Índice. Introdução Metas Curriculares do 5. o ano Planificação a médio prazo Fichas de avaliação Fichas de remediação...

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3 Índice Introdução... 3 Metas Curriculares do 5. o ano... 5 Planificação a médio prazo Fichas de avaliação Fichas de remediação Passatempos Soluções... 92

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5 3 Introdução Caros Colegas, Como é do conhecimento dos professores, foram implementadas, no ano de 2012, pelo Ministério da Educação, «Metas Curriculares do Ensino Básico Matemática». Essas metas obrigaram à presente reformulação do Manual MATemática 5, que agora está de acordo com as «Metas Curriculares» e com o Programa de Para o professor, este projeto é um instrumento de apoio ao processo de ensino-aprendizagem, apresentando uma grande variedade de propostas de trabalho e de recursos que o docente pode selecionar de acordo com a especificidade dos alunos das suas turmas. As notas e as sugestões metodológicas apresentadas no Manual do Professor irão ajudar a preparação das aulas e rentabilizar a utilização do Manual em sala de aula. O Caderno de Apoio ao Professor disponibiliza, além da usual planificação de médio prazo, mais recursos de avaliação e de remediação (concretamente, 6 fichas de avaliação e 25 fichas de remediação, para os alunos que apresentem mais dificuldades). Disponibiliza também 9 pequenos passatempos, que poderão ser utilizados, por exemplo, em aulas de substituição. Para o aluno, o Caderno de Apoio ao Aluno é um guia de apoio às aprendizagens, um elemento de consulta regular, um incentivo à descoberta e ao trabalho autónomo, uma fonte de tarefas a realizar dentro e fora da aula, um elemento regulador da aprendizagem através das atividades de autoavaliação (Saber fazer, Fichas, Problemas). No Manual, para cada tópico do Programa, propõe-se uma diversidade de tarefas significativas com as quais se pretende encorajar o aluno a ser ativo, fomentar a confrontação de ideias, facilitar a descoberta, criar uma atmosfera de confiança e desafio, e desenvolver hábitos de trabalho e persistência, contribuindo para a construção dos conceitos matemáticos fundamentais, compreensão dos procedimentos matemáticos e domínio da linguagem matemática. O Manual propõe, ainda, problemas, investigações, explorações, exercícios, projetos e jogos, encontrando-se estas propostas reforçadas no Caderno de Apoio ao Aluno e no O Meu Portefólio. Este último material, disponível em apresenta um conjunto de materiais manipuláveis, imprescindíveis para as aprendizagens, e um conjunto de grelhas, que ajudarão o aluno a criar o seu portefólio, reflexivo das suas aprendizagens. Optámos, em Geometria, por dar a conhecer ao aluno quer a notação simplificada, de acordo com as primeiras instruções aquando da implementação do Programa em 2010, quer a notação tradicional, que os alunos também devem conhecer. Cabe-nos a nós, professores, criar condições na sala de aula que promovam e facilitem as aprendizagens, o que passa por envolver os alunos nas aprendizagens e partilhar com eles o prazer de gostar de Matemática. Esperamos que o MATemática 5 seja um bom auxiliar nesta nossa tarefa de todos os dias. Bom trabalho! Elza e Margarida

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7 5 Metas Curriculares do 5. o ano Números e Operações NO5 Números racionais não negativos 1. Efetuar operações com números racionais não negativos 1. Simplificar frações dividindo ambos os termos por um divisor comum superior à unidade. 2. Reconhecer, dadas duas frações, que multiplicando ambos os termos de cada uma pelo denominador da outra obtêm-se duas frações com o mesmo denominador que lhes são respetivamente equivalentes. 3. Ordenar duas quaisquer frações. a c a d + c b 4. Reconhecer que + d = (sendo a, b, c e d números naturais). b b d a c a d c b a c 5. Reconhecer que d = (sendo a, b, c e d números naturais, d ). b b d b c 6. Identificar o produto de um número racional positivo q por (sendo c e d números naturais) 1 d c c como o produto por c do produto de q por, representá-lo por q d e d q e reconhecer que a c a c d d = b (sendo a e b números naturais). b d 7. Reconhecer que b a : d c = b a d c (sendo a, b, c e d números naturais). 8. Designar por «fração irredutível» uma fração com menores termos do que qualquer outra que lhe seja equivalente. 9. Representar números racionais não negativos como numerais mistos. 10. Adicionar e subtrair dois números racionais não negativos expressos como numerais mistos, começando respetivamente por adicionar ou subtrair as partes inteiras e as frações próprias associadas, com eventual transporte de uma unidade. 11. Determinar aproximações de números racionais positivos por excesso ou por defeito, ou por arredondamento, com uma dada precisão. 2. Resolver problemas 1. Resolver problemas de vários passos envolvendo operações com números racionais representados por frações, dízimas, percentagens e numerais mistos. Números naturais 3. Conhecer e aplicar propriedades dos divisores 1. Saber os critérios de divisibilidade por 3, por 4 e por Identificar o máximo divisor comum de dois números naturais por inspeção dos divisores de cada um deles. 3. Reconhecer que, num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores é divisor do produto. 4. Reconhecer que, se um dado número natural divide outros dois, divide também as respetivas soma e diferença.

