INTRODUÇÃO: Muitas vezes na Ciência e na Matemática a informação é organizada em linhas e. Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

Transcrição

1 Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Conteúdo do Capítulo Introdução aos Sistemas de Equações Lineares Eliminação Gaussiana 3 Matrizes e Operações Matriciais 4 Inversas; Regras da Aritmética Matricial 5 Matrizes Elementares e um Método para Encontrar A 6 Mais Resultados sobre Sistemas de Equações e Invertibilidade 7 Matrizes Diagonais, Triangulares e Simétricas INTRODUÇÃO: Muitas vezes na Ciência e na Matemática a informação é organizada em linhas e colunas formando agrupamentos retangulares chamados matrizes Estas matrizes podem ser tabelas de dados numéricos surgidos de observações físicas, mas também ocorrem em vários contextos matemáticos Por exemplo, nós veremos neste capítulo que para resolver um sistema de equações tal como 5x + y = 3 x y = 4 toda a informação requerida para chegar à solução está encorpada na matriz [ 5 e que a solução pode ser obtida efetuando operações apropriadas nesta matriz Isto é particularmente importante no desenvolvimento de programas de computador para resolver sistemas de equações lineares, porque os computadores são muito bons para manipular coleções de números Contudo, as matrizes não são simplesmente uma ferramenta de notação para resolver sistemas de equações lineares; elas também podem ser vistas como objetos matemáticos de vida própria, existindo uma teoria rica e importante a elas associada que tem uma grande variedade de aplicações Neste capítulo nós iremos começar o estudo de matrizes ] 3 4 7

2 8 Álgebra Linear com Aplicações INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Os sistemas de equações algébricas lineares e suas soluções constituem um dos principais tópicos estudados em cursos conhecidos como de Álgebra Linear Nesta primeira seção nós iremos introduzir alguma terminologia básica e discutir um método para resolver estes sistemas Equações Lineares Qualquer linha reta no plano xy pode ser representada algebricamente por uma equação da forma onde a, a e b são constantes reais e a e a não são ambas nulas Uma equação desta forma é chamada uma equação linear nas variáveis x e y Mais geralmente, nós definimos uma equação linear nas n variáveis x, x,, x n como uma equação que pode ser expressa na forma onde a, a,, a n e b são constantes reais As variáveis de uma equação linear são, muitas vezes, chamadas incógnitas As equações a x + a y = b a x + a x + +a n x n = b EXEMPLO Equações Lineares x + 3y = 7, y = x + 3z + e x x 3x 3 + x 4 = 7 são lineares Observe que uma equação linear não envolve quaisquer produtos ou raízes de variáveis Todas as variáveis ocorrem somente na primeira potência e não aparecem como argumentos de funções trigonométricas, logarítmicas ou exponenciais As equações x + 3 y = 5, 3x + y z + xz = 4 e y = sen x são não-lineares Uma solução de uma equação linear a x + a x + + a n x n = b é uma seqüência de n números s, s,, s n tais que a equação é satisfeita quando substituímos x = s, x = s,, x n = s n O conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado seu conjunto-solução ou, às vezes, a solução geral da equação EXEMPLO Encontrando um Conjunto-Solução Encontre o conjunto-solução de (a) 4x y = e (b) x 4x + 7x 3 = 5 Solução (a) Para encontrar soluções de (a), nós podemos atribuir um valor arbitrário a x e resolver em y, ou escolher um valor arbitrário para y e resolver em x Seguindo a primeira abordagem e dando um valor arbitrário t para x, obtemos x = t, y = t Estas fórmulas descrevem o conjunto-solução em termos de um número arbitrário t, chamado parâmetro Soluções numéricas particulares podem ser obtidas substituindo t por valores específicos Por exemplo, t = 3 dá a solução x = 3, y = e t = dá a solução x =, y = 3 l Seguindo a segunda abordagem e dando um valor arbitrário t para y, obtemos Embora estas fórmulas sejam diferentes das obtidas acima, fornecem o mesmo conjunto-solução à medida que t varia sobre todos os valores reais possíveis Por exemplo, as fórmulas anteriores dão a solução x = 3, y = quando t = 3, enquanto as fór- mulas acima dão esta solução para t = Solução (b) Para encontrar o conjunto-solução de (b), nós podemos atribuir valores arbitrários a quaisquer duas variáveis e resolver na terceira variável Em particular, dando os valores arbitrários s e t para x e x 3, respectivamente, e resolvendo em x, nós obtemos x = 5 + 4s 7t, x = s, x 3 = t Sistemas Lineares Um conjunto finito de equações lineares nas variáveis x, x,, x n é chamado um sistema de equações lineares ou um sistema linear Uma seqüência de números s, s,, s n é chamada uma solução do sistema se x = s, x = s,, x n = s n é uma solução de cada equação do sistema Por exemplo, o sistema tem a solução x =, x =, x 3 = pois estes valores satisfazem ambas equações No entanto, x =, x = 8, x 3 = não é uma solução do sistema pois estes valores satisfazem apenas a primeira das duas equações do sistema Nem todos os sistemas de equações lineares têm solução Por exemplo, multiplicando a segunda equação do sistema por, torna-se evidente que não existem soluções, pois o sistema equivalente que resulta tem equações contraditórias Um sistema de equações que não possui solução é chamado inconsistente; se existir pelo menos uma solução do sistema, dizemos que ele é consistente Para ilustrar as possibilidades que podem ocorrer na resolução de sistemas de equações lineares, considere um sistema arbitrário de duas equações lineares nas incógnitas x e y: (a, b não ambas nulas) a x + b y = c x = t + 4, 4x x + 3x 3 = 3x + x + 9x 3 = 4 x + y = 4 x + y = 6 x + y = 4 x + y = 3 y = t a x + b y = c (a, b não ambas nulas) Os gráficos destas equações são retas, digamos, l e l Como um ponto (x, y) está na reta se, e somente se, os números x e y satisfazem a equação da reta, as soluções do sistema de equações correspondem a pontos de corte de l e l Existem três possibilidades, ilustradas na Figura :

