CONTEÚDO. RECIPROCIDADE QUADRÁTICA 27 Carlos Gustavo T. de A. Moreira & Nicolau Corção Saldanha, Rio de Janeiro - RJ

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1 CONTEÚDO AOS LEITORES LIII OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Euciados, Soluções e Resultado Basileio VII OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA 5 Euciados, Soluções e Resultado Basileio ARTIGOS A FÓRMULA DE CARDANO ALÉM DAS CÚBICAS José Cloves Vede Saaiva, São Luis - MA RECIPROCIDADE QUADRÁTICA 7 Calos Gustavo T. de A. Moeia & Nicolau Coção Saldaha, Rio de Jaeio - RJ APLICAÇÕES DE PLANOS PROJETIVOS EM TEORIA DOS NÚMEROS E COMBINATÓRIA Calos Yuzo Shie, São Paulo - SP OLIMPÍADAS AO REDOR DO MUNDO SOLUÇÕES DE PROBLEMAS PROPOSTOS 5 PROBLEMAS PROPOSTOS 59 COORDENADORES REGIONAIS 6

2 Sociedade Basileia de Matemática AOS LEITORES Chegamos a esta última edição do ao 00 muito cotetes com o desempeho olímpico do Basil: Pelo segudo ao cosecutivo todos os itegates da equipe basileia gahaam medalha a Olimpíada Iteacioal de Matemática, e além disso tivemos eceletes esultados a Olimpíada de Matemática do Coe Sul e a Olimpíada Ibeoameicaa de Matemática, ode gahamos a maioia das medalhas de ouo em disputa. Publicamos aqui as soluções dos poblemas da IMO e da Ibeo, sedo a maioia delas dos membos das equipes basileias. Agadecemos mais uma vez a cescete colaboação dos leitoes, eviado poblemas popostos e soluções, e pedido que publiquemos soluções de poblemas de váias otes, como das Olimpíadas ao Redo do Mudo. Esse itecâmbio é udametal paa ós, e ajuda a mate a evista Eueka! viva e iteessate. Abaços e eliz 00 paa todos! Os editoes. EUREKA! N 5, 00

3 Sociedade Basileia de Matemática LIII OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Euciados, Soluções e Resultado Basileio A LIII Olimpíada Iteacioal de Matemática oi ealizada a cidade de Glasgow, Reio Uido o peíodo de 8 a de julho de 00. A equipe basileia oi lideada pelos poessoes Edmilso Motta São Paulo SP e Ralph Costa Teieia Niteói RJ. O Resultado da Equipe Basileia BRA Ale Coêa Abeu Boze BRA Laissa Cavalcate Queioz de Lima Pata BRA Guilheme Issao Camaiha Fujiwaa Boze BRA Yui Gomes Lima Boze BRA 5 Davi Máimo Aleadio Nogueia Boze BRA 6 Thiago da Silva Sobal Boze PRIMEIRO DIA DURAÇÃO: hoas e meia. PROBLEMA Seja um iteio positivo. Seja T o cojuto de potos ; o plao ode e são iteios ão egativos e <. Cada poto de T é pitado de vemelho ou azul. Se um poto ; é vemelho, etão todos os potos '; ' com ' e ' também são. Um cojuto é um cojuto de potos azuis com abcissas todas distitas, e um cojuto Y é um cojuto de potos azuis com odeadas todas distitas. Pove que o úmeo de cojutos é igual ao úmeo de cojutos Y. SOLUÇÃO DE GUILHERME FUJIWARA SÃO PAULO SP Pimeiamete, seja i o úmeo de potos azuis cuja odeada é i, e i o úmeo de potos azuis de abscissa i. Veja que o úmeo de -cojutos é i, e o úmeo de Y-cojutos é i. i 0 i 0 Paa pova que o úmeo de -cojutos é igual ao úmeo de Y-cojutos, é suiciete pova que os úmeos 0,,,..., são uma pemutação dos úmeos 0,,,...,. Povaemos este lema po idução o. Se, temos que 0 0 ou 0 depededo se 0; 0 é azul ou ão. Supohamos que o lema é vedadeio paa < k, povaemos paa k. Vamos olha paa a última diagoal de T eta k : Se ela ão houve potos vemelhos, etão tome T' como os cojutos de potos de EUREKA! N 5, 00

4 Sociedade Basileia de Matemática T que ão estão a última diagoal. Temos que o lema vale paa os 'i e 'i de T', e como i 'i e i 'i, etão 'a 'b a b, e além disso k k, potato o lema vale paa T vide ig.. Y odeada Fig. abscissa Só potos azuis a eta k Se ela houve algum poto vemelho, digamos a; k a, etão aplicamos a hipótese de idução os dois cojutos T' omados acima e à dieita de T, que são meoes que T, e assim demostamos o lema paa T vide ig.. Povamos etão o osso lema e, como já oi visto ateiomete, segue o que é pedido o euciado. Y odeada Fig. cojutos T' meoes que T, o qual aplicamos a hipótese de idução. abscissa PROBLEMA EUREKA! N 5, 00

