CAPÍTULO II INTEGRAL DE RIEMANN EM R

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1 CAPÍTULO II INTEGRAL DE RIEMANN EM R. Defnção e prmers propreddes Consdere-se função f () lmtd no ntervlo I = [, ] ( < ) lmtdo e fedo. Fndo pontos,,..., n-, n, em número fnto, ts que, = < < < < n- < n =, o onjunto D = {,,..., n-, n } m-se deomposção do ntervlo I = [, ]. Est desgnção truíd o onjunto D result do fto de os pontos determnrem deomposção de [, ] nos seguntes suntervlos: [, ], [, ],..., [ n-, ], uj unão dá o ntervlo [, ]. Note-se que á um nfndde de modos possíves de fr os pontos ns ondções referds e ssm surgem nturlmente nfnts deomposções possíves pr o ntervlo [, ]. O dâmetro de um deomposção D = {,,..., n-, n } do ntervlo [, ] é mor ds dferençs + -, ou sej, mor ds mpltudes dos suntervlos em que o ntervlo f deomposto pelos pontos D. Representremos por d(d) o dâmetro d deomposção D. Tomndo em d suntervlo [, + ] um ponto y, defn-se, n + = σ (D) = ( ). f (y ), epressão que se desgn por som sgm ou som de Remnn d função f () pr deomposção D = {,,..., n-, n } onsderd. Conlu-se om fldde que σ (D) é um função nfnívo qundo onsderd, quer omo função de D, quer omo função do dâmetro d deomposção, d = Má { + - : =,,,..., n-}. De fto, d deomposção D orresponde um nfndde de soms sgm, vráves om esol dos pontos y ; e á tmém nfnts deomposções D om o mesmo dâmetro d.

2 Dz-se que λ = lm d σ (D) se e só se, δ >, ε = ε (δ ) : d(d) < ε σ (D) V δ (λ) ; qundo λ sej fnto, ondção preedente pode esrever-se do segunte modo: e nesse so: δ >, ε = ε (δ ) : d(d) < ε σ (D) - λ < δ, ) A função f () dz-se ntegrável à Remnn no ntervlo [, ] ; ) Ao lmte fnto λ m-se ntegrl de f () no ntervlo [, ] e represent-se pelo símolo, f ( ) d, símolo este que evden : ) As etremddes e do ntervlo de ntegrção; ) A função ntegrnd f () ; 3) A vrável de ntegrção. Qundo o ntervlo de ntegrção sej degenerdo ( = ), função onsder-se sempre omo ntegrável por defnção e onvenon-se que é nulo o vlor do ntegrl. Convém oservr que o vlor do ntegrl, so função sej ntegrável, depende do ntervlo de ntegrção e d função ntegrnd, ms não d vrável de ntegrção, sto é, f ( ) d = f ( u) du = f () t dt =. Vmos estudr segudmente lgums propreddes elementres do ntegrl de Remnn. P : Se f () e g() defnds no ntervlo [, ] dferem pens pelo vlor ssumdo em erto [, ], então ms s funções são onjuntmente ntegráves ou não ntegráves no ntervlo e em so de ntegrldde, f ( ) d = g ( ) d Demonstrção : Sej D = {,,..., n-, n } um qulquer deomposção do ntervlo [, ]. As soms n + = σ g (D) = ( ) n + =. g (y ) e σ f (D) = ( ). f (y ) 3

3 só dferem no so espel de um dos y α esoldos ser presmente o vlor onde s funções ssumem vlor dstnto; nesse so espel, σ f (D) - σ g (D) = ( α+ - α ). [ f () - g()]. Portnto, em gerl, sej omo for que se esolm os y α, tem-se, σ f (D) - σ g (D) d. f () - g(), em que d é o dâmetro d deomposção D. Admt-se gor que λ = lm σ f (D) é d fnto, ou sej, que f () é ntegrável em [, ]. Fndo um vlor δ >, este então um ε = ε (δ ) tl que, Então, pr d < ε tem-se, d < ε σ f (D) - λ < δ / e d < δ. f ( ) g( ). σ g (D) - λ σ g (D) - σ f (D) + σ f (D) - λ < < d. f () - g() + δ / < δ / + δ / = δ, ou sej, λ = lm σ g (D), ssm se onlundo que g() é tmém ntegrável em [, ] d e que o seu ntegrl nesse ntervlo onde om o de f (). Trondo n demonstrção os ppes de f () e g(), onlu-se que se g() é ntegrável no ntervlo [, ] tmém o é f () e tem o mesmo ntegrl. A propredde que de ser demonstrd dmte o segunte, Coroláro : Se f () e g() defnds no ntervlo [, ] dferem pens pelos vlores ssumdos em ertos pontos j [, ] (j =,,..., m ), em número fnto, então ms s funções são onjuntmente ntegráves ou não ntegráves no ntervlo e, em so de ntegrldde, f ( ) d = g ( ) d Demonstrção : Bst plr repetdmente (um número fnto de vezes) propredde nteror. A propredde preedente e o seu oroláro permtem lrgr noção de ntegrl de um função f () num ntervlo [, ] o so em que el não estej defnd num número fnto de pontos do ntervlo. Pr tl onsder-se função g() ondente om f () nos pontos do ntervlo onde est estej defnd e om vlores rtráros nos pontos j [, ] onde f () não estej defnd. A ntegrldde e o vlor do ntegrl 4