8 6 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 5. Reconhecer, dada uma divisão inteira (D = d q + r), que se um número divide o divisor (d) e o resto (r) então divide o dividendo (D). 6. Reconhecer, dada uma divisão inteira (D = d q + r), que se um número divide o dividendo (D) e o divisor (d) então divide o resto (r = D d q). 7. Utilizar o algoritmo de Euclides para determinar os divisores comuns de dois números naturais e, em particular, identificar o respetivo máximo divisor comum. 8. Designar por «primos entre si» dois números cujo máximo divisor comum é Reconhecer que dividindo dois números pelo máximo divisor comum se obtêm dois números primos entre si. 10. Saber que uma fração é irredutível se o numerador e o denominador são primos entre si. 11. Identificar o mínimo múltiplo comum de dois números naturais por inspeção dos múltiplos de cada um deles. 12. Saber que o produto de dois números naturais é igual ao produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum e utilizar esta relação para determinar o segundo quando é conhecido o primeiro, ou vice-versa. 4. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo o cálculo do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais. Geometria e Medida GM5 Propriedades geométricas 1. Reconhecer propriedades envolvendo ângulos, paralelismo e perpendicularidade c 1. Identificar um ângulo não giro a como soma de dois ângulos b e c se a for igual à união de dois ângulos adjacentes b e c respetivamente iguais a b e a c. 2. Identificar um ângulo giro como igual à soma de outros dois se estes forem iguais respetivamente a dois ângulos não coincidentes com os mesmos lados. 3. Construir um ângulo igual à soma de outros dois utilizando régua e compasso. 4. Designar por «bissetriz» de um dado ângulo a semirreta nele contida, de origem no vértice e que forma, com cada um dos lados, ângulos iguais, e construí-la utilizando régua e compasso. 5. Identificar dois ângulos como «suplementares» quando a respetiva soma for igual a um ângulo raso. a b 6. Identificar dois ângulos como «complementares» quando a respetiva soma for igual a um ângulo reto.

9 7 7. Reconhecer que ângulos verticalmente opostos são iguais. 8. Identificar duas semirretas com a mesma reta suporte como tendo «o mesmo sentido» se uma contém a outra. 9. Identificar duas semirretas com retas suporte distintas como tendo «o mesmo sentido» se forem paralelas e estiverem contidas num mesmo semiplano determinado pelas respetivas origens. 10. Utilizar corretamente as expressões «semirretas diretamente paralelas» e «semirretas inversamente paralelas». B 11. Identificar, dadas duas semirretas O A e V C contidas na mesma reta e com o mesmo D O sentido e dois pontos B e D pertencentes a um mesmo semiplano definido pela reta A OV, os ângulos AOB e CVD como «correspondentes» e saber que são iguais quando V (e apenas quando) as retas OB e VD são paralelas. C 12. Construir segmentos de reta paralelos recorrendo a régua e esquadro e utilizando qualquer par de lados do esquadro. 13. Identificar, dadas duas retas r e s intersetadas por uma secante, «ângulos internos» e «ângulos externos» e pares de ângulos «alternos internos» e «alternos externos» e reconhecer que os ângulos de cada um destes pares são iguais quando (e apenas quando) r e s são paralelas. 14. Reconhecer que são iguais dois ângulos convexos complanares de lados dois a dois diretamente paralelos ou de lados dois a dois inversamente paralelos. 15. Reconhecer que são suplementares dois ângulos convexos complanares que tenham dois dos lados diretamente paralelos e os outros dois inversamente paralelos. 16. Saber que dois ângulos convexos complanares de lados perpendiculares dois a dois são iguais se forem «da mesma espécie» (ambos agudos ou ambos obtusos) e são suplementares se forem «de espécies diferentes». 2. Reconhecer propriedades de triângulos e paralelogramos 1. Utilizar corretamente os termos «ângulo interno», «ângulo externo» e «ângulos adjacentes a um lado» de um polígono. 2. Reconhecer que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a um ângulo raso. 3. Reconhecer que, num triângulo retângulo ou obtusângulo, dois dos ângulos internos são agudos. 4. Designar por «hipotenusa» de um triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto e por «catetos» os lados a ele adjacentes. 5. Reconhecer que um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes. 6. Reconhecer que, num triângulo, a soma de três ângulos externos com vértices distintos é igual a um ângulo giro.

10 8 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 7. Identificar paralelogramos como quadriláteros de lados paralelos dois a dois e reconhecer que dois ângulos opostos são iguais e dois ângulos adjacentes ao mesmo lado são suplementares. 8. Utilizar corretamente os termos «triângulo retângulo», «triângulo acutângulo» e «triângulo obtusângulo». 9. Construir triângulos dados os comprimentos dos lados, reconhecer que as diversas construções possíveis conduzem a triângulos iguais e utilizar corretamente, neste contexto, a expressão «critério LLL de igualdade de triângulos». 10. Construir triângulos dados os comprimentos de dois lados e a amplitude do ângulo por eles formado e reconhecer que as diversas construções possíveis conduzem a triângulos iguais e utilizar corretamente, neste contexto, a expressão «critério LAL de igualdade de triângulos». 11. Construir triângulos dado o comprimento de um lado e as amplitudes dos ângulos adjacentes a esse lado e reconhecer que as diversas construções possíveis conduzem a triângulos iguais e utilizar corretamente, neste contexto, a expressão «critério ALA de igualdade de triângulos». 12. Reconhecer que, num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais e reciprocamente. 13. Reconhecer que, em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais e reciprocamente. 14. Classificar os triângulos quanto aos lados utilizando as amplitudes dos respetivos ângulos internos. 15. Saber que, num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado opõe-se o menor ângulo, e vice-versa. 16. Reconhecer que, num paralelogramo, lados opostos são iguais. 17. Saber que, num triângulo, a medida do comprimento de qualquer lado é menor do que a soma das medidas dos comprimentos dos outros dois e maior do que a respetiva diferença e designar a primeira destas propriedades por «desigualdade triangular». 18. Saber, dada uma reta r e um ponto P não pertencente a r, que existe, uma reta perpendicular a r passando por P, reconhecer que é única e construir a interseção desta reta com r (ponto designado por «pé da perpendicular») utilizando régua e esquadro. r P 19. Saber, dada uma reta r e um ponto P a ela pertencente, que existe, em cada plano contendo r, uma reta perpendicular a r passando por P, reconhecer que é única e construí-la utilizando régua e esquadro, designando o ponto P por «pé da perpendicular». 20. Identificar a distância de um ponto P a uma reta r como a distância de P ao pé da perpendicular traçada de P para r e reconhecer que é inferior à distância de P a qualquer outro ponto de r. r P 21. Identificar, dado um triângulo e um dos respetivos lados, a «altura» do triângulo, relativamente a esse lado (designado por «base»), como o segmento de reta que une o vértice oposto à base ao pé da perpendicular traçada desse vértice para a reta que contém a base. base altura