5 Sociedade Basileia de Matemática Seja BC um diâmeto do cículo Γ de ceto O. Seja A um poto de Γ tal que < AOB < 0. Seja D o poto médio do aco AB que ão cotém C. A eta que passa po O e é paalela a DA ecota a eta AC em J. A mediatiz de OA cota Γ em E e F. Pove que J é o iceto do tiâgulo CEF. SOLUÇÃO DE YURI GOMES LIMA FORTALEZA CE Como EF é pepedicula ao aio OA, os acos EA e AF são iguais, dode ECA ACF ECJ JCF. Potato, J já petece à bissetiz de ECF. Se mostamos etão que AJ AE, acabou pois sabemos que o médio do aco EF eqüidista de E, de F e do iceto de CEF. Mas, se l é a paalela a DA po O, temos que l // DA e DO // AC pois DOB AOB/ ACB DAJO paalelogamo AJ DO. Também, sedo EF mediatiz de OA, segue que EA EO. Mas EO aio de Γ DO, dode AJ EA AF. OBS: é ecessáio AOB < 0, pois caso cotáio teíamos AOC 60 e BOD 60, o que implicaia J l AC oa de Γ, ão podedo etão se este o iceto de CEF. PROBLEMA Ecote todos os paes de iteios m, tais que há iiitos iteios positivos a m a a paa os quais é iteio. a a SOLUÇÃO DE ALE CORRÊA ABREU NITERÓI RJ m Seja P P e Q T, R [ ] tq P T Q R, P a R a R a P a com deg R < deg Q ou R 0 T a T a é iteio Q a Q a Q a Q a paa iiitos a's mas se R R 0 tq > 0 < < pois Q R a deg R < deg Q < se a > eiste apeas um úmeo iito de a's tq Q a a Q a R é iteio R 0 P T Q Q P Q P Q m m m m ; ote que temos, m EUREKA! N 5, 00 5

6 Sociedade Basileia de Matemática m m pois Q P mas mdc Q, mdc, Q po aciocíio aálogo ao ateio, m m I. Agoa, como Q 0, Q 0 < α < tq Q α 0 P α T α Q α 0 m α α 0 α α II m m de I, α α III po II, α α α α α α α α α α α α pois α < α α 0 α α α mas e a desigualdade só ão é estita em III se m m 5 logo se eisti uma solução seá 5,, que de ato é uma solução, pois obviamete 5 P Q SEGUNDO DIA DURAÇÃO: hoas e meia.. PROBLEMA Seja iteio maio que. Os divisoes positivos de são d, d,,d k, ode d < d <... < d k Seja D d d d d d k d k. a Pove que D <. b Ecote todos os valoes de paa os quais D é um diviso de. SOLUÇÃO DE THIAGO DA SILVA SOBRAL FORTALEZA CE Lema: di d k i Pova: Obsevado que se d é diviso de etão /d também o é, podemos agupa os divisoes aos paes, dode cocluímos que d d, 0 i k. Esse ato também vale paa sedo quadado peeito, pois Cooláio: d i k i i k i d d k k k EUREKA! N 5, 00 6

7 Sociedade Basileia de Matemática Pova: De ato, sedo d k i o k i-ésimo diviso de, temos d k i k i, e segue o esultado pelo lema. Pelo cooláio, k D dd d d d k d k k k k k j j k j j j < k b Veja que se é pimo, D, e assim temos que D. Supoha composto, e seja p o seu meo ato pimo. Pelo lema, D dd d d d k d k p > p p Veja etão que p cocluímos que < <, e como D D / Po im, cocluímos que p D é pimo. PROBLEMA 5 Ecote todas as uções de # em # tais que paa todo,, z, t #. é o maio diviso de z t zt t z j meo que SOLUÇÃO DE LARISSA CAVALCANTE QUEIROZ DE LIMA FORTALEZA CE z t zt t z, z,, t 0 : z,, t 0 : se 0 0 ou seja 0, 0 5, EUREKA! N 5, 00 7

8 Sociedade Basileia de Matemática Se 0 0, etão 0 e, 5 o que é uma solução. Supoha etão 0 0 ; t [ ] [ ] z z ; t t, z é multiplicativa. t; t z t t z tz t z tz t z zt Supohamos que ão seja ideticamete ula ote que 0 é uma solução. Supoha a < 0 e que, : a [ ] 0 a, cotadição! Assim, a 0, a 0. z z z t zt t z z t z z z z z z. z,, t :. *. * cojectua: z t zt t z t z z t z t zt t tz z Ok!! A ução ucioa!!! ; m m m, m. EUREKA! N 5, 00 8

9 Sociedade Basileia de Matemática EUREKA! N 5, 00 9,. como ; temos z z z,. Tome ; 0,, ;,, q q p q p mdc q p q p q p q p q p q p,. 5,.,, 5 Supoha que, tais que 0, > 0 e < [ ] <,, < > > Absudo!!! > 5 é cescete em #. Vamos mosta que é cotíua em # : ote que se, 0,, se. Assim, dado 0 > ε, paa 0 suicietemete pequeo, temos. 0 ε < e se 0 <, temos ε < < 0 se 0 < temos > < ε. * ε ε < < Se 0 < etão 0 0 > > < ε < 0 paa 0 < temos ε < potato é cotíua. Supoha 0, θ θ w w

