04/06/2014. Matemática Financeira. Contrato Pedagógico. Contrato Pedagógico. Tema 1 Fundamentos da Matemática Financeira Prof.Esp.LeonardoT.

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1 Matemática Financeira Tema 1 Fundamentos da Matemática Financeira Prof.Esp.LeonardoT.Otsuka Contrato Pedagógico A Matemática Financeira é muito importante para os cursos de Administração, Ciências Contábeis e demais cursos. As aulas terão vários exemplos práticos. Porém é muito importante que você faça os exercícios propostos em aula, do Caderno de Atividades e do PLT (Programa Livro Texto). Contrato Pedagógico Aprender entendendo o conceito de matemática financeira é o mais correto. Nunca decore o conceito, pois ao decorar a facilidade de se confundir é maior. 1

2 Contrato Pedagógico Se possível faça a impressão dos slides e utilize para acompanhar as aulas. Uma maneira de testar seu conhecimento é tentar resolver os exercícios da aula, sem ver a resolução. Muitos alunos possuem grande dificuldade em matemática básica, portanto o aumento da carga de estudos é importante. Matemática Financeira Estudo do Valor do Dinheiro no Tempo R$ 100,00 (Hoje) 3 meses Quanto vale? Qualquer operação financeira deve estar estruturada em função do tempo [...]. (Gimenes, 2012, p. 21, Programa Livro- Texto). Terminologia PV (Present Value) Valor Presente é o valor inicial de uma operação, representado no instante zero. Valor Atual, Principal ou Capital. FV (Future Value) ValorFuturoéum valor que é representado num momento futuro. Pode ser chamado de Montante ou Capital + Juros. FV= PV + J. 2

3 Terminologia J Juros Representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva; R$. i (interest rate) taxa de juros A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período; Ex.: 1,5% ao mês. n número de períodos na operação. É o prazo, o tempo. Tempo Utilizado: Ano Comercial Um ano possui 360 dias. Um mês possui 30 dias. Diagrama das Operações Financeiras Fluxo de Caixa facilita a visualização da operação financeira. PV= meses FV= 130 3

4 Diagrama das Operações Financeiras Do ponto de vista do financiador (banco): FV= meses PV= 100 A HP12c trabalha com esta mesma metodologia. Juros Simples A definição de capitalização a juros simples se concentra na aplicação direta dos conceitos mais básicos de matemática. (Gimenes, 2012, p. 23, Programa Livro-Texto). Exemplo 1. UmapessoaaplicouaquantiadeR$ 100,00 num Banco, pelo prazo de três meses, com uma taxa de 10% ao mês, no regime de juros simples. Determine o saldo final acumulado nesta aplicação. Juros Simples Mês PV (R$) i Juros (R$) FV = Saldo Final 1 100,00 10% 10,00 110, ,00 10% 10,00 = 120, ,00 10% 10,00 130,00 4

5 Fórmulas dos Juros Simples FV = PV.(1 + n. i) FV = Valor Futuro ou Montante PV = Valor Presente n = prazo / tempo i = taxa de juros (%) J = PV. i. n J = Juros (R$) C=PV= Capital ou Valor Presente n = prazo / tempo Resolvendo o Exemplo 1 na Fórmula: Utilizar no mínimo seis casas decimais, quando houver valores quebrados. FV = PV. (1 + n. i) PV = 100 n=3meses i = 10% ao mês FV =? FV = 100. ( ,10) FV= 100. ( 1 + 0,30) FV= 100. (1,30) i= 10%/100=0,10 FV = 130,00 Exemplo 2 No regime de juros simples, quaisos juros correspondentes à aplicação de R$ ,00 por 4 meses, à taxa de 7% ao mês? J=?(R$) PV= n= 4 meses i= 7%a.m. i=7/100=0,07 J = C. i. n J = ,07. 4 J = 3.360,00 5

6 Exercício 3 Durante quantos meses um capital deve ser aplicado a juros simples para que triplique de valor a uma taxa de 1,5% ao mês? Exercício 3 n=meses? PV = R$1,00 FV = R$3,00 i = 1,5%a.m. 1,5/100=0,015 FV = PV.(1 + n. i) 3 = 1.(1 + n. 0,015) 3 = 1 + n. 0, = n. 0,015 2 = n. 0,015 2 / 0,015 = n n = 133,33 meses Juros Compostos Continuando 6

