Measurable Cardinals and Relative Consistency Proofs in Set Theory

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1 Márcio da Silva Passos Telles Measurable Cardinals and Relative Consistency Proofs in Set Theory DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Dissertation presented to the Postgraduate Program in Mathematics of the Departamento de Matemática, PUC Rio as partial fulfillment of the requirements for the degree of Mestre em Matemática Adviser: Prof. Nicolau Corção Saldanha Rio de Janeiro September 2008

2 Márcio da Silva Passos Telles Measurable Cardinals and Relative Consistency Proofs in Set Theory Dissertation presented to the Postgraduate Program in Mathematics of the Departamento de Matemática do Centro Técnico Científico da PUC Rio as partial fulfillment of the requirements for the degree of Mestre em Matemática. Approved by the following commission: Prof. Nicolau Corção Saldanha Adviser Departamento de Matemática PUC Rio Prof. George Svetlichny Departamento de Matemática PUC Rio Prof. Luiz Carlos Pinheiro Dias Pereira Departamento de Filosofia PUC Rio Prof. Carlos Gustavo Tamm de Araújo Moreira Instituto de Matemática IMPA Prof. Edward Hermann Haeusler Departamento de Informática PUC Rio Prof. José Eugenio Leal Coordinator of the Centro Técnico Científico PUC Rio Rio de Janeiro September 9, 2008

3 All rights reserved. Márcio da Silva Passos Telles Graduated from the Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (Brazil) in Pure Mathematics. Telles, Márcio da Silva Passos Bibliographic data Measurable Cardinals and Relative Consistency Proofs in Set Theory / Márcio da Silva Passos Telles ; adviser: Nicolau Corção Saldanha f. : il. ; 30 cm Dissertação (Mestrado em matemática)-pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Inclui bibliografia 1. Matemática Teses. 2. Construtibilidade. 3. Cardinais mensuráveis. 4. Forcing. 5. Teoria de modelos. 6. Teoria de conjuntos. 7. Lógica matemática. I. Saldanha, Nicolau Corção. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática. III. Título. CDD: 510

4 Acknowledgments To my adviser Nicolau Corção Saldanha for the great amount of Mathematics I have learned from him and for his being always present, patient and available. To CNPq and PUC Rio for their financial support without which this work would not have been realized. To my mother, father and sisters for their unconditional support. To my dear colleagues from PUC Rio, specially Guilherme Frederico Lima for his priceless help and hints in using L A TEX. To the staff of the Mathematics Department for their efficient help.

5 Resumo Expandido O objetivo do presente trabalho é prover uma introdução ao mesmo tempo rigorosa e legível de dois já tradicionais métodos para obtenção de resultados de consistência relativa em teoria de conjuntos, a saber: Construtibilidade e Forcing. Considerado primeiramente por Gödel, o Universo Construtível é um modelo de ZF que apresenta certo caráter minimal: é o menor modelo de ZF contendo todas as sequências finitas de ordinais. Além de ser um modelo de ZF, mostraremos que o Universo Construtível satisfaz três outros princpios: o Axioma da Escolha, a Hipótese Generalizada do Contínuo e o Axioma da Construtibilidade. Um raciocínio bastante simples mostrará, então, serem estes princípios consistentes relativamente a ZF. Por razões que se tornarão claras mais tarde, o método de modelos internos encontra no Universo Construtível uma espécie de beco sem saída. Para estabelecer a consistência das negações dos supra-referidos princípios com a teoria de conjuntos, um novo método, batizado de Forcing, foi inventado por Cohen e é ainda hoje abundante fonte de provas de consistência relativa. Como uma variante de Construtibilidade, apresentamos também o Modelo de Chang, o menor modelo de ZF contendo todas as sequências enumeráveis de ordinais. Como exemplo do papel que os axiomas de grandes cardinais desempenham na Teoria de Conjuntos de nosso tempo, mostraremos que a existência de uma infinidade não-enumerável de cardinais mensuráveis implica a violação do Axioma da Escolha no Modelo de Chang.

6 Abstract Telles, Márcio da Silva Passos; Saldanha, Nicolau Corção. Measurable Cardinals and Relative Consistency Proofs in Set Theory. Rio de Janeiro, p. MScThesis Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. In the present work we present two methods for obtaining relative consistency proofs in Set Theory, namely: constructibility and forcing. As a variant of constructibility we also present the Chang model L(On ω ), the least inner model of ZF containing all ω sequences of ordinals. We show that the existence of uncountably many measurable cardinals implies that L(On ω ) models ZF+ AC. Keywords Constructibility. Measurable cardinals. Forcing. Model theory. Set theory. Mathematical logic.

7 Contents 1 Introduction 8 2 Preliminaires Classes and Relations Models of Set Theory Models and Relative Consistency Proofs Transitive Models Some Useful Principles Absoluteness Relativization of Classes and Functions Absoluteness for Models of ZF 14 3 Constructibility Introduction Formalization of Definability The Constructible Universe Consistency of V = L Consistency of AC Consistency of GCH 26 4 Forcing Introduction First Definitions Forcing Extensions Consistency of V L The Forcing Relation Consistency of CH 34 5 Measurable Cardinals and Ultrapowers of the Universe Introduction Measurable Cardinals Ultrapowers of the Universe Some Technical Lemmas The Chang Model 43 Bibliography 46