Título Isometrias no Plano Uma abordagem segundo a Geometria Analítica. Autor Helena de Fátima Sousa Melo. Edição Influir. Concepção Gráfica Influir

Transcrição

1

2

3 Título Isometris no Plno Um ordgem segundo Geometri Anlític Autor Helen de Fátim Sous Melo Edição Influir Concepção Gráfic Influir Impressão e cmento COINGRA ISBN Depósito Legl 5/ Apoio

4

5

6 À memóri dos meus pis À minh filh HFSM 5 5

7

8 Í N D I C E AGRADECIMENTOS PREFÁCIO INTRODUÇÃO 5 CAPÍTULO COORDENADAS HOMOGÉNEAS 7 CAPÍTULO MATRIZES DAS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS CAPÍTULO ISOMETRIAS 9 CAPÍTULO 4 MATRIZES DE TRANSFORMAÇÃO HOMOGÉNEA ASSOCIADAS ÀS ISOMETRIAS 4 CAPÍTULO 5 REFLEXÃO EM RECTA 49 CAPÍTULO 6 TRANSLAÇÃO 59 CAPÍTULO 7 ROTAÇÃO 69 CAPÍTULO 8 MEIA-VOLTA 8 CAPÍTULO 9 REFLEXÃO DESLIZANTE 9 CAPÍTULO TEOREMAS GERAIS E CONCLUSÕES BIBLIOGRAFIA LISTA DE SÍMBOLOS ÍNDICE DE FIGURAS 7 ÍNDICE REMISSIVO 9 7 7

9

10 Um geometri não pode ser mis erddeir do que outr; poderá ser pens mis cómod Poincre A Geometri fz com que possmos dquirir o háito de rciocinr, e esse háito pode ser empregdo, então, n pesquis d erdde e judr-nos n id Jcques Bernoulli 9 9

11

12 AGRADECIMENTOS Gostri de grdecer todos queles que possiilitrm execução do presente trlho À Direcção Regionl d Ciênci, Tecnologi e Comunicções, Secretri Regionl de Ciênci, Tecnologi e Equipmentos, que possiilitou pulicção deste trlho inserido no projecto com refª M/I/9B/9, no âmito d Medid Apoio à edição de pulicções científics, no âmito do Eixo Incentios à produção científic, do Progrm (Apoio à formção nçd (FORMAC), do Plno Integrdo pr Ciênci e Tecnologi Tmém gostri de grdecer os colegs que mostrrm disponiilidde pr lerem o mnuscrito, fzendo oserções, crítics e comentários, que permitirm correcção e lterção de lguns pontos, de modo proporcionr um melhor compreensão do pretendido Em especil gostri de grdecer os csis migos, Mgd e Ricrdo Teixeir, filósof e mtemático, respectimente, e Din e João Crl, mtemáticos de lm e corção, que contriuírm com lgums sugestões, com o seu entusismo e incentio A utor, Junho

13

14 PREFÁCIO Este trlho é o resultdo d leccionção de áris disciplins o longo de um percurso de docênci em Cursos de Licencitur em Mtemátic e de Licenciturs e Bchreltos em outros rmos que englom, em seus plnos de estudo, s disciplins d áre de Mtemátic A ordgem feit, pesr de prentemente enoler s áres de Geometri ds Trnsformções e de Geometri Anlític, enole outrs, tis como Geometri Projecti e Álger Liner O trlho tem um discurso contínuo que proporcion um ligção entre os diersos tems de modo nturl e crescente, com presentção de áris proposições, quse tods els com respecti demonstrção O finl d demonstrção de um proposição ou teorem é ssinldo com o símolo ( ), s proposições ou teorems que não são demonstrdos, por possuírem um pro eidente ou nálog, são ssinldos com o símolo () Algums ds demonstrções se figurm como um exemplo teórico Com o propósito de melhor mnuseá-lo, o trlho foi diidido em dez cpítulos, cinco dos quis referentes às isometris no plno, ou sej, reflexão n rect, trnslção, rotção, mei-olt, cso específico d rotção qundo o ângulo é de 8º, e reflexão desliznte Ao longo d exposição há exemplos elucidtios e lgums ilustrções Este trlho pode conferir-se de um crácter didáctico, considerndo-se útil lgums uniddes curriculres ctuis, como é o cso d Computção Gráfic no plno Pr lém disso, pode ssumir um crácter explortório, presentndo um outr form de ordgem do tem isometris no plno, não pel ertente d Geometri Euclidin, que por ezes necessit de um conhecimento generlizdo dos seus conceitos e proprieddes, ms trés d Geometri Anlític, mis direct e clculist A finlidde principl deste trlho é deleitr o leitor nos ários cminhos que unem Mtemátic, e contriuir prcilmente pr o desenolimento de noos meios de exposição de conteúdos, lguns por ezes conhecidos

15

16 INTRODUÇÃO No mundo o nosso redor, encontrmos trnsformções cd instnte A isometri do grego isos (igul) e metron (medid) é um trnsformção relciond com o moimento rígido dos corpos, que não mudm de tmnho, ou de form, quer no plno, quer no espço, podendo-se, ssim, fzer um correspondênci entre os pontos dos corpos ntes e pós o moimento Os exemplos mis importntes de isometris são s reflexões em rects, pois, tod, e qulquer que sej, isometri pode ser representd como resultdo de um composição finit de reflexões em rects No plno euclidino, s isometris simples podem ser rotções, trnslções e reflexões Semos que existe um correspondênci iuníoc entre os pontos do plno euclidino e o conjunto de todo os pres ordendos de números reis No entnto, necessitmos de um processo mis rngente que permit justificr os resultdos relciondos com s isometris no plno euclidino Com tl intuito, recorreremos o conceito de coordends homogénes Com o uxílio d geometri nlític e d álger liner, trés dos conceitos de coordends homogénes e de mtrizes relcionds às isometris, determinds proprieddes e teorems ssocidos às isometris no plno, tornr-se-ão mis cessíeis à compreensão 5 5

17

18 CAPÍTULO COORDENADAS HOMOGÉNEAS Definimos inicilmente o plno euclidino, Π E, como o conjunto de pontos P E, e o conjunto de rects R E, onde, entre os pontos e s rects, existem determinds relções como por exemplo, incidênci, colineridde, concorrênci, prlelismos, dentre outrs Notmos que um rect do conjunto R E tmém pode ser considerd pelo conjunto dos seus pontos, ou sej, um suconjunto de P E Tmém definimos o espço euclidino, E E, como o conjunto de pontos P E, o conjunto de rects R E, e o conjunto de plnos, E, onde, entre eles existem determinds relções à semelhnç do plno euclidino Existe um correspondênci iuníoc entre os pontos do plno euclidino P E e o conjunto de todos os pres ordendos de números reis (x, y), denotdo por R, denomind sistem de coordends no plno Bem como, entre os pontos do espço euclidino e o conjunto de tods s terns ordends de números reis ( x, y, z), denotdo por R Assim, cd ponto no espço euclidino está uniocmente ssocido um tern ordendo, em que é considerdo um referencil composto por três eixos perpendiculres entre si e concorrentes num único ponto, O, denomindo origem do referencil, e onde o primeiro, o segundo e o terceiro elementos denotm respectimente ciss (ou projecção do ponto no eixo Ox), ordend (ou projecção do ponto no eixo Oy) e cot (ou projecção do ponto no eixo Oz) No entnto, por ezes, necessitmos de um sistem mis rngente que permit oter resultdos sore geometri no plno euclidino Comecemos então por definir um noo sistem de coordends 7 7