7 Calculadora Financeira HP12c A mais conhecida é a HP 12c Gold, existem outros modelos: Platinum e Prestige. Calculadora Financeira HP12c A HP12c é famosa pela facilidade dos cálculos financeiros: Funções Financeiras Calculadora Científica Casio modelo fx-82ms Instruções de como utilizar no Tema 3 Caderno de Atividades Fonte: 7

8 Juros Compostos No regime de capitalização composta também se pagam juros sobre o valor presente, mas com uma pequena e importante diferença: o valor inicial deve ser corrigido período a período. (GIMENES, 2012, p. 26) PLT; É o popular juros sobre juros. Exemplo 1 Juros Compostos Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 100,00 num Banco, pelo prazo de 3 meses, com uma taxa de 10% ao mês, no regime de juros compostos. Determine o saldo final acumulado nesta aplicação. Juros Compostos MÊS PV (R$) i Juros (R$) FV = Saldo Final 1 100,00 10% 10,00 110, ,00 10% 11,00 121, ,00 10% 12,10 133,10 8

9 Fórmula dos Juros Compostos FV = Valor Futuro ou Montante PV = Valor Presente n = prazo / tempo i = taxa de juros (%) Potenciação = desafio matemático. Resolvendo o Exemplo 1 na Fórmula: Utilizar no mínimo 6 casas decimais, quando houver valores quebrados. PV = 100 n = 3 meses i = 10% ao mês FV =? i= 10% /100=0,1 Resolvendo o Exemplo 1 na HP12c PV = 100 n = 3 meses i = 10% a.m. FV =? f Clx 100 PV 3 n 10 i Aceita %, não precisa dividir por ,10 FV 9

10 Exemplo 2 Se você aplicar R$ 8.000,00 hoje à taxa de juros compostos de 2% ao mês, quanto terá disponível daqui a 14 meses? (Gimenes, 2012, p. 76) Exemplo 2 Resolução pela Fórmula PV = i=2%aomês 2 % /100 = 0,02 n=14meses FV=? Exemplo 2 Resolução pela HP12C PV = i=2%aomês 2 % /100 = 0,02 n=14meses FV=? f Clx PV n i FV ,83 10

11 Exercícios Práticos Juros Simples e Compostos Agora é sua vez Exercício 1 Um investidor aplicou R$ 800,00 a uma taxa de juros simples de 5% ao mês. Qual o montante acumulado ao final de 3 anos? PV = 800,00 i=5%ao mês /100 = 0,05 (Forma unitária) FV=? n=3anos => 3.12 = 36meses FV = PV.(1 + n. i) Resolução Exercício 1 PV = 800,00 i = 0,05 FV =? n = 36 meses FV = PV.(1 + n. i) FV = 800.( ,05) FV = 800.(1 + 1,80) FV = 800. (2,80) FV = 2.240,00 Atenção: efetuar a multiplicação primeiro. 11

12 Exercício 2 PV (Valor Presente) Sua dívida junto à Financeira YK atualmente é de R$ ,08. Se ela foi contraída há 4 trimestres, qual o valor originalmente devido, seataxadejuroséde7,5%a.m? (Gimenes, 2012, p. 81, PLT) Exercício 2 PV (Valor Presente) FV = ,08 n=4trim. PV =? i=7,5%a.m. n=4x3=12m. i = 7,5%/100 = i = 0,075 Exercício 2 PV (Valor Presente) na HP12C FV = ,08 f CLx n=4trim. PV =? i=7,5%a.m ,08 7,5 FV i aceita em % n=4x3=12m. 12 n PV = ,99 Na HP12c, o resultado negativo não quer dizer que está errado, pois ela trabalha como fluxo de caixa. 12

13 Exercício 3 i (taxa de juros compostos) Que taxa mensal faz com que R$ 2.150,00 produzam R$ 700,00 juros em 7 meses? (Gimenes, p. 91, 2012, PLT) Revisão de matemática básica: Exercício 3 i (taxa de juros compostos) Que taxa mensal faz com que R$ 2.150,00 produzam R$ 700,00 juros em 7 meses? i =? Mensal PV = 2150 J = 700 n = 7 meses FV = PV+J FV = FV = 2850 Exercício 3 i (taxa de juros compostos) 7 SHIFT ^ X 100 = 4,1086%a.m. 13

