Adilson Ortiz Bittencourt. O Ensino da Trigonometria no Ciclo Trigonométrico, por meio do Software Geogebra

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1 PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO ÁREA DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CURSO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA Adilson Ortiz Bittencourt O Ensino da Trigonometria no Ciclo Trigonométrico, por meio do Software Geogebra ORIENTADORA: Profª HELENA NORONHA CURY CO- ORIENTADOR: Prof. MÁRCIO MARQUES MARTINS Santa Maria, janeiro de 2012

2 Este trabalho teve origem em uma dissertação de mestrado profissionalizante, que buscou respostas às seguintes questões de pesquisa: Que dificuldades os alunos de Ensino Médio apresentam na resolução de problemas de Trigonometria no triângulo retângulo? É possível criar estratégias de ensino que envolvam o software GeoGebra para auxiliar os alunos na aprendizagem das funções trigonométricas?

3 Assim, a pesquisa teve os seguintes objetivos: Objetivo geral: A partir da investigação sobre dificuldades encontradas pelos alunos na resolução de problemas de Trigonometria, elaborar atividades com o auxílio do software GeoGebra, para o ensino de Trigonometria no Ensino Médio. Objetivos específicos: analisar as dificuldades encontradas por alunos de Ensino Médio na resolução de problemas de Trigonometria; elaborar atividades para o ensino de funções trigonométricas, com auxílio do software GeoGebra, para uso de alunos do Ensino Médio; criar vídeos sobre esse conjunto de atividades, para uso de professores e alunos de Ensino Médio. No trabalho, foi desenvolvida uma sequência de atividades, para serem realizadas pelos alunos, como um tutorial que lhes permita conhecer os elementos de Trigonometria ou revisá-los. Esse conjunto de atividades é apresentado a seguir.

4 Livro do Professor Autor: Adilson Ortiz Bittencourt Baseado na Dissertação de Mestrado do Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano, intitulada Ensino da Trigonometria no Ciclo Trigonométrico por meio do Software Geogebra. Este livro digital tem por finalidade reconstruir todas as informações contidas na dissertação. Contém definições e propriedades da trigonometria no Ciclo Trigonométrico, juntamente com a construção de vídeos por meio do programa CamStudio. O livro apresenta, como característica principal, a construção passo a passo de cada atividade, através da técnica Screencast, pela qual os alunos, juntamente com seus professores, terão acesso ao conteúdo. Foram elaborados dois livros digitais, o Livro do Professor e o Livro do Aluno. O Livro do Professor tem as mesmas características do Livro do Aluno. O que diferencia um do outro é a apresentação do desenvolvimento de cada exercício e a construção passo a passo, feita pelo Geogebra, no Livro do Professor. A numeração dos itens e subitens segue a da dissertação, visto ser reprodução do texto nela contido. 5 APRESENTAÇÕES DOS CONCEITOS E ATIVIDADES Para a elaboração das atividades apresentadas a seguir, sobre os conceitos a serem trabalhados com os alunos, com o auxílio do software GeoGebra, foram consultados os seguintes autores, com adaptações: Carmo, Morgado e Wagner (1992); Lima, E. L. et al. (1996) e Giovanni e Bonjorno (2005). 5.1 CONSTRUÇÃO BÁSICA COM O GEOGEBRA Todas as atividades que foram desenvolvidas ao longo deste trabalho têm como construção básica a sequência apresentada a seguir, passo a passo: a) Abra o software GeoGebra; b) Barra de Ferramentas: desloque o seletor até o Menu da janela 11, em seguida clique em Exibir/Esconder Objeto para ocultar ou exibir os eixos

5 cartesianos, depois disso, ative outra ferramenta ou pressione Esc. para marcar primeira janela; c) Barra de Menu: selecione a opção Exibir, depois disso desloque o seletor até a opção Malha. Neste instante será exibida a malha de fundo na janela de visualização do GeoGebra; d) Selecione novamente o Menu da janela 11, procure a opção Ampliar e aumente ou diminua o tamanho da malha para melhor se adequar à proposta. Este processo também pode ser feito por meio da barra de rolagem do mouse. 5.2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO AGUDO Para definir as razões trigonométr um ângulo agudo, de vértice B e, sobre um dos lados deste ângulo, marcar arbitrariamente os pontos A, A 1, A 2, A 3,... Traçamos perpendiculares a esse lado por esses pontos e determinamos os pontos C, C 1, C 2, C 3,... respectivamente, no outro lado do ângulo. Figura 7 - Razão trigonométrica no triângulo retângulo Obtemos, assim, os triângulos retângulos ABC, A1BC 1, A2BC 2,... todos semelhantes. Podemos, então, estabelecer as relações, em que segmento AC, significa medida do segmento BC, e assim por diante. significa a medida do

6 AC AC AC BC BC BC BA 1 2 BA BA 1 2 BC BC BC AC 1 2 AC AC BA BA BA k... k 2... k 3 1 O número k1 sen = AC. BC O número k2 cos = BA. BC O número k3 é chamado seno do ângulo e se indica por: é chamado e se indica por: é chamado e se indica por: tan = AC. BA Obs: Os valores de k 1, k2 e k3 variam de acordo com o ângulo ABC e não dependem dos pontos A 1, A 2, A 3,... Essas funções seno, cosseno e tangente não são independentes, pois, aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABC, temos: e Atividade 1: Como construir as razões trigonométricas no triângulo retângulo com o GeoGebra Passo a passo: a) abra o software GeoGebra;

