UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Fabrício Xavier Alves

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Fabrício Xavier Alves Cálculo da direção e distâcia etre dois potos quaisquer da superfície terrestre e decliação agética a partir de suas coordeadas geográficas Niterói 007

2 Fabrício Xavier Alves Cálculo da direção e distâcia etre dois potos quaisquer da superfície terrestre e decliação agética a partir de suas coordeadas geográficas Trabalho de Coclusão de Curso subetido ao Curso de Tecologia e Sisteas de Coputação da Uiversidade Federal Fluiese coo requisito parcial para obteção do Tecólogo e Sisteas de Coputação. Orietador: Leadro Soares de Sousa NITERÓI 007

3 Fabrício Xavier Alves Cálculo da direção e distâcia etre dois potos quaisquer da superfície terrestre e decliação agética a partir de suas coordeadas geográficas Trabalho de Coclusão de Curso subetido ao Curso de Tecologia e Sisteas de Coputação da Uiversidade Federal Fluiese coo requisito parcial para obteção do Tecólogo e Sisteas de Coputação. Niterói, 3 de ovebro de 007. Baca Exaiadora: Prof a. Aa Dolejsi Satos, Dr.Sc. - Uiversidade Federal Fluiese Prof. Leadro Soares de Sousa, Msc. - Uiversidade Federal Fluiese Prof a. Alie Maris Paes, Msc. - Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro

4 Dedico este trabalho aos gigates os obros dos quais e apoiei para chegar até aqui.

5 AGRADECIMENTOS A Deus, que sepre iluiou a iha caihada. A eu orietador Leadro Soares de Sousa pelo estíulo e ateção que e cocedeu durate a elaboração desse trabalho. Aos professores que acreditara o projeto de educação à distâcia ajudado a escrever a história da educação o Brasil A todos os eus failiares e aigos pelo apoio e colaboração.

6 Há U que ora acia do círculo da terra. Isaías 40:, c. 73 A.C.

7 RESUMO Esse trabalho descreve u étodo que perite, a partir de duas coordeadas quaisquer a superfície terrestre, deteriar a distâcia e direção a ser seguida para ir de u poto a outro. Adicioalete, descreve coo deteriar a decliação agética prevista para a orige. Os cálculos da distâcia e da direção baseia-se o trabalho publicado pelo geógrafo poloês Thaddeus Vicety o úero 76 da revista Survey Review, págias sob o título "Direct ad Iverse solutios of geodesics o the ellipsoid with applicatio of ested equatios". O cálculo da decliação agética utiliza o World Magetic Model, produzido pelo U.S. Natioal Geophysical Data Ceter (NGDC) e a British Geological Survey (BGS). Esse odelo é utilizado coo padrão pelo Departaeto de Defesa Aericao, o Miistério da Defesa britâico, a OTAN e o World Hydrographic Office e é descrito o docueto The US/UK World Magetic Model publicado pela Natioal Geophysical Data Ceter e British geological Survey Geoagetis Group. É sugerida ua ipleetação usado a Web, coo platafora. Usado essa ipleetação ós podeos ver os apas e fotografias de satélite dos potos de orige e destio be coo os resultados dos cálculos. Palavras-chaves: geodésica, decliação, agetiso, gps, google aps, direção, distâcia, latitude, logitude, ortodroia, loxodroia.

8 ABSTRACT This work describes how to copute the distace ad directio betwee two poits at Earth surface usig latitude ad logitude of origi ad destiatio. Also, describes how to copute the origi s agetic decliatio. The coputatio of the distace ad directio coes fro Vicety s equatio, published o Survey Review agazie, uber 76, pages 88-93, Direct ad iverse solutios of geodesics o the ellipsoid with applicatio of ested equatios. Magetic decliatio coes fro World Magetic Model, produced by U.S. Natioal Geophysical Data Ceter (NGDC) ad British Geological Survey (BGS). This is the stadard odel of the US Departet of Defese, the IK Miistry of Defese, the North Atlatic Treaty Orgaizatio (NATO), ad the World Hydrographic Office (WHO) ad is described at The US/UK World Magetic Model docuet published by Natioal Geophysical Data Ceter ad British geological Survey Geoagetis Group. We suggest a ipleetatio usig Web architecture. Usig this ipleetatio we ca see the aps ad satellite photography of origi ad destiatio ad the results of coputatio. Key words: geodesy, decliatio, agetis, gps, google aps, directio, distace, latitude, logitude, orthodroy, loxodroy.