19 Assim, consideremos o conjunto R \{(,,)}, de tods s terns (x, y, z) com x, y, z R, nem todos nulos, e relção de equilênci, que denotremos por ~, definid d seguinte mneir: ( x, y, z) ~ ( x,y,z ) k R\{}: x = k x, y = ky e z = kz Dd um tern ( x, y, z) R \{(,,)}, denotemos por ( x : y : z) clsse de equilênci representti de um ponto Os pontos ( x : y : z) com coordend z podem tmém ser representdos so form x y : z z : Deste modo, os números x, y e z são chmdos coordends homogé- nes do ponto ( x : y : z) e indicmos ( x : y : z) = ( kx : ky : kz), pr todo k R\{} A conexão entre o ponto no espço euclidino de coordends crtesins ( x, y, z) e o ponto no plno euclidino de coordends homogénes ( x : y : z) torn-se prente qundo considermos o plno z = no espço A rect r que une o ponto P, com coordends crtesins no espço euclidino x, x, x ) (, à origem, intercept o plno z =, prlelo o plno euclidino coordentizdo Π E, definido por xoy (figur ) Assim, o ponto P é projectdo no ponto Q que possui por coordends crtesins x x x, x, Figur Coordends homogénes O plno xoy, ou sej, z =, é mergulhdo num posição do espço tridimensionl um ltur z =, não contendo portnto origem 8 8

20 Assim, s coordends crtesins no plno xoy do ponto próprio Q são x x x, x, sendo x x : : um conjunto de coordends homogénes pr este ponto Qulquer ponto próprio n x x rect r (à excepção d origem do referencil, O) se project tmém no ponto Q, tendo, ssim, o mesmo conjunto de coordends homogénes No entnto, há pontos no espço euclidino coordentizdo que não correspondem nenhum dos pontos do plno z =, são os pontos do plno xoy, pois rect que os une à origem e o plno z = são prlelos entre si Assim, os pontos d form ( x : y : ) correspondem os pontos impróprios (ou pontos infinitos) do plno xoy Pr um rect própri, no plno xoy, de equção x y c =, podemos considerr os prâmetros,, e c, como s sus coordends homogénes, indicndo-s por [ : : c] e, à semelhnç ds coordends homogénes dos pontos, identificr múltiplos, não nulos, ds coordends Assim, cd ponto e cd rect são representdos por três coordends homogénes Indicmos os pontos por P = ( x : y : ) e s rects por r = [ : : c] Dus rects expresss em coordends homogénes [ : : ] e [ : : ] são idêntics se, e somente se, = = =, e indicmos por [ : : ] = [ : : ] 9 9

21 O ponto ( x : y : ), em coordends homogénes, pertence rect [ : : c] se, e somente se, o produto esclr é nulo, ou sej, x y c = e que podemos representr mtricilmente por [ c ] x y = No entnto, há coordends homogénes que não correspondem nenhum rect própri, são s coordends [ : : ] Ests coordends representm rect imprópri ou rect infinit que contém todos os pontos impróprios de coordends homogénes ( x : y : ), isto que: [ ] x y = A intersecção de dus rects, quisquer, definids em coordends homogénes, [ : : ] e [ : : ], é dd pelo ponto de coordends homogénes ( x : x : x ), onde x =, x = e x = Dus rects própris definids em coordends homogénes por [ : : ] e [ : : ] são prlels se, e somente se, = e =, isto que o único ponto de intersecção tem por coordends homogénes ( ( ) : ( ) : ), ou sej, é um ponto impróprio A noção lgéric de coordends homogénes fornece um dulidde perfeit entre s rects e os pontos Assim, podemos comutr os termos rect e ponto, e continurmos ter proposições erddeirs Fremos uso do conceito de coordends homogénes pr trtrmos, de um modo generlizdo, lgums ds trnsformções geométrics no plno euclidino

22 CAPÍTULO MATRIZES DAS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Definição Um Trnsformção Geométric é um plicção ijecti (ponto por ponto) entre dus figurs geométrics (conjunto de pontos), no mesmo plno ou em plnos diferentes, de form que, prtir de um figur geométric originl, se form outr geometricmente igul ou semelhnte, sem perd ds sus proprieddes topológics Tods ests trnsformções podem ser considerds como trnsformções lineres no espço Com o ojectio de simplificr o trtmento lgérico, um ez que o estudo se frá pens no plno euclidino coordentizdo, definiremos um mtriz qudrd de ordem, designd por mtriz de trnsformção homogéne, ssocid à trnsformção Assim, o estudo fr-se-á prtir dests mtrizes, onde podemos expressr qulquer composição de trnsformções geométrics em termos do produto ds sus respectis mtrizes ssocids Proposição Um trnsformção geométric preser incidênci Demonstrção Sejm P e r, um ponto e um rect, de coordends homogénes ( x : y : ) e [ : : c], respectimente, e T mtriz de trnsformção homogéne, de ordem, ssocid um trnsformção geométric T, que como tl possui iners T -, sendo su mtriz de trnsformção homogéne ssocid T -, mtriz iners de T Denotemos por I, mtriz identidde de ordem Sejm o ponto P e rect r, respectimente, os trnsformdos de P e r por T e de coordends homogénes ( x : y : ) e [ : : c ] Consideremos P r, então segue-se que Um propriedde topológic é um propriedde inrinte (insensíel) às trnsformções que lhe são plicds

23 [ c ] y x = [ c ] I y x = [ c ] (T - T) y x = ( [ c ] T - ) T y x = Considerndo [ c ] T - = [ c ] e T y x = y' x', temos que [ c ] y' x' =, e concluímos que P r Pssemos à descrição de lgums trnsformções geométrics no plno euclidino coordentizdo, tis como trnslção, rotção, mei-olt, como cso prticulr d rotção, reflexão em rect e reflexão desliznte, plicndo-s o conjunto de pontos P E

24 Sej τ um trnslção ssocid o ector = ( t x, t y ) τ : P E P E (x, y) ( x t x, y t y ) τ (x, y) x P ( xt,yt ) x P x y x Figur Trnslção Ddo um ponto qulquer P de coordends crtesins (x, y), pel trnslção τ, este é trnsportdo pr o ponto P de coordends crtesins (x t x, y t y ) (figur ) Isto é, trés d trnslção τ, P é trnsformdo em P, onde P = τ (P) e PP ' = Este modo de descreer trnsformção não enole o uso de mtrizes No entnto, com utilizção do conceito de coordends homogénes já é possíel utilizr os conhecimentos ds operções com mtrizes Como semos que o ponto de coordends crtesins (x, y) tem por coordends homogénes ( x : y : ) Então, pel trnslção τ, o ponto de coordends homogénes ( x : y : ) é trnsformdo no ponto de coordends homogénes ( x t x : y t y : ) Deste modo, podemos então considerr como mtriz de trnsformção homogéne ssocid trnslção mtriz, denotd por T,

25 4 T = t t y x, isto que, t t y x y x = t y t x y x A trnslção, por ser um trnsformção ijecti, dmite iners A iners d trnslção τ, ssocid o ector = (t x, t y ), é trnslção τ - ssocid o ector = ( t x, t y ), sendo su mtriz de trnsformção homogéne ssocid T - = T = t t y x Osermos que, T T = t t y x t t y x = = I, em com, T T = t t y x t t y x = I 4

