ñ ØÓÖ Ø ÜØÓµ Ì ÐÐ Ì ÒØ Ù Ô ÐÓ Ì È ÕÙ ÔÓ Ð ØÓÙ Ö Ó Ö Ó ØÓ ÓÒ ØÓ µ Ê ÑÙÒ Ó Ó Ë ÒØÓ ÅÓÙÖ Ô ÐÓ Ú ÖÓ Î Ö ÓÖ ÇÖØÓ Ö Ó Ñ ÔÓÖØÙ Ù µ Ï Ô Ù Ñ Ð ÓÐ ÓÖ ÓÖ ÔÓÖ Ð ÙÑ ÙÖ ÙØ Ð Þ Ñ Ú Ö Ó Ü ÑÔÐÓ º Ú

8 Ú Ê ÁÅ ÆÌÇË

9 Prefácio ÌÓ Ó Ô ØÓ Ø Ð ÚÖÓ Ó Ò Ù Ò Ó Ô ÐÓ Ó ÔÖ ÒØ Ö Ó ÐÙÐÓ ÒÓ ÓÑ ÒØ ÓÑÓ ÙÑ ÔÖ Ð Ó Ñ ÓÑ ÙÑ ÔÖ Ñ ÖÓ ÒÓÒØÖÓ Ö Ð ÓÑ Å Ø Ñ ¹ Ø º º º º µ Ð Ñ ÒÚÓÐÚ Ö ÒØÙ Ó Ó ØÙ ÒØ Ó Ö Ó ÐÓ ÓÒ ØÓ Ò Ð ÖØ Ñ ÒØ Ù ÐÑ ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö Ù ¹ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ó Ó Ö ÓÖ Ñ ÓÖ ÒÓ Ñ ÙÑ Ñ Ñ Ñ ÑÓ Ó Ó Ñ Ó Ò ØÙÖ Ð Ô Ö ÓÖÑÙÐ Ö Ô Ò Ö Ó Ö ÕÙ Ø Ñ Ø Ñ Ø º ÈÖ Ó Ó Ð ÚÖÓ ÐÙÐÓ Ó ËÔ Ú ËÔ Ñ ØÖ ÙÓ Ð ÚÖ µ È Ö Ó ØÙ ÒØ Ø Ð ÚÖÓ Ø Ñ ÓÑÓ ÓÓ Ó ÐÙÒÓ Ù ÙÐ ØÖ Ø Ò Ó¹Ó ÓÖÑ ÒØ Ð ÒØ º ÆÓ Ø ÜØÓ ÓÐÓ ÑÓ Ñ Ø ÕÙ ÒØÖÓ ÙÑ Ü Ø ÜØÓ µ Ú ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ ÒÓÖÔÓÖ Ö Ø Ñ ÒØ Ó ÓÒ ØÓ ÐÙÐÓ Ó ÒÚ ÔÖ ÒØ Ñ Ô ØÙÐÓ Ò Ð Ö Ú Ó Ö ÙÖ Ó Ø Ó ÑÓØ Ú ÒØ Ô Ö Ó ÐÙÒÓ Ô Ö Ó ÈÖÓ ÓÖµ µ ÖÖÓ ÓÑÙÒ ÓÑ Ø Ó Ô ÐÓ ÐÙÒÓ º Ð Ñ Ú Ö Ó Ð ÚÖÓ ÑÓ ÖÒÓ ÐÙÐÓ Ö ÓÑ Ò ÑÓ ÓÒ ÙÐØ Ð ØÙÖ Ð ÚÖÓ Ñ ÒØ Ó µ Ð Ó ÐÙÐÓ µ ÓÙÖ ÒØ Ó Ö ÒØ Ð Ò ÁÒØ Ö Ð ÐÙÐÙ ÚÓк ½ ½ µ ËÔ Ú ËÔ ÐÙÐÙ ½ º Ê ÓÑ Ò Ó ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ó ÐÙÒÓ ÕÙ Ø Ò Ñ Ù ÒØ Ö Ô ÖØ Ó ÙØ Ð Þ Ñ Ó Ð ÚÖÓ ÐÙÐÓ Ó ËÔ Ú º ÒØ Ö ÒØ Ø Ñ Ñ ÓÐ Ö Ñ ÓÑÔÖÓÑ Ó Ó Ð ÚÖÓ Ó ÓÙÖ Òغ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ó Ô ØÙÐÓ Ó Ö Ð Ñ Ø Ó Ð ÚÖÓ Ó ËÔ Ú º ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ó Ö ÖÑÙÐ ËØ ÖÐ Ò ØÓÖ Ðµ ÒÓ Ð ÚÖÓ Ó ÓÙÖ Òغ ÎÓ ÓÖÖ Ó Ö Ó Ö Ò Ó Ô ÐÓ ÐÙÐÓº µ Ä ÚÖÓ Ò Ð Ê Ð Ø ÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø Æ Ö Ö Ð Æ ÙÖ Ó Ò Ð Ê Ð ÔÓÒ Ú Ð ÓÒÐ Ò Ñ ÛÛÛºÐ Ñ ºÙ Ö º Ö» Ñ Ö Ð»Ð ÚÖÓ µº È Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ó Ø Ö Ó ÐÙÐÓ Ò Ö Ó ØÙ Ö Ò Ð ÙÖ Ó ÕÙ Ð ÙÒ ÚÓ ÔÓ Ñ ÕÙ Ö Ö Þ Ö ÔÓ Ó ÐÙÐÓº µ Ä ÚÖÓ ÚÙÐ Ó Å Ø Ñ Ø ÓÙÖ ÒØ Êº ÊÓ Ò Àºº Ç ÕÙ Å Ø Ñ Ø ØÓÖ Ò ÅÓ ÖÒ ¾¼¼¼º ÈÓÐÝ º ÖØ Ö ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ º ØÓÖ ÁÒØ Ö Ò º Ã Ò Ö º Æ ÛÑ Ò Âº Å Ø Ñ Ø ÁÑ Ò Óº ÂÓÖ Öº Ú È Ð Ô Âº À Ö Ê Ù Ò ÜÔ Ö Ò Å Ø Ñ Ø º ØÓÖ Ö Ò Ó ÐÚ ½ µº Ø Ð ØÙÖ ÚÓ Ö Ö ÙÑ ÔÓÙÓ Ó ÓÖ ÞÓÒØ º ËÓ ØÓ Ó Ð Ó º ÁÒÐÙ Ñ ØÓ Ó Ø ÔÓ Å Ø Ñ Ø Ô Ò Ó ÔÓÖ Ð Ò Ñ ÖÓ ØÓÔÓÐÓ Ø ÓÖ ÓÑÔÙØ Ó ÐÓ Ó Ñ Ø Ñ Ø º Ú

10 Ú ÈÊ ý ÁÇ Ô ÖØ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÔÖ Ò Þ Ó Å Ø Ñ Ø Ö ÓÐÚ Ö Ü Ö Ó Ø ÒØÓ ÕÙ ÒØÓ ÓÖ ÔÓ Ú Ðº Ú ¹ Ø ÒØ Ö Ö ÓÐÚ Ö Ó Ü ÑÔÐÓ ÕÙ Ô Ö Ñ Ó ÐÓÒ Ó Ó Ø ÜØÓ Ñ ÓÐ Ö Ö ÔÓ Ø ÒÓ Ò Ð Ó Ð ÚÖÓº Ó Ò Ð Ô ØÙÐÓ Ü Ø Ñ Ü Ö Ó ØÓ Ó ÓÑ ÓÐÙÓ Ö ÔÓ Ø ÒÓ Ò Ð Ó Ð ÚÖÓ Ú Ó Ñ ÖÙÔÓ Ü Ö Ó Ü Ó Ú Ñ Ö ØÓ Ñ Ø Ñ ÒØ Ô Ð ØÙÖ Ó Ø ÜØÓº ËÓ Ö ÔÓ Ø ÙÖØ º ÆÓ Ö Ö ÔÓ Ø ÓÖÖ Ø Ù Ö ÙÑ Ö ØÓÖÒÓ Ó Ø ÜØÓº Ú ¹ Þ Ö ØÓ Ó ÒØ Ù Ö ÒØ º ÈÖÓ Ð Ñ ËÓ Ó ÔÖ Ò Ô Ü Ö Ó Ó Ô ØÙÐÓº ÌÓ Ó ÓÙ ÕÙ µ Ú Ñ Ö ØÓ º ÈÖÓ Ð Ñ ÜØÖ Ó Ó ÐÙÒÓ Ø Ò ØÓ ØÓ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÔÖ Ø º Ó È Ö ÔÖÓ ÙÒ Ö Ò ÔÐ Ò º ËÓ ÓÔ ÓÒ º Ë Ñ Ö ÔÓÖ ÙÑ ØÖ Ð Ó ÓÔ ÓÒ º È Ö Ó ÈÖÓ ÓÖ ÓÑ Ñ Ó Ó Ò ÒÓ ÐÙÐÓ ÙÖ Ò ÑÙ Ö Ó Ô Ö Ñ Ú Ð Óº È Ö ØÓ ÓÐ Ó Ø ÔÓ Ü Ö Ó Ó ÑÙ ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ º ÓÑÙÑ Ó Ö Ö Ñ Ú Ð Ü Ö Ó Ó Ø ÔÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ò ÖÓ ÓÑ Ñ ÓÖ ÚÓÐÙÑ Ò Ö ØÓ º º º º È Ö Ú Ð Ó Ñ Ñ Ñ Ð ÓÖ Ô Ö Ö Ñ Ø Ò Ò Ô Ò ÒØ ÑÓ Ð Ñ Ø ÖÑ Ò ÙÒÓ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ Ð Ú Ö Ñ Ü Ñ Þ µ Ö ÓÐÙÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ Ü ÑÓ ÙÒÓ f ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓµº Å Ò Ú ¹ Ó Ö Ö ÔÐ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ÓÖÖ ØÓ ÕÙ Ö ÒØ Ñ Ü Ø Ò Ó Ñ Ü ÑÓ Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ ÜØÖ ÑÓµ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ó Ð Ñ Ø Ó Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ñ Ü ÑÓ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ ÓÙ Ð Ñ Ø Óº Ç Ñ ÑÓ Ú Ð Ô Ö ÐÙÐÓ Ö ÚÓÐÙÑ º Ú ¹ Ô Ö ÒØ Ö Ð ÓÙ ÓÑ ÒØ Ö µ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ñ Ö ÓÙ ÚÓÐÙÑ º ÒØ Ö Ó Ñ Ú Ö ÙÑ Ü Ö Ó Ô ÖØ º ÆÓ ÓÓ Ö Ó ÙÒ Ö ÓÒ Ñ Ð ÓÖ ÓÖÒ Ö Ö Ú Ö Ú ÙÒ º Ñ ÓÖ Ð ÐÙÐ Ö ÑÙ ØÓ Ð ÖÖ Ö ÙÑ Ò Ð ÓÙ ÓÙØÖÓ ÔÖ Ù Ò Ó ØÓ ÕÙ ØÓº Ú ¹ Ó Ö Ö Ö Ú Ö Ñ ÕÙ ØÓ Ô ÖØ º Ð Ñ Ó Ú ¹ ÓÐÓ Ö Ñ Ò Ò ÓÖÑ Ó ÓÒ ØÓ ÒØ Ò Ñ ÒØÓ Ó Ì ÓÖ Ñ º Á ØÓ Ô ÔÓÖ Ü Ö Ó Ò ØÙÖ Þ ÓÒ ØÙ Ð Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Ó Ü ÑÔÐÓ ÓÙ ÓÒØÖ Ü ÑÔÐÓ Øº ÈÓÖÕÙ ÙÑ ÒÓÚÓ Ð ÚÖÓ ÓÐ Ð Ò Ó Ø ÔÓ ÓÔÝÐ Ø Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ó ÓÔÝÖ Øµ Ô ÖØ ÙÒ ¹ Ñ ÒØ Ð Ø ÔÖÓ ØÓº Ð Ò Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ ØÖ Ù Ó µ Í Ó ÆÓ¹ ÓÑ Ö Ð Æ µ ÓÑÔ ÖØ Ð Ñ ÒØÓ Ô Ð Ñ Ñ Ä Ò Ô ÖÑ Ø ÕÙ ÓÙ¹ ØÖÓ ÔÓ Ñ ÓÔ Ö ÓÙ Ö ØÖ Ù Ö Ø Ó Ö Ñ Ò ÓÑ Ö ÔØ Ö Ö Ö Ó Ö Ö Ú Ó Ö Ø Ó Ö Ñ Ò ÓÑ Ö ÓÒØ ÒØÓ ÕÙ ØÖ Ù Ñ Ö ØÓ Ó ÙØÓÖ ØÖ Ù Ñ Ó Ö Ö ÙÐØ ÒØ Ó Ñ Ñ Ð Ò ÓÙ Ó ÙÑ Ð Ò Ñ Ð Ö ÔÖ ¹ ÒØ º Ø ÓÖÑ Ø Ð ÚÖÓ ÔÓ Ö Ö Ô Ö Ó Ó ÕÙ ÔÓÖ ÒØ Ó ÒÚ ØÓ Ó ÓÖÓ ÒÚÓÐÚ Ó Ô Ö Ö Ó Ó Ð ÚÖÓ Ô Ö Ö Ø Óº È Ö Ø Ð ÓÒ ÙÐØ ØØÔ»»Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ ºÓֻРһ ݹҹ» º¼» Ö»º Á ØÓ Ò ÒØ Ú Ø Ñ¹ Ñ ÓÐ ÓÖ Ó ÓÑ Ó ÔÖÓ ØÓ ÔÓ Ó ÓÖÓ ÒÚ Ø Ó Ö Ö Ú ÖØ Ó Ô Ö ØÓ

11 ÙÑ Ò º Å Ò Ù Ø ÖÖÓ ÓÐ Ø Ó ÓÒØ Ð Ø Üµ Ô Ö Ó ÙØÓÖ Å ÖÓ Ö Ð Ñ Ñ Ô Ö Ð Øµ Ù Ö Óص Öº È ÖÑ Ø Ö Ó ÐÙÒÓ ØÓ Ó Ó Ö Ð Ó Ð ÒØ ÖÒ Øµ Ñ Ø Ö Ð Ö ØÙ ØÓ ÕÙ Ð º Ç Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ¹ ÐÙÐÓ Ø Ñ Ò Ó Ó ÐÓÒ Ó Ó ÙÖ Ó ÒØÖÓ Ó Ô ØÙÐÓ Ð Ñ Ø Ö Ú ÒØ Ö Ðº ÓÐÙÓ Ù Ù Ð ÒÐÙ Ö ÙÑ Ô ØÙÐÓ Ò Ð ÓÑ ÒØ ÓÑ ÔÖ ¹ ÐÙÐÓ ÔÓÙÓ ÑÓØ Ú ÒØ Ó ÕÙ Þ ÓÑ ÕÙ Ö ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ ÒÓÖ Ó Ô ÐÓ ÐÙÒÓ ÔÖÓ ÓÖ º ÒÓ Ó Ó Ø Ñ Ñ ÕÙ Ó ÐÙÒÓ ÓÑ ÔÖ Ò Ö ÐÙÐÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÙÐ º Ç Ü Ö Ó Ó ÔÓÖ Ô ØÙÐÓ Ú Ø Ò Ó Ü Ö Ó ÒØ Ö Ó º Ü Ö Ó ÔÓÖ Ë Ó Ø Ò Ñ Ó Ö Ö ÑÙ ØÓ ÔÓÙÓ Ñ Ø Ö Ð ØÖ Ò Ö Ó ÐÙÒÓ ÒÙÑ Ò Ø Ò º ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÕÙ Ó Ð ÚÖÓ Ô ÕÙ ÒÓ Ô Ö ÕÙ ÐÙÒÓ Ð Ñ Ó Ø ÜØÓ ÕÙ ÕÙ ÒØ ¹ Ü Ö Ó Ö ÞÓ Ú Ð Ô Ö ÒÓ ÒÓÖ Ö Ó ÐÙÒÓ º Ø ÒØ Ó Ö Ò ÓÐÓ Ö ÑÙ ØÓ Ø Ô Ó º ÈÓÖ Ø Ö ÞÓ Ó Ð ÚÖÓ ÐÙÐÓ Ñ Ø Ö ¼¼ ÓÙ Ñ Ô Ò º Å Ó Ñ Ò Ö Ó ÓÐÓ Ö Ø Ð Ø Ô Ó ÔÓ ÔÓ ¹ ÑÓ Ö Ñ Ø Ö Ó ÐÙÒÓ Ô Ö ÓÙØÖÓ Ð ÚÖÓ ÓÙ ÒØ ÖÒ Øº Ä Ú ÒØ ÑÓ Ø Ô Ó Ú Ö Ó Ñ Ó ÖÚ Ó ÐÓÒ Ó Ó Ø ÜØÓ ÒÓ Ó Ò Ð Ô ØÙÐÓº Ö Ö ÙÑ Ô ÓØ ÓÑÔÐ ØÓ ÓÑ Ð ÚÖÓ Ø ÜØÓ Ü Ö Ó ÓÑ Ö ÔÓ Ø µ ØÖ Ò Ô Ö Ò Ô Ö ÙÑ ÙÖ Ó ÐÙÐÓº Ü ÓÑÓ Ó ÓÐ Ó Ó Ñ Ø Ö Ð Ø ÖÑ Ò ÑÓ Ó Ø Ô Ó ØÓÑ Ò Ó ÔÓÖ Ó ÙÖ Ó Ù Ù ÐÑ ÒØ Ñ Ò ØÖ Ó Ò Í Êº Ð Ñ Ó Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ó Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÐÙÒÓ Ú Ñ Ô Ö Ö Ð Þ Å Ø ¹ Ñ Ø º Ð ÙÑ ÓÐ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ¹ ÐÙÐÓ Ø Ñ Ò Ó Ô ÐÓ Ú Ö Ó Ô ØÙÐÓ Ó Ð ÚÖÓ Ó ÒÚ ÓÐÓ Ó ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ô ØÙÐÓº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÔØ ÑÓ ÔÓÖ ÓÐÓ Ö Ó Ø Ô Ó ÑÓ Ð Ñ Ò Ë Ó Ñ Ü»Ñ Ò ÓÑÔÓ Ó ÒÚ Ö ÙÒ Ò Ë Ó Ö Ö Ö Ú ÒÚ Ö ÕÙ Ó Ö Ø ÒÓ Ò Ó Ó Ô ØÙÐÓ Ö Ú Ò Ð Ò Ð ÙÒ Ù Ð µ ÒÓ Ô ØÙÐÓ Ä Ñ Ø Ò Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ò Ò ØÓ ØÖ Ò Ð Ó Ö Ó ÙÒÓ Ò ÔÓÖ Ô ÖØ ÒÓ Ô ØÙÐÓ Ð Ñ Ø ÐÓ» ÜÔ Ò Ë Ó Ö Ú ÓÑÔÓ Ø ÙÒÓ ÒÚ Ö º Ç Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó sen()/ ÕÙ Ò Ó µ ÔÖ ÒØ Ó ÒÓ Ò Ð Ó Ô ØÙÐÓ Ä Ñ Ø ÓÑÓ ÙÑ ÔÐ Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Ò Ù ÓÙ ÓÒ¹ ÖÓÒØÓµº ÙÑ Ö ÙÐØ Ó ÓÒ ØÓ ÕÙ Ñ Ö Ó Ú Ó Ø ÕÙ Ó ÒÚ ÓÔÓ Ù Ù Ð ÔÖ ÒØ ¹ÐÓ ÓÑÓ Ñ ÖÓ Ô Ó ÐÙÐÓ Ö Ú Ó ÒÓº

12 Ü ÈÊ ý ÁÇ Ò ÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ e Ó ÐÓ Ö ØÑÓ Ò ØÙÖ Ðµ ØÖ Ú Ó Ð Ñ Ø (+h) /h ÕÙ Ò Ó h ÒÓ Ò Ð Ó Ô ØÙÐÓ Ä Ñ Ø º ÓÒ Ø ÑÓ ÓÑ ÔÐ ÜÔÓÒ Ò Ð ÙÖÓ ÓÑÔÓ ØÓ ÓÒØ ÒÙÓ Ö Ñ ÒØÓ ÔÓÔÙÐ ÓÒ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ó Ø ÚÓº ÙÑ Ö ÙÐØ Ó ÓÒ ØÓ ÕÙ Ñ Ö Ó Ú Ó Ø ÕÙ Ó ÒÚ ÓÔÓ Ù Ù Ð ÔÖ ÒØ ¹ÐÓ ÓÑÓ Ñ ÖÓ Ô Ó ÐÙÐÓ Ö Ú Ó ÐÓ Ö ØÑÓ ÓÙ ÜÔÓÒ Ò Ðº ÇÙØÖ ÓÔÓ Ò Ñ ÒÓ Ð Þ Ö ØÓ ÙÒØ Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ó Ó ÐÓ Ö ØÑÓ Ô Ö ÔÓ Ó Ô ØÙÐÓ ÒØ Ö Ðº Á ØÓ ÒÓ ÑÔ ÕÙ Ò Ó Ó ÐÓ ÓÑ ÒØ Ö Ð ÔÓ º ÓÓ Ö Ó ÙÒÓ Ô Ö ÐÓ Ó ÒÓ Ò Ó ÒÓ Ô ØÙÐÓ Ð Ñ Ø Ñ ÓÖ Ö ¹ ØÖ ØÓ ÙÒ Ö ÓÒ µº Î Ö Ô Ö Ö ÔÓ ÒÓ Ô ØÙÐÓ ÔÐ Ö Ú º Ç ÐÙÐÓ ÚÓÐÙÑ Ð Ó ØÓ ÓÑ ÓÑ ÒØ ÙÑ Ø Ò Ú Ð Ö º Ø Ò Ô Ö Ð Ó Ö ÚÓÐÙÓ ÙÑ Ñ Ö ÔÐ Ó Ú Ð Ö º ÈÖÓÚ ÑÓ ÓÙ Ò ÑÓ ÔÖÓÚ µ ØÓ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ÒØ Ö ÒØ ÓÑ Ô ÖÓ Ö ÓÖ Ú Ö Ú Ð Ú Ð Ó ØÙ ÒØ º ÈÖÓÚ Ö ÙÐØ Ó ÙÖÓÖ Ø Ó Ð Ñ Ø Ö Ú ÓÑ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓµ Ó ÓÑ Ø Ó º

13 Sumário ËÓ Ö Ó ÙØÓÖ Ö Ñ ÒØÓ ÈÖ Ó Ú Ú ½ Ä Ñ Ø ½ ½º½ ËÓ ØÛ Ö Ö ØÙ ØÓ Ó ÐÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò Ó Ä Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º Ä Ñ Ø ÁÒ Ò ØÓ ÒØÓØ Î ÖØ ÀÓÖ ÞÓÒØ º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÁÒ Ø ÖÑ Ò Ó Ä Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º ÓÓ Ö Ó Ô ÖØ Áµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½º Ä Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ü Ö Ó Ä Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½º º½ Ü Ö Ó Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º ÜØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÒØ ÒÙ ¾º½ Ò Ó ÓÒØ ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Ó ÌÎÁµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÓÒ ØÖÙÓ ÓÒØ ÒÙ ÙÒ ÌÖ Ò Ò ÒØ Ê Þ º º º º º º º ¾º º½ ÙÒÓ Ê Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ ÙÒ ÜÔÓÒ Ò Ð ÄÓ Ö ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÙÒ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÙÒ À Ô Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÇÙØÖ ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º ÁÒØÖÓ ÙÓ Ò Ð Ê Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º½ Ö Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º¾ Ç ÕÙ R º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º Ê ÓÒ ÁÖÖ ÓÒ Ð Ö Ó ÌÖ Ò Ò ÒØ º º º º º º º º º º º ½ ¾º º Ò Ó Ä Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º Ò Ó ÓÒØ ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ü Ö Ó ÓÒØ ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ü Ö Ó Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÜØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü

14 Ü ËÍÅýÊÁÇ Ö Ú º½ Ò Ó Ö Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ö Ú ÙÒ ÌÖ Ò Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓÔÖ Ö Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ú ÓÑÔÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ Å Ó ÌÎŵ Ö Ñ ÒØÓ Ö Ñ ÒØÓ º º º º º º º ¾ º Ö Ú ÁÒÚ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ö Ó Ö Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ü Ö Ó Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÜØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÐ Ö Ú º½ ijÀÓ Ô Ø Ð À Ö ÖÕÙ Ó ÁÒ Ò ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ó ÙÒÓ ÄÓ ÐÑ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å Ü ÑÓ Å Ò ÑÓ ÄÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ º ÓÓ Ö Ó Ô ÖØ ÁÁµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º Å Ü ÑÓ Å Ò ÑÓ Ñ ÁÒØ ÖÚ ÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ º ÈÖÓ Ð Ñ ÇØ Ñ Þ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ì Ü Ê Ð ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ö Ú Ó ÁÑÔÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ º Ü Ö Ó ÔÐ Ó Ö Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾½ º º½ Ü Ö Ó Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾½ º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º ÜØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º ÈÖÓ Ð Ñ Ì Ü Ê Ð ÓÒ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ú Ó ÁÑÔÐ Ø µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÒØ Ö Ð ½ º½ Ò Ó ÁÒØ Ö Ð ÈÖÓÔÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ó ÐÙÐÓ Ì µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º ÁÒØ Ö ÁÑÔÖ ÔÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ì Ò ÁÒØ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ÁÒØ Ö Ó ÔÓÖ ËÙ Ø ØÙ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ ÁÒØ Ö Ó ÔÓÖ È ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÁÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ö È Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º Ü Ö Ó ÁÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ü Ö Ó Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÜØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º º ÈÖÓ Ð Ñ ÁÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ö È Ö µ º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ÔÐ ÁÒØ Ö Ð ½ º½ ýö ÒÓ ÈÐ ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÎÓÐÙÑ Ë Ð Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Î ÐÓÖ Å Ó ÙÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾

15 ËÍÅýÊÁÇ Ü º ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ÙÖÚ ÒÓ ÈÐ ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ýö ËÙÔ Ö Ë Ð Ó Ê ÚÓÐÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ë Ö ÓÙÖ Ö ÅÈ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ü Ö Ó ÔÐ ÁÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º½ Ü Ö Ó Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÜØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÈÖÓ Ð Ñ ËÙ Ø ØÙ Ó ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ µ º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÈÖÓ Ð Ñ ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ÙÖÚ ÒÓ ÈÐ ÒÓµ º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÈÖÓ Ð Ñ ýö ËÙÔ Ö Ë Ð Ó Ê ÚÓÐÙÓµ º º º º º º º º ½ Ê ÔÓ Ø Ó Ü Ö Ó ½ º½ Ä Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ü Ö Ó Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º½º ÜØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÓÒØ ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ Ü Ö Ó Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ÜØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ö Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ü Ö Ó Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÜØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼½ º º Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼¾ º ÔÐ Ó Ö Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º½ Ü Ö Ó Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º ÜØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¼ º º Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º ÈÖÓ Ð Ñ Ì Ü Ê Ð ÓÒ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ú Ó ÁÑÔÐ Ø µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º ÁÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º½ Ü Ö Ó Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾¼ º º ÜØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾¾ º º Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º ÈÖÓ Ð Ñ ÁÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ö È Ö µ º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º ÔÐ ÁÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º½ Ü Ö Ó Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º ÜØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º ÈÖÓ Ð Ñ ËÙ Ø ØÙ Ó ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ µ º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º ÈÖÓ Ð Ñ ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ÙÖÚ ÒÓ ÈÐ ÒÓµ º º º º º º º º º º º º º ¾¾

16 Ü Ú ËÍÅýÊÁÇ º º ÈÖÓ Ð Ñ ýö ËÙÔ Ö Ë Ð Ó Ê ÚÓÐÙÓµ º º º º º º º º ¾¾ Ð Ó Ö ¾ ½

17 Capítulo Limite Ç ÓÒ ØÓ Ð Ñ Ø ÖØ Ñ ÒØ Ó Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÚ Ú ÐÑ ÒØ Ó Ñ Ð ØÓ Ó Ó ÐÙÐÓº º º º µ Ç ÕÙ Ò Ú ÑÓ Ò Ö Ò Ø Ô ØÙÐÓ ÒÓ Ô Ð ÚÖ Ð Ñ Ø Ñ ÒÓÓ ÙÑ ÙÒÓ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ó ÙÑ Ð Ñ Ø º ËÔ Ôº ¾ Ç Ø ÚÓ ÔÖ ÒØ Ö Ó ÓÒ ØÓ Ð Ñ Ø ÓÖÑ ÒØÙ Ø Ú ÓÐÓ Ö Ó ÐÙÒÓ Ñ ÓÒØ ØÓ ÓÑ Ú Ö Ó Ø ÔÓ ÙÒ ÜÔÓÒ Ò Ð ÐÓ Ö Þ ØÖ Ò Ð Ø ÙÒ Ò ÔÓÖ Ô ÖØ ÙÒ Ñ ÓÑÔÐ Ø ÔÓ I Q ÙÒÓ Ò ÓÖ Ó Ö ÓÒ µ sen(/)º ÔÖ ÒØ ÑÓ Ó Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ¹ ÐÙÐÓ ÒØ Ö Ó ÓÑ ÓÒØ Ó Ð Ñ Ø º Á ØÓ Ô ÖÑ Ø Ü Ð ÓÖ Ó ÓÑ ÙÐ ÐÙÒÓº ÑÓ Ó Ø ÕÙ Ø Þ ÑÓ Ø Ò ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ó Ð Ñ Ø ÕÙ ÙÑ ÔÖ Ú ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ò ÒØ Ö Ðº ÄÓ Ó Ô ÒØÖÓ ÙÞ Ö ÒØÓØ Ú ÖØ ÓÖ ÞÓÒØ µ Ò Ò ÑÓ Ó Ö Ö Ó º È ÑÓ Ö Ô Ñ ÒØ Ô Ð ÔÖÓÔÖ Ð Ñ Ø ÓÑ ÔÖÓ ÙØÓ Ö Ò Øºµ ÔÓ Ó ÙÖÓÖ Ø º ÔÖ ÒØ ÑÓ Ä Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ó ÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ eµ ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ô ØÙÐÓ ÔÓ ÕÙ Ö ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö ÐÓ Ö ØÑÓ ÜÔÓÒ Ò Ð Ó ÓÑ Óº ½º½ ËÓ ØÛ Ö Ö ØÙ ØÓ Ó ÐÙÐÓ ÑÙ ØÓ ÒØ Ö ÒØ ÙØ Ð Þ Ö Ð ÙÒ Ó ØÛ Ö Ô Ö ÔÖ Ò Ö ÐÙÐÓº Î ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ð ÙÒ Ó ØÛ Ö Ö ØÙ ØÓ ÕÙ ÔÓ Ñ Ö ÙØ Ð Þ ÒÓ Ï Ò ÓÛ ÒÓ Ä ÒÙÜ Í ÙÒØÙ Ò ÓÖ Øºµº ÃÑÈÐÓØ ËÓ ØÛ Ö Ú Ù Ð Þ Ó Ö Ó ÙÒ º Ò Ø ÚÓ Ó Ä ÒÙܺ Ë Ñ Ð Ö Ó Ï ÒÔÐÓغ Ï ÒÔÐÓØ ËÓ ØÛ Ö Ú Ù Ð Þ Ó Ö Ó ÙÒ º Ò Ø ÚÓ Ó Ï Ò ÓÛ Ñ ÖÓ ÓÑ ÑÙÐ Ó Ó Ï Ò ÒÓ Ä ÒÙܺ ÈÓ ¹ Ú Ù Ð Þ Ö Ö Ó ¾ Ó ÔÓÖ ÙÒÓ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó ÜÔÐ Ø ÑÔÐ Ø º ÈÓ ¹ Þ Ö Ò Ñ º ÏÜÅ Ü Ñ ËÓ ØÛ Ö ÓÑÔÙØ Ó Ð Ö º ÐÙÐ ÓÖÑ Ü Ø Ð Ñ Ø Ö Ú ¹ ÒØ Ö ÒØÖ ÓÙØÖ ÒØ Ò Ó µº ÍÑ Ü ÑÔÐÓ Ó Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ Ø Ò Üµ»Ü Ü ¼µ º ÐÙÐ Ø Ñ Ñ Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð Ñ Ø ÜÔ ½»Üµ Ü ¼ Ñ ÒÙ µ ÕÙ Ö µ Ð Ñ Ø ÜÔ ½»Üµ Ü ¼ ÔÐÙ µ Ö Ø µº ¼ Î Ö Ó ¾¾ ÙÐ Ó ¾¼½¼ ½

18 ¾ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ó ØÛ Ö Ó Ò Óº Ü ÑÔÐÓ Ñ Ú Ö Ð º Ì ÒØ Ú Ö ÙÒ ÕÙ ÔÖ ÒØ ÑÓ ÒÓ ½º¾ Ò Ó Ä Ñ Ø Î ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ò Ó Ò ÓÖÑ Ð ÒÓ¹Ö ÓÖÓ ÒØÙ Ø Ú µ Ð Ñ Ø Ó ÓÒ ØÓ ÙÒ ¹ Ñ ÒØ Ð Ó ÐÙÐÓ Ò Ð µº Ò Ó Ö ÓÖÓ ÓÑ ε δµ Ø Ò Ôº ¼ ÐØ Ñ Ó ÓÔ ÓÒ Ðµ Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ô ØÙÐÓ Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ð ÚÖÓ Ò Ð ÓÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Æ µº Ç Ö ØÓ Ó Ô ØÙÐÓ Ö Ó ÒØ Ò ÖÑÓ Ò Ó Ð Ñ Ø º Ò Ó ½ Ð Ñ Ø µ ÓÒ Ö ÙÑ ÙÒÓ Ö Ð f Ò Ô ÖØÓ c R Ñ ÒÓ Ò ¹ Ö Ñ ÒØ Ò Ñ cµº Þ ÑÓ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø f() ÕÙ Ò Ó Ø Ò c Ù Ð L ÒÓØ Ó ÔÓÖ limf() = L f() Ñ ÔÖ Ü ÑÓ L R ÕÙ Ò Ó Ø Ù¹ c ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ Ü ÑÓ c R Ñ cº Ö Ú ¹ Ø Ñ Ñ ÕÙ f() L ÕÙ Ò Ó cº Æ Ò Ó Ð Ñ Ø ÒÓ ÔÖÓÜ Ñ ÑÓ c Ô ÐÓ Ó Ð Ó º ÈÓ ÑÓ Ò Ö Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÕÙ Ö Ö Ø Ö ØÖ Ò Ò Ó Ó Ð Ó Ñ ÕÙ ÑÓ ÔÖ Ü ÑÓ cº Ò Ó ¾ Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð Ô Ð Ö Ø ÕÙ Ö µµ ÓÒ Ö ÙÑ ÙÒÓ Ö Ð f ¹ Ò Ô ÖØÓ c R Ñ ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ò Ñ cµº Þ ÑÓ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø f() ÕÙ Ò Ó Ø Ò c Ô Ð Ö Ø ÕÙ Ö µ Ù Ð L ÒÓØ Ó ÔÓÖ lim c +f() = L lim c f() = Lµ f() Ñ ÔÖ Ü ÑÓ L R ÕÙ Ò Ó Ø Ù ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ Ü ÑÓ c R Ñ > c < cµº Ç ÖÚ Ó ½ Î ÐÓÖ ÙÒÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ ÆÇ ÒØ Ö Ô Ö ØÓ Ó ÐÙÐÓ Ó Ð Ñ Ø º Ø ÓÖÑ Ó limf() ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ù Ð f(c)º ÈÓ ÓÓÖÖ Ö Ò c µ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø Ö µ ÙÒÓ ÒÓ Ø Ö Ò Ñ cº ÉÙ Ò Ó limf() = f(c) Ó Ð Ñ Ø Ü Ø Ù Ð Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ ÒÓ ÔÓÒØÓµ Þ ÑÓ c ÕÙ ÙÒÓ f ÓÒØ ÒÙ Ñ cº Á ØÓ ÓÓÖÖ ÓÑ ÙÒ Ñ ÓÑÔÓÖØ µ ÕÙ Ø ÑÓ Ó ØÙÑ Ó f() = 3 4, g() = sen(), h() =,... Ç ÖÚ Ó ¾ Ñ Ò Ð ÙØ Ð Þ ÑÓ Ó Ø ÖÑÓ Ú Þ Ò Ò c Ó ÒÚ Ô ÖØÓ c ÕÙ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ñ Ú ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ò Ø Ø ÜØÓº Ç Ò Ó ÔÖ Ó Ò Ó Ú Þ Ò Ò µ Ó ÙÑ c R ÙÑ Ú Þ Ò Ò c ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ (c ε,c+ε) Ô Ö Ð ÙÑ ε > º Î ÑÓ ØÙ Ö Ó ÓÒ ØÓ Ð Ñ Ø ØÖ Ú Ú Ö Ó Ü ÑÔÐÓ º Ú ¹ ÓÑ Ö ÓÑ Ó ÓÓ Ó Ö Ó ÙÒ Ó Ü ÑÔÐÓ Ó ÐÓÒ Ó Ø ËÙ Óµ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ù Ð Ñ Ø º Ü ÑÔÐÓ ½ Ó Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ó Ü Ø µ µ lim µ lim µ lim 3 µ lim µ lim µ lim º

19 ½º¾º ÁÆÁ Ç ÄÁÅÁÌ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ È Ö µ µ ÒÓØ ÕÙ f() = / ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ú Ð Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ ÒÓ Ö Ñ Þ ÖÓ ÔÓ f ÒÓ Ø Ò Ñ f() = / µ Ñ ØÓ ÆÇ Ø Ó Ú ÐÓÖ Ó Ð Ñ Ø Ú Ó Ö Óµº Ñ Ó Ó Ð Ñ Ø Ú Ð Ñ º Æ Ú Ö Ó Ð Ñ Ø Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú ÐÓÖ ÕÙ Ø Ò º = È Ö µ µ ÓÖÑ Ñ Ð Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ f() = / = Ô Ö ØÓ Ó º Ñ = ÙÒÓ f ÒÓ Ø Ò º Ñ Ó Ö Ó Ú ÙÖ µ ÙÑ Ö Ø ÓÑ ÙÑ ÙÖÓ Ò ÓÖ Ñº Ñ µ 3 µ º = 3 3 È Ö µ µ f() = / = / Ô Ö º ÆÓÚ Ñ ÒØ f() ÒÓ Ø Ò Ú Ó Ö Óµº Ñ µ /( /) = /º È Ö µ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø ÔÓ ÙÑ Ú ÐÓÖ ÑÙ ØÓ Ö Ò Ø Ò ÖÑÓ Ô Ð Ö Ø ÑÙ ØÓ Ô ÕÙ ÒÓ Ø Ò ÖÑÓ Ô Ð ÕÙ Ö º / = / Ç ÖÚ Ó ÉÙ Ò Ó ÑÔÖ Ö f ÓÙ f() Ì Ñ Ö Ò ÙÒÓ f f() Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ ÐÙÐ Ñ º Å Ü Ø Ñ ÒØ f ÙÒÓ f() ÙÑ Ò Ñ ÖÓº Ö ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ Ù ÑÓ Ð Ò Ù Ñ Þ ÑÓ ÙÒÓf() = +3 ÕÙ Ò Ó Ó ÓÖÖ ØÓ Ö ÙÒÓ f Ò ÔÓÖ f() = +3 º Æ Ð Ò Ù Ñ Ø ÖÖÓ ÒÓ Ö Ô Ö Ó Ó Ô ÐÓ ÓÑÔ Ð ÓÖ ÓÒ ÙÒ Ö f ÔÓÒØ ÖÓ Ô Ö ÙÒÓµ ÓÑ f() Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒ Ó Ô Ð ÙÒÓµ( )º

20 È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ Ê ÓÖ Ó Ò Ó { ÓÑÓ Ó Ö Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ Ò ÔÓÖ ; > ; Ô ÖØ ÓÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ f() = 3;. Ü ÑÔÐÓ ¾ È Ö Ø Ñ ÜÓ Ó Ó Ö Ó f() Ø ÖÑ Ò Ó Ü Ø Ñµ lim c +f() lim c f() lim f()º c { ; < ; µ c = c = c =.9999 c =. f() = 3;. { µ c =, c = f() = ; ; ; =. { ; ; µ c =. c =. c = f() = 3; =. { ; ; µ c =.99, c =., c = f() = 4 ; >. ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ µ ÙÒÓ Ú Ð Ø = ÔÓ Ú Ð 3 Ú Ö Ó ÜÓµº Ñ ÕÙ Ò Ó ÕÙ ÐÓÒ Ø ÒØÓ Ô Ð ÕÙ Ö ÕÙ Ò Ó Ö Ø f() º ÓÖ lim f() = lim f() = 3 ÔÓÖØ ÒØÓ limf() ÒÓ Ü Ø ÔÓ f() Ö + ÕÙ Ò Ó ÒÓ ÔÖÓÜ Ñ ÑÓ Ô Ð ÕÙ Ö ÓÙ Ö Ø Ó º ÓÑÓ.9999 < ÙÒÓ Ô ÖØÓ Ñ Ô ÖØÓ Ñ ÑÓ µ.9999 ÓÒ Ø ÒØ Ù Ð ÔÓ Ø ÑÓ ÕÙ Ö Ó º Ñ lim f() = lim.9999 f() = lim f() = º ÓÖÑ Ò ÐÓ lim f() = lim. f() = lim f() = 3º. = = 3 µ ÆÓØ ÕÙ f() = Ô Ö ØÓ Ó º ÆÓ = ÒÓ ÒØ Ö Ó Ú ÐÓÖ ÕÙ f() = µ Ô Ö ØÓ Ó ÐÙÐÓ Ó Ð Ñ Ø Ú Ö Ó ÜÓµº Ñ Ó Ð Ñ Ø ÒÐÙ Ò Ó Ó Ð Ø Ö µ ÕÙ Ò Ó ÓÙ ÑÔÖ º = = µ ÆÓØ ÕÙ f() = Ô Ö ØÓ Ó º ÆÓ = ÒÓ ÒØ Ö Ó Ú ÐÓÖ ÕÙ f() = 3µ Ô Ö ØÓ Ó ÐÙÐÓ Ó Ð Ñ Ø Ú Ö Ó ÜÓµº Ñ Ó Ð Ñ Ø ÒÐÙ Ò Ó Ó Ð Ø Ö µ ÕÙ Ò Ó. ÓÙ. ÓÙ ÑÔÖ º

21 ½º¾º ÁÆÁ Ç ÄÁÅÁÌ 3 = µ ÓÑÓ.99 < f() Ô Ö Ô ÖØÓ Ñ Ô ÖØÓ Ñ ÑÓ µ.99 Ú Ð Ú Ö Ó ÜÓµº Ñ lim.99 +f() = lim.99 f() = lim f() =.99º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÓÑÓ.99. > f() Ô Ö Ô ÖØÓ Ñ Ô ÖØÓ Ñ ÑÓ µ. Ú Ð 4 º Ñ lim. +f() = lim. f() = lim f() = 4. =.99º. 3 = 4 = 4 Ç ÖÚ Ó ÆÓØ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø Ü Ø ÓÑ ÒØ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ü Ø Ñ ÙÑ Ñ Ó Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖº Ç ÖÚ Ó Ú Ó / Ø Ò ÓÖ Ñ Ð Ñ Ø ÒØ Ö ÒØ º ÓÖÑ Ö Ð Ú ¹ Ð Ñ Ò Ö Ö Þ Ñ Ñ Ñ ÜÓº Ç Ð Ñ Ø ÔÓ Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ó º ÓÑÔ Ö ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó Ú ÐÓÖ ÙÑ Ø Ð Ñ Ø ÒØÖ lim, lim, lim. ÈÓ ¹ Ð Ñ Ò Ö Ö Þ ÓÑÙÒ ÒÓ Ó ÕÙÓ ÒØ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÙ ÒØÓ Ö ÓÒ Ð Þ Ö Ó ÒÓÑ Ò ÓÖº ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ Ä Ñ Ö ¹ ÓÑÓ Ñ Ò ÔÙÐ Ö ÜÔÖ Ð Ö ØÓÖ Ö Ö Þ Ú Ö ÔÓ¹ Ð ÒÑ Ó Ì ÓÖ Ñ ³ Ð Ñ ÖØ c Ö Þ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÒØÓ c ØÓÖ Ó ÔÓÐ ÒÑ Óº ÕÙ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÊÁÇ̹ÊÍ ÁÆÁ ÙØ Ð Þ ÑÔÖ Ú Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÔÓÖ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ Ð Ö ÓÖ Ö Ñ Ð Ö Ú Ó ÒØ ÖÓ º Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø 3+ µ lim 4 µ lim t t t 3 +t t t+ µ lim µ lim 3 3 µ lim f() f() = µ lim h 6 + ; ; 4; =. (+h) 3 3 h ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÓÑÓ Ö Þ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓ ¹ Ú Ö ÔÓÖ ( ) Ñ Ó Ó Ø Ò Ó¹ ( )( ) º Ð Ñ Ò Ò Ó Ó ØÓÖ ÓÑÙÑ Ó Ø ÑÓ lim ( )(+) + = + = /4º

22 È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ µ Ú Ò Ó¹ 3 + ÔÓÖ + Ó Ø ÑÓ +º ÄÓ Ó Ô Ö = +º ÄÓ Ó Ó Ð Ñ Ø Ú Ð ( ) ( )+ = 3º µ ÈÖ Ñ ÖÓ ÜÔ Ò ÑÓ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ó Ø Ò Ó / /3 = 3 3 º ÈÓÖØ ÒØÓ 3 3 = Ó Ø ÑÓ /9º µ ÜÔ Ò Ò Ó ( + h) 3 Ù ØÖ Ò Ó 3 Ó Ø ÑÓ 3h + 3h + h 3 º Ú Ò Ó ÔÓÖ h Ô Ö h µ Ó Ø ÑÓ 3 +3h+h º ÉÙ Ò Ó h Ó Ø ÑÓ 3 º µ Ú Ò Ó¹ Ñ Ó ÔÓÖ t Ó Ø ÑÓ (t )( t ) º Ë ÑÔÐ Ò Ó Ó ØÓÖ 3 Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ó Ø ÑÓ 3 3 º ÉÙ Ò Ó = (t )( t)(+t) ( t) = ( t) ( )(+t) Ô Ö t º ÄÓ Ó Ó Ð Ñ Ø ( )(+) = º µ Ç Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ñ = ÖÖ Ð Ú ÒØ Ô Ö ØÓ Ó ÐÙÐÓ Ó Ð Ñ Ø º ÓÑÓ = ÒÙÐ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ( ) = + ØÓÖ ÓÑÙÑ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ³ Ð Ñ Öغ Ë Ù Ò Ó ÓÑÓ Ñ µ Ú Ò Ó 6 ÔÓÖ+ Ó Ø ÑÓ º ÉÙ Ò Ó Ó Ø ÑÓ ( ) 5 ( ) 4 +( ) 3 ( ) +( ) = 6º ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ ÆÓØ ÕÙ 9 ±3 Ë ÑÔÖ ÔÓÖØ ÒØÓ 9 = 3 9 = 3º ÓÑ Ó ÔÓ Ð Ó Ô Ö < º Æ Ú Ö = º Å ( ) = > < Ö Þ ÕÙ Ö ÒÓ Ø Ò µº ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ Ç ÕÙ Ñ ÙÐÓ { ; ; µ Ð Ö Ñ ÒØ = ; <. µ ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ ØÒ ÒØÖ º ÓÖÑ Ö Ð c = c ØÒ ÒØÖ cº ÈÓ Ö Ö ØÓ ÓÑÓ c = ( c) º Á ØÓ Ò Ö Ð Þ Ó Ô Ð ØÒ ÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ (, ),(, ) R ÔÓÖ ( ) +( ) ÕÙ ÒÓØ ÑÓ Ú Ð ÚÖÓ ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø µ ÔÓÖ (, ) (, ) º µ Ö Ñ ÒØ Ó Ø Ñ¹ Ó Ö Ó f() Ô ÖØ Ò Ó Ó Ö Ó f() Ö Ø Ò Ó ÒÓ ÜÓ Ó ÕÙ Ø ÜÓ Ó ÜÓ Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ f() < µº Ü ÑÔÐÓ Ó Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ó Ü Ø µ µ lim µ lim + µ lim 9 µ lim 3 9 sen() sen() µ lim µ lim π + sen() π + sen() µ limf() f() = 9 µ lim 3 +3 { ; > +;. ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ µ ÓÑÓ / Ú Ð Ô Ö > Ô Ö < Ú Ö Ó ÜÓµ µ µ º

23 ½º¾º ÁÆÁ Ç ÄÁÅÁÌ = = f() = µ µ Ç Ø ÑÓ Ó Ö Ó 9 Ú ÙÖ ÜÓµ Ö Ø Ò Ó ÒÓ ÜÓ Ó Ö Ó Ô Ö ÓÐ 9 Ò ÔÓÖ Ð Ò ÔÓÒØ Ð µº È Ö ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø Ó ÖÚ ÕÙ Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÔÓÒØÓ = = 3 Ø Ù Ø ØÙ Ö Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ µ 9 = 9 = 9º µ ( 3) 9 = 9 9 = º f() = µ ÈÖ Ñ ÖÓ Ú ÑÓ Ó Ö Ó Ö Ó Ô Ö ÓÐ 9º f() = Ñ Ô Ö ( 3,3) 9 = 9 ÔÓ ÙÒÓ ÔÓ Ø Ú µ Ô Ö ( 3,3) 9 = ( 9) = 9 ÔÓ ÙÒÓ Ò Ø Ú µº ÈÓÖØ ÒØÓ Ô Ö ( 3,3) 9 = = (+3)( 3) = 3 Ô Ö ( 3,3) 9 = = (3+)(3 ) = 3 º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ö Ó = = 3 f() = 9 +3 ÆÓØ Ó ÐØÓ ÕÙ ÓÓÖÖ ÒÓ Ö Ó Ñ = 3º Æ Ø ÔÓÒØÓ ÙÒÓ ÒÓ Ø Ò

24 È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ ÔÓ Ô Ö ÙÑ Ú Ó ÔÓÖ Þ ÖÓº Ö Ñ ÒØ Ð ÖÓ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ò Ø ÔÓÒØÓ Ó Ø ÒØÓ º ÓÑÓ Ô Ö ÔÖ Ü ÑÓ 3 Ñ < 3 ÙÒÓ Ú Ð 3 Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó 3 Ú Ð ( 3) 3 = 6º ÓÑÓ Ô Ö ÔÖ Ü ÑÓ 3 Ñ > 3 ÙÒÓ Ú Ð 3 Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó 3 + Ú Ð 3 ( 3) = 6º ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ó Ø ÒØÓ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø º µ µ ÙÒÓ ÐØ ÖÒ ÒØÖ ÕÙ Ò Ósen() > ÕÙ Ò Ósen() < ÓÒ ÓÖÑ Ò Ó ÒÓ Ö Ó ÜÓº ÆÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ sen() = Ð ÒÓ Ø Ò º Ñ µ µ º = = π π π 3π f() = sen() sen() µ Ç Ø ÑÓ Ó Ö Ó Ú ÙÖ µ Ö Ø Ò Ó ÒÓ ÜÓ Ó Ö Ó Ô Ö > ÓÑ Ö Ø Ô Ö < º Ç Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + = ÕÙ Ò Ó + = º ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ü Ø Ñ Ó Ù Ó Ð Ñ Ø º ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ Ä Ñ Ö ¹ ÓÑÓ Ö ÓÒ Ð Þ Ö ÜÔÖ º È Ö ØÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÕÙ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ Ô ÐÓ ÓÒ Ù Ó Ó ÓÒ Ù Ó a b a+bº Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø h+ 9 µ lim µ lim º h h 9 3 ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ È Ö h Ô ÖØÓ h + > º ÄÓ Ó ( h+) = h + º ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ h++ Ó Ø ÑÓ ÕÙ h+ h = ( h+ )( h++) h( h++) = ( h+) h( h++) = = h+ h( h++) = h h( h++) = h++. ÉÙ Ò Ó h Ó Ø ÑÓ /º µ È Ö ÔÖ Ü ÑÓ 9 > ÔÓÖØ ÒØÓ ( ) = º ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ÑÙÐØ ÔÐ ÑÓ ÔÓÖ +3 Ó Ø ÑÓ ( 9)( +3) ( 3)( +3) = ( 9)( +3) ( = ( 9)( +3) = +3. ) 3 9 ÉÙ Ò Ó 9 Ó Ø ÑÓ 9+3 = 3+3 = 6º

25 ½º¾º ÁÆÁ Ç ÄÁÅÁÌ ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ ÆÓØ ÕÙ Ó Ö Ó = r ÓÑ ÒØ Ñ Ó ÖÙÐÓ Ö Ó r ÔÓÖÕÙ µº Ç Ö Ó r ÓÙØÖ Ñ Ø º Ç Ö Ó Ô ÖØ Ó ÖÙÐÓ ÔÓ = r ÔÓÖØ ÒØÓ + = r º 9 ; 3, Ü ÑÔÐÓ Ó Ó Ö Ó f() = ; > 3, ; < 3. lim c +f() lim c f() limf() Ô Ö c µ c = 3 µ c = 3º Ø ÖÑ Ò Ó Ü Ø Ñµ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ Ç Ö Ó ÙÒÓ lim 3 µ lim 3 f() = 9 3 = lim 3 +f() = 3º ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ó Ø ÒØÓ Ó f() ÒÓ Ü Ø º µ Ù Ó lim 3 lim 3 f() = f() = º lim 3 +f() = 9 ( 3) = º ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ó ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ Ö Ó ÙÒÓ ÒÚ Ö ÓÑÓ Ó Ö = = log ÈÓ ÑÓ Þ Ö Ø Ö Ó Ö Ø Ò Ó Ñ ØÓÖÒÓ Ö Ø = Ó Ö Ó = = e º ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ log() Ñ ÐÙÐÓ Ë ÅÈÊ Ò e = Ò ØÙÖ Ð Ú Ôº ¼µº Ñ log() = ln() = log e () log ()º ÉÙ Ò Ó ÕÙ ÖÑÓ Ò Ú Ö ÒÙÒ µ Ó ÐÓ Ò Þ Ö Ú ÑÓ log º ÆÓ ÙØ Ð Þ ÑÓ ÒÓØ Ó ln Ñ ÓÖ ÓÑÙÑ Ñ ÐÙÐ ÓÖ µ Ô Ö Ó logº Ü ÑÔÐÓ Ó Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò lim f() lim f() Ô Ö e ; ; f() = ; < < ; log();. ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÂÙÒØ Ò Ó Ó ØÖ Ö Ó Ñ Ô ÖØ Ò Ó Ø ÑÓ Ó Ö ¹ Ó ÙÒÓ Ò ÔÓÖ Ô ÖØ ÜÓº

26 ½¼ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ e log() ÓÑÓ lim f() = e = lim +f() = = Ó limf() ÒÓ Ü Ø º lim f() = = lim +f() = log() = limf() ÒÓ Ü Ø º ÓÑÓ ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ Ê ÓÖ ÓÑÓ Þ Ö ØÖ Ò Ð Ó Ö Ó ÙÒ Ø ÒØÓ Ú ÖØ Ð ÕÙ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ðº Ü ÑÔÐÓ Ó Ó Ö Ó { Ø ÖÑ Ò +; > ; µ limf() Ô Ö f() = sen()+;. ; < ; µ limf() lim f() Ô Ö f() = +; ; log( ); <. ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÔÐ Ò Ó ØÖ Ò Ð ÔÖÓÔÖ Ó Ø ÑÓ Ó Ö Ó ÙÖ ÜÓº ÓÑÓ lim f() = sen()+ = Ù Ð Ó lim +f() = + = limf() = º = = µ ÔÐ Ò Ó ØÖ Ò Ð ÔÖÓÔÖ Ó Ø ÑÓ Ó Ö Ó ÙÖ ÜÓº ÓÑÓ lim f() = + = lim +f() log( ) = log() =, limf() ÒÓ Ü Ø º ÓÑÓ lim f() = ( ) = lim +f() = + =, lim f() ÒÓ Ü Ø º

27 ½º¾º ÁÆÁ Ç ÄÁÅÁÌ ½½ Î ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö ÓÖ ÙÑ ÙÒ ØÖ Ò ÕÙ Ó ÒØ Ö ÒØ Ô Ö Ó Ø ÓÖ Ó ÐÙÐÓ Ò Ð º Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö f() = sen ( ) º µ Ø ÖÑ Ò ØÓ Ó Ó Ú ÐÓÖ Ø ÕÙ f() = º µ Ø ÖÑ Ò ØÓ Ó Ó Ú ÐÓÖ Ø ÕÙ f() = f() = º µ Í Ò Ó ØÓ Ó Ó Ö Ó ÙÒÓ fº µ ÐÙÐ lim sen ( ) º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ Ô Ö ÕÙ sen() = Ø ÕÙ = kπº Ñ = = kπº ÄÓ Ó = Ô Ö k Z ÒØÓ f() = º kπ µ Ò ÐÓ Ñ ÒØ f() = = f() = = º kπ+π/ kπ π/ µ Ô ÖØ Ò Ó Ø ÔÓÒØÓ Ó Ø ÑÓ Ó Ö Ó ÜÓº = = π π π π f() = sen( ) µ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø ÔÓ f() Ó Ð ÒØÖ ÕÙ Ò Ó º Ü ÑÔÐÓ ½¼ Ò ÑÓ Ñ ÙÒÓ Ò ÓÖ { Q ÔÓ Ù Ø ÒÓÑ ÔÓ Ò ; Q Q ÓÙ ÒÓ ÙÑ Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ µ I Q () = ÐÙÐ Ó lim ; Q. I Q()º π ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼ Ç Ö Ó Ø ÙÒÓ ÓÖÑ ÔÓÖ Ù Ö Ø ÔÓÒØ Ð ÙÑ Ñ = ÒÓ ÖÖ ÓÒ ÓÙØÖ ÒÓ = Ñ Ó Ö ÓÒ Ú ÙÖ ÜÓµº ÓÑÓ Ü Ø Ñ Ö ÓÒ ØÓ ÔÖ Ü ÑÓ π ÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ö ÓÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ º º º µ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø º ØÓ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø Ñ ÔÓÒØÓ Ð ÙѺ

28 ½¾ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ = = f() = I Q () Ü ÑÔÐÓ ½½ ÙÒÓ Ô ÖØ ÒØ Ö ÓÙ Ñ ÒÓÖ ÒØ ÖÓµ ÒÓØ ÔÓÖ Ò ÓÑÓ Ò Ó Ó Ò Ó ÒØ ÖÓ n Ø Ð ÕÙ n < n + º Ü ÑÔÐÓ,5 = =,5 = º Ó Ó Ö Ó f() = Ø ÖÑ Ò µ lim + µ lim µ lim µ lim + µ lim f() = ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½½ µ µ µ ÓÑÓ Ð Ø Ö Ó Ø ÒØÓ Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø º µ µ º Î ÑÓ Ú Ö ÔÖÓÔÖ Ó Ð Ñ Ø ÓÑ Ö Ð Ó ÓÔ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÓÑ ÔÖÓ ÙØÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ú Óº ÑÓÒ ØÖ Ó Ö Ñ Ø Ô Ö Æ º ØÓ Ó ÑÓ Ó Ñ ÙÑ Ò Ó Ö ÓÖÓ Ð Ñ Ø ÒÓ Þ ÒØ Ó ÔÖÓÚ Ö Ø ÔÖÓÔÖ ¹ º Ä Ñ ½ ÓÒ Ö f() = k ÙÑ ÙÒÓ ÓÒ Ø ÒØ µ g() = ÙÒÓ ÒØ µº ÒØÓ Ó c R ÕÙ ÐÕÙ Ö lim f() = k c lim g() = c. c Ì ÓÖ Ñ ½ ÔÖÓÔÖ Ó Ð Ñ Ø µ ÓÒ Ö f g Ù ÙÒ c,k Rº Ë Ó Ð Ñ Ø limf() limg() Ü Ø Ñ ÒØÓ Ø Ñ Ñ Ü Ø Ñ Ó Ð Ñ Ø c c µ lim(f()+g()) = limf()+limg() Ó Ð Ñ Ø ÓÑ Ù Ð ÓÑ Ó Ð Ñ Ø µ c c c µ lim(f() g()) = limf() limg() Ó Ð Ñ Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ò Ó c c c Ð Ñ Ø µ µ lim(f() g()) = limf() limg() Ó Ð Ñ Ø Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ù Ð Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó c c c Ð Ñ Ø µ f() limf() µ lim c g() = c Ó Ð Ñ Ø Ó ÕÙÓ ÒØ Ù Ð Ó ÕÙÓ ÒØ Ó Ð Ñ Ø µ limg() lim g() º c c

29 ½º¾º ÁÆÁ Ç ÄÁÅÁÌ ½ ÑÔÓÖØ ÒØ Ó ÐÙÒÓ ÒØ Ò Ö ÑÓÒ ØÖ Ó Ó ÓÖÓÐ Ö Ó ÜÓ Ô Ö ÔÖ Ö ÓÑÓ ÔÓÙ ÔÖÓÔÖ ÔÓ Ñ Ö Ö ÒÓÚ ÔÖÓÔÓ º ÓÖÓÐ Ö Ó ½ Ð Ñ Ø ÔÓÐ ÒÑ Ó µ Ë p() = a +a +a + +a n n Ô Ö n N ÓÙ p ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù nµ ÒØÓ lim c p() = p(c) º ÈÖÓÚ ÔÐ Ò Ó n+ Ú Þ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ µ Ð Ñ Ø ÓÑ µ Ó Ø ÑÓ ÕÙ limp() = c lim a + lima + + lima n n º È ÐÓ Ä Ñ ½ lima = a Ð Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ µº È ÐÓ c c c c Ì ÓÖ Ñ ½ Ð Ñ Ø Ó ÔÖÓ ÙØÓµ lima = lima c c limº ÔÐ Ò Ó Ó Ä Ñ ½ lima c c lim = c a cº ÓÖ ÔÓ ÑÓ Þ Ö Ð Ó Ñ Ð Ö Ñ Ø ÖÑÓº È Ö Ó Ø ÖÑÓ 3 ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ø ÔÐ Ö Ù Ñ ÒØ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ µ Ð Ñ Ø Ó ÔÖÓ ÙØÓµ lim 3 = lim lim lim = c c c c c c c = c 3 º ÓÑÔÐ Ø Ó Ö ÙÑ ÒØÓº Ü ÑÔÐÓ ½¾ ÔÐ ÕÙ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö lim º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¾ Ü ÑÓ Ô Ö Ó Ð ØÓÖ ÔÐ Ö ÓÑ Ù Ó ÙÑ ÔÖÓÔÖ ¹ º Ø Þ Ö ÙÑ ÑÙØ Ø ÑÙØ Ò Ð Ø Ñ Ô Ö ÑÓ ÕÙ Ó ÕÙ Ø Ñ ÕÙ Ö ÑÓ ¹ Ó µ Ò ÔÖÓÚ Ó ÓÖÓÐ Ö Ó ½º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø ÙÑ ÙÒÓ Ö ÓÒ Ð ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÒØ ÒØÓ ÕÙ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÓ ÒÙÐ º Ó Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ ÔÖ ÑÓ Ñ ØÓ Ó Ô º Ñ ÒÓ ØÓ Ò Ó Ð Ñ Ø ÓÒ Ô Ö ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ 3/ ÓÙ /º ÆÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ü ÑÔÐÓ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ö Ñ ÒØ µ Ú Ö ÔÓ Ð ÓÑÔÓÖØ ¹ Ñ ÒØÓ ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ò Ó ÔÖÓÜ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓº Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò Ñ ÙÑ Ó Ø Ò ÜÓ Ó Ü Ø Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö ÕÙ Ò Ó + Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó º ÓÑÔ Ö ÓÑ Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ñ = º 3 µ µ

30 ½ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ = = µ µ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ¾ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ÒÓ Ü Ø Ð Ø Ö Ó Ø ÒØÓ µ f() = º µ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ½ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + ½ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ½ Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ó Ù µ f() = º µ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ÒÓ Ü Ø ÙÒÓ Ó Ð µ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + ½ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ÒÓ Ü Ø ÙÑ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö ÒÓ Ü Ø µ f() = º µ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + ¾ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ÒÓ Ü Ø Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ó Ø ÒØÓ µ f() = º Ç Ø ÓÖ Ñ ÜÓ Ö ÒØ ÕÙ ÔÓ ÑÓ ØÖÓ Ö Ó Ð Ñ Ø ÓÑ ÓÑÔÓ Ó Ó Ó Ð Ñ Ø Ü Ø Ñº Ì ÓÖ Ñ ¾ Ð Ñ Ø ÓÑÔÓ Óµ Ë Ü Ø Ñ Ó Ð Ñ Ø lim f() = f(l) limg() = L ( ) L c ÒØÓ limf(g()) = f lim g() = f(l)º c c ÈÖÓÚ Î ÔÖÓÚ Ñ Æ º Ç ÖÚ Ó Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÙÒÓ f Ð Ö ÔÓ Ö ÜÔÖ ÓÑÓ ÓÑ Ö Ò ÔÖÓ ÙØÓ ÕÙÓ ÒØ ÓÙ Ö Þ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ º Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ø ØÖ Ò ¹ Ò ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ÙÒ Ð Ö (+) (3 ) º 3 Ü ÑÔÐÓ ÙÒ ØÖ Ò Ò ÒØ sen,e 3+4,log( +),º Ç Ø ÓÖ Ñ ÜÓ Ö ÒØ Ü Ø Ò Ð Ñ Ø Ô Ö ÙÒ Ù Ù º Ì ÓÖ Ñ Ð Ñ Ø ÙÒÓ Ö Þ Ð ÙÑ ØÖ Ò Ò ÒØ µ Ë f() Ù Ð n sen(), cos(), tan() log() e arcsen() arccos() ÓÙ arctan() ÒØÓ Ô Ö ØÓ Ó c R ÓÒ f(c) Ü Ø lim c f() = f(c)º ÈÖÓÚ Ä Ë Ó ¾º Ôº º Ü ÑÔÐÓ ½ ÔÐ ÕÙ ( Ó ) Ø ÓÖ Ñ Ñ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ( π ) µ limlog µ limsen µ lim 4 4+(+ )º ( )