4 de g() no ntervlo não dependem dos vlores rtráros utlzdos pr defnr g() nos pontos j (em número fnto) e então dz-se que f () é ntegrável em [, ] se e só se g() o for e, em so de ntegrldde, defne-se, f ( ) d = g ( ) d. P : Sendo f () = k (onstnte) em [, ], f () é ntegrável nesse ntervlo e tem-se kd= k. ( - ) Demonstrção : Pr qulquer deomposção do ntervlo [, ], tem-se, n + = σ (D) = ( ) n + =. F (y ) = ( ). k = k. ( - ), e, portnto, kd= lm d σ (D) = k. ( - ), que é o que se pretend provr. P3 : Sendo f () em [, ] e sendo f () ntegrável nesse ntervlo, tem-se, f ( ) d Demonstrção : Result medtmente do fto de ser, pr qulquer deomposção D, n + = σ (D) = ( ). f (y ). P4 : Sendo f () e g() ntegráves em [, ] então f () + g() é gulmente ntegrável nesse ntervlo e tem-se, [ ( ) + ( )] f g d = f ( ) d + g ( ) d Demonstrção : Sejm λ f e λ g, respetvmente, os ntegrs de f () e de g() no ntervlo em us. Ddo um qulquer δ >, este então um ε = ε (δ ) tl que, d = d(d) < ε σ f (D) - λ f < δ / σ g (D) - λ g < δ /. Pr um deomposção D de dâmetro nferor ε = ε (δ ) tem-se então, n + = σ f+g (D) = ( ). [ f (y ) + g(y )] = σ f (D) + σ g (D), donde result, σ f+g (D) - (λ f +λ g ) σ f (D) - λ f + σ g (D) - λ g < δ / + δ / = δ, 5

5 o que mostr ser lm d σ f+g (D) = λ f +λ g, que é o que se pretend provr. O segunte oroláro é medto por plção repetd d propredde nteror: Coroláro : Sendo f (), =,,..., m, em número fnto, funções ntegráves no m ntervlo [, ], então f ( ) é gulmente ntegrável no ntervlo e tem-se, m = f ( ) d = m = = f ( ) d P5 : Sendo f () ntegrável em [, ] e k onstnte, então k. f () é tmém ntegrável nesse ntervlo e k. f ( ) d = k. f ( ) d Demonstrção : Pr um qulquer deomposção D do ntervlo, tem-se, n + = σ k.f (D) = ( ). [ k. f( y )] = k. σ f (D). Sendo f () ntegrável no ntervlo em us e λ f o respetvo ntegrl, tem-se, δ >, ε = ε (δ ) : d(d) < ε σ f (D) - λ f < δ / k, dmtndo que k (om k = guldde do teorem é evdente). Consderndo então um qulquer deomposção de dâmetro nferor ε, tem-se, o que mostr ser lm d σ k.f (D) - k. λ f = k. σ f (D) - k. λ f = k. σ f (D) - λ f < δ, σ k.f (D) = k.λ f, que é o que se pretend provr. P6 : Sendo f () e g() ntegráves em [, ] e f () g() nesse ntervlo, então f ( ) d g ( ) d Demonstrção: Fzendo () = g() f () = g() + [ -f ()], tem-se () e () ntegrável no ntervlo em us por ser som de dus funções ntegráves. Pel propredde P3, tem-se ( ) d ; s propreddes P4 e P5 permtem então esrever, ( ) d= g ( ) d- f ( ) d, donde se tr medtmente desguldde do enundo. 6

6 . Nov defnção de ntegrl. Equvlên om nteror Sej f () lmtd no ntervlo lmtdo e fedo [, ] e onsdere-se um qulquer deomposção D = {,,..., n-, n } desse ntervlo. Construm-se s soms, n + = S(D) = ( ). L, om L = Sup { f () : + } n + = s(d) = ( ). l, om l = Inf { f () : + }, s qus se desgnm, respetvmente, por som superor de Drou e som nferor de Drou de f (), reltvs à deomposção D onsderd. Ddo que, L = Sup { f () : } L = Sup { f () : + } l = Inf { f () : } l = nf { f () : + }, n + = e sendo, por outro ldo, l L e ( ) que, = -, tr-se sem dfuldde l. ( - ) s(d) S(D) L. ( - ). Portnto, s soms nferores são mjords por L. ( - ) e s soms superores são mnords por l. ( - ) estndo então fntos o supremo do onjunto ds soms nferores e o ínfmo do onjunto ds soms superores, smolmente, Sup {s(d)} e Inf {S(D)}, desgnndo-se ts vlores, respetvmente, por ntegrl nferor de Drou e ntegrl superor de Drou de f () no ntervlo [, ] : f ( ) d = Sup {s(d)} e f d ( ) = Inf {S(D)}. (Integrl nferor de Drou) (Integrl superor de Drou) No teorem segunte estelee-se um relção de desguldde entre os dos ntegrs de Drou: Teorem : Tem-se segunte desguldde, f ( ) d f ( ) d Demonstrção : A demonstrção d desguldde se-se no oneto de deomposção ms fn. Dz-se que um deomposção D de um ntervlo [, ] é ms fn que outr deomposção D do mesmo ntervlo se e só se prmer é formd por todos os 7