3 Capítulo - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes 9 As retas l e l podem ser paralelas, caso em que não há interseção e conseqüentemente não existe nenhuma solução do sistema As retas l e l podem cortar-se em um único ponto, caso em que o sistema tem exatamente uma solução As retas l e l podem coincidir, caso em que existe uma infinidade de soluções do sistema l l y x y l l (a) Nenhuma solução (b) Uma solução (c) Infinitas soluções Figuras Embora nós aqui tenhamos considerado apenas duas equações em duas incógnitas, nós mostraremos mais tarde que as mesmas três possibilidades valem para sistemas de equações lineares arbitrários: Todo sistema de equações lineares tem ou nenhuma solução, ou exatamente uma, ou então uma infinidade de soluções Um sistema arbitrário de m equações lineares em n incógnitas pode ser escrito como a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m onde x, x,, x n são as incógnitas e as letras a e b com subscritos denotam constantes Por exemplo, um sistema geral de três equações lineares em quatro incógnitas pode ser escrito como a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 = b a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 = b a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 + a 34 x 4 = b 3 O subscrito duplo nos coeficientes das incógnitas é um recurso útil que é usado para especificar a localização do coeficiente no sistema O primeiro subscrito no coeficiente a i j indica a equação na qual o coeficiente ocorre e o segundo subscrito indica qual incógnita ele multiplica Assim, a ocorre na primeira equação e multiplica a incógnita x Matrizes Aumentadas Se nós mantivermos guardado na memória a localização dos sinais de soma, das variáveis e das constantes, poderemos abreviar a escrita de um sistema de m equações lineares em n incógnitas para: a a a n b a a a n b a m a m a mn b m x y l e l x Esta é chamada a matriz aumentada do sistema (Em Matemática, o termo matriz é utilizado para denotar uma coleção retangular de números As matrizes surgem em vários contextos, que consideraremos com mais detalhes em seções posteriores) Por exemplo, a matriz aumentada do sistema de equações é OBSERVAÇÃO Quando construímos a matriz aumentada, as incógnitas devem estar escritas na mesma ordem em cada equação e as constantes que não multiplicam incógnitas devem estar à direita O método básico de resolver um sistema de equações lineares é substituir o sistema dado por um sistema novo que tem o mesmo conjunto-solução mas que é mais simples de resolver Este sistema novo é geralmente obtido numa sucessão de passos aplicando os seguintes três tipos de operações para eliminar sistematicamente as incógnitas Multiplicar uma equação inteira por uma constante não-nula Trocar duas equações entre si 3 Somar um múltiplo de uma equação a uma outra equação Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada correspondem às equações no sistema associado, estas três operações correspondem às seguintes operações nas linhas da matriz aumentada Multiplicar uma linha inteira por uma constante nãonula Trocar duas linhas entre si 3 Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha Operações Elementares sobre Linhas Estas três operações são chamadas operações elementares sobre linhas O seguinte exemplo ilustra como estas operações podem ser usadas para resolver sistemas de equações lineares Como na próxima seção iremos desenvolver um procedimento sistemático para encontrar soluções, não é preciso ficar preocupado sobre o porquê dos passos tomados neste exemplo O esforço aqui deveria ser para entender as contas e a discussão EXEMPLO 3 Usando Operações Elementares sobre Linhas Na coluna da esquerda nós resolvemos um sistema de equações lineares operando nas equações do sistema e na coluna da direita nós resolvemos o mesmo sistema operando nas linhas da matriz aumentada x + y + z = 9 x + 4y 3z = 3x + 6y 5z = 0 x + x + x 3 = 9 x + 4x 3x 3 = 3x + 6x 5x 3 =

4 30 Álgebra Linear com Aplicações Some vezes a primeira equação à segunda para obter esquerda x + y + z = 9 y 7z = 7 3x + 6y 5z = 0 Some vezes a primeira linha à segunda para obter direita Multiplique a terceira equação por para obter x + y + z = 9 y 7 z = 7 z = 3 Multiplique a terceira linha por para obter Some 3 vezes a primeira equação à terceira para obter x + y + z = 9 y 7z = 7 3y z = 7 Some 3 vezes a segunda equação à terceira para obter x + y + z = 9 y 7 z = 7 z = 3 Some 3 vezes a primeira linha à terceira para obter Multiplique a segunda equação Multiplique a segunda linha por para obter por para obter x + y + z = 9 9 y 7 z = y z = Some 3 vezes a segunda linha à terceira para obter Some vez a segunda equação à primeira para obter x + z = 35 y 7 z = 7 z = 3 Some vez a segunda linha à primeira para obter Some vezes a terceira Some vezes a terceira linha 7 7 equação à primeira e vezes à primeira e vezes a terceira a terceira equação à segunda para obter equação à segunda para obter x = 0 0 y = 0 0 z = A solução x =, y =, z = 3 pode, agora, ser visualizada Conjunto de Exercícios Quais das seguintes equações são lineares em x, x e x 3? (a) x + 5x x 3 = (b) x + 3x + x x 3 = (c) x = 7x + 3x 3 (d) x + x + 8x 3 = 5 (e) x 3/5 x + x 3 = 4 (f ) πx x + x 3 3 = 7 /3 Sabendo que k é uma constante, quais das seguintes equações são lineares? (a) x x + x 3 = sen k (b) kx k x = 9 (c) k x + 7x x 3 = 0 3 Encontre o conjunto-solução de cada uma das seguintes equações lineares (a) 7x 5y = 3 (b) 3x 5x + 4x 3 = 7 (c) 8x + x 5x 3 + 6x 4 = (d) 3v 8w + x y + 4z = 0 4 Encontre a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares (a) 3x x = 4x + 5x = 3 7x + 3x = (b) x + x 3 = 3x x + 4x 3 = 7 6x + x x 3 = 0 (c) x + x x 4 + x 5 = 3x + x 3 x 5 = x 3 + 7x 4 = 5 Encontre o sistema de equações lineares correspondendo à matriz aumentada (a) (b) (c) (d) (a) Encontre uma equação linear nas variáveis x e y que tem x = 5 + t, y = t como solução geral (b) Mostre que x = t, y = t 5 também é a solução geral da equação da parte (a) (d) x = x = x 3 = 3