11 9 22. Reconhecer que são iguais os segmentos de reta que unem duas retas paralelas e lhes são perpendiculares e designar o comprimento desses segmentos por «distância entre as retas paralelas». 23. Identificar, dado um paralelogramo, uma «altura» relativamente a um lado (designado por «base») como um segmento de reta que une um ponto do lado oposto à reta que contém a base e lhe é perpendicular. 24. Utilizar raciocínio dedutivo para reconhecer propriedades geométricas. base alturas 3. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo as noções de paralelismo, perpendicularidade, ângulos e triângulos. Medida 4. Medir áreas de figuras planas 1. Construir, fixada uma unidade de comprimento e dados dois números naturais a e b, um quadrado unitário decomposto em a b retângulos de lados consecutivos de medidas 1 a e 1 e reconhecer que a b área de cada um é igual a 1 a 1 unidades quadradas. b 2. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dados dois números racionais positivos q e r, que a área de um retângulo de lados consecutivos de medida q e r é igual a q r unidades quadradas. 3. Exprimir, em linguagem simbólica, a regra para o cálculo da medida da área de um retângulo em unidades quadradas, dadas as medidas de comprimento de dois lados consecutivos em determinada unidade, no caso em que são ambas racionais. 4. Exprimir, em linguagem simbólica, a regra para o cálculo da medida da área de um quadrado em unidades quadradas, dada a medida de comprimento c dos respetivos lados em determinada unidade (supondo c racional), designando essa medida por «c ao quadrado» e representando-a por «c 2». 5. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dado um paralelogramo com uma base e uma altura a ela relativa, com comprimentos de medidas respetivamente iguais a b e a a (sendo b e a números racionais positivos), que a medida da área do paralelogramo em unidades quadradas é igual a b a, verificando que o paralelogramo é equivalente a um retângulo com essa área. 6. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dado um triângulo com uma base e uma altura a ela relativa, com comprimentos de medidas respetivamente iguais a b e a (sendo b e a números racionais positivos), que a medida da área do triângulo em unidades quadradas é igual a metade de b a, verificando que se pode construir um paralelogramo decomponível em dois triângulos iguais ao triângulo dado, com a mesma base que este. 7. Exprimir, em linguagem simbólica, as regras para o cálculo das medidas das áreas de paralelogramos e triângulos em unidades quadradas, dadas as medidas de comprimento de uma base e correspondente altura em determinada unidade, no caso em que são ambas racionais.

12 10 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 5. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas. 6. Medir amplitudes de ângulos 1. Identificar, fixado um ângulo (não nulo) como unidade, a medida da amplitude de um dado ângulo como b 1 àquele. (sendo b número natural) quando o ângulo unidade for igual à soma de b ângulos iguais 2. Identificar, fixado um ângulo (não nulo) como unidade, a medida da amplitude de um dado ângulo θ como b a (sendo a e b números naturais) quando for igual à soma de a ângulos de amplitude b 1 unidades e representar a amplitude de θ por «θ». 3. Identificar o «grau» como a unidade de medida de amplitude de ângulo tal que o ângulo giro tem amplitude igual a 360 graus e utilizar corretamente o símbolo «ο». 4. Saber que um grau se divide em 60 minutos (de grau) e um minuto em 60 segundos (de grau) e utilizar corretamente os símbolos e. 5. Utilizar o transferidor para medir amplitudes de ângulos e construir ângulos de determinada amplitude, expressa em graus. 7. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo adições, subtrações e conversões de medidas de amplitude expressas na forma complexa e incomplexa. Álgebra ALG5 Expressões algébricas 1. Conhecer e aplicar as propriedades das operações 1. Conhecer as prioridades convencionadas das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, e utilizar corretamente os parênteses. 2. Reconhecer as propriedades associativa e comutativa da adição e da multiplicação, e as propriedades distributivas da multiplicação relativamente à adição e à subtração, e representá-las algebricamente. 3. Identificar o 0 e o 1 como os elementos neutros respetivamente da adição e da multiplicação de números racionais não negativos, e o 0 como elemento absorvente da multiplicação. 4. Utilizar o traço de fração para representar o quociente de dois números racionais e designá-lo por «razão» dos dois números. 5. Identificar dois números racionais positivos como «inversos» um do outro quando o respetivo produto 1 for igual a 1 e reconhecer que o inverso de um dado número racional positivo q é igual a. q

13 11 a b 6. Reconhecer que o inverso de é b a (sendo a e b números naturais) e reconhecer que dividir por um número racional positivo é o mesmo do que multiplicar pelo respetivo inverso. 7. Reconhecer que o inverso do produto (respetivamente quociente) de dois números racionais positivos é igual ao produto (respetivamente quociente) dos inversos. 8. Reconhecer, dados os números racionais positivos q, r, s e t, que q r s t = q s e concluir que o r t inverso de q r r é igual a. q q 9. Reconhecer, dados os números racionais positivos q, r, s e t, que r = q t. r s s t 10. Simplificar e calcular o valor de expressões numéricas envolvendo as quatro operações aritméticas e a utilização de parênteses. 11. Traduzir, em linguagem simbólica, enunciados matemáticos expressos em linguagem natural e vice - -versa, sabendo que o sinal de multiplicação pode ser omitido entre números e letras e entre letras, e que pode também utilizar-se, em todos os casos, um ponto no lugar deste sinal.