9 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Otodróicas traçadas sobre ua esfera...35 Loxodróia a esfera O capo agético terrestre Decliação agética...64

10 LISTA DE TABELAS Tabela Tabela de coeficietes...43 Tabela Coordeadas utilizadas os testes de distâcia...54 Tabela 3 Resultados esperados e obtidos para a distâcia...55 Tabela 4 Resultados esperados e obtidos para a decliação...63

11 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS GPS Geographic Positioig Syste NMEA Natioal Marie Electroics Associatio NOAA Natioal Oceaic ad Atospheric Adiistratio NGDC Natioal Geophisical Data Ceter BGS British Geographic Survey OTAN Orgaização do Tratatado do Atlâtico Norte ASP Active Server Pages API Applicatio Prograig Iterface

12 SUMÁRIO RESUMO...7 ABSTRACT... 8 LISTA DE ILUSTRAÇÕES...9 LISTA DE TABELAS... 0 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS... INTRODUÇÃO... 3 METODOLOGIA etodologia de cálculo ipleetação...48 CONCLUSÕES RefERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...66 RefERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...66

13 3 INTRODUÇÃO O objetivo desse trabalho é desevolver u sistea que perita a seleção de dois potos quaisquer da superfície da Terra, A e B, e calcule a distâcia a ser percorrida e a direção a ser seguida para ir de A até B. Adicioalete, para peritir ua correta orietação, o sistea deverá iforar a decliação agética do local, a saber: a difereça agular etre a direção apotada pela agulha de ua bússola agética e o orte. O sistea deverá peritir a escolha do par orige e destio e u apa e, preferecialete, sugerir o local de orige detectado o local e que está sedo feita a localização. São várias as aplicações para esse tipo de sistea: Diesioaeto de cabos e dutos subarios Alihaeto de ateas de rádio trasissão Navegação e pequeos barcos ou aviões particulares. Grupos que tê iteresse e saber a direção de u local específico, coo os uçulaos que precisa orar voltados para Meca. Logística de produtos e pessoas Cálculo de rotas e direções O pricipal problea efretado a deteriação da distâcia etre dois potos é o odelo ateático utilizado. Na aioria dos casos os odelos utiliza siplificações que acelera os cálculos, as reduze sua precisão, especialete para grades distâcias. Outro problea diz respeito à direção a ser seguida para ir de u poto a outro. Se o referecial utilizado for ua bússola agética, haverá difereças devido à udaça secular a decliação agética. Especialete o Brasil, cujo terri-

14 4 tório apreseta ua das aiores variações a decliação agética, tais difereças pode acarretar desvios cosideráveis. Esse trabalho foi orgaizado da seguite fora: Iicialete apresetaos os pricipais desafios da deteriação precisa da distâcia e direção etre dois potos e a da decliação agética. A seguir apresetaos a etodologia descrita o trabalho de Vicety [] para o cálculo da distâcia e direção etre dois potos. Apresetaos u exeplo detalhado de cálculo. Explicaos a etodologia utilizada a deteriação da decliação agética. Apresetaos ua proposta coputacioal para os cálculos e visualização dos dados. E fialete, a coclusão, fazeos sugestões para ovos trabalhos.

15 5 METODOLOGIA A solução do problea proposto apreseta ua série de desafios: A fora da Terra, que ão é perfeitaete esférica, as apreseta-se ligeiraete achatada os pólos. O cálculo da distâcia e direção etre dois potos deve levar esse fato e cosideração. Ua solução ateática coo a apresetada acia deve ser de fácil ipleetação e dispositivos óveis, tais coo celulares equipados co GPS. Algus desses aparelhos ão possue priitivas para cálculos trigooétricos. O sistea deve ipleetar esse tipo de cálculo. A decliação agética ão é hoogêea sobre a superfície da Terra, apresetado áreas de aoalia. Alé disso, essa decliação varia co o tepo. Para que o sistea seja viável, faz-se ecessária especial ateção a esse fato. Para solucioar os probleas apresetados, foi feito u esforço de selecioar as ais avaçadas etodologias e uso o udo. Procurou-se descrever e detalhes os cálculos ateáticos utilizados, apresetado exeplos de cálculos. Alé disso, é apresetado u sistea que foi desevolvido utilizado-se a Web, coo platafora, que perite visualizar a solução do problea proposto.