10 θ > 0 Temos que > 0 0 tal que w < 0 w < θ ou seja w θ < θ caso Sociedade Basileia de Matemática mas se < w temos w w θ w θ > eiste tal que 0 < w < 0. θ < 0 w w θ temos que > 0 0 tal que w < 0 w < θ ou seja w θ < θ caso Note que tal que < w e potato > 0 0 < w < 0 w θ θ, cotadição!! > w > w w θ w θ > θ cotadição!! 5,. As úicas uções são: ; 0 ou, 5. PROBLEMA 6 Sejam Γ, Γ,..., Γ cículos de aio o plao, ode. Seus cetos são O, O,,O, espectivamete. Supoha que ão eista eta que itecepte mais que dois dos cículos. Pove que π. O O i< j i j SOLUÇÃO DE LUCIANO GUIMARÃES CASTRO RIO DE JANEIRO RJ Seja α ij a medida, em adiaos, do âgulo agudo omado pela eta O i O j com uma eta tagete a Γ j passado po O i. As cicueêcias têm aio, e se α α, i, j {,,, }. Assim, seα α. ij ij i< j O i< j i< j io j ij ij EUREKA! N 5, 00 0

11 Sociedade Basileia de Matemática É suiciete, potato, pova que que o euciado oigial. α ij i< j π, o que paece meos assustado Vejamos de que maeia a codição de ehuma eta cota mais de duas cicueêcias limita a soma dos α ij. Fiemos i. Paa cada j, a uião de todas as etas que passam po O i e cotam a cicueêcia Γ j oma dois âgulos opostos pelo vétice O i, cada um medido α ij. Como essas etas ão cotam outa cicueêcia além de Γ i e Γ j, vaiado j obtemos âgulos disjutos com vétice O i, de oma que a soma de suas medidas ão pode ultapassa π, ou seja, j j i α ij π. Γ Γ α i α i α ij O i Γ j Agoa, somado estas desigualdades paa i {,,, } e obsevado que α ij α ji, obtemos α π α π ij i j i j i i< j ij α ij i< j π. EUREKA! N 5, 00

12 Sociedade Basileia de Matemática Hummmm... quase! De ato, este esultado já é assitoticamete equivalete ao desejado. Apesa de que cosegui um o luga daquele é a pate diícil deste poblema, você vai pecebe que se tata apeas de i adaptado esta pimeia idéia. Ituitivamete, o que acabamos de aze oi gia uma eta 80 o em too de cada poto O i, sabedo que este pecuso ela cotaá todas as outas cicueêcias, mas uca duas ao mesmo tempo. Paa melhoa a estimativa, pecisamos ecota uma oma de gia meos que 80 o e, aida assim, ecota todas as demais cicueêcias. Isto ão é possível paa todos os O i, mas podemos azê-lo com os mais aastados. Mais pecisamete, ossa idéia é tabalha com o echo coveo do cojuto {O, O,..., O }, ou seja, o meo cojuto coveo que cotém {O, O,..., O }. Sem peda de geealidade, podemos supo que esse echo coveo é o polígoo O O O... O m m. Desta oma, os potos O m, O m,..., O são iteioes ao polígoo. Vamos sepaa a soma α ij em quato pates: L i, i αm i m i< j α soma dos α ij tais que O i O j é lado do polígoo; D α ij L soma dos α ij tais que O i O j é diagoal do polígoo; T i< j m ij < m i j m ij m< i< j α soma dos α ij tais que O i é vétice do polígoo e O j é iteio; I α soma dos α ij tais que O i e O j são iteioes ao polígoo. Obseve que L D T I α. ij i < j Vamos usa os âgulos eteos do polígoo paa limita L. Sejam a i e e i, espectivamete, as medidas dos âgulos iteo e eteo do polígoo o vétice O i. Paa simpliica a otação, tabalhaemos com o vétice O. Seja t a tagete comum eteio a Γ e Γ, mais póima de Γ. Etão Γ está totalmete cotida o semiplao detemiado po t que ão cotém Γ e Γ caso cotáio eistiia uma eta cotado Γ, Γ e Γ. Sejam a paalela a t po O e P o poto de tal que P O O é agudo e sua bissetiz é pepedicula à eta O P. Etão a distâcia de O O a essa bissetiz é igual a P. Esta distâcia é maio que, pois P petece a e a EUREKA! N 5, 00