26 Consideremos gor um rotção, que denotremos por Δ O,, de ângulo com mplitude igul, no sentido nti-horário, em torno d origem do referencil crtesino, o ponto O, no plno euclidino coordentizdo Δ O, : P E P E (x, y) (x, y ) Figur Rotção Um ponto P, qulquer, de coordends crtesins (x,y) é trnsformdo, pel rotção, num ponto P de coordends crtesins (x, y ) (figur ) Osermos que OP = OP', x = OP cosϕ, y = OP senϕ, x = OP' cos( ϕ ) e y = OP' sen( ϕ ) Otemos ssim, por coordends crtesins do ponto P em função do ângulo, isto que (x cos y sen, x sen y cos), Existem dois sentidos de orientção pr um ângulo no plno euclidino O sentido dos ponteiros do relógio (sentido horário) e o sentido contrário os dos ponteiros do relógio (sentido nti-horário) 5 5

27 x = OP' cos( ϕ ) = OP' cosϕ cos OP' senϕ sen = OP cosϕ cos OP senϕ sen = x cos y sen e y = OP' sen( ϕ ) = OP ' cosϕ sen OP' senϕ cos = OP cosϕ sen OP senϕ cos = x sen y cos Assim, podemos ssocir est trnsformção mtriz ortogonl cos sen Consequentemente, mtriz de trnsformção homogéne ssocid, que denotremos por R O,, sen cos é R O, = cos sen sen cos Um mtriz é denomind mtriz ortogonl se iners d mtriz é igul à su trnspost 6 6

28 A mtriz de trnsformção homogéne ssocid à iners dest rotção é igul à trnspost d mtriz de trnsformção homogéne ssocid tl trnsformção, isto é,, isto trtrse de um mtriz ortogonl Osermos que R O, = R t O, R O, cos t R O, = sen sen cos cos sen sen cos = I, em com, cos t R O, R O, = sen sen cos cos sen sen cos = I Se considerrmos rotção no sentido horário, teremos como su mtriz de trnsformção t O, homogéne ssocid mtriz R A mei-olt, ou reflexão em ponto, ou simetri pontul, que denotremos por Σ O, é um cso prticulr d rotção, qundo mplitude do ângulo de rotção é igul 8º (ou π rd) Neste cso, temos como mtriz de trnsformção homogéne ssocid est trnsformção, considerd em torno d origem do referencil, mtriz denotd por M O, M O = 7 7

29 Ddo um ponto de coordends homogénes ( x : y : ), temos que resultnte de Σ O (x : y : ) = ( x : y : ), x y Osermos que qundo mplitude do ângulo de rotção é um múltiplo de 6º, ou qundo o ector de trnslção é nulo, trnsformção geométric deix todos os pontos do plno euclidino inrintes Tl trnsformção é denomind Identidde e denotremos por I d, sendo su mtriz de trnsformção homogéne ssocid I Anlisemos o que ocorre um ponto, qulquer, pel trnsformção geométric, denomind reflexão em rect, ou simetri xil, relciond com um rect r que pss pel origem do referencil e form um ângulo de mplitude igul com o eixo Ox, e qul denotremos por Σ r Σ r : P E P E (x, y) (x, y ) Figur 4 Reflexão em rect 8 8

30 Consideremos rect r não prlel os eixos coordendos (figur 4) e de equção x sen y cos = Ddo um ponto P, qulquer, de coordends crtesins (x, y), este é trnsformdo, pel reflexão n rect r, no ponto P de coordends crtesins (x, y ), onde PP r Sendo {M} = PP r, então M é ponto médio do segmento [PP ] e rect r é meditriz deste mesmo segmento Consideremos um ponto A pertencente rect r e com mesm ordend do ponto P Como o ponto A pertence à rect r, temos que AP ' = AP Então o triângulo [APP ] é isósceles Consideremos tmém o ponto B com mesm ciss do ponto A e pertencente o eixo Ox Sendo o ângulo BÔA =, temos que AB sen = e o ângulo ^ P A P ' OB cos = que Se considerrmos o ponto C pertencente à rect AP e com mesm ciss do ponto P, temos AC = AP ' cos e P ' C = AP ' sen Atendendo o fcto que x = OB AC e y = AB P ' C (ide figur 4) e supondo que o ponto B tem coordends crtesins (k,), segue-se que x = k AP ' cos = k AP cos 9 9

31 = k (x k) cos = k x cos k cos = x cos k k cos = x cos k ( cos ) = x cos y = x cos y cos ( cos ) sen cos sen sen = x cos y cos sen = x cos y sen e nlogmente, y = y AP ' sen = y (x k) sen = x sen y y cos cos sen = x sen y cos sen cos sen = x sen y ( cos ) = x sen y cos

32 cos sen Assim, podemos ssocir est trnsformção mtriz Consequentemente, sen cos mtriz de trnsformção homogéne ssocid à reflexão n rect r que pss pel origem do referencil, que denotremos por S r, é S r = cos sen sen cos Se equção d rect for express n form gerl x y =, fzemos = sen, = cos e, tendendo às relções trigonométrics, com sustituição direct e coneniente dos lores n mtriz nterior, otemos mtriz resultnte que é d form Como em mos os csos s mtrizes são ortogonis e simétrics, trnsformção iners é própri trnsformção de reflexão em rect, ou sej, Σ r - = Σ r Consequentemente temos que S r = I De seguid listmos lgums mtrizes de trnsformção homogéne ssocids às reflexões em rects prticulres

33 S Ox =, ssocid reflexão em relção o eixo Ox S Oy =, ssocid reflexão em relção o eixo Oy S i =, ssocid reflexão em relção à issectriz dos qudrntes I e III S p =, ssocid reflexão em relção à issectriz dos qudrntes II e IV Os csos que enolem rects prlels os eixos coordendos serão istos no cpítulo 5 Definição Qundo um trnsformção, distint d identidde, dmite como iners própri trnsformção, est é denomind inoluti, ou sej, se T I d e T = I d A reflexão em rect é inoluti Por outrs plrs, imgem de um ponto pel compost de dus reflexões n mesm rect é o próprio ponto

34 Pssemos à reflexão desliznte, ou trnslção reflectid, que denotremos por δ (,r), e que pode ser definid como o resultdo d composição entre um reflexão em rect e um trnslção cujo ector tem mesm direcção que rect δ (,r) : P E P E (x, y) (x, y ) Figur 5 Reflexão desliznte Consideremos n figur 5 um rect r que psse pel origem e forme com o eixo Ox um ângulo de mplitude igul e um ector n mesm direcção d rect, = OA, cujs coordends crtesins são (ρ cos, ρ sen), onde ρ = OA Ddo o ponto P de coordends crtesins (x, y), este é trnsformdo, por δ (,r), no ponto P de coordends crtesins (x, y ) Simolicmente, δ (,r) (P) = P (ide figur 5) Podemos oter est trnsformção por dus composições: δ (,r) = τ º Σ r ou δ (,r) = Σ r º τ

35 A mtriz de trnsformção homogéne ssocid est trnsformção, denotd por D (,r), é otid pel simples multiplicção ds mtrizes de trnsformção homogéne ssocids às respectis trnsformções de trnslção e de reflexão em rect, ou sej, ρ cos ρ sen cos sen sen cos cos = sen sen cos ρ cos ρ sen ou cos sen sen cos ρ cos cos ρ sen = sen sen cos ρ cos ρ sen Assim, mtriz de trnsformção homogéne ssocid à reflexão desliznte é D (,r) = cos sen sen cos ρ cos ρ sen Até o momento, de tods s trnsformções estudds, pens s que enolem trnslções são s que necessitm que s sus mtrizes ssocids sejm qudrds de ordem (mtrizes de trnsformção homogéne) e os elementos enolidos, os pontos e s rects, sejm expresss em termos de coordends homogénes Ests trnsformções são o cso d trnslção e d reflexão desliznte Já rotção e reflexão em rect, em que o ponto enolido sej origem do referencil crtesino, não necessitm que s sus mtrizes ssocids sejm qudrds de ordem, stndo serem de ordem, como já foi isto nteriormente 4 4