16 6. CÁLCULO DA DISTÂNCIA E DIREÇÃO O cálculo da distâcia e direção etre dois potos da superfície terrestre baseou-se o trabalho realizado pelo geógrafo poloês Thaddeus Vicety, particularete o artigo ititulado Direct ad Iverse solutios of geodesics o the ellipsoid with applicatio of ested equatios. []. Nesse artigo ele detalha u étodo iterativo utilizado aproxiações algébricas sucessivas para o cálculo da distâcia etre dois potos. Esse cálculo foi utilizado por sua extrea precisão e facilidade de ipleetação.. CÁLCULO DA DECLINAÇÃO MAGNÉTICA O cálculo da decliação agética baseou-se o trabalho The US/UK World agetic Model for publicado pela Natioal Geophysical Data Ceter e British Geological Survey Geoagetis Group [3]. Esse docueto descreve u odelo ateático, que perite deteriar a decliação agética de u local, ou seja, a difereça etre a direção apotada por ua agulha agética e a direção orte. Esse é o étodo padrão utilizado pelo Departaeto de Defesa dos Estados Uidos, pelo Miistério da Defesa da Grã-Bretaha, pela OTAN e pelo Word Hydrographic Office a deteriação da decliação agética..3 IMPLEMENTAÇÃO Para a ipleetação utilizaos as liguages HTML, JavaScript e ASP, co baco de dados Access e arquitetura AJAX o desevolvieto de u sistea Cosiste e u estilo baseado a utilização de scripts de cliete de fora asícroa, peritido a carga parcial de págias. Alguas de suas características são: (i) perite a carga parcial de dados e ua págia e (ii) cobia JavaScript e XML.

17 7 que peritiu ipleetar os cálculos descritos. Alé disso, foi utilizada a iterface co o Google Maps para visualização das iforações geográficas.

18 8 3 METODOLOGIA DE CÁLCULO Duas iportates variáveis de etrada e osso sistea são a latitude e logitude, tato da orige coo do destio. Os dados precisos do local de orige pode ser obtidos co o auxílio de u GPS. GPS é a sigla para Global Positioig Syste ou Sistea de Posicioaeto Global, que é oposto por ua costelação de 8 satélites e órbita ao redor da Terra, que peraeteete evia dados que pode ser captados por u receptor para calcular sua posição precisa. Partios do pricípio de que o usuário do sistea sabe ode está e para ode deseja ir. Coo fora de se localizar ele deve usar as coordeadas do local ou etão tetar localizar, através da ferraeta de pesquisa e visualização oferecida pelo Google Maps, o local ode está e para ode deseja ir. 3. CÁLCULO DA DISTÂNCIA E DIREÇÃO Há uitas aeiras de se calcular a distâcia etre dois potos a superfície da Terra a partir de sua latitude e logitude. Os étodos varia e coplexidade e precisão. Geralete, quato ais siples o étodo eos preciso ele é. Os étodos ais utilizados são: Método do Grade Círculo (ou Círculo Máxio), baseado a trigooetria esférica [5]; Fórula de Vicety, que utiliza o étodo de aproxiações sucessivas []. Para a aioria dos propósitos, o étodo do grade círculo é satisfatório, especialete para distâcias pequeas. Já a fórula de Vicety oferece precisão de eio ilíetro para distâcias trascotietais, de acordo co o úero de iterações e os parâetros utili-

19 9 zados os cálculos, que são: o úero de casas deciais utilizados para Pi; diâetro da Terra os pólos; diâetro da Terra o Equador e o úero de casas deciais utilizados os cálculos trigooétricos. 3.. MÉTODO DO GRANDE CÍRCULO O grade círculo (ou círculo áxio) é a seção da esfera que coté o seu diâetro [5]. Seções da esfera que ão cotê o diâetro são chaadas pequeos círculos. O eor caiho etre dois potos e ua esfera, tabé cohecido coo ortodróia é u segeto de círculo áxio. O étodo do grade círculo assue a terra coo ua esfera, igorado seu achataeto. Trata-se de u étodo bastate preciso para pequeas distâcias. Seu cálculo baseia-se a lei dos cosseos. [7] Fórula: R é o raio da terra (637 k) lat log lat log lat log a si ( lat / ) cos( lat) cos( lat) si c a arcta a ( ) d R c ( log / ) Por exeplo, a distâcia etre o Pólo Uiversitário da UFF e Rio das Ostras (latitude: -,5037, logitude: - 4,94) e a Kaaba, e Meca, a Arábia Saudita (latitude:,45, logitude: 39,86), utilizado pela fórula acia é de 00 k.