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15 13 Planificação a médio prazo A proposta de planificação a médio prazo prevê a seguinte ordem de lecionação de conteúdos: 1. Números naturais 2. Números racionais não negativos 3. Figuras no plano 4. Perímetros e áreas 5. Representação e interpretação de dados Esta proposta não é impeditiva da escolha de outro percurso temático de aprendizagem, alternativo ao nosso, se decidido pelos professores de Matemática, em reunião de disciplina, de acordo com os conhecimentos e necessidades dos seus alunos. Alertamos os colegas para as alterações introduzidas pelas «Metas Curriculares» e pelo Programa de 2013, que obrigam à lecionação, no 5. o ano, de conteúdos que eram abordados em anos posteriores e implicam a retirada de conteúdos que eram de 5. o ano para serem ensinados no 6. o ano. No tratamento dos diversos conteúdos do Programa, procurou-se que os alunos deste nível etário tivessem o seu primeiro contacto com os métodos simbólicos próprios da álgebra.

16 14 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Tópico 1. Números naturais Propriedades das operações e regras operatórias: adição subtração multiplicação divisão Divisão inteira Divisores Propriedades dos divisores Critérios de divisibilidade Potências de base e expoente naturais Potências de base 10 Números primos e números compostos Relações da divisibilidade com a divisão inteira m.d.c. de dois números m.m.c. de dois números Capacidades transversais Comunicação matemática Raciocínio matemático Resolução de problemas 1.º Período Números e operações Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Compreender as propriedades e regras das operações e usá-las no cálculo. Interpretar uma potência de expoente natural como um produto de fatores iguais. Identificar e dar exemplos de quadrados e de cubos de um número e de potências de base 10. Utilizar os critérios de divisibilidade de um número (2, 3, 4, 5, 9 e 10). Identificar e dar exemplo de números primos e distinguir números primos de números compostos. Usar propriedades dos divisores. Utilizar as relações da divisibilidade com a divisão inteira. Compreender as noções de m.m.c. e m.d.c. de dois números e determinar o seu valor. Reconhecer que o produto de dois números naturais é igual ao produto do seu m.d.c. pelo seu m.m.c. Neste tópico, as propostas do Manual pretendem contribuir para um melhor conhecimento dos números e operações pelos alunos, para a descoberta de propriedades e relações para desenvolver o cálculo mental e a capacidade de estimação. Os alunos decompõem os números naturais em somas ou produtos, procuram divisores, formam potências. Os conceitos de m.d.c. e m.m.c. surgem naturalmente de problemas que envolvem sequências de divisores e múltiplos, e os seus valores poderão também ser calculados recorrendo ao algoritmo de Euclides e à relação entre m.d.c. e m.m.c. de dois números naturais. Mostrar, com exemplos, as propriedades dos divisores bem como as relações da divisão inteira com a divisibilidade. Ver outras sugestões metodológicas em cada subtema do Manual do Professor. Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber Fazer» e «Fichas» Calculadora (ver indicações metodológicas no Programa) Fichas formativas Fichas de remediação (1 a 9) Computador: folha de cálculo Quadro interativo Ficha de autoavaliação n. o 1 do Caderno de Apoio ao Professor Contínua Diagnóstica Formativa Autoavaliação dos alunos Trabalhos individuais ou de grupo (pesquisa) Ler e analisar na aula os objetivos de cada tema (ver rubrica Agora Já do Manual antes da realização das fichas de avaliação) Sumativa 18 blocos Resolver problemas que envolvam as propriedades da adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como potenciação, m.m.c. e m.d.c.

17 15 Tópico 2. Números racionais não negativos Noção e representação de número racional Comparação e ordenação Operações: adição e subtração Propriedades da adição Percentagem Capacidades transversais Comunicação matemática Raciocínio matemático Resolução de problemas 1.º Período Números e operações (Cont.) Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Compreender e usar um número racional como quociente, relação parte-todo, razão, medida e operador. Reconhecer frações decimais. Comparar e ordenar números racionais representados de diferentes formas. Localizar e posicionar na reta numérica um número racional não negativo representado nas suas diferentes formas. Representar sob a forma de fração um número racional não negativo dado por uma dízima finita. Identificar e dar exemplos de frações equivalentes a uma dada fração e escrever uma fração na sua forma irredutível. Escrever, se possível, uma fração decimal equivalente a outra dada. Adicionar e subtrair números racionais não negativos representados em diferentes formas. Usar as propriedades da adição no cálculo mental e escrito. Compreender a noção de percentagem e relacionar diferentes formas de representar uma percentagem. Traduzir uma fração por uma percentagem e interpretá-la como o número de partes em 100. Calcular e usar percentagens. Resolver problemas que envolvam números racionais não negativos. É importante que o professor esteja atento aos obstáculos com que os alunos se deparam quando iniciam o trabalho com números racionais. Pretende-se que os alunos desenvolvam uma compreensão e uso de um número racional como quociente, parte-todo, medida, razão e operador, de modo a tornarem-se competentes na utilização de frações, numerais decimais, numerais mistos e percentagens. É importante que os alunos saibam que os números racionais podem ser representados de várias maneiras e que compreendam, por exemplo, que 2 1, 50% e 0,5 são apenas representações equivalentes. Os alunos devem ganhar destreza na conversão de frações em numerais decimais e percentagens e vice -versa, bem como na ordenação, comparação e cálculo com números racionais, utilizando diferentes estratégias. Praticar a adição e subtração de números representados por numerais mistos, começando respetivamente por adicionar ou subtrair as partes inteiras e as frações próprias associadas com eventual transporte de uma unidade. Os alunos devem averiguar se as propriedades da adição de números naturais se mantêm para os números racionais não negativos e utilizar as propriedades para facilitar cálculos. Os alunos devem ganhar destreza no cálculo mental e escrito. Ver outras sugestões metodológicas em cada subtema do Manual do Professor. Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber Fazer» e «Fichas» Materiais simples do quotidiano (folhas de papel, berlindes, lápis de cor, relógio, círculos ou barras divididas em partes iguais) Material Cuisenaire Tangram Calculadora Computador: folha de cálculo Fichas de trabalho Fichas formativas Fichas de remediação (10 a 12) Portefólio do Aluno Ficha de autoavaliação n. o 2 do Caderno de Apoio ao Professor Contínua Diagnóstica Formativa Autoavaliação dos alunos A avaliação deve fornecer informações úteis quer para professores quer para alunos Sumativa 18 blocos