7 b) na Barra de Ferramentas selecione e abra o Menu da Janela 3. Desloque o seletor até a opção Reta Definida por dois pontos selecione dois pontos e construa a reta a na Janela de Visualização do GeoGebra. Ao selecionar, os pontos serão rotulados, automaticamente, como A, B e reta, como a; c) nesta mesma janela, construa uma nova reta, b, que passe pelo ponto A e por um outro ponto, que será rotulado como C; este ponto C será rotulado automaticamente após clicarmos pela segunda vez na área de trabalho do GeoGebra para criar a reta b. Pressione ESC; d) avance o seletor até o Menu da Janela 8, selecione a opção Ângulo clique primeiramente sobre o ponto B, depois em A e por último em C para formar o ângulo. Pressione ESC; e) selecione o ângulo anteriormente criado, depois na Barra de Menu, desloque o seletor até a opção Editar. Selecione Propriedades / Básico no retângulo onde está indicado Exibir rótulo, ative a opção Nome. Feche a opção; f) ative o Menu da Janela 2 e a opção Novo ponto utilize a malha de fundo e marque dois novos pontos sobre a reta a, que serão rotulados como pontos D e E. Pressione ESC; g) selecione o Menu da Janela 4, abra a Caixa de Ferramentas e marque a opção Reta Perpendicular clique primeiramente sobre o ponto D, depois sobre a reta a. Construa desta maneira a reta perpendicular c. Repita este processo clicando sobre o ponto E e a reta a, construa a reta perpendicular d. Por último, clique sobre o ponto B depois na reta a, para construir a reta perpendicular e. Pressione ESC; h) retorne para o Menu da Janela 2 e selecione a opção Interseção de dois objetos clique diretamente sobre a interseção da reta b com a reta c e encontre o ponto F. Repita este processo clicando sobre a interseção da reta b com a reta d, para encontrar o ponto G. Por último, clique na interseção da reta b com a reta e, marque o ponto H. Pressione ESC; i) selecione o ponto A, vá até a Barra de Menu, clique em Editar e ative a opção Propriedades / Básico / Nome Renomeie o ponto A para ponto B. Observe que o GeoGebra diferencia um rótulo do outro quando a eles atribuímos um mesmo nome, por isso aparecerá o ponto B 1 em lugar do ponto B. Repita o processo clicando sobre este o ponto B 1, renomeando para A, o ponto E para A,

8 por último o ponto D para ponto A. Nesta mesma opção, selecione o ponto C. Selecione a opção Exibir rótulo desmarque o quadrado à esquerda desta opção para esconder este rótulo. Selecione agora o ponto H, renomeie este ponto para C, depois disso, selecione os pontos G e F e os renomeie, respectivamente, para C. Renomeie novamente o ponto C3 para C 1. Feche. Inverta as posições dos termos A 1 e A2 ; j) clique sobre o ponto B, desloque o seletor até a Barra de Menu / Editar - selecione a opção: Propriedades: Estilo / Tamanho do Ponto reduza para um. Repita este processo clicando sobre cada ponto e reduzindo para um o tamanho de todos os demais pontos que aparecem neste desenho. Feche a opção.

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10 Exercício 1: a) Construa no GeoGebra um triângulo retângulo ABC, de lados AB= 1cm, AC= 2cm, BC= b)

11 Exercício 1 Letra b) = = = = 5 5 Cos = = = Tan = =1 2

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14 5.3 ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA Dados dois pontos A e B, distintos, de uma circunferência, um arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por esses dois pontos. Na Figura 8, a seguir, é indicado, em vermelho, o arco AB. Figura 8 - Arco de circunferência AB Os pontos A e B são chamados de extremidades dos arcos. Para estabelecer a diferença entre os arcos determinados por A e B, podemos considerar um ponto em cada um deles; veja Figura 9, a seguir, na qual estão indicados os arcos APB e AQB. Figura 9 - Distinção entre os arcos APB e AQB - Se as extremidades de um arco coincidem com as extremidades de um diâmetro, cada um dos arcos denomina-se semicircunferência (Figura 10).

15 Figura 10 - Semicircunferência - Se os pontos A e B coincidem, eles determinam na circunferência o arco nulo ou o arco de uma volta (Figura 11). Figura 11 - Arco nulo e arco de uma volta

16 Atividade 2: Como construir um arco de circunferência utilizando o software GeoGebra Passo a passo: a) abra o software GeoGebra; b) desloque o seletor até o Menu da Janela 6 e abra a Caixa de Ferramentas e procure a opção: Circulo definido pelo centro e um de seus pontos clique para selecionar o centro e, depois um ponto do círculo. Cada elemento construído no GeoGebra recebe um nome, ou seja, um rótulo. Neste caso, temos o círculo c de centro A ao qual pertence o ponto B; c) nesta mesma janela, selecione agora a opção: Arco circular dado o centro e dois pontos - clique primeiramente no centro, depois em dois pontos distintos da circunferência, considerando B um desses pontos. Neste caso o GeoGebra criará um terceiro ponto de rótulo C e arco d. Pressione Esc; d) selecione o centro A e, depois na Barra de Menu desloque o seletor sobre a opção Editar. Selecione a opção: Propriedades / Básico / Exibir Rótulo desmarque a caixa indicada nesse rótulo. Feche a opção; e) repita o processo anterior, clicando sobre o ponto C, desloque o seletor até a opção: Básico / Nome renomeie este ponto para A utilizando o teclado do seu computador, após, sem fechar a caixa, ative outra opção. Selecione a opção: Estilo / Tamanho do ponto reduza para 1, repita este processo para o ponto B e para o centro do círculo. Em seguida, feche a caixa; f) com o mouse selecione o Arco circular d, após volte para a Barra de Menu, em Editar. Vá para opção:propriedades: Cor Verde / Estilo/ Espessura da linha - mude para 5. Nesta mesma opção, selecione a circunferência, Estilo/ Estilo de linha modelo tracejado. Feche a caixa; g) Esconda o rótulo que representa o Arco e a Circunferência, da mesma maneira como foi feito na letra d deste exercício. Feche a caixa.

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18 Exercício-desafio: agora que você já sabe desenhar um arco de circunferência no GeoGebra, faça um desenho livre, no qual sejam usados arcos de circunferências de diferentes cores (símbolo das olimpíadas, flores)

19 Atividade 3: Como distinguir um arco do outro utilizando o GeoGebra para a construção Passo a passo: a) abra o software GeoGebra; b) na Barra de Ferramentas, clique sobre o Menu da Janela 6, abra a Caixa de Ferramentas e com o seletor desloque até a opção: Circulo definido por três pontos selecione três pontos do círculo; c) clique sobre o ponto A e depois na Barra de Menu e avance o seletor sobre a opção: Editar / Propriedades / Básico / Nome digite Q utilizando o teclado, após selecione o ponto C e renomeie este ponto para A. Depois disso, ative a opção Estilo / Tamanho do ponto reduza para 1. Clique também sobre os rótulos B e Q e faça as mesmas reduções. Feche; d) selecione agora o Menu da janela 2, abra a Caixa de Ferramentas e ative a opção: Novo ponto - marque este ponto na curva entre A e B, reduza para 1 o tamanho deste ponto e renomeie para P, como foi feito no item anterior. Feche; e) na Barra de Ferramentas, avance com o seletor até o Menu da janela 6, selecione a opção: Arco circular dados três pontos clique sobre os pontos A, Q e B, nesta ordem, para criar o Arco Circular d. Pressione ESC; f) selecione o Arco construído anteriormente e, na Barra de Menu, avance o seletor sobre Editar / Propriedades / Cor vermelho / Estilo/ Espessura da linha altere para 5. Feche; g) selecione novamente o Menu da Janela 6, depois disso desloque o seletor sobre a opção: Arco Circular dados Três Pontos - clique sobre os pontos A, P e B. Após, repita o que foi feito na letra f deste exercício para o arco de rótulo e. Opções: Propriedades / Cor Verde / Estilo/ Espessura do Ponto altere para 5. Feche; h) selecione agora o rótulo representado pela Circunferência. Esconda-o da mesma maneira que foi feito na Atividade 2, letra d. Repita este processo para os rótulos que representam os Arcos; i) Na Barra de Ferramentas, desloque o seletor sobre o Menu da Janela 10: Selecione a opção: Inserir texto escreva na janela, para o Arco de cor verde:

20 Arco APB, clique em OK. Já para o Arco de cor vermelha, repita o processo e escreva: Arco AQB e clique em OK; j) clique sobre cada rótulo de arco, desloque-os para que fiquem mais visíveis. Na Barra de Menu, avance o seletor sobre Editar / Propriedades / Cor vermelho ou verde, conforme os rótulos se refiram a arcos em vermelho ou em verde. 1 1 A mesma operação pode ser feita clicando com o botão direito do mouse sobre o elemento desejado e escolhendo a ferramenta pretendida.

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22 Atividade 4: Como construir com o GeoGebra arcos que coincidem com as extremidades de um diâmetro ou arcos denominados semicircunferências Passo a passo: a) abra o software GeoGebra; b) desloque o seletor até o Menu da Janela 6 e abra a Caixa de Ferramentas, depois disso, marque a opção: Semicírculo Definido por dois Pontos selecione dois pontos para construir o Semicírculo. Estes pontos serão marcados como A e B. Repita este processo clicando primeiramente em B depois em A. Observe que no primeiro semicírculo o GeoGebra criou o rótulo c, já para o segundo o rótulo d. Pressione Esc; c) selecione o Menu da Janela 3, abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção: Segmento Definido por dois Pontos Selecione os pontos A e B para construir o Segmento de reta que será indicado pelo GeoGebra pelo rótulo a. Pressione Esc. no teclado do seu computador para ativar em seguida o menu da primeira janela; d) selecione o Semicírculo c. Vá até a Barra de Menu e faça as mesmas alterações que foram feitas na Atividade 3, letra f. Repita este processo para o Semicírculo d, desta vez escolha a cor verde. Feche; e) selecione a Semirreta a. Vá até a Barra de Menu, avance sobre a opção Editar: desloque o seletor sobre a opção: Propriedades / Básico / Exibir rótulo desmarque a caixa indicada pelo ícone da figura. Repita este processo para o Semicírculo c, depois disso, para o Semicírculo d. Nesta mesma janela selecione agora o ponto A, opção: Estilo / Tamanho do ponto reduza para 1. Repita o este processo para o ponto B. Feche.

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24 Exercício-desafio: com o auxílio do GeoGebra, use a figura do ângulo central para representar um trevo de quatro folhas e pinte-o de verde.

25 Atividade 5: Como construir com o GeoGebra arco nulo ou arco de uma volta Passo a passo: a) abra o software GeoGebra; b) repita a atividade 2, letra b. Repita mais uma vez o processo e construa uma nova circunferência com as mesmas características da primeira. Assim teremos um círculo d, com centro C, ao qual pertence o ponto D; c) selecione o Menu da Janela 11, abra a Caixa de Ferramentas e ative a opção: Exibir/ Esconder Objeto selecione os pontos A, depois o ponto C, após ative outra ferramenta ou pressione Esc. no seu teclado e os pontos A e C são ocultos; d) na Barra de Ferramentas, retorne para o Menu da Janela 2 e abra esta Caixa de Ferramentas e ative a opção: Novo Ponto - clique em um ponto qualquer da circunferência d, que seja diferente do ponto D. Pressione ESC; e) selecione este ponto e vá até a Barra de Menu, avance em Editar, opções: Propriedades / Básico / Nome renomeie o ponto E para P, digitando em seu teclado, após selecione outra ferramenta ou feche; f) clique sobre o ponto B e repita o que foi feito na letra c, mas desta vez, selecione a opção: Exibir / Esconder Rótulo - selecione o ponto D depois os rótulos c e d, que representam as circunferências. Eles vão ficar ocultos porque a ferramenta ainda está ativada. Pressione ESC; g) ative o Menu da Janela 10 e abra a Caixa de Ferramentas, procure pela opção: Inserir Texto - clique próximo ao ponto B que foi oculto anteriormente e escreva o Clique em OK; h) selecionando novamente a janela 10, Insira o Texto, escreva: Para a primeira circunferência: AB: Arco Nulo Para a segunda circunferência: APB: Arco de uma volta. i) altere a espessura da linha e a cor do texto, para isso vá até a Barra de Menu, avance em Editar opões: Propriedades / Cor vermelho para o Arco nulo AB e verde para o Arco APB.

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27 5.4 ÂNGULO CENTRAL Definição: Ângulo central de uma circunferência é todo ângulo que tem seu vértice no centro da circunferência e seus lados são semirretas secantes à circunferência. Diz-se que o arco AB subentende o ângulo central AOB, que está sendo representado por, na Figura 12. Figura 12 - Representação do ângulo central A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que o subentende. Indica-se a medida de um arco AB por m (AB). A medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco. Por exemplo, na Figura 13, os arcos AB e CD possuem a mesma medida, porque subentendem o mesmo ângulo, porém não têm o mesmo comprimento. Figura 13 - Representação do ângulo central e de arcos que o subentendem

28 Atividade 6: Como construir um ângulo central no GeoGebra Passo a passo: a) abra o software GeoGebra; b) repita a atividade 2, letra b; c) clique sobre o ponto A e, depois vá até a Barra de Menu, clique em Editar opções: Propriedade / Básico / Nome renomeie para O este ponto, utilizando o teclado do computador. Após, selecione o ponto B e renomeie para A. Feche; d) selecione novamente o Menu da Janela 6 e abra a Caixa de Ferramentas, avance o seletor sobre a opção: Arco circular dados o centro e dois pontos - selecione o centro e dois pontos para construir o Arco d, neste caso, o GeoGebra criará um terceiro ponto, B. Clique em ESC; e) selecione o Arco d, e na Barra de Menu, clique em Editar, opções: Propriedades / cor vermelho / Estilo / espessura da linha altere para 5. Feche; f) retorne para o Menu da Janela 3 e abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção: Segmento definido por dois pontos - selecione os pontos O e A e depois O e B. Os segmentos criados serão rotulados pelo GeoGebra como OA = a e OB = b. Pressione ESC; g) selecione agora o Menu da Janela 8, abra esta Caixa de Ferramentas e procure pela opção: Ângulo - selecione três pontos da circunferência, clique primeiramente sobre o ponto A, depois no centro O e por último em B. Pressione ESC; h) selecione este Ângulo, depois desloque até a Barra de Menu e clique sobre Editar, opções: Propriedades / Básico / Exibir Rótulo abra o retângulo a direita e clique sobre a palavra Nome. Nesta mesma opção, selecione os segmentos OA e OB. Para cada um destes, desmarque o quadrado à esquerda para esconder o seu rótulo. Esconda também o rótulo que representa a circunferência c. Ainda para esta, selecione Estilo / Estilo de linha modelo tracejado. Feche. Com isso está sendo representado um ângulo central.