20 0 3.. FÓRMULA DE VINCENTY No úero 76 da revista Survey Review, págias o geógrafo poloês Thaddeus Vicety publicou o artigo ititulado "Direct ad Iverse solutios of geodesics o the ellipsoid with applicatio of ested equatios" []. Nesse artigo ele detalha u étodo iterativo e copacto, para o cálculo da distâcia etre dois potos. Nas seções 3..., 3... e apresetaos as equações coo aparece e Vicety, 975 []. Nas seções e 3...5, explicaos as fórulas utilizadas a solução do problea e apresetaos u exeplo de cálculo Notação utilizada as fórulas a,b, aior e eor seieixos do elipsóide. f, achataeto ( a b) / a. φ, latitude geodética, positiva ao orte do equador. L, difereça a logitude, positiva ao leste. s, coprieto da geodésica α,, α aziutes da geodésica, o setido horário a partir do orte; α, aziute da geodésica o equador u cos α ( a b ) / b. U, latitude reduzida, defiida por tau ( f ) ta φ λ, difereça a logitude de ua esfera auxiliar.,,, distâcia agular P P a esfera. distâcia agular a esfera do equador a P distâcia agular a esfera do equador à etade da liha.

21 3... Fórula direta ta si α tau / cos α () cosu si α () { 4096 u [ 768 u ( )]} u A u (3) 6384 { 56 u [ 8 u ( 74 47u )]} u B (4) 04 (5) ( cos ) B cos ( 3 4si )( 3 4cos ) B si cos B cos 4 6 s ba (6) (7) As equações (5), (6) e (7) são repetidas até que a udaça o valor de seja desprezível. A prieira aproxiação de é o prieiro tero de (7) ta φ ta λ siu cos [ ] ( f ) si α ( siu si cosu cos cosα ) si si α cos siu cosu si cosα (9) cosu si cosα [ 4 ( 4 3cos α )] f C cos α f (0) 6 ( C ) f si α { C si [ cos C cos ( cos )]} L λ () ta α si α siu si cosu cos cosα () (8) Se os teros e 8 3 u e B fore oitidos (da ode ve isto?) tereos u erro áxio de eos de,5 ilíetro. Portato as seguites equações siplificadas poderão ser usadas caso ão seja ecessária aior precisão:

22 [ 64 u ( 5 )] u A u (3a) 56 [ 8 u ( 64 37u )] u B (4a) 5 ( cos ) Bsi cos B cos 4 (6a) Fórula iversa Escreva algo sobre a fórula iversa- por que e para que?) λ L (prieira aproxiação) (3) si ( cosu si λ ) ( cosu siu siu cosu cos λ ) (4) cos siu siu cosu cosu cos λ (5) si ta (6) cos si λ si α cosu cosu (7) si siu siu cos cos cos α (8) λ é obtido pelas equações (0) e (). Esse procedieto é iterado coeçado co a equação (4) até que a udaça o valor de λ seja desprezível, segudo os parâetros estabelecidos. ( ) s ba (9) ode ta α ve das equações (3), (4) e (6) cosu si λ (0) cosu siu siu cosu cos λ ta α cosu si λ siu cosu cosu siu cos λ ()

23 3 Assi coo a solução direta, as equações siplificadas (3a), (4a) e (6a) pode ser usadas quado u erro áxio de eos de,5 ilíetro é aceitável Algorito para o cálculo da distâcia e da direção (A ueração das fórulas está fora de orde, se te u porque explique, tabé coloque u fi-equato) a, b raio da terra o equador e os pólos respectivaete. f é o achataeto da terra. φ,φ são as latitudes da orige e do destio. L é a difereça etre as duas logitudes. U arcta(( f ) ta φ ) é a latitude reduzida. λ L, λ π Equato ódulo ( ) A si λ λ > 0 (ou seja, 0,06 ) ( cosu si λ ) ( cosu siu siu cosu cos λ ) (c4) cos siu siu cosu cosu cos λ (c5) si ta (c6) cos si λ si α cosu cosu (c7) si cos siu siu cos (c8) cos α [ 4 ( 4 3cos α )] f C cos α f (c0) 6 λ λ L λ ( C ) f si α { C si [ cos C cos ( cos )]} { 4096 u [ 768 u ( )]} (c) u /6384 u (c3) { 56 u [ 8 u ( 74 47u )]} u B (c4) 04