7 pontos d segund e pelo menos ms um donl, ou sej, se e só se D D, omo suede no esquem que segur se present: D = Pontos omuns de D e D * Pontos dons de D D = = = * = = * = = Dds dus deomposções D e D do ntervlo [, ] é sempre possível onstrur um deomposção D 3 ms fn que s prmers, usndo todos os pontos de ms, ou sej, D 3 = D D, omo se eemplf no esquem segunte : () () () () () () D () Pontos de D () () () () ()() D () Pontos de D D (3) Pontos de D 3 (3) (3) (3)(3)(3) (3)(3) (3) (3)(3) É fál onlur que, sendo D 3 onstruíd omo se ndou prtr de D e D, são verfds s seguntes desgulddes: s(d ) s(d 3 ) S(D 3 ) S(D ) e s(d ) s(d 3 ) S(D 3 ) S(D ), donde result, s(d ) S(D ), qusquer que sejm s deomposções D e D do ntervlo. Não pode ter-se, portnto, δ > tl que, f ( ) d > f ( ) d porque se ssm fosse, ddo f ( ) d - δ > f ( ) d + δ, estrm (por defnção de supremo e ínfmo) deomposções D e D ts que, s(d ) > f ( ) d - δ > f ( ) d + δ > S(D ), o que ser ontr desguldde s(d ) S(D ) ntes esteled. Só pode ser portnto f ( ) d f ( ) d, omo se quer provr. 8

8 Qundo os ntegrs superor e nferor de f () no ntervlo [, ] sejm gus, função dz-se ntegrável no sentdo de Drou, sendo então o vlor omum o ntegrl d função segundo Drou no ntervlo em us. Vmos segudmente esteleer equvlên ds dus defnções de ntegrl, segundo Remnn e segundo Drou, omeçndo por provr o, Teorem : Representndo por d o dâmetro d deomposção D, tem-se, f ( ) d = lm d s(d) e f ( ) d = lm d S(D) Demonstrção : ) Consdere-se prmero o so do ntegrl superor e dmt-se que f () no ntervlo de ntegrção. Sej λ o vlor do ntegrl superor e onsdere-se um qulquer δ >. Como λ é o ínfmo ds soms superores de Drou, este um deomposção D do ntervlo de ntegrção pr qul, S(D ) < λ + δ /. Sej q o número de pontos de D nterores do ntervlo de ntegrção e fç-se, L = Sup { f () : } e ε = δ /ql. Estmos dmtr que L >, pos om L = e f () tem-se função dentmente nul no ntervlo de ntegrção e então tese do teorem é trvl porque tods s soms de Drou são nuls. Sej gor D um qulquer deomposção do ntervlo de ntegrção om dâmetro d nferor ε = δ /ql e n epressão que defne S(D) seprem-se s prels em dos grupos: ) o grupo ds prels orrespondentes os suntervlos d deomposção do ntervlo de ntegrção por D que estejm ontdos em suntervlos d deomposção do mesmo ntervlo por D, desgnndo-se por S som desss prels (será S = se nenum ds prels estver ns ondções egds) ; ) o grupo ds prels orrespondentes os suntervlos d deomposção do ntervlo de ntegrção por D que tenm no seu nteror um ou ms pontos de D, desgnndo-se por S som desss prels (será S = se nenum ds prels estver ns ondções egds). Clro que S(D) = S + S. Por ser f () result S S(D ) e, por outro ldo, S L q d, porque d prel de S é mjord por L d e á no mámo q desss prels. Então, λ S(D) = S + S S(D ) + L q d S(D ) + L q (δ /L q) < λ + δ /+ δ / = = λ + δ, ou sej, S(D) - λ < δ, desde que o dâmetro d = d(d) sej nferor o número ε = ε (δ ) = δ /ql. Tl sgnf que, f ( ) d = λ = lm S(D), d 9

9 omo se quer provr. ) Contnundo onsderr o so do ntegrl superor, elmne-se gor pótese de ser f () no ntervlo de ntegrção. Como função f () é lmtd no ntervlo, este um onstnte k tl que g() = f() + k. Então, pelo demonstrdo em ), g ( ) d = lm d S g (D). Dd relção estente entre f () e g(), otém-se sem dfuldde, n g + = S g (D) = ( ). L donde result logo, n f + = = ( ).( L + k) = S f (D) + k. ( - ), g ( ) d = f ( ) d + k. ( - ) = lm d S g (D). Ddo δ >, este então um ε = ε (δ ) tl que, d = d(d) < ε S g (D) - f ( ) d - k. ( - ) < δ S f (D) + k. ( - ) - f ( ) d - k. ( - ) < δ S f (D) - f ( ) d < δ, ssm se onlundo, neste so gerl qunto f (), que, f ( ) d = lm d S f (D). ) Podemos gor provr om fldde o teorem pr o so do ntegrl nferor. Notndo que, Inf { f () : + } = - Sup {-f () : + }, tr-se s f (D) = - S -f (D) pr qulquer deomposção D ; est guldde permte oter, f ( ) d = Sup { s f (D)} = - nf { S -f (D)} = - [ f ( ) ] d.