18 16 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Tópico 2. Números racionais não negativos (cont.) Arredondamentos; regras Valores aproximados Multiplicação de números racionais não negativos Propriedades da multiplicação Capacidades transversais Resolução de pro blemas Raciocínio matemático Comunicação matemática 2.º Período Números e operações (Cont.) Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Fazer arredondamentos atendendo ao número de casas decimais. Determinar o valor aproximado de um número por defeito e por excesso, com uma dada precisão. Multiplicar números racionais não negativos representados de diferentes formas. Compreender o efeito de multiplicar um número racional não negativo por um número maior do que zero e menor do que 1. Estimar produtos. Compreender e usar as propriedades da multiplicação para facilitar cálculos. Partindo, por exemplo, de números racionais representados por dízimas infinitas, ensinar aos alunos as regras dos arredondamentos atendendo ao número de casas decimais. A necessidade de trabalhar com valores aproximados pode surgir de problemas concretos como, por exemplo: «Determinar o lado de um triângulo equilátero cujo perímetro é 5 metros.» Explorar a aproximação às unidades e às décimas por defeito e por excesso podendo utilizar-se a reta numérica. Partir de situações concretas, como, por exemplo, «Recorta um terço da metade de uma folha. Que fração da folha cortaste?» e mostrar que = 6 1, e que, assim, se realizou uma multiplicação. Com exemplos deste tipo e outros, os alunos devem descobrir a regra para multiplicar números representados por frações. Recordar o produto de números racionais não negativos representados por decimais (1. o ciclo). A estimativa de produtos e a discussão do valor de um produto de um número racional não negativo por outro maior do que zero e menor do que 1 deve ser realizada nesta altura. Fazer conexões com a Geometria, por exemplo no cálculo de áreas e perímetros de figuras planas. Devem ser propostas expressões numéricas cujo cálculo seja facilitado com o uso das propriedades das operações. Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber fazer» e «Fichas» Calculadora Computador Folhas de papel, tesoura, lápis de cor, material de desenho Fichas formativas Fichas de remediação (13 a 15) Ficha de autoavaliação n. o 3 do Caderno de Apoio ao Professor Diagnóstica Contínua Formativa Trabalhos individuais (ou de grupo) 8 blocos

19 17 Tópico 2. Números racionais não negativos (cont.) Potências de expoente natural e base racional não negativa Inverso de um número racional positivo Divisão de números racionais não negativos Operações combinadas Capacidades transversais Resolução de pro blemas Raciocínio matemático Comunicação matemática 2.º Período Números e operações (Cont.) Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Calcular potências de expoente natural de um número racional não negativo, representadas nas suas diferentes formas. Compreender a noção de inverso de um número racional positivo. Determinar o inverso de um número racional positivo. Dividir números racionais não negativos, representados de diversas formas. Compreender o efeito de dividir um número racional não negativo por um número maior do que zero e menor do que 1. Estimar quocientes. Compreender o significado dos parênteses e a prioridade das operações numa expressão numé - rica. Usar expressões numéricas para representar situações. Resolver problemas. Traduzir, em linguagem simbólica, enunciados matemáticos expressos em linguagem natural e vice-versa. Simplificar e calcular o valor de expressões numéricas. Utilizar o traço de fração para representar o quociente de dois números racionais e designá-lo por razão dos dois números. O cálculo de áreas de quadrados e volumes de cubos deve ser aproveitado para trabalhar respetivamente quadrados e cubos de números representados por frações e por dízimas. Sugere-se que se explore bem a diferença entre, por exemplo: 5 3 2, 5 32 e (0,1 + 0,5) 2 e 0, ,5 2 O uso das propriedades das operações deve ser explorado no cálculo de expressões do tipo: ,1 10 A tarefa proposta no volume 1 do Manual (p. 134) para determinar o inverso de um número racional positivo deve ser realizada. Mostrar que o zero não tem inverso. A noção de inverso serve também para facilitar cálculos do tipo: = 1 1 Propor aos alunos que, usando números racionais, mostrem que o inverso do produto é igual ao produto dos inversos. Situações concretas para explorar a divisão devem ser propostas, por exemplo: «Quantos terços de folha há em duas folhas iguais?» As respostas dos alunos devem ser exploradas, registando em linguagem simbólica 2 : 3 1 = 6 e comparando com 2 3 = 6. Outras situações análogas devem ser sugeridas, de modo que os alunos cheguem à regra da divisão de números racionais não negativos. Recordar o vocabulário da divisão. Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber fazer» e «Fichas» Folhas de papel, lápis de cor, material de desenho e tesoura Dados de jogar Calculadora Computador Fichas Formativas Fichas de remediação (16 a 18) Ficha de autoavaliação n. o 3 do Caderno de Apoio ao Professor Diagnóstica Contínua Formativa Trabalhos individuais (ou de grupo) Ler e analisar na aula os objetivos de cada tema (ver rubrica Agora Já do Manual antes da realização das fichas de avaliação) Autoavaliação dos alunos. Sumativa 8 blocos

20 18 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Tópico Capacidades transversais 2.º Período Números e operações (Cont.) Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo «Numa divisão em que o divisor é um número maior do que zero e menor do que 1, o que se pode dizer do quociente comparado com o dividendo?» Exemplos do seguinte tipo devem ser fornecidos: 5 : 2 1 = 10 e 10 > 5 0,5 : 4 1 = 2 e 2 > 0,5 Propor aos alunos que, usando números racionais, mostrem que o inverso do quociente é igual ao quociente dos inversos. A tradução de problemas por expressões numéricas que envolvam as operações estudadas e o cálculo do valor dessas expressões, recordando o uso de parênteses e a prioridade das operações, deve também ser efetuado. Problemas do dia a dia, que envolvam os conteúdos deste capítulo, devem ser resolvidos. Os alunos devem criar enunciados de problemas dadas as respetivas expressões numéricas. Propor aos alunos exercícios do tipo: = : 3 5 = = 3 1 e quocientes de razões como:, 0 1,, 4 2, , = 0 1, 3 4 : 5 2,, 5 0 = 1 1,, 3 2, , 1 = 5 = 1 0,, ,, 1 5