24 4 ( cos ) B cos ( 3 4 si )( 3 4 cos ) B si cos B cos 4 6 s ba ta α ta α Ode ( ) (c6) (c9) cosu si λ (c0) cosu siu siu cosu cos λ cosu si λ siu cosu cosu siu cos λ (c) s é a distâcia (a esa uidade utilizada e a e b) a é a direção iicial, o setido horário a partir do orte. a é a direção fial. Obs.: ua ortodróia o setido a ser seguido uda durate o trajeto. Vicety observou que a equação (c8) se tora ideteriada quado os potos de orige e destio se ecotra sobre a liha do equador (já que cos α 0 ); esse caso basta atribuiros o valor 0 a cos e o resultado será calculado corretaete. Ele tabé observou que a fórula talvez ão cosiga chegar a u resultado para dois potos atípodas (Explique este tero). Por isso deveos utilizar ua liitação o úero de iterações. Decidios utilizar o datu WGS-84 (coloque referêcia ou explique), para os valores de a, b e f. Os valores utilizados são os seguites: Raio da terra o equador (a): ,0 Raio da terra os pólos (b): ,3445 Achataeto da terra (f): 0, Achataeto iverso (/f): 98, No Brasil, segudo as Especificações e Noras Gerais para Levataetos Geodésicos e Território Brasileiro, utiliza-se o elipsóide SGR-67 cujos parâe-

25 5 tros são: Raio da terra o equador (a): Raio da terra os pólos (b): ,79 Achataeto iverso (/f): 98, Exeplo de cálculo da distâcia e direção Nesta subseção, coo u exeplo, calculaos, através do algorito apresetado ateriorete, a direção e a distâcia etre o Pólo Uiversitário da UFF e Rio das Ostras (PURO) e a Kaaba, e Meca, a Arábia Saudita utilizado a fórula iversa. Localização do Pólo Uiversitário de Rio das Ostras (Fote: Google Maps [referecia]) Latitude:,5037 sul Logitude: 4,94 oeste Localização da Kaaba e Meca a Arábia Saudita (Fote: Google Maps [referecia]) Latitude:,45 orte Logitude: 39,86 leste E prieiro lugar, os valores precisa ser covertidos para radiaos. Para a latitude, os valores são positivos ao orte e egativos ao sul. Para a logitude, os valores são positivos a leste e egativos a oeste. Obs.: Utilizaos valores co apeas 4 casas deciais para siplificar os cálculos. π 3.46 Lat,5037 π /80 0,398 Lo 4,94 π /80 0,737

26 6 Lat,45 π /80 0,3739 Lo 39,86 π /80 0,695 a, raio da Terra o equador ( etros [WGS 984]) b, raio da Terra os pólos ( ,34 [WGS 984]) f, achataeto da Terra, dado pela fórula ( a b) / a. Fazedo o cálculo ecotraos f 0, φ, latitude geodética, positiva ao orte do equador. Portato: φ φ 0,398 0,3739 L, é a difereça etre as duas logitudes L Lo Lo 0,695 ( 0,737),468 U, latitude reduzida, defiida por tau ( f ) ta φ U U arcta[( arcta[( f ) ta( φ f ) ta( φ )] )] arcta[0,9966 0,443] arcta[0,9966 0,393] 0,396 0,378 Calculaos, tabé, o valor do seo e cosseo de U e U: siu cosu siu cosu si( 0,396) 0,386 cos( 0,396) 0,943 si( 0,378) 0,364 cos( 0,378) 0,933 λ L (prieira aproxiação) λ,468 Utilizareos u valor auxiliar λ λ π 6,83

27 7 Equato a difereça etre os valores de λ e λ for aior que 0,000 repetireos os cálculos que segue. Para facilitar os cálculos, criaos alguas variáveis iterediárias auxiliares que serão úteis a ipleetação do código, elhorado sua legibilidade. si λ si( λ ) 0,9897 cos λ cos( λ ) 0,435 Pela equação (c4) teos que si ( cosu si λ ) ( cosu siu siu cosu cos λ ) Para facilitar os cálculos futuros, fareos o seguite: si [(cosu si λ ) (cosu siu siu cosu cos λ ) ] si si [(0,933 0,9897) (0,97) (0,3366 (0,943 0,364 0,050) 0,8495 ( 0,386) 0,933 0,435) 0,50 0,9999 ] Pela equação (c5) teos que cos siu siu cosu cosu cos λ cos 0,386 0,364 0,943 0,933 0,435 cos 0,390 0,35 0,055 Pela equação (c6) teos que si 0,9999 ta 64,5097 cos 0,055 arcta( 64,5097),5863 Pela equação (c7) teos que si λ si α cosu cosu si 0,9897 0,943 0,933 0,9999 0,850 Pela equação (c8) teos que