36 No entnto, como trlhremos com composição de tods ests trnsformções, ns demonstrções ds proposições que se seguem, utilizremos s mtrizes de trnsformção homogéne como s sus mtrizes ssocids Proposição A trnslção, rotção, reflexão em rect e reflexão desliznte são trnsformções geométrics que conserm distâncis Demonstrção Ddos dois pontos quisquer, P de coordends homogénes ( p : p : ) e Q de coordends homogénes ( q : q : ), e os respectios trnsformdos por T, P de coordends homogénes ( p : p : ) e Q de coordends homogénes ( q : q : ), temos, pr cd um ds qutro trnsformções geométrics, o que se segue: (i) Em relção à trnslção τ, ssocid o ector, otemos pel trnsformção trés ds mtrizes correspondentes, t x t y p p q q = p p t t x y q q t t x y, onde p = p t x, p = t y p, q = q t x e q = q t y Osermos então que P ' Q' = ( p ' q' ) (p ' q ') = ( (p t x ) (q t x ) ) ( (p t y ) (q t y ) ) = q) (p q ) ( p = PQ 5 5

37 (ii) Em relção à rotção Δ O,, de centro O e ângulo, otemos s coordends homogénes ( p cos psen : p sen p cos : ) e ( q cos q sen : q sen q cos : ) pr os pontos P = Δ O, (P) e Q = Δ O, (Q), respectimente, trés do produto cos sen sen cos p p q q Anlogmente à trnsformção geométric nterior, erificmos que P ' Q' = PQ (iii) Em relção à reflexão em rect Σ r, considerndo, sem perd de generlidde, rect r pssndo pel origem do referencil e formndo com o eixo Ox o ângulo de mplitude igul, otemos s coordends homogénes ( e ( q p cos p sen : psen p cos : ) pr o ponto Σ r (P) cos q sen : qsen q cos : ) pr o ponto Σ r (Q), resultntes do produto cos sen sen cos p p q q, e do mesmo modo, erificmos que P ' Q' = PQ (i) Finlmente, pr reflexão desliznte δ (,r), onde o eixo r pss pel origem do referencil, formndo com o eixo Ox um ângulo, e é um ector n mesm direcção que rect r, otemos, respectimente, pr P = δ (,r) (P) e pr Q = δ (,r) (Q) s seguintes coordends homogénes 6 6

38 P = ( cos p sen ρ cos : sen p cos ρ sen : ) p p e Q = ( cos q sen ρ cos : sen q cos ρ sen : ), trés do produto q q cos sen sen cos ρ cos ρ sen p p q q Nest trnsformção geométric erificmos tmém que P ' Q' = PQ Assim, tods s trnsformções geométrics considerds conserm distânci 7 7

39

40 CAPÍTULO ISOMETRIAS Definição Um isometri no plno euclidino é um trnsformção geométric de P E sore P E que preser distâncis, isto é, se Ω é um isometri e P e Q são dois pontos ritrários do plno euclidino, P, Q P E, sendo P = Ω(P) e Q = Ω(Q), então medid do comprimento do segmento [PQ] é igul à medid do comprimento do segmento [P Q ], simolicmente, PQ = P'Q' A trnslção, rotção, reflexão em rect e reflexão desliznte, pel proposição, são denominds isometris Por conserr distânci, tod isometri plic três pontos colineres em três pontos colineres, conserndo ordem dos pontos, e três pontos não colineres em três pontos não colineres, conserndo o ângulo entre eles Deste modo, isometri tmém conser ângulos lires 4, ms, no entnto, pode inerter o seu sentido de orientção A Identidde, I d, é um isometri e iners de um isometri é tmém um isometri, isto que, pel definição presentd, isometri é um trnsformção geométric e por conseguinte ijecti O resultdo d composição finit de isometris é, tmém, um isometri, pois cd isometri preser o comprimento, e consequentemente, compost tmém o preser 4 Ângulo lire é o ângulo não sumetido nenhum sentido, quer nti-horário ou quer horário 9 9

41 Definição Qundo um isometri mntém orientção de um figur geométric pós su trnsformção, isometri é denomind própri (ou pr) e qundo inerte orientção, é dit imprópri (ou ímpr) A trnslção e rotção são isometris própris A reflexão em rect e reflexão desliznte são isometris imprópris É eidente que compost de isometris própris é sempre um isometri própri Bem como, compost de dus isometris imprópris, é um isometri própri Já composição de um isometri própri com um isometri imprópri, result num isometri imprópri As únics isometris conhecids no plno euclidino são um ds qutro nteriormente definids, ou sej, s trnslções, s rotções (meis olts, qundo mplitude do ângulo é igul 8º), s reflexões em rect e s reflexões deslizntes Por est rzão, qulquer resultnte d composição finit de isometris corresponde um, e só um, ds qutro mencionds 4 4

42 CAPÍTULO 4 MATRIZES DE TRANSFORMAÇÃO HOMOGÉNEA ASSOCIADAS ÀS ISOMETRIAS As mtrizes de trnsformção homogéne inicilmente ssocids esss isometris estão relcionds com origem do referencil crtesino Pr otermos um mtriz de trnsformção homogéne ssocid um isometri relciond com um elemento qulquer do plno euclidino, deemos proceder um reposicionmento, que coloc o elemento num posição já conhecid De tods s isometris no plno considerds, trnslção, ssocid um ector, é únic que mntém inlterd su mtriz de trnsformção homogéne ssocid, pelo fcto do ector ser o representtio de um clsse de equilênci e não depender de qulquer ponto ou rect do plno ou espço As demis isometris ler-se-ão dest pr se poder oter s respectis mtrizes de trnsformção homogénes ssocids cd um Assim, iniciemos o estudo com um rotção de centro distinto d origem do referencil crtesino Sej F, de coordends crtesins (f, f ), um ponto qulquer do plno euclidino e um ângulo orientdo 5 Consideremos então rotção de centro F e de ângulo, indicd por Δ F, Α su mtriz de trnsformção homogéne ssocid é o produto de três mtrizes: primeir mtriz é mtriz de trnsformção homogéne ssocid trnslção τ, onde = FO = ( f, f ), e trés d qul 4 4

43 imgem do ponto F, centro d rotção, coincide com origem do referencil; segund mtriz é mtriz de trnsformção homogéne ssocid à rotção Δ O,, de ângulo ddo e centro n origem e terceir mtriz é mtriz de trnsformção homogéne ssocid à trnslção τ -, onde = OF e pel qul o centro, de rotção, olt à su posição originl Ou sej, sendo isometri Δ F, = τ - º Δ O, º τ, su mtriz de trnsformção homogéne ssocid é cos R F, = sen sen cos f( cos) f sen f sen f ( cos ), resultnte de f f cos sen sen cos f f Exemplo 4 Sejm s coordends crtesins do ponto F, (,) Consideremos rotção de centro em F e ângulo º (sentido nti-horário) (figur 6), encontremos imgem do ponto A de coordends crtesins (4,) pel rotção dd Δ F,º 5 Um ângulo diz-se orientdo, se possuir um dos sentidos de orientção do plno, ou sej, o sentido nti-horário, ou o sentido horário 4 4