10 Or, omo se demonstrou em ) e ), [ ] f ( ) d = lm d S -f (D), donde result medtmente, f ( ) d = - [ f ( ) ] d = - lm omo se quer demonstrr. d S -f (D) = lm d s f (D), Pode gor provr-se o teorem que dá equvlên ds defnções de ntegrl segundo Remnn e segundo Drou. Teorem 3 : A ondção neessár e sufente pr que f () sej ntegrável à Remnn no ntervlo [, ] é que sej ntegrável segundo Drou no mesmo ntervlo. Em so de ntegrldde, os dos ntegrs (segundo Remnn e segundo Drou) são gus Demonstrção: ) A ondção é neessár. Admt-se que f () é ntegrável segundo Remnn no ntervlo [, ] e desgne-se por λ o ntegrl. Dds s defnções de s(d), σ (D) e S(D), tem-se, s(d) σ (D) S(D). Pr d deomposção D, s(d) é o ínfmo ds soms sgm σ (D) que podem lulr-se pr ess deomposção mednte s nfnts esols dos pontos ntermédos y [, + ] ; de fto, s(d) é lrmente um mnornte do onjunto desss soms σ (D) e omo f (y ) pode fzer-se - por esol onvenente de y - rtrrmente prómo de l = Inf { f () : + }, tmém σ (D) pode fzer-se rtrrmente prómo de s(d). Do mesmo modo, pr d deomposção D, S(D) é o supremo ds soms sgm σ (D) que podem lulr-se pr ess deomposção mednte s nfnts esols dos pontos ntermédos y [, + ]. Ddo δ >, este ε = ε (δ ) tl que, d = d(d) < ε λ - δ / < σ (D) < λ + δ /, em que omo se dsse λ desgn o vlor do ntegrl (segundo Remnn) d função f () no ntervlo [, ] ; então pr um qulquer deomposção D om dâmetro nferor ε, s nfnts soms sgm possíves são mjords por λ+δ / e mnords por λ -δ / e omo s(d) e S(D) são omo vmos, respetvmente, o ínfmo e o supremo desss soms sgm, tem-se, λ - δ / s(d) σ (D) S(D) λ + δ /, ou sej, s(d) - λ < δ e S(D) - λ < δ, donde,

11 λ = lm d s(d) = f ( ) d e λ = lm d S(D) = f ( ) d, ou nd, f ( ) d = f ( ) d = λ, omo se quer provr. ) A ondção é sufente. Sendo f ( ) d = f ( ) d = λ, tem-se, lm d s(d) = lm d S(D) = λ, ou sej, δ >, ε = ε (δ ) : d = d(d) < ε λ - δ < s(d) S(D) < λ + δ, e omo s(d) σ (D) S(D), result, δ >, ε = ε (δ ) : d = d(d) < ε λ - δ < σ (D) < λ + δ, o que trduz ser, lmσ (D) = λ. Logo, f () é ntegrável à Remnn no ntervlo em d us e o vlor do ntegrl onde om o do ntegrl segundo Drou. Vejmos omo plção deste teorem o estudo d ntegrldde d função f () =,, ronl rronl, no ntervlo [, ]. Dd um qulquer deomposção D do ntervlo om os pontos, = < < < < n- < n =, tem-se donde result, s(d) = ( ). l =,,..., n-, l = L =, n + = n + = = e S(D) = ( ). L =, o que permte onlur que, f ( ) d = e f ( ) d =, ou sej, função dd não é ntegrável segundo Drou, logo tmém não o é segundo Remnn no ntervlo [, ]. 3. Condções de ntegrldde

12 3. - Introdução O estudo d ntegrldde e o álulo do ntegrl de um função reorrendo dretmente à defnção é tref em regr mprtável, slvo em lguns sos trvs. É pos onvenente dspor de ondções que permtm, por smples oservção d função, onlur pel su ntegrldde ou não ntegrldde e, por outro ldo, dspor de regrs práts de álulo dos ntegrs pelo menos pr s funções que ms orrentemente surgem ns plções. No presente ponto trtremos pens ds ondções de ntegrldde, dendo pr estudo posteror s regrs práts pr o álulo dos ntegrs. A título de ntrodução pode desde já dntr-se que questão de um função lmtd num ntervlo [, ] ser ou não ser í ntegrável está lgd o número de desontnuddes que função present no referdo ntervlo. Num sentdo que dnte será eslredo, função será ntegrável se e pens se não present um número eessvo de desontnuddes no ntervlo Conjuntos om medd nul segundo Leesgue Dz-se que um onjunto B R tem medd nul segundo Leesgue se e só se qulquer que sej ε >, estem ntervlos I lmtdos (de qulquer tpo) em número fnto ou nfndde numerável, de mpltudes ( I ) ts que : ) B Υ I ; ) ( I ) < ε. Vejmos lguns eemplos de onjuntos om medd nul segundo Leesgue : ) Desde logo o onjunto B = : ) Qulquer onjunto fnto B = { r, r,, r k }. Com efeto, fdo qulquer ε >, pr os ntervlos I = ] r - ε /3k, r + ε /3k [ tem-se que B Υ I e por outro ldo, k ( I ) = k ε 3k = ε < ε. 3 = 3

