5) Função Exponencial

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1 5) Função Eponencial Professora Laura Aguiar 5.1) Estudando Função Eponencial Neste capítulo, iremos estudar as funções eponenciais, um tipo de função que descreve várias situações como, por eemplo, o crescimento populacional de bactérias, os rendimentos obtidos em uma aplicação a juros compostos, entre outras. Veja a seguir uma situação relacionada a uma função eponencial. Durante determinado período de seu desenvolvimento, a altura de certo tipo de planta dobra a cada mês. Sabendo que a altura da planta no início desse período é 1 cm, calcularemos a altura dessa planta ao final do 4º mês. Ao final do: 1º mês, a altura dessa planta será 2 cm, pois 2.1=2 2º mês, a altura dessa planta será 4 cm, pois 2.2=4 3º mês, a altura dessa planta será 8 cm, pois 2.2.2=8 4º mês, a altura dessa planta será 16 cm, pois =16 Podemos escrever a altura da planta, a partir do final do 2º mês, da seguinte maneira: 2º mês: 2.2=2 2 =4 2º mês: 2.2=2 2 =4 2º mês: 2.2=2 2 =4 Portanto, a altura da planta ao final do 4º mês será 16 cm. E qual será a altura dessa planta no final do mês do período? Utilizando um raciocínio semelhante, podemos calcular a altura da planta por meio da fórmula A=2. Observando essa fórmula, note que A é dado em função de, e que a variável independente está em um epoente. Essa é uma função eponencial. Mas antes de estudarmos as funções eponenciais, bem como as equações e inequações eponenciais, revisaremos o conceito de potenciação. 5.2) Potências e suas propriedades A operação de potenciação corresponde a uma multiplicação de fatores iguais =5 4 =625 Na potenciação podemos destacar os seguintes elementos: Epoente 5 4 =625 Potência Base 5.2.1) Potência com epoente natural Considere os números ( a0, a 1), mr, n N e, y, b R 78

2 n Definição: a a. a. a... a, ( n 1) n vezes. Eemplos:, ou seja, a potência n a é igual ao número a multiplicado por a 3 4 = =81 (-4) 0 =1 (-1/2) 3 =(-1/8) 5.2.3)Propriedades das Potências 0 a 1 para todo a não nulo y a a y a. a a a ( a ) y a y y a y a y. y ( a. b) a. b a a, claro para todo b não nulo b b 1 a a a m n n a m 5.3) Notação Científica Quando trabalhamos com números muito grandes ou muito pequenos, utilizamos uma escrita abreviada denominada notação científica. Os números representados com essa notação são escritos na forma a.10 n, em que: a é um número racional maior ou igual a 1 e menor que 10 n é um número inteiro Veja alguns eemplos de números escritos em notação científica. Massa da Lua: kg = 7, =7, Espessura de um fio de cabelo: 0,00007 metros 0,00007=7/100000= Tamanho de uma molécula de água: 0, m 0, =1/ = Área ocupada pelo Aquífero Guarani: Km 2 79

3 =1, =1, ) Função Eponencial A função eponencial é uma das funções matemáticas mais úteis e poderosas em estudos ambientais, aplicável, entre outros eemplos, ao crescimento das populações e das suas necessidades (consumo de recursos) e ao estudo de problemas como a acumulação de poluentes e ainda no crescimento financeiro e suas ações. Podemos observar que a função eponencial possui uma característica peculiar, de que ao longo do tempo, ela tende a duplicar os seus valores (quando crescente) ou reduzirem à metade (quando decrescente) ) Definição Seja ar, a 0, e a 1. Chamamos de Função Eponencial a função definida por: f : R R tal que f ( ) a Eemplos: f( ) 3 ; 1 f( ) 2 ; y (3,75) f Observe que a condição a 1 é necessária, pois, ( ) 1 1 seria uma função constante. Já a condição a 0 é necessária para garantir que a eponencial tenha domínio R. Por eemplo, se f( ) ( 2), não eistiria 1 f 2 ou 3 f 4 e assim por diante ) Gráfico da Função Eponencial f : R R tal que f ( ) a 1 Caso: Se a 1 2 Caso: Se 0a 1 80