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31 5.5 MEDIDAS DE ARCOS EM GRAUS E RADIANOS radiano. a) Grau igual a Para medir ângulos e arcos, utilizamos, como unidades de medida, o grau e o Um grau é definido como a medida do ângulo central subentendido por um arco da circunferência que contém este arco. Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, determinamos 360 arcos, cada um deles medindo 1 grau (1 0 ). Sendo assim, a circunferência mede Um minuto é igual a 1/60 do grau e 1 segundo é igual a 1/60 do minuto. Assim: 1º = 60 (60 minutos) 1 = 60 (60 segundos) 1º = 3600 ( 3600 segundos) b) Radiano Um radiano é definido como a medida de um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contem esse arco. A medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado pelo ângulo e o raio da circunferência. Indica-se o radiano por rad. comprimento r mede 1 rad, então um arco de uma volta completa, ou seja, um arco de 0 e Dada uma circunferência de raio r, para calcular o comprimento s de um arco AB, dessa circunferência, em radianos, conhecendo sua medida, em graus, pode-se usar a seguinte proporção: s=. rad

32 Figura 14 - Comprimento de arco em radianos de uma circunferência Assim, podemos indicar as equivalências entre as medidas de ângulos em graus e em radianos, no Quadro 2: Unidade Medidas Grau Radiano Quadro 2 Equivalências entre medidas de ângulos em graus e radianos Atividade 7: Como mostrar o comprimento de um arco em uma circunferência utilizando o GeoGebra Passo a passo: a) abra o software GeoGebra; b) desloque o seletor até o Menu da Janela 6; abra a Caixa de Ferramentas e procure a opção: Circulo definido pelo centro e um de seus pontos - clique em um ponto, que será o centro, em outro, que será a extremidade do raio e construa um círculo. Neste caso, teremos o círculo c de centro A e extremidade do raio em B. Repita este processo e construa outras três novas circunferências com as mesmas características da primeira. Assim, teremos um círculo d, com centro C e extremidade do raio em D, outro círculo e, de centro E e extremidade do raio em F e por último teremos uma circunferência f de centro G e extremidade do raio em H. Pressione ESC;

33 c) Selecione novamente o Menu da Janela 6, abra a Caixa de Ferramentas e ative a opção: Arco circular Dado o Centro e Dois de seus Pontos - selecione o centro e depois dois pontos. Este segundo ponto deverá ser o mesmo ponto B e, após o seletor ter percorrido uma volta completa, o terceiro ponto também será B; d) repita o processo anterior para as demais circunferências. O seletor deverá percorrer respectivamente um quarto de volta para criar o rótulo g e o ponto I na segunda circunferência, utilizando a malha para visualizar a distância pretendida. Depois disso, meia volta para criar o rótulo h e o ponto J, na terceira circunferência e, por último, três quartos de volta na quarta circunferência, criando o rótulo k e o ponto K. Pressione ESC; e) altere a cor e a espessura da linha na circunferência c, conforme foi feito na Atividade 2, letra f. Depois disso, repita este processo para os demais arcos, considerando também o Estilo de linha para as circunferências d, e, f; f) selecione o rótulo c, depois desloque o seletor até a Barra de Menu, avance sobre a opção Editar, clique sobre a opção: Propriedades /Básico / Exibir rótulo - desmarque o quadrado que está indicado à esquerda desta opção. Faça o mesmo para os rótulos (d, g, e, h, f, k). Clique sobre o ponto A e, nesta mesma janela, selecione Exibir Objetos desmarque o quadrado a esquerda para esconder este ponto. Repita este processo para os pontos B, C, D, I, J, E, F, G, H, K. Feche; g) ative o Menu da Janela 10 e abra a Caixa de Ferramentas, procure pela opção: Inserir Texto - clique na área de trabalho abaixo de cada circunferência e escreva, respectivamente, 3 Arco de rad. 2 Arcode 2 rad., Arcode rad., Arcode rad. 2 e Como foi feito anteriormente, altere a cor de cada texto para verde.

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35 Exercício 2: Construa, usando o GeoGebra: a) um arco de 75 0 b) um arco de 142º c) um arco de d) um arco de 320 0

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37 5.6 CIRCUNFERÊNCIA ORIENTADA Uma circunferência pode ser percorrida em dois sentidos. Quando um deles é escolhido como sendo o positivo, então se diz que a circunferência está orientada. Na Figura 11, o arco AB pode ser percorrido no sentido anti-horário (deslocamento do arco vermelho, na figura 15) ou horário (deslocamento do arco verde). Estabelecemos como positivo o sentido anti-horário (contrário ao movimento dos ponteiros de um relógio) e, como negativo, o sentido horário. Figura 15 - Arcos Orientados Atividade 8: Como construir um arco orientado com o GeoGebra Passo a passo: a) abra o software GeoGebra; b) repita a atividade 2, letra b; c) selecione o ponto A e vá até a Barra de Menu e clique em Editar, ative a opção: Propriedades / Básico / Nome renomeie o ponto A para ponto O com auxilio do teclado, repita este processo clicando em B, renomeando para A. Feche; d) ative o Menu da Janela 3, abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção: Reta Definida por dois Pontos Selecione os pontos O e A para construir a reta a;

