MATEMÁTICA- 9.º ANO Setembro Escolas João de Araújo Correia

Transcrição

1 Escolas João de Araújo Correia ESCOLA SECUNDÁRIA DR. JOÃO DE ARAÚJO CORREIA MATEMÁTICA- 9.º ANO Setembro 2015 TEMA: Geometria exercícios saídos em TI e exames 1. Na figura está representado um decágono regular [ABCDEFGHIJ], inscrito numa circunferência de centro O. Os segmentos de reta [ID] e [HC] são diâmetros desta circunferência. a) Após uma rotação de centro em O e de amplitude 144 (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio), o ponto A desloca-se para uma posição que, antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata? b) Ao observar a figura, a Rita afirmou: «A amplitude do ângulo CDI é igual à amplitude do ângulo CHI» Uma vez que a Rita não tinha transferidor, como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão? Justifica a tua resposta. c) Com o auxílio de material de desenho, inscreve, na circunferência abaixo desenhada, um triângulo equilátero. O ponto que está marcado no interior da circunferência é o seu centro. Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo. Com o objetivo de facilitar a entrada na escola a pessoas com mobilidade condicionada, foi construída uma rampa. Para respeitar a legislação em vigor, esta rampa foi construída de modo a fazer com o solo um ângulo de 3, como se pode ver no esquema que se segue (o esquema não está à escala). Determina, em metros, o comprimento, c, da rampa. Indica o resultado arredondado às décimas e apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais. 3. Arrumaram-se três esferas iguais dentro de uma caixa cilíndrica. Como se pode observar no esquema: a altura da caixa é igual ao triplo do diâmetro de uma esfera; o raio da base do cilindro é igual ao raio de uma esfera. Mostra que: O volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é igual a metade do volume das três esferas. Nota: designa por r o raio de uma esfera. EX1ªch Os espigueiros são construções que servem para guardar cereais, ao mesmo tempo que os protegem da humidade e dos roedores. Por isso, são construídos sobre estacas (pés do espigueiro), de forma que não estejam em contacto direto com o solo. Se o terreno for inclinado, os pés do espigueiro assentam num degrau, para que o espigueiro fique na horizontal, como mostra a fotografia. 2. O acesso a uma das entradas da escola da Rita é feito por uma escada de dois degraus iguais, cada um deles com 10 cm de altura. No esquema do espigueiro, estão também representados os seis pés do espigueiro, bem como o degrau no qual eles assentam. Grupo 500 1/34

2 O esquema não está desenhado à escala. As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metros. a) O degrau onde assentam os pés do espigueiro é um prisma triangular reto. As duas bases deste prisma são triângulos retângulos. Determina (em metros) a altura a, do degrau. Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado, arredondado às décimas. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais. b) O espigueiro é um prisma pentagonal reto, cujas bases são pentágonos não regulares. Cada pentágono pode ser decomposto num retângulo e num triângulo isósceles. Determina (em metros cúbicos) o volume do espigueiro. Apresenta todos os cálculos que efetuares. 7. Nas figuras, podes observar o mesmo dado em duas posições distintas. Qual das quatro planificações seguintes é uma planificação desse dado? (A) (B) (C) (D) 5. Na figura, está representado, num referencial ortogonal (eixos perpendiculares), um triângulo [ABC]. O segmento de reta [BC] é perpendicular ao eixo dos xx. 8. Na figura, está representado um octógono regular [ABCDEFGH], inscrito numa circunferência de centro O. a) Sabe-se que AB 20, AC 5 e BC 5 Indica um valor aproximado por defeito e outro por excesso do perímetro do triângulo [ABC], a menos de 0,1. b) A imagem do segmento de reta [BC] obtida por meio de uma rotação de centro em A e amplitude 90 é um segmento de reta... (A)... paralelo ao eixo dos xx. (B)... paralelo ao eixo dos yy. (C)... perpendicular a [AB]. (D)... perpendicular a [AC]. 6. Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que: A, B e C são pontos da circunferência; o segmento de reta [AC] é um diâmetro; OAB = 30 a) Qual é a amplitude do arco AB (em graus)? b) Considera uma reta tangente à circunferência no ponto A. Seja D um ponto pertencente a essa reta. Sabendo que o ângulo BAD é agudo, determina a sua amplitude (em graus). Ao observar a figura, e sem efetuar medições, a Ana afirmou: «O quadrilátero [BDFH] é um quadrado.» Como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão? Justifica a tua resposta. Ex2ªch A TAGARELA é uma nova empresa de comunicações que opera em Portugal. O preço, P, em cêntimos, de uma chamada telefónica feita através desta empresa é calculado da seguinte forma: P = 8 + n.º de segundos de conversação, para além do 1.º minuto preço, em cêntimos, por segundo de conversação, para além do 1.º minuto Nesta fórmula, 8 é um valor fixo, em cêntimos, para pagar o início de qualquer chamada. Até ao fim do primeiro minuto de conversação, não há qualquer acréscimo de preço. Para além do primeiro minuto, o preço por segundo, em cêntimos, é calculado de acordo com o seguinte tarifário: Grupo 500 2/34

3 TIPO DE CHAMADAS (de acordo com a distância, d, em km, entre os telefones) LOCAIS d < 15 REGIONAIS d 15 e d 35 NACIONAIS d > 35 Horário Normal 9h - 21h 0,1 cêntimos 0,2 cêntimos 0,3 cêntimos Horário económico 0h - 9h e 21h - 24h 0,07 cêntimos 0,14 cêntimos 0,21 cêntimos Sabendo que a Marta vive em Vila Nova de Paiva e é cliente da TAGARELA, responde aos itens que se seguem. b (C) sen x (D) c sen x 11. O símbolo ao lado está desenhado nas placas do Parque das Nações que assinalam a localização dos lavabos. As quatro figuras a seguir representadas foram desenhadas com base nesse símbolo. Em cada uma delas, está desenhada uma reta r. Em qual delas a reta r é um eixo de simetria? (A) (B) c a a) Usando material de desenho e de medição e de acordo com a escala dada, assinala, pintando a lápis no mapa, a zona correspondente às chamadas regionais que a Marta pode efetuar de Vila Nova de Paiva. (Esta questão deve ser resolvida a lápis e não a tinta.) (C) (D) 12. Na fotografia (figura A), podes observar um dos vulcões de água da Alameda dos Oceanos, no Parque das Nações, em Lisboa. Estes vulcões expelem, periodicamente, jatos de água. Na figura B, está representado um cone de revolução. A parte sombreada desta figura é um esquema do sólido que serviu de base à construção do vulcão de água. b) A Marta efetuou, às 17 horas, uma chamada de sua casa para Faro, com a duração de 1 minuto e 20 segundos. Quanto irá pagar a Marta pela chamada, sabendo que Faro fica a mais de 400 quilómetros de Vila Nova de Paiva? Apresenta todos os cálculos que efetuares. 10. Na figura, está representado um triângulo retângulo em que: a, b, e c são as medidas de comprimento dos seus lados, em centímetros; x é a medida da amplitude de um dos seus ângulos agudos, em graus. Apresentam-se a seguir quatro igualdades. Apenas uma está correta. Qual? As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metros. 1,8 m e 0,6 m são os comprimentos dos raios das duas circunferências. A altura do cone é 6 m. Determina, em metros cúbicos, o volume do sólido representado no esquema a sombreado. Indica o resultado arredondado às unidades e apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. b a (A) sen x (B) sen x a b Grupo 500 3/34

4 13. Na figura, estão representados três retângulos, A, B e C, cujas dimensões estão indicadas em centímetros (cm). a) Apenas dois dos retângulos representados na figura são semelhantes. Indica a razão dessa semelhança, considerando-a uma redução. b) Existe um quadrado que tem o mesmo perímetro do que o retângulo A. Determina, em centímetros quadrados, a área desse quadrado. c) Imagina que o retângulo A está inscrito numa circunferência. Qual é o valor exato do diâmetro dessa circunferência? EX1ªch2006 b) A fotografia ao lado é a do monumento da praça dos Restauradores, em Lisboa. A altura desse monumento é de 30 metros. No dia 21 de Junho de 2006, às 15 horas e 38 minutos, qual foi, em metros, o comprimento da sombra projetada no chão pelo monumento? Começa por fazer um esboço que ilustre a situação. Indica o resultado arredondado às unidades e apresenta todos os cálculos que efetuares. 16. Na figura abaixo, está desenhado um triângulo equilátero que tem 6 cm de lado. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói a ampliação, de razão 1,5, deste triângulo. Efetua a construção a lápis. (Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo.) 14. Na figura ao lado, está representada uma circunferência, de centro O, em que: A, B, C e D são pontos da circunferência; DAB = 50 DOC = 60 Qual é, em graus, a amplitude do arco CB? 15. A altura, h, do Sol é a amplitude, medida em graus, do ângulo que os raios solares fazem com o plano do horizonte. O gráfico que se segue dá a altura do Sol às t horas do dia 21 de Junho de 2006, solstício de Verão, na região de Lisboa, de acordo com os dados do Observatório Astronómico de Lisboa. 17. A piscina da casa do Roberto vai ser decorada com azulejos. Em cada uma das quatro figuras que se seguem, estão representados dois azulejos. Em qual delas o azulejo da direita é imagem do azulejo da esquerda, por meio de uma rotação, com centro no ponto O, de amplitude 90 (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio)? (A) (B) (C) (D) a) Durante quantas horas é que a altura do Sol foi superior ou igual a 60? Grupo 500 4/34