4 Obs.: Veja que no primeiro caso a função é crescente, já no segundo ela decresce. Note ainda que em ambos os casos o gráfico da função f ( ) a não toca o eio- e além disso a eponencial sempre toca o eio-y no ponto y 1, isso ocorre pois 5.5.3) Principais propriedades da Função Eponencial (I) Domínio: D( f ) (II) Imagem: Im( f ) (III) Se 1 R R (ou seja, y 0) a então f é crescente Se 0a 1 então f é decrescente (IV) Não eiste R, tal que a 0 0 a., ou seja a função eponencial não tem raiz. Assim o gráfico se aproima do eio, mas não o intercepta. Dizemos então que o eio é uma assíntota horizontal. 1 (V) A função eponencial é bijetora. Como conseqüência é inversível (admite função inversa). (VI) A interseção do gráfico da função eponencial com o eio y é o ponto (0,1). (VII) A função eponencial é muito útil para descrever fenômenos nos quais os valores a serem calculados dependem do valor eistente em um determinado instante. Assim por eemplo, o crescimento populacional depende do número de indivíduos em um dado momento, a desintegração radioativa depende da quantidade eistente de substância num dado instante. A função eponencial é útil na Biologia (produção de bactérias), na Arqueologia (determinação da idade dos fósseis), na Economia (juros compostos), etc. 5.5) Equações Eponenciais São equações que possuem uma incógnita no epoente. São resolvidas fazendo com que suas bases fiquem iguais. A partir daí, é só igualar os epoentes e então, determinar o valor da incógnita. Basta usar as propriedades de potenciação ou de radiciação acima e pronto! As condições impostas à base de uma função eponencial a tornam uma função bijetora. Desse y a a y. Esta propriedade nos permite resolver uma série de equações cuja variável modo, se aparece no epoente, e por isso são chamada de equações eponenciais. Para resolver uma equação eponencial tente transformar a equação dada em outra equivalente, da forma a a y. Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação. 81

5 Eemplos: Resolva as equações. a) b) c) d) e) f) g) (0,1) 0 6 (0,1) 5.6) O NÚMERO e (número de EULER) Dada a seqüência abaio, calcularemos o seu valor para alguns valores de n. a n 1 1 n n Se n 1 então a1 2 Se n 2 então a2 2,25 Se n 3então a3 2,3703 Se n 10 então a10 2,5937 Se n 100 então a100 2,7048 Se n 1000 então a1000 2,7181 Se n então a ,71828 Quanto n tende para o infinito, o valor de representamos por e. Seu valor aproimado é e 2,71828 bastante utilizado como base da função eponencial f ( ) e a tende a se estabilizar em um número que n. O número e é irracional e é 82