13 3) Qulquer onjunto numerável B = { r, r,, r n, }. Com efeto, fdo qulquer ε >, pr os ntervlos I = ] r - ε /3.( n ), r + ε /3.( n ) [ tem-se que B U I e por outro ldo, = ( I ) =. = n ε (/ ) 3 n = ε / 3 / ε = < ε. 3 Não se julgue que só os onjuntos fntos ou numeráves têm medd nul. Estem suonjuntos de R muto ms ompleos que têm potên do ontínuo (são equpotentes R) e no entnto têm medd nul. É o so do onjunto ternáro de Cntor: C = [, ] U n = Condções de ntegrldde E, om 3 n / n n E ](3r ).3, (3r ).3 [ n n U 3 r = =. O oneto de onjunto om medd segundo Leesgue nul permte enunr o segunte teorem, uj demonstrção não se present por ultrpssr o âmto do presente teto. Teorem 4 : A ondção neessár e sufente pr que f () (lmtd) sej ntegrável à Remnn em [, ] é que o onjunto dos pontos de desontnudde de f () nesse ntervlo ten medd nul segundo Leesgue O teorem preedente permte desde logo frmr que são ntegráves em [, ] s funções ontínus nesse ntervlo ou que, sendo lmtds nesse ntervlo, í tenm no mámo um nfndde numerável de pontos de desontnudde. Estão nesss ondções, entre outrs s funções lmtds que : ) Sejm monótons no ntervlo porque, omo semos, não podem ter no ntervlo de monoton ms que um nfndde numerável de desontnuddes ; ) Sejm lmtds e monótons por troços no ntervlo ; um função dz-se monóton por troços no ntervlo [, ] se e só se estem res, = < < < < k =, ts que f () é monóton em d um dos ntervlos ], + [. 4. Interpretção geométr do oneto de ntegrl Consdere-se função f () em [, ] e sej, D = { =,,..., n-, n = }, 4

14 um deomposção do ntervlo. As soms nferor e superor de Drou de f () reltvs à deomposção D, n + = s(d) = ( ). l, om l = Inf { f () : + } n + = S(D) = ( ). L, om L = Sup { f () : + }, dmtem um nterpretção geométr nteressnte: ) Cd prel ( + - ). l é áre de um retângulo de se + - e de ltur l e, por outro ldo, d prel ( + - ). L é áre de um retângulo de se + - e de ltur L omo se lustr n fgur segunte: y f () L l + ) As soms s(d) e S(D) são, portnto, respetvmente, promções por defeto e por eesso d áre d fgur pln que represent o onjunto, = {(, y) : y f ()} ; ) Qundo f() sej ntegrável em [, ], tem-se : f ( ) d = f ( ) d = Sup {s(d)} = Inf {S(D)} = f ( ) d, ou sej, o supremo ds promções por defeto d áre d fgur pln que represent o onjunto onde om o ínfmo ds promções por eesso d mesm áre, sendo então o vlor omum - ou sej, o ntegrl d função - áre d fgur referd. Isto é, Teorem 5 : Sendo f () em [, ], o ntegrl d fgur pln que represent o onjunto, f ( ) d, so est, dá áre = {(, y) : y f ()}, ou sej, áre d fgur pln delmtd superormente pel urv que represent f (), nferormente pelo eo O e lterlmente pels rets de equções = e = 5

15 Verf-se flmente que, om f () em [, ], áre d fgur pln que represent o onjunto = {(, y) : f () y } é dd por - f ( ) d, so o ntegrl est. No so de ser, por eemplo, f () em [, ] e f () em [, ], áre d fgur pln que represent o onjunto, = {(, y) : y f ()} {(, y) : f () y }, é dd por f ( ) d - f ( ) d. Por omposções onvenentes é possível lulr áres de fgurs plns ms omples. 5. Novs propreddes do ntegrl de Remnn Estudm-se segudmente propreddes dons do ntegrl de Remnn: P7 : Sendo f () ntegrável em [, ] e tomndo [, ], tem-se f () ntegrável em d um dos ntervlos [, ] e [, ] e f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d Demonstrção: Em prmero lugr note-se que, tendo em ont ondção neessár e sufente de ntegrldde epress no teorem 4, ntegrldde de f () em [, ] grnte su ntegrldde em qulquer suntervlo deste, fndo ssm provdo que f () é ntegrável em d um dos ntervlos [, ] e [, ]. Vejmos gor guldde do enundo. Fndo s deomposções, D = { =,,..., n-, n = } de [, ], D = { y =, y,..., y m-, y m = } de [, ], om os pontos e y j otém-se um deomposção, D = { =,,..., n-, n = = y, y,..., y m-, y m = }, do ntervlo [, ] e lro que, pr s soms sgm orrespondentes tem-se segunte relção: σ f (D ) + σ f (D ) = σ f (D ). Representndo por d e d os dâmetros de D e D e por λ e λ os ntegrs de f () em [, ] e em [, ], tem-se que pr d δ > este ε = ε (δ ) tl que, 6