5 18. Na figura, está representado um esquema da piscina da casa do Roberto, esquema que não está desenhado à escala. No esquema: as medidas estão expressas em metros; [ABCDEFGH] é um paralelepípedo retângulo; [IJKL] é uma rampa retangular que se inicia a 1,6 m de profundidade da piscina e termina na sua zona mais funda. a) Utilizando as letras da figura, indica dois planos concorrentes. b) Quantos litros de água serão necessários para encher totalmente a piscina? Apresenta todos os cálculos que efetuares. EX2ªch2006 a) Qual é a amplitude, em graus, do arco CD? b) Sabendo que AD 5, determina ED. c) Sem efetuares medições, explica por que é que a seguinte afirmação é verdadeira. «Os triângulos ADE e CDE são geometricamente iguais.» Ex1ªch Considera um segmento de reta [AB] com 4 cm de comprimento. a) Efetuou-se uma redução do segmento de reta [AB]. O segmento de reta obtido tem 0,8 cm de comprimento. Qual dos seguintes valores é igual à razão de semelhança desta redução? (A) 0,2 (B) 0,3 (C) 0,4 (D) 0,5 b) Na figura abaixo, está desenhado o segmento de reta [AB], numa malha quadriculada em que a unidade de comprimento é um centímetro. 19. Na figura, podes ver um cubo e, sombreada a cinzento, uma pirâmide quadrangular regular. A base da pirâmide coincide com a face ABCD do cubo. O vértice P da pirâmide pertence à face EFGH do cubo. a) Utilizando as letras da figura, indica uma reta que seja complanar com a reta EG e perpendicular a esta reta. b) Se a pirâmide da figura tivesse 9 cm 3 de volume, qual seria o comprimento da aresta do cubo? Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade de medida. 20. Diz-se que o ecrã de um televisor tem formato «4:3» quando é semelhante a um retângulo com 4 cm de comprimento e 3 cm de largura. O ecrã do televisor do Miguel tem formato «4:3», e o seu comprimento é de 60 cm. Determina a largura do ecrã. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade de medida. 21. Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que: E, F, G e H são pontos da circunferência; o segmento de reta BD é um diâmetro; E é o ponto de intersecção das retas FH e EG; o triângulo ADE é retângulo em E; CAD=30 Existem vários triângulos com 6 cm 2 de área. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói, a lápis, nesta malha, um desses triângulos, em que um dos lados é o segmento de reta [AB]. 23. Na figura ao lado, estão representados um quadrado [ABCD] e quatro triângulos congruentes. Em cada um destes triângulos: um dos lados é também lado do quadrado de área 36 cm 2 ; os outros dois lados são congruentes. a) Quantos eixos de simetria tem esta figura? b) Indica uma amplitude da rotação que transforma o triângulo [ABF] no triângulo [BGC]. c) Identifica uma isometria que transforme o triângulo [BCG] no triângulo [ADE]. d) Justifica que o triângulo [ABF] não pode ser obtido através de uma translação do triângulo [DCH]. e) A figura anterior é uma planificação de um sólido. Grupo 500 5/34

6 Relativamente ao triângulo [ABF], sabe-se que a altura relativa à base [AB] é 5 cm; AB 6 Qual é a altura desse sólido? Começa por fazer um esboço do sólido, a lápis, e nele desenha o segmento de reta correspondente à sua altura. Apresenta todos os cálculos que efetuares. 24. Para determinar a altura (h) de uma antena cilíndrica, o Paulo aplicou o que aprendeu nas aulas de Matemática, porque não conseguia chegar ao ponto mais alto dessa antena. No momento em que a amplitude do ângulo que os raios solares faziam com o chão era de 43, parte da sombra da antena estava projetada sobre um terreno irregular e, por isso, não podia ser medida. Nesse instante, o Paulo colocou uma vara perpendicularmente ao chão, de forma que as extremidades das sombras da vara e da antena coincidissem. A vara, com 1,8 m de altura, estava a 14 m de distância da antena. Na figura que se segue, que não está desenhada à escala, podes ver um esquema que pretende ilustrar a situação descrita. a) Em relação à figura, qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) A reta DH é paralela ao plano que contém a face [ABFE]. (B) A reta CG é oblíqua ao plano que contém a face [ABFE]. (C) A reta CB é perpendicular ao plano que contém a face [ABFE]. (D) A reta HG é concorrente com o plano que contém a face [ABFE]. b) Determina o volume do tronco de pirâmide representado na figura, sabendo que: AB 12 cm, EF 3 cm e que a altura da pirâmide de base [ABCD] e vértice I é 20 cm. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve a unidade de medida. Ex1ª Na figura, podes observar uma rampa de pedra, cujo modelo geométrico é um prisma em que as faces laterais são retângulos e as bases são triângulos retângulos; esse prisma encontra-se representado na figura. Qual é a altura (h) da antena? Na tua resposta, indica o resultado arredondado às unidades e a unidade de medida. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. 25. Sejam A, B e C três pontos distintos de uma circunferência em que o arco AB tem 180 de amplitude. Justifica a seguinte afirmação: «O triângulo ABC não é equilátero.» Ex2ªch Na figura, podes observar um modelo geométrico de um pacote de pipocas que é um tronco de pirâmide, de bases quadradas e paralelas, representado a sombreado. A pirâmide de base [ABCD] e vértice I, da figura, é quadrangular regular. 15 cm 5 cm Sabe-se que, neste prisma de bases triangulares: AB 300 cm, BC 250cm e BE 42cm a) Em relação à figura, qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) O plano que contém a face [ABE] é perpendicular ao plano que contém a face [AEFD]. (B) O plano que contém a face [ABE] é paralelo ao plano que contém a face [AEFD]. (C) O plano que contém a face [ABE] é oblíquo ao plano que contém a face [AEFD]. (D) O plano que contém a face [ABE] é coincidente com o plano que contém a face [AEFD]. b) Calcula a amplitude, em graus, do ângulo. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. c) Determina o volume do prisma representado na figura. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve a unidade de medida. 28. Num círculo de raio r, sejam d o diâmetro, P o perímetro e A a área. Qual das seguintes igualdades não é verdadeira? (A) A 2 r (B) A 2r (C) P 2r (D) P d Grupo 500 6/34

7 29. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O e diâmetro [AB]. O ponto C pertence à circunferência. Determina a amplitude, em graus, do ângulo α. Apresenta os cálculos que efetuares. 33. Na figura está desenhado um pentágono regular [ABCDE]. Em qual das quatro figuras que se seguem o pentágono sombreado é a imagem do pentágono [ABCDE] obtida por meio de uma rotação de centro no ponto A e amplitude 180? 30. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e um dos catetos 10 cm. Calcula a medida do comprimento do outro cateto. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado na forma de valor exato. Ex2ªch2008 (A) (C) (B) (D) 31. Ao lado está um esquema da estrutura das barracas existentes na praia do parque de campismo. No esquema: [ABCDEFGH] é um prisma quadrangular regular; [EFGHI] é uma pirâmide quadrangular regular; [IK] é a altura da pirâmide [EFGHI] ; [IJ] é uma altura do triângulo [EFI]. As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metros (m). a) Qual das seguintes retas é paralela ao plano ADH? (A) AB (B) IE (C) BF (D) EG b) Sabe-se que IJ 1m. De acordo com o esquema, determina o volume da barraca de praia. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade de volume. TI9ºMaio Num triângulo [PQR], a amplitude do ângulo com vértice no ponto P é 70. A amplitude do ângulo com vértice no ponto Q é igual à amplitude do ângulo com vértice no ponto R. Qual é a amplitude do ângulo com vértice no ponto Q? (A) 45 (B) 50 (C) 55 (D) Considera a figura seguinte, onde: 32. Na figura que se segue está representada uma circunferência de centro O, em que está inscrito um pentágono regular [PQRST]. a) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo TPQ? Apresenta todos os cálculos que efetuares. b) a circunferência tem raio 5; o triângulo [SOR] tem área 12. Determina a área da zona sombreada a cinzento na figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado arredondado às décimas. G é um ponto do segmento de reta [BF]; [ABGH] é um quadrado; [BCEF] é um quadrado; AH 6 e FG 2. a) Qual é o comprimento da diagonal do quadrado [ABGH]? Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado arredondado às décimas. b) Determina a área do quadrilátero [ACDG], sombreado a cinzento na figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares. c) Como se designa o quadrilátero [ACDG]? Não justifiques a tua resposta. TI8ºAbril2008 Grupo 500 7/34