31 ½º º ÄÁÅÁÌ Ë ÁÆ ÁÆÁÌÇ ËË ÆÌÇÌ Ë Î ÊÌÁ ÁË ÀÇÊÁ ÇÆÌ ÁË ½ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ ÓÑÓ lim ( π ) µ ÓÑÓ lim µ 4 5º = π Ó Ð Ñ Ø Ú Ð sen(π/) = º ( ) = Ó Ð Ñ Ø Ú Ð log() = º ( ) Ç ÖÚ Ó ÓÑ Ò Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ½ ÔÖÓÔÖ Ó Ð Ñ Ø µ ¾ Ð Ñ Ø ÓÑÔÓ Óµ ÙÒÓ Ö Þ ØÖ Ò Ò ÒØ µ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÓÑÔÐ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÓ ÒÙÐ µº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ 3 e sen( π ) log lim π cos(+π) = π3 e sen() logπ cos(3π) = π. ½º Ä Ñ Ø ÁÒ Ò ØÓ ÒØÓØ Î ÖØ ÀÓÖ ÞÓÒ¹ Ø Î ÑÓ Ò Ø Ë Ó Ø Ò Ö Ò Ó Ð Ñ Ø Ô Ö ÔÖ Ü ÑÓ + ØÓ Ö Ò ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ö ÔÖ Ü ÑÓ ØÓ Ö Ò Ñ Ñ ÙÐÓµ Ò Ø ÚÓº Ð Ñ Ó Ú ÑÓ Ò Ö ÕÙ Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ Ó Ð Ñ Ø + ÓÙ Ô Ö ÔÖ Ü ÑÓ cº Ò Ó Ð Ñ Ø Ù Ð + µµ ÓÒ Ö ÙÑ ÙÒÓ Ö Ð f Ò Ô ÖØÓ c R Ñ ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ò Ñ cµº Þ ÑÓ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø f() ÕÙ Ò Ó Ø Ò c + µ ÒÓØ Ó ÔÓÖ limf() = + µ f() ØÓ Ö Ò c ÔÓ Ø ÚÓ Ò Ø ÚÓµ ÕÙ ÒØÓ ÕÙ ÖÑÓ ÕÙ Ò Ó Ø Ù ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ Ü ÑÓ c R Ñ cº Ç ÖÚ Ó Ü ÑÓ Ô Ö Ó Ð ØÓÖ Ò Ö Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö lim c +f() = + lim c f() = + lim c +f() = lim Ó ØÓ ÒÓ Ò Ó Ø Ô ØÙÐÓº Ø Þ Ö ÙÑ ÑÙØ Ø ÑÙØ Ò Ð Ø Ñ Ô Ö ÑÓ ÕÙ Ó ÕÙ Ø Ñ ÕÙ Ö ÑÓ Ó µ Ò Ò Ó ÒØ Ö ÓÖº c f() = ÓÖÑ Ò ÐÓ Ó ÕÙ Ò Ó ÒØÓØ Ú ÖØ Ðµ Ë ÕÙ Ò Ó c + ÓÙ c f() + ÓÙ Þ ÑÓ ÕÙ Ö Ø = c ÙÑ ÒØÓØ Ú ÖØ Ð Ó Ö Ó fº Ü ÑÔÐÓ ½ Ó Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø ÒØÓØ Ú ÖØ µ lim µ lim 3 µ lim µ lim µ lim 3 ( 3) 3 µ lim ( ) µ lim ( ) 9 ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ Ç Ö Ó µ µ µ µ Ó

32 ½ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ = 3 = = 4 = 3 µ µ µ µ Æ ÕÙ ØÖÓ Ø Ò ÒØÓØ Ú ÖØ Ð = º Ç ÖÚ Ò Ó¹Ó Ó Ø ÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö µ µ µ + µ º ÓÑ ØÖ Ò Ð Ó ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ö Ó Ö Ó µ µ µ = ( 3) 3 = ( ) = ( ) 9 = 3 µ = µ = µ µ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø ÔÓ Ô Ð Ö Ø Ú Ð Ô Ð ÕÙ Ö + Ñ ÑÓ Ò Ð ÕÙ / Ô ÖØÓ Ó µº ÒØÓØ Ú ÖØ Ð = 3º µ Ó Ð Ñ Ø Ñ ÑÓ Ò Ð ÕÙ / Ô ÖØÓ Ó µº ÒØÓØ Ú ÖØ Ð = º µ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø ÔÓ Ô Ð Ö Ø Ú Ð + Ô Ð ÕÙ Ö Ñ ÑÓ Ò Ð ÕÙ / Ô ÖØÓ Ó µº ÒØÓØ Ú ÖØ Ð = º ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ ÈÖ ÑÓ Þ Ö Ò Ð Ò Ð Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ó Ñ Ó ÕÙ ÖÓ Ò Ô Ö Ø ÖÑ Ò ÑÓ Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó Ô ÖØÓ ÒØÓØ º Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÕÙ R Ú Ö ÕÙ f() = 6 (+)(3 ) º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ Î ÑÓ Þ Ö Ò Ð Ò Ð ÙÑ Ó Ð Ñ ÒØÓ 6, +, 3 ÓÑ Ò Ö ØÙ Ó ÒÙÑ Ø Ð Ó Ò Ð f()º Ç ÔÓÒØÓ ØÖÓ Ò Ð Ó ±4,,3º ÓÖ Ù Ó ÓÑ ÒØ ÖÔÖ Ø Ó Ó Þ ÖÓº Ç ÔÓÒØÓ ÓÒ f() = Ó Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÙÐ ±4º ÆÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ 3µ f() ± º ± ± f() + + +

33 ½º º ÄÁÅÁÌ Ë ÁÆ ÁÆÁÌÇ ËË ÆÌÇÌ Ë Î ÊÌÁ ÁË ÀÇÊÁ ÇÆÌ ÁË ½ Ñ ÈÓÖØ ÒØÓ f() Ô Ö 4, (, 3), 4. Ç ÖÚ Ó ÈÓ Ö ÑÓ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ñ ØÓ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÓÑÔÓÖ Ó Ø ÖÑÓ ÕÙ Ö Ø Ó 6 Ñ Ó Ø ÖÑÓ Ð Ò Ö Ó ÕÙ ÙÑ ÒØ Ö Ó Ø Ñ Ò Ó Ø Ð º Æ ÔÖ Ø Ó Ø ÖÑÓ ÕÙ Ö Ø Ó ÑÔÐ ÓÖÑ a b ÓÙ b a Ü ÑÓ Ð Ø ØÓº ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ ÓÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ò Ð ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó a +b+c ÓÑ Ö Þ ÓÑÔÐ Ü ÒÓ¹Ö µ Ç Ö Ó Ô Ö ÓÐ Ø Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ Ñ Ó ÜÓ ÓÙ ÜÓ Ó ÜÓ ÔÓ ÒÓ Ø Ö ÑÓ Ö Þ Ö º Ñ Ø ÓÐ ÖÑÓ Ô Ö Ó Ò Ð a a > a +b+c > Ô Ö ØÓ Ó a < a +b+c < Ô Ö ØÓ Ó º Ü ÑÔÐÓ µ 3+3º = ( 3) 4 3 = 3 < º ÄÓ Ó Ö Þ ÓÑÔÐ Ü º ÓÑÓ a = > 3+3 > Ô Ö ØÓ Ó Rº µ +4 5º = 4 4 ( ) ( 5) = 4 < º ÄÓ Ó Ö Þ ÓÑÔÐ Ü º ÓÑÓ a = < +4 5 < Ô Ö ØÓ Ó Rº Ü ÑÔÐÓ ½ Ò Ð Ò Ð Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø µ lim µ lim ( )( 5+6) µ lim 3 ( ) 3 º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ Î ÑÓ Þ Ö Ó Ó ÕÙ ÖÓ Ò º Ç ÔÓÒØÓ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÓÙ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ Ñ ±3,º ÙÒÓ f() = ÓÒ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÙÐ µº ÆÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ ±3µ f() ± º ± ± f() + + Ñ ÙÒÓ Ø Ñ Ò Ð Ò Ø ÚÓ ÕÙ Ò Ó 3 Ò Ð ÔÓ Ø ÚÓ ÕÙ Ò Ó 3 + º ÄÓ Ó ÕÙ Ò Ó 3 Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó 3 + Ó Ð Ñ Ø + º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó 3 ÒÓ Ü Ø º µ Î ÑÓ Þ Ö Ó Ó ÕÙ ÖÓ Ò º ÓÑÓ = ( )( 3) Ó ÒÓ¹ Ñ Ò ÓÖ ( ) ( 3)º Ç ÔÓÒØÓ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÓÙ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ Ñ ±3,º ÆÓØ ÕÙ ÒÓ 3 Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙРѺ Æ Ø ÔÓÒØÓ Ó ÕÙ Ö ÔÓ ÐÙÐ Ö Ó lim 3 9 = 6º Ñ Ò Ø ÖÑ Ò Ó / = 6 Ò Ø Óº ( )( 5+6) ÙÒÓ f() = ÓÒ Ó ÓÑ ÒØ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÙÐ 3µº ÆÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ ÓÑ ÒØ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ, 3µ f() ± º ( ) f() + ÄÓ Ó Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó º

34 ½ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ ÇÙØÖ ËÓÐÙÓ È ÖØÓ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ 9 = 5µº ÓÑÓ 5+6 = ( )( 3) Ú ÑÓ Ò Ð Ö Ó Ò Ð Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÕÙ ( ) ( 3)º Ç ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÑÔÖ ÔÓ Ø ÚÓ Ó ÙÒ Ó Ô ÖØÓ Ò Ø ÚÓ 3 = µº Ñ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ Ò Ø ÚÓº ÄÓ Ó Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó º µ Æ Ø Ó ÒÓ Ø ÑÓ ÓÑÓ Ò Ð Ö Ó Ò Ð Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ñ Ø Ð ÔÓ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ó Ø Ö ÖÓ Ö Ù ÕÙ ÒÓ ÓÒ ÑÓ Ö Þ Ò Ö Ð ÔÓ Ù Ù Ö Þ ÓÑÔÐ Ü µº ÈÓ ÑÓ ÒÓ ÒØ ÒØÓ ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø Ò Ð Ò Ó Ó Ò Ð ÔÖ Ü ÑÓ Ó º È ÖØÓ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÑÔÖ Ò Ø ÚÓ 3 = µº Ç ÒÓÑ Ò ÓÖ ( ) 3 ÔÓ Ù Ó Ñ ÑÓ Ò Ð ÕÙ ( )º Ñ Ø Ñ Ò Ð ÔÓ Ø ÚÓ ÕÙ Ò Ó Ò Ð Ò Ø ÚÓ ÕÙ Ò Ó + º ÄÓ Ó ÕÙ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø + ÕÙ Ò Ó + Ó Ð Ñ Ø º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ÒÓ Ü Ø º ÖÖÓ ÓÑÙÑ ÆÓ Ð Ñ Ø Ó Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ø ÒØ Ö ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø Ñ Þ Ö ÕÙ ÖÓ Ò Ð Ò Ñ Ò Ó ÙÖØÓ Ô Ö ÓÑ Ø Ö ÙÑ ÖÖÓº ÅÙ ØÓ ÓÒÐÙ Ñ ÖÖÓÒ Ñ ÒØ µ ÕÙ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ ÙÒÓ Ú Ô Ö + º Ü ÑÔÐÓ ½ ÕÙ ÖÓ Ò Ó Ó Ö Ó p() = ( )(5 )( )º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ Î ÑÓ Þ Ö Ò Ð Ò Ð ÙÑ Ó Ð Ñ ÒØÓ, 5, ÓÑ Ò Ö ØÙ Ó ÒÙÑ Ø Ð Ó Ò Ð p()º Ö ÑÓ Ò Ð Ó Ø ÖÑÓ ÕÙ Ö Ø Ó Ö Ø Ñ ÒØ º ÆÓØ ÕÙ ÙÑ 5 µ ÔÓ Ù ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓ ÓÙØÖÓ µ ÔÓ Ù ÓÒ Ú Ô Ö Ñ º Ç ÔÓÒØÓ ØÖÓ Ò Ð Ó ±5,,,º p() Ñ Ó Ø ÑÓ Ó Ö Ó ÜÓº ÆÓØ ÕÙ Ø ÙÒÓ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù ÔÓ Ù Ö Þ º p()

35 ½º º ÄÁÅÁÌ Ë ÁÆ ÁÆÁÌÇ ËË ÆÌÇÌ Ë Î ÊÌÁ ÁË ÀÇÊÁ ÇÆÌ ÁË ½ Ñ Ö ÙÑÓ f() = p() ÙÑ ÙÒÓ Ö ÓÒ Ð ÕÙÓ ÒØ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó p() q()µ q() ÒÓ Ð Ñ Ø Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ q() ÒÙÐ Ñ ÕÙ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ p() ÒÙÐ ÓÙ ÕÙ Ò Ó c ÙÒÓ f() k ÓÑ k Ü Ø Ñ ÉÍ ÌÊÇ ÔÓ Ð Ô Ö Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÒÓ Ô ÖØÓ c ÓÒ ÓÖÑ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ ÜÓº ÈÖ ÑÓ Þ Ö ÕÙ ÖÓ Ò Ð Ò Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ð Ð ÓÓÖÖ º = c Áµ = c ÁÁµ = c ÁÁÁµ = c Áε ÖÖÓ ÓÑÙÑ ÆÓ ÔÖ Ø Ö Ø ÒÓ Ò Ø ÔÓ Ð ÓÒÐÙ Ö ÓÖÑ ÖÖ + ÕÙ lim = + ÓÙ µ ÔÓ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ º Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÒÓ Ô ÖØÓ c ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó c Ô Ö µ = 3 4+ c = 4 µ = c = º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ÜÓ Ô Ö Ó Ð ØÓÖ Þ Ö Ó ÕÙ ÖÓ Ò Ü ÑÔÐÓº µ Ô ÖØÓ = 4 Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ ÔÖ Ü ÑÓ 3 ( 4) = = 7º Ç ÒÓÑ Ò ÓÖ Ò Ø ÚÓ Ô Ö < 4 ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ö > 4º Ñ Ø ÑÓ ÕÙ Ô ÖØÓ Ó = 4 ÙÒÓ Ò Ø Ú Ô Ö < 4 ÔÓ Ø Ú Ô Ö > 4º Ç Ð Ñ Ø ÆÇ Ü Ø ÔÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ö Ñº Ç ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ = 4 µ Ô ÖØÓ = Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ò Ø ÚÓ ÔÖ Ü ÑÓ 9 = 5º Ç ÒÓÑ Ò ÓÖ Ù Ð ( ) ÕÙ ÑÔÖ ÒÓ¹Ò Ø ÚÓº Ñ Ø ÑÓ ÕÙ Ô ÖØÓ Ó = ÙÒÓ Ò Ø Ú Ç Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó Ç ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ

36 ¾¼ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ = Ë ÙÒÓ ÒÓ Ö ÓÒ Ð Ø ÑÓ ÕÙ Ò Ð Ö ÓÑ Ù Ó Ó Ò º Ü ÑÔÐÓ ¾¼ ÙÑ ÓÓ Ó Ö Ó Ô ÖØÓ ÓÖ Ñ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø µ lim π sen() µ lim e/ µ limlog( ) µ lim + log() º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾¼ µ Ë π + Ó ÒÓ Ò Ø ÚÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ó π ÔÓÖØ ÒØÓ Ó Ð Ñ Ø º Ë π ØÙ Ó ÓÔÓ Ø Ó Ð Ñ Ø + º ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ö Ñ Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó π ÒÓ Ü Ø º = π µ Ë + / + º ÈÓÖØ ÒØÓ e / e + = + º Ë / º ÈÓÖØ ÒØÓ e / e = /e + = /(+ ) = º ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ö Ñ Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ÒÓ Ü Ø º = µ Ë º ÓÑÓ log() = Ó Ð Ñ Ø º =

37 ½º º ÄÁÅÁÌ Ë ÁÆ ÁÆÁÌÇ ËË ÆÌÇÌ Ë Î ÊÌÁ ÁË ÀÇÊÁ ÇÆÌ ÁË ¾½ µ È ÐÓ Ø Ñ ÒØ Ö ÓÖ log() º ÔÐ Ò Ó Ó Ñ ÙÐÓ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø + º ÆÓØ ÕÙ ÒÓ ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ÔÓ log ÒÓ Ø Ò Ô Ö < = Ò Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó Ø Ò + µµ ÓÒ Ö ÙÑ ÙÒÓ Ö Ð f ¹ Ò Ô Ö ØÓ Ó Ö Ò Ô ÕÙ ÒÓµº Þ ÑÓ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø f() ÕÙ Ò Ó Ø Ò + µ Ù Ð L ÒÓØ Ó ÔÓÖ lim f() = L lim f() = Lµ f() Ñ ÔÖ Ü ÑÓ + L R Ô Ö ØÓ Ó Ö Ò Ô ÕÙ ÒÓµ Ó Ù ÒØ º Ç ÖÚ Ó ½¼ ÆÓØ ÕÙ Ø Ð Ñ Ø ÔÓÖ Ò ØÙÖ Þ ÙÑ Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÓÑ ÒØ ÔÓ ÑÓ Ö + Ô Ð ÕÙ Ö Ô Ð Ö Ø º ÄÓ Ó ÒÓ Ø ÑÓ Ð Ñ Ø Ð Ø Ö ÒÓ Ò Ò ØÓº Ç ÖÚ Ó ½½ ÈÓ ÑÓ Ò Ö Ü ÑÓ Ô Ö Ó Ð ØÓÖµ ÙÒØ Ò Ó Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÖÑ ÔÖÓÔÖ ÑÙØ Ø ÑÙØ Ò µ Ó Ð Ñ Ø f() = + lim f() = lim + f() = + lim f() = º lim + Ò Ó ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ðµ Ë ÕÙ Ò Ó + ÓÙ f() L R Þ ÑÓ ÕÙ Ö Ø = L ÙÑ ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ó Ö Ó fº Ü ÑÔÐÓ ¾½ Ó Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð µ lim + µ + lim µ 6 lim + µ lim 5 + +sen + ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾½ µ Ó Ð Ñ Ø ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð = º Ç Ð Ñ Ø º Ç Ø ÑÓ Ó Ö Ó ÓÑ ØÖ Ò Ð Ó Ú ÖØ Ð / 6 º = µ = 6 +

38 ¾¾ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ µ Ó Ð Ñ Ø ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð = º Ç Ø ÑÓ Ó Ö Ó ÓÑ ØÖ Ò Ð Ó Ú ÖØ Ð / 5 º = µ = 5 µ ÓÑÓ (+)/ = +/ ÕÙ Ò Ó + ÙÒÓ Ú Ô Ö ÔÓ Ó ÙÒ Ó Ø ÖÑÓ Ú Ô Ö º ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð = º Ç Ö Ó ØÖ Ò Ð Ó Ú ÖØ Ð Ù ÙÒ /º = µ = + µ ÔÓ ÔÓÖØ ÒØÓ sen sen = º ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð = º Ç Ö Ó ØÖ Ò Ð Ó Ú ÖØ Ð sen(/)º = µ = +sen(/) Ü ÑÔÐÓ ¾¾ Ø ÖÑ Ò Ó Ü Ø Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð

39 ½º º ÄÁÅÁÌ Ë ÁÆ ÁÆÁÌÇ ËË ÆÌÇÌ Ë Î ÊÌÁ ÁË ÀÇÊÁ ÇÆÌ ÁË ¾ µ µ = µ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾¾ µ Æ Ò ÙÑ Ó Ó Ð Ñ Ø Ü Ø ÔÓ ÙÒÓ Ó Ð Ú ÐÓÖ Ø ÒØÓ Ô Ö Ö Ò ÓÑÓ Ô ÕÙ ÒÓº ÆÓ Ü Ø ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ðº µ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + º ÆÓ Ó Ó Ð ÔÖÓÜ Ñ Ó Ð Ò Ó Ú Þ Ñ ÒÓ µº Ñ ÓÖ ÒÓ Ø Ò ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÔÓ Ù Ó ÕÙ Ñ ÑÓ ÒØÓØ Ó Ð ÕÙ º Î Ó Ôº º µ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó Ó Ð Ò Ó Ú Þ Ñ ÒÓ µ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + ÒÓ Ü Ø ÔÓ ÙÒÓ Ó Ð ÓÑ ÑÔÐ ØÙ Ú Þ Ñ ÓÖº ÆÓØ ÕÙ = ÙÑ ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ðº Ç ÖÚ Ó ½¾ ÆÓØ ÔÓÖ ÙÑ Ó Ü ÑÔÐÓ ÔÖ ÒØ Ó ÕÙ Ð µ ÕÙ Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ ÔÓ ÖÙÞ Ö ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÙÑ Ò Ò Ú Þ º Á ØÓ ÒÓ ÓÓÖÖ Ô Ö ÒØÓØ Ú ÖØ Ð ÔÓÖÕÙ µ Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò Ó Ü Ø Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö ÕÙ Ò Ó + Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó º ÓÑÔ Ö ÓÑ Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ñ = º

40 ¾ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ µ = µ = ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ µ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + ¼ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ¾ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + + Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ÒÓ Ü Ø Ð Ø Ö Ó Ø ÒØÓ µ f() = º µ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ¼ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + ÒÓ Ü Ø ÔÓ Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ó Ð Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó Ð Ø Ö Ó Ù µ f() = º È Ö ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + ÓÙ ÙÑ ÙÒÓ f() = p() q() Ú ÑÓ ÓÑÔ Ö Ö Ö Ñ ÒØÓ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÓÑ ÒÓÑ Ò ÓÖº ÉÙ Ñ Ö Ö Ñ Ö Ô Ó Ò º Ë Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ Ò Ö Ó Ð Ñ Ø Ö Þ ÖÓº Ë Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ò Ö Ö + ÓÙ º Ë ÓÙÚ Ö ÑÔ Ø Ô Ò Ö Óº ÍÑ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ñ ÓÖ ÔÓØ Ò Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ Ô Ö Ö Ò ÓÙ Ô ÕÙ ÒÓµº Ñ Ø Ö ÑÓ ÕÙ f() = p() q() p º Ô Ò Ò Ó p > q ÓÙ p = q ÓÙ q p < q Ø ÖÑ Ò ÑÓ Ó Ð Ñ Ø º È Ö ÔÐ Ö Ø Ø Ò ÓÑ Ö ÓÖ Ú ¹ ÓÐÓ Ö Ñ Ú Ò Ø ÖÑÓ Ñ ÓÖ Ö Ù Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖº Ü ÑÔÐÓ ¾ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ 3 + µ lim µ lim + µ lim µ lim º µ lim ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ µ ÓÐÓ Ò Ó Ñ Ú Ò Ó Ø ÖÑÓ Ñ ÓÖ Ö Ù 3 + = 3+/ 3+/ 3+ = = / / = 3 º

41 ½º º ÄÁÅÁÌ Ë ÁÆ ÁÆÁÌÇ ËË ÆÌÇÌ Ë Î ÊÌÁ ÁË ÀÇÊÁ ÇÆÌ ÁË ¾ µ ÓÐÓ Ò Ó Ñ Ú Ò Ó Ø ÖÑÓ Ñ ÓÖ Ö Ù = 5 8 +/ +/ 5 / 7 +/ 8 = +/ +/ 5 3 º ÐÙÐ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø Ô Ö Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ó ÔÖÓ ÙØÓ / 7 +/ 8 +/ +/ 5 3 / 7 +/ ++ = º ÄÓ Ó Ó Ð Ñ Ø Ú Ð = º 8 + µ ÓÐÓ Ò Ó Ñ Ú Ò Ó Ø ÖÑÓ Ñ ÓÖ Ö Ù Ó Ð Ñ Ø = 7 /4 5+/ 7 º ÐÙÐ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø Ô Ö Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó /+/ 6 6 /4 5+/ 7 = /+/ 6 Ð Ñ Ø /4 5+/ 7 5+ = 5 = 5º ÄÓ Ó Ó Ð Ñ Ø Ú Ð 5 = º /+/ 6 + µ ÓÐÓ Ò Ó Ñ Ú Ò Ó Ø ÖÑÓ Ñ ÓÖ Ö Ù = 7 +/5 +/ 7 = / +/ 5 +/5 +/ 7 º ÐÙÐ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø Ô Ö Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó / +/ 5 Ð Ñ Ø + +/5 +/ 7 ++ = = º ÄÓ Ó Ó Ð Ñ Ø Ú Ð + ( ) = º / +/ 5 + µ ÁÒ ÐÑ ÒØ ÒÓØ ÕÙ ØÖ Ø ¹ ÙÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ó Ø ÔÓ + (+ )º ÓÐÓÕÙ Ñ Ú Ò = ( )º ÐÙÐ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø Ô Ö Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó Ð Ñ Ø + ( ) Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø Ú Ð + ( ) = º ÆÓØ ÕÙ ÆÇ ÙÑ Ò Ø ÖÑ Ò Óº ÖÖÓ ÓÑÙÑ ÓÒ ÙÒ Ö Ø Ò Ö Ò ÓÑ Ô ÕÙ ÒÓº Ñ Ó ÐÙÒÓ ÐÙÐ ÓÖÑ ÊÊ µ Ó Ð Ñ Ø lim = lim / Ó Ø Ò Ó ÕÙ ÖÖ Ñ ÒØ / Ó ÐÙÒÓ Ô Ò ÕÙ / Ú Ô Ö Þ ÖÓ µº ÆÓ Ü ÑÔÐÓ ÜÓ Ñ ÕÙ Ô Ö Ñ Ö Þ Ø Ò Ñ Ð Ö ØÓÑ Ò Ó Ó Ú Ó Ù Ó ÓÑ Ó Ò Ð ÔÓ ÓÑÓ Ñ ÑÓ Ø ÒÓ º Ü ÑÔÐÓ ¾ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø 6+3 µ lim + + µ lim µ lim º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ µ Ç Ø ÖÑÓ Ñ ÓÖ Ö Ù Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ 6 Ó ÒÓÑ ¹ = 6 +3/(6) Ò ÓÖ º ÓÐÓ Ò Ó¹Ó Ñ Ú Ò Ó Ø ÑÓ º Ë Ô Ö Ò Ó Ñ (+/) 6 +3/(6) Ó Ð Ñ Ø Ø ÑÓ ÕÙ ÐÙÐ Ö lim = 4 lim = lim = / + = º Ñ Ó Ð Ñ Ø º ÈÓ ¹ Ú Ö ÓÖÑ Ù ÒØ Ó Ñ ÑÓ Ö ÙÐØ Ó ØÓÑ Ò Ó + Ó Ø ÖÑÓ Ñ ÓÖ Ö Ù Ú Ð Ó Ô Ö Ö Ò µº Ñ = 4 = 4 + º Ë + ÒØÓ ØÓ Ø Ò º µ ÓÐÓ Ò Ó¹Ó Ñ Ú Ò = 5 ÔÖÓ Ù Ò Ó ÓÑÓ ÒÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ø Ö ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø lim º ÓÑÓ Ò Ø ÚÓ 5 5 = = 5 5 Ó Ú ÐÓÖ Ó Ð Ñ Ø º µ ÓÐÓ Ò Ó¹Ó Ñ Ú Ò 6 = ÔÖÓ Ù Ò Ó ÓÑÓ ÒÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ 3 3 Ø Ö ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø lim º ÓÑÓ Ò Ø ÚÓ = 3 = Ó Ú ÐÓÖ Ó Ð Ñ Ø º 3 ÆÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ü ÑÔÐÓ ÔÖ ÑÓ Ö ÓÒ Ð Þ Ö ÒØ º

42 ¾ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ Ü ÑÔÐÓ ¾ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø µ lim µ lim + + º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ µ Ê ÓÒ Ð Þ Ò Ó ÓÑ +3++ Ó Ø ÑÓ ( +3+) +3++ = = ÓÖ ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ Ó Ø Ò Ó Ó Ø ÑÓ lim + 3+ º ÓÐÓÕÙ Ñ Ú Ò ÒÓ ÒÙÑ Ö ÓÖ ¹ ++ (3+/) ( +/ +) º ÆÓØ ÕÙ Ó ÒØÖÓÙ Ò Ö Þ ÓÑÓ º Ò Ð Ò Ó 3+/ +/ + º Ë + Ó Ø ÑÓ 3+ = 3 ++ º µ Ê ÓÒ Ð Þ Ò Ó ÓÑ + + Ó Ø ÑÓ ( + ) ( ) + + = = + +. Ú Ò Ó¹ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ ÓÙ Ó ÕÙ Ò Ñ Ñ ÓÐÓ Ò Ó¹ Ñ Ú Ò µ Ó Ø ÑÓ = º Ë + Ó Ø ÑÓ + /+ +/ + ++ = º Ç ÖÚ Ó ½ ÉÙ ÑÔÖ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ + ÒÓ Ó Ñ ÑÓº Á ØÓ Ú Ö Ô Ö ÙÒ Ö ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø Ò ØÓº ÉÙ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø Ò Ò ØÓ ÔÓ ÑÓ Ø Ö ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ lim = + lim = º ÇÙØÖÓ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ó Ð Ñ Ø Ø ÒØÓ lim + e = + lim e = º ÖÖÓ ÓÑÙÑ Ö Ú Ö ÕÙ lim = 3/5º ÆÓØ ÕÙ = º Ë > 9 = 3 = 3 < 9 = 3 = 3º 9 +3 Ñ lim = lim 9 +3 = º ÆÓ Ü ÑÔÐÓ ÜÓ Ð ÙÒ ÕÙ Ô Ö Ö Ñµ ÒÓ Ü Ø Ø Ò Ö Ð ÔÓ ÒÚÓÐÚ Ñ ÙÒÓ ØÖ Ò Ò ÒØ ØÓ ÙÒÓ ÕÙ ÒÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÙ ÕÙÓ ÒØ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÙ Ö Þ Ó ÓÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ sen,cos,e,logº Ü ÑÔÐÓ ¾ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø Ó Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò ÌÇ Ë ÒØÓØ Ú ÖØ ÓÖ ÞÓÒØ µº µ lim + e + µ lim π/ cos() µ lim log() µ lim + log() º µ lim e /

43 ½º º ÄÁÅÁÌ Ë ÁÆ ÁÆÁÌÇ ËË ÆÌÇÌ Ë Î ÊÌÁ ÁË ÀÇÊÁ ÇÆÌ ÁË ¾ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ µ e e (+ ) = e = /e + = /(+ ) = º ÄÓ Ó e + º È Ö Ó ÓÓ ÒÓØ ÕÙ ÕÙ Ò Ó ÙÑ ÒØ Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ñ ÒÙ º ØÖ Ò Ð Ó Ú ÖØ Ðº Ò ÒØÓØ = ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ðº = µ = e + µ ÓÑÓ cos() > Ô Ö ÔÖ Ü ÑÓ π/ Ñ Ñ ÒÓÖ ÕÙ ØÓ Ó Ð Ñ Ø + º È Ö Ó ÓÓ ÓÑ ÓÑ Ó Ö Ó Ó Ó ÒÓ ÔÓÒØ Ð Ó Ò ÙÖ ÜÓµº ÉÙ Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ñ ÙÐÓ cos Ó Ú ÐÓÖ /cos Ñ ÒÙ Ñ Ñ ÙÐÓº ÆÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ cos() = ØÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ = kπ±π/ Ô Ö k Z /cos() ± º Ñ ÒØÓØ Ú ÖØ Ó Ò Ø ÔÓÒØÓ º = cos() = 5π = 3π = π = π = 3π = 5π µ = cos() µ ÕÙ Ò Ó / º Ñ e / e = /e + = /+ = º È Ö Ó ÓÓ ÒÓØ ÕÙ ÙÒÓ ÑÔÖ ÔÓ Ø Ú º È ÖØÓ Ó Þ ÖÓ ÔÖÓÜ Ñ Þ ÖÓ ÐÓÒ ÔÖÓÜ Ñ e = º = µ = e / µ ÓÑÓ log() = log() > Ô Ö > lim +f() = + º ÓÑÓ log() < Ô Ö < lim f() = º ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ó Ø ÒØÓ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø º µ ÓÑÓ log() /log() º È Ö Ó ÓÓ /log ÓÑ ÓÑ Ó ÓÓ log ÔÓÒØ Ð Ó Ò ÙÖ ÜÓµº

44 ¾ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ ÉÙ Ò Ó log Þ ÖÓ /log ± º Ç ÕÙ ÓÓÖÖ ÔÖ Ü ÑÓ Ó ÕÙ Ó Ö Ó ÓÐ ÒÓ ÜÓ Ñ ÓÖ Ò Ø Ö Ó ØÓ ÒÓ ÕÙ Ð ÖÓº ÓÒÚ Ó Ó Ð ØÓÖ ÙØ Ð Þ Ö ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ë Ó ½º½µ ÕÙ ÔÐÓØ Ö Ó Ô Ö ÒÚ Ø Ö Ø ÔÓÒØÓº = log() = µ µ = log() Ü ÑÔÐÓ ¾ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø º µ lim log( ) µ lim sen() µ lim + + sen() µ lim (log(3) log( 5))º + ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ µ + ÔÓÖØ ÒØÓ log( ) + º µ Ø Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø ÔÓ Ó ÒÓ Ó Ð Ò Ó ÒØÖ º µ Ø Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø ÔÓ ÓÑÓ Ó ÒÓ Ó Ð /sen() Ú Ó Ð Ö Ø + Ø º µ Ø ÑÓ ÙÑ Ó Ò Ø ÖÑ Ò Ó ( ) + (+ )º ÈÓÖ ÔÖÓÔÖ Ó ÐÓ Ö ØÑÓ 3 3 (log(3) log( 5)) = log º ÓÑÓ lim = 3 Ö ÔÓ Ø log(3)º Ü ÑÔÐÓ ¾ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø º µ lim I Q()º µ lim º + + ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ µ Î Ó Ö Ó Ò Ôº½¾º Ä Ñ Ø ÒÓ Ü Ø ÔÓ ÙÒÓ Ó Ð Ò Ó ÒØÖ º µ Î Ò Ó Ö Ó ÙÒÓ Ò Ôº½¾º Ä Ñ Ø + ÔÓ ÕÙ Ò Ó + ÙÒÓ ÔÖÓÜ Ñ + Ô Ò Ó ÓÑ ÒØ Ô ÐÓ ÒØ ÖÓ º

45 ½º º ÁÆ Ì ÊÅÁÆ Ë Ç ÄÁÅÁÌ ¾ ½º ÁÒ Ø ÖÑ Ò Ó Ä Ñ Ø ÔÖÓÔÖ Ó Ð Ñ Ø ÓÑ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Øºµ ÕÙ ÔÖ ÒØ ÑÓ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÒÓ ÔÓ Ñ Ö ÔÐ ÕÙ Ò Ó Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ ÓÙ ÕÙ Ò Ó ÙÖ + ÓÙ º ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ð ÙÑ ÜØ Ò Ø Ö ÙÐØ Ó Ó ÔÓ Ú º Ð ÙÑ Ü ÑÔÐÓ Ë limf() = + limg() = + ÒØÓ lim(f()+g()) = lim(f() g()) = c c c c + º Ë limf() = + limg() Ò ØÓ ÔÓ Ø ÚÓ ÓÙ Ò Ø ÚÓµ ÒØÓ lim(f()+g()) = c c c + º Ø Ø ÓÖ Ñ ÔÓ Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ó ØÖ Ú Ó Ù ÒØ ÕÙ ÖÓº ËÓ Ð Ñ Ø Ø ÖÑ Ò Ó È Ö ÓÑ» Ù ØÖ Ó + +(+ ) = + + ( ) = + (+ ) = +( ) = º È Ö ÔÖÓ ÙØÓ» Ú Ó + (+ ) = + + ( ) = (+ ) = ( ) = + º k È Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö k ÒÐÙ Ò Ó k = µ + = k = º + Ë k > k (+ ) = + k ( ) = k = + = º k + Ë k < k ( ) = + k (+ ) = k = = + º k Ç Ô Ö Ó ÕÙ ÆÇ Ò Ñ ÖÓ Ñ Ø ÑÓ Ù ÒØ Ò Ø ÖÑ Ò º ËÓ Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø + (+ ) ( ) + (+ ) + + ( ) ± (± )º ± k Ü ÑÔÐÓ ¼ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ ÕÙ ÐÙ ØÖ Ñ Ó Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ò Ó ÒØÖ ÓÐ Ø µ µ lim µ lim µ lim [+ (+ )] µ lim 4 [ ] 4 [ ] µ lim 3 +5 [ (+ )] µ lim 4 [ (+ )]º [+ (+ )] 6 µ lim [ ] ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¼ µ ÓÐÓ Ò Ó Ó Ñ ÑÓ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ú ÑÓ ÕÙ 4 = º È Ö ÔÖ Ü ÑÓ Þ ÖÓ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ò Ø ÚÓ µ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÑÔÖ 4 ÔÓ Ø ÚÓº ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó º µ Þ Ò Ó Ò Ð Ñ Ð Ö Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ö º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ò Ð Ö ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ð Ñ Ø Ö + º µ Ú Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ = +/ 3+5/ + 3+ = /3º µ 6 = 6 º

46 ¼ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ µ 6 = 6 3º µ ÓÑÓ = Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ÒÓ Ü Ø ÔÓ Ô Ò Ò Ó Ó Ð Ó ÕÙ 4 3 Ñ Þ ÖÓ Ô Ð Ö Ø + Ô Ð ÕÙ Ö º µ = º Ç ÖÚ Ó ½ Ð Ñ Ø Ü Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ó + ÕÙ ØÙ Ö ÑÓ ÒÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÜÔÓÒ Ò Ð Ò Ôº ÕÙ ÙÖ ÒÓ ÑÓ ÐÓ ÙÖÓ ÓÒØ ÒÙÓ ÓÑÔÓ ØÓ º Ø Ó ÖÓÒØ Ö Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ a + º Ë < a < ÒØÓ a + = ÑÙÐØ ÔÐ ÕÙ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ñ ÒÓÖ ÕÙ ÔÓÖ Ð Ñ ÑÓ ÙÑ Ò Ò Ú Þ µº Ë a > ÒØÓ a + = + º ÇÙØÖ Ò Ø ÖÑ Ò Ó (+ ) º Ä Ñ Ø ÕÙ ÒÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö ÒÓ ÑÓÑ ÒØÓ À Ö ÖÕÙ Ó Ò Ò ØÓ ÉÙ Ñ Ö Ñ Ö Ô Ó Ú Ñ Ö Ô Ó Ô Ö Ó Ò Ò ØÓµ ÒØÖ log() n n Nµ ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ñ Ø ÔÓ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö ØÓ ÐÙÐ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + Ó ÕÙÓ ÒØ ÒØÖ Ù ÙÒ º ÓÑ ØÓ Ø Ð ÑÓ Ö ÖÕÙ Ó Ò Ò ØÓ ÒØÖ Ó Ò Ò ØÓ ÕÙ Ñ Ñ Ò Ò ØÓº Ë ÑÓ Þ Ö ØÓ ÓÑ n Ñ ÒÓ ÓÑ Ø ÙÒ º Ç Ð Ñ Ø ÜÓ Ò ÆÇ ÑÓ ÐÙÐ Ö ÓÑ Ó ÕÙ ÔÖ Ò ÑÓ Ø ÓÖ º ÆÓ ÒØ ÒØÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ñ Ø Ò Ä³ÀÓ Ô Ø Ð ÕÙ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ò Ôº Ó Ô ØÙÐÓ ÔÐ Ö Ú µ Ú ÑÓ ÔÖ Ò Ö ÐÙÐ ¹ÐÓ e log() lim + n, lim º + n Ç ÖÚ Ó ½ ÈÓ ÑÓ ÒÜ Ö Ö Ó Ò Ò ØÓ R ÙØ Ð Þ Ò Ó Ñ ÔÖÓ Ó Ø Ö Ó¹ Ö Ó Ó ÒØÖ Ó Ñ ÖÙÐÓ Rµº Î ÙÖ ÜÓ ÒÓØ ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ, 3 ÓÖÖ ÔÓÒ Ñ Ó ÔÓÒØÓ ÒÓ Ò Ò ØÓº 3 p( ) = p( 3 ) = + p( ) p( ) ÈÖÓ Ó Ø Ö Ó Ö p : {Ñ Ó ÖÙÐÓ} R ½º ÓÓ Ö Ó Ô ÖØ Áµ Ç Ó Ø ÚÓ Ø Ë Ó Ó Ö Ö Ó ÙÒ Ö ÓÒ ÕÙÓ ÒØ ÔÓÐ ÒÑ Ó µ ÓÑ ÒØ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÒØÓØ º Å ÒØ ÒÓ Ô ØÙÐÓ ÔÐ Ö Ú Ò Ë Ó º Ôº½¼ µ ÔÖ Ò Ö ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ö Ö Ñ ÒØÓ Ö Ñ ÒØÓ ÙÒÓ ÓÒ Ú Ö ÒØ Ò Ó Ñ Ø Ð Ó Ö Óº Æ ÙÒ Ö ÓÒ ÒØÓØ Ú ÖØ ÓÖ ÞÓÒØ Ó ÑÙ ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ º È Ö Ó Ö Ö Ó Ú ÑÓ Ù Ö ÔÓÒØÓ R ÓÒ

47 ½º º Ë Ç Ç Êý Á ÇË È ÊÌ Áµ ½ f() >, f() =, f() < Þ Ò Ó Ó ÕÙ ÖÓ Ò Ð Ò º f() = ± ÒØÓØ Ú ÖØ º ÐÙÐ Ö f() ÕÙ ÓÖ Ò ØÓ Ø ÖÑ Ò Ö ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ðº lim ± Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò Ó Ò ÒØÓØ Ú ÖØ ÓÖ ÞÓÒØ ÙÑ ÓÓ Ó Ö Ó µ f() = + µ f() = 8 6 µ f() = 4 4 ( 9) º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ Î ÑÓ Þ Ö Ó Ó ÕÙ ÖÓ Ò º Ç ÒÙÑ Ö ÓÖ + = ( + )º Ç ÔÓÒØÓ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÓÙ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ Ñ ±,, º ÙÒÓ f() = ÓÒ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÙÐ º ÆÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ ±µ f() ± º ( + ) ± ± f() ÒØÓØ Ú ÖØ Ð ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ = µ Ñ = = ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ñ = ÔÓ + = +/ / + = ÕÙ Ò Ó + º µ f() = + = = = µ Î ÑÓ Þ Ö Ó Ó ÕÙ ÖÓ Ò º Ç ÒÙÑ Ö ÓÖ 8 = ( 4)º Ç ÔÓÒØÓ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÓÙ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ Ñ ±,±4º ÙÒÓ f() = ÓÒ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÙÐ ±º ÆÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ ±4µ f() ± º 4 4 ( 4) ± ± f() + + ÒØÓØ Ú ÖØ Ð ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ 6 = µ Ñ = 4 = 4 ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ñ = ÔÓ 8 6 = 8/ 6/ = = º

48 ¾ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ µ f() = 8 6 = = 4 = 4 µ Î ÑÓ Þ Ö Ó Ó ÕÙ ÖÓ Ò º Ç ÒÙÑ Ö ÓÖ 4 4 = ( )( + ) ÓÑ ÒØ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÔÓ Ù Ö Þ Ö º Ñ ÚÓÙ ÒÓÖ Ö ÒÓ ÕÙ ÖÓ Ò Ó Ø ÖÑÓ + > ÒÓ ÐØ Ö Ó Ò µº Ç ÔÓÒØÓ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÓÙ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ Ñ ±,±3,º ÙÒÓ f() = ÓÒ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÙÐ ±º ÆÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ ±3,µ f() ± º ± ± ± f() ÒØÓØ Ú ÖØ Ð ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ ( 9) = µ Ñ = = 3 = 3 ÒÓ ÔÓ Ù ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + + ÕÙ Ò Ó µº = 3 = 3 (c)f() = 4 4 ( 9)

49 ½º º ÄÁÅÁÌ Ë ÍÆ Å ÆÌ ÁË ½º Ä Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ó Ó Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ó ÐÙÐÓ ÙÑ Ö Ð ÓÒ Ó Ó ÒÓ Ó ÓÙØÖÓ ÜÔÓÒ Ò Ðº ËÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ÙÐØ Ó ÒÓ ØÖ Ú º ÈÖ ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÙÑ Ö ÙÐØ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ó Ó ÒÓµ Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ò Ù º ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ Á ÒØ Ö ÒÓ ÖÙÐÓ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó ÙÒ ÒÓ Ó ÒÓ Ø Ò ÒØ º Ê ÓÖ Ö ÒØ Ó sen(a+b) Ñ Ò Ø ÖÖ Ø Ñ Ô ÐÑ Ö º º º ( )µ cos(a+b) Ó Ó Ò Ò ( )µº Ì ÓÖ Ñ Ë Ò Ù µ ËÙÔÓÒ ÕÙ f() g() h() Ô Ö ØÓ Ó R ÓÙ Ô Ö ØÓ Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ Ó Ð Ñ Ø Ø Ò Ó ÐÙÐ Óµº Ë limf() = limh() = k c c ÒØÓ limg() = kº c Ç ÖÚ Ó ½ Ø Ì ÓÖ Ñ ÓÒØ ÒÙ Ú Ö ÖÓ Ô Ö c = + ÓÙ c = Ô Ö k = + ÓÙ k = º Ü ÑÔÐÓ ¾ Ó Ó Ö Ó ÔÐ ÕÙ Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ò Ù Ô Ö ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø ÜÓ µ limsen µ lim sen sen µ lim µ lim e ( e)i Q () µ lim ( e)i Q ()º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÒÚ Ó Ó Ð ØÓÖ ÙØ Ð Þ Ö ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ë Ó ½º½µ ÕÙ ÔÐÓØ Ö Ó Ô Ö ÒÚ Ø Ö Ø Ü ÑÔÐÓ º µ È Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ø ÑÓ ÕÙ sen() º Ñ Ô Ö Ø ÑÓ ÕÙ sen(/) º È Ö Ø ÑÓ ÓÖÑ Ò ÐÓ ÕÙ sen(/) º ÈÓ ÑÓ ÙÒØ Ö Ó Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ñ ÙÐÓ Ô Ö ØÓ Ó R sen(/) º ÉÙ Ò Ó ÙÒ ÒÓ ÜØÖ ÑÓ Ø Ò Ñ Ô Ö ÔÓÖØ ÒØÓ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ò Ù Ó Ð Ñ Ø º ÅÓ ØÖ ÑÓ Ò ÕÙ Ò ØÖ ÙÖ Ó Ö Ó ÙÒÓº Ç ÖÙÐÓ ØÖ Ó ÞÓÒ ÞÓÓÑ ÕÙ ÑÓ ØÖ Ò ÔÖ Ü Ñ º ÆÓØ ÓÑÓ Ö Ø = ± Ð Ñ Ø Ñ Ó Ö Ó ÙÒÓº = = Áµ = sen =

50 È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ = = = = ÁÁµ = sen ÁÁÁµ = sen µ ÓÖÑ Ò ÐÓ sen(/) º ÉÙ Ò Ó ÙÒ ÒÓ ÜØÖ ÑÓ Ø Ò Ñ Ô Ö ÔÓÖØ ÒØÓ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ò Ù Ó Ð Ñ Ø º ÅÓ ØÖ ÑÓ Ò ÕÙ Ò ØÖ ÙÖ Ó Ö Ó ÙÒÓº Ç ÖÙÐÓ ØÖ Ó ÞÓÒ ÞÓÓÑ ÕÙ ÑÓ ØÖ Ò ÔÖ Ü Ñ º ÆÓØ ÓÑÓ Ô Ö ÓÐ = ± Ð Ñ Ø Ñ Ó Ö Ó ÙÒÓº = =.4.4 = = Áµ = sen ÁÁµ = sen

51 ½º º ÄÁÅÁÌ Ë ÍÆ Å ÆÌ ÁË =.7.7 ÁÁÁµ = sen = µ ÓÖÑ Ò ÐÓ / sen()/ / º ÉÙ Ò Ó ÙÒ ÒÓ ÜØÖ ÑÓ Ø Ò Ñ Ô Ö ÔÓÖØ ÒØÓ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ò Ù Ó Ð Ñ Ø º ÆÓØ ÕÙ Ó Ö Ó ÙÒÓ Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ = ±/º µ f() = sen() µ ÙÒÓ I Q ÙÒÓ Ò ÓÖ Ó Ö ÓÒ µ Ð Ñ Ø ÔÓÖ º Ñ I Q () Ô Ö ØÓ Ó Rº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ( e) Ú Ð ÒÓ Ñ Ü ÑÓ e ÒÓ Ñ Ò ÑÓ e Ñ ÔÓ ÑÓ Ð Ñ Ø Ö ( e)i Q () ÔÓÖ e ( e)i Q () e Ô Ö ØÓ Ó Rº ÉÙ Ò Ó e ÙÒ ÒÓ ÜØÖ ÑÓ Ø Ò Ñ Ô Ö ÔÓÖØ ÒØÓ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ò Ù Ó Ð Ñ Ø º Ç Ö Ó Ø ÙÒÓ ÓÖÑ ÔÓÖ Ù Ö Ø ÔÓÒØ Ð ÙÑ Ñ = ÒÓ ÖÖ ÓÒ ÓÙØÖ ÒÓ = e Ñ Ó Ö ÓÒ Ú ÙÖ ÜÓµº

52 È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ = e = e e µ f() = ( e)i Q () µ ÆÓØ ÕÙ f() = ( e)i Q () = e = eº ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ô ÖØÓ Þ ÖÓ ÙÒÓ ÙÑ Ú ÐÓÖ ÔÖ Ü ÑÓ e Ô Ö Q Ù Þ ÖÓ Ô Ö Qº ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ð Ñ Ø ÆÇ Ü Ø º Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ sen(3+e )+ lim +3 + ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ È Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ø ÑÓ ÕÙ sen() º Ñ ÓÑ Ò Ó Ó Ó Ð Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ = + sen(3+e )+ + = Ô Ö ØÓ Ó Rº Ú Ò Ó ÔÓÖ + ÕÙ ÑÔÖ Ö ÒØ Þ ÖÓ ÓÑ Ò Ó 3 Ó Ó Ð Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ sen(3+e ) º ÉÙ Ò Ó Ó Ó Ð Ó + + ÓÒÚ Ö Ñ Ô Ö 3º È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ò Ù Ó Ð Ñ Ø 3º Ì ÓÖ Ñ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Óµ lim sen() ÈÖÓÚ È Ö > ÓÑÔ Ö Ó Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ö ØÒ ÙÐÓ ÒÓ ÖÙÐÓ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó ÓÑ Ó ÖÓ ÖÙÐÓº Î ÕÙ ÐÕÙ Ö Ð ÚÖÓ ÐÙÐÓ ÓÙ ÙÐ Ó Ù ÔÖÓ ÓÖº Î ÑÓ Ó Ø Ö ÕÙ cossen sen cos. È Ö < < π/ ØÓ Ó Ó Ø ÖÑÓ Ó ÔÓ Ø ÚÓ º Ñ cos sen cos. sen È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ò Ù lim = º È Ö < Ó ÖÚ ÕÙ = > ÕÙ + sen( ) = sen()º Ñ ÄÓ Ó lim sen sen = lim + sen = sen( ) = º = sen() = sen(). Î Ð Ô Ò ÒØ Ò Ö ÑÓÒ ØÖ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó ÔÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ÙÐØ Ó ÒÓ ØÖ Ú Ð Ð Ñ Ø º ÆÓØ ÕÙ ÙÑ Ó Ò Ø ÖÑ Ò Ó º =

53 ½º º ÄÁÅÁÌ Ë ÍÆ Å ÆÌ ÁË Ç ÖÚ Ó ½ ÆÓ Ó Ôº ÙÞ ÑÓ Ø Ð Ñ Ø ÖÑÙÐ Ö Ó ÖÙÐÓº ÅÙ Ò Ú Ö Ú ÒÓ Ð Ñ Ø º ÈÓ ¹ ÑÙ Ö Ú Ö Ú Ó Ð Ñ Ø Ô Ö Ø ÖÑ Ò ¹ÐÓº ÔÖ Ò Ø Ø Ò ØÖ Ú Ó Ü ÑÔÐÓ ÜÓ ÔÓ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ ÑÙ Ø Ú Þ º ÆÓ Ô ØÙÐÓ ÒØ Ö Ó Ú ÑÓ ÒØÖÓ¹ ÙÞ Ö ÙÑ Ø Ò Ñ Ð Ö ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð ÒØ Ö Óº Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ sen() tan (3) sen(5) µ lim µ lim µ lim sen(7) cos µ lim º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÌÓÑ t = º ÉÙ Ò Ó t º ËÙ Ø ØÙ Ò Ó Ó Ø ÑÓ sen(t) lim t t/ = lim sen(t) = = º t t µ ËÙ Ø ØÙ tan = sen/cos ÙØ Ð Þ ÔÖÓÔÖ Ó Ð Ñ Ø Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ô Ö Ó Ø Ö lim cos(3) lim sen(3) sen(3) º ÓÖ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö ÙÑ Ø Ð Ñ Ø ÔÓ Ó ÓÙØÖÓ ÒØ Óº cos(3) sen(3) ÍØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÒÓÚ Ñ ÒØ Ó Ø ÑÓ ÕÙ lim cos(3) = lim sen(3) lim =º Ç Ð Ñ Ø lim = º È Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Þ ÑÓ Ù Ø ØÙ Ó t = 3º cos(3) cos(3) sen(3) sen(t) sen(t) ÉÙ Ò Ó t º ËÙ Ø ØÙ Ò Ó Ó Ø ÑÓ lim = lim = 3lim = t t/3 t t 3 = 3º ÈÓÖØ ÒØÓ Ö ÔÓ Ø 3 = 9º µ ÅÙÐØ ÔÐ ÕÙ Ñ Ñ Ñ ÜÓ ÔÓÖ Ñ ÒÓ ÐØ Ö ÑÓ Ó Ð Ñ Ø µ Ô Ö ÒÓ sen(5) ÔÖÓ ÙØÓ Ó Ð Ñ Ø lim lim º Ç ÔÖ Ñ ÖÓ Ö 5 Ú Ó Ø Ñ µ ÔÓ sen(7) ) (7) º ÈÓÖØ ÒØÓ Ö ÔÓ Ø Ò ÐÓ Óµ Ó ÙÒ Ó Ù Ð lim sen(7) ( lim sen(7) 5/7º µ ÅÙÐØ ÔÐ ÕÙ ÔÓÖ +cos Ô Ö Ö ÓÒ Ð Þ Ö Ó Ø Ò Ô Ö Ñ Ó Ð Ñ Ø ÙÑ ÓÑ sen ÕÙ Ú Ö ÓÙØÖÓ ÓÑ ÈÓÖØ ÒØÓ Ö ÔÓ Ø /º cos = sen (+cos) (+cos) º ÓÖ (+cos) ÕÙ Ú Ö /º Ç Ü ÑÔÐÓ ÜÓ Ó ÙÑ ÔÓÙÓ Ñ ÓÑÔÐ Ó ÔÐ Ó Ø Ò ÑÙ Ò Ú Ö Ú º 7 +h 7 Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó lim º h h ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÓÐÓÕÙ 7 Ñ Ú Ò ÑÙ Ú Ö Ú Ð Ô Ö t = 7 +h/ 7 (t ) ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ñ Ø Ñ Ñ lim º ÆÓØ ÕÙ ÓÑ ÑÙ Ò ÕÙ Ò Ó h t (t 7 ) t º ÓÐÓ Ò Ó 7 Ñ Ú Ò Ó Ø ÑÓ ÕÙ 7 +h 7 = 7 7 +h/ º h h Ò Ó t Ó Ø ÑÓ ÕÙ t 7 = +h/ ÔÓÖØ ÒØÓ t 7 = h/ h = (t 7 )º 7 (t ) ËÙ Ø ØÙ Ò Ó Ø ÒØ Ó Ø ÑÓ Ó Ð Ñ Ø lim º ÓÖ ÓÑÓ Ö Þ Ø t (t 7 ) Ú Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó t 7 ÔÓÖ t ÔÓ Þ Ö t º Î ÑÓ Ó Ø Ö 7 = = 7 7 6/

54 È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò lim π/ cos() π/ º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ Ò t = π/ ÔÐ ÕÙ ÒØ cos(a+b) = cosacosb senasenbº ËÙ Ø ØÙ Ò Ó t = π/ ÕÙ Ò Ó π/ t º ÄÓ Ó Ó Ð Ñ Ø Ô Ö cos(t+π/) lim º ÓÑÓ cos(t + π/) = costcosπ/ sentsenπ/ = sent Ó Ø ÑÓ t t sen(t) Ó Ð Ñ Ø lim ÕÙ Ú Ð Ô ÐÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ðº t t ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ ÈÖÓÔÖ ÜÔÓÒ Ò Ó (a b ) c = a bc º Ñ ( ) 7 = 7 = 4 (+a) 7 = ((+a) ) 7 º ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ ÈÖÓÔÖ Ó Ô Ø Ð Ó Ó ÐÓ log(a b ) = blog(a)º Ñ log(7) log(7 / )º = Ç Ð Ñ Ø ÜÓ ÔÓ Ù ÙÑ ÓÒ ÜÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò Ö ÒÓ Ñ Ó ÑÓ ÐÓ ÙÖÓ ÓÑÔÓ ØÓ ÓÒØ ÒÙÓ º ÇÙØÖ ÓÒ Ü Ó ÓÑ ÑÓ ÐÓ Ö Ñ ÒØÓ ÔÓÔÙÐ ÓÒ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ó Ø ÚÓº Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÒ Ø Ø ÔÐ Ó ÑÓ ÐÓ ÜÔÓÒ Ò Ðº ÌÖ Ø ¹ ÙÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ó Ø ÔÓ + º Ì ÓÖ Ñ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÜÔÓÒ Ò Ðµ Ç Ð Ñ Ø lim h (+h) /h Ü Ø º ÈÖÓÚ Î Ñ Æ º Ò Ó Ò ÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð e R ÔÓÖ e = lim h (+h) /h º Ç ÖÚ Ó ½ ÈÓ ¹ ÔÖÓÚ Ö Ú Æ µ ÕÙ e =! +! +! + 3! +... = + Ø ÓÙØÖ ÔÓ Ð Ô Ö Ò Ó eº ÍØ Ð Þ Ò Ó Ø Ò Ó ÔÓ ¹ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ < e < 3º Æ Ö Ð e = ÌÖ Ø ¹ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ðº i= i!. ÓÖÓÐ Ö Ó ¾ ( lim + ( = lim + + ) = eº ) ÈÖÓÚ Ø ÑÙ Ö Ú Ö Ú Ð Ô Ö h = / ÔÐ Ö Ó Ì ÓÖ Ñ º

55 ½º º ÄÁÅÁÌ Ë ÍÆ Å ÆÌ ÁË ÂÙÖÓ ÓÑÔÓ ØÓ ÓÒØ ÒÙÓ º ËÙÔÓÒ ÙÑ Ô Ø Ð c ÒÚ Ø Ó ÓÑ ÙÖÓ ÒÙ k ÔÓÖ ÒØÓ Ó ÒÓº Ò Ò Ó α = k/ Ô t ÒÓ Ó Ú ÐÓÖ ØÓØ Ð Ö c(+α) t ÔÓÖÕÙ µº ÓÖ Ó ÙÖÓ ÓÖ Ñ ÓÑÔÙØ Ó Ñ Ò ÐÑ ÒØ Ø Ü Ñ Ò Ð Ö α/ Ó ØÓØ Ð Ö Ô t ÒÓ c( + α/) t º ÕÙ ÖÑÓ ÓÑÔÙØ Ö ÔÓÖ c( + α/365) 365t º Ò ÐÑ ÒØ ÔÓ ÑÓ ÓÑÔÙØ Ö ÔÓÖ ÓÖ Ñ ÒÙØÓ ÙÒ Ó Øº ÉÙ Ð Ö Ó ØÓØ Ð Ô t ÒÓ ÓÑÔÙØ ÖÑÓ ÙÖÓ ÓÑÔÓ ØÓ ÓÒØ ÒÙÓ ÒÓØ Ò Ó ÔÓÖ n Ó Ò Ñ ÖÓ Ú Þ ÕÙ Ó ÙÖÓ ÓÑÔÓ ØÓ Ö ÓÑÔÙØ Ó Ö ÑÓ Ó Ð Ñ Ø lim (+ c α ) nt. n + n Þ Ò Ó Ù Ø ØÙ Ó Ú Ö Ú Ð = n/α Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø ( lim c + α ( = c + ) lim + ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ú ÐÓÖ ØÓØ Ð Ô t ÒÓ Ö c αt Ú Ö Ó Ôº½ µº ( + ) ) αt = ce αt. Ç ÖÚ Ó ½ Î Ó Ó Ó ÙÖÓ ÓÑÔÓ ØÓ º ÆÓØ ÕÙ ÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ÒÓ Ø Æ Ð ÖÓ Ó ÕÙ Ú ÓÓÖÖ Öº Ë ÔÓÖ ÙÑ Ð Ó Ô Ö ÕÙ Ú Ö + Ô Ð ÙÑÙÐ Ó Ò Ò Ø Ú Þ ÙÖÓ Ø Ü ( + α/n) ( + ) = Ó ÕÙ Ò Ö ÕÙ ÒÓ Ð Ñ Ø Ö ÑÓ ÓÑ Ó Ñ ÑÓ ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ Ò Ðº Ç ÕÙ ÓÓÖÖ Ò Ö Ð ÕÙ Ó Ø ÑÓ e αt ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÑ Ö Ó ÒØÖ + º ÔÖ Ð Þ Ø Ö ÙÐØ Óº Ö Ñ ÒØÓ ÔÓÔÙÐ ÓÒ Ðº ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÑ ÖØ Ø Ö Ö ÔÖÓ ÙÞ Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ù ÔÓÔÙÐ Ó ÙÑ ÒØ Ñ k ÔÓÖ ÒØÓ ÓÖ º Ñ Ô ÖØ Ò Ó ÙÑ ÔÓ¹ ÔÙÐ Ó Ò Ð p Ò Ò Ó α = k/ Ô t ÓÖ ÔÓÔÙÐ Ó Ö p ( + α) t º ÓÖ Ó Ö Ñ ÒØÓ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ó Ñ ÒÙØÓ Ø Ü Ö Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ñ ÒÙØÓ Ö ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ µ k/6 ÔÓÖ ÒØÓ ÔÓÖ Ñ ÒÙØÓ ÔÓÔÙÐ Ó ØÓØ Ð Ö Ô t ÓÖ p (+α/6) 6t º È Ò Ó Ó Ð Ñ Ø ÓÑ Ó Ö Ñ ÒØÓ ÓÓÖÖ Ò Ó Ò Ø ÒØ Ö ÑÓ ÓÖÑ Ò ÐÓ ÕÙ Ô t ÓÖ ÔÓÔÙÐ Ó Ö p e αt º Ë ØÙ Ó Ò ÐÓ Ó Ñ ÒØÓ Ö Ó Ø ÚÓ ÙÑ Ø Ü k ÔÓÖ ÒØÓ ÙÑ Ñ Ò Ð Ñ Ø Ö Ð Ö Ó Ø ÚÓ m º Ò Ò Ó α = k/ Ô t ÓÖ Ñ Ö m ( α) t º Ë Ù Ò Ó Ö Ó Ò Ó Ò ÐÓ Ó Ñ ÓÑ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð = n/α ÙÞ Ö ÑÓ ÕÙ Ô t ÓÖ Ñ Ö m e αt º Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø µ lim + (+/)4 µ lim + ( +3 ) 5 µ lim ( 5)7/ º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÓÑÓ (+/) 4 = ((+/) ) 4 Ô Ò Ó Ó Ð Ñ Ø Ó Ø ¹ ( ) 4 ÑÓ lim + (+/)4 = lim + (+/) = e 4 º µ ÓÑÓ (( + 3)/) 5 = ( + 3/) 5 Þ Ò Ó Ù Ø ØÙ Ó / = 3/ Ó Ø ÑÓ Ó ( ) 5/3 Ð Ñ Ø lim + (+/)5/3 = lim + (+/) = e 5/3 º