13 Sociedade Basileia de Matemática distâcia de O a é maio que. Isto sigiica que a bissetiz de P O O é eteio m PO O a Γ, do que cocluímos que α <. Pocededo de oma aáloga com a cicueêcia Γ e somado as duas desigualdades, temos π a e α α <. P O α t O O Fazedo o mesmo paa os demais vétices do polígoo e somado as desigualdades obtidas, cocluímos que e i i m L < L < π. Agoa utilizaemos os âgulos iteos do polígoo em um pocedimeto paecido ao que izemos paa descobi a desigualdade. Salvo Γ, Γ e Γ, todas as demais cicueêcias estão completamete cotidas o âgulo iteo Ô O O O. Paa cada j, cosidee o cojuto uião das semi-etas com oigem O, iteioes a Ô, que cotam a cicueêcia Γ j. Este cojuto oma um âgulo de medida α j, paa j e j, e um âgulo de medida α j paa os demais valoes de j. Como cada semi-eta pode cota apeas uma cicueêcia além de Γ, os cojutos coespodetes a distitos valoes de j são disjutos. Assim, α α α j a. i Pocededo de oma aáloga com os demais vétices do polígoo e somado as desigualdades obtidas cocluímos que L D T ai m π. i m EUREKA! N 5, 00

14 Sociedade Basileia de Matemática EUREKA! N 5, 00 Paa coclui, seja O i um poto iteio ao polígoo, ou seja, i > m. Já povamos a desigualdade : π α i j j ij. Somado essas desigualdades paa todos os potos O i iteioes temos < < i m i j j ij i m α π π 8 m I T π m I T. Agoa basta soma as desigualdades, e, obtedo π π π m m I T T D L L π I T D L π I T D L. Potato se π α α < < < I T D L O O j i j i ij ij j i j i, como queíamos demosta.

15 Sociedade Basileia de Matemática VII OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA Euciados, Soluções e Resultado Basileio A VII Olimpíada Ibeoameicaa de Matemática oi ealizada a cidade de São Salvado, El Salvado o peíodo de 0 de setembo a 5 de outubo de 00. A equipe basileia oi lideada pelos poessoes Eduado Wage Rio de Jaeio RJ e Ooe da Silva Faias Fotaleza CE. O Resultado da Equipe Basileia BRA Guilheme Camaiha Fujiwaa Ouo BRA Humbeto Silva Naves Ouo BRA Laissa Cavalcate Queioz de Lima Ouo BRA Yui Gomes Lima Pata PRIMEIRO DIA DURAÇÃO: hoas e meia. PROBLEMA Os úmeos iteios desde até 00, ambos icluídos, escevem-se um quado po odem cescete,,..., 00, 00. Em seguida apagam-se os que ocupam o pimeio luga, quato luga, sétimo luga, etc, ou seja, os que ocupam os lugaes da oma k. Na ova lista apagam-se os úmeos que estão os lugaes da oma k. Repetese este pocesso até que se apagam todos os úmeos da lista. Qual oi o último úmeo que se apagou? SOLUÇÃO DE GUILHERME CAMARINHA FUJIWARA SÃO PAULO - SP Cosidee uma sequêcia iiita ao ivés de uma sequêcia até 00. Seja etão Rk o pimeio úmeo a se apagado a k-ésima seção de apagameto. Temos etão R, R, R, R 5, R5 8, R6. Queemos etão acha o maio Rk meo ou igual à 00. Vamos pova que Rk R k ode k é o meo iteio maio ou igual a. Paa tal, basta ve que se cosideamos a seqüêcia que soba após a pimeia séie de apagametos, teemos que o Rk-ésimo temo seá o pimeio a se apagado a k-ésima póima séie de apagameto. Cosideado também o pimeio apagameto, temos que o Rk-ésimo úmeo dessa lista séá o pimeio a se apagado a k -ésima séie de apagameto, logo seá o Rk. EUREKA! N 5, 00 5

16 Sociedade Basileia de Matemática É ácil ve que o -ésimo temo da sequêcia que soba após a pimeia séie de apagametos seá o basta ve os dois casos de paidade de, logo temos que Rk R k. Fazedo as cotas, temos etão R6, R7 8, R8 7, R9, R0 6, R 9, R 0, R 0, R 5, R5 7, R6 70, R7 065, R8 598 e ialmete R9 97. Como R8 598 e 00 < R9 97, etão o último úmeo apagado oi 598. PROBLEMA Dado qualque cojuto de 9 potos o plao ete os quais ão eistem tês colieaes, demoste que paa cada poto P do cojuto, o úmeo de tiâgulos que têm como vétices tês dos oito potos estates e P o seu iteio é pa. SOLUÇÃO DE HUMBERTO SILVA NAVES SÃO JOSÉ DOS CAMPOS - SP Seja S o cojuto dos 9 potos. Se um poto P está o iteio do tiâgulo ABC com A, B, C e P S, temos: A α γ C B' P C' A' B β Sejam A AP BC ; B BP ΑC e C CP ΑB. As semi-etas PA, PB e PC dividem o plao em tês egiões: α, β e γ A α, Β β e C γ. Vamos costui um gao G cujos vétices epesetam os tiâgulos com vétices em S com o poto P em seu iteio. Ligaemos vétices deste gao se e somete se os tiâgulos coespodetes tiveem um lado em comum. Vamos agoa pova que o gau de cada vétice é 5. Seja Q S {A ; B ; C ; P}. Temos possibilidades: EUREKA! N 5, 00 6