44 4 cosº ) ( senº cosº senº senº cosº ) ( senº cos º 4 = = 5 4 = Figur 6 Rotção centrd num ponto Assim, o ponto A, trnsformdo do ponto A pel referid rotção, tem por coordends crtesin (, ) Pr um mei-olt, o rciocínio é nálogo, otendo como mtriz de trnsformção homogéne ssocid M F = f f Pr reflexão em rect consideremos um rect qulquer f, pssndo por um ponto qulquer, por exemplo, o ponto F de coordends crtesins ( f, f ), não pssndo pel origem do referencil crtesino e formndo com o eixo Ox um ângulo de mplitude igul A rect f, de equção x sen y cos f cos f sen =, tem por coordends homogénes [ sen : cos : f cos f sen] 4

45 44 Anlogmente à rotção, temos que Σ f = τ - º Σ r º τ onde r é rect que pss pel origem do referencil prlel à rect f Consequentemente tem equção x sen y cos = e correspondentes coordends homogénes [ sen : cos : ] O ector é definido por um ponto qulquer de f, suponhmos o ponto F, e origem do referencil Assim, mtriz de trnsformção homogéne ssocid est isometri é o produto de f f cos sen sen cos f f, ou sej, S f = ) cos ( f sen f cos sen sen f ) cos ( f sen cos Ou, se considerrmos rect f de equção x y c =, o ponto F terá coordends crtesins c f, f e mtriz de trnsformção homogéne ssocid est isometri é o produto de f f c f f c 44

46 45 ou sej, S f = c c Exemplo 4 Consideremos rect de equção gerl y x = pssndo pelo ponto de coordends crtesins 4, 5 e formndo um ângulo de mplitude igul º com o eixo Ox (figur 7) A imgem do ponto A de coordends crtesins (4,) pel reflexão n rect dd tem por coordends crtesin, 5, pois 4 = 5 Figur 7 Reflexão em rect 45

47 Pr reflexão desliznte, δ (,f), num dd rect f pssndo por um ponto qulquer distinto d origem do referencil crtesino e formndo um ângulo de mplitude igul em relção o eixo Ox, e com o ector de trnslção, n mesm direcção d rect considerd, é eidente que mtriz é ssocid o resultdo d composição δ (,f) = τ -w º δ (,r) º τ w onde r é rect contendo origem do referencil prlel à rect f e o ector w é definido por um ponto qulquer de f e pel origem Consideremos então rect f, de equção x sen y cos f cos f sen =, que pss pelo ponto F de coordends crtesins ( f, f ), e o ector = ( ρ cos, ρ sen), n mesm direcção d rect f Assim, mtriz de trnsformção homogéne ssocid est isometri é o produto de f f cos sen sen cos ρ cos ρ sen f f, ou sej, D (,f) = cos sen sen cos ρ cos f( cos ) f sen ρ sen f sen f ( cos ) 46 46

48 47 Exemplo 4 Consideremos rect g de equção gerl y x = pssndo pelo ponto de coordends crtesins 4, 5 e formndo um ângulo de mplitude igul º com o eixo Ox e o ector u, u =, (ide figur 8) A imgem do ponto A de coordends crtesins (4,) pel reflexão desliznte δ (u,g) tem coordends crtesins 6, = 6 7 Figur 8 Reflexão desliznte Conhecids s mtrizes generlizds de trnsformção homogéne ssocids às referids isometris, pssemos à demonstrção de lgums proposições referentes às isometris no plno trés d Geometri Anlític 47

49

50 CAPÍTULO 5 REFLEXÃO EM RECTA A reflexão em rect Σ r, é um isometri que pode ser definid, nlític e geometricmente, por: Σ r = {(P, P ) P E P E : P é o ponto simétrico de P em relção rect r} Osermos que o ponto P é o ponto simétrico do ponto P em relção r se, e somente se, r é meditriz do segmento [PP ] Se considerrmos {F} = PP r, temos que F é o ponto médio do segmento [PP ], ou sej, FP ' = FP Em tods s proposições referencids nlisremos sempre dois csos relciondos com perpendiculridde d rect em relção o eixo Ox, ou sej, o cso d rect ser, e não ser, perpendiculr o eixo Em lgums ds demonstrções, sem perd de generlidde e pr simplificção dos cálculos, fremos uso de mtrizes de trnsformção homogéne ssocids relcionds com origem do referencil crtesino Proposição 5 Os pontos inrintes por Σ r são os pontos d rect r, e somente eles Demonstrção Sem perd de generlidde, consideremos, primeirmente, rect r pssndo pel origem do referencil, distint do eixo Oy, e formndo com o eixo Ox um ângulo de mplitude igul Deste modo, r tem por coordends homogénes [ sen : cos : ] 49 49

51 5 Um ponto dest rect tem como coordends homogénes, por exemplo, : cos sen x : x o o Segue-se então, cos cos sen sen cos sen x x o o = cos sen x x o o Se gor rect r é um rect perpendiculr o eixo Ox, então est tem por coordends homogénes [ : : c] e um dos seus pontos tem, por exemplo, por coordends homogénes ( c : y o : ), então c y o c = y o c Em mos os csos, os pontos pertencentes s rects de reflexão ficm inrintes Se, por outro ldo, temos que os pontos ficm inrintes por um reflexão em rect, e considerndo um rect qulquer de coordends homogénes [ senβ : cosβ : ], segue-se que: cos cos β β β β sen sen cos sen x x o o = cos sen x x o o 5

52 Donde concluímos que sen x o cos β xo senβ = xo e cos sen sen xo senβ xo s cos β = xo, cos cos que ocorre pens qundo β = (i) Pr um rect de coordends homogénes [ : : d], temos que d c y o = c y o Donde concluímos que c d = c se, e somente se, d = c (ii) De (i) e (ii) fic demonstrdo que os pontos inrintes do plno pel reflexão em rect são pens os pontos d rect de reflexão, e somente eles Proposição 5 As rects inrintes por Σ r são própri rect r e tods s rects perpendiculres à rect r Demonstrção Pel proposição nterior, reflexão em rect deix inrinte todo o ponto d rect de reflexão, ficndo est tmém inrinte, ponto ponto Agor, sem perd de generlidde, consideremos, primeirmente, rect r pssndo pel origem do referencil, distint do eixo Ox, e 5 5

53 formndo um ângulo de mplitude igul O declie dest rect é dd por rect s, perpendiculr à rect r pssndo por um ponto ( x o, y o ) tem por equção: sen Assim, um cos cos x sen y (x o cos y o sen) = e por coordends homogénes [ cos : sen : x o cos y o sen] Consequentemente, [cos cos sen x o cos y o sen] sen sen cos = = [cos sen x o cos y o sen] Se r é um rect perpendiculr o eixo Ox, então r tem coordends homogénes [ : : c] Assim, c [ c] = [ c], em que [ : : c] = [ : : c] Em mos os csos, s rects inrintes por Σ r são s rects perpendiculres à rect r e rect de reflexão r 5 5

54 Proposição 5 A imgem por Σ r de um rect f, f // r, é um rect f, f // r As rects f e f estão à mesm distânci d rect r e em semi-plnos opostos em relção à rect r Demonstrção Sem perd de generlidde, consideremos rect r, pssndo pel origem do referencil crtesino, de equção sen x cos y =, não perpendiculr o eixo Ox, e um rect qulquer f, prlel e distint d rect r, de equção sen x cos y (y o cos x o sen) = A rect f pss pelo ponto F de coordends crtesins (x o, y o ) As coordends homogénes ds rects r e f são respectimente [ sen : cos : ] e [ sen : cos : y o cos x o sen] Assim, otemos rect f de coordends homogénes [sen : cos : x o sen y o cos] resultnte do produto de mtrizes cos [sen cos (y o cos x o sen)] sen sen cos ou sej, A rect f é prlel à rect f e erificmos tmém que f e f têm mesm distânci 6 à rect r, d f,r = xo sen yo cos xosen yo cos = = d f,r sen ( cos) sen ( cos) 6 A distânci entre dus rects prlels é distânci de um ponto, pertencente um dels, té outr Assim, sendo P=(p,p ) um ponto de um rect p e x y c = equção de um rect q prlel à rect p, distânci, d p,q é dd por p p c 5 5