5 7 A curva y = ax + bx + c mostrada na figura passa pelos pontos (x, y ), (x, y ) e (x 3, y 3 ) Mostre que os coeficientes a, b e c são uma solução do sistema de equações lineares cuja matriz aumentada é x y x y y = ax + bx + c x x y (x 3, y 3 ) x3 x 3 y 3 (x, y ) 8 Considere o sistema de equações x + y + z = a x + z = b x + y + 3z = c Mostre que para este sistema ser consistente, as constantes a, b e c devem satisfazer c = a + b 9 Mostre que se as equações lineares x + kx = c e x + lx = d têm o mesmo conjunto-solução, então as equações são idênticas Discussão e Descoberta 0 Para quais valores da constante k o sistema x y = 3 x y = k não tem solução? Exatamente uma solução? Infinitas soluções? Explique seu raciocínio Considere o sistema de equações ax + by = k cx + dy = l ex + fy = m (x, y ) x Capítulo - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes 3 Figura Ex-7 O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas ax + by = k, cx + dy = l e ex + fy = m, quando (a) o sistema não tem solução; (b) o sistema tem exatamente uma solução; (c) o sistema tem infinitas soluções? Se o sistema do Exercício for consistente, explique por que pelo menos uma das equações poderá ser descartada do sistema sem alterar o conjunto-solução 3 Se k = l = m no Exercício, explique por que o sistema deve ser consistente O que pode ser dito sobre o ponto de corte das três retas se o sistema tem exatamente uma solução? ELIMINAÇÃO GAUSSIANA Nesta seção nós vamos desenvolver um procedimento sistemático para resolver sistemas de equações lineares O procedimento é baseado na idéia de reduzir a matriz aumentada de um sistema a uma outra matriz aumentada que seja suficientemente simples a ponto de permitir visualizar a solução Forma Escalonada No Exemplo 3 da última seção nós resolvemos um sistema linear nas incógnitas x, y e z reduzindo a matriz aumentada à forma a partir da qual a solução x =, y =, z = 3 ficou evidente Isto é um exemplo de uma matriz que está em forma escalonada reduzida por linhas Para ser desta forma, uma matriz deve ter as seguintes propriedades: Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não-nulo da linha é um Chamamos este número de líder ou pivô Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz 3 Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o líder da linha inferior ocorre mais à direita que o líder da linha superior 4 Cada coluna que contém um líder tem zeros nas demais entradas Dizemos que uma matriz que tem as três primeiras propriedades está em forma escalonada por linhas, ou simplesmente, em forma escalonada (Assim, uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas necessariamente está em forma escalonada, mas não reciprocamente)

6 3 Álgebra Linear com Aplicações EXEMPLO Formas Escalonada e Escalonada Reduzida por Linhas As seguintes matrizes estão em forma escalonada reduzida por linhas , 0 0 As seguintes matrizes estão em forma escalonada , 0 0 Nós deixamos para você a tarefa de confirmar que cada uma das matrizes deste exemplo satisfaz todos os requisitos exigidos EXEMPLO Mais sobre Formas Escalonada e Escalonada Reduzida por Linhas Como o último exemplo ilustra, uma matriz em forma escalonada tem zeros abaixo de cada líder, enquanto que uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abaixo e acima de cada líder Assim, colocando qualquer número real no lugar dos asteriscos, as matrizes dos seguintes tipos estão em forma escalonada: * * * 0 * * 0 0 *, * * * 0 * * , Além disto, as matrizes dos seguintes tipos estão em forma escalonada reduzida por linhas: , * * 0 * * , , , , , * * * 0 * * 0 0 *, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 * 0 0 * 0 0 *, * * * 0 * * * 0 * * * 0 * * * 0 * * Se a matriz aumentada de um sistema de equações lineares for colocada em forma escalonada reduzida por linhas por meio de uma seqüência de operações elementares, então a solução do sistema está visível ou então se torna visível depois de uns poucos passos simples O próximo exemplo ilustra isto EXEMPLO 3 Soluções de Quatro Sistemas Lineares Suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada reduzida por linhas dada Resolva o sistema (a) (c) Solução (a) O sistema de equações correspondente é x = 5 x = x 3 = 4 Por inspeção, x = 5, x =, x 3 = 4 Solução (b) O sistema de equações correspondente é x + 4x 4 = x + x 4 = 6 x 3 + 3x 4 = Como x, x e x 3 correspondem a líderes na matriz aumentada, dizemos que estas variáveis são variáveis líderes As variáveis não-líderes (neste caso, só x 4 ) são chamadas variáveis livres Resolvendo as variáveis líderes em termos das variáveis livres, obtemos x = 4x 4 x = 6 x 4 x 3 = 3x 4 A partir deste formato das equações nós vemos que podemos dar um valor arbitrário à variável livre x 4, digamos t, que então determina os valores das variáveis líderes x, x e x 3 Resulta, assim, que há uma infinidade de soluções e que a solução geral é dada pela fórmula x = 4t, x = 6 t, x 3 = 3t, x 4 = t Solução (c) A linha de zeros leva à equação 0x + 0x + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 0, que não coloca restrições às soluções (por quê?) Assim, podemos omitir esta equação e escrever o sistema correspondente como x + 6x + 4x 5 = x 3 + 3x 5 = Aqui, as variáveis líderes são x, x 3 e x 4 e as variáveis livres são x e x 5 Resolvendo as variáveis líderes em termos das variáveis livres obtemos x = 6x 4x 5 x 3 = 3x 5 x 4 = 5x (b) (d) x 4 + 5x 5 =