28 8 siu siu cos cos cos α Para facilitar os cálculos, achareos prieiro o valor de cos α cos α (si α ) 0,759 0,74 Substituido o valor ecotrado a equação (c8): 0,386 0,364 cos 0,055 0,9989 0,74 Pela equação (c0) teos que f C cos α 6 C 0,0034 0,74[4 6 C 0,000 [ 4 f ( 4 3cos α )] 0,0034(4 3 0,74)] 0,000 0,74[4,0034(4 Nesse poto, arazeaos o ovo valor de λ : λ λ, 468 0,83)] Pela equação (c) teos que L λ L λ L,468 L,468 L,468 ( C ) f si α { C si [ cos C cos ( cos )]} ( C ) f si α {,5863 0,000 0,9999[ 0,9989 0,000 0,055( 0,9989 )]} ( (0,9998) L,468 0,009 L,468 0,009,5863 L,468 0,009,5863 L,468 0,009,5863 L,468 0,0046 L,434 0,0034 0,850 {,5863 0,000[ 0,9989 0,000003( 0,9978) ]} 0,009 {,5863 0,000[ 0,9989 0,000003( 0,9978) ]} {,5863 0,000[ 0,9989 0,000003(,99) ]} { 0,000[0,9989 0,000009] } { 0,000 0,9989} { 0,000} 0,000) 0,009,5865 λ L,434 (seguda aproxiação) Coo a difereça etre os valores de λ e λ é aior que 0,000, repetios ovaete os cálculos. Nessa seguda iteração ecotraos os seguites va-

29 9 lores: si 0,9998 cos 0,093,590 si α 0,856 cos α 0,730 cos C λ 0,000,434 0,9989 λ,434 Coo, dessa vez, a difereça etre os valores de λ e λ é eor que 0,000, a parte iterativa está cocluída. A seguir, deveos realizar os cálculos fiais utilizado as equações [3], [4] e [6]. Da otação, teos que u u u u u cos α ( a b ) / b 0,730( ,730( ,)/ , 0,730( ,945)/ , 0,730(0,00674) 0, ,34 )/ ,34 Pela equação [3] teos que: A A A A 0, A 0, A 0, A 0, A A { 4096 u [ 768 u ( 30 75u )]} u , , { ,0084[ 768 0,0084( ,0084) ]} 0,000000{4094,59} 0,000459, { ,0084[ 768 0,0084(30 0,3) ]} { ,0084[ 768 0, ,68] } { ,0084[ 768 0,59] } { ,0084[ 767,4] } { 4096 (,4) }

30 Pela equação [4] teos que: ( ) [ ] { } ( ) [ ] { } ( ) [ ] { } [ ] { } [ ] [ ] { } { } { } 0, ,765 0, ,35) ( 56 0, ,864 0, , ,36 } 8 0,0084 0, {56 0,0084(73,93) 8 0, , , , , , , , , , B B B B B B B B u u u u B Pela equação [6] teos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,9978) 4 3 0,9996)( 4 3 ( cos 6 cos cos 4 cos 0, ,9978) 4 3 0,9996)( 4 3 ( cos 6 cos cos 4 cos 0,00046 ) 0, )( 0, ( cos 6 cos cos 4 cos 0,00046 ) 4cos 3 )( 4si 3 ( cos 6 cos cos 4 cos 0,9998 0,00046 ) 4cos 3 )( 4si 3 ( cos 6 cos cos 4 cos si B B B B B B B B B B B 30

31 3 0, ,9989 0, ,9989 0, ,9989 0, ,9989 0, ,9989 0, ,9989 0, , , , , , ,093 0,093 0,093 0,093 0,093 0,055 ( 0,9989 ) ( 0,9978) ( 0,9978) (,9956) ( 0,9956) 6 0, , ,9989( 3 3,9984)( 3 0, ,9989(0,9984)(0,99) 6 0,00046(0,9984)(0,99) 6 0,00046(0,9984)(0,99) 6 0,00046 (0,9896) 6 3,99) 0, , , , , { 0,9989 0,0005[ 0,055 0, ] } { 0,9989 0,0005[ 0,06] } { 0,9989 ( 0, ) } { 0, } Fialete, a distâcia e etros é dada pela equação [9] s ba ( ) s ,34,000459(,590 0, ) s ,34,000459(, ) s ,34(, ) s E outras palavras, a distâcia etre o Pólo Uiversitário da UFF e Rio das Ostras (PURO) e a Kaaba, e Meca, a Arábia Saudita é de etros, ou pouco ais de 0.09 quilôetros, ua difereça de cerca de k se coparada co a ecotrada a seção 3.. utilizado o étodo do Grade Círculo. A direção é dada pela equação (0)