56 ¼ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ ( ) 35 µ Þ Ò Ó = 5 Ó Ø ÑÓ Ó Ð Ñ Ø lim(+) 7/( /5) = lim (+)/ = e 35 º Ç ÖÚ Ó ¾¼ ÈÓÖÕÙ e Ò ØÙÖ Ð Ô Ö ÜÔÓÒ Ò Ð ÈÓÖÕÙ Ñ Ö Ò Ù¹ ÐÓ Ñ Ö ÒÓ Î ÑÓ Ö ÔÓÒ Ö Ø Ô Ö ÙÒØ Ò Ôº Ó Ô ØÙÐÓ Ö Ú Ñ ØÓ Ø Ñ Ö Ð Ó Ö Ø ÓÑ Ø Ó Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ º ÉÙ ÐÕÙ Ö Ú Ð Þ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó Ô ÒÚÓÐÚ Ö Ð ÙÑ Å Ø Ñ Ø ÓÐ Ö Ó Ñ ÑÓº ÓÔ Ò Ñ ÖÓ Ó Ò ÑÓ Ó ÙÑ ÒÓ µ Ö Ù Ú Ö Ó ÖÙÐÓ Ñ ¼ Ö Ù ÒÚ ÒÓ Ó ÐÒ Ó ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÓÑ Ó ÕÙ ÒØ Ñ ÐØ ÔÐÓ µ ÓÙ Ö Ó ÒÚ ÒØ Ó Ò Ö ÚÓÐÙÓ Ö Ò Ô Ö ØÓÖÒ Ö Ò ÙÐÓ Ö ØÓ ÓÑ ½¼¼ Ö Ó ÒØÖÓ Ó Ô Ö ØÓ Ø Ñ Ñ Ðµ Ó ÓÐ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ö ØÖ Ö Ó ÀÓÑÓ Ô Ò º ½º ½º º½ Ü Ö Ó Ä Ñ Ø Ü Ö Ó Ü Ó Ü Ö Ó ½º ÓÒ Ö Ó Ö Ó = f() Ó ÒÓ Ö Ó ÜÓº Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø ÜÓº Ó Ð ÙÑ ÒÓ Ü Ø Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö º µ limf() a µ limf() b µ limf()º c a b c Ü Ö Ó ¾º Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº Ë ÓÖ Ð Ó ÙÑ ÓÒØÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÙ ÓÖÖ º Ë ÓÖ Ú Ö ÖÓ Ù Ø ÕÙ º µ { R; 3 } = [,5]º µ { R; + < } = (,3)º µ = Ô Ö { ØÓ Ó Rº 4; ; µ g() = ÒØÓ limg() = g() = πº π; = Ü Ö Ó º Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº ÓÖÖ º Ë ÓÖ Ú Ö ÖÓ Ù Ø ÕÙ º Ë ÓÖ Ð Ó ÙÑ ÓÒØÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÙ ¼ ¾¾º Ùк¾¼½¼

57 ½º º Ê ÁÇË ÄÁÅÁÌ ½ µ Ë lim 3 +f() = 5 ÒØÓ lim 3 µ Ë lim f() = 5º f() = 4 ÒØÓ lim f() = 4º µ Ë limf() = 4 ÒØÓ f() = 4º µ Ü Ø ÙÑ ÙÒÓ f Ø Ð ÕÙ lim 3 +f() lim f() = lim f()º 3 3 5; Ü Ö Ó º ÓÒ Ö ÙÒÓ f ÔÓÖ f() = 7; < 9; > ÓÙ Ó ÒÓ Ü Ø Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ô Ö µ k = µ k =.9999 µ k =. µ k = µ k =.9999 µ k =.º. Ø ÖÑ Ò lim k f() Ü Ö Ó º ÔÐ ÕÙ Ò Ó Ó Ñ ÙÐÓ Ô Ö Ó Ö Ó Ó Ö Ó cos µ cos() µ º Ü Ö Ó º È ÖØ Ò Ó Ö Ó ÙÒ ÑÔÐ ±, ±/ ±/ sen() log() e µ ÙØ Ð Þ Ò Ó ØÖ Ò Ð Ú ÖØ»ÓÙ ÓÖ ÞÓÒØ»ÓÙ Ö Ü Ó Ó Ö Ó µ = + µ = +sen() µ = log( )+ µ = (+) 3 µ = (+)(+) µ = e º Ü Ö Ó º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø µ lim ( )(3 ) ; 4 + µ lim 3 + ; µ lim º Ü Ö Ó º Ò Ø ÜØÓº lim + f() = + Ù Ò Ó ÑÙØ Ø ÑÙØ Ò ½ Ò ÒÓ Ü Ö Ó º Ó ØÙ Ó Ò Ð Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ú ÐÓÖ ÕÙ Ø Þ Ñ Ù Ð µ 3 µ 3 ( 4) º Ü Ö Ó ½¼º Ó ØÙ Ó Ò Ð Ó ÓÓ Ó Ö Ó Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÜÓº µ p() = ( )(+3)( ) µ q() = ( ) (+) µ r() = (3 )( ) ( 5)º Ü Ö Ó ½½º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø µ lim ; µ lim ; µ lim ; 3 µ lim ; ½ Ð Ø Ñ Ô Ö ÑÓ ÕÙ Ó ÕÙ Ø Ñ ÕÙ Ö ÑÓ Ó

58 ¾ È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ µ lim + ; ( µ lim + ) ; µ lim º Ü Ö Ó ½¾º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø ( µ lim µ lim + ) +6 µ lim µ µ µ lim lim lim + µ lim µ lim µ lim º 9 7 Ü Ö Ó ½ º Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº Ë ÓÖ Ð Ó ÙÑ ÓÒØÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÙ ÓÖÖ º Ë ÓÖ Ú Ö ÖÓ Ù Ø ÕÙ º Ë limq() = ÒØÓ 3 µ lim q() = + µ lim q() f() = q() µ lim = º Ü Ö Ó ½ º ÉÙ Ð ÙÖ ÜÓ ÔÓ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ g Ø Ð ÕÙ µ µ lim g() = µ lim lim g() = +g() = + Úµ lim g() = µ µ µ µ Ü Ö Ó ½ º ÙÑ ÓÓ ÙÑ Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ f Ø Ð ÕÙ f() = Ð Ñ Ó ÙÑ Ö Ó Ô Ö Ø Ñµ µ lim +f() = µ lim +f() ÒÓ Ü Ø µ lim +f() = + Ü Ö Ó ½ º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø sen(3) µ lim sen(/) µ lim µ lim h + (+/)5 µ lim π/ +tan() µ lim º +( )/ lim f() =, Ü Ö Ó ½ º ØÙ Ó Ì ÓÖ Ñ Ôº Ë Ò Ù µ Ö ÔÓÒ µ Ú Ö ÕÙ g() ÒØÓ lim g() Ü Ø ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒØÖ 3/ cos( µ ÜÔÐ ÕÙ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ò Ù ÓÑÓ ÐÙÐ Ö lim +) º +

59 ½º º Ê ÁÇË ÄÁÅÁÌ ½º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ó { Ó Ö Ó Ù ÒØ ÙÒ { 9 µ f() = ; 3 ; ; µ f() = 3; > 3. log()+; <. ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÓÒ Ö ÙÒÓ{ I Z Ñ ÙÒÓ Ö Ø Ö Ø ÓÙ Ò ÓÖ Ó ; Z ÓÒ ÙÒØÓ Zµ Ò ÔÓÖ I Z () = Ó Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ü Ø Öµ ; Z. µ lim I Z () µ lim I Z() µ lim I Z()º 3/4 3 + ÈÖÓ Ð Ñ º ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ ÕÙ Ò Ó Ð Ü Ø Ö Ñµ Ù Ø Ò Ó Ù Ô Ó Ñ ÙØ Ð Þ Ö Ö Ö Ä³ÀÓ Ô Ø Ðµ Ä Ñ Ø ÓÑ Ö Þ +h h 4 h +3 µ lim µ lim µ lim ; h h 4 h h+ ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò ( ) Ó Ð Ñ Ø Ó ÒÓ Ü Ø Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ó Ü Ø Ñµº 7 µ lim sen µ limlog 3 +3 (+) +3 µ lim µ lim 5 +5 º ÈÖÓ Ð Ñ º ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ ÕÙ Ò Ó Ð Ü Ø Ö Ñµ Ù Ø Ò Ó Ù Ô Ó Ñ ÙØ Ð Þ Ö Ö Ö Ä³ÀÓ Ô Ø Ðµ ( µ lim 4 +3 µ lim µ lim + ) ; µ lim 5+6 µ lim µ lim µ lim µ lim a (a )(a 4) a 3 5a +8a 4 +3 µ lim + е lim µ lim 3 + ѵ lim + 3+ µ lim ; ÈÖÓ Ð Ñ º ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ ÕÙ Ò Ó Ð Ü Ø Ö Ñµ Ù Ø Ò Ó Ù Ô Ó Ñ ÙØ Ð Þ Ö Ö Ö Ä³ÀÓ Ô Ø Ðµ Ä Ñ Ø ÒÓ Ò Ò ØÓ µ lim µ lim µ lim ( ) µ lim µ lim µ lim sen 66 + º ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ Ö a,b R c > º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø µ lim (+a) b/ ( µ lim c +a c +b) ( µ lim c +a b) +

60 È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ µ ( lim c +a ( c +b) µ lim c +a c +b) º + ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó p() = a m + 3+ q() = b m r() = c m ÓÑ m > a,b c > º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø µ µ lim + p() r() m p() lim + r() µ lim + µ lim + q() µ p() r() p() lim + µ r() p() lim + r() q() ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö ÕÙ Ò Ó Ô Ö µ h() = +e µ h() = / º ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º Ë Ò Ó ÕÙ Ó ÕÙ ÖÓ Ò f() Ó Ô Ð Ø Ð ÜÓ ÕÙ lim f() = 4 lim f() = + Ó Ó Ö Ó f() Ø ÖÑ Ò ÌÇ Ë + ÒØÓØ Ú ÖØ ÓÖ ÞÓÒØ º ± ± f() + + ÈÖÓ Ð Ñ ½½º Ó Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒ ÜÓ Ù Ò Ó Ó ÖÓØ ÖÓ ÜÓº µ ÙÑ ØÙ Ó Ó Ò Ð ÙÒÓ ÓÒ Ð Þ ÖÓ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú µº µ Ø ÖÑ Ò ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ú ÖØ º µ Ó Ñ µ µ Ó Ó Ö Óº µ = µ = µ = ( ) µ = µ = + ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º ÓÒ Ö ÙÒÓ h() = Ü Ø Öµ µ lim π h(); µ lim h(); { ; Q ; Q. µ lim + h() ; Ó Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò h() µ lim + ; h() µ lim. ÈÖÓ Ð Ñ ½ º µ ËÙÔÓÒ ÕÙ h() Ø Þ 3 + h() + º Ø ÖÑ Ò lim h()º + µ ËÙÔÓÒ ÕÙ f() Ø Þ f() º ÐÙÐ limf()º 5 ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ ÕÙ Ò Ó Ð Ü Ø Ö Ñµ Ù Ø Ò Ó Ù Ô Ó Ñ ÙØ Ð Þ Ö Ö Ö Ä³ÀÓ Ô Ø Ðµ Ä Ñ Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó ( ÜÔÓÒ Ò º ) (tan(3)) +sen( ) cos cos 3 µ lim µ lim sen(5) + 3 sen µ lim 3

61 ½º º Ê ÁÇË ÄÁÅÁÌ sen( h)tan( h) µ lim h + 5h µ lim h +( 5h3 ) /h3 ( µ limsen µ lim π cos π 7+ sen(π/) sen µ lim º ) (e ) ½º º ÜØÖ ÜØÖ ½º È ÖØ Ò Ó Ö Ó ÙÒ ÑÔÐ ±,±/,±/,,sen(), µ ÙØ Ð ¹ Þ Ò Ó ØÖ Ò Ð Ú ÖØ»ÓÙ ÓÖ ÞÓÒØ»ÓÙ Ö Ü Ó Ó Ö Ó µ = sen() µ = µ = + º ÜØÖ ¾º ÙÑ ÓÓ ÙÑ Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ f Ø Ð ÕÙ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ lim f() = 4 lim f() = lim + f() =, f() = lim +f() = º sengr() ÜØÖ º Ø ÖÑ Ò lim ÓÒ sengr ÙÒÓ ÒÓ Ó Ò ÙÐÓ Ñ Ó Ñ Ö Ù º ÆÓØ ÕÙ Ô Ö ÙÒÓ ÒÓ ÙØ Ð Þ Ñ ÐÙÐÓ Ó Ò ÙÐÓ Ñ Ó Ñ Ö ÒÓ º ÜØÖ º Ó Ó Ö Ó µ = + µ º ÜØÖ º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø µ lim 3 + µ lim ( ) + µ lim 3 ( ) µ lim cos ( π)º π π ÜØÖ º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø µ µ lim + lim ( + ) µ lim º + + µ lim + + ÜØÖ º ÓÒ Ö ( a Rº Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø ) ( µ lim +a µ lim +a ) º + + ÜØÖ º Ó { Ó Ö Ó Ù ÒØ ÙÒ ; Q; µ f() = µ g() = ; Q { ; Q; ; Q

62 È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ ½º º Ó Ó ½º ÙÒÓ Ô ÖØ ÒØ Ö ÒÓØ ÔÓÖ Ò Ò Ôº ½¾º µ ÐÙÐ Ü Ø Ö lim. µ ÐÙÐ Ü Ø Ö lim. µ Ó Ó Ö Ó f() = º µ ÐÙÐ Ü Ø Ö lim. Ó ¾º Ø ÖÑ Ò µ lim + (e +) /. µ lim (+)α/log ÓÑ α º + Ó º ÓÑÓ ÐÙÐ Ö ÒØÓØ Ó Ð ÕÙ Ò Ö Ð Þ Ú Ò Ó Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ô Ö Ò Ó Ñ ÕÙÓ ÒØ Ö ØÓº Ñ 3+ = q()+ r º È Ö Ö Ò 3+ q() Ù ÒØÓØ Ó Ð ÕÙ º ÈÐÓØ ÙÒ Ö Ó Ô Ö Ú Ö ÓÑÓ ØÓ Ô Ö Ñº Ç Ñ ÑÓ ÓÓÖÖ ÕÙ Ò Ó Ö Ò ÒØÖ Ó Ö Ù Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ñ ÓÖ ÕÙ º Ó º Ø ÖÑ Ò lim º Ì ÒØ Ó Ö Ó Ö Ó Ô ÖØÓ Ó Þ ÖÓ Ø ÙÒÓº sen(/) ÍØ Ð Þ Ð ÙÑ Ó ØÛ Ö Ô Ö Óº + Ó º Ö ØÙÖ sen(/) Ó Ð ÚÖÓ Ó ËÔ Ú ÐÙÐÓµ Ó Ó Ö Ó ÙÒÓ f ÕÙ Ø Þ µ f(/n) = ( ) (n+) µ f Ð Ò Ö ÒØÖ [/(n+),/n] Ñ ÒØÓ Ö Ø µ µ f() = Ô Ö > Úµ f( ) = f()º Ó º ÈÖÓÚ ÕÙ Ö Ó ÖÙÐÓ Ö Ó r πr Ù Ò Ó Ó Ù ÒØ ÖÓØ ÖÓ µ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ö Ó ÔÓÐ ÓÒÓ n¹ð Ó Ò Ö ØÓ ÒÓ ÖÙÐÓ n r sen(π/n)º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ö Ó ÔÓÐ ÓÒÓ n¹ð Ó ÖÙÒ Ö ØÓ ÒÓ ÖÙÐÓ n r tan(π/n)º µ n + ÓÒÐÙ Ó Ö ÙÑ ÒØÓº Ó º Ë Ñ f g Ù ÙÒ Ø ÕÙ f() M Ô Ö ØÓ Ó R limg() = º ÅÓ ØÖ ÕÙ limf()g() =. Ó º Ç Ø ÚÓ Ø Ø Ú ÔÖÓÜ Ñ Ö ÙÒÓ ØÓÖ Ðº Ð Ú Ö ÕÙ ( ) n! = ( )( 3 ) ( 3 4 ) 3 ( ) ( ) n n n n. n

63 ½º º Ê ÁÇË ÄÁÅÁÌ n ( ) j n j ÄÓ Ó n! = n n = n n / ( + /j) j.  ÑÓ ÕÙ Ó Ø ÖÑÓ ( + /j) j j + j= j= Ø Ò Ô Ö ÕÙ Ò Ó j Ø Ò Ô Ö Ò Ò ØÓº ÈÓÖØ ÒØÓ n! n n /e n = e(n/e) n Ú µº ÍØ Ð Þ Ò Ó Ø ÔÖÓÜ Ñ Ó Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó n Ú Ô Ö Ò Ò ØÓ µ n! n! n! µ µ n n5 e µ n! n! µ n nn/ n º n Ç ÈÓ ÑÓ Ò Ö ØÓÖ Ð ÒÓ¹ ÒØ ÖÓ Ø Ñ ÑÓ ÓÑÔÐ ÜÓ µ ÓÑ ÙÒÓ Ñ ÙÐ Öº Ç ÍØ Ð Þ Ò Ó ÓÙØÖÓ Ñ Ò Ó Ú Ôº ½ ÓÙ ËÔ Ôº µ Ó Ø ÑÓ ÖÑÙÐ ËØ ÖÐ Ò ¾ n! = πn(n/e) n e θn ÓÑ θ /º ¾ Â Ñ ËØ ÖÐ Ò ¼»½ ¾ Ö Ò ¼»½¾»½ ¼ Ò ÙÖ º

64 È ÌÍÄÇ ½º ÄÁÅÁÌ

65 Capítulo Continuidade Ç Ø ÚÓ ÔÖ ÒØ Ö Ò Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓº Ç Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Ó ÌÎÁµ Ó Ö ÙÐØ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ô ØÙÐÓ ÕÙ Ö ÑÓ ÒØ Ò ¹ÐÓ ÑÓÒ ØÖ ¹ÐÓ ÔÐ ¹ÐÓº Ç Ì ÓÖ Ñ Ó Ð Ñ Ø ÓÑ Ö Ò ÔÖÓ ÙØÓ ÓÑÔÓ Ø µ Ó ÓÒ ÕÙ Ò Ö Ø Ì ÓÖ Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ó Ð Ñ Ø Ö ÙÐØ Ó ÙÖÓÖ Ø Ó º Ü ÑÓ Ô Ö ÙÑ Ó ÓÔ ÓÒ Ð ÕÙ Ø Ð ÓÑÓ Ó ÕÙ ÓÑÓ Ò Öµ ÔÓÖÕÙ Ó ÓÒØ ÒÙ ÙÒÓ Ö Þ ØÖ Ò Ò ÒØ ÒÓ Ó ÒÓ ÜÔ ÐÓ µº Ì ÖÑ Ò ÑÓ Ó Ô ØÙÐÓ ÓÑ ÙÑ Ó ÓÔ ÓÒ Ð ÒØÖÓ ÙÓ Ò Ð ÔÐ Ò ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ Ó ÐÙÐÓº ¾º½ Ò Ó ÓÒØ ÒÙ Ò Ó ÓÒØ ÒÙ ÒÙÑ ÔÓÒØÓµ Þ ÑÓ ÕÙ f ÓÒØ ÒÙ Ñ c R µ f Ø Ò Ô ÖØÓ c ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò c Ú Ôº¾µº µ lim c f() = f(c) Ó Ð Ñ Ø Ü Ø ÒÓ ÔÓÒØÓ Ù Ð f(c)µº Ò Ó ½¼ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ µ Þ ÑÓ ÕÙ f ÓÒØ ÒÙ Ñ (a,b) f ÓÒØ ÒÙ Ñ c Ô Ö ØÓ Ó c (a,b)º Þ ÑÓ ÕÙ f ÓÒØ ÒÙ Ñ [a,b] f ÓÒØ ÒÙ Ñ (a,b) Ð Ñ Ó Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ó Ù Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ ÒÓ ÜØÖ ÑÓ µ lim a +f() = f(a) µ lim b f() = f(b)º Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò f Ó ÒÓ Ö Ó ÜÓ ÓÒØ ÒÙ ÓÙ ÒÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ a,b,c,d,eº ÜÔÐ ÕÙ Ó ÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÕÙ Ð ÕÙ µ ÓÒ Ó Ú ÓÐ º a b c d e ¼ ¾» ÙÐ Ó»¾¼½¼

66 ¼ È ÌÍÄÇ ¾º ÇÆÌÁÆÍÁ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ Ñ a Ó Ð Ñ Ø Ü Ø Ù Ð Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓº ÈÓÖØ ÒØÓ f ÓÒØ ÒÙ Ñ aº Ç lim b f() ÒÓ Ü Ø ÔÓ Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ó Ð ÔÖ Ü ÑÓ ÕÙ Ö µ bº Ç Ð Ñ Ø Ö Ø Ü Ø Ù Ð Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ f(b) = lim b +f()º ØÓ Ó ÑÓ Ó ÓÑÓ ÙÑ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö ÒÓ Ü Ø Ó limf() ÒÓ Ü Ø º ÈÓÖØ ÒØÓ f ÓÒØ ÒÙ Ñ bº Ç ÖÚ b ÕÙ Ó Ö Ó Ó Ð ÖÙ Ñ ÒØ Ô ÖØÓ bº Ñ c Ó Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ü Ø Ñ Ñ Ó Ø ÒØÓ ÒØÖ f(c) = lim c +f() lim c f()º ÈÓÖØ ÒØÓ f ÓÒØ ÒÙ Ñ cº Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ö Ó ÕÙ Ö Ñ cº Ñ d Ó Ð Ñ Ø Ü Ø Ñ Ö ÒØ Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ f(d) limf()º ÈÓÖØ ÒØÓ f d ÓÒØ ÒÙ Ñ dº Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ö Ó ÔÙÐ Ñ dº Ñ e Ó Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ü Ø Ñ Ñ Ó Ø ÒØÓ ÒØÖ Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ f(e) lim e +f() lim e f()º ÈÓÖØ ÒØÓ f ÓÒØ ÒÙ Ñ eº Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ö Ó ÕÙ Ö ÔÙÐ Ñ eº Ç ÖÚ Ó ¾½ ÁÒ ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÙÑ ÙÒÓ f ÓÒØ ÒÙ Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÔÙ ÖÑÓ Ò Ö Ó Ö Ó f Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ Ö Ø Ö Ö Ó Ð Ô Ó Ô Ô Ðº ÇÙ Ò f ÓÒØ ÒÙ Ó Ö Ó ÒÓ ÓÒØ Ñ ÕÙ Ö ÔÙÐÓ ÓÙ Ó Ð ÖÙ º Ü ÑÔÐÓ Î Ö ÕÙ Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ c = µ f() = ; µ g() = +3; ; = 3; = sen { ; µ h() = 9; µ j() = ; = 3 9; < ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ñ Ö Ñ ÒØÖ µ f ÓÒØ ÒÙ Ñ ¼º µ ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó 3 = f() ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÒÓ º µ Ç Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ÒÓ Ü Ø º Á ØÓ ÓÓÖÖ ÔÓ ÕÙ Ò Ó + = ÙÒÓ sen Ó Ð Ñ Ø ½ Ò Ø Óº ÉÙ Ò Ó = ÙÒÓ sen Ó Ð Ñ Ø Ò Ø Óº ÈÓÖØ ÒØÓ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÒÓ º µ ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ñ Ó Ñ Ó = 9 = f() f ÓÒØ ÒÙ Ñ ¼º Ü ÑÔÐÓ ¼ Î Ö ÕÙ { Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ c = sen(/); µ f() = µ h() = ; = { sen(/); ; = º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¼ µ Î Ó Ö Ó Ò Ôº º ÓÑÓ Ø ÙÒÓ ÒÓ ÔÓ Ù Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ ¼º µ Î ÕÙ Ò Ö Ó Ò Ôº ¾º ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó h() = ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ º

67 ¾º½º ÁÆÁ Ç ÇÆÌÁÆÍÁ ½ ÓÒØ ÒÙ Ö ÑÓÚ Ú Ð ÆÓØ ÕÙ Ö Ò ÑÓ ÙÒÓ h Ó Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ µ ÑÓ Ó ÕÙ h() = ÙÒÓ h Ö ÓÒØ ÒÙ Ñ Ò Ú Ö Ö ÓÒØ ÒÙ Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ µ Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò ÌÇ ÇË Ó ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙ ÙÒ µ f() = I Q () µ g() = ( e)i Q () µ h() = µ j() Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ØÓ ÜÔ Ò Ó Ñ Ð Ú Ö ËÔ Ôº ¼ ÒÓº½ µº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ j(8.) =, j( ) = 8º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ Î Ó Ö Ó Ò Ôº ½¼º ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ü Ø ÔÖ Ü ÑÓ ØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÔÓ Ó Ú ÐÓÖ ÔÖ Ü ÑÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ó Ð Ñ ÒØÖ µ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙ Rº µ Î Ó Ö Ó Ò Ôº ¾º ÆÓ ÔÓÒØÓ = e ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÔÓ Ó Ð Ñ Ø Þ ÖÓ ÕÙ Ò Ó e Ú Ôº ¾µ g(e) = (e e)i Q (e) = ()() = º Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ e g() = ( e) Q ÓÙ g() = Qº Î Ó Ö Ó ÙÒÓ ÒØ Ò Ó Ñ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙ R {e} ØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ñ ÒÓ eµº µ Î Ó Ö Ó Ò Ôº ½½º Ð ÖÓ ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙ Z Ó ÐÙ Ö ÓÒ Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ô Ö º µ Ñ j() {,,,...,8,9}º ÆÓØ ÕÙ Ñ [,.) ÙÒÓ Ú Ð j() = j(.) = j(.99999) = µ Ñ[.,.) ÙÒÓ Ú Ð j(.) = j(.) = j(.99999) = µ Ñ [.,.3) ÙÒÓ Ú Ð 3 j(.) = j(.) = j(.99999) = µ غµ Ø Ñ [.9,.) ÙÒÓ Ú Ð 3 j(.9) = j(.9) = j( ) = 9µº ÉÙ Ò Ó ÑÓ ÒÓ Ò Ó Ó ÔÖ Ü ÑÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÙ Ó Ö Ô Ø Ñ [.,.) ÙÒÓ Ú Ð j() = j(.) = j(.99999) = µ غ ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ö Ó ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Þ Ö Ù Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ [n,n+] ÓÑ n Zº Ç ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙ {±., ±., ±.3,..., ±., ±.,...} Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ ÔÙÐ º ÆÓØ ÕÙ Ñ Ð ÓÒØ ÒÙ º j() = ÔÖ Ñ ÖÓ ØÓ ÜÔ Ò Ó Ñ Ð ÆÓØ Ô Ö Ð Ð ÑÓ ØÖÙØÙÖ Ó Ì ÓÖ Ñ Ä Ñ ÓÖÓÐ Ö Ó ÓÒØ ÒÙ ÕÙ ÓÑ ¹ Ñ ÕÙ Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ø Ô Ò ½¾ ½ º Ä Ñ ¾ ÙÒ f() = C f() = Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ Rº

68 ¾ È ÌÍÄÇ ¾º ÇÆÌÁÆÍÁ ÈÖÓÚ Ü ÑÓ Ô Ö Ó Ð ØÓÖ ÔÓ Ð Ú Ö( ) ÕÙ Ú Ö º Ì ÓÖ Ñ ÓÒØ ÒÙ ÓÑ ÔÖÓ ÙØÓ Ú Óµ Ë f g Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ I f ÒØÓ f +g f g f g ÒÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ g µ Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ I º g ÈÖÓÚ Ë Ù Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ôº½¾º ÓÖÓÐ Ö Ó ÓÒØ ÒÙ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÙÒ Ö ÓÒ µ ÈÓÐ ÒÑ Ó ÙÒ Ö ÓÒ ÕÙÓ ÒØ ÔÓÐ ÒÑ Ó µ Ó ÙÒ ÓÒØ ÒÙ º ÈÖÓÚ Ø ÔÐ Ö Ó Ä Ñ ¾ Ó Ì ÓÖ Ñ º Ü ÑÓ Ó Ø Ð Ô Ö Ó Ð ØÓÖ ÓÙ Ô Ö Ù ÔÖÓ ÓÖ( )º Î Ù Ö Ð Ö ÔÖÓÚ Ó ÓÖÓÐ Ö Ó ½ Ôº½ º Ì ÓÖ Ñ ÓÒØ ÒÙ ÓÑÔÓ Ø µ Ë g ÓÒØ ÒÙ Ñ c R f ÓÒØ ÒÙ Ñ g(c) ÒØÓ h() = f(g()) ÓÒØ ÒÙ Ñ = cº ÇÙ ÓÑÔÓ Ó ÙÒ ÓÒØ ÒÙ ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ º ÈÖÓÚ Ë Ù Ó Ì ÓÖ Ñ ¾ Ôº½ º Ì ÓÖ Ñ ÓÒØ ÒÙ ÙÒÓ Ö Þ Ð ÙÑ ØÖ Ò Ò ÒØ µ ËÓ ÙÒ n ÓÒØ ÒÙ sen(), cos(), tan() log() e arcsen() arccos() arctan() ÈÖÓÚ Ä Ë Ó ¾º Ôº º Ç ÖÚ Ó ¾¾ ÓÑ Ò Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ØÓ ÓÑ Ò ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÓ ÒÙÐ µ Ø ÙÒ ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÙÒÓ ÜÓ ÓÒØ ÒÙ [ sen 7 7 +cos +log( +)]. e +5 Ç ÖÚ Ó ¾ Ü Ô Ö Ò Ð Ø Ó ÙÑ ÔÓÐ Ñ Ò Ó ÓÒØ ÒÙ Ó Ð ÚÖÓ ÐÙÐÓ ÙÒÓ / ÓÒØ ÒÙ ÓÙ ÒÓ ÌÙ Ó Ô Ò Ò º Ó ØÓ ÕÙ Ò ÑÓ Ñ (,) Ñ Ñ (,) ÒÓ ÔÓ Ð ÒÓ Ø Ò ÒÓ º ÕÙ ÒÓ Ò ÑÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÙÒØÓ ÓÑÓ (,) (,) ÓÑ ÒØ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ ÜÓ º Ó Ò ÑÓ Ð Ö ÓÒØ ÒÙ Ñ (,) (,)º Æ ÔÖ Ø Ø ÔÓÐ Ñ ÒÓ ÔÓ Ù Ñ ÒÓÖ ÑÔÓÖØÒ º ¾º¾ Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Ó ÌÎÁµ Ç ÌÎÁ ÙÑ Ó Ì ÓÖ Ñ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ Ó ÐÙÐÓ ÙÒØ Ñ ÒØ ÓÑ Ó ÌÎ Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ ÜØÖ ÑÓ Ó Ì Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÐÙÐÓµº ËÙ ÑÓÒ ØÖ Ó ÒØ Ö ÒØ Ù Ö ÙÑ Ñ ØÓ Ó ÒÙÑ Ö Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ó Ñ ØÓ Ó Óº ÔÐ Ó Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ Ó ÌÎÁ Ö ÒØ Ö Ü Ø Ò ÓÐÙÓ Ô Ö ÕÙ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó ÌÎÁ Ö ÒØ ÕÙ Ü Ø R Ø Ð ÕÙ sen() = πº È Ö Ó ÐÙÐÓ Ø ÚÓ ÔÖ ÑÓ ÙÑ Ñ ØÓ Ó ÒÙÑ Ö Óº

69 ¾º¾º Ì ÇÊ Å Ç Î ÄÇÊ ÁÆÌ ÊÅ ÁýÊÁÇ ÌÎÁµ Ì ÓÖ Ñ ½¼ Î ÐÓÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Ó ÌÎÁµ ÓÒ Ö f : [a,b] R ÓÒØ ÒÙ º [f(a),f(b)] ÓÙ k [f(b),f(a)] ÒØÓ Ü Ø c [a,b] Ø Ð ÕÙ f(c) = kº Ë k ÒØ ÔÖ ÒØ Ö ÔÖÓÚ ÚÓÙ ÔÖ ÒØ Ö ÙÖ ÕÙ Ð Ö Ñ Ó ÒÙÒ Óº ÓÒ Ö Ñ Ñ ÙÒÓ f Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ÜÓº ÆÓØ ÕÙ Ü Ó ÙÑ k ÒØÖ f(a) f(b) Ü Ø ÑÔÖ ÙÑ c [a,b] ÓÑ f(c) = kº Æ ÔÖ Ñ Ö ÙÖ Ü Ø ÙÑ Ò Ó cº Æ ÙÒ ÙÖ Ü Ø Ñ ØÖ c³ Ø ÒØÓ c,c,c µ Ø ÕÙ f(c) = f(c ) = f(c ) = kº ÉÙ ÐÕÙ Ö ÙÑ Ð Ø Þ Ó Ì ÓÖ Ñ Ç ÌÎÁ Ô Ò Ö ÒØ Ü Ø Ò Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ c ÒÓ ÖÑ ÕÙ Ð Ò Ó Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ Ú Ö Ó k ÒØÖ f(a) f(b) Ú Ö ÕÙ ÓÒ Ø ÑÓ ÓÑ ÒØ ÙÑ ÓÒ Ø ÑÓ Ó ÓÒ Ø ÑÓ ØÖ c³ ÓÑ f(c) = kº f(b) f() f(b) f() k f(a) a c b k f(a) a c c c Î ÑÓ Ú Ö ÓÖ ÕÙ Ó ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÔÓ ÓÓÖÖ Ö ÓÙ ÒÓ Ü Ø Ò c Ø Ð ÕÙ g(c) = kº ÙÒÓ g ÙÖ ÜÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ = d ÔÓ g(d) g() = k Ó Ö Ó ÔÙÐ Ñ = dµº Ü Ó Ó k Ò Ó Ò ÙÖ ÒÓ Ü Ø c Ø Ð ÕÙ lim d g(c) = kº ÆÓØ ÕÙ Ô Ö ÓÙØÖÓ Ú ÐÓÖ k [g(a),g(b)] Ü Ø Ö c [a,b] Ø Ð ÕÙ g(c) = kº ÙÒÓ h ÓÒØ ÒÙ Ñ = d ÔÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ü Ø Ñ Ñ Ó Ø ÒØÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ö Ñ = dµº Ü Ó Ók Ò Ó Ò ÙÖ ÒÓ Ü Ø cø Ð ÕÙ h(c) = kº ÆÓØ ÕÙ Ô Ö ÓÙØÖÓ Ú ÐÓÖ k [h(a),h(b)] ÔÓ Ü Ø Ö ÓÙ ÒÓ c [a,b] Ø Ð ÕÙ h(c) = kº Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ Ú Ö Ó k ÒØÖ h(a) h(b) Ú Ö ÕÙ ÓÒ Ø ÑÓ Ò Ò ÙÑ ÓÙ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ c ÓÑ h(c) = kº b g(b) g() h(b) h() k k g(a) a d b ÈÖÓÚ Ó ÌÎÁµ Ö ÚÓ Ñ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ó Ð ØÓÖ Ò Ö ÙÑ ÙÖ ÒØ Ò Ö Ø Ø ÜØÓ Î ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ñ ØÓ Ó Ó ØÓÑ c = (a+b)/ ÓÑÔ Ö f(c) ÓÑ kº Ø ÖÑ Ò Ú ÓÒØ ÒÙ Ö Ù Ò Ó Ö Þ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,c] ÓÙ [c,b]º Ô Ò Ò Ó Ó Ó Ò ÑÓ a = a b = c ÓÙ a = c b = b Ô Ö ÒÓ Ó Ó ÓÒØ ÒÙ Ö ÔÖÓÙÖ Ò Ó Ñ [a,b ]º ÓÖ ØÓÑ c = (a +b )/ ÓÑÔ Ö f(c) ÓÑ kº ÓÒØ ÒÙ Ù Ò Ó Ñ [a,b ] ÓÑ a = a b = c ÓÙ a = c b = b º Ñ ÓÒ ØÖÙ ÑÓ ÕÙ Ò a n,b n ÓÑ b n a n h(a) a d b

70 È ÌÍÄÇ ¾º ÇÆÌÁÆÍÁ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ô Ö Þ ÖÓ Ú ÑÓ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ó Ñ Ó Ô Óµº Ñ a n c b n cº ÈÓÖ ÓÒØ ÒÙ f(a n ) f(c) f(b n ) f(c)º Ð Ñ Ó ÔÓÖ ÓÒ ØÖÙÓ k Ø ÒØÖ f(a n ) f(b n ) ÑÔÖ º Ñ f(a n ) k f(a n ) f(b n ) ØÒ k Ø ÙÑ ÜØÖ ÑÓ Ñ ÒÓÖ ÕÙ ØÒ ÒØÖ Ó ÜØÖ ÑÓ µº Ë ÑÓ ÕÙ f(a n ) f(b n ) f(c) f(c) = º Ñ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ò Ù f(a n ) k º ÄÓ Ó f(a n ) k ÓÑÓ f(a n ) f(c) f(c) = kº ÉÙ Ø Ð Ö Ú Ö ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÙØ ÓÖ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ö Þ Ù Ò Ó ÔÖÓÚ Ñ Ó Ñ Ó Ñ ØÓ Ó Óº Ü ÑÔÐÓ ¾ ÈÖÓÚ ÕÙ p() = 3 +3 ÔÓ Ù Ö Þ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ (,)º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÑÓp ÓÒØ ÒÙ ÔÓÐ ÒÑ Óµ p() = p() = = 9º ÓÑÓ [p(),p()] = [,9] Ô ÐÓ ÌÎÁ Ü Ø ÙÑ c [,] Ø Ð ÕÙ p(c) = º Ü ÑÔÐÓ ÈÖÓÚ ÕÙ Ü Ø ÙÑ R Ø Ð ÕÙ +3 8 sen() = πº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ Ò f() = +3 8 sen() πº Ç ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ó Ø Ö ÙÑ Ø Ð ÕÙ f() = º ÈÖ Ñ ÖÓ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó ± º ÓÐÓ Ò Ó Ñ Ú Ò ( f() = + 3 sen() π 3 È Ò Ó Ó Ð Ñ Ø ÒÓ ± Ó ÙÒ Ó Ø ÖÑÓ Ú Ô Ö ÒÓ Ø ÖÑÓ sen()/ ÔÐ ÕÙ Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ò Ù Ô Ö ÔÖÓÚ Ö ÕÙ µº Ñ ÓÑÓ Ó Ø ÖÑÓ ÓÑ Ò ÒØ ÔÓ Ù Ö Ù ÑÔ Ö f() = lim f() = + º Ñ Ü Ø Ñ M,N Ø ÕÙ f(m) < lim + f(n) > º ÓÑÓ f ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖÕÙ µ Ô ÐÓ ÌÎÁ Ü Ø c [M,N] R Ø Ð ÕÙ f(c) = [f(m),f(n)]º ). Ü ÑÔÐÓ ÈÖÓÚ ÕÙ Ü Ø (,3) Ø Ð ÕÙ a + b 3 = π, ÓÑ a,b > º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ Ò g() = a + b º ÓÑÓ lim 3 +g() = + Þ Ò Ó Ò Ð Ò Ð Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ a > Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÓÒÚ Ö Ô Ö + µ ÓÑÓ lim 3 g() = Þ Ò Ó Ò Ð Ò Ð ÒÓÚ Ñ ÒØ µ Ü Ø Ñ < a < b < 3 Ø ÕÙ g(a) > π > g(b)º Ñ ÔÐ Ò Ó Ó ÌÎÁ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ü Ø c [a,b] (,3) Ø Ð ÕÙ g(c) = πº Ü ÑÔÐÓ Ë f() = fº ÈÓÖÕÙ ÒÓ ÙÒ ÓÒ { ; ; ; <. Ì ÒØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÕÙ Ò ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ó Þ ÖÓ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÙÑ Ö Ó Ú Ú Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓº Ñ ÓÖ k = [,] ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÑ Ö Ó ÕÙ Ò c n Ñ f() = º Á ØÓ ÓÓÖÖ ÔÓ f ÓÒØ ÒÙ º

71 ¾º º ÇÆËÌÊÍ Ç ÇÆÌÁÆÍÁ ÍÆ Ë ÌÊ ÆË Æ ÆÌ Ë Ê Á { ; ; Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö f() = º Ì ÒØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÕÙ Ò ÕÙ ÔÖÓ¹ +; >. Ü Ñ c [,] Ø Ð ÕÙ f(c) =.5º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÙÑ Ö Ó Ú Ú Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓº ÆÓØ ÕÙ f() = f() = º ÕÙ Ò c n Ñ ÒÓÚ Ñ ÒØ ÒÓ Ó Ø ÑÓ c Ø Ð ÕÙ f(c) =.5º Á ØÓ ÓÓÖÖ ÔÓ f ÓÒØ ÒÙ º ÍÑ ÔÐ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ö Þ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÕÙ ÓÖÑ Ö Ðº Ü ÑÔÐÓ ÔÖÓÜ Ñ 3 7 ÙØ Ð Þ Ò Ó f() = 3 7º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÆÓØ ÕÙ f(5) = = 55 f(4) = = 6º Ñ Ö Þ c (4,5)º ÌÓÑ c = (4 + 5)/ = 4.5º ÓÑÓ f(4.5) =.5 > Ö Þ Ø Ñ (4,4.5)º ÌÓÑ c = (4 +4.5)/ = 4.5º ÓÑÓ f(4.5) = > Ö Þ Ø Ñ (4, 4.5)º ÌÓÑ c 3 = (4+4.5)/ = 4.5º ÓÑÓ f(4.5) = > Ö Þ Ø Ñ (4, 4.5)º Ü ÑÔÐÓ ÈÖÓÚ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó k > Ü Ø n k n Nµº Á ØÓ ÔÖÓÚ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó k > Ü Ø c > Ø Ð ÕÙ c n = kº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö f() = n kº Ð ÖÓ ÕÙ f ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Óµ ÓÒØ ÒÙ ÕÙ f() = + º Ñ Ü Ø ÙÑ M > ÓÑ f(m) > º ÔÐ ÕÙ Ó ÌÎÁ lim + ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,M] f() < µ ÓÒÐÙ Ü Ø Ò c [,M] Ø Ð ÕÙ f(c) = ØÓ c n = kº ¾º ÓÒ ØÖÙÓ ÓÒØ ÒÙ ÙÒ ÌÖ Ò ¹ Ò ÒØ Ê Þ ÉÙ Ö ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö Ø ÙÒ ÔÖÓÚ Ö Ù ÓÒØ ÒÙ º Å Ô Ö ÓÒ ØÖÙ ¹Ð ÔÖ ÑÓ ÙÑ Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ó Ø º ÈÓÖ Ø Ö ÞÓ Ù Ù ÐÑ ÒØ Ú ÖÖ ÑÓ Ô Ö ÜÓ Ó Ø Ô Ø Ø ÕÙ Ø º Î ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ô Ö ÕÙ Ó ÐÙÒÓ Ø Ò Ñ Ù ÒØ Ö Ô ÖØ Ó Ô ÐÓ ÙÒØÓº ÆÓØ Ð Þ ÓÑÔÐ Ü µ ÜÔÖ ÕÙ Ò Ñ Ú Ð ÙÒ ÓÒ ÓÑÓ ÒÓ Ó ÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð ÐÓ Ö ØÑÓº Î ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ò Ø Ó ÒÓ Ù ÒØ Ì ÓÖ Ñ ÕÙ Ö ÒØ Ü Ø Ò ÙÒÓ ÒÚ Ö º Ì ÓÖ Ñ ½½ Ü Ø Ò ÙÒÓ ÒÚ Ö µ Ë ÙÑ ÙÒÓ f ÓÒØ ÒÙ Ò Ø Ú ÓÙ Ö ÒØ ÓÙ Ö ÒØ µ Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒØÓ Ù ÒÚ Ö f Ü Ø ÓÒØ ÒÙ Ò Ñ Ñ fµº ÈÖÓÚ Î Æ ÓÙ Ó Ôº ÓÙ ËÔ Ôº¾¼ º ¼ Ð ØÙÖ Ø Ó ÓÔ ÓÒ Ðº

72 È ÌÍÄÇ ¾º ÇÆÌÁÆÍÁ ¾º º½ ÙÒÓ Ê Þ È ÐÓ ÓÖÓÐ Ö Ó Ôº ¾ ÙÒÓ f() = n ÓÒØ ÒÙ º Ð Ö ÒØ ÔÓ Ô ÐÓ ÒÑ Ó Æ ÛØÓÒ Ð Ú Ö ÕÙ ( )f(+h) = (+h) n > n = f() Ô Ö ØÓ Ó h > º Ñ f() = n Ò Ø Ú Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½½ Ü Ø ÒÚ Ö f ÓÒØ ÒÙ ÕÙ ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ f () = n º Ñ ÓÖ ÔÙ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö ÔÓÖ ÕÙ Ú ÑÓ ÒÓ Ú ÖØ Ö Þ Ò Ó ÙÑ ÓÖ Ñ Ö Ø Ó ÙÒØÓ Ñ ÙØ Ð Þ Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ½½º Ñ Å Ø Ñ Ø ÓÑÙÑ Ü Ø Ö Ñ ÙÑ Ø ÔÓ ÓÖ Ñ ÙÑ ÓÑ Ñ ØÓ Ó Ö ÓÙØÖ ÕÙ ÙÒ ÓÒ Ñ ÙÑ Ó Ô Óº Ü Ø Ò ÙÒÓ n Ô Ö n N ÔÓ Ö Ø ÓÑÓ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ Ôº º È Ö ÔÖÓÚ Ö ÓÒØ ÒÙ n Ù Ö ÑÓ ÙÑ ÖÓØ ÖÓ ÕÙ ÔÐ Ö ÑÓ Ò Ø Ó µ ÔÖÓÚ ÓÙ ÙÑ µ ÓÒØ ÒÙ ÒÓ = ÓÙ = µ ÔÖÓÚ ÓÒØ ÒÙ Ö Ðº È Ö ÔÖÓÚ Ö ÓÒØ ÒÙ Ñ = Ó ÖÚ ÕÙ Ô Ö h Ô ÕÙ ÒÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ h < /µ ÓÑÓ n Ö ÒØ +h (+h) n. = n n +h n (+h) n = +h. È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ Ôº Ë Ò Ù µ ÕÙ Ò Ó h n +h º Ñ ØÖÓ Ò Ó Ú Ö Ú Ð lim n = lim h n +h = = n. Ñ n a+h = n a n +h/a. ÉÙ Ò Ó h Ó Ø ÑÓ ÕÙ n a+h n aº È Ö Ò Ð Þ Ö Ò ÔÓÖ ÔÓÖØ ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÓÒØ ÒÙ Ö Þ ÕÙ Ö ÓÙØÖÓ ÑÓ Ó ÒØ Ò Ô Óµº ÌÓÑ Ò Ó,a > a = a + a. Ñ ÔÐ Ò Ó Ó Ñ ÙÐÓ ÖØ ÑÓ ÒÓ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓ ÓÑ ÒØ Þ Ó Ø ÖÑÓ Ö Ñ ÒÓÖµ a = a a. + a a Þ Ò Ó a Ù Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ò Ù ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ aº ¾º º¾ ÙÒ ÜÔÓÒ Ò Ð ÄÓ Ö ØÑ Ü a > º Ò ÑÓ a n n Nµ ÓÑÓ Ó ÔÖÓ ÙØÓ a ÔÓÖ Ð Ñ ÑÓ n¹ú Þ º Ò ÑÓ a p/q p,q Nµ ÓÑÓ Ó ÔÖÓ ÙØÓ q a ÔÓÖ Ð Ñ ÑÓ p¹ú Þ º ÔÓ Ø Ò ÑÓ Ø Ö ÙÐØ Ó Ô Ö a ÓÑ R Ô Ò Ó Ó Ð Ñ Ø ÒÙÑ ÕÙ Ò Ö ÓÒ ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ñ º ÈÓ ¹ Ú Ö Ñ Ø Ð Ø ÓÒ ØÖÙÓ ÔÖÓÚ ÕÙ ÓÒØ ÒÙ Ö ÒØ Ñ Ó Ôº¾ Ôº º

73 ¾º º ÇÆËÌÊÍ Ç ÇÆÌÁÆÍÁ ÍÆ Ë ÌÊ ÆË Æ ÆÌ Ë Ê Á Ñ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½½ Ü Ø ÒÚ Ö f ÓÒØ ÒÙ ÕÙ ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ f () = log a º ÓÑÓ Ò Ö ÉÙ ÒØÓ Ú Þ Ú ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó ÔÓÖ Ð Ñ ÑÓ ÓÑÓ = ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö.44 = 44 = ( ) 44 º Ø ÓÖÑ ØÓÑ Ò Ó Ñ Ñ ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö Ó Ú ÐÓÖ ÓÑ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ö Ù ÔÖ Ó ÕÙ ÕÙ Ö º Ç Ñ ÑÓ Ú Ð Ô Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓµ ÕÙ ÐÕÙ Öº Î ÑÓ Ú Ö Ñ Ò Ó ÐØ ÖÒ Ø ÚÓ º ÈÖ Ñ ÖÓ Ô Ö ÓÒØ ÒÙ ÜÔÓÒ Ò Ðº Î ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÓÒØ ÒÙ ÜÔÓÒ Ò Ð ÙÑ Ò Ó Ù ÓÒØ ÒÙ ÒÓ Þ ÖÓ lim e =. ÓÖ ÔÖÓÚ ÑÓ ÓÒØ ÒÙ ÒÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ØÖÓ Ò Ó Ú Ö Ú Ð = a+hµ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÜÔÓÒ Ò Ð e + = e e º ÙÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð ÓÒØ ÒÙ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ a ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÓ lim a e = lime a+h = lim(e a e h ) = e a lime h = e a = e a. h h h ÈÓ ¹ Þ Ö Ð Ó Ñ Ð Ö ÓÑ log ÙÑ ÓÒØ ÒÙ Ñ = ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ó log ÔÖÓÚ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Öº Î Ó Ò Ôº º ÇÙØÖÓ Ñ Ò Ó ÓÑ Ö Ò Ò Ó ÐÓ Ö ØÑÓº ÈÓ ÑÓ Ò Ö log ØÖ Ú ÒØ Ö Ð Ö ÓÑ Ò Ðµ f(c) = logc Ù Ð Ö ÓÑ Ò Ð Ñ ÜÓ ÙÖÚ = / ÒØÖ = = cº ÈÓ ÑÓ ÙÞ Ö ØÓ Ù ÔÖÓÔÖ ÒÐÙ Ú Ó ØÓ Ö Ö ÒØ º ÔÐ Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ½½ Ü Ø ÒÚ Ö f ÓÒØ ÒÙ ÕÙ ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ f () = a Ú Ö À Ôº µº ÇÙØÖÓ Ñ Ò Ó Ò Ö ÜÔÓÒ Ò Ð ÔÓÖ ÓÑ Ò Ò Ø º ÈÓ ÑÓ Ò Ö ÜÔÓÒ Ò Ð ÔÓÖ ÙÑ ÓÑ Ò Ò Ø Ö µ Ú Ë Ö Ì ÝÐÓÖ Ò Ôº½¼¼ ÓÙ Ñ Æ ep() = e = ++! + 3 3! + 4 4! + È ÖØ Ò Ó Ø Ö ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ó log ÓÑÓ ÙÒÓ ÒÚ Ö º ÔÓ Ò ÑÓ Ô Ö a > a = (e log(a) ) = e log(a) log a = log loga. ÇÙØÖÓ Ñ Ò Ó Ò Ö ÐÓ ÔÓÖ ÓÑ Ò Ò Ø º ÈÓ ÑÓ Ò Ö Ó ÐÓ Ö ØÑÓ ÔÓÖ ÙÑ ÓÑ Ò Ò Ø Ö µ Ú Ë Ö Ì ÝÐÓÖ Ò Ôº½¼¼ ÓÙ Ñ Æ log(+) = È ÖØ Ò Ó Ø Ö ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÜÔÓÒ Ò Ð ÓÑÓ ÙÒÓ ÒÚ Ö º

74 È ÌÍÄÇ ¾º ÇÆÌÁÆÍÁ ¾º º ÙÒ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÆÓ Ò ÒÓ Ñ Ó Ò ÑÓ sen,cos,etc. ØÖ Ú ÓÑ ØÖ Ö Þ Ñ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö ØÒ¹ ÙÐÓµº Ç ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ñ ÐÙÐÓ Ò Ð Ê Ðµ ÔÖ ÑÓ ÙÑ Ò Ó Ò Ð Ø Ø ÙÒ º Ç Ñ Ò Ó Ô ÖÓ Ò Ö sen cos ÔÓÖ ÙÑ ÓÑ Ò Ò Ø Ö µ Ú Ë Ö Ì ÝÐÓÖ Ò Ôº½¼¼ ÓÙ Ñ Æ sen() = 3 3! + 5 5! 7 7! cos() = 9!! + 4 4! 6 6! + 8 8! +. Ø Ö ØÓ ÓÙØÖ ÑÓ ØÖ Ò Ø Ó Ó ÙØ Ð Þ Ñ ÐÙÐ ÓÖ Óѹ ÔÙØ ÓÖ Ô Ö ØÓ ÐÙÐ Ö Ó ÒÓ Ó ÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð ÐÓ Ö ØÑÓ Øº Ø Ò ÔÓ ¹ ÔÖÓÚ Ö ÒØ sen ()+cos () = º Ò ÑÓ ÓÙØÖ ÙÒ ÓÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ tan() = sen()/cos()µ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ø Ù º ØÓ Ø Ò Ö Ù Ð Ô Ö Ó Ø Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖ º Ü Ø Ò ÓÒØ ÒÙ ÒÚ Ö arcsen,arccos,arctanµ Ù Ñ Ó Ì ÓÖ Ñ ½½º ÖÖÓ ÓÑÙÑ Ç ÐÙÒÓ ÓÒ ÙÒ Ö arcsen ÓÑ º ÓÑÓ arcsen ÙÒÓ ÒÚ Ö sen sen Ó ÐÙÒÓ Ô Ò ÒÓ ÒÚ Ö Ó Ò ÑÙÐØ ÔÐ Óµ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒÚ Ö Ó 3 /3µº Ç ÖÚ Ó ¾ Ç ÖÚ ÕÙ ÒÓ ÔÖ ÑÓ ÒØ Ó ÒØ Ø Ñ Ù ØÖ ¹ ÓÒÓÑ ØÖ µº Ó Ñ ÑÓ ÑÓ Ó ÕÙ ÒÓ Ò ÑÓ ÙÒÓ Ó¹Ö Þ ÓÑÓ / ÒÓ Ø ÑÓ Ò Ò Ö ÒØ Ó ÒØ º Î ÑÓ Ú Ö Ñ Ò Ó ÐØ ÖÒ Ø ÚÓ º ÓÒØ ÒÙ ÙÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º Ò Ó ÓÑ ØÖ ÒÓ Ó ÒÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó ÖÙÐÓ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ limsen() = limcos() =. ÈÖÓÚ ÑÓ ÓÒØ ÒÙ ÒÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ØÖÓ Ò Ó Ú Ö Ú Ð = a + hµ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ÙÒÓ ÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ a ÕÙ ÐÕÙ Ö Ü ÑÓ Ó Ó ÒÓ Ô Ö Ó Ð ØÓÖµ ÔÓ limsen() = limsen(a+h) = lim (sen(a)cos(h)+sen(h)cos(a)) = a h h = limsen(a)cos(h)+ limsen(h)cos(a) = h h = sen(a)limcos(h)+cos(a)limsen(h) == sen(a) +cos(a) = sen(a). h h ÇÙØÖÓ Ñ Ò Ó ÓÑ Ö Ò Ò Ó ÖÓ¹Ø Ò ÒØ º ÈÓ ÑÓ Ò Ö arctan ØÖ Ú ÒØ Ö Ð Ö ÓÑ Ò Ðµ arctan(c) Ù Ð Ö ÓÑ Ò Ð Ñ ÜÓ ÙÖÚ = /( +) ÒØÖ = = cº ÔÐ Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ½½ Ü Ø ÒÚ Ö f ÓÒØ ÒÙ ÕÙ ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ f () = tan()º ÌÓÑ Ò Ó t = tan(/) ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ú Ó Ôº ¾ µ sen() = t +t cos() = t +t.

75 ¾º º ÇÆËÌÊÍ Ç ÇÆÌÁÆÍÁ ÍÆ Ë ÌÊ ÆË Æ ÆÌ Ë Ê Á ÇÙØÖÓ Ñ Ò Ó Ò Ö ÖÓ¹Ø Ò ÒØ ÔÓÖ ÓÑ Ò Ò Ø º ÈÓ ÑÓ Ò Ö Ó ÖÓ¹Ø Ò ÒØ ÔÓÖ ÙÑ ÓÑ Ò Ò Ø Ö µ arctan() = È ÖØ Ò Ó Ø Ö ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ø Ò ÒØ ÓÑÓ ÙÒÓ ÒÚ Ö º Ì ÖÑ Ò ÑÓ ÓÑ Ñ Ö Ð Ó ÙÐ Ö ÕÙ ÒÚÓÐÚ ÙÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÜÔÓ¹ Ò Ò Ð i Ö Þ ÕÙ Ö º Î ÔÖÓÚ Ø ÒØ ÙÑ Ù Ò Ó Ö ÓÙØÖ Ö Ú µ ÒÓ Ó Ôº ÒÓ Ó Ôº º Ê Ð Ó ÒØÖ e, sen() cos() Ô Ö θ R e iθ = cosθ +isenθ. Ñ Ó ÕÙ Ö ÒÓ Ò ÒÓ Ñ Ó cis(θ) Ò Ó ÒÓ i ÒÓµ Ò ÍÒ Ú Ö e iθ º Þ Ò Ó θ = π Ó Ø ÑÓ Ú Ö ÕÙ µ ÙÑ ÖÑÙÐ Ñ ÓÒ Ø Å Ø Ñ Ø e iπ =. ¾º º ÙÒ À Ô Ö Ð ÈÓ Ù Ð ÙÑ ÑÔÓÖØÒ Ñ ÕÙ Ö Ò ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÙ Ñ ÙÒ ÓÑÔÐ Ü µ Ó Ñ Ó ÒÓ Ó ÒÓ Ô Ö Ð Ó º ËÓ Ò Ó ÔÓÖ Ú Ö Ó Ôº½ µ senh() = e e cosh() = e +e. ËÙ ÔÖÓÔÖ Ó Ñ Ð ÒØ Ó ÒÓ Ó ÒÓº ÈÖÓÚ ÕÙ senh() = ; cosh() = ; cosh () senh () = ; senh(a+b) = senhacoshb+senhbcosha; cosh(a+b) = coshacoshb+senhasenhb Ç ÒÓÑ ÓÖÖ Ó ØÓ ÕÙ (t) = cosh(t) (t) = senh(t) ÒØÓ (t) (t) = ÕÙ Ó Ô Ö ÓÐ º Ü Ø Ñ Ö Ð Ú Ó Ôº µ ÙÖÔÖ Ò ÒØ ÒÚÓÐÚ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ ÜÓ º È Ö ØÓ Ó θ R cos(iθ) = cosh(θ) sen(iθ) = isenh(θ). Ì ÖÑ ÒÓ ÓÑ Ö Ì ÝÐÓÖ Ó ÒÓ Ó ÒÓ Ô Ö Ð Ó º senh() = + 3 3! + 5 5! + 7 7! cosh() = + 9!! + 4 4! + 6 6! + 8 8! +.

76 ¼ È ÌÍÄÇ ¾º ÇÆÌÁÆÍÁ ¾º º ÇÙØÖ ÙÒ ÇÙØÖ ÙÒÓ ÑÙ ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ñ Ø Ø Ø ÙÒÓ ÖÖÓ ÓÙ Ù Ò µ Ò ÓÑ ÒØ Ö Ð Ö ÓÑ Ò Ðµ Ù Ò Ù Ð Ö ÓÑ Ò Ð Ñ ÜÓ ÙÖÚ = e ÒØÖ = = cº Ü Ø Ñ Þ Ò ÓÙØÖ ÙÒ Ñ Ñ ÒÓ ÓÒ ¹Å Ø Ñ Ø ÙÒÓ Ð ÙÒÓ Ô Ö ÓÑ ØÖ ÙÒÓ ÑÑ ÙÐ Ö Ò Ö Ð Þ Ó Ó ØÓÖ Ðµ غ Î Ï Ô º ¾º ÁÒØÖÓ ÙÓ Ò Ð Ê Ð Æ Ø Ë Ó ÓÔ ÓÒ Ð Ú ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ð ÙÒ ÓÒ ØÓ Ó Ò Ð Ê Ðº Ê Ñ Ø ÑÓ Ó Ð ØÓÖ ÙÑ Ð ÚÖÓ Ò Ð ÓÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Æ ÔÓÒ Ú Ð Ñ ÛÛÛºÐ Ñ ºÙ Ö º Ö» Ñ Ö Ðº ¾º º½ Ö Ò Ð Þ ÑÓ ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓ Ù Ñ Ñ Ö Ò Ð ÓÙ Ó Ñ ÑÓ Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ Ü Ø ÙÑ Ó ÒØÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ º Ü ÑÔÐÓ ÓÑÔ Ö Ö Ò Ð ÒØÖ µ N Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ö º µ N Zº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ Ò ÙÒÓ f(n) = n ÕÙ ÙÑ Óº ÄÓ Ó ÔÓ Ù Ñ Ñ Ñ Ö Ò Ð º µ Ò ÙÒÓ f : N Z ÕÙ Ð Ú Ó Ô Ö Ñ,,,... Ó ÑÔ Ö Ñ,, 3,... ÕÙ ÙÑ Óº ÄÓ Ó ÔÓ Ù Ñ Ñ Ñ Ö Ò Ð º ÍÑ Ö ÙÐØ Ó ÙÖÔÖ Ò ÒØ ÕÙ Ö Ò Ð Q N ÔÓÖØ ÒØÓ Zµ Ñ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ½¾ Ö Ò Ð Q N Ñ Ñ º ÈÖÓÚ ÈÓ ÑÓ Ñ Ò Ö ÔÖÓÚ ÓÑÓ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÙØ ÓÖ ÕÙ ÔÖ ÒØ Ö ÌÇ ÇË Ö º Ø Ó Ö ÔÖ Ñ Ö Ö Ó ÓÑ Ó ½ ÙÒ ÓÑ Ó ¾ غ Á ØÓ Ö Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÙÑ Óº Ø Ø Ô ÑÓ ØÖ Ö ØÓ Ö Ù ÓÑ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÙÑ ÖØÓ Ò Ñ ÖÓº Ñ ÓÑ ½ / ÓÑ ¾ / ÓÑ /,/ ÓÑ /3,/,3/ ÓÑ /4,/3,3/,4/ ÓÑ /5,/4,3/3,4/,5/ ÓÑ /6,/5,3/4,4/3,5/,6/ ÈÓ ¹ Þ Ö ÙÑ ÙÖ Ò Ò Ó ÔÖÓÚ º Î Ø Ð Ñ Æ ÓÙ Ò ÒØ ÖÒ Øº Ò Ó ½½ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÙÑ Ö Ú Ðµ Ç ÓÒ ÙÒØÓ ÕÙ ÔÓ Ù Ñ Ñ Ñ Ö Ò Ð ÕÙ N Ó ØÓ ÒÙÑ Ö Ú º ¼ Ð ØÙÖ Ø Ó ÓÔ ÓÒ Ðº

77 ¾º º ÁÆÌÊÇ Í Ç ü ÆýÄÁË Ê Ä ½ Ñ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒÙÑ Ö Ú N,Z,Qº Ç Ö ÙÐØ Ó ÜÓ Ú Ó ÒØÓÖ Þ ÕÙ R Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö µ ÔÓ Ù Ö Ò Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ Ñ ÓÖ ÕÙ Qº Ì ÓÖ Ñ ½ Ö Ò Ð R ØÖ Ø Ñ ÒØ Ñ ÓÖ ÕÙ Ö Ò Ð Nº ÈÖÓÚ ÓÑÓ N R Ð ÖÓ ÕÙ R ÔÓ Ù Ö Ò Ð Ù Ð ÓÙ Ñ ÓÖº È Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÔÐ ÕÙ Ó Ö ÙÑ ÒØÓ ÓÒ Ð ÒØÓÖº Î Æ ÓÙ Ò ÒØ ÖÒ Øº Ç ÖÚ Ó ¾ Þ ÑÓ ÕÙ R ÒÓ¹ ÒÙÑ Ö Ú Ðº Á ØÓ Ø Ð ÙÑ Ö Ò Ó ÒØÖ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ò ØÓ Ð ÙÒ Ó Ñ Ò Ò ØÓ Ó ÕÙ ÓÙØÖÓ º Æ Ö Ð Ü Ø Ñ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ Ö Ò Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ó ÕÙ R ÓÖÑ Ò Ó ÙÑ ÓÒ¹ ÙÒØÓ ÙÑ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ó ÕÙ Ó ÒØ Ö ÓÖº Á ØÓ ÔÖÓÚ Ó Ô ÐÓ Ö ÙÑ ÒØÓ ÒØÓÖ Ò Ö Ð Þ Ó Ú ÒØ ÖÒ Ø Æ µº ¾º º¾ Ç ÕÙ R ÍÑ Ñ Ò Ö Ö ÓÖÓ Ñ Ø Ò Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ò Ö R ÙØ Ð Þ Ò Ó Ñ Ò Ò Ø ÓÑÓ Ø Ò ÓÐ º ÙÐ Ò Ö ÓÔ Ö Ù Ù ÓÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÑ º ÆÓ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÔÖ Ò ÑÓ Ò ÓÐ Ð Ò ÑÓ Ó ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑ ÑÓ ÓÔ Ö Ö ÒÓ ÐØ ÑÓ ØÓ Ö Ø º ÓÑÓ Þ Ö Ô Ö ÐÙÐ Ö π+π ÜÔ Ò Ó Ñ Ð ÒÙÒ Ø ÖÑ Ò ÇÙ Ò π ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ Ð Ñ ÑÓ ÕÙ ÒØ Ú Þ ÓÐÙÓ Ø Ñ Ø Ö Ó Ô ÔÓÖ ÙÑ ÙÖ Ó Ò Ð Ê Ðº Ä Ç ÖÚ Ó Ôº ½º ¾º º Ê ÓÒ ÁÖÖ ÓÒ Ð Ö Ó ÌÖ Ò Ò ÒØ Ç ÐÙÒÓ ÔÖ Ò Ñ Ö Ò ÒØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ö Þ ÒØÖ ÒØ ÖÓ µ ÖÖ ÓÒ º Î ÑÓ Ú Ö ÕÙ Ó Ñ Ó Ð Ö Ó ÕÙ Ò Ö Ð Þ Ñ Ó Ö ÓÒ Ó ØÖ Ò Ò ÒØ º Î Ø Ð ÒÓ Ð ÚÖÓ Ú Ð Ò Ø Ò Ú Ðµ Æ Ñ ÖÓ ÁÖÖ ÓÒ ÌÖ Ò Ò ÒØ ÖÓ Ù Ö Ó µº Ü ÑÔÐÓ ¼ ÈÖÓÚ ÕÙ Ó ÖÖ ÓÒ µ µ 3 º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¼ µ ËÙÔÓÒ ÔÓÖ ÓÒØÖ Ó ÕÙ = p/q ÓÑ p,q Nº Ð ¹ Ú Ò Ó Ó ÕÙ Ö Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ q = p º ÓÖ Ô ÐÓ Ø ÓÖ Ñ ØÓÖ Ó Ò ØÓÖ Ò Ó Ð Ó ÔÓÖ ÔÓØ Ò ÔÖ ÑÓ µ ÓÑÓ Ø ÒÓ Ð Ó ÕÙ Ö Ó Ð Ú Ô Ö Ö ÒÓ Ð Ó Ö ØÓº Ç ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ô Ö ÖÓ ÙÑ ÒÙÑ ÖÓ Ô Ö Ú Þ ÒÓ Ð Ó Ö ØÓ ÔÓ Ó ÕÙ Ö Óµ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÑÔ Ö Ú Þ ÒÓ Ð Ó ÕÙ Ö Óº ÓÒØÖ Ó µ ÓÖÑ Ò ÐÓ Þ Ò Ó 3 = p/q Ó Ø ÑÓ q 3 = p 3 = 3 7q 3 = p 3 º ÓÖ ÓÑÓ 3 ØÓÖ Ó Ð Ó Ö ØÓ p Ú ÓÒØ Ö Ó ØÓÖ 3º Å ÒÓ Ð Ó Ö ØÓ Ð Ô Ö Ö 3m Ú Þ Ñ ÐØ ÔÐÓ 3µ Ó Ð Ó ÕÙ Ö Ó ÓÑÓ 3m + Ú Þ º ÓÒØÖ Óº Ü Ø Ñ Ò Ó Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ Ð Ö Ó ÕÙ Ó Ö Þ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑ Ó ÒØ ÒØ ÖÓ ØÓ Ð Ñ ÒØÓ Zµº Ð Ò Ö Ð Þ Ñ Ó Ö ÓÒ ÔÓ ØÓ Ó Ö ÓÒ Ð ÙÑ Ð Ö Óº Ü ÑÔÐÓ ½ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ó Ð Ö Ó µ µ n k Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö n,k N µ 3+ µ ÙÑ Ö ÓÒ Ð ÕÙ ÐÕÙ Öº

78 ¾ È ÌÍÄÇ ¾º ÇÆÌÁÆÍÁ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ Ö Þ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó º µ n k Ö Þ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó n kº µ Þ Ò Ó = 3+ Ó Ø ÑÓ ÕÙ = 3+ º Ñ ( 3) = ( ) = º ÇÙ = º ÈÓÖØ ÒØÓ 3+ Ö Þ º µ = p/q ÓÑ p,q Z ÒØÓ Ö Þ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó q pº Ç ÖÚ Ó ¾ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÚ Ö ÕÙ e Qº  ÖÖ ÓÒ Ð π Ñ Ñ Ðº ÈÖÓÚ ÔÓ Ñ Ö ÒÓÒØÖ Ñ Æ º Ñ Ñ Ð ÔÖÓÚ Ö ØÖ Ò Ò Ò Ñ Ó º ¾º º Ò Ó Ä Ñ Ø ÙÑ ÙÒÓ Ö Ð f Ø ÑÓ ÒØ Ö Ó Ñ Ö Ó ÕÙ ÓÒØ ÓÑ Ó Ú ÐÓÖ f() ÕÙ Ò Ó ÔÖÓÜ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ c Ñ ÒØÖ Ø ÒØÓ ÙÑ Ö Ø Ú ÐÓÖº Ò Ó Ð Ñ Ø ÓÖÑ Ð Þ ØÓº Ò Ó ½¾ Ð Ñ Ø µ Ë Ñ f : R R c Rº Þ ÑÓ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø f() ÕÙ Ò Ó Ø Ò c R Ü Ø Ú Ð L R ε >, δ > Ø Ð ÕÙ < c < δ ÒØÓ f() L < ε. Æ Ø Ó Ö Ú ÑÓ lim c f() = Lº ÒØÙ Ø Ú ÓÖÖ Ø Þ Ö ÕÙ f() ØÓ ÔÖ Ü ÑÓ L ÕÙ ÒØÓ ÕÙ ÖÑÓ Ø Ò Ó Ô Ö ØÓ ØÓÑ Ö Ù ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ Ü ÑÓ Ñ Ø ÒØÓµ cº Ü ÑÔÐÓ ¾ Ë Ñ f : R R ÔÓÖ f() = Ô Ö ØÓ Ó R c Rº ÅÓ ØÖ ÕÙ f() = cº lim c ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ Ó ε > ØÓÑ Ò Ó δ = ε Ó Ø ÑÓ R, < c < δ ÑÔÐ ÕÙ f() c = c < δ = ε. Ü ÑÔÐÓ Ë Ñ f : R R ÔÓÖ f() = Ô Ö ØÓ Ó R c Rº ÅÓ ØÖ ÕÙ lim f() = c º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ Ü Ó ε > ØÓÑ ÑÓ δ = min{,ε/( c +)}º Ø ÓÖÑ < c < δ ÒØÓ < c +δ c +º Ð Ñ ØÓ f() c = c = c +c < δ( + c ) < δ( c +) ε.