17 Sociedade Basileia de Matemática Se Q α: Temos que o poto P está o tiâgulo QBC, logo QBC VG. Como os tiâgulos ΑBC e QBC tem um lado em comum, eles estão ligados po uma aesta em G. Obs.: Clao que P ão está o QAB e em o QAC. Se Q β: QAC VG e está ligado à ABC em G. Se Q γ : QAB VG e está ligado à ABC em G. Logo deg ABC #S {A ; B ; C ; P} 5. E como Σ deg #EG #VG é pa. Potato o úmeo de tiâgulos com P em seu iteio é pa. PROBLEMA Um poto P é iteio ao tiâgulo equiláteo ABC e é tal que APC 0. Sejam M a itesecção de CP com AB e N a itesecção de AP com BC. Ecota o luga geomético do cicuceto do tiâgulo MBN quado P vaia. SOLUÇÃO DE YURI GOMES LIMA FORTALEZA CE B Γ Ω Y N O M P O A C Vamos mosta que tal L.G. está cotido a eta mediatiz do aio BO, ode O é o ceto de ABC. Paa isso, seja O o cicuceto de BMN. Daí, como A P ˆC 0, EUREKA! N 5, 00 7

18 Sociedade Basileia de Matemática temos NPM ˆ 0 BNPM iscitível. Paa O petece a, devemos te BO OO, ou seja, O também deve petece à cicueêcia Γ cicuscita em BMPN. Vamos mosta que O é o médio do aco MN. Agoa, veja que, como A P ˆC 0, temos etão que BAN ˆ 60 NAC ˆ AC ˆ M. Assim, ABN CAM. Logo, a otação com ceto em O e âgulo 0 que leva B em A e A em C também leva N em M. Assim, NO ˆM 0 e NO MO. Mas sedo N O ˆM 0, segue que BMON é iscitível. Assim, povamos o que queíamos e O. Mas o LG ão é a eta toda. De ato, devemos te O ˆ BN < 90, pois O BN é isósceles, daí, se e Y são os potos de iteseção de com a cicueêcia Ω cicuscita a ABC, teemos que O petece ao INTERIOR do segmeto Y, pois BC ˆ YBˆ A 90 paa ve isto, obseve que BYO é losago com O BO O ˆB 60 é o médio do aco AB. Agoa, dado O petecete ao iteio do segmeto Y, tace a cicueêcia de ceto O e aio O B que passa po O. Ela detemiaá dois potos M e N sobe AB, BC tais que OMN ˆ OBN ˆ OBM ˆ ONM ˆ e M O ˆN 0. Daí, a mesma otação cosideada ates levaá N em M, levado etão o ABN o CAM AN CM e B AN ˆ ACM ˆ 60 BAN ˆ 60 ACM ˆ PAC ˆ ACˆ P 60, ode P AN CM, dode APC ˆ 0. Logo, o L.G. pocuado é o iteio do segmeto Y. SEGUNDO DIA DURAÇÃO: hoas e meia. PROBLEMA Num tiâgulo escaleo ABC taça-se a bissectiz itea BD, com D sobe AC. Sejam E e F, espectivamete, os pés das pepediculaes taçadas desde A e C até à ecta BD, e seja M o poto sobe o lado BC tal que DM é pepedicula a BC. Demoste que EMD DMF. EUREKA! N 5, 00 8

19 Sociedade Basileia de Matemática SOLUÇÃO DE YURI GOMES LIMA FORTALEZA CE B E M A' A D C F Seja A' a iteseção de AE com BC. Etão, como BE é bissetiz, segue que AE EA'. Mas etão os tiâgulos ADE e A'DE são coguetes, dode D AE ˆ DAˆ ' E I. Como AE e CF são pepediculaes a BD, etão AE // CF EAD ˆ DCF ˆ II Também: DFC ˆ DMˆ C 90 o quadiláteo MCFD é iscitível D CF ˆ DMˆ F. A' MD ˆ A' Eˆ D 90 o quadiláteo A'MED é iscitível E MD ˆ EAˆ' D. Mas, po I e II, temos que EAˆ' D DCˆ F EMD ˆ DMF ˆ. Obs. Po ABC se escaleo, temos que BD ão é pepedicula a AC, i.e, E D F E. PROBLEMA 5 A sucessão de úmeos eais a, a,... deie-se como: a 56 e a a paa cada iteio. a Demoste que eiste um iteio k, k 00, tal que < 0. a k EUREKA! N 5, 00 9

20 Sociedade Basileia de Matemática SOLUÇÃO DE LARISSA CAVALCANTE QUEIROZ DE LIMA FORTALEZA CE Lema: ak < m; m, ak > 0 a k < m m Pova: ak < m < < m a a m ak < m ak < m a m m k * a k ak ak ak ak ak ak ak ak ak ak Soma telescópica * a a a a a a ak ak a k ak a... k a a a k k k Supoha que i 999 tal que a i < ai > 0 Isso implica: a i <. Caso a i 0 > 9 5, a i < <. 6 6 Se ai > 0 ai < 0; i k, k 00 tal que < 0. a k Supoha que / i 999 tal que a i < ai i 999 a i a i EUREKA! N 5, 00 0