55 Se rect f é prlel à rect r, por su ez, perpendiculr o eixo Ox, de coordends homogénes [ : : c], então f tem como coordends homogénes [ : : d] Então temos que [ d] c = [ c d] Otemos [ : : d c] por coordends homogénes d rect f, tmém um rect prlel à rect r E s distâncis de f e f em relção r serão iguis d c Em mos os csos, erificmos proposição Proposição 54 A imgem por Σ r de um rect f que intersect rect r no ponto F so o ângulo θ, é um rect f que intersect rect r no ponto F tmém so ângulo θ Demonstrção Consideremos rect r de equção sen x cos y = A rect f, que intersect rect r no ponto F so o ângulo θ, tem por equção sen(θ) x cos(θ) y (y o cos(θ) x o sen(θ)) = Assim, otemos equção d rect f por sen( θ) x cos( θ) y (x o sen(θ) y o cos(θ)) =, resultnte de cos [sen (θ) cos (θ) (y o cos(θ) x o sen(θ))] sen sen cos 54 54

56 Verificmos tmém que f e f formm o mesmo ângulo 7 em relção à rect r, ou sej, tg( fr ^ ) = sen( θ ) sen cos( θ ) cos sen( θ ) sen cos( θ ) cos = sec sec( θ ) senθ cosθ sec sec( θ ) = sec sec( θ ) senθ cosθ sec sec( θ ) = sen( θ ) sen cos( θ ) cos sen( θ ) sen cos( θ ) cos ^ r = tg( f ' ) Consideremos gor, sem perd de generlidde, rect r coincidente com o eixo Oy e rect f que pss pel origem do referencil As coordends homogénes de cd rect são, respectimente, [ : : ] e [ sen : cos : ] Assim, 7 Dds dus rects concorrentes p e q, ests determinm qutro ângulos, dois dois opostos pelo értice Considerndo θ θ = 8º, é eidente que tg θ = - tg θ Sendo m p e m q os coeficientes ngulres de p e q respectimente, resultntes p de p q e q, onde (p,p ) e (p,p ) são pontos distintos d rect p e (q,q ) e (q,q ) são pontos distin- p p q q tos d rect q, temos que tg( pq ) = ^ m p m m p m q q 55 55

57 56 [sen cos ] = [ sen cos ], em que [ sen : cos : ] = [sen(8º ) : cos(8º ) : ] Em mos os csos, erificmos proposição Pr perceermos melhor est proposição, oseremos o exemplo que se segue Exemplo 5 Consideremos reflexão num rect de coordends homogénes : : de um rect de coordends homogénes :: (figur 9) Assim, = em que : : = [,7 : :,5] Figur 9 Reflexão em rect 56

58 Proposição 55 A reflexão em rect inerte orientção do ângulo Demonstrção Sem perd de generlidde, consideremos um rect r definid pel equção sen x cos y =, e rect f de equção sen(θ) x cos(θ) y =, de modo formr um ângulo θ º em relção à rect r, no sentido nti-horário, ms pssndo pel origem do referencil A equção d rect f = Σ r (f) é definid por sen( θ) x cos( θ) y = O ângulo orientdo que rect r determin com rect f tem mplitude igul θ, enqunto que o ângulo orientdo que rect f determin em relção à rect r possui mplitude θ (sentido horário), ou sej, tg( rf ^ ) = senθ cosθ ^ senθ e tg( f ' r ) = cosθ Se considerrmos gor rect r coincidente com o eixo Oy, temos como coordends homogénes pr r, [ : : ], e pr f, [ sen : cos : ] Assim, [sen cos ] = [ sen cos ] = [sen(8º ) cos(8º ) ] Fzendo β = 8º, notmos que orientção do ângulo β é contrári à do ângulo Em mos os csos, erificmos proposição 57 57

59 Deido o resultdo demonstrdo n proposição nterior, ou sej, inersão d orientção no plno euclidino, reflexão em rect é considerd um isometri imprópri Pelo fcto d reflexão em rect ser um isometri e d compost de um número finito de isometris ser tmém um isometri, é eidente que todo compost de um número finito de reflexões em rects é um isometri no plno, e tod isometri no plno pode ser representd pel compost de um número finito de reflexões em rects Estes resultdos serão se do desenolimento pr os cpítulos seguintes 58 58

60 59 CAPÍTULO 6 TRANSLAÇÃO Pssemos um isometri compost por dus reflexões em rect e nlisemos primeirmente o cso em que s rects são prlels Consideremos isometri Ω = Σ g º Σ f, onde f // g Assim, P P E, se Σ f (P) = P ' e Σ g (P') = P, então Ω(P) = P Sejm (x, y) s coordends crtesins do ponto P Consideremos s rects f e g, prlels, pels sus coordends homogénes, respectimente, [ : : c] e [ : : d] Nests condições, distânci entre f e g é igul c d, e o correspondente ector distânci d rect f pr rect g é ) (, ) ( d c d c Osermos que imgem do ponto P por Σ f é o ponto P de coordends crtesins c c y ) ( x) (, y) ( x ) (, e imgem do ponto P por Σ g é o ponto P de coordends crtesins y, x d) (c d) (c 59

61 6 Pel trnsformção Σ g º Σ f e trés ds mtrizes de trnsformção homogéne ssocids cd um ds reflexões em rect, respectimente, d d e c c, otemos ) ( ) ( d c d c Segue-se que ) ( ) ( d c d c y x = y x (c d) d) (c Osermos que mtriz de trnsformção homogéne ssocid à trnsformção Σ g º Σ f, 6

62 6 ) ( ) ( d c d c, pode ser considerd ssocid um trnslção de ector igul o doro do ector ) (, ) ( d c d c Assim, pel isometri Ω = Σ g º Σ f todos os pontos são trnslddos pelo ector correspondente o ector " PP Notmos que norm do ector " PP não depende d posição do ponto P e é igul c d, ou sej, o doro d distânci entre s rects f e g Concluímos então, do estudo feito, seguinte proposição: Proposição 6 A compost Σ g º Σ f de dus reflexões em rects prlels, f e g, é trnslção τ d, cujo ector d é o doro do ector distânci d rect f à rect g Proposição 6 Tod trnslção τ pode ser representd, de infinits mneirs, como o resultdo d composição de dus reflexões em rects, desde que s dus rects considerds sejm prlels e de ector distânci igul à metde do ector d trnslção 6

63 6 Demonstrção Consideremos o ector = (, ), um rect qulquer, perpendiculr à direcção do ector, pssndo pelo ponto A, de coordends crtesins (, ), e rect prlel à rect, pssndo pelo ponto B, tl que AB = / Assim, rect terá por coordends homogénes [ : : ] e rect terá por coordends homogénes [ : : ] Encontremos imgem de um ponto qulquer P, de coordends crtesins ( p, p ), pel compost ds reflexões em rect Σ º Σ Consideremos s mtrizes de trnsformção homogénes ssocids cd um ds reflexões em rect Σ e Σ, respectimente, S = ( ) ( ) e S = ( ) ( ) 6