79 ¾º º Ê ÁÇË ÇÆÌÁÆÍÁ Ç Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ Ò ÙÞ Ö Ó Ð ØÓÖ Ô Ò Ö ÕÙ Ö δ Ñ ÙÒÓ ε c ÙÑ Ø Ö Ó Ö Ò ØÙÖ Ðº ÆÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ö ÙÒ ¹ ÑÓÒ ØÖ Ó ØÖ Ô Ö Ö ÒØ Ò Ó ÕÙ Ú ÑÓ Ó Ø Ö f() k < ε ÔÖÓÙÖ ÑÓ Ö ÕÙÓ Ö Ò ÔÓ Ö c º º ÕÙ Ð Ú Ö Ó Ú ÐÓÖ δµ Ô Ö ÕÙ Ù ÑÓ Ø ÓÒÐÙ Óº Ñ Ù Ô ÑÓ Ð ÑÔÓ ÑÓÒ ØÖ Ó Ò Ó ÕÙ Ð Ó Ú ÐÓÖ δ ÑÔÐ Ñ ÒØ Þ ÑÓ δ = Ö Ö º º º ÈÓÖ Ñ Ô Ò Ò Ó ÙÒÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ú ÐÓÖ δ ÒÓ Ñ Ø Ð Ø Ö ÔÓ Ö Ø ÒØ Ò ÓÒ º ÍÑ ÐØ ÖÒ Ø Ú Þ Ö Ù Ó ÔÖÓÔÖ Ó Ð Ñ Ø Ø ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø ÓÑ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Øº Ð Ð Ø Ñ ÑÓÒ ØÖ Ü Ø Ò Ó ÐÙÐÓ Ó Ð Ñ Ø Ñ Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ö ε³ δ³ º ¾º º Ò Ó ÓÒØ ÒÙ ÍÑ ÙÒÓ f ÓÒØ ÒÙ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ c f() Ø ÔÖ Ü ÑÓ f(c) ÕÙ Ò Ó Ø ÔÖ Ü ÑÓ cº Ò Ó ÜÓ ÓÖÑ Ð Þ Ø º Ò Ó ½ ÓÒØ ÒÙ µ Ë Ñ f : R R c Rº Þ ÑÓ ÙÒÓ f ÓÒØ ÒÙ Ñ c ε >, δ > Ø Ð ÕÙ c < δ ÒØÓ f() f(c) < ε. ¾º ¾º º½ Ü Ö Ó ÓÒØ ÒÙ Ü Ö Ó Ü Ó Ü Ö Ó ½º Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÔÖÓÚ Ò Ó ÖÑ Ø Ú µ ÓÙ Ð Ó Ò Ó ÙÑ ÓÒØÖ ¹ Ü ÑÔÐÓµ µ Ë lim a f() Ü Ø ÒØÓ f ÓÒØ ÒÙ Ñ a µ Ë f ÓÒØ ÒÙ Ñ a ÒØÓ lim a f() Ü Ø º µ Ë f ÓÒØ ÒÙ Ñ a ÒØÓ lim a f() lim a +f()º Ü Ö Ó ¾º Ø ÖÑ Ò f Ó ÒÓ Ö Ó ÜÓ ÓÒØ ÒÙ ÓÙ ÒÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ a,b,c,dº ÜÔÐ ÕÙ Ó ÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÕÙ Ð ÕÙ µ ÓÒ Ó Ú ÓÐ º a b c d Ü Ö Ó º Î Ö ÕÙ { ÙÒ ÜÓ Ó { ÓÒØ ÒÙ ; < ; ; < ; µ f() = µ f() = ; ; ; ; ¼ ¾ ºÑ Öº¾¼½¼

80 È ÌÍÄÇ ¾º ÇÆÌÁÆÍÁ Ü Ö Ó º Ó Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ù Ó ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ ÙÒÓ ÒÓ ÓÒØ ÒÙ µ Ó µ {,,3} µ N = {,,...}º Ü Ö Ó º Ø ÖÑ Ò ÙÑ Ú ÐÓÖ Ô Ö k R ÓÖ ÔÓ Ú Ð ÑÓ Ó ÕÙ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ Rº µ f() = ; ; { µ f() = ; ; sen ( µ f() = ) ; ; k; = ; k; = ; k; = ; Ü Ö Ó º Ë f ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ [,4] Ø Ð ÕÙ f() = f() = 3 f(3) = f(4) = º Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÔÖÓÚ Ò Ó ÖÑ Ø Ú µ ÓÙ Ð Ó Ò Ó ÙÑ ÓÒØÖ Ü ÑÔÐÓµ µ f ÒÓ Ø Ñ Ö Þ Ñ [,] µ f Ø Ñ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ù Ö Þ Ñ [,4] µ f Ø Ñ Ü Ø Ñ ÒØ ÙÑ Ö Þ Ñ [,3]º Ü Ö Ó º Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÔÖÓÚ Ò Ó ÖÑ Ø Ú µ ÓÙ Ð Ó Ò Ó ÙÑ ÓÒØÖ ¹ Ü ÑÔÐÓµ µ ÙÒÓ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ Ø ÒØ ÙÑ Ñ ÙÒÓ Ó Ø ÑÔÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ µ ÙÒÓ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÐØÙÖ ÙÑ Ô Ó Ñ ÙÒÓ Ó Ø ÑÔÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ü Ö Ó º ØÙ Ó Ì ÓÖ Ñ ½¼ Ôº ÌÎÁµ Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÔÖÓÚ Ò Ó ÖÑ Ø Ú µ ÓÙ Ð Ó Ò Ó ÙÑ ÓÒØÖ Ü ÑÔÐÓµ µ f ÓÒØ ÒÙ ÓÑ f() > f() > ÒØÓ f() > Ô Ö ØÓ Ó [,] µ Ë f() < < f() ÒØÓ f ÔÓ Ù Ö Þ Ñ [,]º Ü Ö Ó º ØÙ Ó Ì ÓÖ Ñ ½¼ Ôº ÌÎÁµº ÓÒ Ö f : [ 3, ] R ÓÒØ ÒÙ ÓÑ f( 3) = 5 f( ) = º Ø ÖÑ Ò Ø ÓÖÖ ØÓ ÓÙ ÓÖÖ º µ K [ 3, ] ÒØÓ Ü Ø c [,5] Ø Ð ÕÙ f(c) = K µ K [3,4] ÒØÓ Ü Ø c [ 3, ] Ø Ð ÕÙ f(c) = K µ K [,3] ÒØÓ Ü Ø c [ 3, ] Ø Ð ÕÙ f(c) = K Ü Ö Ó ½¼º ØÙ Ó Ä Ñ ¾ Ôº ½ Ó Ì ÓÖ Ñ Ôº ¾º ËÙÔÓÒ Ó ÕÙ f ÓÒØ ÒÙ ÔÖÓÚ Þ Ò Ó Ö Ö Ò ÓÑ ÒØ Ó Ä Ñ ¾ Ó Ì ÓÖ Ñ ÕÙ h() = 5[f()]3 + ÓÒØ ÒÙ º

81 ¾º º Ê ÁÇË ÇÆÌÁÆÍÁ ¾º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ø ÖÑ Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ ÙÒÓ ÒÓ ÓÒØ ÒÙ µ µ f() = sen() ; kπ; k Z µ g() = ; = kπ; +cos() { ; Q; µ h() = µ j() = 3 ; Q. + ; < ; ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ø ÖÑ Ò f() = 3; = ; 3 ; >. ÓÒØ ÒÙ ÐÙÐ lim f()º ÈÖÓ Ð Ñ º ÔÐ Ó Ó ÌÎÁµ µ Ë f() = sen()º ÅÓ ØÖ ÕÙ Ü Ø a R Ø Ð ÕÙ f(a) = µ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ü Ø Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ b > Ø Ð ÕÙ log(b) = e b µ ÓÒ Ö f ÓÒØ ÒÙ Ñ [,] ÓÑ f() º ÅÓ ØÖ ÕÙ Ü Ø c [,] Ø Ð ÕÙ f(c) = c µ ËÙÔÓÒ ÕÙ f ÓÒØ ÒÙ Ñ [,] ÓÑ f() = 3 f() Ô Ö ØÓ Ó [,]º ÈÖÓÚ ÕÙ f() < Ô Ö ØÓ Ó [,]º ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò ÙÑ Ú ÐÓÖ Ô Ö a R ÓÖ ÔÓ Ú Ð ÑÓ Ó ÕÙ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ Rº ( ) (+a) µ f() = 4+4 ; +5 <, µ f() = a =, 7; =. 3 >. µ f() = ; { sen ( µ f() = ) ; ; a; <. a; = ; { e / ; > sen(6) µ f() = µ f() = sen(8) ; ; º a;. a; =. ÈÖÓ Ð Ñ { º Ø ÖÑ Ò a,b R ÓÖ ÔÓ Ú Ð ÑÓ Ó ÕÙ f ÓÒØ ÒÙ Ñ Rº a+b; ; f() = ; > º ¾º º ÜØÖ ÜØÖ ½º Ø ÖÑ Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ { Ó ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ ÙÒÓ, Q, ÒÓ ÓÒØ ÒÙ µ f() = +, Q.

82 È ÌÍÄÇ ¾º ÇÆÌÁÆÍÁ ÜØÖ ¾º Ø ÖÑ Ò ÙÑ Ú ÐÓÖ Ô Ö a R ÓÖ ÔÓ Ú Ð ÑÓ Ó ÕÙ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ Rº <,, µ f() = 3 + µ f() = a =, a =. +4 >. 3 + { µ f() = ; e / ; < º µ f() = a; = a;. { { +a; ; a; < ; µ f() = º µ f() = /a; > ; ; ÜØÖ º Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÔÖÓÚ Ò Ó ÖÑ Ø Ú µ ÓÙ Ð Ó Ò Ó ÙÑ ÓÒØÖ ¹ Ü ÑÔÐÓµ µ f ÓÒØ ÒÙ ÓÑ f() = f(3) = 5 ÒØÓ f() > Ô Ö ØÓ Ó [,3]º µ g ÓÒØ ÒÙ ÓÑ g() = g(3) = g() = ÒØÓ g ÔÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ Ù Ö Þ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,3] ÜØÖ º ÔÐ Ó Ó ÌÎÁµ µ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ü Ø Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ R Ø Ð ÕÙ +sen( ) = º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ ØÓ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù ÑÔ Ö ÔÓ Ù Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ö Þº µ ÅÓ ØÖ ÕÙ ÕÙ Ó sen(πsen()) = sen() ÔÓ Ù Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÓÐÙÓ Ñ [π/6, π/]º µ ÓÒ Ö h() = sen() + π º ÈÖÓÚ ÕÙ Ü Ø Ñ, R Ø ÒØÓ Ø ÕÙ h( ) = h( ) = º ÜØÖ º Ø ÖÑ Ò a,b R ÓÖ ÔÓ Ú Ð ÑÓ Ó ÕÙ f ÓÒØ ÒÙ Ñ Rº ; 4; f() = a+b; < < 4; ;. ¾º º Ó Ó ½º ÍÑ ÑÓÒØ Ò Ø Ò Ù Ó È Ó ÙÐ Æ Ö Ó Ö Ó Ê ÓÙ Ñ Ò Ø Ò Ó Ô Ó ½ Ø º Ð ÓÖÑ ÒÓ Ô Ó Ö ØÓÖÒ Ò Ñ Ò Ù ÒØ Ò Ó ÚÓÐØ Ó Ö Ó Ê ÓÙ ½ Ó Ñ ÑÓ º ÅÓ ØÖ ÕÙ Ð Ô ÓÙ ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ó Ô ÖÙÖ Ó Ò Ñ Ñ ÓÖ Ñ Ø ÒØÓ µ ÙÖ ÒØ Ù ÙÖ ÒØ º Ó ¾º Ó Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙ µ f() Ù Ð Ó ÙÒ Ó Ð Ö ÑÓ ÜÔ Ò Ó Ñ Ð º µ f() Ù Ð Ó Ò Ñ ÖÓ ³ ÜÔ Ò Ó Ñ Ð Ø Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Þ ÖÓ Ó ÓÒØÖ Ö Óº µ f() = R Q f(p/q) = /q p/q Ö Ó ÖÖ ÙØ Ú Ð ÓÑ q > f() = Ó Ó Ö Ó Ô Ö q =,3,...

83 ¾º º Ê ÁÇË ÇÆÌÁÆÍÁ µ f() = ÒÓ Ô Ö Ò ÜÔ Ò Ó Ñ Ð f() = n Ô Ö Ò Ò Ñ ÔÓ Óº Ó º ÒÓÒØÖ ÙÑ ÙÒÓ f ÕÙ ÓÒØ ÒÙ ÒÓ Ù ÒØ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÒØ ÒÙ Ñ ØÓ Ó Ó ÓÙØÖÓ µ,, 3, 4,... µ,,, 3, 4,... Ó º ËÙÔÓÒ ÕÙ lim log = º ÈÖÓÚ ÕÙ log() ÓÒØ ÒÙ Ô Ö > º Ó º ÈÖÓÚ Ú ÓÙØÖ ÔÖÓÚ ÒÓ Ó Ôº µ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ö ÜÔÓÒ Ò Ð Ôº µ Ó ÒÓ Ó ÒÓ Ôº µ Ö Ð Ó ÙÐ Ö e iθ = cosθ+isenθ. Ó º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ö Ð Ó ÙÐ Ö e iθ = cosθ +isenθ Ò Ó senh cosh Ò Ôº ÔÖÓÚ ÕÙ ÌÓÑ = iθ ÔÖÓÚ ÕÙ senh(i) = isen() cosh(i) = cos(). cos(iθ) = cosh(θ) sen(iθ) = isenh(θ).

84 È ÌÍÄÇ ¾º ÇÆÌÁÆÍÁ

85 Capítulo 3 Derivada Ç Ø ÚÓ ÁÒØÖÓ ÙÞ Ö Ó ÓÒ ØÓ Ö Ú Ö Ð ÓÒ Ò Ó ÓÑ Ù ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ º ÔÖ Ñ Ö ÔÐ Ó ÒØ Ñ Ñ ÒØ Ð Ò Ó Ø ÖÑ Ò Ö Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Óº ÔÖ ÒØ ÑÓ Ú Ö ÒÓØ ÙØ Ð Þ Ô Ö Ö Ú º Ô Ò Ó ÐÙÐ ÑÓ Ö Ú Ô Ð Ò Ó Ô Ö Ð ÙÑ ÙÒ ÑÔÐ º Æ ÙÒ Ë Ó ÐÙÐ ÑÓ Ö Ú ÙÒ ØÖ Ò Ò ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÜÔÓ¹ Ò Ò Ð ÐÓ Ö ØÑÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ô ØÙÐÓº ËÓÑ ÒØ ÔÓ Ó ÔÓÒ Ó ÚÓ ÙÐ Ö Ó Ö ÞÓ Ú Ð ÙÒ ÔÖ ÒØ ÑÓ ÔÖÓÔÖ Ö Ú ÓÑ ÔÖÓ ÙØÓµ Ú Ò Ö Ú ÓÑÔÓ Ø µº ÍÑ Ó Ö ÙÐØ Ó Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ Ó ÐÙÐÓ Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ Å Ó ÌÎŵ ÔÖ ÒØ Ó ÓÑ ÔÐ Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ö Ö Ñ ÒØÓ Ö Ñ ÒØÓ ÙÒÓº Ç Ô ØÙÐÓ Ø ÖÑ Ò ÓÑ Ö Ú ÙÒÓ ÒÚ Ö Ú Ø ÓÑÓ ÑÔÐ ÔÐ Ó Ö Ö º º½ Ò Ó Ö Ú ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ Ê Ú Ö ÕÙ Ó Ö Ø Ò ÓÖÑ = m+b Ò ÓÖÑ = m( )º ÉÙ Ð Ó Ò Ó ÓÑ ØÖ Ó m, Ê ÔÓ Ø Ç Ó ÒØ m Ó Ñ Ó Ó ÒØ Ò ÙÐ Ö ÔÓ m = tanθ ÓÒ θ Ó Ò ÙÐÓ ÕÙ Ö Ø ÓÖÑ ÓÑ Ó ÜÓ º Ñ m > ÑÔÐ ÕÙ ÙÒÓ f() = m+b Ö ÒØ m < ÕÙ f Ö ÒØ m = f ÓÒ Ø ÒØ º Ç Ó ÒØ, Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (, ) ÓÒ Ö Ø Ô º Ñ Ò Ó Ó Ó ÒØ Ò ÙÐ Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÒ Ö Ø Ô Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ó Ö Ø º Ò Ó ½ ÙÑ ÙÒÓ f Ò ÔÖ Ü Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ a Ò ÑÓ Ù Ö Ú Ñ a ÔÓÖ f f(a+h) f(a) (a) = lim º Þ ÑÓ ÕÙ f Ö Ú Ú Ð ÓÙ Ö Ò Ú Ð Ñ aº h h Ä Ñ f (a) = lim a f() f(a) a ¼ ¾ ÙÐ Ó ¾¼½¼

86 ¼ È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ ÈÖÓÚ ÅÙ Ú Ö Ú Ô Ö = a+hº Ç ÖÚ Ó ¾ Ë = f() ÔÓ ÑÓ Ú Ö Ø Ð Ñ Ø ÓÑÓ ÙÑ Ø Ü Ú Ö Ó f (a) = lim Ú Ö Ó Ó Ö Ú Ö Ó º Ø Ü Ú Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ ÑÔÓÖØ ÒØ º Ö Ú ÔÖÓÚ Ñ Ô Ö Ø Ü Ú Ö Ó Ñ Ô Ö Ú Ö Ó Ò Ø ÒØÒ º ÓÒ ÓÖÑ ÑÓ ØÖ ÕÙ ÖÓ ÜÓ Ø Ô Ñ ÔÓ Ö ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÑ ÓÑ ØÖ ÓÙ ÓÑ º f() f(a) a f (a) Å Ø Ñ Ø Ø Ü Ñ Ú Ö Ó f Ø Ü Ò Ø ÒØÒ Ú ÐÓ Ñ Ú ÐÓ Ò Ø ÒØÒ ÓÑ ØÖ Ó º Ò ÙÐ Ö Ö Ø ÒØ Ó º Ò ÙÐ Ö Ö Ø Ø Ò ÒØ ÆÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ô ØÙÐÓ ÔÐ Ö Ú ÜÔÐÓÖ Ö ÑÓ Ó Ô ØÓ ÓÑ ØÖ Ó Ö Ú º Î Ó Ò Ð Ø È ÖØ Ò Ó Ò Ó ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö Ú Ö ÙÒ º Ä Ñ Ö Ú f() = C Þ ÖÓ Ö Ú f() = º ÈÖÓÚ Ë f() = f () = lim h f(+h) f() h Ë f() = f () = lim h f(+h) f() h Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ô Ð Ò Ó Ö Ú µ f() = µ g() = 3 º = lim h C C h = lim h +h h ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÓÑÓ (+h) = h+h = lim h h = º h = lim h h = lim = º h f(+h) f() h = (+h) h = h+h h = +h Ô Ö h µ. Ñ f f(+h) f() () = lim = lim(+h) = º h h h µ ÓÑÓ (+h) 3 3 = 3h +3h +h 3 g(+h) g() h = (+h)3 3 h = 3h +3h +h 3 h = 3 +3h+h Ô Ö h µ. Ñ g () = lim h f(+h) f() h = lim h (3 +3h+h ) = 3 º Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ô Ð Ò Ó Ö Ú µ f() = µ g() = º

87 º½º ÁÆÁ Ç ÊÁÎ ½ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÓÑÓ f(+h) f() = +h = (+h) = (+h) f(+h) f() = h (+h) º Ñ f(+h) f() f () = lim h h µ Ê ÓÒ Ð Þ Ò Ó g(+h) g() = +h Ó Ø ÑÓ (+h) = = +h+ h º ÄÓ Ó g(+h) f() +h+ h Ñ g g(+h) g() () = lim = lim = h h h +h+ º Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ô Ð Ò Ó Ö Ú ÒÓ ÔÓÒØÓ = µ f() = µ g() = 3 º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÆÓØ ÕÙ f(+h) f() h f () = lim h f(+h) f() h Ó Ö Ó = h = lim h h µ ÆÓØ ÕÙ g(+h) g() = h g(+h) g() lim = lim h h h 3 h h (+h), = lim h (+h) = º +h+ º = +h h = h h º Å ÕÙ ÒÓ Ü Ø ÔÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ö Ñ Ú Ò Ôº µº Ñ Ö Ú ÆÇ Ü Ø Ñ = º 3 +h 3 h = 3 h h = 3 h 3 h 3 = 3 h º Ñ g () = = + º ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ò ØÓ Ö Ú ÒÓ Ü Ø º Ç ÖÚ Ó ¾ Ù Ò Ö Ú ÒÓ Þ ÖÓ = ÔÓ Ö Ú Ø ÓÑ ØÖ ¹ Ñ ÒØ ÒÓ Ö Ó ÜÓ Ó Ö Ó ÔÓ Ù ÙÑ Ó Ñ = Ó ÕÙ ÑÔ Ü Ø Ò ÙÑ Ø Ò ÒØ Ñ Ò Ò Ø ÔÓÒØÓº Ê ÔÖ ÒØ ÑÓ ÒÓ Ö Ó Ñ ÒÞ Ú Ö ÔÓ Ú Ø Ò ÒØ º = = 3 Ç ÖÚ Ó ¾  ÒÓ Ó = 3 ÔÓ ÑÓ Ú Ö ÕÙ Ó Ð Ñ Ø Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó ÒÓ Þ ÖÓ Ó Ò ÓÑ Ó ÜÓ º Ç Ó ÒØ Ò ÙÐ Ö Ö Ø Ø Ò ÒØ ÓÒÚ Ö Ô Ö + ÕÙ Ò Ó º Å Ö ÑÓ ÒÓ Ö Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó Ñ Ó ÔÓÒØÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ó Þ ÖÓº Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ö Ó = 3 ÔÓ Ö Ó Ø Ó Ô ÖØ Ò Ó Ó Ö Ó = 3 º

88 ¾ È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ ÓÑÓ Ü Ø Ò Ö Ú Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÑÔ Ó ÙÖ Ñ ÒØÓ Ó Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÙÒÓ Ö Ú Ú Ð Ù Ú º Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö f() = { ; Q; ; Q º ÐÙÐ f ()º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ È Ð Ò Ó ÓÑÓ f() = f f(+h) f() f(h) () = lim = lim h h h h. ÓÖ f(h) = ÓÙ f(h) = h Ô Ò Ò Ó h Q ÓÙ ÒÓº ÆÓ Ó Ó f(h) h º Ñ Ù Ò Ó ÓÒØ ÒÙ ÙÒÓ Ñ ÙÐÓ f () = lim f(h) h h = lim f(h) h h lim h h h = lim h =. h ÈÓÖØ ÒØÓ f () ÓÙ f () = ÔÓÖØ ÒØÓ f () = º Î Ó Ë f(t) ÔÓ Ó ÙÑ Ó ØÓ Ñ ÙÒÓ Ó Ø ÑÔÓ f (t) Ù Ú ÐÓ ¹ º Ü ÑÔÐÓ ÔÓ Ó S Ñ Ñ ØÖÓ ÙÑ ÖÓ Ñ ÙÒÓ Ó Ø ÑÔÓ t Ñ ÙÒ Ó ÔÓÖ S(t) = t Ô Ö t > º Ø ÖÑ Ò Ù Ú ÐÓ Ñ m/s ÒÓ Ò Ø ÒØ t = 9º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ È ÐÓ Ü ÑÔÐÓ Ñ ÑÓ ÕÙ S (t) = º ÄÓ Ó t S (9) = = /6º Ñ Ù Ú ÐÓ /6 m/sº 9 Î Ó ÓÑ ØÖ Ç Ó ÒØ Ò ÙÐ Ö Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó = f() ÒÓ ÔÓÒØÓ (, f()) Ù Ð f ()º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö Ø Ø Ò ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ (a, f(a)) ÓÖ ÞÓÒØ Ð f (a) = Ö ÒØ f (a) > Ö ÒØ f (a) < º Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ó Ö Ó = g() Ò ÙÖ ÜÓº Ø ÖÑ Ò Þ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ ÓÙ Ò Ø ÚÓ µ g () µ g (5) µ g (6) µ g (8)º g() ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÔÓ Ø ÚÓ µ Ò Ø ÚÓ µ Þ ÖÓ µ ÔÓ Ø ÚÓº

89 º½º ÁÆÁ Ç ÊÁÎ Ü ÑÔÐÓ ¼ Ò ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ö Ó Ó Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó Ó Ö Ó = g ()º ÓÑ Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ Ö Ú Þ ÖÓº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¼ Ö Ú Þ ÖÓ Ñ = 4 = 6 ÔÓ Ø Ú Ô Ö < 4 > 6 Ò Ø Ú Ô Ö 4 < < 6º Ó Ò Ø Ò ÓÖÑ Ó ÑÓ Ó Ö Ó g ()º g () Ç ÖÚ Ó ¼ ÇÙØÖ ÆÓØ Ô Ö Ö Ú º ÒÓØ Ó f Ô Ö Ö Ú Ú Ñ Á Æ ÛØÓÒº Ä Ò Þ ÒØÖÓ ÙÞ Ù ÒÓØ Ó d df ÕÙ ÒÓ ÕÙÓ ÒØ Ñ ÓÖ Ô Ö ÒÓ Ô ØÙÐÓ ÒØ Ö Ó Ö ÙØ Ð Þ Ó ÓÑÓ Ó º Ù Ø ÚÓ Ø Ü Ú Ö Ó Ò Ø ÒØÒ ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ø Ü Ú Ö Ó Ñ df d = lim f. ÉÙ Ð ÒÓØ Ó Ñ Ð ÓÖ Á ØÓ Ó ÑÓØ ÚÓ Ô Ö Ñ Ù ÖÖ Ó ÐÙÐÓ ÓÒ ÙÐØ Ð ÚÖÓ À Ø Ö Å Ø Ñ Ø ÓÑÓ Ó ÓÝ Ö ÓÙ ÒØ ÖÒ Øº Æ Ô ÖØ Ö Ú Ú ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö ÒÓØ Ó Ñ ÓÑÔ Ø f º ÆÓ Ô ØÙÐÓ ÁÒØ Ö Ð Ö Ø Ð ÙØ Ð Þ Ö df d º Ð Ñ Ø Ü Ø Ñ ÓÙØÖ ÒÓØ ÙØ Ð Þ º Ó = f() f = df d = = d d = d d f = Df = D f. Ç Ñ ÓÐÓ D d Ó Ñ Ó ÓÔ Ö ÓÖ Ö Ò º Ë I Ó Ô Ó d ÙÒ Ö Ú Ú ÔÓ ÑÓ Ú ¹ÐÓ ÓÑÓ ÙÒ Ò Ø Ô Ó D : I I ÔÓ Ó ÙÒÓ Ù Ö Ú º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ f() = g = Df ÒØÓ g() = º Ö Ú ÙÒ ÓÖ Ñ ÙÔ Ö ÓÖº Ò ÑÓ f = (f ) º ÓÖÑ Ò ÙØ Ú ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ö Ú ÓÖ Ñ n N ÕÙ ÐÕÙ Öº Ü Ø Ñ Ú Ö ÒÓØ Ô Ö Ö Ú ÓÖ Ñ ÙÔ Ö ÓÖ f = d f d = D f, f (n) = dn f d n = Dn f, Ô Ö n N. Ë f(t) Ö ÔÖ ÒØ ÔÓ Ó Ñ ÙÒÓ Ó Ø ÑÔÓ f Ú ÐÓ f Ð Ö Óº ÓÑ ØÖ Î ÑÓ Ú Ö ÓÓ Ö Ó ÒÓ Ô ØÙÐÓ ÔÐ Ö Ú µ ÕÙ f Ò ÓÒ Ú Ó Ö Ó Ô Ö Ñ ÓÙ Ô Ö ÜÓ Ô Ò Ñ = = µº

90 È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ ÍÑ Ö Ø Ø Ñ Ø ÖÑ Ò ÓÙ ÖÑÓ Ó Ù Ó ÒØ Ò ÙÐ Ö mµ ÙÑ ÔÓÒØÓ (, ) ÓÒ Ð Ô º ÕÙ Ó Ø Ö Ø Ö = m( ). ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ º ÓÑÓ Ó Ó ÒØ Ò ÙÐ Ö Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó = f() ÒÓ ÔÓÒØÓ (,f( )) f ( ) = m ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ f( ) = f ( )( ). Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó µ = ÒÓ ÔÓÒØÓ (4,6) µ = ÒÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ = 9º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ Â Ú ÑÓ ÕÙ f() = ÒØÓ f () = º ÈÓÖØ ÒØÓ Ö Ø Ø Ò ÒØ 4 = 4( 4) ÔÓÖØ ÒØÓ 6 = 8( 4) ÓÙ = 8 6 Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó Ñ (4,6)º µ Â Ú ÑÓ ÕÙ f() = ÒØÓ f () = º ÈÓÖØ ÒØÓ Ö Ø Ø Ò ÒØ 9 = /( 9)( 9) ÔÓÖØ ÒØÓ 3 = /6( 9) ÓÙ = /6+3/ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó Ñ (9,3)º Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó = 3 ÒÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ = aº Ø ÖÑ Ò ÌÇ Ë Ø Ò ÒØ ÕÙ Ô Ñ Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ (,6)º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ Â Ú ÑÓ ÕÙ f() = 3 ÒØÓ f () = 3 º ÄÓ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ ÕÙ Ô Ñ (a,a 3 ) a 3 = 3a ( a)º Ú ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ô Ö ÕÙ a R Ø Ö Ø Ô Ñ = = 6º ËÙ Ø ØÙ Ò Ó Ó Ø ÑÓ 6 a 3 = 3a ( a)º Ë ÑÔÐ Ò Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ó a 3 = 8º Ò ÓÐÙÓ Ñ R a = º Ñ Ò Ø Ò ÒØ ÕÙ Ô Ñ (,6) +8 = (+) ÓÙ = +6º ÖÖÓ ÓÑÙÑ ÓÒ ÙÒ Ö Ö Ú ÓÑ Ö Ø Ø Ò ÒØ º Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó = ÒÓ ÔÓÒØÓ (,4)º ÓÑÓ f () = ÕÙ ÕÙ Ó ÙÑ Ö Ø Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ò ÒØ = ÊÊ Ç µº Ç ÓÖÖ ØÓ 4 = ( )º ÖÖÓ ÓÑÙÑ ÆÓ ÐÙÐ Ö Ó Ó ÒØ Ò ÙÐ Ö ÒÓ ÔÓÒØÓ Ø Ò Ò º Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó f() = 3 ÒÓ ÔÓÒØÓ (,)º ÓÑÓ f () = 3 Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ò ÒØ = 3 ( ) ÊÊ Ç µ ÕÙ Ò Ñ ÕÙ Ö ÙÑ Ö Ø º Ç ÓÖÖ ØÓ = 3 ( ) = 3( )º Ì ÖÑ Ò ÑÓ ÓÑ ÙÑ Ö ÙÐØ Ó ÕÙ Ö ÒØ ÕÙ ØÓ ÙÒÓ Ö Ú Ú Ð ÓÒØ ÒÙ º Ä Ñ Ö Ú ÓÒØ ÒÙ µ Ë f ÔÓ Ù Ö Ú Ñ a ÒØÓ f ÓÒØ ÒÙ Ñ aº ÈÖÓÚ Ú ÑÙÐØ ÔÐ ÕÙ ÔÓÖ a ÜÔÖ Ó f(a+h) f(a) Ó Ø Ò f() f(a) limf() f(a) = lim ( a) = a a a f() f(a) = lim lim a = f (a) =. a a a Ñ limf() = f(a)º a

91 º¾º ÊÁÎ ÍÆ Ë ÌÊ ÆË Æ ÆÌ Ë º¾ Ö Ú ÙÒ ÌÖ Ò Ò ÒØ Æ Ø Ë Ó Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö Ô Ð Ò Ó Ö Ú ÙÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÓ Ó ÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð ÐÓ Ö ØÑ º Ð ÓÖÖ ÖÓ Ó Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ó Ì ÓÖ Ñ Ôº Ì ÓÖ Ñ Ôº º Ä Ñ µ (sen) = cos µ (log) = µ (e ) = e º µ (cos) = sen ÈÖÓÚ µ ÓÑÓ sen(+h) = sencosh+senhcos Ó Ø ÑÓ ÕÙ sen(+h) sen() h = sencosh+senhcos sen h = sen cosh h +cos senh h. cosh Ü ÑÓ Ô Ö Ó Ð ØÓÖ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ lim = ÑÙÐØ ÔÐ ÕÙ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓ¹ h h Ñ Ò ÓÖ ÔÓÖ cosh+ Ù ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ì ÓÖ Ñ Ôº µº Ñ Þ Ò Ó h Ö Ó Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ì ÓÖ Ñ Ôº µ Ó Ø ÑÓ ÕÙ (sen) = cosº µ Ü ÑÓ Ô Ö Ó Ð ØÓÖ Þ Ö ÙÑ ÑÙØ Ø ÑÙØ Ò ÒÓ Ø Ñ µ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ cos(+h) = coscosh sensenhº È Ö µ µ ÔÖ ÑÓ Ø Ð Ö ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ð Ñ Ø log(+h) lim =. º½µ h h È Ð ÔÖÓÔÖ Ó Ô Ø Ð Ó Ó log log ( (+h) /h) = log(+h). ÓÑÓ log ÓÒØ ÒÙ h Ì ÓÖ Ñ Ôº½ µ Ó Ð Ñ Ø lim(+h) /h Ü Ø Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¾ Ôº½ ÔÓ ÑÓ ØÖÓ Ö h ÓÖ Ñ log ÓÑ Ó Ð Ñ Ø º Ñ ÔÐ Ò Ó log ÒÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÜÔÓÒ Ò Ð Ì ÓÖ Ñ Ôº µ Ó Ø ÑÓ ÕÙ log(+h) lim h h = limlog ( (+h) /h) ( ) = log lim h h (+h)/h = log(e) =. = µ Ñ log(+h) log() h = ( ) +h h log = h ( log + h ). È Ò Ó Ó Ð Ñ Ø ÓÑ h ØÖÓ Ò Ó Ú Ö Ú Ð Ô Ö k = h/ ÙØ Ð Þ Ò Ó º½µ log(+h) log() lim h h = lim k log(+k) k µ È Ö Ö Ú Ö ÜÔÓÒ Ò Ð ÔÖ ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ =. e h lim =. º¾µ h h

92 È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ È Ö ØÓ Ú ÑÓ ØÖÓ Ö Ú Ö Ú Ðº ÌÓÑ h = log( + )º ÒØÓ e h = º ÓÑÓ e h ÕÙ Ò Ó h Ô Ð ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ó Ð Ñ Ø lim = lim h h log(+) º ÍØ Ð Þ Ò Ó ÕÙ Ó º½µ Ø ÑÓ ÕÙ = lim log(+) º Ñ ÓÐÓ Ò Ó e Ñ Ú Ò e +h e lim h h = e lim h e h h = e. Ö Ú ÓÙØÖ ÙÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÑÓ Ø Ò ÒØ ÒØ Ó ÒØ ÔÓ Ñ Ö ÐÙÐ ÓÑ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ôº Ö Ú Ó ÕÙÓ ÒØ µ Ö Ú ÙÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÚ Ö ÖÓ¹Ø Ò ÒØ ÖÓ¹ ÒÓ Øºµ ÔÓ Ñ Ö ÐÙÐ ÓÑ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ôº Ö Ú ÙÒÓ ÒÚ Ö µº Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ú log º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ È Ð ÔÖÓÔÖ Ó ÐÓ log = log log º Ñ log (+h) log () h = log log(+h) log(). h È Ó Ó Ð Ñ Ø ÓÑ h Ó Ø ÑÓ ÕÙ (log ) = º ÕÙ Ú ÑÓ ÒÓÚ Ñ ÒØ log ÔÓÖÕÙ Ñ ÐÙÐÓ Ñ Ð ÓÖ ÙØ Ð Þ Ö e ÔÓ ÒÓ Ö Ú Ñ ÓÑÔÐ º ÈÓÖÕÙ Ö ÒÓ Ô Ö Ñ Ö Ò ÙÐÓ ÈÓÖÕÙ e ÓÑÓ ÐÓ Ö ØÑÓ Ö ÔÓ Ø ÕÙ ÙØ Ð Þ ÖÑÓ ÓÙØÖ ÙÒ Ñ Ò ÙÐÓ Ö Ú ÙÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ñ ÓÑÔÐ ÙØ Ð Þ ÖÑÓ ÓÙØÖ Ô Ö Ó ÐÓ ¹ Ö ØÑÓ» ÜÔÓÒ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÓÑÔÐ º ÆÓ Ó Ó ÙÖ Ö ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÒØ µ Ò Ö Ú º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÑÓ Ú ÑÓ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ Ñ log () = log() º Ë Ó Ò ÙÐÓ ÓÖ Ñ Ó Ñ Ö Ù ÔÓ ÑÓ ÜÔÖ Ö Ò Ö() = sen(π/8) Ñ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ò Ö(9) = sen(π/) = Ó Ö() = sen(π/8)º ÓÖ Ú Ö ÑÓ Ñ ÒØ ÕÙ Ò Ö () = π cos(π/8) = π 8 8 Ó Ö() Ó ÒÚ Ö Ð Ó Ñ ÑÔÐ sen () = cos()º ÉÙ ÐÕÙ Ö Ú Ð Þ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó Ô ÒÚÓÐÚ Ö Ð ÙÑ Å Ø Ñ Ø ÓÐ Ö Ó Ñ ÑÓº ÓÔ Ò Ñ ÖÓ Ó Ò ÑÓ Ó ÙÑ ÒÓ µ Ö Ù Ú Ö Ó ÖÙÐÓ Ñ ¼ Ö Ù ÒÚ ÒÓ Ó ÐÒ Ó µ Ó ÓÐ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ö ØÖ Ö Ó ÀÓÑÓ Ô Ò º º ÈÖÓÔÖ Ö Ú Æ Ø Ë Ó Ú ÑÓ ÔÖ Ò Ö Ø Ò ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ñ ÐÙÐ Ö Ö Ú ÙÑ ÒÓÖÑ ÕÙ ÒØ ÙÒ Ñ Ø Ö ÕÙ ÕÙ Ö Ö Ð Ñ Ö Ö Ò Ó ¹ Ö Ú º ÈÓÙÓ Ø ÓÖ Ñ ÚÓ ÔÖÓÚ Ö ÙÑ ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ó Ô Ö Ö Ú Ö ÙÒ ÕÙ Ó ÓÖÑ Ô ÖØ Ö ÔÓÙ ÙÒ ÑÔÐ ÒÓ Ó ÒÓ ÐÓ Ö Þ ÕÙ Ö ÔÓØ Ò Óµ Ô Ð Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ú Ó ÓÑÔÓ Óº ËÔ Ôº½ Ñ ØÖ ÙÓ Ð ÚÖ µ

93 º º ÈÊÇÈÊÁ Ë ýëá Ë ÊÁÎ Ì ÓÖ Ñ ½ ÓÑ Ö Ò ÔÖÓ ÙØÓ ÕÙÓ ÒØ µ ËÙÔÓÒ ÕÙ f g Ó ÙÒ Ö Ú Ú c Rº ÒØÓ µ (f()+cg()) = f ()+cg () Ö Ú ÓÔ Ö ÓÖ Ð Ò Öµ µ (f()g()) = f ()g()+f()g () µ ( f() g() ) = f ()g() f()g () (g()) ÓÒ g() º ÈÖÓÚ µ ÓÒ ÕÙ Ò Ö Ø Ð Ò Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½ Ôº½¾º µ Ë m() = f()g() ÓÑ Ò Ó Ù ØÖ Ò Ó f(+h)g() m(+h) m() h = f(+h)g(+h) f(+h)g()+f(+h)g() f()g() h = f(+h) g(+h) g() h +g() f(+h) f() h È Ò Ó Ó Ð Ñ Ø h Ó Ø ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ f(+h) f()º µ ÍÑ Ö ÙÑ ÒØÓ ÒÓ¹Ö ÓÖÓ Ó ÙÔÓÒ Ó ÕÙ f Ö Ú Ú Ð Ò Ö h = f º Ñ g g hg = fº ÐÙÐ Ò Ó Ö Ú Ó Ó Ð Ó Ó Ø ÑÓ ÔÓÖ µ h g + hg = f º ÄÓ Ó ÓÐ Ò Ó h Ù Ø ØÙ Ò Ó h ÔÓÖ f/g h = f hg = f fg /g = f g fg º g g g ÔÖÓÚ Ö ÓÖÓ ÓÑ ÐÙÐ Ò Ó Ö Ú m() = Ô Ð Ò Ó g() m(+h) m() h [ = g(+h) g() ] h = g() g(+h) h g()g(+h) = ÆÓØ ÕÙ ÕÙ Ò Ó ( h ) Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÓÒÚ Ö Ô Ö g () ÙÒ Ó Ø ÖÑÓ ÓÒÚ Ö Ô Ö [g()] º Ñ = g g g º ÓÑÓ f g = f Ù Ò Ó Ó Ø Ñ µ Ö Ú Ó ÔÖÓ ÙØÓµ ( ) g f = f g g +f g = f g fg º g g Ç ÖÚ Ó ½ Í Ò Ó ÒÓØ Ó Ö Ú D Ôº Ó ÓÔ Ö ÓÖ D Ð Ò Ö ØÓ D(f +cg) = Df +cdg Ô Ö ØÓ ÙÒÓ f g ØÓ Ó c Rº Ç ÖÚ Ó ¾ Ö Ö Ñ Ð Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó ÕÙÓ ÒØ º ÍÑ ÖÖÓ ÐÑ ÒØ ÓÑ Ø Ó Ô ÐÓ ÐÙÒÓ Ô Ó Ò Óµ Ö ÕÙ Ö Ú Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ö Ú º ÓÖÓÐ Ö Ó ( m ) = m m Ô Ö ØÓ Ó m Z º ÈÖÓÚ È Ö m = ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ì ÓÖ Ñ Ôº ¼ ÔÓ = ÙÑ ÙÒÓ ÓÒ Ø ÒØ Ù Ö Ú º È Ö m > Ù ÔÓÖ Ò ÙÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ôº º ËÙÔÓÒ ÔÓÖ Ô Ø Ò ÙÓ ÕÙ ( k ) = k k º Ñ ( k+ ) = ( k ) = k + ( k ) = k +k k = k +k k = (k +) k º ÓÑÓ Ú Ö Ô Ö k = ÙÔÓÒ Ó Ú Ö ÖÓ Ô Ö k Ù ÕÙ Ú Ö Ô Ö k + Ú Ö ÖÓ Ô Ö ØÓ Ó k Nº È Ö m < Ø Ö Ú Ö m = º ÓÑÓ m > ÙØ Ð Þ Ò Ó Ö Ú Ó ÕÙÓ ÒØ m Ô ÖØ ÒØ Ö ÓÖ Ø ÑÓ ÕÙ ( ) = ( m ) ( m) m m m = +m m m = m m +m = m m.

94 È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ ÂÙÒØ Ò Ó Ø ÓÖÓÐ Ö Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö µ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö ÓÑ ÙÒ m µ ÙÒ Ö ÓÒ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö ÔÓÐ ÒÑ Ó ÕÙÓ ÒØ µ ÓÑ Ò ÓÑ ÔÖÓ ÙØÓ ÕÙÓ ÒØ ÒØÖ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ ÙÒ ØÖ Ò Ò ÒØ ÒÓ Ó ÒÓ ÐÓ Øµº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ø Ò ÒØ ÒØ Ó ÒØ Øº Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ö Ú p() = º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÔÐ Ò Ó Ö Ö Ö Ú ÓÑ Ú Ö Ú Þ Ù Ó ¹ Ø ÑÓ p () = ( 5 9 ) +(4 3 7 ) = ( 5 9 ) +(4 3 ) (7 ) = = ( 5 9 ) +(4 3 ) (7 ) (). ÓÖ Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ (cg) = cg c ÓÒ Ø ÒØ p () = 5( 9 ) +4( 3 ) 7( ) (). ÓÖ Ù Ò Ó Ö Ö ( m ) = m m Ô Ö m Z p () = = Ç ÖÚ Ó ÓÑ Ø Ö Ö Ñ Ö Ú ÙÒ ØÖ Ò Ò ÒØ ÒÓ Ó ÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð ÐÓ Ö ØÑÓµ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓÖÑ ÙÒ º ÆÓØ ÕÙ Ü Ø ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ö Ú ÙÑ ÓÑÔÙØ ÓÖ ÔÓ ÐÑ ÒØ Ö Ú Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÒÓº Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ö Ú µ f() = logtan µ g() = 4 cos+ 7 sen º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÈÖ Ñ ÖÓ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö Ö Ú Ø Ò ÒØ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ö Ú Ó ÕÙÓ ÒØ (tan) = ( sen ) (sen) cos sen(cos) = = cos (cos) = coscos sen( sen) (cos) ÓÖ Ù Ò Ó Ö Ö Ó ÔÖÓ ÙØÓ log () = /µ = cos +sen (cos) = f () = (log) tan+log(tan) = tan µ ÓÑ ÔÐ Ò Ó Ö Ö ÓÑ ( g () = 4 cos+ 7 ) = ( 4 cos) + sen (cos) = sec. + log (cos). ( ) 7. sen

95 º º ÈÊÇÈÊÁ Ë ýëá Ë ÊÁÎ ÓÖ Ö Ú Ø ÖÑÓ Ù Ò Ó Ö Ö Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ó ÕÙÓ ÒØ ÒÓ ÙÒ Ó Ì ÖÑ Ò g () = ( 4 ) cos+ 4 (cos) + (7) sen 7(sen). sen g () = 4 3 cos+ 4 ( sen)+ 7sen 7cos. sen Ç ÖÚ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ø Ñ Ø Ó ÙÖ ÒØ Ö Ú Ó Ü ÙØ Ò Ó ÔÓÙÓ Ô Ó Ú Þº ËÓÑ ÒØ ÓÑ ÑÙ ØÓ ÜÔ Ö Ò ÔÓ ÑÓ Þ Ö Ö Ø Ñ ÒØ ÓÑ ÔÓÙÓ ÓÙ Ò Ò Ùѵ Ô Ó ÒØ ÖÑ Ö Óº Ñ ÔÐ ÕÙ ÙÑ Ö Ö Ú Þº Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ö Ú f() = ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ log 5e +sen º f () = (log) (5e +sen) log(5e +sen) (5e +sen) = = (/)(5e +sen) log((5e ) +(sen) ) (5e +sen) = = (/)(5e +sen) log(5e +cos) (5e +sen) Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò ØÓ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó = ÕÙ Ô Ñ Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ (, 4)º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÈÖ Ñ ÖÓ ÔÓ ÑÓ Ú Ö ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ú Ö Ö Ó ÜÓµ ÕÙ Ó Ù ÓÐÙ º ÓÑÓ = Ö Ø Ø Ò ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ (a, a ) ( a ) = a( a)º Ø Ö Ø Ú Ô Ö ÒÓ ÔÓÒØÓ (,) = (,4) 4 ( a ) = a( a) ØÓ 3+a = a ÓÙ a = 3º Á ØÓ Ú ÓÓÖÖ Ö Ô Ö a = ± 3º ÓÑÓ (± 3) = 3 = Ö Ø Ô Ñ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ó Ö Ó ( 3, ) ( 3, )º Ñ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó ( ) = 3( 3) ( ) = 3(+ 3)º Ë ÑÔÐ Ò Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ù Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó Ó = 4± 3º 4?? =

96 ¼ È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ º Ö Ú ÓÑÔÓ Ø ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ Ë Ö Þ Ö ÓÑÔÓ Ó ÙÒ º Ü ÑÔÐÓ f() = 4+ g() = sen( +) ÐÙÐ f(g()) g(f())º Ì ÓÖ Ñ ½ Ö Ú ÓÑÔÓ Ø µµ ÓÒ Ö f g Ö Ú Ú º [f(g())] = f (g()) g ()º ÒØÓ ÈÖÓÚ ÍÑ Ö ÙÑ ÒØÓ ÒÓ¹Ö ÓÖÓ Ó Ú Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ g(+h) g() f(g(+h)) f(g()) h = f(g(+h)) f(g()) g(+h) g() g(+h) g(). h ÓÖ ÕÙ Ò Ó h Ó ÙÒ Ó Ø ÖÑÓ ÓÒÚ Ö Ô Ö g () ÔÓÖ Ò Óº È Ö ÐÙÐ Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ØÖÓÕÙ Ú Ö Ú Ð Ô Ö = g(+h)º ÉÙ Ò Ó h g()º Ñ Ò Ò Ó a = g() f(g(+h)) f(g()) f() f(g()) f() f(a) lim = lim = lim = f (a) = f (g()). h g(+h) g() g() g() a a ÖÖÓ ÓÑÙÑ Ø Ö Ö Ö Ú Ó Ñ Ð ØÓ º Æ Ö Ó ÔÖ Ø Ö Ø ÒØ ÔÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÐ Ô Ö ÑÙ ØÓ ÐÙÒÓ º Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ö Ú µf() = sen(4 5 4) µg() = [log(sen( 5 )+)] 7 µh() = e sen(3 )+7 º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ f () = sen (4 5 4)(4 5 4) = cos(4 5 4)( 4 ). µ g () = 7[log(sen( 5 )+)] 6 [log(sen( 5 )+)] = = 7[log(sen( 5 )+)] 6 log (sen( 5 )+)(sen( 5 )+) = = 7[log(sen( 5 )+)] 6 sen( 5 )+ sen ( 5 )( 5 ) = = 7[log(sen( 5 )+)] 6 sen( 5 )+ cos(5 )5 4 = = 354 [log(sen( 5 )+)] 6 cos( 5 ). sen( 5 )+ µ ÍØ Ð Þ Ò Ó ÒÓØ Ó ep() = e Ô Ö Ð Ø Ö Ó ÒØ Ò Ñ ÒØÓ ÔÐ Ó Ö Ö º h () = ep (sen( 3 )+7 )(sen( 3 )+7 ) = ep(sen( 3 )+7 )(sen ( 3 )( 3 ) +(7 ) ) = = ep(sen( 3 )+7 )(cos( 3 )(3 )+4) = = ep(sen( 3 )+7 )(3 cos( 3 )+4).