21 a Sociedade Basileia de Matemática... a a a Absudo! Potato i 999 tal que < 000 < a i temos que a,, i ai ai ou a i é meo que zeo po k, k 00 tal que < 0. a k PROBLEMA 6 Um polícia teta captua um ladão um tabuleio de Eles jogam alteadamete. Cada jogado, a sua vez, deve move-se uma casa um dos tês seguites setidos: abaio; dieita; diagoal supeio esqueda. Se o polícia se ecota a casa da esquia ieio dieita, pode usa a sua jogada paa passa diectamete paa a casa da esquia supeio esqueda o ladão ão pode aze esta jogada. Iicialmete o polícia está a casa cetal e o ladão está a casa viziha diagoal supeio dieita do polícia. O polícia começa o jogo. Demoste que: a O ladão cosegue move-se pelo meos 0000 vezes sem se captuado. b O polícia possui uma estatégia paa captua o ladão. Nota: O polícia captua o ladão quado eta a casa em que está o ladão. Se o ladão eta a casa do polícia, ão há captua. SOLUÇÃO OFICIAL: Pite o tabuleio com coes da seguite oma: Figua: Movimetos a b c a a c b c b c a c a b c c a b 00 b c a c c a b 00 c a b b 00 0 EUREKA! N 5, 00

22 Sociedade Basileia de Matemática Obseve que os movimetos os dão o seguite ciclo: Que dize: de uma casa a só se vai paa b, de uma b a b só se vai paa c e de uma c só se vai paa a. c Iicialmete o polícia começa uma casa c e o ladão também. casas hachuadas a igua Assim teemos as seqüêcias Polícia: c a b c O polícia uca podeia eta uma casa de mesma co do ladão. Ladão: c a b c Paa sua sote eiste o túel. Se pesamos um pouco, veemos que o polícia deve atavessa o túel vezes paa pode toa compatível seu ciclo com o do ladão, ou seja, joga e cai uma casa de mesma co do ladão podedo pegá-lo. Seja casa supeio esqueda Y casa ieio dieita. Logo o polícia pecisa de 000 movimetos paa chega até Y, cuza o túel movimeto, mais 000 paa chega de ovo até Y, cuza o túel movimeto. Neste mometo o ladão deve esta póimo de Y e o polícia pecisaá de mais 999 movimetos pelo meos paa captua o ladão que icaá odado o quadado ieio esquedo, totalizado movimetos do polícia, ou seja, 0000 movimetos do ladão. b Vejamos agoa uma estatégia paa que o polícia peda o ladão. Supoha que ele já teha passado vezes pelo túel. Numee as lihas do tabuleio de a 00, de cima paa baio e as coluas de a 00, da esqueda paa a dieita. Após sai do túel, o polícia se ecota a casa da liha e colua. A estatégia é a seguite: i O polícia deve se move paa a dieita até que o ladão ique a mesma diagoal ieio dieita do polícia ou uma casa à dieita. ii Em seguida, o polícia deve aze o seguite movimeto: EUREKA! N 5, 00

23 Sociedade Basileia de Matemática Ladão Joga Polícia Joga iii O polícia deve epeti os passos i e ii Note que a dieeça ete os úmeos das lihas do polícia e do ladão sempe dimiui e o ladão sempe ica a egião à dieita da diagoal ieio dieita do polícia. Assim, após epetimos i e ii um úmeo iito de vezes, chegamos a situação a vez do ladão Polícia Ladão ote que ão pode ocoe outa situação a qual a dieeça ete lihas é, pois, a vez do ladão, os dois devem esta em casas do mesmo tipo. Seguido o que é eito em ii, o ladão, em algum mometo, se move paa a casa à dieita do polícia. Assim, a póima jogada, o polícia pede o ladão. EUREKA! N 5, 00

24 Nível Avaçado. Sociedade Basileia de Matemática A FÓRMULA DE CARDANO ALÉM DAS CÚBICAS José Cloves Vede Saaiva, São Luis MA INTRODUÇÃO: Motivado pela leitua do tabalho Equação do Teceio Gau do Poesso Albeto de Azevedo [], ocoeu-me a cuiosidade de sabe as ómulas das aízes calculadas po adicais de uma equação poliomial do 5 º gau, solúvel, que ão osse a tivial 5 a 0, que todos cohecem. Daí etão, seguido os mesmos passos da dedução da ómula de Cadao paa as equações poliomiais cúbicas oi possível pova que a 5 p p 0, já estudada po DE MOIVRE, tem aízes dadas po uma 5 ómula aáloga a de Cadao. Além desta, outas ómulas semelhates são possíveis deduzi paa gaus maioes que o quito. Deiamos paa o leito essa geealização!. A FÓRMULA DE CARDANO: É asciate toda a históia da esolução das equações poliomiais do º gau. Em esumo a eeêcia [] apeseta o seguite: "O descobido do método oi Scipioe del Feo 65-56, matemático italiao, que ates de moe o evelou aos discípulos Atôio Maia Fio e Aibale Della Nave". "Houve uma disputa matemática ete Fio cota Niccolo Fotaa , cohecido pelo apelido de Tataglia gago, em italiao. A vitóia deste último, muito divulgada, oi do cohecimeto do médico e poesso Giolao Cadao que coseguiu lhe atai paa esia a ega de esolução sob o juameto de jamais publicá-la. Cadao pocuou a demostação da ega - e achou - e aida motivou seu discípulo Ludovico Feai a descobi solução paa as equações do quato gau." "Cadao, uma visita a Della Nave, soube do mauscito de Del Feo cotedo a ega de Tataglia que já eistia há 0 aos. Motivo que o levou queba o juameto. Publicou os métodos o seu amoso livo As Maga, em 55, ode ão deiou de aze eeêcia aos descobidoes, emboa a cotagosto de Tataglia que se cosideou taído." Podemos epeseta a equação geal do º gau a oma a a a 0 e po uma mudaça de vaiável a a equação ica mais simples a oma EUREKA! N 5, 00