8 36. Considera a figura, onde: [ABFG] é um quadrado de área 36; [BCDE] é um quadrado de área 64; F é um ponto do segmento de reta [BE]. a) Qual é a área total das zonas sombreadas da figura? (A) 64 (B) 66 (C) 68 (D) 70 b) Determina o valor exato de EG. c) Determina a área do triângulo [GEF] TI9ºJan Considera os triângulos [ABC] e [DEF] da figura e as medidas neles inscritas. Nota: Os triângulos não estão desenhados à escala. a) Justifica que os dois triângulos são semelhantes. b) Admite que o triângulo [DEF] é uma redução do triângulo [ABC] de razão 0,8. Qual é o perímetro do triângulo [ABC], sabendo que o perímetro do triângulo [DEF] é 40? (A) 50 (B) 40,8 (C) 39,2 (D) Escreve uma expressão simplificada do perímetro do trapézio da figura. 39. Na figura está representado um pódio constituído por três prismas quadrangulares regulares de bases iguais Na figura sabe-se que: [ACDF] é um quadrado de lado 4. B é o ponto médio do segmento de reta [AC]. EF 1 a) Qual é a medida do comprimento de [AE]? Escreve o resultado arredondado às décimas. b) Qual é a área da região sombreada? 41. No clube desportivo os sócios estão a desenhar no chão um tabuleiro do jogo de damas. O tabuleiro representado na figura 4 tem a forma de um quadrado, dividido em 64 quadrados pequenos, todos geometricamente iguais (casas). Figura 5 TI8ºAbril2009 Figura 4 O tabuleiro vai ter uma área de cm 2. As peças para este jogo têm todas a forma de um pequeno cilindro, tal como se mostra na figura 5. Qual é, em centímetros, o maior diâmetro que a base das peças pode ter para ficar contida numa casa do tabuleiro? Apresenta os cálculos que efetuares. 42. Na figura sabe-se que: [ACEF] é um quadrado [BCDG] é um quadrado AC x BC 8 Escreve uma expressão simplificada para o perímetro da região sombreada. Mostra como chegaste à tua resposta. Todos os prismas têm área da base igual a 2. A altura do prisma referente ao 2.º lugar é da altura do prisma referente ao 1.º lugar. A altura do prisma referente ao 3.º lugar é da altura do prisma referente ao 1.º lugar. a) Supõe que o volume total do pódio é igual a 15. Qual é o volume do prisma referente ao 2.º lugar? Mostra como chegaste à tua resposta. b) Qual das condições seguintes traduz a relação entre o volume, V, e a altura, h, de cada um destes prismas? V V 2 V 1 V (A) 2 (B) (C) (D) 15 h h 3 h 3 h 43. No jardim do clube desportivo Os Medalhados, existem duas balizas. A figura representa um esquema de cada uma das balizas. Os triângulos [ABC] e [DEF] são retângulos em A e em D, respetivamente. [BEFC] é um retângulo. Nota: a figura não está desenhada à escala. a) Qual é a posição relativa entre o poste da baliza representada na figura pelo segmento [AC] e o plano que contém a parte lateral representada na figura pelo triângulo [DEF]? (A) Concorrente oblíqua. Grupo 500 8/34

9 (B) Estritamente paralela. (C) Concorrente perpendicular. (D) Contida no plano. b) AB 120cm ; BE 180cm AC 160cm Determina a área do retângulo [BEFC] do esquema da baliza representada na figura 7. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve a unidade de medida. TI9ºFev A figura [ABCDEFGH] é um octógono regular inscrito na circunferência de centro O. Qual é a imagem do triângulo [AOB] obtida por meio da rotação de centro no ponto O e de amplitude 135, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio? (A) [COD] (B) [EOD] (C) [HOG] (D) [GOF] 45. Na figura, sabe-se que: O é o centro da circunferência; [AB] e [BC] são cordas geometricamente iguais; D é o ponto de intersecção do diâmetro [EB] com a corda [AC]. Nota: A figura não está construída à escala. a) Qual é, em graus, a amplitude do arco AC, supondo que ABC = 28? b) Qual é, em centímetros, a medida do comprimento de [DE], supondo que AO 6,8cm AC 6,4 cm Apresenta os cálculos que efetuares. 46. A figura 5 é a imagem de um monumento situado no centro de uma cidade. Todos os blocos desse monumento resultam de um corte de um prisma quadrangular reto. A figura 6 representa o modelo geométrico de um dos blocos do mesmo monumento. a) Em relação à figura 6, qual das seguintes afirmações é verdadeira? Assinala a alternativa correta. (A) A reta EG é paralela ao plano que contém a face [ABCD]. (B) A reta EG é perpendicular ao plano que contém a face [ABCD]. (C) A reta FB é paralela ao plano que contém a face [ADGE]. (D) A reta FB é perpendicular ao plano que contém a face [ADGE]. b) Na figura 6, sabe-se que AB 2 m e que AEˆ B 35º Qual é, em metros, a medida do comprimento de [EB]? Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. c) No sólido representado na figura, sabe-se que [ABCDEFGH] é um prisma quadrangular reto, e que DA DC 2 m e DH 5 m Qual é, em metros cúbicos, o volume da pirâmide triangular sombreada? Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas. Ex1.ªch No jardim da família Coelho, encontra-se um balancé, com uma trave de 2,8 m de comprimento, como o representado na figura 1. Quando uma das cadeiras está em baixo, a trave do balancé forma um ângulo de 40 com o solo, tal como mostra a figura. Determina, em metros, a altura máxima, a, a que a outra cadeira pode estar. Figura 5 Figura 6 Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas. Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. 48. A família Coelho vai mandar fazer floreiras em cimento. A figura é um esquema dessas floreiras: a região mais clara é a parte de cimento, e a mais escura é a cavidade que vai ficar com terra, para as flores. O modelo geométrico das floreiras tem a forma de um cubo com 50 cm de aresta. A cavidade que vai ficar com a terra tem a forma de Grupo 500 9/34

10 um prisma quadrangular reto, com a mesma altura da floreira e 40 cm de aresta da base. a) Determina, em centímetros cúbicos, o volume da parte de cimento da floreira. Apresenta os cálculos que efetuares. b) Utilizando as letras da figura, identifica uma reta perpendicular ao plano que contém a base da floreira. 49. Na figura, sabe-se que: o diâmetro [BD] é perpendicular ao diâmetro [AC]; [OHDE] e [OFBG] são quadrados geometricamente iguais; o ponto O é o centro do círculo; OC = 2 cm. a) Escreve, em graus, a amplitude do ângulo ACB. b) De entre as transformações geométricas indicadas nas alternativas seguintes, assinala a que não completa corretamente a afirmação que se segue. O quadrado [OHDE] é a imagem do quadrado [OFBG], através da transformação geométrica definida por uma: (A) rotação de centro no ponto O e amplitude 180. (B) rotação de centro no ponto O e amplitude 180. (C) simetria axial de eixo AC (D) simetria axial de eixo DB. c) Determina o valor exato, em centímetros, da medida do lado do quadrado [OFBG]. Apresenta os cálculos que efetuares. Ex2.ªch Na figura que se segue, os vértices do quadrado [IJKL] são os pontos médios das semidiagonais do quadrado [ABEF]. A intersecção das diagonais dos dois quadrados é o ponto O. Os lados [CD] e [HG] do retângulo [HCDG] são paralelos aos lados [BE] e [AF] do quadrado [ABEF] e [CD] mede o triplo de [BC]. a) Qual é a amplitude do ângulo EAB? b) Sabendo que a medida da área do quadrado [ABEF] é 64, calcula a medida do comprimento do segmento de reta [OB]. Na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas. c) Em relação à figura, qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) O triângulo [AOB] é escaleno. (B) O triângulo [AOB] é acutângulo. (C) O trapézio [ACDE] é isósceles. (D) O trapézio [ACDE] é retângulo. 51. A figura representa uma sala de cinema. O João sentou-se no último lugar da última fila, assinalado, na figura, pelo ponto A. O ângulo de vértice A é o seu ângulo de visão para o ecrã. No cinema, as pessoas que se sentam no lugar em que o João está sentado devem ter um ângulo de visão de, pelo menos, 26, sendo o ideal 36, para que possam ter uma visão clara do filme. Tendo em atenção as medidas indicadas na figura, determina a amplitude do ângulo de visão do lugar do João. Na tua resposta, apresenta os cálculos que efetuares e explica se a amplitude obtida permite uma visão clara do filme. 52. Na figura está representada uma circunferência. [AC] é um diâmetro de comprimento 15. B é um ponto da circunferência. AB 12 a) Justifica que o triângulo [ABC] é retângulo em B. b) Calcula a área da região sombreada da figura. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. 53. A figura 1 apresenta um pormenor arquitetónico da casa do Cipreste, de Raul Lino, em Sintra. Na figura 2, estão a representação geométrica de parte do pormenor arquitetónico e o vetor v. Grupo /34

11 Figura 1 Figura 2 Em qual das alternativas seguintes estão representadas a figura 2 e a imagem dessa figura através da translação associada ao vetor v? Escreve, na folha de respostas, a letra da alternativa correta. (A) (B) (C) (D) 54. Na figura 6 está representado um esquema da piscina que a mãe da Marta comprou para colocar no jardim. A figura 7 representa um esquema da base da piscina. Figura 6 Figura 7 Na figura 6, [ABCDEFGHIJKL] é um prisma regular e BH 1, 5m. Na figura 7, [ABCDEF] é um hexágono, v BC 2 m e OM 3 m. a) Calcula, em metros cúbicos, a capacidade da piscina. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais. b) A mãe da Marta vai colocar dentro da piscina um escorrega. Está representado um esquema do escorrega na figura ao lado. Qual é, em graus, a amplitude do ângulo α? Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. TI9ºMaio Os comprimentos dos lados de um triângulo podem ser 10 cm, 12 cm e 23 cm? Justifica a tua resposta. 56. Na figura, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um retângulo [ABCD]. A figura não está desenhada à escala. BDA = 70 AB = 4,35 cm a) Qual é a amplitude, em graus, do arco AB? b) Quantos eixos de simetria tem o retângulo [ABCD]? c) Qual é o comprimento, em cm, do diâmetro [BD] da circunferência? Apresenta os cálculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado às centésimas. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. 57. A figura representa um modelo geométrico de uma caixa de chocolates que o Manuel fez para vender num arraial. Relativamente à Figura, sabe-se que: [ABCDEFGH ] é um prisma quadrangular regular. [EFGHI ] é uma pirâmide quadrangular regular, de altura IJ a) Qual é a posição da reta HG relativamente ao plano ABF? (A) Concorrente perpendicular (B) Concorrente oblíqua (C) Estritamente paralela (D) Contida no plano b) Determina o volume, em cm 3, do sólido representado na figura, sabendo que: AB 13cm ; BF 19 cm ; IJ 6 cm Apresenta os cálculos que efetuaste. Ex1ªch Relativamente à figura, sabe-se que: [ACEG] é um quadrado de lado 4 e centro O; os pontos B, D, F e H são os pontos médios dos lados do quadrado [ACEG]; os vértices do quadrado [ACEG] são os centros das circunferências representadas na figura; o raio de cada uma das circunferências é 2 ; Grupo /34