64 6 Ao clculr S S p p, otemos o ponto de coordends ( p, p ), que corresponde imgem por trnslção do ponto P segundo o ector Assim, como s rects form ritráris, pens stisfzendo condição de serem prlels e de distânci igul metde do ector, proposição fic demonstrd Proposição 6 Tod trnslção τ é um isometri que plic um rect g num rect g, com g // g Demonstrção Consideremos rect g pels sus coordends homogénes [ : : c] e um seu ponto qulquer de coordends homogénes ( x : y : ) Pel proposição semos que um trnsformção geométric preser incidênci, ssim, [ c ] y x = [ c ] y' x' = Visto que podemos considerr I como, em que é mtriz de trnsformção homogéne ssocid à trnslção de ector, τ, temos que s igulddes cim se mntêm 6

65 Deste modo, podemos considerr [ c ] = [ c ], e trés do produto [ c], encontrr s coordends homogénes d rect g = τ (g), ou sej, [ : : c] Concluímos então que rect g é prlel rect g Proposição 64 A trnslção τ não possui nenhum ponto inrinte se o ector não é nulo Demonstrção Sej, = (, ), e consideremos um ponto qulquer P de coordends crtesins ( p, p ) Pel trnslção τ imgem do ponto P é o ponto P de coordends crtesins ( p, p ) Visto que e, então P P e concluímos que trnslção τ não possui nenhum ponto inrinte Proposição 65 A trnslção τ, com, deix inrinte somente s rects que estão n direcção de Demonstrção Consideremos rect g prlel o ector = (, ), então g tem por coordends homogénes [ : : x o y o ], em que ( x o, y o ) são s coordends crtesins de um ponto qulquer d rect g A trnsformção d rect g pel trnslção τ é otid por 64 64

66 65 [ x o y o ] Assim, rect τ (g) tem por coordends homogénes [ : : x o y o ], donde concluímos que τ (g) = g Proposição 66 A compost de dus ou mis trnslções é um trnslção Demonstrção Proemos trés do princípio de indução mtemátic Consideremos inicilmente dus trnslções quisquer τ, com, e τ w, com w, onde w, e s sus respectis mtrizes de trnsformção homogéne ssocids, e w w Otemos, como produto ds mtrizes considerds, mtriz w w que corresponde à mtriz de trnsformção homogéne ssocid à trnslção de ector w 65

67 66 Suponhmos que compost de n trnslções τ n, com i, i n, n IN é um trnslção de ector = n i i, cuj mtriz de trnsformção homogéne ssocid é = = n i i n i i e erifiquemos se compost pr n trnslções é um trnslção Consideremos mtriz de trnsformção homogéne ssocid n n respeitnte trnslção de ector n Temos, = = n i i n i i n n = = = n i n i n i n i = = = n i i n i i mtriz de trnsformção homogéne ssocid um trnslção de ector = n i i Proposição 67 A composição de trnslções é comutti Demonstrção Consideremos dus trnslções quisquer τ, com, e τ w, com w, sendo w, e s sus respectis mtrizes de trnsformção homogéne ssocids 66

68 67 e w w A compost τ º τ w, ssocid à trnslção de ector w, tem por mtriz de trnsformção homogéne ssocid mtriz w w Como,, w e w são números reis, é álid propriedde comutti, ou sej, w = w e w = w, segue-se então que w w = w w = w w Logo concluímos que, τ º τ w = τ w º τ 67

69

70 CAPÍTULO 7 ROTAÇÃO Consideremos gor o cso em que n composição de dus reflexões em rect, s rects são concorrentes Sej isometri Ω = Σ g º Σ f, onde f e g são rects concorrentes num ponto F ssim, P P E, se Σ f (P) = P ' e Σ g (P') = P, então Ω(P) = P Consideremos o ponto de intersecção F, de coordends homogénes ( f : f : ), ds dus rects f e g, definids pels sus coordends homogénes [ sen : cos : f cos f sen] e [ senβ : cos β : f cosβ f senβ], respectimente As rects f e g se intersectm so o ângulo positio, θ, (sentido nti-horário) e so o ângulo negtio (sentido horário) ϕ Assim, temos que β = θ (figur ) Figur Reflexão em dus rects concorrentes 69 69

71 As mtrizes de trnsformção homogéne ssocids às reflexões em rects, ns rects f e g, são, respectimente, S f = cos sen sen cos f( cos ) fsen f sen f ( cos ) e cosβ S g = senβ senβ cosβ f( cosβ ) fsenβ f sen f ( cos ) β β Assim, mtriz de trnsformção homogéne ssocid Σ g º Σ f, é d form cosθ senθ senθ cosθ f( cosθ ) fsenθ f sen f ( cos ) θ θ, ou cos θ senθ senθ cos θ senθ (f senθ ( f cosθ f cosθ f senθ ) senθ ) que corresponde mtriz de trnsformção homogéne ssocid um rotção de centro no ponto (f, f ) e ângulo positio θ Do estudo feito, concluímos, então, seguinte proposição: 7 7

72 Proposição 7 A compost Σ g º Σ f, de dus reflexões em rects concorrentes, f e g, que se intersectm no ponto F, so ângulo orientdo γ, é rotção, Δ F, γ, cujo ângulo de rotção é o doro do ângulo θ d rect f à rect g, ou sej θ = γ Proposição 7 Tod rotção Δ F, γ pode ser representd de infinits mneirs como compost de dus reflexões em rects, desde que s dus rects considerds se intersectem no ponto F, so o ângulo γ Demonstrção Consideremos o ponto F de coordends crtesins ( f, f ), o ângulo positio γ, um rect qulquer, pssndo pelo ponto F, e um rect, tmém pssndo por F e formndo o ângulo positio de γ com rect Sejm s coordends homogénes ds rects e, [ sen : cos : f cos f sen] γ γ γ γ [ sen : cos : f cos f sen ], respectimente e Encontremos imgem de um ponto qulquer P de coordends crtesins ( p, p ), pel compost de reflexões em rect, Σ º Σ Consideremos s mtrizes de trnsformção homogénes ssocids cd um ds reflexões em rect Σ e Σ, respectimente, cos S = sen sen cos f( cos ) f sen f ( cos ) sen f 7 7

73 7 e S = cos f sen f cos sen sen f cos f sen cos γ γ γ γ γ γ γ γ Ao clculr S S, otemos mtriz ) cos ( f sen f cos sen sen f ) cos ( f sen cos γ γ γ γ γ γ γ γ que corresponde à mtriz de trnsformção homogéne ssocid à um rotção de centro no ponto F e ângulo positio γ Assim, como s rects form ritráris, pens stisfzendo condição de serem concorrentes no ponto F e formndo o ângulo positio γ, proposição fic demonstrd Proposição 7 A rotção Δ F, γ, de centro no ponto F e ângulo não nulo, tem somente o ponto F inrinte Demonstrção Sej Δ F,γ um rotção de centro no ponto F de coordends crtesins ( f, f ) e ângulo não nulo, γ, cuj mtriz de trnsformção homogéne ssocid é ) cos ( f sen f cos sen sen f ) cos ( f sen cos γ γ γ γ γ γ γ γ Sej P um ponto qulquer de coordends crtesins (p, p ) 7