21 19 Tópico 3. Figuras no plano Retas, semirretas e segmentos de reta Posição relativa de duas retas Ângulos, comparação e soma de ângulos Construções geométricas Unidades de medida da amplitude de ângulos Relações entre ângulos: de lados paralelos; de lados perpendiculares Polígonos: triângulos e suas propriedades, construção e congruência quadriláteros; paralelogramos circunferência e círculo Capacidades transversais Comunicação matemática Raciocínio matemático Resolução de problemas 2.º Período Geometria e medida Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Identificar e representar retas paralelas, perpendiculares e concorrentes, semirretas e segmentos de reta, e identificar a sua posição relativa no plano. Construir uma reta perpendicular a outra passando por um ponto dado. Identificar o pé da perpendicular. Determinar a distância de um ponto a uma reta e a distância entre duas retas paralelas. Comparar ângulos. Construir o ângulo soma de dois ângulos dados usando o compasso. Construir a bissetriz de um ângulo. Converter a amplitude de um ângulo, dada na forma complexa, na forma incomplexa, e vice-versa. Medir, em graus, a amplitude de um ângulo e construir um ângulo sendo dada a sua amplitude. Estabelecer relações entre ângulos e classificar ângulos. Identificar ângulos complementares, suplementares, adjacentes e verticalmente opostos. Identificar, em duas retas cortadas por uma secante, ângulos: internos; externos; alternos internos; alternos externos; correspondentes. Este tópico assenta em tarefas que permitem aos alunos observar, comparar, descobrir e traçar. O aluno deve aperfeiçoar o uso de instrumentos de medição e desenho e usar programas de geometria dinâmica. As tarefas de exploração favorecem a formulação de conjeturas. Para a soma das amplitudes dos ângulos internos e externos de um triângulo deve recorrer-se não só a provas informais mas também às justificações dos passos utilizados para as deduzir. A simetria, abordada de forma experimental, contribuirá para desenvolver o conhecimento dos triângulos e suas propriedades. Colaborar com o professor de Educação Visual, no sentido de melhorar nos alunos a capacidade de usar material de desenho e medição, nomeadamente no traçado de retas paralelas e perpendiculares, construção de triângulos e desenho de circunferências e círculos. É importante fazer a interação da Geometria com Números e Operações. A diversidade de tarefas propostas neste capítulo no Manual, bem como as sugestões metodológicas, pormenorizadas por assunto, podem orientar o professor de modo a conseguir que os alunos atinjam o grande leque de objetivos exigidos no tema Geometria e Medida. Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber Fazer» e «Fichas» Régua Esquadro de 60º e 45º Transferidor Compasso Tangram Programa Geogebra Palhinhas Fichas formativas Fichas de remediação (19 a 22) Portefólio do Aluno Ficha de autoavaliação n. o 4 do Caderno de Apoio ao Professor Contínua Diagnóstica Formativa Observação sistemática da atividade dos alunos Autoavaliação dos alunos Valorizar o esforço e a progressão de cada aluno Sumativa Observação direta da atividade dos alunos na realização das tarefas propostas 20 blocos

22 20 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Tópico Capacidades transversais 2.º Período Geometria e medida (Cont.) Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Reconhecer que pares de ângulos alternos internos, alternos externos e correspondentes são iguais quando, e só quando, as retas dadas e cortadas pela secante forem paralelas. Saber que ângulos convexos de lados perpendiculares dois a dois são iguais se forem da mesma espécie e que são suplementares se forem de espécies diferentes. Identificar os elementos de um polígono, compreender as suas propriedades e classificar polígonos. Classificar triângulos quanto aos ângulos e quanto aos lados. Construir triângulos e compreender os casos de possibilidade na construção de triângulos. Compreender relações entre elementos de um triângulo e usá-las na resolução de problemas. Compreender o valor da soma das amplitudes dos ângulos internos e externos de um triângulo. Relacionar a amplitude de um ângulo externo de um triângulo com as amplitudes de dois ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo. Designar, num triângulo retângulo, a hipotenusa e os catetos. Saber os casos de igualdade de triângulos: LLL, LAL e ALA.

23 21 Tópico Capacidades transversais 2.º Período Geometria e medida (Cont.) Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Reconhecer que em triângulos iguais com lados iguais opõem-se ângulos iguais e vice-versa. Identificar paralelogramos e reconhecer propriedades dos paralelogramos. Identificar as propriedades da circunferência e distinguir circunferência de círculo. Resolver problemas envolvendo ângulos, triângulos e paralelogramos.