12 o ponto I pertence à circunferência de centro no ponto A; o ponto A pertence ao segmento de reta [IO ]. A Figura 6 é um esquema desse triângulo. O esquema não está desenhado à escala. a) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo BIH? b) Determina a área da região sombreada. Apresenta os cálculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado às décimas. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. c) Determina o comprimento de [IO ]. Apresenta os cálculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado às décimas. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. 59. A Figura representa um modelo geométrico de um comedouro de um camelo. Este modelo não está desenhado à escala. Relativamente à figura, sabe-se que: [ABCDI] é uma pirâmide reta de base retangular; [ABCDEFGH] é um tronco de pirâmide de bases retangulares e paralelas. a) Qual é a posição da reta AI relativamente ao plano EFG? (A) Concorrente perpendicular (B) Concorrente oblíqua (C) Estritamente paralela (D) Contida no plano b) Determina o volume, em cm 3, do tronco de pirâmide representado na Figura, sabendo que: AB 48 cm, BC 40 cm, EF 30 cm, FG 25 cm a altura da pirâmide [ABCDI] é 80cm, e a altura do tronco de pirâmide é 30cm. Apresenta os cálculos que efetuaste. Nota Nos cálculos intermédios utiliza sempre valores exatos. c) A Figura 5 mostra um comedouro de um camelo. Imaginou-se um triângulo retângulo [ABC], em que o cateto [AB] representa o suporte do comedouro e o cateto [BC] representa a sombra desse suporte. Figura 5 Figura 6 AB 1,26 m, BC 0, 6 m, Qual é a amplitude, em graus, do ângulo ACB? Escreve o resultado arredondado às unidades. Ex2ª O astrónomo e matemático Ptolomeu enunciou a propriedade seguinte: «Num quadrilátero inscrito numa circunferência, a soma dos produtos das medidas dos lados opostos é igual ao produto das medidas das diagonais.» Na figura, está representado um trapézio [ABCD ] inscrito numa circunferência. A figura não está desenhada à escala. AB 12 AC BD CD 9 AD BC Determina o valor exato de Grupo /34 e 150 AD, utilizando a propriedade enunciada por Ptolomeu. 61. Escreve uma expressão simplificada, na variável x, que represente a área do trapézio retângulo da figura. 62. Numa das estruturas de apoio de um desses painéis, imaginou-se um triângulo retângulo. A figura é um esquema desse triângulo. O esquema não está desenhado à escala. Relativamente ao triângulo retângulo [ABC], sabe-se que: AB 2, 5m BC 1, 7m

13 Qual é a amplitude, em graus, do ângulo CAB? Escreve o resultado arredondado às unidades. Nota: Nos cálculos intermédios, conserva duas casas decimais. 63. Para assegurar a atividade de prevenção, vigilância e deteção de incêndios florestais, existem torres de vigia. A Figura 1 é uma fotografia de uma dessas torres. Para determinar a altura da plataforma da torre, imaginaram-se dois triângulos retângulos, semelhantes, representados na Figura O Miguel e a Joana construíram uma caixa que servirá para colocar embalagens de plástico destinadas à reciclagem. A caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo com 0,24 m 3 de volume. A figura representa um esquema da caixa construída. AB 1,2 m BC 0,5 m Determina AE, em metros. Apresenta os cálculos que efetuaste. A Figura 3 representa um esquema desses dois triângulos. O esquema não está desenhado à escala. DC 2, 5 EC 1, 6 Figura 1 Figura 2 AB 4, 8 Qual é o comprimento, em metros, de [CB]? 64. Na figura, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um hexágono regular [ABCDEF]. a) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo DOC? b) Relativamente à figura, sabese ainda que: a circunferência tem raio 4; Figura 3 o triângulo [DOC] tem área 4 3 Determina a área da região sombreada. Escreve o resultado arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuaste. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. c) Considera a rotação de centro no ponto O e de amplitude 240 (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio). Qual é a imagem do ponto D obtida por meio dessa rotação? TI9ºMaio Um triângulo cujas medidas dos comprimentos dos lados são 21, 28 e 30 é um triângulo retângulo? 67. De um triângulo [RST ], sabe-se que: RS 5 RT 4 Entre que valores pode variar a medida do comprimento do lado [ST ]? Transcreve a letra da opção correta. (A) Todos os valores entre 0 e 9, incluindo o 0 e o 9. (B) Todos os valores entre 0 e 9, excluindo o 0 e o 9. (C) Todos os valores entre 1 e 9, incluindo o 1 e o 9. (D) Todos os valores entre 1 e 9, excluindo o 1 e o Na figura, estão representados dois hexágonos regulares. o comprimento do lado do hexágono exterior é cinco vezes maior do que o comprimento do lado do hexágono interior; a área do hexágono interior é 23 cm 2. Determina a área, em cm 2, da parte sombreada a cinzento na figura. TI8ºAbril Na figura, está representado o quadrado [ABCD]. O lado do quadrado é 10 E, F, G e H são os pontos médios dos lados [AB], [BC], [CD] e [DA], respetivamente. a) Qual é a medida de [EF]? Escreve o resultado arredondado às décimas. b) Qual é a área da região sombreada [AEFCGH]? Grupo /34

14 (A) 100 (B) 75 (C) 50 (D) 45 TI9ºFev Na Figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência; [AD] é um diâmetro da circunferência; o ponto P é o ponto de intersecção dos segmentos de reta [AC] e [BD] CAD = 40 A figura não está desenhada à escala. a) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? Assinala a opção correta. (A) O ponto O pertence à mediatriz do segmento [AP] (B) O ponto O pertence à mediatriz do segmento [BC] (C) O ponto B pertence à mediatriz do segmento [BC] (D) O ponto B pertence à mediatriz do segmento [AP] b) Qual é a amplitude, em graus, do arco AC? c) Relativamente ao triângulo retângulo [AED], admite que: AE 6, 8 cm DE 3, 2 cm Determina o perímetro da circunferência representada na Figura 2. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. 71. A figura representa um modelo geométrico duma choupana. O modelo não está desenhado à escala. O modelo representado na figura é um sólido que pode ser decomposto num cilindro e num cone. Sabe-se ainda que: a base superior do cilindro coincide com a base do cone; a altura do cilindro é igual à altura do cone; a área da base do cilindro é 12 m 2 o volume total do sólido é 34 m 3 Determina a altura do cilindro. Apresenta o resultado em metros, na forma de dízima. Apresenta os cálculos que efetuares. 72. Na figura, estão representados um paralelepípedo [ABCDEFGH] e uma pirâmide [HDPC], sendo P um ponto de [AB] a) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? Assinala a opção correta. (A) As retas DP e BC são concorrentes. (B) As retas DP e BC são não complanares. (C) As retas AB e HG são concorrentes. (D) As retas AB e HG são não complanares. b) Admite que: DP 5 cm DPH = 32 Determina a área do triângulo [DPH] Apresenta o resultado em cm 2, arredondado às décimas. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. c) Admite agora que o volume da pirâmide [HDPC] é igual a 10cm 3. Qual é o volume, em cm 3, do paralelepípedo [ABCDEFGH]? Ex1ªch A figura representa um modelo geométrico de uma casa típica da ilha da Madeira. O modelo não está desenhado à escala. O modelo representado na figura é um sólido que pode ser decomposto num prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] e num cone de vértice J Sabe-se ainda que: o quadrado [EFGH], base superior do prisma, está inscrito na base do cone; o diâmetro da base do cone é igual à diagonal das bases do prisma; AB 4 m IJ 3m o volume total do sólido é 57m 3 Determina a altura do prisma. Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Grupo /34

15 74. Na Figura, está representada uma circunferência. A figura não está desenhada à escala. os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência; o ponto P é o ponto de intersecção das cordas [AC] e [BD] a amplitude do arco BC é 80 a amplitude do ângulo DPC é 85 a) Determina a amplitude, em graus, do ângulo DBA. Apresenta os cálculos que efetuares. b) Os triângulos [ABP] e [DCP] são semelhantes. Admite que: DP 2AP a área do triângulo [ABP] é 6 cm 2 Qual é a área, em cm 2, do triângulo [DCP]? Assinala a opção correta. (A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) Na figura, está representado o prisma triangular [ABCDEF] o quadrilátero [BCDE] é um quadrado; o triângulo [ABC] é retângulo em A. a) Usa as letras da figura para identificares duas retas que sejam concorrentes não perpendiculares. b) Qual das opções seguintes apresenta uma planificação reduzida do prisma [ABCDEF]? (A) (B) Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. EX2ªch Relativamente à figura, sabe-se que: o triângulo [OCD] é retângulo em O o ponto A pertence ao segmento [OC] o ponto B pertence ao segmento [OD] os segmentos [AB] e [CD] são paralelos; OA 5 OB 12 OD 18 A figura não está desenhada à escala. a) Determina o comprimento do segmento [CD]. b) Justifica que a seguinte afirmação é verdadeira. «O ponto B não pertence à circunferência de centro no ponto O e que passa no ponto A». 77. Na figura, está representado um modelo geométrico do símbolo da bandeira de uma equipa de futsal. Este modelo não está desenhado à escala. A, B, C, D e E são pontos da circunferência de centro no ponto O F e G são pontos da corda [BE] AF AG 16cm CAD = 36 a) Qual é a amplitude do arco CD? (A) 36 (B) 54 (C) 72 (D) 90 (C) (D) b) Determina FG Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. c) Carateriza uma rotação que transforme o triângulo [DIH] no triângulo [BFJ]. c) Admite agora que: CBA = 30 AC 8 cm Determina a área do triângulo [ABC] Apresenta o resultado em cm 2, arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuares. 78. Na Figura, está representado o sólido [ABCDIJGH], que se pode decompor num prisma retode bases quadradas e num prisma triangular reto. Uma das faces laterais do prisma triangular coincide com uma das bases do prisma quadrangular. Este sólido não está desenhado à escala. Grupo /34