97 º º ÊÁÎ ÇÅÈÇËÌ ½ Ç ÖÚ Ó ÓÑ Ò Ö a ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ π Ù Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ Ð Ñ ÑÓ ÕÙ ÒØ Ú Þ ÍÑ Ñ Ò Ó Ò Ö ÔÖ Ñ ÖÓ p/q ÓÑ p,q N ÓÑÓ ÒÓ Ò ÒÓ Ñ Ó Ú Ö ËÔ Ôº¾ Ô Ö Ø Ñ ÜÔÐ Óµ p/q = q p º È Ö ÙÑ ÖÖ ÓÒ Ð ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÑÓ π Ò ÑÓ ØÖÙÒ Ò Ó ÜÔ Ò Ó Ñ Ð Ô Ò Ó Ó Ð Ñ Ø º Ñ π 3.4 = 34 ÓÙ π 3.45 = 345 غ Å Ü Ø ÙÑ Ñ Ò Ó Ö ØÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÜÔÓÒ Ò Ð e º ÓÑÓ e log = ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ó ÜÔÓ ÒØ = (e log ) = e log º ÓÖÑ Ö Ð Ò ÑÓ a = e loga Ô Ö ØÓ Ó R a >. Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ö Ú µ f() = r Ô Ö > µ µ g() = µ h() = Ô Ö > µº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÓÑÓ = e log Ñ µ ÓÑÓ = e log ÔÓÖÕÙ µ f () = ( r ) = (e rlog ) = e logr = rr = rr. g() = = (e log ) = e log. g () = e log (log) = e log log = log. ÕÙ Ú ÑÓ ÒÓÚ Ñ ÒØ ÔÓÖÕÙ Ñ ÐÙÐÓ Ñ Ð ÓÖ ÙØ Ð Þ Ö e ÔÓ ÒÓ Ö Ú Ñ ÓÑÔÐ º µ ÓÑÓ = e log h () = ( ) = (e log ) = (e log )(+log) = (+log). È ÐÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ø Ñ µ ( r ) = r r º Ñ ÑÓ ÐÙÐ Ö ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ( 7 ) = ( /7 ) = 7 7 = = 7 7 º 6 ÇÙ ÒØÓ ( 5 ) = ( 5/ ) = 5 5 = 5 7 = Ü ÑÔÐÓ ¼ ÐÙÐ Ö Ú µ h() = 9 µ m() = log( )º 5 7 º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¼ µ ÈÓÖ Ò Ó h() = 9 ÕÙ Ò Ó > 3 h() = ( 9) = 9 ÕÙ Ò Ó < 3º Ñ h () = ÕÙ Ò Ó > 3 h () = ÕÙ Ò Ó < 3º ÆÓØ ÜÔÐ Ö ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ ÔÓÖÕÙ µ ÕÙ f (3) f ( 3) ÒÓ Ü Ø Ñº µ ÈÓÖ Ò Ó m() = log() Ô Ö > m() = log( ) Ô Ö < º Ñ m () = / Ô Ö > m () = log ( ) ( ) = ( ) = Ô Ö < º Ñ Ô Ö ØÓ Ó ÓÒ log( ) ÒÓ Ø Ò ÕÙ ÐÕÙ Ö ØÓµ m () = º ÇÙ m () = (log( )) = Ô Ö ØÓ Ó º

98 ¾ È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó () = sen(log( +7)) ÒÓ ÔÓÒØÓ (, sen(log(8)))º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÑÓ () = cos(log( + 7)) ÕÙ Ó Ö Ø +7 Ø Ò ÒØ sen(log(8)) = cos(log( cos(log(8)) +7)) ( ) = ( ) Ê ÖÖÙÑ Ò Ó ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ = sen(log(8))+ cos(log(8)) ( ). 4 ÉÙ ÖÓ Ö Ú º f() r e log( ) sen cos tan f () r r e cos sen sec º Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ Å Ó ÌÎŵ Ö Ñ ÒØÓ Ö Ñ ÒØÓ Æ Ø Ë Ó Ú ÑÓ Ù Ø Ö Ó Ø ÑÔÓ ÕÙ Ø ÑÓ ÔÖ Ò Ò Ó ÐÙÐ Ö Ö Ú ÙÑ ÙÒÓº Î Ö ÑÓ ÕÙ Ò Ó ÓÑ ÒØ ÙÑ ÔÓÙÓ Ó Ö f Ó Ò Ðµ ÒÓ Þ ÑÙ ØÓ Ó Ö fº ËÔ Ôº½ Ð ÙÑ ÔÐ ÑÔÓÖØ ÒØ Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ Å Ó ÌÎŵ ÕÙ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ò Ø Ó Ó ÓÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ ÙÑ ÙÒÓ Ö ÓÙ Ö ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ ÙÑ ÙÒÓ Ò Ø Ú ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ ÓÒ Ü Ø ÙÒÓ ÒÚ Ö ÙÒ ÓÐÙÓ ÕÙ º Ç Ö ÙÐØ Ó Ø Ë Ó Ó Ó ÒÓ Ù ÒØ Ì ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ½ ÊÓÐÐ µ Ë f ÓÒØ ÒÙ Ñ [a,b] ÓÑ a < bµ Ö Ú Ú Ð Ñ (a,b) ÓÑ f(a) = f(b) = ÒØÓ Ü Ø c (a,b) Ø Ð ÕÙ f (c) = º

99 º º Ì ÇÊ Å Ç Î ÄÇÊ Å ÁÇ ÌÎŵ Ê Ë ÁÅ ÆÌÇ Ê Ë ÁÅ ÆÌÇ ÈÖÓÚ ÎÓÙ ÓÑ ÒØ ÐÙ ØÖ Ö Ó Ö ÙÐØ Óº ÓÒ Ö ÙÒÓ f Ö ÔÖ ÒØ ÒÓ Ö Ó ÜÓº ÆÓØ ÕÙ f() = f() = f() = f(3) = º Ñ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,] Ü Ø ÙÑ c Ø Ð ÕÙ f (c) = ØÓ Ø Ð ÕÙ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ô Ö Ð Ð Ó ÜÓ º Ç Ñ ÑÓ ÓÓÖÖ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,]º Ò ÐÑ ÒØ ÒÓØ ÕÙ Ó Ì ÓÖ Ñ Ö ÒØ Ü Ø Ò Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ c Ñ ÔÓ ÑÓ Ø Ö Ñ ÙÑ ÓÑÓ ÒÓ Ó ÔÐ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ Ñ [,3] ÓÒ Ø ÑÓ 3 c³ Ø ÒØÓ º c c c c c 3 Ç Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ Å Ó ÌÎŵ ÔÖ ÒØ Ó ÓÑÓ ÙÑ ÓÖÓÐ Ö Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ÊÓÐÐ ÙÑ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÖ Ñ ÒØ Ø Ö Ó ÐÙÐÓ ÔÖÓÚ Ú ÐÑ ÒØ Ó Ö Ùй Ø Ó Ñ ÔÖÓ ÙÒ Ó Ó Ö Ö Ú º ËÔ Ôº½ Ç ÌÎÅ Ñ ØÓ Ó ÒÙÑ Ö Ó ÙØ Ð Þ Ó Ò ÔÐ Ó ÐÙÐÓ Ò Ò Ò Ö º ÓÖÓÐ Ö Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ Å Ó ÌÎŵµ Ë f ÓÒØ ÒÙ Ñ [a,b] ÓÑ a < bµ Ö Ú Ú Ð Ñ (a,b) ÒØÓ Ü Ø c (a,b) Ø Ð ÕÙ f(b) f(a) = f (c)(b a). ÈÖÓÚ ÓÒ Ö ÙÒÓ g Ò Ñ [a,b] ÔÓÖ g() = f() f(a) f(b) f(a) ( a). b a ÓÑÓ g(a) = g(b) = ÔÓ ÑÓ ÔÐ Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ½ ÊÓÐÐ µ Ô Ö ÓÒÐÙ Ö ÕÙ Ü Ø c (a,b) Ø Ð ÕÙ g (c) = º ÓÑÓ g (c) = f (c) f(b) f(a) b a =, f (c) = f(b) f(a). b a Ç ÖÚ Ó Ç ÌÎÅ Þ Ñ Ø ÖÑÓ ÕÙ Ü Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ c (a,b) Ø Ð ÕÙ Ú ÐÓ Ò Ø ÒØÒ Ñ c Ù Ð Ú ÐÓ Ñ Ñ [a,b]º Î ÑÓ Ø Ð Ö Ö Ð ÒØÖ Ó Ò Ð Ö Ú ÙÒÓ Ö Ö ÒØ Ö ÒØ ÓÒ Ø ÒØ ÓÙ Ò Ø Ú º

100 È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ Ò Ó ½ Ö ÒØ Ö ÒØ µ Ë I ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓº Þ ÑÓ ÕÙ f µ Ö ÒØ Ñ I Ô Ö ØÓ Ó, I ÓÑ < Ø ÑÓ ÕÙ f() < f() µ Ö ÒØ Ñ I Ô Ö ØÓ Ó, I ÓÑ < Ø ÑÓ ÕÙ f() > f()º Ç ÖÚ Ó ÈÓ Ö ÑÓ Ò Ö Ö ÒØ Ñ Ö ØÖ Ø Ñ ÒØ µ ÔÓÖ < ÑÔÐ ÕÙ f() f() Ô ÖÑ Ø Ò Ó Ù Ð µº Î ÑÓ Ü Ö ØÓ Ô Ö ÙÑ ÙÖ Ó Ò Ð º Æ Ø Ð ÚÖÓ Þ ÑÓ ÕÙ ÙÒÓ Ö ÒØ Ò Ò Ó ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ º ÓÖÓÐ Ö Ó Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÒØÓ» Ö Ñ ÒØÓµ Ë f ÙÑ ÙÒÓ ¹ Ö Ú Ú Ð Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Iº Ë Ô Ö ØÓ Ó I µ f () > ÒØÓ f Ö ÒØ Ñ I µ f () < ÒØÓ f Ö ÒØ Ñ I µ f () = ÒØÓ f ÓÒ Ø ÒØ Ñ Iº ÈÖÓÚ µ Ë Ñ a,b I ÓÑ a < bº ÔÐ Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ Å Ó f ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ü Ø c (a,b) Ø Ð ÕÙ f(b) f(a) b a = f (c) >. Ñ f(b) f(a) > ØÓ f(b) > f(a)º ÄÓ Ó f Ö ÒØ Ñ Iº Ü ÑÓ Ó ÓÙØÖÓ Ø Ò Ô Ö Ó Ð ØÓÖº Ç ÖÚ Ó Ô Ø Ö Ú Ö ÔÓ Ø Ú ÒÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö ÓÒÐÙ Ö ÕÙ ÙÒÓ Ö ÒØ Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓº Ö Ú Ö ÔÓ Ø Ú Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ a ÒÓ ÑÔÐ ÕÙ Ð Ö ÒØ Ô ÖØÓ a ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò a Ú Ôº¾µº ÍÑ Ü ÑÔÐÓ ÔÖ ÒØ Ó ØÖ Ú ÙÒÓ f Ö ÔÖ ÒØ ÒÓ Ö Ó ÜÓº Ñ ÓÖ f () > ÙÒÓ ÒÓ Ö ÒØ Ô ÖØÓ Þ ÖÓ ÔÓ Ó Ð º Ö Ú ÔÓ Ø Ú Ñ = ÑÔÐ ÓÑ ÒØ ÕÙ f() f() f() Ô Ö < < º Î Æ Ô ØÙÐÓ ÓÙ ËÔ Ôº½ Ô Ö Ò Ð Ø Ð º f() Ò Ó ½ ÍÑ ÙÒÓ f : I R Ø Ò Ø Ú Ô Ö ØÓ Ó, I ÓÑ Ø ÑÓ ÕÙ f() f()º ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ ÈÓ ¹ Ø Ø Ö Ò Ø Ú Ó ÖÚ Ò Ó Ó Ö Ó Þ Ò Ó Ó Ø Ø Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÌÓ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ØÓ ÙÑ Ö Ø Ô Ö Ð Ð Ó ÜÓ µ Ú ÒØ Ö Ø Ö Ó Ö Ó Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ ÙÑ ÔÓÒØÓº Ä Ò Ó ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ Ò Ó ÖØ ÕÙ ¹ ÕÙ Ø Ø Ø ÙÒ ÓÒ º

101 º º Ì ÇÊ Å Ç Î ÄÇÊ Å ÁÇ ÌÎŵ Ê Ë ÁÅ ÆÌÇ Ê Ë ÁÅ ÆÌÇ Ä Ñ Ê Ð Ó ÒØÖ ÓÒØ ÒÙ ÁÒ Ø Ú µ Ë f : I R ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÒÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Iº ÒØÓ f Ò Ø Ú Ñ I ÓÑ ÒØ f Ö ÒØ ÓÙ Ö ÒØ Ñ Iº ÈÖÓÚ ÔÖÓÚ Ð º Î Ñ Æ º ÓÖÓÐ Ö Ó Ò Ð Ö Ú Ò Ø Ú µ Ë f : I R ÙÑ ÙÒÓ Ö Ú Ú Ð ÒÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Iº Ë f () > ÓÙ f () < Ô Ö ØÓ Ó I ÒØÓ f Ò Ø Ú Ñ Iº ÈÖÓÚ ÂÙÒØ Ò Ó Ó ÓÖÓÐ Ö Ó Ôº Ó Ä Ñ f () > ÓÙ f () < Ô Ö ØÓ Ó I ÙÒÓ Ò Ø Ú Ñ I ÔÓ Ö Ö ÒØ ÓÙ Ö ÒØ Ñ Iº Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÒ Ö Ó Ö Ó f Ò ÙÖ ÜÓº Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÙÒÓ f Ö Ö ÓÙ ÓÒ Ø ÒØ º Ø ÖÑ Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ ÔÓ ÑÓ Ö ÒØ Ö ÕÙ f Ò Ø Ú º 3 3 f () ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ ÙÒÓ f Ö Ñ ( 3, ) (,3)º ÙÒÓ f Ö Ñ (,)º ÙÒÓ f ÓÒ Ø ÒØ Ñ (, )º Ñ ÔÓ ÑÓ Ö ÒØ Ö ÕÙ f Ò Ø Ú Ñ ( 3, ) (,) Ñ (,3)º ÆÓØ ÕÙ Ô ÐÓ Ø Ø Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÙÒÓ ÒÓ Ò Ø Ú Ñ (,3) ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓº ÔÐ ÕÙ Ó Ø Ø Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ø Ö Óº Ü ÑÔÐÓ Ë Ò Ó ÕÙ f () = ( +3)( 9)(+5) Ø ÖÑ Ò ÓÒ f Ö ÒØ Ö ÒØ º Ø ÖÑ Ò Ñ ÕÙ ÒØ ÖÚ ÐÓ f Ò Ø Ú º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ Ì ÑÓ ÕÙ Þ Ö Ò Ð Ó Ò Ð f ()º Þ Ò Ó ÒÓØ ÕÙ +3 ÒÓ Ø Ó Ò Ð ÔÓ Ö ÒÓÖ Óµ ØÓ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ µ f () < < 5 ÓÙ 3 < < 3º Ñ f Ö Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ º µ f () > > 3 ÓÙ 5 < < 3º Ñ f Ö Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ º ÙÒÓ f Ö Ò Ø Ú Ô Ö Ñ ÒØ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ Ð ÓÑ ÒØ Ö ÓÙ ÓÑ ÒØ Ö º Ñ Ö Ò Ø Ú Ñ (, 5) ( 5, 3) ( 3,3) Ñ (3,+ )º Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö f() = º Ø ÖÑ Ò ÓÒ f Ö ÒØ Ö ¹ ÒØ º Ø ÖÑ Ò Ñ ÕÙ ÒØ ÖÚ ÐÓ f Ò Ø Ú º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ Ç ÖÚ ÕÙ f () = º Ö Þ Ó = ± º Þ Ò Ó Ò Ð Ò Ð Ó Ø ÑÓ ÕÙ µ f () < < < < + º Ñ f Ö Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ º µ f () > > + ÓÙ < º Ñ f Ö Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ º ÙÒÓ f Ö Ò Ø Ú Ô Ö Ñ ÒØ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ Ð ÓÑ ÒØ Ö ÓÙ ÓÑ ÒØ Ö º Ñ Ö Ò Ø Ú Ñ (, ) (, + ) Ñ ( +,+ )º

102 È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò ÓÒ f() = 3 Ö ÒØ» Ö ÒØ º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÓÑÓ f () = 3 > Ô Ö ØÓ Ó Ö ÒØ ÑÓ ÕÙ f Ö ÒØ Ô Ö < Ô Ö > º ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ô ÐÓ ÌÎÅ ÒÓ ÑÓ Ó ÕÙ ÓÓÖÖ ÒÓ º Ñ Ñ ÓÖ f() = 3 Ö ÒØ Ô Ö ØÓ Ó R Ó ÌÎÅ Ö ÒØ Ô Ò Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ô Ö Ñ ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ü Ø ÙÑ Ò ÙÒÓ h : R R Ö Ú Ú Ð Ñ ØÓ Ó R Ø Ð ÕÙ h () = sen( +4) Ô Ö ØÓ Ó R h() = º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ËÙÔÓÒ ÕÙ Ü Ø ÓÙØÖ g Ø Ð ÕÙ g () = sen( +4) g() = º Ò f() = g() h()º Ñ f () = g () h () = sen( +4) sen( +4) = º È ÐÓ ÌÎÅ ÓÑÓ f () = Ô Ö ØÓ Ó R f ÓÒ Ø ÒØ Ñ Rº ÓÑÓ f() = g() h() = = f() = Ô Ö ØÓ Ó º ÄÓ Ó g() = h() Ô Ö ØÓ Ó R ÔÖÓÚ Ò Ó ÕÙ Ü Ø ÙÑ Ò ÙÒÓ ÕÙ Ö ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñ º Ç ÖÚ Ó Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ô Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ÆÓ ÑÓ ÕÙ Ð ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÕÙ Ð ÙÒÓ h ÔÓ Ù ÓÑÓ Ö Ú sen( +4) Ñ ÑÓ ÕÙ ÓÐÙÓ Ò º ÈÖÓÚ ÑÓ ÙÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÆÇ Ö ÒØ ÑÓ Ü Ø Ò ÓÐÙÓ Ñ ÒÓ Ò ÑÓ ÓÑÓ Ü Ö ÙÑ ÓÐÙÓº È Ö ØÓ ÔÖ ÑÓ ÔÖ Ò Ö Ì ÓÖ ÁÒØ Ö Óº º Ö Ú ÁÒÚ Ö Î ÑÓ Ú Ö Ò Ø Ë Ó ÓÑÓ ÐÙÐ Ö Ö Ú ÒÚ Ö ÙÑ ÙÒÓº Î ÑÓ ÔÐ Ö Ô Ö ÐÙÐ Ö Ö Ú ÙÒ ÒÚ Ö ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ Ó arctanº ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ Ç ÕÙ ÒÚ Ö ÙÑ ÙÒÓ Ù Ó ÓÑ ÓÒ Ù Ó Ù Ù Ð ÒØÖ ÒÚ Ö ÙÒÓ ½» Ó Ö ÒÚ Ö º ÒÚ Ö sen() arcsen() sen() º ÒÚ Ö e log() e = e º Ä Ñ Ö ÕÙ Ó Ø ÑÓ Ó Ö Ó ÙÒÓ ÒÚ Ö Ö Ø Ò Ó Ó Ö Ó ÙÒÓ Ñ ØÓÖÒÓ = º ØÓ Ô Ö Ó Ô Ö 3 3 e log() cos() arccos()º ÍØ Ð Þ ÙÑ Ó ØÛ Ö Ô Ö Ù ¹ÐÓ Ò Ø Ø Ö º ÈÖ ¹ ÐÙÐÓ ÉÙ Ò Ó ÙÑ ÙÒÓ ÔÓ Ù ÒÚ Ö Ì Ø Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ØÓ Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ ½ ÔÓÒØÓ ¼ ÓÙ ½ ÔÓÒØÓµ Ó Ö Ó f ÙÒÓ f Ò Ø Ú ÒÚ Ö Ü Ø º ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ì Ø Ö Ø Ú ÖØ Ð ÍÑ Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ Ö Ø Ú ÖØ Ð ØÓ Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ ½ ÔÓÒØÓº

103 º º ÊÁÎ ÁÆÎ ÊË Ì ÓÖ Ñ ½ ÙÒÓ ÒÚ Ö µ Ë ÙÑ ÙÒÓ f Ö Ú Ú Ð ÒÚ Ö Ú Ð Ô ÖØÓ ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò Ú Ôº¾µ ÓÑ f () ÒØÓ ÙÒÓ ÒÚ Ö f Ö Ú Ú Ð Ñ = f() (f ) () = f (f ()) º ÈÖÓÚ ÔÖ ÒØ ÑÓ ÙÑ Ö ÙÑ ÒØÓ ÒÓ¹Ö ÓÖÓ Ó ÙÔÓÒ Ó ÕÙ ÒÚ Ö Ö Ú Ú Ðº Î ÔÖÓÚ Ñ Æ Ô ØÙÐÓ ÓÙ ËÔ Ôº¾¼ º ÓÑÓ f ÔÓ Ù ÒÚ Ö ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö ÕÙ f (f()) = º Ö Ú Ó Ó Ð Ó Ù Ò Ó Ö Ö Ó Ð Ó ÕÙ Ö Óº Î ÑÓ Ó Ø Ö ÕÙ (f ) (f()) f () = º ÄÓ Ó Ò Ò Ó = f() Ø ÑÓ ÕÙ = f ()º ÈÓÖØ ÒØÓ (f ) () = f () = f (f () º Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ö Ú µ g() = arctan µ f() = arcsenº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÙÒÓ tan ÔÓ Ù ÒÚ Ö Ñ (π/,π/)º Â Ú ÑÓ Ò Ôº ÕÙ (tan) = cos º ÄÓ Ó (tan) Ô Ö ØÓ Ó (π/,π/)º È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÙÒÓ ÁÒÚ Ö Ì ÓÖ Ñ ½ Ôº µ ÙÒÓ arctan Ö Ú Ú Ð Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓº Î ÑÓ ÐÙÐ Ö Ù Ö Ú Ö Ú Ò Ó Ó Ó Ð Ó arctan(tan) = ÙØ Ð Þ Ò Ó Ö Ö arctan (tan) (tan) = = arctan (tan) cos. Ú Ò Ó ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ñ ÒØ Ð sen +cos = ÔÓÖ cos Ó Ø ÑÓ ÕÙ tan + = cos º ÄÓ Ó Þ Ò Ó = tan Ó Ø ÑÓ ÕÙ = arctan (tan) (tan +). arctan () = +. µ ÙÒÓ sen ÔÓ Ù ÒÚ Ö Ñ (π/,π/)º ÓÑÓ (sen) = cos() Ô Ö ØÓ Ó (π/,π/) Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÙÒÓ ÁÒÚ Ö Ì ÓÖ Ñ ½ Ôº µ ÙÒÓ arcsen Ö Ú Ú Ð Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓº Î ÑÓ ÐÙÐ Ö Ù Ö Ú Ö Ú Ò Ó Ó Ó Ð Ó arcsen(sen) = ÙØ Ð Þ Ò Ó Ö Ö arcsen(sen) (sen) = = arcsen(sen) cos. ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ñ ÒØ Ð cos = sen º ÄÓ Ó Þ Ò Ó = sen Ó Ø ÑÓ ÕÙ arcsen () =. Ç ÖÚ Ó ¼ Î ÑÓ Ö Þ Ö Ö Ú Ó arctan Ó Ü ÑÔÐÓ ÓÑ ÒÓØ Ó Ä ¹ Ò Þº Ë = tan() d d = cos () º ÓÑÓ = arctan() ÕÙ Ö ÑÓ arctan () = d d º Ñ d ( ) d d = º ÓÑÓ d d d = cos () d d = cos () = tan ()+ = + º

104 È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ Ü ÑÔÐÓ ÍØ Ð Þ Ó ØÓ ÕÙ log ÙÒÓ ÒÚ Ö ep Ô Ö ÙÞ Ö Ö Ú µ log ÙÑ Ò Ó ÕÙ (e ) = e µ e ÙÑ Ò Ó ÕÙ (log) = º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ Ö Ú Ò Ó ÒØ log(e ) = log (e ) (e ) = log (e ) e = º ÄÓ Ó log (e ) = e º Þ Ò Ó = e Ó Ø ÑÓ ÕÙ log () = º Ê Þ Ò Ó ÓÑ ÒÓØ Ó Ä Ò Þ = e = logº log () = d d = e = º µ Î ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö ÒÓØ Ó ep() = e º Ñ d d = e º ÄÓ Ó Ö Ú Ò Ó ÒØ ep(log) = ep (log) (log) = ep (log) = º ÄÓ Ó ep (log) = º Þ Ò Ó = log Ø ÑÓ ÕÙ e = Ó Ø ÑÓ ÕÙ (e ) = ep () = = e º Ê Þ Ò Ó ÓÑ ÒÓØ Ó Ä Ò Þ = log = e = ep()º Ñ d d = º ÄÓ Ó ep () = d d = = e º Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö f() = º Ë Ò Ó ÕÙ f() = ÑÓ ØÖ ÕÙ Ü Ø g = f Ò Ô ÖØÓ º ÐÙÐ g ()º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÓÑÓ f () = ÓÒØ ÒÙ f () = 3 Ô ÖØÓ = Ö Ú ÔÓ Ø Ú º ÄÓ Ó Ô ÐÓ ÌÎÅ f Ö ÒØ Ô ÖØÓ ÔÓÖØ ÒØÓ Ü Ø g = f Ô ÖØÓ = f()º È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÙÒÓ ÁÒÚ Ö g Ö Ú Ú Ð g () = f (g()) = f () = 3. ÇÙØÖÓ ÑÓ Ó ÐÙÐ Ö Ö Ú Ó Ù ÒØ º ÓÑÓ g(f()) = Ö Ú Ò Ó Ó Ó Ð Ó g (f()) f () = º ÄÓ Ó g (f()) f () = = g () 3º ÄÓ Ó g () = 3 º Ò ÓÙØÖÓ ÑÓ Ó Ù Ò Ó ÒÓØ Ó Ä Ò Þº Ë = f() = º d d = ÓÑÓ f () = d d g () = (f ) () = d d = 3 +4 º ÉÙ Ò Ó =, = º Ñ g () = 3 +4 = 3 º º Ü Ö Ó Ö Ú º º½ Ü Ö Ó Ü Ó Ü Ö Ó ½º Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó f() ÒÓ ÔÓÒØÓ = Ò Ó ÕÙ f( ) = 3 f ( ) = 3º Ü Ö Ó ¾º Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº Ë ÓÖ Ð Ó ÙÑ ÓÒØÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÙ ÓÖÖ º µ Ë f ÓÒØ ÒÙ Ñ = 3 ÒØÓ f Ö Ú Ú Ð Ñ = 3º ¼ ¾ º ÙÐ Óº¾¼½¼

105 º º Ê ÁÇË ÊÁÎ µ Ë f() = g() ÒØÓ f () = g ()º µ Ë f () > ÒØÓ f() > º Ü Ö Ó º ÓÒ Ö Ó Ö Ó f ÜÓº µ f ( ) = Ø ÖÑ Ò f ( ) f ( 3 )º µ ÓÐÓÕÙ Ñ ÓÖ Ñ Ö ÒØ f ( ),f ( 4 ),f ( 5 ),f ( 6 )º f() Ü Ö Ó º Ó Ó Ö Ó f ÜÓ Ó Ö Ó Ü ØÓ f º 3 4 f() Ü Ö Ó º Ë f g Ó ÙÒ Ö Ò Ú Ø ÕÙ f() = 3, f () =, g() = 5 g () = Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ h () µ h() = f()g() µ h() = f() g() º Ü Ö Ó º ÓÒ Ö f g Ù ÙÒ Ù Ó Ö Ó ØÓ Ò ÙÖ ÜÓº Ö Ø ÕÙ Ô Ö Ñ Ó Ø Ò ÒØ Ó Ö Óº Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ h () µ h() = f() g() µ h() = 5f() 3g()º f() 3 g()

106 ¼ È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ Ü Ö Ó º Ë ÙÑ ÐÓÒ Ø Ó ÙÑ Ó Ö ÙÑ ÐÓ ¼¼Ñ ÐØÙÖ ÒØÓ Ó Ó Ö Ø Ö ÒÙÑ ÐØÙÖ Ñ Ñ ØÖÓ µ h(t) = 5 6t Ô t ÙÒ Ó º Ø ÖÑ Ò µ Ù Ú ÐÓ Ñ t = µ Ñ ÕÙ Ð Ò Ø ÒØ t Ó Ó Ø Ò Ö Ó ÓÐÓ µ ÓÑ ÕÙ Ð Ú ÐÓ Ó Ó Ø Ò Ö Ó ÓÐÓ µ ÓÑ ÕÙ Ð Ð Ö Ó Ó Ó Ø Ò Ö Ó ÓÐÓº Ü Ö Ó º ÐÙÐ Ö Ú Ñ Ö Ð Ó ÙÒ µ e log µ cos µ cos( 3 +) +5 µ e π +log(π +)º µ log(+sen) µ Ü Ö Ó º ÐÙÐ µ d ( ) 4 dr 3 πr3 µ dv ds v = sπ µ d dk (3k k ) µ d d = ( 3) µ du dt u = tlogt µ d dt (logπ)º Ü Ö Ó ½¼º ØÙ Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ Å Ó ÓÖÓÐ Ö Ó Ôº µ Ö ÔÓÒ º ËÙÔÓÒ ÕÙ f Ö Ú Ú Ð Ñ R 4 f () 3 Ô Ö ØÓ Ó Rº ÈÖÓÚ ÕÙ µ 6 f(5) f() µ 4h f(h) f() 3h Ô Ö ØÓ Ó h > º Ü Ö Ó ½½º ÍÑ Ó ØÓ Ó ÐØÓ ÙÑ Ó ½¼¼Ñ Ø Ò Ó ÓÐÓ Ñ ÙÒ Ó º ÔÐ ÕÙ Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ Å Ó ÌÎŵ ÔÖÓÚ ÕÙ Ñ Ð ÙÑ Ò Ø ÒØ Ó Ó ØÓ Ø Ú ÓÑ Ú ÐÓ Ñ Ñ ÙÐÓµ Ù Ð ¾¼Ñ» º Ü Ö Ó ½¾º ËÙÔÓÒ ÕÙ f () = Ô Ö ØÓ Ó Rº Ë Ò Ó ÕÙ f ( 3) = f(5) = π ÔÐ ÕÙ ÙÑ ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ Å Ó ÌÎŵ Ù Ú Þ Ô Ö ÓÒÐÙ Ö ÕÙ f() = π Ô Ö ØÓ Ó Rº Ü Ö Ó ½ º ÓÒ Ö f g Ù ÙÒ Ù Ó Ö Ó ØÓ Ò ÙÖ ÜÓº Ö Ø ÕÙ Ô Ö Ñ Ó Ø Ò ÒØ Ó Ö Óº µ Ë h() = f(g()) Ø ÖÑ Ò h ()º µ Ë k() = g () Ø ÖÑ Ò k (3)º f() 3 g() 3

107 º º Ê ÁÇË ÊÁÎ ½ Ü Ö Ó ½ º ÓÒ Ö Ó Ö Ó ÜÓº Ë Ó Ö Ó Ö ÔÖ ÒØ f() Ø ÖÑ Ò Ñ ÓÖ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò ÕÙ ÒÓ Ö Óµ ÓÒ µ f ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú µ f Ò Ø Ú ÔÓ Ù ÒÚ Ö µº Ë Ó Ö Ó Ö ÔÖ ÒØ f () Ø ÖÑ Ò Ñ ÓÖ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò ÕÙ ÒÓ Ö Óµ ÓÒ µ f Ö ÒØ Ö ÒØ µ f Ò Ø Ú ÔÓ Ù ÒÚ Ö µº º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ÈÖÓ Ð Ñ ½º ÐÙÐ Ô Ð Ò Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ñ Ø µ Ö Ú µ f() = µ f() =. ÈÖÓ Ð Ñ { ¾º Ø ÖÑ Ò a,b R Ø ÕÙ ÙÒÓ ÜÓ Ø Ò Ö Ú Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ º ; < ; f() = a+b;. ÈÖÓ Ð Ñ º ËÙÔÓÒ ÕÙ f() k ÓÑ k > º ÐÙÐ Ô Ð Ò Ó f ()º Î Ó Ü ÑÔÐÓ Ôº ¾º ÈÖÓ Ð Ñ º È Ö ÙÑ ÙÒ ÜÓ Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÔÓ Ù Ö Ú ÐÙÐ Ö Ú Ò Ø { ÔÓÒØÓ º 3; < ; µ g() = µ f() = e µ h() = (3 )(+) º 4; ; ÈÖÓ Ð Ñ º Ñ ÙÑ Ó Ø Ò ÜÓ s(t) Ö ÔÖ ÒØ ÔÓ Ó ÙÑ Ô ÖØ ÙÐ ÑÓÚ Ò Ó Ñ Ð Ò Ö Ø ÒÓ Ò Ø ÒØ tº Ø ÖÑ Ò µ Ú ÐÓ Ð Ö Ó Ô ÖØ ÙÐ ÒÓ Ò Ø ÒØ t = º µ Ç Ò Ø ÒØ Ñ ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ Ø Ô Ö º µ s(t) = t t + µ s(t) = sentº ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ Ö ÙÒÓ f() = 3 + 5º Ø ÖÑ Ò ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ó Ö Ó f ÒÓ ÕÙ Ö Ø Ø Ò ÒØ

108 ¾ È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ µ ÓÖ ÞÓÒØ Ð µ Ô Ö Ð Ð Ö Ø 5 = º ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ Ó Ö a,b,c R Ô Ö ÕÙ ÙÖÚ µ = a 3 +b +c+π Ø Ò ÙÑ Ò Ö Ø Ø Ò ÒØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð µ = a +b+c Ø Ò + = = Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÑÓ Ö Ø Ø Ò ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ = = º ÈÖÓ Ð Ñ º ÐÙÐ Ö Ú Ñ Ö Ð Ó µ ÙÒ ( µ (5 3+4) 3 7 µ sen cos( )+4) µ + e + µ log(sen(5e )) 4 µ arctan(log(3 +)) µ e arcsen(4 5) º µ 3 +t +k ÈÖÓ Ð Ñ º Ó ÕÙ f(4) = 3 f (4) = 5 g() = 3log(f()+) Ø ÖÑ Ò g (4)º ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º ÓÒ Ö m,t,k,a,b,c,d Rº ÐÙÐ ( ) a+b µ f (t) f(t) = m e (T t)/k µ f () f() = c+d µ f (θ) f(θ) = Ksen(aθ 3 +b) µ f (t) f(t) = e Kt cos(at)º ÈÖÓ Ð Ñ ½½º Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó µ = sen( ) Ô Ö = π/ µ = e sen( ) ÒÓ ÔÓÒØÓ (π,)º ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º ÅÓ ØÖ ÕÙ µ e + Ô Ö º µ ÕÙ Ó = ÔÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ ÙÑ Ö Þ Ö Ðº ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÔÐ Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ Å Óµ µ Ó ÓÖÖ ÓÖ Ò Ö Ñ ÓÖÖ ÒÓ Ñ ÑÓ Ò Ø ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ñ ÑÔ Ø Ó º ÈÖÓÚ ÕÙ Ñ Ð ÙÑ Ò Ø ÒØ ÙÖ ÒØ ÓÖÖ Ð Ø Ñ Ñ Ñ Ú ÐÓ º µ ÓÒ Ö f Ö Ò Ú Ð ÓÑ f() = f () Ô Ö ØÓ Ó > º ÅÓ ØÖ ÕÙ f() Ô Ö ØÓ Ó > º { h () = h(); µ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ü Ø ÙÑ Ò ÙÒÓ Ö Ò Ú Ðh : R R Ø Ð ÕÙ h() =. ËÙÔÓÒ ÕÙ h h Ó ÓÐÙ º Ò f() = h () h () ÐÙÐ f () f()º µ ÓÒ Ö f() = e g() = e º ÈÖÓÚ ÕÙ Ü Ø ÙÑ c (,) Ø Ð ÕÙ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó f g Ó Ô Ö Ð Ð Ñ = cº ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ë f g Ó ÙÒ Ö Ò Ú Ø ÕÙ f () = f() = 3, g( ) = g ( ) = 6 Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ h () µ h() = f(g( /)) µ h() = g ()º

109 º º Ê ÁÇË ÊÁÎ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ë Ò Ó ÕÙ ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó = f() ÒÓ ÔÓÒØÓ (,3) Ô ÒÓ ÔÓÒØÓ (,6) Ø ÖÑ Ò (f ) (3)º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ë f() = cos( π/)º Ë Ò Ó ÕÙ f() = ÕÙ g() ÒÚ Ö f Ô ÖØÓ = Ø ÖÑ Ò g ()º º º ÜØÖ ÜØÖ ½º Ë f g ÔÓ Ù Ñ Ö Ú Ó Ø ÕÙ f() = 3 f () = g() = 5 g () = Ø ÖÑ Ò µ w () w() = 4f() g() µ m () m() = e g(3+)º ÜØÖ ¾º ÐÙÐ Ö Ú Ñ Ö Ð Ó µ ÙÒ µ sen(e log) µ sen(sen(sen))) µ 3 arctan µ + µ sen(cossen) µ sen µ e e4 µ log(sen()) +º ÜØÖ º Ø ÖÑ Ò ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ó Ö Ó () = ÒÓ ÕÙ Ö Ø Ø Ò ÒØ µ ÓÖ ÞÓÒØ Ð µ Ô Ö Ð Ð Ö Ø +8 5 = º ÜØÖ º Ø ÖÑ Ò a,b R Ø ÕÙ ÙÒÓ ÜÓ Ø Ò Ñ Ö Ú Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ º a +b; ; f() = ; > º ÜØÖ º Ë Ò Ó ÕÙ g ÓÒØ ÒÙ Ñ a f() = ( a)g() Ø ÖÑ Ò f (a)º ÜØÖ º Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó ÙÒÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ò Óº µ = sen ÒÓ ÔÓÒØÓ (π,)º µ = log( ) ÒÓ ÔÓÒØÓ ((e+),)º ÜØÖ º Ø ÖÑ Ò µ Ó ÔÓÒØÓ ÙÖÚ = ÒÓ ÕÙ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ô Ö Ð Ð Ö Ø +3 = µ µ Ö Ø µ Ø Ò ÒØ µ Ó Ö Ó = e ÕÙ ÓÒØ Ñ Ñµ Ó ÔÓÒØÓ (5/, )º ÜØÖ º ÙÒÓ Ö ÒØ» Ö ÒØ µ ÅÓ ØÖ ÕÙ µ > log Ô Ö > µ ÕÙ Ó = ÔÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ ÙÑ Ö Þ Ö Ðº ÜØÖ º ÔÐ Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ Å Óµ µ ËÙÔÓÒ ÕÙ f ÙÑ ÙÒÓ Ö Ò Ú Ð Ñ R Ø Ò Ù Ö Þ Ö Ø ÒØ º ÅÓ ØÖ ÕÙ f Ø Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ ÙÑ Ö Þ Ö Ðº

110 È ÌÍÄÇ º ÊÁÎ µ ÓÒ Ö ÙÑ ÙÒÓ f Ö Ò Ú Ð ÓÑ f () 4 Ô Ö ØÓ Ó (,5). ÈÖÓÚ ÕÙ f(5) f() º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ü Ø ÙÑ Ò g ÙÒÓ Ö Ú Ú Ð Ñ R Ø Ð ÕÙ g () = cos(+log( 4 +)), g () = g(3) = 5. ËÙÔÓÒ ÕÙ g g Ó ÓÐÙ º Ò f() = g () g () ÐÙÐ f () f ()º ÓÒÐÙ ÕÙ f () = º ÔÓ ÐÙÐ f(3)º { ÜØÖ ½¼º k ; Q; ÓÒ Ö f() = ; Q ÓÑ k > º ÐÙÐ Ô Ð Ò Ó f ()º Î Ó Ü ÑÔÐÓ Ôº ¾º ÜØÖ ½½º Ø ÖÑ Ò ÙÑ ÖÑÙÐ Ô Ö Ö Ú (fgh) º º º Ó Ó ½º ÐÙÐ { Ô Ð Ò Ó Ö Ú ÒÓ ÔÓÒØÓ{ = sen(/); ; sen(/); ; µ f() = µ g() = ; = ; ; =. Ó ¾º Í Ó ÒÑ Ó Æ ÛØÓÒ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ô Ð Ò Ó Ö Ú h() = n Ô Ö n Nº Ó º ÓÒ Ö f() = º Ø ÖÑ Ò ÙÑ ÙÒÓ g Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó > Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó f Ñ Ô Ö Ð Ð Ö Ø ÒÓÖÑ Ð Ó Ö Ó g Ñ º Ó º ÓÒ Ö f ÙÑ ÙÒÓ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ö Ù º ÅÓ ØÖ ÕÙ Ö Ø ÒØ Ó Ö Ó f ÒÓ ÔÓÒØÓ Ô Ö Ð Ð Ö Ø Ø Ò ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ñ Ó + ÕÙ ÕÙ Ö ÕÙ Ñ º Ó º ÈÖÓÚ Ú ÓÙØÖ ÔÖÓÚ ÒÓ Ó Ôº µ Ù Ò Ó Ö Ú ÒÓ Ó ÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð ÕÙ e iθ = cosθ+isenθ. Ò f(θ) = cosθ+isenθ Ö Ú º ÉÙ Ò Ó Ö Ú Ö ØÖ Ø i C ÓÑÓ ÙÑ e ÓÒ Ø ÒØ º iθ Ó{ º ÈÖÓÚ ÕÙ Ü Ø ÙÑ Ò Ó{ Ô Ö ÙÒ s() c() Ö Ú Ú Ô Ö ØÓ Ó R s () = c(); c () = s(); Ø ÕÙ s() = ; c() =. ËÙÔÓÒ ÕÙ Ü Ø Ñ s,c s,c º Ò f = (s s ) + (c c ) º ÅÓ ØÖ ÕÙ f () = f() = º ÔÐ ÕÙ Ó ÌÎź

111 Capítulo 4 Aplicações da Derivada Ç Ø ÚÓ ÔÖ ÒØ Ö Ø Ò Ä³ÀÓ Ô Ø Ðº ÔÖÓÜ Ñ Ö ÙÒÓ ÐÓ ÐÑ ÒØ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ ÒØÖÓ ÙÞ Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ì ÝÐÓÖº ÔÖ ÒØ Ö ÙÒ Ô ÖØ ÓÓ Ö Ó ÕÙ Ó Ò Ó ÒÓ Ô ØÙÐÓ Ð Ñ Ø º ÒÓÚ Ó ÓÒ ØÓ ÓÒ Ú Ù Ö Ð Ó ÓÑ Ö Ú ÙÒ º ÔÐ Ö Ö Ú ÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÓØ Ñ Þ Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ ÙÒ µº Ì ÖÑ Ò ÑÓ Ù ÔÐ Ð Ì Ü Ê Ð ÓÒ Ö Ú Ó ÁÑÔÐ Ø º º½ ijÀÓ Ô Ø Ð À Ö ÖÕÙ Ó ÁÒ Ò ØÓ Æ Ø Ë Ó ÔÖ ÒØ ÑÓ Ö Ö Ä³ÀÓ Ô Ø Ð ÔÖÓÒ Ò ÐÔ Ø Ð ÔÓ Ó ÒÓÑ ÙÑ Ö Ò Ó ÑÙ Óµ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÐÙÐ Ö Ð Ñ Ø ÕÙ Ö Ñ ÑÔÓ Ú ÓÙ ÑÙ ØÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÓÙØÖ Ø Ò º ÍÑ ÔÐ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ ÒØÖÓ ÙÞ Ö ÙÑ Ö ÖÕÙ ÒØÖ ÙÒ ÕÙ ÚÓ Ô Ö Ò Ò ØÓ ÕÙ Ò Ó + ÕÙ Ñ Ú Ñ Ö Ô Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ö Ö Ä³ÀÓ Ô Ø Ðµ ËÙÔÓÒ ÕÙ limf() = limg() = ÕÙ Ó Ð Ñ Ø c c f () lim Ü Ø º ÒØÓ c g () lim f() c g() = lim f () c g (). ÈÖÓÚ ÓÑÓ f f(+h) f() () = lim g g(+h) g() () = lim Ù Ø ØÙ Ò Ó h h h h f () ØÓ Ñ lim c g () Ò Ð Ò Ó Ó h Ó Ø ÑÓ ÕÙ f () lim c g () = lim lim ch f(+h) f() g(+h) g(). ÌÖÓ Ò Ó ÓÖ Ñ Ó Ð Ñ Ø Ù Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ lim c f() = lim c g() = Ó Ø ÑÓ ÕÙ f () lim c g () = lim lim f(+h) f() h c g(+h) g() = lim f(c+h) h g(c+h) = lim f() c g(). ¼ ¾ º Ùк¾¼½¼

112 È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ Ç ÖÚ Ó ½ Ç Ö ÙÐØ Ó Ø Ñ Ñ Ú Ö lim f() = lim g() = ÓÙ + + limf() = limg() = + ÓÙ c c limf() = + limg() = º c c ÈÓ ÑÓ Ù Ø ØÙ Ö c ÔÓÖ ÙÑ Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ØÖÓ Ö + ÔÓÖ º Î ÔÖÓÚ Ñ Æ º ÆÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ü ÑÔÐÓ Ó Ø ÑÓ ÑÓ Ó Ñ Ð Ð Ñ Ø ÕÙ ÓÒ ÑÓ ÔÓÖ ÓÙØÖ Ø Ò º Á ØÓ Þ ÓÑ ÕÙ Ó ÐÙÒÓ Ò ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÚ ÑÔÖ Ô Ö ÙÒØ Ñ ÔÓ Ó ÙØ Ð Þ Ö Ä³ÀÓ Ô Ø Ð Ô Ö ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø º Ü ÑÔÐÓ ¼ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ sen(7) 3 µ lim µ lim µ lim (+a)b/ º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¼ sen(7) µ ÔÐ Ò Ó Ä³ÀÓ Ô Ø Ð ÄÀµ Ó Ø ÑÓ lim 5 3 µ ÈÓÖ ÄÀ lim 8 8 = lim = º = lim 7cos(7) 5 = 7 5 º µ Ë () = (+a) b/ º ÉÙ Ö ÑÓ ÐÙÐ Ö lim()º ÓÑÓ log() = b log(+a) limlog() = lim blog(+a) = ÔÓÖ ÄÀµ lim b a +a = ab. Ñ lim log() = abº ÌÓÑ Ò Ó ÜÔÓÒ Ò Ð Ó Ó Ð Ó lim () = e ab º ÓÑÔ Ö Ö ÓÑ ÄÀ Ó Ð Ñ Ø Ó Ü ÑÔÐÓ Ôº½º Ôº½º º Ç ÖÚ Ó ¾ ÆÓØ Õ٠ijÀÓ Ô Ø Ð ÒÓ ÙÑ Ø Ò ÕÙ Ö ÓÐÚ ÑÔÖ º ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ ÔÓÖ Ä³ÀÓ Ô Ø Ð lim + e e = ÔÓÖ ÄÀµ e +e lim + ÈÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö ÓÐÓ Ò Ó Ñ Ú Ò e lim + e +e = ÔÓÖ ÄÀµ e e lim e e e ( e ) = lim e +e + e (+e ) = lim + + e e = e +e e =. +e Ü ÑÔÐÓ ½ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ e µ lim µ lim + + log µ lim + e e µ lim log + º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ ÔÐ Ò Ó Ä³ÀÓ Ô Ø Ð ÄºÀºµ Ó Ø ÑÓ µ ÔÐ Ò Ó ÄºÀº Ó Ø ÑÓ / lim + = lim + = º e lim + = + º

113 º½º ijÀÇËÈÁÌ Ä ÀÁ Ê ÊÉÍÁ ÇË ÁÆ ÁÆÁÌÇË e µ ÔÐ Ò Ó ÄºÀº Ó Ø ÑÓ lim + / lim + e = +. µ Æ Ø Ó ÒÓ ÔÖ ÑÓ Ä³ÀÓ Ô Ø Ð ÔÓ Ù Ð lim (e/) ÓÑÓ (e/) + Ó Ð Ñ Ø Þ ÖÓº ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ log < < ep < Ô Ö Ö Ò º ÂÙÒØ Ò Ó ÓÑ Ó ÕÙ ÑÓ Ó Ô ØÙÐÓ Ð Ñ Ø Ø Ð ÑÓ Ô Ö Ö Ò À Ö ÖÕÙ Ó ÁÒ Ò ØÓ log < /n = n < < < < n < ep < Ô Ö n >. Ü ÑÔÐÓ ¾ ÉÙ Ñ Ö Ñ Ö Ô Ó ÓÙ log ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ ÐÙÐ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÄºÀº lim + log = lim + log = lim + / = lim + = +. ÈÓÖØ ÒØÓ Ú Ñ Ö Ô Ó Ô Ö Ò Ò ØÓ ÕÙ log Ø ÓÑÔ Ö Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ñ ÓÑÔÙØ Ó Ò ÓÑÔ Ö Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ö ÕÙ ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ Ü ÙØ º Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ e sen µ lim µ lim º 3 ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÔÐ Ò Ó ÄºÀº Ù Ú Þ e lim µ ÔÐ Ò Ó ÄºÀº ØÖ Ú Þ Ó Ø ÑÓ sen lim 3 = lim cos 3 e e = lim = lim =. sen = lim 6 = lim cos 6 = 6. Ç ÖÚ Ó ÉÙ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø ÙÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ó Ø ÔÓ ± ÓÙ + (+ ) Ø ÑÓ ÕÙ ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ö Ú Ö Ó Ð Ñ Ø Ô Ö Ó Ø ÖÑÓ ÙÑ ÕÙÓ ÒØ Ó Ø ÔÓ ÓÙ º Î Ó Ü ÑÔÐÓ ÜÓº Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò µ lim e µ lim +logº

114 È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ Æ Ø Ü ÑÔÐÓ ÔÓ ÑÓ ÔÐ Ö Ä³ÀÓ Ô Ø Ð Ô ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ÜÔÖ Ó Ñ ÙÑ ÕÙÓ ÒØ º e µ Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÖÙÞ Ó Ó Ø Ò lim (e ) º ÔÐ Ò Ó L.H. Ù Ú Þ Ó Ø ÑÓ /º µ ÌÖ Ò ÓÖÑ log Ñ log / ÔÐ Õ٠ijÀÓ Ô Ø Ðº Ç Ø ÑÓ lim / + / = lim +( ) = º ÆÓØ Ø ÒØ Þ Ö µ ÕÙ Þ ÖÑÓ ÔÐ ÖÑÓ Ä³ÀÓ Ô Ø Ð ÒÓ Ö ÑÓ /log Ö ÔÓ Ø º Ê Ø Ó Ö Óº Ç ÖÚ Ó ÙÒÓ ØÓÖ Ð ÉÙÓ Ö Ò Ó Ö Ñ ÒØÓ n! Ñ ÓÑÔ Ö Ó ÓÑ e n ÓÙ n n Ö ÔÓ Ø e n < n! < n n Ô Ö n Ö Ò º Ñ Ð ÚÖÓ ÓÑÓ Ó ÓÙÖ ÒØ Ó ÐÙÐÓ ØÙ ÑÓ Ñ Ø Ð Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÒÓ ØÓÖ Ð Ó Ø ÑÓ Ñ ÖÑÙÐ ËØ ÖÐ Ò Ø ÙÖ Ó Ó ÓÒ ÙÐØ ÒØ ÖÒ Ø ÓÙ Ó ÓÙÖ ÒØ ÓÙ Ü Ö Ó Ò Ôº µ ÕÙ ÒÓ ÓÖÒ Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ n! ÕÙ ÙÖÔÖ ¹ Ò ÒØ Ñ ÒØ Ö Ñ Ö Ô Ó ÕÙ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÓØ Ò n µ Ó ÕÙ ÜÔÓÒ Ò Ð e n µº Æ Ö Ð n! Ö ÕÙ ØÓ Ö Ô Ó ÕÙ ÒØÓ n n º ÓÑ ÖÑÙÐ ËØ ÖÐ Ò ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø lim n + n! n lim n + n! e n lim n! n + n º n Ü ÑÔÐÓ Ñ Ò Ð ÒÙÑ Ö µ Ç Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ö ÕÙ ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö Ð Þ ¹ Ô Ò Ó Ø Ñ Ò Ó n ÒØÖ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ Ò Ó Ô Ò Ó Ò Ñ ÖÓ n Ó ØÓ Ô Ö ÕÙ ÖÓ ÓÖ Ò Ó º Ë ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö Ð Þ n ÓÔ Ö ÓÙØÖÓ e n ÓÔ Ö ÓÙØÖÓ logn ÓÔ Ö ÓÙØÖÓ n! ÓÔ Ö ÕÙ Ð Ð Ó Ñ ÒØ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÉÙ Ö ÑÓ Ö Ô Ö n Ö Ò ÕÙ Ð Ü ÙØ Ö ÓÑ Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ö º È Ð Ö ÖÕÙ Ó Ò Ò ØÓ ÕÙ Ø Ð ÑÓ logn < n < e n < n!º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ ÒØ Ó ÕÙ Ü ÙØ ÓÑ logn ÓÔ Ö º º¾ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ó ÙÒÓ ÄÓ ÐÑ ÒØ ÍÑ ÑÙ ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ó ÐÙÐÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö ÐÓ ÐÑ ÒØ ÙÑ ÙÒÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ù Ö Ú f,f,f,...µ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓº ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ ÐÓ ÐÑ ÒØ Ô ÖØÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ a ÑÙ ØÓ Ô Ö Ó ÓÑ Ù Ö Ø Ø Ò ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ aº ØÓ Ô Ð Ò Ó Ö Ú Ô Ö a ÔÖ Ü ÑÓ aµ f (a) f() f(a). a Ê ÖÖÙÑ Ò Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ f() f(a)+f (a)( a). Ñ Ô Ö ÔÖ Ü ÑÓ a f() Ø ÔÖ Ü ÑÓ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ñ a r() = f(a) + f (a)( a)º Ø Ø ÐÙ ØÖ ÒÓ Ö Ó ÜÓº ÁÒÐÙ ÑÓ Ó Ð Ó Ó ÞÓÓÑ Ö Ó

115 º¾º ÈÊÇ ÁÅ Æ Ç ÍÆ Ç ÄÇ ÄÅ ÆÌ Ò ÔÓÖ ÙÑ ÖÙÐÓº Î ÓÑÓ ØÓ Ô ÖØÓ a Ó Ö Ó ÙÒÓ f ÓÒ ÙÒ ÓÑ Ó Ö Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ º a r() f() ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ f() f(a)+( a)f (a) = r() Ô Ö aº Ç ÖÚ Ó Þ ÑÓ ÕÙ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó ÙÐ = µ Ó Ö Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ Ø Ò Ò º Î Ó Ó Ôº½ Ó Ö Ó ÖÙÐÓ Ó ÙÐ Ø Ö Ó Ù Ó ÒÚ Ö Ó Ó Ö Ó Ñ ÑÓ ÙÖÚ ØÙÖ º Ü ÑÔÐÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ó Ó ÐÙÐÓµ ÓÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö 7. ÒÙÑ Ð ÖØ Ñ ÙØ Ð Þ Ö ÐÙÐ ÓÖ Þ Ò Ó ÓÑ ÒØ ÓÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ú Ö ÓÑ Ö Øµ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÔÖÓÜ Ñ ÑÓ ÙÒÓ f() = 7 Ô ÖØÓ a = Ô Ð Ö Ø Ø Ò ÒØ º ÓÑÓ f () = /(7 7 6 ) ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö f() f()+( )f ()º ËÙ ¹ Ø ØÙ Ò Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ 7 7 +( )/(7 7 6 ) = +( )/7 Ô Ö º Æ Ø Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ 7. +(. )/7 = Ç Ú ÐÓÖ Ö Ð 7. = Æ Ñ Ð Ô Ö Ð ÖØ ÈÓ ÑÓ ÔÐ Ö Ó Ñ ÑÓ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÔÖÓÜ Ñ Ö 7. = Ó Ø Ö + (. )/7 =.85749º Ü ÑÔÐÓ ÔÖÓÜ Ñ µ 3 µ sen(.) µ log(.) µ e. º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ ÓÑÓ Ö Ú f() = f () = c+( c)/( c)º Ì ÑÓ Ù ÓÔ ØÓÑ Ö a = 9 ÓÙ a = 6º Ñ (3 9)/( 9) = /3 = ÓÙ (3 6)/( 6) = 9/8 = 3.65º Ç Ú ÐÓÖ Ö Ð 3 = º µ ÓÑÓ Ö Ú f() = sen f () = cos sen() sen+( )cos = º sen ÇÙ Ô Ö Ô ÕÙ ÒÓ sen ØÓ ÓÑÔÖÓÚ Ó Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð lim = µº Ñ sen(.). Ó Ú ÐÓÖ Ö Ð µº µ ÓÑÓ Ö Ú f() = log f () = / log() log+( )/ º Ñ log(.) (. ) =. Ó Ú ÐÓÖ Ö Ð µº µ ÓÑÓ Ö Ú f() = e f () = e e e +( )e +º Ñ e.. Ó Ú ÐÓÖ Ö Ð µº Ø ÔÖÓÜ Ñ Ö Ô Ð Ö Ø Ø Ò ÒØ ÔÓ Ö Ò Ö Ð Þ º ÍÑ Ö Ø Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ùº ÈÓ ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö ÔÓÖ ÙÑ ÙÒÓ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ó ÙÒ Ó Ö Ù ÙÑ Ô Ö ÓÐ µº ÈÓÖØ ÒØÓ Ð Ú ÒØ ÑÓ Ù ÒØ ÕÙ ØÓ

116 ½¼¼ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ÉÙ Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ñ Ð ÓÖ ÔÖÓÜ Ñ ÙÑ ÙÒÓ ÐÓ ÐÑ ÒØ È Ö Ö ÔÓÒ Ö Ô Ö ÙÒØ ÒÓØ ÕÙ Ö Ø Ø Ò ÒØ ÙÒÓ ÔÓ Ù Ñ Ñ Ñ Ö Ú ÒÓ ÔÓÒØÓ ÔÖÓÜ Ñ Óº f() r() = c + c ( a) r(a) = f(a) = c r (a) = f (a) = c º È Ö Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ö ÑÓ ÕÙ ÒÓ ÓÑ ÒØ Ö Ú ÔÖ Ñ Ö Ñ Ñ ÓÑÓ Ö Ú ÙÒ º Ñ ÕÙ Ö ÑÓ ÕÙ f() r() = c + c ( a) + c ( a) r(a) = f(a) = c, r (a) = f (a) = c r (a) = f (a) = c º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ f() f(a)+f (a)( a)+ f (a) ( a) Ô Ö a. º½µ Ü ÑÔÐÓ ÔÖÓÜ Ñ ÙÒÓ sen() Ô ÖØÓ a = π ÔÓÖ ÙÑ Ô Ö ÓÐ º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ò Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ sen() sen(π/)+cos(π/)( a)+ sen(π/) ( a) = ( π ) º ÅÓ ØÖ ÑÓ ÒÓ Ö Ó ÜÓ ÙÒÓ Ô Ö ÓÐ ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒÞ º ÆÓØ ÕÙ ÐÓÒ Ó ÔÓÒØÓ a = π Ô Ö ÓÐ Ø Ò Ó Ö Óº ( π ) π sen() Ü ÑÔÐÓ ÔÖÓÜ Ñ ÙÒÓ sen() Ô ÖØÓ a = π 4 ÔÓÖ ÙÑ Ô Ö ÓÐ º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÐÙÐ Ò Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ sen() sen(π/4)+cos(π/4)( a)+ sen(π/4) ( a)º ÓÐÓ Ò Ó Ñ Ú Ò Ó Ø ÑÓ sen() (+( π 4 ) ( π 4 ) )º ÅÓ ØÖ ÑÓ ÒÓ Ö Ó ÜÓ ÙÒÓ Ô Ö ÓÐ ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒÞ º ÆÓØ ÕÙ ÐÓÒ Ó ÔÓÒØÓ a = π Ô Ö ÓÐ Ø Ò Ó Ö Óº 4 π 4 sen() Ø ÔÓ Ö Ò Ö Ð Þ Ô Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó p Ö Ù n ÕÙ Ñ Ð ÓÖ ÔÖÓÜ Ñ ÙÑ ÙÒÓ f Ó Ñ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ì ÝÐÓÖ ÓÒ ØÓ Ö Ú Ø Ö Ù n ÒÓ ÔÓÒØÓ Ó Ù º ÓÒÚ Ö ÓÑ Ù ÔÖÓ ÓÖ ÓÙ Ð Ñ Ð ÙÑ Ð ÚÖÓ Ó Ø Ð Ö ÙÑ Ó ÜÓ Ü h = aº ÒØÓ Ó ÈÓÐ ÒÑ Ó Ì ÝÐÓÖ ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ f Ô ÖØÓ a f() f(a)+hf (a)+ h! f (a)+ h3 3! f (a)+ h4 4! f (a)+ + hn n! f(n) (a).

117 º º Åý ÁÅÇ Å ÆÁÅÇ ÄÇ Ä ½¼½ Ü ÑÔÐÓ ¼ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ì ÝÐÓÖ Ö Ù n ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ f() = e Ñ a = º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¼ ÓÑÓ Ö Ú ÓÖ Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö f() = e e e = e ++! + 3 3! + 4 n + + 4! n!. Æ ÕÙ Ò ÙÖ ÜÓ ÑÓ ØÖ ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÔÓÖ Ö Ù ½ Ö Ø µ Ö Ù ¾ Ô ¹ Ö ÓÐ µ Ö Ù º ÆÓØ ÓÑÓ Ð ÚÓ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ó Ú Þ Ñ Ð ÓÖ ÜÔÓÒ Ò Ð Ô Ö ÔÖ Ü ÑÓ Þ ÖÓº e e e Ü ÑÓ Ô Ö Ó Ð ØÓÖ Ú Ö Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ì ÝÐÓÖ ÜÓº ÐÙÐ ÓÖ ÒØ ÐÙÐ Ñ Ø ÙÒ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ø ÖÑÙÐ º ÔÖ Ð Þ ÖÑÙÐ ÜÓº ÍØ Ð Þ ÙÑ Ó ØÛ Ö ÕÙ Ó Ö Ó ÓÑÔ Ö ÔÖÓÜ Ñ ÓÑ ÙÒÓ ÓÖ Ò Ðº sen 3 3! + 5 5! 7 7!. cos! + 4 4! 6 6!. log(+) Ñ Ñ Ð Ó Ø Ö ÜÔ Ò Ó Ó ÖÓ¹Ø Ò ÒØ arctan º Å Ü ÑÓ Å Ò ÑÓ ÄÓ Ð Î ÑÓ Ò Ö Ó ÕÙ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð ÓÑÓ ÔÓ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ø ÔÓÒØÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ö Ú º ÍÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð f ÒÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓJ ÓÒØ Ò Ó ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò J Ú Ôº¾µ f( ) Ó Ñ Ü ÑÓ ÙÒÓº Ç Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð ÙÑ ÓÒ ØÓ Ò ÐÓ Óº ÁÒ ÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ ÑÓÒØ Ò Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ ÒÓ ÐØÓ Ó ÑÓÖÖÓ ÒÓ ÙÒ Ó Ó Ú Ð º

118 ½¼¾ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ Ò Ó ½ Ñ Ü»Ñ Ò ÐÓ Ðµ Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ µ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð f Ü Ø ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ J ÓÒØ Ò Ó Ø Ð ÕÙ f( ) f() Ô Ö ØÓ Ó J µ ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð f Ü Ø ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ J ÓÒØ Ò Ó Ø Ð ÕÙ f( ) f() Ô Ö ØÓ Ó J µ ÜØÖ ÑÓ ÐÓ Ð f ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð fº Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÒ Ö ÙÒÓ f Ó Ò ÙÖ ÜÓº Ñ Ü ÑÓ ÓÙ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð fº Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ f() ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ Å Ü ÑÓ ÐÓ Ñ = = 3º Å Ò ÑÓ ÐÓ Ñ = = º Ç ÔÖ Ü ÑÓ Ì ÓÖ Ñ Ö Ø Ö Þ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ ÔÓÖ Ñ Ó Ö Ú º Ì ÓÖ Ñ ½ ÖÑ Ø ÓÙ Ó ÜØÖ ÑÓ ÐÓ µ ËÙÔÓÒ ÕÙ f : I R ÔÓ Ù ÙÑ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð I ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓº Ë f Ö Ú Ú Ð Ñ ÒØÓf ( ) = º ÈÖÓÚ Ë L = f f() f( ) ( ) = lim º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö ÕÙ Ó Ù Lº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð f ÑÓÒ ØÖ Ó Ò ÐÓ Ô Ö ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ðµº ÓÑÓ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð Ø ÔÖ Ü ÑÓ ÒØÓ f() f( )º Ñ f() f( ) < º ÈÓÖØ ÒØÓ Ô Ö ÔÖ Ü ÑÓ Ñ Ö Ø > µ Ø ÑÓ f() f( ) ÒÙÑ Ö ÓÖ Ò Ø ÚÓ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓ Ø ÚÓµº Ë Ù ÕÙ L = lim + f() f( ). ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ô Ö Ô Ö ÔÖ Ü ÑÓ Ñ ÕÙ Ö < µ Ø ÑÓ f() f( ) ÒÙÑ Ö ÓÖ Ò Ø ÚÓ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ò Ø ÚÓµº Ë Ù ÕÙ L = lim Ñ L º ÈÓÖØ ÒØÓ f ( ) = L = º f() f( ). ÅÓØ Ú Ó ÔÓÖ Ø Ì ÓÖ Ñ ÒØÖÓ ÙÞ ÑÓ Ù ÒØ Ò Óº Ò Ó ½ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó µ Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f f ( ) = ÓÙ f ( ) ÒÓ Ü Ø º

119 º º Åý ÁÅÇ Å ÆÁÅÇ ÄÇ Ä ½¼ ÓÖÓÐ Ö Ó Ë f : I R ÙÑ ÙÒÓ ÓÒ I ÙÑ ÜØÖ ÑÓ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ Ñ Ò ÑÓµ ÐÓ Ðº ÒØÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ØÓ f ( ) = ÓÙ f ( ) ÒÓ Ü Ø º ÖÖÓ ÓÑÙÑ Ø ÓÖÓÐ Ö Ó Þ ÕÙ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð ÆÌÇ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Óº Ø ÓÖÓÐ Ö Ó ÆÇ Þ ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÒØÓ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ðº ÓÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ ÙÑ ÙÒÓ f Ê ÔÓ Ø È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½ Ôº½¼¾ Ì ÓÖ Ñ ÖÑ Ø Ó ÜØÖ ÑÓ ÐÓ µ Ù ÑÓ ÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó º ÓÑÓ Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ØÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð ÙÑ ÙÒÓ f Ë Ö Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð f Ö ÒØ Ö ÔÓ Ë Ö Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð f Ö ÒØ Ö ÔÓ º Ó ÒÓ ÓÓÖÖ ÙÑ Ø Ó ÒÓ Ö ÜØÖ ÑÓ ÐÓ Ðº Á ØÓ ÔÓ Ö Ú Ö Ó Ó Ö Ú Ü Ø Ô ÖØÓ Ô ÐÓ Ò Ð Ö Ú ÒØ ÔÓ Ë Ö Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð f ÔÓ Ø Ú ÒØ Ò Ø Ú ÔÓ Ë Ö Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð f Ò Ø Ú ÒØ ÔÓ Ø Ú ÔÓ º Î ÑÓ ÒÙÒ Ö ÓÑÓ ÙÑ Ì ÓÖ Ñ Ó Ó Ñ ÕÙ ÙÒÓ ÔÓ Ù Ù Ö Ú ÒÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Iº Ì ÓÖ Ñ ¾¼ Ø Ø Ö Ú ÙÒ µ Ë f : I R ÙÑ ÙÒÓ ÓÑ Ù Ö ¹ Ú ÓÒØ ÒÙ º ÒØÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ µ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð f ( ) = f ( ) < µ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð f ( ) = f ( ) > º ÈÖÓÚ ÈÖÓÚ ÑÓ µ ÓÑ ÒØ ÔÓ µ Ò ÐÓ Ó ÑÙØ Ø ÑÙØ Ò µº Ë f ( ) > ÔÓÖ ÓÒØ ÒÙ f () > Ô ÖØÓ º Ñ ÙÒÓ f () Ö ÒØ Ô ÖØÓ º ÓÑÓ f ( ) = f Ò Ø Ú ÒØ ÔÓ Ø Ú ÔÓ º ÈÓÖØ ÒØÓ f Ö ÒØ Ö ÔÓ ÓÙ ÙÑ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð fº Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ó ÜØÖ ÑÓ ÐÓ f() = 3 º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ ÙÒÓ Ö Ú Ú Ð Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ º Ç Ò Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó = ÔÓ f () = º ÓÑÓ f () = 3 > Ô Ö ØÓ Ó ÙÒÓ Ö ÒØ Ö ÔÓ = ÈÓÖØ ÒØÓ = ÒÓ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ò Ñ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð Ó Ø Ñ Ñ Ó Ö Óµº ÆÓØ ÕÙ f () = Ó Ø Ø Ö Ú ÙÒ Ð Ò ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Öµº Ç ÖÚ Ó ÉÙ Ò Ó f = µ Ç Ø Ø Ö Ú ÙÒ Ð ÕÙ Ò Ó f ( ) = º Æ Ø Ó Æ ÔÓ ÑÓ ÖÑ Öº ÔÐ Ò Ó¹Ó Ñ = Ô Ö f() = 4, g() = 4, h() = 3 Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÒÓ ØÖ Ó Ö Ú ÙÒ Ñ = Ñ = Ñ Ü ÑÓ f Ñ Ò ÑÓ g ÒÓ Ñ Ü ÑÓ Ò Ñ Ñ Ò ÑÓ hº Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ó ÜØÖ ÑÓ ÐÓ f() = 3 º

120 ½¼ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÙÒÓ ÒÓ ÔÓ Ù Ö Ú Ñ = º ÆÓ ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ Ö Ú Ö ÒØ Þ ÖÓº ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó = º Ö Ú f () = 3 3 > Ô Ö ØÓ Ó º Ñ ÙÒÓ ÑÔÖ Ö ÒØ º ÈÓÖØ ÒØÓ = ÒÓ ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ Ò Ñ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ðº ÆÓØ ÕÙ ÒÓ ÔÓ ÑÓ ÔÐ Ö Ø Ø Ö Ú ÙÒ ÔÓ f () ÒÓ Ø Ò º Î Ø Ñ Ñ Ó Ö Ó Ò Ôº º½º Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ó ÜØÖ ÑÓ ÐÓ f() = ( )º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÙÒÓ ÒÓ ÔÓ Ù Ö Ú Ñ = º ÈÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ö Ú Ô Ö Ò Ó Ñ f() = ( ) Ô Ö > Ù Ö Ú f () = 3 º Ñ f () = = /3 ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Óº È Ö < f() = ( ) Ù Ö Ú f () = 3 º ÆÓØ ÕÙ Ñ < Ö Ú ÒÓ ÒÙÐ ÔÓ f () > º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ó = = /3º È ÐÓ Ò Ð Ö Ú Ô ÖØÓ = ÔÓ Ø Ú ÕÙ Ö Ò Ø Ú Ö Ø µ Ø ÙÑ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ðº È ÐÓ Ò Ð Ô ÖØÓ = /3 Ò Ø Ú Ö Ø ÔÓ Ø Ú ÕÙ Ö µ Ø ÙÑ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ðº ÓÐÓÓ Ó Ö Ó Ò ÙÖ ÜÓº f() = ( ) 3 º ÓÓ Ö Ó Ô ÖØ ÁÁµ Æ Ø Ó Ø ÖÑ Ò ÑÓ Ó ÕÙ ÓÑ ÑÓ ÒÓ Ô ØÙÐÓ Ð Ñ Ø Ö Ú Ë Ó ½º Ôº ¼ ÓÓ Ö Ó Ô ÖØ Áµº Î ÑÓ Ú Ö ÓÑÓ Ö Ú Ô ÖÑ Ø Ö ÒØ Ö Ò ÓÖÑ Ó Ö Ñ ÒØÓ» Ö Ñ ÒØÓ ÓÒ Ú Ó Ö Óº Ö Ð Ó ÒØÖ Ö Ú Ó Ö Ñ ÒØÓ» Ö Ñ ÒØÓ ÙÒÓ Ó Ú Ø ÒÓ ÓÖÓÐ ¹ Ö Ó Ôº ÓÖÓÐ Ö Ó Ó ÌÎŵ Ó Ò Ð Ö Ú Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ñ ÒØÓ Ö Ñ ÒØÓ ÙÒÓº ÈÖ ÑÓ ÓÖ ÙÑ ÓÒ ØÓ ÒÓÚÓ ÓÒ Ú ÙÑ Ö Óº Ñ ÓÖ Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ ÔÓ Ö Ó Ó ÓÖÑ Ø ÒØ Ð ÓÑ ÓÑ ÒØ Ò Ö Ú Ð ÙÒ Ô ØÓ ÙØ Ó Ö Ó Ó Ö Ú Ð Ó ÓÑ ÒØ Ü Ñ Ò Ò Ó Ö Ú ÙÒ º º º º µ ÔÖÓÚ ÓÖÖ Ø Ó ØÓ Ö Ð Ú ÒØ Ó Ó Ù ÒØ Ô Ö Ö Ñ ÓÐÓ Ñ ÙÑ Ô Ò º Ô Ö Ø Ó¹ Ñ ÒØ Ö Ó ÒÓÖ ÓÖ Ò ÓÖÑ ÕÙ ÔÖ ÒØ Ú Ð Ñ Ô Ò Ö Ñ Ñ Ð ÔÓÖÕÙ ÒÓ ÓÒÚ Ü ÓÒ Ú Ó ÑÙ ØÓ Ñ Ñ¹ ÔÓÖØ ÒØ Ó ÕÙ ÓÑ ÒØ ÓÑÓ ÙÑ ÙÜ Ð Ó ÒÓ ÓÓ Ö Ó º ËÔ Ôº½ ½