25 Sociedade Basileia de Matemática p q 0. Calculado o cubo de um biômio u v u u v uv v, e podo em evidêcia uv, temos: * u v uv u v u v ou melho, u v uv u v u v 0 isto é, u v é uma aiz paa valoes de p uv e q u v, ode podemos p e eleva ao cubo a pimeia e te u v q u v e cai um poblema ode 7 u e v são as aízes de uma equação do º gau cohecedo a soma e o poduto das aízes, cuja solução é cohecida: q q p q q p u e v 7 7 dode obtemos a amosa ómula de Cadao: u v q q p 7 q q p 7 A FÓRMULA DE CARDANO ALÉM DAS CÚBICAS: O esultado picipal destas otas oi motivado po uma aalogia da dedução a ómula de Cadao. Vamos pova que: a equação 5 p p 0 tem 5 uma de suas aízes dada pela ómula: 5 p u v p 5 DEMONSTRAÇÃO: 5 Cosidee p q 0. Calculemos poliômios do biômio: u v u 5u v 0u v 0u v 5uv v podo em evidêcia obtemos: u v 5uv u v 0u v u v u v da igualdade * obtemos que: u v u v uv u v paa substitui o desevolvimeto dode obtemos que: u v 5uv u v 5u v u v 0u v u v u v, isto é, EUREKA! N 5, 00 5

26 Sociedade Basileia de Matemática u v 5uv u v 5u v u v u v o que pemite obte as igualdades: p 5uv; q 5u v e u 5 v 5. p Estabelecemos p 5u v, logo temos que q az com que a equação seja 5 da oma 5 p p 0, se u v o uma aiz u v Veiica as elações os leva ao já estudado a dedução da ómula de p 5uv Cadao 5 5 e u v 5 p 5 u 5 v 5, da mesma oma as aízes são: 5 p 5 p u e v de ode cocluímos que a aiz u v é dada pela ómula: 5 p p 5 OBSERVAÇÕES FINAIS: Esta ómula toa mais ácil a detemiação das aízes do que a idicada po De Moive estudada a eeêcia [], ode uma aálise completa das aízes e o estudo dos Gupos de Galois os divesos casos é eito. 7 5 Como eecício estude a sétima p q s 0 e geealize. Fializado, seia iteessate o leito paciete calcula todas as aízes da equação abaio estudada po Adiaa va Roome po poliômios tigoométicos Ve eeêcia [], pp REFERÊNCIAS: [] Albeto de Azevedo, Equação do º gau, Depto. Matemática, UNB, 00. [] Césa Polcio Milies, A Resolução das equações de teceio e quato gaus, Notas de aula, IME- USP, 000. [] R.L. Boge, O De Moive' s Quitic, Ameica Math. Mothl, pp. 7-7, vol. 5, 908. [] Paulo A. Mati, Itodução à Teoia dos Gupos e a Teoia de Galois, IME-USP, 996. EUREKA! N 5, 00 6

27 Sociedade Basileia de Matemática RECIPROCIDADE QUADRÁTICA Calos Gustavo T. de A. Moeia & Nicolau C. Saldaha, Rio de Jaeio - RJ Nível Avaçado. A lei de Gauss de ecipocidade quadática aima que se p e q são pimos há uma elação dieta ete p se quadado módulo q e q se quadado módulo p. Este teoema oece um ápido algoitmo paa detemia se a é quadado módulo p ode a é um iteio e p um úmeo pimo. Lembamos que a é quadado módulo se eiste com amod. Este atigo oi adaptado de []. a Deiição: Seja p um pimo e a um iteio. Deiimos o símbolo de Lagage p po 0 se p divide a a se a ão é quadado módulo p p se p ão divide a e a é quadado módulo p. Poposição: Seja p um pimo ímpa e a tal que p ão divide a. p a Etão a mod p. p Demostação: Sabemos que se p ão divide a etão a p mod p, ou seja, p tem como aízes,,, p em /p. Po outo lado, p p p. Se eiste b tal que a b mod p etão p p a a b mod p; ou seja, a mod p. p Como p mod p ± mod p, há pelo meos p p quadados em /p*, logo os quadados são eatamete as aízes de em /p, dode os p b ão quadados são eatamete as aízes de, ou seja, se etão p b p mod p. EUREKA! N 5, 00 7