16 a) Qual dos seguintes planos é concorrente, não perpendicular, com o plano ABC? (A) IJF (B) IJG (C) FGH (D) IDC b) Determina o volume do sólido [ABCDIJGH], supondo que: AB = 8 cm ; AF = 4 cm ; FJ = 7 cm Apresenta o resultado em cm 3 Apresenta os cálculos que efetuares. 79. Na Figura, estão representados três hexágonos regulares com os vértices designados pelas letras de A a M. Cada um dos segmentos [AB], [AF] e [AJ ] é comum a dois dos hexágonos. Considera a rotação de centro no ponto A e amplitude 120 (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio). Qual é a imagem do segmento [BC] nesta rotação? ExÉp.esp Na figura ao lado, estão representados dois triângulos semelhantes. O triângulo [ABC] é uma ampliação do triângulo [DEF]. A figura não está desenhada à escala. Sabe-se ainda que: ACB = DFE DE = 2 AB = 5 Qual é a razão de semelhança dessa ampliação? Transcreve a letra da opção correta (A) (B) (C) (D) Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. 82. Na figura, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um quadrado [ABCD]. A figura não está desenhada à escala. a) Quantos eixos de simetria tem o quadrado [ABCD]? Transcreve a letra da opção correta. (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 0 b) Admite que AB 6 Determina o perímetro da circunferência. Apresenta o resultado arredondado às décimas. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. c) Caracteriza uma rotação que transforma A em D. TI9ºMaiO A Helena construiu, para a disciplina de Educação Visual, vários modelos de sólidos em esferovite. Todos os modelos são prismas retos de base quadrada. As bases dos modelos são todas iguais e as alturas são todas diferentes. a) Na Figura, estão representados três dos modelos feitos pela Helena. 81. Na Figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O Os pontos A, B, C, P e R pertencem à circunferência. a circunferência tem raio 8 BA BC [PR] é um diâmetro da circunferência; o ponto Q é o ponto de intersecção dos segmentos [BA] e [PR] o ponto S é o ponto de intersecção dos segmentos [BC] e [PR] ABO = 36 a) Qual é a amplitude, em graus, do arco AB? b) Determina a área da região representada a sombreado. Apresenta o resultado arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efectuares. A Helena vai forrar estes três modelos com papel autocolante. o volume do modelo maior é igual à soma dos volumes dos dois modelos menores; para forrar os dois modelos menores, gastam-se mais 50cm 2 de papel do que para forrar o modelo maior. Determina, em centímetros, a medida da aresta da base dos modelos. b) A despesa com a construção de cada modelo depende da altura desse modelo. O gráfico seguinte representa a relação entre a altura dos modelos, em milímetros, e a despesa, em cêntimos. Grupo /34

17 87. Na figura, está representada uma composição geométrica de origem islâmica. A despesa com a construção de um dos modelos foi 50 cêntimos. Qual é a altura, em milímetros, desse modelo? 84. Na figura, está representado um retângulo [ABCD]. A figura não está desenhada à escala. os pontos E e G pertencem aos lados [AD] e [BC], respectivamente o segmento [EG] é paralelo ao segmento [AB] o segmento [BD] intersecta o segmento [EG] no ponto F EF 5 FG 3 ED 3, 5 a) Admite que DFE = 35. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo FBG? b) Os triângulos [EFD] e [GFB] são semelhantes. Determina BG. 85. De um triângulo [PQR] sabe-se que: PQ 5 QR 11 Qual dos seguintes valores pode ser o valor de PR? Transcreve a letra da opção correta. (A) 4 (B) 12 (C) 18 (D) 24 Nesta figura, estão representados, a sombreado, quatro polígonos geometricamente iguais, com a forma de uma seta. Esses polígonos estão designados pelos algarismos 1, 2, 3 e 4. Os pontos A, B, C e D, assinalados na figura, são vértices dos referidos polígonos. O polígono 3 pode ser obtido como imagem do polígono 1 por meio da translação associada a um dos vetores seguintes. A qual deles? Transcreve a letra da opção correta. (A) (C) AC CB (B) AC CA AB BD (D) AB BC TI8ºMaio Na figura, estão representados: um quadrado [ABCD] um pentágono regular [EFGHI] um triângulo equilátero [JKL] um segmento de reta [LM] tal que LM 1 A figura não está desenhada à escala. 86. Numa das opções seguintes estão indicadas as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Em qual delas? (A) AB 4 BC 11 AC 12 (B) AB 5 BC 12 AC 13 (C) AB 6 BC 13 AC 14 (D) AB 7 BC 14 AC 15 Acerca do perímetro do quadrado [ABCD], sabe-se que: é um número natural menor do que 45 é igual ao perímetro do pentágono [EFGHI] é igual à soma do perímetro do triângulo [JKL] com o comprimento do segmento [LM ] Também se sabe que os comprimentos dos lados do quadrado, do pentágono e do triângulo são números naturais. Determina o perímetro do quadrado [ABCD]. Grupo /34

18 89. Relativamente à figura, sabe-se que: [ACEF] é um quadrado; [BCDG] é um quadrado; AC x BC 9 as retas AD e CD são tangentes à circunferência nos pontos A e C, respetivamente o ponto E pertence à reta CD Admite que AOC = 140 a) Escreve uma expressão simplificada do perímetro da região representada a sombreado. b) Admite que AC = 12 O quadrado [BCDG] é uma redução do quadrado [ACEF] Indica a razão de semelhança dessa redução. 90. Na figura, está representado o trapézio retângulo [ABCD]. O ponto E pertence ao lado [AB] 1 AE AB 3 EB DC a área do trapézio [ABCD] é 20cm 2 Qual é a área da região representada a sombreado? Transcreve a letra da opção correta. (A) 10cm 2 (B) 12cm 2 (C) 14cm 2 D) 16cm 2 TI9ºFev A Figura representa um modelo geométrico de uma rampa de skate. O modelo não está desenhado à escala. Este modelo é um sólido que pode ser decomposto no cubo [ABCDEFIJ] e nos prismas triangulares retos [BHIFAG] e [CKJEDL], geometricamente iguais. As bases dos prismas são triângulos retângulos. Sabe-se ainda que: HI 5 m IHB = 32 a) Identifica, usando as letras da Figura, a intersecção dos planos HIB e JCD b) Determina o volume do sólido representado na Figura. Apresenta o resultado em metros cúbicos, arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. 92. Na Figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O os pontos A, B e C pertencem à circunferência a) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo ABC? Assinala a opção correta. (A) 35 (B) 70 (C) 140 (D) 280 b) Determina a amplitude, em graus, do ângulo ADE. 93. Relativamente à figura, sabe-se que: os triângulos ABC e AFC são retângulos em A o triângulo AFC é isósceles o ponto E pertence ao segmento de reta [BC] o ponto D pertence ao segmento de reta [AB] os segmentos de reta [AC] e [DE] são paralelos AC 12 cm o perímetro do triângulo [ABC] é 48 cm o perímetro do triângulo [DBE] é 16 cm Nota A figura não está desenhada à escala. a) Qual dos valores seguintes é a medida, em centímetros, do comprimento do segmento de reta [DE]? Assinala a opção correta. (A) 3 (B) 3,5 (C) 4 (D) 4,5 b) Determina o comprimento da circunferência que passa nos pontos A, F e C Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. 94. Seja r um número real positivo Sabe-se que as expressões 10 e r 10 2r representam as medidas dos comprimentos de dois lados consecutivos de um certo retângulo. Qual das Grupo /34

19 expressões seguintes é a medida da área desse retângulo? Assinala a opção correta. (A) (B) (C) 5 10 (D) Considera o triângulo ABC representado no referencial da figura. Em qual das opções seguintes está representado o transformado do triângulo ABC por meio da rotação de centro no ponto O e amplitude 180? Assinala a opção correta. (A) (B) b) Qual é o transformado do ponto E por meio da rotação de centro no ponto F e amplitude 90 (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio)? 97. A Figura 4 é uma fotografia de um barco rabelo, atualmente usado para transportar turistas na travessia do rio Douro. A Figura 5 representa um modelo geométrico, em tamanho reduzido, da parte coberta desse barco. Figura 4 Figura 5 (C) (D) Exame2ªch Na Figura 1, está representada a maqueta de um terreno plano, de forma quadrada, que tem uma parte em cimento, também de forma quadrada, e uma parte relvada. Na Figura 2, está uma representação geométrica dessa maqueta. ABCD e AEFG são quadrados o ponto B pertence ao segmento de reta [AE] o ponto D pertence ao segmento de reta [AG] o lado do quadrado [AEFG] mede mais 2 metros do que o lado do quadrado [ABCD] Figura 1 Figura 2 a) Seja c o comprimento, em metros, do lado do quadrado ABCD. Explica o que representa a expressão 2 2 (c 2) c, no contexto da situação descrita. O modelo representado na Figura 5 é um sólido que pode ser decomposto no cubo [BCDEKLMN] e no paralelepípedo retângulo [ABEFGHIJ]. O modelo não está desenhado à escala. Sabe-se ainda que: o ponto I pertence ao segmento de reta BL e 1 BI BL 3 AB 2BC o volume total do sólido é 25 cm 3 a) Seja a a medida, em centímetros, da aresta do cubo. Determina o valor exato de a. b) Indica, usando as letras da Figura 5, uma reta que passe no ponto I e seja perpendicular ao plano FGH. 98. Relativamente à figura, sabe-se que: o triângulo ABC é escaleno e é retângulo em B os pontos E e P pertencem ao segmento de reta [AC] o ponto D pertence ao segmento de reta [AB] o triângulo ADE é retângulo em D o ponto Q pertence ao segmento de reta [BC] PCQ é um arco de circunferência A figura não está desenhada à escala. a) Admite que AD 20 AE 25 e AC 40 Determina BC. Mostra como chegaste à tua resposta. b) Admite agora que a amplitude do ângulo DAE é 37. Determina a amplitude, em graus, do arco PCQ. Grupo /34