6 5.7) Aplicações As aplicações mais comuns são: Decaimento radioativo: A radioatividade é um fenômeno que ocorre em núcleos de átomos instáveis por emitirem partículas e radiações. Núcleos instáveis em geral são grandes e, por isso, emitem partículas e radiação para tornarem-se estáveis. A medida de tempo na qual metade do material radioativo se desintegra é denominada meia-vida ou período de semidesintegração (P). O valor da meia-vida é sempre constante para um mesmo elemento químico radioativo. Assim, a cada período de tempo P a quantidade de material radioativo reduz-se à metade da anterior, sendo possível relacionar a quantidade de material radioativo a qualquer tempo com a quantidade inicial por meio de uma função do tipo eponencial: N(t)= N 0.( ) t/p, em que N 0 é a quantidade inicial de material radioativo, t é o tempo decorrido e P é o valor da meia-vida do material radioativo considerado. Crescimento populacional: O crescimento eponencial é característico de certos fenômenos naturais. No entanto, de modo geral não se apresenta na forma a, mas sim modificado por constantes características do fenômeno, como em f () = C. a k.. De um modo geral, a população, ou seja, o número de bactérias, mosquitos, cavalos, etc, eistentes num instante t é dado por uma lei eponencial. Ai também se inclui o crescimento ou decrescimento do dinheiro, da produção de uma indústria, etc. Datação por carbono 14: um dos métodos mais apurados para datar achados arqueológicos, ou seja, determinar a idade de objetos muito antigos, é o Método do Carbono 14 (C14 ), descoberto em O método é bem simples, todos os dias, raios cósmicos entram na atmosfera terrestre em grandes quantidades. Para se ter uma idéia, cada pessoa é atingida por cerca de meio milhão de raios cósmicos por hora. Assim, é comum um raio cósmico colidir com outro átomo na atmosfera e criar um raio cósmico secundário na forma de um nêutron energizado, e que esses nêutrons energizados, por sua vez, acabem colidindo com átomos de nitrogênio. Quando o nêutron colide, um átomo de nitrogênio 14 (com 7 prótons e 7 nêutrons) se transforma em um átomo de carbono 14 (6 prótons e 8 nêutrons) e um átomo de hidrogênio (1 próton e nenhum nêutron). Os átomos de C14 criados por raios cósmicos combinam-se com o oigênio para formar dióido de carbono, que as plantas absorvem naturalmente e incorporam às suas fibras por meio da fotossíntese. A quantidade de C14 presente nos tecidos de animais provém da ingestão de vegetais. Em qualquer tecido vivo, a quantidade de ingestão de C14 é igual à quantidade de C14 desintegrado (o C14 é uma molécula instável que se desintegra espontaneamente numa taa proporcional ao número de moléculas de C14 presentes na amostra). Quando um organismo morre, para de ingerir C14, portanto, sua concentração nos tecidos diminui, devido à desintegração. O carbono 14 é radioativo e tem meia-vida de cerca de anos. Acontece que, como a meia-vida do C14 é de apenas anos, ela só é confiável para datar objetos de até 60 mil anos. No entanto, o princípio usado na datação do carbono 14 também se aplica a outros isótopos. O potássio 40, por eemplo, tem meia-vida de 1,3 bilhão de anos, o urânio 235 tem meia-vida de 704 milhões de anos, o urânio 238 tem meia-vida de 4,5 bilhões de anos, o bório 232, com meia-vida de 14 bilhões de anos e o rubídio com meia-vida de 49 bilhões de anos. O uso de radioisótopos diferentes permite que a datação de amostras biológicas e geológicas seja feita com um alto grau de precisão. Contudo, a datação por esse processo pode não funcionar tão bem no futuro, já que qualquer coisa que tenha morrido após os anos 40, poderá sofrer alteração devido às bombas nucleares, reatores nucleares e testes nucleares a céu aberto. Pressão atmosférica: a Terra está envolvida por uma camada de ar, denominada atmosfera, constituída por uma mistura gasosa cujos principais componentes são o oigênio e o nitrogênio. A espessura dessa camada não pode ser perfeitamente determinada, porque à medida que aumenta a altitude, o ar se torna muito rarefeito, isto é com pouca densidade. O ar, sendo composto por moléculas, é atraído pela força da gravidade da Terra, e portanto, em peso. Se não o tivesse, escaparia da Terra, dispersando-se pelo espaço. devido ao seu peso, a atmosfera eerce uma pressão, chamada pressão atmosférica, sobre todos os objetos nela imersos. Assim, a pressão atmosférica é a força por unidade de área, eercida pelo ar contra uma superfície. Se a força eercida pelo ar aumenta num determinado ponto, a pressão também aumentará nesse ponto. A pressão atmosférica é medida através de um equipamento conhecido como barômetro. As unidades de medidas utilizadas são: polegada ou milímetros de mercúrio (mmhg) 83