24 22 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Tópico 4. Perímetros e áreas Polígonos regulares e irregulares Áreas Equivalência de figuras planas Unidades de área Áreas do retângulo e do quadrado Área do paralelogramo Área do triângulo Áreas de figuras por decomposição Estimativas Área e perímetro 3.º Período Geometria e medida. Perímetros e Áreas Capacidades transversais Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Comunicação matemática Raciocínio matemático Resolução de problemas Determinar o perímetro de polígonos regulares e irregulares. Resolver problemas envolvendo perímetros de polígonos. Compreender a noção de equivalência de figuras planas. Distinguir figuras equivalentes de figuras congruentes. Utilizar unidades de área e reconhecer que a medida da área depende da unidade escolhida. Identificar, num triângulo e num paralelogramo, a altura relativa a uma base e traçá-la. Exprimir, em linguagem simbólica, as regras para o cálculo das medidas das áreas de paralelogramos e triângulos. Saber que o sinal de multiplicação pode ser omitido entre números e letras e entre letras, ou pode ser substituído por um ponto. Relacionar a área do retângulo com a área do paralelogramo com a mesma base e a mesma altura. Relacionar a área do triângulo com a do paralelogramo com a mesma base e a mesma altura. Determinar áreas de triângulos e paralelogramos. Pode ser proposta aos alunos uma atividade no exterior da sala de aula: os alunos munidos de instrumentos de mediação adequados poderão calcular perímetros de canteiros, do campo de jogos, Usar o tangram, por exemplo, para introduzir a noção de equivalência de figuras planas e deduzir que figuras planas equivalentes têm a mesma área. Recordar congruência de figuras planas. Recordar unidades de área. A manipulação do paralelogramo obliquângulo deve ajudar os alunos a concluírem que o paralelogramo é equivalente a um retângulo com a mesma base e a mesma altura. Ensinar os alunos a traçar a altura de um paralelogramo relativa a uma base. Manipular paralelogramos desenhados em papel quadriculado para descobrir que a área do triângulo, com a mesma base e a mesma altura do paralelogramo, é metade da área desse paralelogramo. Ensinar os alunos a traçar as três alturas num triângulo. O professor deve fazer uma síntese e um formulário de áreas usando notação simplificada (omitir o sinal de multiplicação). Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber Fazer e «Fichas» Régua, esquadro e compasso Fio Papel quadriculado de 1 cm Tangram Pentaminós Fita métrica Calculadora Programa Geogebra Folha de cálculo Fichas formativas Fichas de remediação (23 e 24) Portefólio do Aluno Ficha de autoavaliação n. o 5 do Caderno de Apoio ao Professor Contínua Diagnóstica Formativa Observação direta da atividade dos alunos na realização das experiências propostas Sumativa 10 blocos Resolver problemas que envolvam áreas e perímetros de figuras planas.

25 23 Tópico 3.º Período Geometria e medida. Perímetros e Áreas (Cont.) Capacidades transversais Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Propor aos alunos a determinação de áreas de figuras planas por decomposição em figuras conhecidas. Pedir aos alunos que desenhem, em papel quadriculado, figuras não congruentes com o mesmo perímetro e que determinem a área de cada uma. Pedir aos alunos que desenhem figuras não congruentes com a mesma área e que determinem o seu perímetro. Os problemas a propor no final deste capítulo devem fazer a conexão com os temas Números Racionais e Figuras no Plano.

26 24 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Tópico 5. Representação e interpretação de dados Referencial cartesiano Formulação de questões Natureza dos dados Tabela de frequências absolutas e relativas Gráficos de barras, circulares e de linha e diagramas de caule-e-folhas e de pontos Média aritmética Moda Extremos e amplitude 3.º Período Organização e tratamento de dados Capacidades transversais Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Comunicação matemática Raciocínio matemático Resolução de problemas Identificar um referencial cartesiano ortogonal e monométrico. Identificar as coordenadas de um ponto P (x, y). Localizar, num referencial, as coordenadas de um ponto P (x, y). Construir um gráfico cartesiano referente a dois conjuntos de números. Formular questões suscetíveis de tratamento estatístico, e identificar os dados a recolher e a forma de os obter. Distinguir dados de natureza qualitativa de dados de natureza quantitativa. Recolher, classificar e organizar dados de natureza diversa. Construir e interpretar tabelas de frequências absolutas e relativas, gráficos de barras e de linha e diagramas de caule-e-folhas e de pontos. Interpretar gráficos circulares. Compreender e determinar a média aritmética de um conjunto de dados e indicar a adequação da sua utilização, num dado contexto. Compreender e determinar os extremos e a amplitude de um conjunto de dados. O estudo deste assunto é indispensável ao mundo em que vivemos. No dia a dia somos confrontados em jornais, revistas, televisão, com informação em tabelas e gráficos. Este tópico proporciona a realização de atividades interdisciplinares em trabalho de grupo. A iniciação a este tópico deve fazer -se com atividades ligadas a interesses dos alunos. Estes devem adquirir métodos e processos de recolha, organização e representação de dados estatísticos. A tarefa proposta na introdução dos referenciais cartesianos deve despertar nos alunos a necessidade de posicionarem um ponto relativamente a dois eixos que se intersetam. O professor deverá introduzir as noções de referencial cartesiano, referencial cartesiano ortogonal e monométrico e coordenadas de um ponto P (x, y). Aplicar estes conhecimentos nos gráficos de linhas. A construção de gráficos circulares será trabalhada no 6. ano. No entanto, podem ser interpretados gráficos circulares. Devemos desenvolver nos alunos a destreza na representação de dados, através de tabelas, gráficos e diagramas. Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber Fazer e «Fichas» Jornais Revistas Calculadora Computador: folha de cálculo Internet Régua Ficha de autoavaliação n. o 6 do Caderno de Apoio ao Professor Ficha de remediação (25) Diagnóstica De pequenos projetos desenvolvidos pelos alunos no âmbito da Estatística Formativa Sumativa 10 blocos

27 25 Tópico 3.º Período Organização e tratamento de dados (Cont.) Capacidades transversais Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Interpretar os resultados que decorrem da organização e representação de dados e formular conjeturas a partir desses resultados. Utilizar informação estatística para resolver problemas e tomar decisões. Ao trabalhar a moda, média, extremos e amplitude, deve ser discutida a questão de a média ser muito influenciada por valores extremos, transmitindo por vezes uma ideia enganadora na interpretação de algumas situações. Ver sugestões metodológicas por subtópico no Manual do Professor.

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29 27 Ficha de avaliação 1 Números e operações: Números naturais Nome Ano Turma N. o Esta prova consta de duas partes: A e B. Na parte A, terás de colocar X no quadrado correspondente à resposta correta. Na parte B, apresenta todos os cálculos que executares e todas as justificações necessárias. 1. A parcela desconhecida em? + 75 = 129 é: Parte A 2. O aditivo, numa subtração em que o subtrativo é 575 e o resto é 900, é: O fator desconhecido em 18? = 72 é: Pensei num número, dividi-o por 15 e obtive 20. Em que número pensei?