121 º º Ë Ç Ç Êý Á ÇË È ÊÌ ÁÁµ ½¼ Ò Ó ½ ÓÒÚ Ü Ò Ú µµ ÍÑ ÙÒÓ f ÓÒÚ Ü Ò Ú µ ÓÙ ÔÓ Ù ÓÒ¹ Ú Ô Ö Ñ ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓµ Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ I Ô Ö ØÓ Ó a,b I Ó Ñ ÒØÓ Ö Ø ÙÒ Ò Ó (a,f(a)) (b,f(b)) Ø Ñ ÜÓµ Ó Ö Ó fº ÙÒÓ ÓÒÚ Ü ÙÒÓ Ò Ú Ü ÑÔÐÓ Î Ö ÕÙ ÕÙ µ = ÓÒÚ Ü ÔÓ Ù ÓÒ Ú Ô Ö Ñ µº µ = Ò Ú ÔÓ Ù ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓµº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ Ø Þ Ö ÙÒ Ò Ó Ô Ö ÓÑÔÖÓÚ Ö Óº Ø Ó ÑÓ ÐÓ Ô ÖÓ ÙÒÓ Ò Ú ÓÒÚ Ü º Ì ÓÖ Ñ ¾½ Ë Ñ I ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ f : I R ÙÑ ÙÒÓ ÓÑ Ù Ö Ú º Ë Ô Ö ØÓ Ó I µ f () > ÒØÓ Ó Ö Ó f ÔÓ Ù ÓÒ Ú Ô Ö Ñ ÓÒÚ Ü µ Ñ I µ f () < ÒØÓ Ó Ö Ó f ÔÓ Ù ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓ Ò Ú µ Ñ I ÈÖÓÚ ÓÑ ØÖ ÕÙ f () > ÒØÓ f Ø Ö Ò Ó ØÓ Ó Ó ÒØ Ò ÙÐ Ö Ø ÙÑ ÒØ Ò Óº ÓÑÔ Ò Ò Ó Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó ÐÓÒ Ó Ó Ö Ó ÙÑ ÙÖ µ Ð Ø Ö ÕÙ ÙÑ ÒØ Ö Ù ÒÐ Ò Óº ÓÒÐÙ Ö ÑÓ ÕÙ ÙÒÓ ÓÒÚ Ü º Ê Ó Ò Ó Ò ÐÓ Ó Ô Ö f < º Ð Ö Ñ Ñ ÑÔÐ º È ÐÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ì ÝÐÓÖ Ö Ù ¾ ÕÙ Ó º½µ Ôº½¼¼ ÐÓ ÐÑ ÒØ ÙÒÓ Ô Ö ÓÑ ÙÑ Ô Ö ÓÐ ÓÖÑ f (a) ( a) +f (a)( b)+f(a)º ÆÓØ ÕÙ ÓÒ Ú Ô Ö ÓÐ Ô Ò Ó Ò Ð Ó Ó ÒØ ÕÙ f (a)/º ÄÓ Ó Ó Ó Ò Ð Ö Ú ÙÒ Ø ÖÑ Ò Ö ÓÒ Ú Ó Ö Ó fº È Ö Ø Ð µ Ú Ö ËÔ Ôº ½ ½ º Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ù Ó Ö Ó ÔÓ Ù ÓÒ Ú Ô Ö Ñ Ô Ö ÜÓ µ f() = + Ò Ó ÕÙ f () = (3 ) (+ ) 3 µ f() = + Ò Ó ÕÙ f () = 4( 3) ( +) 3 µ g() = e Ò Ó ÕÙ f () = ( )e º

122 ½¼ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ µ Þ Ò Ó Ò Ð Ò Ð ÓÑÓ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÑÔÖ ÔÓ¹ Ø ÚÓ Ø Ò Ð Ö Ò Ð Ô Ö ÓÐ 3 º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ó Ö Ó f ÔÓ Ù ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓ Ñ ( 3/3, 3/3) ÓÒ Ú Ô Ö Ñ Ñ (, 3/3) ( 3/3,+ ) ÓÒ ÓÖÑ ÙÖ ÜÓº 3 3 f() = µ ÓÖÑ Ò ÐÓ ÓÑÓ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÑÔÖ ÔÓ Ø ÚÓ Ø Ò Ð Ö Ó Ò Ð 4( 3)º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ó Ö Ó f ÔÓ Ù ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓ Ñ (, 3) (, 3 ÓÒ Ú Ô Ö Ñ Ñ ( 3,) ( 3,+ ) ÓÒ ÓÖÑ ÙÖ ÜÓº Ç ÖÚ Ñ ÑÙ Ò Ò ÓÒ Ú 3 3 f() = + µ ÓÑÓ e ÑÔÖ ÔÓ Ø ÚÓ ÜÔÓÒ Ò Ð ÙÑ ÙÒÓ ÑÔÖ ÔÓ Ø Ú µ Ø Ò Ð Ö Ó Ò Ð º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ó Ö Ó f ÔÓ Ù ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓ Ñ ( /, /) ÓÒ Ú Ô Ö Ñ Ñ (, /) ( /,+ ) ÓÒ ÓÖÑ ÙÖ ÜÓº f() = e Ò ÐÑ ÒØ Ú ÑÓ ÙÒØ Ö ØÓ Ò ÓÖÑ ÕÙ ÔÖ Ò ÑÓ Ô Ö Ó Ö ÙÑ Ö Óº

123 º º Ë Ç Ç Êý Á ÇË È ÊÌ ÁÁµ ½¼ È Ö ÕÙ Ø ÓÓ Ö Ó ÒØ Ó ÓÓ Ú Ö Ö Ø ÖÑ Ò Ó µ ÌÇ ÇË Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÓÑ Ó ÜÓ µ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ò Ò ØÓ ÌÇ Ë ÒØÓØ µ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ñ ÒØÓ Ö Ñ ÒØÓ µ ÌÇ ÇË Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ µ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÑ ÓÒ Ú Ô Ö Ñ Ô Ö ÜÓ Ü ÑÔÐÓ Ó Ó Ö Ó f() = º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÁÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ Ñ (,)º ÆÓ ÚÓÙ ÐÙÐ Ö ÓÒ ÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ ÔÓ Ø Ö ÕÙ Ö ÓÐÚ Ö ÙÑ ÕÙ Ó Ó Ø Ö ÖÓ Ö Ù º º º Ç Ð Ñ Ø ÒÓ + + ÒÓ º ÆÓ ÔÓ Ù ÒØÓØ º ÓÑÓ f () = Ù Ö Þ Ó Ö Ø = Ö Ñ (,) Ö ÔÓ = º Ñ = Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð = Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ðº ÓÑÓ f () = + 6 Ù Ö Þ / ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓ Ø = / ÓÒ Ú Ô Ö Ñ ÔÓ º f() = Ü ÑÔÐÓ Ó Ó Ö Ó f() = +senº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÁÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ Ñ (,)º Î ÑÓ Ú Ö ÕÙ ÒÓ ÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ Ñ ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ Ô ÐÓ Ö Ñ ÒØÓ ÙÒÓº ÉÙ Ò Ó + f() + ÕÙ Ò Ó f() º ÆÓ ÔÓ Ù ÒØÓØ º ÓÑÓ f () = +cos > Ô Ö ØÓ Ó R ÙÒÓ ÑÔÖ Ö º Ñ ÒÓ ÔÓ Ù Ñ Ü ÑÓ Ò Ñ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ º ÓÑÓ f () = sen ÓÒ Ú Ú Ö (,π) Ô Ö ÜÓ (π,π) Ô Ö Ñ Ú ÐØ ÖÒ Ó Ø ÓÖÑ º

124 ½¼ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ f() = +sen() 3π π π π π 3π Ç ÖÚ Ó ÓÑÓ ÐÓ Ó Ö Ð ÕÙ Ò Ó f ÒÓ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÙ ÑÙ ØÓ ÑÔÐ Ö ÑÓ ÜÔÖ f f ÐÙÐ ÓÑ Ó Ó ØÛ Ö Å Ü Ñ µ ÔÓ ÕÙ Ö ÑÓ Ô Ö Ö ÙÐ ÓÓ Ó Ö Ó ÕÙ ØÓ Ö ÐÙÐ Ö Ö Ú º Ü ÑÔÐÓ Ó Ó Ö Ó f() = f () = 3 ( ) (+) +. 6 f () = 6(3 ++4). ( ) 3 (+) ( ) 4 (+) 3 ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÁÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ Ñ (,)º ÆÓ ÚÓÙ ÐÙÐ Ö ÓÒ ÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ ÔÓ Ø Ö ÕÙ Ö ÓÐÚ Ö ÙÑ ÕÙ Ó ÑÙ ØÓ ÓÑÔÐ º ÉÙ Ò Ó ± f() º Ñ ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð = º ÒØÓØ Ú ÖØ Ð ÓÒ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ µ = = º Ò Ð Ò Ó Ò Ð f ÓÑÓ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÑÔÖ ÔÓ Ø ÚÓ Ú Ð Ò Ó Þ ÖÓ Ñ = Ø ÓÐ Ö Ò Ð Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÕÙ Ø Ñ Ó Ñ ÑÓ Ò Ð ÕÙ º Ñ ÙÒÓ Ö Ø Ö Ñ ÒØ º ÓÑÓ Ö Ú ÒÙÐ ÓÑ ÒØ ÒÓ Þ ÖÓ Ø Ó Ò Ó Ò ØÓ ÔÓÒØÓ ÜØÖ ÑÓ ÐÓ Ðº ÓÑÓ ÙÒÓ Ö = ÒÓ ÜØÖ ÑÓ ÐÓ Ðº ÙÒÓ ÒÓ Ø Ñ Ñ Ü ÑÓ Ò Ñ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ðº Ç Ò Ð f º ÆÓØ ÕÙ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÔÓ Ù Ö Þ ÓÑÔÐ Ü º ÄÓ Ó Ø Ø ÖÑÓ ÑÔÖ ÔÓ Ø ÚÓº Ñ Ó Ò Ð f Ó ÔÓÖ 6 +º ÄÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓ Ø = Ô Ö Ñ Ñ (,) Ô Ö ÜÓ > º

125 º º Ë Ç Ç Êý Á ÇË È ÊÌ ÁÁµ ½¼ = = = 3 f() = ( ) (+) + Ü ÑÔÐÓ ½¼¼ Ó Ó Ö Ó f() = f () = f () = ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼¼ ÆÓØ ÕÙ f() = Ñ = = º ÓÐÓ Ò Ó 3 4 Ñ Ú Ò Ó Ø ÑÓ ÕÙ f() = 3 4 (/ 3 )º Ñ ÕÙ Ò Ó ± f() º ÆÓØ ÕÙ f ÆÇ Ü Ø Ñ = Ú Ð Þ ÖÓ Ñ = /4º ÉÙ ÒØÓ Ó Ò Ð ÒÓØ ÕÙ ÑÔÖ ÔÓ Ø ÚÓ ÔÓ Ô Ö º È Ö < Ó Ø ÖÑÓ 4 /3 ÑÔÖ ÔÓ Ø ÚÓº Ñ 3 3 f () > Ô Ö < º È Ö < < /4 f () > Ô Ö > /4 f () < º Ñ = /4 Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ðº ÆÓØ ÕÙ f ÆÇ Ü Ø Ñ = Ú Ð Þ ÖÓ Ñ = /º ÉÙ ÒØÓ Ó Ò Ð ÒÓØ ÕÙ 4 ÑÔÖ Ò Ø ÚÓº Ñ > Ó Ø ÖÑÓ Ø Ñ Ñ Ö ÑÔÖ Ò Ø ÚÓº 9 3 Ñ > f () < º ÓÖ Ô Ö / > > f () > Ô Ö < / f () < º 9 5 3

126 ½½¼ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ 4 f() = º Å Ü ÑÓ Å Ò ÑÓ Ñ ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Æ Ø Ó Ø Ð ÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ñ ÐÙÐ Ö Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ ÙÑ ÙÒÓ Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓº Ñ ÓÒØÖ Ø ÓÑ Ó ÓÒ ØÓ ÔÖ ÒØ Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð Þ ÑÓ ÕÙ ÕÙ Ö ÑÓ Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓº Ò Ó ¾¼ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓµ Ë Ñ I ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ f : I Rº I ÙÑ µ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ñ I f f( ) f() Ô Ö ØÓ Ó I µ ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ Ñ I f f( ) f() Ô Ö ØÓ Ó I µ ÜØÖ ÑÓ Ñ I f ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ Ñ Ò ÑÓ Ñ I fº Þ ÑÓ ÕÙ Ü ÑÔÐÓ ½¼½ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ µ f() = / Ñ (,] µ g() = +6 Ñ R µ h() = Ñ [ 3,] µ j() = (3 )( 7) Ñ Rº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼½ µ Ó Ó Ö Ó f() = / Ú Ö ÕÙ ÕÙ f ÒÓ ÔÓ Ù Ñ Ü ÑÓ Ñ (,] ÔÓ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ó ÙÒÓ Ö Ñ Ð Ñ Ø f ÔÓ Ù Ñ Ò ÑÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ = º µ Ó Ó Ö Ó g() = +6 ØÖ Ò Ð Ó Ô Ö ÓÐ = µ Ú Ö ÕÙ ÕÙ g ÆÇ ÔÓ Ù Ñ Ü ÑÓ Ñ R ÔÓ Ð Ö Ñ Ð Ñ Ø g ÔÓ Ù Ñ Ò ÑÓ = º µ Ó Ó Ö Ó h() = Ú Ö ÕÙ ÕÙ Ñ [ 3,] g ÔÓ Ù Ñ Ü ÑÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ = 3 Ñ Ò ÑÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ = º µ Ó Ó Ö Ó Ø Ô Ö ÓÐ ÓÑ ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓ ÓÑ Ö Þ Ú Ö ÕÙ ÕÙ j ÔÓ Ù Ñ Ü ÑÓ Ñ = (3+7)/ = 5 ÆÇ ÔÓ Ù Ñ Ò ÑÓ Ñ R ÔÓ Ð Ö Ñ Ð Ñ Ø º Ç Ì ÓÖ Ñ ÜÓ ÙÑ Ó Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ Ó ÐÙÐÓ ÔÓ Ö ÒØ Ü Ø Ò Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ó Ð Ñ Ø Óº Ì ÓÖ Ñ ¾¾ Ï Ö ØÖ ÓÙ Î ÐÓÖ ÜØÖ ÑÓ ÌÎ µµ ÓÒ Ö f ÓÒØ ÒÙ Ñ [a,b] ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ó Ð Ñ Ø Óµº ÒØÓ f ÔÓ Ù Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓº Å ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Ü Ø Ñ ma, min [a,b] Ø ÕÙ f( ma ) f() f( min ) Ô Ö ØÓ Ó [a,b]º

127 º º Åý ÁÅÇ Å ÆÁÅÇ Å ÁÆÌ ÊÎ ÄÇË ½½½ ÈÖÓÚ Ü ÑÓ Ù ÑÓÒ ØÖ Ó Ô Ö ÙÑ ÙÖ Ó Ò Ð Ú Æ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓµº Ç ÖÚ Ó Ë Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓ ÓÖ Ó Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ö Ð Óº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ f() = / ÓÒØ ÒÙ Ñ I = (,]º ÈÓ Ù Ñ Ò ÑÓ Ñ = Ñ ÒÓ ÔÓ Ù Ñ Ü ÑÓ Ñ Iº Ç ÖÚ Ó Ë Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓ ÓÖ Ð Ñ Ø Ó Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ö Ð Óº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ f() = ÓÒØ ÒÙ Ñ I = [, + )º ÈÓ Ù Ñ Ü ÑÓ Ñ = Ñ ÒÓ ÔÓ Ù Ñ Ò ÑÓ Ñ Iº Ç ÖÚ Ó ¼ Å ÑÓ Ò Ó ÓÒØ ÒÙ ÙÒÓ ÔÓ Ø Ö Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ f() = I Q () Ú Ð ¼ ÒÓ ÖÖ ÓÒ ½ ÒÓ Ö ÓÒ µº Å ÑÓ Ò Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,] ÔÓ Ù Ñ Ü ÑÓ Ñ = Ñ Ò ÑÓ Ñ = π/º Ü ÑÔÐÓ ½¼¾ ÓÒ Ö ÙÒÓ f Ó Ò ÙÖ ÜÓº Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÜØÖ ¹ ÑÓ f Ñ µ [,4] µ [ 3,4] µ [ 3,]º f() ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼¾ µ Å Ò ÑÓ Ñ = Ñ Ü ÑÓ Ñ = º µ Å Ò ÑÓ Ñ = Ñ Ü ÑÓ Ñ = º µ Å Ò ÑÓ Ñ = Ñ Ü ÑÓ Ñ = º Ç ÖÚ Ó ½ ÆÓØ ÕÙ Ò Ñ ØÓ Ó ÜØÖ ÑÓ ÐÓ Ð ÜØÖ ÑÓ ÐÓ Ðµ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓº Î Ó Ü ÑÔÐÓ Ñ º È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÙÑ ÙÒÓ Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ I Ó Ñ ÙÖÓ Ó Ö Ó Ö Ó ÙÒÓ ÔÓ Ö Ø ÓÐÓ Ó Ö Ñ Ñ ÑÓÖ Þ Ñ Ð ÔÐ ÔÓ Ñ Ð Öº Å ÕÙ Ö ÙÑ Ö Ø ÓÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ I ÓÑÔ Ö µ Ó Ú ÐÓÖ ÓÙ Ð Ñ Ø Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ ÒÓ ÜØÖ ÑÓ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ I µ Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÔÓÒØÓ ÓÑ Ö Ú ÒÙÐ ÓÙ Ñ Ö Ú µ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Iº Ü ÑÔÐÓ ½¼ Ë f : R R ÔÓÖ f() = (5 ) Ô Ö ØÓ Ó [,4]º Ø ÖÑ Ò Ó Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ f Ñ [,4]º

128 ½½¾ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼ ÓÑÓ f ÓÒØ ÒÙ Ñ [,4] Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¾¾ Ôº½½¼ ÌÎ µ f Ø Ñ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓº Î ÑÓ Ø ÖÑ Ò ¹ÐÓ º Ñ ØÓ ÕÙ ( )(5 ), f() = ( )(5 ) < 4. Ë Ù ÐÑ ÒØ Ú Ö ÕÙ µ ÕÙ f Ö Ú Ú Ð Ñ ØÓ Ó ÔÓÒØÓ º Ð Ñ ØÓ 6 <, f () = 6 < 4. ÓÑ f () = Ô Ö = 3 Ó Ñ Ü»Ñ Ò f Ñ [,4] Ø Ñ {,,3,4} ÜØÖ ÑÓ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÔÓÒØÓ Ñ Ö Ú ÔÓÒØÓ ÓÑ Ö Ú ÒÙÐ µº ÍÑ ÑÔÐ Ú Ö Ó ÒÓ f() = 5, f() =, f(3) = 4 f(4) = 3º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ fº Ü ÑÔÐÓ ½¼ Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó µ Ü N N ÓÒ Ö a < a < < a N º Ø Ö¹ N Ñ Ò Ô Ö ÕÙ R ÙÒÓ f() = ( a i ) ÙÑ Ö Ó Ñ ÓÖ Ó Ñ ÒÓÖ Ú ÐÓÖº i= ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼ ÆÓØ ÕÙ ÒÓ ÔÓ ÑÓ ÔÐ Ö Ì ÓÖ Ñ ¾¾ Ôº½½¼ ÌÎ µ ÔÓ Ø ÑÓ Ù Ò Ó ÜØÖ ÑÓ Ñ R ÔÓ Ö ÕÙ Ø Ò ÓÙ ÒÓº ÓÑÓ ÙÒÓ Ö Ú Ú Ð Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ó ÓÑ ÒØ Ó ÔÓÒØÓ N ÓÑ Ö Ú Þ ÖÓº ÈÓÒØÓ Ö Ø Ó f () = ( a i ) = º Ñ Ô Ö ÕÙ f ( ) = Ø ÑÓ ÕÙ i= N = N Ú Þ µ = N = i= n a i. ÄÓ Ó Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó = n a i Ñ Ó ÔÓÒØÓ º ÓÑÓ f() + N i= ± Ñ ÑÓ Ñ ÐÙÐ Ö f( ) ÑÓ ÕÙ ÙÒÓ ÙÑ Ö Ó Ñ ÒÓÖ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ú Ð Ñ = º È Ð Ñ Ñ Ö ÞÓ ÙÒÓ ÒÓ ÔÓ Ù Ñ Ü ÑÓ Ñ R ÔÓ Ð Ö ÑÔÖ Ô Ö ± º i= Ü ÑÔÐÓ ½¼ Ø ÖÑ Ò Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ó Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÙÒÓ ÜÓ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ I Ò Ó µ f() = 7 3 Ñ I = [,] µ f() = cos+/ Ñ I = [,π] µ f() = log Ñ I = [,+ )º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼ µ Ç ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ó ÓÑ ÒØ ÓÒ Ö Ú { ÒÙÐ ÔÓÖÕÙ µº ÓÑÓ f () = = (7 4 3) Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ó,± 4 } 3/7 º ÓÖ Þ Ò Ó Ò Ð Ò Ð f ÑÔÖ ÔÓ Ø ÚÓ ÔÓ Ù ÓÑ ÒØ Ù Ö Þ Ö µ f () > Ñ > 4 3/7 < 4 3/7 f () < Ñ ( 4 3/7, 4 3/7)º

129 º º ÈÊÇ Ä Å Ë ÇÌÁÅÁ Ç ½½ ÈÓÖØ ÒØÓ Ô ÖØÓ = ÙÒÓ Ö ÐÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó = ÒÓ Ñ Ü ÑÓ Ò Ñ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ðº È ÖØÓ = 4 3/7 ÙÒÓ Ö ÔÓ Ö Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ðº È ÖØÓ = 4 3/7 Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ðº ÆÓØ ÕÙ Ø ÒØ Ö ÙØ Ð Þ Ö Ö Ú ÙÒ ÓÒØ ÖÓ ÑÙ ØÓ ÓÑÔÐ º Ò ÐÑ ÒØ ÓÑÓ f() = f() = 4 3/7 [,] ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,] Ó Ñ Ò ÑÓ Ñ = 4 3/7 Ó Ñ Ü ÑÓ Ñ = ÓÙ = º ÈÓ ÑÓ Þ Ö Ò Ð Ò Ð f() = 3 ( 4 ) ÓÑ Ø Ò ÓÖÑ Ó Ö Ó Ö Ó Ø ÒØ Ú Ö ÕÙ ÓÑ Ó ØÛ Ö Ö Óµº µ Ç ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ó ÓÑ ÒØ ÓÒ Ö Ú ÒÙÐ ÔÓÖÕÙ µº ÓÑÓ f () = sen + / Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ó ÓÒ sen = / ØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ó {(k +/)π±π/4; k Z}º ÓÑÓ f () = cos ÒÓ ÔÓÒØÓ {(k+/)π π/4; k Z} f Ò Ø Ú f (π/4) = cosπ/4 = / < µ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð ÒÓ ÔÓÒØÓ {(k +/)π +π/4; k Z} f ÔÓ Ø Ú f (3π/4) = cos3π/4 = ( /) = / > µ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ðº È Ö ÐÙÐ Ö Ó Ú ÐÓÖ ÜØÖ ÑÓ Ñ I Ø ÓÑÔ Ö Ö f() = cos + = f(π) = cosπ+π/ = +π f(π/4) = cosπ/4+π/8 = /+π/8 f(3π/4) = cos3π/4+3π/8 = /+π/8º Ð Ú Ö ÕÙ /+π/8 Ó Ñ ÒÓÖ Ú ÐÓÖ +π Ó Ñ ÓÖº ÈÓÖØ ÒØÓ Ñ I Ó Ñ Ò ÑÓ Ñ = 3π/4 Ó Ñ Ü ÑÓ Ñ = πº Í Ð ÙÑ Ó ØÛ Ö Ô Ö Ú Ö Ó Ö Ó Ø ÙÒÓº µ f () = log º Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó log = / ÓÙ = e / = eº Ø 3 ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð ÔÓ Ö Ú ÔÓ Ø Ú ÒØ Ò Ø Ú ÔÓ º ÓÑÔ Ö Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ f() = f(+ ) = ÔÓÖ Ä³ÀÓ Ô Ø Ðº ÄÓ Ó Ó Ñ Ò ÑÓ Ñ [,+ ] Þ ÖÓ Ñ = Ó Ñ Ü ÑÓ Ñ = e f( e) = /(e)º º ÈÖÓ Ð Ñ ÇØ Ñ Þ Ó Æ Ø Ë Ó ÒÓ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ò Ò ÙÑ Ø ÓÖ ÒÓÚ º ÙÐ Ô Ö Ó ÐÙÒÓ ÔÖ Ò Ö ÑÓ Ð Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ º Î ÑÓ Ô Ö Ö ÅÇ Ä Å Ê ËÇÄÍ Çº Æ ÅÇ Ä Å Ö ÔÓ Ø Ú Ñ Ö Ó Ø ÔÓ Ñ Ü Ñ Þ ÓÙ Ñ Ò Ñ Þ µ ÙÒÓ f() = Ñ R ÓÙ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÙ (a,b) ÓÙ (,+ ) غ Ô ÖØ Ê ËÇÄÍ Ç Ö Ò Ë Ó ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ò ÒÓÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ñ Ü ÑÓ»Ñ Ò ÑÓ ÙÑ ÙÒÓ ÒÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓº Ç ÖÓØ ÖÓ Ó ÅÇ Ä Å µ ØÖ Ù Ö Ú Ö Ú,,r,h, غµ Ô Ö ÕÙ ÒØ ÓÒ µ Ö Ú Ö ÙÒÓ ÕÙ Ú Ö ÓØ Ñ Þ Ö ØÖ ÕÙ ÒÚÓÐÚ Ñ Ú Ö Ú µ Ó ÙÒÓ ÕÙ Ú Ö ÓØ Ñ Þ Ñ ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ð Ñ Ò Ö Ú Ö Ú ÓÑ Ö ØÖ µ Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ ÙÒÓ Ú Ö ÓØ Ñ Þ º Î ÑÓ ÓÑ Ö ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÒÓ Ñ Ó ÓÒ ÑÓ Ð Ñ Ö ÒÙÑ ÕÙ Ó Ó ÙÒ Ó Ö Ùº Ü ÑÔÐÓ ½¼ ÅÓ Ð Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ö ÓÐÚ ¹Ó º Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ Ú ¹ Ù Ø Ö ÔÓÖÕÙ º ÆÓ Ø ÐÙÐ Ö Ó

130 ½½ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ÍÑ Ö Ñ ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ L > Ú Ö ÓÖØ Ó Ñ Ó Ô Ó º ÍÑ Ô ÖØ Ö Ó Ö ÒÓ ÓÖÑ ØÓ ÙÑ ÕÙ Ö Ó Ó Ô Ó ÕÙ ÓÙØÖ Ò ÓÖÑ ÙÑ ÖÙÐÓº ÓÑÓ Ú Ö ÓÖØ Ó Ó Ó ÓÖÑ ÕÙ ÓÑ Ö Ó ÕÙ Ö Ó Ó ÖÙÐÓ ØÓØ Ð Ò ÐÓ ÙÑ Ñ Ü ÑÓ ÓÑÓ Ú Ö ÓÖØ Ó Ô Ö ÕÙ ÙÑ Ñ Ò ÑÓ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼ ÅÇ Ä Å Î ÑÓ ÓÖØ Ö Ó Ö Ñ ÒÙÑ Ô Ó Ø Ñ Ò Ó Ô Ö Þ Ö Ó ÕÙ Ö Ó L Ô Ö Ó ÖÙÐÓº ÆÓØ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ó ÕÙ Ö Ó L Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ó ÖÙÐÓº Ñ Ó Ð Ó Ó ÕÙ Ö Ó /4 Ó Ö Ó Ó ÖÙÐÓ r = (L )/(π)º Ñ Ö ØÓØ Ð a() = 6 + (L ) º ÆÓØ ÕÙ ÔÓ Ú Ö Ö ÓÑ ÒØ ÒØÖ L Ó 4π Ø Ñ Ò Ó Ó Ö Ñ º Ñ ÕÙ Ö ÑÓ Ó Åý ÁÅÇ Å ÆÁÅÇ a() = 6 + (L ) Ô Ö 4π [,L] Ê ËÇÄÍ Ç ÓÑÓ a () = 8 + L π º Ñ Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó = 4L 4+π º ÓÑÓ a ÙÑ Ô Ö ÓÐ ÓÑ ÓÒ Ú Ô Ö Ñ ÔÓÒØÓ Ó Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ðº Ð Ñ Ó 4 ÓÑÓ 4+π < < < Lº Ñ Ó Ñ Ò ÑÓ Ö ÙØ Ð Þ Ö Ô Ö Ó ÕÙ Ö Ó L Ô Ö Ó ÖÙÐÓº Ç Ñ Ü ÑÓ Ø Ö ÒÓ ÜØÖ ÑÓ º ÓÑÓ a() = L 4π L Ñ Ü ÑÓ Ñ = ÕÙ Ò Ó ØÓ Ó Ó Ö Ñ ÙØ Ð Þ Ó ÒÓ ÖÙÐÓº > a(l) = L 6 Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼ ÅÓ Ð Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ö ÓÐÚ ¹Ó º ÆÓ Ø ÐÙÐ Ö Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ Ú ¹ Ù Ø Ö ÔÓÖÕÙ º µ ÍÑ Ò Ð Ø Ñ ÓÖÑ ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓ Ò Ñ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ñ ÖÙÐÓº Ë Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ò Ð P Ø ÖÑ Ò Ñ Ò Ò Ð ÕÙ Ü Ñ Ô Ö Ñ ÓÖ ÕÙ ÒØ ÔÓ Ú Ð ÐÙÞº µ Ê Ô Ø Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÙÔÓÒ Ó ÕÙ Ô ÖØ Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ò Ð Ö Ö ÙÑ Ø ÔÓ Ú ÖÓ ÕÙ Ü Ô Ö Ó Ó ÖÓ ÐÙÞ ÕÙ Ô ÖØ Ñ ÖÙÐ Öº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼ µ ÅÇ Ä Å Ë Ó Ñ ÖÙÐÓ Ø Ñ Ö Ó r Ó Ö ØÒ ÙÐÓ ÔÓ Ù Ö Ð Ó r º ÓÑÓ ÕÙ ÒØ ÐÙÞ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ö Ò Ð ÕÙ Ö ÑÓ Ñ Ü Ñ Þ Ö Ö Ò Ð a = r+πr / Ö Ö ØÒ ÙÐÓ Ñ Ñ ÖÙÐÓµº Ø ÙÑ ÙÒÓ Ù Ú Ö Ú º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ö ØÖ Ó ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ò Ð P = +r+πr = +r(+π) Ó Ø ÑÓ ÕÙ = P r(+π) º Ñ a(r) = r(p r(+π))+πr / = r(p r( + π/))º ÇÐ Ò Ó Ô Ö Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ P = + r( + π) Ú ÑÓ ÕÙ Ó Ó ÜØÖ ÑÓ Ó r = = P/µ r = P/( + π) = µº Ñ ÕÙ Ö ÑÓ Ó Ñ Ü ÑÓ a(r) = r(p r(+π/)) Ô Ö r [, P/(+π)]º Ê ËÇÄÍ Ç ÓÑÓ a (r) = P r(+π/) r = P Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Óº ÆÓ 4+π ÜØÖ ÑÓ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ a() = a(p/(+π)) = º ÓÑÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ó ÙÒ Ó Ö Ù ÓÑ ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓ r ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓº Ð Ñ Ó r = P 4+π < P +π ÔÓÖØ ÒØÓ Ô ÖØ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓº

131 º º ÈÊÇ Ä Å Ë ÇÌÁÅÁ Ç ½½ µ ÅÇ Ä Å Æ Ø Ó ÕÙ ÒØ ÐÙÞ Ò Ô ÖØ Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ö ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ó Ó ÖÓ 4r Ò Ô ÖØ Ñ ÖÙÐ Ö Ù Ð πr /º Ñ a = 4r+πr /º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ö ØÖ Ó Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ó Ø ÑÓ ÕÙ ÕÙ Ö ÑÓ Ó Ñ Ü ÑÓ a(r) = r(p r(4+3π/)) Ô Ö r [, P/(+π)]º Ê ËÇÄÍ Ç ÓÖÑ Ò ÐÓ Ú ÑÓ Ó Ø Ö ÕÙ Ó Ñ Ò ÑÓ Ñ r = P 8+3π ÕÙ Ô ÖØ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓº Î ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ÓÑ ÒØ ÔÓ Ñ Ö Ö ÓÐÚ Ó ÓÑ ÐÙÐÓº Ü ÑÔÐÓ ½¼ ÅÓ Ð Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ö ÓÐÚ ¹Óº Ø ÖÑ Ò Ñ Ò Ó Ö ØÒ ÙÐÓ ÓÑ Ö A > ÕÙ ÔÓ Ù Ó Ñ ÒÓÖ Ô Ö Ñ ØÖÓº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼ ÅÇ Ä Å Ñ Ð Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ò Ü ÑÔÐÓ º ÓÒ Ö ÓÑÓ Ñ Ò Ó Ö ØÒ ÙÐÓº ÒØÓ ÕÙ Ö ÑÓ Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ p = +º ÓÑÓ Ó Ù Ú Ö Ú ÙØ Ð Þ ÑÓ Ö ØÖ Ó A = Ô Ö Ð Ñ Ò Ö ÙÑ Ð º Ñ = A/º ÄÓ Ó ÕÙ Ö ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ p() = +A/º ÆÓØ ÕÙ ÔÓ Ú Ö Ö ÒØÖ ¼ + Ñ ÆÇ ÔÓ Ö Þ ÖÓº Ñ ÕÙ Ö ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ p() = + A/ Ô Ö (, + )º Ê ËÇÄÍ Ç ÓÑÓ p () = A/ = Aº ÓÑÓ lim +p() = + lim p() = + Ø ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ Ñ (, + )º Ë = A ÓÑÓ A = = + A = Aº ÓÑÓ = = A ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ó Ö ØÒ ÙÐÓ ÓÑ Ñ ÒÓÖ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ó ÕÙ Ö Óº Ç ÖÚ Ó ¾ Ñ ÓÖ Ñ Ñ Ð Ó ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÑ Ö AÓÑ Ñ ÒÓÖ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ó ÕÙ Ö Óº ÓÖÑ Ö Ð Ó ÔÓÐ ÓÒÓ n Ð Ó ÓÑ Ö A ÓÑ Ñ ÒÓÖ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ó ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö n Ð Ó º Ò ÐÑ ÒØ Ö Ó ÔÐ Ò Ö A ÓÑ Ñ ÒÓÖ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ó ÖÙÐÓº Ç Ö ÙÐØ Ó Ó ÒØ Ó Ü ÖÑÓ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ P > ÕÙ ÖÑÓ Ñ Ü Ñ Þ Ö Ö º ÆÓ Ó Ö Ó ÔÐ Ò ÓÑ Ô Ö Ñ ØÖÓ P ÓÑ Ñ ÓÖ Ö Ó Ñ Ó ÈÖÓ Ð Ñ Á Ó¹ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÕÙ ÔÓ Ö Ö ÓÐÚ Ó ÓÑ ÒØ ÓÑ Ø Ò ÐÙÐÓ Ú Ö º Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ï Ô Ñ Ò Ð ÓÔ Ö Ñ ØÖ µ Ø Ñ ÓÖ Ñ Ò ÒØ Ù ÒØÖ ÓÙ ÑÙ ØÓ ÒØ Ø ÒØÖ ÓÙØÖÓ Ã ÔÐ Öº Å Ó Ö ÓÐÚ Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÑ ÒØ Ñ ½ ¼¾ ÔÓÖ ÀÙÖÛ ØÞ Ù Ò Ó Ö ÓÙÖ Öº Ü ÑÔÐÓ ½¼ ÅÓ Ð Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ö ÓÐÚ ¹Ó º ÆÓ Ø ÐÙÐ Ö Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ Ú ¹ Ù Ø Ö ÔÓÖÕÙ º µ ÍÑ Þ Ò ÖÓ ÕÙ Ö Ö Ö ÙÑ Ö ½ ¼¼ m ÒÙÑ ÑÔÓ Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÒØÓ Ú ¹ ÐÓ Ó Ñ Ó ÓÑ ÙÑ Ö Ô Ö Ð Ð ÙÑ Ó Ð Ó Ó Ö ØÒ ÙÐÓº ÓÑÓ Þ Ö ØÓ ÓÖÑ Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ù ØÓ Ö µ Ê ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ù ØÓ ÔÓÖ ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ö ÕÙ Ú Ó Ñ Ó ØÖ Ú Þ Ñ Ö Ó ÕÙ Ó Ö Ñ ÚÓÐØ Ó Ø ÖÖ ÒÓº

132 ½½ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼ µ ÅÇ Ä Å ÙÑ Ò Ó ÓÒ ÙÑ Ó Ð Ó Ó ÓÙØÖÓº Ç Ð Ó Ø Ñ Ò Ó Ö Ú Ó Ó Ñ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ö Ø Ñ Ò Ó º Ñ Ó Ø Ñ Ò Ó Ö c = + + Ô Ö Ñ ØÖÓ Ó Ö ØÒ ÙÐÓ Ñ Ö Ó Ñ Ó Ó Ø ÖÖ ÒÓµº Ø ÙÒÓ Ù Ú Ö Ú º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ö ØÖ Ó ÕÙ Ó Ø ÖÖ ÒÓ ÔÓ Ù ½ ¼¼ m = 5º Ñ Ð Ñ Ò ÑÓ = 5/ Ó Ù ØÓ Ó Ø ÑÓ c() = +3(5)/ = +45/º ÆÓØ ÕÙ ÔÓ Ú Ö Ö ÒØÖ + º Ñ ÕÙ Ö ÑÓ Ó Å ÆÁÅÇ c() = +45/ Ô Ö (,+ ) ÒÓØ ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ö ¼µº Ê ËÇÄÍ Ç ÐÙÐ Ò Ó Ó Ñ Ò ÑÓ c() = + 45/ Ñ I = (,+ )º ÓÑÓ c () = 45/ Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó = 5º ÆÓ ÜØÖ ÑÓ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ I lim +c() = + lim c() = + º Ñ Ñ Ò ÑÓ ÓÑÓ = 5 = + 5/ 5º µ ÅÇ Ä Å Ë Ö Ñ ØÓÖÒÓ Ó Ø ÖÖ ÒÓ Ù Ø K Ö Ó Ñ Ó Ù Ø 3Kº ÈÓÖØ ÒØÓ c = K + K + 3K = K( + 5)º ÇÙØÖ ÔÓ Ð Ü Ö Ó Ù ØÓ»ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ñ ØÓÖÒÓ ½ Ô Ö Ö Ó Ñ Ó3º Î ÑÓ Ó Ø Ö Ú Ö ÕÙ µc = +5 ÕÙ Ó Ø Ö ÑÓ Ò Ñ Ñ Ö ÔÓ Ø º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ö ØÖ Ó = 5 ÕÙ Ö ÑÓ Ó Å ÆÁÅÇ c() = K(+5 5/ Ô Ö (,+ )º Ê ËÇÄÍ Ç Ë Ñ Ð Ö Ó Ø Ñ µº Ç Ø Ö ÑÓ = 5 5/º Ü ÑÔÐÓ ½½¼ Ë Ñ M,N > Ò Ñ ÖÓ Ó º Ë, Ó Ò Ñ ÖÓ Ø ÕÙ Ù ÓÑ Ù Ð ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ S > Ø ÖÑ Ò Ó Ñ Ò ÑÓ Ó Ñ Ü ÑÓ Ó ÔÖÓ ÙØÓ P = M N º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½½¼ ÅÇ Ä Å ÓÑÓ + = S = S º ÓÑÓ Sº Ñ ÕÙ Ö ÑÓ Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ P() = M (S ) N Ô Ö [,S]º Ê ËÇÄÍ Ç ÓÑÓ P () = M M ( S) N N M (S ) N º ÄÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ó = MS = Ó M µ = S N µº ØÓ Ó ÑÓ Ó M +N Ú ÑÓ Ö Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ñ S ÔÓ Ó Ó ÜØÖ ÑÓ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓº ÆÓØ ÕÙ ÓÑÓ M < M < M +N < ÔÓÖØ ÒØÓ M+N = MS M +N < Sº Ñ (,S)º Å P() = P(S) = P() > Ô Ö (,S)º Ñ ØÓ Ó Ñ Ü ÑÓº Ç Ñ Ò ÑÓ Ñ = ÓÙ = Sº Ü ÑÔÐÓ ½½½ ÉÙ Ð ÔÓÒØÓ Ó Ö Ó = + Ø Ñ Ô ÖØÓ Ó ÔÓÒØÓ (,5) ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½½½ ÅÇ Ä Å ØÒ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ø ÙÑ ÙÖÚ Ù Ð Ñ ÒÓÖ ØÒ ÒØÖ ØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÙÖÚ Ø Ö Ø º ØÒ ÙÑ ÔÓÒØÓ (,) Ò ÙÖÚ Ø (,) d = ( ) +( 5) º ÓÑÓ = + d() = +( + 5) º ÉÙ Ö ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ Ô Ö R Ø ÙÒÓ d() = +( 3) º Ê ËÇÄÍ Ç Ü Ø ÙÑ ØÖÙÕÙ Ó Ó ÒÚ Ñ Ò Ñ Þ Ö d() Ñ Ò Ñ Þ ÑÓ d () ÔÓ Ò Ñ Ñ ÔÓÖÕÙ µ Ñ Ð Ö Ñ Ðº Ñ ÕÙ Ö ÑÓ Ñ Ò Ñ Þ Ö f() = +( 3) º ÓÑÓ f () = +( 3)() Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ó,± 5/º ÉÙ Ò Ó ± Ú ÑÓ ÕÙ f() + º Ñ Ó Ñ Ò ÑÓ Ø Ò Ó Ñ ÙÑ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó º ÓÖ ÓÑÔ Ö ÑÓ f() = 9 f(± 5/) = /4º ÓÑÓ /4 < 9 Ó Ñ Ò ÑÓ Ø Ò Ó Ñ = ± 5/º

133 º º ÈÊÇ Ä Å Ë ÇÌÁÅÁ Ç ½½ Ü ÑÔÐÓ ½½¾ ÅÓ Ð Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ö ÓÐÚ ¹Óº ÆÓ Ø ÐÙÐ Ö Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ Ú ¹ Ù Ø Ö ÔÓÖÕÙ º ÍÑ Ð Ø Ð Ò Ö ÖØ ÒÓ ØÓÔÓ Ú ÓÒØ Ö 5cm 3 Ð ÕÙ Óº Ç Ù ØÓ Ó Ñ Ø Ö Ð ÙØ Ð Þ Ó Ò Ê ¾ ¼¼»Ñ Ó Ñ Ø Ö Ð ÙØ Ð Þ Ó ÒÓ Ð Ó Ê ¼¼»Ñ º Ó Ö Ó ÕÙ Ñ Ò Ñ Þ Ó Ù ØÓ Ö Ó Ð Ø º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½½¾ ÅÇ Ä Å Ë r Ó Ö Ó Ð Ø h ÐØÙÖ º Ö Ð Ø Ö Ð πrh Ö πr º Ä Ú Ò Ó Ñ ÓÒØ Ó Ù ØÓ Ó Ñ Ø Ö Ð Ó Ù ØÓ Ö Ó c = 6πrh+πr º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ö ØÖ Ó ÕÙ Ó ÚÓÐÙÑ V = πr h = 5 Ð Ñ Ò ÑÓ ÙÑ Ú Ö Ú Ó Ù ØÓº Î ÑÓ Ð Ñ Ò Ö hº ÓÑÓ πrh = 5/r Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ú ÑÓ Ñ Ò Ñ Þ Ö c(r) = 3 + r πr Ô Ö r (,+ )º ÇÙØÖ ÔÓ Ð ÑÓ Ð Ñ Ð Ñ Ò Ö rº È Ð Ö ØÖ Ó Ó ÚÓÐÙÑ πr = 5/h r = 5/(hπ) = 5/(hπ)º Ð Ñ Ò Ò Ó r Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ú ÑÓ Ñ Ò Ñ Þ Ö c(h) = 6 5πh+ h Ô Ö h (,+ )º Ê ËÇÄÍ Ç Ó ÑÓ ÐÓ Ñ Ò Ñ Þ c(r) = 3 + πr Ô Ö r (,+ ) ÆÓØ ÕÙ r c(r) + ÕÙ Ò Ó r + ÓÙ r + º Ñ Ü Ø Ö ÙÑ Ñ Ò ÑÓ ÔÓ c(r) > Ô Ö ØÓ Ó r > º ÓÑÓ c (r) = πr Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó r r = 3 Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓº π ÓÖ ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ö h ÐØÙÖ ÕÙ Ñ Ò Ñ Þ Ù ØÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ö Ð Ó V = πrh = 5º Î ÑÓ Ó Ø Ö h = / 3 36π = 3 9π º Ê ËÇÄÍ Ç Ó ÑÓ ÐÓ Ñ Ò Ñ Þ c(h) = 6 5πh + Ô Ö h (,+ )º ÓÑÓ h c (h) = 3 5π h h Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó h = 3 º ÆÓØ ÕÙ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÑÓ ÐÓ ØÓÖÒ 9π ÓÒØ Ñ º Ü ÑÔÐÓ ½½ ÅÓ Ð Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ö ÓÐÚ ¹Óº ÆÓ Ø ÐÙÐ Ö Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ Ú ¹ Ù Ø Ö ÔÓÖÕÙ º Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ñ ÓÖ Ö ØÒ ÙÐÓ ÓÑ Ð Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ó ÜÓ Ü Ýµ ÕÙ ÔÓ Ö ( ) ( ) Ò Ö ØÓ Ò Ð Ô (a,b > ) + =. a b ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½½ ÅÇ Ä Å Ê ÓÐÚ Ò Ó ÕÙ Ó Ð Ô Ô Ö ÔÓ ¹ Ó Ø Ö ÕÙ Ü Ó ÙÑ () = ±b (/a) º ÆÓØ ÕÙ Ô Ö [,a] Ó Ø ÑÓ ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓ Ò Ö ØÓ Ò Ð Ô ÓÑ ÓÑ Ð Ó = b (/a) º Ñ ÕÙ Ö ÑÓ Ñ Ü Ñ Þ Ö Ö g() = 4b (/a) Ô Ö [,a]º Ê ËÇÄÍ Ç ÆÓØ ÕÙ g() = g(a) = ÕÙ g() > Ô Ö > º Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ü Ø Ö Ö Ñ Ò ÑÓº ÓÑÓ f () = 4b 4b (/a) a (/a) º Á Ù Ð Ò Ó Þ ÖÓ Ò Ð Ò Ó 4b Ó Ó Ð Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ = a ( ( /a) ) = a º

134 ½½ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ Ñ = a = a º ËÙ Ø ØÙ Ò Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ö g(a/ ) = ab ÓÒ Ö ÔÓ ( /a) = / µº Ü ÑÔÐÓ ½½ Ù Z W ØÓ Ò Ö ÙÑ Ö Ó Ö ØÓ Ð Ö ÙÖ a Ñ Ñ Ö Ò ÓÔÓ Ø º Ë Q Ó ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ö Ñ ÓÔÓ Ø Ó Ö Ó Ö Ø Ñ ÒØ Ñ Ö ÒØ Zº Ë ¹ ÕÙ ÕÙ W Ø b Ó ÔÓÒØÓ Qº a Q P W Z ÖÓ Ð ÔÓÖ ÙÑ Ø Ñ Ú Ö Ó ÓÑÔÓ ØÓ ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØ Ô ÖØ Ò Ó Z Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ P Ò ÓÙØÖ Ñ Ö Ñ Ó Ö Ó ÙÑ ØÖ ÔÓÖ Ø ÖÖ Ð Ò Ó P W º Ç Ù ØÓ ÔÓÖ ÕÙ ÐÑ ØÖÓ Ô Ö ÓÒ ØÖÙÓ ÔÓÒØ A ÔÓÖ ÃÑ Ó Ù ØÓ Ô Ö ÓÒ ØÖÙÓ ØÖ ÔÓÖ Ø ÖÖ T ÔÓÖ ÃѺ ÉÙ Ð Ú Ö ÐÓ Ð Þ Ó Ó ÔÓÒØÓ P Ô Ö ÕÙ Ó Ù ØÓ ØÓØ Ð Ó Ø Ñ Ú Ö Ó Ó Ñ ÒÓÖ ÔÓ Ú Ð ÈË ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Ð Ö ÎÓ Ô ÖØ Ô Ö ÙÑ ÔÖÓÚ ÓÖÖ Ò Ø Ó ÒØÖ Ù Ò Ó ÕÙ ÚÓ ÓÖÖ ÓÑ Ú ÐÓ V c Ò ÓÑ Ú ÐÓ V n º È ÖØ Ò Ó Z ÚÓ Ú Ö Ò Ö Ñ Ð Ò Ö Ø Ð ÖÓ µ Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ P Ò Ò ÓÙØÖ Ñ Ö Ñ ÔÓ ÓÖÖ Ö Ñ Ð Ò Ö Ø µ Ø W º ÓÑÓ Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ø ÑÔÓ ÔÖÓÚ b ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½½ ÅÇ Ä Å Î ÑÓ ÒØÖÓ ÙÞ Ö ÓÓÖ Ò ÕÙ ÐÓ Ð Þ Ó ÔÓÒØÓ P ÓÑ ÓÒÚ ÒÓ ÕÙ = P = W = b P = Qº Ñ [,b]º ÐÓ Ð Þ Ó Ó ÔÓÒØÓ P ØÖ Ø ÖÖ Ø Ö ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ÔÓÒØ Ø Ö ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ÔÓÖ È Ø ÓÖ (b ) +a º ÄÓ Ó Ó Ù ØÓ ØÓØ Ð Ó Ø Ñ Ú Ö Ó c() = T+A (b ) +a ÕÙ Ö ÑÓ Ñ Ò Ñ Þ Ö Ô Ö [,b]º Ê ËÇÄÍ Ç Î ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó º c b () = T A (b ) +a º Ê Óй Ú Ò Ó c ( ) = Ó Ø ÑÓ ÕÙ (A T )(b ) = T a º Ñ Ô Ö ÕÙ Ø Ò ÓÐÙÓ Ö Ð ÔÖ ÑÓ ÕÙ A T ØÓ ÓÑÓ A,T > ÔÖ ÑÓ ÕÙ A T Ó Ù ØÓ Ò Ù Ñ ÓÖ ÕÙ Ò Ø ÖÖ º Î ÑÓ Ô Ö Ö Ñ Ó Ó at µ Ë A > T Ò Ö Þ Ö Ú Ñ ÒÓÖ ÕÙ b = b º ÆÓØ ÕÙ A T c (b) = T > º ÓÑÓ c ( ) = < b Ö Ú Ö ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ø Ú Ô Ö < º Ñ [,b] Ø ÔÓÒØÓ Ö Ñ Ò ÑÓº Ñ ÔÖ ÑÓ ÕÙ > at ØÓ ÕÙ b > A T º Ë ØÓ ÓÓÖÖ Ö Ó Ñ Ò ÑÓ Ö Ñ at = b A T º Ó at ÓÒØÖ Ö Ó ØÓ b ÙÒÓ Ö Ö ÒØ Ñ [,b] Ó Ñ Ò ÑÓ Ö Ñ A T = Ð Ö ÔÓÒØ Ö Ø Ñ ÒØ ÒØÖ µº µ Ë A T Ö Ú ÒÙÒ Ö Þ ÖÓ ÔÓÖØ ÒØÓ ÔÓ Ù Ö Ó Ñ ÑÓ Ò Ð ÕÙ Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÓÒØÓ ÓÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ñ = b ÓÒ c (b) = T > º ÄÓ Ó Ð Ö ÑÔÖ Ö ÒØ Ó Ñ Ò ÑÓ Ö Ñ = Ð Ö ÔÓÒØ Ö Ø Ñ ÒØ ÒØÖ µº ÈË Ø ØÓÑ Ö A = /V n T = /V c Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ º

135 º º Ì Ë Ê Ä ÁÇÆ Ë ½½ Ü ÑÔÐÓ ½½ ÅÓ Ð Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ö ÓÐÚ ¹Óº ÆÓ Ø ÐÙÐ Ö Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ Ú ¹ Ù Ø Ö ÔÓÖÕÙ º ÍÑ Ô ÒØÓÖ Ø Ô ÒØ Ò Ó ÙÑ ÔÖ Ó ÕÙ ÔÓ Ù ÙÑ ÓÖÖ ÓÖ ÐÓÒ Ó Ð Ö ÙÖ a ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÒÙÑ ÓÖÖ ÓÖ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ø Ð Ö ÙÖ bº ÉÙ Ð Ñ ÓÖ ÕÙ Ó Ô ÒØÓÖ ÔÓ ÙØ Ð Þ Ö ÕÙ ÔÓ Þ Ö ÙÖÚ ÒÓ Ñ Ó ÓÖÖ ÓÖ a b ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½½ ÅÇ Ä Å ÓÒ Ö Ó Ñ ÒØÓ Ö Ø ÕÙ ÒÓ Ø Ò ÕÙ Ò ÒØ ÖÒ Ó ÓÖÖ ÓÖº Î ÑÓ ÐÙÐ Ö Ù ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ò ÙÐÓ θ ÕÙ Ø Ñ ÒØÓ Þ ÓÑ Ó ÓÖÖ ÓÖº Î ÑÓ Ó Ø Ö ÕÙ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ó ÔÓÖ f(θ) = a senθ + b º Ë ÓÖ Ñ ÓÖ ÕÙ f(θ) Ô Ö Ð ÙÑ θ Ð Ö ØÖ Ú ÒÓ ÓÖÖ ÓÖº Ñ cosθ ÕÙ Ö ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ f(θ) = a senθ + b Ô Ö θ (, π/)º cosθ Ê ËÇÄÍ Ç ÆÓØ ÕÙ f(θ) + ÒÓ ÜØÖ ÑÓ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ(, π/)º Ñ Ó Ñ Ò ÑÓ Ø ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓº ÐÙÐ Ò Ó f (θ) = a cosθ senθ +b sen θ cos θ º ÓÖ f (θ ) = ( a sen 3 θ cos 3 θ = a b = tan3 θ º ÄÓ Ó θ = arctan 3 b ) º º Ì Ü Ê Ð ÓÒ Ì Ü Ö Ð ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÕÙ ÒØ Ø Ô Ñ ÒØ µ Ô Ò ÒØ Ó Ø ÑÔÓ Ó Ö Ð ÓÒ ÔÓÖ ÕÙ º ÌÖ Ø ¹ ÔÐ Ó Ö Ö º ÔÐ Ø Ô Ó Ú Ö Ó ÓÑ Ö ÙÑ ÓÑ Ñ Ó Ñ Ò Ö Ú Ö Ó ÐØÙÖ ÙÑ Ø ÒÕÙ Ú Þ Ò Óº Ü ÑÔÐÓ ½½ ÍÑ ÐÓ Ö Ó ÒÓ Ò Ø ÒØ t Ñ ÕÙ Ù Ö Ó R Ú Þ ÙÒ Ó ÙÑ Ø Ü p m 3 /sº Ø ÖÑ Ò Ø Ü Ú Ö Ó Ù Ö ÙÔ Ö º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½½ Ö Ú ÑÓ Ó ÚÓÐÙÑ Ó ÐÓ Ñ ÙÒÓ Ó Ø ÑÔÓ Ó Ö Ó R(t) Ó Ö Ó Ô Ò Ó Ø ÑÔÓµ ÔÓÖ V(t) = 4/3πR 3 (t)º ÓÑÓ V (t) = 4πR (t)r (t)º Ñ p = V (t ) = 4πR R (t )º ÓÑÓ A(t) = 4πR (t) A (t) = 8πR(t)R (t)º ÓÑÓ R (t ) = p /(4πR ) A (t ) = 8πR p /(4πR ) = p /R º Ü ÑÔÐÓ ½½ ÍÑ ÓÑ Ñ ÐØÙÖ H Ø Ñ Ò Ò Ó Ñ Ö Ó ÙÑ ÔÓ Ø ÐÙÑ Ò ¹ Ó ÓÑ ÐØÙÖ P º ËÙÔÓÑÓ ÕÙ Ó ÔÓ Ø Ñ ÐØÓ ÕÙ Ó ÓÑ Ñº ÆÙÑ ÖØÓ Ò Ø ÒØ Ð ÑÓÚ ÓÑ Ú ÐÓ V º Ø ÖÑ Ò ÓÑ ÕÙ Ú ÐÓ ÑÓÚ Ò Ø Ò Ø ÒØ µ ÜØÖ Ñ Ù ÓÑ Ö µ Ù ÓÑ Ö º ¼ Ð ØÙÖ Ø Ó ÓÔ ÓÒ Ðº

136 ½¾¼ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½½ Ë ØÒ ÒØÖ Ó ÓÑ Ñ Ó ÔÓ Ø º Ë S() ØÒ ÜØÖ Ñ Ù ÓÑ Ö Ø Ó ÔÓ Ø º ÈÓÖ Ñ Ð Ò ØÖ Ò ÙÐÓ H P = S() P º Ì Ö ÑÓ ÕÙ S() = S() P H P S () = ÈÓÖ Ô Ø P > Hº P H Ë ÑÓ ÕÙ Ô Ò Ó Ø ÑÔÓ (t) ÕÙ () = V º µ Ë g(t) = S((t)) ØÒ ÜØÖ Ñ Ù ÓÑ Ö Ñ ÙÒÓ Ó Ø ÑÔÓ Ô Ð Ö Ö g (t) = S ((t)) (t) = P P H (t)º ÄÓ Ó Ú ÐÓ ÜØÖ Ñ ÓÑ Ö g () = P P H () = VP P H º µ Ë f(t) = S((t)) (t) Ó Ø Ñ Ò Ó ÓÑ Ö ØÒ ÒØÖ ÜØÖ Ñ ÓÑ Ö Ó ÓÑ Ñº Ñ f (t) = S ((t)) (t) (t)º ÄÓ Óf () = VP HV V = P H P H º º Ö Ú Ó ÁÑÔÐ Ø ÙÒ ÔÓ Ñ Ö Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ñ Ó ÕÙ º ÍÑ Ü ÑÔÐÓ ÕÙ Ó + = ÕÙ Ò ÓÖÑ ÑÔÐ Ø Ù ÙÒ () = Ô ÖØ Ñ Ó ÖÙÐÓµ () = Ô ÖØ ÜÓµº ÍÑ ØÓ ÒÓØ Ú Ð ÕÙ ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ñ Ø Ö ÕÙ ÜÔÐ Ø Ö ÙÒÓº Ø Ö Ö Ú ÖÑÓ + () = Ö Ú ÖÑÓ Ó Ó Ð Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó Ö Ö +() () = º Ñ () = () º ÈÓÖ ØÖ Ø ØÖÙÕÙ Ü Ø ÙÑ Ø ÓÖ Ó Ñ Ó Ì ÓÖ Ñ ÙÒÓ ÁÑÔÐ Ø ÕÙ Ô ÖÑ Ø Þ Ö ÕÙ Ò Ó ÙÑ ÕÙ Ó Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ò Ó ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ù Ö Ú º Ñ ÐÙÐÓ Á ÓÑ Ø ÑÓ Ø Ø Ð º ØÓ Ó ÔÖ ÔÖ Ó ËÔ Ú ËÔ Ð Ñ Ö Ñ ÖÓ ¾ Ü Ö Ó Ôº ¾½½µ Ó ÙÒØÓ Þ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ ÙÑ ÙÒÓ Ö Ò Ú Ð Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ ÙÑ ÕÙ Ó ÔÓ Ö Ñ Ð Ó Ñ Ð ÓÖ Ö Ü Ó Ô Ö ÙÑ ÙÖ Ó ÐÙÐÓ Ú Ò Óº Â Ó ÓÙÖ ÒØ Ó ÙÑ Ë Ó Ø Ø Ô Ó Ò Ôº ¼º ÈÓÖØ ÒØÓ Ú ÑÓ ÓÖ Ö Ó ÙÒØÓ ØÖ Ú Ü ÑÔÐÓ º Ü ÑÔÐÓ ½½ ÓÒ Ö ÙÒÓ = f() Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ 3 + = º Ø Ö¹ Ñ Ò ÓÒ Ø ÙÒÓ Ö ÒØ º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½½ ÓÑÓ() 3 +() = Ö Ú Ò Ó ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ 3 () ()+ () = º Ñ () = 3 ()+ º ÓÑÓ () > Ô Ö ØÓ Ó ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ø ÙÒÓ Ö ÒØ Ñ ØÓ Ó ÐÙ Öº Ü ÑÔÐÓ ½½ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó Ò Ó ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ µ + = sen() Ñ (,) µ +log() = Ñ (,)º ¼ Ð ØÙÖ Ø Ó ÓÔ ÓÒ Ðº

137 º º Ê ÁÇË ÈÄÁ Ç ÊÁÎ ½¾½ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½½ µ ÈÖ Ñ ÖÓ Ö Ö ÚÓ + () = sen(())º Ö Ú Ò Ó ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ + () = cos(())(() + ())º Ñ Ñ (,) + () = cos()(()+) = º ÄÓ Ó () = º ÄÓ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ = ( )( ) = ÓÙ = º µ ÈÖ Ñ ÖÓ Ö Ö ÚÓ ()+log(()) = º Ö Ú Ò Ó ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ()+ ()+ ()+ () = º Ñ Ñ (,) ()+ ()+ ()+ () = = + ()++ () () () = + () = º ÄÓ Ó () = º ÄÓ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ = ( )( ) = ÓÙ = º Ü ÑÔÐÓ ½¾¼ ÒÓÒØÖ Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ = f() Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ + = º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¾¼ Ö Ú Ò Ó ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÑÓ + = º ÉÙ Ö ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ = º Ñ Ó Ø ÑÓ ÕÙ = º ËÙ Ø ØÙ Ò Ó Ò ÕÙ Ó + = Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ó 3 = º ÈÓÖØ ÒØÓ = ±º Ñ Ñ = = = 4 Ñ = = = 4º Ç Ñ Ü ÑÓ = 4 Ó Ñ Ò ÑÓ = 4º Í ÙÑ Ó ØÛ Ö Ô Ö ÔÐÓØ Ö ÙÒÓ ÑÔÐ Ø Ú Ö Ö Ø Ö ÔÓ Ø º Ø Ñ ØÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÔÓ ÙÖÚ Ò Ô Ð ÕÙ Ó Ð Ñ Ø º º Ü Ö Ó ÔÐ Ó Ö Ú º º½ Ü Ö Ó Ü Ó Ü Ö Ó ½º ËÙÔÓÒ ÕÙ f() = f ÓÒØ ÒÙ ÕÙ f () = 5º ÐÙÐ lim f() sen() º Ü Ö Ó ¾º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ð Ñ Ø lim ( ) e e Æ Ö Ð Ó Ð Ñ Ø Þ ÖÓº ÉÙ Ð Ó ÖÖÓ ( ) lim e e = lim ( ) = lim e e = e. ÔÐ Ò Ó Ä³ÀÓ Ô Ø Ð Ù Ú Þ º Ñ Ü Ö Ó º Ë ¹ ÕÙ f () = 4 ÕÙ f() = 5º ÐÙÐ ÓÖÑ ÔÖÓÜ Ñ µ f(.) µ f(.95)º Ü Ö Ó º Ë ¹ ÕÙ p() Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ó ÙÒ Ó Ö Ù ÕÙ Ñ Ð ÓÖ ÔÖÓÜ Ñ f() = cos() Ô ÖØÓ Ó ÔÓÒØÓ = πº Ø ÖÑ Ò µ p(π) µ p (π) µ p (π)º Ü Ö Ó º Ó Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ô Ö Ø Ñ ÜÓ ÕÙ µ Ø Ò ÙÑ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð Ñ = ÙÑ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð Ñ = ¼ ¾ º Ù º¾¼½¼

138 ½¾¾ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ µ ÑÔÖ Ö ÒØ Ñ Ø = ÓÑ ÓÒ Ú Ô Ö Ñ ÔÓ Ø ÔÓÒØÓ ÓÑ ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓº Ü Ö Ó º ÓÒ Ö ÙÑ f : [ 3,3] : R Ù Ó ÕÙ ÖÓ Ò ÙÒÓ Ö Ú f + + f f Ó Ó Ö Ó = f()º Ü Ö Ó º Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº Ë ÓÖ Ð Ó ÙÑ ÓÒØÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÙ ÓÖÖ º µ f () > Ô Ö ØÓ Ó [,] ÒØÓ f Ö ÒØ Ñ [,]º µ f () > Ô Ö ØÓ Ó [,] ÒØÓ f ÔÓ Ù ÓÒ Ú Ô Ö Ñ Ñ [,] µ h() = C Ô Ö ØÓ Ó [,] ÒØÓ h ÒÓ ÔÓ Ù Ò Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ó Ñ Ü ÑÓ Ò Ñ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ðº Ü Ö Ó º ØÙ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾¾ Ôº½½¼ Ó ÌÎ Ì ÓÖ Ñ Ó Î ÐÓÖ ÜØÖ ÑÓ Ï Ö ¹ ØÖ µº Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº Ë ÓÖ Ð Ó ÙÑ ÓÒØÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÙ ÓÖÖ º µ È ÐÓ ÌÎ ØÓ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ I = ( 7,) ÔÓ Ù ÙÑ Ñ Ü ÑÓ Ñ Iº µ È ÐÓ ÌÎ ØÓ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ I = [,+ ) ÔÓ Ù ÙÑ Ñ Ò ÑÓ Ñ Iº µ È ÐÓ ÌÎ ØÓ ÙÒÓ Ñ I = [,3] ÔÓ Ù ÙÑ Ñ Ò ÑÓ Ñ Iº µ È ÐÓ ÌÎ ØÓ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ I = [,4] ÆÇ ÔÓ Ù Ñ Ü ÑÓ Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓº µ È ÐÓ ÌÎ ØÓ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÁÄÁÅÁÌ Ç I ÆÇ ÔÓ Ù Ñ Ü ÑÓ Ñ Iº Ü Ö Ó º ËÙÔÓÒ ÕÙ f Ö Ú Ú Ð Ñ R ÕÙ f ÒÙÐ ÓÑ ÒØ Ñ 3 7º µ Ú Ö ÕÙ Ü Ø a [,] Ø Ð ÕÙ f(a) f() Ô Ö ØÓ Ó [,] ÈÓÖÕÙ µ ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÓ ÔÓ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö aº µ Ú Ö ÕÙ Ü Ø c R Ø Ð ÕÙ f(c) f() Ô Ö ØÓ Ó R ÈÓÖÕÙ Ü Ö Ó ½¼º Ë Ò Ó f ÓÒØ ÒÙ Ñ R ÕÙ f () > Ô Ö < f () < Ô Ö > Ø ÖÑ Ò ÓÖ ÔÓ Ú Ðµ a,b,c,d R Ø ÕÙ µ f() = f(a) µ µ min [ 5, ] ma [,3] min [,] µ ma [,5] f() = f(b) f() = f(c) f() = f(d) Ü Ö Ó ½½º ÓÒ Ö f() = º Ø ÖÑ Ò Ó Ü Ø Ñ Ô Ö ÒØ ÖÚ ÐÓ I ÜÓ maf() min f() Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü Ñ Ò ÓÒ Ó Ø Ò Ó Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓº I I µ I = [,3] µ I = (,] µ I = [, 4] µ I = [,+ ) µ I = (,)º