38 e) selecione o Menu da Janela 4, abra a Caixa de Ferramentas e com o seletor marque a opção: Reta Perpendicular clique primeiramente sobre o ponto O, depois sobre a reta construída no item anterior para construir a reta perpendicular b; f) ative agora o Menu da janela 2 e com o seletor abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção: Interseção de dois objetos - clique sobre a interseção do círculo com a reta perpendicular para marcar o ponto B na semicircunferência superior; g) desloque o seletor até o Menu da Janela 11, a seguir abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção: Exibir / Esconder rótulo selecione a circunferência c, para esconder o rótulo. Ative outra ferramenta ou pressione ESC; h) no Menu da Janela 3, abra novamente a Caixa de Ferramentas e selecione a opção: Segmento definido por dois pontos selecione o ponto O depois o ponto A, para construir o segmento d. Repita este processo clicando novamente sobre este centro, depois no ponto B para construir o segmento e. Pressione ESC; i) refaça o que foi feito na letra g deste mesmo exercício, porém ative a opção Exibir / Esconder objetos selecione os objetos representados pelas retas a, b depois disso, pressione ESC. Já para os rótulos e, d, repita o que foi feito na letra g; j) selecione o Menu da Janela 8, abra a Caixa de Ferramentas e ative a opção: Ângulo selecione três pontos, começando por A, depois em O e por último em B. Pressione ESC ao final; k) selecione agora o ângulo construído anteriormente, a seguir desloque o seletor até a Barra de Menu, clique em Editar, opção: Propriedades / Básico / Exibir Rótulo e desmarque a caixa à esquerda. Feche; l) avance o seletor até o Menu da Janela 6, abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção: Arco Circular dados o Centro e dois Pontos Selecione o centro O, depois A e por último desloque o seletor pela circunferência até encontrar B e construa o arco f. Repita o processo clicando em OBA para criar o arco g. Pressione ESC; m) selecione o setor f, vá à Barra de Menu, Editar e clique sobre a opção: Propriedades / Cor - vermelho / Estilo altere para 5. Faça o mesmo para o Setor g. Utilize a cor verde e estilo 5 para fazer essas mesmas alterações. Esconda os rótulos que representam a circunferência c e os arcos, da mesma forma em que foi feito anteriormente na letra g deste exercício. Pressione ESC;

39 n) agora selecione o segmento AO, desloque o seletor até a Barra de Menu, clique em Editar, depois selecione a opção: Propriedades / Estilo de Linha modelo tracejado Faça o mesmo para o segmento OB. Feche; o) ative o Menu da Janela 10 e abra a Caixa de Ferramentas, procure pela opção: Inserir Texto - clique na área de trabalho e escreva para o arco vermelho: medida escreva: medida (AB) = - e clique em ok; p) altere a cor dos textos escritos no item anterior. Desloque o seletor até a Barra de Menu, clique em Editar, depois selecione a opção: Propriedades / Cor - vermelho. Repita este processo para o arco verde.

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41 Exercício-desafio: com o auxílio do GeoG radianos, em cor vermelha, e o arco replementar, em cor verde. Qual a medida, em radianos, desse arco replementar?

42 5.7 ARCOS CÔNGRUOS Ao percorrer uma circunferência orientada no sentido positivo, um arco que mede mais do que 2 é um arco de mais de uma volta. Da mesma forma, ao percorrer no sentido negativo, um arco menor do que 2 é um arco de mais de uma volta. Com isso, podemos ter arcos com mesma origem A e mesma extremidade B que diferem apenas pelo número de voltas. Esses arcos são denominados arcos côngruos de uma circunferência. Em uma circunferência orientada, se o arco dos arcos côngruos a ele é dada por: +2, Também se diz que + 2k são as várias determinações do arco e que é sua primeira determinação. 5.8 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Fixados dois eixos perpendiculares, que se cortam em um ponto O, podemos orientá-los da seguinte maneira: no eixo horizontal, o sentido positivo é para a direita e no eixo vertical, o sentido positivo é para cima. O plano associado a esse sistema de eixos, chamado sistema cartesiano ortogonal, é o plano cartesiano. Dado um ponto P qualquer do plano cartesiano, traçam-se por P paralelas aos eixos cartesianos, obtendo, na intersecção com os respectivos eixos, os pontos P 1 e P 2, em que P 1 se encontra no eixo horizontal e P 2, no eixo vertical. A medida do segmento, indicada por x, é chamada abscissa do ponto P; a medida do segmento, indicada por y, é chamada ordenada do ponto P. (Figura 16).

43 Figura 16 Eixos Perpendiculares Orientado Observe agora as extremidades dos quadrantes do ciclo trigonométrico. Cada arco trigonométrico tem como extremidade um único ponto na circunferência, isto é, a cada x real podemos associar um único ponto na circunferência, ao qual chamamos de imagem de x no ciclo. O ponto B, de coordenadas (0, 1) é a extremidade do 1 quadrante e o arco AB mede. O ponto C, de coordenadas (-1,0) é a extremidade do 2 quadrante e o arco AC mede. O ponto D, de coordenadas (0,-1) é a extremidade do 3 quadrante e o arco AD mede. Finalmente o ponto A é (Figura 17). Figura 17 - Circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico

44 Exercício 3: Determine os quadrantes onde se encontram as extremidades dos arcos de: a) 2630º b) -1645º Atividade 9: Como construir no GeoGebra uma circunferência trigonométrica Passo a passo: a) abra o software GeoGebra; b) repita a atividade 2, letra b; c) selecione o ponto A, vá até a Barra de Menu, clique em Editar e ative a opção Propriedades / Básico / Nome Renomeie o ponto A para ponto O com o auxilio do teclado, repita este processo clicando em B, renomeando para A. Feche ou pressione ESC; d) ative o Menu da Janela 3, abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção Reta Definida por dois Pontos Selecione os pontos O e A para construir a reta a; e) selecione o Menu da Janela 4, abra a Caixa de Ferramentas e marque a opção Reta Perpendicular clique primeiramente sobre o ponto O, depois disso sobre a reta construída no item anterior e construa a reta perpendicular b; f) selecione o Menu da janela 2, abra a Caixa de Ferramentas e clique sobre a opção Interseção de dois objetos clique sobre a interseção da reta a com a circunferência c para marcar os pontos B (à esquerda). Repita o processo clicando sobre a reta b e depois na circunferência c para marcar os pontos C (acima) e D (abaixo). Pressione Esc.; g) renomeie o ponto D para B, B para C e C para D da mesma maneira que foi feito nesta atividade, letra c; h) avance o seletor sobre o Menu da janela 10, abra a Caixa de Ferramentas e clique sobre a opção Inserir Texto - selecione um ponto da reta a, localizado no intervalo de O até A e escreva o texto: r = 1. Selecione novamente esta opção e escreva junto ao ponto A: (1, 0). Repita este processo para os pontos B, C e D escrevendo, respectivamente, (0, 1), (-1, 0) e (0, -1). De maneira análoga, marque na circunferência os respectivos quadrantes no sentido anti-horário: I, II, III e IV,

45 utilizando a opção inserir texto. Escreva também, para o arco que representa o quadrante I, AB = rad 2 o que representa o quadrante III IV, ABA = 2 rad., para o que representa o quadrante II, AC = rad., para 3 AD = rad. e para o que representa o quadrante 2 i) selecione o centro O e desloque o seletor até a Barra de Menu, clique em Editar e marque a opção: Propriedades: Estilo / Tamanho do Ponto reduza para um. Repita este processo clicando sobre os pontos A, B, C e D. Feche a opção.