16 ou sej, por ser d = Má {d, d }, d < ε σ f (D ) - λ < δ / d < ε σ f (D ) - λ < δ /, d < ε σ f (D ) - (λ + λ ) = σ f (D ) + σ f (D ) - (λ + λ ) σ f (D ) - λ + σ f (D ) - λ < δ. Representndo gor por λ o ntegrl de f () em [, ] e sendo D um qulquer deomposção deste ntervlo, não neessrmente otd omo se ndou prtr de D e D, então ddo δ > este ε = ε (δ ) tl que, d = d(d) < ε σ f (D ) - λ < δ. Tomndo em prtulr D = D, om s deomposções D e D esolds de modo que d < ε = Mín {ε, ε } e d < ε = Mín {ε, ε }, tem-se, donde, d < ε d < ε σ f (D ) - (λ + λ ) < δ d < ε d < ε σ f (D ) - λ < δ, λ + λ - λ = λ + λ - σ f (D ) + σ f (D ) - λ σ f (D ) - (λ + λ ) + σ f (D ) - λ < δ + δ = δ ; devdo à rtrredde de δ, tem-se neessrmente λ = λ + λ, ou sej, f ( ) d = f d ( ) + f d ( ), omo se quer provr. A propredde que de ser demonstrd dmte o segunte, Coroláro : Sendo f () função ntegrável em [, ] e onsderndo os pontos... m- m, então função é ntegrável nos ntervlos [, ], [, ],..., [ m-, m ], [ m, ] e tem-se, m f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d f ( ) d+ f ( ) d m Demonstrção : Bst plr repetdmente propredde P7. m 7

17 A propredde P7 pode dptr-se de form rnger stuções ms gers em que o ponto poss estr à esquerd de ou à dret de. De fto, sendo < e supondo f () ntegrável em [, ], tem-se, ou sej, f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d, f ( ) d = - f ( ) d + f ( ) d ; por outro ldo, sendo > e supondo f () ntegrável em [, ], tem-se, ou sej, f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d, f ( ) d = f ( ) d - f ( ) d. Os segundos memros ds gulddes que dão o vlor do ntegrl f ( ) d nos sos em que < ou > podem ser formlmente presentdos omo guldde d propredde P7, qul fo esteled pr o so em que. Bst pr sso fzer segunte, CONVENÇÃO SIMBÓLICA : Sendo f () ntegrável em [, ] ( ) o símolo f ( ) d represent o smétro do ntegrl f ( ) d, sto é, f ( ) d = - f ( ) d. Com est onvenção, o enundo d propredde P7 pode presentr-se em termos ms gers, omo segudmente se nd: P8 : Sendo f () ntegrável em [, ], om = Mín {, } e = Má {, } ( ), então, f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d Demonstrção: Com, estmos no so d propredde P7 já demonstrd. Sendo <, temos, omo se vu ns onsderções que medtmente seguem demonstrção do oroláro d propredde P7, f ( ) d = - f ( ) d + f ( ) d, 8

18 e, om onvenção referd, result, f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d. Fnlmente, sendo <, temos, f ( ) d = f ( ) d - f ( ) d, e, de novo om onvenção referd, result tmém guldde do enundo. A propredde segunte é normlmente oned por teorem d méd: P9 : Sendo f () ntegrável em [, ], este um vlor k entre o ínfmo l e o supremo L de f() no ntervlo, tl que: f ( ) d = k.( - ) Demonstrção: Ddo que l f () L em [, ], propredde P6 permte esrever, ld f ( ) d Ld, e, pel propredde P, l. ( - ) f ( ) d L. ( - ). Admtndo que < (no so de ser =, guldde do enundo é trvl), tem-se, l k = f ( ) d L, donde result f ( ) d = k.( - ), om l k L, omo se quer provr. Dest propredde tr-se o segunte oroláro, Coroláro : Sendo f () ontínu em [, ], este um [, ] tl que = f ( ).( - ) f ( ) d= Demonstrção: Result medtmente d propredde P9, notndo que um função f () ontnu em [, ] ssume qulquer vlor k entre o seu ínfmo e o seu supremo nesse ntervlo, em erto [, ]. O teorem d méd (propredde P9) e o seu oroláro dmtem um nterpretção geométr nteressnte, no so em que f () no ntervlo [, ]. Como se se, o ntegrl f ( ) d é áre d fgur pln que represent o onjunto = {(, y) : y f ()} ; por outro ldo, o produto ( - ). k, om 9