20 c) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? Assinala a opção correta. BC AC (A) sen ACB (B) sen ACB AC BC BC AC (C) cos ACB (D) cos ACB AC BC 99. Na Figura 7, está representado um recipiente com tinta. Nesse recipiente mergulhou-se um cubo branco, tal como se ilustra na Figura 8. Desta forma, a parte do cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. b) Determina a amplitude de uma rotação de centro em O que transforme o ponto F no ponto A. Mostra como chegaste à tua resposta. c) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) O ponto B pertence à mediatriz do segmento de reta ED (B) O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta ED (C) O ponto B pertence à mediatriz do segmento de reta CD (D) O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta CD Em qual das opções seguintes pode estar uma planificação desse cubo depois de retirado do recipiente? Assinala a opção correta. (A) (C) (B) (D) 101. Relativamente à figura, sabe-se que: [ABCDEFGH] é um prisma quadrangular reto [ABCDI] é uma pirâmide quadrangular regular o ponto I é o centro da face [EFGH] do prisma o volume do prisma [ABCDEFGH] é 27cm 3 Supõe agora que ao prisma [ABCDEFGH] se vai retirar a pirâmide [ABCDI]. Qual é o volume, em cm 3, do sólido que se obtém depois de retirada a pirâmide ao prisma? 100. Na figura, estão representados um retângulo ABCD e uma circunferência de centro no ponto O e raio r Exame1ªch2012 o ponto E pertence à circunferência e é exterior ao retângulo [ABCD] [AD] e [EF] são diâmetros da circunferência o lado [BC] do retângulo é tangente à circunferência DEF = 10 Admite que o perímetro do retângulo [ABCD] é igual a 30 cm a) Determina o comprimento da circunferência. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas Relativamente à figura, sabe-se que: o triângulo [ABC] é retângulo em C o ponto E pertence ao segmento de reta [AB] o ponto D pertence ao segmento de reta [AC] o triângulo [ADE] é retângulo em E Sabe-se ainda que: ED 2 cm 1 AE AC 2 a área do triângulo [ABC] é 20 cm 2 Determina AC. Apresenta a tua resposta em centímetros. TIMaio Para forrar uma face de um certo cubo são necessários 6,25cm 2 de papel. Qual é o volume, em cm 3, desse cubo? Grupo /34

21 104. Considera os triângulos [ABC] e [PQR] representados na figura. Os dois triângulos são semelhantes. R Transcreve a letra da opção correta. (A) Q (B) R (C) W (D) X 106. Na figura, está representada uma planificação de um cubo. Q ACB = 59 CBA = 48 [RQ] é o lado maior do triângulo [PQR] a ampliação que transforma o triângulo [PQR] no triângulo [ABC ] tem razão igual a 2 a) Determina, sem efetuar medições, a amplitude do ângulo QPR. b) Admite que o triângulo [ABC] tem área igual a 18 cm 2 Qual é a área, em cm 2, do triângulo [PQR]? Transcreve a letra da opção correta. (A) 3,5 (B) 7 (C) 4,5 (D) Na Figura, está representado um quadriculado. a) Considera a translação em que o transformado do ponto H é o ponto D Qual é, por meio dessa translação, o transformado do triângulo [NIV]? b) Admite que a área do paralelogramo [GBCH] é igual a 4 unidades. Qual é a área do paralelogramo [BDXV]? c) Os pontos J e F são vértices de um certo quadrado, não representado na Figura. Sabe-se que [JF] é um lado desse quadrado. Qual dos pontos seguintes também é vértice desse quadrado? P No cubo que se pode construir com esta planificação, considera o triângulo [ABC]. Qual é a amplitude do ângulo ACB desse triângulo? Justifica a tua resposta. TI8.ºFev Na figura, está representado o prisma triangular reto [ABCDEF] o triângulo [ABC] é retângulo em A AC 2 cm AE 6 cm o volume do prisma é 42 cm 3 a) Construiu-se um cubo com volume igual ao volume do prisma representado na Figura. Qual é a medida da aresta desse cubo, em centímetros, arredondada às décimas? Transcreve a letra da opção correta. (A) 3,3 (B) 3,4 (C) 3,5 (D) 3,6 b) Determina a amplitude do ângulo ABC Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. c) Identifica, usando as letras da figura, uma reta que seja concorrente com a reta CB e que não contenha qualquer aresta do prisma Na figura seguinte, estão representados uma circunferência de centro no ponto O e os triângulos [ABC] e [CDE] os pontos A, B e C pertencem à circunferência [BC] é um diâmetro da circunferência o triângulo [CDE] é retângulo em E os triângulos [ABC] e [CDE] são semelhantes A figura não está desenhada à escala. Grupo /34

22 a) Admite que a amplitude do ângulo ACB é igual a 36º Qual é a amplitude do arco AB? Transcreve a letra da opção correta. (A) 9º (B) 18º (C) 36º (D) 72º CD b) Admite que 0, 5 BC área do triângulo[ CDE ] Qual é o valor do quociente? área do triângulo[ ABC] Transcreve a letra da opção correta. (A) 0,125 (B) 0,25 (C) 0,5 (D) 1 c) Admite que: AB 6 cm AC 10cm Determina a área do círculo de diâmetro [BC] Apresenta o resultado em cm 2, arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. PF-1ªch O quadrilátero [ABCD], representado na figura seguinte, é um trapézio retângulo. AD 3 AB 4 BC 5 O ponto P desloca-se ao longo do segmento de reta [AB]. Para cada posição do ponto P, tem-se PB x a) Qual é o valor, arredondado às décimas, da medida do perímetro do quadrilátero [ABCD]? (A) 16,3 (B) 16,5 (C) 16,7 (D) 16,9 b) Para um certo valor de x, os triângulos [DAP] e [CBP] são semelhantes, sendo [AD] e [BC] lados correspondentes. Determina esse valor de x Mostra como chegaste à tua resposta. c) Determina a medida da área do triângulo [DPC] no caso em que x = Na Figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O. os pontos A, B e C pertencem à circunferência BA BC o segmento de reta [BD] é a altura do triângulo [ABC] relativa à base [AC] A OC ˆ 72º OA 2 cm a) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo ABC? b) Determina a área do triângulo [ABC] Apresenta o resultado em cm 2, arredondado às décimas. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais Na Figura 4, está representado um recipiente cilíndrico que se encheu com um líquido colorido. Nesse líquido, mergulhou-se um cubo cuja aresta é igual à altura do cilindro. Figura 4 Figura 5 Tal como a Figura 5 sugere, o cubo ficou assente na base do recipiente. a) Qual é a posição do plano que contém a face superior do cubo em relação ao plano que contém a base do recipiente? b) Admite que: a aresta do cubo mede 6 cm o raio da base do cilindro mede 5 cm Quando se mergulhou o cubo no recipiente, uma parte do líquido transbordou. Determina o volume do líquido que ficou no recipiente depois de nele se ter mergulhado o cubo (Figura 5). Apresenta o resultado em cm 3, arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. PF-2ªch A Figura 1 é uma fotografia de parte de uma tapeçaria feita com base num desenho de Almada Negreiros. A Figura 2 é uma representação dos dois pentágonos regulares que se podem observar nesta fotografia. Na Figura 3, está representada uma circunferência, na qual Grupo /34

23 estão inscritos os dois pentágonos. Os vértices dos dois pentágonos são vértices de um decágono regular. Figura 2 Figura 3 Determina a amplitude, em graus, do ângulo assinalado na Figura Na Figura 4, está representado um dos envelopes que a Beatriz desenhou para os convites da sua festa de aniversário. Na Figura 5, está um modelo geométrico do mesmo envelope. Figura 4 [ABCD] é um trapézio isósceles o ponto F é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio os pontos E e G são os pontos médios das bases do trapézio Figura 5 G o ponto H pertence ao segmento de reta [AF] e o ponto I pertence ao segmento de reta [DF] HFI é um arco de circunferência EF 3,75cm FG 2,5 cm BC 8 cm a) Determina a área, em cm 2, do trapézio [ABCD] b) Admite que o arco HFI tem 128º de amplitude. Determina a amplitude, em graus, do ângulo ADF Sugestão: Começa por determinar a amplitude do ângulo AFD 114. A Figura 6 é uma fotografia de uma calculadora. A Figura 7 representa um modelo geométrico simplificado, em tamanho reduzido, dessa calculadora. O modelo não está desenhado à escala. Figura 6 Figura 7 O modelo representado na Figura 7 é um sólido que pode ser decomposto no paralelepípedo retângulo [ABCDEFGH] e no prisma triangular reto [JGKLIH] o ponto J pertence ao segmento de reta [FG] o ponto G pertence ao segmento de reta [KB] JG 2 cm GK 3 cm FA 2 cm FE 10 cm o volume do sólido representado na Figura 7 é igual a 390 cm 3 a) Determina o comprimento, em centímetros, do segmento de reta [FJ] b) Qual das seguintes afirmações é verdadeira? Transcreve a letra da opção correta. (A) A reta KJ é paralela ao plano ABC (B) A reta KJ é perpendicular ao plano ABC (C) A reta EF é paralela ao plano GJK (D) A reta EF é perpendicular ao plano GJK TI-abr Na Figura, está representada uma circunferência com centro no ponto O Os pontos A, B e C pertencem à circunferência. O ponto P pertence à corda [AC] os segmentos de reta [AC] e [PB] são perpendiculares B AC ˆ 65º AP 1,6 cm A figura não está desenhada à escala. a) Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam 1,6 cm do ponto A? b) Determina BP Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares. c) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo BOC? (A) 65º (B) 100º (C) 130º (D) 195º Grupo /34