7 Capítulo - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes 33 Como a x 5 pode ser atribuído um valor arbitrário t, e a x pode ser atribuído um valor arbitrário s, existem infinitas soluções A solução geral é dada pelas fórmulas x = 6s 4t, x = s, x 3 = 3t, x 4 = 5t, x 5 = t Solução (d) A última equação do sistema correspondente é Como esta equação não pode ser resolvida, não existe solução para o sistema Métodos de Eliminação Nós acabamos de ver como é fácil resolver um sistema de equações lineares tão logo sua matriz aumentada estiver em forma escalonada reduzida por linhas Agora nós iremos dar um procedimento de eliminação passo a passo que pode ser usado para reduzir qualquer matriz à forma escalonada À medida que enunciamos cada passo, iremos ilustrá-lo reduzindo a seguinte matriz à forma escalonada reduzida por linhas Passo Localize a coluna mais à esquerda que não seja constituída inteiramente de zeros Coluna não-nula mais à esquerda Passo Permute a primeira linha com uma outra linha, se necessário, para obter uma entrada não-nula ao topo da coluna encontrada no Passo Passo 3 Se a entrada que agora está no topo da coluna encontrada no Passo é a, multiplique a primeira linha inteira por /a para introduzir um líder Passo 4 Some múltiplos convenientes da primeira linha às linhas inferiores para obter zeros em todas as entradas abaixo do líder x + 0x + 0x 3 = Foram permutadas a primeira e a segunda linhas da matriz precedente A primeira linha da matriz precedente foi multiplicada por / vezes a primeira linha da matriz precedente foi somada à terceira linha Passo 5 Agora esconda a primeira linha da matriz e recomece aplicando o Passo à submatriz resultante Continue desta maneira até que toda a matriz esteja em forma escalonada Coluna não-nula mais à esquerda da submatriz A primeira linha da submatriz foi multiplicada por / para introduzir um m líder Coluna não-nula mais à esquerda da nova submatriz A matriz toda está agora em forma escalonada Para obter a forma escalonada reduzida por linhas precisamos de mais um passo Passo 6 Começando com a última linha não-nula e trabalhando para cima, some múltiplos convenientes de cada linha às linhas superiores para introduzir zeros acima dos líderes vezes a primeira linha da submatriz foi somada à segunda linha da submatriz para introduzir um zero debaixo do líder A linha superior da submatriz foi tratada e retornamos ao Passo A primeira (e única) linha da nova submatriz foi multiplicada por para introduzir um líder 7/ vezes a terceira linha da matriz precedente foi somada à segunda linha 6 vezes a terceira linha foi somada à primeira linha 5 vezes a segunda linha foi somada à primeira linha A última matriz está na forma escalonada reduzida por linhas Se nós usarmos somente os cinco primeiros passos, o procedimento acima, chamado eliminação gaussiana, produzirá uma forma escalonada O procedimento até o sexto passo, que produz uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas, é chamado eliminação de Gauss-Jordan OBSERVAÇÃO Pode ser mostrado que toda matriz tem uma única forma escalonada reduzida por linhas; ou seja, sempre chegamos à mesma forma escalonada reduzida por linhas para uma dada matriz, não importa como variamos as operações sobre linhas (Uma prova deste resultado pode ser encontrada no artigo The Reduced Row Echeleon Form of a Matrix Is Unique: A

8 34 Álgebra Linear com Aplicações Karl Friedrich Gauss Wilhelm Jordan Karl Friedrich Gauss ( ) foi um cientista e matemático alemão Às vezes chamado príncipe dos matemáticos, Gauss é colocado junto a Newton e Arquimedes como um dos três maiores matemáticos de todos os tempos Em toda a história da Matemática, talvez nunca tenha havido uma criança tão precoce como Gauss por sua própria iniciativa desenvolveu os rudimentos da aritmética antes mesmo de começar a falar Certo dia, antes de completar três anos, seu gênio se mostrou a seus pais de uma maneira muito dramática Seu pai estava preparando a folha de pagamento semanal dos trabalhadores sob seu encargo enquanto o garoto observava quieto desde um canto Quando seu pai terminou a longa e tediosa conta, Gauss informou-lhe que havia um erro no resultado e forneceu a resposta que ele havia calculado de cabeça Para grande surpresa dos pais, uma verificação da conta mostrou que Gauss estava certo! Em sua tese de Doutorado, Gauss deu a primeira prova completa do Teorema Fundamental da Álgebra, que afirma que o número de soluções de cada equação polinomial coincide com o seu grau Aos 9 anos de idade, resolveu um problema que frustrou Euclides, inscrevendo um polígono regular de dezessete lados em um círculo usando somente régua e compasso; e em 80, aos 4 anos, ele publicou sua primeira obra-prima, Disquisi-tiones Arithmeticae, considerada por muitos como uma das mais brilhantes realizações matemáticas Neste trabalho, Gauss sistematizou o estudo da Teoria de Números (propriedades dos inteiros) e formulou os conceitos básicos que constituem o fundamento deste assunto Entre suas inúmeras realizações, Gauss descobriu a assim chamada curva de Gauss, ou em forma de sino, que é fundamental em Probabilidade, deu a primeira interpretação geométrica dos números complexos e estabeleceu seu papel fundamental na Matemática, desenvolveu métodos para caracterizar superfícies de maneira intrínseca por meio de curvas nestas superfícies, desenvolveu a teoria das aplicações conformes (as que preservam ângulo) e descobriu a geometria não-euclidiana 30 anos antes destas idéias serem publicadas por outros Na Física, ele deu contribuições relevantes à teoria de lentes e à ação capilar e, com Wilhelm Weber, realizou trabalho fundamental em eletromagnetismo Gauss inventou o heliotrópio, o magnetômetro bifilar e um eletrotelégrafo Gauss era profundamente religioso e aristocrático em sua conduta Ele dominava línguas estrangeiras com facilidade, lia extensivamente e apreciava mineralogia e botânica como hobby Ele não gostava de lecionar e era em geral frio e desencorajador com outros matemáticos, possivelmente por que ele já havia antecipado seus trabalhos Diz-se que se Gauss tivesse publicado todos suas descobertas, o estado atual da Matemática estaria 50 anos à frente Ele foi, sem duvida, o maior matemático da era moderna Wilhelm Jordan (84 899) foi um engenheiro alemão especializado em Geodesia Sua contribuição à resolução de sistemas lineares apareceu em seu livro popular, Handbuch der Vermessungskunde (Manual da Geodesia) em 888 Simple Proof, de Thomas Yuster, Mathematics Magazine, Vol 57, No, 984, páginas 93-94) Por outro lado, uma forma escalonada de uma dada matriz não é única: diferentes seqüências de operações sobre linhas podem produzir formas escalonadas diferentes EXEMPLO 4 Resolva por eliminação de Gauss-Jordan Solução x + 3x x 3 + x 5 = 0 x + 6x 5x 3 x 4 + 4x 5 3x 6 = A matriz aumentada do sistema é Eliminação de Gauss-Jordan 5x 3 + 0x 4 + 5x 6 = 5 x + 6x + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 = Somando vezes a primeira linha à segunda e quarta linhas dá Multiplicando a segunda linha por e depois somando 5 vezes a nova segunda linha à terceira linha e 4 vezes a nova segunda linha à quarta linha dá