32 3 ta α ta α ta α ta α α cosu,74 cosu si λ siu siu cosu 0,93 0,3366 ( 0,0494) 0,933 0,9903 0,3366 ( 0,3554) 0,389 0,93 0,3860 cos λ 0,933 si(,434) 0,943 0,364 ( 0,386) 0,933 cos(,434),3894 Covertedo agora o resultado de radiaos para graus teos: α g α 80 / π 67,3 Essa é a direção loxodróica (veja discussão sobre ortodróia e loxodróia as próxias subseções) a ser seguida iicialete para, partido do Pólo Uiversitário da UFF e Rio das Ostras, chegaros à Kaaba, e Meca, a Arábia Saudita, pelo caiho ais curto possível ORTODRÓMIA É a liha que ue dois potos da superfície da Terra, que correspode ao caiho ais curto etre eles. Este é o setido oralete atribuído o âbito da avegação arítia ou aérea. Foralete, ua ortodróia é ua liha geodésica defiida sobre u odelo esférico ou elipsoidal da Terra [5]. Nua superfície esférica, a ortodróia é u arco de círculo áxio. Etre dois potos quaisquer da superfície terrestre pode traçar-se dois tipos distitos de rotas: a ortodróia, que iiiza a distâcia etre eles e a loxodróia que até costate o ruo, isto é, o âgulo etre o caiho seguido e os eridiaos. Caso os potos esteja separados por u arco de 80º, isto é, seja atípodas, existe ua ifiidade de rotas ortodróicas que os liga, pelo que, esquecedo outras cosiderações, e qualquer direção que se parta, se a rota for atida, chega-se igualete ao outro poto. A ortodróia pura te o icoveie-

33 33 te de ecessitar de correções costates de ruo, já que o âgulo co cada eridiao é sepre diferete, exceto quado a viage se faz sobre o equador ou ao logo de u eridiao. E avegação arítia, a ortodróia só é utilizada e circustâcias especiais e e trajetos uito logos, quado o fator tepo é decisivo, o que ão acotece a avegação área. E qualquer dos casos, a sua aplicação prática é cocretizada através de u cojuto de loxodróias, isto é, de ruos costates etre potos iterediários escolhidos ao logo da rota. Outro icoveiete desse tipo de trajeto reside o fato de as ortodróias etre potos distates atigire uitas vezes latitudes elevadas, ode a ocorrêcia de gelo e de codições atosféricas adversas é freqüete. Nesses casos é sepre possível optar-se por ua rota ista, costituída por duas ortodróias que liga potos de partida e de chegada a u certo paralelo liite e ua ortodróia iterediária de ruo leste-oeste ao logo desse paralelo. [4]. Coo exeplo, observaos a figura ortodróias traçadas sobre ua esfera. Figura : Ortodróias traçadas sobre ua esfera 3..4 LOXODRÓMIA É a liha sobre a superfície da Terra que faz âgulo costate co todos

34 34 os eridiaos. E outras palavras, é a liha cuja direção geográfica, ou aziute, é costate. Trata-se, e geral, de ua liha espiralada e direção a u dos pólos se uca o alcaçar. Este fato foi recohecido pela prieira vez pelo ateático português Pedro Nues o Tratado e Defesa da Carta de Marear, icluído a obra o Tratado da Esfera de 537. É o tipo de trajeto oralete utilizado e avegação arítia, uito ebora ão costitua o caiho ais curto etre dois potos. A razão está o fato de a orietação dos avios e aeroaves se realizar co base e direções geográficas forecidas por bússolas agéticas e girobússolas. Na avegação arítia, o acréscio à distâcia decorrete do eprego da loxodróia, e vez da ortodróia, é oralete desprezível, exceto e logos trajetos oceâicos. Nestes casos, o trajeto plaejado segudo a ortodróia é decoposto e pequeos trajetos loxodróicos, cada u dos quais co ruo costate. Na projeção de Mercator (referêcia ou explicação) as loxodróias são represetadas por segetos de reta. Na figura, veos u exeplo de ua loxodróia. Observe que ela cruza todos os eridiaos co âgulo costate. Figura : Loxodróia a esfera