139 º º Ê ÁÇË ÈÄÁ Ç ÊÁÎ ½¾ Ü Ö Ó ½¾º Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº Ë ÓÖ Ð Ó ÙÑ ÓÒØÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÙ ÓÖÖ º ËÙÔÓÒ ÕÙ ØÓ ÙÒ ÔÓ Ù Ñ Ö Ú Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ º µ Ë = 4 Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð h ÒØÓ h (4) = º µ Ë = Ó Ñ Ü ÑÓ f ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,4] ÒØÓ f () = º µ Ë = Ó Ñ Ò ÑÓ f ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,4] ÒØÓ f () = º µ Ë g (3) = ÒØÓ = 3 Ó Ñ Ò ÑÓ ÓÙ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð gº Ü Ö Ó ½ º Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº Ë ÓÖ Ð Ó ÙÑ ÓÒØÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÙ ÓÖÖ º Ë Ò Ó ÕÙ f f Ö Ú Ú Ð Ñ I a,b,c I µ f (b) = f (b) = ÒØÓ b ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ðº µ f (c) = f (c) = ÒØÓ c ÆÇ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ò Ñ Ñ Ò ÑÓ f Ñ Iº µ a Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð f ÒØÓ a Ñ Ü ÑÓ f Ñ Iº Ü Ö Ó ½ º ÓÒ Ö ÙÒÓ f Ó Ò ÙÖ ÜÓº µ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð fº Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ f Ñ µ [,4] µ [ 3,] µ [,4]º Ø ÖÑ Ò Ó Ò Ð f Ñ µ =.8 µ = µ = 4º µ ÒØÖ Ó ÒØ ÖÓ 3,,...,4 Ø ÖÑ Ò Ó ÕÙ ØÓ ÔÖ Ü ÑÓ ÔÓÒØÓ Ò ÜÓ ØÖÓ ÓÒ Ú µ fº ÓÒ Ö g () = f()º Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ µ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð g µ Ò ÜÓ gº f() Ü Ö Ó ½ º ÓÒ Ö f() = 4 3 º Ø ÖÑ Ò ÌÇ ÇË Ó ÔÓÒØÓ µ Ñ Ü ÑÓ»Ñ Ò ÑÓ ÐÓ fº µ Ñ Ü ÑÓ»Ñ Ò ÑÓ f ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,]º µ Ñ Ü ÑÓ»Ñ Ò ÑÓ f ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,]º µ Ñ Ü ÑÓ»Ñ Ò ÑÓ f Ñ Rº µ Ñ Ü ÑÓ»Ñ Ò ÑÓ f Ñ (, ]º

140 ½¾ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ÈÖÓ Ð Ñ ½º ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ sen(8) µ lim µ lim +3) / e +(e µ lim e e sen(5) a b µ lim ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ø Ñ ØÖ Ú ÙÑ ÔÖÓÜ Ñ Ó Ð Ò Ö ÐÓ Ð µ 65 µ log(e.) µ arctan(.)º ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ Ö ÙÒÓ f() = a 3 +b +c+d ÓÒ a > º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ f Ñ Ø Ò Ò ÙÑ ÓÙ Ó ÜØÖ ÑÓ ÐÓ º ËÓ ÕÙ ÓÒ ÙÑ Ó ÓÓÖÖ µ ÆÓ Ó Ñ ÕÙ f ÒÓ Ñ Ø ÜØÖ ÑÓ ÐÓ ÕÙ ÒØ Ö Þ Ö f ÔÓ Ø Ö µ ÆÓ Ó Ñ ÕÙ f Ñ Ø Ó ÜØÖ ÑÓ ÐÓ ÕÙ ÒØ Ö Þ Ö f ÔÓ Ø Ö µ Ó ÒÓ Ø Ò ÒØ Ö ÓÖ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Þ Ö fº ÈÖÓ Ð Ñ º Ö Ó ØÖ Ú µ Ó Ó Ö Ó f ÙÑ ÙÒÓ g Ø Ð ÕÙ µ f() = µ g () = 3 4º ÈÖÓ Ð Ñ º Ó Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ = f() Ø Ð ÕÙ f() = f Ó Ô ÐÓ Ö Ó ÜÓº - - f ÈÖÓ Ð Ñ º Ó Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ f ÒÓ Ñ ÓÖ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÔÓ Ú ÕÙ Ú Ö ÕÙ ØÓ ÓÒ Ò ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ º µ lim lim f() = lim f() = lim + +f() = f() = f() = f () > Ô Ö < f () < Ô Ö < < f ( ) = f () < Ô Ö > º µ f() = f( ) = f () = º lim + f() = lim f() = º lim +f() = + lim f() = º f () > < f () < > º f () < < f () > > º ÈÖÓ Ð Ñ º

141 º º Ê ÁÇË ÈÄÁ Ç ÊÁÎ ½¾ È Ö ÕÙ Ø ÓÓ Ö Ó ÒØ Ó ÓÓ Ú Ö Ö Ø ÖÑ Ò Ó µ ÌÇ ÇË Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÓÑ Ó ÜÓ µ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ò Ò ØÓ ÌÇ Ë ÒØÓØ µ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ñ ÒØÓ Ö Ñ ÒØÓ µ ÌÇ ÇË Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ µ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÑ ÓÒ Ú Ô Ö Ñ Ô Ö ÜÓ Ó Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒ ÜÓ µ f() = ( )(+) º 4 ( ) f () = ( ) (+) f () = 4 ( +) ( ) 3 (+) 3 º µ g() = + º g () = 4 ( ) g () = 4 +3 ( ) º 3 µ h() = ( ) º h () = + ( ) 3 h () = (+) ( ) 4 º ÈÖÓ Ð Ñ º Ó Ó Ö Ó ÙÒÓ µ f() = e º f () = µ f() = log( )+º e.79º ( ) e f () = ( +) e 3 º f () = f () = + ( ) µ f() = e ( )( ) +. f () = (3 )e ( )( ) f () = (4 +7)e ( )( ) 3/ /.79 3/+ /.º µ f() = 3 e º f () = ( 3 +3 ) e f () = ( ) e º ÈÖÓ Ð Ñ º È Ö ÙÒÓ f ÒØ ÖÚ ÐÓ I ÜÓ Ø ÖÑ Ò maf() min f() I I ÓÖ ÔÓ Ú Ð Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü Ñ Ò ÓÒ Ó Ñ Ü ÑÓ»Ñ Ò ÑÓ Ø Ò Ó º µ f() = sen() + cos(), I = (,π/)º f () = sen3 cos 3 cos sen µ f() = + I = (, + ) I = (,3] I = [3,4]º f () = 4 º µ f() = I = [,] [,]º f () = ( +)º µ f() = + f () = Ñ I = (,] I = [,]º (+) º ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º Ø ÖÑ Ò ØÓ Ó K R Ø ÕÙ ÕÙ Ó ÙÑ ÓÐÙÓº 4 +3 = K Ø Ò Ô ÐÓ Ñ ÒÓ

142 ½¾ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ÈÖÓ Ð Ñ ½½º ÒÓÒØÖ Ó Ò Ñ ÖÓ Ù Ö Ò ½¼¼ Ù Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÙÑ Ñ Ò ÑÓº ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º ÍÑ Ô Ñ Ø Ð Ð Ö ÙÖ L Ú Ø Ö Ù Ò Ù Ð Ð Ö ÙÖ Ó Ö Ó ÐÓÒ Ó Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ñ Ò Ö ÓÖÑ Ö ÙÑ Ð Ö Ø Ò ÙÐ Öº ÓÑÓ Ú Ñ Ö Ø Ó Ö Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ð ÓÑÔÓÖØ Ó Ñ ÓÖ ÚÓÐÙÑ ÔÓ Ú Ð L ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ô ¹ ¼Ñ Ó Ö Ñ Ô Ö Ö Ö ÙÑ ÒØ ÖÓ Ñ ÙÑ Ö Ñ Ù ÓÖÑ ÙÑ ØÓÖ ÖÙÐ Ö Ø Ô ÞÞ µº ÉÙ Ð Ú Ö Ó Ö Ó Ó ÖÙÐÓ Ô Ö ÕÙ Ó ÒØ ÖÓ Ø Ò Ñ ÓÖ Ö ÔÓ Ú Ð Ç Ö ÙÑ ØÓÖ ÖÙÐ Ö θr / ÓÒ r Ó Ö Ó Ó ÖÙÐÓ θ Ó Ò ÙÐÓ Ó ØÓÖ ÖÙÐ Öº r θ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ø Ð Ó Ò Ñ Ê ÄÈÄ Ø ÙÑ ØÒ K Ó Ó ÔÓ Ù ÐØÙÖ Lº ÍÑ Ô Ø ÓÖ Ú ÒØ Ö Ò Ø Ð ÕÙ ÔÐ Ò ÒÓ ÔÓ Ù ÒÐ Ò Óµ ÑÓ Ó ÕÙ ÒØ Ó Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÒØÓ ØÒ ÒØÖ Ù ÓÐ Ó Ó ÓÐÓ hº ÕÙ ØÒ d Ø Ð Ð Ú Ö ÒØ Ó Ô Ö ÕÙ Ô Ö Ñ ÓÖ Ñ Ñ ÔÓ Ú Ð Ø Ð ÆÓØ ÕÙ Ñ Ñ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ó Ò ÙÐÓ Ù ÒØ Ò Ó ÔÓÖ Ù ÓÐ Ó Ó ÜØÖ ÑÓ Ø Ð º ÙÑ ÑÓ ÕÙ ÐØÙÖ K > h Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ó Ñ Ð ÓÖ Ö d = º

143 º º Ê ÁÇË ÈÄÁ Ç ÊÁÎ ½¾ L K B ϕ θ h d ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ô Ò ÙÑ ÖØ Þ Ú Ö Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ø Ö ÙÑ Ö Ñ ÓÑ Ñ Ö Ò Ð Ø Ö Ù M Ñ Ñ Ö Ò ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖ N Ѻ Ø ÖÑ Ò Ñ Ò Ó ÖØ Þ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÖÓ Ñ ÓÖ Ö ÑÔÖ º M M N N ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÍÑ Ø ÒÕÙ Ð Ò Ö Ó Ø Ñ ÓÖÑ ÙÑ Ð Ò ÖÓ ÓÑ Ù Ñ Ö Ñ ÜØÖ Ñ º Ø ÖÑ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò ÖÓ ÕÙ µ Ñ Ü Ñ Þ Ö Ó Ù ÚÓÐÙÑ Ò Ó ÕÙ Ù Ö ÙÔ Ö A µ Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ù Ù ØÓ Ö Ó Ò Ó ÕÙ Ù ÚÓÐÙÑ V º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º µ Ë Ñ f() = + 6 P = (,)º Ø ÖÑ Ò Ñ ÓÖ Ñ ÒÓÖ ØÒ P Ó ÔÓÒØÓ Ó Ö Ó fº µ ÉÙ Ð Ñ ÒÓÖ ØÒ Ú ÖØ Ð ÒØÖ ÙÖÚ = = ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ø ÖÑ Ò Ñ Ò Ó Ö ØÒ ÙÐÓ Ò Ö ØÓ ÒÙÑ ÖÙÐÓ Ö ÓRÕÙ ÔÓ Ù Ó Ñ ÒÓÖ Ó Ñ ÓÖ Ô Ö Ñ ØÖÓ

144 ½¾ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÒÓÒØÖ Ñ Ò Ó Ö ØÒ ÙÐÓ Ñ ÓÖ Ö ÕÙ Ø Ñ Ù Ó Ö Ó ÜÓ Ù Ó ÓÙØÖÓ Ú ÖØ Ñ Ó ÜÓ Ó Ö Ô Ö ÓÐ = 7 º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¼º Å Ü Ñ Þ Ó ÚÓÐÙÑ Ó µ ÓÒ Ö ØÓ Ò Ö ØÓ ÒÙÑ Ö Ö Ó R µ Ð Ò ÖÓ ÖÙÐ Ö Ö ØÓ Ò Ö ØÓ ÒÙÑ ÓÒ ÖÙÐ Ö Ö ØÓ Ö Ó R ÐØÙÖ Hº º º ÜØÖ ÜØÖ ½º ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓº log(4 3) µ lim µ lim + log µ lim 4 5 µ lim + / ÜØÖ ¾º Ø Ñ ØÖ Ú ÙÑ ÔÖÓÜ Ñ Ó Ð Ò Ö ÐÓ Ð µ tan(.5)º µ 3 8º ÜØÖ º Ó Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ f ÙÑ ÙÒÓ g Ø Ð ÕÙ µ g () = 5+6 ÓÑÓ Ö Ú µ f() = ( ) (+) º ÜØÖ º Ó Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ = f() Ø Ð ÕÙ f() = ÕÙ Ø Ò ÓÑÓ Ö Ú Ó Ù ÒØ Ö Ó 3 4

145 º º Ê ÁÇË ÈÄÁ Ç ÊÁÎ ½¾ ÜØÖ º Ó Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ f ÕÙ Ú Ö ÕÙ ØÓ ÓÒ Ò ¹ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ º µ f() = 3, f() =, f () = f () = f () > > f () < < f () < < f () > > µ f() = 4 f(4) = º f () = f () > < f () < > f (4) = f () < < 4 f () > > 4 lim f() = ; lim + f() = 3º ÜØÖ º È Ö ÕÙ Ø ÓÓ Ö Ó ÒØ Ó ÓÓ Ú Ö Ö Ø ÖÑ Ò Ó µ ÌÇ ÇË Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÓÑ Ó ÜÓ µ Ó Ð Ñ Ø ÒÓ Ò Ò ØÓ ÌÇ Ë ÒØÓØ µ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ñ ÒØÓ Ö Ñ ÒØÓ µ ÌÇ ÇË Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ µ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÑ ÓÒ Ú Ô Ö Ñ Ô Ö ÜÓ ÙÒÓ Ö ÓÒ Ðµ Ó Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒ ÜÓ ÈË Á ÒÓÖ ÓÒ Ú ÒÓ ÐÙÐ f º µ f() = (+)(+) (+3)( ) º µ g() = f () = ++3 ( ) (+3) º ( 3)( ) +3º g () = 3 ( 3) ( ) º ÜØÖ º ÙÒÓ Ö ÓÒ Ðµ Ó Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒ ÜÓ µ f() = +3 º f () = 6 ( +3) f () = 8 ( +3) 3 º µ g() = 4 +º g 8 () = ( ) (+) g () = (4 ) 3 º ÜØÖ º ÙÒÓ ÒÓ¹Ö ÓÒ Ðµ Ó Ó Ö Ó ÙÒÓ µ f() = log f () = log+ f () = º µ f() = e f () = ( )e /.77 3/).º f () = ( 3)e µ f() = e f () = (+)e f () = ( +4+)e )º

146 ½ ¼ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ÜØÖ º È Ö ÙÒÓ f ÒØ ÖÚ ÐÓ I ÜÓ Ø ÖÑ Ò ma I ÓÖ ÔÓ Ú Ð Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü Ñ Ò ÓÒ Ó Ñ Ü ÑÓ»Ñ Ò ÑÓ Ø Ò Ó º µ f() = 8 4 Ñ I = R I = [,]º f () = 4(4 )º µ f() = + f () = ( +) º µ f() = sen(cos) Ñ [,π]º Ñ I = [,] I = [,+ )º f() minf() I ÜØÖ ½¼º ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ ÑÓ ÐÓ ÑÔÐ µ ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÑ Ò Ð Ø Ò ÓÖÑ ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓ ÓÑ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ ÒÓ ØÓÔÓº ÙÑ Ò Ó ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ ½¾Ñ Ø ÖÑ Ò Ñ Ò Ò Ð Ô Ö ÕÙ Ô Ò ØÖ Ó Ñ Ü ÑÓ ÐÙÞ ÔÓ Ú Ðº Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ L 3/4º ÜØÖ ½½º ÅÓ Ð Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ö ÓÐÚ ¹Ó º µ Ø ÖÑ Ò Ñ Ò Ó Ö ØÒ ÙÐÓ ÓÑ Ô Ö Ñ ØÖÓ P > ÕÙ ÔÓ Ù Ñ ÓÖ Ö º µ ÍÑ ÑÔÓ Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ø Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ ÙÑ Ö Ñ ØÖ Ù Ð Ó ÔÓÖ ÙÑ ÖÖ Ó Ö ØÓ ÒÓ ÕÙ ÖØÓ Ð Óº Ñ Ò Ó ÑÔÓ ÓÑ Ö Ñ Ü Ñ ÕÙ ÔÓ Ö Ö Ó ÓÑ ÙÑ Ö ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ØÓØ Ð P º µ ÍÑ Ø ÖÖ ÒÓ Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ú Ö Ö Ó ÓÑ Ó Ø ÔÓ Ö º Ó Ð Ó ÓÔÓ ØÓ Ú Ñ Ö Ö ÙÑ Ö Ö ÓÖ ÕÙ Ù Ø Ê ¼¼ ÔÓÖ Ñ ØÖÓ ÒÕÙ ÒØÓ Ó ÓÙØÖÓ Ó Ð Ó ÙÑ Ö ÕÙ Ù Ø Ê ¾ ¼¼ ÔÓÖ Ñ ØÖÓº ÉÙ Ñ Ò Ó Ø ÖÖ ÒÓ Ñ ÓÖ Ö ÕÙ ÔÓ Ö Ö Ó ÓÑ Ê º¼¼¼ ¼¼ ÜØÖ ½¾º µ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÑ ÓÑ Ù Ð S Ù ÓÑ Ó ÕÙ Ö Ó Ó Ñ ÒÓÖ ÔÓ Ú Ðº µ Ø ÖÑ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ø Ð ÕÙ Ö Ò ÒØÖ Ð Ó Ù Ù Ó Ñ ÒÓÖ Ñ ÓÖ ÔÓ Ú Ðº µ ËÙÔÓÒ ÕÙ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÔÓ Ø ÚÓ Ù Ð P > º Ø ÖÑ Ò Ó Ñ Ò ÑÓ Ñ Ü ÑÓ ÓÑ Ø Ó Ò Ñ ÖÓ º ÜØÖ ½ º ÉÙ Ö ÑÓ Þ Ö ÙÑ Ü Ñ ÓÖÑ Ô Ö Ð Ð Ô Ô Ó ÕÙ Ö ÖØ Ñ Ñ ØÓ ÙÑ Ü Ñ Ø ÑÔ ÕÙ Ö º µ Ë Ó ÚÓÐÙÑ Ø Ü V cm 3 Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÕÙ Ñ Ò Ñ Þ Ñ ÕÙ ÒØ Ñ Ø Ö Ðº µ Ë Ø ÑÓ A cm Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Þ Ö Ü Ø ÖÑ Ò Ó Ñ ÓÖ ÚÓÐÙÑ ÔÓ Ú Ð Ô Ö Ø Ü º µ Ë Ó ÚÓÐÙÑ Ø Ü V cm 3 Ó Ù ØÓ Ó Ñ Ø Ö Ð Ù Ú Þ Ñ ÖÓ ÕÙ Ó Ù ØÓ Ó Ñ Ø Ö Ð Ó Ð Ó Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÕÙ Ñ Ò Ñ Þ Ñ Ó Ù ØÓ Ö Óº ÜØÖ ½ º ÙÖ Ô ÖØ Ó Ø ÜØÓ Ö Ø Ö Ó Ï Ô µ Ñ ÔØ Ó ÔÖ Ò Ô Ó ÖÑ Ø ÓÙ ÔÖ Ò Ô Ó Ó Ñ ÒÓÖ Ø ÑÔÓ Þ ÕÙ Ó Ñ Ò Ó ÙÑ Ö Ó ÐÙÞ ÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ Ú

147 º º Ê ÁÇË ÈÄÁ Ç ÊÁÎ ½ ½ Ö Ó ÕÙ ÔÓ Ö ØÓ ÒÓ Ñ ÒÓÖ Ø ÑÔÓ ÔÓ Ú Ðº Ø ÔÖ Ò Ô Ó ÔÓ Ö ÙÞ Ó Ð Ö ÜÓ Ð Ö Ö Ó ËÒ Ðк Î ÑÓ ÙÞ Ö Ñ Ó Ò Ø Ü Ö Óº µ ÓÒ Ö ÙÑ Ö Ó ÐÙÞ ÕÙ Ô ÖØ P Ú Ø Q ÔÓ Ö Ø Ö ÒÓ Ô Ð Ó Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Oº Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ó ÒØÖ Ó Ò ÙÐÓ Ò Ò θ i Ó Ò ÙÐÓ Ö ÜÓ θ r Ô Ö ÕÙ Ó Ø ÑÔÓ Ô ÖÓÖÖ Ó Ô ÐÓ Ö Ó Ó Ñ ÒÓÖ ÔÓ Ú Ðº µ ÓÒ Ö ÙÑ Ö Ó ÐÙÞ ÕÙ Ô ÖØ P Ú Ø Q Ô Ò Ó ÙÑ Ñ Ó ÓÒ ÐÙÞ ÔÓ Ù Ú ÐÓ v Ô Ö ÙÑ Ñ Ó ÓÒ Ú ÐÓ v º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ó ÒØÖ Ó Ò ÙÐÓ θ θ Ú ÐÓ Ä ËÒ Ðе Ô Ö ÕÙ Ó Ø ÑÔÓ Ô ÖÓÖÖ Ó Ô ÐÓ Ö Ó Ó Ñ ÒÓÖ ÔÓ Ú Ðº ÜØÖ ½ º Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÙÖÚ Ò Ñ ÔÖ Ü ÑÓ Ó ÔÓÒØÓ Ò Óº µ ÙÖÚ = ÔÓÒØÓ (,) µ ÙÖÚ = 3 ÔÓÒØÓ (4,) µ Ð Ô 4 + = 8 ÔÓÒØÓ (,) µ ÙÖÚ = ÔÓÒØÓ (,)º ÜØÖ ½ º Ø ÖÑ Ò Ñ Ò Ó Ö ØÒ ÙÐÓ Ò Ö ØÓ Ñ ÙÑ Ñ ÖÙÐÓ Ö Ó R ÕÙ ÔÓ Ù Ñ ÓÖ Ö º ÜØÖ ½ º ÍÑ Ð Ò ÖÓ Ö Ó Ó Ö Ö ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ P Ñ ØÓÖÒÓ ÙÑ Ù Ð Ó º ÉÙ Ð Ú Ö Ö ÞÓ ÒØÖ Ó Ð Ó Ó Ö ØÒ ÙÐÓ Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ó Ð Ò ÖÓ Ø Ò Ó Ñ ÓÖ ÚÓÐÙÑ ÔÓ Ú Ð ÜØÖ ½ º Å Ü Ñ Þ Ó ÚÓÐÙÑ Ó µ Ð Ò ÖÓ ÖÙÐ Ö Ö ØÓ Ò Ö ØÓ ÒÙÑ Ö Ö Ó R µ ÓÒ Ö ØÓ Ò Ö ØÓ Ô Ö ÜÓ ÓÑ Ú ÖØ ÒÓ ÒØÖÓ ÙÑ ÓÒ ÖÙÐ Ö Ö ØÓ Ö Ó R ÐØÙÖ Hº

148 ½ ¾ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ÜØÖ ½ º ÍÑ Ö ÐØÙÖ À Ñ ÚÓÐØ ÙÑ ÔÖ Ó Ñ ÐØÓº Ë Ö Ø ÙÑ ØÒ Ä Ó ÔÖ Ó ÕÙ Ð Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ú Ó Ó ÔÓÖ Ñ Ö Ø Ô Ö Ó ÔÖ Ó L H º º Ó Ó ½º ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò µ Î ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ (+ ) + ÔÓ Ñ Ö Õ٠й ÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓº ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÜÓ Ù Ä³ÀÓ Ô Ø Ðµ ÙÑ Ò Ó ÕÙ k > µ lim = +(logk)/(+log) µ lim + (logk)/(+log) = (+ ) µ lim(+) (logk/) = + º Ó ¾º ËÙ ÔÓ Ù ÙÑ ÓÖÖ ÓÖ ÐÓÒ Ó Ð Ö ÙÖ a ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÒÙÑ ÓÖÖ ÓÖ Ô Ö¹ Ô Ò ÙÐ Ö Ø Ð Ö ÙÖ bº ÎÓ ÑÓÚ Ö ÙÑ Ó Ð Ö ÙÖ c Ñ ÒÓÖ ÕÙ a b µº ÔÖ Þ Ò Ó ÐØÙÖ ÓÒ Ö Ó Ó ÓÑÓ ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓµ ÕÙ Ð Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ó Ó ÕÙ ÔÓ Þ Ö ÙÖÚ ËÓÑ ÒØ ÑÓÒØ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒØ Ó ÓÑÔÐ ÔÓ Ñ Ö Ö ÓÐÚ Ó ÓÑ ÒØ ÒÙÑ Ö Ñ ÒØ µº Ó º ÈÖÓÚ ÕÙ Ñ ÒÓÖ ØÒ ÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ (a,b) Ø Ó Ö Ó = f() Ñ Ó Ò Ö Ø ÒÓÖÑ Ð Ó Ö Ó fº Ó º ÈÖÓÚ ÕÙ ØÒ ÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ (, ) Ö Ø a+b +c = Ù Ð a +b +c a +b º Ó º ÈÓ ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö loga ÓÒ a > µ Ô Ð ÓÑ Ö Ó ØÖ Ô Þ Ó ÓÒ¹ ÓÖÑ ÙÖ ÜÓº Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ò Ö ÕÙ Ó ÖÖÓ ÔÖÓÜ Ñ Ó Ñ Ò ÑÓº =/ a

149 º º Ê ÁÇË ÈÄÁ Ç ÊÁÎ ½ Ó º Å Ü Ñ Þ Ö Ð Ø Ö Ð Ó µ ÓÒ Ö ØÓ Ò Ö ØÓ ÒÙÑ Ö Ö Ó R µ Ð Ò ÖÓ ÖÙÐ Ö Ö ØÓ Ò Ö ØÓ ÒÙÑ ÓÒ ÖÙÐ Ö Ö ØÓ Ö Ó R ÐØÙÖ Hº Ó º ¹ ØÖ Ú Ö ÙÑ Ð Ó ÖÙÐ Ö Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ØÖ ÐÑ ÒØ ÓÔÓ ØÓº ÈÓ ¹ Ò Ö ÓÖÖ Öº Ú ÐÓ ÓÖÖ Ò Ó Ó Ó ÖÓ Ú ÐÓ Ò Ò Óº ÉÙ Ð Ú Ö Ó Ô ÖÙÖ Ó Ô Ö Ö Ñ Ö Ô Ñ ÒØ Ó Ð Ó ÓÔÓ ØÓ Ó º ÙÖÚ ØÙÖ µ Ó ÙÑ ÙÖÚ = f() ÕÙ Ö ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ö Ó Ó ÖÙÐÓ ÕÙ Ó ÙÐ Ø ÙÖÚ ÒÓ ÔÓÒØÓ = cº Å ÔÖ Ñ ÒØ ÕÙ Ö ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ö Ó Ó ÖÙÐÓ ÕÙ Ô ÔÓÖ (c,f(c)) ÓÑ Ñ Ñ Ø Ò ÒØ Ñ Ñ Ö Ú ÙÒ ÕÙ fº ÅÓ ØÖ ÕÙ η = f(c),η = f (c) η = f (c) ÒØÓ Ó Ö Ó Ó ÖÙÐÓ Ù Ð (+η )3/ η º Ç ÒÚ Ö Ó Ó Ö Ó Ñ Ó ÙÖÚ ØÙÖ ÙÖÚ ÒÓ ÔÓÒØÓ = cº º º ÈÖÓ Ð Ñ Ì Ü Ê Ð ÓÒ µ ÈÖÓ Ð Ñ ½º ÍÑ ÐÓ Ö Ó Ú Þ Ó Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ù Ö Ó Ö ÙÑ Ø Ü ÓÒ Ø ÒØ ½ Ñ»Ñ Òº ÓÑ ÕÙ Ø Ü Ó Ö Ø Ö Ò Ó Ó ÐÓ ÕÙ Ò Ó Ó Ö Ó ÓÖ Ù Ð Ñ ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÍÑ ÐÓ Ð Ú ¹ Ú ÖØ ÐÑ ÒØ Ó ÓÐÓ Ö ÞÓ Ñ» º ÉÙ Ò Ó Ó ÐÓ Ø Ñ Ó ÓÐÓ Ô Ü Ø Ñ ÒØ Ó Ö Ð ÙÑ ÖÖÓ Ú Ò Ó Ú ÐÓ ¾¼Ñ» º ÉÙ ØÖÓ ÙÒ Ó Ô Ø Ò Ø ÒØ ÓÑ ÕÙ Ú ÐÓ Ú Ö ØÒ ÒØÖ Ð ÈÖÓ Ð Ñ º ÍÑ ÓÒØ ÐÙÑ ÒÓ ÔÖÓÜ Ñ ¹ Ô ÖÔ Ò ÙÐ ÖÑ ÒØ ÙÑ Ô Ö ÓÑ Ú ÐÓ¹ ÓÒ Ø ÒØ a Ñ ØÖÓ» ÙÒ Ó ÔÖÓ Ø Ò Ó ÙÑ Ñ Ñ ÖÙÐ Ö Ó Ö Ø º Ë ¹ ÕÙ ÖØÙÖ Ó Ó ÐÙÞ Ó Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ó Ö Ó Ð Ñ Ø µ 9 o º ÐÙÐ Ú ÐÓ ÓÑ ÕÙ Ö ÐÙÑ Ò Ó Ö Ô Ö Ø Ñ ÒÙ Ò Ó ÕÙ Ò Ó ØÒ ÓÒØ Ø Ô Ö k Ñ ØÖÓ º ÈÖÓ Ð Ñ º ÍÑ Ø ÒÕÙ Ò Ó ÓÑ Ù Ú ÖØ Ô Ö ÜÓ Ø Ñ Ö Ó R Ñ ØÖÓ ÒÓ ØÓÔÓ ÐØÙÖ H Ñ ØÖÓ º Ë Ù Ù Ö Ô Ö ÒØÖÓ Ó Ø ÒÕÙ ÓÑ Ø Ü ÓÒ Ø ÒØ V m 3 /s ÓÑ ÕÙ Ú ÐÓ Ñ m/s ÔÖÓ ÙÒ Ù Ú Ö Ö ÕÙ Ò Ó Ó Ø ÒÕÙ Ø Ú Ö ÓÑ L Ñ ØÖÓ ÔÖÓ ÙÒ

150 ½ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÊÁÎ ÈÖÓ Ð Ñ º ÍÑ Ø Ñ Ò Ó L Ø ÔÓ ÒÙÑ Ô Ö º Ë ÓÖ ÔÙÜ Ó ÐÓÒ Ó Ó Ó Ø Ò Ó¹ Ô Ö ÓÑ Ú ÐÓ V ÓÑ ÕÙ Ú ÐÓ Ó ØÓÔÓ Ø Ö ÑÓÚ Ò Ó Ô Ö ÜÓ ÕÙ Ò Ó Ð Ø ÙÑ ÐØÙÖ H Ó ÓÐÓ ÈÖÓ Ð Ñ º ÅÓ ØÖ ÕÙ µ Ó Ö Ó ÙÑ ÖÙÐÓ Ö ÙÑ Ø Ü ÓÒ Ø ÒØ ÒØÓ Ù Ö Ö ÙÑ Ø Ü ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ó Ö Óº µ Ö Ø ÙÑ Ù Ó Ö ÙÑ Ø Ü ÓÒ Ø ÒØ ÒØÓ Ù ÚÓÐÙÑ Ö ÙÑ Ø Ü ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ö ÙÔ Ö º µ Ó ÚÓÐÙÑ ÙÑ Ö Ø Ö Ò Ó ÙÑ Ø Ü ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ö Ù ÙÔ Ö ÒØÓ Ù Ö Ó Ö ÙÑ Ø Ü ÓÒ Ø ÒØ º º º ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ú Ó ÁÑÔÐ Ø µ ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ë = f() Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ ÜÓº ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ò Ó µ 3 + = 3 Ñ (,5) µ = + Ñ (,)º Ø ÖÑ Ò ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÓÒ Ö ÙÖÚ = 3º Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ú ÖØ Ð ÓÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ÈÖÓ Ð Ñ º Ë = f() Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ + = ÔÖ Ü ÑÓ Ó ÔÓÒØÓ (, )º µ ÐÙÐ f ()º µ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó f() ÒÓ ÔÓÒØÓ (,)º µ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó g() = f()/ ÒÓ ÔÓÒØÓ (,)º ÈÖÓ Ð Ñ º È Ö ÙÑ ÙÒ = f() Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ô ÖØÓ (,) = (a,b) Ø ÖÑ Ò ÙÒÓ Ö ÒØ ÓÙ Ö ÒØ Ô ÖØÓ = a f (a) f (a)º µ = 3 Ñ (a,b) = (,)º µ cos() = Ñ (a,b) = (,π/) ÈÖÓ Ð Ñ º ÒÓÒØÖ Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ = f() Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ = 53º ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò a,b R Ø ÕÙ (,) Ô ÖØ Ò ÙÖÚ Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ +a = b ÕÙ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ò ÔÓÒØÓ 4+3 = 7º

151 Capítulo 5 Integral Ç Ø ÚÓ Ò Ö ÒØ Ö Ð ÓÑÓ Ö ÓÑ Ò Ð ÔÖ ÒØ Ö ÔÖÓÔÖ ÕÙ ÓÖÖ Ñ Ø Ò Ó Ú Ö ÕÙ Ð ÒØ Ö Ö Ô Ð Ò Ó Ö ÓÑ Ò Ðµ ÔÖ ÒØ Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÐÙÐÓº ÔÖ ÒØ Ö Ø Ò ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ñ Ó ÐÙÐÓ ÒØ Ö Ðº ¾ ÔÖ Ò Ô Ø Ò Ù ¹ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ Ô ÖØ µ Ó ÓÒ ÕÙ Ò Ö Ö Ö Ú Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÓÑÔÓ Ø µº Ç ÓÒ ØÓ ÒØ Ö Ð Ø Ñ Ù ÓÖ Ò ÒÓ Å ØÓ Ó Ü Ù ØÓ Ú Ó ÔÖÓÚ Ú ÐÑ ÒØ Ù ÓÜÓ ÕÙ Ø Ú ÖÕÙ Ñ ½ ÓÑÓ ÙÑ Ó Ù Ö Ò ÒÚÓÐÚ ÓÖ º ÑÓØ Ú Ó Ø Ñ ØÓ Ó Ó Ó ÐÙÐÓ Ö ÚÓÐÙÑ ÙÖ ÓÑ ÖÓÒØ Ö ÙÖÚ º ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÕÙ ÒØ Ö Ð Ê Ñ ÒÒ ¾ Ù Ò Ó Ò Ó Ú Ö ÓÙÜ º º½ Ò Ó ÁÒØ Ö Ð ÈÖÓÔÖ Î ÑÓ ÓÑ Ö ÓÑ Ò Ó Ò ÓÖÑ Ð ÓÒ Ø٠еº È ÖØ Ò Ó ÒÓÓ ÔÖ Ñ Ø Ú ÒØÙ Ø Ú µ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÑÓ ÒØ Ö Ð ÓÑÓ Ö ÓÑ Ò Ðº Å ÒØ Ú ÑÓ Ò Ö ÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ö ÓÖÓ Ò Ö Ö ÙØ Ð Þ Ò Ó ÒØ Ö Ðº Ò Ó ¾½ Ò ÓÖÑ Ð ÒØ Ö Ðµ ÙÑ ÙÒÓ f : [a,b] R Ò ÑÓ Ù ÒØ Ö Ð b a f()d ÓÑÓ Ö ÓÑ Ò Ð ÒØÖ Ó Ö Ó f Ó ÜÓ º ýö Ñ Ó ÜÓ ÓÒ Ö ÔÓ Ø Ú ÜÓ Ò Ø Ú º Ç ÖÚ Ó Ì ÑÓ ÕÙ Ö Ú Ö Ó Ñ ÓÐÓ d ÕÙ Ò ÕÙ Ð Ú Ö Ú Ð ÙÒÓ Ò Ó ÒØ Ö º Æ Ø ÓÒØ ÜØÓ ÒÓ Ø Ñ ÒØ Ó Ö Ú Ö f() ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓº Þ ÑÓ ÕÙ Ó Ö Ò Ñ ÓÐÓ ÒØ Ö Ðµ ÑÔÖ Ô Ö ÓÑ Ó d ÓÙ dt غµº Î Ö ÑÓ ÕÙ Ø d Ø Ñ Ö Ð Ó ÓÑ ÒÓØ Ó Ä Ò Þ Ö Ú Ôº º ¼ ¾ º Ùк¾¼½¼ ½ ÖÕÙ Ñ ¾ º º Ë Ö Ù ÁØ Ð ¹ ¾½¾ º º Ë Ö Ù ÁØ Ð º ¾ ÓÖ Ö Ö ÖÒ Ö Ê Ñ ÒÒ ½»¼»½ ¾ Ö Ð ÒÞ Ð Ñ Ò ¹ ¾¼»¼»½ Ë Ð ÁØ Ð º Â Ò ØÓÒ Ö ÓÙÜ ½»¼»½ ¾ Æ Ñ Ö Ò ¹ ¾»¼¾»½ ½ È Ö Ö Ò º ½

152 ½ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä ÓÑ Ø Ò Ó ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð ÙÑ ÒØ Ö º Ü ÑÔÐÓ ½¾½ ÐÙÐ Ù ÒØ ÒØ Ö µ 8 7d µ 3 d µ 3 5 (+)d µ 5 dº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¾½ Ó Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ö ÓÑ Ò Ðº µ ÐÙÐ Ò Ó Ö Ó Ö ØÒ ÙÐÓ Ð Ó 7 8 = 6 Ó Ø ÑÓ ÕÙ µ ÐÙÐ Ò Ó Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÑ 3 ÐØÙÖ 3 Ó Ø ÑÓ ÕÙ 8 3 7d = 4º d = 9/º µ ÐÙÐ Ò Ó Ö Ó ØÖ Ô Þ Ó 3 ( 5) = ÐØÙÖ = 4µ 3 + = µ Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ù Ö (4 + )/ = 6º ÓÑÓ Ø ÜÓ Ó ÜÓ Ò Ø Ú º Ñ 3 5 (+)d = 6º µ ËÓÑ Ò Ó Ö ÓÑ Ò Ð Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ø ÑÓ Ü ÑÔÐÓ ½¾¾ ÐÙÐ Ù ÒØ ÒØ Ö µ 3 d µ π π sen() dº 4 d = 8+ = 6. ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¾¾ Ó Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ö ÓÑ Ò Ðº È Ð Ñ ØÖ Ñ ÑÓ ÒÓ Ò Ó ÐÙÐ Ö Ö Ô Ö > < Ð Ó Ù ÓÑ Ò ÓÔÓ ØÓ º ÄÓ Ó Ñ ÒØ Ö Ú Ð Ñ Þ ÖÓº Ü ÑÔÐÓ ½¾ ÐÙÐ Ù ÒØ ÒØ Ö 6 r µ 4 d µ r d µ dº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¾ Ó Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ö ÓÑ Ò Ðº µ ËÓÑ Ò Ó Ö ¾ ØÖ Ò ÙÐÓ ÙÑ ÓÑ 3 ÐØÙÖ 3 ÓÙØÖÓ ÓÑ ÐØÙÖ Ó Ø ÑÓ 6 4 d = 3(3)/+()/ = 3/ º µ Ç ÖÚ ÕÙ f() = r Ó Ö Ó Ô ÖØ Ñ Ó ÖÙÐÓ Ö Ó r ÒØÖ Ó Ò ÓÖ Ñº Ñ ÒØ Ö Ð Ø r ÓÖÖ ÔÓÒ /4 Ö Ó ÖÙÐÓº ÄÓ Ó r r d = 4 πr º µ Ç ÖÚ ÕÙ g() = 9 Ô ÖØ ÜÓ Ó ÖÙÐÓ Ö Ó 3 ÒØÖ Ó Ò ÓÖ Ñº Ñ 3 Ö Ó ÖÙÐÓ ÓÑ Ò Ð Ò Ø ÚÓº ÄÓ Ó 9 d = 9π º 3 Î ÑÓ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ö ÓÑ Ö ÓÖ ÒØ Ö Ðº ÓÑ ÑÓ ÓÑ Ò Ó Ô ÖØ Ó ÕÙ Ú Ö ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ Ô Ó º Ò Ó ¾¾ Ñ ÑÓ Ô ÖØ Ó [a,b] ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ P = {,..., n } ÓÑ a = n = bº Ø ÓÖÑ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] Ô ÖØ ÓÒ Ó Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ I i = [ i, i ]º n ÒÓØ ÑÓ Ó Ø Ñ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ I i ÔÓÖ i = i i º ÆÓØ ÕÙ i = b aº i=

153 º½º ÁÆÁ Ç ÁÆÌ Ê Ä ÈÊÇÈÊÁ Ë ýëá Ë ½ Ò Ó ¾ ÓÑ ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖµ Ò ÑÓ ÓÑ ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖ f ÓÑ Ö Ð Ó Ô ÖØ Ó P Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ I(f;P) = n i= min(f()) i S(f;P) = I i n i= ma I i (f()) i. Ç ÖÚ Ó Ç ÓÖÖ ØÓ Ö ÓÐÓ Ösup inf Ó ÒÚ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓº Î ÑÓ ÒÓ ÒØ ÒØÓ Ü Ö Ñ Ñ ÑÓ Ò Ø Ò Ú Ð º º º È Ö ÙÒØ Ó Ù ÔÖÓ ÓÖ ÓÙ ÓÒ ÙÐØ Ï Ô Ó Ø ÙÖ Ó Óº ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ I(f;P) S(f;P) Ô Ö ÙÑ ÙÒÓ f ÓÒØ ÒÙ ÔÓ Ø Ú Ò ÙÖ º½º Ö Ô ÒØ ÒÞ Ö ÓÙ ÒÓµ ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÑ ÙÔ Ö ÓÖ S(f;P) ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ö Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÑ Ò Ö ÓÖ I(f;P)º Î ÑÓ ÒØÓ ÕÙ S(f;P) I(f;P) Ó ÔÖÓÜ Ñ ÔÓÖ Ü Ó ÔÓÖ ÐØ Ö Ô Ø Ú ¹ Ñ ÒØ Ô Ö Ö Ö Ó Ð Ñ Ø Ô ÐÓ Ö Ó f Ó ÜÓ Ö Ø = a Ö Ø = bº Ç ÖÚ ÑÓ Ò ÕÙ Ö Ö Ø ÓÒØ Ò Ö ÒÞ Ö Ø Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ I(f;P) S(f;P)º = a i i i+ n n b= ÙÖ º½ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ S(f;P) I(f;P) Ô Ö f ÓÒØ ÒÙ ÔÓ Ø Ú º Ò Ó ¾ Ö ÓÖÓ ÒØ Ö Ðµ ÓÒ Ö f : [a,b] Rº Ë lim S(f;P) = lim I(f;P), i i ØÓ ÓÑ ÙÔ Ö ÓÖ ÓÒÚ Ö Ö Ô Ö ÓÑ Ò Ö ÓÖ ÕÙ Ò Ó Ó Ø Ñ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ô ÖØ Ó P Ú Ô Ö Þ ÖÓ Þ ÑÓ ÕÙ ÒØ Ö Ð Ê Ñ ÒÒµ Ü Ø Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ø Ú ÐÓÖ ÔÓÖ b a f()dº ÁÒ ÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ñ ÑÙ ØÓ ÙØ Ð Þ Ó Ñ Ù ÒÓ¹Ö ÓÖÓ Ø Ò Ò Ò Ò Ö ÒÓ Ð ÚÖÓ ÐÙÐÓ ÒÐÙ Ú Ò Ø µ b a f()d = lim i n f( i ) i. i=

154 ½ Ü ÑÔÐÓ ½¾ ÓÒ Ö f() = Ñ = ÓÒ Ú Ð 3º ÐÙÐ 4 { ; ; 3; = f()dº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¾ ÉÙ Ò Ó ÐÙÐ ÖÑÓ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä ÙÒÓ Ú Ð Þ ÖÓ Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ñ ÒÓ n f() i ØÓ Ó Ó Ø ÖÑÓ ÖÓ Þ ÖÓ Ñ ÒÓ Ó ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ = º Ñ Ó Ø Ö ÑÓ f() i = 3 i º ÉÙ Ò Ó i ØÓ Ú Ô Ö Þ ÖÓ ÐÓ Ó 4 f()d = º Æ Ø Ü ÑÔÐÓ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒÓ ÐØ Ö Ó Ú ÐÓÖ ÒØ Ö Ðº ÑÙ ÖÑÓ Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ì Ñ Ñ ÒÓ ÐØ Ö º ÄÓ Ó ÔÓ ÑÓ ÑÓ Ö Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ó ÙÒÓ f Ò ÙÒÓ ÓÒ Ø ÒØ g() = 3 Ô Ö ØÓ Ó Ñ ÐØ Ö Ö ÒØ Ö Ð ÕÙ Ô Ö Ó Ñ Ø Ö Ó ÑÓ Ö ÙÑ ÙÒÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò Ò ØÓ Ú Þ º ÈÖ ÑÓ Ò Ð Ê Ð Ú Ö Æ µ Ô Ö ÒØ Ò Ö Ø Ô Ö ÙÒØ Ö ÔÓ Ø º Ç ÖÚ Ó Æ ÖÑÙÐ Ö Ó ÖÙÐÓ Ø ÑÓ ÒÐÙ Ò Ó ÖÙÒ Ö Ò ÓÙ ÒÓ µ Ë ÒÓ Ø ÑÓ ÒÐÙ Ò Ó Ö Ñ Ñ Ô Ö Ø Ö ÙÑ ÖÙÐÓº ÓÖ Ú ÑÓ Ö Ø Ö Ò Ó ØÓ ÖÙÒ Ö Ò Ó ÖÙÐÓ ÙÑ Ú Þº Ó Ò Ð Ø Ö ÑÓ Ö Ø Ö Ó ØÙ Ó Ö Ö µ Ø ÑÓ ÒÐÙ Ò Ó ÕÙ Ð Ö ÖÙÒ Ö Ò Ñ Ó ÖÙÐÓ È Ò ÙÑ ÔÓÙÓ Ó Ö Óº i= Ü ÑÔÐÓ ½¾ ÐÙÐ 4 I Q ()d ÓÒ I Q ÙÒÓ Ò ÓÖ Ó Ö ÓÒ º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¾ ÕÙ Ó ÖÚ ÕÙ Ó ma(i Q ) = min(i Q ) = Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÒØ ÖÚ ÐÓº Ñ ÓÑ Ò Ö ÓÖ I(I Q ;P) = 4 = S(I Q ;P) = 4 = 4 Ò Ô Ò ÒØ Ô ÖØ Óº Ñ Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó i Ó Ø ÒØÓ ÒØ Ö Ð ÒÓ Ü Ø º Å ÒÓ ÔÖ ÓÙÔ ÒÓ ÙÑ Ó Ø Ô Ó ÓÖÑ Ö Ð ÒØ Ö Ð Ü Ø ÔÓ ÑÓ ÒÓ Ö ÐÙÐ Ö Ù Ú ÐÓÖ º º º µº Ü ÑÔÐÓ ½¾ ÓÒ Ö f() = { ; 3; 5; > 3 º ÐÙÐ 7 f()dº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¾ Ñ ÕÙ ØÓ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÙÒÓ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÓÑ min(f()) = ma(f())º Ç Ò Ó ÓÒ ØÓ ÒÓ ÓÓÖÖ ÑÓ I I i I k Ó ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó = 3º i ÕÙ Ó minf() = Ó maf() = 5º Ñ Ó I k I k lim (S(f;P) I(f;P)) = (maf() minf()) k = (5 ) k = 3 k. i I k I k Ñ ÕÙ Ò Ó k Ú ÑÓ Ó Ø Ö ÕÙ S(f;P) I(f;P)º Ñ ÒØ Ö Ð Ü Ø Ö Ù Ð ÒÓÖ Ö Ø ÔÓÒØÓ 7 f()d = (3)+4(5) = 6º

155 º½º ÁÆÁ Ç ÁÆÌ Ê Ä ÈÊÇÈÊÁ Ë ýëá Ë ½ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ñ ÔÖÓÚ ÙÑ Ö ÙÐØ Ó Ø Ö Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ì ÓÖ Ñ Ä Ù ÕÙ Ö Ø Ö Þ ÙÒ ÕÙ Ó ÒØ Ö Ú Ê Ñ ÒÒº Ì ÓÖ Ñ ¾ ÌÓ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ [a,b] ÓÙ Ù Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙ ¹ Ñ [a,b] Ò ØÓ ÙÒ ÓÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÐØÓ µ ÒØ Ö Ú Ð Ñ [a,b]º Ç ÖÚ Ó Ñ ÙÒ ÒÓÖÑ ØÓ ÓÑ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙ Ó ÒØ Ö Ú º Æ Ö Ð ÔÓ Ø Ö Ò Ò ØÓ ÒÙÑ Ö Ú Ð Ú Ö Ò Ó ½½ Ôº ¼µ Ó Ò Ñ ÖÓ ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙ ÕÙ ÓÒØ ÒÙ Ö Ò Ó ÒØ Ö Ú Ð Ì ÓÖ Ñ Ä Ù µº ÆÓØ ÕÙ I Q ÓÒØ ÒÙ Ñ ÌÇ ÇË Ó ÔÓÒØÓ º ÈÓÖ Ó ÒÓ ÒØ Ö Ú Ðº ÈÓÖ ÓÒÚ Ò Ò Ð Ö Ò ÑÓ ÒØ Ö Ð Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÒÐÙ Ò Ó ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ (...) ÓÙ 5 7 Ò Ó ¾ Ò ÑÓ Ë b > a Ò ÑÓ (...)º a a a b f()d = º f()d = b a f()dº Ñ ÔÓÖ Ò Ó ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ (...) = 5 (...) = (...)º Ä Ñ ÔÖÓÔÖ µ f,g ÙÒ ÒØ Ö Ú Ó Ú Ð µ b ÒØ Ö Ðµ a (f()+kg())d = µ f() g() ÑÔÐ ÕÙ µ c a ÒØ Ö Óµº f()d = b b f()d+ f()d+k b a a b b f()d a c a b a g()d Ô Ö ØÓ Ó k R Ä Ò Ö g()d ÑÓÒÓØÓÒ ÒØ Ö Ðµ f()d Ô Ö ØÓ Ó a,b,c R ÕÙ Ö Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÈÖÓÚ µ µ ÓÖÖ Ñ ÓÖÑ Ñ Ø Ò Óº µ ÓÖÖ Ò Ó ¾ Ôº½ º ÖÖÓ ÓÑÙÑ ÆÓØ ÕÙ ÒØ Ö Ð Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÒÓ Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÒØ Ö º Ì ÖÓ ÖØÓÐ ÒØ n i= i = n(n+)(n+)º ÈÓ ¹ ÔÖÓÚ ¹Ð ÔÓÖ Ò ÙÓº 6 Ä Ñ Ó a R ÕÙ ÐÕÙ Ö µ ÈÖÓÚ a d = a / µ a d = a 3 /3º µ È Ö a > ÐÙÐ Ò Ó Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ a ÐØÙÖ a Ó Ø ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Óº È Ö a < ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ú ÑÓ ÕÙ a d = a dº Î ÑÓ Ó Ø Ö ÕÙ

156 ½ ¼ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä ÒØ Ö Ð a d = a / ÔÓ Ö Ø ÜÓ Ó ÜÓ º Ñ a d = ( a /) = a /º µ ÕÙ ÔÖ ÑÓ Ö ÓÖÖ Ö Ò Ó ÔÓ ÖÓÒØ Ö Ö ÙÖÚ º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö Ú Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [,a] Ñ n Ô ÖØ Ù º Ñ i = a/nº Ð Ñ Ó i = ia/n n i Ú Þ Ó Ø Ñ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓµº Ñ = n = aº ÓÖ f( i ) i = n ( i ) a/n = i= n (ia/n) a/n = a3 i= n 3 Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó n + Ó Ø ÑÓ ÕÙ a a 3 d = lim n + n 3 6 ÓÖÓÐ Ö Ó Ó a,b R µ b a d = b / a / n i. ÔÐ Ò Ó ÖÑÙÐ Ô Ö i= n(n+)(n+) = lim n + µ b a a 3 6 i= n i ØÓÑ Ò Ó Ó i= a3 a3 (+/n)(+/n) = ()() = 6 3. d = b 3 /3 a 3 /3º ÈÖÓÚ Ø ÙØ Ð Þ Ö ÔÖÓÔÖ ÒØ Ö Ðº Ñ b f()d = b f()d a f()d. b a f()d = a f()d + Ç ÖÚ Ó ÆÓØ ÕÙ Ò ÆÇ ÑÓ ÓÑÓ ÒØ Ö Ö 3, 4,...º ÓÑ ØÓ Ñ ÑÓ Ò Ó Ð Ò Ö ÒØ Ö Ð ÒÓ ÑÓ ÒØ Ö Ö ÔÓÐ ÒÑ Ó º Î ÑÓ Ø Ö ÕÙ Ù Ö Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÐÙÐÓ Ô Ö ÔÖ Ò Ö ÒØ Ö Ö N Ô Ö ÙÑ N ÕÙ ÐÕÙ Öº Ç ÖÚ Ó Ð ÒØ Ö Ö Ð Ö Ú Öº ÆÓØ ÕÙ ÒØ Ö Ð Ô Ö ÒØ Ñ ÒØ ÑÙ ØÓ ÑÔÐ µ d Ù Ä Ñ Ôº½ µ Ø ÒØ ØÖ Ð Óº Ð Ó Ø Ô Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Þ ÔÓÖ ÖÕÙ Ñ º ÈÓ ÑÓ Þ Ö Ð Ó Ñ Ð ÒØ Ô Ö ÐÙÐ Ö n d Ô Ö n ÒØ ÖÓ n Ù Ò Ó ÒÑ Ó Æ ÛØÓÒµº È Ö n = 3 ÔÖ Ö ÑÓ ÒØ i 3 Ô Ö n = 4 n i 4 غ i= ÈÓ ¹ Þ Ö Ô Ð Ò Ó Ø Ñ Ñ i= sen()d Ú Ö ÓÙÖ ÒØ Ó Ôº µ Ñ ÑÙ ØÓ ØÖ Ð Óº Ç ÔÓÒØÓ ÕÙ ÕÙ ÔÖ ÑÓ ÓÙØÖÓ Ñ ØÓ Ó ÕÙ ÒÓ Ò Óº Ö ÔÓ Ø Ó Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÐÙÐÓº º¾ Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ó ÐÙÐÓ Ì µ ÓÑÓ Ó ÖÚ ÑÓ Ò Ó ÒØ Ö ÓÖ ÅÍÁÌÇ Ð ÒØ Ö Ö Ô Ð Ò Óº Ö Ó Ó ÐÙÐÓ Æ ÛØÓÒ Ä Ò Þµ Ñ Ö Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÐÙÐÓ Ì µ ÕÙ

157 º¾º Ì ÇÊ Å Ë ÍÆ Å ÆÌ ÁË Ç ýä ÍÄÇ Ì Ëµ ½ ½ ÖÕÙ Ñ ÐÙÐ Ö ÙÑ ÒØ Ö ÒÓ Ø ÑÔÓ Ð Ö µ Ô Ð Ò Óº ÓÑ Ó Ì ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö ÑÙ Ø ÒØ Ö Ñ ÓÖ ÒÓ ØÓ Ù Ö º º º µº Ì ÓÖ Ñ ¾ Ì Ö Ú ÒØ Ö Ðµ Ë f ÓÒØ ÒÙ Ñ [a,b] ÒØÓ F : [a,b] R Ò ÔÓÖ F() = a f(s)ds Ö Ú Ú Ð Ñ (a,b) F () = f() Ô Ö ØÓ Ó (a,b)º ÈÖÓÚ F(+h) F() h = h [ +h a f(s)ds a ] f(s)ds = h +h f(s)ds. ÔÖÓÜ Ñ Ò Ó ÒØ Ö Ð ÕÙ Ñ F () = f()º +h f(s)ds Ô Ð Ö Ó Ö ØÒ ÙÐÓ h ÐØÙÖ f() Ó Ø ÑÓ F(+h) F() h hf() = f(). h Ü ÑÔÐÓ ½¾ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ ÙÒÓ f() = ÒÓ ÔÓÒØÓ = πº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¾ È ÐÓ Ì f () = sen( +4)º ÆÓØ ÕÙ f(π) = π sen( s +4)ds π π ( ) = f (π) = sen( π +4)º Ñ ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ = sen( π +4)( π)º Ü ÑÔÐÓ ½¾ ÐÙÐ Ö Ú f() = e log(4+sens)dsº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¾ ÒØ ÔÐ Ö Ó Ì Ø ÑÓ ÕÙ ØÖÓ Ö Ó Ð Ñ Ø ÒØ Ö Ó Ô Ö ÕÙ ¹ÐÓ Ó Ø ÓÖ Ñ º Ñ f() = g() = h() = e e log(4 + sens)dsº Ð Ñ Ó Ò ÑÓ log(4 + sens)dsº Ñ f() = h(g())º È Ð Ö Ú ÓÑÔÓ Ø f () = h (g())g ()º È ÐÓ Ì h () = log(4+sen) g () = º Ñ f () = log(4+sen( ))º ÓÖÓÐ Ö Ó ½¼ Ì ÒØ Ö Ð Ö Ú µ Ë f ÓÒØ ÒÙ Ñ [c,d] Ü Ø ÙÑ F Ø Ð ÕÙ f() = F () Ñ Ô Ö ØÓ Ó (c,d) ÒØÓ Ô Ö ØÓ Ó a,b (c,d) b a f()d = F(b) F(a).