9 Capítulo - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes 35 Permutando as terceira e quarta linhas e então multiplicando a terceira linha da matriz resultante por dá a forma escalonada Somando 3 vezes a terceira linha à segunda linha e depois somando vezes a segunda linha da matriz resultante à primeira linha fornece a forma escalonada reduzida por linhas O sistema de equações correspondente é (Nós descartamos a última equação, 0x + 0x + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 0, pois ela é automaticamente satisfeita pelas soluções das demais equações) Resolvendo as variáveis líderes, obtemos x = 3x 4x 4 x 5 x 3 = x 4 x 6 = 3 Se dermos os valores arbitrários r, s e t às variáveis livres x, x 4 e x 5, respectivamente, então a solução geral é dada pelas fórmulas x = 3r 4s t, x = r, x 3 = s, x 4 = s, x 5 = t, x 6 = 3 Retro-substituição Às vezes é preferível resolver um sistema de equações lineares por eliminação gaussiana para levar a matriz aumentada à forma escalonada sem continuar até chegar à forma escalonada reduzida por linhas Quando isto é feito, o correspondente sistema de equações pode ser resolvido por uma técnica chamada retro-substituição O próximo exemplo ilustra esta idéia EXEMPLO 5 O Exemplo 4 Resolvido por Retro-substituição Das contas do Exemplo 4, uma forma escalonada da matriz aumentada é Para resolver o sistema de equações correspondente x + 3x x 3 + x 5 = 0 x 3 + x 4 + 3x 6 = nós procedemos da seguinte maneira: x + 3x + 4x 4 + x 5 = 0 x 3 + x 4 = 0 x 6 = 3 x 6 = 3 Passo Resolva as equações para as variáveis líderes Passo Começando com a equação de baixo e trabalhando para cima, substitua sucessivamente cada equação em todas as equações acima dela Substituindo x 6 = 3 na segunda equação dá Substituindo x 3 = x 4 na primeira equação, dá Passo 3 Atribua valores arbitrários às variáveis livres, se houver Atribuindo os valores arbitrários r, s e t a x, x 4 e x 5, respectivamente, a solução geral é dada pelas fórmulas x = 3r 4s t, x = r, x 3 = s, x 4 = s, x 5 = t, x 6 = 3 Isto confere com a solução obtida no Exemplo 4 OBSERVAÇÃO Os valores arbitrários que atribuímos às variáveis livres são, muitas vezes, chamados parâmetros Nós geralmente usamos as letras r, s, t, para os parâmetros, mas também podem ser usadas quaisquer letras que não entrem em conflito com as variáveis EXEMPLO 6 Resolva por eliminação gaussiana e retro-substituição Solução Este é o sistema do Exemplo 3 da Seção Naquele exemplo, nós convertemos a matriz aumentada à forma escalonada x = 3x + x 3 x 5 x 3 = x 4 3x 6 x 6 = 3 x = 3x + x 3 x 5 x 3 = x 4 x 6 = 3 x = 3x 4x 4 x 5 x 3 = x 4 x 6 = 3 Eliminação Gaussiana x + y + z = 9 x + 4y 3z = 3x + 6y 5z = O sistema correspondente a esta matriz é

10 36 Álgebra Linear com Aplicações Substituindo a equação de baixo nas que estão acima, dá e substituindo a segunda equação na de cima fornece x =, y =, z = 3 Isto confere com o resultado obtido pela eliminação de Gauss-Jordan no Exemplo 3 da Seção Sistemas Lineares Homogêneos Um sistema de equações lineares é dito homogêneo se os termos constantes são todos zero; ou seja, o sistema tem a forma Cada sistema homogêneo de equações lineares é consistente, pois todos sistemas homogêneos têm x = 0, x = 0,, x n = 0 como uma solução Esta solução é chamada solução trivial ou solução nula; se há outras soluções, estas são chamadas nãotriviais Como um sistema linear homogêneo sempre tem a solução trivial, só existem duas possibilidades para suas soluções: O sistema tem somente a solução trivial O sistema tem infinitas soluções além da solução trivial No caso especial de um sistema linear homogêneo de duas equações em duas incógnitas, digamos a x + b y = 0 (a, b não ambas nulas) a x + b y = 0 (a, b não ambas nulas) os gráficos das equações são retas pela origem, e a solução trivial corresponde ao ponto de corte na origem (Figura ) (a) Somente a solução trivial Figura y a x + b y = 0 a x + b y = 0 x + y + z = 9 y 7 z = 7 z = 3 x = 9 y z y = z z = 3 a x + a x + + a n x n = 0 a x + a x + + a n x n = 0 a m x + a m x + + a mn x n = 0 x (b) Infinitas soluções Há um caso no qual um sistema homogêneo garantidamente tem soluções não-triviais, a saber, sempre que o sistema envolve mais incógnitas que equações Para ver por que, considere o seguinte exemplo de quatro equações em cinco incógnitas y a x + b y = 0 e a x + b y = 0 x EXEMPLO 7 Resolva o seguinte sistema homogêneo de equações lineares usando eliminação de Gauss-Jordan Solução A matriz aumentada para o sistema é Reduzindo esta matriz à forma escalonada reduzida por linhas, obtemos O sistema de equações correspondente é Resolvendo para as variáveis líderes, obtemos Assim, a solução geral é Eliminação de Gauss-Jordan x + x x 3 + x 5 = 0 x x + x 3 3x 4 + x 5 = 0 x + x x 3 x 5 = x + x + x 5 = 0 x 3 + x 5 = 0 x = x x 5 x 3 = x 5 x 4 = 0 x 3 + x 4 + x 5 = 0 x 4 = 0 x = s t, x = s, x 3 = t, x 4 = 0, x 5 = t Note que a solução trivial é obtida quando s = t = 0 O Exemplo 7 ilustra dois aspectos importantes sobre resolução de sistemas homogêneos de equações lineares O primeiro é que nenhuma das operações elementares sobre linhas altera a coluna final de zeros da matriz aumentada, de modo que o sistema de equações correspondente à forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada também deve ser um sistema homogêneo [ver sistema ()] O segundo é que, dependendo da forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada ter alguma linha nula, o número de equações no sistema reduzido é menor do que ou igual ao número de equações do sistema original [compare os sistemas () e ()] Assim, se o sistema homogêneo dado tiver m equações em n incógnitas com m < n, e se há r linhas não-nulas na forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada, nós teremos r < n Segue-se () ()