7 quilopascal (kpa) O pascal (Pa) é a unidade padrão de pressão e tensão no S.I. Equivale à força de 1N (1 Newton) aplicada sobre a superfície de 1 m2. O nome dessa unidade é uma homenagem ao matemático e filósofo francês Blaise Pascal. hectopascal (hpa) milibar (bar) O bar é uma unidade de pressão e equivale (105 ) Pa atmosfera (atm) 1 atm corresponde a Pa ou 101,325 kpa Fonte: Wikipédia Ruídos: Um som de nível A de decibéis está relacionado com a sua intensidade i, através de uma equação eponencial. 5.8) Fiação 1) Calcule em : a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 1 2) Os números inteiros e y satisfazem = 3 y y. Então é: a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 3) O preço de um automóvel novo é P 0 (em reais). Ele sofre uma desvalorização de 10% ao ano. Epresse a lei que dá o preço P desse automóvel após n anos de uso. a) b) c) d) e) P = P 0. (0,8) n P = P 0. (0,81) n P = P 0. (0,1) n P = P 0. (0,9 )n P = P 0. (0,5) n 4) Num certo ano, uma passagem aérea entre São Paulo e Paris custava mil dólares. Dão pra frente, esse preço vem sofrendo reajustes anuais de 10%. Epresse a lei que dá o preço da passagem aérea entre São Paulo e Paris em função do tempo t, em anos. a) P = (1,1) t b) P = (1,001) t c) P = (1,2) t d) P = (1,01) t + 1 e) P = (1,01) t 5) A temperatura interna de uma geladeira (se ela não for aberta) segue a lei T(t) = 25. (0,8) t, onde t é o tempo (em minutos) em que permanece ligada e T é a temperatura (em graus Celsius). Qual é a temperatura interna da geladeira no instante em que ela foi ligada? Quantos graus Celsius essa temperatura alcançará dois minutos depois que a geladeira começar a funcionar? 84

8 a) 200 e 25 b) 25 e 20 c) 20 e 30 d) 25 e 16 e) 16 e 25 6)(Puccamp) Pesquisadores da Fundação Osvaldo Cruz desenvolveram um sensor a laser capaz de detectar bactérias no ar em até 5 horas, ou seja, 14 vezes mais rápido do que o método tradicional. O equipamento, que aponta a presença de micro-organismos por meio de uma ficha ótica, pode se tornar um grande aliado no combate às infecções hospitalares. Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei, na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura tinha 200 bactérias, ao fim de 8 horas o número delas era: a) b) c) d) e) ) (Mackenzie) O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas abaio, decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais próimo desse número é: a) b) c) d) e) ) (UFSM) Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou traíras na represa e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que o aumento das populações de lambaris e traíras ocorre, respectivamente, segundo as leis L(t)=L³10 T(t)=T³2, onde L³ é a população inicial de lambaris, T³, a população inicial de traíras e t, o número de anos que se conta a partir do ano inicial. Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos? a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 e) 3 85

9 9) (PUC-SP) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) a) 1998 b) 1999 c) 2000 d) 2001 e) ) (PUC-MG) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função: Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de bactérias depois de: a) 1 dia e 3 horas. b) 1 dia e 9 horas. c) 1 dia e 14 horas. d) 1 dia e 19 horas. 11) (UFF ) A população de marlim-azul foi reduzida a 20% da eistente há cinquenta anos (em 1953). Considerando que foi constante a razão anual (razão entre a população de um ano e a do ano anterior) com que essa população decresceu durante esse período, conclui-se que a população de marlim-azul, ao final dos primeiros vinte e cinco anos (em 1978), ficou reduzida a aproimadamente: a) 10% da população eistente em 1953 b) 20% da população eistente em 1953 c) 30% da população eistente em 1953 d) 45% da população eistente em 1953 e) 65% da população eistente em ) (UFLA) A tabela abaio fornece os dados simulados do crescimento de uma árvore. A variável X é o tempo em anos e Y, a altura em dm.o esboço do gráfico que melhor representa os dados da tabela é 86