30 28 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 5. O valor da expressão 2 (4 + 5) é o mesmo que o valor de: representa o mesmo que: Os divisores de 18 são: 1, 2, 9, 18 18, 36, 54, 72 1, 2, 3, 6, 9, 18 1, Qual dos números seguintes é composto? Qual das afirmações seguintes é verdadeira para todos os números divisíveis por 9? O número representado pelo algarismo das unidades é divisível por 9. A soma dos números representados por todos os seus algarismos é múltiplo de 9. O número representado pelo algarismo das unidades é 9. O produto dos números representados pelos seus algarismos é divisível por 9.

31 29 Parte B 1. A despesa de uma visita de estudo foi de 475 euros. A despesa foi repartida igualmente por 25 alunos. Quanto pagou cada um? 2. Distribuí os meus caramelos por 7 sacos, cada saco levou uma dúzia e sobraram 9 caramelos. Descobre quantos caramelos tinha. 3. Coloca parêntesis em cada uma das expressões de modo que o seu valor seja : Completa a igualdade com quadrados e cubos de números naturais =34 5. Calcula pelo método das divisões sucessivas: 5.1 m.d.c (70, 136) 5.2 m.d.c. (80, 52) 6. Verdadeiro ou falso? (A) representa um número divisível por 3. (B) O maior divisor comum de 14 e 49 é 7. (C) O mínimo múltiplo comum de 5 e 7 é 12. (D) 21 é número primo. (E) 10 5 representa um milhão. (F) (15 + 9) 3 = Tenho duas pipas de vinho: uma leva 36 litros de vinho branco e a outra leva 48 litros de vinho tinto. Quero engarrafar o vinho em garrafões de igual capacidade e a maior possível, sem misturar os dois tipos de vinho. Qual a capacidade desses garrafões e quantos vou usar?

32 30 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 8. Dois autocarros passam pela mesma paragem: um de 20 em 20 minutos e o outro de 35 em 35 minutos. Se ambos coincidiram às 9 horas da manhã, quando voltam a passar juntos pela mesma paragem? 9. Por que algarismos devo substituir a letra a em 8a5a para que o número obtido seja divisível por 3 e par? 10. Dados os números 1, 2, 3, 5, 21, 23, 35, 49, 71, 630 e 1005, indica os que são: 10.1 divisores de 230: 10.2 números primos: 10.3 múltiplos de 7: 10.4 divisíveis por 3 e por 5: 10.5 quadrados de números naturais: 11. A Sara tem metade dos euros da sua irmã Teresa. A Teresa tem o quádruplo dos euros do seu primo João. O João tem 116 euros. Quantos euros tem a Sara?

33 Dados os números e : 12.1 Mostra que são divisíveis por Sem efetuares a divisão inteira de por , mostra que o resto desta divisão é divisível por 4. Confirma a tua resposta efetuando a divisão inteira. 13. Sabendo que 198 = e 143 = 11 13, podes afirmar, sem calcular, que a diferença é divisível por 11? Justifica. 14. Sabendo que 161 = 7 23 e 294 = 7 42, podes afirmar, sem calcular, que a soma é múltiplo de 7? Justifica. 15. Usa o resto e o divisor da divisão inteira de 156 por 130 para concluir que 156 é divisível por Sabendo que 4641 = , o João afirmou: «4641 é divisível por 7.» A Joana afirmou «4641 é divisível por 9.» Terão ambos razão? Justifica. 17. Tenho entre 56 e 86 laranjas. Contando-as de 5 em 5 não sobra nenhuma e contando-as de 6 em 6 sobra uma. Quantas laranjas tenho? 18. O produto de dois números é 3240 e o seu m.d.c. é 18. Qual é o m.m.c. daqueles números?

34 32 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de avaliação 2 Números e operações: Números racionais não negativos Nome Ano Turma N. o Esta prova consta de duas partes: A e B. Na parte A, terás de colocar X no quadrado correspondente à resposta correta. Na parte B, apresenta todos os cálculos que executares e todas as justificações necessárias. 1. Em qual das figuras se pintou a sua terça parte? Parte A 2. Na figura, que fração das bolas corresponde às bolas escuras? Uma orquestra é composta por 34 homens e 23 mulheres. Qual é a razão entre o número de mulheres e o número de homens?

35 33 4. A fração que representa o número maior do que 1 é: A fração que representa 2,2 é: A fração equivalente a é: A fração que representa um número maior do que 5 e menor do que 6 é: % de 50 são:

36 34 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 1. Escreve cada uma das frações na forma irredutível. Parte B Representa por numeral decimal e por percentagem: Representa por uma fração decimal as dízimas finitas: 0,075 1,04 4. Indica o número que corresponde a cada um dos pontos (A, B, C, D e E) assinalados na reta. A B C D E 5. Que fração de cada figura, tomada como unidade, é a parte sombreada? O Zé trouxe da aldeia dois sacos com figos, um de 3,5 kg e outro de kg Qual é o peso total dos figos? 6.2 Se 1,5 kg dos figos apodreceram, quantos quilogramas de figos se aproveitaram? 7. Calcula

37 35 8. Qual das seguintes frações representa o número menor? Dos 400 lugares de uma sala de concertos, 3 estão ocupados. Quantos são os lugares vazios? Calcula o valor de cada uma das expressões , , Para fazer bolos para uma festa, o Zé precisa de 400 g de açúcar para um bolo, de kg de açúcar para 5 2 outro e de kg de açúcar para outro. 4 Quantos pacotes de 1 kg o Zé precisa de ir comprar para fazer os bolos se não tiver açúcar em casa? 12. A Luísa tinha Gastou 40% do seu dinheiro num relógio e 25% do dinheiro que lhe sobrou numa caneta Que percentagem do seu dinheiro gastou a Luísa? 12.2 Quanto dinheiro, em euros, lhe sobrou? 13. Numa aula de natação, 4 dos alunos são raparigas. Se há 10 rapazes, quantos são os alunos no total? Calcula o valor exato de Reduz à dízima o resultado do item anterior e arredonda-o, primeiro, à unidade e, depois, à décima.