11 Capítulo - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes 37 que o sistema de equações correspondente à forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada terá a forma onde x k, x k,, x kr são as variáveis líderes e S( ) denota as somas (possivelmente todas distintas) que envolvem as n r variáveis livres [compare o sistema (3) com o sistema () acima] Resolvendo para as variáveis líderes, obtemos Como no Exemplo 7, podemos atribuir valores arbitrários às variáveis livres do lado direito e assim obter infinitas soluções do sistema Resumindo, nós temos o importante teorema a seguir Teorema x k + ( ) = 0 x k + ( ) = 0 x k = ( ) x k = ( ) x kr = ( ) x kr + ( ) = 0 Um sistema homogêneo de equações lineares com mais incógnitas que equações tem infinitas soluções OBSERVAÇÃO Note que o Teorema aplica somente a sistemas homogêneos Um sistema não-homogêneo com mais incógnitas que equações não precisa ser consistente (Exercício 8); contudo, se o sistema for consistente, terá infinitas soluções Isto será provado mais tarde (3) Soluções Computacionais de Sistemas Lineares Em aplicações não é incomum encontrar sistemas lineares grandes que precisam ser resolvidos por computador A maioria dos algoritmos computacionais para resolver estes sistemas são baseados na eliminação gaussiana ou na eliminação de Gauss- Jordan, mas os procedimentos básicos são muitas vezes modificados para comportar problemas tais como Redução de erros de arredondamento Minimização do uso de espaço de memória do computador Resolução do sistema com rapidez máxima Alguns desses assuntos serão considerados no Capítulo 9 Fazendo cálculos à mão, as frações constituem um aborrecimento que muitas vezes não pode ser evitado Contudo, em alguns casos é possível evitar as frações variando as operações elementares sobre linhas da maneira correta Assim, uma vez que as técnicas da eliminação gaussiana e da eliminação de Gauss-Jordan tiverem sido dominadas, o leitor poderá querer variar os passos em problemas específicos para evitar frações (ver Exercício 8) OBSERVAÇÃO Como a eliminação de Gauss-Jordan evita o uso de retro-substituição, poderia parecer que este método é o mais eficiente dos dois métodos que nós consideramos Pode ser argumentado que esta afirmação é verdadeira quando resolvemos manualmente sistemas pequenos, pois a eliminação de Gauss-Jordan na verdade envolve escrever menos Contudo, mostra-se que ambos métodos requerem o mesmo número de operações Esta é uma consideração importante quando usamos computadores para obter soluções de grandes sistemas de equações Para maiores detalhes, o leitor pode consultar a Seção 98 Conjunto de Exercícios Quais das seguintes matrizes 3 3 estão em forma escalonada reduzida por linhas? (a) 0 0 (b) 0 0 (c) 0 0 (d) (f ) 0 0 (g) 0 0 (h) 0 3 (i) (e) (j) Quais das seguintes matrizes 3 3 estão em forma escalonada? (a) 0 0 (b) 0 0 (c) (e) 0 (f ) (d)

12 38 Álgebra Linear com Aplicações 3 Em cada parte, determine se a matriz está em forma escalonada, escalonada reduzida por linhas, ambas ou nenhuma das duas (a) (b) (c) (d) (e) (f ) Em cada parte, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada reduzida por linhas dada Resolva o sistema (a) (b) (c) (d) Em cada parte, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada dada Resolva o sistema (a) 0 (b) (c) (d) Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan (a) x + x + x 3 = 8 x x + 3x 3 = 3x 7x + 4x 3 = 0 (c) x y + z w = x + y z w = x + y 4z + w = 3x 3w = 3 7 Resolva cada um dos sistemas do Exercício 6 por eliminação gaussiana 8 Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan (a) x 3x = x + x = 3x + x = (c) 4x 8x = 3x 6x = 9 x + 4x = 6 9 Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana 0 Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan (a) 5x x + 6x 3 = 0 x + x + 3x 3 = (b) x + x + x 3 = 0 x + 5x + x 3 = 8x + x + 4x 3 = (d) b + 3c = 3a + 6b 3c = 6a + 6b + 3c = 5 (b) 3x + x x 3 = 5 5x + 3x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 6x 4x + x 3 = 30 (d) 0y 4z + w = x + 4y z + w = 3x + y + z + w = 5 x 8y + z w = 4 x 6y + 3z = (b) x x + x 3 4x 4 = x + 3x + 7x 3 + x 4 = x x x 3 6x 4 = 5 (c) w + x y = 4 x y = 3 w + 3x y = 7 u + 4v + w + 7x = 7

13 Resolva cada um dos sistemas do Exercício 0 por eliminação gaussiana Sem utilizar papel e lápis, determine quais dos seguintes sistemas homogêneos têm soluções não-triviais (a) x 3x + 4x 3 x 4 = 0 7x + x 8x 3 + 9x 4 = 0 x + 8x + x 3 x 4 = 0 (c) a x + a x + a 3 x 3 = 0 a x + a x + a 3 x 3 = 0 3 Reolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método (a) x + x + 3x 3 = 0 x + x = 0 x + x 3 = 0 4 Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método (a) x y 3z = 0 x + y 3z = 0 x + y + 4z = 0 5 Resolva os seguintes sistemas por qualquer método (a) I I + 3I 3 + 4I 4 = 9 I I 3 + 7I 4 = 3I 3I + I 3 + 5I 4 = 8 I + I + 4I 3 + 4I 4 = 0 6 Resolva os seguintes sistemas, onde a, b e c são constantes (a) x + y = a 3x + 6y = b 7 O sistema seguinte não tem soluções para quais valores de a? Exatamente uma solução? Infinitas soluções? x + y 3z = 4 8 Reduza à forma escalonada reduzida por linhas sem introduzir quaisquer frações 9 Obtenha duas formas escalonadas por linha diferentes de Resolva o seguinte sistema de equações não-lineares para os ângulos incógnitos a, b e g, onde 0 a p, 0 b p e 0 g < p sen α cos β + 3tgγ = 3 6 sen α 3 cos β + tg γ = 9 Mostre que o seguinte sistema não-linear tem 8 soluções se 0 a p, 0 b p e 0 g < p Para que valor(es) de l o sistema de equações tem soluções não-triviais? (b) x + x + x 3 = a x + x 3 = b 3x + 3x 3 = c 3x y + 5z = 4x + y + (a 4)z = a (b) 3x + x + x 3 + x 4 = 0 5x x + x 3 x 4 = 0 (b) v + 3w x = 0 u + v 4w + 3x = 0 u + 3v + w x = 0 4u 3v + 5w 4x = 0 4 sen α + cos β tgγ = sen α + cos β + 3tgγ = 0 sen α + 5cosβ + 3tgγ = 0 sen α 5cosβ + 5tgγ = 0 (λ 3)x + y = 0 x + (λ 3)y = 0 (b) x + 3x x 3 = 0 x 8x 3 = 0 4x 3 = 0 (d) 3x x = 0 6x 4x = 0 (b) Z 3 + Z 4 + Z 5 = 0 Z Z + Z 3 3Z 4 + Z 5 = 0 Z + Z Z 3 Z 5 = 0 Z + Z Z 3 + Z 5 = 0 Capítulo - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes 39 (c) x + y + 4z = 0 w y 3z = 0 w + 3x + y + z = 0 w + x + 3y z = 0 (c) x + 3x + x 4 = 0 x + 4x + x 3 = 0 x x 3 x 4 = 0 x 4x + x 3 + x 4 = 0 x x x 3 + x 4 = 0