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48 5.9 AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS a) Seno e Cosseno As razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) tinham sido definidas no item 5.1 apenas para um ângulo agudo, ou seja, para 0 0 < <90 0. Como um ângulo pode ser medido em radianos, então ficam definidos o seno, o cosseno e a tangente para o intervalo (0, /2) em. Agora, vamos estender essas definições para todos os reais (se possível), de forma que sejam mantidas as relações: sen 2 x+cos 2 x=1 e =. Dada uma circunferência trigonométrica C e um número real x, vamos percorrer a circunferência, a partir da origem A, um comprimento igual a x, no sentido positivo se x>0 e no sentido negativo, se x<0, atingindo um ponto M da circunferência que chamaremos de M(x).Seja a função E: C tal que a cada x associa o ponto M; da mesma forma, se x<0. M(x) é um ponto bem definido, pois, se tomarmos um ponto qualquer P da circunferência C, ele é imagem, pela função E, de uma infinidade de números reais, da côngruos. Seja então, na Figura 18, o arco AM, cuja medida m(am) é igual a x. M é o ponto de abscissa M e ordenada M. Como o arco AM é determinado pelo ângulo central AOM, da circunferência trigonométrica, então m(aom)=x.

49 Figura 18 Representação do seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico. No triângulo retângulo OM M, temos: = = 1 = => = cos = = 1 => cos = Pelo teorema de Pitágoras, + = + = = 1 Assim, mantém-se uma das relações trigonométricas. Na Figura 18, o eixo horizontal orientado recebe o nome de eixo dos cossenos e o eixo vertical orientado, eixo dos senos. b) Tangente Na Figura 18, o eixo paralelo ao eixo das ordenadas, passando pelo ponto A, é chamado eixo das tangentes, cuja origem é A e o sentido positivo é para cima. Seja T o ponto de intersecção da semirreta com o eixo das tangentes. Definimos como tangente de x a medida do segmento AT. Os triângulos OM M e OAT são semelhantes, porque têm dois ângulos respectivamente congruentes. Portanto, os lados homólogos são proporcionais. Logo:

50 = => = => 1 = => = Assim, mantém-se a segunda relação trigonométrica. Note que, para esta definição, é necessário que +, Atividade 10: Como construir no GeoGebra a representação do seno, cosseno e tangente de um ângulo, no ciclo trigonométrico Passo a passo: a) abra o software GeoGebra; b) repita a atividade 2, letra b; c) selecione o ponto A e vá na Barra de Menu, clique em Editar e ative a opção Propriedades / Básico / Nome Renomeie o ponto A para ponto O, repita este processo clicando em B e renomeando para A. Feche a opção; d) ative o Menu da Janela 3, abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção Reta Definida por dois Pontos Selecione os pontos O e A para construir a reta a; e) selecione o Menu da Janela 4, abra a Caixa de Ferramentas e marque a opção Reta Perpendicular clique primeiramente sobre o ponto O, depois disso sobre a reta construída no item anterior e construa a reta perpendicular b; f) selecione o Menu da Janela 2, depois disso abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção Novo ponto clique em um ponto qualquer que esteja sobre circunferência c e que pertença ao primeiro quadrante e ele será nomeado como B. Pressione Esc. Após, renomeie este ponto B para ponto M, como foi feito anteriormente na letra c deste mesmo exercício; g) selecione o Menu da Janela 4 e abra a Caixa de Ferramentas. Avance o seletor sobre a opção Reta paralela Clique sobre o ponto M e depois sobre a reta a. Repita novamente o que foi feito, clicando mais uma vez no ponto M, a seguir na reta b. Assim, construímos uma reta d, paralela à reta a e a reta e, paralela à reta b;

51 h) selecione novamente o Menu da Janela 2, desta vez selecione a opção Interseção de dois objetos clique diretamente sobre a interseção da reta b com a reta d para marcar o ponto B. Repita novamente, clicando agora sobre a intersecção da reta e com a reta a, para marcar o ponto C. Pressione Esc.; i) clique sobre o ponto B e renomeie para M, da mesma maneira que foi feito anteriormente na letra c. Repita este processo clicando no ponto C e renomeando para M. Nesta mesma janela selecione a opção: Estilo / Tamanho do ponto reduza para 1.Reduza também os pontos M, M, O e A. Feche a opção; j) construa uma nova reta que passe pelos pontos O e M da mesma maneira que foi feito anteriormente na letra d. Observe que esta reta ficou renomeada como reta f. Pressione Esc; k) selecione o ponto A e depois construa como foi feito anteriormente, na letra e - uma nova reta perpendicular à reta a, passando por A, que será nomeada pelo GeoGebra como g. A seguir, marque o segundo ponto de interseção da reta f com a reta g, seguindo os mesmos passos da letra h deste exercício, clicando sobre a interseção, encontrando B. Pressione Esc.; l) selecione o ponto B e na Barra de Menu desloque o seletor em Editar e ative a opção Propriedades / Estilo / Tamanho do ponto reduza para 1. Nesta mesma janela, selecione a opção Básico / Nome - renomeie este ponto para T. Feche a opção; m) clique no Menu da Janela 3 e abra a Caixa de Ferramentas, selecione a opção Segmento definido por dois pontos - trace os segmentos OM, OT, OM, OM, MM, MM, OA e AT. Estes segmentos vão ser nomeados, automaticamente, pelo GeoGebra. Pressione Esc.; n) selecione o Menu da Janela 11, abra a Caixa de Ferramentas e ative a opção Exibir esconder / objetos clique sobre as retas d, e, f. Pressione Esc; Para arcos maiores do que 90 0, ou seja, no segundo, terceiro e quarto quadrantes, modificam-se as representações do seno, cosseno e tangente, apresentadas na Figura 19:

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53 Figura 19 Representações do seno, cosseno e tangente nos segundo, terceiro e quarto quadrantes. Atividade 11: Como construir no GeoGebra as representações do seno, cosseno e tangente para arcos maiores que 90º Passo a passo: a) abra o software GeoGebra; b) repita a atividade 2, letra b. Repita o processo e construa outras duas novas circunferências com as mesmas características da primeira, ou seja, com raios de mesma medida que o da primeira circunferência. Assim, teremos uma circunferência d, com centro C e extremidade do raio em D e por último teremos uma circunferência e, de centro E e extremidade do raio em F. Pressione ESC; c) selecione o Menu da Janela 3, abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção Reta definida por dois Pontos Selecione os pontos A e B para construir a reta que será indicada pelo GeoGebra pelo rótulo a. Pressione ESC; d) selecione o Menu da Janela 4, abra a Caixa de Ferramentas e marque a opção Reta Perpendicular clique primeiramente sobre o ponto A, depois disso sobre a reta a, construída no item anterior e construa a reta perpendicular b. Repita o processo clicando sobre o ponto C, e depois sobre a reta a, para construir outra perpendicular, ao ponto C, de rótulo f. Por último, clique sobre o ponto E, depois na reta a, para construir a última perpendicular pretendida, de rótulo g; e) selecione o Menu da Janela 2, abra a Caixa de Ferramentas e ative a opção Novo ponto Na primeira circunferência, clique em um ponto qualquer sobre ela, pertencente ao 2º quadrante, para marcar o ponto G. Repita este processo para a segunda circunferência e marque um ponto qualquer do 3º quadrante e encontre H,

54 por último, na terceira circunferência, marque um novo ponto que pertença ao 4º quadrante que será rotulado como ponto I. Pressione ESC; f) repita o que foi feito na letra c deste mesmo exercício, desta vez selecione os pontos A e G para construir a reta h. Repita o processo e clique sobre os pontos C e H e construa a reta i. Por último clique sobre os pontos E e I para construir a reta j. Pressione ESC; g) selecione o Menu da Janela 4 e abra a Caixa de Ferramentas. Avance o seletor sobre a opção Reta perpendicular Clique sobre o ponto G e depois sobre a reta a, para construir a reta perpendicular k. Repita novamente o que foi feito, clicando sobre o ponto B, a seguir na reta a, para construir a reta perpendicular l. Na segunda circunferência, clique sobre o ponto H, depois sobre a reta a para construir a reta m. Clique sobre o ponto D após, sobre a reta a e encontre a reta n. Na terceira circunferência clique sobre o ponto F, depois sobre a reta a e encontre a reta perpendicular p. Por último clique sobre o ponto I, após sobre a reta a e encontre a reta perpendicular q. Pressione ESC; h) volte ao Menu da Janela 4 e selecione a opção Reta paralela clique sobre o ponto G e depois sobre a reta a, para construir a reta r, paralela à reta a. Repita o processo clicando sobre o ponto H e depois sobre a reta a para construir a reta paralela s. Por último clique sobre o ponto I, depois sobre a reta a para encontrar a paralela t. Pressione ESC; i) selecione novamente o Menu da Janela 2, desta vez selecione a opção Interseção de dois objetos Para a primeira circunferência clique diretamente sobre a interseção da reta a com a reta k para marcar o ponto J. Repita novamente o processo clicando agora sobre a interseção da reta b com a reta r para marcar o ponto K. Por último, clique diretamente sobre a interseção da reta h, com a reta l para marcar o ponto L. Para a segunda circunferência clique sobre a interseção da reta a com a reta m para encontrar o ponto M. Clique agora sobre a interseção da reta s com a reta f para marcar o ponto N. Por último, clique na interseção da reta i com a reta n e encontre o ponto O. Para a terceira circunferência clique sobre a reta g com a reta t para marcar o ponto P. Clique novamente sobre a interseção da reta a com a reta q, para encontrar o ponto Q, depois clique na circunferência e, depois sobre a reta j para marcar o ponto R. Por último clique sobre a interseção da reta j com a reta p e encontre o ponto S. Pressione ESC;

55 j) no Menu da Janela 3, abra novamente a Caixa de Ferramentas e selecione a opção: Segmento definido por dois pontos selecione o ponto L depois o ponto G, para construir o segmento a 1. Repita este processo clicando sobre o ponto K depois em G e construa o segmentob 1. Agora sobre o ponto J depois em G para construir o segmento c 1. Por último para esta primeira circunferência, clique sobre os pontos B e L e construa o segmento d 1. Para a segunda circunferência, construa os seguintes segmentos, clicando respectivamente sobre os pontos H e O, segmento e 1, pontos H e M, segmento f, pontos H e N, segmento 1 g 1. Por último, pontos D e O para o segmento h 1. Já para a terceira circunferência, clique sobre os pontos S e R e marque o segmento i, 1 agora sobre os pontos P e I e encontre o segmentoj 1, depois sobre os pontos Q e I e encontre k 1. Por último sobre os pontos F e S e marque o segmento l 1. Pressione ESC; k) Selecione a reta k, depois desloque o seletor até a Barra de Menu, opção Propriedades. Ative o ícone Básico / Exibir objetos desmarque a caixa à esquerda desta opção. Depois disso, para esta circunferência, nesta mesma opção, clique sobre as retas h, r, s e l. Repita este processo para a segunda circunferência. Clique sobre a reta m depois sobre a reta i, por último sobre a reta n, para que possamos escondê-las. Para a terceira circunferência, nesta mesma opção, selecione a reta j, depois a reta q, p e por último a reta t. l) sem fechar esta janela, nesta mesma opção, selecione o rótulo b 1, opção Nome clique dentro do retângulo ao lado e renomeie este rótulo para cosseno. Repita este processo, escrevendo o mesmo nome para os rótulos g 1 e j 1. Já para os segmentos c 1, f 1 e k1, nesta mesma opção, renomeie-os para seno. Para os segmentos d 1, h 1 e l1, renomeie para tangente. Nesta ordem, selecione o rótulo cosseno da primeira circunferência. Cor vermelho / Estilo / Espessura da linha altere para 5. Repita este processo para os rótulos cosseno da segunda e terceira circunferência. Agora selecione o rótulo seno. Cor azul / Estilo / Tamanho do ponto - altere para 5. Já para o rótulo tangente, escolha a Cor- verde e faça as mesmas alterações. Observe que no GeoGebra, quando renomeados os rótulos para nomes iguais, ele diferencia em sequência numérica um rótulo do outro. Nesta janela, volte para a