24 116. Na Figura, está representado um modelo geométrico de uma caixa. Este modelo é um sólido que pode ser decomposto em dois prismas retos: o paralelepípedo retângulo [ACDEFGIJ] e o prisma cujas bases são os triângulos [ABC] e [GHI] DE DJ 15 cm CD 6 cm a altura do triângulo [ABC] relativa à base [AC] tem 6 cm de comprimento. O modelo não está desenhado à escala. a) Determina o volume total do sólido. Apresenta o resultado em cm 3 Apresenta todos os cálculos que efetuares. b) Identifica, usando letras da Figura 2, uma reta paralela ao plano ACI que não esteja contida neste plano Relativamente à Figura, sabe-se que: o triângulo [ABC] é isósceles, com AB AC os pontos D e E pertencem aos segmentos de reta [AB] e [AC], respetivamente o triângulo [ADE] é semelhante ao triângulo [ABC] DE 4 cm BC 6 cm l é a altura do triângulo [ABC] relativa à base [BC] A figura não está desenhada à escala. a) Qual é o valor do quociente área do triângulo[ ADE ]? área do triângulo[ ABC] (A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 4/9 b) Admite agora que também se sabe que AB 7 cm b1) Qual é o valor de l, em centímetros? (A) 30 (B) 35 (C) 40 (D) 45 b2) Seja F o transformado do ponto A por meio da translação associada ao vetor BC (o ponto F não está representado na figura). Considera a circunferência com centro no ponto F e que passa no ponto C. Qual é o comprimento, em centímetros, do raio dessa circunferência?. PF-1ªCh Na Figura, estão representadas duas circunferências com centro no ponto O, uma de raio OA e outra de raio OB o ponto A pertence ao segmento de reta [OB] o segmento de reta [CD] é um diâmetro da circunferência de raio OA o segmento de reta [CD] é perpendicular ao segmento de reta [OB] OA 2 cm OB 3 cm A figura não está desenhada à escala. a) Qual é a medida do comprimento, em centímetros, do segmento de reta [BC]? (A) 13 (B) 12 (C) 11 (D) 10 b) Indica a razão de uma semelhança que transforme o segmento de reta [AO] no segmento de reta [OB] c) Determina a área da região representada a sombreado. Apresenta o resultado em cm 2, arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta Na Figura, estão representadas as retas AD e CD e a circunferência de diâmetro [AC] O ponto B pertence à circunferência e à reta AD a reta CD é tangente à circunferência no ponto C C DA ˆ 50º CD 8cm A figura não está desenhada à escala. a) Qual é a amplitude, em graus, do arco CB? (A) 60º (B) 70º (C) 80º (D) 90º b) Determina CA Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Grupo /34

25 120. O Aqueduto das Águas Livres é um sistema de abastecimento de água à cidade de Lisboa, construído no século XVIII. Ao longo do seu percurso, existem várias claraboias. A Figura 5 é uma fotografia de uma dessas claraboias. Na Figura 6, está representado um modelo geométrico dessa claraboia. maioria dos moinhos de vento portugueses. A Figura 2 representa um modelo geométrico desse moinho. Este modelo é um sólido que pode ser decomposto num cilindro e num cone. O modelo não está desenhado à escala. Figura 5 Figura 6 O modelo representado na Figura 6 é um sólido que pode ser decomposto no prisma quadrangular regular [ABCDEFGH], de base [ABCD], e na pirâmide quadrangular regular [EFGHI]. O modelo não está desenhado à escala. a) Qual é o transformado do ponto F por meio da translação associada ao vetor AB? b) Qual das seguintes retas é concorrente com o plano ABC? (A) Reta FG (B) Reta EG (C) Reta AC (D) Reta IG c) Seja V o volume do prisma [ABCDEFGH] e seja V o volume da pirâmide [EFGHI] Admite que a altura da pirâmide é a quarta parte da altura do prisma. Qual é o V' valor do quociente? PF-2ªCh2014 V 121. Na Figura, estão representados os triângulos retângulos [ABC] e [EDC] o ponto E pertence ao segmento de reta [BC] o ponto D pertence ao segmento de reta [AC] AD 11 cm DC 4 cm EC 5 cm a) Os triângulos [ABC] e [EDC] são semelhantes. Justifica esta afirmação. b) Determina BC Apresenta o resultado em centímetros A figura 1, é uma fotografia de um moinho de vento de tipo mediterrânico, grupo ao qual pertence a Figura 1 Figura 2 a) Relativamente ao sólido representado na Figura 2, sabe-se que: a base superior do cilindro coincide com a base do cone a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base e é igual a 6 dm o volume total do sólido é 195 dm 3 Determina a altura do cone. Apresenta o resultado em decímetros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. b) Na Figura, está representado um esquema das velas de um moinho de vento. os triângulos [ABO], [CDO], [EF O] e [GHO] são geometricamente iguais EF 5 m OE OF 7 m O esquema não está desenhado à escala. b1) Determina a área do triangulo [EFO] Apresenta o resultado em m 2, arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. b2) Admite que os segmentos de reta [DH] e [BF] são perpendiculares e se intersectam no ponto O Qual é o transformado do ponto H por meio da rotação de centro no ponto O e amplitude 90º? (A) O ponto A (B) O ponto B (C) O ponto C (D) O ponto D 123. Na Figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O. Estão também representados o Grupo /34

26 triângulo [AEF] e o quadrado [ABCD], pertencem à circunferência. cujos vértices A Figura 2 é uma fotografia de uma das torres desse palácio. Na Figura 3, está representado um modelo geométrico dessa torre. O modelo não está desenhado à escala. a) Identifica, usando as letras da figura, dois pontos pertencentes à mediatriz do segmento de reta [BD] b) a amplitude do ângulo EAF é 60º a amplitude do arco FD é 20º Determina a amplitude, em graus, do arco BE TI-março Na Figura, está representada uma semicircunferência de diâmetro [AC] o ponto B pertence à semicircunferência e o ponto D pertence a [AC] os segmentos de reta [BD] e [AC] são perpendiculares o raio da semicircunferência é igual a 5 cm BD 4 cm a) Os triângulos [ABC] e [ABD] são semelhantes. Considera a semelhança que transforma o triângulo [ABD] no triângulo [ABC]. Qual é, nessa semelhança, o lado do triângulo [ABC] que corresponde ao lado [AB] do triângulo [ABD]? b) Determina a área da região representada a sombreado. Apresenta o resultado em cm 2, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares O Palácio Nacional da Pena está situado em Sintra. Em julho de 2007, foi eleito uma das Sete Maravilhas de Portugal. Figura 2 Figura 3 O modelo representado na Figura 3 é um sólido que pode ser decomposto num cilindro e numa semiesfera. os pontos A, B, C e D são os vértices de um retângulo o raio da base do cilindro é igual ao raio da semiesfera e é igual a 3 cm o volume total do sólido é igual a 285 cm 3 a) Determina a altura do cilindro. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares. b) Qual é o transformado do ponto A por meio da translação associada ao vetor BC? (A) O ponto A (C) O ponto C (B) O ponto B (D) O ponto D 126. Seja [ABC] um triângulo retângulo cuja hipotenusa é [AB] Seja a um número real maior do que 2 AB a 1 AC 7 BC a 2 Determina a 127. Considera, no espaço, um ponto A Qual é o lugar geométrico dos pontos do espaço cuja distância ao ponto A é igual a 5 cm? (A) Esfera de centro no ponto A e raio igual a 5 cm (B) Superfície esférica de centro no ponto A e raio igual a 5 cm (C) Círculo de centro no ponto A e raio igual a 5 cm (D) Circunferência de centro no ponto A e raio igual a 5 cm Grupo /34