14 40 Álgebra Linear com Aplicações 3 Resolva o sistema x x = λx x x + x 3 = λx x + x + x 3 = λx 3 para x, x e x 3 nos dois casos l = e l = 4 Resolva o seguinte sistema para x, y e z x + y 4 z = x + 3 y + 8 z = 0 x + 9 y + 0 z = 5 5 Encontre coeficientes a, b, c e d tais que a curva mostrada na figura é o gráfico da equação y = ax 3 + bx + cx + d 6 Encontre coeficientes a, b, c e d tais que a curva mostrada na figura é dada pela equação ax + ay + bx + cy + d = 0 y (, 7) y 0 (0, 0) (, 7) 6 0 Figura Ex-5 (3, ) (4, 4) 7 (a) Mostre que se ad bc 0, então a forma escalonada reduzida por linhas de a b 0 é c d 0 x ( 4, 5) Figura Ex-6 (4, 3) x (b) Use a parte (a) para mostrar que o sistema ax + by = k cx + dy = l tem exatamente uma solução quando ad bc 0 8 Encontre um sistema linear inconsistente que tem mais incógnitas do que equações Discussão e Descoberta 9 Discuta as formas escalonadas reduzidas por linhas possíveis de a b c d e f g h i 30 Considere o sistema de equações ax + by = 0 cx + dy = 0 ex + fy = 0 Discuta as posições relativas das retas ax + by = 0, cx + dy = 0 e ex + f y = 0 quando o sistema (a) tem somente a solução trivial e (b) tem soluções não-triviais 3 Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo (a) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada reduzida por linhas por duas seqüências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes (b) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada por duas seqüências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes

15 Capítulo - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes 4 (c) Se a forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz aumentada de um sistema linear tiver uma linha de zeros, então o sistema deve possuir uma infinidade de soluções (d) Se três retas do plano xy são lados de um triângulo, então o sistema de equações formado pelas suas equações tem três soluções, uma correspondendo a cada vértice 3 Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo (a) Um sistema linear de três equações em cinco incógnitas é consistente (b) Um sistema linear de cinco equações em três incógnitas não pode ser consistente (c) Se um sistema linear de n equações em n incógnitas tiver n entradas líder na forma escalonada reduzida por linhas de sua matriz aumentada, então o sistema terá exatamente uma solução (d) Se um sistema linear de n equações em n incógnitas tiver duas equações que são múltiplas uma da outra, então o sistema será inconsistente 3 MATRIZES E OPERAÇÕES MATRICIAIS Coleções retangulares de números reais aparecem em muitos contextos, não só como a matriz aumentada de um sistema de equações lineares Nesta seção nós vamos começar nosso estudo da teoria das matrizes dando algumas das definições fundamentais do assunto Nós vamos ver como as matrizes podem ser combinadas através das operações aritméticas de adição, subtração e multiplicação Notação e Terminologia Matricial Na Seção nós usamos agrupamentos retangulares de números, denominados matrizes aumentadas, para abreviar a escrita de sistemas de equações lineares Contudo, agrupamentos retangulares de números ocorrem também em outros contextos Por exemplo, a seguinte coleção retangular de três linhas e sete colunas pode descrever o número de horas que um estudante gastou estudando três matérias durante uma certa semana: Matemática História Línguas Se nós suprimirmos os títulos, ficaremos com a seguinte coleção retangular de números com três linhas e sete colunas, denominada matriz: Mais geralmente, fazemos a seguinte definição Definição Seg 0 4 Ter Qua Qui Sex Sab Dom Uma matriz é um agrupamento retangular de números Os números neste agrupamento são chamados entradas da matriz EXEMPLO Alguns exemplos de matrizes são 3 0, [ 0 3], 4 O tamanho de uma matriz é descrito em termos do número de linhas (fileiras horizontais) e de colunas (fileiras verticais) que contém Por exemplo, a primeira matriz do Exemplo tem três linhas e duas colunas, portanto seu tamanho é 3 por (e escrevemos 3 ) Numa descrição de tamanho, o primeiro número sempre denota o número de linhas e o segundo o de colunas As outras matrizes do Exemplo têm tamanhos 4, 3 3, e, respectivamente Uma matriz com somente uma coluna é chamada matriz-coluna (ou vetor-coluna) e uma matriz com somente uma linha é chamada matriz-linha (ou vetor-linha) Assim, no Exemplo a matriz é uma matrizcoluna, a matriz 4 é uma matriz-linha e a matriz é tanto uma matriz-coluna quanto uma matriz-linha (O termo vetor tem um outro significado que será discutido em capítulos subseqüentes) OBSERVAÇÃO É prática comum omitir os colchetes numa matriz Assim, nós podemos escrever 4 em vez de [ 4 ] Embora isto torne impossível dizer se 4 denota o número quatro ou a matriz cuja única entrada é este número quatro, isto raramente causa problemas, pois geralmente é possível discernir a que nos estamos referindo a partir do contexto no qual aparece o símbolo Nós iremos usar letras maiúsculas para denotar matrizes e letras minúsculas para denotar quantidades numéricas; assim, podemos escrever A = Exemplos de Matrizes [ ] e π 0, ou C = [ a b ] c d e f, [4] 3 Quando discutimos matrizes, é usual chamar as quantidades numéricas de escalares A menos de menção explícita em contrário, escalares são números reais; escalares complexos serão considerados no Capítulo 0 A entrada que ocorre na i-ésima linha e j-ésima coluna de uma matriz A é denotada por a ij Assim, uma matriz arbitrária 3 4 pode ser escrita como