10 13) (UFRJ) O gráfico que melhor representa a função mostrada na figura adiante, é: 14)(UFSCar SP-07) Para estimar a área da figura ABDO (sombreada no desenho), onde a curva AB é parte da representação gráfica da função f() = 2, João demarcou o retângulo OCBD e, em seguida, usou um programa de computador que plota pontos aleatoriamente no interior desse retângulo. Sabendo que dos 1000 pontos plotado, apenas 540 ficaram no interior da figura ABDO, a área estimada dessa figura, em unidades de área, é igual a: a) 4,32. b) 4,26. c) 3,92. d) 3,84. e) 3,52. 15)(Mogi-SP) O número N de decibéis e a potência I de um som medida em watts por centímetro quadrado estão relacionados pela fórmula I = N/10. O número de decibéis corresponde ao som provocado pelo tráfego pesado de veículos, cuja potência é estimada em 10-8 watts por centímetro quadrado, é igual a: (a) 40 (b) 80 (c) 60 (d) 120 (e) ) Suponha que, t minutos após injetar-se a primeira dose de uma medicação na veia de um paciente, a quantidade dessa medicação eistente na corrente sanguínea seja dada, em ml, pela função Q(t) = t/180 e que o paciente deva receber outra dose quando a medicação eistente em sua corrente sanguínea for igual a ¼ da quantidade que lhe foi injetada. Nessas condições, o intervalo de tempo, em horas, entre a primeira e a segunda dose da medicação, deverá ser igual a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 d) 10 17) Uma reserva florestal possui árvores. Determine em quantos anos a quantidade de árvores estará reduzida à oitava parte, se a função que representa a quantidade de árvores por ano é dada por: y (t) = t a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos 18) Estima-se que daqui a t anos o valor de uma fazenda seja igual a t milhares de reais. Após dois anos, a valorização (aumento de valor) em relação a hoje será: a) 4 milhões de reais b) 3, 5 milhões de reais c) 2 milhões de reais d) 1, 5 milhão de reais e) 1 milhão de reais 87

11 19) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r quilômetros a partir do seu centro, é dado por P(r)=k.2 3r, em que k é constante e r > 0. Se há habitantes num raio de 5km do centro, quantos habitantes há num raio de 3km do centro? a) b) c) d) e) )(Uni-Rio RJ-05) Você deiou sua conta negativa em R$ 100,00 em um banco que cobrava juros de 10% ao mês no cheque especial. Um tempo depois, você recebeu um etrato e observou que sua dívida havia duplicado. Sabe-se que a epressão que determina a dívida(em reais) em relação ao tempo t (em meses) é dada por: X(t) = 100 (1,10) t Após quantos meses a sua dívida duplicou? a) log1,10 2 b) log2 1,10 c) log 2 d) log 1,10 e) log 2,10 21)PUC SP-06) Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 250 mil litros? a) Nada se pode concluir, já que não é dada a quantidade despejada em b) Seis. c) Quatro. d) Dois. e) Um. 22)(UFPA PA-06) As unidades de formação da colônia (u.f.c.) de bactérias são dadas em função do tempo t, em horas, pela função C(t)=10 7.(1/5) 5t. Se numa determinada hora t a colônia possui 9766 u.f.c., dez minutos depois essa colônia terá: a) sido etinta. b) atingido seu crescimento máimo. c) aumentado. d) diminuído. e) permanecido constante. Gabarito: 1) a 2) c 3) d 4) a 5) d 6) b 7) b 8) e 9) e 10) e 11) a 12) d 13) c 14) b 15)b 16) c 17) b 18) a 19) 20) a 21) d 22) d 5.9) Pintou no ENEM (ENEM-2009) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a epectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faias percentuais. 88