14 Exercício 3 i (taxa de juros compostos) na HP12c i=?mensal PV = 2150 J = 700 n = 7 meses FV = PV+J FV = FV = 2850 f CLx CHS PV FV 7 n i = 4,108%a.m. *Na prova será aceito este padrão de resposta. Colocar todos os passos da HP12C. Exercício 4 Cálculo do prazo (n) Você aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de 10%a.m. Depois de algum tempo, o valor disponível para o resgate era de R$ 1.610,51. Qual o tempo dessa aplicação? (Gimenes, 2012, p. 86, PLT) Revisão matemática básica: = 2.log 5 Exercício 4 Cálculo do prazo (n) PV = 1000 i = 10%a.m. FV = 1610,51 n=? Taxa ao mês Resposta em meses. i = 10/100 = 0,1 n=0,206963/0,041393=5m. 14

15 Exercício 4 Cálculo do prazo (n) PV = 1000 i = 10%a.m. FV = 1610,51 n=? Taxa ao mês Resposta em meses. f 10 i CLx CHS PV 1610,51 FV n = 5 meses Juros Simples e Compostos Finalizando Mais Estudos É muito importante que você resolva mais exercícios. Não fique somente nos exercícios das aulas. O treino e a variedade de exercícios deverão complementar as aulas. Faça os exercícios do Caderno de Atividades e do PLT. Tente resolver sem ver a solução. 15

16 Juros Simples x Compostos MÊS PV i Juros (R$) Saldo Final 1 R$ 100,00 10% 10,00 110,00 2 R$ 100,00 10% 10,00 120,00 = Juros Simples 3 R$ 100,00 10% 10,00 130,00 Juros (R$) Saldo Final MÊS PV i R$ 1 100,00 Juros Compostos = 10% 10,00 110,00 2 R$ 110,00 10% 11,00 121,00 3 R$ 121,00 10% 12,10 133,10 Gráfico Comparativo de Juros Simples e Compostos Simples Composto Exercício 1 A que taxa mensal de juros simples um capital deve ser aplicado para que triplique em 5 anos? i=? %mensal PV = 1,00 FV = 3,00 n=5anos n=5x12=60m 16

17 Exercício 1 Resolução FV = PV. ( 1 + n. i ) 3 = 1. ( i ) 3 = i 3 1 = 60 i 2 = 60 i 2 / 60 = i i = 0, (forma unitária) i = 0, x 100 i = 3,33% a.m. Exercício 2 A Cia. Brasília tomou um empréstimo no Banco Ouro. No vencimento, pagou R$ ,93. O prazo da operação foi de 9 meses. A taxa de juros compostos foi de 1,99% ao mês. Qual o valor do empréstimo? FV = ,93 n = 9 meses i = 1,99% a.m. /100 = 0,0199 (Forma unitária) PV =? Resolução Exercício 2 17

18 Exercício 3 Um consumidor comprou um aparelho à vista por R$ 449,80. O mesmo bem poderia ser pago algum tempo depois por R$ 600,00. A lojaoperacomumataxade5%a.m.qualo prazo disponibilizado pela loja para tal pagamento? (Gimenes, 2012, p. 86) PV = 449,80 FV = 600,00 i = 5,0%a.m. n=? i = 5/100 = 0,05 Exercício 3 Resolução Exercício 4 A Joãozinho Ltda. recebeu em pagamento um título de R$ 605,00 que vencerá em dois anos. No entanto, a empresa está precisando de dinheiro hoje para pagar uma despesa. Trabalhando sempre com juros compostos e com custo de oportunidade de 10% ao ano, por qual valor mínimo, em reais, deverá vender hoje este título? (ENADE 2002 ADM) 18

19 FV = 605 i = 10% a.a. n=2anos PV =? Exercício 4 Resolução Para Reflexão "O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza. Albert Einstein Referências GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática financeira com HP12C e Excel. São Paulo: Pearson Education, Pearson PLT Programa do Livro-Texto OTSUKA, Leonardo Takamasa. Matemática Financeira. Caderno de Atividades. Valinhos: Anhanguera Educacional,