19 l k L, é áre de um retângulo de se - e ltur k. O teorem d méd sgnf portnto que este um vlor k [l, L] pr o qul são gus s áres referds, omo se lustr n fgur segunte: y L D f () k A B l C Áre d fgur CD = Áre d fgur AB Oserve-se nd que o teorem d méd pode plr-se f ( ) d om < : f ( ) d = - f ( ) d = - k.( - ) = k.( - ), om k entre o ínfmo e o supremo de f() em [, ]. Ou sej, P : Sendo e qusquer e f () ntegrável em [, ], om = Mín {, } e = Má {, }, então f () em [, ] f ( ) d = k.( - ), om k entre o ínfmo e o supremo de Tem-se tmém, em orrespondên om o oroláro d propredde P9, o segunte, Coroláro : Sendo e qusquer e f () ontínu em [, ], om = Mín {, } e = Má {, }, então f ( ) d = f ( ).( - ), pr erto [, ] Pr termnr o presente ponto, estud-se n propredde segunte mportnte desguldde de Swrz : P : Sendo f () e g() ntegráves em [, ], tem-se que s funções f (), g () e f (). g() são gulmente ntegráves no mesmo ntervlo e, [ f ( ). g( ) d] [ f ( ) d]. [ g ( ) d] (Swrz) Demonstrção: Fe o teorem 4 (ondção neessár e sufente de ntegrldde), d ntegrldde ds funções f() e g() no ntervlo [, ] deorre 3

20 medtmente ntegrldde ds funções f (), g () e f (). g() no mesmo ntervlo porque ests funções têm no mámo s desontnuddes dquels. Sendo α R, função [ f () + α g()] é gulmente ntegrável e tem-se, por se trtr de um função não negtv, [ ( ) + α ( )] f g d = [ g ( ) d]. α +.[ f ( ). g( ) d]. α + + [ f ( ) d]. O trnómo do º gru em α que se egou só poderá ser não negtvo pr todo o vlor α R se for, = 4.[ f ( ). g( ) d] - 4.[ f ( ) d]. [ g ( ) d], donde result medtmente desguldde do enundo. 6. Fórmul fundmentl do álulo ntegrl Sej f () o mesmo tempo ntegrável e prmtvável no ntervlo [, ]. Nests ondções o álulo do ntegrl pode fzer-se utlzndo um ds prmtvs d função, nos termos do teorem segunte, Teorem 6 : Sendo f () ntegrável e prmtvável em [, ] e F() um prmtv de f () no ntervlo, então f ( ) d = F() - F() Demonstrção : Sendo D = { =,,..., n-, n = } um deomposção do ntervlo de ntegrção, tem-se, F() - F() = F( ) - F( ) + F( ) - F( ) F( n ) - F( n- ), e, plndo o teorem de Lgrnge d um ds dferençs F( ) - F( - ), otém-se, F() - F() = ( - ). f (y ) + ( - ). f (y ) ( n - n- ). f (y n- ) = n + = = ( ). f ( y ), om ertos y pertenentes os ntervlos [, + ] ( =,,..., n-). Ou sej, pr qulquer deomposção D do ntervlo de ntegrção é sempre possível esoler pontos ntermédos y nos suntervlos [, + ] de modo que F() - F() = σ (D). Ms, por ser f () ntegrável em [, ], tem-se, 3

21 lmσ (D) = d f ( ) d, donde neessrmente, f ( ) d = F() - F(). = É usul representr dferenç F() - F() pelo símolo [ F( ) ], de modo que guldde do teorem esreve-se tulmente do segunte modo: = f ( ) d = [ F ] = ( ) = = F() - F(). A fórmul de álulo do teorem e oned pelo nome de fórmul fundmentl do álulo ntegrl ou fórmul de Brrow. Vejmos lguns eemplos de plção: ) d = 3 3 = = = 3 = 3 3 ; ) + r tg d = [ ] = = = π /4 ; 3) + d = = [ log ( + ) ] = = log 4 - log 3 = log (4/3). A fórmul fundmentl do teorem 6, onjugd om o oroláro d propredde P7, permte nd oter o ntegrl qundo, emor função ntegrnd não ten prmtv no ntervlo de ntegrção, este se poss deompor em dos ou ms suntervlos (em número fnto) em d um dos qus função ntegrnd sej prmtvável. É o so de f ( ) d, qundo sej por eemplo, f () =, <, <,. 3

22 Tem-se, f ( ) d = d + ( ) d + d = = = = [ / ] [ / ] [ ] = = = + + = = ( - /) + (/ - ) + (4 - ) = 3. = 7. Integrl ndefndo Consdere-se f () defnd em I (ntervlo qulquer) e dmt-se que é ntegrável em qulquer ntervlo fedo ontdo em I o que, ntes de ms, pressupõe que f () sej lmtd em qulquer [, ] I. Fe-se I e defn-se função, ϕ (z) = z f ( ) d ( z I ), devendo notr-se que o símolo do segundo memro represent o ntegrl de f () em [, z] qundo sej z ; e represent o smétro do ntegrl de f () em [z, ] qundo sej > z. Isto é, ϕ (z) = z f ( ) d, z I z < f ( ) d, z I z z. A função ϕ (z) tom o nome de ntegrl ndefndo de f () no ntervlo I, om orgem no ponto I. N prát us-se letr pr desgnr vrável ndependente d função ϕ, o que org lterr letr que represent vrável ndependente d função ntegrnd: ϕ () = f () t dt, ϕ () = f ( u) du, et. Vejmos lgums propreddes do ntegrl ndefndo. P : Dos ntegrs ndefndos d mesm função, no mesmo ntervlo, dferem por um onstnte Demonstrção : Sendo ϕ () = pel propredde P8, ϕ () - ψ () = f () t dt e ψ () = f () t dt, tem-se, pr I, f () t dt - f () t dt = f () t dt, d d d 33