74 7 Fçmos Δ F,γ (P) = P trés ds sus correspondentes mtrizes Assim, ) cos ( f sen f cos sen sen f ) cos ( f sen cos γ γ γ γ γ γ γ γ p p = p p donde, )sen p f ( )cos f (p f )sen p (f )cos f (p f γ γ γ γ = p p Est iguldde só ocorre se, e somente se, p = f e p = f, ou sej, o único ponto inrinte pel rotção Δ F,γ é o seu centro Proposição 74 A rotção Δ F, γ, de centro no ponto F e ângulo não nulo, deix s rects que pssm por F inrintes se, e somente se, o ângulo de rotção for de 8º (ou π rd) Demonstrção Sejm (f, f ) s coordends crtesins do ponto F e consideremos inicilmente o ângulo de rotção igul 8º Sej mtriz de trnsformção homogéne ssocid rotção Δ F,8º que se segue: R F, 8º = f f 7

75 Sej r = [ sen : cos : f cos f sen] um rect que pss pelo ponto F e determinndo um ângulo com o eixo Ox Então, otemos como imgem d rect r, por est rotção, rect de coordends homogénes [ sen : cos : f cos f sen], resultnte de [sen cos f cos f sen] (R F, 8º ) - No cso d rect r ter por coordends homogénes [ : : f ], otemos s coordends homogénes de Δ F, 8º (r) = [ : : f ] Concluímos, em mos os csos, que s rects ficm inrintes (i) Consideremos gor um rotção de centro no ponto F e ângulo γ, distint d identidde, isto é, γ º, e que deixe s rects, pssndo pelo ponto F, inrintes A mtriz de trnsformção homogéne ssocid é R F, γ = cosγ senγ senγ cosγ f( cosγ ) fsenγ f sen f ( cos ) γ γ Ao clculr cosγ [ sen cos (f cos f sen)] senγ senγ cosγ f( cosγ ) f senγ fsenγ f ( cosγ ), otemos [ sen(γ) cos(γ) f cos(γ) f sen(γ)] 74 74

76 Como [ sen : cos : f cos f sen] = [ sen : cos : f cos f sen], podemos oter s relções sen(γ) = sen e cos(γ) = cos ou sen(γ) = sen e cos(γ) = cos Como semos que, sen(γ) = sen cosγ senγ cos e cos(γ) = cos cosγ sen senγ, concluímos que cosγ = e senγ =, ou cosγ = e senγ =, otendo, como lores pr o ângulo, γ = º ou γ = 8º Se considerrmos r = [ : : f ], isto que [ : : f ] = [ : : f ], temos [ : : f ] = [ cosγ : senγ : f cosγ f senγ ] ou [ : : f ] = [ cosγ : senγ : f cosγ f senγ ] Donde tmém concluímos que γ = º ou γ = 8º Atendendo que considermos desde o início γ º, então γ = 8º De (i) e de (ii), proposição fic ssim demonstrd (ii) 75 75

77 Proposição 75 Sej p um rect ritrári e p su imgem por Δ F, γ, então rect p intersect rect p so o ângulo de rotção γ, se este não for nulo ou rso Cso contrário, rect p é prlel à rect p Demonstrção Sej p rect pssndo por A = (, ) e determinndo um ângulo positio com o eixo Ox, est tem como coordends homogénes [ sen : cos : cos sen] Sem perd de generlidde, consideremos rotção de centro n origem do referencil crtesino O e ângulo θ A imgem d rect p por Δ O, θ é rect p de coordends homogénes [sen (θ) : cos (θ) : cos sen] Ao clculr o ângulo entre s rects p e p, erificmos que este tem mplitude igul θ No cso de θ = º ou θ = 8º, erigumos que imgem d rect p é rect de coordends homogénes [ sen : cos : cos sen] ou [ sen : cos : sen cos], respectimente, e ms são prlels à rect dd Proposição 76 A compost de dus rotções de mesmo centro e com ângulos diferentes, e β, é um rotção neste mesmo centro e de ângulo β Demonstrção Sejm Δ F, e Δ F,β dus rotções de centro no ponto F de coordends crtesins ( f, f ) e ângulos não nulos e β, respectimente, cujs mtrizes de trnsformção homogéne ssocids são s seguintes: cos R F, = sen sen cos f( cos) fsen f ( cos ) sen f e 76 76

78 cos β R F,β = senβ senβ cos β f( cos β ) fsenβ f sen f ( cos ) β β Então, R F, R F,β = cos( β ) sen( β ) sen( β ) cos( β ) f( cos( β )) fsen( β ) f sen( ) f ( cos( )) β β Osermos que mtriz resultnte é mtriz de trnsformção homogéne ssocid um rotção de centro no ponto F e de ângulo β Proposição 77 A composição de rotções com o mesmo centro é comutti Demonstrção Pel proposição nterior, compost de dus rotções com o mesmo centro, por exemplo o ponto F, e mplitudes de ângulos diferentes, e β, é um rotção neste mesmo centro e com mplitude de ângulo igul β, e de mtriz de trnsformção homogéne ssocid igul R F,β = cos( β ) sen( β ) sen( β ) cos( β ) f( cos( β )) fsen( β ) f sen( ) f ( cos( )) β β Por outro ldo, temos que R F,β = cos( β ) sen( β ) sen( β ) cos( β ) f( cos( β )) fsen( β ) f sen( ) f ( cos( )) β β = R F,β Logo, Δ F, º Δ F,β = Δ F,β º Δ F, 77 77

79 Proposição 78 A compost de dus rotções é um trnslção, se som ds mplitudes dos ângulos for nulo, ou é um rotção, se som ds mplitudes dos ângulos de rotção for diferente de zero Demonstrção Consideremos dus rotções distints, Δ A, e Δ B, β, (figur ) e s sus respectis mtrizes de trnsformção homogéne ssocids cos R A, = sen sen cos ( cos) sen sen ( cos ) e cos β R B, β = senβ senβ cos β ( cos β ) senβ sen ( cos ) β β Figur Composição de dus rotções em centros distintos e β º Ao clculr R B, β R A,, otemos cos( β ) sen( β ) sen( β ) cos( β ) ( ( )cos β )cos β cos( β ) ( cos( β ) ( )senβ )senβ sen( β ) sen( β ) em que pr β º, está ssocid à rotção de centro no ponto C, distinto dos pontos A e B, e cuj mplitude do ângulo de rotção igul β 78 78

80 Se β = º (figur ), temos mtriz ( )( cosβ ) ( ( )( cosβ ) ( )senβ )sen β Figur Composição de dus rotções em centros distintos e β = º que está ssocid à trnslção de ector ( )( cos β ) ( ) senβ, )( cos β ) ( ) senβ ), ( ( e que corresponde o doro do ector distânci entre s rects que pssm por A e B, respectimente Exemplo 7 Consideremos dus rotções distints, Δ A, e Δ B, β, com centro nos pontos A e B, de coordends crtesins, (, ) e (4, ), respectimente, e de ângulos = º e β = 6º (ide figur ) cos 6º sen6º sen6º cos 6º 4 ( cos º ) senº cos º 4 senº ( cos º ) senº senº cos º ( cos º ) senº senº ( cos º ) = cos 9º = sen9º sen9º cos 9º 4 ( - 4)cos6º - cos9º ( -)sen6º sen9º (- )cos6º -cos9º ( - 4)sen6º - sen9º 79 79

81 8 4 = 5 Figur Composição de dus rotções em centros distintos Osermos que compost Δ B, β º Δ A, corresponde Δ C, β Exemplo 7 Consideremos s dus rotções do exemplo nterior, ms com mplitude dos ângulos igul : = º e β = 4º (figur 4) = 4 Figur 4 Composição de dus rotções em centros distintos Osermos que compost Δ B, β º Δ A, corresponde um trnslção do ponto P segundo o ector = CD 8