27 128. Na Figura, estão representados uma circunferência de centro no ponto O e um triângulo isósceles [ABC] os pontos A, B e C pertencem à circunferência AB BC [BD] é a altura do triângulo [ABC] relativa à base [AC] a amplitude do arco AC é igual a 100º A figura não está desenhada à escala. a) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo CAB? b) Seja a amplitude de um dos ângulos internos do triângulo [ABD] AD Sabe-se que tg BD Identifica esse ângulo, usando letras da Figura. PF-1ªF Na Figura, está representada uma semicircunferência de centro no ponto O e diâmetro [AD] o ponto C pertence à semicircunferência; o ponto B pertence à corda [AC] o triângulo [ABO] é retângulo em B OB 1cm B AO ˆ 25º A figura não está desenhada à escala. a) Determina a área do semicírculo de diâmetro [AD] Apresenta o resultado em centímetros quadrados, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares. b) Qual é a amplitude, em graus, do arco AC? Mostra como chegaste à tua resposta Na Figura, está representada a reta real. Nesta reta, estão assinalados os pontos A, B, C, O, D, E e F, sendo o ponto O a origem. A distância entre cada dois pontos consecutivos é uma unidade. A qual dos segmentos seguintes pertence o ponto que representa o número 7 17? (A) [AB] (B) [BC] (C) [DE] (D) [EF] 131. A Figura 4 é uma fotografia da Sé Catedral de Lisboa, um dos monumentos mais antigos de Portugal. A Figura 5 representa um modelo geométrico de parte dessa catedral. O modelo não está desenhado à escala. O modelo representado na Figura 5 é um sólido que pode ser decomposto nos prismas quadrangulares regulares [ABCDEFGH], [LKNMHGJI] e [PQROIJTS] Figura 4 Figura 5 as bases dos três prismas são quadrados, todos geometricamente iguais; o ponto M pertence ao segmento de reta [CH] o ponto N pertence ao segmento de reta [OI] DE RS 9 cm 2 MH DE 3 o volume total do sólido é igual a 248 cm 3 a) Seja s a área da base de cada prisma. Determina s Apresenta o resultado em centímetros quadrados, arredondado às décimas. b) Identifica, usando letras da Figura 5, uma reta perpendicular ao plano ADE 132. Na Figura, estão representados os quadrados [AEFG] e [ABCD] O ponto E pertence ao segmento de reta [AB] e o ponto G pertence ao segmento de reta [AD] Seja a um número real maior do que 1 Tomando para unidade de comprimento o centímetro, tem-se: AE a. 1 BC a 1 Mostra que a área da região sombreada é dada, em cm 2, por 4a Grupo /34

28 133. Na Figura, está representado o triângulo [ABC], retângulo em A A figura não está desenhada à escala. o ponto F pertence ao segmento de reta [AB] o ponto E pertence ao segmento de reta [BC] o quadrilátero [AFED] é um retângulo; AB 6 cm AC 9 cm FB 4 cm a) Qual é o comprimento, em centímetros, do segmento de reta [BC]? (A) 114 cm (B) 117 cm (C) 120 cm (D) 123 cm b) Os triângulos [ABC] e [FBE] são semelhantes. Justifica esta afirmação. c) Determina o perímetro do retângulo [AFED] Apresenta o resultado em centímetros. PF-2ªF2015 Apresenta todos os cálculos que efetuares. b) Determina a amplitude do ângulo BCM Na tua resposta, deves: obter BM indicar o valor de CB apresentar a amplitude do ângulo BCM em graus, arredondada às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. c) Indica, recorrendo a letras da figura, um ponto pertencente à mediatriz do segmento de reta [AT] Na Figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O A figura não está desenhada à escala Na Figura, estão representados uma circunferência de centro no ponto C e os pontos T, P, A, M e B A figura não está desenhada à escala. os pontos T, A e B pertencem à circunferência; M é o ponto médio da corda [AB] a reta tangente à circunferência no ponto T interseta a reta AB no ponto P PB 8 PA 2 PT 4 CT 9, 2 a) Determina CP Apresenta o resultado arredondado às unidades. a corda [BD] e o diâmetro [AC] são perpendiculares e que se intersectam no ponto E AE 1 o triângulo [ABO] é equilátero. a) Qual dos seguintes pontos é o centro de uma rotação de amplitude igual a 60º que transforma o ponto B no ponto D? (A) Ponto A (B) Ponto E (C) Ponto C (D) Ponto O b) Qual é o perímetro do quadrilátero [ABOD ]? c) Determina o valor do quociente área do triângulo[ BOC] área do triângulo[ BAE] 136. O centro geodésico de Portugal continental situa-se na Serra da Melriça, próximo de Vila de Rei. Nesse local, foi construído o marco geodésico que se pode observar na Figura 2. Grupo /34

29 Na Figura 3, está representado um modelo geométrico desse marco geodésico. O modelo não está desenhado à escala. Figura 2 Figura 3 O modelo do marco geodésico é um poliedro composto pelo tronco de pirâmide quadrangular regular [ABCDEFGH] e pela pirâmide quadrangular regular [EFGHI] O ponto J é o centro do quadrado [ABCD] a) Qual das retas seguintes é perpendicular ao plano ABC? (A) FG (B) IJ (C) ED (D) BD b) Relativamente à Figura 3, sabe-se que: IJ 15 cm AB 8 cm FG 3cm o volume da pirâmide [EFGH] é 6 cm 3 Sabe-se ainda que o volume, V, de um tronco de pirâmide quadrangular regular é dado pela h 2 2 expressão V L L l l em que: 3 h é a altura do tronco de pirâmide; L é a aresta da base maior do tronco de pirâmide; l é a aresta da base menor do tronco de pirâmide. Determina o volume do tronco de pirâmide [ABCDEFGH] Sugestão: Começa por mostrar que a altura da pirâmide [EFGHI] é igual a 2 cm Apresenta o resultado em cm 3, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares. PF-EE-2015 Grupo /34

30 LUGARES GEOMÉTRICOS 137. Pretende-se construir um parque eólico. A figura é o mapa da zona onde estão a ser colocadas as colunas aerogeradoras. Os pontos A, B e C representam a localização de três colunas. A localização da quarta coluna deve obedecer às seguintes condições: a coluna deve ficar dentro da zona delimitada pelo traço grosso; a coluna deve estar à mesma distância das colunas B e C; a coluna deve ficar a 12 km da coluna A. Desenha a lápis, na Figura 6, uma construção geométrica rigorosa que represente, no mapa, o ponto correspondente à localização da quarta coluna. Assinala esse ponto com a letra D. Nota Se traçares linhas auxiliares, não as apagues. TI8.º O esquema da figura 5 representa um campo de futebol. Supõe que, num determinado momento de um jogo, o João, o Miguel e o Francisco, jogadores de Os Vencedores, se encontram, respetivamente, nas posições J, M e F. O árbitro encontra-se a igual distância dos três jogadores. Assinala a lápis, na figura 5, com a letra «A», o ponto onde está o árbitro. Utiliza material de desenho e de medição. Nota: Se traçares linhas auxiliares, não as apagues. TI8.º A Marta vai dançar na festa de encerramento das aulas de ballet. O esquema da figura representa a planta do palco. A Marta marcou no chão do palco a zona onde vai executar a sua coreografia, que obedece às seguintes condições: A distância ao vértice A é superior ou igual a 8 metros. A distância ao vértice C é superior ou igual a 6 metros. Sombreia a lápis, na figura, a zona onde a Marta vai executar a sua coreografia. Utiliza material de desenho e de medição. Nota: Se traçares linhas auxiliares, não as apagues. TI9.ºMaio2009 Grupo /34

31 140. Na figura que se segue, podes observar um mapa do concelho de Torre de Moncorvo. A torre de vigia de incêndios da Serra do Reboredo está localizada a 9 km de distância de Peredo Castelhanos; a 12 km de distância de Adeganha; mais perto de Felgueiras do que de Cabeça Boa. Utilizando um compasso, efetua, uma construção que permita encontrar, a lápis, no mapa, o ponto em que se localiza a torre de vigia. Assinala esse ponto com a letra T. Não apagues a construção. TI8.º A Figura 9 representa um mapa da zona onde vai ser instalado um conjunto de painéis solares. O local da instalação deve obedecer às seguintes condições: ficar dentro da zona representada no mapa; estar a mais de 9 km e a menos de 12 km da localidade C. Desenha a lápis, na Figura 9, uma construção geométrica rigorosa que te permita obter a parte do mapa correspondente à zona onde, de acordo com as condições anteriores, é possível instalar o conjunto de painéis. Sombreia essa zona. TI9.º A Figura 8 representa um mapa de uma zona onde vai ser instalada uma estação de recolha de lixo. Na figura, os pontos A e B representam duas localidades que distam 5 km uma da outra. A referida estação vai ser instalada num local que deve obedecer às seguintes condições: ficar à mesma distância das duas localidades; ficar a mais de 10 km de cada uma das localidades. Desenha a lápis, no mapa da Figura 8, uma construção geométrica rigorosa que te permita assinalar o conjunto dos pontos correspondentes aos locais onde pode ser instalada a estação de recolha de lixo. Assinala no mapa, a caneta ou a esferográfica, esse conjunto de pontos. Nota Não apagues as linhas auxiliares. Grupo /34

32 143. Na figura, está um esquema de uma zona de um arraial, no qual se assinalam: um ponto C, que representa o centro de um coreto; um ponto T, que representa uma torneira para fornecimento de água; um ponto P, que representa um poste de iluminação. A Catarina e o João vão trabalhar nesse arraial, em duas bancas diferentes. O centro de cada uma dessas bancas verifica as duas condições seguintes: situa-se a 6 metros do centro do coreto; está a igual distância da torneira e do poste. Desenha a lápis, na figura, uma construção geométrica rigorosa que te permita assinalar, no esquema, os pontos correspondentes às localizações dos centros das bancas onde vão trabalhar a Catarina e o João. Assinala esses pontos com as letras A e B. Nota Não apagues as linhas auxiliares. Ex1.ª A Figura 7 representa um mapa de um jardim zoológico onde estão assinalados os locais de residência de alguns animais. O jardim zoológico vai receber um casal de coalas. O local de residência dos coalas, no jardim zoológico, verifica as duas condições seguintes: fica à mesma distância da Árvore das Aves Exóticas e do Lago das Focas; a sua distância à Aldeia dos Macacos é igual à distância entre o Reptilário e a Encosta dos Felinos. Desenha a lápis, no mapa da Figura 7, uma construção geométrica que te permita assinalar o ponto correspondente ao local de residência dos coalas. Assinala esse ponto com a letra C. Nota Não apagues as linhas auxiliares. Ex2.ª A família Coelho pretende instalar, no jardim da sua casa, um sistema de rega, utilizando aspersores. O alcance dos aspersores é a distância que a água atinge, medida a partir do aspersor. Grupo /34