12 Por eemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. Suponha que o modelo eponencial y = 363e 0,03, em que = 0 corresponde ao ano 2000, = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e Desse modo, considerando e 0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre A) 490 e 510 milhões. B) 550 e 620 milhões. C) 780 e 800 milhões. D) 810 e 860 milhões. E) 870 e 910 milhões. Resposta: E 5.10) Sessão Leitura Radioatividade A radioatividade é definida como a capacidade que alguns elementos fisicamente instáveis possuem de emitir energia sob forma de partículas ou radiação eletromagnética. A radioatividade foi descoberta no século XIX. Até esse momento predominava a ideia de que os átomos eram as menores partículas da matéria. Com a descoberta da radiação, os cientistas constataram a eistência de partículas ainda menores que o átomo, tais como: próton, 89

13 nêutron, elétron. Vamos rever um pouco dessa história? - No ano de 1896, o físico francês Antoine-Henri Becquerel ( ) observou que um sal de urânio possuía a capacidade de sensibilizar um filme fotográfico, recoberto por uma fina lâmina de metal. - Em 1897, a cientista polonesa Marie Sklodowska Curie ( ) provou que a intensidade da radiação é sempre proporcional à quantidade do urânio empregado na amostra, concluindo que a radioatividade era um fenômeno atômico. Anos se passaram e a ciência foi evoluindo até ser possível produzir a radioatividade em laboratório. Veja a diferença entre radiação natural e artificial: Radioatividade natural ou espontânea: é a que se manifesta nos elementos radioativos e nos isótopos que se encontram na natureza. Radioatividade artificial ou induzida: é aquela produzida por transformações nucleares artificiais. A radioatividade geralmente provém de isótopos como urânio-235, césio-137, cobalto-60, tório-232, que são fisicamente instáveis e radioativos, possuindo uma constante e lenta desintegração. Tais isótopos liberam energia através de ondas eletromagnéticas (raio gama) ou partículas subatômicas em alta velocidade: é o que chamamos de radiação. O contato da radiação com seres vivos não é o que podemos chamar de uma boa relação. Os efeitos da radiação podem ser em longo prazo, curto prazo ou apresentar problemas aos descendentes da pessoa infectada (filhos, netos). O indivíduo que recebe a radiação sofre alteração genética, que pode ser transmitida na gestação. Os raios afetam os átomos que estão presentes nas células, provocando alterações em sua estrutura. O resultado? Graves problemas de saúde como a perda das propriedades características dos músculos e da capacidade de efetuar as sínteses necessárias à sobrevivência. A radioatividade pode apresentar benefícios ao homem e por isso é utilizada em diferentes áreas. Na medicina, ela é empregada no tratamento de tumores cancerígenos; na indústria é utilizada para obter energia nuclear; e na ciência tem a finalidade de promover o estudo da organização atômica e molecular de outros elementos. Diversos estudos foram realizados acerca de elementos radioativos. Por meio deles, foi possível constatar que toda substancia radioativa sobre transmutação, ou seja, um decaimento radioativo, tendo sua quantidade de átomos, e consequentemente sua massa e atividade, diminuída com o passar do tempo. Para acompanhar esse decaimento, foi estabelecido como padrão o período necessário para que a quantidade de átomos radioativos, a massa e a atividade de um elemento sejam reduzidas à metade em relação à quantidade anterior, o que é designado por meia-vida. Em determinado momento, sua quantidade de átomos radioativos se torna tão insignificante que não permite mais distinguir suas radiações das presentes no meio ambiente. 90

14 1) Considerando uma amostra com 3g de iodo-131, cuja meia-vida é de 8 dias, quantos gramas de iodo-131 ainda haveria nessa amostra após: 8 dias? 16 dias? 24 dias? 32 dias? 2) Qual das funções determina a quantidade f de iodo-131 na amostra após dias? F()=3.(1/2) F()=3.(1/2) /8 F()=3.(1/2) )Referências MELLO,J. L.P. (2005). Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna SOUZA, Joamir. (2010). Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD PAIVA,Manoel. (2005). Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna Joaquim Rodrigues, Função Eponencial, disponível em < acesso 10/01/