28 Sociedade Basileia de Matemática p p Cooláio: Se p é pimo ímpa etão. a / p Paa cada Vamos agoa eitepeta a poposição. Seja *. p p j,,..., escevemos a j como ε jm j com ε j {, } e m j,,...,. Se m m temos a i a j ou a i a j; a pimeia possibilidade implica i j i j e a seguda é impossível. Assim, se i j temos mi m j dode p m ; m;...; m p,,...,. Assim, p p a a... a a a p p... εε... ε p m m... m p εε... ε p mod p p... a a dode ε ε... ε p, pois ambos petecem a {, }. Assim, m p p, p ode m é o úmeo de elemetos j de,,..., tais que ε j. Como pimeia coseqüêcia deste ato temos o seguite esultado. Poposição: Se p é um pimo ímpa etão p, se p ± mod 8, 8 p, se p ± mod 8. p Demostação: Se p mod, digamos p k, temos k. p p j paa j k e < j p paa k j k, temos a k, se p mod 8, p, se p 5 mod 8. Como EUREKA! N 5, 00 8

29 Sociedade Basileia de Matemática p Se p mod, digamos p k, temos k. Paa j k temos p p j e paa k j k temos < j p, dode a k, se mod 8, p p, se p 7 mod 8. Teoema: Lei de ecipocidade quadática Sejam p e q pimos ímpaes. p q p q / q p Etão. Demostação: Na otação acima, com a q, paa cada j P, ode P {,,..., p / }, temos que ε j se e só se eiste tal que p / qj p < 0. Tal deve petece a Q, ode Q {,,..., q / }. q Assim, temos que p m ode m e {, P Q p / q < 0} p ; p q e Y {, P Q 0 < q p q / }. ote que q p uca assume o valo 0. Aalogamete, p q Daí segue que q p k ode k m Z ode {, P Q p / q p / }, ode Y Z q pois q p uca assume o valo 0. Temos k C A B ode C P Q, A {, C q p < p / }, B {, C q p > q / }. Como C p q /, basta mosta que A B. Mas : C C deiida po, p /, q / deie uma bijeção ete A e B [ EUREKA! N 5, 00 9

30 Sociedade Basileia de Matemática Eemplo: Se e p é pimo, etão ão é quadado módulo p e logo é aiz pimitiva módulo p; ve []. p De ato, como p mod,, mas mod, como pode se p acilmete mostado po idução, dode p p mod, e. REFERÊNCIAS: [] Calos Gustavo T. de A. Moeia, Divisibilidade, Coguêcias e Aitmética módulo, Eueka! N o., pp. -5, 998. [] Guilheme Camaiha Fujiwaa, Iteios de Gauss e Iteios de Eisestei, Eueka! N o., pp. -, 00. [] Calos Gustavo T. de A. Moeia e Nicolau C. Saldaha, Pimos de Mesee e outos pimos muito gades, o. Colóquio Basileio de Matemática, IMPA, 999. EUREKA! N 5, 00 0

31 Nível Avaçado. Sociedade Basileia de Matemática APLICAÇÕES DE PLANOS PROJETIVOS EM TEORIA DOS NÚMEROS E COMBINATÓRIA Calos Yuzo Shie, São Paulo - SP. Deiição de plao pojetivo A deiição dada aqui é a mais geal. Dizemos que um cojuto S é um plao pojetivo se eistem subcojutos,,... de S que satisazem as seguites popiedades: i Se P e Q petecem a S, um e somete um dos subcojutos i cotém P e Q. ii A iteseção de i e j cosiste sempe de um úico elemeto, paa todo i j. iii Eistem pelo meos quato elemetos de S tais que, ete eles ão haja tês cotidos em um dos cojutos i. Os elemetos de S são omalmete chamados potos e os subcojutos i, etas. Note que a popiedade i pode se etedida como "po dois potos passa uma úica eta" e a popiedade iii os diz que "eistem quato potos, tês a tês ão colieaes". Eecícios 0. Um toeio de têis é disputado ete duas equipes. Cada membo de uma equipe joga com um ou mais membos da outa equipe, de modo que i Dois membos de uma mesma equipe têm eatamete um opoete em comum; ii Não eistem dois membos de uma equipe que eetam, jutos, todos os membos da outa equipe. Pove que cada jogado deve joga um mesmo úmeo de patidas. 0. Moste que as seguites poposições são equivaletes em plaos pojetivos: Eiste uma eta que passa po eatamete potos; Eiste um poto que está cotido em eatamete etas; Todas as etas passam po eatamete potos; Todos os potos estão cotidos em eatamete etas; 5 Há eatamete etas; 6 O plao pojetivo tem eatamete potos diz-se esse caso que o plao pojetivo tem odem. EUREKA! N 5, 00