56 opção Básico / Exibir rótulo esconda todos os demais rótulos que aparecem na sua tela. Feche a opção. m) selecione o Menu da Janela 6, opção Setor circular dado o centro e dois pontos. Clique sobre o centro A da primeira circunferência, depois sobre o ponto B, após desloque o seletor sobre a circunferência até encontrar o ponto G. Desta maneira vai ser criado o arco c.repita 1 este processo para a segunda circunferência. Desta vez, clique sobre os pontos escondidos C, D e H, para construir o arco d 1. Para a terceira circunferência, clique sobre os rótulos também escondidos E, F e I, para construir o arco f 1. Pressione ESC; n) selecione o arco da primeira circunferência, depois disso, na Barra de Menu, desloque em Propriedades / Estilo / Preenchimento- altere para 25. Repita este processo para a segunda e terceira circunferência. Feche VALORES ESPECIAIS DE SENO E COSSENO DE UM ÂNGULO Vamos destacar os valores de seno e cosseno para os arcos de 0 rad, rad, rad, rad e 2 rad, indicados no Quadro 3: Radiano 0 2 Seno Cosseno Quadro 3 Valores especiais de seno e cosseno

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58 Exercício 4: Calcule os valores, após faça a sua representação utilizando o Geogebra: a) b) sen (- 900 )

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60 5.11 REDUÇÃO DO SEGUNDO PARA O PRIMEIRO QUADRANTE Conforme a Figura 20, considerando o eixo das ordenadas como eixo de simetria, podemos encontrar os valores de seno e cosseno de um ângulo que se encontra no segundo quadrante, isto é, tal que /2 < x <. Traçando uma paralela ao eixo das abscissas pelo ponto B, determinamos o ponto B de modo que o triângulo OBB é isósceles, pois os lados OB e OB tem mesma medida (a medida do raio). Logo, os ângulos da base são congruentes. Duas paralelas cortadas por uma transversal (OB) determinam ângulos congruentes. Assim, = = ( O) = m(aôb ). Portanto, x = m(aôb ). Podemos indicar m(aôb ) por -x e, assim, sen( -x) = sen x e cos ( -x ) = -cos x. Logo, por uma das relações trigonométricas, ( x) = ( ) ( ) = = Figura 20 - Redução do segundo para o primeiro quadrante Atividade 12: Redução do segundo para o primeiro quadrante utilizando o GeoGebra Passo a passo: a) abra o software GeoGebra; b) repita a atividade 2, letra b;

61 c) selecione o ponto A e vá até a Barra de Menu, clique em Editar, ative a opção Propriedades / Básico / Nome Renomeie o ponto A para ponto O e repita este processo clicando em B, renomeando para A. Feche a opção; d) ative o Menu da Janela 3, abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção Reta Definida por dois Pontos Selecione os pontos O e A para construir a reta a; e) selecione o Menu da Janela 4, abra a Caixa de Ferramentas e marque a opção Reta Perpendicular clique primeiramente sobre o ponto O, depois disso sobre a reta construída no item anterior e construa a reta perpendicular b; f) insira um ponto B na circunferência c, no primeiro quadrante; repita o que foi feito anteriormente na letra d para construir a reta d que passará pelo centro O e por este ponto B. Pressione ESC; g) selecione o Menu da janela 4, abra a caixa de Ferramentas e avance o seletor até a opção Reta Paralela clique sobre o ponto B e sobre a reta a, para criar a reta e, paralela à reta a. Pressione ESC; h) no Menu da Janela 2, abra a Caixa de Ferramentas e selecione opção Interseção de dois Objetos - clique sobre a intersecção da reta e, com a circunferência c para marcar o ponto C. Pressione ESC. Depois disso renomeie este ponto para B, como foi feito anteriormente na letra c deste mesmo exercício. Repita este mesmo processo, clicando sobre a intersecção da reta a, com a circunferência c, renomeie este ponto para A ; i) clique no Menu da Janela 3, abra a Caixa de Ferramentas, selecione a opção Segmento definido por dois pontos - construa os segmentos OB e OB, de rótulos f e g; j) ative o Menu da Janela 11, abra a Caixa de Ferramentas, selecione a opção Exibir / esconder objetos - clique sobre a reta d, após pressione ESC; k) desloque o seletor até a Barra de Menu e ative o modo Editar. Procure a opção Propriedades / básico exibir rótulo - selecione o rótulo f do segmento OB, depois disso desative esta marcação, clicando com o seletor no quadrado indicado por esta opção. Faça o mesmo para os rótulos c e g. Agora, nesta mesma janela, selecione a reta e e, com Estilo / Estilo de linha - selecione o modelo tracejado. Feche; l) agora ative o Menu da janela 8, opção Ângulo, selecione a reta a, depois o segmento OB.Pressione ESC. Agora esconda o rótulo do ângulo, como foi feito no

62 item anterior. Ative a opção Cor / azul / Estilo / Tamanho reduza para 20 / Preenchimento altere para50. Feche; m) ative o Menu da Janela 10, abra a Caixa de Ferramentas, selecione a opção: Inserir Texto clique em um ponto próximo ao ângulo construído anteriormente, digite x e clique em OK; n) construa um novo ângulo, como foi feito na letra l deste mesmo exercício. Desta vez selecione a reta e e o segmento OB. Pressione ESC. Esconda o rótulo e depois ative a opção Estilo / Tamanho altere para 50 / Preenchimento altere para 25. Feche; o) ative novamente a opção Inserir Texto como foi feito anteriormente e escreva em x e clique em OK; p) ative a Barra de Menu como foi feito anteriormente, Propriedades / Estilo / Tamanho do ponto clique sobre cada ponto e reduza para 1. Feche REDUÇÃO DO TERCEIRO PARA O PRIMEIRO QUADRANTE Conforme a Figura 21, prolongando o segmento OB na direção do terceiro quadrante, encontramos o ponto B na intersecção com a circunferência trigonométrica. Os ângulos AÔB e A ÔB são congruentes porque são opostos pelo vértice. Mas m(a ÔB )= +x. Assim: Figura 21 Redução do terceiro para o primeiro quadrante sen( +x)= - sen x cos ( +x) = - cos x

63 tg( +x) = tg x 5.13 REDUÇÃO DO QUARTO PARA O PRIMEIRO QUADRANTE Na Figura 22, se traçarmos uma paralela ao eixo das ordenadas pelo ponto B, então, o triângulo BOB é isósceles, porque a medida dos lados OB e OB são iguais (são raios da circunferência). Logo, os triângulos A OB e A OB são congruentes pelo caso Lado-ângulo-ângulo oposto, porque é perpendicular a. Assim, os ângulos BÔA e B ÔA são congruentes e podemos escrever: Figura 22 Redução do quarto para o primeiro quadrante sen (2 -x)= - sen x cos (2 -x)=cos x tg(2 -x)=- tg x