158 ½ ¾ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä ÈÖÓÚ Ò h() = F() F(a) a f(s)dsº Ô Ö [c,d]º È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¾ Ì µ h () = F () f() = f() f() = Ô Ö ØÓ Ó [c,d]º ÄÓ Ó h ÓÒ Ø ÒØ º ÓÑÓ h(a) = F(a) F(a) h(b) = = F(b) F(a) b a a a f(s)dsº f(s)ds = h() = Ô Ö ØÓ Ó [c,d]º Ú Ó Ø Ö ÙÐØ Ó ÓÑÙÑ ÒÓØ Ó F b a = F(b) F(a)º Ñ b b f()d = F = F(b) F(a). a a Ñ Ü ÑÔÐÓ ½¾ ÐÙÐ ÒØ Ö µ 4 d µ π/ π/ cos()d µ dº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¾ µ ÓÑÓ ( 5 /5) = 4 ÔÐ Ò Ó Ó Ì Ó Ø ÑÓ 4 d = 5 5 = 5 5 ( )5 5 µ ÓÑÓ (sen) = cos ÔÐ Ò Ó Ó Ì Ó Ø ÑÓ = 5. π/ π/ cos()d = sen π/ = sen(π/) sen( π/) = ( ) =. π/ µ ÓÑÓ (log) = / Ô Ö > µ ÔÐ Ò Ó Ó Ì Ó Ø ÑÓ d = log = log log = log. ÖÖÓ ÓÑÙÑ ÔÐ Ö Ó Ì Ñ ØÓÑ Ö Ù Óº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÑÓ (log ) = / d Ö Ú Ö ÕÙ = log = log log =. Ç ÖÖÓ ÕÙ ÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ [,] Ö Ð Ô Ø Ó Ì ÓÖ Ñ ¾ Ôº½ ½ Ì µµº Æ Ö Ð Ó ÒØ Ö Ò Ó ÒÓ Ø ÕÙ Ö Ò Ó Ñ = º Ò Ó ¾ Ë F Ö Ú Ú Ð ÓÑ F = f ÒØÓ Þ ÑÓ ÕÙ F ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú ÒØ ¹ Ö Ú ÓÙ ÒØ Ö Ð Ò Ò f Ñ [a,b]º Ö Ú ÑÓ Ñ ÓÐÓ Ö Ð Ñ Ø ÒØ Ö Ó ÕÙ f = F º

159 º¾º Ì ÇÊ Å Ë ÍÆ Å ÆÌ ÁË Ç ýä ÍÄÇ Ì Ëµ ½ Ç ÖÚ Ó Ñ ÓÖ ÒØ Ö Ð ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÑÔÖ Ü Ø F() = ep( s )ds ÒÓ ÔÓ Ö ÜÔÖ Ó ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ö sen,cos غµº Ü Ø ÙÑ Ø ÓÖ Ðµ ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ò Ó ÙÑ ÙÒÓ ÔÓ Ù ÔÖ Ñ Ø Ú ÜÔÖ ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ö º Î Ö Ë ÑÑÓÒ Ë Ôº ½ Ô ØÙÐÓ ½¼º º ÓÑ Ó Ì Ò Ó Ö Ú Ö ÔÓ ÑÓ ÒØ Ö Ö ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ Ä Ø Ð ÜÓ Ö Ø Ô Ö ÕÙ Ö Ö Ú µ ÕÙ Ö Ô Ö Ö Ø ÒØ Ö Ðµº F () F() n n+ n+ log sen cos cos sen e sec + f() e tan arctan arcsen f()d n Ü ÑÔÐÓ ½ ¼ Ø ÖÑ Ò µ ( π )d µ ( Ke 3cos + 5 ) d ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ¼ µ ( π )d = (9 5/4 3 π )d = 9 5/4+ π+ 3 5/4+ π+ = 49/4 3 π+ π +. ( µ Ke 3cos + 5 ) d = Ke +3sen+5log. ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ò Ö ÒØ Ö Ð Ó Ä Ñ Ôº½ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ÓÖ ÑÓ ÒØ Ö Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÓÐ ÒÑ Óº Ç ÖÚ ÕÙ ÆÇ ÑÓ ÒØ Ö Ö ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÙÑ ÙÒÓ Ö ÓÒ Ð ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÖ Ò Ö ÑÓ ØÓ Ò Ë Ó º Ôº½ ½µº ÆÓØ ÕÙ F ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÙ ÒØ Ö Ð Ò Ò f ÒØÓ F + C ÓÑ C R ÕÙ ÐÕÙ Ö Ø Ñ Ñ Ö ÔÓ (F+C) = F = fµº Ñ ÑÔÖ ÕÙ ÖÑÓ ÕÙ f = F Ø Ù ÒØ Ò Ó ÕÙ f = F +Cº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÕÙ Ò Ó Þ ÑÓ ÕÙ cosd = sen Ò ÕÙ sen ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú cos ØÓ ÕÙ (sen) = cos Ñ ÒÓ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú º ØÓ cosd = sen+c Ô Ö ØÓ C Rº ÈÓÖ Ó ÓÑÙÑ Ó Ð ÚÖÓ Ò Ø Ö Ñ Ñ ÓÐÓ Ö +C Ò Ö ÔÓ Ø ÒØ Ö Ò ¹ Ò º ÕÙ Ò Ø Ð ÚÖÓ Ú ÑÓ Ñ Ö Ð ÓÑ Ø ¹ÐÓº

160 ½ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä Ç ÖÚ Ó ¼ Ñ Ð ÙÒ Ü Ö Ó ÓÐÓ ÑÓ ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ò Ø Ò ÒÓ +C ÙÑ Ø Ó Ó ÐÙÒÓ Ø Ñ ÕÙ ÓÒ ÒØÖ Ö Ô Ö Ó Ø Ö ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú º ÙÖ ÒØ ÙÑ Ü Ñ ÓÒ ÙÐØ Ù ÔÖÓ ÓÖ ÓÙ Ñ Ð ÓÖ Ò ÓÐÓÕÙ +C ÑÔÖ Ò ÒØ Ö Ò Ò ( )º º ÁÒØ Ö ÁÑÔÖ ÔÖ Î ÑÓ Ø Ò Ö Ò Ó ÒØ Ö Ð Ô Ö ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ñ Ø Ó Ò Ò ØÓ µ ÕÙ Ò Ó Ó ÒØ ¹ Ö Ò Ó Ð Ñ Ø Ó Ò Ò ØÓµ Ô ÖØÓ ÙÑ ÔÓÒØÓº ËÓ Ñ ÒØ Ö ÑÔÖ ÔÖ º ÌÓ Ó Ò ÓÖÑ Ò ØÙÖ Ð ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ñ Ø º Ò Ó ¾ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ñ Ø Ó µ ÒØ Ö Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ñ Ø Ó Ó Ò Ù ÒØ ÓÖÑ + b b b f()d = lim f()d f()d = lim f()d a b + a a a + f()d = b f()d+ + b f()d Ô Ö ÙÑ b R ÕÙ ÐÕÙ Öº Ò Ó ¾ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ò ØÓ µ ËÙÔÓÒ ÕÙ f Ð Ñ Ø ÓÑ ÒØ ÔÖ Ü Ñ = c (a,b) ØÓ ÕÙ lim f() = + º Ò ÑÓ c c a f()d = lim k c k a f()d b c f()d = lim k c + b k f()dº Ü ÑÔÐÓ ½ ½ ÐÙÐ + d µ µ d + 3 µ e d d µ 3 + º a d ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ½ µ = a 3 = a + + ( ). ÓÖ d = ( 3 lim a + a + ) = º ÆÓØ ÕÙ Ñ ÓÖ Ö Ó Ò Ò Ø Ù Ö Ò Ø º d µ ÓÖÑ Ò ÐÓ Ó Ø Ñ ÒØ Ö ÓÖ a = 3 ( ) + a º Ñ d = 3 ( d lim = lim a + a 3 a ) = + º Æ Ø Ó Ö Ó Ò Ò Ø Ù Ö a Ò Ò Ø º µ e d = lim a Ò Ò Ø Ñ Ö Ò Ø º a e d = lim a (e e a ) = = º ÆÓÚ Ñ ÒØ Ö Ó µ ÆÓØ Ò ÐÑ ÒØ Ú Ø Ð ÒØ Ö Ôº½ µ ÕÙ arctan(a)º ÆÓØ Ø Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÖÕÙ µº b Ñ + d + lim arctan(b) = π/ ÔÓÖÕÙ µ lim b + b d + = arctan(b) arctan(a) = π/ a a Ö Ù Ð Ó Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó a b + d ÒØ Ö Ð = arctan(b) arctan(a)º ÄÓ Ó Ú ÐÓÖ ÒØ Ö Ð π/ ( π/) = πº a + ÆÓÚ Ñ ÒØ Ö Ó Ò Ò Ø Ñ Ö Ò Ø º

161 º º Ì ÆÁ Ë ýëá Ë ÁÆÌ Ê Ç ½ ÉÙ ØÓ Ô Ö Ô Ò Öº ÓÑÓ ÔÓ ÙÑ Ö Ó Ò Ò Ø ÔÓ Ù Ö ÙÑ Ö Ò Ø ÁÑ Ò ÙÑ ÑÙÖÓ Ö Ò Ó Ø Ö Ó ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ö Ó Ð Ñ Ø Ô ÐÓ ÜÓ ÔÓÖ = /( + ) Ó Ø Ñ µµº Ç ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ó ÑÙÖÓ + º ÓÖ Ú ÑÓ Ô ÒØ Ö Ó Ó Ø Ö Óº Á ØÓ ÔÓ Ú Ð ÓÑ ÕÙ ÒØ Ò Ø Ø ÒØ ÔÓ Ù Ö Ò Ø º Î ÑÓ Ô ÒØ Ö Ô Ö Ø Ö Óº Á ØÓ ÑÔÓ Ú Ð ÔÓ Ð Ò Ò Ø º Ç ÖÚ Ó ½ Ñ Ø Ø Ø Ñ Å Ø Ñ Ø ÓÖÑ Ö Ðµ ÅÍÁÌÇ ÑÔÓÖØ ÒØ ÒØ Ö Ð ÜÓ Ñ ÕÙ ÓÑ ÒØ Ñ ÐÙÐÓ ÁÁÁ ÒØ Ö Ñ ÐØ ÔÐ µ Ö ÑÓÒ ØÖ Ó + e d = π. ÈÓ ¹ ÔÖÓÚ Ö ÓÑ Ø Ò ÐÙÐÓ Á ËÔ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓµ Ñ ÑÙ ØÓ ÓÑÔÐ Óº º Ì Ò ÁÒØ Ö Ó Î ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ò Ø Ó Ù Ø Ò Ô Ö Ó ÐÙÐÓ ÒØ Ö ÔÓÖ Ù Ø ØÙ ¹ Ó ÔÓÖ Ô ÖØ º Ð Ó ÓÖÖ Ò Ö Ö Ö Ú ÓÑÔÓ Ø Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÓÑÓ ÑÓ ØÖ Ø Ð ÜÓ Ö Ú Óµ ÓÑÔÓ Ø ÔÖÓ ÙØÓº ÁÒØ Ö Ð ÔÓÖ Ù Ø ØÙ Ó Ô ÖØ º Ð Ñ Ö Ñ Ø Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö Ó ÐÙÐÓ ÒØ Ö Ñ Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ó ÔÓÒØÓ Ú Ø Ø Ö Ó Ø Ñ Ñº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ñ ÔÓ Ñ Ö Ø Ò Ô Ö Ó ÐÙÐÓ ÒØ Ö Ñ Ú Ö Ú Ö Ú º ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ø Ò Ö Ó ÓÒ ØÓ Ö Ú Ñ ØÖ Ù Ñ Å Ø Ñ Ø µº ÓÙØÖ Ø Ò ÓÑÓ ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ µ Ó Ó ÕÙ Ó Ñ Ö Ø Ò ÕÙ ÔÓ Ñ Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ö Ù Ø ØÙ ÔÓÖ Ó ØÛ Ö Ð Ö Ó Ë ÓÑÔÙØ Ö Ð Ö ËÝ Ø Ñµ ÓÑÓ Ó Ñ Ü Ñ º ÈÓÖ Ø Ö Þ ÓÐÓÓ ÓÑÓ ÓÔ ÓÒ Ð Ó ÓÑ Ø Ò ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ö Ô Ö º ÜÓ Ô Ð ÚÖ ÓÑ Ó ËÔ Ú ËÙ Ø ØÙ Ó ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ Ó Ò Ø Ò ÙÒ Ñ ÒØ ÒØ ¹ Ö Óµ ÕÙ ÚÓ Ú ÔÖ Ò Öº Å ÑÓ Ñ ÓÑÓ ÑÓ ØÖ Ñ Ð ÙÒ Ü ÑÔÐÓ Ó Ù Ó Ô Ò Ð ÙÒ ØÖÙÕÙ ÓÒ º ËÔ Ôº ½ º Ø ØÖÙÕÙ ÓÒ Ó ÙØ Ð Þ Ö ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò Ö Ô Ö¹ º º º½ ÁÒØ Ö Ó ÔÓÖ ËÙ Ø ØÙ Ó Ø Ø Ò ÓÖÖ Ö Ö Ö Ú ÓÑÔÓ Ó ÙÒ º ÆÓØ ÕÙ ÒØ Ö Ö ÔÓÖ Ù Ø ØÙ Ó Ó Ñ ÑÓ ÕÙ ØÖÓ Ö Ú Ö Ú Ò ÒØ Ö Óº ( ) Â Ø Ò ÑÓ ØÓ ØÓ ÓÑ Ð Ñ Ø d Ò Ôº º ÕÙ Ó ÔÓ Ö ÒÓØ Ó Ä Ò Þ Ö ÔÖ ÒØ Óº ØÓ ÔÓÖ Ø d Ö ÞÓ ÔÖÓÚ Ñ Ö ÓÖ Ó Ä Ñ ÜÓ ÑÙ ØÓ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓ Ö ÙØ Ð Þ Ñ ØÓ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ º Ñ ÐÙÐÓ Ú Ö Ú Ö Ú Ó g Ö Ù Ø ØÙ Ó Ô ÐÓ Ñ Ó Ó ÒÓ ÙÒÓº

162 ½ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä Ä Ñ ½¼ ÒØ Ö Ð ÔÓÖ Ù Ø ØÙ Óµ ËÙÔÓÒ ÕÙ Ö Ú g ÒØ Ö Ú Ð ÒÓ ÒØ Ö¹ Ú ÐÓ [a,b] f ÓÒØ ÒÙ Ò Ñ Ñ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÔÓÖ gµ ÒØÓ b a f ( g() ) g ()d = g(b) g(a) f(u)du. ÈÖÓÚ Ñ Ö ÓÖ ÌÓÑ u = g()º ÍØ Ð Þ Ò Ó ÒÓØ Ó Ä Ò Þ du d = g ()º Ñ du = g ()dº Ñ f ( g() ) g ()d ØÖ Ò ÓÖÑ Ñ f(u)duº ÓÖ Ø ÑÓ ÕÙ ØÖÓ Ö Ó Ð Ñ Ø ÒØ Ö Óº ÉÙ Ò Ó = a u = g(a) ÕÙ Ò Ó = b u = g(b)º Ñ Ó Ø ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Óº ÈÖÓÚ ÓÑ Ö ÓÖ ÓÒ Ö F ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú f ØÓ ÙÑ ÙÒÓ Ø Ð ÕÙ F = fº ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ F() = f(s)dsµº Ò h() = F(g())º È Ð Ê Ö h () = F ( g() ) g () = f ( g() ) g ()º ÆÓØ ÕÙ Ø Ü Ø Ñ ÒØ Ó ÒØ Ö Ò Ó Ó Ð Ó ÕÙ Ö Óº È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÐÙÐÓ Ø ÑÓ b a f ( g() ) g ()d = ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ø Ñ Ñ Ô ÐÓ Ì Ù Ó Ö ÙÐØ Óº b h(b) h(a) = F ( g(b) ) F ( g(a) ) = a h ()d = h(b) h(a). g(b) g(a) F (u)du = g(b) g(a) f(u)du. Æ ÔÖ Ø ÙØ Ð Þ ÑÓ Ø Ò ÔÖÓÚ Ñ Ö ÓÖ Ñ ÑÓ Ô ÖØ Ó ÒØ Ö Ò Ó u ÐÙÐ ÑÓ du Þ ÑÓ Ù Ø ØÙ Ó Ô Ö Ò Ó Ó Ø Ö Ð Ó Ñ ÑÔÐ Ö Ø Ñ ÒØ ÒØ Ö Ú Ð Ô Ð Ø Ð ÒØ Ö Ôº½ º ÆÓ Ò Ð Þ ÑÓ Ù Ø ØÙ Ó Ô Ö Ó Ø Ö ÒØ Ö Ð ÓÑ Ö Ð Ó Ú Ö Ú Ð ÓÖ Ò Ðº Ü ÑÔÐÓ ½ ¾ ÒØ Ö Ò Ò µ ÓÒ Ö ÓÒ Ø ÒØ a,b R a º Ø ÖÑ Ò µ sen(b aθ)dθ µ (t/a b) dt ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ¾ µ ÌÓÑ u = b aθº ÒØÓ du = adθº ÄÓ Ó dθ = du/aº Ñ sen(b aθ)dθ = sen(u)du/a = ( /a) senudu = ( /a)( cosu) = cos(u)/aº Þ Ò Ó Ù Ø ØÙ Ó Ó Ø ÑÓ cos(b aθ)/aº µ ÌÓÑ u = t/a bº ÒØÓ du = (/a)dtº ÄÓ Ó dt = aduº Ñ (t/a b) dt = u adu = a u Þ Ò Ó Ù Ø ØÙ Ó Ó Ø ÑÓ a(at b) º Ü ÑÔÐÓ ½ ÒØ Ö Ò µ Ø ÖÑ Ò µ 3 e d µ e 3 dº

163 º º Ì ÆÁ Ë ýëá Ë ÁÆÌ Ê Ç ½ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ ÌÓÑ u = º ÒØÓ du = dº ÄÓ Ó d = du/º ÉÙ Ò Ó = u = ÕÙ Ò Ó = 3 u = 6º ÄÓ Ó ØÖÓ Ò Ó ÒØ Ö Ò Ó d Ð Ñ Ø 3 6 ÒØ Ö Ó e d = e u ( /)du = eu 6 = e 6 ( e ) = (e e 6 )º ÇÙØÖÓ ÑÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÒÓÒØÖ Ö ÔÖ Ñ Ø Ú e d = e u ( /)du = eu = 3 e º ÓÖ Ø ÐÙÐ Ö e d = e 3 = (e e 6 )º µ ÌÓÑ u = 3 º ÒØÓ du = 6dº ÄÓ Ó d = du/6º ÉÙ Ò Ó = u = ÕÙ Ò Ó = u = 6º ÄÓ Ó ØÖÓ Ò Ó ÒØ Ö Ò Ó d Ð Ñ Ø ÒØ Ö Ó 6 e 3 d = e u du/6 = eu 6 6 = e ÇÙØÖÓ ÑÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÒÓÒØÖ Ö ÔÖ Ñ Ø Ú e 3 d = e u du/6 = eu 6 = e3 6. ÓÖ Ø ÐÙÐ Ö e 3 d = e3 = e Ç ÖÚ Ó ¾ ÆÓØ ÕÙ Ò ÒØ Ö Ð ÁÆÁ ÓÑ Ð Ñ Ø ÒØ Ö Óµ Ø ÑÓ Ù ÓÔ µ ÐÙÐ Ö ÔÖ Ñ ÖÓ ÒØ Ö Ð ÁÆ ÁÆÁ ÔÓ Ù Ø ØÙ Ö ÒÓ Ð Ñ Ø ÒØ Ö Ó µ ÌÖÓ Ö Ó Ð Ñ Ø ÒØ Ö Ó Ó ÕÙ Ú ÑÓ Þ Ö ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ µº Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò d µ ( 3 ) µ 5 tand µ sen cos 6 dº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ ÓÐ ÕÙ Ú ÙÒ ÓÒ Ö Ö ØÓ ØÓÑ Ö u = 3 ÔÓ du = 6d ÕÙ Ú Ù Ø ØÙ Ö Ñ Ó Ø ÖÑÓ dº Ñ Ú ÑÓ Ó Ø Ö du 6u = 5 4u = 4 4( 3 ) 4. ÇÙØÖ ÓÐÙÓ ÕÙ ÒÓ ØÓ Ö Ø ØÓÑ Ö u = ÔÓ du = dº Î ÑÓ Ó Ø Ö du º Ñ ÔÖ Ö ÑÓ Þ Ö ÒÓÚ Ù Ø ØÙ Ó v = 3u dv = 3du ( 3u) 5 dv/3 = v 5 dv = v v 4 4 = v 4 4 = 4( 3 ) 4. µ ÓÑÓ tan = sen ØÓÑ u = cos du = sendº cos Ñ tand = sen cos d = du = log u = log cos º u Ó ØÓÑ ¹ u = sen du = cosd ÒÓ Ö ÔÓ Ú Ð Þ Ö Ù Ø ØÙ Ó Ú Ö ÕÙ µº µ ÌÓÑ u = sen du = cosdº Ñ cossen 6 d = u 6 du = u7 7 = sen7 º 7 Ó ØÓÑ ¹ u = cos du = send ÒÓ Ö ÔÓ Ú Ð Þ Ö Ù Ø ØÙ Ó Ú Ö ¹ ÕÙ µº

164 ½ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä Ç ÖÚ Ó Ç ÔÓÒØÓ ÖÙ Ð ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ÓÐ Ö ÕÙ Ñ Ú Þ Ö Ó Ô Ô Ð uº Ð ÙÑ ÓÐ u ÚÓ Ö Ñ ØÖ Ð Ó ÓÙØÖ ÚÓ Ö Ñ Ò º º º ÖÖÓ ÓÑÙÑ ÆÓ Þ Ö Ù Ø ØÙ Ó ÓÑÔÐ Ø Ò ÒØ Ö Ð Þ Ö Ó Ñ ÒØ Ó Ñ ØÙÖ Ò Ó ÒÓÚ Ú Ö Ú Ð ÒØ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÒÓ ÐÙÐÓ sen( )d Ù Ø ØÙ Ö u = Ö Ú Ö ÕÙ sen( )d = sen(u)d = sen(u) d = sen(u) ÊÊ Ç µ. Ç ÓÖÖ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ du = d sen( )d = sen(u)du/ = cos(u) = cos( ) ÇÊÊ Ìǵ. Ç ÖÚ Ó ËÙÔÓÒ ÕÙ ÚÓ ÐÙÐÓÙ f = F º ÔÓ ÒØ Ö Ö Ú Ö ÕÙ Ø ÖØÓ Ò Ó F = fº Ø Ú Ö Ó Ð ÔÓ Ö Ú Ö ÅÍÁÌÇ Ñ Ð Ó ÕÙ ÒØ Ö Öº º º¾ ÁÒØ Ö Ó ÔÓÖ È ÖØ Ä Ñ ½½ ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ µ Ë Ñ f g ÙÒ Ö Ú Ú Ñ [a,b] ÓÑ f g ÒØ Ö Ú º ÒØÓ b a f()g ()d = f(b)g(b) f(a)g(a) b a f ()g()d. ÈÖÓÚ Ñ Ö ÓÖ ÓÑÓ (uv) = vu + uv (uv) d = uv = vu d+ uv d. È Ð ÒÓØ Ó Ä Ò Þ du d = u º Ñ du = u d ÓÖÑ Ò ÐÓ dv = v dº ÈÓ ÑÓ Ö Ú Ö ÒØÓ ÕÙ uv = vdu+ udv. ÌÓÑ u = f() dv = g ()dº Ñ Ó Ø ÑÓ ÕÙ du = f ()d ÒØ Ö Ò Ó dv = v = g ()d = g()µ v = g()º Ç Ø ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ù Ø ØÙ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø ÒØ Ö Óº ÈÖÓÚ ÓÑ Ö ÓÖ Ë h() = f()g()º È Ð Ö Ö Ö Ú Ó ÔÖÓ ÙØÓ h () = f ()g() + f()g ()º Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ó Ó Ð Ó = a Ø = b ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ì Ø ÑÓ ÕÙ b a h ()d = h(b) h(a) = f(b)g(b) f(a)g(a) = Ê ÖÖÙÑ Ò Ó Ó Ø ÖÑÓ Ó Ø ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Óº b a f ()g()d+ b a f()g ()d. Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò log µ e d µ cosdº

165 º º Ì ÆÁ Ë ýëá Ë ÁÆÌ Ê Ç ½ ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ ÌÓÑ u = dv = e dº Ñ du = d v = e º ÄÓ Ó e d = e e d = e e º ÓÖ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ó Ð Ñ Ø ÒØ Ö Ó log e d = e e log = log() º Ó Ø Ú ØÓÑ Ó u = e dv = d Ø Ö ÑÓ du = e d v = /º Ñ e d = e e d ÙÑ ÒØ Ö Ð Ò Ñ ÓÑÔÐ Ê Ø Ó Ö Óº º º µ ÌÓÑ u = dv = cosdº Ñ du = d v = senº ÄÓ Ó cosd = sen send = sen+cosº Ø Ø Ò Ø Ð ÕÙ Ò Ó ÙÒÓ ÕÙ Ú Ö ÒØ Ö ÙÑ ÔÖÓ ÙØÓ fg ÓÒ Ö Ú f Ñ ÑÔÐ Ó ÕÙ f ÔÖ Ö Ò ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ ÓÙ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù Ñ ÒÓÖµ g ÙÑ ÙÒÓ Ø Ð ÕÙ g ÒÓ Ñ ÓÑÔÐ Ó ÕÙ g ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ g ÜÔÓÒ Ò Ð ÒÓ Ó ÒÓ Ñ g ÆÇ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÕÙ ÙÑ ÒØ Ö Ù ÒØ Ö Óµº Î Ó Ü ÑÔÐÓ Ñ ÒÓÚ Ñ ÒØ º Ë f Ñ ÑÔÐ Ó ÕÙ f ÔÓ ÑÓ Ù Ö Ó ØÖÙÕÙ ØÓÑ Ö u = f dv = d Ò ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ º Î Ó Ü ÑÔÐÓ ÜÓº Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò µ logd µ arcsen(7) dº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ ÌÓÑ u = log dv = dº Ñ du = d/ v = º ÄÓ Ó logd = log (d/) = log d = log º µ ÌÓÑ u = arcsen(7) dv = dº Ñ Ù Ó ÓÑ Ö Ö µ du = 7 d v = º ÄÓ Ó 7 arcsen(7)d = arcsen(7) dº ÓÖ Ú ÑÓ Ö ÓÐÚ Ö ÒØ Ö Ð ØÓÑ Ò Ó z = 49 dz = ()49dº ÄÓ Ó ÂÙÒØ Ò Ó ØÙ Ó Ó Ø ÑÓ 7 d = 49 dz 4 z = z 7 = arcsen(7)d = arcsen(7)+. 7 ÍÑ ÓÙØÖÓ ØÖÙÕÙ ÒØ Ö Ö ÔÓÖ Ô ÖØ Ù Ú Þ Ô Ö Ó Ø Ö Ñ Ñ ÙÒÓ ÒÓÚ Ñ ÒØ º Î Ó Ü ÑÔÐÓ Ù ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò µ e send µ cos d µ (/)logdº

166 ½ ¼ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ µ ÌÓÑ u = e dv = send ÔÓ Ö Ö Ó ÓÒØÖ Ö Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ º º º µº Ñ du = e d v = cosº ÄÓ Ó K = e send = e cos ( cos)e d = e cos+ cose dº ÓÖÑ Ò ÐÓ ØÓÑ Ò Ó u = e dv = cosd Ñ du = e d v = senº ÄÓ Ó cose d = e sen sene d = e sen Kº Ñ K = e cos + e sen K ÓÙ K = e cos + e senº ÄÓ Ó K = e send = e (sen cos)º µ ÌÓÑ u = cos dv = cosdº Ñ du = send v = senº Ñ cos d = cossen + sen dº ÈÓ ¹ ÒØ Ö Ö ÒÓÚ Ñ ÒØ ÓÑÓ ÒÓ Ø Ñ µ ÜÔ Ö Ñ ÒØ µ ÓÙ ÒØÓ Ù Ò Ó ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ K = cos d = cossen+ ( cos )d = cossen+ d K = cossen+ K. Ñ K = cossen+º ÄÓ Ó K = cos d = cossen+ º µ ÌÓÑ u = log dv = d/º Ñ du = d/ v = logº Ñ K = (/)logd = log (/)logd = log Kº ÈÓÖØ ÒØÓ K = log º ÄÓ Ó K = (/)logd = log º ÒØ Ö Ð cos d ÔÓ Ö ÐÙÐ ÓÖÑ Ö Ø ÓÑ ÙÑ ÖÑÙÐ ØÖ ÓÒÓ¹ Ñ ØÖ º ÓÑÓ cos() = cos sen sen = cos cos() = cos º ÄÓ Ó cos () = +cos() º ÁÒØ Ö Ò Ó Ó Ó Ð Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ cos d = + sen() º 4 ÓÑÓ sen() = cossen ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ö Ó Ñ ÑÓ Ö ÙÐØ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ Ñ º Ò ÓÙØÖÓ ØÖÙÕÙ Ù Ø ØÙ Ö u = sen Ñ º Ø Ð Ó Ø Ñ ÒÓÑ Ù Ø ØÙ Ó ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º Ë ÒÓ ÒØ Ö Ò Ó Ô Ö Ö + Ö ÑÓ = tan ÔÓÖÕÙ µº Î Ó Ü ÑÔÐÓ ÜÓ ÕÙ Ø Ñ ÒØ Ö ÔÖ ÔÖ Ó ÔÓ ÐÙÐ ÑÓ Ö Ó ÖÙÐÓ Ð Ô º Ü ÑÔÐÓ ½ ÐÙÐ Ö Ó ÖÙÐÓ Ö ÓR > Ð Ô Ù Ó Ñ ÜÓ Óa,b > º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ÕÙ Ó Ó ÖÙÐÓ + = R º ÈÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö /4 Ö ÒØ Ö Ò Ó ÙÒÓ () = R Ô Ö [,R]º Ñ Ú ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö R R dº È Ö ØÓ Ú ÑÓ ÜÔÐÓÖ Ö Ö Ð Ó ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ñ ÒØ Ð sen θ+cos θ = º Ñ ØÓÑ ÑÓ = Rsenθº Ø ÓÖÑ R = R ( sen θ) = R cosθ º Ð Ñ Ó d = Rcosθdθº È Ö ÕÙ [,R] ØÓÑ θ [,π/]º Æ Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ cosθ = cosθº R π/ π/ ÄÓ Ó R d = Rcosθ(Rcosθ)dθ = R cos θdθ = Ó Ü ÑÔÐÓ Ò¹ Ø Ö ÓÖ cos d = cossen+ º ÄÓ Ó π/ cos θdθ = cos(π/)sen(π/)+(π/)

167 º º ÁÆÌ Ê Ç ÈÇÊ Ê Ë È Ê Á ÁË ½ ½ cossen+ = π/4º ÈÓÖØ ÒØÓ Ö Ó ÖÙÐÓ 4 Ú Þ ÒØ Ö Ð R d = R π/4º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ö πr º µ ÕÙ Ó Ð Ô ÓÑ Ñ ÜÓ a b (/a) + (/b) = º ÈÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö /4 Ö ÒØ Ö Ò Ó ÙÒÓ () = b (/a) Ô Ö [,a]º Ñ Ú ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö a b (/a) dº Ó ÒÚ Þ Ö ØÙ Ó ÒÓÚÓ ØÓÑ z = /a dz = d/aº ÄÓ Ó d = adzº Ð Ñ Ó ÓÑÓ [,a] z [,]º Ñ ab R a b (/a) dº z dzº Ø ÒØ Ö Ð ÙÑ ÕÙ ÖØÓ Ö Ó ÖÙÐÓ Ö Ó ½ ÕÙ Ô ÐÓ Ø Ñ µ Ú Ð π/4º ÄÓ Ó a b (/a) d = abπ/4º Ö Ð Ô Ú Þ ØÓ πabº ÙÑ Ð ÖØ Ò Ðº ÁÒØ Ö Ö ØÖ Ð Ó Ó Ñ ÓÑ ÔÖ Ø Ú Ö ÙÑ Ó Ó Ú ÖØ Óº ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ð Ñ Ö ¹ ÕÙ ØÓ ÒÓ Ò ÒØ Ò Ö Ó ÓÒ ØÓ ÒØ Ö Óº Ð ÙÑ ÒØ Ö Ö ÕÙ Ö Ñ ÔÓÙÓ Ñ ÕÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ð Ö ÓÒ ¹ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ Ø Ø Ñ Ù Ð Ó Ö Ö ØÖÙÕÙ Ð Ö Ó Ó ÒÚ Ø Ø Ö Ù ÒØ Ò Ñ ÒØÓ Ó ÔÖÓ Ó ÒØ Ö Óº ËÔ Ôº ¾¼ º º ÁÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ö È Ö Î ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ò Ø Ó Ì ÓÖ ÓÑÔÓ Ó ÔÓÖ Ö È Ö ÙÑ Ø ÓÖ ýð Ö ÒÓ ÐÙÐÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÒØ Ö Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÒÓ Ö ÓÒ Ðº Ð Ò Ù ÒØ ÕÙ Ò º ÓÒ Ö ÕÙ ÕÙ Ö ÑÓ ÒØ Ö Ö ÙÒÓ Ö ÓÒ Ð p() q() ÓÒ p,q Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑ Ó ÒØ Ö º ÙÑ ÑÓ ÕÙ Ó Ö Ù q Ñ ÓÖ ÕÙ Ó Ö Ù p ÔÓ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ø Þ Ö Ú Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ô Ö Ó Ø Ö p() = q()k() + r() ÓÑ Ö Ù r Ñ ÒÓÖ ØÖ Ø Ñ ÒØ µ ÕÙ Ó Ö Ù q Ñ p() q() d = k()d+ ÓÑÓ k() ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÑÓ ÐÙÐ Ö r() q() d. k() dº Ç ÔÓÐ ÒÑ Ó q() ÔÓ Ö ÓÑÔÓ ØÓ ÓÑÓ Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù ÙÑ ÓÙ Ö Ù Ó ÓÑ Ö Þ ÓÑÔÐ Ü ÒÓ¹Ö Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ýð Ö µº Å ÔÖ Ñ ÒØ q() = C( a ) m ( a ) m ( a K ) m K ( +b +c ) n ( +b L +c L ) n L, ÓÑ m k,n l N a k,b l,c l R l = (b l ) 4c l < Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ó ÙÒ Ó Ö Ù ÒÓ ÔÓ Ù Ö Þ Ö µº È Ð Ì ÓÖ ÓÑÔÓ Ó ÔÓÖ Ö Ô Ö ÔÓ ÑÓ ¼ Ð ØÙÖ Ø Ó ÓÔ ÓÒ Ðº

168 ½ ¾ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä Ö Ú Ö p() q() ÓÑÓ ÓÑ ØÓÖ Ó Ø ÔÓ B ( a k ) C +D ÓÙ ( +b l +c l ) B ( a k ) º º º C +D ( +b l +c l ) º º º C nl +D nl º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ( +b l +c l ) n l B mk ( a k ) m k ++5 ( ) = ÓÙ Ñ Ó ÐÙÐ Ó ÓÑ Ó ÓÑ Ò Ó Ô ÖØ Ö Ó Å Ü Ñ µ 7( 5) ( +) ( ) = ( +) ( +) 3 ( ) + ( ) ( ) 3. ÓÑ ØÓ Ö ÙÞ ÑÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö Ö ÓÑ b 4c < ( a) m d; Ë ÑÓ ÐÙÐ Ö ( +b+c) m d; d ÕÙ Ð Ö ÔÓ Ø µº ( a) m p() d ÐÙÐ Ö Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö m N q() ( +b+c) m d. ÉÙ ÒØÓ ÓÙØÖ Ù ÒØ Ö ÔÓ ÑÓ ÓÑÔÐ Ø Ö Ó ÕÙ Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù ¾ ÓÑ Ö Þ ÓÑÔÐ Ü ÒÓ¹Ö Þ ÑÓ ÖÖ ÙØ Ú Ð Ñ Rµ ÓÖÑ ÕÙ +b+c = (+d) +e ÓÑ d = b/ e = c b /4 > º ÓÑ ØÓ ÔÓ ÑÓ Ö ÙÞ Ö ÒØ Ö ((+d) +e) m ((+d) +e) ØÓÑ Ò Ó = (+d)/ e ÓÐÓ Ò Ó e m Ñ m Ú Ò µ ÒØ Ö ( +) d m ( +) dº m ÒØ Ö Ð Ö ÔÓ Ø µº ÒØ Ö Ð ( +) m d ÔÓ Ö ÐÙÐ ÐÑ ÒØ ÓÐÓ Ò Ó z = + ÕÙ Ð ÔÓ Ö ÐÙÐ ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ú Ò Ó ÕÙ ( +) m ( +) m = ( +) m ( +) m. Ç ÙÒ Ó Ø ÖÑÓ Ö Ø ÔÓ Ö ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ ÓÐÓ Ò Ó f() = g () = º È Ö Ø Ð Ú Ö ÓÙÖ ÒØ Ó Ôº¾¾ º Ò Ò Ó ( +) m d I m = ( +) m, Ó Ø ÑÓ Ö Ð Ó Ö ÓÖÖ Ò m 3 I m = + (m )( +) m (m ) I m. d Æ Ö ÓÖÖ Ò Ø ÑÓ ÕÙ I = ( +) = arctanº

169 º º ÁÆÌ Ê Ç ÈÇÊ Ê Ë È Ê Á ÁË ½ Ê ÙÑÓ Ö È Ö ÙÑ ÕÙ Ó Ö Ù p Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ó Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ a b c > º p() ( a)( b) = A a + B b p() ( a) = A a + B ( a) p() ( a) ( b) = A a + B ( a) + C b p() +c = A+B +c p() ( +c) = A+B +c + C+D ( +c) º Ü ÑÔÐÓ ½ ÐÙÐ ++5 ( ) dº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ÉÙ Ö ÑÓ ++5 ( ) = a + b + c È Ö ÐÙÐ Ö a,b,c ÓÐÓ ÑÓ Ó Ð Ó Ö ØÓ ÓÑ Ó Ñ ÑÓ ÒÓÑ Ò ÓÖ ++5 ( ) = a( )+b( )+c ( ) = (a+c) +(b a) b. ( ) Á Ù Ð Ò Ó Ó Ó ÒØ a+c = b a = b = 5µ Ó Ø ÑÓ ÕÙ ++5 ( ) = Ø ÒØ Ö Ö ÙÑ Ó Ø ÖÑÓ Ö Ø Ô Ö Ó Ø Ö ÕÙ ++5 ( ) d = 7log log.

170 ½ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä Ç ÖÚ Ó Ü Ø Ó Ñ Ó Ñ ØÓ Ó À Ú ÓÚ Ö¹ÙÔ Ñ Ø Ó µ Ô Ö ¹ Ó Ö Ö Ó ØÓÖ ÓÑÔÓ Óº Î Ò Ï Ô Ó Ø Ô Ó È ÖØ Ð Ö Ø ÓÒ È ÖØ Ð Ö Ø ÓÒ Ò ÒØ Ö Ø ÓÒº ÍÑ Ü ÑÔÐÓ Ô Ö Ó Ø Ö A,B Ñ 3+ (+3)(+) = A +3 + B +. ÅÙÐØ ÔÐ ÕÙ Ó Ó Ð Ó ÔÓÖ (+3)(+) 3+ = A(+)+B(+3). ÌÓÑ = Ô Ö Ó Ø Ö = B ÔÓÖØ ÒØÓ B = º ÌÓÑ = 3 Ô Ö Ó Ø Ö 8 = ( )A ÔÓÖØ ÒØÓ A = 4º Ü ÑÔÐÓ ½ ¼ ÐÙÐ 5 ( ++) dº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ¼ ÉÙ Ö ÑÓ 5 ( ++) = a + b+c ++ + d+e ( ++). ÓÐÓ Ò Ó Ó Ð Ó Ö ØÓ ÓÑ Ó Ñ ÑÓ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ù Ð Ò Ó Ó Ø ÖÑÓ Ú ÑÓ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ó Ó Å Ü Ñ ÒÓÚ Ñ ÒØ µ 5 ( ++) = ( ++) 5 Ç ÐØ ÑÓ Ø ÖÑÓ ÐÑ ÒØ ÒØ Ö Ú Ð 5log º ÉÙ ÒØÓ Ó Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ó ÖÚ ÕÙ + + = ( + /) + 3/4 = 3/4((/ 3/4 + // 3/4) + º Ñ ØÓÑ = (+/)/ 3/4 = (+)/ 3 Ù Ø ØÙ Ò Ù ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ö º Ñ ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ö ÑÓ ÕÙ Ö ÓÐÚ Ö ÙÑ ÕÙ ØÖÓ ÒØ Ö d +, d +, d d ( +), ( +). ÔÖ Ñ Ö arctanº È Ö ÙÒ ÕÙ ÖØ ØÓÑ z = + dz = d Ó Ø Ò d dz + d = z = log z = log +, d dz ( +) = z = z = ( +). Ò ÐÑ ÒØ Ô Ö Ó Ø Ö ÖÓ Ø ÖÑÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ö ÓÖÖ Ò Ô Ö I m Ø ÑÓ ÕÙ d ( +) = I = ( +) + I = ( +) + arctan. ÂÙÒØ Ò Ó ØÓ Ó Ó Ô Ó ÓÙ Ñ Ð ÓÖ Ò ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Å Ü Ñ µ ( ) + ( 5)d ( ++) = 5log ++ 9 arctan log + 3 3/

171 º º Ê ÁÇË ÁÆÌ Ê Ä ½ ËÓ Ö Ü ÑÔÐÓ ÓÑÔÐ Ó ÓÑÓ Ø Ú ÓÔ Ò Ó Ó ËÔ Ú Ø Ü ÑÔÐÓ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ ÓÑÔÐ Ó ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ö Ô Ö ÔÖÓ¹ Ú Ú ÐÑ ÒØ ÓÒÚ Ò Ù ÚÓ ÕÙ ÒØ Ö Ó ÙÒ Ö ÓÒ ÔÓÖ Ö Ô Ö µ ÙÑ ÙÖ Ó Ø Ò ÓÑ ÒØ º º º µ Á ØÓ ÓÑ ÒØ Ô Ö ÐÑ ÒØ Ö Ó ÒÓ Óµ Ú Ö ÖÓº ËÔ Ôº ½ º Ç ÖÚ Ó Ì ÓÖ Ö Ô Ö ÔÓ Ö Ò Ö Ð Þ Ô Ö ÓÙØÖ ØÖÙØÙÖ Ð Ö º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó ØÓÖ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÙ ÙÒ Ó Ö Ù ÔÓ Ñ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓ º Ñ 8 = 9 = 3 3. Î Ò Ï Ô Ó Ø Ô Ó È ÖØ Ð Ö Ø ÓÒº Ð ÙÑ ÔÐ Ö È Ö ÍÑ ÑÓ ÐÓ ÑÔÐ Ö Ñ ÒØÓ ÔÓÔÙÐ ÓÒ Ð ÓÑ Ð Ñ Ø Ó Ú Ó Þ Ö ÙÖ Ó Ó Ñ Ó ÕÙ Ó ÐÓ Ø Î Ö ÙÐ Ø Ú Ï Ô ÄÓ Ø ÙÒØ ÓÒµ Ö ÙÐØ ÒÙÑ ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ù ÓÐÙÓ Ó Ø ÒØ Ö Ò Ó¹ ÔÓÖ Ö Ô Ö º ÉÙ Ò Ó Ö ÓÐÚ ÑÓ ÕÙ Ö Ò ÙØ Ð Þ Ò Ó ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ú Ö Ë Ó º Ôº½ µ Ò Ø ÑÓ Ö Ô Ö Ô Ö ÐÙÐ Ö ÓÐÙÓº º º º½ Ü Ö Ó ÁÒØ Ö Ð Ü Ö Ó Ü Ó Ü Ö Ó ½º Ø ÖÑ Ò Î Ö ÖÓ ÔÖÓÚ Ò Ó ÖÑ Ø Ú µ ÓÙ Ð Ó Ò Ó ÙÑ ÓÒØÖ ¹ Ü ÑÔÐÓµ µ Ë b a f()d = ÒØÓ f() = Ô Ö ØÓ Ó [a,b]º µ Ë f() Ô Ö ØÓ Ó [a,b] ÒØÓ µ Ë 3 Ú ÑÙ Ö Ú ÐÓÖº b a f() d º h()d = 9 ÑÙ ÖÑÓ Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ñ = Ñ = ÒØ Ö Ð Ü Ö Ó ¾º ØÙ Ò Ó ¾ Ôº½ Ó Ä Ñ Ôº½ Ö ÓÐÚ º Ë Ò Ó ÕÙ µ µ ¾ º Ùк¾¼½¼ f()d f()d f() d = 5, µ µ g() d = 3 f() d = 7, ÐÙÐ ( ) f()+g() d µ g(sen( )) d ( ) f(s)g(t)ds dtº

172 ½ µ h() d h() = { f(); ; 5; =. È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä Ü Ö Ó º ÓÒ Ö ÙÒÓ f() Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ÜÓº f() Ò F() = f(s)dsº Í Ò Ó ÕÙ ÒØ Ö Ð Ö ÓÑ Ò Ð Ö ÔÓÒ Ó Ù ÒØ Ø Ò º µ Ø ÖÑ Ò F(),F(),F(),F(3)º µ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ F Ö Ö º µ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð F º (5 t) Ü Ö Ó º ØÙ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾ Ôº½ ½ Ì µº ÓÒ Ö h() = dtº ¹ t 4 +6 Ø ÖÑ Ò µh() µ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ hö Ö µ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ðº Ü Ö Ó º ØÙ Ó ÓÖÓÐ Ö Ó ½¼ Ôº½ ½ Ì µº Ë Ò Ó ÕÙ h(s) = g (s) Ô Ö ØÓ Ó s R ÕÙ g() = Ke 3 +B C Ø ÖÑ Ò h(s) dsº Ü Ö Ó º ÐÙÐ µ ( ) d µ d µ (3+e t 7sent)dtº Ü Ö Ó º ØÙ Ë Ó º Ôº½ ÁÒØ Ö ÁÑÔÖ ÔÖ µº Ë Ñ ÐÙÐ Ö ÒØ Ö ÜÓ Ö Ú ÙÑ ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø ÙÑ ÒØ Ö Ð ÔÖ ÔÖ 5 d + µ e s ds µ log(5 ) µ d + µ d 4 º Ü Ö Ó º ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ô Ö ÔÖÓÚ Ö ÕÙ µ bc f(t)dt = c b f()d µ b+c f( c)d = ac a a+c a b f(u)duº Ü Ö Ó º ÐÙÐ Ù ÒØ ÒØ Ö ÔÓÖ Ù Ø ØÙ Óµ

173 º º Ê ÁÇË ÁÆÌ Ê Ä ½ µ µ 4 K 3d 3 d µ 3 cos( 3 )d sen(θ) µ dθ cos(θ) log (t) µ dt t µ cos e 5sen dº Ü Ö Ó ½¼º ÐÙÐ Ù ÒØ ÒØ Ö ÔÓÖ Ô ÖØ µ µ logd µ arctandº Ü Ö Ó ½½º ÐÙÐ Ù ÒØ ÒØ Ö Ò µ µ π π/4 (3 ) 4 d sen(θ)dθ µ µ + log3 + e /4 d s 3 dsº º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ <, ÈÖÓ Ð Ñ ½º ÓÒ Ö f() = < 4, Ø ÖÑ Ò 5 4 < 5. µ 3 f()d µ 3 f()d µ 5 ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ØÙ Ó Ä Ñ Ôº½ ÔÖÓÚ ÕÙ µ f() M ÒØÓ µ 6e e b a f()d M(b a) 4sen(e +5 +)logd eº f()dº e ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ Ö g() = sen(t )dtº ÐÙÐ g ()º ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó () = log(+sen( π))+ ÒÓ ÔÓÒØÓ ( π, log). π cos(s )ds ÈÖÓ Ð Ñ º ÐÙÐ µ f () f() = µ g (8) g() = 4 5 e t3 dt cos(+s )ds; ( ) log(t 3 +)dt dº 8

174 ½ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÕÙ p > ÒØ Ö ÜÓ Ó Ò Ø º + d µ µ d p º p ÈÖÓ Ð Ñ º ÒØ Ö Ð Ò Ò µ cos( k) 3 µ dk µ d µ sen(3+)d k 3 µ cossen d µ sen( t)dt µ e cosd µ sen(log)d µ e 3 s e ds µ +e dº ÈÖÓ Ð Ñ º ÒØ Ö Ð Ò µ µ µ log3 e d µ e +e d + + se 3s dt ds µ e t(logt) dt µ 3 8 µ d µ + + dº se s/ ds ÈÖÓ Ð Ñ º ÒØ Ö Ð ÓÑ Ñ ÙÐÓµ µ 4 d µ / logs ds µ e s dsº ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º Ø ÖÑ Ò () Ò Ó ÕÙ µ d d = + () = µ d d = + e () = e. ÈÖÓ Ð Ñ ½½º ÁÒØ Ö ÁÑÔÖ ÔÖ µ 6 d + d µ 4 º µ log 3 e µ e 3 e d ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º Ø ÖÑ Ò µ lim log(t 9 + e +3)dt µ ÙÑ ÙÒÓ f Ø Ð ÕÙ f() = ÕÙ π e s f (s)ds = 3 Ô Ö ØÓ Ó Rº º º ÜØÖ ÜØÖ ½º Ø ÖÑ Ò ÌÇ ÇË Ó Ú ÐÓÖ R ÓÒ ÙÒÓ Ë () = ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ðº sent t dt ÔÓ Ù ÜØÖ ¾º Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó ÙÒÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ò Ó

175 º º Ê ÁÇË ÁÆÌ Ê Ä ½ µ f() = µ h() = 7 log(e t +t )e t d ÒÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ = e s ds ÒÓ ÔÓÒØÓ = º s + ÜØÖ º ÓÒ Ö ÙÑ Ñ Ú Ð ÔÖ Ó ÙÑ ÑÓÐ Ð Þ Ò Ó Ó Ö ÙÑ ÙÔ Ö Ñ ØÖ ØÓ Ú ÙÖ ÜÓµº ËÙ Ð Ö Ó ÔÓÖ a(t) = Aω cos(ωt) t ÓÒ A ω Ó ÓÒ Ø ÒØ µº ÆÓ Ò Ø ÒØ t = Ó Ñ Ú Ð Ø Ò ÔÓ Ó () = Ø Ñ Ú ÐÓ v() = º Ø ÖÑ Ò ÙÒÓ (t) ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÔÓ Ó Ó ÓÖÔÓ Ó ÐÓÒ Ó Ó Ø ÑÔÓº A A ÜØÖ º Ë f(s) = s s sen(t) t dtº Ø ÖÑ Ò f (s)º t ÜØÖ º ÓÒ Ö F() = dtº t + µ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓ ÕÙ F Ö ÒØ ÓÒ Ö ÒØ µ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓ ÕÙ Ó Ö Ó F ÔÓ Ù ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓ ÓÒ Ô Ö Ñ µ Ó Ú ÐÓÖ ÓÒ F Ø Ò ÙÑ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð Ó Ú ÐÓÖ ÓÒ Ø Ò ÙÑ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ðº ÜØÖ º Ë Ò Ó ÕÙ 3 f(s)ds = 7 3 f(s)ds = 3 Ø ÖÑ Ò f(+)dº ÜØÖ º Ø ÖÑ Ò ÙÒÓ (θ) Ò Ó ÕÙ µ d d = cos(5θ)+3 (π) = 5π µ dθ d = + () = 3º ÜØÖ º ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÑÓÚ ¹ Ó ÐÓÒ Ó ÙÑ ÙÖÚ = f() ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ ÔÓÒØÓ (,) ÙÖÚ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ø Ñ ÒÐ Ò Ó +º ÕÙ Ó ÙÖÚ Ò Ó ÕÙ Ð Ô Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ (,)º ÜØÖ º ÒØ Ö Ð ÓÑ Ñ ÙÐÓµ µ 4 3+ d µ 3 + d µ dº 3 ÜØÖ ½¼º ÒØ Ö Ð Ò Ò µ

176 ½ ¼ µ µ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä logd logd µ µ (log) d µ (cos()) d e e +e + d µ e 3sen()+4 cos()d µ e cos(e +3)dº ÜØÖ ½½º ÒØ Ö Ð Ò µ e / µ d µ µ µ / π/ log3 log cosθ senθdθ e e +4 d log µ µ 3 e d µ d t t + dtº 4 log d µ 4π π sen d ÜØÖ ½¾º ÁÒØ Ö ÁÑÔÖ ÔÖ µ + log µ d µ d (4 ) º ÜØÖ ½ º Í ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ Ô Ö ÔÖÓÚ Ö ÖÑÙÐ Ö ÙÓ ÒØ Ö Ð µ Ë I m = m e d ÒØÓ I m = m e mi m. µ Ë I m = m send J m = m cosd ÒØÓ I m = m cos + mj m J m = m sen mi m. Ç Ü Ø Ñ ÓÙØÖ ÖÑÙÐ Ö ÙÓ Ô Ö ÐÙÐÓ ÒØ Ö º Î Ó Ó º º º Ó Ó ½º Í ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ Ô Ö ÔÖÓÚ Ö ÖÑÙÐ Ö ÙÓ ÒØ Ö Ð d µ Ë I m = ( +) ÒØÓ I m 3 m m = + (m )( +) m (m ) I m µ Ë I m = sen m d ÒØÓ I m = m senm cos+ m m I m º Ç Ü Ø Ñ ÖÑÙÐ Ö ÙÓ Ô Ö ÐÙÐÓ ÒØ Ö ÔÓØ Ò ÒØ Ö Ó Ó ÒÓ Ø Ò ÒØ ÒØ º º º ÈÖÓ Ð Ñ ÁÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ö È Ö µ + ÈÖÓ Ð Ñ ½º ÐÙÐ d +b+c b 4c <. ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ËÙÔÓÒ ÕÙ a b a º ÐÙÐ d µ ( a)( b) µ d ( a) º

177 º º Ê ÁÇË ÁÆÌ Ê Ä ½ ½ ÈÖÓ Ð Ñ º À Ôº¾ ¾ Ø ÖÑ Ò A+B d a +b+c µ = b ac > µ < µ = º

178 ½ ¾ È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê Ä

179 Capítulo 6 Aplicações da Integral Ç Ø ÚÓ ÓÑ ÑÓ ÓÑ ÔÐ ÒØ Ö Ó ýö ÚÓÐÙÑ ÔÓÖ Ø Ñ ÒØÓ ÈÖ Ò Ô Ó Ú Ð Ö µ ÒÐÙ Ò Ó Ð Ó Ö ÚÓÐÙÓº Ò ÑÓ Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ó ÙÑ ÙÒÓ ÙÑ ÑÔÓÖØ ÒØ Ñ ÔÖÓ Ð º Ð Ñ Ó ÔÖ ÒØ ÑÓ Ú Ö ÔÐ ÓÔ ÓÒ ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ÙÖÚ Ö ÙÔ Ö Ð Ó Ö ÚÓÐÙÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ö ÓÙÖ Ö ÓÑ ÔÐ Ó Ó Ô ÖÓ ÅÈ Ô Ö Ñ µº º½ ýö ÒÓ ÈÐ ÒÓ ÁÒØÖÓ ÙÞ ÑÓ ÒÓ Ô ØÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó ÓÒ ØÓ ÒØ Ö Ð ÓÑÓ Ö ÓÑ Ò Ðº Æ Ø Ó Ú ÑÓ ØÖ Ð Ö ÓÑ Ú Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÙÐ Ø Ñ µ Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÙ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ µ ÔÖÓÔÖ Ó ÒØ Ö Ó ÕÙ Ð ÕÙ µ ÒØ Ö Ò Ó µ µ Ø ÖÑ Ò Ö Ñ Ð ÓÖ ÒØ Ö Ö Ñ ÓÙ Ñ º Ì Ô Ñ ÒØ ÔÓ ÑÓ ÓÐ Ö Ñ ÙÑ ÓÔ Ö ÙÐØ Ö ÒÙÑ Ò ÒØ Ö Ð Ó ÒÚ Ù º È Ö ØÓ Ó ÓÓ Ó Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ðº Ó ÒÚ Ø ÓÖ Ú ÑÓ ÔÖ Ò Ö Ó ÙÒØÓ ØÖ Ú Ü ÑÔÐÓ º Ü ÑÔÐÓ ½ ½ Ø ÖÑ Ò Ö Ö Ó Ð Ñ Ø ÔÓÖ = 4 = º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ½ ÈÖ Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓ Ó Ö Ó Ö Ó º = = ¼ ¾ º Ùк¾¼½¼ ½

180 ½ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÁÆÌ Ê Ä ÓÖ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Óº È Ö > Ô Ö < ÒØ Ö ÓÓÖÖ Ñ ÕÙ Ò Ó 4 = 4 = º Ê ÓÐÚ Ò Ó Ó Ø ÑÓ = ±4º È Ö (,) Ø ÑÓ ÕÙ Ö ÓÐÚ Ö + 4 = º Ç Ø ÑÓ Ö Þ Ð = ± 8 ÕÙ ÒÓ Ô ÖØ Ò Ñ Ø ÒØ ÖÚ ÐÓº Ñ Ö Ù Ð ÓÑ ÒØ Ö 4 (( 4) ( ))d+ Ñ Ö 4 ( +6)d+ ((4 ) ( ))d+ (4 3 )d+ 4 4 (( 4) ( ))d. ( +6)d. ÓÑÓ ( +6)d = ( +6)d = 4 3 ÓÐÓ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø ÒØ Ö Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ö Ù Ð 4/3+8+4/3 = 3/3º ÆÓØ ÕÙ ÔÓÖ Ñ ØÖ ÔÓ Ö ÑÓ ÐÙÐ Ö ÓÑ ÒØ Ö Ö Ô Ö > ÑÙÐØ ÔÐ ¹Ð ÔÓÖ ¾ ((4 ) ( ))d+ 4 (( 4) ( ))d. Ü ÑÔÐÓ ½ ¾ Ø ÖÑ Ò Ö Ö Ó Ð Ñ Ø ÔÓÖ = = º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ¾ Î ÑÓ ÓÑ Ö Ô ÐÓ ÓÓ ÒÓØ Ò Ó ÕÙ = ± º = = 4 = È Ö ÐÙÐ Ö ÒØ Ö Ó ÙÖÚ Ú ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö ÓÐÙÓ = = + ÕÙ = = º ÓÑÓ = + Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ó (4,) (, )º Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ñ Ö Ö ÓÑ ¾ ÒØ Ö ( ( ))d+ 4 ( ( ))d = = 43/ 3 d+ 4 ( 4 3/ + 3 = = 9. ( +))d = ) 4 + =

181 º½º ýê ÆÇ ÈÄ ÆÇ ½ ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÔÓ ÑÓ ÒØ Ö Ö Ñ = Ø = Ö Ò ÙÒ = + = ÕÙ Ð ÙÒÓ Ø Ñ ÓÙØÖ µ (( +) )d = = 9. ÇÙØÖ ÔÓ Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÖÓ ÖÔÓÖ Þ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓÚ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ö Ó Ð Ñ Ø ÔÓÖ = = º Î ÑÓ Ó Ø Ö Ó Ö Ó = 4 = + ËÙ Ö Ö ÔÓÖ ((+) )d = = 9. Ñ Ú Ð ÔÖÓÚ Ø Ø Øºµ Ù ÒØ Ô Ö ÑÓ Ð Ñ ØÓ Ô Ö ÕÙ Ó Ö Ó Ö Ú ÒØ Ö Ð Ò ÓÙ ÓÑ ÒØ Ö Ò µ ÕÙ ÓÖÒ Ö ÓÙ Ñ ÒØ ÚÓÐÙÑ µº Ø ÒØ Ö Ó ÑÔÐ Ñ ÒÚÓÐÚ Ñ ÑÙ Ø ØÖÓ Ò Ò Ó Ð ÖÖ Ö Ö ØÑ Ø º ÖÖÓ ÓÑÙÑ ÆÓ Ö Ó Ö Ö Ó ÙÒ ÔÓÖ ØÖ Ò Ð Ó ÓÖ ÞÓÒØ Ð»Ú ÖØ Ð Ó Ø Ò Ó Ö Ó ÖÖ º ÆÓ Ö Ó Ö ÙÒÓ Ñ ÙÐÓº Î ÑÓ ÐÙÐ Ö Ö Ö Ò Ò Ø ÙØ Ð Þ Ò Ó ÒØ Ö ÑÔÖ ÔÖ º Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò Ö Ö Ó Ð Ñ Ø ÔÓÖ = = ÓÑ < º 3 ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ÒØ Ö Ó ÙÖÚ Ø ÖÑ Ò Ô Ð ÕÙ Ó = 3 = 3 ØÓ = = º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ô Ö > º Ñ Ö 3 + ( ) d = =.

182 ½ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÁÆÌ Ê Ä Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ô Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ô Ð ÕÙ Ó a +b +c = ÓÑ 4ac b > c >. ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÕÙ Ó Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ Ð Ô Ù Ó ÜÓ Ñ ØÖ ÔÓ¹ Ñ ÒÓ Ö Ô Ö Ð ÐÓ Ó ÜÓ ÓÙ º ÈÓ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö ÓÑÓ ÙÒÓ,a,b,c Ú Ò Ó ÕÙ Ó ÑÔÐ Ø ÓÑÓ ÙÑ ÕÙ Ó Ó ÙÒ Ó Ö Ù Ñ Ù Ó ÕÙ Ô Ò µ Ó ÔÓÖ (c) +(b) +(a ) =, () = (b) 4(c)(a ) = (4ac b )+4c. 4c ÓÑÓ 4ac b > c > ÔÓ ÑÓ Ò Ö D = 4ac b > K = Rº ÈÓÖØ ÒØÓ D () = 4c D ÙÑ Ô Ö ÓÐ ÓÑ ÓÒ Ú Ô Ö ÜÓ ÓÑ Ö Þ Ö 4c ± D = ±K. Ñ () ÓÑ ÒØ [ K, K]º Ò ÐÑ ÒØ ÔÐ Ò Ó ÖÑÙÐ Ö ÓÐÙÓ ÕÙ Ó Ó ÙÒ Ó Ö Ù () = b± () º Ñ Ö Ð Ô Ö Ù Ð ÒØ Ö Ð ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [ K, K] c ÙÒÓ b+ () c ÇÙ Ö Ð Ô Ù Ð b () c = (). c K K (4ac b )+4c d = c K K 4c D d. c ÈÖ ÑÓ ÔÓÖØ ÒØÓ ÒØ Ö Ö K K 4c D dº ÎÓÙ Ö ÓÐÚ Ö Ù ÓÖÑ Ø ÒØ Ö Ð µ ÈÓ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ù Ø ØÙ Ó ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ú Ôº½ ¼µ Ô Ö Ó Ø Ö ÕÙ ( 4c D d = 4c D + c ) D arcsen D. c ËÙ Ø ØÙ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø ÒØ Ö Ó Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÒÙÐ K K 4c D d = πc D = πc 4ac b. µ ÆÓØ ÕÙ K = 4c º ÓÐÓ Ò Ó D Ñ Ú Ò Ó Ø ÑÓ ÕÙ D K K ( ) 4c 4c D d = D K K D d = K D K d. K

183 º¾º ÎÇÄÍÅ Ë ÄÁ ÇË ½ ÆÓØ ÕÙ Ø ÒØ Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ö Ó Ñ ÖÙÐÓ Ö ÓKº Ñ Ð Ú Ð πk ÄÓ Ó K 4c D d = D πc D = πc πc =. D 4ac b K = πc D º ÆÓ Ó Ó Ö ØÓÖÒ Ò Ó ÖÑÙÐ Ö Ø Ú Ö ØÓ ÔÓÖ cº Ç Ø ÑÓ ÒØÓ ÕÙ π Ö Ð Ô º 4ac b º¾ ÎÓÐÙÑ Ë Ð Ó Ø ÖÑ Ò Ó ÚÓÐÙÑ ÒÓ ÐÙÐÓ ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ó ÒÓ ÈÖ Ò Ô Ó Ú Ð Ö º ÈÓ ÑÓ Ñ ¹ÐÓ ÓÖÑ Ñ Ù Ø Ú ÒÓ Ñ ØÓ Ó Ó Ø Ñ ÒØÓ ÓÙ Ó Ð Ñ Ô Ö Ó ÐÙÐÓ Ó ÚÓÐÙÑ º ÓÑÓ ÐÙ ØÖ Ó Ó ÖÚ Ô Ð ÑÓ ÙÖ ÜÓº Ð ÖÓ ÕÙ Ù Ô Ð ÑÓ ÔÓ Ù Ñ Ó Ñ ÑÓ ÚÓÐÙÑ º Á ØÓ ÓÓÖÖ ÔÓ Ó ÚÓÐÙÑ ÑÓ Ø µ Ù Ð ÒÓ ÑÔÓÖØ Ò Ó Ù ÔÓ Óº Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ú Ð Ö ÙÑ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ì ÓÖ Ñ Ù Ò ÕÙ Ô Ö Ñ ÙÖ Ó ÐÙÐÓ Ú Ò Ó Å ÁÒØ Ö Óº Î ÑÓ ÒÙÒ ¹ÐÓ ÓÑÓ ÙÑ Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ¾ ÈÖ Ò Ô Ó Ú Ð Ö µ ËÙÔÓÒ ÕÙ Ù Ö A B Ó Ô Ó Ó Ð Ó µ ØÓ ÓÒØ Ó ÒØÖ Ó ÔÐ ÒÓ Ô Ö Ð ÐÓ º Ë Ô Ö ØÓ Ó ÔÐ ÒÓ Π Ô Ö Ð ÐÓ Ø ÔÐ ÒÓ ÒØ Ö Ó Π ÓÑ A ÔÓ Ù Ö Ù Ð ÒØ Ö Ó Π ÓÑ B ÒØÓ Ó ÚÓÐÙÑ A Ù Ð Ó ÚÓÐÙÑ Bº ÆÓ Ü ÑÔÐÓ Ô Ð ÑÓ Ñ Ñ ÓÖ ÙÑ Ô Ð Ø Ò ÓÖÑ Ö ÒØ ÓÙØÖ ÒØ Ö Ó ÓÑ ÔÐ ÒÓ Ô Ö Ð ÐÓ Ñ ÓÒ Ð ØÓ ÔÓ ÖÓ ÖÙÐÓ Ñ ÑÓ Ö Ó Ù Ð Ó Ö Ó ÑÓ µ ÔÓÖØ ÒØÓ ÓÑ Ñ Ñ Ö º È ÖØ Ò Ó Ó ÔÖ Ò Ô Ó Ú Ð Ö ÔÓ ÑÓ ÙÞ Ö ÙÑ ÖÑÙÐ Ô Ö Ó ÐÙÐÓ ÚÓÐÙÑ º Ì ÓÖ Ñ ¾ ÓÒ Ö ÙÑ Ð Ó S R 3 ÓÒØ Ó ÒØÖ Ó ÔÐ ÒÓ = a = bº Ë A(s) Ö ÒØ Ö Ó Ó ÔÐ ÒÓ = s ÓÑ Sº ÒØÓ Ó ÚÓÐÙÑ S Ù Ð b a A(s) dsº ÈÖÓÚ ÈÓ ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö Ó ÚÓÐÙÑ S ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó ÔÖ Ò Ô Ó Ú Ð Ö º È Ö ØÓ ÓÒ Ö ÙÑ Ô ÖØ Ó [a,b] Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ I i = [s i,s i ] ÓÑ s i = s i s i º ËÙÔÓÒ ÕÙ A(s) ÓÒ Ø ÒØ Ù Ð A(s i ) Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ I i º ÒØÓ Ó ÚÓÐÙÑ Ø Ù Ð A(s i ) s i Ö Ú Þ ÐØÙÖ º Ñ Ó ÚÓÐÙÑ ØÓØ Ð ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ n A(s i ) s i. i=

184 ½ È ÌÍÄÇ º ÈÄÁ Ë ÁÆÌ Ê Ä ÉÙ Ò Ó Ô ÑÓ Ó Ð Ñ Ø ÓÑ s i Ó Ø ÑÓ ÖÑÙÐ Ó ÚÓÐÙÑ º ÆÓØ ÕÙ Ú Ö Ó ÓÑ Ø Ö Ó Ú Ö Ó Ö Ò ( )µ s i Ú Ö dsº Ü ÑÔÐÓ ½ ÙÞ ÖÑÙÐ Ó ÚÓÐÙÑ Ó ÓÒ Ö ØÓ Ö Ó r ÐØÙÖ hº Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÐÓ Ò Ó Ó Ø Ñ ÜÓ ÑÓ Ó ÕÙ ÓÖ Ñ Ó Ø Ñ Ø ÒÓ Ú ÖØ Ó ÓÒ Ó ÜÓ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ó ÓÒ Ø ÑÓ È Ö ÓÖØ ÓÑ Ó ÔÐ ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ Ø ÑÓ ÕÙ A() ÙÑ ÖÙÐÓ Ù Ö π º ÈÓÖ Ñ Ð Ò ØÖ Ò ÙÐÓ r h = º ÄÓ Ó = r º Ñ Ó ÚÓÐÙÑ h h π (r) d = πr h h h d = πr 3 h 3 h = = πr h h 3 3 = πr h 3. Ü ÑÔÐÓ ½ ÍÑ ÖÖ ÑÔ Ò ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÙÑ ÕÙ Ö ÓÑ Ù Ú Ö Ø ÒØ ÓÒ ÓÖÑ ÙÖ ÜÓº ÆÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÑÓ ØÖ Ó Ò ÙÖ ÙÑ Ú Ö Ø Ø Ñ ÓÖÑ Ô Ð ÕÙ Ó = º ÐÙÐ Ó ÚÓÐÙÑ ÖÖ º = ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÖØ Ò Ó ÓÑ ÔÐ ÒÓ = s ÓÑ s [,] Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ö Ó º Ü Ó = s ÒÓØ ÕÙ ÓÒ Ð ÒÓ Ó Ð Óµ Ó ÕÙ Ö Ó A(s) Ø Ö ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ (s) = sº Ë L Ó Ð Ó ÙÑ ÕÙ Ö Ó D Ù ÓÒ Ð ÔÓÖ È Ø ÓÖ L = D º Ñ Ö Ó ÕÙ Ö Ó L = D ( s) º ÄÓ Ó Ö A(s) = = ( s)º Ñ Ó ÚÓÐÙÑ Ê ÔÓ Ø ½º ( s)ds = s s s= =.

185 º¾º ÎÇÄÍÅ Ë ÄÁ ÇË ½ ÍÑ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó ÐÙÐÓ Ó ÚÓÐÙÑ Ð Ó Ö ÚÓÐÙÓº ÓÒ Ö ÙÑ ÙÒÓ = f() ÓÒØ ÒÙ ÔÓ Ø Ú Ù Ö Ð Ñ Ø Ô ÐÓ Ù Ö Ó Ó ÜÓ Ø Ò Ò ÙÖ ÜÓº ÊÓ Ò Ó Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÜÓ Ö Ó Ð Ñ Ø Ô ÐÓ Ö Ó ÙÒÓ Ó ÜÓ Ó Ø ÑÓ ÙÑ Ð Ó Ñ Ó Ð Ó Ö ÚÓÐÙÓ Ö Ó ÔÓÖ = f() ÓÑÓ Ò Ó Ò ÙÖ ÜÓº ÆÓØ ÕÙ Ó ÓÖØ Ô Ö = s ÖÓ ÖÙÐÓ Ù Ö A(s) = π(f(s)) º ÈÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ù ÚÓÐÙÑ ÔÐ Ò Ó ÖÑÙÐ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾ Ôº½ º Ü ÑÔÐÓ ½ ÙÞ ÖÑÙÐ Ó ÚÓÐÙÑ Ö Ö Ó Rº ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ÍÑ Ö ÔÓ Ö Ó Ø ØÖ Ú Ö ÚÓÐÙÓ Ö Ó ¹ Ð Ñ Ø Ô Ð ÙÒÓ = f() = R Ô Ö [ R,R] Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÜÓ º Ñ Ó ÚÓÐÙÑ R R π( R ) d = R R π(r )d = π ) (R 3 R = 4 3 = R 3 πr3. Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÒ Ö Ö Ó Ω Ó ÔÐ ÒÓ Ð Ñ Ø Ô ÐÓ ÜÓ = 3 = º Ø ÖÑ Ò Ó ÚÓÐÙÑ Ó Ð Ó Ö ÚÓÐÙÓ Ó Ö ÖÑÓ Ω Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÜÓ º ËÓÐÙÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ½ ÈÖ Ñ ÖÓ Ó ÓÓ = Ω = 3