16 4 Álgebra Linear com Aplicações e uma matriz arbitrária m n como Quando for desejada uma notação mais compacta, a matriz precedente pode ser escrita como a primeira notação sendo usada quando é importante saber o tamanho da matriz e a segunda quando o tamanho não necessita ênfase Em geral, combinamos a letra denotando a matriz com a letra denotando suas entradas; assim, para uma matriz B nós geralmente usamos b ij para a entrada na linha i e na coluna j e para uma matriz C nós usamos a notação c ij A entrada na linha i e na coluna j de uma matriz A também é comumente denotada por (A) ij Assim, para a matriz () acima, nós temos e para a matriz a a a 3 a 4 A = a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a a a n a a a n A = a m a m a mn [a ij ] m n ou [a ij ] (A) ij = a ij A = nós temos (A) =, (A) = 3, (A) = 7 e (A) = 0 Matrizes-linha e matrizes-coluna são de importância especial, e é prática comum denotá-las por letras minúsculas em negrito em vez de letras maiúsculas Para tais matrizes é desnecessário usar subscritos duplos para as entradas Assim, uma matriz-linha n arbitrária a e uma matriz-coluna m arbitrária b podem ser escritas como a =[a a a n ] e b b = b m Uma matriz A com n linhas e n colunas é chamada matriz quadrada de ordem n e as entradas sombreadas a, a,, a nn em () constituem a diagonal principal de A a a a n a a a n a n a n a nn Operações sobre Matrizes Até aqui usamos matrizes para abreviar o trabalho de resolver sistemas de equações lineares Para outras aplicações, contudo, é desejável desenvolver uma aritmética de matrizes na qual as matrizes podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas de alguma maneira útil O restante desta seção será dedicado a desenvolver esta aritmética b () () Definição Duas matrizes são definidas como sendo iguais se têm o mesmo tamanho e suas entradas correspondentes são iguais Em notação matricial, se A = [ a ij ]e B = [ b ij ] têm o mesmo tamanho, então A = B se, e somente se, (A) ij = (B) ij ou, equivalentemente, a ij = b ij para quaisquer i e j EXEMPLO Igualdade de Matrizes Considere as matrizes Se x = 5, então A = B, mas para todos os outros valores de x as matrizes A e B não são iguais, pois nem todas suas entradas coincidem Não existe valor de x tal que A = C pois A e C têm tamanhos diferentes Definição Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a soma A + B é a matriz obtida somando as entradas de B às entradas correspondentes de A, e a diferença A B é a matriz obtida subtraindo as entradas de B das entradas correspondentes de A Matrizes de tamanho distintos não podem ser somadas ou subtraídas Em notação matricial, se A = [ a ij ] e B = [ b ij ] têm o mesmo tamanho, então (A + B) ij = (A) ij + (B) ij = a ij + b ij e (A B) ij = (A) ij (B) ij = a ij b ij EXEMPLO 3 Adição e Subtração Considere as matrizes A = 0 4, B = 0, C = Então A = A + B = 3 e A B = As expressões A + C, B + C, A C e B C não estão definidas Definição 3 x, B =, C = 3 5 [ ] Se A é uma matriz e c é um escalar, então o produto ca é a matriz obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A por c A matriz ca é chamada múltiplo escalar de A

17 Capítulo - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes 43 Em notação matricial, se A = [a ij ], então Para as matrizes A = nós temos A = [ 3 ] 4 3 [ 4 6 ] 8 6 É usual denotar ( )B por B Se A, A,, A n são matrizes de mesmo tamanho e c, c,, c n são escalares, então uma expressão da forma é chamada combinação linear de A, A,, A n com coeficientes c, c,, c n Por exemplo, se A, B e C são as matrizes do Exemplo 4, então é a combinação linear de A, B e C com coeficientes escalares, e 3 Até aqui nós definimos a multiplicação de uma matriz por um escalar mas não a multiplicação de duas matrizes Como matrizes são somadas somando as entradas correspondentes e subtraídas subtraindo as entradas correspondentes, pareceria natural definir a multiplicação de matrizes multiplicando as entradas correspondentes Contudo, ocorre que tal definição não seria muito útil na maioria dos problemas A experiência levou os matemáticos à seguinte definição muito mais útil de multiplicação de matrizes Definição Considere as matrizes A =, B =, ( )B = (ca) ij = c(a) ij = ca ij EXEMPLO 4 Múltiplos Escalares 4, B = , C = , 3 5 c A + c A + +c n A n A B + 3 C = A + ( )B + 3 C = Se A é uma matriz m r e B é uma matriz r n, então o produto AB é a matriz m n cujas entradas são determinadas como segue Para obter a entrada na linha i e coluna j de AB, destaque a linha i de A e a coluna j de B Multiplique as entradas correspondentes desta linha e desta coluna e então some os produtos resultantes EXEMPLO 5 Multiplicando Matrizes + 3 = [ 9 6 ] C = 0 4 [ 7 ] 4 3 Como A é uma matriz 3 e B é uma matriz 3 4, o produto ABé uma matriz 4 Para determinar, por exemplo, a entrada na linha e coluna 3 de AB, nós destacamos a linha de A e a coluna 3 de B Então, como ilustrado abaixo, nós multiplicamos as entradas correspondentes e somamos estes produtos A entrada na linha e coluna 4 de ABé calculada como segue = As contas para os demais produtos são ( 4) + ( 0) + (4 ) = ( ) ( ) + (4 7) = 7 ( 4) + ( 3) + (4 5) = 30 ( 4) + (6 0) + (0 ) = 8 ( ) (6 ) + (0 7) = 4 ( 3) + (6 ) + (0 ) = A definição de multiplicação de matrizes exige que o número de colunas do primeiro fator A seja igual ao número de linhas do segundo fator B para que seja possível formar o produto A B Se esta condição não é satisfeita, o produto não está definido Uma maneira conveniente de determinar se o produto de duas matrizes está ou não definido é escrever o tamanho do primeiro fator e, à direita, escrever o tamanho do segundo fator Se, como em (3), os números internos coincidem, então o produto está definido A m r ( 3) + ( ) + (4 ) = 3 B r n = Internos Externos = ( 4) + (6 3) + (0 5) = 6 AB = AB m n EXEMPLO 6 Determinando se um Produto Está Definido Suponha que A, B e C são matrizes dos seguintes tamanhos: A B C [ 7 30 ] Então, por (3), o produto A Bestá definido e é uma matriz 3 7; B C está definido e é uma matriz 4 3 e C A está definido e é uma matriz 7 4 Os produtos A C, C B e B A não estão definidos Em geral, se A = [ a i j ] é uma matriz m r e B = [ b i j ] é uma matriz r n, então, como está ilustrado pelo sombreamento em (4), 6 (3)