35 35 3. CÁLCULO DA DECLINAÇÃO MAGNÉTICA A decliação agética é a difereça agular etre a direção apotada por ua agulha agética e a direção orte. O valor dessa decliação está itiaete relacioado ao capo agético da Terra explaado a seção aterior. Para saberos o valor da decliação, utilizareos o World Magetic Model, produzido pelo U.S. Natioal Geophysical Data Ceter (NGDC) e a British Geological Survey (BGS). Esse odelo é utilizado coo padrão pelo Departaeto de Defesa Aericao, o Miistério da Defesa britâico, a OTAN (Orgaização do Tratado do Atlâtico Norte) e o World Hydrographic Office. Na próxia seção, descreveos os pricipais potos abragidos o docueto The US/UK World Magetic Model publicado pela Natioal Geophysical Data Ceter e British geological Survey Geoagetis Group. [3] 3.. O CAMPO MAGNÉTICO DA TERRA O ovieto do aga o iterior da Terra, juto co outros fatores, iduz u potete capo agético ao redor do osso plaeta. Esse capo agético, que varia o espaço (r) e o tepo (t), é o resposável pelo alihaeto das bússolas agéticas aproxiadaete o setido orte-sul. As pricipais fotes resposáveis pelo capo agético terrestre (B), ostrados a Figura 3, são: O capo pricipal, apresetado a Figura 3, gerado o úcleo fluido extero da Terra (B ). O capo crustal do ato superior (B c ). A cobiação de distúrbios provocados por corretes elétricas a alta atosfera e a agetosfera que tabé iduze corretes elétricas o ar e o

36 36 solo ( B d ). Figura 3: O capo agético observado é a soa das cotribuições de cada fote B( r, t) B ( r, t) B ( r) B ( r, t) c d () B é a parte doiate do capo, respodedo por 95% do agetiso a superfície da Terra. A variação o tepo uda letaete B. B c, que é o capo gerado por rochas agéticas a crosta da Terra, varia o espaço, as pode ser cosiderado costate o tepo para os propósitos cosiderados aqui. B c é geralete uito eor e agitude que B. O capo gerado por corretes elétricas a ioosfera e a agetosfera e as resultates corretes iduzidas o ato e crosta terrestre, B d, varia tato o espaço coo o tepo. [3] Para criar u odelo preciso, é ecessário haver ua edição co boa cobertura global e o eor ível de ruído possível. O satélite diaarquês Orsted e o aleão CHAMP provê dados que satisfaze a esses requisitos. Abos oferece dados escalares e vetoriais de alta qualidade para todas as latitudes e logitudes, as ão para todo o período ecessário para a odelage. Poré há vários observatórios o solo que oferece dados quase cotíuos para o período de iteresse, poré co ua baixa cobertura especial. Se usados e cojuto, as ifor-

37 37 ações dos satélites e dos observatórios provê dados de excepcioal qualidade, que perite odelar o coportaeto do capo agético o espaço e tepo. B c possui variações espaciais que vão de etros a ilhares de quilôetros e que ão pode ser copletaete descritos u odelo esférico harôico de baixo grau. Portato o odelo agético ão iclui cotribuições de distúrbios da crosta terrestre, exceto os de grade coprieto. ar do que e terra e diiui co o aueto a altitude. B c é, oralete, eor o O capo resultate de corretes a ioosfera e a agetosfera e suas corretes iduzidas a Terra B d, varia tato o espaço coo o tepo. O capo agético iduzido pode variar e períodos de u dia e u ao, be coo irregularete e escalas de tepo que varia de segudos a dias. As variações regulares diárias e auais são essecialete geradas pela luiosidade atosférica e altitudes de k, ioizadas pela radiação do Sol, ovedo-se sobre o capo terrestre sob a ação dos vetos e arés. As variações diárias e auais são causadas pela rotação da Terra a agotosfera extera que te seu ciclo orgaizado e sicroia co o sol. As variações irregulares se deve a tepestades agéticas e subtepestades. (os eleetos abaixo os coloque e egrito e o iício, logo após o úero) O capo geoagético B é descrito por 7 eleetos, que são:. Copoetes ortogoais X (itesidade o setido orte),. Y (itesidade o setido leste) 3. Z (itesidade vertical, positiva para baixo), 4. itesidade total F, 5. itesidade horizotal H, 6. icliação I (o âgulo etre o plao horizotal e o vetor do capo, positiva para baixo) 7. decliação (ou variação agética) D (o âgulo horizotal etre o orte verdadei-