23 o que mostr que dferenç ϕ () - ψ () não depende do vlor de onsderdo em I, ou sej, os dos ntegrs ndefndos de f () dferem por um onstnte. P3 : O ntegrl ndefndo ϕ () é função ontínu no ntervlo I onde está defnd Demonstrção : Utlzndo propredde P8 e o teorem d méd (n versão gerl ontd n propredde P), om, I, tem-se, ϕ () - ϕ ( ) = f () t dt - f () t dt = f () t dt = ( - ). k(, ), om k(, ) ompreenddo entre o ínfmo e o supremo de f () no ntervlo de etremddes e. Qundo se fz, k(, ) mntém-se lmtdo, donde result que, lm [ϕ () - ϕ ( )] = lm ( - ). k(, ) =, ou sej, lm ϕ () = ϕ ( ), o que trduz ontnudde de ϕ () em qulquer I (note-se que qundo sej um ds etremddes de I, ontnudde otd é ontnudde lterl). P4 : O ntegrl ndefndo tem por dervd função ntegrnd nos pontos em que est sej ontínu Demonstrção : Como n demonstrção d propredde P3, tem-se, ϕ () - ϕ ( ) = f () t dt, donde result, pr I e, ϕ ( ) ϕ ( ) =. f () t dt. Sendo f (t) ontínu em, tem-se f (t) = f ( ) + α ( t ), om lm α ( t ) =. Por se t oter de f (t) sutrndo onstnte f ( ), α ( t ) é ntegrável no ntervlo de etremddes e e ssm, ϕ ( ) ϕ ( ) =. [ ( ) + ( )] f α t dt = =. ( ). f ( ) + ( t) dt α = 34

24 = f ( ) +. α () t dt. Vejmos gor que, lm. α () t dt =, o que provrá ser, ϕ ( ) ϕ ( ) lm = f ( ), que é o que se pretende mostrr. Como lm α ( t ) =, ddo δ >, este ε = ε (δ ), tl que, t t - < ε t I α ( t ) < δ -δ < α ( t ) < δ ; qundo se ten - < ε e I, qulquer t do ntervlo de etremddes e verfrá s ondções t - < ε e t I, pelo que será, ou nd, -δ.( - ) < α () t dt < δ.( - ), se -δ.( - ) < α () t dt < δ.( - ), se < ; -δ <. α () t dt < δ, se -δ <. α () t dt =. α () t dt < δ, se <, podendo portnto esrever-se, quer pr, quer pr <, -δ <. α () t dt < δ desde que - < ε e I. Tl sgnf que, lm. α () t dt =, omo se quer provr. 35

25 OBSERVAÇÃO: Ns etremddes do ntervlo I onde ϕ () está defnd, so pertençm o ntervlo e nels sej ontínu f (), os vlores d função f () são s dervds lters do ntegrl ndefndo. A propredde que de ser demonstrd dmte dos oroláros mportntes: Coroláro : A dervd do ntegrl ndefndo ϕ () onde om f () eepto, qundo muto, nos pontos de um onjunto X I om medd à Leesgue nul Demonstrção: Pr que o ntegrl ndefndo ϕ () est em I é neessáro e sufente que f () sej ntegrável em qulquer suntervlo lmtdo e fedo de I. Então, de ordo om o teorem 4, o onjunto dos pontos de desontnudde de f () em qulquer desses suntervlos, logo em I, tem de ter medd à Leesgue nul. Como nos pontos de ontnudde de f () se tem ϕ () = f () onlu-se então que est guldde só não se verf, qundo muto, pr os pontos de um onjunto X I om medd à Leesgue nul. Coroláro : Qulquer função f () ontínu num ntervlo I é prmtvável nesse ntervlo Demonstrção : Fndo um qulquer I, função é ontínu em qulquer ntervlo fedo de etremddes e. Logo é lmtd e ntegrável em qulquer desses ntervlos, estndo portnto o ntegrl ndefndo, ϕ () = f () t dt. Pel propredde P4, ϕ () = f () nos pontos de ontnudde de f () ; omo por pótese este função é ontínu em todos os pontos I, em todos eles se verf ϕ () = f (), donde result que ϕ () é um prmtv de f () no ntervlo I. 8. Integrção por prtes Sejm f () e g() funções ntegráves no ntervlo [, ]. Consderndo um deomposção D do ntervlo de ntegrção, som σ (D) de f (). g() pr deomposção em us é, n + = σ (D) = ( ). f ( y ). g( y ). A função f (). g() é tmém ntegrável no ntervlo em us e, por defnção, Consderem-se gor s soms, f ( ). g( ) d = lm d σ (D). 36

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